我们使用的主要思想[6]为了在这项工作中取得成果。
众所周知，通过使用重复积分的柯西公式，我们得到
$$\开始{对齐}J^{n} u个（t） &=\下大括号{\int_{0}^{t=t_{n}}\int_}0}^}s=t_{n-1}}\int_{0{^{t_{n-2}}\cdots\int_{0}^{t_1}u（t_{0}）\，dt_{0neneneep，dt_}1}，\ldots，d（t_{n-2}），ds}_{n}\\&=frac{1}{（n-1）！}\int_{0}^{t} u个（s） （t-s）^{n-1}\，ds，\结束{对齐}$$
为所有人\（第1页）,\（a，t\in\Bbb{R}\）和\（t>0）.如果n个由正实数替换α和\（n-1）！\）通过它的概括\（\Gamma（\alpha）\），得到了分数算子的分数次积分公式\（J^{\alpha}u（t）=\frac{1}{\Gamma（\alpha）}\int_{0}^{t} u个（s） （t-s）^{\alpha-1}\，ds\），称为Riemann-Liouville分数阶积分α.
让我们考虑以下符号：
$$\开始{对齐}和{}^{CF}D^{\alpha^{[n]}}u（t）：=\下大括号{^{CF{D^{alpha}\bigl[0]}u（t）=u（t，空格{26.5pt}（*）\\&\int_{0}^{t^{[n]}u^{t{n-2}}\cdots\int{0}^{t{1}}u（t{0}）^{n} u个（t） ，\hspace{18pt}（**）\end{对齐}$$
和\（J）^{0}u（t） =\int_{0}^{t^{[0]}}u（s）\，ds:=u（t）\）。此外，我们定义
$$\begin{aligned}\bigl（a_{\alpha}+b_{\alpha}Ju（t）\bigr）^{[n]}={}&\biggl（a_}\alpha{+b_}\阿尔pha}\int_{0}^{t}u（s）\，ds\biggr）{pmatrix}n\\0\结束{pmatrix}一个_{\字母}^{n} b条^{0}_{\alpha}\int_{0}^{t^{[0]}}u（s）\，ds+\开始{pmatrix}n\\1结束{pmatrix}一个_｛\alpha｝^｛n-1｝b_｛\alpha｝^｛1｝\int _｛0｝^｛t^｛[1]｝｝u（s）\，ds\\&｛｝+\cdots+\ begin｛pmatrix｝n\\n-1结束{pmatrix}a{\alpha}^{1}b{\alfa}^{n-1}\int_{0}^{t^{[n-1]}}u（s）\，ds+\开始{pmatrix}n\\结束{pmatrix}a{\alpha}^{0}b{\alfa}^{n}\int_{0}^{t^{[n]}}u（s）\，ds\\={}&\sum_{i=0}^}开始{pmatrix}n\\i结束{pmatrix}a{\alpha}^{n-i}b{\alfa}^{i}\int_{0}^{t^{[i]}u（s）\，ds \\={}&\sum_{i=0}^}开始{pmatrix}n\\i结束{pmatrix}a{alpha}^{n-i}b{alpha}^{i} J型^{i} u个（t） ●●●●。\结束{对齐}$$
下面我们介绍手稿的主要结果。
引理3.1
让
\（在H^{1}（0,1）中为u{1},v{1}\）
和
我
实数服从
\（\vert u_{1}（s）-v_{1neneneep（s）\vert\leq L\）
为所有人
\（[0,1]\中的秒）.因此,\（\垂直^{CF}D^{α^{[n]}}u_{1}（s）-{^{CF}D^{α_{[n]}}v_{1{s）\vert\leq\frac{（2-\alpha）^{n}}{（1-\alpha）^{2n}}L\）
为所有人
\（[0,1]\中的秒）.这个结果意味着
\（\垂直^{CF}D^{\alpha^{[n]}}u_{1}（s）\vert\leq\frac{（2-\alpha）^{n}}{（1-\alpha）^{2n}}L\）
为所有人
\（[0,1]\中的秒）
无论何时
\（H^{1}（0,1）中的u_{1}\）
具有
\（\vert u_｛1｝（s）\vert\leq L\）
对一些人来说
\（L\geq0\）
以及所有
\（[0,1]\中的秒）.
引理3.2
让
\（在H^{1}（0,1）中为u{1},v{1}\）
具有
\（u{1}（0）=v{1}（0）\）
和
La实数实现
\（\vert u_{1}（s）-v_{1neneneep（s）\vert\leq L\）
为所有人
\（[0,1]\中的秒）.因此,\（\垂直^｛立方英尺｝D^｛\alpha^｛[n]｝｝u_｛1｝（s）-｛^｛CF｝D^｛\alpha^｛[n]｝v_｛1｝（s）\vert\leq\frac｛1｝｛（1-\alpha^｛2n｝L\）
为所有人
\（[0,1]\中的秒）.这个结果意味着
\（\垂直^{CF}D^{\alpha^{[n]}}u_{1}（s）\vert\leq\frac{1}{（1-\alpha）^{2n}}L\）
为所有人
\（[0,1]\中的秒）
无论何时
\（H^{1}（0,1）中的u_{1}\）
具有
\（u{1}（0）=0\）
和
\（\vert u_{1}（s）\vert\leq L\）
对一些人来说
\（L\geq0\）
以及所有
\（[0,1]\中的秒）.
