无限域上多项时空Caputo-Riesz分数阶扩散方程的解析解

摘要

本文研究一维空间中多项时空分数阶扩散方程的Cauchy问题。时间分数导数被定义为Caputo分数导数，空间分数导数被定义为Riesz意义。首先将分数阶拉普拉斯算子的域扩展到巴拿赫空间。然后利用Luchko定理和多元Mittag-Lefler函数建立了解析解。

1介绍

分数阶微积分已经成为描述流体力学、热力学、等离子体动力学、连续介质力学、量子力学、电动力学和生物系统中许多非线性复杂现象的有力工具[1,2]. 特别地，分数阶扩散方程很好地描述了连续时间随机游动的反常扩散过程[三,4].

在本文中，我们考虑了多项时空Caputo-Riesz分数阶扩散方程的以下初值问题：

$$\开始{aligned}&\sum_{j=0}^{n-1}a_{j} D^{\alpha_{j}}u（t，x）=-b（-\bigtriangleup）^{\beta}u（t，x），\end{aligned}$$

(1.1)

$$\开始{aligned}&u（0，x）=g（x），\结束{aligned}$$

(1.2)

哪里\（第1页）,\（a{0}=1，a{i}>0，\alpha{i}>0，\alpha{n-1}<\cdots<\alpha_{0}\leq1，b>0，0<\beta\leql，x\ in R=（-\infty，\infty）\）,\（t \geq 0），符号\（D^{\alpha}\）表示由定义的Caputo型分数导数[5]

$$D^{\alpha}u（t）=\frac{1}{\Gamma（\lceil\alpha\rceil-\alpha）}\int^{t}（t）_｛0｝｛（t-s）｝^｛\lceil\alpha\rceil-\alpha-1｝u ^｛（\lceil\alpha\rceil）｝（s）\，ds$$

和符号\（（-\bigtriangleup）^{\beta}\）表示分数拉普拉斯算子，由[6]

$$（-\bigtriangleup）^{\beta}u（t）=F^{-1}\bigl\{\verts s\vert^{2\beta}Fu（s）\bigr\}（t）$$

（1.3）

哪里F类表示傅里叶变换。

在分数微积分中，最常用的分数导数是卡普托导数和黎曼-卢维尔导数。由于处理初始条件的便利性，卡普托分数阶导数在实践中得到了更广泛的应用[7]. 然而，卡普托分数导数通常是为连续可微函数定义的[5,7]. 在[8]在分数阶Sobolev空间中，给出了有界区间上Caputo分数阶导数的新定义，并证明了时间分数阶扩散方程解的最大正则性。分数拉普拉斯算子也是一个著名的非局部算子，在势理论中起着重要作用[9]. 的作者[10]考虑了分数拉普拉斯空间和分数Sovolev空间之间的关系。有界区间上的分数拉普拉斯算子是根据拉普拉斯算符的特征值和特征函数定义的[8,11]. 无界区间上的分数Laplacian通常定义在Schwartz空间中，该空间对于许多重要应用来说过于狭窄。因此在[12]没有说明无限域上分数阶时空Caputo-Riesz扩散方程解析解的解空间，作者[13]通过导出等效积分方程建立温和的解。

由于多项分数扩散方程在模拟反常扩散现象方面比单项分数扩散方程式更灵活，因此它们经常出现在最近的出版物中[11,14–17]. 通过建立具有Caputo导数的多项时间分数阶扩散方程的最大值原理，并证明了多元Mittag-Lefler函数的一些性质，作者[14,15]研究了适定性和长期渐近行为。在[17]作者证明了多项时空Caputo-Riesz分数阶扩散方程的最大值原理，并导出了解的唯一性和连续依赖性。的作者[11]利用Luchko定理得到了有界区间上多项时空Caputo-Riesz分数阶对流扩散方程的解析解。然而，据我们所知，文献中尚未考虑无限域上的多项时空Caputo-Riesz分数阶扩散方程。

本文通过将分数阶拉普拉斯算子的域推广到Banach空间，利用多元Mittag-Leffler函数，得到了多项分数阶扩散方程的解析解(1.1)-(1.2)获得。特别是找到了解析解的意义。

