LG–具有Lévy噪声和白噪声的Holling II型疾病捕食者生态系统

摘要

本文考虑一个具有Lévy噪声和白噪声的LG–HollingⅡ型病态捕食者生态系统。在这个食饵-捕食者系统中，假设捕食者种群被疾病感染并分为两类：易感捕食者和受感染捕食者，我们证明了该系统具有唯一的全局正解。我们研究了种群的均值持久性和灭绝，通过Itôs公式和随机系统的比较定理获得了灭绝的阈值条件、均值持久性。此外，我们还讨论了第页第个时刻\（p>0）并揭示了系统的随机最终有界性。最后，介绍了一些数值模拟来说明我们的分析结果。

1介绍

在生态学中，猎物-捕食者系统一直是重要的组成部分，最经典的模型是Lotka–Volterra模型。出乎意料的是，Leslie在捕食者的承载能力与猎物数量成正比的前提下引入了以下模型[1,2]:

$$\left\{\textstyle\begin{array}{l}\frac{dN_{1}}{dt}=（r_{1} -a个_{1} N个_{1} -b个_{2} N个_{2} ）N_{1}，\\frac{dN_{2}}{dt}=（r_{2} -b个_{2} \frac{N{2}}{N{1}}）N{2{，\end{array}\displaystyle\right$$

(1)

在这里\（N_{1}\）和\（N_{2}\）代表了当时猎物和捕食者的密度t吨分别是。\（r{1}\）和\（r{2}\）是猎物和捕食者种群的固有增长率。\（b{2}\）是转化率。Leslie认为捕食者的数量仍然随着携带能力的增加而在逻辑上增长\（\压裂{r_{2} N个_{1} }{b{2}}\）.

Leslie假设捕食者种群的增长仍然满足logistic规则，但承载能力是由捕食者种群密度决定的，这与普通模型中的常数不同。最近，有许多专家和研究人员研究或改进了Leslie型食饵-捕食者模型。模型中引入了时滞、脉冲、食物链、疾病、环境污染、反应扩散等，参见[三——8].

在[9]，Sarwardi在捕食者-食饵生态系统中的捕食者之间引入了一种传染性疾病，通过以下带有非负参数的方程进行建模：

$$\left\{\textstyle\begin{array}{l}\frac{dx}{dt}=a_{1} x-b型_{1} x^{2}-\压裂{c_{1} xy公司}{x+k{1}}-\压裂{pc_{1} x赫兹}{x+k{1}}，\\frac{dy}{dt}=a_{2} 年-\压裂{c_{2} 年（y+z）}{x+k{2}}-\lambda-yz，\\frac{dz}{dt}=\lambda yz+a_{3} z（z）-\压裂{c_{3} z（z）（y+z）}{x+k{2}}。\结束{array}\displaystyle\right$$

(2)

该系统包括Holling II型功能响应和Leslie–Gower型功能响应的改进版本。在系统中(2)，做出以下假设：

• （A1） \（x（t）\）表示当时的猎物密度t吨假设疾病只在捕食者之间传播，\（y（t）\）和\（z（t）\）表示当时易感捕食者和受感染捕食者的密度t吨，捕食者的总数量为\（n（t）=y（t）+z（t）\）.疾病传播率为λ.

• （A2） 在没有捕食者的情况下，猎物种群以内在增长率逻辑增长\（a{1}>0\）和承载能力\（a）_{1} b条_{1}^{-1}\).\（c{1}\）和\（pc{1}\）是易感和受感染捕食者的捕食率。由于疾病感染，受感染捕食者的捕食能力略低于易感捕食者；因此，\（0<p<1）.

• （A3） 在这里\（a{2}\）,\（a{3}\）是每个捕食者种群的人均增长率。参数\（k{1}\）,\（k{2}\）分别表示捕食者和被捕食者种群的半饱和常数。此外，作者通过参数介绍了捕食者声音和受感染亚群之间的种内竞争\（c{2}\）和\（c{3}\），其中\（c{2}>c{3}\）.

作者研究了系统平衡点的稳定性(2)和坚持。

自然世界的人口增长不可避免地受到环境扰动的影响。在过去的几十年中，模型中引入了白噪声来模拟环境的随机扰动。然而，突发环境扰动，如地震、飓风、洪水等，不能用白噪声建模，白噪声通常用于描述那些稳定的、连续的随机干扰。Bao等人[10,11]首先提出用Lévy噪声来描述这些现象。目前，有许多研究论文考虑Lévy噪声[6,12——17]. 本文使用白噪声和Lévy噪声来模拟环境的随机变化。考虑以下带跳跃的系统：

$$\left\{\textstyle\begin{array}{l}dx（t）=[a_{1} x（t） -b个_{1} x^{2} （t）-\压裂{c_{1} x（t） y（t）}{x（t）+k{1}}-\分数{\波浪线{p} c（c）_{1} x（t） z（t）}{x（t）+k{1}}]\，dt\\幻影{dx（t_{1} x（t） \，dB_｛1｝（t）+\int_｛\mathbb｛Y｝｝\gamma_｛1｝（u）x（t^｛-｝）\tilde｛N｝（dt，du），\\dy（t）=[a_{2} 年（t） -\压裂{c_{2} 年（t） （y（t）+z（t））}{x（t）+k{2}}-\βy（t_{2} 年（t） \，dB_{2}（t）+\int_{\mathbb{Y}}\gamma_{2{（u）Y（t^{-}）\ tilde{N}（dt，du），\\dz（t）=[\betay（t）z（t_{3} z（z）（t） -\压裂{c_{3} z（z）（t） （y（t）+z（t））}{x（t）+k{2}}]\，dt\\幻影{dz（t_{3} z（z）（t） \，dB_{3}（t）+\int_{\mathbb{Y}}\gamma_{3{（u）z（t^{-}）\ tilde{N}（dt，du），\end{array}\displaystyle\right$$

(3)

使用初始值\R中的（（x_{0}，y_{0{，z_{0neneneep）^{3}_{+}\)。为了方便起见，我们使用p̃和β而不是第页和λ在系统中(三)分别是。\（B_{1}（t）\）,\（B_{2}（t）\）和\（B_{3}（t）\）是定义在完全概率空间上的相互独立的布朗运动\（（\Omega，\mathcal{F}，\mathcal{P}）\）带过滤装置\（{\{\mathcal{F}（F）_{t} R{+}}中的}{t）满足通常的条件。\（\sigma{i}^{2}\）(\（i=1,2,3）)表示白噪声的强度。在系统中(三),\（x（t^{-}）\）,\（y（t^{-}）\）和\（z（t^{-}）\）是的左边极限\（x（t）\）,\（y（t）\）和\（z（t）\）分别是。N个是具有特征测度的泊松计数测度λ关于可测量子集\（\mathbb{Y}\）属于\（（0，+\infty）\）具有\（\lambda（\mathbb{Y}）<\infty\）,\（波浪线{N}（dt，du）=N（dt、du）-\lambda（du）\，dt\）,\（\gamma_{i}:\mathbb{Y}\times\Omega\rightarrow\mathbb{R}\）有界且连续λ，并且是\（\mathcal{B}（\mathbb{Y}）\times\mathcal{F}（F）_{t} \）-可衡量的，\（i=1,2,3）.

为了简单起见，我们引入了以下符号：

$$\begin{collected}w_{i}=a_{我}-\压裂{\sigma{i}^{2}}{2}-\int_{\mathbb{Y}}\bigl[\gamma_{i}（u）-\ln\bigl（1+\gamma_2}（u）\bigr）\biger]\lambda（du），\quad i=1,2,3\\R_{+}^{3}=\bigl\{（\eta_{1}，\eta_2}，\ta_{3}）^{T}\在R^{3{|\eta{i}>0中，i=1,2,3\bigr\}。\结束{聚集}$$

假设1

存在一个常量c（c）令人满意的

$$\int_{\mathbb{Y}}\bigl[\ln\bigl（1+\gamma_{i}（u）\biger）\bigr]^{2}\lambda（du）<c，\quad i=1,2,3$$

在本文中，我们假设1是真的。

2整体正解的存在性

定理1

对于任何初始值 \（R{+}^{3}中的（（x{0}，y{0}，z{0}）,系统(三)拥有独特的全球解决方案 \R_{+}^{3}中的（（x（t），y（t）和z（t）） 对于 \（t \geq0）,解决方案将保留在 \（R_｛+｝^｛3｝\） 几乎可以肯定.