引理3.3
让
\（C_{mathbb{R}}[0,1]\中的u{1}，v{1}\）
而且有
\（L\geq0\）
令人满意的
\（\vert u_{1}（s）-v_{1neneneep（s）\vert\leq L\）
为所有人
\（[0,1]\中的秒）.因此,\（\垂直^{CF}一^{\alpha^{[n]}}u{1}（s）-{}^{CF}一^{\alpha^{[n]}}v_{1}（s）\vert\leq L\）
为所有人
\（[0,1]\中的秒）.
这个结果意味着\（\垂直^｛立方英尺｝I^{\alpha^{[n]}}u_{1}（s）\vert\leq L\）为所有人\（[0,1]\中的秒）无论何时\（C_{\mathbb{R}}[0,1]\中的u）具有\（\vert u_{1}（s）\vert\leq L\）对一些人来说\（L\geq0\）以及所有\（[0,1]\中的秒）.
引理3.4
让
\（0<α<1）
和
\（u，v在H^{1}（0,1）中）.这个问题
\(^｛立方英尺｝D^{\alpha^{[n]}}u（t）=v（t）\）,\（u（0）=0）,具有以下独特的解决方案:\（u（t）=（a{\alpha}+b{\alha}Jv（t））^{[n]}）,哪里
\(^{CF}D^{\字母^{[n]}\）
由定义(∗).
证明
通过使用引理2.1对于\（^{CF}D^{\alpha}u（t）=v（t）\），我们得到\（u（t）=a{\alpha}v（t）+b{\alha}\int{0}^{t}v（s）\，ds\）.也通过使用引理2.1对于\(^{CF}D^{\alpha^{[2]}}u（t）=v（t）\），我们获得\(^{CF}D^{\α}u（t）=a{\α{v（t）+b{\α\int_{0}^{t}v（s）\，ds\）因此，
$$开始{对齐}u（t）={}&a{\alpha}\biggl（a{\alpha}v（t）+b{\alba}\int_{0}^{t}v（s）\，ds\biggr）+b_{\alfa}\int_0}^{t}\bigl（a{\ alpha}v&a{\alpha}^{2}v（t）+2a{\alpha}b_{\alalpha}\int_{0}^{t}v（s）+b_{\alpha}\int_{0}^{t}v（s）\，ds\biggr）^{[2]。\结束{对齐}$$
假设\（u（t）=（a{\alpha}+b{\alha}Jv（t））^{[n]}）是方程的解\(^{CF}D^｛\alpha^｛[n]｝｝u（t）=v（t）\）。我们证明了这一点\（u（t）=（a{\alpha}+b{\alha}Jv（t））^{[n+1]}）是方程的解\(^{CF}D^{\alpha^{[n+1]}}u（t）=v（t）\）.
如果\(^{CF}D^{\字母^{[n]}}(^{CF}D^｛\alpha｝u（t））=v（t）\），然后\(^{CF}D^{阿尔法}u（t）=（a{阿尔法}+b{阿尔法}Jv（t））^{[n]}因此，
$$开始{对齐}u（t）={}&a{\alpha}\bigl（a{\alpha}+b{\alalpha}Jv（t）\bigr）^{[n]}+b_{\alfa}\int_{0}^{t}\bigle{pmatrix}n\\0\结束{pmatrix}一个_{\字母}^{n} b条^{0}_{\alpha}\int_{0}^{t^{[0]}}v（s）\，ds+\开始{pmatrix}n\\1\end{pmatrix}a{\alpha}^{n-1}b{\alfa}^{1}\int_{0}^{t^{[1]}v（s）\，ds\\&{}+\cdots+\begin{pmatrix}n\\n-1结束{pmatrix}a{\alpha}^{1}b{\alfa}^{n-1}\int_{0}^{t^{[n-1]}v（s）\，ds+\开始{pmatrix}n\\结束{pmatrix}a{\alpha}^{0}b_{\alfa}^{n}\int_{0}^{t^{[n]}v（s）\，ds\Biggr]\\&{}+b_{\ alpha}\Biggl[\begin{pmatrix}n\\0\结束{pmatrix}一个_{\字母}^{n} b条^{0}_{\alpha}\int_{0}^{t^{[1]}}v（s）\，ds+\开始{pmatrix}n\\1\end{pmatrix}a{\alpha}^{n-1}b{\alfa}^{1}\int_{0}^{t^{[2]}v（s）\，ds\\&{}+\cdots+\begin{pmatrix}n\\n-1结束{pmatrix}a{\alpha}^{1}b{\alfa}^{n-1}\int_{0}^{t^{[n]}v（s）\，ds+\开始｛pmatrix｝n\\结束{pmatrix}a{\alpha}^{0}b_{\alfa}^{n}\int_{0}^{t^{[n+1]}v（s）\，ds\Biggr]\\={}&\begin{pmatrix}n\\0\结束{pmatrix}一个_{\alpha}^{n+1}b^{0}_{\alpha}\int_{0}^{t^{[0]}}v（s）\，ds+\left[\begin{pmatrix}n\\1\end{pmatrix}+\开始{