Riesz–Caputo导数反周期边值问题

摘要

本文研究一类具有Riesz–Caputo导数的分数阶微分方程的反周期边值问题，它可以反映过去和未来的非局部记忆效应。利用新的分数阶Gronwall不等式和一些不动点定理，得到了Lipschitz条件、次线性增长条件、非线性增长条件和比较条件下解的存在性结果。给出了三个例子来说明结果。

1介绍

分数微积分可以追溯到17世纪的牛顿和莱布尼茨。它是常微分方程和任意非整数阶积分的推广[1]. 分数阶微分方程是近年来微分方程领域的一个研究热点。初（边）值问题的存在性、唯一性和稳定性是分数阶微分方程的主要研究内容；参见[1,2,三,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23]以及其中的参考文献。例如，Zhou等人[5,6]得到了分数阶微分方程的一些存在唯一性结果。Baleanu等人[7,8,9]研究了包括Caputo-Fabrizio导数在内的分数阶微分方程解的存在性。Li等人[16]和Aguila–Camacho等人[17]用Lyapunov方法讨论分数阶动力系统的稳定性，Wang和Li[18,19]研究了一些分数阶方程的Ulam–Hyers稳定性，Li等人[1]和Chen等人[15]考虑脉冲分数阶微分方程的反周期边值问题。Baleanu等人还讨论了分数阶微分方程的一些周期或反周期边值问题[20,21,22,23].

许多过程的现状始于过去的状态，也依赖于其未来的发展，例如股票价格期权。另一个例子是在反常扩散问题中的应用，其中Riesz导数意味着非局部性，并用于描述扩散浓度对路径的依赖性。正如所指出的[2]分数阶微分方程的完整理论只能通过使用具有记忆效应的左右导数来发展。然而，目前关于分数阶微分方程的大多数工作都集中在Riemann–Liouville和Caputo分数阶导数上，它们是单边分数阶算子，只反映了过去或未来的记忆效应。幸运的是，Riesz导数是一个包含左右导数的双边分数算子，它可以反映过去和未来的记忆效应。此功能特别适用于有限域上的分数建模。该导数在反常扩散中的一些最新应用在[24,25].

目前还没有文献研究具有Riesz–Caputo导数的分数阶常微分方程。这里，我们讨论以下分数阶边值问题（简称BVP）：

$$\textstyle\begin{cases}{}^{mathrm{RC}}_{0}D^{\伽马}_{T} 年（τ）=g（τ，y（τ$$

(1)

哪里\（｛｝^｛\mathrm｛RC｝｝）_{0}D^{\gamma}_{T}\）是Riesz–Caputo衍生产品\（g:J\次R\右箭头R\）是关于的连续函数τ和年.

2前期工作

本节将介绍一些定义和初步事实。让\（β>0\）、和\（n-1<\beta\leq n\）,\（以n表示）和\（n=\lceil\nu\rceil\）、和\（\lceil\cdot\rceil\）数字的上限。

定义2.1

根据经典的Riesz–Caputo定义[2,三]，用于\（0\leq\tau\leq T\）,

$$\开始{对齐}{}^{\mathrm{RC}}_{0}D^{\测试}_{T} z（z）（τ）=&\frac{1}{\varGamma（n-\beta）}\int^{T}（T）_{0}\frac{z^{（n）}（u）}{|\tau-u|^{beta+1-n}}\，du\\=&\frac{1}{2}\bigl（{}^{mathrm{C}}_{0}D^{\beta}_{\tau}+（-1）^{n}{{}^{\mathrm{C}}_{tau}D^{\beta}_{T}}\biger）z（\tau），\end{aligned}$$

哪里\（{}^{\mathrm{C}}_{0}D^{\贝塔}{\陶}\）是左边的卡普托导数\（{}^{\mathrm{C}}_{\tau}D^{\beta}_{T}\）是正确的卡普托导数，

$${}^{\mathrm{C}}_{0}D^{\beta}_{\tau}z（\tau）=\frac{1}{\varGamma（n-\beta）}\int^{\tau{{0}\frac{z^{（n）}（u）}{（\tau-u）^{beta+1-n}}\，du$$

和

$${}^{\mathrm{C}}_{\tau}D^{\beta}_{T} z（tau）=压裂{（-1）^{n}}{varGamma（n-\beta）}\int^{T}（T）_{\tau}\分形{z^{（n）}（u）}{（u-\tau）^{beta+1-n}}\，du$$

特别是，如果\（1<\beta\leq2）和\（z（\tau）\在C^{2}（0，T）中\），然后

$${}^{\mathrm{RC}}_｛0｝D^｛\beta｝_{T} z（z）（τ）=\frac{1}{2}\bigl（{}^{\mathrm{C}}_{0}D^{\beta}_{\tau}+{{}^{\mathrm{C}}_{tau}D^{\beta}_{T}}\biger）z（\tau）$$

定义2.2

([4])

