三阶时滞微分方程的振动准则

摘要

本文的目的是研究一类三阶线性时滞微分方程解的振动性和渐近性

$$\bigl（r_{2}（t）\ bigl$$

我们建立了新的振荡标准，可用于测试振荡，即使之前已知的标准无法适用。文中还给出了说明结果的例子。

1介绍

在这项工作中，我们关注一个三阶线性时滞微分方程的振动形式

$$\bigl（r_{2}（t）\ bigl$$

(1.1)

哪里\（t_{0}>0\）是固定实数，\（r_｛1｝，r_｛2｝，q\in\mathcal｛C｝（I，\mathbb｛r｝）\）是正函数和延迟函数\（tau\in\mathcal{C}^{1}（I，\mathbb{R}））满足\（τ（t）<t）,\（\tau'（t）\ge0\）和\（\tau（t）\to.infty\）作为\（t至infty）.

自始至终，我们都会假设

$$\int_{t_{0}}^{\infty}\frac{1}{r{1}（s）}\，\mathrm{d} 秒=\int_{t_{0}}^{\infty}\frac{1}{r{2}（s）}\，\mathrm{d} 秒=\infty$$

（H）

通过以下解决方案(1.1)我们是指一个函数\（y（t）\in\mathcal{C}^{1}[t_{y}，\infty）\）它拥有财产\（r_{1}（t）y'（t）在\mathcal{C}^{1}[t_{y}，\infty）中）和\（r{2}（t）（r{1}（t）y'（t））'\在\mathcal{C}^{1}[t{y}，\infty）\中）并满足(1.1)上的\（[t_｛y｝，\infty）\）对于每个\（t{y}t{0}）.

我们将注意力局限于以下解决方案(1.1)存在于我并满足条件\（\sup\{\vert x（t）\vert:t\get{1}\}>0\）对于任何\（t{1}\geqt{y}\）。我们假设(1.1)拥有这样的解决方案。

一个解决方案\（y（t）\）第页，共页(1.1)如果它既非最终为正也非最终为负，则称为振荡。否则，它被称为非振荡。如果方程的所有解都振荡，则方程本身称为振荡。

众所周知，三阶微分方程在应用数学和物理不同领域的许多现象建模中一直被视为有价值的工具。的确，值得一提的是，它们在研究入口流动现象中的应用[1]电脉冲在鱿鱼神经中的传播，近似于著名的Nagumo方程[2]反馈核反应堆问题[三]等等。

因此，近三十年来，人们对变系数三阶微分方程的振动理论进行了大量的研究。最近的专著中收集并总结了截至2014年发表的最重要成果[4,5].

它遵循广义Kiguradze引理（参见引理1)任何正解的一阶导数年第页，共页(1.1)最终具有一个标志，即。，年要么增加要么减少。在普通情况下（当\（τ（t）等于t）)总是存在一个递减解(1.1)，请参阅[6，引理1]，作者使用了各种技术来提供充分条件，以保证(1.1)最终振荡或收敛到零。对于这些结果，我们建议读者参考[6–14]以及其中引用的参考文献。

然而，值得注意的是，延迟参数可能会导致(1.1)变得振荡。作为这个性质的一个例子，我们可以考虑三阶微分方程\（y“”（t）+y（t-\tau）=0）,\（\tau>0\），它是振荡的当且仅当\（tau\mathrm{e}>3\）（请参见[15，定理1]）。但相应的三阶常微分方程\（y“”（t）+y（t）=0）具有非振荡解\（y（t）=\mathrm{e}^{-t}\）因此，建立新的标准以确保(1.1)何时\（τ（t）<t）.

振荡理论中一个有趣的方法是使用一些比较原理，基于这些比较原理，所研究的微分方程解的振荡行为继承自一阶延迟微分方程中的振荡，从而产生如下条件\（1/\mathrm{e}\）。与此问题有关的结果(1.1)其各种概括在[7,16–22].

