含有分数阶脉冲的非线性分数阶微分耦合系统非局部边值问题的存在性结果

摘要

本文研究具有分数阶脉冲的非线性分数阶微分耦合系统的非局部边值问题。应用Leray–Schauder的非线性替代，我们得到了该系统的一些新的存在性结果。作为应用，给出了一个有趣的示例来说明我们主要结果的有效性。

1介绍

在描述物理、化学、空气动力学、复杂介质电动力学、聚合物流变学、电容理论、电路、生物学、控制理论、实验数据拟合等许多领域的一些现象和过程时，分数阶微积分是一种比积分阶微积分更好、更精确的工具。例如，在物理学中，我们使用牛顿定律\（eta\varepsilon'（t）=σ（t））描述粘性流体的力学，其中\（σ（t））和\（\varepsilon（t）\）表示时间上的应力和应变t吨分别为和η是材料的粘度。然而，我们需要运用纳丁定律[1]\（\eta D_{0^{+}}^{k}\varepsilon'（t）=\sigma（t）\）(\（k\英寸（n-1，n）\）,\（n\in\mathbb{n}\）)处理粘性流体的力学，包括一些可能的插值性质。因此，分数阶微分方程的研究越来越受到重视。已有许多论文关注分数阶常微分方程的边值问题（参见[1,2,三,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31]). 尤其是非局部边值问题，由于其在血流问题、化学工程、热塑性、地下水流动、种群动力学等方面的广泛应用，得到了许多学者的广泛研究。分数阶微分方程的非局部边值问题是一类非常有趣和重要的问题。这种边值问题已经在[8,9,10,11,12,13,14,24,25,30].

此外，脉冲微分方程理论近年来有了显著的发展，在物理、人口动力学、化学技术和生物技术等研究现象中产生的实际过程的现代应用数学模型中发挥了非常重要的作用。最近，一些学者开始研究脉冲分数阶微分方程的边值问题（参见[1,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,30,32]). 众所周知，分数阶微分耦合系统的研究比单个分数阶微分方程的研究更为复杂和挑战。最近，一些学者开始研究分数阶微分耦合系统，并取得了一些良好的结果（参见[8,12,13,24,26,31]). 然而，关于具有非局部边界条件和脉冲的分数阶脉冲耦合系统的研究却很少。因此，本文考虑具有分数阶脉冲形式的非线性分数阶微分耦合系统的以下四点边值问题

$$\开始{aligned}\textstyle\begin{cases}{}^{C} D类_{0^{+}}^{\alpha}x（t）=f（t，x（t，{}）^{C} D类_{0^{+}}^{p} 年（t） ），\四个t \ in J，t\neq t_{k}，\\{}^{C} D类_{0^{+}}^{\beta}y（t）=g（t，{}^{C} D类_{0^{+}}^{q} x个（t） ，y（t）），J中的四个t，t内q t_{k}，\\{}^{C} D类_{0^{+}}^{\gamma{1}}x（t{k}^{+{}）-{}^{C} D类_{0^{+}}^{\gamma_{1}}x（t_{k}^{-}）=J_{1k}（x（t{k}）），四元k=1，ldots，n，\\{}^{C} D类_{0^{+}}^{\gamma{2}}y（t{k}^{+{}）-{}^{C} D类_｛0^｛+｝｝^｛\gamma｛2｝｝y（t_｛k｝^｛-｝）=J_｛2k｝（y（t_｛k｝）），quad k=1，\ldots，n，\\x（0）=y（0）=0，\cuad｛｝^｛\mathrm｛LR｝｝D_｛0^｛+｝^｛\mathrm｛LR｝D_｛0^｛+｝^｛\mathrm｛LR｝y（w）=y（1），\end｛cases｝\displaystyle\end｛aligned｝$$

(1.1)

哪里\（J=[0,1]\）,\（1）,\（β<2）,\（0<p\）,\（q，γ{1}，γ{2}，δ{1}.，δ{2}.，z，w<1）,\（｛｝^{C} D类_{0^{+}}^{\alpha}\）,\（｛｝^{C} D类_{0^{+}}^{\beta}\）,\（｛｝^{C} D类_{0^{+}}^{p}\）,\（｛｝^{C} D类_{0^{+}}^{q}\）,\（｛｝^{C} D类_{0^{+}}^{\gamma_{1}}\）、和\（｛｝^{C} D类_{0^{+}}^{\gamma_{2}}\）是卡普托分数导数；\（{}^{\mathrm{LR}}D_{0^{+}}^{\增量{1}}\）和\（{}^{\mathrm{LR}}D_{0^{+}}^{\增量{2}}\）是Riemann–Liouville分数导数；\（f，g在C中（J乘以R^{2}，R）,\（C（R，R）中的J_{1k}，J_{2k}）、和\（{t{k}）满足\（0＝t_｛0｝＜t_｛1｝＜\cdots＜t_｛n｝＜t_｛n+1｝＝1\）,\（｛｝^{C} D类_{0^{+}}^{\gamma{1}}x（t{k}^{+{}）\）,\（｛｝^{C} D类_{0^{+}}^{\gamma{1}}x（t{k}^{-}）,\（｛｝^{C} D类_{0^{+}}^{\gamma{2}}y（t{k}^{+{}）,\（｛｝^{C} D类_{0^{+}}^{\gamma{2}}y（t{k}^{-}）都存在，\（｛｝^{C} D类_{0^{+}}^{\gamma{1}}x（t{k}^{-}）={}^{C} D类_{0^{+}}^{\gamma{1}}x（t{k}）\）,\（｛｝^{C} D类_{0^{+}}^{\gamma{2}}y（t{k}^{-}）={}^{C} D类_{0^{+}}^{\gamma{1}}y（t{k}）\）,\（k=1,2，\ldot，n）.

本文的其余部分组织如下。在教派。 2，我们回顾了Caputo和Riemann–Liouville分数阶微积分的一些定义和引理。在教派。 三，我们将证明系统解的存在性(1.1). 在教派。 4，给出了一些例子来说明我们主要结果的应用。最后，第节给出了结论。 5简单回顾一下我们的研究和取得的结果。

2前期工作

让\（C（J）\）是连续函数的Banach空间J到\（\mathbb{R}\）符合规范\（J}|psi（t）|\）.定义功能空间\（\mathrm{PC}（J）\）通过

$$\开始{aligned}\mathrm{PC}（J）&=\bigl\{\psi（t）：\psi（t），{}^{C} D类_{0^{+}}^{p}\psi（t），{}^{C} D类C（J），{}^{C} D类_{0^{+}}^{\gamma_{1}}\psi\bigl（t_{k}^{+{\bigr），\\&\四{}^{C} D类_{0^{+}}^{\gamma_{1}}\psi\bigl（t{k}^{-}\bigr），{}^{C} D类_｛0^｛+｝｝^｛\gamma _｛2｝｝\psi\bigl（t_｛k｝^｛+｝\bigr）\text｛and｝｛｝^{C} D类_{0^{+}}^{\gamma_{2}}\psi\bigl（t_{k}^{-}\bigr）\text{都存在，并且满足}\\&\quad{}^{C} D类_{0^{+}}^{\gamma_{1}}\psi\bigl（t_{k}^{-}\bigr）={}^{C} D类_{0^{+}}^{\gamma_{1}}\psi（t{k}）^{C} D类_{0^{+}}^{\gamma_{2}}\psi\bigl（t{k}^{-}\bigr）={}^{C} D类_{0^{+}}^{\gamma_{2}}\psi（t_{k}），\\&\quadra{}0<p，q，delta{1}，delta_2}，gamma_1}，\gamma_2}<1，1\leqk\leqn\bigr\}。\结束{对齐}$$

显然，\（\mathrm{PC}（J）\）是一个真正的巴纳赫空间

$$\begin{aligned}\Vert\psi\Vert_{mathrm{PC}}=\max\bigl\{\Vert\psi\Verd_{C}，\bigl\ Vert^{c} D类_{0^{+}}^{p}\psi\bigr\Vert_{C}，\bigl\Vert^{c} D类_{0^{+}}^{q}\psi\bigr\Vert_{C}\bigr\}，\quad\forall \psi\ in \mathrm{PC}（J）。\结束{对齐}$$

让\（X=\mathrm{PC}（J）\times\mathrm{PC}（J）\）。很容易验证X（X）是具有规范的Banach空间\（（u，v）\ |=最大值\,\（X中的（u，v））.

