均匀发射率背景神经网络的平衡点分析

摘要

本文对均匀发射率背景神经网络的平衡点进行了完整的分析。利用函数的连续性、单调性和罗尔定理，得到了平衡点的个数及其位置。此外，利用泰勒定理给出了网络模型平衡点稳定的一些新的充分条件。通过仿真实例说明了本文所提出的理论。

1介绍

动态分析是递归神经网络最重要的问题之一，文献中已经报道了许多关于这方面的结果；请参见注意[1]; 科恩和格罗斯伯格[2]; 福蒂[三]; 哈恩洛斯特[4]; 曾等。[5]; 曾和王[6]; 曹和王[7]; 陈等。[8]; 陈[9]; 唐等。[10]; 张等。[11]; 左等。[12]; 张等。[13]; 李和曹[14]; 武士和马尼瓦南[15]以及其中的参考文献。这也是实现信号处理和问题优化等成功应用的关键步骤。有关递归神经网络平衡点的分析是动力学分析的一个非常重要的部分（Cheng等。[16]; 曲等。[17]). 特别是，各类递归神经网络平衡点的存在性和稳定性问题引起了许多研究人员的极大关注（Manivannan等。[18]; 聂和曹[19]; 马尼瓦南等。[20]). 通常，用两种方法证明神经网络模型平衡点的存在性。证明这一点的一种方法是使用从同胚神经网络导出的映射（Forti和Tesi[21]; 陈[9]; 卢[22]; 赵和朱[23]). 另一种方法是使用Brouwer的不动点定理（Forti[三]; Forti和Tesi[21]; 郭和黄[24]; 王[25]; 米勒和米歇尔[26]).

为了解释这种现象并展示递归神经网络的动态状态如何受到给定外部背景输入的影响，在Salinas中提出了背景神经网络模型[27]. 通过使用理论模型和计算机模拟，已经表明，此模型中的微小变化可能会将网络从相对安静的状态转移到具有高度复杂动力学的其他状态。

就我们而言，很少有文献研究背景神经网络模型的动力学性质；见张和易[28]; 万等。[29]; 徐和易[30]. 然而，由于网络方程(2.1)是非线性耦合方程，无论是著名的同胚方法还是Brouwer的不动点定理都无法轻易地研究(2.1). 背景神经网络平衡点局部稳定性条件文献中唯一已知的理论结果是通过计算平衡点的特征值（Salinas[27]). 不幸的是，到目前为止，具有放电率（均匀放电率意味着所有神经元的放电率相同）的背景神经网络的平衡分析问题还远未完成。主要困难来自由高度非线性耦合方程组成的网络模型。缺乏关于平衡的基本信息，给讨论背景神经网络的动力学特性和分岔带来了一些困难。

本文对具有均匀发射率的背景神经网络的平衡进行了全面的分析。我们首次将具有发射率的背景神经网络的平衡问题转化为三次方程的根问题。我们没有遵循计算三次方程根的一般思想，而是通过背景神经网络参数条件的几何公式来分析平衡。相应地，平衡的数量和坐标是通过使用连续性和单调性以及罗尔定理来确定的。此外，还给出了平衡的新的充分稳定性条件。基于均匀发射率背景神经网络的研究提供了对系统计算性能的深刻理解(2.1).

本文的其余部分组织如下。在节中2，给出了初步说明。在节中三，我们建立了背景网络的精确平衡数的条件。得到了这些平衡的位置。此外，我们给出了这种平衡点稳定的新的充分条件4给出了一个仿真实例来说明理论结果。在节中5，得出结论。

2前期工作

背景神经网络模型由以下非线性微分方程系统描述：

$$\begin｛aligned｝\tau\dot{x}_{i} （t）=-x{i}（t）+frac{（总和_{j} w个_{ij}x_{j} （t）+h{i}）^{2}}{s+v\sum_{j} x个^{2}_{j} （t）}\四（i=1，\ldots，n），\结束{对齐}$$

(2.1)

