具有非局部项的扩散logistic模型的动力学

摘要

众所周知，正解集可能包含平稳模式的关键线索。在本文中，我们考虑了一类在有界域中受Dirichlet边界条件约束的具有非局部项的扩散逻辑方程。利用分歧理论研究了参数在一定条件下正解的存在性。最后，我们通过应用于一维空间域模型来说明一般结果。

1介绍

近年来，许多研究者对反应扩散方程的研究给予了更多的关注；例如，我们指的是[1–9]. 从生态学角度来看，正解对应于物种稳定状态的存在。众所周知，正解集可能包含平稳模式的关键线索。从数学的观点来看，重要的是要通过系数（例如物种的增长率）来获得关于正解集的一些信息。尤其是，大多数参考文献都集中于具有单一总体的扩散模型（参见，例如, [2,4,8]). 最经典的扩散logistic方程之一是

$$\left\｛\textstyle\ begin｛array｝｛l@｛quad｝l｝u_{t}（t）-\增量u=\lambdau（1-K（x）u^{p}）&\mbox{in}\Omega，\\u=0&\mbax{on}\partial\Omeca，\end{array}\displaystyle\right$$

(1.1)

在生态学研究中，它被视为单个物种的逻辑系统。在这里，\（u（x）\）是所在地的人口密度\（x\英寸\欧米茄\）,\（\lambda\in\mathbb{R}^{+}\）是物种的生长速度，通常被视为一个变量，K（K）是表示承载能力的正函数，以及\（p>0）.英寸(1.1)，我们假设Ω被不适宜居住的区域包围，受到齐次Dirichlet边界条件的影响。

后来，许多科学家发现，单个物种的运动有时取决于物种停留点周围的环境条件。例如，我们考虑动物的运动，其中每一个物种通过周围的视觉、听觉和嗅觉相互作用。这就是为什么在某些情况下可以通过化学手段进行相互作用。因此，在物种动力学研究中考虑非局部效应似乎更现实；参见[1,4,5,7,10,11]. 通常，这种非局部效应取决于周围人口的价值x个也就是说，拥挤效应取决于u个在某些特殊情况下，这种非局部效应还取决于邻域中的值\（B_{r}（x）\）属于x个，其中\（B_{r}（x）\）表示以为中心的球x个半径的\（r>0\）由于这些原因，系统(1.1)被以下更一般的具有非局部效应的扩散logistic种群模型所取代：

$$\left\{\textstyle\begin{array}{l@{quad}l}u_{t}（t）-\增量u=λu（1-\int_{\Omega}K（x，y）u^{p}（y）\，\mathrm{d} 年）&\mbox{in}\Omega，\\u=0&\mbax{on}\partial\Omeca，\end{array}\displaystyle\right$$

(1.2)

和

$$\left\{\textstyle\begin{array}{l@{quad}l}u_{t}（t）-\增量u=u（\lambda-\int_{\Omega\cap B_{r}（x）}\mathcal{K}（y）u^{p}（y）\，\mathrm{d} 年）&\mbox{in}\Omega，\\u=0&\mbax{on}\partial\Omeca，\end{array}\displaystyle\right$$

(1.3)

哪里\（p>0）、和\（K:\Omega\times\Omega\to\mathbb{R}\）和\（\mathcal{K}:\Omega\to\mathbb{R}\）是非负且非平凡的连续函数。陈和石[12]考虑系统的动力学行为(1.2)何时\（p=1\）和内核函数\（K（x，y）\）是上的连续非负函数\（\Omega\次\Omega）令人满意的\（\int_{\Omega}K（x，y）u（y）\，\mathrm{d} 年>0\)对于所有正连续函数u个接通Ω。应用隐函数定理，Chen和Shi[12]获得了系统正稳态解的存在唯一性(1.2)何时\（0<\lambda-\lambda _{1}\ll1\），其中\（\lambda{1}\）表示齐次Dirichlet边界条件下负Laplacian算子的第一特征值。一些研究人员[1,5,13,14]还实现了内核函数\（K（x，y）\）可能与增长率没有直接关系λ物种。例如，阿莱格里托和尼斯特里[1]研究了以下模型：

$$\left\{\textstyle\begin{array}{l@{quad}l}{-}\增量u=u（\lambda-\int_{\Omega}K（x，y）u^{p}（y）\，\mathrm{d} 年）&\mbox{in}\Omega，\\u=0&\mbax{on}\Omega，\end{array}\displaystyle\right$$

(1.4)

哪里\（K（x，y）\）从对角区域消失\（\mathbb｛R｝^｛N｝\times\mathbb｛R｝^｛N｝\）阿莱格里托和尼斯特里[1]发现(1.4)具有唯一的正解，当\（\lambda>\lambda{1}\）如果\（K（x，y）=K_{\增量}（|x-y|）\）是一种缓和剂\（\mathbb{R}^{N}\）也就是说，\（C_{0}^{infty}中的K_{\delta}（|x-y|）,\（\int_{mathbb{R}^{N}}K_{delta}（|x-y|）\，\mathrm{d} 年=1\)对于任何x个具有

$$K_{\delta}\bigl（\vert x-y\vert\bigr）=0\quad\mbox{when}|x-y|\geq\delta$$

和\（K_{\增量}（|x-y|）\）当\（|x-y|<\mu<\delta\）后来，科里亚等。[5]证明了(1.4)具有唯一正解，如果\（K（x，y）\）是一个可分离变量，即，\（K（x，y）=g（x）h（y）），其中\（h\geq0\）,\（h\neq0）、和\（g（x）>0）单位为Ω。太阳等。[14]研究系统正解的存在性(1.4)带有\（K（x，y）=K_{1}（|x-y|）\）和\（\欧米茄=（-1,1）\），其中\（K_｛1｝：[0,2]\rightarrow（0，\infty）\）是一个非递减的分段连续函数\（\int_{\Omega}K_{1}（y）\，\mathrm{d} 年>0\)此外，阿尔维斯等。[13]还研究了系统正解的存在性(1.2).

在上述文献中，作者只关注单个物种。对于具有两个总体的模型，特别是对于那些没有非局部项的扩散Lotka-Volterra系统，所提出的问题在[三,6,9]以及其中的参考。然而，讨论存在非局部项效应的两个相互作用物种的动力学行为比那些没有非局部项影响的模型更困难。最近，郭和燕[15]利用Lyapunov-Schmidt约化研究以下模型正解的存在性：

$$\left\{\textstyle\begin{array}{l@{quad}l}{-}\Delta u=\lambdau（1-\int_{\Omega}A_{11}（x，y）u（y）\，\mathrm{d} 年-\int_{\Omega}A_{12}（x，y）v（y）\，\mathrm{d} 年）&\mbox{in}\Omega，\\{-}\Delta v=\lambdav（1-\int_{\Omega}A{21}（x，y）u（y）\，\mathrm{d} 年-\int_{\Omega}A_{22}（x，y）v（y）\，\mathrm{d} 年）&\mbox{in}\Omega，\\u=v=0&\mbax{on}\Omega，\end{array}\displaystyle\right$$

(1.5)

哪里\（u（x）\）和\（v（x）\）该地点的人口密度是多少x个,\（\lambda>0）是标度常数，Ω是中的连通有界开域\（\mathbb{R}^{N}\）(\（编号1）)边界平滑∂Ω. 内核函数\（A_{ij}\）(\（i，j=1，2）)描述种群的扩散行为。

一个自然的问题是：(1.5)有积极的解决方案λ不仅离得近而且离得远\（\lambda{1}\）此外，研究以下具有非局部延迟效应的更一般的人口模型非常有趣：

$$\left\{\textstyle\begin{array}{l@{quad}l}{-}\增量u=u（\lambda-\int_{\Omega}A_{11}（x，y）u^{p}（y）\，\mathrm{d} 年-\int_{\Omega}A_{12}（x，y）v^{q}（y）\，\mathrm{d} 年）&\mbox{in}\Omega，\\{-}\Delta v=v（\lambda-\int_{\Omega}A{21}（x，y）u^{p}（y）\，\mathrm{d} 年-\int_{\Omega}A_{22}（x，y）v^{q}（y）\，\mathrm{d} 年）\\mbox｛in｝\Omega，\\u=v=0 \\mbox｛on｝\Omega，\end｛array｝\displaystyle\right$$

