现在，我们准备陈述并证明我们的主要成果。
引理2.1
假设
\（u，v在H^{1}（0,1）中）
存在一个实数
K（K）
这样的话
$$\bigl\vert u（t）-v（t）\bigr\vert\leq K$$
为所有人
\（在[0,1]\中）.然后
\（|{}^{\mathrm{CF}}D^{\alpha}u（t）-{{}^}\mathrm{CF}{}D^{\ alpha}v（t）|\leq\frac{2-\alpha{（1-\alpha）^{2}}K\）
为所有人
\（在[0,1]\中）.
证明
请注意
$$\开始{对齐}和{}^{\mathrm{CF}}D^{\alpha}u（t）\\&\quad=\frac{1}{1-\alpha}\int_{0}^{t}\exp\biggl（-\frac}\alpha{1\\alpha}（t-s）\biggr）u^{\prime}（s）\，ds\\&\quid=\frac{1}}{1-\ alpha}\exp\ biggl{1-\alpha}（t-s）\biggr）u（s）|{0}^{t}（t）-\压裂{1}{1-\alpha}\int_{0}^{t}\frac{\alpha{{1-\alpha}\exp\biggl u（0）-\frac{\alpha}{（1-\alpha）^{2}}\int_{0}^{t}\exp\biggl（-\frac{\alha}{1-\alfa}（t-s）\biggr）u（s）\，ds\end{aligned}$$
等等
$$\boot｛aligned｝｛｝^｛\mathrm｛CF｝｝D^｛\alpha｝u（t）-｛｝^｛\mathrm｛CF｝D^｛\alpha｝v（t）\leq｛｝&\frac｛1｝｛1-\alpha｝\bigl\vert\bigl（u（t）-v（t）\bigr）\bigr\vert+\frac｛1｝｛1-\alpha｝\biggl\vert\bigl\vert u（0）-v（0）\bigr\vert\\&｛｝+\frac｛\alpha｝｛（1-\alpha）^｛2｝｝\int_｛0｝^｛t｝\exp\biggl（-\frac｛\alpha｝{1-\alpha}（t-s）\biggr）\bigl\vert\bigl（u（s）-v$$
为所有人\（在[0,1]\中）因此，\（\vert{}^{\mathrm{CF}}D^{\alpha}u（t）-{}^}\mathrm{CF}{D^{\ alpha}v（t）\vert\leq（\frac{2-\alpha{{（1-\alpha）^{2}}）K\）为所有人\（在[0,1]\中）. □
如果\（u\在H^{1}（0,1）中\）并且存在\（K\geq0\）这样的话\（|u（t）|\leq K\）为所有人\（在[0,1]\中），然后使用最后一个结果，我们得到\（|{}^{mathrm{CF}}D^{alpha}u（t）|\leq（\frac{2-\alpha}{（1-\alpha）^{2}}）K\）为所有人\（在[0,1]\中）同样，通过检查上一个结果的证明，可以证明下一个引理。
引理2.2
假设
\（u，v在H^{1}（0,1）中）
具有
\（u（0）=v（0）\）
存在一个实数
K（K）
这样的话
\（|u（t）-v（t）|\leq K\）
为所有人
\（在[0,1]\中）.然后
\（|{}^{\mathrm{CF}}D^{\alpha}u（t）-{{}^}
为所有人
\（在[0,1]\中）.
引理2.3
假设
\（u，v\在C[0,1]\中）
而且有
\（K\geq0\）
这样的话
\（|u（t）-v（t）|\leq K\）
为所有人
\（在[0,1]\中）.然后
\（|{}^{\mathrm{CF}}I^{\alpha}u（t）-{}^}\mathrm{CF}{I^{\ alpha}v（t）|\leq K\）
为所有人
\（在[0,1]\中）.
证明
请注意，对于每个\（在[0,1]\中）我们有
$${}^{\mathrm{CF}}I^{\alpha}u（t）-{}^}\mathrm{CF}{I^{\ alpha}v（t）=a_{\alfa}\bigl（u（t$$
哪里\（a{\alpha}\）和\（b_{\alpha}\）在引理中给出1.2。这就完成了证明。□
如果u个是的元素\（C[0,1]\）这样的话\（|u（t）|\leq K\）对一些人来说\（K\geq0\）以及所有\（在[0,1]\中），那么最后的结果意味着\（|{}^{\mathrm{CF}}I^{\alpha}u（t）|\leqK\）为所有人\（在[0,1]\中）.
引理2.4
让
\（b>0\）
被给予和
\（0\leq\alpha\leq1\）.如果
u个
是的元素
\（H^{1}（0，b）\）
这样的话
\（u（0）=0）,\（u^{prime}（0）=0\）,\（在H^｛1｝（0，b）\中的u^｛\prime｝\）
和
\（H^{1}（0，b）中的{}^{\mathrm{CF}}D^{\alpha}u\）,然后
\（{}^{\mathrm{CF}}D^{1}^{1} 单位（t） ）=a{\alpha}u^{\prime}（t）+b{\alba}u（t）
和
\（（（{}^{\mathrm{CF}}D^{\alpha}u（t））^{\prime}={}^}\mathrm{CF}{D^{\ alpha}u^{\prime}（t）\）
为所有人
\（t \geq0）.如果
\（u^{\prime\prime}（t）\geq0\）
为所有人
\（t \geq0）,然后
\（{}^{\mathrm{CF}}D^{\alpha}u\）
正在上增加
\（[0，b]\）.阿尔索,\（{}^{\mathrm{CF}}D^{\alpha}u\）
正在上减少
\（[0，b]\）
无论何时
\（u^{\prime\prime}（t）\leq0\）
为所有人
\（t\geq0\）.