为了方便读者，我们介绍了一些必要的定义和引理。这些定义和属性可以在文献中找到。

定义2.1

([32,33])

Riemann–Liouville分数阶积分\（\alpha>0\）连续函数的\（f:（a，\infty）\rightarrow R\）由定义

$$开始{对齐}I_{a^{+}}^{\alpha}f（t）=\frac{1}{\varGamma（\alpha）}\int_{a}^{t}（t-s）^{\alpha-1}f（s）\，ds，\end{aligned}$$

前提是右侧在\（（a，\ infty）\）.

定义2.2

([33])

Riemann–Liouville阶分数导数\（\alpha>0\）连续函数的\（f:（a，\infty）\rightarrow R\）由定义

$$开始{aligned}{}^{mathrm{LR}}D_{a^{+}}^{alpha}f（t）=\frac{1}{varGamma（n-\alpha）}\frac{D^{n}}{dt^{n{}}\int_{0}^{t}（t-s）^{n-\ alpha-1}f（s）\，ds，\end{aligned}$$

哪里\（n-1<\alpha\leq n），前提是右侧在\（（a，\ infty）\）.

定义2.3

([32,33])

如果\（f在C^{n}（（a，\infty），R）中）和\（\alpha>0\），然后是Caputo分数阶导数α定义为

$$\开始{aligned}{}^{C} D类_{a^{+}}^{\alpha}f（t）=\frac{1}{\varGamma（n-\alpha）}\int_{a}^{t}（t-s）^{n-\alfa-1}f^{（n）}（s）\，ds，\end{aligned}$$

哪里\（n-1<\alpha\leq n），前提是右侧在\（（a，\ infty）\）.

引理2.1

([33])

如果 \（在C^{n}[0,1]\中为u\）,和 \（\增量>0\）,然后

$$\开始{对齐}I_{0^{+}}^{\delta}{}^{C} D类_{0^{+}}^{\delta}u（t）=u（t）-\sum_{k=0}^{n-1}\frac{u^{（k）}（0）}{k！}t^{k}，\end{aligned}$$

哪里 \（n=-[-\增量]\） 和 \（[-\增量]\） 表示实数的整数部分负极δ.

引理2.2

([32,33])

如果 \（阿尔法，贝塔>0）,\（t在[a，b]\中） 和 \（u（t）\在L[a，b]\中）,然后

$$\开始{aligned}{}^{C} D类_{a^{+}}^{\alpha}I_{a^}+}}^{\alpha}u（t）=u（t。\结束{对齐}$$

引理2.3

（参见[34]第36-39页）

让 \（\alpha>0\） 并且假设 n个 表示大于或等于的最小整数 α.然后以下断言成立:

• （i） 如果 \（λ>-1\）,\（\lambda\neq\alpha-i\）,\（i=1，2，\ldot，n+1）,然后针对 \（t在[a，b]\中）,

  $$开始{aligned}{}^{mathrm{LR}}D_{a^{+}}^{alpha}。\结束{对齐}$$

• （ii） \（{}^{\mathrm{LR}}D_{a^{+}}^{alpha}（t-a）^{\alpha-i}=0\）,\（i=1，2，\ldots，n\）.

• （iii） \（{}^{\mathrm{LR}}D_{a^{+}}^{beta}I{a^}+}}^{\alpha}u（t）=I_{a|{+}}^{alpha}u（t）\）,为所有人 \（t在[a，b]\中）,\（\alpha\geq\beta\geq0\）.

引理2.4

（Leray的非线性替代方案–Schauder[35])

让 X（X） 成为巴拿赫空间,C类 是的非空凸子集 X（X）,Ω 是的开放子集 C类 具有 \（{\varOmega}\中的\theta\）.假设 \（T:\上划线{\varOmega}{\rightarrow}C\） 是一个完全连续的映射.然后要么

• （i） 映射 T型 在中有一个固定点 Ω̅,或

• （ii） 存在一个 \（{u}\in\部分{\varOmega}\） 和 \（lambda\ in（0,1）\） 具有 \（u=λTu）.

引理2.5

让 \C（J）中的（h_{1}）.如果 \（三角形{1}\三角形{z^{1-\Delta{1}}{varGamma（2-\Delta_{1}）}\neq 1\）,然后是一个函数 \（x\in\mathrm{PC}（J）\） 是边值问题的解

$$\开始{aligned}\textstyle\begin{cases}{}^{C} D类_{0^{+}}^{\alpha}x（t）=h{1}（t），\quad 1<\alpha<2，t在J中，t在t_{k}，\\{}^{C} D类_{0^{+}}^{\gamma{1}}x（t{k}^{+{}）-{}^{C} D类_｛0^｛+｝｝^｛\gamma｛1｝｝x（t｛k｝^｛-｝）=J_｛1k｝（x（t｛k｝）结束｛cases｝\displaystyle\end｛aligned｝$$

（2.1）

当且仅当 \（x\in\mathrm{PC}（J）\） 是积分方程的解

$$开始{对齐}x（t）&=I_{0^{+}}^{\alpha}h_{1}C{\varGamma（2-\gamma_{1}）}{t_{I}^{1-\gamma_1}}}J{1i}\bigl\较大），\四个t\in（t_{k}，t_{k+1}]，k=0,1，\ldot，n，\end{aligned}$$

(2.2)

哪里

$$开始{对齐}C_{1}&=\Delta_1}\varGamma{varGamma（1-\Delta_{1}）}j_{1j}\bigl-\varGamma（2-\gamma_{1}）\sum_{i=1}^{n}\frac{J{1i}（x（t_{i}））}{t{i}^{1-\gamma_1}}，\quad t_{J}<z\leq t_{J+1}，J\in\{0,1,2，\ldots，n}。\结束{对齐}$$

证明

什么时候？\（位于[0，t_{1}]\），来自引理2.1，我们有

$$\开始{对齐}x（t）=I_{0^{+}}^{\alpha}h_{1}（t）+u_{10}+u_{11} t吨=\frac{1}{\varGamma（\alpha）}\int_{0}^{t}（t-s）^{\alpha-1}h{1}（s）\，ds+u{10}+u_{11} 吨。\结束｛对齐｝$$

(2.3)

由\（x（0）=0），我们得到\（u{10}=0\）。它是从(2.3)那个

$$\开始{aligned}{}^{C} D类_{0^{+}}^{\gamma{1}}x（t）=\压裂{u_{11} t吨^{1-\gamma_{1}}}{\varGamma（2-\gamma_1}）}+\frac{1}{\varGamma_{1}-1}h{1}（s）\，ds，\结束{对齐}$$

(2.4)

