脉冲分数阶微分方程边值问题的存在性

摘要

本文研究了一类脉冲分数阶微分方程解的存在性q个利用一些著名的不动点定理研究了混合边界条件。最后，给出了一个例子来说明我们的结果。

1介绍

分数阶微分方程的边值问题引起了许多作者的关注。分数微分方程用于数学建模、工程、生物、化学和许多其他科学领域；请参阅参考资料。然而，脉冲分数阶微分方程已经成为一个新的课题，因此更多的研究者关注分数阶微分问题的脉冲问题；参见[1——28]以及其中的参考文献。

田和白[7]利用Banach不动点定理和Schauder不动点理论得到问题解的存在性，如下所示：

$$\开始{对齐}&^{c} D类_{0+}^{\alpha}u（t）=f\bigl（t，u（t{我}_{k} \bigl（u（t）\bigr），\quad k=1,2，\ldots，m，\\&u（0）+u^｛\prime｝（0）=0，\\&u（1）+u^｛\prime｝（\xi）=0。\结束{对齐}$$

非线性脉冲微分方程反周期边值问题解的存在唯一性\（（2,3]\中的α）2010年获得[17]，如下所示：

$$\开始{aligned}&\bigl（^{c} D类_{0+}^{\alpha}u（t）\bigr）=f\bigl（t，u（t，\ldot，p，\\&\Delta u^{prime\prime}（t_{k}）=I_{k}^{ast}\bigl（u（t_{k}）\bigr），\quad k=1,2，\ldots，p，\&u（0）=-u（1），\\&u^{prime}（0）=-u^{prime}$$

用卡普托分数导数\({}^{c} D类_{0+}^{\alpha}\）,\（f在C（J\times\mathbb{R}，\mathbb{R}）中）和\（C（\mathbb{R}\times\mathbb{R}）中的Q_{k}，I_{k{，I_{k}^{ast}\）,\（0=t_{0}<t_{1}<\ cdots<t_{k}<\cdots<t_{p}<t_{p+1}=1\）.

2011年，曹和陈[6]，研究了以下问题以给出分数阶微分包含的Filippov定理的一些存在性结果和一个连续版本：

$$\开始{aligned}&\bigl（^{C} 天_{0+}^{\alpha}u（t）\bigr）在f \bigl（t，u（t巴{我}_{k} \bigl（u（t）\bigr），\quad k=1,2，\ldot，m，\\&u（0）+D_{0+}^{\beta}u（0$$

在这里，\({}^{C} 天_{0+}^{\alpha}\）是具有紧值的Caputo分数导数和多值映射\（F:J\times\mathbb{R}\rightarrow P（\mathbb{R}）\）哪里\（P（\mathbb{R}）\）是所有非空子集的族\（\mathbb｛R｝\）,\（1）和\（0<β<α-1）使用实数A类,B.

2012年，在[18]，找出以下问题的解决方案：

$$\开始{对齐}&^{C} 天_{0+}^{q} u个（t） =f\bigl（t，u（t）\bigr），\\&\Delta u（t_{k}）=y_{k}，\\&\ Delta u^{prime}（t_{k}）=\bar{y}（y）_{k} ，\quad k=1，\ldots，m\\&u（0）=u_{0}，\qquad u^{prime}（0）=\bar{u}_{0};\四元y{k}，\bar{y}（y）_{k} ，u_{0}，\bar{u}_{0}\in\mathbb{R}。\结束{对齐}$$

2016年，利用不动点定理研究了分数阶非线性微分方程脉冲混合边值问题解的存在唯一性[1]，表示为

$$\开始{对齐}&^{C} 天_{0+}^{q} u个（t） =f\bigl（t，u（t）\bigr），\quad t在J^{prime}\\&\Delta u（t_{k}）=I_{k}\ bigl（1）=0，\结束{对齐}$$

哪里\（（1,2）中的q）和\({}^{C} 天_{0+}^{q}\）是阶的卡普托导数吗q个.

受上述工作的启发，我们关注分数阶微分方程解的存在性：

$$ ^{C} 天_{0+}^{q} u个（t） =f\bigl（t，u（t）\bigr），\quad t\在J^{\prime}中$$

(1)

具有边界条件；

$$\开始{对齐}&\增量u（t_{k}）=I_{k}\bigl ^{+}\bigr）-u^{\prime}\bigl（t_{k}^{-}\biger）；\四元k=1，\ldot，p\\&u（0）+\mu_{1} 单位^{\prime}（1）=\sigma{1}，\\&u^{\prime}（0）+\mu_{2} u个（1）=\西格玛{2}，\结束{对齐}$$

(2)

哪里\({}^{C} 天_{0+}^{q}\）是阶的卡普托导数吗\（（1,2）中的q）,\（J=[0,1]\）,\（J^{\prime}=J\反斜杠\{t_{1}，t_{2}，\ldots，t_{p}\}\）,\（0=t_{0}<t_{1}<cdots<t_{p}<t_{p+1}=1）,\（△u（t_{k}）=u（t_}k}^{+}）-u（t_{k}^}-}）和\（δu^{\素数}（t_{k}）=u^{素数}（t_{k}^{+}）-u^{\prime}（t_{k}^{-}）这里分别是\（u（t）\）在\（t=t{k}^{+}\）由表示\（u（t_{k}^{+}）\）和\（u（t_{k}^{-}）\）.

2前期工作

在本节中，我们介绍了贯穿本文的初步事实。我们有

$$\begin{aligned}\mathit{PC}（J）=&\bigl\{u:[0,1]\rightarrow R，C\bigl（J^{prime}\bigr）中的u，\text{和}u\bigl-（t_{k}^{+}\biger），u\bigle（t_{k}^{-}\bicr）\text{exists}，\\&\mbox{和{u\bigr-）=u（t_{k}），1\leq k\leq p\bigr\}。\结束{对齐}$$

显然，\（\mathit{PC}（J）\）是具有规范的Banach空间

$$\Vert-u\Vert_{mathit{PC}}=\sup_{0\leqt\leq1}\bigl\Vert-u（t）\bigr\Vert$$

定义1

Riemann-Liouville分数阶积分\（\alpha>0\）对于函数\（f:[0，+\infty）\右箭头R\）定义为

$$I_{0+}^{\alpha}f（t）=\frac{1}{\Gamma（\alpha）}\int_{0}^{t}（t-s）^{\alpha-1}f（s）\，ds$$

假设积分的右侧是在上逐点定义的\（（0，+\infty）\）Γ是伽马函数。

定义2

这个卡普托阶导数\（\alpha>0\）对于函数\（f:[0，+\infty）\右箭头R\）写为

$$D_{0+}^{\alpha}f（t）=\frac{1}{\Gamma（n-\alpha）}\int_{0}^{t}（t-s）^{n-\alfa-1}f^{（n）}（s）\，ds$$

哪里\（n=[\alpha]+1）,\（[\alpha]\）是α.