证明
请注意\（{}^{\mathrm{CF}}I^{\alpha}^{1} u个（t） ）=a{\alpha}u^{\prime}（t）+b{\alba}\int_{0}^{t}u^}\prime{（s）\，ds=a{\ alpha}u^{\ prime}（t）+b{\alpha}u（t）\）和
$$开始{对齐}{}^{\mathrm{CF}}D^{1}\bigl素数}（t）+b{\alpha}\biggl（\int_{0}^{t}u（s）\，ds\biggr）^{\prime}\\&=a{\alfa}u^{\prime}（t）+b}\alpha{u（t）\end{aligned}$$
为所有人\（t \geq0）。此外，\（（{}^{\mathrm{CF}}D^{\alpha}u（t））^{\prime}={}^}\mathrm{CF}D^{1}}D^{\alpha}u^{\prime}（t）\）为所有人\（t \geq0）.自\（（（{}^{\mathrm{CF}}D^{\alpha}u（t））^{\prime}={}^}\mathrm{CF}{D^{\ alpha}u^{\prime}（t）=\frac{1}{1-\alpha}\int_{0}^{t}\exp（-\frac}\alpha{1\\alpha}（t-s））u^{\ prime\prime{（s）\，ds\）为所有人\（t \geq0），我们看到了\（{}^{\mathrm{CF}}D^{\alpha}u\）正在上增加\（[0，b]\）无论何时\（u^{\prime\prime}（t）\geq0\）为所有人\（位于[0，b]\中）。此外，\（{}^{\mathrm{CF}}D^{\alpha}u\）正在上减少\（[0，b]\）无论何时\（u^{\prime\prime}（t）\leq0\）为所有人\（位于[0，b]\中）. □
注意，条件\（H^{1}（0，b）中的u^{\prime}\）和\（｛｝^｛\mathrm｛CF｝｝D^｛\alpha｝u\在H^｛1｝（0，b）\中）在引理中2.4只需在u个.让\（\gamma，\lambda:[0,1]\times[0,1]\to[0，\infty）\）是两个连续的映射，这样\（I}|\int_{0}^{t}\lambda（t，s）\，ds|<\infty\）和\（I}|\int_{0}^{t}\gamma（t，s）\，ds|<\infty\）考虑地图ϕ和φ由定义\（（φu）（t）=\int_{0}^{t}\gamma（t，s）u（s）\，ds\）和\（（\varphi u）（t）=\int_{0}^{t}\lambda（t，s）u（s）\，ds\）。在本文中，我们将\（\gamma_｛0｝=\sup_｛t\in I｝|\int_｛0｝^｛t｝\gamma（t，s）\，ds|\）,\（\lambda_{0}=\sup_{t\inI}|\int_{0{^{t}\lambda（t，s）\，ds|\）和\（L^{\infty}（I）中的“eta（t）”）具有\（在I}|\eta（t）|\中，\eta^{\ast}=\sup_{t\）在这里，我们研究分数阶积分微分问题
$${}^{\mathrm{CF}}D^{\alpha}u（t）=f\bigl（t，u（t$$
(1)
带边界条件\（u（0）=0），其中\（（0,1）中的α）.
定理2.5
让
\（L^{\infty}（I）中的“eta（t）”）
和
\（f:I\times\Bbb{R}^{3}\ to \Bbb{R}\）
是一个连续函数，以便
$$\bigl\vert f（t，x，y，w）-f\bigl$$
为所有人
\（I中的t）
和
\（x，y，w，x^{\素数}，y^{\素}，w^{\质数}\在\Bbb{R}\中）.然后是问题(1)无论何时，边界条件都有近似解
\（\Delta_{1}=\eta^{*}（1+\gamma_{0}+\lambda_{0{）<1\）.
证明
考虑一下空间\（H^{1}\）被赋予了度量标准\（d（u，v）=，其中\（在I}|u（t）|\中，\|u\|=\sup_{t\）现在，定义自映射\（F:H^{1}\到H^{1\）通过
$$（Fu）（t）=a{\alpha}f\bigl（t，u（t），（\phi u）（t$$
哪里\（a{\alpha}\）和\（b_{\alpha}\）用引理表示1.2。请注意
$$\开始{对齐}（Fu）（t）={}&a_{\alpha}{}^{\mathrm{CF}}D^{\alha}u（t）+b_{\alpha}\int_{0}^{t}f\bigl（s，u（s），（\phi u）（s）、（\varphi u \exp\biggl（-\frac{\alpha}{1-\alpha}（t-s）\biggr）u^{\prime}（s）\，ds\\&{}+b_{\alfa}\int_{0}^{t}f\bigl（s，u（s），（\phi u）（s）、（\varphi u，ds\结束{对齐}$$
为所有人t吨这表明F类地图\（H^{1}\）进入之内\（H^{1}\）因此，我们有
$$开始{对齐}和\bigl\vert（Fu）（t）-（Fv）（t}^{t}\bigl\vert f\bigl（s，u（s），（\phi u）（s）\bigr）\bigr\vert\，ds\\&\quad\leq a{\alpha}\bigl\vert\eta（t）\biger\vert\bigl 0}^{t}\bigl（\bigl\vert u（s）-v（s）\bigr\vert+\bigl\ vert（\phi u）-（\phiv）（s）\大\vert+\bigl\vert（\varphi u）-（\varfi v）\bigr\vert\bigr \vert u-v\vert\end{对齐}$$
为所有人\（I中的t）和\（u，v\在H^｛1｝\中）现在，考虑一下\（g:[0，\infty）^{5}\到[0，\ infty（）\）和\（\alpha:H^{1}\乘以H^{1\到[0，\infty）\）由定义\（g（t_{1}，t_{2}，t_{3}，t-{4}，t{5}）=Delta{1}t{1}\）和\（α（x，y）=1）为所有人\（x，y\在H^{1}\中）可以很容易地检查\（g \ in \ mathcal{R}\）和F类是广义的α-收缩。通过使用定理1.3,F类有一个近似不动点，它是问题的近似解(1). □
请注意\（H^{1}\）巴纳赫并不是一个超常的人。因此，我们使用了一种新的方法来调查这个问题。现在，我们研究分数阶积分微分问题
$$开始{对齐}[b]{}^{\mathrm{CF}}D^{\alpha}u（t）={}&\mu\bigl \mathrm{CF}}I^{\theta}u（t），{}^{\mathrm{CF}{D^{\delta}u（t）\bigr）\end{aligned}$$
(2)
带边界条件\（u（0）=c），其中\（\mu\geq0\）和\（α、β、γ、θ、δ在（0,1）中）和\（c\in\Bbb{R}\）.
