具有反馈控制的离散竞争系统的灭绝

摘要

我们考虑一个具有非线性抑制项和反馈控制的非自治离散竞争系统。通过构造一个合适的李亚普诺夫函数，我们得到了关于两个物种中一个物种灭绝的一些准则以及相应的反馈控制品种。我们的结论不仅补充而且改进了一些现有的结论。数值模拟用于说明我们的分析。我们证明了反馈控制变量对系统的消光特性起着重要作用。

1介绍

最近，竞赛制度受到了广泛关注。例如，王等。[1]考虑了以下具有非线性抑制项的两种群竞争系统：

$$\textstyle\开始{cases}\dot{x{1}}（t）=x{1{（t 2}（t）x{2}$$

(1.1)

哪里\（x{1}（t）\）,\（x{2}（t）\）是两个竞争物种的种群密度，\（a{1}（t）\）,\（a{2}（t）\）是第一种和第二种的种内竞争率，\（c{1}（t）\）,\（c{2}（t）\）代表种间竞争率和\（r{1}（t）\）,\（r_｛2｝（t）\）是物种的固有生长速率。王等。[1]证明了模型正概周期解的存在性和全局渐近稳定性(1.1). 对于模型的生态意义(1.1)，我们指的是[2]以及其中的参考文献。

考虑到当种群的预期寿命较短且世代不重叠时，由差分方程控制的离散时间模型比连续时间模型更合适，秦等。[三]介绍了以下离散模拟系统(1.1):

$$\textstyle\begin{cases}x{1}（n+1）=x{1{（n）\operatorname{exp}\{r{1'（n）-a{1}（n）x{1neneneei（n）-\frac{c{2}（n{2}（n）-a{2}-（n）x{2}。\结束{cases}$$

(1.2)

在中对正周期解的持久性、存在性和全局稳定性有了很好的理解[三]. 至于几乎周期的情况，王和刘[4]进一步研究了系统正概周期解的存在性、唯一性和一致渐近稳定性(1.2). 在中考虑了物种的灭绝和另一物种的稳定性[5]. 岳[6]被调查的系统(1.2)有一种产毒素的物种。在[6].

Wang注意到现实世界中的生态系统往往由不可预测的力量分布，这可能导致生物参数的变化等。[7]提出了以下模型、系统(1.2)带有反馈控制：

$$\textstyle\begin{cases}x{1}（n+1）=x{1{（n）\operatorname{exp}\{r}1}{2}（n）\操作符名{exp}\{r{2}（n）-a{2]（n n）x_{1}（n），\Delta u_{2}（n）=-b{2}（n）u{2}-（n）+d{2}-x{2}-n。\结束{cases}$$

(1.3)

王等。[7]建立了系统唯一正概周期解的存在性和一致渐近稳定性的判据(1.3)具有几乎周期性参数。于[8]进一步考虑了反馈控制变量对系统持久性的影响。另一方面，众所周知，消光性也是数学生物学研究中的一个重要课题；然而，到目前为止，还没有学者对制度的这一性质进行研究(1.3). 事实上，在本文中，我们应用了Chen的分析技术等。[9]，徐等。[10]、和张等。[11]为了获得一组充分条件，以保证两个物种中的一个物种和相应的反馈控制物种将被驱赶到灭绝。有关此方向的更多工作，请参阅[12–21]以及其中的参考文献。

对于任何有界序列\（{g（n）\}\），我们表示\（g^{L}=\inf_{n\在Z}\{g（n）\}\）,\（g^{M}=\sup_{n\在Z}\{g（n）\}\中）为了方便起见，我们引入了以下假设：

\（（H_{1}）\）:

\（{r{i}（n）\}\）,\（i=1,2），是在上定义的有界序列Z轴、和\（{a{i}（n）\}\）,\（{c{i}（n）\}\）,\（{d_{i}（n）\}\）、和\（{e_{i}（n）\}\）,\（i=1,2），是定义在上的有界非负序列Z轴.

\（（H_{2}）\）:

序列\（{b{i}（n）\}\）满足\（0<b_{i}^{L}\leb_{i}^{M}<1\）为所有人\（在Z中为n\）.

