具有强-弱表面张力的新型双模Kadomtsev-Petviashvili模型：分析与应用

摘要

双模式$(2+1)$-维Kadomtsev–Petviashvili（DMKP）方程是一个新模型，它表示由于所涉及的项而引起的两个同时定向波的传播\（u{tt}（x，y，t）\）“在其方程式中。我们介绍了DMKP的构造并寻找可能的解决方案。将利用创新的tanh-expansion方法和Kudryashov技术来找到保证DMKP孤子解存在的必要约束条件。将提供支持性3D绘图来验证我们的发现。

1介绍

双模型是一类新的非线性偏微分方程，其形式如下：[1,2]

$$年_{tt}-s^{2} 年_｛xx｝+\biggl（\frac｛\partial｝｛\partial t｝-\alpha s\frac｛\partial｝｛\partial x｝\biggr）N（y，y_｛x｝，\ldots）+\biggl（\frac｛\partial｝｛\partial t｝-\beta s\frac｛\partial｝｛\partial x｝\biggr）L（y_ kx｝）=0$$

(1.1)

哪里\（N（y，y_{x}，\ldots）\）和\（L（y_{kx}）：k\geq2\）是方程中涉及的非线性和线性项。\（y（x，t）\）是未知的字段函数，\（s>0\）是相速度，\（\vert\beta\vert\leq1\）,\（\vert\alpha\vert\leq1\）,β是色散参数，以及α是非线性参数。使用\（s=0）并在以下方面进行整合t吨，双模问题在时间上简化为一阶偏微分方程t吨.

建立并研究了几种双模模型。在[三,4,5,6,7,8]，作者提取了二阶KdV的丰富孤子解。[9,10]建立了双模Burgers和四阶Burgers，并利用简化的Hirota技术得到了多孤子解。在[11,12,13]利用tanh技术和Hirota方法求解双模耦合Burgers方程、耦合m-KdV和耦合KdV的可能解。最后，在中建立了双模扰动Burgers、Ostrovsky和Schrodinger方程[14,15].

1.1双模结构$(2+1)$-维度Kadomtsev–Petviashvili

Kadomtsev–Petviashvili（KP）方程如下[16,17]

$$\压裂{\部分}{\部分x}（W_{t} -6个W_{x}+W_{xxx}）+3\sigma W_{yy}=0$$

(1.2)

哪里\（W=W（x，y，t）\）它模拟了三个相互联系的方面：弱色散、波长与波幅相比较长、在y坐标下的变化与在x坐标下的传播相比较慢。σ给出了表面张力的强度\（σ>0）如果\（σ<0）.

为了推导KP的双模版本，我们应用了运算符\（N=（分数{\部分}{\部分t}-\字母{1}分数{\分数}{\分数x}-\字母{2}分数}{部分y}）非线性项(1.2)和操作员\（L=（部分t}-\beta{1}s\frac{\partialx}-\beta{2}s\frac{\partic}{\partitley}）线性项，即。，

$$\boot｛aligned｝[b]0=｛｝&&frac｛\partial｝｛\partial x｝\biggl（W_{tt}-s^{2} W公司_｛xx｝-s^{2} W公司_{yy}-6\biggl（\frac｛\partial｝｛\partial t｝-\alpha_｛1｝s\frac｛\partial｝｛\partial x｝-\alpha_｛2｝s\frac｛\partial｝｛\partial y｝\biggr）（W W_｛x｝）\\&+\biggl（\frac｛\partial｝sigma\bigl（frac｛\partial｝｛\partial t｝-\beta\｛1｝s\frac{\partial}{\parial x}-\beta{2}s\frac{\ partial{{\particy}\biggr）（W{yy}），\end{aligned}$$

(1.3)

\（\字母{1}\）,\（\字母{2}\）是非线性参数，\（\beta{1}\）,\（\beta{2}\）是色散参数，以及秒是相速度。

在这项工作中，我们的目标是寻找可能的孤子解(1.3)并用图形研究了上述参数对所获得的双波传播的影响。

2利用日光膨胀技术求解DMKP

首先，我们使用新变量\（z=a x+b y-c t）转换(1.3)转化为以下简化微分方程：

$$\begin{aligned}[b]0={}&\bigl（a^{2}-\bigl（a^{2}+b^{2\biger）s^{2{2\ biger）-3\sigma b^{2neneneep（c+\beta{1}a s+\beta a{2}b s）\biger）W+3a^{2}（c+\ alpha{1}a s+\alpha{2}b s{对齐}$$

（2.1）

哪里\（W=W（z）\）.平衡\（W^{2}\）具有\（W''\）在tanh技术意义上[18,19]，解决方案(2.1)是

$$W（z）=A{1}+A{2}\tanh（z）+A{3}\tanh^{2}（z）$$

(2.2)