(1.6)

哪里\（\Omega\subset\mathbb{R}^{N}\）(\（编号1）)是具有平滑边界的有界域∂Ω,第页,q个为正常数，且\（L^{\infty}中的A_{ij}（上划线{\Omega}\times\上划线{\ Omega{，\mathbb{R}）,\（i，j=1，2）.在这里\（u（x）\）和\（v（x）\）可以解释为空间位置上的猎物和捕食者种群密度\（x\英寸\欧米茄\）、和参数λ是一个正实数，表示猎物和捕食者的增长率。

本文的目的是找到充分条件，确保所有人都存在正解\（\lambda>\lambda{1}\）。我们的主要方法是全局分叉理论，它与[15]. 此外，我们还通过分析特征值的分布来获得了正解的稳定性，这是Alves没有考虑的等。[13]. 在本文中，我们对扩散核函数施加了以下假设\（A_{ij}（x，y）\）,\（i，j=1,2）.

• （C1） \（T_{1}\）和\（T_{2}\）在空间上是积极的\（C^{+}（\Omega）\乘以C^{+/}（\欧米茄）\）在这个意义上\（T_{i}（C^{+}（\Omega）\乘以C^{+/}（\ Omega,\（i=1,2），其中\（C^{+}（\Omega）\）表示正连续函数的空间，以及

  $$T_{j}（u，v）=\int_{\Omega}\bigl[A_{j1}（\cdot，y）u^{p}（y）+A_{j2}（\tdot，y）v^{q}（y）\bigr]\，\mathrm{d} 年，\quad j=1,2$$

• （C2） 如果u个,v（v）可衡量且令人满意

  $$\left\{\textstyle\begin{array}{l}\int_{\Omega\times\Omega}[A_{11}（x，y）\vert\frac{u（y）}{\|u\|}\vert^{p}+A_{12}（x，y）\ frac{|v（y）|^{q}}{\_u\|^{p{}]（\frac{u（x）}{\|u\ |}）^{2}\，\mathrm{d} 年\，\数学{d} x个=0，\\int_{\Omega\times\Omega}[A_{21}（x，y）\frac{|u（y）|^{p}}{\|v\|^{q}}+A_{12}（x，y）\ vert\frac{v（y）}{\| v\|}\ vert^{q{]（\frac}v（x）}{\ |v\|}）^{2}\，\mathrm{d} 年\，\mathrm{d} x个=0，\end{array}\displaystyle\right$$

  然后\（u=v=0）a.e.单位为Ω。我们在这里设置\（\压裂{u}{\|u\|}=0\）对于\（u=0）并表示为\（\|\cdot\|\）通常的规范\（H）^{1}_{0}（\Omega）\）也就是说，

  $$\|u\|^{2}=\|u\|^{2}_{高^{1}_｛0｝（\Omega）｝=\int_｛\Omega｝|\nabla u|^｛2｝\，\mathrm{d} x个, $$

  其中空间\（H_{0}^{1}（\Omega）=H^{1{（\欧米茄）\mid U（x）=0，对于所有x\in\partial\Omega\}）和\（H^{k}（\Omega）\）(\（k\geq0\）)是Sobolev空间\（L^{2}\）-功能（f）关于Ω及其导数\（frac{mathrm{d}^{n}f}{mathrm{d} x个^{n} }\）(\（n=1,2，\ldot，k）)属于\（L^{2}（\Omega）\）.

我们的主要结果如下。

定理1.1

假设 \（A_{ij}\）(\（i，j=1,2）)满足（C1）和（C2）。然后是问题(1.6)有正解当且仅当 \（\lambda>\lambda{1}\）.

根据定理1.1，我们看到了该系统(1.6)带有\（A_{ij}（x，y）=\mathcal{答}_{ij}（x，y）\chi_{B_{r}（x）}\）(\（i，j=1,2）)有正解当且仅当\（\lambda>\lambda{1}\），其中\（\mathcal{答}_{ij}（x，y）\）(\（i，j=1,2）)是正函数\（\Omega\次\Omega）.如果\（A_{ij}\）(\（i，j=1,2\）)不满足假设（C2），则\（A_{ij}\）(\（i，j=1,2）)可能会在对角线的某个邻域中消失\（\Omega\times\Omega\）（参见第节三). 在这种情况下，定理1.1不适用。然而，我们也能够研究正解的存在性和不存在性，对于λ在以下关于扩散核函数的假设下\（A_{ij}（x，y）\）,\（i，j=1,2）.

• （C3） 有\（r>0\）和米连通开集\（\欧米茄{1}，\欧米加{2}，\ldots，\欧米茄{m}\子集\Omega\）这样的话\（\overline{\Omega}_{i}\cap\overline{\Ometa}_{j}=\emptyset\）,\（i\neq j）、和\（A_{ij}（x，y）>0\）为所有人\（（x，y）\ in \欧米茄\ times \欧米加\）令人满意的\（x\notin\bigcup_{j=1}^{m}\Omega_{j}\）和\（|x-y|<r\）,\（i，j=1,2）.

鉴于[16]，我们知道如果\（\Omega_{1}\子集\Omega{2}\），然后\（\lambda_{1}（\Omega_{1{）\geq\lambda_{1neneneep（\Omega_{2}）\）此外，只要\（\Omega_{2}\setminus\Omega{1}\）包含一组正容量（因为第一个本征函数不能在这样的集上消失）。因此，我们得到了以下结果。

定理1.2

假设 \（A_{ij}\）(\（i，j=1,2）)满足（C1）和（C3）。然后,问题(1.6)有积极的解决方案 \（\lambda_{1}<\lambda<\min\{\lambda_{1{（\Omega_{1neneneep），\ldots，\lambda_{1neneneei（\Omega_{m}）\}\）,哪里 \（\lambda_｛1｝（\欧米茄_｛i｝）\） 表示中负拉普拉斯算子的主特征值 \（\Omega_{i}\） 在齐次Dirichlet边界条件下,\（i=1,2，\ldot，m）.此外,溶液是稳定的.

本文其余部分的结构如下。在节中2，我们利用全局分歧理论获得了系统正解的存在性和稳定性(1.6)在条件（C1）和（C2）下。章节三致力于以下情况\（A_{ij}\）(\（i，j=1,2）)满足条件（C3）。章节4致力于将我们的理论结果应用于一些一维模型。

2定理的证明1.1

在本节中，我们将介绍一些基本结果。首先，考虑功能\（\phi_{p，\omega}^{ij}:\omega\rightarrow\mathbb{R}\）(\（i，j=1,2）)由提供

$$\phi_｛p，\omega｝^｛ij｝（x）=\int_｛\omega｝A_｛ij｝（x，y）\bigl\vert\omega（y）\bigr\vert^｛p｝\，\mathrm{d} 年，\四x \ in \欧米茄$$

如果\（A_{ij}\）(\（i，j=1,2）)和ω是有界的，那么\（\phi_{p，\omega}^{ij}\）(\（i，j=1,2）)定义明确。此外，我们有以下观察结果：

$$\开始{aligned}和\bigl\Vert\phi_{p，\omega}^{ij}\bigr\Vert_{infty}\leq\Vert A_{ij{\infty{|\omega|\Vert\omega\Vert_}^{p}\quad\mbox{表示L^{\inffy}（\omega）中的所有}\omega\$$

