一类分数阶超扩散方程弱解的存在唯一性

摘要

本文研究了一类具有初边值条件的分数阶超扩散方程弱解的存在唯一性。对于多维分数阶漂移超扩散方程，我们只考虑漂移速度无发散的最简单情况\（u\在L^{2}（\Omega）中\）仅取决于空间变量x个最后，利用Schauder不动点定理和Arzelá-Ascoli紧性定理，我们得到了标准Banach空间中弱解的存在唯一性\（C（[0，T]；H_{0}^{1}（\Omega））\）对于一类分数阶超扩散方程。

1引言

近几十年来，分数阶偏微分方程（FPDE）因其在工程中的广泛应用而受到广泛研究[1——三]、物理和其他领域[4,5]例如，量子力学、分形理论和多孔介质中的扩散、半导体和凝聚态物理、湍流、幂律现象、粘弹性系统[6——8]生物数学和统计力学，流体在多孔介质中携带的被动示踪剂的传输[9]众所周知，许多具有记忆或遗传特性的材料和过程以及工程中的非经典现象都可以用分数微积分来描述[10,11]. 然而，由于分数阶导数（或积分）算子是拟微分算子，它们具有局部奇异性和弱奇异性，通常不满足半群性质、交换律等，这给分数阶偏微分方程的理论分析带来了相当大的困难。因此，研究方程解的这种解析性质具有重要的理论和实践意义。

到目前为止，大多数分数阶微分方程的求解技术都利用了傅立叶变换和拉普拉斯变换的性质来确认经典解。例如，在[12]从Fourier-Laplace表示出发，研究了时空分数阶扩散方程的基本解（或格林函数解）的标度和相似性。Liu等人[13]考虑时间分数阶对流-弥散方程，导出了相应的完全解。Gorenflo等人[14]利用拉普拉斯变换方法，得到了时间分数阶扩散波方程的Wright函数所表示的标度变分解。通过定义合适的函数空间及其相应的范数，可以将时空分数扩散问题转化为弱椭圆问题。然后，利用现有的椭圆问题理论，建立了时空分数阶扩散方程变分解的理论框架，并证明了弱解的存在唯一性[15]. 根据著名的Lax-Milgram定理，Zhao和Xiao[16]得到了多项时空Riesz分数阶平流扩散方程的弱形式，并证明了弱解的存在唯一性\（B^{\alpha/2，\beta/2}（I\ times\Omega）\）(\（0<α<1）,\（1<β<2）)。此外，许多研究人员研究了分数阶偏微分方程的初值或边值问题[17,18]. 引入直和Hilbert空间Baleanu和Uǧurlu[19]构造了一个与分数次边值问题相关的正则耗散分数次算子。

不动点理论是非线性泛函分析理论的重要组成部分。它是建立各种方程（包括常微分方程、偏微分方程、泛函微分方程等）解的存在唯一性的重要工具之一。例如，通过使用Banach和Schauder不动点定理，Chen等人[20]研究了非线性分数阶微分方程反周期边值问题正解的存在性。利用凸锥上的Leggett-Williams不动点定理，在[21]. 应用压缩映射原理和Krasnoselskii不动点定理，建立了分数阶分数阶微分方程反周期边值问题解的存在性\（（2，3]中的q）英寸[22]. 利用锥上的不动点定理，Bai[23]和Zhang[24]得到了带分数阶导数的非线性常微分方程Dirichlet型边值问题正解的存在性。此外，关于非线性分数阶微分方程初值问题解（或正解）的存在性和多重性已有许多结果[25]. 使用Arzelá-Ascoli紧性定理，邱等人[26,27]专注于时间分数的弱（或正）解的存在性第页-加权Sobolev空间中的Laplace问题\（H_{0}^{1}（a（x），\Omega）\）(\（a（x）\）是一个加权函数）。

本文受前人对分数阶微分方程弱解（或正解）存在性研究的启发，我们的主要目的是发展Schauder不动点定理和Arzelá-Ascoli紧性定理，以解决一类具有超扩散项的时空分数阶初边值问题。标准Banach空间中这些方程弱解的存在唯一性\（C（[0，T]；H_{0}^{1}（\Omega））\）获得。据我们所知，本文的结果是新的和原创的，因为我们在现有文献中没有发现任何讨论。

我们主要考虑以下三类分数阶超扩散方程。

1.时空分数超扩散方程：

$$\left\｛\textstyle\ begin｛array｝｛@｛｝l@｛\fquad｝l｝D^｛\alpha｝u（x，t）=\epsilon（-（-\triangle）^｛\frac｛\beta｝｛2｝｝）u（x，t）&\mbox｛in｝\Omega_｛t｝，\\u（x，t）=0&\mbox｛on｝\partial\Omega_｛t｝，\\u（x，0）=\phi（x）&\mbox｛in｝\Omega，\\u｛t｝（x，0）=\ psi（x）&\ mbox｛in｝\ Omega，\ end｛array｝\ displaystyle \ right$$

(1.1)

哪里\（H^{1}（欧米茄）中的u）是一个光滑的未知函数，\（\Omega_{T}=\Omega \次[0，T]\），Ω是一个边界光滑的有界区域\（{\mathbf{R}}^{N}\）(\（编号1）),\（D^{\alpha}\）表示Caputo分数阶导数α(\（1<α<2）) [10],\（1<\beta\leq2）是描述空间分数导数阶数的参数，ϵ是一个真正的正参数，并且\（φ（x），psi（x）在H_{0}^{1}（Omega）中）给出了实值光滑函数。方程中的空间分数项(1.1)通过分数拉普拉斯算子定义\（（-（-\三角形）^{\frac{\beta}{2}}）u（x，t）\），可以认为它等价于Riesz分数导数\（\frac{\partial^{\beta}}{\paratil|x|^{\beta}}u（x，t）\）假设\（u（x，t），u'（x，t），\ldots，u^{（n-1）}（x，t\）在无限域的端点消失（即。，\（x=\ mp \ infty \）) [28,29]. Riesz分数阶导数可以解释有限多孔介质的时空非局域性[30].

2.时空分数阶非线性超扩散方程：

$$\left\{\textstyle\begin{array}{@{}l@{\quad}l}D^{\alpha}u（x，t）+\frac{\partial}{\parial x}f（u）=\epsilon（-（三角形）^{\frac}\beta}{2}）u（x、t）&\mbox{in}\Omega_{t}，\\u（x和t）=0&\mbax{on}\partial \Omega{t}0）=\phi（x）&\mbox{in}\Omega，\\u_{t}（x，0）=\fsi（x）&\mbox}in}\欧米茄。\结束{array}\displaystyle\right$$

(1.2)

这个方程中的所有函数和常数与方程中的函数和常数具有相同的含义(1.1)。此外，非线性项\（f（u）\）假设在有界域Ω上Lipschitz连续。

方程中的空间分数阶微分算子(1.1)或(1.2)也是描述异常扩散现象的重要工具；什么时候\（1<β<2），它代表一种勒维\（β/2\）-稳定飞行[31]，以及何时\（β\右箭头2），它模拟了一个布朗扩散过程。

3.多维分数阶漂移超扩散方程：

$$\left\{\textstyle\begin{array}{@{}l@{quad}l}D^{alpha}\theta+\operatorname{div}（u\cdot\theta）=\epsilon\Delta\theta-（-\Delta）^{gamma}\theta和\mbox{in}\Omega_{T}，\\theta（x，T）=0&\mbox{on}\partial\Omega \mbox{in}\Omega，\\theta_{T}（x，0）=\psi（x）&\mbox}in}\欧米茄，\end{array}\displaystyle\right$$

(1.3)

哪里\（H^{1}（欧米茄）中的θ）是平滑的未知向量函数，\（\Omega_{T}=\Omega \次[0，T]\），Ω是具有光滑边界条件的有界区域\（{\mathbf{R}}^{N}\） \（（编号1）,\（D^{\alpha}\）(\（1<α<2）)表示卡普托分数导数[10],\（\ε\δ\θ\） \（（\ε>0）\）是一个人工扩散项[32]、和\（φ（x），psi（x）在H_{0}^{1}（Omega）中）给出了实值函数，即无发散漂移u个是一个有界光滑向量函数，方程中的空间分数项(1.3)也通过分数拉普拉斯算子定义\（（-（-\δ）^{\γ}）\θ（x，t）\）,\（0<\gamma\leq1\）在本文中，我们只考虑分数阶漂移超扩散方程的最简单情况，即漂移速度\（u\在L^{2}（\Omega）中\）与时间无关。

方程式(1.1)-(1.3)在实际应用中经常使用。对于它们的物理意义和具体应用，我们参考[30,33]以及其中关于更多细节的参考文献。

本文的其余部分安排如下。在下一节中，我们首先描述分数计算的预备知识，然后介绍必要的函数空间及其相应的属性。在节中三，利用著名的Schauder不动点定理和Arzelá-Ascoli紧性定理证明了一类分数阶超扩散模型弱解的存在唯一性。最后，我们在第节中给出一些结论4.

2定义和一些辅助结果

为了方便读者，我们列出了一些基本的符号、定义和引理，这些将在接下来的章节中使用。首先，我们回顾了在am区间（有限或无限）上的Riemann-Liouville分数积分和分数导数的定义，并给出了它们的一些性质。

定义2.1

[10]

Riemann-Liouville分数阶积分α函数的\（f（t）\）,\（t>0），定义为

$$\开始{对齐}I_{0^{+}}^{\alpha}f（t）=\frac{1}{\Gamma（\alpha）}\int_{0}^{t}（t-s）^{\alpha-1}f（s）\，ds，\end{aligned}$$

(2.1)

条件是右侧在上逐点定义\（（0，\infty）\）.