对于\（t \geq 0），其中\（x{i}\）表示神经元的活动我,\（h{i}\）表示其外部输入，\（w{ij}\）表示神经元的兴奋性突触连接j个到神经元我,v（v）是一个神经元减少另一个神经元增益的抑制性突触连接，τ是一个时间常数，并且秒是饱和常数。所有这些量总是正数或零。如果所有神经元的放电速率相同，则网络方程(2.1)简化为非线性方程，如下所示：

$$\tau\dot{x}（t）=-x（t）+\frac{（w_{\mathrm{tot}}x（t$$

(2.2)

为所有人\（t \geq 0）.x个表示均匀射速，\（w_｛tot｝\）表示兴奋性突触连接，以及N个是神经元的总数。

为了简单起见，我们考虑系统(2.2)采用以下等效形式：

$$\dot{x}（t）=-x（t）+\frac{（ax（t$$

(2.3)

在这里，让\（τ=1）,\（a=\frac{w{\mathrm{tot}}}{\sqrt{s}}>0\）,\（b=\frac{h}{\sqrt{s}}>0\）,\（c=\frac{vN}{s}>0\）.

网络均衡(2.3)如下所述：

$$F\bigl（x^{*}\bigr）：=\frac{-x^{*.}（1+c{x^{}}^{2}）+（ax^{*{+b）^{2{{1+c}x^{**}}^}}=0$$

让

$$\开始{对齐}P（x）&：=-x（t）\bigl（1+cx^{2}（t）\ bigr）+\bigl（ax（t^{2} x^{2} （t）+（2ab-1）x（t）+b^{2}，结束{对齐}$$

即,

$$F（x）=\压裂{P（x）}{1+cx^{2}}$$

我们认为\（x（0）>0）和

$$\开始{对齐}x（t）=&x（0）e^{-t}+\int_{0}^{t} e（电子）^{-（t-\θ）}\分形{（w_{\mathrm{tot}}x（\theta）+h）^{2}{s+vNx^{2{（\theda）}\，d\theta>0。\结束｛对齐｝$$

这意味着系统的轨迹(2.2)是积极的。

来自参考Zhang和Yi[28]，我们有

$$x（t）<x（0）+\压裂{w^{2}_{\mathrm{tot}}}{vN}+\frac{h^{2}}{s}+1=x（0）+\frac{a^{2{}{c}+b^{2neneneep+1$$

表示

$$\Pi=x（0）+\frac{a^{2}}{c}+b^{2{+1$$

因为\（1+cx^{2}（t）>0\）系统的平衡(2.3)由以下值的零决定\（P（x）\）在间隔中\（I:=（0，\Pi）\）.

三平衡和定性性质

在本节中，我们给出了保证网络平衡点存在和数量的新的充分条件(2.3). 我们的方法基于几何观测。我们还通过泰勒展开建立了这些平衡点的稳定性准则。

定理1

系统(2.3)最多有三个平衡点 \（（0，\Pi）\）.平衡的数量及其位置如表所示 1.

表1平衡数及其位置

证明

系统(2.3)最多有三个平衡点\（（0，\Pi）\）因为\（操作符名{deg}（P）=3\）.

接下来，我们将讨论

$$P（x）：=-cx^{3}+a^{2} x^{2} +（2ab-1）x+b^{2}\四元（a>0，b>0，c>0）$$

根据的定义\（P（x）\），我们有

$$\begin{aligned}\textstyle\begin{cases}\lim_{x\rightarrow+\infty}P（x）=-\infty，\\lim_}x\right arrow-\inffy}P（x）=+\inft，\\P（0）=b^{2}>0。\结束{cases}\displaystyle\end{aligned}$$

(3.1)

