具有Tissiet函数响应和离散时滞的恒浊器模型的动力学行为

摘要

本文研究了具有Tissiet函数响应、线性可变产量和时滞的恒浊器模型的动力学行为。研究了该系统解的存在性和有界性、平衡点的局部渐近稳定性以及Hopf分岔现象。利用Liapunov–LaSalle不变性原理，我们证明了冲刷平衡对于任何时滞都是全局渐近稳定的。此外，基于极限集的一些知识，我们给出了恒浊器模型持久的充要条件。最后，提供了数值模拟来支持我们的结果。

1介绍

恒浊器是一种重要的实验室设备，用于连续培养微生物。由于它在微生物学和种群生物学中的适用性，它在数学和生态学方面都很有意义。因此，恒浊器模型的研究一直是许多数学和理论生物学家研究的热点课题之一[1–7]。

生态系统的动力学行为可能受到许多因素的影响，例如时滞、可变产量和功能响应。众所周知，时滞在日常生活中自然发生，使得生态系统具有更复杂的动力学行为。因此，近年来人们研究了具有时滞的生态系统（离散时滞[8–15]，中性延迟[16,17]和脉冲延迟[18]). 以时间延迟为参数，平衡的稳定性可能会随着时间延迟的变化而改变，并可能出现周期解。因此，在恒浊器模型中也有必要考虑时间延迟的影响。

恒化器模型不仅具有恒定产量，而且具有可变产量[19–24]被考虑。由于实际实验表明，恒定产量不能解释恒化器中的振荡现象，且营养物质浓度越大，消耗率越低。然而，对于恒浊器模型，我们假设产量项大多为常数。基于事实，恒浊器模型应考虑可变产额，可变产额模型的动力学行为将比恒定产额模型更加复杂。

此外，功能反应对生物动力系统的行为也有重要影响[25–29]. 我们注意到，在生物学中，极高的营养浓度实际上可能会抑制微生物的生长，随着营养浓度的无限增加，微生物最终会死亡。Tissiet功能反应\（\mu（S）=压裂{\mu_{m} 硒^{-\压裂{S}{k{i}}}{k_{m}+S}\）引入，其中\（\mu_{m}\）,\（k{m}\）和\（k{i}\）为正常数。

基于上述生物现象，本文将消化、线性可变产量和Tissiet功能反应引起的时间延迟的组合效应视为以下系统：

$$\textstyle\begin{cases}\frac{\mathrm{d} x个（t） }{\mathrm{d} t吨}=x（t）（压裂{mu_{m} S公司（t-\tau）}{k{m}+S（t-\teau）}e^{-\frac{S（t-\t au）{k{i}}-（d+kx（t））），\\frac{mathrm{d} S公司（t） }{\mathrm{d} t吨}=（S^{0}-S（t） ）（d+kx（t））-\压裂{\mu_{m} 秒（t） }{k{m}+S（t）}e^{-\frac{S（t$$

(1.1)

哪里\（x（t）\）和\（S（t）\）表示微生物和营养物质的浓度t吨分别是。\（S^{0}>0\）表示营养素的输入浓度。\（A+BS（t）\） \（（A>0，B>0）\）是线性变量收益率。\（\tau\geq0）是消化延迟，以及\（d+kx（t）\） \（（d>0，k>0）\）是恒浊器的稀释率。

为了简单起见，我们通常设置

$$x（t）=S^{0}\bar{x}（t），\qquad S（t）=S^｛0｝年（t） ，\qquad k=\frac{\bar{k}}{S^{0}}，\qquad k{m}=aS^{0:}，\ qquad k{i}=\frac{S^}}{b}，\squad b=\frac-{S^{0}{C}$$

酒吧\（x（t）\）和k个被丢弃，系统(1.1)成为

$$\textstyle\begin{cases}\frac{\mathrm{d} x个（t） }{\mathrm{d} t吨}=x（t）（压裂{mu_{m} 年（t-\tau）}{a+y（t-\teau）}e^{-by（t-\t）}-（d+kx（t））），\\frac{mathrm{d} 年（t） }{\mathrm{d} t吨}=（1-y（t））（d+kx（t）_{m} 年（t） }{a+y（t）}e^{-by（t$$

(1.2)

具有初始值条件

$$x（t）=\varphi_{1}（t）\geq0，\qquad y（t）=\varphi_{2}（t）\geq，\quad t\in[-\tau，0]$$

哪里\（\varphi_{1}（t）\）,\（瓦尔菲{2}（t））连续函数是否打开\（[-\tau，0]\）从生物学意义上讲，我们进一步假设\（\varphi_{i}（0）>0\）对于\（i=1,2）.

本文的组织结构如下。在下一节中，我们将分析的解的存在性和有界性(1.2)具有初始条件。在Sect。 三，考虑了平衡点的存在性、局部稳定性和局部Hopf分岔的存在性。使用Liapunov–LaSalle不变性原理，我们在。 4关于冲刷平衡点的全局渐近稳定性的讨论(1.2). 在Sect。 5，永久性(1.2)利用微分动力系统极限集的一些分析技巧进行了讨论。最后，给出了一些讨论和数值模拟，以说明第节中的理论分析。 6.

2解的存在性和有界性

在本节中，我们研究了方程解的存在性和有界性(1.2)具有初始条件。实现了以下定理。

定理2.1

解决方案 \（（x（t），y（t））\） 系统的(1.2)初始条件存在且为正 \（[0，+\infty）\）.此外,

$$\limsup_{t\rightarrow+\infty}x（t）\leq\frac{\mu_{m}}{k}，\qquad\limsup_{t\right arrow+\infty}y（t）\ leq1，\qquad\liminf_{t\rightarrow+\inffy}y（t）\geqv_{1}$$

哪里 \（v_{1}=\压裂{akdA}{akdA+\mu_{m}^{2}}\）.