对于以下特定情况(1.1)即，

$$\bigl（r_{2}（t）y“”（t）\bigr）“+q（t）y\bigle（tau（t）\figr）=0$$

(1.2)

巴库利科娃和季鲁里亚[17]确定了以下结果。

定理A

（参见[17，定理2]）

假设

$$\int_{t_{0}}^{\infty}\int__{v}^{\frity}\frac{1}{r_{2}（u）}\int_{u}^{\ infty{q（s）\，\mathrm{d} 秒\，\mathrm{d} u个\，\mathrm{d} v（v）=\不完整$$

(1.3)

如果第一个-阶延迟微分方程

$$x'（t）+\biggl（q（t）\int_{t_{0}}^{\tau（t）}\frac{\tau-（t）-u}{r{2}（u）}\，\mathrm{d} u个\biggr）x\bigl（\tau（t）\bigr）=0$$

(1.4)

是振荡的,然后每个解决方案(1.2)振荡或收敛到零 \（t至infty）.

定理B

（请参见[17，定理3]）

让函数存在 \（\xi（t）\in\mathcal{C}^{1}（I，\mathbb{R}）\） 这样的话

$$\xi'（t）\ge0，\quad\quad\xi（t）>t，\quae\quad\\eta（t）=\tau\bigl$$

如果两者都是第一个-阶延迟微分方程(1.4)和

$$z'（t）+\biggl（int_{t}^{xi（t）}\frac{1}{r{2}（v）}\int_{v}^{xi（v）}q（u）\，\mathrm{d} u个\，\mathrm{d} v（v）\biggr）z\bigl（\eta（t）\bigr）=0$$

(1.5)

是振荡的,然后(1.2)是振荡的.

值得注意的是(1.4)排除增加的积极解决方案(1.1)。定理的证明一个基本上是基于使用以下估计，该估计与(1.2)具有第二个准导数：

$$y\bigl{d} 美国。 $$

增加正解的类似估计(1.1)即，

$$y\bigl{r{2}（u）}\，\mathrm{d} u个\，\mathrm{d} 秒 $$

（1.6）

在中给出[7，引理4]。事实上，不平等(1.6)在消除增加的正解的过程中，以或多或少的一般形式反复使用(1.1)其概括或特殊情况；参见，例如[7,21–26]. 经过检查，很明显，尽管所引用作品的证明存在差异，但得出的标准有一个共同点，即它们的强度取决于估计的清晰度(1.6).

另一方面(1.5)消除中正递减解的存在性(1.2)。由于没有关于如何选择函数的一般规则\（\xi（t）\）在满足这些条件的情况下，一个有趣的问题是如何在不需要未知函数存在的情况下建立相应的结果\（\xi（t）\）。在这里，我们也将解决这个问题。

本文的主要目的是研究(1.1)。我们的方法基本上是基于建立更精确的估计来增加正解(1.1)比(1.6)使用迭代技术；并获得减少正解的类似迭代估计(1.1)。与这里提出的想法类似的想法已经被相继用于研究二阶高级微分方程的振荡行为，见最近的一项工作[27]了解详细信息。即使在以下情况下，获得的结果也是新的(1.1)何时\（r{i}（t）=1\）,\（i=1,2）此外，结果的迭代性质使我们能够测试振荡，即使之前已知的结果无法应用。我们通过将这些结果应用于Euler型时滞微分方程来证明我们对这些结果的改进。

备注1

在续集中，假设所有的泛函不等式最终成立，也就是说，它们对所有的不等式都是满足的t吨足够大。

备注2

在不失一般性的情况下，我们只能处理(1.1).