引理3

让 \（\alpha>0\）.然后微分方程 \（D_{0+}^{\alpha}f（t）=0\） 有解决方案

$$f（t）=k{0}+k_{1} t吨+k个_{2} t吨^{2} +\cdots+k_{n-1}吨^{n-1}$$

和

$$I_{0+}^{\alpha}D_{0+/}^{\ alpha}f（t）=f（t）+k_{0}+k_{1} t吨+k个_{2} t吨^{2} +\cdots+k_{n-1}吨^{n-1}$$

哪里 \（R\中的k_{i}\） 和 \（i=1,2，\ldots\） ,\（n=[\alpha]+1）.

引理4

[9]

这套 \（F\子集\mathit{PC}（[0,1]，R^{n}）\） 是相对紧凑的当且仅当 F类 是有界的,那就是,\（垂直x垂直C） 对于每个 \（x\在F\中） 还有一些 \（C>0\）,和/或 F类 是准的-中的等连续 $[ 0,1 ]$.也就是说,对于任何 \（\varepsilon>0\） 存在 \（增量>0） 如果 \（x\在F\中）,\（k\单位：N\）;\（τ{1}，τ{2}在（t{k-1}、t{k}]\） 和 \（\vert\tau_{1}-\τ{2}\vert<\delta\）,我们有 \（垂直x（tau{1}）-x（tau{2}）垂直.

引理5

[19]

让 M（M） 是一个封闭的,凸面的,和Banach空间的非空子集 X（X）,和操作员 A类 和 B 是这样的

• （i） \（Ax+By\ in M\） 无论何时 \（x，y\以M\为单位）;

• （ii） A类 紧凑且连续;

• （iii） B 是收缩映射.

然后就有了 \（z在M中） 这样的话 \（z=Az+Bz\）.

引理6

对于 \（（1,2）中的q）,和连续函数 \（f:J\右箭头R\）,我们有以下脉冲分数边值问题:

$$\开始{对齐}&^{C} 天_{0+}^{q} u个（t） =f\bigl（t，u（t）\bigr），\\&\Delta u（t_{k}）=I_{k}\bigl.大（t{k}^{+}\bigr）-u^{prime}\bigl（t{k}^{-}\biger）；\四元k=1，\ldot，p，\\&u（0）+\mu_{1} 单位^{\prime}（1）=\sigma{1}，\\&u^{\prime}（0）+\mu_{2} u个（1）=\sigma{2}，\end{aligned}$$

有独特的解决方案,格林函数由下式给出

$$u（t）=\textstyle\begin{cases}\int_{0}^{t}\frac{（t-s）^{q-1}}{\Gamma \nint_{0}^{1}\frac{（1-s）^{q-2}}{\Gamma（q-1）}f\frac｛（t-s）^｛q-1｝｝｛\Gamma（q）｝f（s）\，ds-\mu_｛2｝\omega_｛2｝（t）\int _｛0｝^｛1｝\frac｛（1-s）^｛q-1｝｝｛\Gamma（q）｝f（s）\，ds-\quad｛}-\mu_｛1｝\omega_｛1｝（t）\int _｛0｝^｛q-2｝｝｛\Gamma（q-1）｝f（s）\，ds+\sigma_｛1｝\ω｛1｝（t）+\∑｛2｝\ω｛2｝（t）\\quad｛｝-\ω｛1｝（t）\sum_｛j=1｝^{p} J型_{j} （u（t_{j}））t_{j}-\ω{2}（t）\sum{j=1}^{p} J型_{j} （u（t{j}））四边形{}+omega{1}（t）sum{j=1}^{p} 我_{j} （u（t_｛j｝））\\\quad｛｝+\sum_｛j＝k+1｝^{p} J型_{j} （u（t{j}））（t_{j} -吨)-\sum_{j=k+1}^{p} 我_{j} （u（t{j}））；\四边形t\in[t{k}，t{k+1}]\\int_{0}^{t}\frac{（t-s）^{q-1}}{\Gamma（q）}f（s）\，ds-\mu_2}\omega_2}{1}（t）\int_{0}^{1}\frac{（1-s）^{q-2}}{\Gamma（q-1）}f^{p} J型_{j} （u（t_{j}））t_{j}-\ω{2}（t）\sum{j=1}^{p} J型_{j} （u（t{j}））四边形{}+omega{1}（t）sum{j=1}^{p} 我_{j} （u（t{j}）），在[t{p}，t{p+1}]中的四个t，结束{cases}$$

哪里

$$\omega_｛1｝（t）=\frac｛1+\mu_{2}-\亩_{2} t吨}{1+\mu_{2}-\mu{1}\mu{2}\quad\textit{和}\quae\omega{2}（t）=\frac{t-\mu{1{}{1+\mu_{2}-\mu{1}\mu{2}}$$

证明

通用解决方案\({}^{C} 天_{0+}^{q} u个（t） =f（t，u（t）），在\（（t{k}，t{k+1}]\）,\（k=1，\ldots，p\）,

$$u（t）=\int_{0}^{t}\frac{（t-s）^{q-1}}{\Gamma（q）}f（s）\，ds+a_{k}+b_{k} t吨，\quad\text｛for｝t\in（t_｛k｝，t_｛k+1｝]$$

哪里\（t_{0}=0\）,\（t{p+1}=1\）取导数，

$$u^{\prime}（t）=\int_{0}^{t}\frac{（t-s）^{q-2}}{\Gamma（q-1）}f（s）\，ds+b_{k}，\quad\text{for}t\in（t_{k}，t_{k+1}]）$$

我们使用边界条件\（u（0）+\mu_{1} 单位^｛\prime｝（1）=\西格玛_｛1｝\）和\（u^{\prime}（0）+\mu_{2} u个（1）=σ{2}得到

$$a{0}+\mu{1}\int_{0}^{1}\压裂{（1-s）^{q-2}}{\Gamma（q-1）}f（s）\，ds+\mu_{1} b条_{p} =\西格玛{1}$$