和

$$\开始{aligned}{}^{C} D类_{0^{+}}^{\gamma_{1}}x\bigl（t{1}^{-}\bigr）={}^{C} D类_{0^{+}}^{\gamma{1}}x（t{1}）=\frac{u_{11} t吨_{1} ^{1-\gamma_{1}}{{varGamma（2-\gamma_1}）}+\frac{1}{varGarma（\alpha-\gamma_2}）{int_{0}^{t_{1}（t_{1} -秒)^{\α-\γ_{1}-1}h{1}\，ds.\end{aligned}$$

(2.5)

什么时候？\（位于（t{1}，t{2}]\），我们同样有

$$\开始{对齐}&x（t）=I_{0^{+}}^{\alpha}h_{1}（t）+u_{20}+u_{21}吨=\frac｛1｝｛\varGamma（\alpha）｝\int _｛0｝^｛t｝（t-s）^｛\alpha-1｝h｛1｝（s）\，ds+u _｛20｝+u_{21}吨，\结束{对齐}$$

(2.6)

$$\开始{aligned}&{}^{C} D类_{0^{+}}^{\gamma{1}}x（t）=\压裂{u_{21}吨^{1-\gamma_{1}}}{\varGamma（2-\gamma_1}）}+\frac{1}{\varGamma_{1}-1}h{1}（s）\，ds，\结束{对齐}$$

(2.7)

和

$$\开始{aligned}{}^{C} D类_｛0^｛+｝｝^｛\gamma _｛1｝｝x\bigl（t_｛1｝^｛+｝\bigr）=\frac｛u_{21}吨_{1} ^{1-\gamma_{1}}{{varGamma（2-\gamma_1}）}+\frac{1}{varGarma（\alpha-\gamma_2}）{int_{0}^{t_{1}（t_{1} -秒)^{\α-\γ_{1}-1}h{1}\，ds.\end{aligned}$$

(2.8)

由(2.5), (2.8)和\（｛｝^{C} D类_{0^{+}}^{\gamma{1}}x（t{k}^{+{}）-{}^{C} D类_{0^{+}}^{\gamma_1}}x（t_{k}^{-}）=J{1k}（x（t_}k}）），我们获得

$$\开始{对齐}u_{21}-u_{11} =\frac{\varGamma（2-\gamma_1}）}{t{1}^{1-\gamma_{1}}}J{11}\bigl（x（t{1{）\bigr）。\结束{对齐}$$

(2.9)

鉴于x个在\（t{1}\），我们有

$$\开始{aligned}u{20}=-（u_{21}-u_{11} ）t{1}=-\varGamma（2-\gamma_{1}）t{1}^{\gamma_1}}J{11}\bigl（x（t{1{）\bigr）。\结束{对齐}$$

(2.10)

什么时候？\（位于（t{k}，t{k+1}]\）,\（k=2,3，\ldot，n），重复上述计算，我们得到

$$开始{aligned}x（t）=\frac{1}{\varGamma（\alpha）}\int_{0}^{t}（t-s）^{\alpha-1}h{1}（s）\，ds+u_{k+1,0}+u_}k+1,1}t，\end{aligned}$$

(2.11)

和

$$\beart｛aligned｝u_｛k+1，1｝-u_｛k1｝=\frac｛\varGamma（2-\gamma _｛1｝）｝｛t_｛k｝^｛1-\gamma _｛1｝｝｝J _｛1k｝\bigl（x（t_｛k｝）\bigr），\qquad u_｛k+1，0｝=-\varGamma（2-\gamma _｛1｝）t_｛k｝^｛\gamma _｛1｝｝J_｛1k｝\bigl（x（t_｛k｝）\bigr）。\结束{对齐}$$

(2.12)

发件人(2.11)和(2.12)，我们有

$$开始{对齐}x（1）=\frac{1}{\varGamma（\alpha）}\int_{0}^{1}（1-s）^{\alpha-1}h_{1}\，ds-\varGamma（2-\gamma_1}）t_{n}^{\gamma_{1{}J_{1n}\bigl（x（t_{n{）\bigr）+u_{n+1,1}。\结束{对齐}$$

(2.13)

方程式(2.9)和(2.12)给予

$$开始{对齐}u_{k+1,1}=u_{11}+\sum_{i=1}^{k}\frac{\varGamma（2-\gamma_{1}）}{t_{i}^{1-\gamma_1}}J{1i}\bigl（x（t_{i{）\bigr），\quad k=1,2，\ldots，n.\end{aligned}$$

(2.14)

表示\（t_｛0｝=0\）,\（t{n+1}=1\），并注意到\（0<z<1），我们知道存在\（j \ in \｛0,1，\ldots，n \｝\）这样的话\（z\ in（t{j}，t{j+1}]\）和

$$开始{对齐}x（z）=\frac{1}{\varGamma（\alpha）}\int_{0}^{z}（z-s）^{\alpha-1}h_{1}（s）\，ds+u_{j+1,0}+u_j+1,1}z=I_{0^{+}}^{alpha}h_1}$$

（2.15）

应用引理2.2–2.3和(2.15)，我们获得

$$开始{对齐}{}^{\mathrm{LR}}D_{0^{+}}^{delta_{1}}x（z）=\frac{1}{\varGamma（\alpha-\delta_}1}）}\int_{0}^{z}（z-s）_{1}-1}h{1}（s）\，ds+\frac{u{j+1,1}\varGamma（2）z^{1-\delta{1}}{\varGamma（2-\delta_1}）}+\frac{u{j+1,0}z^{-\delta_{1}{（1-\delta{1}）}。\结束{对齐}$$

(2.16)

使用\（{}^{\mathrm{LR}}D_{0^{+}}^{\增量{1}}x（z）=x（1）\）, (2.12), (2.13), (2.14)和(2.16)，我们推导

$$开始{对齐}u_{11}&=\frac{1}{（1-\Delta_{1}）\varGamma（\alpha-\Delta_{1\}）}\int_{0}^{z}（z-s）^{\alpha-\Delta_{1}-1}h{1}（s）\，ds+\压裂{\Delta_1}\varGamma（2-\gamma_1}）}{1-\Delta_{1}}\sum_{i=1}^{j}\frac{j_{1i}（x（t_{i}））}{t{i}^{1-\gamma_{1{}}\\&\四{}-\压裂{z^{-\Delta_1}}}t{j}^{{1}}\varGamma（2-\gamma_1}）}{（1-\Delta_1}（1-s）^{\alpha-1}h{1}（s）\，ds\\&\quadra{}+\frac{t_{n}^{\gamma_{1}}\varGamma（2-\gamma_1}）}{1-\Delta_1}}J{1n}\bigl{n}\压裂{J{1i}（x（t_{i}）h{1}（1）+\Delta_1}\varGamma（2-\gamma_1}）\sum_{i=1}^{j}\frac{j{1i}（x（t_{i}））}{t{i}^{1-\gamma_{1}}}-\ frac{z^{-\Delta_1}}t{j}^{gamma_1{}}（1-\Delta_{1}）}\\&\四{}\次j_{1j}\bigl（x（t_{j}）\bigr）+t_{n}^{\gamma_{1{}\varGamma（2-\gamma_1}）j_{2n}\bigle（x\sum{i=1}^{n}\压裂{J{1i}（x（t{i}））}{t_{i}^{1-\gamma{1}}\Biggr]\\&=\压裂{A{1}{1-\Delta{1}。\结束{对齐}$$

(2.17)