分数阶左、右和Riemann–Liouville积分β定义为

$$\开始{aligned}&{}_{0}我^{\beta}_{\tau}z（\tau）=\frac{1}{\varGamma（\beta）}\int_{0}^{\tau}（\tau-u）^{\beta-1}z（u）\，du，\\&_{\tao}I^{\taba}_{T} z（z）（τ）=\frac{1}{\varGamma（\beta）}\int_{\tau}^{T}（u-\tau）^{\beta-1}z（u）\，du，\\&_{0}I^{beta}_{T} z（z）（τ）=\frac{1}{\varGamma（\beta）}\int_{0}^{T}|u-\tau|^{\beta-1}z（u）\，du。\结束{对齐}$$

引理2.1

([4])

如果 \（z（\tau）\在C^{n}[0，T]\中）,然后

$${}_{0}我^{\beta}_{\tau}{{}^{\mathrm{C}}_{0}D^{\beta}{\tau}}z（\tau）=z（\tao）-\sum^{n-1}_{l=0}\frac{z^{（l）}（0）}{l！}（\tau-0）^{l}$$

和

$${\tau}I^{\tab}{T}{}}{{C}}{\tau}D^{\tau{T}}z（\tau）=（-1）^{n}\Biggl[z（\tao）-\sum^{n-1}_{l=0}\frac{（-1）^{l} z（z）^{（l）}（T）}{l！}（T-\tau）^{l}\Biggr]$$

根据上述定义和引理，我们得到

$$\开始{aligned}&{}_{0}我^｛\beta｝_｛T｝｛｝^｛\mathrm｛RC｝｝_{0}D^{\beta}_{T}}z（\tau）\\&\quad=\frac{1}{2}\bigl（{}_{0}我^{\beta}_{\tau}{{}^{\mathrm{C}}_{0}D^{\beta}_{\tau}}+_{\tao}I^{\beta}_{T}{}^{mathrm{C}}_｛0｝D^｛\beta｝_｛\tau｝｝\bigr）z（\tau）+（-1）^｛n｝\frac｛1｝｛2｝\bigl（｛｝_{0}我^{\beta}_{\tau}{{}^{\mathrm{C}}_{\tau}D^{\beta}_{T}}+_{\tao}I^{\beta}_}T}{}^{\mathm{C}{{\tau{D^{\tau}}\bigr）z（\tau）\\&\quad=\frac{1}{2}\bigl（{}_{0}我^{\beta}_{\tau}{{}^{\mathrm{C}}_{0}D^{β}{τ}}+（-1）^{无}_{\tau}I^{\tab}_{T}{}^{mathrm{C}}{\tau}D^{\tab}_{T}}较大）z（\tau）。\结束{对齐}$$

特别是，如果\（1<\beta\leq2）和\（z（\tau）\在C^{2}（0，T）中\），然后

$$ {}_{0}我^{\beta}_{T}{}^{\mathrm{RC}}_{0}D^{\beta}_{T}}z（\tau）=z（\tao）-\frac{1}{2}\bigl（z（0）+z（T）\bigr）-\frac{1}{2} z（z）^{\素数}（0）\tau+\frac{1}{2} z（z）^{\素数}（T）（T-\τ）$$

(2)

引理2.2

假设 \（f在C（J，R）中）.A函数 \（y\在C^{2}（J）中\） 由提供

$$\begin{aligned}y（\tau）=&-\frac{T}{2\varGamma（\gamma-1）}\int^{T}（T）_{0}（T-u）^{\gamma-2}f（u）\，du\\&{}+\frac{1}{\varGamma（\gamma^{T}（T）_{\tau}（u-\tau）^{（\gamma-1）}f（u）\，du，\end{对齐}$$

(3)

是以下反-周期边值问题:

$$\textstyle\begin｛cases｝｛｝^｛\mathrm｛RC｝｝_{0}D^{\伽马}_{T} 年（τ）=f（τ值），J中的四τ值，1，y（0）+y（T）=0，四y^{prime}（0）+y^{prime}。\结束{cases}$$

(4)

证明

发件人(2)以及(4)，我们有

$$\begin｛aligned｝y（\tau）=&&frac｛1｝｛2｝\bigl（y（0）+y（T）\bigr）+\frac｛1｝{2} 年^{\素数}（0）\tau-\frac{1}{2} 年^{\prime}（T）（T-\tau）\\&{}+\frac{1}{\varGamma（\gamma）}\int^{T}（T）_{0}|\tau-u|^{\gamma-1}f（u）\，du\\=&\frac{1}{2}\bigl（y（0）+y（T）\bigr）+\frac{1}{2} 年^{\素数}（0）\tau-\frac{1}{2} 年^{素数}（T）（T-\tau）\\&{}+\frac{1}{\varGamma（\gamma）}\int^{\tau}_{0}（\tau-u）^{\gamma-1}f（u）\，du+\frac{1}{\var伽马（\gama）}\int^{T}（T）_{\tau}（u-\tau）^{\gamma-1}f（u）\，du。\结束{对齐}$$

(5)