定义2.2

[10,11]

左右Riemann-Liouville分数阶导数α(\（n-1<α<n）)间隔一段时间\（（a，b）\）(一,b条可以是有限的或无限的），可以通过Riemann-Liouville分数积分导出如下：

$$\开始{aligned}&{}^{右}_{a} D类^{\alpha}_{x}u（x）=\frac{1}{\Gamma（n-\alpha）}\ frac{d^{n}}{dx^{n{}}\int^{x}_{a} （x-\xi）^{n-\alpha-1}u（\xi$$

（2.2）

$$\开始{aligned}&{}^{右}_{x} D类^{\alpha}_{b}u（x）=\分形{（-1）^{n}}{\Gamma（n-\alpha）}\分形{d^{n{}}{dx^{nneneneep}\int^{b}_{x} （\xi-x）^{n-\alpha-1}u（\xi）\，d\xi，\四元x<b，\结束{对齐}$$

(2.3)

哪里\（\Gamma（\cdot）\）是伽马函数。什么时候？α是一个整数，\（D^{\alpha}=D^{\α}=dx^{\alpha}\）.

定义2.3

[10]

Caputo分数阶导数α函数的\（f（t）\）,\（t>0），定义为

$$\开始{对齐}D^{\alpha}f（t）=\frac{1}{\Gamma（1-\{alpha\}）}\int_{0}^{t}\frac}{（t-s）^{\alpha\}}f^{（[\alpha]+1）}\，ds，\end{aligned}$$

(2.4)

哪里\（{\alpha\}\）和\（[\alpha]\）表示实数的分数和整数部分α分别为和\（\Gamma（\cdot）\）是伽马函数。

基于Caputo和Riemann-Liouville分数阶微分算子的定义，我们得到了一个直接的结果[15,16]：对于任何实际订单\（测试版>0），我们得到以下结果。

引理2.1

黎曼家族-Liouville分数导数和Caputo分数导数通过以下关系相互联系:

$$\开始{aligned}{}_{0}^{C} D类_{t} ^{\beta}f（t）=&\frac{1}{\Gamma（-\beta）}\int_{0}^{t}（t-s）^{-\beta-1}\bigl（f（s）-t_{n-1}[f；0]（s）\bigr）\，ds\\=&\ frac{1\Gamma \Gamma（-\beta）}\int_{0}^{t}（t-s）^{-\beta-1}t_{n-1}[f；0]（s）\，ds\\=&{}_{0{^{R} D类_{t} ^｛\beta｝f（t）-｛｝_｛0｝^{R} D类_{t} ^{\beta}t_{n-1}[f；0]（t），\end{对齐}$$

(2.5)

哪里 \（T_{n-1}[f；0]（T）\） 表示泰勒多项式 如果 订单的 \（n-1）,居中于0,

$$\开始{对齐}T_{n-1}[f；0]（T）=\sum_{k=0}^{n}\frac{T^{k}}{k！}\frac{d^{k{}}{dt^{kneneneep}f（0），\end{aligned}$$

(2.6)

哪里 \（f（t）在C^{n-1}[0，t]\中）,和 \（C^{n-1}[0，T]\） 表示的空间 \（n-1） 时间连续可微函数 \（[0，T]\）.

特别是，当\（1<β<2），关系(2.5)和(2.6)采取以下形式：

$$ {}_{0}^{C} D类_{t} ^{\beta}f（t，x）={}_{0}^{R} D类_{t} ^{\beta}f（t，x）-\frac{f（0，x）}{\Gamma（1-\beta）}\bigl$$

(2.7)

为了估计我们问题中的分数拉普拉斯算子项，我们需要以下对称分数导数定义。

定义2.4

[29]

分数阶Riesz导数α(\（n-1\leq\alpha\leqn\）)在间隔上\（（a，b）\）(\（a、b）可以是有限的或无限的）定义为

$$\frac{\partial^{\alpha}}{\paratil|x|^{\alpha}}u（x，t）=-C_{\alfa}\bigl（{}_{a}^{R} D类^{\alpha}{x}+{}{x{^{R} D类^{\alpha}_{b}\biger）u（x，t）$$

(2.8)

哪里\（{}{a}^{R} D类^{\alpha}_{x}\）,\（{}{x}^{R} D类^{\alpha}_{b}\）表示的左右Riemann-Liouville分数导数α分别为第阶，和\（C_{\α}=\压裂{1}{2\cos（\压裂{\pi\α}{2}）}\）,\（\alpha\neq1\）.

因此，当参数的值一,b条是无限的，问题中的分数拉普拉斯算子(1.1), (1.2)、和(1.3)可以通过使用分数微积分的思想来定义[29,34,35]:

$$-（-\三角形）^{\frac{\alpha}{2}u（x，t）=\frac}\partial^{\alfa}}{\partial |x|^{\alpha}u（x，t）=-\ frac{1}{2\cos（\pi\alpha/2）}\bigl（{}_{-\infty}D^{\阿尔法}_{x}+{}_{x} D类^{\alpha}_{\infty}\bigr）u（x，t）$$

哪里\（{}_{-\infty}D^{\alpha}_{x}\）和\({}_{x} D类^｛\alpha｝_｛\infty｝\）参考左、右Riemann-Liouville分数导数α分别为第阶。本文主要基于我们的发展和分析，将定义限制为有界域Ω。

为了建立分数阶超扩散问题的弱形式，我们需要从[15]，其中它们由分数导数定义，并且我们导出了与这些空间相关的一些相应属性。让\（C^{\infty}（0，T）\）表示上无穷可微函数的空间\（（0，T）\），并让\（C_{0}^{\infty}（0，T）\）表示具有紧支撑的无穷可微函数空间\（（0，T）\）.让\（L^｛2｝（U）\）是具有Lebesgue积分平方的可测函数的空间U型，其中域\（U=I）、Ω或\（I\次\Omega\），其中\（I=[0，T]\）是时域，并且\（欧米茄=[0，L]\）是空间域。中的内积和范数\（L^｛2｝（U）\）由定义

$$开始{aligned}&（u，v）_{L^{2}（u）}=\int_{u}uv\，d_{u}，\quad代表L^{2}（u）中的所有u，\\&\|u\|{L^}（u-）}=（u，u）_{L^{2]（u。\结束{对齐}$$

(2.9)

对于任何真实的\（σ>0），我们定义空间\({}^{l} H（H）_{0}^{\西格玛}（U）\）和\({}^{r} H（H）_{0}^{\西格玛}（U）\）是的闭包\（C_{0}^{\infty}（U）\）关于规范\（{}^{l} H（H）_{0}^{\西格玛}（U）}\）和\（{}^{r} H（H）_{0}^{\西格玛}（U）}\），其中

$$\开始{aligned}&\开始{arigned}[t]&\|v\|_{}^{l} H（H）_{0}^{\sigma}（U）}:=\bigl（\|v\|^{2}_{L^{2}（U）}+|v|^{2}_{{}^{l} H（H）_{0}^{\sigma}（U）}\biger）^{\frac{1}{2}}，\\&|v|^{2}_{{}^{l} H（H）_{0}^{\sigma}（U）}:=\bigl\Vert{}_{0}^{R} D类^{\sigma}_{t}v\bigr\Vert^{2}_{L^{2}（U）}，\\&\|v\|_{}^{r} H（H）_{0}^{\sigma}（U）}:=\bigl（\|v\|^{2}_{L^{2}（U）}+|v|^{2}_{{}^{r} H（H）_{0}^{\sigma}（U）}\biger）^{\frac{1}{2}}，\\&|v|^{2}_{{}^{r} H（H）_{0}^{\sigma}（U）}:=\bigl\Vert{}_{t}^{R} D类^{\sigma}_{T}v\bigr\Vert^{2}_{L^{2}（U）}。\end{aligned}\end{alinged}$$

(2.10)

我们还定义了通常Sobolev空间中的范数\（H_{0}^{\西格玛}（U）\）如下：

$$\开始{对齐}&\|v\|_{H_{0}^{\sigma}（U）}:=\bigl（\|v\|^{2}_{L^{2}（U）}+|v|^{2}_{H_{0}^{\sigma}（U）}\biger）^{\frac{1}{2}}，\\&|v|^{2}_{H_{0}^{\sigma}（U）}:=\biggl（\frac{（{}_{0{）^{R} D类^｛\sigma｝_｛t｝v，｛｝_｛t｝^{R} D类^{\sigma}_{T}v）{L^{2}（U）}}{\cos（\pi\sigma）}\biggr）。\结束{对齐}$$

（2.11）

通过引用[15]和[16]我们知道空间\({}^{l} H（H）_{0}^{\西格玛}（U）\）,\({}^{r} H（H）_{0}^{\西格玛}（U）\）、和\（H_{0}^{\西格玛}（U）\）它们的半范数都等价于\（|v|_{H_{0}^{\sigma}（U）}\）为所有人\（σ>0）,\（\sigma\neq n-1/2\）.

现在我们引用了上述空间上一些分数算子的一些有用引理，这些引理可以从[10,15,16].