因此，对于\（（t{k}，t{k+1}]\）,\（k=0,1,2，\ldot，n），我们有

$$开始{对齐}x（t）&=\frac{1}{\varGamma（\alpha）}\int_{0}^{t}（t-s）^{\alpha-1}h_{1}}J{1k}\bigl（x（t_{k}）\biger）+\Biggl（u{11}+\sum_{I=1}^{k}\frac{\varGamma（2-\gamma_{1}）}{t{I}^{1-\gamma_1}}\bigr）.\end{对齐}$$

(2.18)

替换(2.17)到(2.18)，很容易获得(2.2). 证明已完成。□

同样，我们得出以下引理。

引理2.6

让 \（h｛2｝\in\mathrm｛PC｝（J）\）.如果 \（\δ_｛2｝\三角形\分形｛w^｛1-\δ_｛2｝｝｝｝｛\varGamma（2-\δ_｛2｝）｝\neq 1\）,然后是一个函数 \（y\in\mathrm{PC}（J）\） 是边值问题的解

$$\开始{aligned}\textstyle\begin{cases}{}^{C} D类_{0^{+}}^{\beta}y（t）=h{2}（t），\quad 1<\beta<2，t在J中，t\neq t_{k}，\\{}^{C} D类_{0^{+}}^{\gamma{2}}y（t{k}^{+{}）-{}^{C} D类_{0^{+}}^{\gamma_2}}y（t_{k}^{-}）=J_2k}（y（t{k}）{2}<1，\qquad 0<w<1，\结束{cases}\显示样式\结束{aligned}$$

(2.19)

当且仅当 \（y\in\mathrm{PC}（J）\） 是积分方程的解

$$开始{对齐}x（t）&=I_{0^{+}}^{\beta}h_{2}C{\varGamma（2-\gamma_{2}）}{t_{I}^{1-\gamma_2}}}J{2i}\bigl，四元t在（t{k}，t{k+1}]，k=0.1，ldots，n，end{aligned}$$

(2.20)

哪里

$$开始{对齐}C{2}&=\Delta_2}\varGamma（2-\gamma_2}）\sum_{i=1}^{l}\frac{J{2i}（y（t_{i}））}{t{i}^{1-\gamma_2}}}-\frac}w^{-\Delta_2}}t_l}^{gamma_2{}}\varGamma（2-\gamma_{2}）}{varGamma（1-\Delta{2}）}J{2l}\bigl（y（t{1}）\bigr）+t{n}^{\gamma{2}}\varGamma（2-\gamma_2}）J{2n}\bigle（y-\varGamma（2-\gamma_{2}）\sum_{i=1}^{n}\frac{J{2i}（y（t_{i}））}{t{i}^{1-\gamma_2}}，\quad t_{l}<w\leq t_{l+1}，l\in\{0,1,2，\ldots，n}。\结束{对齐}$$

三主要成果

在本节中，我们将研究系统解的存在性(1.1)采用Leray–Schauder的非线性替代方案。

定理3.1

如果出现以下情况 \（（H_{1}）\）–\（（H_{6}）\） 持有,然后是边值问题(1.1)至少有一对解决方案.条件是:

\（（H_{1}）\）:

功能 \（f，g在C中（J乘以R^{2}，R）,和 \（C（R，R）中的J_{1k}，J_{2k}）,\（k=1,2，\ldot，n）.

\（（H_{2}）\）:

对于所有人 \（R\中的u_{i}，v_{i{\）(\（i=1,2）),\（R中的t）,存在一些常数 \（L_{i}，\hat{左}_{i} >0）(\（i=1,2）)这样的话

$$\begin{aligned}和\bigl\vert f（t，u_{1}，v_{1{）-f（t，u，u_2}，v，{2}）\bigr\vert\leq L_{1}\vert u_{1} -u个_{2} \vert+L_｛2｝\vert v_{1} -v型_{2} \vert，\\&\bigl\vert g（t，u_{1}，v_{1{）-g（t、u_{2}，v_{2{）\bigr\vert\leq\hat{左}_{1} \转换u_{1} -u个_{2} \vert+\hat{左}_{2} \转换v_{1} -v型_{2} \垂直。\结束{对齐}$$

\（（H_{3}）\）:

\（N\triangleq\sup_{t\in[0,1]}|f（t，0,0）|\） 和 \（{N}\triangleq\sup_{t\in[0,1]}|g（t，0,0）|\） 全部存在.

\（（H_{4}）\）:

\（0<\Delta_{1}=\frac{z^{1-\Delta_{1'}}{\varGamma（2-\Delta_1}）}<1）,\（0<\Delta_{2}=\frac{w^{1-\Delta_{2]}}{\varGamma（2-\Delta_2}）}<1\）.

\（（H_{5}）\）:

对于任何 \（u，v在R中）,存在一些常数 \（M_{k}，\hat{米}_{k} >0）,\（k=1,2，\ldot，n）,这样的话

$$\开始{aligned}\bigl\vert J_{1k}（u）\bigr\vert\leq M_{k}\vert u\vert，\qquad\bigl\ vert J_2k}{米}_{k} \vert v\vert。\结束{对齐}$$

\（（H_{6}）\）:

\（\kappa_{1}\triangleq\mathcal{米}_{1} +\数学{N}_{1}<1\） 和 \（\kappa_{2}\triangleq\mathcal{米}_{2} +\数学{无}_{2}<1\),哪里

$$\开始{aligned}&\mathcal{米}_{1} =（L_{1}+L_{2}）\biggl（\frac{1}{\varGamma（\alpha+1）}+\frac}1}{{无}_{1} =\frac{\varGamma（2-\gamma_1}）}{1-\Delta_1}\biggl（\frac{2}{t_1}^{1-\gamma_{1}}}+\frac{1}{z^{Delta_1}}\varGarma（1-\Delta_1{1}）^{n} M（M）_{i} ，\\&\mathcal{米}_{2} =（\hat{左}_{1} +\帽子{左}_{2} ）\biggl（\frac{1}{\varGamma（\beta+1）}+\frac}1}{{无}_{2} =\frac{\varGamma（2-\gamma{2}）}{1-\Delta{2}}\biggl（\frac}2}{t{1}^{1-\gamma_2}}}+\frac{1}{w^{\Delta_2}}\varGarma（1-\Delta_2}）{+2-\Delta_2}\bigr）\sum{i=1}{n}{米}_{i} 。\结束{对齐}$$

证明

让\（\varOmega=\{（x，y）\ in x:\|（x，y）\|<r\}\），其中\（X=\mathrm{PC}（J）\times\mathrm{PC}（J）\）和\（最大值{米}_{1} }{1-\kappa_{1}}，\frac{\hat{N}\mathcal{米}_{2} {1-\kappa{2}}）.然后\（\overline{\varOmega}=\{（x，y）\in x:\|（x，y）\|\leqr \}\）,\（x中的\partial\varOmega=\{（x，y）\|（x，y）\|=r\}\）.根据引理2.5–2.6，我们定义运算符\（T:\上划线{\varOmega}{\rightarrow}X\）如下：

$$\begin｛aligned｝T（x，y）（T）=\bigl（T_｛1｝（x，y）（T），T_｛2｝（x，y）（T）\bigr）^｛T｝，\ quad\ for all（x，y）\ in x，T\ in J，\ end｛aligned｝$$

(3.1)