然后

$$\开始{aligned}y^{prime}（\tau）=&\frac{1}{2}\bigl^{T}（T）_{\tau}（u-\tau）^{\gamma-2}f（u）\，du。\结束{对齐}$$

根据边界条件\（y（0）+y（T）=0）,\（y^{\素数}（0）+y^{\prime}（T）=0\），我们发现

$$\begin{aligned}&y（0）=\frac{T}{2\varGamma（\gamma-1）}\int^{T}（T）_{0}（T-u）^{\gamma-2}f（u）\，du-\frac{1}{\varGamma（\gamma）}\int^{T}（T）_{0}（T-u）^{\gamma-1}f（u）\，du，\\&y（T）=-\frac{T}{2\varGamma（\gamma-1）}\int^{T}（T）_{0}（T-u）^{\gamma-2}f（u）\，du+\frac{1}{\varGamma（\gamma）}\int^{T}（T）_{0}（T-u）^{\gamma-1}f（u）\，du，\\&y^{\prime}（0）=-\frac{1}{\varGamma（\gamma-1）}\int^{T}（T）_{0}（T-u）^{\gamma-2}f（u）\，du，\\&y^{\prime}（T）=\frac{1}{\varGamma（\gamma-1）}\int^{T}（T）_{0}（T-u）^{\gamma-2}f（u）\，du。\结束{对齐}$$

替换的值\（y（0）\）,\（y（T）\）,\（y^{\prime}（0）\）和\（y^{prime}（T）\）到(5)，我们获得(三). □

现在我们将我们的结果推广到广义Gronwall不等式，该不等式出现在[26].

引理2.3

([26])

让 \（z在C（J，R）中） 满足以下不等式:

$$\bigl\vert z（t）\bigr\vert \leq a+b\int_｛0｝^｛t｝\bigl\vert z（u）\bigr\vert ^｛\lambda_｛1｝｝｝\，du+c\int_｛0｝^｛t｝\bigl\vert z（u）\bigr\vert ^｛\lambda_｛2｝｝｝\，du，\ quad t\ in J$$

哪里 \（\0,1]\中的\lambda_｛1｝\）,\（[0，1）中的\lambda_{2}\）,\（a、b、c） 是常量.然后存在一个常数 \（M^{*}>0\） 这样的话

$$\bigl\vert z（t）\bigr\vert\leq M^{*}$$

推论2.1

让 \（z在C（J，R）中） 满足以下不等式:

$$\bigl\vert z（t）\bigr\vert\leq a+b\int_{0}^{t}\bigl\ vert z，在J中为四t$$

(6)

哪里 \（[0，1]\中的\lambda_{1}\）,\（[0，1）中的\lambda{2}，\lambda{3}）,\（a、b、c、d） 是常量.然后存在一个常数 \（M^{*}>0\） 这样的话

$$\bigl\vert z（t）\bigr\vert\leq M^{*}$$

证明

让\（\lambda{4}=\max\{\lambda{2}，\lambda{3}\}\）.来自(6)，我们有

$$开始{aligned}\bigl\vert z（t）\bigr\vert\leq&a+b\int_{0}^{t}\bigr\ vert z}\，du\\leq&a+b\int_{0}^{t}\bigl\vertz（u）\bigr\vert^{\lambda_{1}}\，du+（c+d）\int_}^{t}\bigle\vertZ（u）\bigr\vert^{\lambda_{4}}\，du。\结束{对齐}$$

按引理2.3，我们可以直接获得结果。□

引理2.4

让 \（z在C（J，R）中） 满足以下不等式:

$$\开始{对齐}\bigl\vert z（t）\bigr\vert\leq&a+b\int_{0}^{t}（t-u）^{\gamma-1}\bigle\vert z（u）\biger\vert^{\lambda}\，du+c\int_}^{t}（u-t）u）^{\gamma-2}\bigl\vert z（u）\bigr\vert ^{\lambda}\，du，\end{对齐}$$

(7)

哪里 \（在（1，2）中为伽马）,\（[0，1-\frac{1}{\zeta}中的\lambda\） 对一些人来说 \（1<zeta<frac{1}{2-\gamma}）,\（a、b、c、d） 是常量.然后存在一个常数 \（M^{*}>0\） 这样的话