和

$$b_{0}+\mu_{2}\int_{0{^{t}\frac{（t-s）^{q-1}}{\Gamma（q）}f（s）\，ds+\mu_{2} 一个_{p} +\亩_{2} b条_{p} =\西格玛{2}$$

哪里

$$\开始{对齐}&u（0）=a_{0}，\qquad u^{prime}（0）=b_{0neneneep，\\&u（1）=\int_{0{^{t}\frac{（1-s）^{q-1}{Gamma（q）}f（s）\，ds+a_{p}+b_{p{，\\&u^{prime}}{\Gamma（q-1）}f（s），ds+b{p}。\结束{对齐}$$

那就是，

$$\开始{对齐}和\开始{-对齐}\增量u^{质数}（t_{k}）&=J_{k}\bigl（u（t_{k}）\bigr_{k} -b个_{k-1}，结束{对齐}^{p} J型_{j} \bigl（u（t{j}）\bigr），\\&b{k}=b_{p}-\和{j=k+1}^{p} J型_{j} \bigl（u（t_{j}）\bigr），\end{对齐}$$

和

$$\开始{对齐}&\增量u（t_{k}）=I_{k}\bigl_{k} t吨_{k} =a{k-1}+b_｛k-1｝t_{k} +I_{k}\bigl（u（t_{k}）\bigr）。\结束{对齐}$$

自\（b{k}=b{k-1}+J{k}（u（t{k}）），我们有

$$开始{对齐}&a{k}+\bigl_｛k-1｝t_{k} +I{k}\bigl（u（t_{k}）\bigr），\\&a{k}+b_｛k-1｝t_{k} +J_{k}\bigl（u（t_{k}）\bigr）t_{k{=a_{k-1}+b_｛k-1｝t_{k} +I{k}\bigl（u（t_{k}）\bigr），\\&a{k}+J{k}\ bigl_{k-1}-J_{k} 大（u（t_{k}）^{p} J型_{j} \bigl（u（t_{j}）\bigr）t_{j}-\和{j=k+1}^{p} 我_{j} \bigl（u（tj）\bigr）。\结束{对齐}$$

然后

$$a_{0}+\mu_{1} b条_{p} +\mu_{1}\int_{0}^{1}\分形{（1-s）^{q-2}}{\Gamma（q-1）}f（s）\，ds=\sigma_{1{$$

(3)

和

$$b_{0}+\mu_{2} 一个_{p} +\亩_{2} b条_{p} +\mu_{2}\int_{0}^{1}\frac{（1-s）^{q-1}}{\Gamma（q）}f（s）\，ds=\sigma{2}$$

(4)

我们还得到

$$\begin{aligned}&\begin{aligned}&b_{k}=b_{k-1}+J{k}\bigl（u（t_{k}）\bigr），\\&b_}k}=b_{p}-\和{j=k+1}^{p} J型_{j} \bigl（u（t{j}）\bigr），\end{aligned}\end{aligned}$$

(5)

和

$$\begin{aligned}&\begin{aligned}&a{k}=a_{k-1}-J_{k} 大（u（t_{k}）^{p} J型_{j} \bigl（u（t_{j}）\bigr）t_{j}-\和{j=k+1}^{p} 我_{j} \bigl（u（t_{j}）\bigr）。\end{aligned}\end{alinged}$$

(6)

通过组合(三), (4), (5)、和(6)

$$\开始{aligned}&a{0}+\mu_{1} b条_{p} +\mu_｛1｝\int _｛0｝^｛1｝\frac｛（1-s）^｛q-2｝｝｛\Gamma（q-1）｝f（s）\，ds=\ sigma_｛1｝，\\&a_｛p｝+\mu_{1} b条_{p} +\mu_{1}\int_{0}^{1}\分形{（1-s）^{q-2}}{\Gamma（q-1）}f（s）\，ds+\sum_{j=1}^{p} J型_{j} \bigl（u（t_{j}）\bigr）t_{j}-\总和{j=1}^{p} 我_{j} \bigl（u（t_｛j｝）\bigr）=\sigma\｛1｝，\end｛aligned｝$$

和

$$\开始{aligned}&b_{0}+\mu_{2} 一个_{p} +\亩_{2} b条_{p} +\mu_{2}\int_{0}^{1}\frac{（1-s）^{q-1}}{\Gamma（q）}f（s）\，ds=\sigma{2}，\\&\Biggl[b_{p}-\总和{j=1}^{p} J型_{k} \bigl（u（t_｛j｝）\bigr）\Biggr]+\mu_{2} 一个_{p} +\亩_{2} b条_{p} +\mu_{2}\int_{0}^{1}\frac{（1-s）^{q-1}}{\Gamma（q）}f（s）\，ds=\sigma{2}，\\&\mu_{2} 一个_{p} +（1+\mu_2}）b_{p}+\mu_{2}\int_{0}^{1}\frac{（1-s）^{q-1}}{\Gamma（q）}f（s）\，ds-\sum_{j=1}^{p} J型_{j} \bigl（u（t{j}）\bigr）=\sigma{2}。\结束{对齐}$$

然后

$$\开始{aligned}&a{p}=\西格玛_{1}-\亩_{1} b条_{p}-\mu_{1}\int_{0}^{1}\分形{（1-s）^{q-2}}{\Gamma（q-1）}f（s）\，ds-\sum_{j=1}^{p} J型_{j} \bigl（u（t{j}）\bigr）t{j{+\sum{j=1}^{p} 我_{j} \bigl（u（t{j}）\bigr），\\&a{p}=\frac{\sigma{2}}{\mu{2}{-\frac{（1+\mu{2]）}{\mu{2}_{p}-\nint_{0}^{1}\frac{（1-s）^{q-1}}{\Gamma（q）}f（s）\，ds+\frac}{\mu_{2}}\sum_{j=1}^{p} J型_{j} \bigl（u（t_{j}）\bigr）。\结束{对齐}$$

我们还有

$$\开始{aligned}&\sigma_{1}-\亩_{1} b条_{p}-\mu_｛1｝\int _｛0｝^｛1｝\frac｛（1-s）^｛q-2｝｝｛\Gamma（q-1）｝f（s）\，ds-\sum _｛j=1｝^{p} J型_{j} \bigl（u（t{j}）\bigr）t{j{+\sum{j=1}^{p} 我_{j} 大（u（t{j}）大）_{p}-\nint_{0}^{1}\frac{（1-s）^{q-1}}{\Gamma（q）}f（s）\，ds+\frac}{\mu_{2}}\sum_{j=1}^{p} J型_{j} \bigl（u（t_{j}）\bigr）。\结束{对齐}$$