引理2.2

• （i） 真的 \（0<β<1）,\（0<增量<1）,如果 \（v（0）=0，x\ in（0，L）\）,然后

  $$\开始{aligned}{}_{0}^{R} D类^{\beta+\delta}{x}v（x）=\bigl（{}{0}^{R} D类^{\beta}{x}\biger）\bigl（{}{0}^{R} D类^{\delta}{x}\bigr）v（x）=\bigl（{}{0}^{R} D类^{\delta}{x}\bigr）\bigl（{}{0}^{R} D类^｛\beta｝_｛x｝\bigr）v（x），在H^｛\beta+\delta｝（0，L）中为所有v。\结束{对齐}$$

  (2.12)

• （ii） 让 \（0<β<1）.然后,我们有

  $$\开始{aligned}\bigl（{}_{0}^{R} D类^{\beta}_{x}\omega，v\bigr）_{L^{2}（0，L）}=\bigl（\omega^{R} D类^{\测试}_{五十} v（v）\biger）_{L^{2}（0，L）}，对于H^{beta}（0,L）中的所有ω，在C_{0}^{infty}（0.L）中为v。\结束{对齐}$$

  (2.13)

引理2.3

让 \（0<\beta<2，\beta\neq1）.然后,为所有人 \（ω，v\在H_｛0｝^｛\frac｛\beta｝｛2｝｝｝（0，L）中）,我们有

$$\开始{aligned}\bigl（{}_{0}^{R} D类^{\beta}_{x}\omega，v\bigr）_{L^{2}（0，L）}=\bigl（{}_{0}^{R} D类^{\beta/2}{x}\omega，{}{x{^{R} D类^{\beta/2}_{五十} v（v）\biger）_{L^{2}（0，L）}。\结束{对齐}$$

(2.14)

引理2.4

Schauder不动点定理

设E是Banach空间的闭凸非空子集 X,然后让 \（F:E\右箭头E\） 是一个连续映射，以便 \（F（E）\） 是相对紧凑的 X.然后 F类 中至少有一个固定点 E类,那就是,存在 \（在E\中为u\） 这样的话 \（F（u）=u）.

通过引理2.2和2.3我们可以定义以下空间：

$$\begin{aligned}B^{\alpha/2，\beta/2}（I\times\Omega）=&H^{\alpha/2}\bigl（I，L^{2}（\Omeca）\bigr）\cap L^{2\bigl$$

(2.15)

符合规范

$$\开始{aligned}\|v\|_{B^{\alpha/2，\beta/2}}（I\times\Omega）：=&\bigl（\|v\ |^{2}_{H^{\alpha/2}（I，L^{2}（\Omega））}+\|v\|^{2}_｛L^｛2｝（I，H_｛0｝^｛\beta/2｝（\Omega））｝\bigr）^｛\frac｛1｝｛2｝｝，\fquad\ for all v\ in B^｛\alpha/2，\ beta/2｝（I\times\Omega），\ end｛aligned｝$$

(2.16)

哪里

$$H^{\alpha/2}\bigl（I，L^{2}（\Omega）\biger$$

被赋予了规范

$$\|v\|_{H^{\alpha/2}（I，L^{2}（\Omega））}:=\bigl\|\bigl\垂直v（\cdot，t）\bigr\Vert_{L^{2]（\O mega）}\bigr\ |_{H^{\ alpha/2{（I）}$$

(2.17)

请注意\（B^{\alpha/2，\beta/2}（I\ times\Omega）\）是标准Banach空间的闭有界凸子空间（子集）\（C（[0，T]；H）^{1}_{0}（\Omega））通过回顾与[15]我们获得以下信息：

定理2.5

假设 \（1<α<2）,\（1<\beta\leq2）,和 \（u{t}（x，0）=0\）.然后,系统(1.1)在空间中有唯一的弱解 \（B^{\alpha/2，\beta/2}（I\ times\Omega）\）.此外,

$$开始{对齐}\|u\|_{B^{\alpha/2，\beta/2}\bigl\Vert t^{-\alpha}\bigr\Vert_{L^{q}（\Omega）}，\quad q=\frac{2}{\alpha}。\结束{对齐}$$

(2.18)

三弱解的存在唯一性

在本节中，我们主要讨论三个分数阶超扩散问题弱解的存在唯一性(1.1), (1.2)、和(1.3)在标准巴纳赫空间\（C（[0，T]；H_{0}^{1}（\Omega））\）首先，我们需要以下几个引理。

引理3.1

[11]

让 \（阿尔法>0）.然后

$$I^{\alpha}{^{C}}D^{\alpha}u（t）=u（t$$

对一些人来说 \（R\中的c_{i}\）,\（i=0，1，2，\ldot，n-1，n=[\alpha]+1）.

引理3.2

让 \（y\在C[0，T]\中）,\（T>0）,\（1<α<2）.然后是问题

$$\begin{aligned}D^{\alpha}u（t）=y（t），\quad t\in[0，t]，\end{alinged}$$

(3.1)

有独特的解决方案

$$u（t）=u（0）+u'（0）t+\frac{1}{\Gamma（\alpha）}\int_{0}^{t}（t-s）^{\alpha-1}y（s）\，ds$$

引理3.3

请参见[15]

真的 \（θ>0） 和 \（在C_{0}^{\infty}（R）中为v\）,我们有

$$\开始{aligned}\bigl（{}_{-\infty}^{R} D类^{\θ}_{x} v（v）（x） ，{}{x}^{R} D类^{\theta}_{\infty}v（x）\bigr）_{L^{2}（R）}=&\cos（\pi\theta）\bigl\Vert{}_{-\infty}^{R} D类^{\θ}_{x} v（v）（x） \较大\垂直^{2}_{L^{2}（R）}，\\bigl（{}_{-\infty}^{R} D类^{\θ}_{x} v（v）（x） ，{}{x}^{R} D类^{\theta}_{\infty}v（x）\bigr）_{L^{2}（R）}=&\cos（\pi\theta）\bigl\Vert{}_{x}^{R} D类^{\theta}_{\infty}v（x）\bigr\Vert^{2}_｛L ^｛2｝（R）｝。\结束{对齐}$$

(3.2)

引理3.4

[36]，厚度。4.1.2

让 秒 和 t吨 是实数，这样 \（宋体）.然后

$$H^{s}\bigl（R^{n}\bigr）\hookrightarrow H^{t}\biggl（R^}\biger）$$

引理3.5

[37]

让 \（（H^{s}（R^{n}））^{\素数}\） 表示的对偶空间 \（H^{s}（R^{n}）\）.然后

$$\bigl（H^{s}\bigle（R^{n}\biger）\bigr）$$

在代数和拓扑的意义上,对所有人来说 \（v\在H^{-s}（R^{n}）中\）,如果 \（在（H^{s}（R^{n}））^{prime}\中） 是连续线性函数运算符,那么我们有

$$\|v\|_{H^{-s}（R^{n}）}=\|l\|_}（H^{s}（R^{n{））^{\prime}}\leq C$$

哪里 C类 是一个正常数.

3.1时空分数阶超扩散方程弱解的存在唯一性

按引理3.2问题(1.1)可以在分数阶积分算子下化简为等价积分方程\（I^{\alpha}\）如以下问题所示：

$$\left\{\textstyle\begin{array}{@{}l@{\quad}l}-\phi（x）-\psi（x）t+u（x，t）=\frac{1}{\Gamma（\alpha）}\int^{t}（t）_{0}（t-s）^{\alpha-1}\epsilon（-（-\Delta）^{\ beta/2}）u（x，t。\结束{array}\displaystyle\right$$

(3.3)

函数积分方程描述了自然科学、数学物理、力学和人口动力学各个领域的许多物理现象[38,39]. 在泛函分析、拓扑学和不动点理论工具的帮助下，积分方程理论正在迅速发展（参见，例如[40——42])，它反过来又是数学其他分支的有用工具，例如微分方程[43]. 现在，我们定义

$$\left\{\textstyle\begin{array}{@{}l@{\quad}l}\Phi（u）=\Phi（x）+\psi（x）t+\frac{1}{\Gamma（\alpha）}\int^{t}（t）_{0}（t-s）^{\alpha-1}\epsilon（-（-\Delta）^{\ beta/2}）u（x，t。\结束{array}\displaystyle\right$$

(3.4)

定义3.1

我们打电话给\（u在C（[0，T]；H_{0}^{1}（\Omega））中）时空分数阶超扩散方程的弱解(1.1)如果\（\int_{\Omega}（u-\Phi（u））v\，dx=0\）为所有人\（在[0，t]\中）以及每个\（v\在H_{0}^{1}（\Omega）中\）也就是说，

$$\int_{\Omega}uv\，dx=\int_}\Omega}\biggl[\phi（x）+\psi（x）t+\frac{1}{\Gamma（\alpha）}\int__{0}^{t}（t-s）^{\alpha-1}\epsilon\bigl（-（-\Delta）^{\ beta/2}\bigr）u（x，s）\，ds\biggr]v\，d x$$

我们知道\（B^{\alpha/2，\beta/2}（I\times\Omega）\子集C（[0，T]；H_{0}^{1}（\Omeca））\）根据的定义(2.15)，并结合定理的结果2.5，我们有以下定理。

定理3.6

如果 \（1<α<2）,\（1<\beta\leq2）,和 \（u{t}（x，0）=0\）,然后是操作员 \（\Phi（u）：B^{\alpha/2，\beta/2}（I\ times\Omega）\rightarrow B^{\ alpha/2、\beta/2}（I \ times\O mega）\） 是完全连续的.