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}\right]a{\alpha}^{n}b_{\alfa}^{1}\int_{0}^{t^{[1]}}v（s）\，ds\\&{}+\cdots+\left[\begin｛pmatrix｝n\\n\end｛pmatrix｝+\开始{pmatrix}n\\n-1\end{pmatrix}\right]a{\alpha}^{1}b{\alfa}^{n}\int_{0}^{t^{[n]}v（s）\，ds+\开始{pmatrix}n\\结束{pmatrix}a{\alpha}^{0}b{\alfa}^{n+1}\int_{0}^{t^{[n+1]}v（s）\，ds\\={}&\开始{pmatrix}n+1\\0结束{pmatrix}a{\alpha}^{n+1}b^{0}_{\alpha}\int_{0}^{t^{[0]}}v（s）\，ds+\开始{pmatrix}n+1\结束{pmatrix}a{\alpha}^{n}b{\alfa}^{1}\int_{0}^{t^{[1]}}v（s）\，ds\\&{}+\cdots+\begin{pmatrix}n+1\n\end{pmatrix}+a{\alpha}^{1}b_{\alfa}^{n}\int_{0}^{t^{[n]}v（s）\，ds\\&{}+\开始{pmatrix}n+1\\n+1\end{pmatrix}a{\alpha}^{0}b{\alfa}^{n+1}\int_{0}^{t^{[n+1]}v（s）\，ds\\={}&\bigl（a{\alpha}+b{\阿尔法}Jv（t）\bigr）^{[n+1]}\end对齐}$$
等等\（u（t）=（a{\alpha}+b{\alha}\int_{0}^{t}v（s）\，ds）^{[n]}=（a}\alpha{+b{\ alpha}Jv（t））^{n]}\）为所有人保留n个. □
在最后的结果中，我们使用了一些符号，例如\（\nint_{0}^{t^{[n]}}u（s）\，ds\），由介绍(∗∗). 我们需要以下结果。
引理3.5
[17]
假设
\（t\in\Bbb｛R｝\）,然后
\（e^{t}=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{t^{i}{i！}\）
对于
\（0<\vert t\vert<\infty\）,\（t\Pi_{i=1}^{\infty}（1-\frac{t^{2}}{i^{2{）=\operatorname{sin}t（正弦）\)
和
\（\Pi_{i=1}^{\infty}（1-\frac{4t^{2}}{（2i-1）^{2neneneep \Pi^{2{}）=\operatorname{cos}吨\).
让\（\gamma，\lambda:[0,1]\times[0,1]\到[0，\infty）\）用表示两个连续映射\（\sup_｛r\in I｝\vert\int_｛0｝^｛t｝\lambda（r，s）\，ds\vert<\infty\）和\（\sup_｛r\in I｝\vert\int_｛0｝^｛r｝\gamma（r，s）\，ds\vert<\infty\）分别是。
让ϕ和φ是两个定义为\（（φu）（r）=\int_{0}^{r}\gamma（r，s）u（s）\，ds\）和\（（\varphi u）（r）=\int_{0}^{r}\lambda（r，s）u（s）\，ds\）分别是。让\（在L^{\infty}（I）中）具有\（\ta^{\ast}=\sup_{t\inI}\vert\eta（t）\vert\）和\（k，h）和克连续打开\([0,1]\)具有\（M_{1}=\sup_{t\in I}\vert k（t）\vert\）,\（M_{2}=\sup_{t\in I}\vert h（t）\vert\）和\（M_{3}=\sup_{t\in I}\vert g（t）\vert\）.放置\（\gamma{0}=\sup\vert\int_{0}^{t}\gamma（t，s）\，ds\vert\）和\（\lambda{0}=\sup\vert\int_{0}^{t}\lambda（t，s）\，ds\vert\）下面我们研究分数阶积分微分问题
$$\开始{对齐}^{CF}D^{\alpha^{[n]}}z（s）={}&\muk（s）{}^{CF}D^{\beta^{[m]}}\bigl（z（s）+h（s）{}^{CF}D^{\gamma^{[p]}}z（s）\大^{CF}一^{\θ^{[q]}}z（s），g（s）{}^{CF}D^{\delta^{[r]}}z（s）\bigr）\end{对齐}$$
(1)
具有\（z（0）=0\）在某些条件下，其中\（\mu>1\）和\（α、β、γ、θ、δ在（0,1）中）以及\（n，m，p，q，r\geq1）.自\(^{CF}D^（H^{1}中的{\alpha^{[n]}}u）为所有人n个，右手也是。
定理3.6
让
\（f:[0,1]\times\Bbb{R}^{5}\ to \Bbb{R}\）
是一个连续函数，以便
