棕榈树小枣蛾生物防治的分数阶模型及其离散化

摘要

本文提出了棕榈树、枣小蛾和捕食者的分数阶模型。分析了分数阶系统平衡点局部渐近稳定的存在条件。我们证明了正平衡点也是全局稳定的。数值模拟说明了模型的动力学行为，如分岔和混沌现象，数值模拟证实了我们理论结果的有效性。

1介绍

椰枣是一种单性果树，原产于世界炎热干旱地区，主要生长在中东和北非。自古以来，这种雄伟的植物就被公认为生命之树，因为它融入了世界炎热地区的人类住区、福祉和粮食安全，在那里只有少数几种植物能够繁衍生息[1].

众所周知，世界上大约三分之一的粮食产量因害虫而损失。农药在消灭害虫和提高作物产量方面发挥着重要作用。但是农药的过度使用对人类健康产生了有害影响。化学杀虫剂的广泛使用产生了许多有充分记录的不良后果。因此，目前害虫防治的趋势是尽可能减少农药的使用，最大限度地减少害虫种群。当选择性使用杀虫剂对害虫及其天敌之间的平衡干扰最小时，就可以实现这种情况[2].

枣小蛾Batrachedra amydraula（鳞翅目：蝙蝠蛾科）是枣椰的一种严重害虫。其分布范围从孟加拉国到整个中东，以及北美大部分地区。它是枣树上最重要的害虫之一，可能导致作物损失50%以上[三].

近几十年来，分数阶微积分和分数阶微分方程由于其在科学和工程中的潜在应用而引起了人们的广泛关注和兴趣[4–17]. 本文考虑由棕榈树、枣小蛾和捕食者组成的分数阶模型。研究了分数阶模型解存在的充分条件。讨论了平衡点及其渐近稳定性。此外，还考虑了存在翻转分岔的条件。还导出了该系统表现混沌动力学的必要条件。

2分数阶微积分

基于分数阶微分方程的捕食模型已经进行了大量的研究。这些分数阶模型的一个特性是它们的非局部特性，这在积分阶微分方程中是不存在的。非局部属性意味着模型的下一个状态不仅取决于其当前状态，还取决于其所有历史状态，如流行病。分数阶微分方程可以用来模拟积分阶微分方程无法充分模拟的现象[10,13,18–21]. 分数导数有几种定义。最常见的定义之一是卡普托概念。这个定义经常在实际应用中使用。

定义1

分数阶积分\（{R}^{+}\中的\β\）函数的\（f（t）\）由定义

$$I^{\beta}f（t）=\int_{0}^{t}\frac{（t-\tau）^{\beta-1}}{\Gamma（\beta）}f（\tau）\，d\tau$$

假设右边的积分是为几乎每个\（t>0）。例如，如果\（f\在L^｛1｝中（0，+\infty）\）.阶的分数导数\（α在（n-1，n）中）,\（以n表示）函数定义如下（f）这样n个-存在阶导数，例如，\（f^{（n）}\在L^{1}（0，+\输入）中\）:

$$D_{t}^{alpha}f（t）=I^{n-\alpha}f^{（n）}（t），\quad\alpha>0$$

三分数阶较小的枣蛾模型及其离散化

以下[22,23]，棕榈树小枣蛾生物防治模型可以写成一组三个耦合的非线性常微分方程，如下所示：

$$\begin{collected}\frac{dP}{d\tau}=rP\biggl（1-\frac{P}{K}\biggr）-\frac{bPL}{a+P}，\\frac{d\tau}=-dL+\frac{mPL}{a+P}-pLN，\\frac{dN}{d\\tau}=-\mu N+qLN。\结束{聚集}$$

（1）

该模型由三个种群组成。当时种群密度大的棕榈树t吨表示为P（P），害虫（小枣蛾），其种群密度表示为我和捕食者，其种群密度表示为N个.在没有捕食者的情况下，猎物种群密度随承载力的logistic曲线增长K（K）并且具有内在增长率常数第页.

害虫的最大生长速率表示为b条.半饱和一是常量，d日表示害虫的死亡率，米是害虫的转化率，第页是表示由于捕食者攻击导致害虫生长速度下降的数量，q个是捕食者种群的增长率，以及μ表示捕食者的固有死亡率。这里是所有参数第页,K（K）,b条,一,d日,米,第页,μ、和q个都是积极的。

可以减少系统中的参数数量(1)通过使用以下转换：

$$P=K x，\qquad L=压裂{Kr}{b} 年，\qquad N=\压裂{r}{p} z（z），\qquad\tau=\frac{t}{r}$$

然后我们得到了以下无量纲系统：

$$\开始{聚集}\frac{dx}{dt}=x（1-x）-\压裂{xy}{\beta+x}，\\frac{dy}{dt{=-\增量y+\压裂{\gamma-xy}{\β+x}-yz，\\frac{dz}{dtneneneep=-\etaz+\sigma-yz，\end{collected}$$

(2)

哪里

$$\beta=\frac{a}{K}，\qquad\delta=\frac{d}{r}，\ qquad_gamma=\frac}{r{，\quad\eta=\fracc{\mu}{r}\quad_text{和}\qua2\sigma=\frasc{qk}{b}$$

分数阶模型比整数阶模型更准确，因为它们允许更多的自由度。分数微分方程也可以作为描述各种材料和过程遗传特性的一个很好的工具[10,13]. 现在我们将分数阶引入ODE模型(2). 新系统由以下一组分数阶微分方程描述：

$$开始{聚集}D^{\alpha}x=x（1-x）-\frac{xy}{\beta+x}，\\D^{\ alpha}y=-\delta y+\frac{\gamma-xy}{\ beta+x}-yz，\\D_{\alha}z=-\eta z+\sigma-yz，\end{聚集{$$