证明

首先，让我们考虑以下系统：

$$\left\{\textstyle\begin{array}{l}du（t）=[w_{1} -b个_{1} exp（u（t））-\frac{c{1}\exp（v{1}（t）{p} c（c）_{1} exp（v{2}（t））}{exp（u（t）_{2}-\裂缝{c{2}）\波浪线{N}（dt，du），\\dv{2}（t）=[w{3}+\beta\exp 3}（t）+\int_{mathbb{Y}}\ln（1+\gamma_{3}（u））\tilde{N}（dt，du），\end{array}\displaystyle\right$$

(4)

在\（t \geq0）使用初始数据\（（\ln x_｛0｝，\ln y_｛0｝，\ln z_｛0｝）\）显然，系统的系数(4)满足局部Lipschitz条件，则在\（[0，\tau_{e}）\），其中\（tau_{e}\）是爆炸时间。因此，根据Itó's公式，\（（\exp（u（t）），\exp是系统唯一的正局部解(三)使用初始值\（R{+}^{3}中的（（x{0}，y{0}，z{0}）.然后，我们将显示\（\tau_{e}=infty\）即系统的解决方案(三)是全球存在的。

考虑随机微分方程：

$$\left\{\textstyle\begin{array}{l}d\Phi{1}（t）=\Phi{1'（t）[a_{1} -b个_{1} \Phi{1}（t）]\，dt+\sigma{1}\Phi_{1}\（t）\，dB{1}_（t）+\int_{\mathbb{Y}}\gamma{1}-（u）\Phi_1}（t^{-}）\tilde{N}（dt，du），\\d\Phi_2}_{2}-\裂缝{c{2}\Phi{2}（t Phi{3}（t）[\beta\Phi{2}（t）+a_{3}-\裂缝{c_{3}\Phi_3}（t）}{\Phi_1}du），\end{array}\displaystyle\right$$

(5)

和

$$\left\{\textstyle\begin{array}{l}d\Psi{1}（t）=\Psi{1'（t）[a_{1} -b个_{1} \Psi{1}（t）-\frac{c{1}\Phi{2}（t）}{k{1}-\frac{\波浪线{p} c（c）_{1} \Phi{3}（t）}{k{1}}]\，dt\\幻影{d\Psi{1}（t）=}+\sigma{1}\Psi{1'（t）\，dB{1}-（t）+\int_{\mathbb{Y}}\gamma{1\}（u）\Psi_{1\（t^{-}）\ tilde{N}（dt，du），\\d\Psi{2}（t=\Ps i{2}（t）[a_{2}-\frac｛c｛2｝\Psi_｛2｝（t）｝｛k_｛2｝}-\frac｛c｛2｝\Phi _｛3｝（t）｝｛k_｛2｝}-\beta\Phi _｛3｝（t）]\，dt\\phantom｛d \Psi_｛2｝（t）=｝+\sigma_｛2｝\Psi_｛2｝（t）\，dB_｛2｝（t）+\int _｛\mathbb｛Y｝｝｝\gamma_｛2｝（u）\Psi_｛2｝（t^｛-｝）\颚化符｛N｝（dt，du），\\d\Psi_｛3｝（t）=\Psi_｛3｝（t）[\beta\Psi_｛2｝（t）+a_{3}-\压裂{c{3}\Phi{2}（t）}{k{2}}-\压裂{c}3}\Psi{3}{3}（t^{-}）\波浪线{N}（dt，du）。\结束{array}\displaystyle\right$$

(6)

根据随机微分方程的比较定理[18]，我们可以得到它，因为\（在[0，\tau_{e}中）,

$$\Psi_{1}（t）\leq x（t）\ leq\Phi_{1{（t$$

通过引理4.2[10]，我们可以看到\（\Phi_{i}（t）\）和\（\Psi_{i}（t）\）(\（i=1,2,3）)不会在任何有限时间内爆炸，这意味着\（\Phi_{i}（t）\）和\（\Psi_{i}（t）\）存在于\（t \geq0）因此，我们获得\（tau_{e}=+\infty\）定理的证明1已完成。□

根据引理4.4 in[10]和方程式(5)，我们知道

$$\limsup_{t\rightarrow\infty}\frac{\ln\Phi{i}（t）}{\lnt}\leq1，\quad\text{a.s.}$$

对于\（i=1,2,3），何时

$$\sup_{t\geq0}\int_{0}^{t}\int_{\mathbb{Y}}\exp（s-t）\bigl[\gamma_{i}（u）-\ln\bigl（1+\gamma_{i}（u）\bigr）\biger]\lambda（du）\，ds<\infty$$

注意限制\（\lim_{t\rightarrow\infty}\frac{\lnt}{t}=0\）,\（\limsup_{t\rightarrow\infty}\frac{\ln\Phi_{i}（t）}{t}\leq0\）为获得\（i=1,2,3），a.s。然后，它从[18]那个

$$\开始{aligned}\limsup_{t\rightarrow\infty}\frac{\ln x（t）}{t}\leq\limsup _{t\rightarrow \infty}\frac{\ln\Phi_{1}（t）{t}\leq0，\quad\text{a.s.}，\\limsup_{t\right arrow\finfty{frac{ln y（t）ln\Phi_{2}（t）}{t}\leq0，\quad\text{a.s.}，\\limsup_{t\rightarrow\infty}\frac{lnz（t）{t}\leq\limsup_{t\rightarrow\infty}\frac{\ln\Phi_{3}（t）}{t}\leq0，\quad\text{a.s.}\end{aligned}$$

因此，我们有如下引理。

引理1

假设,对于任何 \（t \geq0） 和 \（i=1,2,3）,

$$\sup_{t\geq0}\int_{0}^{t}\int_{\mathbb{Y}}\exp（s-t）\bigl[\gamma_{i}（u）-\ln\bigl（1+\gamma_{i}（u）\bigr）\biger]\lambda（du）\，ds<\infty$$

然后,对于任何初始值 \（R{+}^{3}中的（（x{0}，y{0}，z{0}）,解决方案 \（（x（t），y（t），z（t））\） 系统的(三)满足

$$\limsup{t\rightarrow\infty}\frac{\ln x（t）}{t}\leq0，\qquad\limsup_{t\right arrow\finfty{frac{ln y（t）{t}\ leq0$$

三中庸与消亡的坚持

引理2

（参见Liu等人[14])

假设 \（Z（t）\在C中（\Omega\times[0，\infty），R_{+}）\）,然后让 \（\int_{\mathbb{Y}}[\ln（1+\gamma{i}（u））]^{2}\lambda（du）<c\）,\（i=1,2）,持有.

• （一） 如果存在两个正常数 T型 和 \（\增量{0}\） 这样的话

  $$\ln Z（t）\leq\增量t-\增量{0}\int_{0}^{t} Z轴（s） \，ds+\alpha B（t）+\sum_{i=1}^{2}\delta_{i}\int_{0}^{t}\int_{\mathbb{Y}}\ln\bigl（1+\gamma_{i{（u）\bigr）\tilde{N}（ds，du），\quad\textit{a.s.}$$

  为所有人 \（t \geq t）,哪里 α,\（\增量{1}\） 和 \（\增量{2}\） 是常量,然后

  $$\left\{\textstyle\begin{array}{l@{quad}l}\limsup_{t\rightarrow\infty}\frac{1}{t}\int_{0}^{t} Z轴（s） \，ds\leq\delta/\delta_{0}，&\textit{a.s.}，\textit{if}\delta\geq0；\\\lim_{t\rightarrow\infty}Z（t）=0，&\textit{a.s.}，\textit}if}\delta<0。\结束{array}\displaystyle\right$$

• （二） 如果存在三个正常数 T型,δ 和 \（\增量{0}\） 这样的话

  $$\ln Z（t）\geq\delta t-\delta_｛0｝\int_｛0｝^{t} Z轴（s） \，ds+\alpha B（t）+\sum_{i=1}^{2}\delta_{i}\int_{0}^{t}\int_{\mathbb{Y}}\ln\bigl（1+\gamma_{i{（u）\bigr）\tilde{N}（ds，du），\quad\textit{a.s.}$$

  为所有人 \（t \ geq t \）,然后 \（\liminf_{t\rightarrow\infty}\frac{1}{t}\int_{0}^{t} Z轴（s） \，ds\geq\delta/\delta_{0}\）,一.秒.

定义1

假设\（米（吨）\）是当时的人口密度t吨:

• (1) 如果\（\lim_{t\rightarrow\infty}m（t）=0\），a.s.，然后是物种\（米（吨）\）据说已经灭绝了。

• (2) 如果\（\lim_{t\rightarrow\infty}\frac{1}{t}\int_{0}^{t} 米（s） \，ds>0\），a.s.，然后是物种\（米（吨）\）被称为平均值稳定。

• (3) 如果\（\liminf_{t\rightarrow\infty}\frac{1}{t}\int_{0}^{t} 米（s） \，ds>0\），a.s.，然后是物种\（米（吨）\）据说在平均值上具有很强的持久性。

• (4) 如果\（\limsup_{t\rightarrow\infty}\frac{1}{t}\int_{0}^{t} 米（s） \，ds>0\），a.s.，然后是物种\（米（吨）\）平均来说是弱持久性的。

显然，如果物种\（米（吨）\）在均值中是稳定的，在均值中必须是强持久或弱持久的。

将Itós公式用于系统(三)给予

$$\left\{\textstyle\begin{array}{l}d\ln x（t）=[w_{1} -b个_{1} x（t） -\压裂{c_{1} 年（t） }{x（t）+k{1}}-\分数{\波浪线{p} c（c）_{1} z（z）（t） }{x（t）+k{1}}]\，dt\\幻影{d\lnx（t_{2}-\裂缝{c{2}（y（t）+z（t））}{x（t）+k{2}}-\betaz（t（t）+z（t））}{x（t）+k{2}}]\，dt+\sigma{3}\，dB{3}（t）+/int_{mathbb{y}}\ln（1+\gamma{3}（u））\tilde{N}（dt，du）。\结束{array}\displaystyle\right$$

(7)

用于系统两侧(7)，从0积分到t吨并乘以\（\压裂{1}{t}\）, (7)等于

$$\left\｛\textstyle\ begin｛array｝｛l｝\frac｛\ln x（t）-\ln x_｛0｝｝｛t｝=w_{1} -b_{1} \压裂{1}{t}\int_{0}^{t} x个（s） \，ds-\分形{1}{t}\int_{0}^{t}\分形{c_{1} 年（s） }{x（s）+k{1}}\，ds-\分数{1}{t}\int{0}^{t}\分数{\波浪线{p} c（c）_{1} z（z）（s） }{x（s）+k{1}}\，ds+frac{\sigma_{1} B类_{1} （t）}{t}+frac{M{1}（t）{t}，\\frac{lny（t）-lny{0}}{t{=w_{2}-\压裂{1}{t}\int_{0}^{t}\压裂{c{2}（y（s）+z（s））}{x（s）+k{2}}\，ds-\beta\frac{1}}{t{0}^{t} z（z）（s） \，ds+\压裂{\西格玛_{2} B类_{2} （t）}{t}+\压裂{M_{2}（t）{t}，\\压裂{lnz（t）-\lnz{0}}{t{=w{3}+\β\压裂{1}{tneneneep^{t} 年（s） \，ds-\压裂{1}{t}\int_{0}^{t}\压裂{c{3}（y（s）+z（s））}{x（s）+k{2}\，ds+\压裂{\sigma_{3} B类_{3} （t）}{t}+\frac{M_{3}（t）{t}，\end{array}\displaystyle\right$$

(8)

哪里\（M_{i}（t）=\ int_{0}^{t}\int_{mathbb{Y}}\ln（1+\gamma_{i{（u））\tilde{N}（ds，du）\）,\（i=1,2,3）.