$$\beign｛aligned｝&&bigl\vert f（t_｛1｝，x_｛1｝，y_｛1｝，w_｛1｝，u_｛1｝，u_｛2｝）-f\bigl（t_｛1｝，x_｛1｝^｛\prime｝，y_｛1｝^｛\prime｝，w_｛1｝^｛\prime｝，v_｛1｝，v_｛2｝\bigr）\bigr\vert \\&&quad\leq\eta（t_｛1｝）\bigl（\bigl\vert x_{1} -x_{1} ^{\prime}\bigr\vert+\bigl\vert y_{1} -年_{1} ^{\prime}\bigr\vert+\bigl\vert w_{1} -周_{1} ^{\prime}\bigr\vert+\vert u_{1} -v型_{1} \vert+\vert u_{2} -v型_{2} \vert\bigr）\end{对齐}$$
为所有人
\（I\中的t_{1}\）
和
\（在Bbb{R}中，x{1}，y{1}.，w{1}.x{1{^{prime}.，y{1\prime}，w{1'，u{1},u{2}，v{1}，v{2}.）.然后是所述的问题(1)在以下情况下具有近似解
\（δ=\eta^{*}（2+\gamma_{0}+\lambda_{0{+\frac{M_{3}}{（1-{\Delta}）^{2r}}）+{\mu}（\frac{M_{1} M（M）_{2} }{（1-{\gamma}）^{2p}（1-}\beta}）.
证明
让\（H^{1}\）配备有\（d（z，v）=\垂直z-v\垂直\）在X，因此\（\Vert z\Vert=\sup_{t\in I}\Vert z（t）\Vert\）.让\（F:H^{1}\到H^{1\）是定义如下的映射：
$$\开始{对齐}（Fz）（t）={}&\biggl（a_{\alpha}+b_{\alpha}\int_{0}^{t}\bigl[\muk（s）{}^{CF}D^{\beta^{[m]}}\bigl（z（s）+h（s）{}^｛立方英尺｝D^{\gamma^{[p]}}z（s）\大^{CF}一^{\θ^{[q]}}z（s），g（s）{}^{CF}D^{\delta^{[r]}}z（s）\bigr）\biger]\，ds\biggr）^{[n]}，\end{对齐}$$
哪里\（a{\alpha}\）和\（b_{\alpha}\）引理中介绍了2.1和符号\(^｛立方英尺｝I^｛θ^｛[q]｝z（s）\）和\(^{CF}D^{\伽马^{[p]}}z（s）\）由介绍(∗)和(∗∗). 通过使用引理3.2和3.3，我们得到
$$\开始{aligned}&\bigl\vert\mu k（s）{}^{CF}D^{\beta^{[m]}}\bigl（z（s）+h（s）{}^{CF}D^{\gamma^{[p]}}z（s）\大^{CF}一^{\θ^{[q]}}z（s），g（s）{}^{CF}D^{\delta^{[r]}}z（s）\bigr）\\&\qquad{}-\mu k（s）{}^{CF}D^{\beta^{[m]}}\bigl（v（s）+h（s）{}^{CF}D^{\gamma^{[p]}}v（s）\bigr^{CF}一^{\θ^{[q]}}v（s），g（s）{}^{CF}D^{\delta^{[r]}}v（s）\bigr）\biger\vert\\&\quad\leq\mu\bigl\vert\bigl\ vert k（s）\ bigr\vert^｛立方英尺｝D^{\beta^{[m]}}\bigl（z（s）+h（s）{}^{CF}D^{\gamma^{[p]}}z（s）\biger）-{}^{CF}D^{\beta^{[m]}}\bigl（v（s）+h（s）{}^{CF}D^{\gamma^{[p]}}v（s）\bigr^{CF}一^{\θ^{[q]}}z（s），g（s）{}^{CF}D^｛\delta^｛[r]｝｝z（s）\bigr）\\&\qquad｛｝-f\bigl（s，v（s），（\phi v）（s），（\varphi v）（s），｛｝^｛立方英尺｝I^{\θ^{[q]}}v（s），g（s）{}^{CF}D^{\delta^{[r]}}v（s）\bigr）\biger\vert\\&\quad\leq\mu\bigl[\bigl\vert k（s）\ bigr\vert\bigl^{CF}D^{\beta^{[m]}}\bigl（z（s）-v（s）\bigr^{CF}D^{\beta^{[m]}}\bigl(^{CF}D^{\gamma^{[p]}}\bigl（z（s）-v（s）\bigr bigr\vert+\bigl\vert^{CF}一^{\θ^{[q]}}z（s）-{}^{CF}一^{\theta^{[q]}}v（s）\bigr\vert+\bigl\vert g（s）\ bigr\overt\bigl\ vert^{CF}D^{\增量^{[r]}}z（s）-{}^{CF}D^{\delta^{[r]}v（s）\bigr\vert\bigr]\\&\quad\leq\biggl[\eta^{*}\biggl（2+\gamma_{0}+\lambda_{0{+\frac{3}}{（1-{\delta}）^{2r}}\bigr）+{\mu}\bigl（\frac}M_{1} M（M）_{2} }{（1-{\gamma}）^{2p}（1-}\beta}）_{2m}}+\frac{M_1}}{。\结束{对齐}$$