定理2.6
让
\（L^{\infty}（I）中的“eta（t）”）
和
\（f:[0,1]\times\Bbb{R}^{5}\ to \Bbb{R}\）
是一个连续函数，以便
$$\beign｛aligned｝&&bigl\vert f（t，x，y，w，u_｛1｝，u_｛2｝）-f\bigl（t，x^｛\prime｝，y^｛\prime｝，w^｛\prime｝，v_｛1｝，v_｛2｝\bigr）\bigr\ vert \\&&quad\leq\eta（t）\bigl（\bigl\vert x-x^｛\prime｝\bigr\ vert+\bigl\vert y-y^｛\prime｝\bigr\ vert+\bigl\vert w-w^｛\prime｝\bigr\vert+\vert u_{1} -v型_{1} \vert+\vert u_{2} -伏_{2} \vert\bigr）\end{对齐}$$
为所有人
\（I中的t）
和
\（x，y，w，x^{素数}，y^{素}，w^{质数}.然后是问题(2)无论何时，边界条件都有近似解
\（增量{2}<1\）,哪里
$$\Delta_{2}=\eta^{*}\biggl（2+\gamma_{0}+\lambda_{0{+\frac{1}{（1-{\Delta}）^{2}}\bigr）+\mu\biggl（\frac}{1}（1-}\beta}，^{2{}+\frac{1}}{$$
证明
考虑一下空间\（H^{1}\）被赋予了度量标准\（d（u，v）=，其中\（在I}|u（t）|\中，\|u\|=\sup_{t\）.定义地图\（F:H^{1}\到H^{1\）通过
$$开始{对齐}（Fu）（t）={}&u（0）+a_{\alpha}\bigl[\mu\bigl}I^{\theta}u（t），{}^{\mathrm{CF}}D^{\delta}u，（\phi u）（0），（\varphi u{\mathrm{CF}}D^{\gamma}u（s）\bigr）\\&{}+f\bigl（s，u（s，ds，\结束{对齐}$$
哪里\（a{\alpha}\）和\（b_{\alpha}\）在引理中给出1.2.通过使用引理2.2和2.3，我们获得
$$开始{aligned}\bigl\vert（Fu）（t）-（Fv）（t{}^{\mathrm{CF}}D^{\gamma}u（t）-{}^}^{\mathrm{CF}}D^{\beta}v（0）\bigr\vert\\&{}+\mu\bigl\vert{}^{\mathr{CF}{D^}\gamma}u（0）-{}^}\mathrm{CF}neneneep D^{gamma}v hrm{CF}}I^{theta}u（t），{}^{mathrm{CF}}D^{delta}u，{}^{\mathrm{CF}}D^{\delta}v（t）\bigr、v（0）、（\phi v）（0），（\varphi v^{t} \bigl[\mu\bigl\vert{}^{\mathrm{CF}}D^{\beta}u（s）-{}^}\mathrm{CF}{D^{beta}v（s）\bigr\vert+\mu\bigl\vert{}^{mathrm}CF}D_{\gamma}u（s{}^{\mathrm{CF}}D^{\beta}u（0）-{}^\\mathrm}CF}}D^{beta}v（0）\bigr\vert+\mu\bigl\vert{}^}\mathrm{CF}{D^{\ gamma}u（O）-{{}^\mathrm2{CF}}D^{\gamma}v（0）\bigr\vert\\&{}+\bigl\vertf\bigl（s，u（t），（\phi u）v），{}^{\mathrm{CF}}I^{\theta}v\bigl[\mu\bigl\vert{}^{\mathrm{CF}}D^{\beta}u（t）-{}^\\mathrm}CF}}D^{beta}v（t）\bigr\vert+\mu\bigl\vert{}^}{\mathm{CF}{D^{\ gamma}u（t）\bigr\vert\bigl（\bigl\vert u（t）-v\大\vert\\&{}+\bigl\vert{}^{\mathrm{CF}}I^{\theta}u（t）-{}^}\mathrm{CF}{I^{\theta}v（t）\bigr\vert+\bigr\ vert{{}^\\mathrm}CF}}D^{\delta}u \&{}+b_{\alpha}\int_{0}^{t}\bigl[\mu\bigl\vert{}^{\mathrm{CF}}D^{\beta}u（s）-{}^\\mathrm}CF}}D^{\ beta}v（s）\bigr\vert+\mu\bigl\vert{}^{\mathrm{CF}}D^{gamma}u（s）-{}^{\mathr{CF}{D^{\gamma}v（s）\bigr\vert\\&{}+\bigl\vert\eta（s）\ bigr\vert\bigl）\bigr\vert\\&{}+\bigl\vert{}^{\mathrm{CF}}I^{\theta}u\大\vert+\bigl\vert{}^{\mathrm{CF}}D^{\delta}u（s）-{}^}\mathrm{CF}{D^{delta}v（s）\bigr\vert\bigr）\biger]\，ds\\leq{}&\eta^{*}\biggl（2+\gamma{0}+\lambda{0}+\frac{1}{（1-{\delta}）^2}\bigr）+\mu\biggl（\frac{1}{（1-{\beta}）^{2}}+\frac{1}}{$$