\（（H｛3｝）\）:

存在正整数ω这样，对于每个\（i=1,2）,

$$\liminf_{n\rightarrow\infty}\sum_{s=n}^{n+\omega-1}r{i}>0$$

\（（H_{4}）\）:

存在正整数ρ这样，对于每个\（i=1,2）,

$$\limsup_{n\rightarrow\infty}\prod_{s=n}^{n+\rho-1}\bigl（1-b_{i}\bigr）<1$$

关于生物背景，我们将重点讨论系统的正解(1.3). 因此，我们认为(1.3)以及以下初始条件：

$$x{i}（0）>0，\qquad u{i}（0）>0，\quad i=1,2$$

(1.4)

很明显(1.3)-(1.4)定义明确且令人满意

$$x_{i}（n）>0，\qquad u_{ineneneep（n）>0，\quad i=1,2，\mbox{表示}n在Z中$$

(1.5)

本文的其余部分组织如下。在下一节中，我们将研究一个物种的灭绝以及系统的相应反馈控制变种(1.3). 进行了一些示例及其数值模拟，以表明我们在第节中的结果的可行性三我们以简短的讨论结束本文。

2灭绝

在本节中，我们将建立两个物种中一个物种灭绝的充分条件，以及相应的反馈控制系统的变种(1.3). 王等。[7]表明系统的正解(1.3)最终被限定：

引理2.1

参见[7]

任何积极的解决方案 \（（x{1}（n），x{2} 系统的(1.3)满足

$$\lmsup_｛n\rightarrow\infty｝x_｛i｝（n）\le B_｛i｝，\qquad\lmsup_｛n\rightarrow\infty｝u_｛i｝（n）\le D_｛i｝$$

(2.1)

哪里 \（B_{i}=\frac{\exp（r_{i{^{M} -1个)}{a_{i}^{L}}\） 和 \（D_{i}=\压裂{B_{i} d日_{i} ^{M}}{b_{i}^{L}}\） 对于 \（i=1，2）.

我们现在来研究物种的灭绝\（x{2}\）并且反馈控制着品种\（u{2}\）系统的(1.3).

定理2.1

除了 \（（H_{1}）\）-\（（H_{4}）\）,进一步假设:

$$（H_{5}）\quad\limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{\sum_{s=n}^{n+\omega-1}r_{2}（s）}{\sum{s=n}^{n+\omega-1}r_1}（s）}$$

和

$（H_{6}）\quad\limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{e_{1}{1}}{\sum{s=n}^{n+\omega-1}r{2}（s）}-\frac{a{1}（n）}{d_{1}[n）}\biggr）$$

哪里 \（B_{1}\） 在引理中定义 2.1.然后 \（x{2}\） 和 \（u{2}\） 将被赶尽杀绝,那就是,对于任何正解 \（（x{1}（n），x{2} 系统的(1.3),\（\lim_{n\rightarrow\infty}x_{2}（n）=0\） 和 \（\lim_{n\rightarrow\infty}u_{2}（n）=0\）.

证明

根据Lemma2.1，对于任何\（\varepsilon>0\）足够小，存在\（n{1}>0\）足够大，以便\（n_{1}）,

$$x{1}（n）\le B_{1}+\varepsilon，\qquad u_{1neneneep（n）\ le D$$

(2.2)

哪里\（D=\operatorname{max}\{D_{1}+\varepsilon，D_{2}+\valepsilon\}\）因此，它由\（（H｛3｝）\）存在正常数\（\eta_{0}\）和\（n{2}这样的话

$$\sum_{s=n}^{n+\omega-1}r_{i}（s）\ge\eta_{0}\quad\mbox{表示所有}n\gen_{2}$$

由\（（H_{1}）\）,\（（H_{2}）\）、和\（（H_{5}）\）我们可以得到

$$\liminf_{n\rightarrow\infty}\frac{e_{2}（n）}{b_2}（n）}>\limsup_{n\rightarror\infty}\biggl（\frac{c_2}）}{d_{2{（n{n+\omega-1}r{1}（s）}-\frac{a{2}（n）}{d{2}（n）{biggr）$$