自\（z（0）=0），我们获得
$$开始{对齐}和\bigl\vert（Fz）（t）-（Fv）（t&\qquad{}+{\mu}\biggl（\frac{M_{1} M（M）_{2} }{（1-{\gamma}）^{2p}（1-}\beta}）{2m}}+\frac{M_1}}{$$
等等
$$开始{对齐}和\Vert Fz-Fv\Vert\\&\quad\leq（a_{\alpha}+b_{\alpha}_{1} 米_{2} }{（1-{\gamma}）^{2p}（1-}\beta}$$
为所有人\（I中的t）和\（z，v在H^{1}中）.定义映射\（g:[0，\infty）^{5}\到[0，\ infty（）\）和\（\alpha:H^{1}\乘以H^{1\到[0，\infty）\）通过\（g（x{1}，x{2}，x{3}，x{4}，x{5}）=\frac{\Delta}{9}（3x{1{2}+4x{3}）和\（α（x，y）=1）为所有人\（x，y\在H^{1}\中）和\（x{1}，\点，x{5}\在[0，\infty中）\）可以很容易地检查\（g\in\mathcal｛R｝\）此外，我们得出的结论是F类表示广义α-收缩图。来自定理2.2，我们得出结论F类具有近似不动点，它是(1). □
假设函数k个,秒,小时,克和q个限定于\([0,1]\)具有\（M_{1}=\sup_{t\in I}\vert k和\（M_{5}=\sup_{t\in I}\vert q（t）\vert<\infty\）现在我们讨论以下问题：
$$\开始{对齐}^{CF}D^{\alpha^{[n]}}u（r）={}&\lambdak（r）{}^{CF}D^{\beta^{[m]}}u（r）+{\mu}s（r）{}^{CF}一^{\rho^{[p]}}u（r）\\&{}+\sum_{i=0}^{\infty}\frac{^{CF}D^{\theta^{[i]}}f{1}（r，u（r），（\phiu）（r）和h（r）{}^{CF}一^{\nu^{[q]}}u（r），g（r）{}^{CF}D^{\delta^{[r]}}u（r））}{i！}\\&{}+\int_{0}^{r}f{2}\Biggl（s，u（s），（\varphi u）（s）{^{CF}D^{\gamma^{[i]}}u（s）}{d^{i}}\Biggr）\，ds\结束{aligned}$$
(2)
具有\（u（0）=0\）在某些条件下，其中\（\lambda，\mu\geq0）,\（α、β、ρ、θ、nu、δ在（0,1）中）,\（\vert\frac{1}{d（1-\gamma）^{2}}\vert<1\）和\（n，m，p，q，r，k\geq1）.功能k个,秒,小时,克和q个也许不是连续的，但右手(2)应该是的成员\（H^{1}\）因为\(^｛立方英尺｝D^｛\alpha^｛[n]｝｝u\在H^｛1｝中）.
定理3.7
假设
\（f_{1}:[0,1]\times\Bbb{R}^{4}\rightarrow\Bbb{R}\）
和
\（f_{2}:[0,1]\times\Bbb{R}^{3}\rightarrow\Bbb{R}\）
是可积函数，因此
$$\begin{aligned}和\bigl\vert f_1}（t_1}，x_1}、y_{1}、w_1}和v_1}）-f_1}\bigl x{1}-x{1{^{\prime}\bigr\vert+\xi{2}\bigl\verty_1}-y{1}^{\prime}\bigr\vert+\xi_{3}\bigle\vert w_{1} -w个_{1} ^{\prime}\bigr\vert+\xi_{4}\bigl\vertv_1}-v_1}^{\prime}\bigr\vert，\\&\bigl\ vertf_2}（t_{1}，x_1}，y_1}bigr）\bigr\vert\\&\quad\leq\xi{1}^{prime}\bigl\vertx{1}-x{1{^{prime}\bigr\ vert+\xi{2}^{prime}\bigl\vertyy{1}-y{1{^{primer}\bigr\vert+\xi^{\prime}_{3}\bigl\vert w_{1} -w个_{1} ^{\prime}\bigr\vert\end{aligned}$$
对于一些非负实数
\（lambda，\mu，\xi{1}，\xi{2}，\ xi{3}，\fi{4}，\ti^{prime}{1}，\fi^{prime}{2}，\xi^{prime}{3}\）
以及所有
\（x{1}，y_1}，w_1}
和
\（I中的t）.如果
\（δ=[\lambda\frac{M_1}}{（1-\beta）^{2m}}+\muM_2}+e^{frac{1}{{1}^{\素数}+\xi{2}^{\prime}\lambda{0}+\frac{\xi{3}^{素数}\，d（1-\gamma）^{2}M_{5}{d（1-\ gamma^{2}-1}]<1\),然后是所述的问题(2)具有近似解.