为了便于说明我们的结果，我们将确保平衡点数量和位置的参数条件划分为以下子区域：

$$\开始{aligned}&\mathcal{T}（T）_{111}：=\biggl\{w_{\mathrm{tot}}^{4}+6vNw_{\tathrm{tot}}h-3vNs>0，\frac{w_}\tathrm{tot{}h}{s}<\frac{1}{2}，P（\zeta_{-}）>0\biggr\}，\\&\mathcal{T}（T）_{112}：=\biggl\{w_{mathrm{tot}}^{4}+6vNw_{mathrm{tot}}h-3vNs>0，\frac{w_}\mathrm}tot}h}{s}<\frac{1}{2}，P（\zeta_{-}）=0\biggr\}，\\&\mathcal{T}（T）_{113}：=\biggl\{w_{\mathrm{tot}}^{4}+6vNw_{\tathrm{tot}}h-3vNs>0，\frac{w_}\tathrm{tot{}h}{s}<\frac{1}{2}，P（\zeta{-}）<0，P{T}（T）_{114}：=\biggl\{w_{\mathrm{tot}}^{4}+6vNw_{\tathrm{tot}}h-3vNs>0，\frac{w_}\tathrm{tot{}h}{s}<\frac{1}{2}，P（\zeta{-}）<0，P{T}（T）_{115}：=\biggl\{w_{\mathrm{tot}}^{4}+6vNw_{\tathrm{tot}}h-3vNs>0，\frac{w_}\tathrm{tot{}h}{s}<\frac{1}{2}，P（\zeta{-}）<0，P{T}（T）_{12} ：=\biggl\{w_{\mathrm{tot}}^{4}+6vNw_{\tathrm{tot}}h-3vNs>0，\frac{w__{mathrm}tot}h}{s}>\frac{1}{2}，P（\zeta_{+}）>0\biggr\}，\\&\mathcal{T}（T）_{13} ：=\biggl\{w_{\mathrm{tot}}^{4}+6vNw_{\tathrm{tot}}h-3vNs>0，\frac{w__{mathrm}tot}{h}{s}=\frac}{1}{2}，P（\zeta{+}）>0\biggr\}，\\&\mathcal{T}（T）_{21}:=\biggl\{w_{mathrm{tot}}^{4}+6vNw_{mathrm{tot}}h-3vNs=0，\frac{w_}\mathrm}tot}h}{s}<\frac{1}{2}\biggr\}，\\&\mathcal{T}（T）_{31}：=\biggl\{w_{\mathrm{tot}}^{4}+6vNw_{\tathrm{tot}}h-3vNs<0，\frac{w_}\tathrm{tot{}h}{s}<\frac{1}{2}\biggr\}。\结束｛对齐｝$$

衍生产品\（P'（x）=-3cx^｛2｝+2a^{2} x+2ab-1=0\）有两个零：

$$\开始{aligned}&\zeta_{-}=\frac{a^{2}-\sqrt{a^{4}+3c（2ab-1）}}{3c}，\\&\zeta{+}=\frac{a^}2}+\sqrt{a^{4{+3c（2ab-1）}}3c}\quad（\zeta}-}\leq\zeta_{+}）。\结束{对齐}$$

我们有\（P（泽塔{-}）=-\frac{-2a^{6}+2a^{4}\sqrt{a^{4]+6abc-3c}+12abc\sqrt}a^{4}+6abc-3c}-6c\sqrt{a^}4}+6abc-3c}-18a^{3} 公元前+第九章^{2} c-27b型^{2} c（c）^{2} }{27c^{2}}\）,\（P（zeta_{+}）=\frac｛2a^｛6｝+2a^｛4｝\sqrt｛a^｛4｝+6abc-3c｝+12abc\sqrt｛a^｛4｝+6abc-3c｝-6c\sqrt｛a^｛4｝+6abc-3c｝+18a^{3} 公元前9年^{2} c（c）+27亿^{2} c（c）^{2} }{27c^{2}}\）考虑判别式\（\增量{P'（x）}\）多项式的\（P'\）2度

$$\Delta_{P'（x）}:=a^{4}+3c（2ab-1）$$

我们分别讨论了三种情况：\（\Delta_{P'（x）}>0，\Delta_{P'[x）}=0\）和\（增量{P'（x）}<0\）.

案例1:\（Delta_{P'（x）}=a^{4}+3c（2ab-1）>0\）,即,\（w_{mathrm{tot}}^{4}+6vNw_{mathrm{tot}}h-3vNs>0\）然而，\（2ab-1）可以是正数、负数或零。因此，根据\（2ab-1），我们需要讨论以下三个子主题。

子案例1.1:\（ab<\压裂{1}{2}\）,即,\（压裂{w{\mathrm{tot}}h}{s}<\frac{1}{2}\）.