为所有人\（H^{1}中的u，v）和\（I中的t）因此，
$$开始{对齐}\Vert Fu-Fv\Vert&\leq\eta^{*}\biggl（2+\gamma_{0}+\lambda_{0{+\frac{1}{（1-{delta}）^{2}}\bigr v\Vert\\&=\delta_{2}\Vert u-v\Vert_end{aligned}$$
对于\（H^{1}中的u，v）。现在，考虑一下地图\（g:[0，\infty）^{5}\到[0，\ infty（）\）和\（\alpha:H^{1}\乘以H^{1\到[0，\infty）\）由定义\（g（t_｛1｝，t_｛2｝，t_｛3｝，t_｛4｝，t_｛5｝）=\frac｛\Delta_｛2｝｝｛3｝（t_｛1｝+2t_｛2｝）\）和\（α（x，y）=1）为所有人\（x，y\在H^{1}\中）很容易看出\（g \ in \ mathcal{R}\）和F类是广义的α-收缩图。通过使用定理1.3,F类有一个近似不动点，它是问题的近似解(2). □
让k个和小时是有界函数\（I=[0,1]\）和秒上的一个可积有界函数我具有\（M_｛1｝=\sup_｛t\ in I｝|k（t）|\）,\（M_{2}=\sup_{t\in I}|s（t）|<\infty\）和\（M_{3}=\sup_{t\in I}|h（t）|<\infty\）现在，我们研究分数阶积分微分问题
$$开始{对齐}[b]{}^{\mathrm{CF}}D^{\alpha}u（t）={}&\mu_{1}k（t）{}^}{\mathm{CF}{D^{\ beta}u（t）+{\mu{2}}（\varphis）（t）u（t）\bigr）\\&{}+f\bigl（t，u（t$$
(3)
带边界条件\（u（0）=0），其中\（\mu_{1}，\mu_}1}\geq0\）和\（α，β，θ，ρ，nu，in（0,1））注意k个,秒和小时不一定是连续的。因为方程的左边(三)是连续的，右侧也是问题所在(三)是一个定义明确的方程。由于这个原因，我们假设函数是连续的（f）在定理中2.5和2.6其中方程式(1)和(2)定义明确。
定理2.7
让
\（L^{\infty}（I）中的“eta（t）”）
和
\（f:[0,1]\times\Bbb{R}^{3}\ to \Bbb{R}\）
是这样一个函数
$$\bigl\vert f（t，x，y，w）-f\bigl$$
为所有人
\（t\在I\中）
和
\（x，y，w，v，x^{\素数}，y^{\素}，w^{\质}，v^{\质数}\在\Bbb{R}\中）.然后是问题(三)只要
\（增量{3}<1）,哪里
$$\Delta{3}=\biggl（1+\frac{1}{（1-\beta）^{2}}+\frac{1}}{2}+\eta^{*}（1+\gamma{0}+M_{3}）\bigr]$$
证明
考虑一下空间\（H^{1}\）被赋予了度量标准\（d（u，v）=，其中
$$\Vert u\Vert=\max_{t\in I}\bigl\Vert u t）\bigr）\biger\Vert+\max_{t\in I}\bigl\Vert{}^{\mathrm{CF}}D^{\nu}u（t）\bigr\Vert$$
定义地图\（F:H^{1}\到H^{1\）通过
$$\begin{aligned}（Fu）（t）={}&a_{\alpha}\bigl[\mu_{1}k（t）{}^{\mathrm{CF}}D^{\gamma}\bigle \mathrm{CF}}D^{\rho}u（t）\bigr）\\&{}+f\bigl（t，u（t^{\mathrm{CF}}D^{\gamma}\bigl（\phi u），h（s）{}^{\mathrm{CF}}D^{\nu}u（s）\biger）\bigr]\，ds\end{aligned}$$
为所有人\（I中的t），其中\（a{\alpha}\）和\（b_{\alpha}\）引入引理1.2.通过使用引理2.2，我们得到
$$开始{对齐}&\bigl[\mu_{1}k（t）{}^{\mathrm{CF}}D^{\gamma}\bigl（{}^}\mathrm{CF}{D^{\ beta}u（t）\bigr）+{\mu_2}}（\varphis）（t）u（t）\bigr）+f\bigl（t，u（t^{\mathrm{CF}}D^{\beta}v（t）\bigr）+{\mu_{2}}（\varphi s）（t）{}^{\mathr{CF}{D^{\theta}\bigl CF}}D^{\nu}v（t）\biger）\bigr]\\&\quad\leq\mu_{1}\bigl\vert k（t）\ bigr\vert\bigl\ vert{}^{\mathrm{CF}}D^{\ gamma}\bigle\bigr）\bigr，（φu）（t），h（t）{}^{mathrm{CF}}D^{nu}u（t）\bigr）-f\bigl（t，v（t）\bigr）\bigr\vert\\&\quad\leq\mu_{1}M_{1}\vert u-v\vert+{\mu__2}}{\lambda_{0}}M_{2}\vert-u-v\ vert+\eta^{*}\bigl{1}+{\mu{2}}{\lambda{0}}M_{2}+\eta^{*}（1+\gamma{0}+M_{3}）\bigr]\vert-u-v\vert\end{aligned}$$