因此\（a{p}\）和\（b{p}\）发现如下：

$$\begin{aligned}b_{p}=&-\biggl（\frac{\mu{2}}{1+\mu_{2}-\mu{1}\mu{2}}\biggr）\sigma{1}+\biggl（\frac{1}{1+\mu_{2}-\mu{1}\mu{2}}\biggr）\sigma{2}\\&{}-\biggl（\frac{\mu{2]}{1+\mu_{2}-\mu_{1}\mu_{2}}\biggr）\int_{0}^{1}\frac{（1-s）^{q-1}}{\Gamma（q）}f（s）\，ds\\&{}+\biggl（\frac{\mu_1}\mu_2}}{1+\mu_{2}-\mu_{1}\mu_{2}}\biggr）\int_{0}^{1}\frac{（1-s）^{q-2}}{\Gamma（q-1）}f（s）\，ds\\&{}+\biggl（\frac{\mu_2}}{1+\mu_{2}-\mu{1}\mu{2}\biggr）\sum{j=1}^{p} J型_{j} \bigl（u（t{j}）\bigr）t{j{+\biggl（\frac{1}{1+\mu_{2}-\mu{1}\mu{2}\biggr）\sum{j=1}^{p} J型_{j} \bigl（u（t_｛j｝）\bigr）\\&｛｝-\biggl（\frac｛\mu_｛2｝｝｝｛1+\mu_{2}-\mu{1}\mu{2}\biggr）\sum{j=1}^{p} 我_{j} \bigl（u（t{j}）\bigr）\end{对齐}$$

(7)

和

$$\begin{aligned}a{p}=&\biggl（\frac{1+\mu{2}}{1+\ mu_{2}-\μ｛1｝\μ｛2｝｝\biggr）\西格玛_{1}-\biggl（\frac{\mu_{1}}{1+\mu_{2}-\mu{1}_{2}-\mu_{1}\mu_{2}}\biggr）\int_{0}^{1}\frac{（1-s）^{q-1}}{\Gamma（q）}f（s）\，ds\\&{}-\mu_}1}\bigl（\frac{1+\mu_2}}{1+\ mu_{2}-\mu_{1}\mu_{2}}\biggr）\int_{0}^{1}\frac{（1-s）^{q-2}}{\Gamma（q-1）}f（s）\，ds\\&{}-\biggl（\frac{1+\mu_2}}{1+\ mu_{2}-\mu{1}\mu{2}\biggr）\sum{j=1}^{p} J型_{j} \bigl（u（t_{j}）\bigr）t_{j}-\biggl（\frac{\mu_{1}}{1+\mu_{2}-\mu{1}\mu{2}\biggr）\sum{j=1}^{p} J型_{j} \ bigl（u（t_｛j｝）\ bigr）\ \&｛｝+\ bigl（\ frac｛1+\ mu_｛2｝｝｝｛1+\ mu_{2}-\mu{1}\mu{2}\biggr）\sum{j=1}^{p} 我_{j} \bigl（u（t_{j}）\bigr）。\结束{对齐}$$

(8)

由(5), (6), (7)、和(8)自

$$\开始{aligned}&b_{k}=b_{p}-\和{j=k+1}^{p} J型_{j} \bigl（u（t{j}）\bigr），\\&a{k}=a{p}+\sum{j=k+1}^{p} J型_{j} \bigl（u（t_{j}）\bigr）t_{j}-\和{j=k+1}^{p} 我_{j} \bigl（u（t_{j}）\bigr），\end{对齐}$$

已知。由(5),

$$\begin{aligned}b_{k}=&-\biggl（\frac{\mu{2}}{1+\mu_{2}-\mu{1}\mu{2}}\biggr）\sigma{1}+\biggl（\frac{1}{1+\mu_{2}-\mu{1}\mu{2}}\biggr）\sigma{2}\\&{}-\biggl（\frac{\mu{2]}{1+\mu_{2}-\mu{1}\mu{2}}\biggr）\int_{0}^{1}\frac{（1-s）^{q-1}}{\Gamma（q）}f（s）\，ds+\biggl（\frac{\mu{1{2}{1+\mu_{2}-\mu_{1}\mu_{2}}\biggr）\int_{0}^{1}\frac{（1-s）^{q-2}}{\Gamma（q-1）}f（s）\，ds\\&{}+\biggl（\frac{\mu_2}}{1+\mu_{2}-\mu{1}\mu{2}\biggr）\sum{j=1}^{p} J型_{j} \bigl（u（t{j}）\bigr）t{j{+\biggl（\frac{1}{1+\mu_{2}-\mu{1}\mu{2}\biggr）\sum{j=1}^{p} J型_{j} \bigl（u（t_｛j｝）\bigr）\\&｛｝-\biggl（\frac｛\mu_｛2｝｝｝｛1+\mu_{2}-\mu{1}\mu{2}\biggr）\sum{j=1}^{p} 我_{j} \bigl（u（t{j}）\bigr）-\sum_{j=k+1}^{p} J型_{j} \bigl（u（t_{j}）\bigr），\end{对齐}$$

(9)

在…的帮助下(6),

$$\begon｛aligned｝a_｛k｝=&&biggl（\frac｛1+\mu_｛2｝｝｝｛1+\mu_{2}-\μ｛1｝\μ｛2｝｝\biggr）\西格玛_{1}-\biggl（\frac{\mu_{1}}{1+\mu_{2}-\mu{1}_{2}-\mu_{1}\mu_{2}}\biggr）\int_{0}^{1}\frac{（1-s）^{q-1}}{\Gamma（q）}f（s）\，ds\\&{}-\mu_}1}\bigl（\frac{1+\mu_2}}{1+\ mu_{2}-\mu_{1}\mu_{2}}\biggr）\int_{0}^{1}\frac{（1-s）^{q-2}}{\Gamma（q-1）}f（s）\，ds\\&{}-\biggl（\frac{1+\mu_2}}{1+\ mu_{2}-\mu{1}\mu{2}\biggr）\sum{j=1}^{p} J型_{j} \bigl（u（t_{j}）\bigr）t_{j}-\biggl（\frac{\mu_{1}}{1+\mu_{2}-\mu{1}\mu{2}\biggr）\sum{j=1}^{p} J型_{j} \ bigl（u（t_｛j｝）\ bigr）\ \&｛｝+\ bigl（\ frac｛1+\ mu_｛2｝｝｝｛1+\ mu_{2}-\mu{1}\mu{2}\biggr）\sum{j=1}^{p} 我_{j} \bigl（u（t{j}）\bigr）+\sum_{j=k+1}^{p} J型_{j} \bigl（u（t_{j}）\bigr）t_{j}-\和{j=k+1}^{p} 我_{j} \bigl（u（t_{j}）\bigr），\end{对齐}$$