2分数拉普拉斯域的扩张

在本节中，分数拉普拉斯算子的域(1.3)扩展到Banach空间。首先我们回顾了勒贝格空间和施瓦茨空间的概念。

定义2.1

[18]，第110页

空间 \（L^{2}\） 指所有可测量函数的集合 \（u:R\右箭头R\） 这样的话 \（\|u\|_{L^{2}}<\infty\）,哪里

$$\Vert u\Vert _{L^{2}}=\int_{R}\bigl\Vert u（x）\bigr\Vert^{2{，dx$$

定义2.2

[18]，第214页

空间 S公司 是指所有 \（内容） 功能 \（u:R\右箭头R\） 这样的话 \（{r，q}<\infty\） 为所有人 \（r，q=0,1，\ldots\） ,哪里

$$\Vertu\Vert_{r，q}=\sup_{x\in-r}\bigl（1+\Vert x\Vert^{r}\bigr）\sum_{m=0}^{q}\bigle\Vert u^{（m）}（x）\bigr\Vert$$

定义2.3

由 \（M_{\beta}\） 我们的意思是完成施瓦茨太空 S公司 结束 R（右） 符合规范 \（|\cdot|_｛M_｛\beta｝｝） 由定义

$$\Vert f\Vert_{M_{\beta}}=\bigl\Vert\Vert t\Vert^{2\beta}Ff（t）\bigr\Vert_{L^{2}}，S中的\quad f\$$

(2.1)

对于任何\（在M_{β}中为f\），存在一个序列\（S\}中的{f_{m}）这样的话\（{M_{beta}}=lim{M\to\infty}和\（\|f_{m} -f_{r} \|_{M_{beta}}\rightarrow0\）作为\（m，右箭头\infty\）.

定理2.4

分数拉普拉斯算子 \（（-\bigtriangleup）^{\beta}\） 延伸至巴纳赫空间 \（M_{\beta}\）.

证明

利用可拓原理，我们可以很容易地证明结果。 □

定理2.5

\（L^{2}中的H_{\beta}=\{f:|t|^{2\beta}Ff（t）\L^{2]\}\子集M_{\beta}\）.

证明

让我们假设一下\（f\在H_{\beta}\中）和\（epsilon>0\）.然后存在一个实数\（r_{\epsilon}>0\）这样的话

$$\int_{|t|>r_{\epsilon}}\vert t\vert^{4\beta}（Ff）^{2}（t）\，dt<\epsilen^{2neneneep$$

存在一个函数\（C_{0}^{infty}中的g_{\epsilon}（[-r_{\ε}，r_{\ebsilon}]）这样的话

$$\int_{|t|<r_{\epsilon}}（Ff-g_{\ebsilon}）^{2}（t），dt<\frac{\epsilon^{2{}{r_{\spilon}^{4\beta}}$$

让

$$g^{*}_{\epsilon}（t）：=\textstyle\begin{cases}g{\epsilon}&\text{表示$t\in[-r_{\ε}，r_{\ebsilon}]$，}\\0&\text}else，}\end{casesneneneep$$

和\（f_｛\epsilon｝：=f^｛-1｝（g^｛*｝_｛\epsilon｝）\）.然后\（S\中的f_{\epsilon}\）.我们有

$$\开始{aligned}\bigl\Vert\Vert t\Vert^{2\beta}\bigle（Ff（t）-Ff_{\epsilon}（t）\biger）\bigr\Vert^｛2｝_｛L^｛2｝｝＝&\int_｛|t|>r_｛\epsilon｝｝\vert t\vert ^｛4\beta｝（Ff）^｛2｝（t）\，dt+\int_｛|t|<r_｛\epsilon｝｝\vert t\vert ^｛4\beta｝（Ff-Ff_｛\epsilon｝）^｛2｝（t）\，dt\\\leq&\epsilon ^｛2｝+r_｛\epsilon｝^｛4\beta｝\int_｛|<r_｛\epsilon｝｝｝（Ff-Ff_｛\epsilon｝）^｛2｝（t）\，dt\leq2\epsilon ^｛2｝。\结束{对齐}$$