$$\bigl\vert z（t）\bigr\vert\leq M^{*}$$

证明

让

$$y（t）=\textstyle\begin{cases}1，&|z（t）|\leq1，\\z（t。\结束{cases}$$

组合条件(7)以及Hölder不等式

$$\begin｛aligned｝\bigl\vert z（t）\bigr\vert\leq&\bigl\vert y（t）\bigr\vert\\leq&（a+1）+b\int_｛0｝^｛t｝（t-u）^｛\gamma-1｝\bigl\vert y（u）\bigr\vert ^｛\lambda｝\，du\\&｛｝+c\int_｛t｝^｛t｝（u-t）^｛\gamma-1｝\bigl\vert y（u）\bigr\vert ^｛\lambda｝\，du+d\int _｛0｝^｛t｝（t-u）^｛\gamma-2｝\bigl\vert y（u）\bigr\vert ^｛\lambda｝\，du\\\leq&（a+1）+b\bigl（\int_｛0｝^｛t｝（t-u）^｛\zeta（\gamma-1）｝\，du\biggr）^｛\frac｛1｝｛\zeta（\gamma-1）｝\，du\biggr）^｛\frac｛1｝｛\zeta｝｝\biggl（\int_｛t｝^｛t｝\bigl\vert y（u）\bigr\vert ^｛\frac｛\lambda\zeta｝{\zeta-1}}\，du\biggr）^{\frac{\zeta-1}{\ze塔}}\\&{}+d\biggl{\zeta-1}}\，du\biggr）^{\frac{\zeta-1}{\zeta}}\\leq&（a+1）+b\biggl}\int_{0}^{t}\bigl\vert y（u）\bigr\vert^{\frac{\lambda\zeta}{\zeta-1}}\，du\\&{}+c\biggl ^{\frac{\lambda\zeta}{\zeta-1}}\，du\\&{}+d\biggl\bigl\vert y（u）\bigr\vert^{\frac{\lambda\zeta}{\zeta-1}}\，du。\结束{对齐}$$

自\（[0，1）中的\frac{\lambda\zeta}{\zeta-1}\），我们可以通过推论立即完成其余证明2.1. □

最后，我们介绍了三个不动点定理。

引理2.5

（谢弗不动点定理[27])

让 X（X） 是赋范线性空间的凸子集 Ω 和 \（X\中的0\）.让 \（F:X\右箭头X\） 成为一个完全连续的操作员,然后让

$$\omega（F）=\bigl\{y\in X:y=\lambda Fy\textit{对于某些}\lambda\in（0,1）\bigr\}$$

然后要么 \（ω（F）） 无界或 F类 有一个固定点.

引理2.6

（Leray–Schauder不动点定理[28])

假设 U型 是Banach空间的闭凸子集 V（V）,和 W公司 是相对开放的 U型 具有 \（W\中的0\）,和 \（T:\上划线{W}\右箭头U\） 是连续紧映射.那么要么

• 一、。 T型 存在一个固定点 W̅;

或

• 二、。 存在 \（x\ in \ partial W\） 和 \（lambda\ in（0,1）\） 具有 \（x=λx）.

引理2.7

（Schauder不动点定理[29])

让 V（V） 成为巴拿赫空间 \（W \ substeq V \） 关闭,有界和凸,和 \（T:W\右箭头W\） 是完全连续的.然后 T型 在中有一个固定点 W公司.

三主要成果

让\（C（0，T）\）成为所有实函数的空间年定义于\（J=[0，T]\）符合规范\（在J}|y（\tau）|\中=\sup_{\tau\），然后\（C（0，T）\）是巴纳赫空间。对于可测量的功能\（z:J\右箭头R\），定义规范\（\|z\|_{L^{\rho}（J，R）}=（\int_{J}|z（\tau）|^{\hro}\，d\tau）^{\frac{1}{\rho}}\）,\（1）。我们表示为\（L^{\rho}（J，R）\）所有勒贝格可测函数的巴拿赫空间z（z）具有\（\|z\|_{L^{\rho}}<\infty\）.

我们改造BVP(1)在不动点问题中，定义积分算子\（A:J\右箭头J\）通过

$$\begin{aligned}Ay（\tau）=&-\frac{T}{2\varGamma（\gamma-1）}\int^{T}（T）_｛0｝（T-u）^｛\gamma-2｝g\bigl（u，y（u）\bigr）\，du\\&｛｝+\frac｛1｝｛\varGamma（\gamma）｝\int ^｛\tau｝_｛0｝（\tau-u）^｛（\gamma-1）｝g\bigl（u，y（u）\bigr）\，du\\frac｛1｝｛\varGamma（\gamma）｝\int^{T}（T）_{\tau}（u-\tau）^{（\gamma-1）}g\bigl（u，y（u）\bigr）\，du。\结束{对齐}$$

(8)

定理3.1

假设

(\（\mathrm{高}_{1}\)):

存在一个常数 \（L_{1}\geq0\） 这样的话 \（|g（\tau，y）-g（\tao，z）|\leq L_{1}|y-z|\）,对于每个 \（J中的τ） 和 \（y，z在R中）.