(10)

对于\（k=0,1，\ldots，p-1）。通过使用(9)和(10)，我们得到

$$\开始{aligned}a{k}+b_{k} t吨=&\biggl[\frac{1+\mu_{2}-\亩_{2} t吨}{1+\mu_{2}-\mu_｛1｝\mu_｛2｝｝\biggr]\sigma_｛1｝+\biggl[\frac｛t-\mu_｛1｝｝｛1+\mu_{2}-\mu{1}\mu{2}\biggr]\sigma{2}\\&{}+\biggl[\frac{-\mu{2}（t-\mu{1}）}{1+\mu_{2}-\mu{1}\mu{2}}\biggr]\int_{0}^{1}\frac{（1-s）^{q-1}}{\Gamma（q）}f（s）\，ds\\&{}+\biggl[\frac{-\mu{1{（1+\mu_{2}-\亩_{2} t吨)}{1+\mu_{2}-\mu_{1}\mu_{2}}\biggr]\int_{0}^{1}\frac{（1-s）^{q-2}}{\Gamma（q-1）}f（s）\，ds\\&{}-\biggl[\frac{1+\mu_2}（1-t）}{1+\ mu_{2}-\mu{1}\mu{2}\biggr]\sum{j=1}^{p} J型_{j} \bigl（u（t_｛j｝）\bigr）t_｛j｝\\&｛｝+\biggl[\frac｛-\mu_｛1｝+t｝｛1+\mu_{2}-\mu{1}\mu{2}\biggr]\sum{j=1}^{p} J型_{j} \bigl（u（t_｛j｝）\bigr）\\&｛｝+\biggl[\frac｛1+\mu_｛2｝（1-t）｝｛1+\mu_{2}-\mu{1}\mu{2}\biggr]\sum{j=1}^{p} 我_{j} \bigl（u（t{j}）\bigr）\\&{}+\sum_{j=k+1}^{p} J型_{j} \bigl（u（t_{j}）\bigr）（t_{j} -吨)-\总和{j=k+1}^{p} 我_{j} \bigl（u（t_{j}）\bigr）。\结束{对齐}$$

因此

$$开始{对齐}u（t）=&\int_{0}^{t}\frac{（t-s）^{q-1}}{\Gamma（q）}f（s）\，ds+\omega{1}（t）\sigma{1}+\omega{2}}{\Gamma（q）}f（s）\，ds\\&{}-\mu{1}\omega{1}（t）\int_{0}^{1}\frac{（1-s）^{q-2}{\Gamma（q-1）}f^{p} J型_{j} 大（u（t{j}）^{p} J型_{j} \bigl（u（t{j}）\bigr）+\omega{1}（t）\sum{j=1}^{p} 我_{j} \bigl（u（t{j}）\bigr）\\&{}+\sum_{j=k+1}^{p} J型_{j} \bigl（u（t_{j}）\bigr）（t_{j} -吨)-\总和{j=k+1}^{p} 我_{j} \bigl（u（t_{j}）\bigr），\end{对齐}$$

哪里

$$\omega_｛1｝（t）=\frac｛1+\mu_{2}-\亩_{2} t吨}{1+\mu_{2}-\mu{1}\mu{2}}\quad\text{和}\quae\omega{2}（t）=\frac{t-\mu{1{}{1+\mu_{2}-\mu{1}\mu{2}}$$

 □

2.1存在唯一性结果

在本节中，我们陈述并证明了分数阶边值问题的存在唯一性结果(1)-(2)通过使用巴拿赫不动点定理。在本文中，我们使用了以下符号：

$$\omega_｛1｝（t）=\frac｛1+\mu_{2}-\亩_{2} t吨}{1+\mu_{2}-\mu{1}\mu{2}}，\qquad\omega{2}（t）=\frac{t-\mu{1{}{1+\mu_{2}-\mu{1}\mu{2}}$$

和

$$\omega_{1}（t）\leq\omega_1}:=\frac{1+2\vert\mu_{2}\vert}{\vert1+\mu_{2}-\mu{1}\mu{2}\vert}，\qquad\omega{2}（t）\leq\omega{2]:=\frac{1+\vert\mu{1{1\vert}{\vert1+\mu_{2}-\mu{1}\mu{2}\vert}$$

通过使用以下条件，我们陈述并证明了我们的第一个结果。

• （A1） 功能 \（f:[0,1]\次R\右箭头R\） 是共同连续的.

• （A2） 存在正常数 \（L_{1}\）,\（L_{2}\）,\（L_{3}\）,\（M_{1}\）,\（M_{2}\） 这样的话

  $$\begin{aligned}&\bigl\vert f（t，x）-f（t，y）\bigr\vert\leq L_{1}\vert x-y\vert，\quad t\in[0,1]，x，y\in R；\\&\大\vert I_{k}（x）-I_{k{（y）\bigr\vert\leq L_{2}\vert x-y\vert，\qquad\bigl\vert J_{kneneneep（x）-J_{k}（y M_{2}。\结束{对齐}$$

此外，很明显

$$\begin{aligned}\bigl\vert f（t，x）\bigr\vert&\leq\bigl\ vertf（t，x）-f$$

哪里\（\sup_{t\in[0,1]}\vert f（t，0）\vert=M\）.

定理7

假设（A1）-（A2）持有.如果

$$\begin{aligned}和L_{1}\biggl（\frac{1+\vert\mu_{2}\vert\omega_2}{\Gamma（q+1）}+\frac}\vert_mu_1}\verd\omega_1}}{\Gamma（q）}\bigr）+（\omega_1{1}+1）p（L_{2{+L_{3}）+\omega_{2} pH值_{3} <1，\结束{对齐}$$

(11)

那么我们的边值问题(1)-(2)有独特的解决方案 $[ 0,1 ]$.