2一些引理和辅助结果

在本节中，我们陈述并证明了一些引理，这些引理将有助于建立我们的主要结果。为了完整性，我们首先回顾广义Kiguradze引理的改编。接下来，我们将提供正解的一些重要单调性质年第页，共页(1.1)在案例中(2.1)和(2.2)分别是。

为了简洁起见，我们定义

$$L美元_{0}年（t） =y（t），\quad\quad L_{i} 年（t） =r_{i}（t）\bigl（L_{i-1}年（t） \bigr）'，\quad i=1,2，\quad\quad L_{3} 年（t） =\bigl（L_{2} 年（t） \较大）'$$

对于\（I中的t）使用此符号，方程式(1.1)采取形式

$$L美元_{3} 年（t） +q（t）y\bigl（tau（t）\bigr）=0$$

引理1

（请参见[28，引理2]）

假设 \（y（t）\） 是最终的积极解决方案(1.1).然后 \（y（t）\） 满足以下两种情况之一:

$$\开始{对齐}&y（t）>0，\quad\quad L_{1} 年（t） >0，\quad\quad L_{2} 年（t） >0，\quad\quad L_{3} 年（t） <0，\结束{对齐}$$

(2.1)

$$\开始{对齐}&y（t）>0，\quad\quad L_{1} 年（t） <0，\quad\quad L_{2} 年（t） >0，\quad\quad L_{3} 年（t） <0，\结束｛对齐｝$$

(2.2)

最后.

引理2

假设 \（y（t）\） 是一个积极的解决方案(1.1)这满足了(2.1).表示

$$开始{聚集}R{1}（t，t_{*}{d} 秒\，\mathrm{d} v（v），\\R{m+1}（t，t_{*}）：=\int_{t{*}}^{t}\frac{1}{R{1}^{t} q个（u） R_{m}\bigl（τ（u），t_{*}\bigr）\，\mathrm{d} u个\biggr）\，\mathrm{d} 秒\，\mathrm{d} v（v），\quad m\in\mathbb{N}，\end{聚集}$$

（2.3）

对于 \（t\ge t_{*}\）,哪里 \（I\中的t_{*}\） 足够大了.然后

$$y\bigl（\tau（t）\bigr）\ge L_{2} 年\bigl（\tau（t）\bigr）R_{m}\bigle（\tu（t），t_{*}\bigr.），\quad t\ge t_{*}$$

(2.4)

证明

让\（y（t）\）是…的解决方案(1.1)令人满意的(2.1)上的\（[t{1}，\infty）\）,\（I\中的t_{1}\）。自\（升_{2} 年（t） \）不增加，很容易看出

$$L美元_{1} 年（t） \ge\int_{t_{1}}^{t}\bigl（L_{1} 年（s） \bigr）'\，\mathrm{d} 秒=\int_{t_{1}}^{t}\frac{1}{r{2}（s）}L_{2} 年（s） \，\mathrm{d} 秒\通用电气公司_{2} 年（t） \int_{t_{1}}^{t}\frac{1}{r{2}（s）}\，\mathrm{d} 秒 $$

或

$$y'（t）\ge L_{2} 年（t） \压裂{1}{r{1}（t）}\int_{t{1}}^{t}\压裂{1'{r{2}（s）}\，\mathrm{d} 秒，\quad t\ge t_{1}$$

将上述不等式与\（t{1}\）到t吨和使用(2.3)，我们有

$$y（t）\ge\int_{t_{1}}^{t} L（左）_{2} 年（v） \压裂{1}{r{1}（v）}\int_{t{1}}^{v}\压裂{1'{r{2}（s）}\，\mathrm{d} 秒\，\mathrm{d} v（v）\ge L（左）_{2} 年（t） R{1}（t，t_{1}）$$

显然，存在\（t{2}这样所有人\（第{2}页）,

$$y\bigl（\tau（t）\bigr）\ge L_{2} 年\bigl（\tau（t）\bigr）R_{1}\bigle（\tu（t），t_{2}\bigr.）$$

那就是(2.4)满足于\（m=1）.