方程式\（P'（x）=0\）有两个不同的根\（\泽塔{-}，\泽塔}+}（0<\泽塔[-}<\泽塔[+}）\）在这种情况下。

• （a） \（\泽塔{-}\）,\（\泽塔{+}\）是的最小点和最大点\（P（x）\）分别是。通过简单的计算，我们得到\（\zeta_{+}<\Pi\）根据罗尔定理和\（P（x）\）,\（P（x）\）具有唯一的正实数零\（x_{1}^{*}\ in（\zeta_{+}，\Pi）\）什么时候\（P（\ zeta_｛-｝）>0\）显然，系统(2.3)具有独特的平衡\（E_{1}^{（1）}:x_{1}^{*}\ in（\zeta_{+}，\Pi）\），如图所示1（a） ●●●●。

  图1

  

  对 在子场景1.1中有一个、两个或三个零。

• （b） \（P（x）\）有两个正实数零\（\泽塔{-}\）和\（x_{2}^{*}\ in（\zeta_{+}，\Pi）\）什么时候\（P（泽塔{-}）=0\）然后遵循该系统(2.3)有两个平衡点\（E_{2}^{（1）}:\泽塔{-}\）和\（E_{3}^{（1）}:x_{2}^{*}\ in（\zeta_{+}，\Pi）\），如图所示1（b） ●●●●。

• （c.1） \（P（x）\）有三个不同的正实数零\（（0，\zeta_{-}）中的x_{3}^{*}，（\zeta_{-}，\zeta{+}）的x_}4}^{}什么时候\（P（泽塔{-}）<0\）和\（P（泽塔{+}）>0\）也很明显，该系统(2.3)有三个平衡点\（（0，\zeta_{-}）中的E_{4}^{（1）}:x_{3}^{*}）,\（E_｛5｝^｛（1）｝：x_｛4｝^｛*｝\ in（\ zeta_{-｝，\ zeta_{+｝）\）和\（E_｛6｝^｛（1）｝：x_｛5｝^｛*｝\ in（\ zeta_{+｝，\ Pi）\），如图所示1（c） ●●●●。\（P（泽塔{-}）<0，P（泽塔{+}）>0\）在实心曲线上。

• （c.2） \（P（x）\）有两个正实数零\（x{6}^{*}\在（0，\zeta{-}）中）和\（\泽塔{+}\）什么时候\（P（泽塔{-}）<0\）和\（P（泽塔{+}）=0\）.然后系统(2.3)有两个平衡点\（（0，\zeta_{-}）中的E_{7}^{（1）}:x_{6}^{*}）和\（E_{8}^{（1）}:\zeta_{+}\），如图所示1（c） ●●●●。\（P（泽塔{-}）<0，P（泽塔{+}）=0\）在虚线曲线上。

• （c.3） \（P（x）\）有一个正实数零\（x{7}^{*}\在（0，\zeta{-}）中）什么时候\（P（泽塔{-}）<0\）和\（P（泽塔{+}）<0\）.然后是系统(2.3)具有独特的平衡\（（0，\zeta_{-}）中的E_{9}^{（1）}:x_{7}^{*}），如图所示1（c） ●●●●。\（P（泽塔{-}）<0\）和\（P（泽塔{+}）<0\）在星形曲线上。

子案例1.2:\（ab>\压裂{1}{2}\）,即,\（压裂{w{\mathrm{tot}}h}{s}>\frac{1}{2}）.

\（P'（x）=0）有两个不同的零\（\ζ_｛-｝，\ζ_｛+｝（\ζ_｛-｝＜0＜\ζ_｛+｝）\）.\（P（x）\）具有唯一的正实数零\（x_{8}^{*}\ in（\zeta_{+}，\Pi）\）然后我们看到了这个系统(2.3)具有独特的平衡\（E_{10}^{（1）}:x_{8}^{*}\ in（\zeta_{+}，\Pi）\），如图所示2（d） ●●●●。

图2

对 在子条款1.2和1.3中为零。

子案例1.3:\（ab=压裂{1}{2}）,即,\（\压裂{w{\mathrm{tot}}h}{s}=\压裂{1}{2}\）.

\（P'（x）=0）有一个零\（泽塔{-}=0，泽塔{+}=\压裂{2a^{2}}{3c}>0\）.\（P（x）\）具有唯一的正实数零\（x_{9}^{*}\ in（\zeta_{+}，\Pi）\）意味着这个系统(2.3)具有独特的平衡\（E_{11}^{（1）}:x_{9}^{*}\ in（\zeta_{+}，\Pi）\），如图所示2（e） ●●●●。

案例2:\（Delta_{P'（x）}=a^{4}+3c（2ab-1）=0\）,即,\（w_{mathrm{tot}}^{4}+6vNw_{mathrm{tot}}h-3vNs=0\）.