证明

从泛函微分方程解的局部存在性理论中，我们可以看到\（（x（t），y（t））\）存在于\（[0，e）\）对于某些正常数e（电子）。我们首先展示\（x（t）>0）对于任何\（位于[0，e）中）从第一个方程式(1.2)和\（\varphi_{1}（0）>0\），我们有

$$x（t）=x（0）e^{\int_{0}^{t}\frac{\mu_{m} 年（t-\tau）}{a+y（t-\teau）}e^{-by（t-\t）}-（d+kx（t））{d} t吨}>0，\quad\mbox{表示[0，e）中的任何}t$$

我们进一步证明\（y（t）>0）对于任何\（位于[0，e）中）事实上，如果不是这样\（y（t）\）和\（\varphi_{2}（0）\geq0\），那么就有了\（t_｛1｝\geq0\）这样的话

$$y（t_{1}）=0，\qquad\dot{y}（t_{1}）\leq0\quad\mbox{和}\quad_ y（t）\geq0\quid（-\tau\leqt\leqt_{1）$$

哪里\（\点{y}（t_{1}）\）表示右导数，如果\（t{1}=0\）从第二个方程式(1.2)和\（x（t）>0）对于\（位于[0，e）中），我们看到了

$$\dot{y}（t_{1}）=\bigl（1-y（t_{1\）\bigr）\bigl（d+kx（t_{1'）\biger）-\frac{\mu_{m} 年（t_｛1｝）｝｛a+y（t_｛1｝）｝e^｛-by（t_｛1｝）｝\frac｛x（t_｛1｝）｝｛a+Cy（t_｛1｝）｝＝d+kx（t_｛1｝）＞0$$

这与之相矛盾\（\dot{y}（t{1}）\leq0\）。这表明\（y（t）>0）对于任何\（位于[0，e）中）.

在下面，我们将展示\（x（t）\）和\（y（t）\）限定于\（[0，e）\）事实上，从非负的\（x（t）\）和\（y（t）\）在\（[-\tau，e）\）和系统(1.2)，我们看到任何\（位于[0，e）中）

$$\textstyle\begin{cases}\frac{\mathrm{d} x个（t） }{\mathrm{d} 吨}\leq x（t）（\mu_{m} -千倍（t） ），\\\压裂{\mathrm{d} 年（t） }{\mathrm{d} t吨}\leq（1-y（t））（d+kx（t）。\结束{cases}$$

(2.1)

由于解决方案\（u（t）\）计算公式如下：

$$\压裂{\mathrm{d} u个（t） }{\mathrm{d} t吨}=u（t）\bigl（\mu_{m} -ku个（t） \更大）$$

存在于\（[0，+\infty）\）具有初始条件\（u（t）=\varphi_｛1｝（t）\geq0\）对于\（t\in[-\tau，0]\），从比较原理\（x（t）\leq u（t）\）对于任何\（位于[0，e）中）最大值\（d+kx（t）\）对于\（位于[0，e）中）存在，表示为M（M）因此，我们获得

$$\textstyle\begin{cases}\frac{\mathrm{d} x个（t） }{\mathrm{d} t吨}\leq x（t）（\mu_{m} -千倍（t） ），\\\压裂{\mathrm{d} 年（t） }{\mathrm{d} t吨}\leq M（1-y（t））。\结束{cases}$$

(2.2)

同样，从解决方案\（v（t）\）计算公式如下：

$$\压裂{\mathrm{d} v（v）（t） }{\mathrm{d} t吨}=M\bigl（1-v（t）\bigr）$$

存在于\（[0，+\infty）\）具有初始条件\（v（t）=\varphi{2}（t）\geq0）对于\（t\in[-\tau，0]\）,\（y（t）\leq v（t）\）对于任何\（位于[0，e）中）因此，我们看到解决方案\（（x（t），y（t））\）限定于\（[0，e）\）.

因此，从泛函微分方程解的延拓理论中，我们可以看到\（（x（t），y（t））\）存在于\（[0，+\infty）\）。此外，来自(2.2)，我们有

$$\limsup_{t\rightarrow+\infty}x（t）\leq\frac{\mu_{m}}{k}，\qquad\limsup_{t\right arrow+\infty}y（t）\ leq1$$

对于足够大的吨,\（t>t\），很容易从系统中看到(1.2)

$$\压裂{\mathrm{d} 年（t） }{\mathrm{d} t吨}\geqd\bigl（1-y（t）\bigr）-\frac{\mu{m}^{2} 年（t） }{akA}=d-\biggl（d+\frac{\mu_{m}^{2}}{akA}\biggr）y（t）$$

这意味着

$$\liminf_{t\rightarrow+\infty}y（t）\geqv_{1}$$

哪里\（v_{1}=\压裂{akdA}{akdA+\mu_{m}^{2}}\）.

定理的证明2.1就这样完成了。□

三平衡点和Hopf分支的局部渐近稳定性

在本节中，我们将研究系统平衡点的存在性和局部稳定性(1.2)和Hopf分岔是由延迟引起的。

首先，我们定义子集

$$G=\bigl\｛\varphi=（\varphi_｛1｝，\varphi_｛2｝）\在C|\varphi_｛1｝\geq0，v_{1｝\leq\varphi_｛2｝\leq1\bigr\｝中$$

并证明这一点G公司是关于的正不变集(1.2).