\（M_{i}（t）\）是局部鞅，根据的命题2.4[19]和假设1，其二次变量为

$$\开始{对齐}\langle M_{i}，M_{i}\rangle（t）&=\int_{0}^{t}\int_}\mathbb{Y}}\bigl[\ln\bigl（1+\gamma_{i{（u）\bigr]^{2}\lambda（du）\ bigr]^{2}\lambda（du）\\&<ct，\quad i=1,2,3。\结束{对齐}$$

根据强大数定律，我们有

$$\lim_{t\rightarrow\infty}\frac{M_{i}（t）}{t}=0，\quad\text{a.s.}i=1,2,3$$

(9)

显然，

$$\lim_{t\rightarrow\infty}\frac{B_{i}（t）}{t}=0，\quad\text{a.s.}i=1,2,3$$

(10)

在下文中，我们讨论了猎物和捕食者种群的平均持续性和灭绝。

定理2

• （i） 如果 \（w{i}<0\）(\（i=1,2,3）),猎物种群 \（x（t）\） 以及捕食者种群 \（y（t）\） 和 \（z（t）\） 将有可能灭绝1

• （ii） 如果 \（w{1}<0\）,\（w{2}<0\） 和 \（w{3}>0\）,猎物种群 \（x（t）\） 和易感捕食者种群 \（y（t）\） 将会灭绝,一.秒。，受感染的捕食者种群 \（z（t）\） 将在平均值上保持稳定,我.e（电子）。，\（\lim_{t\rightarrow\infty}\frac{1}{t}\int_{0}^{t} z（z）（s） \，ds=\压裂{w_{3} k个_{2} }{c{3}}\）.

• （iii） 如果 \（w{1}<0\）,\（w{2}>0\） 和 \（w{3}<0\）,猎物种群 \（x（t）\） 将会灭绝,捕食者种群的增长分为以下两种情况:

  • （a） 什么时候 \（w{3}+\压裂{\βk{2}}{c{2}{w{2}<0\）,然后是易感的捕食者 \（y（t）\） 平均值将是稳定的,\（\lim_{t\rightarrow\infty}\frac{1}{t}\int_{0}^{t} 年（s） \，ds=\压裂{w_{2} k个_{2} }{c{2}}\）,和被感染的捕食者 \（z（t）\） 将会灭绝,一.秒.

  • （b） 什么时候 \（w{3}+\压裂{\βk{2}}{c{2}{w{2}>0\）,\（w{2}>\压裂{（c{2}+k{2}\β）（w_{3} c_{2} +\βk_{2} w个_{2} ）}{c_{2} c（c）_{3}}\) 和 \（w_{3}+\βQ>\压裂{c_{3} w个_{2} }{c{2}}\）,哪里 \（Q=\压裂{k{2}}{c{2}{[w_{2}-\裂缝{（c{2}+k{2}\beta）（w_{3} c（c）_{2} +\βk_{2} w个_{2} ）}{c_{2} c（c）_{3}}]\),整个捕食者种群 \（y（t）\） 和 \（z（t）\） 将在平均值上保持强烈的持久性,一.秒.

• （iv） 如果 \（w{1}>0\）,\（w{2}<0\） 和 \（w{3}<0\）,然后是猎物数量 \（x（t）\） 将在平均值上保持稳定,即 \（\lim_{t\rightarrow\infty}\frac{1}{t}\int_{0}^{t} x个（s） \，ds=\压裂{w{1}}{b{1}}\）,一.秒.都是易感的食肉动物 \（y（t）\） 和被感染的捕食者 \（z（t）\） 将会消亡,一.秒.

• （v） 假设,对于任何 \（t \geq0） 和 \（i=1,2,3）,

  $$\sup_{t\geq0}\int_{0}^{t}\int_{\mathbb{Y}}\exp（s-t）\bigl[\gamma_{i}（u）-\ln\bigl（1+\gamma_{i}（u）\bigr）\biger]\lambda（du）\，ds<\infty$$

  那么如果 \（w{1}>\压裂{（w{2}+w{3}）k_{2} c（c）_{1} }{（c{2}+c{3}+k{2}\β）k{1}\）,\（w_｛2｝>0\） 和 \（w_｛3｝>0\）,那么所有种群的平均值都将是强持久的,哪里 \（\liminf_{t\rightarrow\infty}[\frac{1}{t}\int_{0}^{t} x个（s） \，ds]\geq\压裂{w{1}}{b{1}{-\压裂{（w{2}+w{3}）k_{2} c（c）_{1} }{b_{1} k个_{1} （c{2}+c{3}+k{2}\β）}\） 和 \（\liminf{t\rightarrow\infty}\frac{1}{t}\int{0}^{t}[y（s）+z（s）]\，ds\geq\frac}（w{2}+w{3}）k{2}{c{2}+c{3}+k{2{2}\beta}\）,一.秒.

证明

利用(8)，我们得到

$$\left\{\textstyle\begin{array}{l}\frac{1}{t}\ln\frac{x（t）}{x{0}}\leqw_{1} -b个_{1} \压裂{1}{t}\int_{0}^{t} x个（s） \，ds+\压裂{\西格玛_{1} B类_{1} （t）}{t}+frac{M{1}（t）{t}，\\frac{1}{t{ln\\frac}y（t）｝{y{0}}_{2}-\压裂{1}{t}\int_{0}^{t}\压裂{c_{2} 年（s） }{x（s）+k{2}}\，ds+frac{\sigma_{2} B类_{2} （t）}{t}+\压裂{M{2}（t）{t}，\\frac{1}{t{ln\压裂{z（t）｝{z{0}}\leqw{3}+\贝塔\压裂{1}{t}\int{0}^{t} 年（s） \，ds-\分形{1}{t}\int_{0}^{t}\分形{c_{3} z（z）（s） }{x（s）+k{2}}\，ds+frac{\sigma_{3} B_{3} （t）}{t}+\压裂{M_{3}（t）{t}。\结束{array}\displaystyle\right$$

(11)

（i） 根据(11),

$$\frac｛1｝｛t｝\ln\frac｛x（t）｝｛x_｛0｝｝\leq w_{1} -b个_{1} \压裂{1}{t}\int_{0}^{t} x个（s） \，ds+\压裂{\西格玛_{1} B类_{1} （t）}{t}+\压裂{M_1}（t）{t}$$

注意(9)和(10)，凭借引理2，我们可以得到\（\lim_{t\rightarrow\infty}x（t）=0\）什么时候\（w{1}<0\）然后，对于任意小常数\（\varepsilon_{1}\）这满足了\（0<\varepsilon_{1}<-\frac{w{3}}{\beta}\），存在足够大的数量\（T_{1}\）(\（T_{1}>0\）)这样的话

$$-\varepsilon_{1}\leq x（t）\leq\varepsilon_{1}$$

(12)

对于\（t\geq t_{1}\）; 因此，

$$\压裂{1}{t}\ln\压裂{y（t）}{y{0}}\leqw_{2}-\压裂{1}{t}\int_{0}^{t}\压裂{c_{2} 年（s） }{\varepsilon{1}+k{2}}\，ds+frac{\sigma_{2} B类_{2} （t）}{t}+\压裂{M_2}（t）{t}$$

(13)

因为\（w{2}<0\），利用引理2,\（\lim_{t\rightarrow\infty}y（t）=0\），a.s.在这种情况下，有一个足够大的常数\（T_{2}\）(\（T_{2}>T_{1}\）)令人满意的\（-\varepsilon_{1}\leqy（t）\leq\varepsilon_{1}\），何时\（t\ geq t_｛2｝\），a.s.因此，

$$\开始{aligned}\frac{1}{t}\ln\frac}z（t）}{z{0}}&\leqw{3}+\beta\frac[1}{t{int{0}^{t} 年（s） \，ds-\分形{1}{t}\int_{0}^{t}\分形{c_{3} z（z）（s） }{x（s）+k{2}}\，ds+frac{\sigma_{3} B类_{3} （t）}{t}+\压裂{M_{3}（t）{t}\\&\leqw{3}+\β\压裂{1}{t{0}^{t}\varepsilon{1}\，ds-\压裂{1'_{3} z（z）（s） }{\varepsilon{1}+k{2}}\，ds+frac{\sigma_{3} B_{3} （t）｝｛t｝+\frac｛M_｛3｝（t）｝｛t｝\\&&\leq（w_｛3｝+\beta\varepsilon\｛1｝）-\frac｛c｛3｝｝｛\varepsilon\ 1｝+k_｛2｝｝\frac｛1｝｛t｝\int_｛0｝^{t} z（z）（s） \，ds+\压裂{\西格玛_{3} B类_{3} （t）}{t}+\压裂{M_{3}（t）{t}。\结束{对齐}$$