\（P'（x）\）有多个\（\压裂{a^{2}}{3c}\）重数为2。\（\压裂{a^{2}}{3c}\）不是\（P（x）\）.与结合(3.1),\（P（x）\）有一个正零\（x_{10}\在（0，\Pi）\中），这意味着该系统(2.3)具有独特的平衡\（E_｛1｝^｛（2）｝：x _｛10｝^｛*｝\in（0，\Pi）\）.

案例三：\（Delta_{P'（x）}=a^{4}+3c（2ab-1）<0\）,即,\（w_{mathrm{tot}}^{4}+6vNw_{mathrm{tot}}h-3vNs<0\）.

\（P'（x）\）没有真正的零。这意味着\（P（x）\）没有极端点。由(3.1),\（P（x）\）是一个严格单调递减函数。因此，\（P（x）\）有一个正零\（x_{11}^{*}\在（0，\Pi）\中）.系统(2.3)因此具有独特的平衡\（（0，\Pi）中的E_{1}^{（3）}:x_{11}^{*}\）.

证明已完成。□

备注1

应该注意的是，如定理证明所示1，我们根据判别式的符号分别讨论了三种情况下平衡点的存在性和数量\（\增量{P'（x）}\）我们使用了函数的连续性和单调性\（P（x）\）这些技术提供了一些新的分析方法，而不是简单地使用著名的同胚方法和Brouwer不动点定理。此外，这些结果可以为进一步分析网络的极限环和分支提供重要的理论基础(2.3).

接下来，我们将讨论系统平衡点的稳定性(2.3)利用泰勒展开式。

定理2

系统平衡点的稳定性(2.3)如表所示 2.

表2平衡点的稳定性( 2.3 )

证明

让\（x^{*}\）是系统的一般均衡(2.3).

泰勒展开式\（F（x）\）处于平衡状态\（x^{*}\）由描述

$$\dot{x}（t）=F\bigl（x^{*}\bigr）+F'\bigl-（x^}\biger）\bigle（x-x^{**}\birr）+O\bigl-x^{**）$$

(3.2)

自\（F（x）=\压裂{P（x）}{1+cx^{2}}\），我们有

$$F’（x）=\压裂{P'（x）（1+cx^{2}）-2cxP（x）}{（1+cx^{2]）^{2{}$$

表示\（Q（x）=P'（x）（1+cx^{2}）-2cxP（x）\），因此

$$F'（x）=\frac｛Q（x）｝｛（1+cx ^｛2｝）^｛2｝｝｝$$

然后\（F'（x^｛\ast｝）=\frac｛Q（x^｛\ast｝）｝｛（1+cx^｛\ast｝^｛2｝｝）^｛2｝｝=\frac｛P'（x^｛\ast｝）（1+cx^｛\ast｝^｛2｝）｝｛（1+cx^｛\ast｝^｛2｝｝）^｛2｝｝）（自\（P（x^{\ast}）=0\）). 的标志\（F'（x^{\ast}）\）与的相同\（P'（x^{\ast}）\），自\（1+cx^{{\ast}^{2}}>0\）.

因为\（F（x^{*}）=0\），的符号\（\点{x}（t）\）与的相同\（F'（x^{*}）\）因此，平衡的稳定性由\（P'（x^{*}）\）.具体而言，\（P（x）\）是单调递减的\（（\zeta_{+}，\Pi）\）和\（P'（x_{1}^{*}）<0\）因此，平衡点\（E_{1}^{（1）}\）是渐近稳定的。同样，平衡\（E_{3}^{（1）}，E_{4}^{{（一）}、E_{6}^{（一）{、E_}7}^{}（一和\（E_{1}^{（3）}\）是渐近稳定的，因为\（P'（x_{i}^{*}）<0\），何时\（i=2,3,5,6,7,8,9,10,11）.