证明

放置\（F（u）=\epsilon（-（-\Delta）^{\beta/2}）u（x，t）\）。那么

$$\Phi（u）=\Phi（x）+\psi（x）t+\frac{1}{\Gamma（\alpha）}\int^{t}（t）_{0}（t-s）^{\alpha-1}F（u）\，ds，\quad\对于所有u，v\在B^{\alpha/2，\beta/2}（I\ times\Omega）中$$

对于每个\（v\在H_{0}^{1}（\Omega）中\）根据定义中的Riesz分数导数，使用分部积分2.4和引理3.3，自\（1<\beta\leq2），通过引理3.4结合实阶Sobolev嵌入定理，我们得到\（H_{0}^{1}（\Omega）\hookrightarrow H_{0}^{\beta/2}（\ Omega因此，\（\|u\|_{L^{2}}（\Omega）\leq\|u\ |_{H_{0}^{beta/2}（\ Omega。我们进一步表示\（\|u\|_｛H_｛0｝^｛1｝（\Omega）｝\）和\（\|u\|_{H_{0}^{-1}（\Omega）}\）通过\（\|u\|_{H_{0}^{1}}\）和\（\|u\|_{H_{0}^{-1}}\）分别是。因此，通过Cauchy-Schwarz和Hölder不等式，标准的Sobolev嵌入定理2.5、和引理3.5，自\（1<α<2），对于任何\（v\在H_{0}^{1}（\Omega）中\）令人满意的\（\|v\|_{H_{0}^{1}（\Omega）}\leq1\），我们获得

$$\begin{aligned}\bigl\vert\bigl\langle F（u），v\bigr\rangle\bigr\ vert=&\biggl\vert\int_{\Omega}\epsilon\bigl（-（-\Delta）^{\beta/2}\bigr）u（x，t）v（x，t）\，ds\biggr\vert\=&\bigl\vert_bigl x，t）\biger）\bigr\vert=\bigl\vert\bigl（\epsilon^{R} D类^{\beta}_{|x|}u（x，t），v（x，t）\biger）\bigr\vert\\=&\bigl\vert-\epsilon C_{\beta}\bigl[\bigl（{}^{右}_{a} D类^{\beta/2}_{x} u个, {}^{右}_{x} D类^{\beta/2}_{b} v（v）\bigr）_{L^{2}（U）}+\bigl（{}^{右}_{x} D类^{\beta/2}_{b} u个, {}^{右}_{a} D类^{\beta/2}_{x} v（v）\bigr）_{L^{2}（U）}\bigr]\bigr\vert\\\leq&\epsilon C_{beta}\bigl[\bigl\vert{}^{右}_{a} D类^{\beta/2}_{x} u个\bigr\Vert_{L^{2}（U）}\bigl\Vert{}^{右}_{x} D类^{\beta/2}_{b} v（v）\bigr\Vert_{L^{2}（U）}+\bigl\Vert{}^{右}_{x} D类^{\beta/2}_{b} u个\bigr\Vert_{L^{2}（U）}\bigl\Vert{}^{右}_{a} D类^{\beta/2}_{x} v（v）\bigr\Vert_{L^{2}（U）}\bigr]\\leq&2\epsilon C_{beta}\Vert U\Vert_{L^}（I，H^{beta/2}（\Omega））}\Vertv\Vert{H^{alpha/2}_{0}，\beta/2}（I\times\Omega）}\Vert v\Vert_{H^{1}_{0}（I\times\Omega）}\\leq&2\epsilon C_{\beta}\Vert-u\Vert_{B^{\alpha/2，\beta/2}（I \times\ Omega^{1}_{0}（\Omega）}\\leq&2\epsilon C_{\beta}\bigl\Vert\phi（x）\bigr\Vert_{L^{2}（U）}\bigle\Vert t^{-\alpha}\bigr\ Vert_{L ^{q}（U）}=M_{1}。\结束{对齐}$$

在这里\（C_{\β}=\压裂{1}{2\cos（\压裂{\pi\β}{2}）}\）、和\（q=\压裂{2}{\α}，M_{1}\）是一个正常数。因此，

$$\开始{aligned}\bigl\Vert\Phi（u）\bigr\Vert_{H^{-1}}=&\sup_{\|v\|H^{1}_{0}\leq1}\bigl\vert\bigl\langle\Phi（u），v\bigr\rangle\bigr\ vert\=&\sup_{\|v\|H^{1}_{0}\leq1}\biggl\vert\bigl\langle\phi（x），v\bigr\rangle+\bigl\angle\psi（x）^{t}（t）_｛0｝（t-s）^｛\alpha-1｝\bigl\langle F（u），v\bigr\rangle\，ds\biggr\vert\\leq&\bigl\vert\phi（x）\bigr\vert_^{1}_{0}（\Omega）}+\bigl\Vert\psi（x）\bigr\Vert_{L^{infty}（\欧米茄）}\|v\|_{H^{1}_{0}（\Omega）}T\\&{}+\bigl\vert\bigl\langle F（u），v\bigr\rangle\bigr\ vert\biggl\vert\frac{1}{\Gamma（\alpha）}\int^{t}（t）_{0}（t-s）^{\alpha-1}\，ds\biggr\vert\\\leq&\bigl\vert\phi（x）\bigr\vert_{L^{infty}（\Omega）}\vert v\vert_{H^{1}_{0}（\Omega）}+\bigl\Vert\psi（x）\bigr\Vert_{L^{infty}（\欧米茄）}\|v\|_{H^{1}_{0}（\Omega）}T\\&{}+2\epsilon C_{\beta}\bigl\Vert\phi（x）\bigr\Vert_{L^{2}（\ Omega^{t}（t）_{0}（t-s）^{\alpha-1}\，ds\biggr\vert\\\leq&\bigl\vert\phi（x）\bigr\vert_{L^{infty}（\Omega）}+\bigl\ vert\psi（x）\ bigr\vert_{L_{infty}（\ Omega（x）\bigr\vert_{L^{infty}（\Omega）}+\bigl\vert\psi.\end{对齐}$$

因此，\（\Phi（u）\）是有界运算符。

另一方面，给定\（epsilon>0\），套

$$\delta=\min\biggl\{\frac{\epsilon}{4\|\psi（x）\|_{L^{\infty}（|\Omega）}}，\frac}{1}{2}\biggl（\ frac{\ epsilon\Gamma（\alpha）}{2M_{1}}\bigcr）^{\frac{1}{\alpha}\bigr\}$$

然后，每\（v\在H_{0}^{1}（\Omega）中\）和\（[0，t]\中的t_{1}，t_{2}\）这样的话\（0<t_{2} -吨_{1} <\增量\），我们有

$$\bigl\Vert\Phi u（t_{2}）-\Phi u$$

也就是说，\（\Phi（u）\）是等连续的。事实上，

$$\开始{对齐}&\bigl\Vert\Phi u（t_{2}）-\Phi u sup_{\|v\|{H_{0}^{1}}\leq1}\biggl|\bigl\langle\psi（x），v\bigr\rangle（t_{2} -吨_{1} ）+\frac{1}{\Gamma（\alpha）}\int_{0}^{t{2}}（t_{2} -秒)^{\alpha-1}\bigl\langle F（u），v\bigr\rangle\，ds\\&\qquad{}-\frac{1}{\Gamma（\alpha）}\int_{0}^{t_{1}}（t_{1} -秒)^{\alpha-1}\bigl\langle F（u），v\bigr\rangle\，ds\biggr|\\&\quad\leq\bigl\ Vert\psi（x）\bigr\ Vert_{L^{infty}（\Omega）}\|v\|_{H_{0}^{1}}|t_{2} -吨_{1} |+\bigl\vert\bigl\langle F（u），v\bigr\rangle\bigr\ vert\biggl\vert\frac{1}{\Gamma（\alpha）}\int_{t_{1}}^{t_{2}}（t_{2} -秒)^{\alpha-1}\，ds\biggr\vert\\&\qquad{}+\bigl\vert\bigl\langle F（u），v\bigr\rangle\bigr\ vert\biggl\vert\frac{1}{\Gamma（\alpha）}\int_{0}^{t_{1}}\bigl（（t_{2} -秒)^{\alpha-1}-（t_{1} -秒)^{\alpha-1}\biger）\，ds\biggr\vert\\&\quad\leq\bigl\vert\psi（x）\bigr\vert_{L^{\infty}（\Omega）}|t_{2} -吨_{1} |+\frac｛M_｛1｝｝｛\Gamma（\alpha）｝\int_｛t_｛1｝｝^｛t_｛2｝｝\bigl\vert（t_{2} -秒)^{\alpha-1}\bigr\vert\，ds\\&\qquad{}+\frac{M_{1}}{\Gamma（\alpha）}\int_{0}^{t_{1}{\bigl\vert（t_{2} -秒)^{\α-1}-（t_{1} -秒)^{\alpha-1}\bigr\vert\，ds\\&\quad\leq\bigl\vert\psi（x）\bigr\ vert_{L^{infty}（\Omega）}|t_{2} -吨_{1} |+\frac｛M_｛1｝｝｛\alpha\Gamma（\alpha）｝t_｛2｝^｛\alpha｝-\frac｛M_｛1｝｝｛\alpha\Gamma（\alpha）｝t_｛1｝^｛\alpha｝\&&quad\leq\bigl\Vert\psi（x）\bigr\Vert_｛L^｛\infty｝（\Omega）｝|t_{2} -吨_{1} |+\frac｛M_｛1｝｝｛\alpha\Gamma（\alpha）｝\bigl（t_｛2｝^｛\alpha｝-t_｛1｝^｛\alpha｝\bigr）。\结束{对齐}$$

在下文中，我们将证据分为两种情况。

案例1：\（δt_｛1｝＜t_｛2｝＜t\）.自\（1<α<2），我们得到

$$\begin{aligned}和\bigl\Vert\Phi u（t_{2}）-\Phi u q\bigl\Vert\psi（x）\bigr\Vert_{L^{infty}（\Omega）}|t_{2} -吨_{1} |+\frac{M_{1}}{\alpha\Gamma（\alpha）}\bigl（t_{2}^{\alfa}-t_{1{^{\alpha}\bigr）\\&\quad=\bigl\Vert\psi（x）\bigr\Vert_{L^{\infty}（\Omega）}|t_{2} -吨_{1} |+\frac{M_{1}}{\alpha\Gamma（\alpha）}\alpha-t^{\alfa-1}（t_{2} -吨_{1} ）\\&\quad\leq\bigl\Vert\psi（x）\bigr\Vert_{L^{infty}（\Omega）}|t_{2} -吨_{1} |+\frac｛M_｛1｝｝｛\Gamma（\alpha）｝\delta^｛\alpha｝\\&&\dquad<\bigl\Vert\psi（x）\bigr\Vert_｛L^｛\infty｝（\Omega）｝\delta+\frac｛M_｛1｝｝｛\Gamma（\alpha）｝\delta^｛\alpha｝\\&&\dquad<\frac｛1｝｛2｝\times\frac｛\epsilon｝｛2｝+\biggl（\frac｛1｝｛2｝\biggr）^｛\alpha｝\frac ilon｝｛2｝<\frac｛\epsilon｝｛2｝+\frac｛\epsilon｝｛2｝=\epsilon。\结束{对齐}$$

在这里\（t{1}<t<t{2}\），我们应用了中值定理\（t{2}^{\alpha}-t{1}^{\ alpha}=\alphat^{\alpha-1}（t_{2} -吨_{1})\).