(2.3)

同样ε，根据\（（H_{5}）\）-\（（H_{6}）\）和(2.3)，我们可以选择正常数\（α、β、γ、δ）、和\（n{3}\gen{2}\）这样的话

$$开始{对齐}和\frac{\sum_{s=n}^{n+\omega-1}r{2}}（n）}{b{1}（n）}<\frac{\gamma}{\alpha}<\frac{\betac{1}（n）-\alpha$$

和

$$\frac{e_{2}（n）}{b{2}（n）{>\frac{delta}{beta}>\frac}\alpha-c{2}[n）-\betaa{2}[（n）]{betad_{2neneneep（n）]$$

为所有人\（n_{3}）因此，我们有：

$$\beart｛aligned｝&&sum_｛s=n｝^｛n+\omega-1｝\bigl（\betar_｛2｝（s）-\alpha r_｛1｝（s）\bigr）<-\varepsilon\beta\eta_｛0｝，\end｛aligned｝$$

(2.4)

$$\开始{aligned}&\alpha e_{1}（n）-\gamma b_{1}（n）<0，\end{aligned}$$

（2.5）

$$开始{aligned}和\alpha a{1}（n）-\frac{\betac_{1'（n）}{1+B_{1}+\varepsilon}+\gamma d_{1}（n）<0，\end{aligned}$$

(2.6)

$$\开始{aligned}&\增量b_{2}（n）-\βe_{2}（n）<0，\结束{aligned}$$

（2.7）

$$开始{aligned}&\alpha c_{2}（n）-\beta a_{2neneneep（n）-\delta d_{2}（n）<0。\结束{对齐}$$

(2.8)

考虑Lyapunov函数

$$V（n）=x_{1}^{-\alpha}（n）x_{2}^{\beta}$$

(2.9)

通过计算，我们得到

$$开始{对齐}\frac{V（n+1）}{V（n）}={}&\operatorname{exp}\biggl\{βr_{2}（n）-\alphar_{1}（n）+\bigl u{2}（n）+\biggl（\alphaa{1}（n）-\frac{\betac{1}（n）}{1+x{1}[n）}+\gammad_{1}[（n）\biggr）x{1{（n}{1+x{2}（n）}-\betaa{2}（n）-\delta d_{2}-（n）\biggr）x{2{（n{}+\bigl（δb{2}（n）-\betae_{2}（n）\bigr）u{2{（n（n） \\&{}+\bigl（\alpha c{2}（n）-\beta a{2}（n）-\delta d_{2}-（n）\bigr）x{2}.（n）\ biggr。\结束{对齐}$$

它是根据(2.5)-(2.8)那个

$$V（n+1）\le V（n）\运算符名称｛exp｝\bigl\｛\betar_｛2｝（n）-\alpha r_｛1｝（n）\bigr\｝\quad\mbox｛for all｝n\ge n_｛3｝$$

(2.10)

对于任何\（n_{3}），我们选择一个整数\（m\ge0）这样的话\（在[n{3}+m\omega中，n{3{+（m+1）\omega）.集成(2.10)来自\（n{3}\）到\（n-1）导致

$$开始{对齐}V（n）和\le V（n_{3}）\operatorname{exp}\Biggl\{\sum_{s=n_{3+}^{n-1}\bigl m\omega-1}+\sum_{s=n_{3}+m\omega-1}^{n-1}\Biggr\}\bigl（\betar_{2}（s）-\alphar_{1}\bigr）\\&\le V（n_{3+）\operatorname{exp}\{-\varepsilon\beta\eta_{0}米+M_{1}\}\\&\le V（n_{3}）\operatorname{exp}\biggl\{-\varepsilon\beta\eta_{0}\bigl（\frac{n-n_3}}{\omega}-1\biggr）+M_{1\biggr\}\\&\le V_{0}个}｛\omega｝+M_｛1｝^｛*｝\biggr\｝，\end｛aligned｝$$

(2.11)