\（P（x）\）在中单调增加\（（\zeta_{+}，\Pi）\）和\（P'（x_{4}）^{*}>0\），这意味着平衡点\（E_{5}^{（1）}\）不稳定。

如果\（P'（x^{\ast}）=0\），然后是泰勒展开式\（P（x）\）处于平衡状态\（x^{\ast}\）是

$$\开始{对齐}&\dot{x}（t）=F''\bigl（x^{*}\bigr^{2} -Q个（x） \cdot 2（1+cx ^｛2｝）\cdot 2cx｝｛（1+cx ^｛2｝）^｛4｝｝，\结束｛对齐｝$$

(3.3)

哪里\（Q'（x）=P''（x）（1+cx^{2}）+P'（x因此，我们获得

$$Q'\bigl（x^{\ast}\bigr）=P''\bigle$$

自\（P（x^{\ast}）=0，P'（x^}\ast}）=0\），我们有\（Q'（x^{\ast}）=P'（x_^{\asp}）（1+cx_^}{\ast{2}}）\）和\（Q（x^{\ast}）=P'（x^[\ast}]）（1+cx^{{\ast{2}}）-2cx^}\ast}P（x^}）=0\）.

因此，我们得到

$$\begin{aligned}F“”\bigl（x^{ast}\bigr）=&\frac{Q'（x^}\ast}）（1+cx^{{ast}^{2}}）^{2} -问（x^{\ast}）\cdot 2（1+cx^{\\ast}^{2}}）\ cdot 2cx^\\ast}}{（1+cx^{{\\ast{2}）^{4}\\=&\frac{Q'（x^}）\=&\frac{P''（x^{\ast}）（1+cx^{{\ast{2}}）}{（1+cx^{\\ast}^{2}）^{4}}。\结束｛对齐｝$$

这意味着\（F''（x^{\ast}）\）与的相同\（P''（x^{\ast}）\）因为\（1+cx^{{\ast}^{2}}>0\）.\（P'（\zeta_{-}）=0\）和\（P'（\zeta_{+}）=0\）处于平衡状态\（E_{2}^{（1）}:\泽塔{-}，E_{8}^{（1）{:\泽塔{+}\）分别是。因此，\（F'（\zeta_{-}）=0，F'（\ zeta_}+}）=0\）.

\（P''（\zeta_{-}）>0\）因为图\（P（x）\）在附近凹下\（E_{2}^{（1）}\）.\（P'（\zeta_{-}）=0，P''（\zeta _{-{）>0\），因此\（E_{2}^{（1）}\）不稳定。同样，\（P''（\zeta_{+}）<0\）因为图\（P（x）\）在\（E_{8}^{（1）}\）.\（P'（\zeta_{+}）=0，P''（\zeta_{+{）<0\），因此\（E_{8}^{（1）}\）是渐近稳定的。

证明已完成。□

备注2

应该提到的是，我们已经用泰勒展开式导出了平衡点稳定的条件。在图中1和2，我们根据符号看到平衡是稳定的还是不稳定的\（P'（x^{*}）\）处于平衡状态\（x^{*}\）该方法比构造合适的Lyapunov-Krasovskii泛函或构造能量函数更容易、更方便。

4仿真

在本节中，将提供一个示例来说明和验证在上述章节中获得的理论结果。

例子

案例1：考虑一类背景神经网络(2.2)带有\（w_{mathrm{tot}}=1.8965，h=4.6457，vN=0.0900）和\（s=50）因此，我们获得\（^{2}_{\mathrm{tot}}}{vN}+\frac{h^{2}}{s}+1=41.3951）。我们随机选择初始点\（x（0）\英寸（0,80）\）.

这里，参数满足定理中的条件1:\（Delta_{P'（x）}=0.0017>0，ab=0.1762<frac{1}{2}）.

通过简单的计算，方程式\（P'（x）=-3cx^{2}+2a^{2} x+2ab-1=0）被发现有两个不同的根\（泽塔{-}=5.7367，泽塔{+}=20.9044），使用\（P（泽塔{-}）=-1.2559<0，P（泽塔{+}）=1.8846>0）.