证明

通过使用(11)第页可以如下选择：

$$开始{对齐}r>&\biggl（1-\frac{L_{1}}{\Gamma（q+1）}\bigl ga{1}\vert\sigma{1}\ vert+\omega{2}\ vert\simma{2}\vert\\&{}+\vert\mu{2}\vert\omega{2\frac{M}{\Gamma（q+1）}+\vert\mu{1}\vert\omega{1}\ frac{M}{\Gamma（q）}\\&{}+（\omega_1}+2）p（M_{1}+M_{2}）+\omega_{2} pM（百万像素）_{2} \biggr \}。\结束{对齐}$$

定义运算符\（\mathcal{T}:\mathit{PC}（[0,1]，R）\rightarrow\mathit{PC}（[0,1，R）\）转换(1)-(2)不动点问题

$$\开始{对齐}（\mathcal{T}u）（T）=&\int_{0}^{T}\frac{（T-s）^{q-1}}{\Gamma（q）}f\bigl（s，u（s）\bigr）\，ds+\omega{1}（T）\sigma{1}+\omega{2}}^{1}\frac{（1-s）^{q-1}}{\Gamma（q）}f\bigl（s，u（s）\biger）\，ds\\&{}-\mu_{1}\ omega_{1{（T）\int_{0}^{1}\frac{（1-s）^}q-2}{\Gamma（q-1）}f\bigl（s，u（s）\bigr）\，ds\\&{}-\omega{1}（t）\sum{j=1}^{p} J型_{j} \bigl（u（t_{j}）\bigr）t_{j}-\ω{2}（t）\sum{j=1}^{p} J型_{j} \bigl（u（t{j}）\bigr）\\&{}+\omega{1}（t）\sum{j=1}^{p} 我_{j} \bigl（u（t{j}）\bigr）\\&{}+\sum_{j=k+1}^{p} J型_{j} \bigl（u（t_{j}）\bigr）（t_{j} -吨)-\总和{j=k+1}^{p} 我_{j} \bigl（u（t_{j}）\bigr），\end{对齐}$$

哪里\（t{k}<t<t{k+1}）,\（k=0，\ldots，p\）.然后

$$\begin{aligned}\bigl\vert Tu（t）\bigr\vert\leq&\int_{0}^{t}\frac{（t-s）^{q-1}{\Gamma（q）}\bigle\vert f\bigl vert\sigma{2}\vert\\&{}+\vert\mu{2}\ vert\bigl\vert\omega{2}（t）\bigr\vert\int_{0}^{1}\frac{（1-s）^{q-1}}{\Gamma（q）}\bigl\vert f\bigl（s，u（s）\biger）\bigr\vert\，ds\\&{}+\vert\mu_{1}\vert\bigl\overt\omega_{1{（t）\bigr\vert\int_{0}^{1}\ frac{（1-s \bigr\vert\，ds\\&{}+\bigl\vert\omega_{1}（t）\bigr\ vert\sum_{j=1}^{p}\bigl\ vert j_{j}\bigle（u（t_{j}）\bigr）\bigr\vert+\bigl\vert\omega_｛2｝（t）\bigr\vert\sum_｛j=1｝^｛p｝\bigl\vert j_｛j｝\bigl（u（t_｛j｝）\bigr）\bigr\vert\\&｛｝+\bigl\vert\omega_｛1｝（t）\bigr\vert\sum_｛j=1｝^｛p｝\bigl\vert I_｛j｝\bigl（u（t_｛j｝）\bigr）\bigr\vert\\&｛｝+2 \sum_｛j=k+1｝^｛p｝\bigl\vert j_｛j｝\bigl（u（t_｛j｝）\bigr）\bigr\vert+\sum_｛j=k+1｝^｛p｝\bigl\vert I_{j}\bigl（u（t_{j}）\biger）\bigr\vert\end{aligned}$$

然后

$$\begin{aligned}和\bigl\vert\mathcal{T}u（T）\bigr\vert\和\quad\leq\int_{0}^{T}\frac{（T-s）^{q-1}}{\Gamma（q）}\bigl\ vert f\bigl（s，u（s）\biger）-f \bigl\vert f（s，0）\bigr\vert\，ds\\&\qquad{}+\bigl\ vert\omega_{1}（T）\biger\vert\sigma_{1{\vert+\bigl\vert\omega{2}\vert\，ds+\int_{0}^{1}\frac{（1-s）^{q-1}}{\Gamma（q）}\bigl\vert f（s，0）\bigr\vert，ds\biggr]\\&\qquad{}+\vert\mu_{1}\vert\bigl\vert\omega_{1{（t）\bigr\vert\biggl[\int_{0}^{1}\frac{（1-s）^{q-2}}{\Gamma（q-1）}\bigl\Vertf\bigl（s，u（s）\biger bigl\vert f（s，0）\bigr\vert，ds\biggr]\\&\qquad{}+\bigl\vert\omega_{1}（t）\biger\vert\sum_{j=1}^{p}\bigl\ vert j_{j}\bigl（u（t_{j}）\biger）\bigr\vert+\bigl\vert\omega_2}）\biger）\bigr\vert\\&\qquad{}+\sum{j=k+1}^{p}\bigl\vertJ{j}\bigle（u（t_{j}）\bigr）\bigr\vert+\sum_{j=k+1}^{p}\bigl\vertI_{j}\bigle（u（t_{j}）\bigr\vert。\结束{对齐}$$

因此

$$\开始{aligned}\bigl\vert\mathcal{T}u（T）\bigr\vert\leq&\frac{L_{1} 第页}｛\Gamma（q+1）｝+\frac｛M｝｛\Gamma（q+1）｝+\omega_｛1｝\vert\sigma_｛1｝\vert+\omega_｛2｝\vert\sigma_｛2｝\vert\\&｛｝+\vert\mu_｛2｝\vert\omega_｛2｝\biggl[\frac｛L_{1} 第页}{\Gamma（q+1）}+\frac{M}{\Garma（q+1）}\biggr]\\&{}+\vert\mu_{1}\vert\omega_{1{\biggl[\frac}L_{1} 第页}{\伽马（q）}+\分形{M}{\伽玛（q）{\biggr]\\&{}+（ω{1}+2）p（M_{1}+M_{2}）+\ω_{2} pM（百万像素）_{2} <r.\end{对齐}$$