哪里

$$\begin{aligned}&\begin{aligned}[b]T_{1}（x，y）（T）&=I_{0^{+}}^{\alpha}f\bigl（T，x（T），{}^{C} D类_{0^{+}}^{p} 年（t） \biger）\\&\四{}+\frac{I{0^{+}}^{\alpha-\delta{1}}f（z，x（z），{}^{C} D类_{0^{+}}^{p} 年（z） ）-I_{0^{+}}^{\alpha}f（1，x（1），{}^{C} D类_{0^{+}}^{p} 年（1） ）}{1-\Delta_{1}}t\\&\quad{}+\Biggl-\gamma_{1}）t_{k}^{\gamma_1}}J_{1k}\bigl（x（t_{k{）\bigr），\\&\quad t\in（t_{k}，t_{k+1}]，k=0,1，\ldot，n，\end{aligned}\end$$

(3.2)

$$\begin{aligned}&\begin{aligned}[b]T_{2}（x，y）（T）&=I_{0^{+}}^{beta}g\bigl（T，{}^{C} D类_{0^{+}}^{q} x个（t） ，y（t）\较大）\\&\四{}+\分形{I{0^{+}}^{β-\δ{2}}g（w，{}^{C} D类_{0^{+}}^{q} x个（w） ，y（w））-I_{0^{+}}^{\beta}g（1，{}^{C} D类_{0^{+}}^{q} x个（1） ，y（1））｝｛1-\Delta_｛2｝｝t\\&&\dquad｛｝+\Biggl（\frac｛C_｛2｝｝｛1-\Delta_｛2｝｝+\sum_｛i=1｝^｛k｝\frac｛\varGamma（2-\gamma _｛2｝）｝｛t_ i｝^｛1-\gamma _｛2｝｝｝J_｛2i｝\bigl（y（t_｛i｝）\bigr）\Biggr）t-\varGamma（2-\gamma _｛2｝）t_ k｝^｛\gamma _｛2｝｝J_｛2k｝\bigl（y（t_｛k｝）\bigr），\\&&quad t\in（t_｛k｝，t_｛k+1｝），k=0，1，\ldots，n，\end｛aligned｝\end｛aligned｝$$

(3.3)

$$\begon｛aligned｝&&\begon｛aligned｝[b]C_｛1｝&&=\Delta_｛1｝\varGamma（2-\gamma _｛1｝）\sum_｛i=1｝^｛j｝\frac｛j_｛1i｝（x（t_｛i｝））｝｛t_｛i｝^｛1-\gamma _｛1｝｝}-\frac｛z^｛-\Delta _｛1｝｝｝t_ j｝^｛\gamma _｛1｝｝）｝｛\varGamma（2-\gamma _｛1｝）｝}）｝j_｛1j｝\bigl（x（t_｛j｝）\bigr）\\\quad｛｝+t_｛n｝^｛\gamma _｛1｝｝\varGamma（2-\gamma _｛1｝）j_｛1n｝\bigl（x（t_｛n｝）\大）-\varGamma（2-\gamma_{1}）\sum_{i=1}^{n}\frac{J{1i}（x（t_{i}））}{t{i}^{1-\gamma_1}}，\\&\四元t_{J}<z\leq t_{J+1}，J\in\{0,1,2，\ldots，n\}，\end{aligned}\end{arigned}$$

(3.4)

和

$$开始{对齐}C{2}&=\Delta_2}\varGamma（2-\gamma_2}）\sum_{i=1}^{l}\frac{J{2i}（y（t_{i}））}{t{i}^{1-\gamma_2}}}-\frac}w^{-\Delta_2}}t_l}^{gamma_2{}}\varGamma（2-\gamma_{2}）}{varGamma（1-\Delta{2}）}J{2l}\bigl（y（t{1}）\biger）\\&\quad{}+t{n}^{gamma{2}}\varGamma（2-\gamma{2]）J{2n}\bigle（y\大）-\varGamma（2-\gamma_2}）\sum_{i=1}^{n}\frac{J{2i}（y（t_{i}））}{t{i}^{1-\gamma_2}}，\\&\四元t_{l}<w\leq t_{l+1}，l\in\{0,1,2，\ldots，n\}。\结束{对齐}$$

(3.5)

因此，系统解的存在性(1.1)等价于算子不动点的存在性T型由定义(3.1)–(3.5). 现在我们将应用引理2.4来证明这一点T型有一个固定点\（（（x^{*}（t），y^{*neneneep（t））在上划线{varOmega}中）。首先，我们需要证明\（T:\上划线{\varOmega}{\rightarrow}X\）是完全连续的。事实上，对于所有人来说\（（x，y）\在\上划线{\varOmega}\）,\（t在J中=[0,1]\），来自条件\（（H_{1}）\）–\（（H_{5}）\），我们有