然后是BVP(1)上有一个独特的解决方案 J型 前提是

$$\biggl（\frac{T^{\gamma}}{2\varGamma（\gamma）}+\ frac{2T^{gamma}{\varGamma[\gamma+1）}\biggr）L_{1}<1$$

(9)

证明

$$\开始{aligned}\bigl\vert（Ay）（\tau）-（Az）（\tao）\bigr\vert\leq&\frac{T}{2\varGamma（\gamma-1）}\int^{T}（T）_{0}（T-u）^{\gamma-2}\bigl\vert g\bigl（u，y（u）\bigr）-g\bigle（u、z（u）\ bigr r）\bigr\vert\，du\\&{}+\frac{1}{\varGamma（\gamma）}\int^{T}（T）_{\tau}（u-\tau）^{（\gamma-1）}\bigl\vert g\bigl（u，y（u）\bigr）-g\bigr\vert\，du\\leq&\frac{TL_{1}\|y-z\|}{2\varGamma（\gamma-1）{int^{T}（T）_{0}（T-u）^{\gamma-2}\，du+\frac{L_1}\|y-z\|}{\varGamma（\gamma^{T}（T）_{\tau}（u-\tau）^{（\gamma-1）}\，du\\leq&\biggl（\frac{T^{\gamma}}{2\varGamma gl（\frac{T^{\gamma}}{2\varGamma（\gamma）}+\ frac{2T^{\ gamma}{\varGamma[\gamma+1）}\biggr）L_{1}\|y-z\|。\结束{对齐}$$

因此，根据(9),

$$\开始{aligned}\|Ay-Az\|\leq&\biggl（\frac{T^{gamma}}{2\varGamma（\gamma）}+\frac}2T^{\gamma}{\varGamma[\gamma+1）}\biggr）L_{1}\|y-z\|\\<&\|y-z \|。\结束{对齐}$$

然后A类是一个压缩，作为Banach不动点定理的结果，我们推断A类有一个不动点，它是BVP的唯一解(1). □

定理3.2

假设

(\（\mathrm{高}_{2}\)):

存在一个常数 \（L_{2}>0\） 和 \（在（0,1-\frac{1}{\zeta}）中为σ 对一些人来说 \（\zeta（\gamma-2）+1>0） 具有 \（伽马>1） 这样的话 \（g（τ，y）\leq L_{2}（1+|y|^{\sigma}） 对于每个 \（J中的τ） 以及所有 \（R\中的y\）.

然后是BVP(1)上至少有一个解决方案 J型.

证明

我们将使用Schaefer不动点定理来证明A类有一个固定点。为了方便起见，我们将证明分为几个步骤。

步骤1A类是连续的。

让\（{y_{n}\}\）是这样一个序列\（y_{n}\右箭头y\）在里面\（C（J）\）然后，针对每个\（单位：J\），我们有

$$\开始{aligned}\bigl\vert（Ay_{n}）（\tau）-（Ay）（\tao）\bigr\vert\leq&\frac{T}{2\varGamma（\gamma-1）}\int^{T}（T）_{0}（T-u）^{\gamma-2}\bigl\vert g\bigl（u，y_{n}（u）\bigr）-g\bigle（u、y（u）\ bigr \vert\，du\\&{}+\frac{1}{\varGamma（\gamma）}\int^{\tau}_{0}（\tau-u）l（u，y（u）\bigr）\biger\vert\，du\\&{}+\frac{1}{\varGamma（\gamma）}\int^{T}（T）_｛\tau｝（u-\tau）^｛（\gamma-1）｝\bigl\vert g\bigl（u，y_｛n｝（u）\bigr）-g\bigl（u，y（u）\bigr \vert\，du\\\leq&\biggl（\frac｛T^｛\gamma｝｝｛2\varGamma（\gamma）｝+\frac｛\tau ^｛\gamma｝｝｛\varGamma（\gamma+1）｝+\frac｛（T-\tau）^｛\gamma｝｝｝\biggr）\bigl\vert g\bigl（\cdot，y_｛n｝（\cdot）\bigr）-g\bigl（\cdot，y（\cdot）\bigr）\bigr\Vert\\\leq&\bigl（\frac｛T^｛\gamma｝｝｛2\varGamma（\gamma）｝+\frac｛2T^｛\gamma｝｝｛\varGamma（\gamma+1）｝\biggr）\bigl\Vert g\bigl（\cdot，y_｛n｝（\cdot）\bigr）-g\bigl（\cdot，y（\cdot）\bigr）\bigr\Vert。\结束{对齐}$$

自克是连续函数，我们有

$$\|是_{n} -是的\|\rightarrow0\quad\mbox{as}n\rightarror\infty$$

步骤2A类将有界集映射为中的有界集\（C（J）\）.

对于每个\（y\in\varOmega_{\eta}=\{y\ in C（J）：\|y\|\leq\eta\}\）和\（J中的τ），我们得到

$$\开始{aligned}\bigl\vert（Ay）（\tau）\bigr\vert\leq&\frac{T}{2\varGamma（\gamma-1）}\int^{T}（T）_{0}（T-u）^{\gamma-2}\bigl\vert g\bigl（u，y（u）\bigr）\biger\vert\，du\\&{}+\frac{1}{\varGamma（\gamma）}\int^{\tau}_{0}（\tau-u）^}（\gamma-1）}\bigr\vert g\bigl（u，y（u）\ bigr）}\int^{T}（T）_{\tau}（u-\tau）^{（\gamma-1）}\bigl\vert g\bigl \biggr）L_{2}\bigl（1+\eta^{\sigma}\bigr）\\leq&\biggl（\frac{T^{\gamma}{2\varGamma（\gamma）}+\ frac{2T^{\ gamma}}{\varGamma（\gamma+1）}\biggr）L_{2}\bigl（1+\eta^{\sigma}\bigr）：=\iota。\结束{对齐}$$

然后ι是一个常量，并且

$$\|Ay\|\leq\iota$$

这意味着A类将有界集映射为有界集。

步骤三。A类将有界集映射为等连续集\（C（J）\）.