案例2：\（0\leq t_{1}<\delta，t_{2}<2\delta\）.我们有

$$\begin{aligned}\bigl\Vert\Phi u（t_{2}）-\Phi u \psi（x）\bigr\Vert_{L^{infty}（\Omega）}|t_{2} -吨_{1} |+\frac{M_{1}}{\alpha\Gamma（\alpha）}\bigl（t_{2}^{\alalpha}-t_{1{^{\alpha}\bigr）\\leq&\bigl\Vert\psi（x）\bigr\Vert_{L^{\infty}（\Omega）}\delta+\frac{M_1}{\阿尔pha（\alpha）垂直\psi（x）\bigr\Vert_{L^{infty}（\Omega）}\delta+\frac{M_{1}}{\Gamma（\alpha+1）}（2\delta）^{\alpha}\\<&\frac}\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilen。\结束{对齐}$$

因此，Φ是等度连续且一致有界的。Arzelá-Ascoli紧性定理暗示Φ是紧的\（B^｛\alpha/2，β/2｝（I\times\Omega）\），所以操作员\（\Phi（u）：B^{\alpha/2，\beta/2}（I\ times\Omega）\rightarrow B^{\ alpha/2、\beta/2}（I \ times\O mega）\）是完全连续的。这就完成了定理的证明3.6. □

自\（B^{\alpha/2，\beta/2}（I\times\Omega）\子集C（[0，T]；H_{0}^{1}（\Omeca））\），结合定理的结果3.6利用Schauder不动点定理（引理2.4)，我们得到了时空分数阶超扩散问题(1.1)有一个独特的弱解决方案\（u在C（[0，T]；H_{0}^{1}（\Omega））中）.

3.2时空分数阶非线性超扩散方程弱解的存在唯一性

在这一部分中，我们采用了与第节中相同的Banach空间及其范数和性质以及相同的思想3.1.我们还需要以下引理。

引理3.7

假设存在一个常数 \（L>0\） 这样的话

$$\bigl\vert f（u）-f（v）\bigr\vert\leq L|u-v|，\quad\forall t\in I，u，v\in\Omega$$

然后 \（f（u）\） 以为界Ω,因此,存在一个正常数 N个 这样的话

$$\bigl\vert f（u）\bigr\vert\leq N，\quad\forall t\in I，u\in \Omega$$

与第节类似3.1，按定义2.1和2.3我们有这个

$$I^{\alpha}D^{\alpha}u=\frac{1}{\Gamma（\alpha）\Gamma（1-\{\alfa\}）}\int_{0}^{t}\int_0}^{\tau}（t-\tau）^{\α-1}（\tau-s）^{-\{\α\}}u^{（[\alpha]+1）}（s）\，ds \，D\tau$$

拿\（τ=（t-s）\lambda+s），我们有

$$开始{对齐}[b]I^{\alpha}D^{\alpha}u&=\frac{1}{\Gamma[\alpha]+1）}，ds\\&=\frac{1}{\伽马（\alpha）\Gamma（1-\{\alpha\}）}\int_{0}^{t} B类\bigl（\alpha，1-\{\alpha\}\bigr）（t-s）^{[\alpha]}u^{（[\alfa]+1）}（s）\，ds\\&=\frac{1}{[\alpha]！}\int_{0}^{t}（t-s$$

通过分块反复积分，我们得到

$$开始{对齐}I^{\alpha}D^{\alpha}u=&-\sum_{k=1}^{[\alpha]}\frac{u^{（[\alfa]-k）}（0）}{（[\alpha]-k）！}t^{[\ alpha]-k}+\int_{0}^{t} u个'（s）\，ds，\\=&-\sum_{k=0}^{[\alpha]}\frac{u^{（[\alfa]-k）}（0）}{（[\alpha]-k）！}t^{[\ alpha]-k}+u（t）。\结束{对齐}$$

什么时候？\（（1,2）中的α）,\（I^{\alpha}D^{\alpha}u=-u（0）-u^{'}（0）t+u（t）\）.与引理组合3.2，我们可以减少问题(1.2)分数阶积分算子下的等价积分方程\（I^{\alpha}\）如以下问题所示：

$$\left\{\textstyle\begin{array}{@{}l@{\quad}l}-\phi（x）-\psi（x）t+u（x，t）\\quad=\frac{1}{\Gamma（\alpha）}\int^{t}（t）_{0}（t-s）^{\alpha-1}（-\frac{\partial}{\partitlex}f（u）+\epsilon（-（-\Delta）^{\ beta/2}））u。\结束{array}\displaystyle\right$$

(3.5)

现在，我们定义

$$\left\{\textstyle\begin{array}{@{}l@{\quad}l}\Phi（u）=\Phi（x）+\psi（x）t\\\hphantom{\Phi（u）=}{}+\frac{1}{\Gamma（\alpha）}\int^{t}（t）_{0}（t-s）^{\alpha-1}（-\frac{\partial}{\partitlex}f（u）+\epsilon（-（-\Delta）^{\ beta/2}））u。\结束{array}\displaystyle\right$$

(3.6)

定义3.2

我们打电话给\（u在C（[0，T]；H_{0}^{1}（\Omega））中）时空分数阶非线性超扩散方程的弱解(1.2)如果\（\int_{\Omega}（u-\Phi（u））v\，dx=0\）,\（对于[0，t]\中的所有t\）对于每个\（v\在H_{0}^{1}（\Omega）中\）也就是说，

$$\int_{\Omega}uv\，dx=\int_}\Omega}\biggl[\phi（x）+\psi（x）t+\frac{1}{\Gamma（\alpha）}\int^{t}（t）_{0}（t-s）^{\alpha-1}\bigl（\epsilon\bigle（-（-\Delta）^{\ beta/2}\biger）\bigr）u（x，s）-\frac{\部分f（u）}{\部分x}）\，ds\biggr]v\，dx$$

根据的定义(2.15)我们有\（B^{\alpha/2，\beta/2}（I\times\Omega）\子集C（[0，T]；H_{0}^{1}（\Omeca））\），并结合定理的结果2.5再次，我们得到以下定理。

定理3.8

让 \（1<α<2）,\（1<\beta\leq2）,和 \（u{t}（x，0）=0\）.然后是操作员 \（\Phi（u）：B^{\alpha/2，\beta/2}（I\ times\Omega）\rightarrow B^{\ alpha/2、\beta/2}（I \ times\O mega）\） 是完全连续的.

证明

放置\（F（u）=\epsilon（-（-\Delta）^{\beta/2}）u（x，s）+\frac{\partial}{\paratilx}F（u）\）.我们可以重写

$$\Phi（u）=\Phi（x）+\psi（x）t+\frac{1}{\Gamma（\alpha）}\int^{t}（t）_{0}（t-s）^{\alpha-1}F（u）\，ds，\quad\对于B^{\alpha/2，\beta/2}（I\times\Omega）中的所有u$$