(2.1)

$$\开始{aligned}&\bigl\Vert\phi_{p，\omega}^{ij}-\phi_{p，\nu}^{ij}\bigr\Vert_{infty}\leq\Vert A_{ij{\Vert_{infty}|\Omega|\bigl\Vert|\Omega|^{p}-|\nu|^{p}\bigr\Vert_{infty}\quad\mbox{代表所有}\omega，在L^{infty}（\omega）中为nu，在结束{aligned}中为$$

(2.2)

和

$$\开始{aligned}&\phi^｛ij｝_{p} ：L^{\infty}（\Omega）\rightarrow L^{\finfty{（\欧米茄），\\&\phi^{ij}_{p} （u）=φ^{ij}_｛p，u｝\end｛aligned｝\quad（i，j=1，2）\mbox｛在｝L^｛\infty｝（\Omega）中是一致连续的$$

(2.3)

使用这些符号，很容易观察到\（（u，v）\）是一个积极的解决方案(1.6)当且仅当\（（u，v）\）是一个积极的解决方案

$$\left\{\textstyle\begin{array}{l@{quad}l}{-}\Delta u=u（\lambda-\phi^{11}_{p，u}-\φ^{12}_{q，v}）&\mbox{in}\Omega，\\{-}\Delta v=v（\lambda-\phi^{21}_{p，u}-\φ^{22}_{q，v}）&\mbox{in}\Omega，\\u=v=0&\mbax{on}\partial\Omega。\结束{array}\displaystyle\right$$

(2.4)

首先，我们证明了(1.6)对于小型λ.

引理2.1

假设 \（A_{ij}\）(\（i，j=1,2）)满足（C1）和（C2）。然后是系统(1.6)具有 \（\lambda<\lambda{1}\） 没有积极的解决方案.

证明

我们用矛盾来证明这个引理。假设(1.6)带有\（\lambda\leq\lambda{1}\）有一个积极的解决方案\（（u_{*}，v_{*{）\）.那么我们有

$$\left\{\textstyle\begin{array}{l@{quad}l}{-}\Delta u_{*}=u_{}（\lambda-\int_{\Omega}A_{11}（x，y）u_{**}^{p}（y）\，\mathrm{d} 年-\int_{\Omega}A_{12}（x，y）v_{*}^{q}（y）\，\mathrm{d} 年)&\mbox{in}\Omega，\\{-}\Delta v_{*}=v_{*.}（\lambda-\int_{\Omega}A_{21}（x，y）u_{*{p}（y）\，\mathrm{d} 年-\int_{\Omega}A_{22}（x，y）v_{*}^{q}（y）\，\mathrm{d} 年)&&mbox｛in｝\Omega，\\u_｛*｝=v_｛*｝=0&&mbox｛on｝\partial \Omega。\结束{array}\displaystyle\right$$

(2.5)

让\（（\lambda_{1}，\psi_{1{）\）具有\（\psi{1}>0\）是特征值问题的主特征对

$$\left\{\textstyle\begin{array}{l@{quad}l}-\Delta\psi=\mu\psi&\mbox{in}\Omega，\\psi=0&\mbax{on}\partial\Omega。\结束{array}\displaystyle\right$$

(2.6)

乘法(2.5)由\（\psi{1}\）然后在Ω上积分，我们得到

$$\left\{\textstyle\begin{array}{l}\int_{\Omega}（\lambda-\lambda{1}）\psi_{1}（x）u_{*}（x）\，\mathrm{d} x个\\quad=\int_{\Omega\times\Omega}[A_{11}（x，y）u_{*}^{p}（y）+A_{12}（x，y）v_{*{^q}{d} 年\，\mathrm{d} x个，\\int_{\Omega}（\lambda-\lambda{1}）\psi_{1}（x）v_{*}（x）\，\mathrm{d} x个四元=\int_{\Omega\times\Omega}[A_{21}（x，y）u_{*}^{p}（y）+A_{22}{d} 年\，\mathrm{d} x。\end｛array｝\displaystyle\right$$

(2.7)

自\（\psi{1}>0\）,\（u{*}>0\）,\（v{*}>0\）、和\（\lambda\leq\lambda{1}\），我们发现(2.7)小于0，并且两个方程的右边都大于0，这是一个矛盾。So系统(1.6)没有积极的解决方案\（\lambda\leq\lambda{1}\）. □

提议1

[5]

假设存在一对正函数 \（在C^{2}（\Omega）\cap C_{0}^{1，\delta}（\ overline{\Omega}）中的\上划线{u}，\上划线},\（\δ\ in（0,1）\）,这样的话

$$\left\{\textstyle\begin{array}{l}{-}\Delta\上划线｛u｝-\上划线{u}[\lambda-\int_{\Omega}A{11}{0}^{p-1}（y）\上划线{u}（y）+qA{12}（x，y）v{0}^{q-1}{d} 年>0，\\{-}\Delta\上划线{v}（v）-\上划线｛v｝[\lambda-\int_｛\Omega｝A_｛21｝（x，y）u_｛0｝^｛p｝（y）\，｛\mathrm｛d｝y-\int_｛\Omega｝A_｛22｝（x，y）v_｛0｝^｛q｝（y）\，｛\mathrm｛d｝y]\\\quad｛｝+v_｛0｝\int_｛\Omega｝[p A_｛21｝（x，y）u_｛0｝^｛p-1｝（y）\上划线｛u｝（y）+q A_ 22｝（x，y）v_｛0｝^｛q-1｝（y）\覆盖线｛v｝（y）]\，\mathrm{d} 年>0.\end{数组}\displaystyle\right$$

那么特征值问题的主特征值(1.6)是肯定的.

在下一节中，我们将证明(1.6)利用Rabinowitz的经典分歧结果[17]. 为此，我们回顾\（c_{\infty}=c_{\ infty{（\Omega）>0\）这样，对于每个\（f\在L^{\infty}（\Omega）中\），存在唯一的\（C^{1}中的\omega\（上划线{\omega}）\）令人满意的

$$\left\{\textstyle\begin{array}{l@{quad}l}-\Delta\omega=f（x），&x\in\omega，\\omega=0，&x\ in\partial\Omeca，\end{array}\displaystyle\right$$

(2.8)

和\（\|\omega\|_{C^{1}（\overline{\omega}）}\leq C_{\infty}\|f\|_}\infty}\）因此，解决方案操作符\（S:C^{0}（上划线{\Omega}）\rightarrow C^{1}（下划线{\欧米茄}）\）可以通过以下方式给出

$$SU=\omega_｛1｝\quad\left-rightarrow\quad\left \｛\textstyle\bearth｛array｝｛l@｛\fquad｝l｝-\Delta\omega_｛1｝=U，&x\in\omega，\\\\omega_｛1｝=0，&x\in\partial\omega。\结束{array}\displaystyle\right$$

显然，S公司定义明确、线性且满足

$$\|SU\|_{C^{1}（\overline{\Omega}）}\leq C_{\infty}\|U\|_}C^{0}（\ overline}\Omega）}，\quad\对于C^{0}（\foverline）中的所有U\$$

此外，根据Schauder嵌入定理，\（S:C^{0}（\overline{\Omega}）\rightarrow C^{0}（\ overline}\Omega}）\）是一个紧凑运算符。鉴于S公司，很容易看出

$$\sigma（S）=\bigl\{\lambda_{j}^{-1}\mid\lambda_{j}\mbox{是负拉普拉斯算子}\bigr\}的特征值$$

另一方面，定义非线性算子\（F:C^{0}（上划线{\Omega}）\rightarrow C^{1}（下划线{\欧米茄}）\）作为

$$FV=\omega_{2}\quad\Leftrightarrow\quad_left\{textstyle\begin{array}{l@{quad}l}-\Delta\omega_2}+\Phi_{五} V（V）=0，&x\in\Omega，\\Omega_{2}=0，&x\in\partial\Omeca，\end{array}\displaystyle\right$$