让\（\varOmega_{\eta}\）是一个有界集\（C（J）\）如步骤2所示，并让\（y\in\varOmega_{\eta}\）对于每个\（J中的τ），我们可以估计导数\（（Ay）^{\prime}（\tau）\）:

$$\begin{aligned}\bigl\vert（Ay）^{\prime}（\tau）\bigr\vert\leq&\frac{1}{\varGamma（\gamma-1）}\int^{\tau}_{0}（\tau-u）^{（\gamma-2）}\bigle\vert g\bigl（u，y（u）\biger）\biger\vert\，du\\&{}+\frac}{1}{\varGamma^{T}（T）_{\tau}（u-\tau）^{（\gamma-2）}\bigl\vert g\bigl（u，y（u）\biger）\bigr\vert\，du\\leq&\biggl（\frac{\tau^{\gamma-1}}{\varGamma（\gamma）}+\frac}（T-\tau较大）\\leq&\压裂{2T^{\gamma-1}L_{2}（1+\eta^{\sigma}）}{\varGamma（\gamma）}:=\kappa。\结束{对齐}$$

因此，让我们\（J\中的\tau^｛\prime｝，\tau^｛\prime｝\）,\（\tau^{\prime}，我们有

$$\bigl\vert（Ay）\bigl（\tau^{prime\prime}\bigr）-（Ay●●●●$$

所以\（A（\varOmega_{\eta}）\）在中是等连续的\（C（J）\）。根据步骤1至3以及Arzela–Ascoli定理，我们可以得出以下结论\（A:\varOmega_｛\eta｝\rightarrow\varOmega_｛\eta｝\）是连续的和完全连续的。

步骤4A类先验界。最后，我们证明了

$$\omega（F）=\bigl\{y\in X:y=\lambda Fy\mbox{对于某些}\lambda\in（0,1）\bigr\}$$

有界。让\（y=λFy）对一些人来说\（lambda\ in（0,1）\）对于每个\（J中的τ），我们有

$$\开始{aligned}\bigl\vert y（\tau）\bigr\vert\leq&\frac{T}{2\varGamma（\gamma-1）}\int^{T}（T）_{0}（T-u）^{\gamma-2}\bigl\vert g\bigl（u，y（u）\bigr）\biger\vert\，du\\&{}+\frac{1}{\varGamma（\gamma）}\int^{\tau}_{0}（\tau-u）^}（\gamma-1）}\bigr\vert g\bigl（u，y（u）\ bigr）}\int^{T}（T）_{\tau}（u-\tau）^{（\gamma-1）}\bigl\vert g\bigl（u，y（u）\biger）\bigr\vert\，du\\leq&\biggl（\frac{T^{gamma}}{2\varGamma 1）}\int^{T}（T）_{0}（T-u）^{\gamma-2}\bigl\vert y（u）\bigr\vert^{\sigma}\，du\\&{}+\frac{L_{2}}{\varGamma（\gamma）}\int^{\tau}_{0}（\tau-u）^}（\gamma-1）}\bigr\ vert y整数^{T}（T）_{\tau}（u-\tau）^{（\gamma-1）}\bigl\vert y（u）\bigr\vert^{\sigma}\，du。\结束{对齐}$$

根据引理2.4，存在一个\（M^{*}_{1}>0\）这样的话

$$\|y\|\leq M^{*}_{1}$$

根据Schaefer不动点定理，我们推导出A类有一个不动点，它是BVP的解(1)通过引理2.5. □

定理3.3

假设

(\（\mathrm{高}_{3}\)):

存在 \（C（J）中的\varphi\） 和 \（\psi:[0，\infty）\rightarrow（0，\infcy）\） 持续且不减 \（|g（τ，y）|\leq\varphi（τ）\psi（|y|）\） 对于 \（J中的τ） 和 \（y\在R\中）.

然后是BVP(1)上至少有一个解决方案 J型 假设存在一个常量 \（M^{*}_{2}>0\） 这样的话

$$\biggl（\压裂{T^{\gamma}}{2\varGamma（\gamma）}+\压裂{2T^{\ gamma}{\varGamma[\gamma+1）}\biggr）\压裂{\varphi^{*}\psi（M^{*{2}）}{M^{**}_{2}}<1$$

(10)

哪里 \（\varphi^{*}=\sup\{\varphi（\tau）：\tau\在J\}\中）.