然后\（f-f{\frac{1}{m}}\|_{m{\beta}}=\|t|^{2\beta}（Ff（t）-Ff_{\frac{1}}（t））\|{L^{2}}\rightarrow0\）作为\（m\rightarrow\infty\），这意味着\（在M_{β}中为f\）. □

三多项分数阶扩散方程的求解

在本节中，初值问题的解析解(1.1)-(1.2)通过使用Luchko定理得到。

定义3.1

[19]，第3页

真的-或复杂-有值函数 \（f（x），x>0）,据说是在太空中 \（C_{\alpha}，R中的\alpha\）,如果存在实数 \（p>\α\） 这样的话 \（f（x）=x^{p}f{1}（x）\）,带有函数 \（f_{1}（x）在C[0，infty中）.

定义3.2

[19]，第4页

一个函数 \（f（x），x>0）,据说是在太空中 \（C_{\alpha}^{m}，m\在N\杯\{0\}\中）,当且仅当 \（f^{（m）}\在C_{\alpha}\中）.

引理3.3

[19]，第6页

让 \（u\在C_｛-1｝^｛r｝中，r\在N\cup中\｛0\｝\）.然后是卡普托分数导数 \（D^{\alpha}u，0\leq\alpha\leqr）,定义明确且包含

$$D^{\alpha}u\in\textstyle\begin{cases}C_{-1}，&r-1<\alpha\leqr，\\C^{r-1}[0，\infty）\subset C_{-1-}，&r-k-1<\alpha\leq r-k，k=1，\ldot，r-1，\end{cases}$$

保持正确.

以下是众所周知的卢奇科定理（中的定理4.1[19]).

引理3.4

[19]，第15页

让 \（\gamma{0}>\cdots>\gamma_{p}\geq0\） 和 \（R\中的c_{i}\）.初值问题

$$\开始{aligned}&D^{\gamma_{0}}v（t）-\sum_{j=1}^{p} c（c）_{j} D类^{\gamma_{j}}v（t）=G（t），\\&v^{（j）}（0）=d_{j}，\quad j=0,1，\ldots，\lceil\gamma_{0}\rcei-1，\end{aligned}$$

（3.1）

其中函数 G公司 被假定为躺在 \（C_{-1}\） 如果 \（N中的\gamma_{0}\）,在里面 \（C_{-1}^{1}\） 如果 \（\gamma_{0}\notin N\）,和未知函数 \（v（t）\） 将在空间中确定 \（C_{-1}^{\lceil\gamma_{0}\rceil}\）,它有一个解决方案,在太空中独一无二 \（C_{-1}^{\lceil\gamma_{0}\rceil}\）,表单的

$$v（t）=v_{G}（t）+\sum_{j=0}^{\lceil\gamma_{0}\rceil-1}\，d_{j}v_{j}\（t），\quad t\geq0$$

在这里

$$v_｛G｝（t）=\int_｛0｝^｛t｝s^｛\gamma_｛0｝-1｝E_｛（\cdot），\gamma_｛0｝｝（s）G（t-s）\，ds$$

是问题的解决方案(3.1)初始条件为零,以及功能体系

$$v{j}（t）=\压裂{t^{j}}{j！}+\sum{l=l{j}+1}^{p}c{l}t^{j+\gamma_{0}-\γ_{l}}E_{（\cdot），j+1+\gamma_{0}-\gamma{l}}（t），\quad j=0，\ldots，\lceil\gamma{0}\rcei-1$$

满足初始条件 \（v{j}^{（l）}=delta{jl}）,\（j，l=0，\ldots，\lceil\gamma{0}\rceil-1）.功能

$$E_{（\cdot），\beta}（t）=E_{_{0}-\gamma_｛1｝，\ldots，\gamma_{0}-\gamma{p}），\beta}\bigl（c{1}t^{_{0}-\γ{1}}，\ldots，c{p}t^{γ_{0}-\gamma{p}}\biger）$$

是多元Mittag的特殊情况-Leffler函数

$$E_{（x_{1}，\ldots，x_{p}），y}（z_{1{，\ltots，z_{p{）=\sum_{k=0}^{\infty}\mathop{\sum_{l{1}+\cdots+l{p}=k}}_{l}1}\geq0，\ldot，l{p{0}\frac{k！}{l{1'！\cdot l{p}！}\裂缝{\prod_{j=1}^{p}z{j}^{l{j}}{\Gamma（y+\sum_{j=1{p}x{j}l{j{}）}$$