对于任何\（\varphi=（\varfi_{1}，\varphi_{2}）\在G\中），让\（（x（t），y（t））\）是…的解决方案(1.2)具有初始功能φ，我们看到了\（（x（t），y（t））\）是肯定的\（[0，+\infty）\）来自定理2.1.我们展示\（y（t）\leq1）对于任何\（t \geq0）事实上，如果有\（t{2}>0\）这样的话\（y（t_{2}）>1\），从拉格朗日中值定理可以看出\（\dot{y}（t{3}）>0\）和\（y（t{3}）=1）对一些人来说\（（0，t{2}）中的t{3}）从第二个方程式(1.2)，我们看到了

$$\压裂{\mathrm{d} 年（t{3}）}{\mathrm{d} t吨}=\bigl（1-y（t{3}）\bigr）\bigl（d+kx（t{3+）\vigr）-\frac{\mu_{m} 年（t{3}）}{a+y（t{3}）{e^{-by（t{3+）}\压裂{x（t{3G）}{a+Cy（t}3）}<0$$

这与之相矛盾\（\dot{y}（t{3}）>0\）.

我们进一步表明\（y（t）\geqv{1}）对于任何\（t \geq0）。如果不是这样，必须有\（t{4}\geq0）这样的话\（y（t_｛4｝）=v_｛1｝\）,\（y（t）\geqv{1}）为所有人\（在[-\tau，t{4}]\中）和\（\dot{y}（t{4}）\leq0\）从第二个方程式(1.2)，我们看到了

$$\beart｛aligned｝\frac｛\mathrm{d} 年（t{4}）}{\mathrm{d} t吨}&=\bigl（1-y（t{4}）\bigr）\bigl（d+kx（t{4]）\vigr）-\frac{\mu_{m} 年（t{4}）}{a+y（t{4]）}e^{-通过^{2} v（v）_{1} }{akA}\\&=d-v{1}\frac{\mu{m}^{2}+akdA}{akdA{=0，\end{aligned}$$

这与之相矛盾\（\dot{y}（t{4}）\leq0\）.

因此，G公司是关于的正不变集(1.2). 考虑系统就足够了(1.2)上的G公司.

接下来，我们将考虑(1.2).

从的右侧(1.2)，我们看到了(1.2)总是有冲刷平衡\（E_{0}=（0，1）\）就正平衡而言，方程的分析\（\压裂{\mu_{m} 年}{a+y}e^{由}-k（1-y）（A+Cy）-d=0）需要。我们定义

$$f（y）=\mu_{m} 耶^{由}-k（1-y）（A+Cy）（A+y）-d（A+y）$$

因此我们有

$$\开始{对齐}&f'（y）=\mu_{m} e（电子）^{-由}-\亩_{m} 再见^{-by}+3kCy^{2}+2k（aC+A-C）y-Ak+Ak（A-C）-d，\\&f''（y）=-2\mu_{m} 是^{-by}+\mu_{m} b条^{2} 耶^｛-by｝+6kCy+2k（aC+A-C），\\&f“”（y）=3\mu_{m} b条^{2} e（电子）^{-由}-\亩_{m} b条^{3} 耶^{-by}+6kC，\\&f“”（y）=\mu_{m} b条^{3} e（电子）^{按}（乘4）。\结束{对齐}$$

请注意

$$\begin｛aligned｝&f（0）=-ad-akA<0，\qquad f（1）=\mu_{m} e（电子）^{-b}-d-ad，\\&f'（0）=\mu_{m}+Ak（a-1）+akC-d，\qquad f''（0）=-2\mu_{m} b条+2k（aC+A-C），\\&f“”（0）=3\mu_{m} b条^{2} +6kC>0，\qquad f“”（1）=\mu_{m} b条^{2} （3-b）e^{-b}+6kC，\\&f“”“”（0）=-4\mu_{m} b条^{3} <0，\qquad f“”（1）=\mu_{m} b条^{3} （b-4）e^{-b}。\结束{对齐}$$

为了方便起见，我们假设

$$\开始{对齐}&（\mathrm{高}_{1} ）\quad b<4，\quad f“”（1）>0，\qquad f”（0）>0\quad\mbox{和}\quad f'（0）>0；\\&（\mathrm{高}_{2} ）\quad\frac{\mu_{m} e（电子）^｛-b｝｝｛1+a｝\leq d；\\&（\mathrm{高}_{3} ）\quad\frac{\mu_{m} e（电子）^{-b}}{1+a}>d.结束{对齐}$$

因此，我们得到以下结果。

定理3.1

• (1) 如果 \（（\mathrm{高}_{1} ）\） 和 \（（\mathrm{高}_{2})\) 持有,那么就没有根了 \（f（y）=0） 在 $[0, 1]$,我.e（电子）.,系统(1.2)只有冲刷平衡 \（E_{0}=（0，1）\）.

• (2) 如果 \（（\mathrm{高}_{1})\) 和 \（（\mathrm）{高}_{3})\) 持有,那么有一个正根 \（f（y）=0） 在 $[0, 1]$,记为 \（y^{*}\）,我.e（电子）.,系统(1.2)具有独特的正平衡 \（E^{*}=（x^{*{，y^{*neneneep）\）,哪里 \（x^{*}=（1-y^{*{）（A+Cy^{**}）\）.

在下面，我们将讨论冲刷平衡的局部渐近稳定性\（E_{0}=（0，1）\）系统的(1.2).

定理3.2

如果 \（\压裂{\mu_{m} e（电子）^{-b}}{1+a}<d\）,然后 \（E_{0}\） 局部渐近稳定;如果 \（\压裂{\mu_{m} e（电子）^{-b}}{1+a}=d\）,然后线性化系统的平凡解(1.2)关于 \（E_{0}\） 是稳定的;如果 \（\压裂{\mu_{m} e（电子）^{-b}}{1+a}>d\）,然后 \（E_{0}\） 不稳定.