证明

让\（V_｛M^｛*｝_｛2｝｝=C（J）中的\｛y \：\ | y \ | \ leq M^｛*｝_｛2｝\｝\），然后\（V_｛M^｛*｝_｛2｝｝\）是一个闭的、有界的凸集。

对于任何\（y\在V_｛M^｛*｝_｛2｝｝中），应用条件(\（\mathrm{高}_{3}\))和(10)，我们有

$$\开始{aligned}\bigl\vert（Ay）（\tau）\bigr\vert\leq&\frac{T}{2\varGamma（\gamma-1）}\int^{T}（T）_{0}（T-u）^{\gamma-2}\bigl\vert g\bigl（u，y（u）\bigr）\biger\vert\，du\\&{}+\frac{1}{\varGamma（\gamma）}\int^{\tau}_{0}（\tau-u）^}（\gamma-1）}\bigr\vert g\bigl（u，y（u）\ bigr）}\int^{T}（T）_{\tau}（u-\tau）^{（\gamma-1）}\bigl\vert g\bigl（u，y（u）\biger）\bigr\vert\，du\\leq&\frac{T}{2\varGamma（\gamma-1）{int^{T}（T）_{0}（T-u）^{\gamma-2}\varphi（u）\psi\bigl}{\varGamma（\gamma）}\int^{T}（T）_{\tau}（u-\tau）^{（\gamma-1）}\varphi（u）\psi\bigl+1）}\biggr）\varphi^{*}\psi\bigl（\vert y\vert\bigr）\\leq&\biggl（\frac{T^{\gamma}{2\varGamma（\gamma）}+\裂缝{2T^{\gamma}}{\varGamma（\gamma+1）}\biggr）\varphi^{*}\psi\bigl（M^{*{2}\bigr）\\<&M^{**}{2}。\结束{对齐}$$

然后是操作员\（A:V_{M^{*}_{2}}\右箭头C（J）\）是连续的和完全连续的。从选择\（V_{M^{*}_{2}}\），没有\（部分V_{M^{*}_{2}}中的y\）这样的话\（y=λAy）对一些人来说\（0<λ<1）.作为引理的结果2.6（Leray–Schauder不动点定理），我们推导出A类有一个固定点年在里面\（V_{M^{*}_{2}}\）这是BVP的解决方案(1). □

定理3.4

假设

(\（\mathrm{高}_{4}\)):

存在一个 \（（0，gamma-1）中的） 和一个实函数 \（L^{\frac{1}{\nu}}（J，R^{+}）中的\mu\） 这样的话 \（|g（τ，y）|\leq\mu（τ）\）,对于 \（J中的τ） 和 \（R\中的y\）.

然后是BVP(1)上至少有一个解决方案 J型.

证明

让我们来解决

$$r\geq\|\mu\|_｛L^｛\frac｛1｝｛\nu｝｝｝\biggl｛\frac｛T｝｛2 \varGamma（\gamma-1）｝\biggl（\frac｛1-\nu｝｛\gamma-\nu-1｝T^｛\frac｛\gamma-\nu-1｝｛1-\nu｝｝\biggr）^｛1-\nu｝+\frac｛2｝｛\varGamma（\gamma）｝\biggl（\frac｛1-\nu｝｛\gamma-\nu｝｛T｝^｛\frac｛\gamma-\nu｝｛1-\nu｝｝\biggr）^｛1-\nu｝\biggr]$$

(11)

并考虑\（V_{r}=\{y\在C（J）中：\|y\|\leqr}\）。对于任何\（y\在V_{r}\中），应用条件(\（\mathrm{高}_{4}\))Hölder不等式和(11)，我们有

$$\开始{aligned}\bigl\vert（Ay）（\tau）\bigr\vert\leq&\frac{T}{2\varGamma（\gamma-1）}\int^{T}（T）_{0}（T-u）^{\gamma-2}\mu（u）\，du+\frac{1}{\varGamma（\gamma^{T}（T）_{\tau}（u-\tau）^{（\gamma-1）}\mu（u）\，du\\leq&\frac{T}{2\varGamma（\伽马-1）}\biggl（\int^{T}（T）_{0}（T-u）^{\frac{\gamma-2}{1-\nu}}\，du\biggr）^{1-\nu}\biggl（\int^{T}（T）_{0}\bigl（\mu（u）\bigr）^{\frac{1}{\nu}}\，du\biggr{0}\bigl（\mu（u）\bigr）^{\frac{1}{\nu}}\，du\biggr）^{\nu}\\&{}+\frac{1}}{\varGamma（\gamma）}\biggl（\int^{T}（T）_{\tau}（u-\tau）^{\frac{\gamma-1}{1-\nu}}\，du\biggr）^{1-\nu}\biggl（\int^{T}（T）_{\tau}\bigl（\mu（u）\bigr）^{\frac{1}{\nu}}\，du\biggr）-\nu}}\biggr）^{1-\nu}\\&{}+\frac{1}{\varGamma（\gamma）}\bigl{\varGamma（\gamma）}\biggl（\frac{1-\nu}{\gamma-\nu}}{（T-\tau）}^{\frac}\gamma-nu}{1-\nu}}\bigr）^{1-\nu}\bigbr]\\leq&\\|\mu\|_{L^{\frac{1}{\nu}}\bigl[\frac[T}{2\varGamma-1）}\biggl（\压裂{1-\nu}{\gamma-\nu-1}T^{\frac{\gama-\nu-1}{1-\nu}}\biggr^{\frac{\gamma-\nu}{1-\nu}}\biggr）^{1-\nu}\bigbr]\\leq&r.end{aligned}$$

然后\（A:V_{r}\右箭头V_{r}\）.