（3.2）

自然数 \（l{j}\） 取决于条件

$$\textstyle\begin{cases}\lceil\gamma_{l_{j}}\rceil\geqj+1，\\lceil\famma_{l{j}+1}\rceil\leqj.\end{cases{$$

在这种情况下 \（\lceil\gamma_{r}\rceil\leq-j\） 对于任何 \（r=1，\ldots，p\）,我们设置了 \（l{j}=0\） 和,如果 \（\lceil\gamma{r}\rceil\geqj+1） 对于任何 \（r=1，\ldots，p\）,然后 \（l{j}=p\）.

Mittag-Leffer型函数在分数阶微分方程理论中非常重要[7,20–22]. 现在我们证明了初值问题解析解中出现的多元Mittag-Leffer函数的一个性质(1.1)-(1.2).

引理3.5

让 \（0\leqx{p}<\cdots<x{0}\leq1，c{0}，\ldots，c{p}>0\）.然后是函数

$$\bigl\vert t^{x_{0}}E_{（x_{0}-x_{1} ，\ldot，x_{0}-x_{p} ，x{0}），1+x{0{}\bigl（-c{1}t^{x_{0}-x_{1} ｝，\ldots，-c_｛p｝t^｛x_{0}-x_{p} }，-c{0}t^{x{0}}\bigr）\bigr\vert$$

对所有人都有限制 \（t \geq0）.

证明

多元Mittag-Leffer函数可以用Hankel积分表示重写\（1/\Gamma（z）\）[5],

$$\frac{1}{\Gamma（z）}=\frac}1}{2\pii}\int_{Ha（\epsilon+）}e^{s}s^{-z}\，ds$$

哪里\（r>0，Ha（\epsilon+）=\{z\ in C:|z|=\epsi隆，0\leq|\operatorname{arg}（z）|\leq\pi\}\cup\{z\in C:|z |>\ epsilon，|\operatorname{arg{（z。对于任何\（t>0），存在一个\（r{t}>0\）这样的话

$$r_{t}>\max\Biggl\{t，t\Biggl（\sum_{i=0}^{p}\vert c_{i}\vert\Biggr）^{1/（x_{0}-x_{1} ）}\Biggr\}$$

那么我们有，因为\（r>r{t}\）,

$$\开始{对齐}&t^{x_{0}}E_{（x_{0}-x_{1} ，\ldot，x_{0}-x_{p} ，x{0}），1+x{0{}\bigl（-c{1}t^{x_{0}-x_{1} }，\ldot，-c{p}t^{x_{0}-x_{p} }，-c{0}t^{x{0}}\biger）\\&\quad=\frac{t^{x{0}{2\pii}\int_{Ha（r+）}\sum_{k=0}^{\infty}\mathop{1\sum{l{0}+\cdots+l_{p}=k}}_{l_{0}\geq0，\ldots，l_p}\geq0}\frac}（-1）^{k}k！}｛l_｛0｝！\cdot l{p}！}\产品{j=0}^{p}c{j}^{l{j}}t^{x_｛0｝l_{0}+\sum_{j=1}^{p}（x_{0}-x_{j} ）l{j}}\frac{e^{s}}{s^{1+x{0}+x_｛0｝l_{0}+\sum_{j=1}^{p}（x_{0}-x_{j} ）l_{j}}\，ds\\&\quad=\frac{t^{x_{0}}{2\pii}\int_{Ha（r+）}\sum_{k=0}^{infty}（-1）^{k}\mathop{l_{0{+\cdots+l_{p}=k}{l_}0}，\ldots，l_{p}\geq0}l{0}！\cdots l｛p｝！｝\prod_{j=0}^{p}c{j}^{l{j}}\biggl（\frac{t}{s}\bigr）^{x_{0}l_{0}+\sum_{j=1}^{p}（x_{0}-x_{j} ）l_{j}}\frac{e^{s}}{s^{1+x_{0}}\，ds\\&\quad=\frac{1}{2\pii}\int_{Ha（r/t+）}\sum_{k=0}^{infty}（-1）^{k}\mathop{sum_{l{0}+\cdots+l_{p}=k}}{l_{0{，\geq0，\ldots，l_{p}\geq0}\frac{k！}{l{0}！\cdot l{p}！}\prod_{j=0}^{p}c{j}^{l{j}}\xi^{-x_{0}l_{0}-\和{j=1}^{p}（x_{0}-x_{j} ）l_{j}}\frac{e^{xit}}{\xi^{1+x_{0}}\，d\xi\\&\quad=\frac{1}{2\pii}\int_{Ha（r/t+）}\sum_{k=0}^{infty}（-1）^{p} c（c）_{j} \xi^{x_{j} -x个_{0}\Biggr）^{k}\frac{e^{\xit}}{\xi^{1+x_{0}}\，d\xi\\&\quad=\frac}{2\pii}\int_{Ha（r/t+）}\frac{1}{1+c_{0{\xi{-x_{0}}+\sum_{j=1}^{p} c（c）_{j} \xi^{x_{j} -x个_{0}}\frac{e^{xit}}{xi^{1+x{0}{，d\xi\\&\quad=\frac{1}{2\pii}\int_{Ha（r/t+）}\frac{1}^{p} c（c）_{j} xi^{x{j}}+c{0}}\压裂{e^{xit}}{xi}\，d\xi。\结束{对齐}$$