证明
让\（H^{1}\）配备有\（d（z，v）=\垂直z-v\垂直\），因此\（\Vert z\Vert=\sup_{t\in I}\Vert z（t）\Vert\）.定义地图\（F:H^{1}\到H^{1\）通过
$$\开始{对齐}（Fz）（t）={}&\Biggl（a_{\alpha}+b_{\alpha}\int_{0}^{t}\Biggl[\lambda k（s）{}^｛立方英尺｝D^{\beta^{[m]}}z（s）+{\mu}s（s）{}^{CF}一^{\rho^{[p]}}z（s）\\&{}+\sum{i=0}^{\infty}\frac{^{CF}D^{\theta^{[i]}}f{1}（s，z（s），（\phiz）（s）和h（s）{}^{CF}一^{\nu^{[q]}}z（s），g（s）{}^{CF}D^{\delta^{[r]}}z（s））}{i！}\\&{}+\int_{0}^{s}f{2}\bigl（r，z（r），（\varphiz）（r）{^{CF}D^｛\gamma ^｛[i]｝｝z（r）｝｛d^｛i｝｝\，dr\Biggr]\，ds\Biggr）^｛[n]｝。\结束{对齐}$$
通过使用引理3.2,3.3和3.5，我们得到
$$\开始{aligned}&\Biggl\vert\Biggl[\lambda k（s）{}^{CF}D^{\beta^{[m]}}z（s）+{\mu}s（s）{}^{CF}一^{\rho^{[p]}}z（s）\\&\qquad{}+\sum{i=0}^{\infty}\frac{^{CF}D^{\theta^{[i]}}f{1}（s，z（s），（\phiz）（s）和h（s）{}^{CF}一^{\nu^{[q]}}z（s），g（s）{}^{CF}D^{\delta^{[r]}}z（s））}{i！}\\&\qquad{}+\int_{0}^{s}f{2}（r，z（r），（\varphiz）（r）{^{CF}D^{\gamma^{[i]}}z（r）}{2^{i}}\，dr\Biggr]\\&\qquad{}-\Biggl[\lambdak（s）{}^{CF}D^{\beta^{[m]}}v（s）+{\mu}s（s）{}^{CF}一^{\rho^{[p]}}v（s）\\&\qquad{}+\sum{i=0}^{\infty}\frac{^{CF}D^{\theta^{[i]}}f{1}（s，v（s），（\phiv）（s）和h（s）{}^{CF}一^{\nu^{[q]}}v（s），g（s）{}^{CF}D^{\delta^{[r]}v（s）}{i！}\\&\qquad{}+\int_{0}^{r}f{2}（r，v（r），（\varphi v）（r）{^{CF}D^{\gamma^{[i]}}v（r）}{d^{i}}\，dr\Biggr]\Biggr\vert\\&\quad\leq\lambda\bigl\vert k（s）\bigr\vert\bigl\vert^｛立方英尺｝D^{\beta^{[m]}}\bigl（z（s）-v（s）\bigr）\biger\vert+{\mu}\bigle\verts（s）\ bigr\vert\bigl\vert^{CF}一^{\rho^{[p]}}\bigl（z（s）-v（s）\biger）\bigr\vert\\&\qquad{}+\Biggl\vert\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{i^{CF}一^{\nu^{[q]}}z（s），g（s）{}^{CF}D^{\delta^{[r]}}z（s）\大^{CF}一^{\nu^{[q]}}v（s），g（s）{}^{CF}D^｛\delta^｛[r]｝｝v（s）\bigr）\bigr]\Biggr\vert\\&&\qquad｛｝+\int_｛0｝^｛s｝\Biggl\vert f_｛2｝（r，z（r），（\varphi z）（r），q（r）\sum_｛i=0｝^｛infty｝\frac{^｛立方英尺｝D^{\gamma^{[i]}}z（r）}{d^{i}}\\&\qquad{}-f{2}（r，v（r），（\varphi v）（r）{^{CF}D^{\gamma^{[i]}v（r）}{d^{i}}\Biggr\vert\，dr\\&\quad\leq\lambda\frac{M_{1}}{（1-\beta）^{2m}}\Vertz-v\vert+\mu M_{2}\vert z-v\ vert\\&\qquad\}+\sum_{i=0}^{\infty}\frac}{1}{i！（1-\theta）^2i}}}\biggl（\xi_{1}\Vertz-v\vert+\xi_}2}\gamma_{0}\vert z-v\ vert+\ xi_{3}M_{3{3}\ Vertz-v\vert+/xi_{4}\ frac{M_{4{}{（1-\ delta）^{2r}}\Vert z-v\Vert\biggr）\\&\qquad{}+\xi_{1}^{prime}\Vert z-v\Vert+\xi_{2}^{prime}\lambda_{0}\Vertz-v\ Vert+\sum_{i=0}^{\infty}\frac{\xi_}3}^{\ prime}M_{5}{d^{i}（1-\gamma）^{2i}}quad=\biggl[\lambda\frac{M_1}}{（1-\beta）^{2m}}+\muM_2}+e^{frac{1}{+\xi{3}M_{3}+\xi_{4}\frac{M_{4{}{（1-\delta）^{2r}}\biggr）\\&\qquad{}+\xi{1}^{\prime}+\xi{2}^{\ prime}\lambda{0}+\frac}\xi{3}^{prime}\，d（1-\gamma）^{2}M_{5}{d（1-\ gamma^{2}-1}\biggr]\Vert z-v\Vert\\&\quad=\Delta\Vert z-v\Vet。\结束{对齐}$$