哪里\（V=（u，V）^{\mathrm{T}}\在C^{0}（\Omega）\中）和

$$\Phi_{V}=\左（\textstyle\begin{array}{@{}c@{}}\Phi^{11}_{p，u}+\phi^{12}_{q，v}\\phi^{21}_｛p，u｝+\φ^{22}_{q，v}\end{array}\displaystyle\right）$$

显然，F类连续且满足

$$\|FV\|_{C^{1}（\overline{\Omega}）}\leq C_{\infty}\|\Phi_{V}\|_}\infty}\|V\|{C^}0}（\ overline}\Omega）}，对于C^{0}中的所有V\（\overrine{\欧米茄}）$$

再次使用Schauder嵌入定理，我们可以看到\（F:C^{0}（\overline{\Omega}）\rightarrow C^{0}（\ overline}\Omega}）\）结构紧凑。此外，请注意

$$\|FV\|_{C^{0}（\overline{\Omega}）}\leq\|FV \|_}C^{1}（\ overline}\Omega）}$$

那么我们有

$$\biggl\Vert\frac{FV}{\|V\|{C^{0}\infty}\|\Phi_{V}\|_{\infty}$$

从中可以看出

$$\lim_{V\rightarrow0}\frac{FV}{\|V\|{C^{0}（\overline{\Omega}）}}=0，\quad\textit{即}，\quad FV=o\bigl（\Vert V\Vert_{C^}（\ overline}\Omega）}\biger）$$

(2.9)

显然，\（V=（u，V）^{\mathrm{T}}\）解决(1.6)当且仅当

$$V=G（\lambda，V）\triangleq\lambda-SV+FV$$

鉴于[17]，考虑到\（E=C^{0}（上划线{\Omega}），我们得到以下结果。

定理2.1

让 E类 成为巴拿赫空间.假设 F类 满足(2.9),S公司 是一个紧线性算子,和 \（\lambda^{-1}\在\sigma（S）中\） 具有奇代数重数.让

$$\Gamma=\上划线{\bigl\{（\lambda，V）\in\mathbb{R}\times E:V=\lambda-SV+FV，V\neq0\bigr\}}$$

然后让 \（\mathcal{C}\） 是的闭合连接组件Γ包含 \（（\lambda，0）\）.那么要么

• (1) \（\mathcal{C}\） 在中是无界的 \（\mathbb{R}\乘以E\）,或者其他

• (2) 存在 \（\波浪线{\lambda}\neq\lambda \） 这样的话 \（（波浪线{\lambda}，0）\in\mathcal{C}\） 和 \（波浪号｛\lambda｝^｛-1｝\in \ sigma（S）\）.

备注2.1

因为\（\lambda{1}\）是特征值问题的主特征值(2.6)与相关的本征函数\（\psi{1}>0\）Ω上的多重性很简单，根据全局分岔定理，存在一个闭合的连通分量\（\mathcal{C}\）包含\（（\lambda_{1}，0）\）满足（1）或（2）的解(1.6).

为了证明正解的存在性(1.6)与\（\lambda>\lambda{1}\），它来自引理2.1和定理2.1只需证明定理的结论（1）2.1持有，并且V（V）是有界的，当\（\lambda>\lambda_｛1｝\）.

引理2.2

存在 \（\varepsilon>0\） 如果 \（（\lambda，V）=（\lampda，u，V）\in\mathcal{C}\） 具有 \（\lambda-\lambda{1}<\varepsilon\） 和 \（上划线{\Omega}）} 哪里 \（u\neq0） 和 \（v\neq0）,然后 u个 和 v（v） 有明确的信号,那就是,

• （i） \（u（x）>0） 和 \（v（x）>0） 为所有人 \（x\英寸\欧米茄\）,或

• （ii） \（u（x）>0） 和 \（v（x）<0） 为所有人 \（x\英寸\欧米茄\）,或

• （iii） \（u（x）<0） 和 \（v（x）>0\） 为所有人 \（x\英寸\欧米茄\）,或

• （iv） \（u（x）<0） 和 \（v（x）<0） 为所有人 \（x\in\Omega\）.

证明

采取\（V{n}=（u{n}，V{n}）在C^{0}（上划线{Omega}）中和\（\lambda_{n}\rightarrow\lambda{1}\）作为\（n\rightarrow\infty\）这样的话\（\|V_{n}\|_{C^{0}（\overline{\Omega}\times\overline{\Omega}）}\rightarrow0\）作为\（n\rightarrow\infty\）和

$$V{n}=G（\lambda{n}，V{n{）$$

让\（w{n}^{1}=\frac{u{n}}{\|u{n{}\|{C^{0}（上划线{\Omega}）}}）和\（w{n}^{2}=\frac{v{n}}{.那么我们有

$$\left\{\textstyle\begin{array}{l@{quad}l}{-}\Delta w_{n}^{1}+\phi^{11}_{p，u{n}}w{n}^{1}+\phi^{12}_{q，v{n}}w{n}^{1}=\lambda_{n} w个_{n} ^{1}&\mbox{in}\Omega，\\{-}\Delta w_{n}^{2}+\phi^{21}_｛p，u_｛n｝｝w_｛n｝^｛2｝+\phi^{22}_{q，v{n}}w{n}^{2}=\lambda_{n} w个_{n} ^{2}&\nmbox{in}\Omega，\\w_{n}^{1}=w_{n}^{2{=0&\nmbax{on}\partial\Omega。\结束{array}\displaystyle\right$$

(2.10)

它源自(2.1)那个\（\|\phi^{11}_{p，u{n}}）,\（\|\phi^{12}_{q，v{n}}）,\（\|\phi^{21}_{p，u{n}}）、和\（\|\phi^{22}_{q，v{n}}）如果两者都有界\（u{n}\）和\（v{n}\）被限制在\（C^{0}（上划线{\Omega}）因此，很容易看出

$$开始{aligned}和\bigl\Vert w_{n}^{1}\bigr\Vert_{C^{1{（\overline{Omega}）}\leq C_{infty}\bigl[\lambda_{n{+\bigl\ Vert\phi^{11}_{p，u_{n}}\bigr\Vert_{infty}+\bigl\Vert\phi^{12}_{q，v_{n}}，\bigr\Vert_{infty}\bigr]\bigl\Vert w_{n{n}^{1}\biger\Vert_{C^{0}（\overline{\Omega}）}，\ quad\forall n\in\mathbb{n}，\\&\bigl\ Vert w_{n}^2}\birgr\Vert_C^{1{\bigl[\lambda_{n}+\bigl\Vert\phi^{21}_{p，u_{n}}\bigr\Vert_{infty}+\bigl\Vert\phi^{22}_{q，v_{n}}\bigr\Vert_{infty}\biger]\bigl\Vert w_{n{n}^{2}\birgr\Vert_{C^{0}（上划线{Omega}）}，\quad\forall n\in\mathbb{n}。\结束{对齐}$$