让\（r{0}>r{t}\）是满足以下条件的足够大的实数：函数的所有零\（xi^{x{0}}+sum{j=1}^{p} c（c）_{j} \xi^{x_{j}}+c_{0}\）包含在圆圈中\（O（r_{0}）=\{z\在C:|s|=r_{0}，0\leq|\operatorname{arg}（z）|\leq\pi\}\中）.让\（L（r_{0}，\phi）=\{z\在C:|z|>r_{0}，|\operatorname{arg}（z）|=\pi\}\中）为了简单起见，我们表示

$$h（\xi）：=\frac{1}{\xi^{x{0}}+\sum{j=1}^{p} c（c）_{j} xi^{x{j}}+c{0}}\压裂{e^{xit}}{xi}$$

然后我们有

$$\int_{Ha（r_{0}+）}h（\xi$$

哪里

$$开始{对齐}&K_{1}=\int_{L（r_{0}，\phi）}h（\xi）\，d\xi，\qquad K_{2}=\int_{O（r_}）}h（\xi）\ 0}}e^{i\pix{0}}+\sum{j=1}^{p} c（c）_{j} 第页^｛x_｛j｝｝e^｛i\pi x_｛j｝｝+c｛0｝-\frac｛e^｛rt\cos\pi｝e^｛-irt\sin\pi｝｝｝｛r^｛x_｛0｝｝e^｛-i\pi x_｛0｝｝+\sum_｛j=1｝^{p} c（c）_{j} 第页^{x{j}}e^{-i\pix{j{}+c{0}\biggr），\\&\frac{dr}{r}\leq\int_{r{0}}^{\infty}\frac}{2e^{-rt}}{|r^{x{0}{-\sum_{j=1}^{p}|c{j}|r^}-|c{0{}|}压裂{dr}{r}\rightarrow0，\quad r{0}\right arrow\infty。\结束{对齐}$$

如果\（x{0}，\ldot，x{p}\）都是有理数，那么函数\（xi（xi^{x{0}}+sum{j=1}^{p} c（c）_{j} \xi^{x_{j}}+c_{0}）\）有有限多个零。然后根据柯西剩余定理，我们得到

$$K_{2}=2\pii\sum_{i=1}^{K}\operatorname{Res}（h，z_{i}）$$

哪里\（z{i}\）是函数的零\（xi（xi^{x{0}}+sum{j=1}^{p} c（c）_{j} \xi^{x_{j}}+c_{0}）\）和\（\操作符名{Res}（h，z_{i}）\）是的残留物\（h（\xi）\）在\（z{i}\）.如果\（z{i}\）是秩序的极点米，然后是\（h（\xi）\）在\（z{i}\）由公式得出

$$\运算符名称｛Res｝（h，z_｛i｝）=\frac｛1｝｛（m-1）！｝\lim _｛z\rightarrow z_｛i｝｝\frac｛d^｛m-1｝｝｛dz ^｛m-1｝｝｝\bigl（（z-z_｛i｝）^{m} 小时（z） \更大）$$