哪里\（M_{1}^{*}=\frac{\varepsilon\beta\eta_{0}个_{3} }{\omega}+\varepsilon\beta\eta{0}+M_{1}\）和\（M_{1}=\sup_{n\在Z}\vert\betar_{2}（n）-\alphar_{1{（M）\vert\omega\）.关系(2.2)(2.9)、和(2.11)暗示，因为\（n_{3}）,

$x_｛2｝（n）<\bigl[x_｛1｝^｛-\alpha｝（n_｛3｝｛-\frac｛\varepsilon\eta_{0}个}{\omega}\biggr\}$$

(2.12)

因此，\（x{2}（n）向右箭头0）以指数形式\（n\rightarrow\infty\）类似于Chen中定理3.1的相应证明等。[9]，我们很容易看到\（u{2}（n）\右箭头0\）作为\（n\right arrow\infty\）.这就结束了定理的证明2.1. □

现在，让我们研究物种的灭绝特性\（x{1}\）反馈控制品种\（u{1}\）在系统中(1.3)，这也是一个有趣的问题，我们得到了以下结果。

定理2.2

让 \（（x{1}（n），x{2} 是系统的任何正解(1.3).假设 \（（H_{1}）\）-\（（H_{4}）\） 以下不等式成立:

$$开始{对齐}和（H_{7}）\quad\liminf_{n\rightarrow\infty}\frac{\sum_{s=n}^{n+\omega-1}r_{2}（s）}{\sum_{s=n}^{n+\omega-1}r_1}}>\limsup{n\right arrow\finfty{c_{1}（n）}{a_{1{（n}}\liminf{n\rightarrow\infty}\frac{\sum{s=n}^{n+\omega-1}r{2}$$

哪里 \（B_{2}\） 在引理中定义 2.1.然后 \（\lim_{n\rightarrow\infty}x_{1}（n）=0\） 和 \（\lim_｛n\rightarrow\infty｝u_｛1｝（n）=0\）.

证明

根据引理2.1，对于任何\（\varepsilon>0\）足够小，存在一个正常数\（n{4}>n{3}\）这样，对于\（n_{4}）,

$$x{2}（n）\le B_{2}+\varepsilon$$

(2.13)

由\（（H_{1}）\）,\（（H_{2}）\）、和\（（H_{7}）\）我们得到了

$$\liminf_{n\rightarrow\infty}\frac{e_{1}（n）}{b_1}（n）}>\limsup_{n\rightarror\infty}\biggl（\frac{c_1}）}{d_{1{（n{n+\omega-1}r{2}（s）}-\frac{a{1}（n）}{d{1}（n）{biggr）$$

(2.14)

同样ε，根据\（（H_{7}）\）-\（（H_{8}）\）和(2.14)，我们可以选择正常数\（α、β、γ、δ）、和\（n{5}格n{4}）这样：

$$开始{对齐}和\frac{\sum_{s=n}^{n+\omega-1}r{2}}（n）}{b{2}（n）}<\frac{delta}{beta}<\frac}\alpha c{2}（n）-\beta（1+b{2}+\varepsilon）a{2}[n）}}{beta（l+b{2]+\varebsilon$$

和

$$\frac{e_{1}（n）}{b{1}[n）}>\frac{\gamma}{\alpha}>\frac{\betac{1}（n）-\alphaa{1}[（n）]}{\Alphad_{1neneneep（n）{$$

为所有人\（n_{5}）因此，我们有：

$$\begin{aligned}&\sum_{s=n}^{n+\omega-1}\bigl（\alpha r{1}（s）-\beta r{2}\bigr）<-\varepsilon\beta\eta_{0}，\end{alinged}$$

(2.15)

$$\开始{aligned}&\betae_{2}（n）-\deltab_{2}（n）<0，\end{aligned}$$

(2.16)

$$\beart｛aligned｝&｛-｝\frac｛\alpha c｛2｝（n）｝｛1+B_｛2｝+\varepsilon｝+\beta a_｛2｝（n）+\delta d_｛2｝（n）＜0，\end｛aligned｝$$