(3)

哪里\（D^{\alpha}\）是Caputo分数导数。以下[21,24,25]，我们离散化了分数小枣蛾和捕食者模型(三). 在使用分段常量参数进行离散化后，系统被简化为

$$\beart｛collected｝x_｛n+1｝=x_｛n｝+\frac｛h^｛\alpha｝｝｛\Gamma（1+\alpha）｝\biggl[x_｛n｝（1-x_｛n｝）-\frac｛x_{n} 年_{n} }{β+x{n}}\biggr]，\\y_{n+1}=y_{n}+\frac{h^{\alpha}}{\Gamma（1+\alpha）}\bigl[-\delta y_{n}+\frac{\Gamma x_{n} 年_{n} }{\beta+x{n}}-y_{n} z（z）_{n} \biggr]，\\z{n+1}=z{n}+\frac{h^{alpha}}{\Gamma（1+alpha）}[-\eta z{n{+sigma y_{n} z（z）_{n} ]。\结束{聚集}$$

(4)

备注1

如果分数阶\（\alpha\rightarrow1\），然后我们得到系统的正向Euler离散化(2).

在下面，我们将研究系统的动力学(4).

4离散分数阶小枣蛾和捕食者模型的动力学行为

4.1系统不动点的稳定性

在本小节中，我们研究了系统不动点的渐近稳定性(4)具有相同的系统固定点(4). 首先，我们需要以下两个定义。

定义2

[26]（所有特征值均为实时的局部稳定性）

考虑离散非线性动力系统(4)具有稳态平衡x̄线性化系统由下式给出(4). 相关的雅可比矩阵有三个实特征值\（\lambda{i}\）(\（i=1,2,3）).

引理1

• （i） 马厩-状态平衡 x̄ 称为稳定节点，如果 \（\vert\lambda_{i}\vert<1\） 对所有人来说 \（i=1,2,3\）.

• （ii） 马厩-状态平衡 x̄ 被称为二-尺寸鞍座（如果有） \（\vert\lambda_{i}\vert>1\）.

• （iii） 马厩-状态平衡 x̄ 被称为一个-尺寸鞍座（如果有） \（\vert\lambda_{i}\vert<1\）.

• （iv） 稳定的-状态平衡 x̄ 称为不稳定节点，如果 \（\vert\lambda_{i}\vert>1\） 对所有人来说 \（i=1,2,3）.

• （v） 马厩-状态平衡 x̄ 称为双曲线 \（\vert\lambda_{i}\vert=1\）.

定义3

[26]（复特征值时的局部稳定性）

考虑离散非线性动力系统(4)具有稳态平衡x̄线性化系统由下式给出(4). 相关的雅可比矩阵有一对复特征值\（\lambda_{1,2}=\rho+\omega i）和一个实特征值\（\lambda{3}\）.

• （i） 稳态平衡x̄称为水槽，如果\（\vert\lambda_｛i｝\vert<1\）对所有人来说\（i=1,2,3）.

• （ii） 稳态平衡x̄称为二维鞍，如果\（\vert\lambda_{3}\vert>1\）.

• （iii） 稳态平衡x̄称为一维鞍座\（\vert\lambda_{3}\vert<1\）.

• （iv） 稳态平衡x̄称为源，如果\（\vert\lambda_｛i｝\vert>1\）对所有人来说\（i=1,2,3）.

• （v） 稳态平衡x̄称为双曲线\（\vert\lambda_{i}\vert=1\）.

现在，雅可比矩阵\（J（E_{0}）\）对于中给出的系统(4)评估时间：\（E_{0}（0,0,0）\）如下所示：

$$J（E_{0}）=\左（\textstyle\begin{array}{c@{quad}c@{quad}c}1+\frac{h^{alpha}{\Gamma（1+\alpha）}&0&0-\frac}\deltah^{\alpha}}{\伽玛（1+\ alpha \显示样式\右）$$

(5)

定理1

微不足道的-平衡点 \（E_{0}\） 其所有参数值至少有三种不同的拓扑类型，如下所示:

• （i） \（E_{0}\） 是源，如果 \（h>\max\{\sqrt[\alpha]{\frac{2\Gamma（1+\alpha,

• （ii） \（E_{0}\） 是2-尺寸鞍座，如果 \（0<h<\min\{\sqrt[\alpha]{\frac{2\Gamma（1+\alpha）}{\delta}}，\sqrt[\alpha]{\frac{2\Gamma（1+\alfa）}{\eta}}）,

• （iii） \（E_{0}\） 是一个-尺寸鞍座，如果 \（\sqrt[\alpha]{\frac{2\Gamma（1+\alpha）}{\delta}}<h 或 \（\sqrt[\alpha]{\frac{2\Gamma（1+\alpha）}{\eta}}<h.

证明

与平衡点相对应的特征值\（E_{0}\）是\（\lambda{01}=1+\frac{h^{alpha}}{\Gamma（1+\alpha）}>0\）,\（\lambda{02}=1-\frac{\deltah^{\alpha}}{\Gamma（1+\alpha）}\）、和\（\lambda_{03}=1-\frac{\etah^{\alpha}}{\Gamma（1+\alpha）}\），其中\（在（0,1]\）中为α和\（h，\frac{h^{\alpha}}{\Gamma（1+\alpha）}>0\）因此，使用定义应用稳定性条件2，可以得到结果（i）-（iii）。□

雅可比矩阵\（J（E_{1}）\）用于系统(4)，评估时间\（E_{1}=（1,0,0）\），由给出

$$J（E_{1}）=\左（\textstyle\begin{array}{c@{quad}c@{quad}c}1-\frac{h^{alpha}{\Gamma（1+\alpha）}&\ frac{-h^{\alpha}}{（1+/beta）\Gamma（1+\ alpha_{0}-1）h^{\alpha}}{\Gamma（1+\alpha）}&0\\0&0&1-\frac{\etah^{\alpha}}{\Garma（1+/\alpha）}\end{array}\displaystyle\right）$$

(6)

定理2

如果半潜式平台-平凡平衡点 \（E_{1}\） 存在,那么它的所有参数值至少有三种不同的拓扑类型.