然后存在一个函数\（h｛i｝\）这样的话

$$\operatorname{Res}（h，z_{i}）=h_{i{（z_{ic}）e^{z_{i} t吨}=h_{i}（z_{i{）e^{|z_{i}|t\cos\operatorname{arg}$$

它源自\（c{i}>0\）对于任何我那，如果\（|\operatorname{arg}（\xi）|\leq\pi/2\），然后\（0<|\operatorname{arg}（\xi^{x{0}}+\sum{j=1}^{p} c（c）_{j} \ xi ^｛x_｛j｝｝+c｛0｝）|\ leq\pi/2\）因此\（|\operatorname{arg}（z{i}）|>\pi/2\）和\（|\operatorname{Res}（h，z_{i}）|\leq|h_{i{（z_{i}）| \）因此，我们有

$$\vert K_{2}\vert\leq2\pi\sum_{i=1}^{K}\bigl\vert h_{i}（z_{i{）\bigr\vert$$

这意味着

$$\biggl\vert\int_{Ha（r_{0}+）}h（\xi）\，d\xi\biggr\vert\leq\vert K_{1}\vert+vert K_2}\vert\leq2\pi\sum_{i=1}^{K}\bigl\vert h_{i}（z_{i{）\bigr\vert$$

如果\（x{0}，\ldot，x{p}\）那么都是实数，因为有理数集在实数集和函数中处处密集

$$t^{x_{0}}E_{（x_{0}-x_{1} ，\ldot，x_{0}-x_{p} ，x{0}），1+x{0{}\bigl（-c{1}t^{x_{0}-x_{1} }，\ldot，-c{p}t^{x_{0}-x_{p} }，-c{0}t^{x{0}}\biger）$$

在以下方面是连续的\（x{0}，\ldot，x{p}\），我们可以得到预期的结果。 □

引理3.6

让 \（0<x{p}<\cdots<x{0}\leq1，y>0\）.让 \（C\中的z_{0}、z_{1}、\ldots、z_}p}） 满足 \（\mu\leq|\arg z_{0}|\leq\pi\） 和 \（-l\leqz{j}\leq0） \（（j=1，\ldot，p）） 对于一些固定的 \（\mu\ in（x{0}\pi/2，x{0{\pi）\） 和 \（l>0\）.然后存在一个 \（K>0） 仅取决于 \（\mu，l，x{j}\） \（（j=0，\ldots，p）） 和 年 这样的话

$$\bigl\vert E_{（x_{0}-x_{1} ，\ldot，x_{0}-x_{p} ，x{0}），y}（z{1}，\ldots，z{p}，z{0}.）$$

证明

由(3.2)，很明显

$$E_{（x_{0}-x_{1} ，\ldot，x_{0}-x_{p} ，x{0}），y}（z{1}，\ldots，z{p}，z{0}）=E_{（x{0{，x_｛0｝-x_{1} ，\ldot，x_{0}-x_{p} ），y}（z{0}，z{1}，\ldots，z{p}）$$

然后，在[14]，我们可以证明结果。 □

定理3.7

让 \（g在H_{β}中）.然后是柯西问题(1.1)-(1.2)在以下方面有独特的解决方案 \（C）^{1}_{-1}（[0，\infty），M_{\beta}）.特别是,解决方案在 \（C）^{1}_{-1}（[0，\infty），H_{\beta}）\） 并由给出

$$\begin{aligned}u（t，x）=&\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{g}（\xi）\bigl[1-|\xi|^{2\beta}t^{\alpha_{0}}E_{（\alpha）_{0}-\alpha{1}、\ldot、\alpha_{0}-\α_｛n-1｝，\alpha_｛0｝），1+\alpha_｛0｝｝\\&｛｝\bigl（-au｛1｝t^｛\alpha_{0}-\alpha{1}}，\ldot，-a{n-1}t^{\alpha_{0}-\alpha{n-1}，-|\xi|^{2\beta}t^{\alpha{0}}\bigr）\bigr]\cos（x\xi）\，d\xi，\end{aligned}$$

哪里 ĝ 表示的傅立叶变换 克.解决方案 \（u（t，x）\） 对所有人都有限制 \（t \geq0） 和 \（R\中的x\）.