对于\（在[0,1]\中），表达式定义良好。操作员的不动点T型是我们边值问题的解(1)-(2). 为了证明解的存在唯一性，使用了Banach不动点定理，然后证明了T型是收缩，我们得到

$$\开始{aligned}&\bigl\vert（\mathcal{T} x个)（t）-（\mathcal）{T} 年)（t）\bigr\vert\\&\quad\leq\int_{0}^{t}\frac{（t-s）^{q-1}}{\Gamma（q）}\bigl\vert f\bigl（s，x（s）\biger）-f\bigl（s，y（s）\ biger）\biger\vert\，ds\\&\qquad{}+\vert\mu_{2}\vert\bigl\overt\omega_{2{（t）\ bigr\vert\biggl[\int_{0}^{1}\frac{（1-s）^{q-1}}{\Gamma（q）}\bigl\vert f\bigl（s，x（s）\bigr）-f\bigl（s，y（s）\biger）\bigr\vert\，ds\biggr]\\&\qquad{}+\vert\mu_{1}\vert\bigl\vert\omega_{1{（t）\biger\vert\int_{0}^{1}\ frac{（1-s）^{q-2}}{\Gamma+\bigl\vert\omega{1}（t）\bigr\vert\sum_{j=1}^{p}\bigl\ vert j_{j}\bigr（x（t_{j}）\biger）-j_{j}\bigl（y（t_{j}）\biger）\bigr\vert\\&\qquad{}+\bigl\vert\omega{2}（t）\biger\vert\sum_{j=1}^{p}\bigl\ vert j_{j}\bigr）\bigr\vert\sum_{j=1}^{p}\bigl\vertI_{j}\bigr（x（t_{j}）\biger）-I_{j{\bigl（y（t_{j}）\biger）\bigr\vert\\&\qquad{}+2\sum_{j=k+1}^{p}\bigl\vert j_{j}\bigle（x（t_{j}）\biger y（t{j}）\biger）\bigr\vert。\结束{对齐}$$

因此

$$\开始{aligned}&\bigl\vert（\mathcal{T} x个)（t）-（\mathcal）{T} 年)（t）\bigr\vert\\&\quad\leq\biggl[L_{1}\biggl（\frac{1}{\Gamma（q+1+\bigl（\bigl\vert\omega{1}（t）\bigr\vert+1\biger）p（L_{2}+L_{3}）+\bigle\vert\omega{2}（t）\bigr\vert pL_{3}\biggr]\垂直x-y\垂直。\结束{对齐}$$

(12)

T型是收缩映射。按条件(11)，我们有

$$\begin{aligned}和\Vert Tx-Ty\Vert\和\quad\leq\biggl[L_{1}\biggl（\frac{1+\Vert\mu_{2}\Vert\omega_{2{}{\Gamma（q+1）}+\frac}\Vert_mu_{1{1\Vert\omega（1}}{\Gamma）}}+L_{3}）+\欧米茄_{2} pH值_{3} \biggr]\垂直x-y\垂直。\结束{对齐}$$

因此\（\mathcal{T}\）是一个收缩映射。\（\mathcal{T}\）有一个不动点，这是由巴拿赫不动点定理得到的边值问题的解。□

定理8

假设 \（\vert f（t，u）\vert\leq\rho（t）\） 对于 \（（t，u）\单位：J\次R\） 哪里 \（L^{frac{1}{sigma}}（J\times R）中的\rho\） 和 \（\西格玛\在（0，q-1）\中）,此外,存在正常数 \（L_{1}\）,\（L_{2}\）,\（L_{3}\）,\（M_{1}\）,\（M_{2}\） 和 M（M） 这样的话

$$\begin{aligned}&\bigl\vert f（t，x）-f（t，y）\bigr\vert\leq L_{1}\vert x-y\vert，\quad t\in[0,1]，x，y\in R；\\&\大\vert I_{k}（x）-I_{k{（y）\bigr\vert\leq L_{2}\vert x-y\vert，\qquad\bigl\vert J_{kneneneep（x）-J_{k}（y M_{2}，\结束{对齐}$$

具有

$$（\omega_{1}+2）p（L_{2}+L_{3}）+\omega_{2} pH值_{3}< 1. $$

(13)

那么我们的边值问题至少有一个关于 J型.

证明

让我们选择

$$开始{对齐}r\geq&\biggl[\Vert\rho\Vert_{L^{\frac{1}{\sigma}}\biggl（\frac{（1+\Vert\mu{2}\Vert\omega{2}）}{\Gamma伽马（q-1）（分数{q-\sigma-1}{1-\sigma}）^{1-\sigma}}\biggr）\\&{}+（ω{1}+2）p（M_{1}+M_{2}）+\omega_{2} pM（百万像素）_{2} \biggr]，\end{对齐}$$

和\（B_{r}=\{u\in\mathit{PC}（J，r）\mid\Vertu\Vert_{mathit}}\leqr\}\）.操作员S公司和N个在\（B_{r}\）定义为

$$开始{对齐}（\mathit{Su}）（t）=&\int_{0}^{t}\frac{（t-s）^{q-1}}{\Gamma，ds\\&{}-\mu{1}\omega{1}（t）\int_{0}^{1}\frac{（1-s）^{q-2}}{\Gamma（q-1）}f\bigl（s，u（s）\bigr）\，ds\end{aligned}$$

和

$$\开始{对齐}（Nu）（t）=&-\omega_{1}（t）\sum_{j=1}^{p} J型_{j} \bigl（u（t_{j}）\bigr）t_{j}-\omega_{2}（t）\sum_{j=1}^{p} J型_{j} \bigl（u（t{j}）\bigr）+\omega{1}（t）\sum{j=1}^{p} 我_{j} \bigl（u（t{j}）\bigr）\\&{}+\sum_{j=k+1}^{p} J型_{j} \bigl（u（t_{j}）\bigr）（t_{j} -吨)-\总和{j=k+1}^{p} 我_{j} \bigl（u（t_{j}）\bigr）。\结束{对齐}$$