通知\（0<\varepsilon_{1}<-\frac{w{3}}{\beta}\），它来自引理2那个\（\lim_{t\rightarrow\infty}z（t）=0\），其他。

（ii）与情况（i）类似，当\（w{1}<0\）,\（w{2}<0\），这很容易说明\（\lim_{t\rightarrow\infty}x（t）=0\）,\（\lim_{t\rightarrow\infty}y（t）=0\），对于任意小常数\（\bar{\varepsilon}_{1}>0\）,

$$\压裂{1}{t}\ln\压裂{z（t）}{z{0}\leq^{t} z（z）（s） \，ds+\压裂{\西格玛_{3} B类_{3} （t）}{t}+\压裂{M_{3}（t）{t}$$

利用引理2,\（w{3}>0\）以及\（\bar{\varepsilon}_{1}\）,\（\limsup_｛t\rightarrow\infty｝\frac｛1｝｛t｝\int_｛0｝^{t} z（z）（s） \，ds\leq\frac{w_{3} k个_{2} }{c{3}}\），a.s.明显得到验证。相反，

$$\压裂{1}{t}\ln\压裂{z（t）}{z{0}}\geqw_{3}-\压裂{c{3}}{k{2}}\压裂{1}{t}\int{0}^{t} 年（s） \，ds-\压裂{c{3}}{k{2}}\压裂{1}{t}\int{0}^{t} z（s） \，ds+\frac｛\sigma_{3} B类_{3} （t）}{t}+\压裂{M_{3}（t）{t}$$

注意到\（\lim_{t\rightarrow\infty}y（t）=0\），a.s.和引理2，我们有

$$\liminf_{t\rightarrow\infty}\frac{1}{t}\int_{0}^{t} z（z）（s） \，ds\geq\frac{w_{3} k个_{2} }{c{3}}，\quad\text{a.s.}$$

然后我们得到\（\lim_{t\rightarrow\infty}\frac{1}{t}\int_{0}^{t} z（z）（s） \，ds=\压裂{w_{3} k个_{2} }{c{3}}\），其他。

（iii）很容易证明\（\lim_{t\rightarrow\infty}x（t）=0\），a.s.时间\（w{1}<0\）.基于(13)和引理2，用于\（t>t_{1}\）,\（\limsup_{t\rightarrow\infty}\frac{1}{t}\int_{0}^{t} 年（s） \，ds\leq\frac{w{2}（\varepsilon_{1}+k{2}）}{c{2}\），a.s.条件下\（w{2}>0\）.考虑到\（\varepsilon_{1}\）,\（\limsup_{t\rightarrow\infty}\frac{1}{t}\int_{0}^{t} 年（s） \，ds\leq\frac{w_{2} k个_{2} }{c{2}}\），a.s.因此，对于任意常数\（\varepsilon\｛3｝>0\）(\（0<\varepsilon\｛3｝<\frac｛1｝｛\beta｝| w_｛3｝+\frac｛\beta k_｛2｝｝｛c｛2｝｝w_｛2｝| \）)，存在一个数字\（T_{3}\）(\（T_{3}>T_{1}\）)这样的话

$$\压裂{1}{t}\int_{0}^{t} 年（s） \，ds\leq\frac{w_{2} k个_{2} }{c{2}}+\varepsilon{3}，\quad\text{a.s.}$$

对于\（t>t_{3}\）.利用(12)，然后针对\（t>t_{3}\），我们有

$$\开始{aligned}\frac{1}{t}\ln\frac}z（t）}{z{0}}&\leqw{3}+\beta\frac[1}{t{int{0}^{t} 年（s） \，ds-\分形{1}{t}\int_{0}^{t}\分形{c_{3} z（z）（s） }{\varepsilon{1}+k{2}}\，ds+frac{\sigma_{3} B类_{3} （t）}{t}+\压裂{M{3}（t）{t}\\&\leqw{3}+\beta\biggl（\压裂{w_{2} k个_{2} }{c{2}}+\varepsilon{3}\biggr）-\frac{c{3}}{\varepsilon{1}+k{2}{\frac}1}{t}\int{0}^{t} z（z）（s） \，ds+\压裂{\西格玛_{3} B类_{3} （t）}{t}+\压裂{M_{3}（t）{t}。\结束{对齐}$$

（a） 如果\（w{3}+\压裂{\βk{2}}{c{2}{w{2}<0\），然后

$$\lim_{t\rightarrow\infty}z（t）=0，\quad\text{a.s.}$$

(14)

对于易感捕食者种群，

$$\压裂{1}{t}\ln\压裂{y（t）}{y{0}}\geqw_{2}-\压裂{1}{t}\int_{0}^{t}\压裂{c_{2} 年（s） }{k{2}}\，ds-\frac{1}{t}\int{0}^{t}\ frac{c_{2} z（z）（s） }{k{2}}\，ds-\beta\frac{1}{t}\int{0}^{t} z（z）（s） \，ds+\frac｛\sigma_{2} B_{2} （t）}{t}+\压裂{M_2}（t）{t}$$

因为(9), (10), (14)和引理2，我们有\（\liminf_{t\rightarrow\infty}\frac{1}{t}\int_{0}^{t} 年（s） \，ds\geq\frac{w_{2} k个_{2} }{c{2}}\），a.s.然后\（\lim_{t\rightarrow\infty}\frac{1}{t}\int_{0}^{t} 年（s） \，ds=\压裂{w_{2} k个_{2} }{c{2}}\），其他。

（b） 如果\（w{3}+\压裂{\βk{2}}{c{2}{w{2}>0\），借助引理2以及\（\varepsilon_{1}\）和\（\varepsilon_{3}\），我们有

$$\limsup_{t\rightarrow\infty}\frac{1}{t}\int_{0}^{t} z（s） \，ds\leq\frac{（w_{3} c（c）_{2} +\βk_{2} w个_{2} ）k{2}}{c_{2} c（c）_{3} }，\quad\text{a.s.}$$

(15)

然后

$$\压裂{1}{t}\ln\压裂{y（t）}{y{0}}\geqw_{2}-\压裂{c{2}}{k{2}{1}{t}\int{0}^{t} 年（s） \，ds-\biggl（\压裂{c{2}}{k{2}+\beta\biggr）\压裂{1}{t}\int{0}^{t} z（z）（s） \，ds+\压裂{\西格玛_{2} B类_{2} （t）｝｛t｝+\frac｛M_｛2｝（t）｝｛t｝$$

通知(15)，对于足够大的t吨,\（\压裂{1}{t}\int_{0}^{t} z（z）（s） \，ds\leq\frac{（w_{3} c（c）_{2} +\βk_{2} w个_{2} ）k{2}}{c_{2} c（c）_{3} }+\varepsilon{4}\），a.s.，其中\（\varepsilon_{4}\）是任意正数。因此，通过(9), (10)，引理2以及\（\varepsilon_{4}\），我们有

$$\liminf_{t\rightarrow\infty}\frac{1}{t}\int_{0}^{t} 年（s） \，ds\geq\frac{k{2}}{c{2}{biggl[w_{2}-\裂缝{（c{2}+k{2}\beta）（w_{3} c（c）_{2} +\βk_{2} w个_{2} ）}{c_{2} c（c）_{3} }\biggr]$$

什么时候\（w_｛2｝>\frac｛（c｛2｝+k_｛2｝\beta）（w_{3} c（c）_{2} +\βk_{2} 周_{2} ）}{c_{2} c（c）_{3}}\)。这里我们定义\（Q=\压裂{k{2}}{c{2}{[w_{2}-\裂缝{（c{2}+k{2}\beta）（w_{3} c（c）_{2} +\βk_{2} 周_{2} ）｝｛c_{2} c（c）_{3}}]\).

在这种情况下，

$$\压裂{1}{t}\ln\压裂{z（t）}{z{0}}\geqw{3}+\beta\frac{1}}\t}^{t} 年（s） \，ds-\压裂{c{3}}{k{2}}\压裂{1}{t}\int{0}^{t} 年（s） \，ds-\压裂{c{3}}{k{2}}\压裂{1}{t}\int{0}^{t} z（z）（s） \，ds+\压裂{\西格玛_{3} B类_{3} （t）}{t}+\压裂{M_{3}（t）{t}$$

对于足够大的t吨，我们有

$$\压裂{1}{t}\ln\压裂{z（t）}{z{0}}\geq\biggl[w{3}+\betaQ-\压裂{c{3}}{k{2}}\frac{w_{2} k个_{2} }{c{2}}\biggr]-\frac{c{3}}{k{2}{frac{1}{t}\int{0}^{t} z（z）（s） \，ds+\压裂{\西格玛_{3} B类_{3} （t）}{t}+\压裂{M_{3}（t）{t}$$

如果\（w_{3}+\βQ>\压裂{c_{3} w个_{2} }{c{2}}\）然后根据引理2，我们得到

$$\liminf_{t\rightarrow\infty}\frac{1}{t}\int_{0}^{t} z（z）（s） \，ds\geq\压裂{[w_{3}+\βQ-\压裂{c_{3} 周_{2} }{c{2}}]k{2}{c{3}}，\quad\text{a.s.}$$