(2.17)

$$\开始{aligned}&\gamma b_{1}（n）-\alpha e_{1}（n）<0，\end{aligned}$$

(2.18)

$$开始{aligned}&{-}\alpha a{1}（n）+\beta c{1}（n）-\gamma d_{1'（n）<0。\结束{对齐}$$

(2.19)

考虑Lyapunov函数

$$V（n）=x_{1}^{\alpha}（n）x_{2}^{-\beta}$$

（2.20）

通过计算和不等式(2.16)-(2.19)我们得到了

$$开始{对齐}\frac{V（n+1）}{V（n）}={}&\operatorname{exp}\biggl\{\alpha r_{1}（n）-\beta r_{2}u{2}（n）+\biggl（-\alphaa{1}（n）+\frac{\betac{1}（n）}{1+x{1}[n）}-\gammad_{1}[（n）\biggr）x{1{（n}{1+x{2}（n）}+\betaa{2}（n）+\delta d_{2]（n{}+\bigl（\betae_{2}（n）-\deltab_2}（m）\bigr）u_2}+\biggl（-\frac{\alpha c{2}（n）}{1+B_{2}+\varepsilon}+\beta a{2}（n）+\delta d_{2}-（n）\biggr）x{2}-\operatorname{exp}\bigl\{alpha r{1}。\结束{对齐}$$

(2.21)

发件人(2.21)，类似于定理的分析2.1，我们可以得出以下结论\（x_{1}（n）\右箭头0 \）和\（u｛1｝（n）\右箭头0\）作为\（n\rightarrow\infty\）.这就结束了定理的证明2.1. □

什么时候？\（e_{i}（n）=b{i}（n）=d_{ineneneep（n）=0.（i=1,2））, (1.3)成为(1.2)，如中所述[5]. 类似于定理的证明2.1和2.2，我们可以得到以下结果：

走廊2.1

除了 \（（H_{1}）\）-\（（H｛3｝）\）,进一步假设

$$（H_{9}）\quad\limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{\sum_{s=n}^{n+\omega-1}r_{2}（s）}{\sum{s=n}^{n+\omega-1}r_1}（s）}<\min\biggl\{liminf_{n\rightarror\infty}\frac{a_2}（n）}{c_2}\rightarrow\infty}\frac{c_{1}（n）}{（1+B_{1{）a{1}[n）}\biggr\}$$

哪里 \（B_{i}\） \（（i=1,2）\） 在引理中定义 2.1.然后是物种 \（x{2}\） 将被赶尽杀绝,那就是,对于任何正解 \（（（x{1}（n），x{2}（n））^{T}\） 系统的(1.2),\（\lim_{n\rightarrow\infty}x_{2}（n）=0\）.

走廊2.2

让 \（（（x{1}（n），x{2}（n））^{T}\） 是系统的任何正解(1.2).假设

$$（H_{10}）\quad\liminf_{n\rightarrow\infty}\frac{\sum_{s=n}^{n+\omega-1}r_{2}（s）}{\sum{s=n}^{n+\omega-1}r_1}（s）}>\max\biggl\{limsup_{n\rightarror\infty}\frac{c_1}\rightarrow\infty}\frac{（1+B_{2}）a_2}（n）}{c_2}$$

哪里 \（B_{2}\） 在引理中定义 2.1.然后 \（\lim_{n\rightarrow\infty}x_{1}（n）=0\）.

备注2.1

与假设比较\（（H_{1}）\）和\（（H_{2}）\）在中给出[5]，我们可以在Corollaries中看到我们的假设2.1和2.2较弱。

三示例和数值模拟

在本节中，我们给出以下两个示例来说明我们的主要结果。

示例3.1

考虑以下系统：

$$\textstyle\begin{cases}x{1}（n+1）=x{1{（n）\operatorname{exp}\{1.4-1.75x{1neneneep（n）-\frac{（1+0.3\sin（n））x{2}（n{2}（n）-\分形{（6+2\cos（n））x{1}=-（0.7+0.2\cos（n））u{2}（n）+0.4x{2}（n）。\结束{cases}$$