自\（z（0）=v（0）\）,\（\vert（Fz）（t）-（Fv）（t）\vert\leq（a_{\alpha}+b_{\alpha}\int_{0}^{t}\Delta\vert z-v\vert\，ds）^{[n]}\）因此，\（\垂直Fz-Fv\垂直\leq\增量\垂直z-v\垂直\）为所有人\（I中的t）和\（z，v在H^{1}中）.定义映射\（g:[0，\infty）^{5}\到[0，\ infty（）\）和\（\alpha:H^{1}\乘以H^{1\到[0，\infty）\）通过\（g（x{1}，x{2}，x{3}，x{4}，x{5}）=\frac{\Delta}{9}（3x{1{2}+4x{3}）和\（α（x，y）=1）为所有人\（z，v在H^{1}中）和\（x{1}，\点，x{5}\在[0，\infty中）\）可以很容易地检查\（g \ in \ mathcal{R}\）通过简单的计算，我们证明了F类表示广义α-收缩图。此外，从定理2.2，我们得出结论F类具有近似不动点，表示(2). □
下面我们展示两个示例。
示例3.1
让地图\（L^{infty}（[0,1]）中的\eta_{1}\）和\（\gamma{1}，\lambda{1}:[0,1]\times[0,1]\到[0，\infty）\）是\（eta{1}（t）=\frac{e^{-（\pit+16）}}{2}\）,\（\gamma{1}（t，s）=e^{t-s}\）和\（\lambda{1}（t，s）=e^{\operatorname{ln}（\vert 2t-s\vert+1）}\）。那么\（\eta^{*}=\frac{1}{2e^{16}}，\gamma{0}\leqe）和\（\lambda_{0}\leqe^{\operatorname{ln}（3）}\）现在，把\（\mu=\frac{1}{e^{16}}\）,\（\alpha=\frac｛1｝｛3｝\）,\（β=\frac｛1｝｛4｝，γ=\frac｛3｝｛5｝\）,\（θ=frac{6}{7}）,\（δ=frac{1}{2}\）,\（n=61）,\（m=3）,\（p=2\）,\（q=57）和\（r=73）.让\（k{1}（t）=\运算符名称{sin}（t）\）,\（h{1}（t）=\压裂{t-2}{2t+1}\）和\（g{1}（t）=\压裂{1}{2^{141}}\操作员姓名{tan}^{-1}（t）\）是两个函数。然后\（M_{1}=\sup_{t\in I}\vertk_{1{（t）\vert=1，M_{2}=\sop_{t\inI}\ verth_{1neneneep（t）\ vert=2\）和\（M_{3}=I}\vertg{1}（t）\vert=frac{\pi}{2^{142}}\）让我们讨论一下
$$\开始{对齐}^{CF}D^{\frac{1}{3}^{[61]}}u（t）={}&\frac}{e^{16}}\operatorname{sin}t（正弦）^{CF}D^{\压裂{1}{4}^{[3]}\biggl（u（t）+\压裂{t-2}{2t+1}^{CF}D^{\压裂{3}{5}^{[2]}}u（t）\biggr）\\&{}+\压裂{e^{-（\pit+16）}}{2}\biggl[2t+\frac{1}{8} u个（t） +\frac{5}{11}\int_{0}^{t}e^{t-s}u（s）\，ds+\int_}0}^{t} e（电子）^{\operatorname{ln}（\vert2t-s\vert+1）}u（s）\，ds\\&{}+\frac{1}{e^{6}}{}^｛立方英尺｝I^{\压裂{6}{7}^{[57]}}u（t）+\压裂{1}{2^{141}}\操作员姓名{tan}^{-1}（t）{}^{CF}D^{\frac{1}{2}^{[73]}}u（t）\biggr]\end{aligned}$$
(3)
具有\（u（0）=0）.让\（f（t{1}，x{1}.，y{1}.w{1}，u{1},u{2}）=\frac{e^{-（\pit{1{+6）}}{2}在我们的情况下\（δ=[\eta^{*}（2+\gamma_{0}+\lambda_{0{+\frac{M_{3}}{（1-{\Delta}）^{2r}}）+{\mu}（\frac}M_{1} M（M）_{2} {（1-{\gamma}）^{2p}（1-}\beta}）现在使用定理3.6, (三)有一个近似解。
示例3.2