请注意

$$\开始{aligned}&\bigl\Vert w_{n}^{1} -w个_{m} ^{1}\bigr\Vert_{C^{1{（\overline{\Omega}）}\leqc_{\infty}\bigl[\bigl\Vert\lambda_{n} w个_{无}^{1}-\λ_{m} w个_{m} ^{1}\bigr\Vert_{C^{0}（\overline{\Omega}）}+\bigl（\bigl\Vert\phi^{11}_{p，u_{n}}\bigr\Vert_{infty}+\bigl\Vert\phi^{12}_{q，v_{n}}\bigr\Vert_{infty}\biger）\bigl\Vert w_{n{^{1}-w_{m}^{1}\bigr\Vert_{C^{0}（上划线{\Omega}）}\\&\hphantom{\bigl\Vert w_{n}^{1} -w个_{m} ^{1}\bigr\Vert_{C^{1{（\overline{\Omega}）}\leq{}{}+\bigl\Vert\phi^{11}_{p，u{n}}-\phi^{11}_{p，u_{m}}\bigr\Vert_{infty}+\bigl\Vert\phi^{12}_{q，v{n}}-\phi^{12}_{q，v_{m}}\bigr\Vert_{infty}\biger]，\quad\forall n\inmathbb{n}，\\&\bigl\Vert w_{n}^{2} -w个_{m} ^{2}\bigr\Vert_{C^{1}（\overline{\Omega}）}\leqc_{\infty}\bigl[\bigl\Vert\lambda_{n} w个_｛n｝^{2}-\λ_{m} w个_{m} ^{2}\bigr\Vert_{C^{0}（\overline{\Omega}）}+\bigl（\bigl\Vert\phi^{21}_{p，u_{n}}\bigr\Vert_{infty}+\bigl\Vert\phi^{22}_{q，v_{n}}\bigr\Vert_{infty}\biger）\bigl\Vert w_{n{^{2}-w_{m}^{2}\bigr\Vert_{C^{0}（上划线{\Omega}）}\\&\hphantom{\bigl\Vert w_{n}^{2} -w个_{m} ^{2}\bigr\Vert_{C^{1}（\overline{\Omega}）}\leq{}{}+\bigl\Vert\phi^{21}_{p，u{n}}-\phi^{21}_{p，u_{m}}\bigr\Vert_{infty}+\bigl\Vert\phi^{22}_{q，v{n}}-\phi^{22}_{q，v_{m}}\bigr\Vert_{infty}\biger]，\quad\forall n\in\mathbb{n}。\结束{对齐}$$

然后，使用Arzelá-Ascoli定理，我们可以看到，对于每个固定的\（在{1,2\}中）,\（w{n}^{i}\）收敛到某些\（C^{1}中的w^{i}（上划线{Omega}）在Ω̅中一致，因此存在收敛子序列。根据的定义\（w{n}^{i}\）,\（\|w^{i}\|_{C^{0}（上划线{\Omega}）}=1\）暗示\（w^{i}\neq0\）,\（i=1,2）.乘法(2.10)由v（v）在Ω上积分，我们得到

$$\开始{aligned}&\int_{\Omega}\nabla w_{n}^{1}\nablav \，\mathrm{d} x个+\int_｛\Omega｝\bigl（\phi^{11}_{p，u{n}}+\phi^{12}_{q，v{n}}\biger）w{n}^{1} 五\，\mathrm{d} x个=\lambda_{n}\int_{\Omega}w_{n{^{1}v\，\mathrm{d} x个，\\&\int_{\Omega}\nabla w_{n}^{2}\nablav，\mathrm{d} x个+\int_{\Omega}\bigl（\phi^{21}_{p，u{n}}+\phi^{22}_{q，v{n}}\biger）w{n}^{2} v（v）\，\mathrm{d} x个=\lambda_{n}\int_{\Omega}w_{n{^{2}v\，\mathrm{d} x。\结束{对齐}$$

鉴于(2.1)，我们有\（\phi{p，u{n}}^{11} w个_{n} ^{1}，\phi_{q，v_{n}}^{12} w个^{1}_{n} ，\ phi_｛p，u _｛n｝｝^{21}周_{n} ^{2}，\phi^{22}_{q，v{n}}w{n}^{2}\右箭头0\）作为\（n\rightarrow\infty\）在里面\（C^{0}（上划线{\Omega}）.然后

$$\left\{\textstyle\begin{array}{l@{quad}l}{-}\Delta w^{1}=\lambda_{1} w个^{1} &\mbox{in}\Omega，\\{-}\Delta w^{2}=\lambda_{1} w个^{2} &\mbox{in}\Omega，\\w^{1}=w^{2}=0&\mbax{on}\partial\Omega。\结束{array}\displaystyle\right$$

自\（周^{1} w个^{2} \neq0），它从光谱和极限理论得出，对于每个固定的\（在{1,2\}中）,

$$w^{i}（x）>0\quad\mbox{或}\quad w^{i}（x）<0$$

为所有人\（x\英寸\欧米茄\）在下文中，我们只考虑以下情况\（w ^｛1｝（x）>0\）和\（w^{2}（x）>0\）为所有人\（x\英寸\欧米茄\）因为其他三种情况可以类推讨论。请注意\（w^{1}\）和\（w^{2}\）是\（C^{1}（上划线{\Omega}）-的限制\（w{n}^{1}\）和\（w{n}^{2}\）分别是。然后，在Ω上，\（w{n}^{i}>0\）和\（w{n}^{i}>0\）对于n个足够大。因此\（u{n}\）和\（v{n}\）与的相同\（w{n}^{1}\）和\（w{n}^{2}\）对于n个足够大。这就完成了证明。□

很容易检查，如果\（（λ，u，v）在γ中），然后是配对\（（\lambda，-u，v）\）,\（（λ，u，-v））、和\（（\lambda，-u，-v）\）也在Γ中。在下面，我们分解\（\mathcal{C}\）进入之内\（\mathcal{C}=\mathcal{C}^{+，+}\cup\mathcali{C}{+，-}\cup \mathcial{C}^{-，+}\cup\ mathcal}C}{-，-}\），其中

$$\begin{aligned}&\mathcal{C}^{+，+}=\bigl\{（\lambda，u，v）\in\mathcal{C}:u（x）\geq0，v（x）\ geq0\mathcal｛C｝^｛+，-｝=\bigl\｛（\lambda，u，v）\in\mathcal｛C｝：u（x）\geq0，v（x）\leq0，\fall-x\in\Omega\bigr\｝；\\&\mathcal{C}^{-，+}=\bigl\{（\lambda，u，v）\in\mathcal}:u（x）\leq0，v（x）\ geq0，\forall x\in\Omega\bigr\}；\\&\mathcal{C}^{-，-}=\bigl\{（\lambda，u，v）\in\mathcal}:u（x）\leq0，v（x）\feq0，\forall x\in\Omega\bigr\}。\结束{对齐}$$

下面的引理告诉我们系统(1.6)满足定理2.1(1).

引理2.3

每个 \（\数学｛C｝^｛+，+｝\）,\（\mathcal{C}^{-，+}\）,\（\mathcal{C}^{-，+}\）,和 \（\mathcal{C}^{-，-}\） 是无界的.

证明

很容易看出，如果\（\mathcal{C}^{+，+}\）,\（\mathcal{C}^{-，+}\）,\（\mathcal{C}^{-，+}\）、和\（\mathcal{C}^{-，-}\）是无界的，那么其他的也是无界的。因此，这足以表明\（\mathcal{C}^{+，+}\）是无限的。假设\（\mathcal{C}^{+，+}\）有界。然后\（\mathcal{C}\）也是有界的。鉴于全局分歧定理（定理2.1),\（\mathcal{C}\）满足定理的结论（2）2.1也就是说，\（\mathcal{C}\）包含\（（\波浪线{\lambda}，0,0）\），其中\（\波浪线{\lambda}\neq\lambda{1}\）和\（\tilde{\lambda}^{-1}\在\sigma（S）中\）.