这一点的证明A类完全连续类似于定理3.1，我们不提供详细信息。

作为引理的结果2.7（Schauder不动点定理），可以推导出A类在中有一个固定点\（V_{r}\），这意味着(1)上至少有一个解决方案J型. □

4例子

下面的例子将说明我们主要结果的应用。

示例4.1

考虑以下BVP：

$$\textstyle\begin{cases}{}^{mathrm{RC}}_{0}D^{\压裂{11}{6}}_{T} 年（τ）=\tau，四元0\leq\tau\leq1，y（0）+y（1）=0，四元y^{prime}（0）+y^{prime}。\结束{cases}$$

(12)

在哪里？\（g（τ，y）=τ），让\（L_｛1｝=0\），然后是条件(\（\mathrm｛H｝_{1}\))和(9)都很满意。根据定理3.1，独特的解决方案\（y（τ））BVP的(12)存在。用MATLAB代码进行了数值实验。的数值解(12)如图所示1.

图1

的数值解(12)

示例4.2

考虑以下BVP：

$$\textstyle\begin{cases}{}^{mathrm{RC}}_{0}D^{\frac{3}{2}}y（\tau）=\fracc{|y（\tao）|^{\frac{1}{3}}}{（1+e^{\tau}）（1+|y（\t au）|）}，\quad 0\leq\tau\leq1，\\y（0）+y。\结束{cases}$$

(13)

在这里\（g（τ，y）=\压裂{|y（τ）|^{\压裂{1}{3}}}{（1+e^{\tau}）（1+|y（\tau）|）}\）,\（伽马=\压裂{3}{2}\）和\（T=1\）.

让\（\西格玛=\压裂{1}{3}\）,\（\泽塔=\压裂{3}{2}\），然后\（在（0,1-\frac{1}{\zeta}）中为σ,\（zeta（\gamma-2）+1=压裂{1}{4}>0\）和

$$g（\tau，y）=\frac{|y（\tao）|^{\frac}1}{3}}{（1+e^{\tau}）（1+|y（\t au）| bigr\vert^{\frac{1}{3}}\bigr）$$

这意味着条件(\（\mathrm{高}_{2}\))满足。根据定理3.2，英属维尔京群岛(13)上至少有一个解决方案$[0,1]$.

让\（\varphi（\tau）=\frac{1}{（1+e^{\tau}）}\）,\（\psi（|y|）=|y|^{\压裂{1}{3}}\）显然，\（g（\tau，y）\leq\frac｛1｝｛（1+e^｛\tau｝）｝|y|^｛\frac｛1｝｛3｝｝｝=\varphi（\tau）\psi（|y|）\）和\（\varphi^{*}=\frac{1}{2}\）这意味着条件(\（\mathrm{高}_{3}\))感到满意。让\（M^{*}_{2}=27\），然后

$$\biggl（\frac{T^{\gamma}}{2\varGamma（\gamma）}+\fracc{2T^{gamma}{\varGamma[\gamma+1）}\biggr）\frac}\varphi^{*}\psi（M^{*{2}）}{M^{}_{2}}=\biggal（\frac{1}2\varGamma{\varGamma（\frac{5}{2}）}\biggr）\frac{\frac}{1}{2{times3}{27}=\frac{11}{54\sqrt{\pi}}<1$$

这意味着不公平(10)感到满意。根据定理3.3，英属维尔京群岛(13)上至少有一个解决方案$[0,1]$.

示例4.3

考虑以下BVP：

$$\textstyle\begin{cases}{}^{mathrm{RC}}_{0}D^{\frac{3}{2}y（\tau）=\ frac{|y（\tai）|}{（1+\tau，^{2}（1+/y（\tao）|）}，\quad 0\leq\tau\leq1，\\y（0）+y（1）=0，\quaid y^{prime}（0）+y^{prime}。\结束{cases}$$

(14)

在这里\（g（τ，y）=frac{|y（τ）|}{（1+\tau）^{2}（1+/y（τ）|）}\）,\（伽马=\压裂{3}{2}\）和\（T=1\）.

$$g（\tau，y）=\frac{|y（\t au）|}{（1+\tau）^{2}（1+/y（\t ao）|）}\leq\frac{1}{$$

让\（\nu=\frac{1}{3}\），然后\（（0，gamma-1）中的）和\（L^{3}（[0,1]，R^{+}）中的（\mu（\tau）=\frac{1}{（1+\tau，^{2}}），这意味着条件(\（\mathrm{高}_{4}\))满足。根据定理3.4，英属维尔京群岛(14)上至少有一个解决方案$[0,1]$.