证明

让\（y{1}（t）=y（t）-1）并重写\（y_｛1｝（t）\）作为\（y（t）\）.我们得到了线性系统

$$\textstyle\begin{cases}\frac{\mathrm{d} x个（t） }{\mathrm{d} t吨}=（\压裂{\mu_{m} e（电子）^{-b}}{1+a}-d）x（t），\\frac{mathrm{d} 年（t） }{\mathrm{d} t吨}=-\frac｛\mu_{m} e（电子）^{-b}}{（1+a）（a+C）}x（t）-dy（t）。\结束{cases}$$

(3.1)

以下特征方程可由(3.1):

$$（\lambda+d）\biggl（\lambeda-\frac{\mu_{m} e（电子）^{-b}}{1+a}+d\biggr）=0$$

（3.2）

很明显(3.2)有一个负根\（\lambda{1}=-d\）.我们将进一步研究根的符号\（\lambda{2}=\frac{\mu_{m} e（电子）^{-b}}{1+a}-d\）.

如果\（\压裂{\mu_{m} e（电子）^{-b}}{1+a}<d\），然后\（\lambda_{2}<0\）因此，\（E_{0}\）是局部渐近稳定的。

如果\（\压裂{\mu_{m} 电子^{-b}}{1+a}=d\），然后\（\lambda_{2}=0\）因此，我们看到线性化系统的平凡解(1.2)关于\（E_{0}\）是稳定的。

如果\（\压裂{\mu_{m} 电子^{-b}}{1+a}>d\），然后\（\lambda_{2}>0\）因此，\（E_{0}\）不稳定。

定理的证明3.2已完成。□

考虑到\（电子^{*}\）以及Hopf分支的存在性，我们设置

$$\开始{aligned}&M=-kx^{*}，\qquad N=\frac{\mu_{m} e（电子）^{-由^{*}}x^{*{}（a-aby^{**}-由^}{*^{2}}）}{（a+y^{}）^{2{}，\qquad P=\frac{-d}{a+Cy^{**}}，\\&Q=-d-kx^{}-\frac}\mu_{m} 电子^{-由^{*}}x ^{*{}（-bCy^{*^{3}}-（abC+Ab+C）y^{*^{2}}-由^{*}+Aa）}{（（a+y^{}）（a+Cy^}））^{2{}，\结束{对齐}$$

并做出以下假设：

$$\开始{对齐}&（\mathrm{高}_{4} ）\四个Q+M<0，MQ-PN>0；\\&（\mathrm{高}_{5} ）\四MQ+PN<0。\结束{对齐}$$

定理3.3

如果 \（（\mathrm{高}_{4})\) 和 \（（\mathrm{高}_{5})\) 持有,然后 \（电子^{*}\） 是局部渐近稳定的 \（\tau<\tau_{0}\）;\（电子^{*}\）对不稳定 \（\tau>\tau_{0}\）;Hopf分岔发生在 \（τ=τ{j}）,\（j=0,1,2，\ldots\） ,那就是,从正平衡点分支出的一类周期解 \（电子^{*}\） 作为 τ 通过临界值 \（\tau_｛j｝\）,\（j=0,1,2，\ldots\） .

证明

让\（\bar{x}（t）=x（t）-x^{*}\）,\（\bar{y}（t）=y（t）-y^{*}\）然后放下棒子，我们就得到了线性系统

$$\textstyle\begin{cases}\frac{\mathrm{d} x个（t） }{\mathrm{d} 吨}=Mx（t）+Ny（t-\tau），压裂{d} 年（t） }{\mathrm{d} t吨}=Px（t）+Qy（t）。\结束{cases}$$

(3.3)

以下特征方程可由(3.3):

$$\lambda美元^{2}-（Q+M）\lambda-PNe^{-\lambda \tau}+MQ=0$$

(3.4)

什么时候？\（τ=0）, (3.4)成为

$$\lambda美元^{2}-（Q+M）\lambda+MQ-PN=0$$

(3.5)

根据Routh–Hurwitz准则，可以看出(3.5)当\（（\mathrm{高}_{4})\)持有。

现在为\（\tau>0\），假设是这样\（\lambda=iw\）(\（w>0\）)是的根(3.4)对一些人来说τ，那么我们有

$$-w美元^{2}-（Q+M）wi+MQ-PNe^{-iw\tau}=0$$

分离实部和虚部，我们得到

$$\textstyle\begin{cases}-w^{2}+MQ-PN\cos w\tau=0，\-（Q+M）w+PN\sin w\tau=0.，\end{casesneneneep$$

(3.6)

这意味着以下等式：

$$w^{4}+\bigl（Q^{2}+M^{2neneneep \bigr）w^{2{+（MQ）^{2}-（请注意）^{2}=0$$

(3.7)

很容易看出，当\（（\mathrm{高}_{5} ）\）保持(3.7)只有一个正实根，

$$w_{0}=\sqrt{\frac{-（Q^{2}+M^{2{）+\sqrt{（Q^}+M_{2}）^{2} -4个（（MQ）^{2}-（请注意）^{2}）}}{2}}$$

通过替换\（w{0}\）到(3.6)和解决τ，我们可以获得

$$\tau_{j}=\frac{1}{w_{0}}\biggl（\arccos\biggl（\frac}-w_{0}^{2}+MQ}{PN}\bigr）+2j\pi\biggr），\quad j=0,1,2，\ldots$$

(3.8)

因此，当\（τ=τ{j}），特征方程(3.4)有一对纯粹的假想根\（\pm iw_{0}\）.