为所有人\（I中的t）和\（H^{1}中的u，v）因此
$$\bigl\vert（Fu）（t）-（Fv）（t$$
为所有人\（I中的t）和\（H^{1}中的u，v）。此外，我们还有
$$开始{对齐}和\bigl\vert{}^{\mathrm{CF}}D^{\beta}（Fu-Fv）（t）\bigr\vert\leq\frac{1}{（1-\beta）^{2}\bigl[\mu_{1}M_1}+{\mu_2}}{\lambda{0}M_2}+\eta^{*}（1+\gamma{0}+M_3}）\biger]\vert u-v\vert，\\&\bigl\vert{}^{\mathrm{CF}}D^{\theta}\bigl（1-{\rho}）^{2}}\bigl[\mu_{1}M_1}+{\mu_2}}{\lambda_{0}}M_{2}+\eta^{*}（1+\gamma_{0{+M_3}）\bigr]\Vertu-v\Vert，\end{aligned}$$
和\（|{}^{\mathrm{CF}}D^{\nu}（Fu-Fv）（t）|\leq\frac{1}{（1-\nu）^{2}}[\mu_{1}M_1}+{\mu_2}}{\lambda{0}}M_2}+\eta^{*}（1+\gamma_{0}+M_3}）]\|u-v\|\）为所有人\（H^{1}中的u，v）和\（I中的t）因此，\（Fu-Fv\|\leq\Delta\|u-v\|\）为所有人\（H^{1}中的u，v）现在，考虑一下地图\（g:[0，\infty）^｛5｝\到[0，\infty）\）和\（\alpha:H^{1}\乘以H^{1\到[0，\infty）\）由定义\（g（t_{1}，t_{2}，t_{3}，t-{4}，t{5}）=Delta{3}\max\{t_1}和\（\alpha（x，y）=1\）为所有人\（x，y\在H^{1}\中）可以检查一下\（g \ in \ mathcal{R}\）和F类是广义的α-收缩。通过使用定理1.3,F类有一个近似不动点，它是问题的近似解(三).□
让k个,秒,小时,克和q个是有界函数\([0,1]\)具有\（M_{1}=\sup_{t\in I}|k（t）|<\infty\）,\（M_{2}=\sup_{t\in I}|s（t）|<\infty\）,\（M_{3}=\sup_{t\in I}|h（t）|<\infty\）,\（M_{4}=\sup_{t\in I}|g（t）|<\infty\），以及\（M_{5}=\sup_{t\in I}|q（t）|<\infty\）在这里，我们研究分数阶积分微分问题
$$开始{对齐}[b]{}^{\mathrm{CF}}D^{\alpha}u（t）={}&\lambda k（t）{}^}\mathrm{CF}D^{\ beta}u（t）+{\mu}s（t）{}^{\mathrm{CF}}I^{\nu}u（t），g（t）{}^}\bigr）\，ds\结束{aligned}$$
(4)
带边界条件\（u（0）=0），其中\（\lambda，\mu\geq0）和\（\alpha、\beta、\rho、\nu、\delta、\gamma\in（0,1））注意，地图k个,秒,小时,克和q个应选择等式右侧(4)是连续的。
定理2.8
让
\（\xi_{1}\）,\（\ xi_｛2｝\）,\（\xi_{3}\）,\（\xi_{4}\）,\（xi^{prime}{1}\）,\（xi^{prime}{2}\）,和
\（xi^{prime}{3}\）
是非负实数.假设
\（f_{1}:[0,1]\times\Bbb{R}^{4}\rightarrow\Bbb{R}\）
和
\（f_{2}:[0,1]\times\Bbb{R}^{3}\rightarrow\Bbb{R}\）
是可积函数，使得
$$\bigl\vert f_1}（t，x，y，w，v）-f_{1}\bigl ^{\prime}\bigr\vert+\xi_{4}\bigl\vert v-v^{\prime}\bigr\vert$$
和
\（|f{2}（t，x，y，w）-f{2}（t，x^{prime}，y^{prime}，w^{primer}）|\leq\xi{1}^{primes}|x-x^{prime}|+\xi{2}^{prime}|y-y^{Primer}|+\si^{primet}|3}|w-w^{Primes}|\）
对于所有实数
x个,年,w个,v（v）,\（x^{\prime}\）,\（y^{\prime}\）
和
\（w^{\prime}\）
和
\（I中的t）.如果
\（增量{4}<1）,然后是问题(4)有一个近似解,哪里
\（Δ4｝：=\max\lbrace\frac｛1｝｛（1-｛\beta｝）^｛2｝｝，\frac｛1｝｛（1-｛\Delta｝）^｛2｝｝，\frac｛1｝｛（1-｛\gamma｝）^｛2｝｝\rbrace[\lambda\frac｛M_｛1｝｝｛（1-｛\beta）^｛2｝｝+\mu M_｛2｝+\xi_｛2｝\gamma_｛0｝+\xi_｛3｝+\xi_ _｛4｝\frac｛M_｛4｝｝｛（1-\Delta）^｛2｝｝+\xi_｛1｝^｛\prime｝+\xi_｛2｝^｛\prime｝\lambda _｛0｝+\xi_｛3｝^｛\prime｝\frac｛M_｛5｝｝｛（1-\gamma）^｛2｝｝]\）.