对于任何\（v \in H）^{1}_{0}（\Omega）\）令人满意的\（\|v\|_{H^{1}_｛0｝（\Omega）｝\leq1\），我们有

$$\begin{aligned}\bigl|\bigl\langle F（u），v\bigr\rangle\bigr|=&\biggl|\biggl \langle\epsilon\bigl（-（-\Delta）^{\beta/2}\bigr）u（x，t）+\frac{\partial}{\partic x}F（u）^{R} D类^{\beta}_{|x|}u（x，t）+\frac{\partial}{\particalx}f（u），v\biggr\rangle\biggr|\\leq&\bigl|\bigl\langle-\epsilon C_{\beta}\bigl(^{右}_{a} D类^{\beta}_{x}+^{右}_{x} D类^{\beta}_{b}\bigr），v\bigr\rangle\bigr|+\biggl|\biggl \langle\frac{\partial f（u）}{\parial x}，v\biggr \rangle\ biggr|\\leq&\bigl|-\epsilon C_{\beta}\bigl[\bigl(^{右}_{a} D类^{\beta/2}_{x} u个, ^{右}_{x} D类^{\beta/2}_{b} v（v）\biger）_{L^{2}（U）}+\bigl(^{右}_{x} D类^{\beta/2}_{b} u个, ^{右}_{a} D类^{\beta/2}_{x} v（v）\bigr）_｛L^｛2｝（U）｝\bigr]\bigr|+\bigl|f（U）\cdot\Delta v\bigr|\\leq&&epsilon C_｛\beta｝\bigl[\bigl\|｛｝^{右}_{a} D类^{\beta/2}_{x} u个\bigr\|_{L^{2}（U）}\bigl\|{}^{右}_{x} D类^{\beta/2}_{b} v（v）\bigr\|_{L^{2}（U）}\\&{}+\bigl\|{}^{右}_{x} D类^{\beta/2}_{b} u个\bigr\|_{L^{2}（U）}\bigl\|{}^{右}_{a} D类^{\beta/2}_{x} v（v）\bigr\|_{L^{2}（U）}\bigr]+\bigl|f（U）\bigr|\cdot\|\Delta v \|{L^}（\Omega）}\\leq&\epsilon C_{beta}\|U\|{L^{2]（I，H^{beta/2}（\ Omega{β}（I，H^{β/2}（\Omega））}^{1}_{0}（\Omega）}\\leq&2\epsilon C_{\beta}\|u\|_{\beta^{\alpha/2，\beta/2}（I\times\Omeca））}^{1}_{0}（I\times\Omega）}+N\|v\|_{H^{1}_{0}（\Omega）}\\leq&2\epsilon C_{\beta}\|u\|_{\beta^{\alpha/2，\beta/2}（I\times\Omeca））}^{1}_{0}（\Omega）}+N\|v\|_{H^{1}_{0}（\Omega）}\\leq&2\epsilon C_{\beta}\bigl\|\phi（x）\bigr\|_{L^{2}$$

哪里\（q=\压裂{2}{\α}\）、和\（M_{2}\）是一个正常数。

因此，

$$\begin｛aligned｝\bigl\Vert\Phi（u）\bigr\Vert=&&sup_｛\Vert v\Vert_｛H^{1}_{0}\leq1}}\bigl|\bigl\langle\Phi（u），v\bigr\rangle\bigr|\\=&\sup_{\Vert v\Vert_{H^{1}_{0}\leq1}}\biggl|\bigl\langle\phi（u），v\bigr\rangle+\bigl\ langle\psi（x），v\ bigr\Ranglet+\frac{1}{\Gamma（\alpha）}\int^{t}（t）_{0}（t-s）^{\alpha-1}\bigl\langle F（u），v\bigr\rangle\，ds\biggr|\\leq&\bigl\ Vert\phi（x）\bigr\ Vert_{L^{infty}（\Omega）}\Vert v\Vert_{H^{1}_{0}（\Omega）}+\bigl\Vert\psi（x）\bigr\Vert_{L^{infty}（\欧米茄）}\Vert v\Vert_{H^{1}_{0}（\Omega）}T\\&{}+\bigl|\bigl\langle F（u），v\bigr\rangle\bigr|\biggl|\frac{1}{\Gamma（\alpha）}\int^{t}（t）_{0}（t-s）^{\alpha-1}\，ds\biggr|\\leq&\bigl\Vert\phi^{t}（t）_{0}（t-s）^{\alpha-1}\，ds\biggr|\\leq&\bigl\Vert\phi \bigr\Vert_{L^{infty}（\Omega）}+\bigl\Vert\psi（x）\bigr\ Vert_{L ^{inffy}。\结束{对齐}$$

因此，\（\Phi（u）\）有界。

另一方面，给定\（epsilon>0\），套

$$\delta=\min\biggl\{\frac{\epsilon}{4\|\psi（x）\|_{L^{\infty}（|\Omega）}}，\frac}{1}{2}\biggl（\ frac{\ epsilon\Gamma（\alpha）}{2M{2}\ biggr）^{\frac{1}}{\alpha}\bigr\}$$

然后，每\（v\在H_{0}^{1}（\Omega）中\）以及所有\（[0，t]\中的t_{1}，t_{2}\）这样的话\（0<t_{2} -吨_{1} <\增量\），我们获得

$$\bigl\|\Phi u（t_{2}）-\Phi u（t_{1}$$

也就是说，\（\Phi（u）\）是等连续的。事实上，

$$\begin{aligned}\bigl\|\Phi u（t_{2}）-\Phi u（t_{1}）\bigr\|_{H^{-1}}=&\sup_{\|v\|{H_0}^{1}}\leq1}\bigl|\bigl\ langle\Phi u[t_{2{）-\ Phi u H_{0}^{1}}\leq1}\biggl|\bigl\langle\psi（x），v\bigr\rangle（t_{2} -吨_{1} ）+\frac{1}{\Gamma（\alpha）}\int_{0}^{t{2}}（t_{2} -秒)^{\alpha-1}\bigl\langle F（u），v\bigr\rangle\，ds\\&{}-\frac{1}{\Gamma（\alpha）}\int_{0}^{t_{1}}（t_{1} -秒)^｛\alpha-1｝\bigl\langle F（u），v\bigr\rangle\，ds\biggr|\\leq&\bigl\|\psi（x）\bigr\|_{L^{infty}（\Omega）｝\|v\|_{H_{0}^{1}｝|t_{2} -吨_{1} |+\bigl|\bigl\langle F（u），v\bigr\rangle\bigr|\biggl|\frac{1}{\Gamma（\alpha）}\int_{t_{1}}^{t_{2}}（t_{2} -秒)^{\alpha-1}\，ds\biggr|\\&{}+\bigl|\bigl\langle F（u），v\bigr\rangle\bigr|\biggl|\frac{1}{\Gamma（\alpha）}\int_{0}^{t_{1}}\bigl（（t_{2} -秒)^{\alpha-1}-（t_{1} -秒)^{\alpha-1}\biger）\，ds\biggr|\\leq&\bigl\|\psi（x）\bigr\|_{L^{\infty}（\Omega）}|t_{2} -吨_{1} |+\frac｛M_｛2｝｝｛\Gamma（\alpha）｝\int_｛t_｛1｝｝^｛t_｛2｝｝\bigl|（t_{2} -秒)^{\alpha-1}\bigr|\，ds\\&{}+\frac{M_{2}}{\Gamma（\alpha）}\int_{0}^{t_{1}}\bigl|（t_{2} -秒)^{\α-1}-（t_{1} -秒)^{\alpha-1}\bigr|\，ds\\leq&\bigl\|\psi（x）\bigr\|_{L^{\infty}（\Omega）}|t_{2} -吨_{1} |+\frac{M_{2}}{\alpha\Gamma（\alpha_{2} -吨_{1} |+\frac{M_{2}}{\alpha\Gamma（\alpha）}\bigl（t_{2}^{alpha}-t_{1}^{alpha}\bigr）。\结束{对齐}$$

在下文中，我们将证据分为两种情况。

案例1：\（δt_｛1｝＜t_｛2｝＜t\）.自\（1<α<2），我们得到

$$\begin{aligned}\bigl\Vert\Phi u（t_{2}）-\Phi u \psi（x）\bigr\Vert_{L^{infty}（\Omega）}|t_{2} -吨_{1} |+\frac{M_{2}}{\alpha\Gamma（\alpha）}\bigl（t_{2}^{\alfa}-t_{1}^{\ alpha}\bigr）\\=&\bigl\Vert\psi（x）\bigr\Vert_{L^{\infty}（\Omega）}|t_{2} -吨_{1} |+\frac{M_{2}}{\alpha\Gamma（\alpha）}\alpha-t^{\alfa-1}（t_{2} -吨_{1} ）\\leq&\bigl\Vert\psi（x）\bigr\Vert_{L^{infty}（\Omega）}|t_{2} -吨_{1} |+\frac{M_{2}}{\Gamma（\alpha）}\delta^{\alpha}\\<&\bigl\Vert\psi（x）\bigr\Vert_{L^{\infty}（\Omega）}\delta+\frac{M_2}}{\ Gamma 2}\biggr）^{\alpha}\frac{\epsilon}{2}\\<&\ frac{\ epsilon{2}+\ frac}\epsilen}{2{=\ epsilen。\结束{对齐}$$

在这里\（t{1}<t<t{2}\），我们应用了中值定理\（t{2}^{\alpha}-t{1}^{\ alpha}=\alphat^{\alpha-1}（t_{2} -吨_{1})\).

案例2：\（0\leq t_{1}<\delta，t_{2}<2\delta\）.我们有

$$\begin{aligned}\bigl\Vert\Phi u（t_{2}）-\Phi u \psi（x）\bigr\Vert_{L^{infty}（\Omega）}|t_{2} -吨_{1} |+\frac{M_{2}}{\alpha\Gamma（\alpha）}\bigl（t_{2}^{\alalpha}-t_{1}^{\ alpha}\bigr）\\leq&\bigl\Vert\psi（x）\bigr\Vert_{L^{\infty}（\Omega）}\delta+\frac{M_2}{垂直\psi（x）\bigr\Vert_{L^{infty}（\Omega）}\delta+\frac{M_2}}{\Gamma（\alpha+1）}（2\delta）^{\alpha}\\<&\frac}\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilen。\结束{对齐}$$

因此，Φ是等度连续且一致有界的。根据Arzelá-Ascoli定理，Φ在空间上是紧的\（B^｛\alpha/2，β/2｝（I\times\Omega）\），所以操作员\（\Phi（u）：B^{\alpha/2，\beta/2}（I\ times\Omega）\rightarrow B^{\ alpha/2、\beta/2}（I \ times\O mega）\）是完全连续的。这就完成了定理的证明3.8. □

自\（B^{\alpha/2，\beta/2}（I\times\Omega）\子集C（[0，T]；H_{0}^{1}（\Omeca））\），结合定理的结果3.8，通过Schauder不动点定理（引理2.4)我们得到了时空分数阶非线性超扩散方程(1.2)有一个独特的弱解决方案\（u在C（[0，T]；H_{0}^{1}（\Omega））中）.