让\（λ（τ）=α（τ是…的根(3.4)附近\（τ=τ{j}）令人满意的\（\alpha（\tau_{j}）=0\）和\（β（τ{j}）=w{0}）接下来，我们将证明Hopf分支的横截条件。

差异化(3.4)关于τ，我们有

$$\biggl（\frac{\mathrm{d}\lambda}{\mathm{d}\tau}\biggr）^{-1}=\frac{2\lambda-（Q+M）}{-PNe^{-\lambd\tau}\lampda}-\frac{\tau}{\lambda}$$

(3.9)

其中包括(3.4)导致

$$开始{对齐}[b]\operatorname{符号}\biggl\{\operator名称{Re}\bigl}\tau}\biggr）^{-1}_{\tau=\tau_{j}}\biggr\}\\&=\operatorname{sign}\bigl\{\operator name{Re}\bigbl（\frac{Q+M-2\lambda}{\lambda（\lambda^{2}-（Q+M）\lambda+QM）}\biggr^{2} w个_{0}^{2}+（QM-w_{0}^{2}）^{2{}\biggr\}\\&=1。\结束{对齐}$$

(3.10)

因此，如果\（（\mathrm{高}_{5})\)保持不变，则在\（τ=τ{j}）因此，如果\（（\mathrm{高}_{4})\)和\（（\mathrm）{高}_{5})\)等等，那么\（电子^{*}\）是局部渐近稳定的\（\tau<\tau_{0}\）,\（电子^{*}\）对不稳定\（\tau>\tau_{0}\）周围有一个周期解\（电子^{*}\）对于\（\tau=\tau｛j｝\）,\（j=1,2，\ldots\） .

定理的证明3.3已完成。□

4的全局渐近稳定性分析\（E_{0}\）

在Sect。 三，我们研究了\（E_{0}\）。在本节中，我们将分析\（E_{0}\）根据Liapunov–LaSalle不变性原理。我们得到以下定理。

定理4.1

对于任何时间延迟 τ,如果 \（（\mathrm{高}_{1} ）\） 持有,然后是冲刷平衡 \（E_{0}\） 是全局渐近稳定的 \（\压裂{\mu_{m} e（电子）^{-b}}{1+a}<d\）,并对全球具有吸引力 \（\压裂{\mu_{m} e（电子）^{-b}}{1+a}=d\）.

证明

我们已经证明了这一点\（G=\{\varphi=（\varphi_{1}，\varphi_2}）在C|\varphi_1}\geq0中是关于的正不变集(1.2).

考虑功能V（V）在G公司如下：

$$V（x，y）=e^{V_{1}}$$

(4.1)

哪里\（V_{1}=-y（t）+\int_{0}^{t} d日（1-y（t）-\压裂{x（t）}{A+Cy（t{d} t吨\)很明显\（V（x，y）\）持续打开G公司.它沿着的解的导数(1.2)满足

$$开始{对齐}[b]\dot{V}（x，y）|_{\text{（1.2）}}={}&e^{V{1}}\biggl（-\dot}y}（t）+d\biggl（d+kx（t）\较大）+\压裂{\mu_{m} 年（t） }{a+y（t）}e^{-by（t_{m} 年（t） e^{-by（t）}\\&{}-k\bigl。\结束{对齐}$$

(4.2)

自(1.2)具有独特的平衡\（E_{0}\），我们有\（f（y）\leq0）对于任何\（y\在[0，1]\中）因此，对于任何\（t \geq0）

$$\dot{V}（x，y）|_{\text{（1.2）}}\leq0$$

这意味着\（V（x，y）\）是Liapunov函数(1.2)上的G公司.

定义子集E类属于G公司作为\（E={（x（t），y（t））在G\mid\dot{V}（x，y）|_{\text{（1.2）}}=0\}中.来自(4.2)，我们看到了

$$E=\bigl\{\bigl（x（t），y（t）\bigr）\in G\mid x（t$$

让M（M）是最大的不变集(1.2)英寸E类.自\（E_{0}=（0，1）\在M\中）,M（M）不为空。我们分别讨论以下两种情况。

（i） 如果\（\压裂{\mu_{m} e（电子）^{-b}}{1+a}<d\），然后\（f（y（t））<0）在$[0, 1]$因此，

$$E=\bigl\{\bigl（x（t），y（t）\bigr）\in G\mid x（t）=0\bigr\}$$

让\（（x（t），y（t））在M子集E中是…的解决方案(1.2). 我们有\（x（t）等于0）对于任何\（R中的t）从系统的第二个方程(1.2)，我们看到了\（\点{y}（t）=d（1-y（t））\）对于任何\（R中的t）.自\（y（t）\右箭头1\）作为\（t\rightarrow+\infty\），我们有\（y（t）等于1）对于任何\（R中的t）因此，

$$M=\bigl\{（0，1）\bigr\}=\{E_{0}\}$$

根据Liapunov–LaSalle不变性原理，我们可以看到\（E_{0}\）具有全球吸引力。从定理3.2，我们看到了\（E_{0}\）全局渐近稳定。

（ii）如果\（\压裂{\mu_{m} e（电子）^{-b}}{1+a}=d\），那么我们有\（f（y）=0）对于\（y=1）因此，

$$E=\bigl\{\bigl（x（t），y（t）\bigr）\in G\mid x（t$$

如果\（y（t）=1）对一些人来说\（t\在R\中），从不变性G公司，函数\（y（t）\）在处取局部最大值t吨因此，它必须看到\（\点{y}（t）=0\）从系统的第二个方程(1.2)，我们看到了

$$\dot{y}（t）=\bigl（1-y（t）\bigr_{m} 年（t） }{a+y（t）}e^{-by（t$$

自\（y（t）=1），我们看到了\（x（t）=0）。因此，它已经\（x（t）等于0）对于任何\（R中的t）从案例（i）的证据来看，还有\（M=\{（0，1）\}=\{E_{0}\}\）因此，从Liapunov–LaSalle不变性原理中，我们可以看出\（E_{0}\）再次具有全球吸引力。

定理的证明4.1已完成。□

5永久性

在本节中，我们将使用与[30]证明…的永久性(1.2). 我们有以下定理。

定理5.1

在这种情况下 \（（\mathrm{高}_{1})\),任何时间延迟 τ,\（（\mathrm{高}_{3})\) 是(1.2).