\（a、b、c）{T}（T）_{113}\)因此，系统(2.3)有三种平衡\（（0,5.7367）中的E_{4}^{（1）}:x{3}^{*}，（5.7367,20.9044）和\（（20.9044,41.3951）中的E_{6}^{（1）}:x_{5}^{*}）.根据定理2,\（E_{4}^{（1）}\）和\（E_{6}^{（1）}\）是渐近稳定的，并且\（E_{5}^{（1）}\）不稳定。图三证明了理论结果。

图3

网络平衡点的位置和稳定性( 2.3 )带有 \（\pmb{w_{\mathrm{tot}}=1.8965，h=4.6457，vN=0.0900}\） 和 \（\pmb{s=50}\） .

在本次调查中，系统(2.3)具有多个稳定平衡点。因此，该网络属于多稳态神经网络。数学上，多稳态允许网络具有多个稳定不动点和周期轨道或极限环。多个稳定平衡点或周期轨道伴随着连续吸引子的存在。连续吸引子已经在许多应用中被发现，包括与视觉感知、视觉图像、眼睛记忆等相关的应用。不稳定平衡的存在对于赢家通吃问题至关重要（Yi等。[31]). 因此，本手稿中提出的工作可以应用于上述应用。

案例2：如果\（w_{mathrm{tot}}=1.2，h=12，vN=0.02）和\（s=63.36），然后\（\压裂{w^{2}_{\mathrm{tot}}}{vN}+\frac{h^{2}}{s}+1=75.2727）。我们随机选择初始点\（x（0）\英寸（0,80）\）.

在这种情况下\（\Delta_{P'（x）}=0\），因此它遵循定理1和2那个系统(2.3)有一个独特的平衡点\（（0,75.2727）中的E_{1}^{（2）}:x_{10}^{*}），并且它是渐近稳定的。该系统平衡点的位置和稳定性如图所示4.

图4

平衡点的位置和稳定性 \（\pmb{E_{1}^{（2）}}\） 网络的( 2.3 )带有 \（\pmb{w_{\mathrm{tot}}=1.2，h=12，vN=0.02}\） 和 \（pmb｛s＝63.36｝\） .

案例3：如果\（w_{mathrm{tot}}=1.12，h=10，vN=0.03）和\（s=65），然后\（\压裂{w^{2}_{\mathrm{tot}}}{vN}+\frac{h^{2}}{s}+1=44.3518）。我们随机选择初始点\（x（0）\英寸（0,35）\）.

在这种情况下\（增量{P'（x）}<0\），所以系统(2.3)有一个独特的平衡点\（（0,44.3518）中的E_{1}^{（3）}:x_{11}^{*}）它是渐近稳定的。结果如图所示5.

图5

平衡点的位置和稳定性 \（\pmb{E_{1}^{（3）}}\） 网络的( 2.3 )带有 \（\pmb{w_{\mathrm{tot}}=1.12，h=10，vN=0.03}\） 和 \（\pmb{s=65}\） .

在案例2和案例3中，网络(2.3)具有唯一的稳定平衡点。这种收敛行为称为“单稳态”。单稳态网络可以用来解决优化问题。在某些情况下，网络(2.3)本文是一个单稳态神经网络。因此，所提出的工作为优化问题提供了一个新的模型。

5结论

本文研究了背景神经网络平衡点的动力学性质(2.2) (即, (2.3))分析了平衡点的数量及其位置。首先，研究了网络平衡点数目和位置的条件。其次，导出了平衡点稳定的条件。揭示了平衡态动力学性质与网络参数之间的参数关系。这些理论主要基于对方程几何结构的观察\（P（x）=0）这些研究丰富了其他相关工作平衡点的分析结果。

基于具有放电率的背景神经网络的研究（均匀放电率意味着所有神经元的放电率相同，因此，我们可以将系统视为(2.3)作为一维）可进一步发展用于一般高维系统的研究，例如，本文中的数学方法可以用于分析具有两个子网络的背景神经网络的平衡，这两个子网络表现出竞争状态(即，2D背景神经网络）。竞争稳态对二维神经网络实际应用的发展具有重要意义。这个交换机问题（Terman和Rubin[32]; 托斯等。[33])和双眼对抗（夏皮罗等。[34])是值得进一步研究的有趣话题。许多实际问题，例如机械设计和电气网络，都可以表述为开关问题。近年来，切换系统的动力学分析吸引了大量的研究兴趣（曹等。[35]; 赛义德·阿里等。[36]). 我们的手稿让我们进一步了解了为切换系统提供参数条件的问题。