现在，进入下一个归纳步骤，我们假设(2.4)保留一些\（m>1），这意味着

$$y\bigl（\tau（t）\bigr）\ge L_{2} 年\bigl（\tau（t）\bigr）R_{m}\bigle（\tu（t），t_{*}\bigr.），\quad t\ge t_{*}\ge t_{2}$$

(2.5)

组合(2.5)和(1.1)，我们得到

$$L美元_{3} 年（t） +q（t）R_{m}\bigl（τ（t），t_{*}\bigr）L_{2} 年\bigl（\tau（t）\bigr）\le0$$

或

$$x'（t）+q（t）R{m}\bigl$$

(2.6)

哪里\（x（t）：=L_{2} 年（t） \）。鉴于\（x（τ（t）），我们可以用下面的形式写出最后一个不等式

$$x'（t）+q（t）R{m}\bigl（\tau（t），t_{*}\bigr）x（t）\le0$$

(2.7)

Grönwall不等式在(2.7)，我们获得

$$x（s）\ge x（t）\exp\biggl（\int_{s}^{t} q个（u） R_｛m｝\bigl（\tau（u），t_｛*｝\bigr）\，\mathrm{d} u个\biggr），\quad t\ge s\ge t_{*}$$

或者，

$$L美元_{2} 年（s） \ge L（左）_{2} 年（t） \exp\biggl（\int_{s}^{t} q个（u） R_{m}\bigl（τ（u），t_{*}\bigr）\，\mathrm{d} u个\biggr），\quad t\ge s\ge t_{*}$$

（2.8）

因此，

$$L美元_{1} 年（t） \ge\int_{t_{*}}^{t}\frac{1}{r{2}（s）}L_{2} 年（s） \，\mathrm{d} 秒\ge L（左）_{2} 年（t） \int_{t_{*}}^{t}\frac{1}{r{2}（s）}\exp\biggl（\ int_{s}^{t} q个（u） R_{m}\bigl（τ（u），t_{*}\bigr）\，\mathrm{d} u个\biggr）\，\mathrm{d} 秒, $$

也就是说，

$$y'（t）\ge L_{2} 年（t） \压裂{1}{r{1}（t）}\int_{t{*}}^{t}\frac{1}}{r}2}（s）}\exp\biggl（\ int_{s}^{t} 问（u） R_{m}\bigl（τ（u），t_{*}\bigr）\，\mathrm{d} u个\biggr）\，\mathrm{d} 第条。 $$

将上述不等式与\（t_{*}\）到t吨和使用(2.8)再次，我们获得

$$\begin｛aligned｝y（t）&\ge\int_｛t_｛*｝｝^{t} L（左）_{2} 年（v） \frac{1}{r{1}（v）}\int_{t{*}}^{v}\frac}1}{r{2}（s）}\exp\biggl（int_{s}^{v} q个（u） R_{m}\bigl（τ（u），t_{*}\bigr）\，\mathrm{d} u个\biggr）\，\mathrm{d} 秒\，\mathrm{d} v（v）\\和\ge L_{2} 年（t） \int_{t_{*}}^{t}\exp\biggl（\int__{v}^{t} q个（u） R_{m}\bigl（τ（u），t_{*}\bigr）\，\mathrm{d} u个\biggr）\\&\四{}\times\frac{1}{r{1}（v）}\int_{t{*}}^{v}\frac}1}{r{2}（s）}\exp\biggl（int_{s}^{v} q个（u） R_{m}\bigl（τ（u），t_{*}\bigr）\，\mathrm{d} u个\biggr）\，\mathrm{d} 秒\，\mathrm{d} v（v）\\&=L_{2} 年（t） \int_{t_{*}}^{t}\frac{1}{r{1}（v）}\int__{t_*}}^{v}\frac{1}}{r_{2}（s）}\exp\biggl（\int_{s}^{t} q个（u） R_{m}\bigl（τ（u），t_{*}\bigr）\，\mathrm{d} u个\biggr）\，\mathrm{d} 秒\，\mathrm{d} （v）。\结束{对齐}$$

因此，存在\（t_{**}这样所有人\（t _{**}\）,

$$y\bigl（\tau（t）\bigr）\ge L_{2} 年\bigl（\tau（t）\bigr）\int_{t_{**}}^{\tau）\，\mathrm{d} u个\biggr）\，\mathrm{d} 秒\，\mathrm{d} v（v）, $$

(2.9)

鉴于(2.3)，成为

$$y\bigl（\tau（t）\bigr）\ge L_{2} 年\bigl（\tau（t）\bigr）R_{m+1}\bigle（\tu（t），t_{**}\biger），\quad t\ge t_{**}$$

这就完成了归纳步骤和引理的证明。 □

备注3

注意，对于\（m=1）, (2.4)减少到(1.6).