对于任何\（u，v\在B_｛r｝\中）和\（单位：J\），通过使用\（\vert f（t，u）\vert\leq\rho（t）\）和Hölder不等式，

$$\开始{aligned}&\开始{arigned}\frac{1}{\Gamma（q）}\int_{0}^{t}\bigl\vert（t-s）^{q-1}f\bigl（s，u（s）\biger）\bigr\vert\，ds&\leq\frac{1}{\Gamma，ds\biggr）^{\sigma}\\&\leq\frac{\vert\rho\vert_{L^{\frac{1}{\simma}}}{\Gamma（q），\end｛aligned｝\\&&\ begin｛aligned｝\frac｛1｝｛\Gamma（q）｝\int _｛0｝^｛1｝\bigl\vert（1-s）^{q-1}f\bigl（s，u（s）\biger）\bigr\vert\，ds&\leq\frac{1}{\Gamma，ds\biggr）^{\sigma}\\&\leq\frac{\vert\rho\vert_{L^{\frac{1}{\simma}}}{\Gamma（q），\end{对齐}\end}对齐}$$

最后

$$\开始{aligned}\frac{1}{\Gamma（q-1）}\int_{0}^{1}\bigl\vert（1-s）^{q-2}f\bigl（s，u（s）\bigr）\biger\vert\，ds&\leq\frac{1}{\Gamma（q-1）}\biggl（\int_{0}^{1}（1-s）^{\frac}{q-2}{1-\sigma}}\，ds\biggr）^{1-\sigma}\bigbl（\int _{0{1}\bigl-\，ds\biggr）^{\sigma}\\&\leq\frac{\vert\rho\vert_{L^{\frac{1}{\simma}}}{\Gamma（q-1）（\frac}q-\sigma-1}{1-\sigma}）^{1-\sigma}}. \结束{对齐}$$

我们得到了

$$\开始{对齐}\Vert\mathit{Su}+\匹配{Nv}\Vert_leq&\frac{（1+\Vert\mu{2}\Vert\omega{2}）\Vert\rho\Vert_{L^{1}{\sigma}}}{\Gamma（q）ω{1}\Vert\rho\Vert_{L^{压裂{1}{\sigma}}}{\Gamma（q-1）（压裂{q-\sigma-1}{1-\sigma}）^{1-\σ}}\\&{}+（ω_1}+2）p（M_1}+M_2}）+ω_{2} pM（百万像素）_{2}. \结束{对齐}$$

因此\（B_{r}\中的\mathit{Su}+\mathit{Nv}\）.签署人(13)，很明显N个是一个收缩映射。此外如果暗示S公司是连续的。和操作员S公司一致有界于\（B_{r}\）哪里

$$\Vert\mathit{Su}\Vert\leq\frac{（1+\Vert\mu{2}\Vert\omega{2}）\Vert\rho\Vert_{L^{frac{1}{\sigma}}}{\Gamma（q）（\frac}q-\sigma}{1-\sigma-}）{L^{\frac{1}{\sigma}}}{\Gamma（q-1）$$

这里是算子的拟等连续性S公司已被证明。让\（\Lambda=J\times B_{r}\）,\（f_{\sup}=\sup_{（t，u）\in\Lambda}\vert f（t，u）\vert\）。对于任何\（t{k}<t{2}<t{1}<t}k+1}），我们有

$$\begin{aligned}和\bigl\vert（\mathit{Su}）（t_{2}）-（\mathat{Su{）（t_{1}）\bigr\vert\\&\quad\leq\frac{f_{\sup}}{\Gamma（q）}\biggl\vert\int_{0}^{t{2}}\bigl[（t）_{2} -秒)^{q-1}-（t）_{1} -秒)^{q-1}\bigr]\，ds+\int_{t{1}}^{t{2}}\frac{（t_{1} -秒)^{q-1}}{\Gamma（q）}\，ds\biggr\vert\&\qquad{}+\biggl\vert\vert\mu_{2}\vert（t_{2} -吨_{1} ）\int_{0}^{1}\frac{（1-s）^{q-1}}{\Gamma（q）}\，ds\biggr\vert\\&\qquad{}+\biggl\vert\vert\mu_{1}\ vert\vert_mu_{2}\ vert（t_{2} -吨_{1} ）\int_{0}^{1}\frac{（1-s）^{q-2}{\Gamma（q-1）}\，ds\biggr\vert\\&\quad\leqf_{\sup}\biggl[\frac}（t_{2} -吨_{1} ）^{q}+t{2}^{q} -吨_{1} ^｛q｝｝｛\Gamma（q+1）｝+\vert\mu_｛2｝\vert\frac｛[（t_｛2｝^{q} -吨_{1} ^{q}）]}{\Gamma（q+1）}\\&\qquad{}+\vert\mu{1}\vert\frac{\vert\mu{2}\vert（t_{2}^{q} -吨_{1} ^{q}）}{\Gamma（q）}\biggr]。\结束{对齐}$$

它趋向于零\（t{2}\右箭头t{1}\）.在间隔上\（（t{k}，t{k+1}]\）,S公司是准等连续的。也通过引理（4），S公司紧凑且相对紧凑\（B_{r}\）因此，我们的BVP至少有一个解决方案\（J=[0,1]\）. □

2.2示例

示例9

考虑分数阶微分方程的下列边值问题：

$$\textstyle\begin{cases}D_{0+}^{\frac{3}{2}}u（t）=\frac{\cosu（t）}{（t+10）^{2}（1+u^{6}（t ^{\prime}（\frac{1}{3}）=\frac{\vert u（\frac{1}}{3{）\vert}{100+\vert u（\frac{1}{3}）\vert}，\\u（0）+u\prime（1）=0，\\u[1）+u\ prime（0）=0。\结束{cases}$$

在这里\（在[0,1]\中），让

$$\begin{aligned}&q=\frac{3}{2}，\qquad t=\frac{1}{3}，\ qquad\mu{1}=\mu{2}=1，\\&\sigma{1}=\sigma{2}=0，\\&L_{1}=L_{2}=L_{3}=0.01，\end{alinged}$$

从那以后\（0.88<伽马（1.5）<0.89）和\（1.33<伽马（2.5）<1.34），我们发现

$$\omega_{1}\leq3\qquad\omega_}2\leq2$$

因此，

$$\开始{对齐}&0.01\biggl（\frac{（1+1.99）}{\Gamma（2.5）}+\frac[2.99}{\Gamma（1.5）}\biggr）+（0.01+0.01）（2.99+2）+0.01（1.99）<1，\\&0.01（2.24+3.38）+（0.02）（4.99）+（0.01）（1.99。\结束{对齐}$$

因此，根据定理7，BVP在以下方面有独特的解决方案$[ 0,1 ]$.