$$\开始{对齐}&\bigl\vert T_{1}（x，y）（T）\bigr\vert\\&\quad\leq I_{0^{+}}^{\alpha}\bigl\ vert f\bigl（T，x（T），{}^{C} D类_{0^{+}} ^{p} 年（t） \bigr）\bigr\vert\\&\qquad{}+\frac{I_{0^{+}}^{\alpha-\delta_{1}}\vert f（z，x（z），{}^{C} D类_{0^{+}}^{p} 年（z） ）\vert+I_{0^{+}}^{\alpha}\vertf（1，x（1），{}^{C} D类_{0^{+}}^{p} 年（1） ）\vert}{1-\Delta_{1}}\\&\qquad{}+\frac{\vertC_1}\vert{1-\Delta_1}}+\sum_{i=1}^{k}\frac}\varGamma（2-\gamma_1}）}{t{i}^{1-\gamma_{1{}}\bigl\vertJ{1i}\bigr（x（t_{i}）\bigr\vert+\ varGamma（2-\gamma_{1}）t_{k}^{\gamma_1}}\bigl\vert J_{1k}\bigr（x（t_{k}）\bigr\vert\\&\quad\leq i_{0^{+}}^{alpha}\bigl\vert f\bigl（t，x（t），{}^{C} D类_{0^{+}}^{p} 年（t） \bigr）-f（t，0,0）\bigr\vert+I_{0^{+}}^{\alpha}\bigl\vert f（t，0，0）\bigr\vert\\&\qquad{}+\frac{1}{1-\Delta_{1}}\bigle[I_{0 ^{+{}}^}\alpha-\Delta_{1}}\bigl\vertf\bigl（z，x（z），{}^{C} D类_{0^{+}}^{p} 年（z） \bigr）-f（z，0,0）\bigr\vert+I_{0^{+}}^{\alpha-\delta_{1}}\bigl\vert f（z，0，0）\bigr\vert\bigr]\\&\qquad{}+\frac{1}{1-\delta_{1'}\bigr[I_{0 ^{+{}}^}\alpha}\bigle\vert f\bigl（1，x（1），{}^{C} D类 _{0^{+}}^{p} 年（1） \bigr）-f（1,0,0）\bigr\vert+I_{0^{+}}^{\alpha}\bigl\vert f（1,0,1）\biger\vert\bigr]\\&\qquad{}+\frac{1}{1-\Delta_{1}}\Biggl[\Delta_1}\varGamma（2-\gamma_{1{）\sum_{I=1}^{j}\frac}\vertJ_{1i}（x（t_I}））垂直}{t_{I}^{1-\gamma{1}}+\frac{z^{-\Delta{1}{t{j}^{\gamma_{1}}\varGamma（2-\gamma_1}）}{\varGarma（1-\Delta_{1{）}\bigl\vert J_{1j}\bigl（x（t_{J}）\biger）\bigr\vert\\&\qquad{}+t_{n}^{\gamma_{1}}\varGamma（2-\gamma_1}）\ bigl\ vert J_1n}\bigr 1i}（x（t_{i}））\vert}{t_{i{^{1-\gamma_{1}}}\Biggr]\\&\qquad{}+\sum_{i=1}^{k}\frac{\varGamma（2-\gamma_1}）}{t{i}^{1-\ gamma_}}}}\bigl\vert J_{1i}\bigl（x（t_{i}）\bigr vert+L_{2}\bigl\vert{}^{C} D类_{0^{+}}^{p} 年（t） \bigr\vert\bigr）+I_{0^{+}}^{\alpha}\sup_{0\leq t\leq 1}\bigl\vert f（t，0,0）\bigr\ vert\\&\qquad{}+\frac{1}{1-\Delta_{1}}\bigl[I_{0 bigl\vert{}^{C} D类_{0^{+}}^{p} 年（z） \bigr）\bigr\vert）+I_{0^{+}}^{\alpha-\delta_{1}}\sup_{0\leq t\leq 1}\bigl\vert f（t，0,0）\biger\vert\bigr]\\&\qquad{}+\frac{1}{1-\delta_{1\}\bigl[I_{0 ^{+{}}^}\alpha}\bigle（L_{1{\bigl\ vert x（1）\birr\vert+L_{2}\bigl\vert{}^{C} D类_{0^{+}}^{p} 年（1） \bigr\vert\bigr）+I_{0^{+}}^{\alpha}\sup_{0\leq t\leq 1}\bigl\vert f（t，0,0）\bigr\ vert\bigr]\\&\qquad{}+\frac{1}{1-\Delta{1}}\Biggl[\Delta _{1}\varGamma（2-\gamma_{1}）\sum_{I=1}^{j}\frac}M_{I}\vert x（t_{I}）\vert}{t{I}^{1-\gamma_{1}}+\frac{z^{-\Delta_{1{}}t{j}^{\gamma_1}}\varGamma（2-\gamma_{1}）}{\varGarma（1-\Delta_{1{)}M_{j}\bigl\vert x（t_{j}）\bigr\vert\\&\qquad{}+t_{n}^{\gamma_{1}}\varGamma（2-\gamma_1}）{i}^{1-\gamma_{1}}}\Biggr]\\&\qquad{}+\sum_{i=1}^{k}\frac{\varGamma（2-\gamma_1}）}{t_{i}^{1-\ gamma_1{}}M_{i}\bigl\vertx（t_{i{)\bigr\vert+\varGamma（2-\gamma_{1}）t_{k}^{\gamma_1}}M_{k}\bigl\vert x（t_{k{）\bigr\fort\\&\quad\leq\frac{1}{\varGarma（\alpha+1）}\bigle（L_{1{\Vertx\vert_{\mathrm{PC}+L_{2}\Verty\vert_2}\mathrm{PC}}+N\大）\\&\qquad{}+\frac{1}{（1-\Delta_1}）\varGamma（\alpha-\Delta_1}+1）}\bigl（L_{1}\vert x\vert_{\mathrm{PC}}+L_{2}\Verty\Vert_{\mathrm{PC}}+N\biger）\&\qquad{}+\frac{1}{（1-\Delta_{1}）\varGamma（\alpha+1）}\bigl伽马{1}）}{1-\Delta{1}}\biggl[\frac{2}{t{1}^{1-\gamma{1}{+\frac}{z^{Delta{1{}}\varGamma（1-\Delta{1}）}+2-\Delta_{1}\biggr]\sum_{i=1}^{n} M（M）_{i} \cdot\Vert x\Vert_{\mathrm{PC}}\\&\quad\leq\Biggl[（L_{1}+L_{2}）\Biggl（\frac{1}{\varGamma（\alpha+1）}+\frac{1}}{（1-\Delta_{1{）\varGarma（\alpha-\Delta_1}+1）}+\frac 1}{{（1-\Delta_1}）gr）\\&\qquad{}+\frac{\varGamma（2-\gamma{1}）}{1-\Delta{1}}\Biggl（\frac{2}{t_{1}^{1-\gamma_1}}}+\frac{1}{z^{\delta_{1}}\varGamma（1-\delta_1}）}+2-\delta_1}\biggr）\sum_{i=1}^{n} M（M）_{i} \Biggr]\Vert x \Vert_{\mathrm{PC}}\\&\qquad{}+N（L_{1}+L_{2}）\biggl（\frac{1}{\varGamma（\alpha+1）}+\frac}{（1-\Delta{1}）\ varGamma（\ala-\Delta{1{1}+1）}+\frac{1}}{gr）\\&\quad\leq（\mathcal{米}_{1} +\数学{无}_{1} ）r+N\数学{米}_{1} =\卡帕_{1} 第页+N\mathcal公司{米}_{1} \leq r.\end{对齐}$$

(3.6)

同样，我们也有

$$\begin｛aligned｝\bigl\vert T_｛2｝（x，y）（T）\bigr\vert\leq\kappa_{2} 第页+\帽子｛N｝\数学{米}_{2} \leq r.\end｛对齐｝$$

(3.7)

估算(3.6)和(3.7)表明T型一致有界且\（T（\overline{\varOmega}）\subset\overline{\varO mega}\）.

接下来，我们将显示该运算符T型是等连续的，也就是说，对于任何\（ε>0\）,\（J=[0,1]\中的τ{2}，τ{1}）,\（（x，y）\在\上划线{\varOmega}\），存在\（\ delta=\ delta（\ epsilon）>0\）这样，当\（|\tau_{2}-\τ{1}，我们有\（T（x，y）（tau_{2}）-T（x，y）（tau _{1}）的确，对于任何人\（[0,1]\中的τ{1}，τ{2}）在不失一般性的情况下\（τ{1}<τ{2}）和\（|\tau_{2}-\tau_{1}|<\xi\），其中\（\xi=\min_{0\leqi\leqn}\{t{i+1}-t{i}\}\）,\（t_｛0｝=0\）,\（t{n+1}=1\）。类似于(3.6)，我们有