3.3时空分数阶漂移超扩散方程弱解的存在唯一性

在这一部分中，我们考虑了时空分数阶漂移超扩散方程弱解的存在唯一性。类似地，我们需要一些函数空间及其性质来分析多维时空分数漂移超扩散方程。通过引理2.2和2.3我们将以下空间重新定义如下[15,16]:

$$\begin{aligned}B^{\alpha/2，\gamma/2}（I\times\Omega）：=H^{\alpha/2}\bigl（I，L^{2}（\Omeca）\bigr）\cap L^{2\bigl$$

(3.7)

符合规范

$$\开始{aligned}\|v\|_{L^{\alpha/2，\gamma/2}}（I\times\Omega）：=&\bigl（\|v\ |^{2}_{H^{\alpha/2}（I，L^{2}（\Omega））}+\|v\|^{2}_{L^{2}（I，H_{0}^{\gamma/2}（\Omega））}\biger）^{\frac{1}{2}}，对于B^{\alpha/2中的所有v，\quad\，\gamma/2}（I\ times\Omega，\end{aligned}$$

(3.8)

哪里

$$H^{\alpha/2}\bigl（I，L^{2}（\Omega）\biger$$

被赋予了规范

$$\|v\|_{H^{\alpha/2}（I，L^{2}（\Omega））}:=\bigl\|\bigl\垂直v（\cdot，t）\bigr\Vert_{L^{2]（\O mega）}\bigr\ |_{H^{\ alpha/2{（I）}$$

(3.9)

显然，\（B^{\alpha/2，\gamma/2}（I\次\Omega）\）是标准Banach空间的闭有界凸子空间（子集）\（C（[0，T]；H_{0}^{1}（\Omega））\）类似地，我们回忆起中定理3.1的相同论点[15]得到以下有用的不等式。

定理3.9

假设 \（1<α<2）,\（0<\gamma\leq1\）,和 \（θ{t}（x，0）=0）.然后,系统(1.3)在空间中有唯一的弱解 \（B^{\alpha/2，\gamma/2}（I\次\Omega）\）.此外,

$$\begin{aligned}\|\theta\|_{B^{\alpha/2，\gamma/2}（I\times\Omega）}\leq\bigl\Vert\theta（x，0）\bigr\Vert_{L^{2}（\Omeca）}\bigl\ Vert-t^{-\alpha}\bigr\ Vert_{L^{q}（\ Omega）}\bigl\Vertt^{-\alpha}\bigr\Vert_{L^{q}（\Omega）}，\quad q=\frac{2}{\alpha}。\结束{对齐}$$

(3.10)

然后通过引理3.2问题(1.3)可以在分数阶积分算子下化简为等价积分方程\（I^{\alpha}\）如以下问题所示：

$$\left\{\textstyle\begin{array}{@{}l@{quad}l}-\phi（x）-\psi（x）t+\theta（x，t）\\quad=\frac{1}{\Gamma（\alpha）}\int_{0}^{t}（t-s）^{\alpha-1}（-\operatorname{div}（u\cdot\theta Delta）^{\Gamma}\θ（x，s）），ds&\mbox{in}\Omega_{t}，\\theta（x，t）=0&\mbax{on}\partial\Omega{t}。\结束{array}\displaystyle\right$$

(3.11)

现在，我们定义

$$\left\{\textstyle\begin{array}{@{}l@{\quad}l}\Phi（θ）=\Phi（x）+\psi（x）t\\\hphantom{\Phiθ）=}{}+\epsilon\Delta\θ（x，s）-（-\Delta）^{\Gamma}\theta（x，s）），ds&\mbox{in}\Omega_{t}，\\theta（x，t）=0&&mbox｛on｝\部分\ Omega_｛T｝。\结束{array}\displaystyle\right$$

(3.12)

定义3.3

我们打电话给\（C（[0，T]；H_{0}^{1}（\Omega））中的θ）时间分数阶漂移超扩散方程的弱解(1.3)如果\（\int_{\Omega}（\theta-\Phi（\theta））v\，dx=0\）为所有人\（在[0，t]\中）以及每个\（v\在H_{0}^{1}（\Omega）中\）也就是说，

$$开始{aligned}\int_{\Omega}\theta v\，dx={}&\int_}\Omega}\biggl[\phi（x）+\psi（x）t+\frac{1}{\Gamma（\alpha）}\int_0}^{t}（t-s）^{\alpha-1}\bigl（-\operatorname{div}\bigle（u\cdot\theta（x，s）\biger）\\&{}+\epsilon\Delta\theta（x，s）-（-\Delta）^{\Gamma}\theta（x，s）\bigr）\，ds\biggr]v\，dx。\结束{对齐}$$

根据的定义(3.7)我们得到\（B^{\alpha/2，\gamma/2}（I\次\Omega）\子集C（[0，T]；H_{0}^{1}（\Omeca））\），以及定理的结果3.9，我们有以下内容：

定理3.10

如果 \（1<α<2）,\（0<\gamma\leq1\）,和 \（θ{t}（x，0）=0）,然后是操作员 \（\Phi（\theta）：B^{\alpha/2，\gamma/2}（I\times\Omega）\rightarrow B^{\ alpha/2 是完全连续的.

证明

放置

$$F（θ）=-\operatorname{div}\bigl（u\cdot\theta（x，t）\bigr）+\epsilon\Delta\theta$$

我们可以重写

$$\Phi（θ）=\Phi（x）+\psi（x）t+\frac{1}{\Gamma（\alpha）}\int_{0}^{t}（t-s）^{\alpha-1}F（\theta）\，ds$$

对于每个\（v\在H_{0}^{1}（\Omega）中\）这样的话\（\|v\|_{H_{0}^{1}（\Omega）}\leq 1\），按部分积分，根据定义中的Riesz分数导数2.4和引理3.3，自\（0<伽马<1），通过引理3.4结合实阶Sobolev嵌入定理，我们得到了\（H_{0}^{1}（\Omega）\hookrightarrow H_{0}^{\gamma/2}（\ Omega，因此\（\|\theta\|_{L^{2}}（\Omega）\leq\|\ttheta\|{H_{0}^{gamma/2}（\ Omega。在下面，我们表示\（\|\theta\|_{H_{0}^{1}（\Omega）}\）和\（\|\theta\|_{H_{0}^{-1}（\Omega）}\）通过\（\|\theta\|_{H_{0}^{1}}\）和\（\|\theta\|_{H_{0}^{-1}}\）分别是。因此，通过Cauchy-Schwarz和Hölder不等式以及标准的Sobolev嵌入定理，定理3.9、和引理3.5，自\（1<\alpha<2\），我们获得

$$\begin{aligned}\bigl\vert\bigl\langle F（\theta），v\bigr\rangle\bigr\fort=&\biggl\vert\int_{\Omega}（u\cdot\theta+\epsilon\nabla\theta |u\|_{L^{2}（\Omega）}\biggl（\int_{\Omega}|\theta|^{2{，dx\biggr）^{\frac{1}{2}}+|\epsilon|\biggl（\int_{\Omega}|\nabla\theta|^{2}\，dx\biggr）\theta（x，t），v（x，t）\bigr\vert\\leq&\bigl（\Omega）}\biger）\|\nabla v\|_{L^{2}（欧米茄）}+|\epsilon|\|\nabla\theta\|_{L^{2}（\Omega）}\biger）^{右}_{a} D类^{\gamma}_{x}\θ^{右}_{x} D类^{\伽马}_{b} v（v）\bigr）_{L^{2}（U）}+\bigl（{}^{右}_{x} D类^｛\gamma｝_｛b｝\theta^{右}_{a} D类^{\伽马}_{x} v（v）bigr）_｛L^｛2｝（U）｝\bigr]\bigr\vert\\leq&C_｛1｝\bigl^{右}_{a} D类^{\gamma}_{x}\theta\bigr\|_{L^{2}（U）}\bigl\|{}^{右}_{x} D类^{\伽马}_{b} v（v）\bigr\|_{L^{2}（U）}+\bigl\Vert{}^{右}_{x} D类^{\gamma}_{b}\theta\bigr\Vert_{L^{2}（U）}\bigl\|{}^{右}_{a} D类^{\伽马}_{x} v（v）\bigr\|_{L^{2}（U）}\bigr]\\leq&C_{1}\bigl（\|U\|{L^}（\Omega）}+\max|\epsilon|\bigr）\|\theta\|_}L^{2]（I，H^{\gamma/2}（\ Omega{L^{2}（I，H^{\gamma/2}（\Omega））}}+\max|\epsilon|\biger）\|\theta\|_{B^{\alpha/2，\gamma/2}（I\times\Omega）}^{1}_{0}（I\times\Omega）}\\leq&C_{3}\bigl（\|u\|_{L^{2}（\Omeca）}+\max|\epsilon|\biger）\|\theta\|__{B^{\frac{\alpha}{2}，\frac}\gamma}{2{}（I \times\ Omega{\gamma}\|\theta\|{B^{\alpha/2，\gamma/2}（I\times\Omega）}\|v\|{H^{1}_{0}（\Omega）}\\leq&C_{3}\bigl（\|u\|_{L^{2}（\ Omegaφ（x）\bigr\Vert_{L^{2}（\Omega）}\bigl\|t^{-\alpha}\bigr\ |_{L^}（\ Omega（\Omega）}\leq M_{3}。\结束{对齐}$$