（iv）根据(11)，我们有

$$\压裂{1}{t}\ln\压裂{x（t）}{x{0}}\leqw_{1} -b个_{1} \压裂{1}{t}\int_{0}^{t} x个（s） \，ds+\压裂{\西格玛_{1} B类_{1} （t）}{t}+\压裂{M_1}（t）{t}$$

利用引理2, (9)和(10)，我们有

$$\limsup_｛t\rightarrow\infty｝\frac｛1｝｛t｝\int_｛0｝^{t} x（s） \，ds\leq\frac{w{1}}{b{1}，\quad\text{a.s.}$$

(16)

和

$$\压裂{1}{t}\ln\压裂{y（t）}{y{0}}\leqw{2}+\压裂{\sigma_{2} B类_{2} （t）}{t}+\压裂{M_2}（t）{t}$$

因为\（w{2}<0\）和(9), (10)，我们得到\（\limsup_{t\rightarrow\infty}\frac{\ln y（t）}{t}<0\），即

$$\lim_{t\rightarrow\infty}y（t）=0，\quad\text{a.s.}$$

（17）

然后

$$\压裂{1}{t}\ln\压裂{z（t）}{z{0}}\leqw{3}+\beta\frac{1}}\t}^{t} 年（s） \，ds+\压裂{\西格玛_{3} B类_{3} （t）}{t}+\压裂{M_{3}（t）{t}$$

正在考虑(9), (10), (17)和\（w{3}<0\），我们有\（\limsup_{t\rightarrow\infty}\frac{\lnz（t）}{t}<0\）; 因此，

$$\lim_{t\rightarrow\infty}z（t）=0，\quad\text{a.s.}$$

(18)

此时，对于足够大的t吨,

$$\压裂{1}{t}\ln\压裂{x（t）}{x{0}}\geqw_{1} -b个_{1} \压裂{1}{t}\int_{0}^{t} x个（s） \，ds-\frac{c{1}}{k{1}{frac{1{t}\int{0}^{t} 年（s） \，ds-\分数{\颚化符{p} c_{1} }{k{1}}\压裂{1}{t}\int{0}^{t} z（z）（s） \，ds+\压裂{\西格玛_{1} B类_{1} （t）}{t}+\压裂{M_1}（t）{t}$$

由(17), (18)和引理2,

$$\liminf_{t\rightarrow\infty}\frac{1}{t}\int_{0}^{t} x个（s） \，ds\geq\frac{w{1}}{b{1}，\quad\text{a.s.}$$

(19)

组合(19)带有(16)，我们有\（\lim_｛t\rightarrow\infty｝\frac｛1｝｛t｝\int_｛0｝^{t} x（s） \，ds=\压裂{w{1}}{b{1}}\），其他。

（v） 它很容易拥有\（\limsup_{t\rightarrow\infty}\frac{1}{t}\int_{0}^{t} x个（s） \，ds\leq\frac{w{1}}{b{1}{），a.s.时间\（w{1}>0\）和

$$\开始{聚集}\frac{1}{t}\ln\frac{y（t）}{y{0}}\geqw_{2}-\压裂{c{2}}{k{2}{1}{t}\int{0}^{t} 年（s） \，ds-\biggl（\压裂{c{2}}{k{2}+\beta\biggr）\压裂{1}{t}\int{0}^{t} z（z）（s） \，ds+\压裂{\西格玛_{2} B类_{2} （t）}{t}+\压裂{M_{2}（t）{t}，压裂{1}{t{ln\压裂{z（t）{z{0}}_{3}-\压裂{c{3}}{k{2}}\压裂{1}{t}\int{0}^{t} 年（s） \，ds-\压裂{c{3}}{k{2}}\压裂{1}{t}\int{0}^{t} z（z）（s） \，ds+\压裂{\西格玛_{3} B类_{3} （t）}{t}+\压裂{M_{3}（t）{t}。\结束{聚集}$$

然后

$$\begin｛aligned｝\frac｛1｝｛t｝\ln\frac｛y（t）｝｛y_｛0｝｝+\frac｛1｝｛t｝\ln\frac｛z（t）｝｛z_｛0｝｝\geq｛｝&（w_｛2｝+w_｛3｝）-\frac｛2｝+c｛3｝｝｝｛k_｛2｝｝\frac｛1｝｛t｝\int_｛0｝^{t} 年（s） \，ds-\压裂{c{2}+c{3}+k{2}\β}{k{2{}}\压裂{1}{t}\int{0}^{t} z（z）（s） \，ds\\&+\sum_{i=2}^{3}\biggl[\frac{\sigma_{i} B类_{i} （t）}{t}+\frac{M_{i}（t）{t}\biggr]，\end{aligned}$$

即

$$\开始{aligned}\frac{1}{t}\ln\bigl（y（t）z（t）\bigr）-\frac}{t{ln（y_{0}z_{0}）\geq{}&（w{2}+w{3}）-\frac{c{2}+c{3}+k{2}\beta}{k{2{}\frac}1}{t}\int{0}^{t}\ bigl[y（s）+z（s）\bigr]\，ds\\&+\sum_{i=2}^{3}\biggl[\frac\\sigma_{i} B类_{i} （t）｝｛t｝+\frac｛M_｛i｝（t）｝｛t｝\biggr]。\结束{对齐}$$

根据公式\（（a+b）^{2}\geq2ab\）对于\（R_{+}中的a，b\），我们可以\（2\ln（a+b）\geq\ln2+\ln（ab）\），因此

$$\开始{对齐}\frac{2\ln（y（t）+z（t））}{t}（t）-\压裂{\ln2}{t}（t）-\压裂{ln（y_{0}z_{0}）}{t}\geq{}&（w{2}+w{3}）-\frac{（c{2}+c{3}+k{2}\beta_{i} B类_{i} （t）}{t}+\frac{M_{i}（t）{t}\biggr]，\end{aligned}$$

然后

$$\开始{aligned}\frac{ln（y（t）+z（t））}{t}（t）-\压裂{\ln2}{2t}-\压裂{ln（y_{0}z_{0}）}{2t}\geq{}&\压裂{（w{2}+w{3}）{2}-\压裂{（c{2}+c{3}+k{2}\beta）}{2k{2{}}\frac{1}{t}\int_{0}^{t}\ bigl[y（s）+z（s）\bigr]\，ds\\&+\压裂{1}\sum{i=2}^{3}\biggl[\frac}\sigma_{i} B类_{i} （t）}{t}+\压裂{M_{i}（t）{t}\biggr]。\结束{对齐}$$

按引理2，我们得到

$$\liminf_｛t\rightarrow\infty｝\frac｛1｝｛t｝\int_｛0｝^｛t｝\bigl[y（s）+z（s）\bigr]\，ds\geq\frac｛（w_｛2｝+w_｛3｝）k_｛2｝｝｛c｛2｝+c｛3｝+k_｛2｝\beta｝，quad\text｛a.s.｝$$

在这种情况下，考虑到\（0<\波浪线{p}<1\），我们有

$$\压裂{1}{t}\ln\压裂{x（t）}{x{0}}\geqw_{1} -b个_{1} \压裂{1}{t}\int_{0}^{t} x个（s） \，ds-\压裂{c{1}}{k{1}{\压裂{1}{t}\int_{0}^{t}\bigl[y（s）+z（s）\bigr]\，ds+\压裂{\sigma_{1} B类_{1} （t）}{t}+\压裂{M_1}（t）{t}$$

利用引理求下极限1和(9), (10)，我们得到

$$\begin｛aligned｝0\geq｛｝&&limsup_｛t\rightarrow\infty｝\frac｛1｝｛t｝\ln\frac｛x（t）｝｛x_｛0｝｝\geq\liminf_｛t\rightarrow\infty｝\frac｛1｝｛t｝\ln\frac｛x（t）｝｛x_｛0｝｝\\geq｛｝&w_{1} -b_{1} \liminf_{t\rightarrow\infty}\biggl[\frac{1}{t}\int_{0}^{t} x个（s） \，ds\biggr]-\frac{c{1}}{k{1}{liminf{t\rightarrow\infty}\biggl[\frac}{t}\int_{0}^{t}\ bigl[y（s）+z（s）\bigr]\，ds\ biggr]\\&+\liminf_{t\right arrow\finfty{\biggl[\frac{\sigma_{1} B类_{1} （t）}{t}+\压裂{M_{1}（t）{t}\biggr]。\结束{对齐}$$

因此，

$$\liminf_{t\rightarrow\infty}\biggl[\frac{1}{t}\int_{0}^{t} x个（s） \，ds\biggr]\geq\frac{w{1}}{b{1}{-\压裂{（w{2}+w{3}）k_{2} c（c）_{1} }{b_{1} k个_{1} （c{2}+c{3}+k{2}\beta）}，\quad\text{a.s.}$$

 □

4随机最终有界性

从生物学的角度来看，种群动力系统中解的非爆炸性和正性是不够的。在本节中，我们将展示第页第个溶解时刻(三)有界。

定义2

解决方案\（X（t）\）系统的(三)称为随机最终有界如果，对于任何\（在（0,1）中为ε），有一个常数\（H:=H（ε））这样，对于任何\（X（0）\在R_{+}^{3}\中）,

$$\limsup_{t\rightarrow\infty}P\bigl\{\big|X（t）\big| \leq H\bigr\}\geq1-\epsilon$$