• （i） \（E_{1}\） 是源，如果 \（h>\max\{\sqrt[\alpha]{2\Gamma（1+\alpha,

• （ii） \（E_{1}\） 是2-尺寸鞍座，如果 \（0<h<\min\{\sqrt[\alpha]{2\Gamma（1+\alpha,

• （iii） \（E_{1}\） 是一个-尺寸鞍座，如果 \（\sqrt[\alpha]{2\Gamma（1+\alpha）}<h 或 \（\sqrt[\alpha]{\frac{2\Gamma（1+\alpha）}{\eta}}<h.

证明

平衡点对应的特征值\（E_｛0｝\）是\（\lambda{11}=1-\frac{h^{alpha}}{\Gamma（1+\alpha）}\）,\（λ{12}=1+frac{delta（R_{0}-1）h^｛\alpha｝｝｛\Gamma（1+\alpha）｝>0\）、和\（\lambda_{13}=1-\frac{\etah^{\alpha}}{\Gamma（1+\alpha）}\）因此，使用定义应用稳定性条件2，可以得到结果（i）-（iii）。□

用于研究\（E_{2}=（压裂{\beta\delta}{\gamma-\ delta}，压裂{\gama（\beta+1））（R_{0}-1）x{2}^{2}{\beta\delta}，0）\），让\（J（E_{2}）\）是中给出的系统的雅可比矩阵(4)评估时间：\（E_{2}\），然后

$$J（E_{2}）=\左（\textstyle\begin{array}{c@{quad}c@{quad}c}1-\frac{h^{alpha}{\Gamma（1+\alpha）}[x_{2}-\压裂{x_{2} 年_{2} }{（\beta+x{2}）^{2}]&\frac{-x_{2} 小时^{\alpha}}{（\beta+x{2}）\Gamma（1+\alpha）}&0\\frac{\beta\Gamma y_{2} 小时^{\alpha}}{（\beta+x{2}）^{2}\Gamma（1+\alpha）}&\frac{-y_{2} 小时^{\alpha}}{\Gamma（1+\alpha）}\\0&0&1-\frac{h^{\alfa}}{\ Gamma[1+\阿尔法）}（\eta-\sigma y{2}）\end{array}\displaystyle\right）$$

(7)

雅可比矩阵的特征方程(7)是

$$\bigl[\lambda_{21}-\bigl（1-H[\eta-\sigma y_{2}]\bigr）\bigr]\bigl[\lambda^{2}-\松饼{事务}_{2} \lambda+\mathit{检测}_{2} \bigr]=0$$

(8)

哪里\（H=\frac{H^{\alpha}}{\Gamma（1+\alpha）}\）,\（\mathit{事务}_{2} =2-B_{2} H（H）\),\（B_{2}=\压裂{（1+\β）x{2}^{2}}{（β+x{2{）}[1-R{0}（1-\β）]\）,\（\mathit{检测}_{2} =一个_{2} H（H）^{2} -B类_{2} H（H）+1）、和\（A_{2}=\压裂{\β\伽马x_{2} 年_{2} }{（\beta+x{2}）^{3}\）.

定理3

如果 \（1<R{0}<frac{beta\delta\eta}{gamma\sigma（1+beta）x{2}^{2}}+1）,然后是半决赛-平凡平衡点 \（E_{2}\） 对于其所有参数值，至少有四种不同的拓扑类型

• （i） \（E｛2｝\） 是渐近稳定的(下沉)如果下列条件之一成立:

  • （i.1） \（\Delta\geq0\） 和 \（0<h<\min\{h{1}，h{2}\}\）,

  • （i.2） \（增量<0） 和 \（0<h<h{2}\）;

• （ii） \（E_{2}\） 不稳定(来源)如果下列条件之一成立:

  • （ii.1） \（\Delta\geq0\） 和 \（h>\max\{h{2}，h{3}）,

  • （ii.2） \（增量<0） 和 \（h>h{2}\）;

• （iii） \（E_{2}\） 是2-尺寸鞍座，如果满足以下情况:

  \（\Delta\geq0\） 和 \（h<\min\{h{1}，h{2}）;

• （iv） \（E_{2}\） 是一个-尺寸鞍座，如果满足下列情况之一:

  • （iv.1） \（\Delta\geq0\） 和 \（h｛3｝＜h＜h｛2｝\） 或 \（最大值\{h{1}，h{2}<h<h{3}）,

  • （iv.2） \（增量<0） 和 \（0<h<h{2}\）;

• （v） \（E_{2}\） 不是-双曲线，如果下列条件之一成立:

  • （第1版） \（\增量\ geq0\） 和 \（h=h{1}\） 或 \（h{3}\）,

  • （第2版） \（增量<0） 和 \（h=h{2}\）,

哪里

$$\begin{aligned}&h_{1}=\sqrt[\alpha]{\frac{4\Gamma（1+\alpha）}{B_{2}+\sqrt{\Delta}}}，\qquad h_{3}=\scrt[\alfa]{\frac{4\ Gamma_{2}-\sqrt{\Delta}}}，\\&\Delta=B_{2}^{2} -4A级_{2} ，\qquad h{2}=\sqrt[\alpha]{\frac{2\Gamma（1+\alpha）}{\eta-\sigma y{2}}。\结束{对齐}$$