引理3

假设 \（y（t）\） 是最终的积极解决方案(1.1)这满足了(2.2).表示

$$\开始{聚集}\波浪线{右}_{1} （v，u）：=\int{u}^{v}\frac{1}{r{1}（x）}\int{x}^v}\frac{1{r{2}（s）}\，\mathrm{d} 秒\，\mathrm{d} x个，\\\颚化符{右}_{n+1}（v，u）：=\int_{u}^{v}\frac{1}{r{1}^{v} 问（z） R_{n}\bigl（z，\tau（z）\bigr）\，\mathrm{d} z（z）\biggr）\，\mathrm{d} 秒\，\mathrm{d} x个，\quad n\in\mathbb{n}，\end{聚集}$$

(2.10)

对于 \（v\ge-u\ge-t{*}）,哪里 \（I\中的t_{*}\） 足够大了.然后

$$y（u）\ge L_{2} 年（v） \波浪线{右}_{n} （v，u），\quad v\ge-u\ge-t{*}$$

(2.11)

证明

让\（y（t）\）是…的解决方案(1.1)令人满意的(2.2)上的\（[t{1}，\infty）\）,\（I\中的t_{1}\）。自\（升_{2} 年（t） \）不增加，我们可以写

$$\开始{对齐}-L_{1} 年（u） &\页L_{1} 年（v） -左_{1} 年（u） =\int_{u}^{v}\frac{1}{r_{2}（s）}L_{2} 年（s） \，\mathrm{d} 秒\ge L（左）_{2} 年（v） \int_{u}^{v}\frac{1}{r{2}（s）}\，\mathrm{d} 秒\结束{对齐}$$

(2.12)

对一些人来说\（v \ge u \ge t{1}），因此，

$$-y'（u）\ge L_{2} 年（v） \压裂{1}{r{1}（u）}\int_{u}^{v}\frac{1}}{r}2}（s）}\，\mathrm{d} 第条。$$

将上述不等式与u个到\（v \ge u \ge t{1}），我们得到

$$y（u）\ge L_{2} 年（v） \ int_{u}^{v}\分形{1}{r{1}（x）}\int_{x}^{v}\分形}1}{r{2}（s）}\，\mathrm{d} 秒\，\mathrm{d} x个=升_{2} 年（v） \波浪线{右}_{1} （v，u）$$

(2.13)

也就是说(2.11)满足于\（n=1）.

现在，假设(2.11)保留一些\（n>1）即。，

$$y（u）\ge L_{2} 年（v） \波浪线{右}_{n} （v，u），\quad v\ge-u\ge-t{*}\ge-t_{1}$$

（2.14）

显然，使用(2.14)带有\（u=τ（t））和\（v=t）英寸(1.1)收益率

$$L美元_{3} 年（t） +q（t）\颚化符{右}_{n} \bigl（t，\tau（t）\bigr）L_{2} 年（t） \le0$$

按照引理的证明进行2，我们得到

$$L美元_{2} 年（s） \ge L（左）_{2} 年（v） \exp\biggl（\int_{s}^{v} q个（z） \波浪线{右}_{n} \bigl（z，\tau（z）\bigr）\，\mathrm{d} z（z）\biggr），\quad v\ge s\ge t_{*}$$

(2.15)

使用(2.15)英寸(2.12)，我们有

$$-L美元_{1} 年（u） \ge L（左）_{2} 年（v） \int_{u}^{v}\frac{1}{r{2}（s）}\exp\biggl（\int_}s}^{v} q个（z） \波浪线{右}_{n} \bigl（z，\tau（z）\bigr）\，\mathrm{d} z（z）\biggr）\，\mathrm{d} 秒, $$