定理3

假设 \（（x（t）、y（t）和z（t））^{t}\） 成为系统的解决方案(三)使用初始值 \（R{+}^{3}中的（（x{0}，y{0}，z{0}）.如果 \（k{2}>\压裂{（1+a{1}）^{2}{4b{1}}\） 为所有人 \（p>0）,存在常量 \（\bar{克}_{i} （p）\）(\（i=1,2,3）)这样的话

$$\limsup_{t\rightarrow\infty}E\bigl[x^{p}（t）\bigr]\leq\bar｛K｝_{1} （p），\qquad\lmsup_｛t\rightarrow\infty｝E\bigl[y^｛p｝（t）\bigr]\leq\bar{克}_{2} （p），\qquad\limsup_{t\rightarrow\infty}E\bigl[z^{p}（t）\bigr]\leq\bar{克}_{3} （p）$$

证明

利用Itós公式，然后取期望值

$$\begin{collected}\begin}{aligned}d\bigl（e^{t} x个^{p} （t）\较大）={}&e^{t} x个^{p} （t）\biggl\{1+p\biggl[a_{1} -b个_{1} x个-\压裂{c_{1} 年}{x+k{1}}-\分数{\波浪线{p} c（c）_{1} z（z）}｛x+k_｛1｝｝\biggr]+\frac｛p（p-1）｝｛2｝\sigma_｛1｝^｛2｝\\&+\int_｛\mathbb｛Y｝｝｝\\bigl[\bigl（1+\gamma_｛1｝（u）\bigr）^{p} -1磅\γ{1}（u）\bigr]\lambda（du）\biggr\}\，dt+p\sigma_{1} e（电子）^{t} x个^{p} （t）\，dB_{1}（t）\\&+\int_{mathbb{Y}}e^{t} x个^{p} （t）\bigl[\bigl（1+\gamma{1}（u）\bigr）^{p} -1个\bigr]\波浪线{N}（dt，du），\end{aligned}\\begin{alinged}E\bigl（E^{t} x个^{p} （t）\bigr）={}&x^{p}（0）+pE\int_{0}^{t} e（电子）^{s} x个^{p} （s）\biggl\{\frac{1}{p}+a{1}+\frac{（p-1）}{2}\sigma{1}^{2}\\&+\frac}1}{p}\int_{mathbb{Y}}\bigl[\bigl（1+\gamma{1}（u）\bigr）^{p} -1磅\γ{1}（u）\bigr]\lambda（du）\\&-b_{1} x（s） -\压裂{c_{1} 年（s） ｛x（s）+k_｛1｝｝-\frac｛\tilde{p} c_{1} z（z）（s） }{x（s）+k_{1}}\biggr\}\，ds\\leq{}&x^{p}（0）+pE\int_{0}^{t} e（电子）^{s} x个^{p} （s）\biggl\{\frac{1}{p}+a{1}+\frac{（p-1）}{2}\sigma{1}^{2}\\&+\frac}1}{p}\int_{mathbb{Y}}\bigl[\bigl（1+\gamma{1}（u）\bigr）^{p} -1磅\γ{1}（u）\bigr]\lambda（du）-b_{1} x（s） \biggr\}\，ds.\end{aligned}\end{collected}$$

函数注释\（f（v）=v^{p}（a-bv）\）,\（v\在[0，+\infty中）\）,\（p>0）,\（a>0）,\（b>0\）,\（f（v）\）最大值为\（\压裂{ap}{（p+1）b}\），即

$$f（v）\leqf\biggl（\frac{ap}{（p+1）b}\biggr）=\frac{a^{p+1}p^{p}}{$$

(20)

因此，

$$E\bigl（E^{t} x个^{p} （t）\biger）\leq x^{p}（0）+E\int_{0}^{t} e（电子）^{s} \bar（巴）{克}_{1} （p）\，ds\leq x^{p}（0）+\bar{克}_{1} （p）\bigl（e）^{t} -1个\更大）$$

哪里

$$\bar（美元\bar）{克}_{1} （p）=压裂{[1+a_{1} 第页+\裂缝{p（p-1）}{2}\σ{1}^{2}+\int_{mathbb{Y}}[（1+\gamma{1}（u））^{p} -1磅\γ{1}（u）]\lambda（du）]^{p+1}}{（p+1）^{p+1}b{1}^{p}}$$

让\（t\rightarrow+\infty\），我们有

$$\limsup_｛t\rightarrow\infty｝E\bigl[x^｛p｝（t）\bigr]\leq\bar｛K｝_{1} （p），\quad\text{a.s.}$$

(21)

类似地，我们可以计算

$$\开始{aligned}d\bigl（e^{t} 年^{p} （t）\较大）={}&e^{t} 年^{p} （t）\biggl\{1+p\biggl[a_{2}-\压裂{c{2}（y+z）}{x+k{2}}-\betaz\biggr]+\frac{p（p-1）}{2}\sigma{2}^{2}\\&+\int_{mathbb{y}}\bigl[\bigl（1+\gamma{2}（u）\bigr）^{p} -第页\γ{2}（u）-1\bigr]\lambda（du）\biggr\}\，dt+p\sigma_{2} e（电子）^{t} 年^{p} （t）\，dB_{2}（t）\\&+\int_{mathbb{Y}}e^{t} 年^{p} （t）\bigl[\bigl（1+\gamma{2}（u）\bigr）^{p} -1个\bigr]\波浪线{N}（dt，du）。\结束{对齐}$$

因此，接受期望会导致

$$\开始{aligned}E\bigl（E^{t} 年^{p} （t）\bigr）={}&y^{p}（0）+E\int_{0}^{t} e（电子）^{s} 年^{p} （s）\biggl[1+pa_2}+\frac{p（p-1）}{2}\sigma_2}^{2}\\&+\int_{\mathbb{Y}}\bigl[\bigl（1+\gamma_2}（u）\bigr）^{p} -第页\γ_｛2｝（u）-1\bigr]\lambda（du）\\&&\frac｛c_{2} 第页（y（s）+z（s））}{x（s）+k{2}}-p\betaz（s）\biggr]\，ds\\leq{}&y^{p}（0）+E\int_{0}^{t} e（电子）^{s} 年^{p} （s）\biggl[1+pa_2}+\frac{p（p-1）}{2}\sigma_2}^{2}\\&+\int_{\mathbb{Y}}\bigl[\bigl（1+\gamma_2}（u）\bigr）^{p} -第页\γ{2}（u）-1\bigr]\lambda（du）\\&-\frac{c_{2} 第页（s） }{k{2}}+\压裂{c_{2} 像素（s） y（s）｝｛k_｛2｝（x（s）+k_｛2｝）｝\biggr]\，ds.\end｛aligned｝$$

凭借(21)，对于任意小\（\varepsilon_{0}>0\）(\（\varepsilon_{0}<k_{2}-\巴{克}_{1}(1)\))，存在一个正常数\（T_{0}\）令人满意的

$$E\bigl（x^{p}（t）\bigr）\leq\bar{克}_{1} （p）+\varepsilon_{0}$$

对于\（t>t_{0}\）因此，

$$\开始{aligned}E\bigl（E^{t} 年^{p} （t）\biger）\leq{}&y^{p}（0）+\int_{0}^{t} e（电子）^{s} E类\biggl\{y^{p}（s）\biggl[1+pa_2}+\frac{p（p-1）}{2}\sigma_2}^{2}+\int_{\mathbb{y}}\bigl[\bigl（1+\gamma_2}（u）\bigr）^{p{\\&-p\gamma_{2}（u）-1\bigr]\lambda（du）-\frac}c_{2} 第页（s） }{k{2}}\biggr]\biggr\}\，ds+\frac{c_{2} 第页}{k{2}^{2}}\int{0}^{t} e（电子）^{s} E类\bigl（x（s）\bigr）E（y^{p+1}\biger）\，ds\\leq{}&y^{p}（0）+\int_{0}^{t} e（电子）^{s} E类\biggl\{y^{p}（s）\biggl[1+pa_2}+\frac{p（p-1）}{2}\sigma_2}^{2}+\int_{\mathbb{y}}\bigl[\bigl（1+\gamma_2}（u）\bigr）^{p{\\&-p\gamma_{2}（u）-1\bigr]\lambda（du）-\frac}c_{2} 第页（s） }{k{2}}\biggr]\biggr\}\，ds+\frac{c_{2} 第页}{k{2}^{2}}\bigl（\bar{克}_{1} （1）+\varepsilon_{0}\bigr）\int_{0{^{t} e（电子）^{s} E类\bigl（y^｛p+1｝（s）\bigr）\，ds\\leq｛｝&y^｛p｝（0）+\int_｛0｝^{t} 电子^{s} E类\biggl\{y^{p}（s）\biggl[1+pa_2}+\frac{p（p-1）}{2}\sigma_2}^{2}+\int_{\mathbb{y}}\bigl[\bigl（1+\gamma_2}（u）\bigr）^{p{\\&-p\gamma_{2}（u）-1\bigr]\lambda（du）-\frac}c_{2} 第页（s） }{k{2}}+\压裂{c_{2} 第页}{k{2}^{2}}\bigl（\bar{克}_{1} （1）+\varepsilon_{0}\bigr）y（s）\biggr]\biggr\}\，ds.\end{aligned}$$

如果\（k{2}>\bar{克}_{1}(1)\)，然后\（k{2}>\bar{克}_{1} （1）+\varepsilon_{0}\）.根据(20)，可获得以下结果：

$$E\bigl（E^{t} 年^{p} （t）\biger）\leqy^{p}（0）+\int_{0}^{t} e（电子）^{s} K（K）_{2} （p）\，ds=y^{p}（0）+K{2}（p）\bigl（e^{t} -1个\较大）$$