要确定\（A_{1}\）,\（A_{2}\）,\（A_｛3｝\）,一,b条、和c（c），我们替换(2.2)英寸(2.1)并应用身份\（\运算符名称｛sech｝^｛2｝（z）=1-\tanh ^｛2｝（z）\）得到tanh函数的多项式。将tanh的等幂系数设置为零，我们得到以下非代数系统：

$$\开始{aligned}&\开始{对齐}0={}&3 a^{2}a_{1}^{2{c-2 a^{4}a_}3}c+aA_1}c^2}-a^{3}a_1}s^2}-aA_1{1}b^{2neneneep s^2{2}+3a^3}a{1}s\alpha_1}a^2}s+3a^2{3}a{2}a^1}a^3a^{1}a_1{2}s\ alpha_2}&-2 a^{5}a_{3}s\beta_{1}-2a^{4}a{3}bs\beta{2}-3A{1}b^{2}c\sigma-3a{1}b ^{2{s\beta{1}\ sigma-3A{1}b^{3}s\beta}2}\ simma，\end{aligned}\\&\begin{对齐}0={}&2a^{4}a{2}c+6a^{2}a{1}a{2%c+aA{2{2}c^2}-a^{3}a{2]s^2}-aA{2]b^{2{s^2{2{6a^3}a}a{1\a{2}s\alpha_1}+6a^2}a}2}a^2{1}a{2{1{1}\\&+2a^{5}a{2}s\贝塔{1}+2a^}4}a{2]bs\贝塔{2}-3 a{2{2}b^{2}c\西格玛-3 a{2}b^{2]s\贝塔{2}s\西格马-3 a{2]b^3}s\贝塔{2\西格玛，\end{aligned}\\&0=3a^{2}a{2}^{2{c+8a^{4}a{3}c+6a^{2]a{1}a{3+c+aA{3{c^2}-a^{3}a{3}s^{2}-a a{3neneneei b^{2{2}s^}2}+3a^{3{3}a{2{2}s \alpha_{1}\\&\幻影{0=}{}+6a^{3}a{1}a{3}s\alpha_{1}+3a^{2}a{2}^2}b s\alpha_2}+6a_{2}a{1{3}b s\alfa_2}+8a^5}a{3}s\beta_{1{8a^4}a{3+b s\beta_2}\\&\幻影{0=}{}-3A{3}b^{2}c\sigma-3a{3}b2}s\beta{1}\sigma-3A{3+b^3}s\beta{2}\sigma，\\&0=-2 A^{4}A{2}c+6a^2}A{3{c+6a ^3}c+6a{1}+6a^{2}A{2}A{3}b s \alpha_{2}-2 A^{5}A{2}s\beta_{1}-2a^{4}A{2]b s \beta_}2}，\\&0=-6 A^{4}A{3{c+3a^{2}A{3}A{3}^2}c+3a{3{3}c+3A_{3}^{2}s\alpha_{1}+3a^{2{A_3}^{2]bs\alpha_2}-6a^{5}A_3}s\beta_1}-6 A^{4}A_3{3}bs\beta_2}。\结束{对齐}$$

(2.3)

我们通过相容约束关系研究了上述系统的解：

对于\（\字母{1}=\字母{2}=\贝塔{1}=贝塔{2}=伽马\）具有\（|\gamma|<1\），我们得到两个解集。

2.1第一个解决方案集

$$\begin{collected}a=\text{自由常数}，\qquad a_{1}=\text}自由常数{，\quad a_2}=0，\\a_{3}=2a^{2}，\\c=\frac{s\gamma（a\pm\sqrt{a^{2]（2\gamma^{2}-1)})}{\伽马射线^{2}-1}，\qquad b=\frac{a\gamma^{2}\pm\sqrt{a^{2{（2\gamma^{2}-1)}}{1-\gamma^{2}}。\结束{聚集}$$

(2.4)

因此，得到DMKP的双波解(1.3)是

$$W（x，y，t）=A{1}+3a^{2}\tanh^{2{biggl^{2}-1)}}{1-\gamma^{2}}y-\frac{s\gamma（a\pm\sqrt{a^{2{（2\gamma^{2}-1)})}{\伽马射线^{2}-1}t \biggr）$$

(2.5)

哪里\（压裂{1}{\sqrt{2}}<|\gamma|<1\）.图1显示了随着相速度的增加两个波的接近程度秒和固定γ.图2用符号表示两个波的收敛程度和间距γ和固定秒.