证明

平衡点对应的特征值\（E_{2}\）是特征方程的根(8)，这是\（\lambda_{21}=1-H[\eta-\sigma y_{2}]\）和\（\lambda_{22,23}=\frac{1}{2}（\mathit{事务}_{2} \pm\sqrt{\mathit{事务}_{2}^{2}-4\松饼{检测}_{2} }）=1-\压裂{H}{2}（B_2}\pm\sqrt{B_2}^{2} -4A级_{2}} ) \)因此，使用引理应用稳定性条件1，可以得到结果（i）-（v）。□

第四和第五平衡点是\（E_{j}=（x_{j}，y_{jneneneep，z_{j{）,\（j=3.4），其中

$$\begin{aligned}&x{3}=\frac{1}{2}\biggl[1-\beta-\sqrt{（1-\beta）^{2} -4个\biggl（\frac{\eta}{\sigma}-\beta\biggr）}\biggr]，\\&x{4}=\frac{1}{2}\bigl[1-\beta+\sqrt{（1-\beta）^{2}-4\biggl（\frac{\eta}{\sigma}-\beta\biggr）}\biggr]，\\&y_{j}=\frac{\eta}{\sigma}，\\&z_{j{=\frac{\beta\ gamma\sigma}{\ta}（x_{j} -1个）+\gamma-\delta。\结束{对齐}$$

对于内部（正）平衡点的动力学性质\（E_{j}\）(\（j=3.4）)我们需要说明这些引理。

引理2

[27]

让方程式 \（x^{3}+bx^{2}+cx+d=0\）,哪里 \（R中的b、c、d）.让我们更进一步 \（A=b^{2} -3c个\),\（B=bc-9d）,\（C=C^{2} -3b天\),和 \（增量=B^{2} -4交流\).然后

• （1） 方程有三个实根当且仅当 \（\Delta\leq0\）.

• (2) 这个方程有一个实根 \（x{1}\） 和一对共轭复根当且仅当 \（增量>0）.此外,共轭复根 \（x{2,3}\） 是

  $$x{2,3}=\frac{1}{6}\bigl[\sqrt[3]{y{1}}+\sqrt[3]{y{2}}-2b\pm\sqrt{3}i\bigl$$

  哪里

  $$y_{1,2}=bA+\frac{3}{2}\bigl（-B\pm\sqrt{B^{2} -4交流}\更大）$$

引理3

[28–31]

让 \（F（\lambda）=\lambda^{2}-\mathit{Tr}\lambda+\mathit{Det}\）.假设 \（F（1）>0）,\（\lambda{1}\） 和 \（\lambda{2}\） 是的两个根 \（F（λ）=0）.然后

• （i） \（\vert\lambda_{1}\vert<1\） 和 \（\vert\lambda_{2}\vert<1\） 当且仅当 \（F（-1）>0\） 和 \（\mathit{Det}<1\）,

• （ii） \（\vert\lambda_{1}\vert<1\） 和 \（\vert\lambda_{2}\vert>1\）(或 \（\vert\lambda_{1}\vert>1\） 和 \（\vert\lambda_{2}\vert<1\）)当且仅当 \（F（-1）<0）,

• （iii） \（\vert\lambda_{1}\vert>1\） 和 \（\vert\lambda_{2}\vert>1\） 当且仅当 \（F（-1）>0） 和 \（\mathit{Det}>1\）,

• （iv） \（\lambda{1}=-1\） 和 \（\lambda_{2}\neq1\） 当且仅当 \（F（-1）=0） 和 \（\mathit{Tr}\neq0,2\）,

• （v） \（\lambda{1}\） 和 \（\lambda{2}\） 复杂且 \（\vert\lambda{1}\vert=\vert\lambda{2}\vert\） 当且仅当 \（\mathit{Tr}^{2}-4\mathit{Det}<0\） 和 \（\mathit{Det}=1\）.

必要和充分的条件确保\（\vert\lambda_{1}\vert<1\）和\（\vert\lambda_｛2｝\vert<1\）如下所示[28]:

$$\begin｛aligned｝\text｛（i）｝&&quad 1-\mathit｛Tr｝J+\det J>0，\\\\text｛（ii）｝&&quad 1+\mathit｛Tr｝J+\det J>0，\\\\text｛（iii）｝&&quad \det J<1。\结束{对齐}$$

(9)

如果条件之一(9)不满意，则出现以下情况之一[25].

• 1 如果其中一个特征值=1且其他特征值（实数）≠1，则为鞍节点（在地图中通常称为折叠分岔）、跨临界分岔或叉分岔。这种局部分岔导致两个不同稳态之间的稳定性切换；

• 2 特征值之一的翻转分岔$=-1$，其他特征值（实数）\（\neq-1）.这种局部分岔导致周期2周期的诞生；

• 三。 一类Neimark-Sacker（secondary Hopf）分岔；在这种情况下，我们有两个共轭特征值，每个特征值的模=1。

这种局部分岔意味着在相平面上出现了一条不变曲线。Neimark-Sacker分岔被认为是连续时间的Hopf分岔的等价形式，实际上是证明映射存在准周期轨道的主要工具。

注释

通过获取特定的参数值，可以得到任何局部分支（fold、flip和Neimark-Sacker），从而满足每个分支的一个条件。

雅可比矩阵\（J（E_{J}）\）用于系统(4)在内部平衡点评估\（E_{j}\）如下所示：

$$J（E_{J}）=\左（\textstyle\begin{array}{c@{quad}c@{quad}c}1-H[x_{j}-\压裂{x_{j} 年_{j} }{（\beta+x{j}）^{2}}]&\frac{-x_{j} H（H）}{β+x{j}}&0\\压裂{β\gamma y_{j} H（H）}{（\beta+x{j}）^{2}}&1&-y_{j} H（H）\\0&\西格玛z_{j} H（H）%1\end｛array｝\displaystyle\right）$$

(10)