在这里

$$开始{对齐}K_{2}（p）={}&\frac{[1+pa_2}+\frac}p（p-1）}{2}\sigma_2}^{2}+\int_{\mathbb{Y}}[（1+\gamma_2}（u））^{p}-p\gamma_2}（u）-1]\lambda（du）]^{p+1}{{（p+1）^{p+1}}&\cdot\frac{K{2}^{2p}}{c{2}^{p}（K_{2}-\巴{克}_{1} （1）-\varepsilon_｛0｝）^｛p｝｝，\end｛aligned｝$$

哪里\（\bar{克}_{1} （1）=\压裂{（1+a{1}）^{2}}{4b{1}}\）同样，\（\limsup_{t\rightarrow\infty}E[y^{p}（t）]\leq K_{2}（p）\），因为\（\varepsilon_{0}\），定义

$$\bar（美元\bar）{克}_{2} （p）=\压裂{[1+pa_2}+\压裂{p（p-1）}{2}\sigma_2}^{2}+\int_{\mathbb{Y}}[（1+\gamma_2}（u））^{p}-p\gamma_2}（u）-1]\lambda（du）]^{p+1}{（p+1）^{p+1}}\cdot\frac{k_2}^2p}}{c{2}^{p}（k_{2}-\巴｛K｝_{1} （1））^｛p｝｝$$

因此，

$$\limsup_{t\rightarrow\infty}E\bigl[y^{p}（t）\bigr]\leq\bar{克}_{2} （p）$$

(22)

而且

$$\begin{collected}\begin}{aligned}d\bigl（e^{t} z（z）^{p} （t）\较大）={}&e^{t} z（z）^{p} （t）\biggl\{1+p\biggl[\beta-y+a_{3}-\压裂{c{3}（y+z）}{x+k{2}}\biggr]+\frac{p（p-1）}{2}\sigma{3}^{2}\\&+\int_{mathbb{y}}\bigl[\bigl（1+\gamma{3}（u）\bigr）^{p} -第页\γ{3}（u）-1\bigr]\lambda（du）\biggr\}\，dt+p\sigma_{3} e（电子）^{t} z（z）^{p} （t）\，dB_{3}（t）\\&+\int_{mathbb{Y}}e^{t} z（z）^{p} （t）\bigl[\bigl（1+\gamma{3}（u）\bigr）^{p} -1个\bigr]\波浪线{N}（dt，du），\end{aligned}\\begin{alinged}E\bigl（E^{t} z（z）^{p} （t）\bigr）={}&z^{p}（0）+E\int_{0}^{t} e（电子）^{s} z（z）^{p} （s）\biggl[1+pa_3}+\frac{p（p-1）}{2}\sigma_3}^{2}\\&+\int_{mathbb{Y}}\bigl[\bigl（1+\gamma_3}（u）\bigr）^{p} -第页\γ_｛3｝（u）-1\bigr]\lambda（du）\\&+p\beta y（s）-\frac｛c_{3} 第页（y（s）+z（s））}{x（s）+k_{2}}\biggr]\，ds\\leq{}&z^{p}（0）+E\int_{0}^{t} 电子^{s} z^{p} （s）\biggl[1+pa_3}+\frac{p（p-1）}{2}\sigma_3}^{2}\\&+\int_{mathbb{Y}}\bigl[\bigl（1+\gamma_3}（u）\bigr）^{p} -第页\γ{3}（u）-1\bigr]\lambda（du）\\&+p\betay（s）-\frac{c_{3} pz（磅/平方英寸）（s） }{x（s）+k_{2}}\biggr]\，ds\\leq{}&z^{p}（0）+E\int_{0}^{t} 第页\βe^{s} z^{p} （s）y（s）\，ds+E\int_{0}^{t} e（电子）^{s} z（z）^{p} （s）\biggl[1+pa_3}+\frac{p（p-1）}{2}\sigma_3}^{2}\\&+\int_{mathbb{Y}}\bigl[\bigl（1+\gamma_3}（u）\bigr）^{p} -第页\γ{3}（u）-1\bigr]\lambda（du）-\frac{c_{3} pz（磅/平方英寸）（s） }{k{2}}+\压裂{c_{3} 像素（s） z（s）}{k{2}（x（s）+k{2{）}\biggr]\，ds.\end{aligned}\end{collected}$$

根据杨氏不等式，我们有

$$开始{对齐}y（t）z^{p}（t）\leq{}&\frac{y^{p+1}+1}（t）。\结束{对齐}$$

通知\（压裂{p}{p+1}<1），我们有\（y（t）z^{p}（t）\leq\frac{y^{p+1}（t）}{p+1}+z^{p+1}（c）\），然后

$$\开始{aligned}E\bigl（E^{t} z（z）^{p} （t）\biger）\leq{}&z^{p}（0）+p\betaE\int_{0}^{t}E^{s} z（z）^{p+1}（s）\，ds+p\beta E\int_{0}^{t}E^{s}\frac{1}{p+1}y^{p+1{s）\^{t} 电子^{s} z（z）^{p} （s）\biggl[1+pa_3}+\frac{p（p-1）}{2}\sigma_3}^{2}\\&+\int_{mathbb{Y}}\bigl[\bigl（1+\gamma_3}（u）\bigr）^{p} -第页\γ{3}（u）-1\bigr]\lambda（du）-\frac{c_{3} pz（磅/平方英寸）（s） ｛k_｛2｝｝+\frac｛c_{3} 像素（s） z（s）}{k{2}^{2}}\biggr]\，ds\\leq{}&z^{p}（0）+\frac{p\beta}{p+1}E\int_{0}^{t}E^{s} 年^{p+1}，ds+E\int_{0}^{t} e（电子）^{s} z（z）^{p} （s）\biggl[1+pa_3}+\frac{p（p-1）}{2}\sigma_3}^{2}\\&+\int_{mathbb{Y}}\bigl[\bigl（1+\gamma_3}（u）\bigr）^{p} -第页\γ{3}（u）-1\bigr]\lambda（du）-\biggl（\frac{c_{3} 第页}｛k_{2}｝-p\beta\biggr）z（s）\biggr]\，ds\\&+\frac｛c_{3} 对}{k{2}^{2}}\int{0}^{t}e^{s} E类\bigl（x（s）\bigr）E（z^{p+1}（s）\figr）\，ds.\end{aligned}$$

正在考虑(22)，我们可以看到存在正常数\（\vec{克}_{2} （p）\）和\（\vec{T}（T）_{2}\)(\（\vec{T}（T）_{2} >T_{0}\）)，用于\（t>\vec{T}（T）_{2}\)，人们可以得到\（E[y^{p}（t）]\leq\vec{克}_{2} （p）\）然后，对于\（t>\vec{T}（T）_{2}\),

$$\开始{aligned}E\bigl（E^{t} z（z）^{p} （t）\biger）\leq{}&z^{p}（0）+\frac{p\beta}{p+1}\vec{克}_{2} （p+1）\bigl[e^{t} -1个\大]+\int_{0}^{t} e（电子）^{s} E类\biggl\{z^{p}（s）\biggl[1+pa{3}+\frac{p（p-1）}{2}\sigma{3}^{2}\\&+\int_{mathbb{Y}}\bigl[\bigl（1+\gamma{3}（u）\bigr）^{p} -第页\gamma{3}（u）-1\bigr]\lambda（du）\\&-\biggl（\frac{c_{3} 第页}{k{2}}-p\β-\压裂{c_{3} 第页}{k{2}^{2}}\bigl（\bar{克}_{1} （1）+\varepsilon_{0}\bigr）\biggr）z（s）\bigr]\biggr\}\，ds\\leq{}&z^{p}（0）+\frac{p\beta}{p+1}\vec{克}_{2} （p+1）\bigl[e^{t} -1个\bigr]+\int _｛0｝^{t} e（电子）^{s} K（K）_{3} （p）\，ds\\leq{}&z^{p}（0）+frac{p\beta}{p+1}\vec{克}_{2} （p+1）\bigl[e^{t} -1个\bigr]+K_{3}（p）\bigl[e^{t} -1个\大]，\结束{对齐}$$

哪里

$$\开始{对齐}K{3}（p）={}&\压裂{[1+pa{3}+\frac{p（p-1）}{2}\sigma{3}^{2}+\int_{\mathbb{Y}}[（1+\gamma{3}（u））^{p} -第页\γ{3}（u）-1]\lambda（du）]^{p+1}}{（p+1）^{p+1}}\\&\cdot\frac{p^{p}}{[\frac}c_{3} 第页}{k{2}}-p\β-\压裂{c_{3} 第页}{k{2}^{2}}（\bar{克}_{1} （1）+\varepsilon_{0}）]^{p}}。\结束{对齐}$$

将上限结果纳入

$$\limsup_{t\rightarrow\infty}E\bigl[z^{p}（t）\bigr]\leq\frac{p\beta}{p+1}\vec{克}_{2} （p+1）+K{3}（p）$$

请注意\（\varepsilon_{0}\），让

$$\开始{对齐}\bar{克}_{3} （p）={}&\frac{p\beta}{p+1}\vec｛K｝_{2} （p+1）+\frac{[1+pa{3}+\frac{p（p-1）}{2}\sigma{3}^{2}+\int_{\mathbb{Y}}[（1+\gamma{3}（u））^{p} -第页\γ{3}（u）-1]\lambda（du）]^{p+1}}{（p+1）^{p+1}}\\&\cdot\frac{p^{p}}{[\frac}c_{3} 第页}{k{2}}-p\β-\压裂{c_{3} 第页}{k{2}^{2}}\bar{克}_{1} （1）]^{p}}，\结束{对齐}$$

很明显，

$$\limsup_｛t\rightarrow\infty｝E\bigl[z^｛p｝（t）\bigr]\leq\bar｛K｝_{3} （p）$$

因此，定理的证明三已完成。□

根据引理2.1的公式[10]，我们有

$$n^{（1-\frac{p}{2}）\wedget0}|x|^{p}\leq\sum_{i=1}^{n} x_{i} ^{p}\leqn^{（1-\frac{p}{2}）\vee0}|x|^{p{$$

对于\（所有p>0\）,\（x\在R_{+}^{n}\中），其中\（R_{+}^{n}：=R^{n{中的x，x_{i}>0,1\leqi\leqn}）.