证明

傅里叶变换在方程中的应用(1.1)关于空间变量x个，我们有

$$\开始{aligned}&\sum_{j=0}^｛n-1｝a_{j} D^{\alpha_{j}}\hat{u}（t，\xi）+\vert\xi\vert^{2\beta}\hat{u}（t，\ xi）=0，\\&\hat（u}，0，\ xi）=\ hat{g}（\xi。\结束{对齐}$$

按引理3.4，我们有

$$\begin{aligned}\hat{u}（t，\xi）=&\hat}g}（\xi，\bigl[1-\vert\xi\vert^2\beta}t^{\alpha_{0}}E_{（\alpha_{0}-\alpha{1}、\ldot、\alpha_{0}-\alpha{n-1}，\alpha{0}），1+\alpha_{0}}\bigl（-a{1}t^{\alpha_{0}-\alpha{1}}，\\&{}\ldot，-a{n-1}t^{\alpha_{0}-\alpha{n-1}}，-\vert\xi\vert^{2\beta}t^{\alpha{0}}\bigr）\bigr]。\结束{对齐}$$

按引理3.6，对于任何\（t>0），存在一个\（M_{t}>0\）这样的话

$$\bigl\vert\vert\xi\vert^{2\beta}t^{\alpha_{0}}E_{（\alpha_{0}-\alpha{1}、\ldot、\alpha_{0}-\alpha{n-1}，\alpha{0}），1+\alpha_{0}}\bigl（-a{1}t^{\alpha_{0}-\alpha{1}}，\ldot，-a{n-1}t^{\alpha_{0}-\alpha{n-1}，-|\xi|^{2\beta}t^{\alpha{0}}\bigr）\bigr\vert<M_{t}$$

对于任何\（R中的“xi”）和\（|\hat{u}（t，xi）|\leq（M_{t}+1）|\hat{g}（\xi）| \）.然后\（u（t，\cdot）\在H_{\beta}\中）使用关于ξ，我们获得

$$\begin{aligned}u（t，x）=&\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{g}（\xi）\bigl[1-\vert\xi\vert^{2\beta}t^{\alpha_{0}}E_{（\alpha_{0}-\alpha{1}、\ldot、\alpha_{0}-\α{n-1}，α{0}），1+\alpha{0}}\\&{}\bigl（-a{1}t^{_{0}-\alpha{1}}，\ldot，-a{n-1}t^{\alpha_{0}-\alpha{n-1}}，-\vert\xi\vert^{2\beta}t^{\alpha{0}}\bigr）\bigr]\cos（x\xi）\，d\xi。\结束{对齐}$$

然后我们有

$$\bigl\vert u（t，x）\bigr\vert\leq\frac{（M_{t}+1）}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\bigl\ vert\hat{g}（\xi）\biger\vert\，d\xi$$

与此同时，莱玛3.5，我们获得

$$\bigl\vert u（t，x）\bigr\vert\leq\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\bigl\ vert\hat{g}（\xi）\biger\vert\bigl（1+K_{\xi}\vert\xi\vert^2\beta}\bigr）\，d\xi$$

哪里

$$K_｛\xi｝=\sup_｛t>0｝\bigl\vert t^｛\alpha_｛0｝｝E_｛（\alpha_{0}-\alpha{1}、\ldot、\alpha_{0}-\alpha{n-1}，\alpha{0}），1+\alpha_{0}}\bigl（-a{1}t^{\alpha_{0}-\alpha{1}}，\ldot，-a{n-1}t^{\alpha_{0}-\alpha{n-1}}，-\vert\xi\vert^{2\beta}t^{\alpha{0}}\bigr）\bigr\vert$$

从引理3.6，存在一个\（K>0）这样的话\（K_{xi}<K\）对于任何\（\xi\在R\中）.那么我们有

$$\bigl\vert u（t，x）\bigr\vert\leq\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\bigl\ vert\hat{g}（\xi）\biger\vert\bigl（1+K\vert\xi\vert^{2\beta}\biger）\，d\xi$$

这意味着\（u（t，x）\）有界。 □