(3.1)

在这种情况下，我们有\（（H_{1}）\）-\（（H_{4}）\）保持并\（B_｛1｝=\ frac｛\ operatorname｛exp｝（r_｛1｝^{M} -1个)}{a_{1}^{L}}\约0.8525\），因此

$$开始{对齐}和\limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{\sum_{s=n}^{n+\omega-1}r{2}（s）}{\sum{s=n}^{n+\omega-1}r}（s）}=0.5右箭头\infty}\frac{e_{1}（n）}{b{1}（n）{approx1.2857，\\&\liminf_{n\rightarrow\infty}\biggl（frac{c_1}（n）}{（1+b_1}）d_{1neneneep（n）}\liminf{n\rightarrow\infty}\frac{\sum{s=n}^{n+\omega-1}r{1}（s）}{\sum_{s=n}^{n+\omega-1}r}2}（s）}-\frac}a{1}（n）}{d{1}[n）}\biggr）大约5.1370。\结束{对齐}$$

所以定理中的所有条件2.1ares满意，并且\（x{2}\）和\（u{2}\）在系统中(3.1)都灭绝了。我们的数值模拟支持这一结果（见图1).

图1

系统的动态行为( 3.1 )在初始条件下 \（\pmb{（x_{1}（0），x_{2} 和 \（\pmb{（0.2，0.1，0.6，0.5）^{T}}\） .

示例3.2

考虑以下系统：

$$\textstyle\begin{cases}x{1}（n+1）=x{1{（n）\operatorname{exp}\{0.4-1.75x{1neneneep（n）-\frac{（3.4+0.4\sin（n））x{2}（n{2}（n）-\分形{（3+\cos（n））x{1}=-（0.7+0.2\cos（n））u{2}（n）+0.4x{2}（n）。\结束{cases}$$

(3.2)

在这种情况下，我们有\（（H_{1}）\）-\（（H_{4}）\）保持并\（B_{2}=\frac{\operatorname{exp}（r{2}^{M} -1个)}{a_{2}^{L}}\约1.4016\），因此

$$开始{对齐}和\liminf_{n\rightarrow\infty}\frac{\sum_{s=n}^{n+\omega-1}r{2}}{\sum_{s=n}^{n+\omega-1}r_1}n\rightarrow\infty}\frac{e_{2}（n）}{b{2}（n）{approx3，\\&\liminf_{n\right arrow\finfty{biggl（\frac{c_2}（n）}{（1+b_2}）d_{2neneneep（n）}\liminf{n\rightarrow\infty}\frac{\sum{s=n}^{n+\omega-1}r{2}（s）}{\sum_{s=n}^{n+\omega-1}r_{1}（s）}-\frac}a{2}（n）}{d{2}[n）}\biggr）\approx9.2417。\结束{对齐}$$

所以定理中的所有条件2.2感到满意，并且\（x{1}\）和\（u{1}\）在系统中(3.2)都灭绝了。数值模拟也证实了我们的结果（见图2).

图2

系统的动态行为( 3.1 )具有初始条件 \（\pmb{（x_{1}（0），x_{2} 和 \（\pmb{（0.2，0.1，0.6，0.5）^{T}}\） .

4讨论

本文考虑一个具有非线性抑制项和反馈控制的两种群非自治离散竞争系统，即(1.3)其中讨论了[7,8]. 然而，到目前为止，还没有学者研究系统的消亡特性(1.3)这也是数学生物学中的一个重要课题。通过开发陈的分析技术等。[9]，Xu等。[10]、和张等。[11]我们得到了保证其中一个分量消亡的充分条件以及相应的反馈控制变量。什么时候？\（e_{i}（n）=b{i}（n）=d_{ineneneep（n）=0.） \（i=1,2）, (1.3)成为(1.2)，如中所述[三–5]. 作为定理的直接结果2.1和2.2，推论2.1和2.2改进和补充[5,7,8]. 此外，通过比较定理2.1带花冠2.1、和定理2.2带花冠2.2我们还发现，对于这类系统，反馈控制变量对系统的消光性起着重要作用。