用于解决方案\（X（t）=（X（t），y（t）和z（t））^{t}\在R_{+}^{3}\中和\（p>0），我们有

$$3^{（1-\frac{p}{2}）\wedget0}\big|X（t）\big| ^{p}\leqx^{p{（t）+y^{pneneneei（t）+z^{pneneneep（t）$$

根据定理三,

$$\limsup_{t\rightarrow\infty}E\bigl[X（t）\bigr]^{p}\leq\biggl（\frac{1}{3}\biggr）^{（1-\frac}{2}）\wedge0}\limsup{t\right arrow\finfty{E\bigl[X^{p{（t）+y^{pneneneep（t）+z^{pneneneei（t）\ bigr]\leq\ biggl}\biggr）^{（1-\frac{p}{2}）\wedge 0}\sum_{i=1}^{3}\bar{克}_{i} （p）$$

作为定理的应用三结合切比雪夫不等式，我们还可以建立以下推论。

推论1

在定理条件下 三,系统的解决方案(三)随机最终有界.

5数值模拟

在本节中，我们给出了一些示例和数值模拟来说明我们的分析结果。这些数值模拟由Euler格式给出[20].

对于系统(三)，我们选择初始值\（（x{0}，y{0}，z{0}）=（0.2，0.1，0.2）\）、和

$$\begin{聚集}b_{1}=0.3，\qquad c_1}=0.4，\qquad\tilde{p}=0.1，\qquid c_{2}=0.6，\qqued k_1}=0.5，\k_2}=0.5$$

(23)

\（\mathbb{Y}=（0，+\infty）\）,\（\lambda（\mathbb{Y}）=1\）在下面，我们改变部分参数的值以观察系统解的渐近行为(三).

• (1) 在图中1，让\（a_｛1｝=0.02 \）,\（a_｛2｝=0.03\）,\（a{3}=0.02\）,\（伽马{1}（u）=伽马{3}（u）=0.2）,\（伽马{2}（u）=0.4\），其他参数同上，则

  $$\begin{collected}w_{1}=a_{1}-\压裂{\sigma{1}^{2}}{2}-\int_{\mathbb{Y}}\bigl[\gamma_{1}（u）-\ln\bigl（1+\gamma_1}（u）\bigr]\lambda（du）=-0.127<0，\\w_2}=a_{2}-\压裂{\sigma{2}^{2}}{2}-\int_{\mathbb{Y}}\bigl[\gamma_{2}（u）-\ln\bigl（1+\gamma_2}（u）\bigr]\lambda（du）=-0.1585<0，\\w_{3}=a_{3}-\压裂{\sigma{3}^{2}}{2}-\int_{\mathbb{Y}}\bigl[\gamma_{3}（u）-\ln\bigl（1+\gamma_3}（u）\bigr]\lambda（du）=-0.127<0。\结束{聚集}$$

  因此，根据定理中的情况（i）2，所有物种都将灭绝，图1证实了这一点。

  图1

  

  系统解决方案(三)的\（a{1}=0.02\）,\（a{2}=0.03）,\（a{3}=0.02\）,\（gamma{1}（u）=gamma{3}（u）=0.2\）,\（伽马{2}（u）=0.4\），其他参数与中的相同(23)，步长为\（增量t=0.1>0）

• (2) 在图中2，让\（a_｛1｝=0.02 \）,\（a{2}=0.03）,\（a{3}=0.5）,\（伽马{1}（u）=伽马{2}（u）=0.2）,\（伽马{3}（u）=0.4\），其他参数与中的相同(23)，然后

  $$w_{1}=-0.127<0，\quad\quad w_{2}=-0.1127<0，\ qquad w_3}=0.3115>0$$

  根据定理（ii）的情况2捕食种群和易感捕食种群将灭绝，受感染捕食种群在平均水平上趋于稳定。图2显示了它。

  图2

  

  系统解决方案(三)的\（a_｛1｝=0.02 \）,\（a{2}=0.03）,\（a{3}=0.5）,\（γ_｛1｝（u）=γ_｛2｝（u）=0.2\）,\（伽马{3}（u）=0.4\），其他参数与中的相同(23)，步长为\（增量t=0.1>0）

• (3) 在图中三，我们假设\（a{1}=0.06）,\（a{2}=0.6）,\（a{3}=0.2）,\（σ{3}=0.8）,\（β=k{2}=0.2）,\（伽马{1}（u）=0.4\）,\（gamma{2}（u）=gamma{3}（u）=0.2\），其他参数与中的相同(23)，此时

  $$\开始{聚集}w{1}=-0.1285<0，\qquad w{2}=0.4573>0，\\w{3}=-0.1377<0，\ qquad w{3}+\压裂{βk{2}}{c{2}{2}w}=-0.1072<0.结束{聚集{$$

  根据（iii）（a）的条件，猎物数量\（x（t）\）和感染人群\（z（t）\）易受感染的食肉动物种群将灭绝\（y（t）\）将在平均水平上保持稳定。

  图3

  

  系统解决方案(三)的\（a{1}=0.06）,\（a{2}=0.6）,\（a{3}=0.2）,\（σ{3}=0.8）,\（β=k{2}=0.2）,\（伽马{1}（u）=0.4\）,\（伽马{2}（u）=伽马{3}（u）=0.2），其他参数与中的相同(23)，步长为\（增量t=0.1>0）

• (4) 在图中4，我们选择\（a{1}=0.3\）,\（a_｛2｝=0.03\）,\（a_｛3｝=0.02 \）,\（伽马{1}（u）=0.2）,\（gamma{2}（u）=gamma{3}（u）=0.4\），其他参数与中的相同(23)，然后

  $$w_{1}=0.1573>0，\qquad w_{2}=-0.1585<0，\qqquad w_{3}=-0.1685<0$$

  基于定理（iv）2，被捕食种群将在平均水平上保持稳定，整个捕食者种群将灭绝，这与图一致4.

  图4

  

  系统解决方案(三)的\（a{1}=0.3\）,\（a{2}=0.03）,\（a{3}=0.02\）,\（gamma{1}（u）=0.2）,\（gamma{2}（u）=gamma{3}（u）=0.4\），其他参数与中的相同(23)，步长为\（增量t=0.1>0）

• (5) 在图中5，让\（a{1}=0.75）,\（a{2}=0.7）,\（a{3}=0.3\）,\（c{2}=0.3\）,\（c{3}=0.2）,\（k{2}=0.6）,\（β=0.4\）,\（σ{3}=0.7）,\（伽马{1}（u）=0.4\）,\（\gamma_{2}（u）=\gamma_{3}（u）=0.2\），其他参数与中的相同(23)，然后

  $$w_{1}=0.5615>0，\qquad w_{2}=0.5573>0$$

  和\（压裂{（w{2}+w{3}）k_{2} c（c）_{1} }{（c{2}+c{3}+k{2}\β）k{1}=0.3857\）,\（w{1}>\压裂{（w{2}+w{3}）k_{2} c（c）_{1} }{（c{2}+c{3}+k{2}\β）k{1}\）.借助定理中的（v）2，所有种群的平均值都将是强持久性的。

  图5

  

  系统解决方案(三)的\（a_｛1｝=0.75 \）,\（a{2}=0.7）,\（a{3}=0.3\）,\（c{2}=0.3\）,\（c{3}=0.2）,\（k{2}=0.6）,\（β=0.4\）,\（σ{3}=0.7）,\（伽马{1}（u）=0.4\）,\（gamma{2}（u）=gamma{3}（u）=0.2\），其他参数与中的相同(23)，步长为\（增量t=0.1>0）

在下面，我们讨论确定性系统的解(2)，假设所有参数与图中相同1,4,5.图6表明易感捕食者种群将灭绝，但被捕食者和受感染捕食者种群将会稳定，这与图中不同1.

图6

确定性系统的解(2)，所有参数如图所示1

图7说明捕食种群和感染捕食者种群将趋于稳定，易感捕食者种群将会灭绝。比较图7带数字4系统解的行为(2)不同于随机系统(三)。图8再次确认，我们不再解释。

图7

确定性系统的解(2)，所有参数如图所示4

图8

确定性系统的解(2)，所有参数如图所示5

这些结果表明，对于一个随机系统，不仅增长率，而且Lévy噪声和高斯白噪声对种群的持续性也起着重要作用。有时，环境的随机扰动会使物种灭绝。

6结论

本文讨论了具有Lévy噪声和高斯白噪声的LG–HollingⅡ型病态捕食者生态系统。我们证明了该系统具有唯一的全局正解；我们还研究了一致有限的所有种群的平均值和灭绝的持续性第页第个时刻\（p>0\）以及随机极限有界性。猎物和捕食者种群平均灭绝或持续的阈值条件说明\（w{i}\）是关键值，这意味着\（a{i}\）白噪声和勒维噪声对人口的持续性不利。通过数值模拟，我们发现Lévy噪声和高斯白噪声对随机系统的持久性有重要影响；有时，它可能是一个决定性因素。因此，我们必须在数学模型中考虑环境的随机变化。