我们接受\（\{（lambda_{n}，u_{n{，v_{nneneneep）\}^{infty}_{n=1}\substeq\mathcal{C}^{+，+}\）这样的话\（u）_{n} 五_{n} \neq0）和\（（u_{n}，v_{n{）=G（λ这样的话\（\lambda_{n}\rightarrow\tilde{\lambda}\）,\（\|u_{n}\|_{C^{0}（上划线{\Omega}）}\rightarrow0\）、和\（\|u_｛n｝\|_｛C^｛0｝（\overline｛\Omega｝）｝\rightarrow0\）作为\（n\rightarrow\infty\）.出租

$$w_{n}^{1}=\frac{u_{n{}}{\|u_{n}\|_{C^{0}（\overline{\Omega}）}}，\qquad w_{n{2}=\frac{v{n}}{$$

并使用与引理证明中类似的参数2.2，我们明白了\（（w{n}^{1}，w^{2}_{n} ）\）收敛到\（（w^{1}，w^{2}）\）在里面\（C^｛1｝（\overline｛\Omega｝）\乘以C^｛1｝（\overline｛\Omega｝）\）作为\（n\rightarrow\infty\），这是特征值问题的非零解对

$$\left\{\textstyle\begin{array}{l@{quad}l}{-}\Delta w^{1}=\tilde{\lambda}w^{1'和\mbox{in}\Omega，\\{-}\Delta w^{2}=\utilde{\lampda}w^{2]和\mbax{in}，\\w^{1\lambda{2}，=w^{2{0&\mbox}on}\partial\Omega，\end array}\显示样式\右$$

这意味着\（w^{1}\）和\（w^{2}\）特征函数与λ̃.自\（\波浪线{\lambda}\neq\lambda{1}\），两者都是\（w^{1}\）和\（w^{2}\）以Ω为单位改变符号。因此，对于n个足够大，\（周^{1}_{n} \）和\（周^{2}_{n} \）改变符号，因此相同的结果适用于\（u{n}=\|u{n{0}（上划线{\Omega}）}w{n}^{1}）和\（v{n}=\|v{n{0}（上划线{\Omega}）}w{n}^{2}）然而，这与以下假设相矛盾：\（（\lambda_{n}，u_{n{，v_{nneneneep）\in\mathcal{C}^{+，+}\）。这就完成了证明。□

现在，我们将证明该系统(1.6)满足定理2.1(1). 这足以表明连接的组件\（\mathcal{C}^{+，+}\）与窗体的任意集相交\（\{\lambda\}\乘以H^{1}_{0}（\Omega）\乘以H^{1}_｛0｝（\欧米茄）\）对于\（\lambda>\lambda{1}\）.

引理2.4

假设 \（A_{ij}\）(\（i，j=1,2）)满足条件（C1）和（C2）。对于任何 \（兰姆达>0）,存在一个常数 \（r>0\） 这样的话 \（\|u\|_{C^{0}（上划线{\Omega}）}\leqr） 和 \（\|v\|_{C^{0}（上划线{\Omega}）}\leqr） 无论何时 \（（\lambda，u，v）\in\mathcal{C}^{+，+}\） 和 \（\lambda\leq\lambda\）.

证明

首先，我们表示为\（\|\cdot\|\）通常的规范\（H）^{1}_{0}（\Omega）\）也就是说，

$$\|u\|^{2}=\|u\|^{2}_{高^{1}_{0}（\Omega）}=\int_{\Omega}|\nabla u|^{2}\，\mathrm{d} x。 $$

事实上，如果这不是真的，就会存在\（\｛（\lambda_{n｝，u_{n｝，v_{n｝）\｝^｛\fty｝_｛n=1｝\subet[0，\lambda]\times H^{1}_{0}（\Omega）\乘以H^{1}_{0}（\Omega）\）这样的话

• 案例1。 \（\|u_{n}\|\rightarrow\infty\）,\（\lambda_{n}\rightarrow\lambda _{0}\in\lambda\）作为\（n\rightarrow\infty\）,\（v{n}）、和\（（u_{n}，v_{n{）=G（λ;

• 案例2。 \（\|v_{n}\|\rightarrow\infty\）,\（\lambda_{n}\rightarrow\lambda _{0}\in\lambda\）作为\（n\rightarrow\infty\）,\（u{n}）、和\（（u_{n}，v_{n{）=G（λ;

• 案例3。 \（\|u_{n}\|\rightarrow\infty\）,\（\|v_{n}\|\rightarrow\infty\）和\（\lambda_｛n｝\rightarrow\lambda_｛0｝\in\lambda\）作为\（n\rightarrow\infty\）、和\（（u_{n}，v_{n{）=G（λ.

我们只讨论案例3，因为其他案例可以类推处理。让

$$w_{n}^{1}=\frac{u_{n{}}{\|u_{n}\|_{C^{0}（\overline{\Omega}）}}，\qquad w_{n{2}=\frac{v{n}}{\|v{n}\|_C^{0}（\ overline}\Omega）}}}$$

那么我们有

$$\left\｛\textstyle\ begin｛array｝｛l｝\int_｛\Omega｝\nabla w_｛n｝^｛1｝\nabla\ttheta_｛1｝\，\mathrm{d} x个+\int_{\Omega}（\phi^{11}_{p，u{n}}+\phi^{12}_{q，v{n}}）w{n}^{1}\theta{1}\，\mathrm{d} x个=\lambda_{n}\int_{\Omega}w_{n{^{1}\theta_{1}\，\mathrm{d} x个，\\int_{\Omega}\nabla w_{n}^{2}\nabla\theta{2}\，\mathrm{d} x个+\int_{\Omega}（\phi^{21}_{p，u{n}}+\phi^{22}_{q，v{n}}）w{n}^{2}\theta{2}\，\mathrm{d} x个=\lambda_{n}\int_{\Omega}w_{n{2}\theta_{2}\，\mathrm{d} x。\end{数组}\displaystyle\right$$

(2.11)

请注意\（{（w{n}^{1}，w{n{^{2}）}^{infty}{n=1}）被限制在\（H）^{1}_{0}（\Omega）\乘以H^{1}_{0}（\Omega）\）然后，在不失一般性的情况下，我们假设\H中的（w=（w^{1}，w^{2}）^{1}_{0}（\Omega）\乘以H^{1}_{0}（\Omega）\）这样的话

$$\开始{对齐}&w_{n}^{i}\rightarrow^{i{quad\mbox{as}n\rightarror\infty\mbox{in}H^{1}_{0}（\Omega），i=1,2，\\&w_{n}^{i}\rightarrow^{i{quad\mbox{as}n\rightarror\infty\mbox{in}L^{2}（\欧米茄），i=1,2，\end{aligned}$$

和\（w_{n}^{i}（x）\rightarrow w^{ineneneep（x）\）作为\（n\rightarrow\infty\）a.e.单位为Ω，\（i=1,2\）.采取\（θ{1}=frac{u{n}}{u{n}^{p+1}}）作为第一个方程中的测试函数(2.11)和\（θ{2}=frac{v{n}}{v{n}^{q+1}}）作为第二个方程式中的测试函数(2.11)分别为方程式(2.11)减少到

$$\left\{\textstyle\begin{array}{l}\frac{1}{\|u{n}\|^{p}}+\int_{\Omega}（\phi^{11}_{p，w^{1}_{n} }+\phi^{12}_{q，\frac{v{n}}{u{n}）（w{n}^{1}）^{2}，\mathrm{d} x个=\frac{\lambda{n}}{\|u{n}\|^{p}}\int{\Omega}（w_{n}^{1}）^{2}\，\mathrm{d} x个，\\frac{1}{\\v{n}\\^{q}}+int{Omega}（\phi^{21}_{p，frac{u{n}}{v{n}{^{q/p}}}+\phi^{22}_{q，w^{2}_{n} }）（w{n}^{2}）^{2{\，\mathrm{d} x个=\frac{\lambda{n}}{\|v{n}\|^{q}}\int{\Omega}（w_{n}^{2}）^{2{，\mathrm{d} x。\end{数组}\displaystyle\right$$

通过这些等式的极限并使用Fatou引理，我们得到

$$\left\{\textstyle\begin{array}{l}0\leq\int_{\Omega}（\phi^{11}_{p，w^{1}}+\phi^{12}_{q，\frac{v}{u\^{p/q}}}）（w^{1}）^{2}，\mathrm{d} x个\\hphantom{0}\leq\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\Omega}（\phi^{11}_{p，w^{1}_{n} }+\phi^{12}_{q，\frac{v{n}}{u{n}）（w{n}^{1}）^{2}，\mathrm{d} x个=0，\\0\leq\int_{\Omega}（\phi^{21}_｛p，\frac｛u｝｛\|v\|^｛q/p｝｝｝｝+\phi^{12}_{q，w^{2}}）（w^{2]）^{2{\，\mathrm{d} x个\\hphantom{0}\leq\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\Omega}（\phi^{21}_｛p，\frac｛u_｛n｝｝｛\|v_｛n｝\|^｛q/p｝｝｝｝+\phi^{22}_{q，w^{2}_{n} }）（w{n}^{2}）^{2{\，\mathrm{d} x个= 0. \结束{array}\displaystyle\right$$