在这里，\（C_{1}，C_{2}，C_{3}\）分别表示最佳Sobolev常数，\（C=\max\{C_{3}（\|u\|_{L^{2}（\欧米茄）}+\max|\epsilon|）+2C_{gamma}\}\）、和\（M_{3}\）是一个正常数。

因此，通过Cauchy-Schwarz不等式，我们得到

$$\begin｛aligned｝\bigl\Vert\Phi（\theta）\bigr\Vert_｛H^｛-1｝｝=&&\sup_｛\|v\|_｛H_｛0｝^｛1｝｝｝\leq1｝\bigl\Vert\bigl\langle\Phi（\theta），v\bigr\rangle\bigr\Vert\\=&&\sup_｛\|v\|_｛H_｛0｝^｛1｝｝\leq1｝\biggl\Vert\bigl\langle\Phi（x），v\bigr\rangle+\bigl\langle\psi（x），v\bigr\rangle t+\frac｛1｝｛\Gamma（\alpha）｝\int_｛0｝^｛t｝（t-s）^｛\alpha-1｝\bigl\langle F（θ），v\bigr\rangle，ds\biggr\vert\\\leq&\bigl\vert\bigl\langle\phi（x）\theta），v\bigr\rangle\，ds\biggr\vert\\\leq&\bigl\vert\phi（x）\bigr\Vert_{L^{\infty}（\Omega）}\Vert v\Vert_{H_{0}^{1}}+\bigl\Vert\psi（x）\bigr\Vert_{L^}\infty}（\ Omega c{1}{\Gamma（\alpha）}\int_{0}^{T}（T-s）^{\alpha-1}\，ds\biggr\Vert\\\leq&\bigl\Vert\phi（x）\bigr\Vert_{L^{infty}（\Omega）}+\bigl\Vert\psi（x）\bigr\Vert_{L^{infty}（\Omega）}T+\frac{M_{3}}{\Gamma（\alpha）}\biggl|\int_{0}^{T}（T-s）^{\alpha-1}\，ds\biggr|\\leq&\bigl\ Vert\phi \bigr\Vert_{L^{infty}（\Omega）}T+\frac{M_{3}}{\alpha\Gamma（\alpha）}T^{\alfa}\\leq&\bigl\Vert\phi（x）\bigr\ Vert_{L ^{inffy}（欧米茄）}+\bigl\Vert\psi（x）\bigr\Vert_{L^{infty}（\Omega）}T+\frac{M_{3}}{alpha\Gamma（\alpha）}T^{alpha}。\结束{对齐}$$

因此，\（\Phi（\theta）\）有界。

另一方面，给定\（epsilon>0\），套

$$\delta=\min\biggl\{\frac{\epsilon}{4\|\psi（x）\|_{L^{\infty}（\Omega）}}，\frac}1}{2}\biggl（\frac[\epsilen\Gamma（\alpha）}{2M_{3}}\bigr）^{\frac{1}{\alpha}\bighr}$$

然后，每\（v\在H_{0}^{1}（\Omega）中\）以及所有\（[0，t]\中的t_{1}，t_{2}\）这样的话\（0<t_{2} -吨_{1} <\增量\），我们有

$$\bigl\Vert\Phi\theta（t_{2}）-\Phi\ttheta$$

也就是说，\（\Phi（\theta）\）是等连续的。事实上，

$$\begin{aligned}\bigl\Vert\Phi\theta（t_{2}）-\Phi\ttheta=&\sup_{\Vert v\Vert_{H_{0}^{1}}\leq1}\biggl|\bigl\langle\psi（x），v\bigr\rangle（t_{2} -吨_{1} ）+\frac{1}{\Gamma（\alpha）}\int_{0}^{t{2}}（t_{2} -秒)^{\alpha-1}\bigl\langle F（θ），v\bigr\rangle\，ds\&{}-\frac{1}{\Gamma（\alpha）}\int_{0}^{t_{1}}（t_{1} -秒)^｛\alpha-1｝\bigl\langle F（\theta），v\bigr\rangle\，ds\biggr|\\leq&\bigl\Vert\psi（x）\bigr\Vert_｛L^｛\infty｝（\Omega）｝\Vert v\Vert_｛H_｛0｝^｛1｝｝|t_{2} -吨_{1} |\\&{}+\bigl\vert\bigl\langle F（\theta），v\bigr\rangle\bigr\ vert\biggl\vert\frac{1}{\Gamma（\alpha）}\int_{t_{1}}^{t_{2}}（t_{2} -秒)^{\alpha-1}\，ds\biggr\vert\\&{}+\bigl\vert\bigl\langle F（\theta），v\bigr\rangle\bigr\ vert\biggl\vert\frac{1}{\Gamma（\alpha）}\int_{0}^{t_{1}}\bigl（（t_{2} -秒)^{\alpha-1}-（t_{1} -秒)^{\alpha-1}\biger）\，ds\biggr\vert\\\leq&\bigl\vert\psi（x）\bigr\vert_{L^{\infty}（\Omega）}|t_{2} -吨_{1} |+\frac{M_{3}}{\Gamma（\alpha）}\int_{t{1}}^{t{2}}\bigl\vert（t_{2} -秒)^{\alpha-1}\bigr\vert\，ds\\&{}+\frac{M_{3}}{\Gamma（\alpha）}\int_{0}^{t_{1}}\bigl|（t_{2} -秒)^{\α-1}-（t_{1} -秒)^{\alpha-1}\bigr|\，ds\\leq&\bigl\Vert\psi（x）\bigr\Vert_{L^{infty}（\Omega）}|t_{2} -吨_{1} |+\frac{M_{3}}{\alpha\Gamma（\alpha_{2} -吨_{1} |+\frac{M_{3}}{\alpha\Gamma（\alpha）}\bigl（t_{2}^{alpha}-t_{1}^{alpha}\bigr）。\结束{对齐}$$

在下文中，我们将证据分为两种情况。

案例1：\（δt_｛1｝＜t_｛2｝＜t\）.自\（1<α<2），我们得到

$$\begin{aligned}\bigl\Vert\Phi\theta（t_{2}）-\Phi\tea（t_{1}\bigl\|\psi（x）\bigr\|_{L^{infty}（\Omega）}|t_{2} -吨_{1} |+\frac{M_{3}}{\alpha\Gamma（\alpha）}\bigl（t_{2}^{\alfa}-t_{1}^{\ alpha}\bigr）\\=&\bigl\Vert\psi（x）\bigr\Vert_{L^{\infty}（\Omega）}|t_{2} -吨_{1} |+\frac{M_{3}}{\alpha\Gamma（\alpha）}\alpha-t^{\alfa-1}（t_{2} -吨_{1} ）\\leq&\bigl\Vert\psi（x）\bigr\Vert_{L^{infty}（\Omega）}|t_{2} -吨_{1} |+\frac{M_{3}}{\Gamma（\alpha）}\delta^{\alpha}\\<&\bigl\Vert\psi（x）\bigr\Vert_{L^{\infty}（\Omega）}\delta+\frac{M_3}}{\ Gamma 2}\biggr）^{\alpha}\frac{\epsilon}{2}<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\ epsilon{2}=\epsilen。\结束{对齐}$$

在这里\（t{1}<t<t{2}\），我们应用了中值定理\（t{2}^{\alpha}-t{1}^{\ alpha}=\alphat^{\alpha-1}（t_{2} -吨_{1})\).

案例2：\（0\leq t_{1}<\delta，t_{2}<2\delta\）.我们有

$$\begin{aligned}\bigl\Vert\Phi\theta（t_{2}）-\Phi\tea（t_{1}\bigl\Vert\psi（x）\bigr\Vert_{L^{infty}（\Omega）}|t_{2} -吨_{1} |+\frac{M_{3}}{\alpha\Gamma（\alpha垂直\psi（x）\bigr\Vert_{L^{infty}（\Omega）}\delta+\frac{M_{3}}{\Gamma（\alpha+1）}（2\delta）^{\alpha}\\<&\frac}\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilen。\结束{对齐}$$

因此，Φ是等度连续且一致有界的。根据Arzelá-Ascoli紧性定理，Φ在空间上是紧的\（B^{\alpha/2，\gamma/2}（I\次\Omega）\），因此操作员\（\Phi（u）：B^{\alpha/2，\gamma/2}（I\次\Omega）\rightarrow B^{\ alpha/2、\gamma/2}（I \次\O mega）\）是完全连续的。这就完成了定理的证明3.10. □

自\（B^{\alpha/2，\gamma/2}（I\次\Omega）\子集C（[0，T]；H_{0}^{1}（\Omeca））\），根据定理3.10，使用Schauder不动点定理（引理2.4)，我们得到了多维分数阶漂移超扩散方程(1.3)有一个独特的弱解决方案\（C（[0，T]；H_{0}^{1}（\Omega））中的θ）.

4结论

本文证明了标准Banach空间中弱解的存在唯一性\（C（[0，T]；H_{0}^{1}（\Omega））\）对于一类分数阶超扩散初边值问题。对于多维时间分数阶漂移超扩散方程，我们只考虑了最简单的情况，其中包括一个人工扩散项，并假设光滑无发散向量场（即漂移速度）\（L^{2}（\Omega）中的\mathbf{u}\）仅取决于空间变量x个然后，通过回顾中定理3.1中的参数[15]我们得到了两个重要的不等式(2.18)和(3.10)。最后，利用Schauder不动点定理和Arzelá-Ascoli紧性定理，得到了时空分数阶超扩散方程的唯一弱解(1.1)，时空分数阶非线性超扩散方程(1.2)，和多维分数阶漂移超扩散方程(1.3).