因此，

$$-y'（u）\ge L_{2} 年（v） \压裂{1}{r{1}（u）}\int_{u}^{v}\frac{1}}{r}2}（s）}\exp\biggl（\ int_{s}^{v} q个（z） \波浪线{右}_{n} \bigl（z，\tau（z）\bigr）\，\mathrm{d} z（z）\biggr）\，\mathrm{d} 第条。 $$

(2.16)

最后，通过集成(2.16)来自u个到\（v\ge-u\ge-t{*}），我们得出结论

$$\开始{对齐}y（u）&\ge L_{2} 年（v） \int_{u}^{v}\frac{1}{r{1}^{v} 问（z） \波浪线{右}_{n} \bigl（z，\tau（z）\bigr）\，\mathrm{d} z（z）\biggr）\，\mathrm{d} 秒\，\mathrm{d} x个\\&=L_{2} 年（v） \波浪号{右}_{n+1}（v，u）。\结束{对齐}$$

因此，关系(2.11)保留任何\（n\in\mathbb{n}\）。证据完整。 □

引理4

假设 \（y（t）\） 是最终的积极解决方案(1.1)这满足了(2.2).如果

$$\int_{t_{0}}^{\infty}\frac{1}{r_{1}（v）}\int__{v}^{\ infty{1\frac{1}{r_2}（u）}\inter_{u}^{\\inftyneneneep q（s）\，\mathrm{d} 秒\，\mathrm{d} u个\，\mathrm{d} v（v）=\infty$$

(2.17)

然后 \（y（t）\） 趋向于零 \（t至infty）.

证明

由于证明与[17，引理2]，我们省略它。 □

三主要成果

我们准备提供论文的主要结果。首先，我们改进了定理一个通过建立所有非振动解的一个新的充分条件(1.1)收敛到零\（t至infty）第二，我们放松状态(2.17)并使用另一个来消除(2.2)-类型解决方案(1.1)并获得(1.1).

定理1

让(2.17)保持并 \（R_{m}（t，t_{*}）\） 由定义(2.3).如果第一个-阶延迟微分方程

$$x'（t）+q（t）R{m}\bigl（\tau（t），t_{*}\bigr$$

(3.1)

对某些人来说是振荡的 \（m\in\mathbb｛N｝\） 和 \（I\中的t_{*}\）,然后每个解决方案(1.1)要么振荡要么趋于零 \（t至infty）.

证明

让\（y（t）\）是的非振动解(1.1)，说吧\（y（t）>0）和\（y（τ（t））>0）对于\（第t_{1}页）对一些人来说\（T_｛1｝\ ge T_｛0｝\）.通过引理1,\（y（t）\）满足任一条件(2.1)或(2.2)的\（t _{1}.

首先假设\（y（t）\）满足(2.1)的\（第{1}页）.组合(2.4)带有(1.1)，我们看到了\（x（t）：=L_{2} 年（t） \）是一阶时滞微分不等式的正解

$$x'（t）+q（t）R{m}\bigl$$

那么，凭借[29，定理1]，相关的延迟微分方程(3.1)也有积极的解决办法，这是一个矛盾。证据是完整的。

现在，假设\（y（t）\）满足(2.2)的\（第{1}页）.通过引理4，我们有\（\lim_｛t\到｛infty｝y（t）=0\）。证据完整。 □

应用已知的振动标准(3.1)，可以立即获得(1.1)。以下是由于Ladde等人[30，定理2.1.1]。

推论1

让(2.17)保持并 \（R_{m}（t，t_{*}）\） 由定义(2.3).如果

$$\liminf_｛t\to\infty｝\int_｛\tau（t）｝^{t} q个（s） R_{m}\bigl（\tau（s），t_{*}\bigr）\，\mathrm{d} 秒>\压裂{1}{\mathrm{e}}$$

(3.2)

对一些人来说 \（m\in\mathbb{N}\） 和 \（I\中的t_{*}\）,然后每个解决方案(1.1)要么振荡要么趋于零 \（t至infty）.