考虑到条件（C2），我们有\（w^{1}=w^{2}=0\）也就是说，\（w{n}^{1}\）和\（w{n}^{2}\）收敛到0英寸\（L^{2}（\Omega）\）另一方面\（θ{1}=w{n}^{1}）和\（θ{2}=w{n}^{2}）作为测试功能(2.11)，我们看到了

$$\left\{\textstyle\begin{array}{l}\int_{\Omega}\vert\nabla w_{n}^{1}\vert^{2}\，\mathrm{d} x个+\int_{\Omega}（\phi^{11}_{p，u{n}}+\phi^{12}_{q，v{n}}）（w{n}^{1}）^{2}\，\mathrm{d} x个=\lambda_{n}\int_{\Omega}（w_{n{^{1}）^{2}\，\mathrm{d} x个，\\int_{\Omega}\vert\nabla w_{n}^{2}\vert^{2{，\mathrm{d} x个+\int_{\Omega}（\phi^{21}_{p，u{n}}+\phi^{22}_{q，v{n}}）（w{n}^{2}）^{2{\，\mathrm{d} x个=\lambda_{n}\int_{\Omega}（w_{n{^{2}）^{2{，\mathrm{d} x。\end｛array｝\displaystyle\right$$

请注意\（lambda{n}{n=1}^{infty}）由∧和

$$\开始{aligned}&\int_{\Omega}\bigl（\phi^{11}_｛p，u_｛n｝｝+\phi^{12}_{q，v{n}}\bigr）\bigl（w{n}^{1}\biger）^{2}\，\mathrm{d} x个\geq0，\\&\int_{\Omega}\bigl（\phi^{21}_{p，u{n}}+\phi^{22}_{q，v{n}}\bigr）\bigl（w{n}^{2}\biger）^{2{\，\mathrm{d} x个\geq0.\end{对齐}$$

那么我们有

$$\left\{\textstyle\begin{array}{l}\int_{\Omega}\vert\nabla w_{n}^{1}\vert^{2}\，\mathrm{d} x个\leq\lambda_{n}\int_{\Omega}（w_{n{^{1}）^{2}\，\mathrm{d} x个，\\int_{\Omega}\vert\nabla w_{n}^{2}\vert^{2{，\mathrm{d} x个\leq\lambda_{n}\int_{\Omega}（w_{n{^{2}）^{2{\，\mathrm{d} x。\end{数组}\displaystyle\right$$

根据极限，我们得出结论\（\|w_{n}^{1}\|\rightarrow0\）和\（\|w_｛n｝^｛2｝\|\rightarrow0\）作为\（n\rightarrow\infty\），这很荒谬，因为\（w{n}^{1}=w{n{2}=1）为所有人n个。这就完成了证明。□

三定理的证明2.1

我们观察到，如果\（A_{ij}\）(\（i，j=1,2）)不满足条件（C2），即：

• （C4） 存在一个可测量的函数\（\varphi=（\varfi_{1}，\varphi_{2}）：\Omega\rightarrow\mathbb{R}^{2}\setminus\{（0,0）\}\）这样的话

  $$\开始{aligned}&\int_{\Omega}\bigl（\phi^{11}_{p，\frac{\varphi{1}}{\\varphi{1\}}+\phi^{12}_{q，\frac{\varphi{2}}{\\varphi{1}\|^{p/q}}\bigr）\biggl（\frac}\varphi}}{\|varphi{1\|}\biggr）^{2}\，\mathrm{d} x个=0\quad\mbox{或}\\&\int_{\Omega}\bigl（\phi^{21}_{p，\frac{\varphi{1}}{\\varphi{2}\^{q/p}}}+\phi^{12}_{q，\frac{\varphi{2}}{\|varphi{2\|}}\bigr{d} x个=0.\结束{对齐}$$

  (3.1)

引理3.1

如果 \（A_｛ij｝\）(\（i，j=1,2）)满足条件（C3），然后(3.1)意味着 \（\varphi_{1}=\varphi_2}=0\） 一.e（电子）.在里面 \（\欧米茄\集减去U\）.

证明

根据方程式(3.1)，我们有

$$\bigl（\phi^{11}_{p，\frac{\varphi{1}}{\\varphi{1\}}+\phi^{12}_{q，\frac{\varphi{2}}{\|\varphi_{1}\|^{p/q}}\bigr）\biggl（\frac}\varphi_1}}{\\varphi_1{1}\ |}\biggr）^{2}=0\quad\mbox{a.e.在}\Omega$$

或

$$\bigl（\phi^{21}_{p，\frac{\varphi{1}}{\\varphi{2}\^{q/p}}}+\phi^{12}_{q，\frac{\varphi{2}}{\|\varphi_{2}\|}}\bigr）\biggl（\frac}\varphi_2}}{\\varphi_2{2}}\biggr）^{2}=0\quad\mbox{a.e.位于}\Omega$$

正在修复\（\varepsilon>0\）和\（D_{\varepsilon}=\{x\in\Omega\set-nu:|\varphi_{1}|\geq\varepsilon\mbox{或}|\varfi_{2}|\gerq\varebsilon\}\），因此

$$\begin{aligned}0=&\bigl（\phi^{11}_{p，\frac{\varphi{1}}{\\varphi{1\}}+\phi^{12}_{q，\frac{\varphi{2}}{\|\varphi_{1}\|^{p/q}}\bigr）\biggl（\frac}\varphi_1}}{\ |\varph_{1{\|}\biggr）^{2}\\=&\int_{\Omega}\bigl[A{11}{1}\|}\biggr\vert^{p}+A{12}（x，y）\frac{|\varphi_{2}（y）|^{q}}{\|\varfi_{1}\ |^{p{}\bighr]\，\mathrm{d} 年\\geq&\min\biggl\{\int_{D_{\varepsilon}\cap B_{r}}A_{11}（x，y）\biggl（\frac{\varesilon}{\|varphi_{1}\|}\biggr）^{p}\，\mathrm{d} 年，\int_{D_{\varepsilon}\cap B_{r}}\frac{\varebsilon^{q}}{\|varphi_{1}\|^{p}}A{12}（x，y）\，\mathrm{d} 年\biggr\}，\end{对齐}$$

或

$$\begin{aligned}0=&\bigl（\phi^{21}_{p，\frac{\varphi{1}}{\\varphi{2}\^{q/p}}}+\phi^{22}_{q，\frac{\varphi{2}}{\|\varphi_{2}\|}}\bigr）\biggl（\frac}\varphi_2}}{\ |\varfi_2}\|{\biggr）^{2}\\=&\int_{\Omega}\biggl[A{21}（x，y）\frac[|\varphi_{1}（y）|^{p}{\ ^{q}}+A{22}（x，y）\biggl\vert\frac{\varphi{2}（y）}{\|\varphi_{2}\|}\biggr\vert^{q{\biggr]\，\mathrm{d} 年\\geq&\min\biggl\{\int_{D_{\varepsilon}\cap B_{r}}A_{21}（x，y）\frac{\varesilon^{p}}{{d} 年，\int_｛D_｛\varepsilon｝\cap B_｛r｝｝A_｛22｝（x，y）\biggl（\frac｛\varepsilon｝｛\|\varphi_｛2｝\|｝\biggr）^｛q｝\，\mathrm{d} 年\biggr \}。\结束{对齐}$$

我们的结论是\（|D_{\varepsilon}\cap B_{r}|=0\）为所有人\（\varepsilon>0\）和\（r>0\），其中\（B_{r}（x）\triangleq B_{r}\）球的中心在吗x个半径的\（r>0\）因此，\（|D_{\varepsilon}|=0\）为所有人\（\varepsilon>0\）。这就完成了证明。□

此后，我们按照引理的证明进行2.4。我们的目标也是得出先验的的边界\（（\lambda，u，v）\in\mathcal{C}^{+，+}\），其中\（\lambda\ in \ tilde{\lambda}=[\lambda _{1}，\ tilde}\ lambda}]\）具有\（波浪线{\lambda}<\min\{\lambeda{1}（\Omega_{1}），\lambda{1}（\Omega_{2}），\ldots，\lambeda{1{（\Omega_{n}）\}\）.