图1

双波的3D图\（W（x，y，t）\）以及相速度的影响秒关于它的传播

图2

双波的3D图\（W（x，y，t）\）线性色散参数的影响γ关于它的传播

2.2第二个解决方案集

$$\开始{已收集}=\text{自由常数}，\qquad A{1}=0，\qquad A{2}=\text{自由常量}，\\A{3}=2 A^{2}，\ c=-（A+b）s\gamma，\ qquad b=\ frac{A\gamma^{2{2}\pm\sqrt{A^{2]（2\gamma^{2}-1)}}{1-\gamma^{2}}。\结束{聚集}$$

(2.6)

因此，得到DMKP的双波解(1.3)是

$$\开始{对齐}[b]W（x，y，t）={}&A_{2}\tanh\biggl（ax+\frac{A\gamma^{2}\pm\sqrt{A^{2{（2\gamma^{2}-1)}}{1-\gamma^{2}}y\\&-\biggl（a+\frac{（a\gamma_{2}\pm\sqrt{a^{2{（2\gamma^{2}-1)}}{1-\gamma^{2}}\biggr）s\gamma t\biggr^{2}-1)}}{1-\gamma^{2}}y\\&-\biggl（a+\frac{（a\gamma_{2}\pm\sqrt{a^{2{（2\gamma^{2}-1)}}{1-\gamma^{2}}\biggr）s\gamma-t\bigger），\end{aligned}$$

(2.7)

哪里\（压裂{1}{\sqrt{2}}<|\gamma|<1\）.图三显示了中描述的获得的解决方案的形状(2.7).

图3

第一波、第二波和双波的3D绘图\（W（x，y，t）\）在中给出(2.7)

三利用Kudryashov展开技术求解DMKP

需要注意的是，上一节中获得的tanh溶液为σ-因此，需要使用另一种方法来研究DMKP的解。我们在这里使用Kudryashov技术，其中解决方案采用以下形式[20,21]:

$$W（x，y，t）=W（z）=\sum_{i=0}^{n}\lambda_{i}y^{i}，\quad y=y（z），z=a x+b y-c t$$

(3.1)

变量Y（Y）满足微分方程

$$Y'=Y（Y-1）\ln（k）$$

(3.2)

解决(3.2)给予

$$Y（z）=\frac｛1｝｛1+d k^｛z｝｝$$

(3.3)

索引n个通过应用订单平衡程序确定\（W^{2}\）和\（W''\）出现在中(2.1). 因此，\（n=2）因此我们写(3.1)作为

$$W（z）=\lambda_{0}+\lambda_{1}Y+\lampda_{2}Y^{2}$$

(3.4)

区分两者(3.2)和(3.4)隐含地导致

$$Y''=Y（Y-1）（2Y-1）\n^{2}（k）$$

(3.5)

和

$$\begin{聚集}W'（z）=\lambda_{1}Y'+2\lambda_{2}YY'，\\W'（z）=\lambda_}Y''+2\lampda_{2neneneep \bigl（Y''+\bigl-（Y'\bigr）^{2}\bigr.）。\结束{聚集}$$

(3.6)

现在，我们插入(3.2)通过(3.6)英寸(2.1)得到多项式Y（Y）.通过设置每个系数\（Y^{i}\）到零，得到一个非线性代数系统。寻找这个系统的解决方案，我们得到

$$\begin{聚集}\alpha_{1}=\alpha_2}=\beta_{1{=\beta{2}=\gamma，\qquad\vert\gamma\vert<1，\\lambda_{0}=0，\\lampda_{1}=-2 a^{2}\ln^{2{（k），\\lamma_{2}=-\lambda_{1'，\\begin对齐}c={}&\bigl（3b^{2neneneep \sigma+a^{4}\ln^{2}（k）\\&\pm\sqrt{（s+3\gamma\sigma）+a^{4}（a+b）\gamma\ln^{2}（k）}\bigr）\\&/（2a）。\结束{对齐}\结束{聚集}$$

(3.7)

因此，一种新的DMKP解决方案(1.3)是

$$W（x，y，t）=-\frac{2a^{2}d\ln^{2{（k）k^{ct+ax+by}（2+ln（k$$

(3.8)

数字4和5当\（σ>0）和\（σ<0）分别为。

图4

的三维孤子解\（W（x，y，t）\）在中给出(3.8)何时\（\西格玛=2\）和分别\（t=1）和\（t=2\）。其他赋值为\（a=b=d=1）,\（k=e）,\（伽马=\压裂{1}{2}\）

图5

的三维孤子解\（W（x，y，t）\）在中给出(3.8)何时\（σ=-2）和分别\（t=1）和\（t=2\）。其他赋值为\（a=b=d=1）,\（k=e）,\（伽马=\压裂{1}{2}\）

4结论

介绍了一种新的双模Kadomtsev–Petviashvili（DMKP）方程。该模型描述了两个同时定向波的传播。我们研究了DMKP的可能解决方案，并获得以下结果：

• σ-得到了DMKP的独立tanh孤子解。

• σ-得到了DMKP的相关Kudryashov孤子解。

• 在以下情况下存在上述两种解决方案\（\字母{1}=\字母{2}=\贝塔{1}=贝塔{2}=伽马\）具有\（压裂{1}{\sqrt{2}}<|\gamma|<1\）.

此外，还提供了图形分析，以显示线性色散参数的影响γ和相速度秒DMKP获得的双波传播。