然后是雅可比矩阵的特征方程(10)是

$$F（\lambda）=\lambda^{3}+b_{j}\lambma^{2}+c_{j{\lambda+d_{j}=0$$

(11)

哪里

$$\开始{aligned}&b_{j}=3-\varepsilon_{j} 小时，\quad\varepsilon_{j}=\frac{x{j}}{\beta+x{j{}}[2x{jneneneep+\beta-1]，\\&c{j}=\psi_{j} H（H）^{2}-2\瓦雷普西隆_{j} H（H）+3，\quad\psi_{j}=\frac{\beta\gamma x_{j} 年_{j} }{（β+x{j}）^{3}}+\西格玛y_{j} z_{j} ，\结束{对齐}$$

和

$$d_{j}=\nu_{j} H（H）^{3}-\磅/平方英寸_{j} H（H）^{2} +\varepsilon（瓦雷普西隆）_{j} H-1型，\quad\nu_{j}=\sigma\varepsilon_{j} 年_{j} z（z）_{j} ●●●●$$

通过一些计算，我们得到

$$\开始{aligned}&A=b_{j}^{2} -3c个_{j} =\bigl（\varepsilon_{j}^{2}-3\psi_{j}\biger）H^{2}，\\&B=B_{j} c（c）_{j} -9天_{j} =（\varepsilon_{j}\psi_{j} -9岁\nu_{j}）H^{3}+bigl（6\psi_{j} -2个\varepsilon_{j}^{2}\biger）H^{2{，\\&C=C_{j{^{2} -3b个_{j} 天_{j} =\bigl（\psi_{j}^{2}-3\变量{j}_{j}-\变量{j}\psi_{j}）H^{3}+\bigl（变量{j{^{2}-3\psi_｛j｝\bigr）H^｛2｝，\结束｛对齐｝$$

和

$$\Delta_{j}=\bar{\Delta}_{j} H（H）^{6}, $$

哪里

$$\bar{\Delta}_{j}=3\bigl^{3}-\变量{j}^{2}\psi{j}^{2}-18\varepsilon{j}\psi{j}\nu{j}\ biger）$$

很明显\（F^{\prime}（\lambda）=0\）具有以下两个根：

$$\lambda_{1,2}^{\ast}=\frac{1}{3}\Bigl（-b_{j}\pm\sqrt{b_{j{^{2} -3c个_{j} }\Bigr）=1-\frac{H}{3}\Bigl（\varepsilon_{j}\pm\sqrt{\varepsilon_{j}^{2}-3\psi_{j}}\更大）$$

如果\（\bar{\Delta}_{j}\leq0\），然后\（\Delta_{j}\leq0\）; 通过引理1，方程式(10)有三个真正的根\（\lambda{i}\）,\（i=1,2,3）（出租\（\lambda{1}\leq\lambda{2}\leq \lambda{3}\）). 由此，我们注意到两个根\（\lambda_{1,2}^{\ast}\）（出租\（\lambda_{1}^{\ast}\leq\lambda _{2}^{\ ast}\）)方程式的\（F^{\prime}（\lambda）=0\）也是真实的。

什么时候？\（\bar{\Delta}_{j}>0\）即，\（\Delta_{j}>0\），通过引理2，我们有这个方程(11)有一个真正的根\（\lambda{1}\）和一对共轭复根\（λ｛2,3｝\）共轭复根如下：

$$\lambda_{2,3}=\frac{1}{6}\bigl[\sqrt[3]{y{1}}+\sqrt[3]{y{2}}-2b\pm\sqrt{3} 我\bigl（\sqrt[3]{y{1}}-\sqrt[3]{y{2}}\bigr）\bigr]$$

哪里

$$y_{1,2}=\压裂{H^{3}}{2}\bigl（2\varepsilon_{j}^{3}-9\varepsilon_{j}\psi_{j} -27岁\nu_｛j｝\pm3\sqrt｛\bar｛\Delta｝_$$

和

$$F（1）=\nu_{j} H（H）^{3} \quad\text{和}\quad F（-1）=-8+4\varepsilon_{j} H-2型\psi_{j} H（H）^{2} +\nu_{j} H（H）^{3}. $$

现在，我们将介绍\（E_{j}\），我们有以下定理。

定理4

如果正平衡点 \（E_{j}\） 存在,那么它的所有参数值都具有以下拓扑类型:

• （1） \（E_{j}\） 如果满足以下条件之一，则为接收器:

  • （1.i） \（\bar{\Delta}_{j}\leq0\）,\（F（1）>0）,\（F（-1）<0） 和 \（-1<\lambda_{1,2}^{\ast}<1\）,

  • （1.ii） \（\bar{\Delta}_{j}>0\）,\（F（1）>0\）,\（F（-1）<0） 和 \（\vert\lambda_{2,3}\vert<1\）.

• (2) \（E_{j}\） 如果下列条件之一成立，则为源:

  • （2.i） \（\bar{\Delta}_{j}\leq0\） 下列条件之一成立:

    • （2.i.a） \（F（1）>0）,\（F（-1）>0） 和 \（\lambda_{2}^{\ast}<-1\） 或 \（\lambda_{2}^{\ast}>1\）,

    • （2.i.b） \（F（1）<0）,\（F（-1）<0） 和 \（\lambda_{2}^{\ast}<-1\） 或 \（\lambda_{2}^{\ast}>1\）,

  • （2.ii） \（\bar{\Delta}_{j}>0\） 下列条件之一成立:

    • （2.ii.a） \（F（1）<0） 和 \（\vert\lambda_{2,3}\vert>1\）,

    • （2.ii.b） \（F（-1）>0） 和 \（\vert\lambda_{2,3}\vert>1\）.