引理3.2

假设 \（A_{ij}\）(\（i，j=1,2）)满足条件（C1）、（C3）、，和（C4）。然后存在一个常数 \（l>0） 这样的话 \（\|u\|_{C^{0}（上划线{\Omega}）}\leql） 和 \（\|v\|_{C^{0}（上划线{\Omega}）}\leql） 无论何时 \（（\lambda，u，v）\in\mathcal{C}^{+，+}\） 和 \（\lambda\在\波浪线{\lambda}\中）.

证明

事实上，矛盾地争论，如果这不是真的，那么就会存在\（{（\lambda_{n}，u_{nneneneep，v_{n{）}^{infty}_{n=1}\子集\波浪线{\lambda}\乘以H^{1}_{0}（\Omega）\乘以H^{1}_{0}（\Omega）\）以下三种情况之一成立：

• 1 \（\|u_{n}\|\rightarrow\infty\）,\（\lambda_{n}\rightarrow\lambda{0}\ in \波浪线{\lambda}\）作为\（n\rightarrow\infty\）,\（v{n}）、和\（（u_{n}，v_{n{）=G（λ;

• 2 \（\|v_｛n｝\|\rightarrow\infty\）,\（\lambda_{n}\rightarrow\lambda{0}\ in \波浪线{\lambda}\）作为\（n\rightarrow\infty\）,\（u{n}）、和\（（u_{n}，v_{n{）=G（λ;

• 三。 \（\|u_｛n｝\|\rightarrow\infty\）,\（\|v_{n}\|\rightarrow\infty\）,\（\lambda_{n}\rightarrow\lambda{0}\ in \波浪线{\lambda}\）作为\（n\rightarrow\infty\）、和\（（u_{n}，v_{n{）=G（λ.

我们只讨论案例3，因为其他两个案例可以类比处理。让

$$\varphi美元^{无}_{1} =\frac{u_{n}}{\|u_{n}\|_{C^{0}（上划线{\Omega}）}}，\qquad\varphi{2}^{n}=\frac{v_{n{{{$$

接下来就是

$$\left\{\textstyle\begin{array}{l}\int_{\Omega}\nabla\varphi^{无}_{1} \nabla\rho\，\mathrm{d} x个+\int_{\Omega}（\phi^{11}_{p，u{n}}+\phi^{12}_{q，v{n}}）\varphi{n}^{1}\rho\，\mathrm{d} x个=\lambda_{n}\int_{\Omega}\varphi^{无}_{1} \rho\，\mathrm{d} x个，\\\\int_{\Omega}\nabla\varphi^{无}_{2} \nabla\rho\，\mathrm{d} x个+\int_{\Omega}（\phi^{21}_{p，u{n}}+\phi^{22}_{q，v{n}}）w{n}^{2}\rho\，\mathrm{d} x个=\lambda_{n}\int_{\Omega}\varphi^{无}_{2} \rho\，\mathrm{d} x。\end{数组}\displaystyle\right$$

(3.2)

请注意\（\{（\varphi^{无}_{1} ，\varphi^{无}_{2} ）\}^{\infty}_{n=1}\）以为界\（小时^{1}_{0}（\Omega）\乘以H^{1}_{0}（\Omega）\）然后，在不失一般性的情况下，我们假设\H中的（\varphi=（\varphi_{1}，\varphi_{2}）^{1}_｛0｝（\Omega）\乘以H^{1}_{0}（\Omega）\）这样的话

$$\开始{aligned}&\varphi_{i}^{n}\rightarrow\varphi_{i}\quad\mbox{as}n\rightarror\infty\mbox{in}H^{1}_{0}（\Omega），i=1,2，\\&\varphi_{i}^{n}\rightarrow\varphi_{i}\quad\mbox{as}n\rightarror\infty\mbox{in}L^{2}（\欧米茄），i=1,2，\end{aligned}$$

和\（\varphi{i}^{n}\rightarrow\varphi_{i}\）(\（i=1,2）)作为\（n\rightarrow\infty\）a.e.单位为Ω。

使用引理证明中的类似参数2.4，我们有\（\varphi\neq0\），这意味着至少有一个\（\varphi_{1}\）和\（\varphi_{2}\）不等于0。在不失一般性的情况下，假设\（\varphi_{1}\neq0\）.然后通过引理3.2存在一些\（j\in\{1,2，\ldots，m\}\）这样的话\（\varphi_{1}|_{\Omega_{j}}\neq0\）.鉴于(3.2)，对于任何积极的\（H_{0}^{1}（\Omega_{j}）中的\rho\），我们有

$$\开始{aligned}\int_{\Omega_{j}}\nabla\varphi^{无}_{1} \nabla\rho\，\mathrm{d} x个\leq&\int_{\Omega_{j}}\nabla\varphi^{无}_{1} \nabla\rho\，\mathrm{d} x个+\int_{\Omega_{j}\bigl（\phi^{11}_{p，u{n}}+\phi^{12}_｛q，v_｛n｝｝\bigr）\varphi_｛n｝^｛1｝\rho\，\mathrm{d} x个\\=&\lambda_{n}\int_{\Omega_{j}}\varphi^{无}_{1} \rho\，\mathrm{d} x个\leq\tilde{\lambda}\int_{\Omega_{j}}\varphi^{无}_{1} \rho\，\mathrm{d} x。\结束{对齐}$$

(3.3)

在方程式中取极限(3.3)和服用\（\rho=\psi{1}\），其中\（\psi{1}\）是关联的第一个特征函数\（\lambda_{1}（\Omega_{j}）\），我们有

$$\lambda{1}（\Omega{j}）\int_{\Omega{j}}\varphi{1}\psi{1}\，\mathrm{d} x个\leq\波浪线{\lambda}\int_{\Omega_{j}}\varphi_{1}\psi_{1{\，\mathrm{d} x个, $$

这是一个矛盾。□

4示例

在本节中，我们考虑系统(1.6)带有\（\Omega=（0，\pi）\）检查第节中获得的主要结果的有效性1和2。请注意\（\lambda\triangleq\sigma{n}=n^{2}\）(\（n\in\mathbb{n}\）)是线性特征值问题的特征值\（u''+λu=0\）具有\（u（0）=u（\pi）=0）和\（在nx中）是与特征值相关联的特征函数\（n^{2}\）,\（n\in\mathbb{n}\）特别是，\（σ{1}=1\）和\（当x>0时）在\（（0，\pi）\）。在下文中，我们考虑以下示例：

$$A_{i，j}（x，y）=\left\{\textstyle\begin{array}{l@{quad}l}1&\mbox{if}（x，y）\in[（0，\frac{\pi}{2}）\times \显示样式\右$$

为所有人\（i，j=1,2）显然，\（A_{ij}\）(\（i，j=1,2）)在对角线上消失。它遵循定理1.1所有人都有一个积极的解决方案\（λ>1）事实上，我们看到了这个系统(1.6)带有\（\Omega=（0，\pi）\）并且给定\（A_{ij}\）(\（i，j=1,2）)有一个积极的解决方案\（u=\chi_{1}\sin x）和\（v=\chi_{2}\sin x），其中\（\chi_{1}\）和\（\chi_{2}\）正常数是否满足

$$\lambda=（\chi_{1}）^{p}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{p{x\，\mathrm{d} x个+（chi{2}）^{q}\int{0}^{frac{\pi}{2}}\sin^{q{x\，\mathrm{d} x个+1. $$