证明

如果\（（\mathrm）{高}_{3})\)无效，则冲刷平衡\（E_{0}\）第页，共页(1.2)全局渐近稳定或全局吸引。因此，我们只需要证明其充分性。从永久性的定义来看，我们需要证明

$$\liminf_{t\rightarrow+\infty}x（t）\geq v_{2}$$

(5.1)

哪里\（v{2}\）是一个不依赖于初始函数的正常数φ.证明分为两个步骤。

第一步，我们将证明

$$\liminf_{t\rightarrow+\infty}x（t）>0$$

(5.2)

因为我们有不变性G公司，考虑解决方案就足够了\（（x（t），y（t））\） \（（t\geq0）\）使用初始函数\（G中的\varphi\）从上面的讨论中，我们可以看到ω极限集\（\omega（\varphi）\）属于\（（x（t），y（t））\） \（（t\geq0）\）非空、紧凑、不变且\（\omega（\varphi）\子集G\）.

如果\（\liminf_{t\rightarrow+\infty}x（t）=0\），我们将表明存在矛盾。

事实上，因为\（\liminf_{t\rightarrow+\infty}x（t）=0\），我们看到存在一个正的时间序列\（{t_{n}）:\（t_{n}\rightarrow+\infty\）作为\（n\rightarrow+\infty\）这样的话

$$\lim_{t_{n}\rightarrow+\infty}x（t_{n{）=0，\qquad\dot{x}（t_{n}）\leq0，\quad x（t）\geq x（t_{n}）\ quad（t_{无}-\tau\leq t\leq t_{n}）$$

根据定理2.1，解决方案\（（x（t），y（t））\）对于任何\（t\geq0\）.来自(1.2)，解决方案\（（x（t），y（t））\）对于任何\（t \geq0）因此，根据Ascoli定理，有一个子序列\（{t_{n}），仍表示为\（{t_{n}），因此

$$\lim_{t_{n}\rightarrow+\infty}\bigl（x（t_{n}），y（t_{n}）\bigr）=\bigle（\bar{x}（t），\bar{y}（t）\biger）$$

一致开启对在更广泛的意义上。从不变性G公司和定理4.1，我们看到了\（G中的（\bar{x}（t），\bar{y}（t））对于任何\（R中的t）任何情况下\（R中的tau），函数\（（\bar｛x｝（t+\tau），\bar｛y｝（t+\tau））\）属于t吨是的解决方案(1.2)使用初始函数\（（\bar{x}_{\tau}，\bar{y}（y）_{\tau}）\）。这里我们注意到\（\bar｛x｝（0）=0\）和\（v{1}\leq\bar{y}（t）\leq1\）对于\（R中的t）.

我们声称\（（\bar{x}（t），\bar{y}（t））=（0，1）\）为所有人\（R中的t）事实上，如果\（\varphi_{1}（0）>0\），然后我们看到解决方案\（（x（t），y（t））\）第页，共页(1.2)存在并且\（x（t）>0）和\（y（t）>0）为所有人\（t \geq0）因此，从\（\bar{x}（0）=0\），我们进一步看到\（\bar{x}（t）=0\）对于任何\（t<0）因此，从(1.2)，我们看到了\（\bar{x}（t）\equiv0\）对于任何\（R中的t）还有那个\（\bar{y}'（t））=d（1-\bar{y}（t）对于任何\（塔格陶）因此，

$$\bar{y}（t）=\bar{y}（0）e^{-dt}+1-e^{-dt}\quad（t\geq\tau）$$

从任意性τ，我们看到了

$$\bar{y}（t）=1+\bigl（\bar{y}（0）-1\bigr）e^{-dt}$$

来自定理2.1，我们知道\（\bar{y}（t）\）对于任何\（R中的t）因此，我们有\（\bar｛y｝（0）=1\），这意味着\（\bar{y}（t）=1\）对于任何\（R中的t）.来自系统(1.2)和不变性G公司，我们看到了\（（\bar{x}（t），\bar{y}（t））=（0，1）\）对于任何\（R中的t）因此，上述主张成立。

特别是，我们看到了

$$\begin｛aligned｝&&lim_｛n\rightarrow+\infty｝x（t_｛n｝）=\bar｛x｝（0）=0，\\&&lim_｛n\rightarrow+\infty｝y（t_{无}-\τ）=\bar{y}（-\tau）=1，\\&\lim{n\rightarrow+\infty}\frac{\mu_{m} 年（t）_{无}-\τ）}{a+y（t_{无}-\τ）}e^{-通过（t_{无}-\τ）}=\frac{\mu_{m} e（电子）^{-b}}{a+1}>d.结束{aligned}$$

对于足够小的\（epsilon>0\）并且足够大n个，我们有

$$\压裂{\mu_{m} 年（t）_{无}-\τ）}{a+y（t_{无}-\τ）}e^{-通过（t_{无}-\τ）}-kx（t{n}）>frac{mu_{m} e（电子）^{-b}}{a+1}-\epsilon>d$$

因此，

$$\begon｛aligned｝\dot｛x｝（t_｛n｝）&=\bigl（\frac｛\mu_{m} 年（t）_{无}-\τ）}{a+y（t_{无}-\τ）}e^{-通过（t_{无}-\τ）}-d-kx（t{n}）\biggr）x（t}n}_{m} e（电子）^{-b}}{a+1}-\epsilon-d\biggr）x（t{n}）>0，\end{aligned}$$

这与\（\dot{x}（t{n}）\leq0\）.