证明
考虑一下空间\（H^{1}\）被赋予了度量标准\（d（u，v）=，其中
$$\begin{aligned}\Vert u\Vert={}&\max\Bigl\lbrace\sup_{t\in I}\Bigl\Vert u（t）\bigr\Vert，\sup_{t\inI}\Bigl\ Vert{}^{\mathrm{CF}}D^{\beta}u{（t）}\bigr\ Vert，\sup_}t\ in I}\Bigl\ Vert{}^}\mathrm{CF}I^{\rho}u}\在I}\Bigl\Vert{}^{\mathrm{CF}}I^{\nu}u{（t）}\bigr\Vert，\\&{}\sup_{t\在I}中}D^{\delta}u{（t）}\bigr\vert，在I}\bigl\vert{}^{\mathrm{CF}}中为\sup_{t\t。\结束{对齐}$$
定义地图\（F:H^{1}\到H^{1\）通过
$$开始{对齐}（Fu）（t）={}&a_{\alpha}\biggl[\lambda k（t）{}^{\mathrm{CF}}D^{\beta}u（t）+{\mu}s（t）}I^{\nu}u（t），g（t）{}^{\mathrm{CF}}D^{\delta}u（t）\bigr）\\&{}+\int_{0}^{t}f_2}\bigl（s，u（s），（\varphi u）（s）\bigr）\，ds\biggr]\\&{}+b_{\alpha}\biggl[\int_{0}^{t}\lambda k（s）{}^{\mathrm{CF}}D^{\beta}u（s）+{\mu}s}D^{\gamma}u（r）\bigr）\，dr\，ds\biggr]，\end{aligned}$$
哪里\（a{\alpha}\）和\（b_{\alpha}\）引理中介绍了1.2.通过使用引理2.2和2.3，我们获得
$$开始{对齐}和\biggl\vert\biggl[\lambda k（t）{}^{mathrm{CF}}D^{beta}u（t）+{\mu}s（t）}^{mathrm}CF}}I^{\rho}u（t）+f_{1}\bigl（t，u（t（t）{}^{\mathrm{CF}}D^{\delta}u（t）\bigr）\\&\qquad{}+\int_{0}^{t}f{2}\bigl（s，u（s），（\varphi u），q（t）\\&\qquad{}-\biggl[\lambda k（t）{}^{\mathrm{CF}}D^{\beta}v{\mathrm{CF}}D^{\delta}v（t）\bigr）\\&\qquad{}+\int_{0}^{t}f{2}\bigl（s，v（s），（\varphi v）（s）\biggr\vert\\&\quad\leq\lambda\bigl\vert k（t）\bigr\vert\bigl\vert{}^{\mathrm{CF}}D^{\beta}\bigl（u（t）-v（t）\ bigr \\&\qquad{}+\bigl\vert f_1}\bigl（t，u（t），（\phi u）（t）}D^{\delta}u（t）\bigr）\\&\qquad{}-f_{1}\bigl（t，v（t），（\phi v）（t）{2}\bigl（s，u（s），（\varphi u）\biger+\xi_{4}\frac{M_{4{}}{（1-\delta）^{2}}\vert u-v\vert+\xi_{1}^{\prime}\vert-u-v\ vert+\ xi_{2}^{\ prime}\ lambda_{0}\Vert u-v\Vert+\xi_{3}^{\prime}\frac{M_{5}}{（1-\gamma）^{2}}\biggr]\Vert u-v\Vert\&\quad=\biggl[\lambda\frac}M_{1}}{{（1-\beta）^{2}+\mu M_{2}+\xi_{1}+\xi_{2{0}+\xi_{3{3}+{4}\frac{M_{4}}{（1-\delta）^{2}}+\xi{1}^{prime}+\xi{2}^{prime}\lambda{0}+\xi{3}^{\prime}\frac{5}}{{（1-\gamma）^{2]\biggr]\\&\qquad{}\times\Vert u-v\Vert\end{对齐}$$
为所有人\（H^{1}中的u，v）和\（I中的t）因此，
$$开始{对齐}和\bigl\vert（Fu）（t）-（Fv）（t）\\&\qquad{}+f_{1}\bigl（t，u（t），（\phi u）-f_{1}\bigl（t，v（t），（\phi v）（t）}^{\mathrm{CF}}D^{\gamma}u（s）\bigr）-f_{2}\bigl（s，v（s），（\varphi v）（s）\biggl[\int_｛0｝^｛t｝\bigl\vert\lambda k（s）｛｝^｛\mathrm｛CF｝｝D^｛\beta｝\bigl（u（s）-v（s）\bigr）+｛\mu｝s（s）｛｝^｛\mathrm｛CF｝｝I ^｛\rho｝\bigl（u（s）-v（s）\bigr）\\&\qquad｛｝+f_｛1｝\bigl（s，u（s），（phiu）（s），h（s）｛CF｝｝I ^｛\nu｝u（s），g（s）｛｝^｛\mathrm｛CF｝｝D ^｛\delta｝u（s）\bigr）\\&\qquad｛｝-f_｛1｝\bigl（s，v（s），（\phi v）（s），h（s）｛｝^｛\mathrm｛CF｝｝｝I ^｛\nu｝v（s），g（s）{}^{\mathrm{CF}}D^{\delta}v（s）\bigr），q（r）{}^{\mathrm{CF}}D^{\gamma}v（r）\bigr）\，dr\biggr\vert\，ds\biggr]\\&\quad\leqa{\alpha}\biggl[\lambda\frac{M_1}}{（1-\beta）^{2}}+\mu