• (3) \（E_{j}\） 是一个-尺寸鞍座，如果下列条件之一成立:

  • （3.i） \（\bar{\Delta}_{j}\leq0\） 下列条件之一成立:

    • （3.i.a） \（F（1）>0）,\（F（-1）<0） 和 \（\lambda_{1}^{\ast}<-1\） 或 \（\lambda_{2}^{\ast}>1\）,

    • （3.i.b） \（F（1）<0）,\（F（-1）>0）.

  • （3.ii） \（\bar｛\Delta｝_｛j｝>0\） 下列条件之一成立:

    • （3.ii.a） \（F（1）>0）,\（F（-1）<0） 和 \（\vert\lambda_{2,3}\vert>1\）,

    • （3.ii.b） \（F（1）<0） 和 \（\vert\lambda_{2,3}\vert<1\）,

    • （3.ii.c） \（F（-1）>0） 和 \（\vert\lambda_{2,3}\vert<1\）.

• (4) \（E_{j}\） 是2-尺寸鞍座，如果下列条件之一成立:

  • （4.i） \（\bar{\Delta}_{j}\leq0\） 下列条件之一成立:

    • （4.i.a） \（F（1）>0）,\（F（-1）>0） 和 \（-1<\lambda_{2}^{\ast}<1\）,

    • （4.i.b） \（F（1）<0）,\（F（-1）<0） 和 \（-1<\lambda_{1}^{\ast}<1\）,

  • （4.ii） \（\bar{\Delta}_{j}>0\） 下列条件之一成立:

    • （4.ii.a） \（F（-1）<0） 和 \（\vert\lambda_{2,3}\vert<1\）,

    • （4.ii.b） \（F（1）>0） 和 \（\vert\lambda_｛2,3｝\vert<1\）.

• (5) \（E_{j}\） 不是-双曲线，如果下列条件之一成立:

  • （5.i） \（\bar{\Delta}_{j}\leq0\） 和 \（F（1）=0） 或 \（F（-1）=0）,

  • （5.ii） \（\bar{\Delta}_{j}>0\） 和 \（F（1）=0） 或 \（F（-1）=0） 或 \（\vert\lambda_{2,3}\vert=1\）.

证明

让\（\bar｛\Delta｝_｛j｝\leq0\）.来自引理2，方程式(11)有三个真正的根\（\lambda{i}\）,\（i=1,2,3）进一步，我们得到了该方程\（F^{\prime}（\lambda）=0\）也有两个真正的根\（\lambda_{1}^{\ast}\）和\（\lambda_{2}^{\ast}\）.从\（F^{\prime}（\lambda）\），我们有\（F^{\prime}（\lambda）>0\）对所有人来说\（lambda\ in（-\infty，\lambda_{1}^{\ast}）\cup（\lambda_{2}^{\ ast}，\ infty）\）和\（F^{\prime}（\lambda）<0\）对所有人来说\（在（\lambda_{1}^{\ast}，\lambda_{2}^{\ ast}）中为\lambda）因此，\（F（λ））所有人都在增加\（lambda\ in（-\infty，\lambda_{1}^{\ast}）\杯（\lambda _{2}^{\ ast}，\infty）\）所有人都在减少\（在（\lambda_{1}^{\ast}，\lambda_{2}^{\ ast}）中为\lambda）因此，我们最终获得\（F（\lambda_{1}^{\ast}）\geq0\）,\（F（\lambda_{1}^{\ast}）\leq 0\）,\（在（-\infty，\lambda_{1}^{\ast}]\）,\（\lambda｛1｝^｛\ast｝中的\lambda｛2｝，\lambda｛2｝^｛\ast｝）\）和\（[\lambda_{2}^{ast}，\infty中的\lambda{3}）.

如果条件（1.i）成立，那么我们显然有\（在（-1，\lambda{1}^{\ast}]\中为\lambda{1}）,\（\lambda_｛2｝\在[\lambda_｛1｝^｛\ast｝，\lambda_｛2｝^｛\ast｝]\中）和\（[\lambda{2}^{ast}，1）中的\lambda{3}\）因此，\（E_{j}\）是一个水槽。

如果条件（2.i.a）成立。什么时候？\（\lambda_{2}^{\ast}<-1\），我们有\（\lambda_{1}<-1\）和\（\lambda{2}<-1\）.自\（F（λ））对所有人来说都在增加\（[\lambda_{2}^{ast}，\infty中的\lambda）\）和\（F（-1）>0），我们可以获得\（\lambda{3}<-1\）因此，\（E_{j}\）是一个源。什么时候？\（\lambda_{2}^{\ast}>-1\），然后从\（F（-1）>0）我们有\（λ{1}<-1\）.因此\（F（λ）>0）对所有人来说\（\lambda\ in（-1,1）\）。因此，\（\lambda{2}>1\）和\（λ{3}>1）因此，\（E_{j}\）是一个源。

通过同样的方法，我们证明了当条件（2.i.b）成立时，\（E_{j}\）也是一个来源。

如果条件（3.i.a）成立，那么，当\（\lambda_{1}^{\ast}<-1\）我们有\（\lambda_{1}<-1\）以及何时\（\lambda_{2}^{\ast}>1\）我们有\（λ_｛3｝>1\）.来自\（F（1）>0）和\（F（-1）<0）我们有\（（-1,1）中的lambda{2}）因此，\（E_｛j｝\）是一个一维鞍座。

如果条件（3.i.b）成立，那么我们显然已经\（\lambda_{1}<-1\）,\（（-1,1）中的lambda{2}）和\（λ{3}>1）因此，\（E_{j}\）也是一维马鞍。

如果条件（4.i.a）成立，我们有\（\lambda\{2,3}\in（-1,1）\）和\（（-\infty，1）中的\lambda_{1}^{\ast}\）,\（F（λ））所有人都在增加\（lambda\ in（-\infty，\lambda_{1}^{ast}]\），我们获得\（lambda{1}\ in（-\infty，-1）\）因此，\（E_{j}\）是一个二维鞍座。