$$开始{对齐}和\bigl\vert T_{1}（x，y）^{C} D类_{0^{+}}^{p} 年（tau_{2}）\biger）-I_{0^{+}}^{\alpha}f\bigl（\tau_{1}，x（\tau_1}），{}^{C} D类_{0^{+}}^{p} 年（tau_{1}）\biger）\bigr\vert\\&\qquad{}+\frac{I_{0^{+}}^{\alpha-\delta_{1{}\vertf（z，x（z），{}^{C} D类_{0^{+}}^{p} 年（z） ）\vert+I_{0^{+}}^{\alpha}\vertf（1，x（1），{}^{C} D类_{0^{+}}^{p} 年（1） ）\vert}{1-\Delta_{1}}\vert\tau_{2}-\tau_{1}\vert\\&\qquad{}+\Biggl[\frac{\vertC_1}\vert}{1-\Delta_1}}+\sum_{i=1}^{k}\frac}\varGamma（2-\gamma_1}）}{t{i}^{1-\gamma_{1{}}\bigl\vertJ_1i}\bigle（x（t_{i}）\biger）\bigr\vert\Biggr]\弗特\陶_{2}-\tau_{1}\vert\\&\quad\leq\frac{1}{\varGamma（\alpha）}\int_{0}^{\tau_}1}\bigl[（\tau_{2} -秒)^{α-1}-（τ_{1} -秒)^{\alpha-1}\bigr]\bigl\vert f\bigl（s，x（s），{}^{C} D类_{0^{+}}^{p} 年（s） \bigr）\bigr\vert\，ds\\&\qquad{}+\frac{1}{\varGamma（\alpha）}\int_{\tau_{1}}^{\tau_2}}（\tau_{2} -秒)^{\alpha-1}\bigl\vert f\bigl（s，x（s），{}^{C} D类_{0^{+}}^{p} 年（s） \bigr）\bigr\vert\，ds\\&\qquad{}+\frac{I_{0^{+}}^{\alpha-\delta_{1}}\vertf（z，x（z），{}^{C} D类_{0^{+}}^{p} 年（z） ）\vert+I_{0^{+}}^{\alpha}\vertf（1，x（1），{}^{C} D类_{0^{+}}^{p} 年（1） ）\vert}{1-\Delta_{1}}\vert\tau_{2}-\tau_{1}\vert\\&\qquad{}+\Biggl[\frac{\vertC_1}\vert}{1-\Delta_1}}+\sum_{i=1}^{k}\frac}\varGamma（2-\gamma_1}）}{t{i}^{1-\gamma_{1{}}\bigl\vertJ_1i}\bigle（x（t_{i}）\biger）\bigr\vert\Biggr]\弗特\陶_{2}-\tau_{1}\vert\\&\quad\leq\frac{1}{\varGamma（\alpha+1）}\bigl_{2}-\tau{1}）^{\alpha}\bigr）\\&\qquad{}+\frac{1}{\varGamma（\alpha+1）}\bigl（L_{1}\Vertx\Vert_{\mathrm{PC}}+L_{2}\Verty\Vert_{\mathr m{PC{}+N\biger）（\tau_{2}-\tau_{1}）^{\alpha}\\&\qquad{}+\frac{1}{（1-\Delta_{1{）\varGamma（\alpha-\Delta_1}+1）}\bigl（L_1}\Vertx\Vert_{\mathrm{PC}}+L_2}\Verty\Vert_{\mathr m{PC{}+N\bigr）\Vert\tau_{2}-\tau{1}\vert\\&\qquad{}+\frac{1}{（1-\Delta{1}）\varGamma（\alpha+1）}\bigl_{2}-\tau{1}\vert\\&\qquad{}+\frac{varGamma（2-\gamma{1}）}{1-\Delta{1}}\biggl[\frac}2}{t_{1}^{1-\gamma}}}+\frac{1}{z^{Delta{1{}}\varGamma}（1-\Delta{1\}）{+1\biggr]\sum{i=1}^{n} M（M）_{i} \cdot\Vert x\Vert_{\mathrm{PC}}\cdot\ Vert\tau_{2}-\τ_｛1｝\vert\\&&quad\leq\frac｛1｝｛\varGamma（\alpha+1）｝（L_{1} 第页+L（左）_{2} 第页+N）大（tau_{2}^{alpha}-\tau_{1}^{alpha}\biger）_{1} 第页+L（左）_{2} 第页+N）\vert\tau_{2}-\tau{1}\vert\&\qquad{}+\frac{1}{（1-\Delta{1}）\varGamma（\alpha+1）}（L_{1} 第页+L（左）_{2} 第页+N）\vert\tau_{2}-\tau{1}\vert\\&\qquad{}+\frac{varGamma（2-\gamma{1}）}{1-\Delta{1}}\biggl[\frac}2}{t_{1}^{1-\gamma}}}+\frac{1}{z^{Delta{1{}}\varGamma}（1-\Delta{1\}）{+1\biggr]\sum{i=1}^{n} M（M）_{i} \cdot r\cdot\vert\tau_{2}-\tau{1}\vert\&\quad=\frac{1}{\varGamma（\alpha）}（L_{1} 第页+L（左）_{2} 第页+N）\eta^{\alpha-1}\vert\tau_{2}-\tau{1}\vert\&\qquad{}+\frac{1}{（1-\Delta{1}）\varGamma（\alpha-\Delta{1{1}+1）}（L_{1} 第页+L（左）_{2} 第页+N）\vert\tau_{2}-\tau{1}\vert\&\qquad{}+\frac{1}{（1-\Delta{1}）\varGamma（\alpha+1）}（L_{1} 第页+L（左）_{2} 第页+N）\vert\tau_{2}-\tau{1}\vert\\&\qquad{}+\frac{varGamma（2-\gamma{1}）}{1-\Delta{1}}\biggl[\frac}2}{t_{1}^{1-\gamma}}}+\frac{1}{z^{Delta{1{}}\varGamma}（1-\Delta{1\}）{+1\biggr]\sum{i=1}^{n} M（M）_{i} \cdot r\cdot\vert\tau_{2}-\tau_{1}\vert\\&\quad\leq\Biggl[（L_{1} 第页+L（左）_{2} 第页+N）\biggl（\frac{1}{\varGamma（\alpha）}+\frac{1}}{（1-\Delta_{1}）\varGamma（\alfa-\Delta_1}+1）}+\frac}1}{（压裂{2}{t{1}^{1-\gamma_1}}}+\frac{1}{z^{Delta_1}}\varGamma（1-\Delta_1{1}）}+1\biggr）\sum_{i=1}^{n} M（M）_{i} \Biggr]\vert\tau_{2}-\tau{1}\vert\\&\quad=\rho{1}\ vert\tau_{2}-\tau_{1}\vert，\end{aligned}$$

(3.8)

哪里\（tau{1}<eta<tau{2}）,\（\rho_｛1｝=（L_{1} 第页+L（左）_{2} 第页+N）（\frac｛1｝｛\varGamma（\alpha）｝+\frac｛1｝｛（1-\Delta_｛1｝）\varGamma（\alpha-\Delta_｛1｝+1）｝+\frac｛1｝｛（1-\Delta_｛1｝）\varGamma（\alpha+1）｝）+\fracδ_｛1｝｝\varGamma（1-\δ_｛1｝）｝+1）\sum_｛i=1｝^{n} M（M）_{i} \）。类似于(3.8)，一个有

$$开始{对齐}\bigl\vert T_{2}（x，y）_{2}-\τ_｛1｝\vert，\end｛aligned｝$$

(3.9)

哪里\（\rho_{2}=（{左}_{1} 第页+\帽子{左}_{2} 第页+\帽子{N}）{1-\gamma{2}}}+\frac{1}{w^{\Delta{2}{\varGamma（1-\Delta_2}）}+1）\sum{i=1}^{N}{米}_{i} \）.

Take（获取）\（δ=\min\{xi，\frac{\epsilon}{\rho{1}}，\ frac{\ epsilon{{\rho 1}}}）.根据(3.8)和(3.9)，我们得出结论，对于任何\（ε>0\）,\（J=[0,1]\中的τ{2}，τ{1}）,\（（x，y）\在\上划线{\varOmega}\），存在\（\增量>0\）这样的话\（T（x，y）（tau_{2}）-T（x，y）（tau _{1}）如果\（|\tau_{2}-\τ{1}，即运算符T型是等连续的。因此，根据Arzela–Ascoli定理，我们知道\（T：上划线{\varOmega}{\rightarrow}\上划线{\ varOmega}\）是完全连续的。

最后，我们证明了引理的条件（ii）2.4不是真的。事实上，对于所有人来说\（（上划线{x}，上划线{y}）\in\partial\varOmega\）,\（0<λ<1）和\（在[0,1]\中），类似于(3.6)和(3.7)，我们有

$$\begin{aligned}\bigl\vert\lambda T_{1}（\overline{x}，\overline{y}）（T）\bigr\vert\leq\lambda\bigl（\kappa_{1}\vert\overline}\vert_x}\mathrm{PC}}+N\mathcal{米}_{1} \bigr）<\bigl\Vert（\overline{x}，\overline{y}）\bigr\Vert=r\end{aligned}$$