M_2}+\xi_{1}+\xi_2}\gamma_{0}+\xi_3}M_{3}+\i_{4}\frac{M_{4{}{（1-\delta）^{2}+\西安{1}^{prime}+\xi_2}biggr]\\&\qquad{}\times\Vert u-v\Vert\&\qquid{}+b_{alpha}\int_{0}^{t}\biggl[\lambda\frac{M_1}}{（1-\beta）^{2}}+\mu M_2}+\xi_{1}+\xi_{2}+\si_｛3｝M_｛3｝+\si_｛4｝\frac｛M_｛4｝｝｛（1-\delta）^｛2｝｝+\si_｛1｝^｛\prime｝+\si_｛2｝^｛\prime｝\lambda_｛0｝\\&\qquad｛｝+\si_｛3｝^｛\prime｝\frac｛M_｛5｝｝｛（1-\gamma）^｛2｝｝｝\biggr]\Vert-uv\Vert\，ds\\&\quad\leq[a｛\alpha｝+b_α]\bigl[\lambda\frac｛M_｛1｝｝｛（1-\β）^｛2｝｝+\mu M_｛2｝+\xi_｛1｝+\xi_｛2｝\gamma_｛0｝+\xi_｛3｝M_｛3｝+\xi_｛4｝\frac｛M_｛4｝}{（1-\delta）^{2}}+\xi_{1}^{prime}+\xi_{2}^{prime}\lambda_{0}\\&\qquad{}+\xi_{3}^{prime}\frac{M_{5}}{（1-\gamma）^{2]\biggr]\Vert u-v\Vert:=\delta$$
为所有人\（H^{1}中的u，v）.也通过使用引理2.2和2.3，我们得到
$$\bigl\vert{}^{\mathrm{CF}}D^{\beta}Fu{（t）}-{}^\\mathrm}CF}}D^{\ beta}Fv{（t）}\bigr\vert\leq\frac{1}{（1-{\beta}）^{2}}\Delta^{\prime}\vert-u-v\vert$$
\（|{}^{\mathrm{CF}}D^{\delta}Fu{（t）}-{}^}\mathrm{CF}{D^{\ delta}Fv{（t）}|\leq\frac{1}{（1-{\delta}）^{2}\delta^{\prime}\|u-v\|\）,\（|{}^{\mathrm{CF}}D^{\gamma}Fu{（t）}-{}^}\mathrm{CF}{D^{\ gamma}Fv{（t）}|\leq\frac{1}{（1-{\gama}）^{2}\Delta^{\prime}\|u-v\|\）,\（|{}^{\mathrm{CF}}I^{\rho}Fu{（t）}-{}^}\mathrm{CF}{D^{\rro}Fv{（t）}|\leq\Delta^{\prime}\|u-v\|\）和\（|｛｝^｛\mathrm｛CF｝｝I ^｛\nu｝Fu｛（t）｝-｛｝^｛\mathrm｛CF｝｝D ^｛\nu｝Fv｛（t）｝|\leq\Delta^｛\prime｝\|u-v\|\）为所有人\（H^{1}中的u，v）和\（I中的t）因此，我们获得
$$\Vert-Fu-Fv\Vert\leq\max\biggl\lbrace\frac{1}{（1-{\beta}）^{2}}，\frac{1'{（1-{\delta}，^{2{}，\ frac{1\gamma}$$
为所有人\（H^{1}中的u，v）考虑地图\（g:[0，\infty）^{5}\到[0，\ infty（）\）和\（\alpha:H^{1}\乘以H^{1\到[0，\infty）\）由定义\（g（t_{1}，t_{2}，t_{3}，t-{4}，t{5}）=\frac{\Delta{4}}{9}和\（α（x，y）=1）为所有人\（x，y\在H^{1}\中）可以检查一下\（g \ in \ mathcal{R}\）和F类是广义的α-收缩。通过使用定理1.3,F类有一个近似不动点，它是问题的近似解(4).□
在这里，我们提供了三个示例来说明我们的一些主要结果。
示例2.1
定义功能\（L^{\infty}（[0,1]）中的\eta\）和\（\gamma，\lambda:[0,1]\times[0,1]\到[0，\infty）\）通过\（eta（t）=e^{-（pit+6）}\）,\（伽马（t，s）=\sin（1））和\（\lambda（t，s）=e^{t-s}\）.然后\（\eta^｛*｝=\frac｛1｝｛e^｛6｝｝）,\（\gamma_{0}=\sin（1）\）和\（\lambda_{0}\leqe）.放置\（\alpha=\frac｛1｝｛3｝\）.考虑问题
$${}^{\mathrm{CF}}D^{\frac{1}{3}u（t）=e^{-（\pit+6）}\biggl[2t+u（t^{s} u个（s） \，ds\biggr]$$
(5)
带边界条件\（u（0）=0）和功能\（f（t，x，y，w）=e^｛-（\pi t+6）｝（2t+x+\frac｛1｝｛20｝y+\frac｛1｝｛6｝w））。请注意\（增量{1}=增量{*}（1+\gamma{0}+\lambda{0}）<0.00926<1）.利用定理2.5, (5)有一个近似解。
例2.2
定义功能\（L^{\infty}（[0,1]）中的\eta\）和\（\gamma，\lambda:[0,1]\times[0,1]\到[0，\infty）\）通过\（eta（t）=frac{\pi}{e^{（t+16）}}\）,\（\gamma（t，s）=e^｛t-s｝\）和\（\lambda（t，s）=\log e^{\sin（\ln（\pi|t-s|+1））}\）.然后\（\eta^{*}=\frac{\pi}{e^{16}}\）,\（\gamma_{0}\leqe）和\（\lambda_{0}\leq\log e）.放置\（\α=\压裂{1}{2}\）,\（\mu_{1}=\压裂{1}{120}\）,\（\ mu_｛2｝=\ frac｛1｝｛28｝\）,\（β=frac{2}{3}\）,\（θ=frac{1}{3}）,\（\rho=\压裂{1}{2}\）和\（\nu=\frac{1}{2}\）.考虑功能\（k（t）=\sin t）,\（h（t）=tan^{-1}（t）），以及\（s（t）=压裂{1}{n}\）无论何时\（x=\frac{m}{n}\in Q\cap[0,1]\）具有\（（m，n）=1）和\（s（t）=0\）无论何时\（x\在Q^{c}\cap[0,1]\中）或\（x=0）.然后\（M_｛1｝=\sup_｛t\in[0,1]｝|k（t）|=1\）,\（M_{2}=\sup_{t\in[0,1]}|s（t）|=1\）和\（M_{3}=\sup_{t\in[0,1]}|h（t）|=\frac{\pi}{2}\）考虑分数阶积分微分问题