通过同样的方法，我们可以证明当条件（4.i.b）成立时，\（E_{j}\）也是一个二维鞍座。

如果条件（5.i）成立，那么我们可以很容易地证明\（E_{j}\）非双曲线。

现在，我们让\（\bar{\Delta}_{j}>0\）.来自引理2，方程式(11)有一个真正的根\（\lambda{1}\）和一对共轭复根\（λ{2,3}）如果条件（1.ii）成立，则从\（F（1）>0）和\（F（-1）<0）我们有一个真正的根源\（（-1,1）中的lambda{1}）因此，从\（\vert\lambda_{2,3}\vert<1\）我们得到了\（E_{j}\）是一个水槽。

如果条件（2.ii.a）成立，则从\（F（-1）<0）我们有一个真正的根\（λ{1}>1\）因此，从\（\vert\lambda_{2,3}\vert>1\）我们得到了\（E_{j}\）是一个源。

通过同样的方法，我们可以证明如果条件（2.ii.b）成立，那么\（E_{j}\）也是一个来源。

如果条件（3.ii.a）成立，那么我们有一个实根\（（-1,1）中的lambda{1}）因此，从\（\vert\lambda_{2,3}\vert>1\）我们有这个\（E_{j}\）是一个一维鞍座。

通过同样的方法，我们可以证明当条件（3.ii.b）和（3.ii.c）成立时，那么\（E_{j}\）也是一个一维鞍。

如果条件（4.ii.a）成立，则从\（F（-1）<0）我们有一个真正的根\（λ{1}>1\）因此，从\（\vert\lambda_{2,3}\vert>1\）我们有这个\（E_{j}\）是一个二维鞍座。

通过同样的方法，我们可以证明如果条件（4.ii.b）成立，那么\（E_{j}\）也是一个二维鞍。

最后，我们可以很容易地证明，如果条件（5.ii）成立，那么\（E_{j}\）非双曲线。□

定理5

如果正平衡点 \（E_{j}\） 存在,然后 \（E_{j}\） 通过以下方式失去稳定性

• （i） 马鞍-节点分岔,如果下列条件之一成立:

  • （i.1） \（\bar{\Delta}_{j}\leq0\）,\（F（1）=0\） 和 \（F（-1）\neq0）,

  • （i.2） \（\bar{\Delta}_{j}>0\）,\（F（1）=0） 和 \（\vert\lambda_{2,3}\vert\neq1）;

• （ii） 翻转分岔,如果下列条件之一成立:

  • （ii.1） \（\bar{\Delta}_{j}\leq0\）,\（F（-1）=0） 和 \（F（1）\neq0）,

  • （ii.2） \（\bar{\Delta}_{j}>0\）,\（F（-1）=0） 和 \（\vert\lambda_{2,3}\vert\neq1）;

• （iii） 霍普夫分岔,如果以下条件成立:

  • \（\bar{\Delta}_{j}>0\）,\（F（-1）\neq0）,\（F（1）\neq0） 和 \（\vert\lambda_{2,3}\vert=1\）.

证明([29])

（i） 介绍了对三维地图的主要分叉类型的深入研究。根据这项研究，我们可以看到\（E_{j}\）当单个特征值等于1时，发生鞍节点分岔。因此\（E_｛j｝\）当其中一个\（\lambda{i}=1\）,\（i=1,2,3）.的鞍节点分岔\（E_{j}\）如果参数在以下集合的小邻域中变化，则可能发生：

$$S_{1}=\bigl\{（h，\alpha，\beta，\gamma，\delta，\eta，\sigma）：\bar{\delta}_{j}\leq0，F（1）=0\text{和}F（-1）\neq0\bigr\}$$

或

$$S_{2}=\bigl\{（h，\alpha，\beta，\gamma，\delta，\eta，\sigma）：\bar{\delta}_{j}>0，F（1）=0\text{和}\vert\lambda_{2,3}\vert_neq1\bigr\}$$

通过同样的方法，我们可以证明（ii）。

（iii）当雅可比矩阵有一对模1的复共轭特征值时，我们得到了Hopf分支，然后\（E_{j}\）当其中一个\（\vert\lambda_{2,3}\vert=1\），然后它还意味着所有参数都位于以下集合的小邻域中并发生变化：

$$S_{3}=\bigl\{（h，\alpha，\beta，\gamma，\delta，\eta，\sigma）：\bar{\delta}_{j}>0，F（-1）\neq0，F“1”\neq0\text{和}\vert\lambda_{2,3}\vert=1\bigr\}$$

 □

4.2数值模拟

在这一节中，我们给出了相图，参数的吸引子β以及分叉图，以证实上述理论分析，并获得棕榈树、小枣蛾和捕食者模型的更多动力学行为。由于大多数分数阶微分方程没有精确的解析解，因此必须使用近似和数值技术。

从数值结果可以清楚地看出，近似解取决于分数参数小时,α参见图1.近似解\（x{n}\）,\（y{n}\）、和\（z{n}\）如下图所示。

图1

模型相图( 4 ).

我们使用一些文档数据作为一些参数，如\（β=0.5）,\（伽马=3）,\（增量=增量=1）、和\（σ=3），那么我们有\（（x_{1}，y_{1}，z_{1}）=（0.7,0.3,0.8）\）其他参数为（a）\（h=0.05）,\（α=0.95\），（b）\（h=0.07）,\（α=0.95\），（c）\（h=0.09）,\（α=0.95\）和（d）\（h=0.09）,\（α=0.75）.

图1描绘了模型的相位肖像(4)根据所选参数值和分数阶参数的各种值小时和α我们可以看到，无论何时α是固定的，并且小时然后增加\（E_{4}\）从稳定带移动到混沌带。图1（c） 描述了模型的相图(4).