(3.10)

和

$$\开始{aligned}\bigl\vert\lambda T_{2}（\overline{x}，\overline{y}）（T）\bigr\vert\leq\lambda\bigl（\kappa_{2}\vert\overline}\vert_x}\mathrm{PC}}+\hat{N}\mathcal{米}_{2} \bigr）<\bigl\Vert（\overline{x}，\overline{y}）\bigr\Vert=r.\end{aligned}$$

（3.11）

估算(3.10)和(3.11)暗示\（λT（\overline｛x｝，\overline｛y｝）\|<\|（\overline｛x｝，\overline｛y｝）\|=r\）也就是说，\（\overline｛x｝，\overline｛y｝）\neq\lambda T（\overline｛x｝，\overline｛y｝）\），对于所有人\（（上划线{x}，上划线{y}）\in\partial\varOmega\）.根据引理2.4，我们知道边值问题(1.1)有一对解决方案\（（x^{*}，y^{*{）\在\上划线{\varOmega}\中）.证明已完成。□

4举例说明

考虑具有分数阶脉冲的非线性分数阶微分耦合系统的以下四点边值问题：

$$\开始{aligned}\textstyle\begin{cases}{}^{C} D类_{0^{+}}^{\alpha}x（t）=f（t，x（t，{}）^{C} D类_{0^{+}}^{p} 年（t） ），在J=[0,1]，t\neq t_{k}，\\{}中为四个t^{C} D类_{0^{+}}^{\beta}y（t）=g（t，{}^{C} D类_{0^{+}}^{q} x个（t） ，y（t）），在J=[0,1]，t\neq t_{k}，\\{}中的四个t^{C} D类_{0^{+}}^{\gamma{1}}x（t{k}^{+{}）-{}^{C} D类_{0^{+}}^{\gamma_{1}}x（t_{k}^{-}）=J_{1k}（x（t{k}）），四元k=1，ldots，n，\\{}^{C} D类_{0^{+}}^{\gamma{2}}y（t{k}^{+{}）-{}^{C} D类_{0^{+}}^{\gamma_2}}y（t_{k}^{-}）=J_2k}（y（t_{k}）{0^{+}}^{\delta{2}}y（w）=y（1）。\结束{cases}\displaystyle\end{aligned}$$

(4.1)

Take（获取）\（α=frac{5}{4}\）,\（β=frac{7}{4}\）,\（p=\压裂{1}{2}\）,\（q=\压裂{3}{4}\）,\（伽马{1}=\压裂{1}{3}\）,\（伽马{2}=\压裂{2}{3}\）,\（δ{1}=\压裂{1}{5}\）,\（δ{2}=\压裂{3}{5}\）,\（n=2）,\（t_｛1｝=\frac｛1｝｛6｝\）,\（t_｛2｝=\frac｛5｝｛6｝\）,\（z=\压裂{1}{7}\）,\（w=\压裂{4}{7}\）,\（f（t，u，v）=\frac{\sin（\pit）+u+v}{100}）,\（g（t，u，v）=\frac{e^{t}+\arctan（u^{2}+v^{2{）}{100}\）,\（J{11}（u）=J{22}（u）=\压裂{u^{2}}{200}\）,\（J{12}（u）=J{21}（u）=\压裂{\sqrt[3]{u}}{100}\）显然，\（f，g在C中（J乘以R^{2}，R）,\（C（R，R）中的J{11}，J{12}，J{21}，J{22}）通过简单计算，我们得出

$$\begin｛aligned｝&&bigl\vert f（t，u_｛1｝，v_｛1｝）-f（t，u_｛2｝，v_｛2｝）\bigr\vert\leq\frac｛1｝｛100｝\vert u_{1} -u个_{2} \vert+\frac{1}{100}\vert v_{1} -v型_{2} \vert，\\&\bigl\vert g（t，u{1}，v{1}）-g（t、u{2}，v{2}）\bigr\vert\leq\frac{1}{100}\vert u_{1} -u个_{2} \vert+\frac{1}{100}\vert v_{1} -v型_{2} \vert，\\&\bigl\vert J_{11}（u）\bigr\vert=\bigl\ vert J_22}（t，0,0）\bigr\vert=\frac{1}{100}，\qquad\sup{t\in[0,1]}\bigl\vert g（t，0，0）\bigr\vert=\frac{e}{100}，\end{aligned}$$

也就是说，\（L_{1}=L_{2}=\hat{左}_{1} =\帽子{左}_{2} =\压裂{1}{100}\）,\（M_{1}=\hat{米}_{2} =\压裂{1}{100}\）,\（M_{2}=\hat{米}_{1} =\压裂{1}{300}\）,\（N=\压裂{1}{100}\）,\（hat｛N｝=\frac｛e｝｛100｝\）因此，我们获得

$$\开始{aligned}&0<\Delta_{1}=\frac{z^{1-\Delta_{1\}}{\varGamma（2-\Delta_1}）}\约0.2264<1，\qquad 0<\Delta _2}=\frac{w^{1-\ Delta_2}}{{米}_{1} =（L_{1}+L_{2}）\biggl（\frac{1}{\varGamma（\alpha+1）}+\frac}1}{（1-\Delta_{1{）\varGarma（\alpha-\Delta_1}+1）}+\frac{1}}{{无}_{1} =\frac{\varGamma（2-\gamma_1}）}{1-\Delta_1}\biggl（\frac{2}{t_1}^{1-\gamma_{1}}}+\frac{1}{z^{Delta_1}}\varGarma（1-\Delta_1{1}）^{n} M（M）_{i} 大约0.1501，\\&\mathcal{米}_{2} =（\hat{左}_{1} +\帽子{左}_{2} ）\biggl（\frac｛1｝｛\varGamma（\beta+1）｝+\frac｛1｝｛（1-\Delta_{2｝）\varGamma（\beta-\Delta_{2｝+1）｝+\frac｛1｝｛（1-\Delta_{2｝）\varGamma（\beta+1）｝\biggr）\约0.3263，\\&&\mathcal{无}_{2} =\frac{\varGamma（2-\gamma{2}）}{1-\Delta{2}}\biggl（\frac}2}{t{1}^{1-\gamma_2}}}+\frac{1}{w^{\Delta_2}}\varGarma（1-\Delta_2}）{+2-\Delta_2}\bigr）\sum{i=1}{n}{米}_{i} 大约0.6451，kappa{1}=mathcal{米}_{1} +\数学{无}_{1} 大约0.2159<1，\qquad\kappa_{2}=\mathcal{米}_{2} +\数学{无}_{2} 大约0.9714<1。\结束{对齐}$$

因此，条件\（（H_{1}）\）–\（（H_{6}）\）定理的3.1保持。然后(4.1)至少有一对解决方案。

5结论

在描述物理、化学、空气动力学、复杂介质电动力学、聚合物流变学、电容理论、电路、生物学、控制理论、实验数据拟合等许多领域的一些现象和过程时，分数阶微分方程比积分阶微分方程具有更好的精度。因此，分数阶微分方程的研究吸引了许多学者的目光。尤其是非局部边值问题，由于其在血流问题、化学工程、热塑性、地下水流动、种群动力学等领域的广泛应用，得到了许多研究者的广泛研究。本文研究一类具有分数阶脉冲的非线性分数阶微分耦合系统的非局部边值问题。利用Leray–Schauder择一定理，得到了解存在的一些新的充分判据。