证明\（\liminf_{t\rightarrow+\infty}x（t）>0\）已完成。

第二步，我们将证明

$$\liminf_{t\rightarrow+\infty}x（t）\geqv_{2}$$

对于任何初始功能序列\（\{\varphi_{n}\}=\{（\varphi_1}^{（n）}，\varphi_2}^{（n）{）\}\子集G），让\（（x^{（n）}（t），y^{是…的解决方案(1.2)使用初始函数\（\varphi_{n}\）.让\（\欧米伽{n}（\瓦尔斐{n{）\）是ω极限集\（（x^{（n）}（t），y^{.我们看到有一些紧不变集\（\omega^{*}\subset G\）这样的话\（距离（\omega_{n}（\varphi_{n{），\omega^{*}）\rightarrow0\）作为\（n\rightarrow+\infty\）.给，\（距离（\omega_{n}（\varphi_{n{），\omega^{*}）\）指Hausdorff距离。

如果(5.1)不适用于某些初始功能序列\（\{\varphi_{n}\}=\{（\varphi_1}^{（n）}，\varphi_2}^{（n）{）\}\子集G）这样的话\（\varphi_｛1｝^｛（n）｝（0）>0\），我们看到有一些\（\bar{\varphi}=（\bar}\varphi{{1}，\bar{\ varphi}{2}）\in\omega^{*}\）这样的话\（\bar{\varphi}{1}（\theta{0}）=0\）对一些人来说\（[-\tau，0]\中的theta_{0}\）现在，让我们\（（\bar{x}（t），\bar{y}（t））是…的解决方案(1.2)使用初始函数φ̄然后，从不变性\（\ω^{*}\），我们看到了\（（\bar{x}_{t} ，\bar{y}（y）_{t} ）\在\ω^{*}\中）对于任何\（R中的t）.来自\（\bar{\varphi}{1}（\theta{0}）=0\）以及所有解决方案的积极性，我们很容易看到\（\bar{x}（t）=0\）为所有人\（t\leq\theta_{0}\）因此，从(1.2)，我们有\（\bar{\varphi}_{1}（\theta）=0\） \（（-\tau\leq\theta\leq0））和\（\bar{x}（t）=0\） \（R中的（t））。这意味着\（\bar{x}（t）=0\）,\（\bar{y}（t）=h（t）\）为所有人\（R中的t），其中\（h（t）=1+（\bar｛\varphi｝_｛2｝（0）-1）e^｛-dt｝\）.

如果\（\bar{\varphi}_{2}（0）<1\），我们看到负半轨道\（（\bar{x}_{t} ，\bar{y}（y）_{t} ）\） \（（（t\leq0）\）是无界的。这是一个矛盾。

如果\（\bar{\varphi}_{2}（0）=1\），我们看到了\（\bar{x}（t）=0\）,\（\bar{y}（t）=1\）对于任何\（R中的t）。这表明\（\bar{\varphi}=（0，1）=E_{0}\在\omega^{*}\中）。我们将展示这一点\（E_{0}\）是孤立的。也就是说，有一些邻居U型属于\（E_{0}\）在里面G公司这样的话\（E_{0}\）是中最大的不变集U型事实上，我们选择

$$U=\bigl\{\varphi\mid\varphi=（\varphi_{1}，\varphi_2}）\in\bar{G}，\垂直\varphi-E_{0}\Vert<\epsilon\bigr\}$$

对于一些足够小的正常数ϵ和\（\epsilon<\frac{\mu_{m} e（电子）^{-b}-d（a+1）}{\mu_{m} e（电子）^{-b}-d}\).我们将证明这一点\（E_{0}\）是中最大的不变集U型对一些人来说ϵ.

如果不是，对于任何足够小的ϵ，存在一些不变集W公司 \（（W\子集U）\）这样的话\（W\设置负E_{0}\）不为空。让\（\varphi=（\varfi_{1}，\varphi_{2}）\在W\集合减去E_{0}\中）和\（（x{t}，y{t}）\）是的解决方案(1.2)使用初始函数φ.然后，\（（（x_{t}，y_{t{）在W中）为所有人\（R中的t）.

如果\（\varphi_{1}（0）=0\），根据的不变性W公司和定理2.1，我们也有矛盾\（\varphi=E_{0}\）或者负半轨道\（（x{t}，y{t}）\） \（t<0）第页，共页(1.2)通过φ是无限的。

如果\（\varphi_{1}（0）>0\），来自定理2.1，我们有\（x（t）>0）对所有人来说\（t \geq0）现在，让我们考虑以下连续函数：

$$P（t）=x（t）+\rho\int_{0}^{t}kx^{2}（t）\，\mathrm{d} t。 $$

(5.3)

对于一些常量\（\rho>1\）.自\（（（x_{t}，y_{t{）在W中）为所有人\（R中的t），我们有\（1-\epsilon\leqy（t）\leq1）为所有人\（R中的t）.的时间导数\（P（t）\）沿着解决方案\（（x（t），y（t））\）满足

$$\开始{对齐}[b]\dot{P}（t）&=\dot}x}（t）+\rho kx^{2}（c）\\&=x（t）\biggl（\frac{\mu_{m} 年（t-\tau）}{a+y（t-\tao）}e^{-by（t-\t）}-\bigl（d+kx（t）\bigr）+\rho-kx^{2}（t_{m} 年（t-\tau）｝｛a+y（t-\tau）｝e^｛-by（t-\tau）｝-d\rho\biggr）\\&&\geq（\rho-1）\bigl（d+kx（t）\bigr）x（t）+x（t）\bigl（\frac｛\mu_{m} e（电子）^{-b}（1-\epsilon）}{a+1-\epsilen}-d\rho\biggr）。\结束{对齐}$$