$$\开始{对齐}[b]{}^{\mathrm{CF}}D^{\frac{1}{2}}u（t）={}&\frac}1}{120}\sin（t）{}^\\mathrm}CF}}D^{\frac{2}{3}u（t）\\&{}+\frac{1}[28}\biggl（int_{0}^{t}\log\bigl（e^{sin（\ln（\pi\vert t-s\vert+1））}\bigr）s（s）\，ds\biggr）{}^{\mathrm{CF}}D^{\frac{1}{3}}\bigl+\int_{0}^{t}e^{t-s}u（s） \，ds+\tan^{-1}（t）{}^{\mathrm{CF}}D^{\frac{1}{2}}u（t）\biggr]\end{aligned}$$
(6)
具有边界条件\（u（0）=0）.放置\（f（t，x，y，w，v）=\分形{\pi}{e^{（t+16）}}（t+x+y+w）\）。请注意\（\Delta{3}=（1+\frac{1}{（1-\beta）^{2}}+\frac{1}}{（1+\gamma_{0}+M_{3}）]<0.5485<1）然后利用定理2.7，这意味着(6)有一个近似解。
示例2.3
定义功能\（\gamma，\lambda:[0,1]\times[0,1]\到[0，\infty）\）通过\（λ（t，s）=frac{e^{2t-s}}{e}\）和\（伽马（t，s）=0）.然后\（\gamma_{0}=0\）和\（\lambda_{0}\leqe）.放置\（α=frac{1}{4}\）,\（β=frac{1}{4}\）,\（\nu=\frac{1}{2}\）,\（δ=frac{1}{4}\）,\（伽马=\压裂{1}{2}\）,\（\lambda=压裂{1}{200}\）,\（\mu=0\）,\（\xi_{1}=\压裂{2}{41}\）,\（\xi_{3}=\压裂{1}{48}\）,\（\xi_{4}=\压裂{1}{400}\）,\（素数}{1}=frac{1}{320}）,\（素数}{2}=frac{1}{40}），以及\（素数}{3}=frac{1}{119}）.让秒是任意有界映射，\（q（t）=tan^{-1}（t））,\（h（t）=\sin（t））为所有人\（t\在I\中）,\（k（t）=1）无论何时\（x在Q\cap[0,1]\中）和\（k（t）=0）无论何时\（x\在Q^{c}\cap[0,1]\中）和\（g（t）=0）无论何时\（x在Q\cap[0,1]\中）和\（g（t）=2）无论何时\（x\在Q^｛c｝\cap[0,1]\中）.然后\（M_{1}=\sup_{t\in[0,1]}|k（t）|=1\）,\（M_{2}\）是一个实数，\（M_{3}=\sup_{t\in[0,1]}|h（t）|=1\）,\（M_{4}=\sup_{t\in[0,1]}|g（t）|=2\）和\（M_{5}=\sup_{t\in[0,1]}|q（t）|=\frac{\pi}{2}\）现在，考虑定义明确的分数阶积分微分问题
$$\开始{对齐}[b]&{}^{\mathrm{CF}}D^{\frac{1}{4}}u（t）\\&\quad=\frac}{200}克（t） {}^{\mathrm{CF}}D^{\frac{1}{4}}u（t）+\frac{3}{40}吨+\压裂{2}{41}u（t） +\frac{1}{48}\sin（t）{}^{\mathrm{CF}}I^{\frac}{1}}{2}}u（t）+\frac{1}{400}克（t） {}^{\mathrm{CF}}D^{\frac{1}{4}}u（t）\\&\qquad{}+\int_{0}^{t}{\biggl[}\frac}2}{56}秒+\压裂{1}{320}单位（s） +\压裂{1}{40}\int_{0}^{s}\压裂{e^{2s-r}}{e} u个（r） \，dr+\frac{1}{119}\tan^{-1}{}^{\mathrm{CF}}D^{\frac}1}{2}u（s）\biggr]\，ds\end{aligned}$$
(7)
带边界条件\（u（0）=0）.放置\（f{1}（t，x，y，w，v）=frac{3}{40}吨+\十一_{1} x个+\xi（西）_{2} 年+\十一_{3} 周+\xi（西）_{4} v（v）\)和\（f_2}（t，x，y，w）=frac_2}{56}吨+\xi^{prime}_{1} x个+\xi^{prime}_{2} 年+\xi^{prime}_{3} 周\)为所有人\（I中的t）和\（x，y，w，v\in\mathbb{R}\）。请注意
$$开始{对齐}\Delta_{4}={}&\max\biggl\lbrace\frac{1}{（1-{beta}）^{2}}，\frac{1\Delta}}+\mu M_{2}+\xi{1}+\xi{2}\gamma{0}+\xi{3}M_{3}+\xi{4}\frac{M_{4}}{（1-\Delta）^{2}}+\x1{1}^{prime}+\i{2}^{prime}+\xi_{3}^{prime}\frac{M_{5}}{（1-\gamma）^{2}\biggr]\\<{}&0.8451<1。\结束{对齐}$$
因此，考虑到定理2.8我们的结论是，问题(7)有一个近似解。