通过计算，我们\（E_{4}\simeq（0.7,0.33,0.84）\），我们可以得到模型的翻转分岔临界值(4). 在图中1（a） 我们有\（\bar{\Delta}_{4}=1\mbox{，}153\mbox}，}256\mbox，}457>0\）,\（F（1）\小{0.00009>0}\）,\（F（-1）\simeq-7.872<0）、和\（\vert\lambda_{2,3}\vert\simeq 0.999<1）在这种情况下，我们得到\（E_{4}\）根据定理中的情况（1.ii），为汇4.

在图中1（b） 我们有\（\bar{\Delta}_{4}=165\mbox{，}217\mbox}，}502.2>0\）,\（F（1）\simeq 0.00024>0）,\（F（-1）\simeq-7.8274<0）、和\（\vert\lamba\{2,3}\vert\simeq0.999<1\）在这种情况下，我们得到\（E_{4}\）根据定理中的情况（1.ii），为汇4.

在图中1（c） 我们有\（\bar{\Delta}_{4}=38\mbox{，}548\mbax{，{982.44>0\）,\（F（1）\simeq 0.00049>0）,\（F（-1）\simeq-7.79<0）、和\（\vert\lambda_{2,3}\vert\simeq1.0002>1）在这种情况下，我们得到\（E_{4}\）是根据定理中的情况（3.ii.a）的一维鞍4。我们看到了不动点\（E_{4}\）在Hopf分岔参数值处失去稳定性\（h \ simeq0.086 \）。对于\（h=[0,0.15]\），存在一系列分叉。什么时候？第页以特定值增加，例如\（h=0.09），出现独立的不变圆。当小时增加（图1（c） ），圆圈破裂，一些分叉级联导致混乱。

数字1（c） 和1（d） 解释参数的影响α关于…的行为x个,年、和z（z）.图2证明了系统对初始条件的敏感性(4). 我们用初始点计算两个轨道\（（x{1}，y{1}，z{1}）和\（（x{1}，y{1}+0.01，z{1}）分别是。组成结果如图所示2从这个数字可以清楚地看出，时间序列一开始是无法区分的；但经过多次迭代后，它们之间的差异迅速增大，这表明模型对模型的初始条件具有敏感的依赖性(4),年-两个轨道的坐标，随时间绘制；这个年-初始条件的坐标相差0.01，其他坐标不变。在图中三我们使用一些文档数据作为一些参数，例如\（β=0.5\）,\（伽马=3）,\（增量=增量=1）,\（σ=3）,\（α=0.95\），那么我们有\（（x{1}，y{1}，z{1}）=（0.7,0.3,0.8）\），另一个参数为\（h=0.001:0.47）.图三描述了关于以下方面的Hopf分岔图小时，我们注意到小时增加，此模型的行为(4)变得非常复杂，参数的变化小时对系统的稳定性有影响(4). 系统的Hopf分岔图(4)在中\（（h-x）\）,\（（h-y）\）和\（（h-z）\）平面如图所示。三.

图2

模型相图( 4 ).

图3

关于的Hopf分岔图 小时 .

计算固定点后\（E_{4}\）地图的(4)，Hopf分岔从不动点出现$( 0.7,0.33,0.84 )$在\（h=0.086）和\（HB_{E_{4}}中的（h，α，β，γ，δ，β，σ）从图中三，我们观察到不动点\（E_{4}\）地图的(4)通过离散Hopf分岔失去其稳定性\（h=[0,0.15]\）.在图中4我们使用一些文档数据作为一些参数，例如\（伽马=3）,\（增量=增量=1）,\（\西格玛=3\）,\（h=0.85）,\（α=0.95\），其他参数为（a）\（β=1.55\），（b）\（β=1.4\），（c）\（β=1.2）和（d）\（β=1.15）.

图4

关于的Hopf分岔图 β .

图4（a） 描述模型的稳定平衡(4)根据上述参数的值。从图中4（f） ，4（g） 我们可以看到β导致第一周期轨道消失，混沌吸引子增加。

在图中5，我们介绍了用于检测混沌的0-1检验。图5（a） 表示，对于\（β=1.55），一个获得\（K=-0.066\大约x0\）。那么动力是有规律的。此外，图5（b） 描述了\（（P_{c}（n），Q_{cneneneep（n））\）平面。图5（c） 表示，对于\（β=1.15），一个获得\（K=0.9658大约1）。那么动力学就是混沌的。此外，图5（d） 描述了在\（（P_{c}（n），Q_{cneneneep（n））\）平面。

图5

用于检测混沌的0-1测试。

在图中5（e）-5（f） ，我们显示了渐近增长率K（K）作为的函数c（c）用于规则（混沌）动力学。在规则（混沌）动力学的情况下c（c）产量\（大约）(\（约1）)如预期。

图5（e）-5（f） 显示两个均方位移\（M_{c}\）用于系统(4)带有\（β=1.55\）(\（β=1.15）)对应于规则（混沌）动力学。

5结论

本文考虑由棕榈树、枣小蛾和捕食者组成的分数阶模型。我们得到了系统解存在唯一的充分条件。我们还研究了离散分数阶系统所有平衡态的局部稳定性。此外，还发现分数参数α对离散系统的稳定性有影响。为了支持我们的理论讨论，我们还提供了数值模拟。我们从理论角度和数值模拟两方面分析了分岔现象。还需要提到的是，在处理现实生活中的问题时，可以使用收集的数据来确定系统的顺序。将经典模型转换为分数模型使其对微分顺序非常敏感α：中的一个小变化α可能会导致最终结果发生重大变化。从数值结果可以清楚地看出，近似解连续依赖于分数导数α.