让\（\gamma_｛1｝，\lambda\｛1｝：[0,1]\times[0,1]\到[0，\infty）\）是\（\gamma{1}（t，s）=\frac{t-s}{1+2t}\）和\（\lambda{1}（t，s）=\operatorname{sin}（t-s）e^{operatorname{ln}（\vert 2t-s\vert+1）}\）分别是。然后\（\gamma_{0}\leq1\）和\（\lambda_{0}\leqe^{\operatorname{ln}（3）}\）.放置\（\lambda=压裂{2}{2{，}037}\）,\（\mu=\frac{2}{421}\）,\（α=frac{1}{4}\）,\（β=frac{1}{2}\）,\（\rho=\压裂{1}{2}\）,\（θ=frac{1}{2}）,\（\nu=\frac{1}{4}\）,\（δ=frac{1}{4}\）,\（\gamma=\frac｛1｝｛2｝\）,\（n=7）,\（m=3）,\（p=2\）,\（q=3）,\（r=3\）,\（d=12）,\（\xi_{1}=\压裂{3}{6{，}041}\）,\（\xi_{2}=\压裂{1}{5{，}920}\）,\（\xi_{3}=\压裂{1}{803}\）,\（\xi_{4}=\frac{1}{e^{18}}\）,\（素数}{1}=frac{2}{10^{6}}）,\（\xi^{\prime}{2}=\frac{e}{\pi^{11}}）和\（｛xi^｛\prime｝_｛3｝=｛frac｛1｝｛600｝）现在，考虑一下这些功能\（k（t）=ln（2+t））,\（s（t）=1）,\（h（t）=1）,\（g（t）=e^{\operatorname{sin}\pit}\）,\（q（t）=压裂{1}{432}）什么时候\（x\在{\mathbb{Q}}\cap[0,1]\中）和\（q（t）=0）什么时候\（x\在{\mathbb{Q}}^{c}\cap[0,1]\中）.那么我们有\（M_{1}=\sup_{t\in I}\vert k（t）\vert=\ln3\）,\（M_｛2｝=\sup_｛t\ in I｝\vert s（t）\vert=1\）,\（M_｛3｝=\sup_｛t\ in I｝\vert h（t）\vert=1\）,\（M_{4}=\sup_{t\in I}\vert g（t）\vert=e\）和\（M_{5}=\sup_{t\inI}\vertq（t）\vert=\frac{1}{432}\）现在，考虑积分微分问题
$$\开始{对齐}^{CF}D^{\压裂{1}{4}^{[7]}}z（t）={}&\压裂{2}{2{，}037}\操作员姓名{ln}（2+t）{}^{CF}D^{\压裂{1}{2}^{[3]}z（t）+\压裂{2}{421}{}^{CF}一^{\frac{1}{2}^{[2]}}z（t）\\&{}+\sum{i=0}^{\infty}\frac}1}{i！}{}^{CF}D^{\压裂{1}{2}^{[i]}}\biggl（\压裂{2}{91}吨+\压裂{3}{6{，}041}z（t）+\压裂{1}{5{，{920}\int_{0}^{t}\frac{t-s}{1+2t}\，ds\\&{}+\压裂}1}{803}{}^{CF}一^{\frac{1}{4}^{[3]}z（t）+\frac}{e^{18}}e^{\operatorname{sin}\pit}（t）{}^{CF}D^{\frac{1}{4}^{[3]}z（t）\biggr）\\&{}+\int_{0}^{t}\Biggl[s+\frac{2z（s）}{10^{6}+\frac}e}{\pi^{11}}\int_}0}^}s}\operatorname{sin}（t-s）e^{operatorname{ln}（\vert2s-r \vert+1）}z（r）\，dr \\&{}+\压裂{1}{600}平方（s） \sum_{i=0}^{\infty}\frac{^{CF}D^{\frac{1}{2}^{[i]}}z（s）}{12^{i}}\Biggr]\，ds\结束{aligned}$$
(4)
具有\（z（0）=0）.让\（f{1}（t{1}，x{1}.，y{1}.w{1},v{1}）=frac{2}{91}吨_{1} +\frac｛3｝｛6｝，｝041｝x_｛1｝+\frac｛1｝｛5｝，｝920｝y_｛1｝+\frac｛1｝{803}周_{1} +\压裂{1}{e^{18}}v{1}\）和\（f{2}（t{1}，x{1}.，y{1}.w{1}）=t{1{2}{10^{6}}x{1{1}+\压裂{e}{pi^{11}}y{1{+\压裂}1}{600}宽_{1}1\)此外，
$$\begin{aligned}\Delta={}&\biggl[\lambda\frac{M_{1}}{（1-\beta）^{2m}}+\mu M_{2}+e^{frac{1}{（1-\Delta）^{2r}}\biggr）\\&{}+\xi{1}^{prime}+\xi{2}^{prime}\lambda{0}+\frac{xi{3}^{\prime}，d（1-\gamma）^{2}-1}\biggr]\\<{}&0.179<1。\结束{对齐}$$
现在使用定理3.7，问题(4)具有近似解。