定理2

让 \（R_{m}（t，t_{*}）\） 和 \（\波浪号{右}_{n} （v，u）\） 由定义(2.3)和(2.10),分别地.如果第一个-阶延迟微分方程(3.1)对某些人来说是振荡的 \（m\in\mathbb｛N｝\） 和 \（t_{*}\在\mathcal{I}\中）,和

$$\limsup_{t\to\infty}\int_{\tau（t）}^{t} q个（s） \波浪线{右}_{n} \bigl（\t），\tau（s）\bigr），\mathrm{d} 秒>1, $$

(3.3)

对一些人来说 \（n\in\mathbb｛n｝\）,然后(1.1)是振荡的.

证明

让\（y（t）\）是的非振动解(1.1)，说吧\（y（t）>0）和\（y（τ（t））>0）对于\（第t_{1}页）对一些人来说\（T_{1}\ge T_{0}\）.通过引理1,\（y（t）\）满足任一条件(2.1)或(2.2)的\（t _{1}.

首先假设\（y（t）\）满足(2.1)的\（第{1}页）.按照定理证明进行1，我们遇到了一个矛盾。

现在，假设\（y（t）\）满足(2.2)的\（第{1}页）.集成(1.1)来自\（套（t））到t吨，我们有

$$L美元_{2} 年\bigl（\tau（t）\bigr）\ge L_{2} 年\bigl（\tau（t）\bigr）-L_{2} 年（t） =\int_{\tau（t）}^{t} q个（s） y\bigl（\tau（s）\bigr）\，\mathrm{d} 第条。 $$

(3.4)

使用(2.11)英寸(3.4)带有\（u=τ）和\（v=τ（t）），我们看到了

$$L美元_{2} 年\bigl（\tau（t）\bigr）\ge L_{2} 年\bigl（\t）\bigr）\int_{\t（t）}^{t} q个（s） \波浪线{R}_{n}\bigl（\tau（t），\tau[s）\bigr）\，\mathrm{d} 秒。 $$

服用lim sup作为\（t至infty）在上述不平等的两方面，我们都与(3.3)。证据是完整的。 □

4示例

以下示例显示了我们通过结果比前面介绍的结果所取得的改进。所有数值计算都可以在MATLAB中轻松进行。

示例1

考虑欧拉型三阶微分方程：

$$y“”（t）+\压裂{3}{t^{3}}y（0.5t）=0，\四元t\ge1$$

(4.1)

对于\（m=1），条件的左侧(3.1)给予

0.25993美元<1/\mathrm{e}$$

(4.2)

然而，对于\（m=2），我们得到

$0.511863>1/\mathrm{e}$$

也就是说(3.1)满足于\（m=2）另一方面，很容易验证(2.17)持有。因此，根据推论1，我们得出结论：(4.1)要么振荡要么趋于零\（t至infty）一种这样的非振荡解决方案是\（y（t）=t^{-1}\）.

我们注意到定理一个，以及[7，定理1][22，定理12][25，定理2.9]，由于(4.2).

示例2

考虑欧拉型三阶微分方程

$$y“”（t）+\压裂{18}{t^{3}}y（0.5t）=0，\四元t\ge1$$

(4.3)

来自示例1，我们知道(3.1)满足于\（m=1）另一方面(3.3)给予

$$\开始{aligned}&0.643702<1，\\&0.874346<1，结束{aligned}$$

和

$$ 1.364297>1 $$

对于\（n=1,2,3\）分别是。因此(3.3)满足于\（n=3）和来自定理2我们的结论是(4.3)是振荡的。我们强调，与[9,10,16–20,25,31]，我们不要求存在合适的辅助函数。

5总结

在本文中，我们获得了新的振动准则(1.1)据我们所知，这基本上改善了文献中报告的许多相关结果，即使在以下情况下\（r{1}=r{2}\equiv1\）.

我们的方法基于改进经典技术，其中通过考虑延迟的整体影响（在早期结果中已被忽略），从一阶方程的振动中推导出所研究方程的期望性质。

进一步研究的一个有趣问题是建立不同的迭代技术来测试(1.1)独立于常数\（1/\mathrm｛e｝\）.