(5.4)

自\（\epsilon<\frac{\mu_{m} e（电子）^{-b}-d（a+1）｝｛\mu_{m} e（电子）^{-b}-d}\)和\（\压裂{\mu_{m} e（电子）^{-b}}{a+1}>d\），我们看到了\（\压裂{\mu_{m} e（电子）^{-b}（1-\ε）}{a+1-\ε}>d\）。我们可以选择\（\rho>1\）这样的话\（1<\rho<\frac｛\mu_{m} e（电子）^{-b}（1-\epsilon）}{d（a+1-\epsilen）}\）.来自(5.2)，对于一些常量η而且都很大\（t\geq t_{5}>0），我们看到了\（x（t）\geq\eta>0）因此，从(5.4)

$$\dot{P}（t）\geq（\rho-1）\bigl（d+kx（t）\ bigr）x（t$$

(5.5)

因此，\（P（t）\右箭头+\输入\）作为\（t\rightarrow+\infty\）这与定理相矛盾2.1我们看到了\（E_{0}\）是孤立的。

很容易看出，由(1.2)满足引理4.3的条件[31]带有\（M=E_{0}\）因此，从引理中，我们可以看到\（\xi=（\xi{1}，\xi{2}）这样的话\（\xi\in\omega^{*}\cap（W^{s}（E_{0}）\set-buse-E_{0{）\）.给，\（W^｛s｝（E_｛0｝）\）是的稳定集合\（E_{0}\）.

如果\（\xi_{1}（0）=0\），根据的不变性M（M）和定理2.1，我们有一个矛盾\（\xi=E_{0}\）或者负半轨道\（（\波浪号{x}_{t} ，\颚化符{y}（y）_{t} ）\） \（（t＜0）\）第页，共页(1.2)通过ξ是无限的。

如果\（\xi_{1}（0）>0\），根据定理2.1，我们看到了\（\波浪线{x}（t）>0\）,\（\波浪线{y}（t）>0\）对于任何\（t>0）.来自\（\xi\in\omega^{*}\cap（W^{s}（E_{0}）\set-buse-E_{0{）\），我们有\（\lim_{t\rightarrow+\infty}\波浪线{x}（t）=0\）,\（\lim_{t\rightarrow+\infty}\波浪线{y}（t）=1\），这与(5.2). 这表明(5.1)持有。因此(1.2)是永久的。

定理的证明5.1已完成。□

6讨论和数值模拟

本文研究了一个具有Tissiet函数响应、线性可变屈服和时滞的涡轮机模型。利用比较原理和泛函微分方程的一些知识，得到了方程解的整体存在性和有界性(1.2). 此外，基于Liapunov–LaSalle不变性原理，我们还获得了(1.2). 结果表明，时滞对冲蚀平衡的局部和全局稳定性是无害的(1.2). 然而，随着时滞的变化，正平衡点的稳定性将发生变化，并且会出现Hopf分岔。最后，我们证明了系统是永久的当且仅当正平衡\（电子^{*}\）存在。不幸的是，在本文中，我们只考虑了正平衡存在的一种情况。其他情况应留作将来的工作。

在本节中，我们提供了数值模拟来说明分析结果。通过设置\（a=1.2）,\（mu{m}=2.5\）,\（b=0.1）,\（d=0.2）,\（k=0.5）,\（A=0.2）和\（C=1.8\），我们得到以下系统的具体示例(1.2):

$$\textstyle\begin{cases}\frac{\mathrm{d} x个（t） ｝｛\mathrm{d} t吨}=x（t）（压裂{2.5y（t-\tau）}{1.2+y（t-\t）}e^{-0.1y（t-tau）}-（0.2+0.5x（t{d} 年（t） }{\mathrm{d} t吨}=（1-y（t））（0.2+0.5x（t）。\结束{cases}$$

(6.1)

很容易看出\（（\mathrm{高}_{1})\)和\（（\mathrm{高}_{3})\)保持。因此，系统(6.1)具有正平衡\（E^{*}=（x^{*{，y^{*neneneep）=（0.5,0.27）\）.通过简单计算，条件\（（\mathrm{高}_{4})\)和\（（\mathrm{高}_{5})\)等等，我们有\（w_{0}\doteq0.206\）,\（\tau_{0}\doteq10.1\）和\（\operatorname{Re}\{（\frac{\mathrm{d}\lambda}{\mathm{d}\tau}）^{-1}_{\lambda=iw_{0}}=12.42>0\）.根据定理3.3，正平衡\（电子^{*}\）当\（τ=9） \（<\tau_{0}\）（参见图1). 正平衡\（电子^{*}\）不稳定且发生Hopf分岔，即分岔周期解发生于\（电子^{*}\）什么时候\（τ=11） \（>\tau_{0}\）（参见图2).

图1

正平衡\（E^{*}=（0.5,0.27）\）第页，共页(6.1)当\（τ=9<τ{0}doteq 10.1）.在这里\（（x（0），y（0））=（0.2,0.4）\）

图2

正平衡\（E^{*}=（0.5,0.27）\）第页，共页(6.1)是不稳定的，并且从\（电子^{*}\）什么时候\（τ=11>τ{0}doteq 10.1）.在这里\（（x（0），y（0））=（0.2,0.4）\）