Kirchhoff型变阶分数阶拉普拉斯问题的符号变换解

摘要

本文研究了涉及临界指数和对数非线性的基尔霍夫型变阶分数阶拉普拉斯问题。利用约束变分方法，证明了一个最小能量符号变换解的存在性。此外，我们还表明，该能量严格大于基能的两倍。

1导言和主要成果

在本文中，我们对以下Kirchhoff型问题的最小能量符号变换解的存在性感兴趣：

$$\textstyle\begin{cases}（1+b[u]_{s（\cdot）}^{2}）（-\Delta）^{s（\tdot）}u+V（x）u=\vertu\vert^{q（x）-2}u\ln\vertu\ vert^}2}+\lambda\vertu\fort^{2^{{\ast}（x）-2-u，\quad\text{in}\Omega，\\u=0，\quade\text{in}\mathbb{R}^{N}\setminus\Omega，\end{cases}$$

(1.1)

哪里

$$[u]_{s（\cdot）}^{2}:=\iint_{\mathbb{R}^{3N}}{\frac{\vert u（x）-u（y）\vert^{2{}{\vertx-y\vert_^{N+2s（x，y）}}\，dx\，dy$$

(1.2)

\（b>0\）,\（s（\cdot）：\mathbb｛R｝^｛N｝\times\mathbb｛R｝^｛N｝\rightarrow（0,1）\）是一个连续函数，Ω是\（\mathbb{R}^{N}\）具有规则边界，\（\lambda>0）是一个参数，\（N>2秒（x，y）\）为所有人\（（x，y）\ in \欧米茄\ times \欧米加\）,\（（-\Delta）^{s（\cdot）}\）是可变阶分数拉普拉斯算子，和\（4<q（x）<2^{*}（x）：=\压裂{2N}{N-2s（x，x）}\）为所有人\（x\in\Omega\）.变阶分数Laplace算子\（（-\Delta）^{s（\cdot）}\）定义如下：\（x\in\mathbb{R}^{N}\）,

$$（-\Delta）^{s（\cdot）}\varphi（x）=2P。V.\int_{\mathbb{R}^{N}}{\frac{\varphi（x）-\varphi（y）}{\vert x-y\vert^{N+2s（x，y）}}\，dy}$$

(1.3)

沿着任何\（C_{0}^{infty}（\Omega）中的\varphi\），其中\（P.V\）.表示柯西主值。作为\（s（\cdot）\equiv\text{const.}\），变阶分数Laplace算子\（（-\Delta）^{s（\cdot）}\）化简为常用的分数拉普拉斯算子；参见[4,18]简要介绍分数拉普拉斯算子和相关的变分结果。分数运算符的另一种形式可以在[10]以及其中的参考文献。

1883年，基尔霍夫[13]提出了由方程给出的模型

$$\rho\frac{\部分^{2} u个}{\partial t^{2}}-\biggl（\frac{P_{0}}{h}+\fracc{E}{2L}\int_{0{0}^{L}{\biggl\vert\frac{\paratil u}{\partical x}\biggr\vert^{2]}\，dx\biggr）\biggl$$

(1.4)

狮子座也引入了上述基尔霍夫方程[17]. 的作者[5]他说，抛物线型的非局部Kirchhoff问题可以模拟几个生物系统，例如种群密度。对于更多的物理背景，我们建议读者参考[三,16]. 关于Kirchhoff型方程的正解、多解、束缚态解、半经典态解和符号变换解的存在性，可以在[1,19,20,23]以及其中的参考文献。对于分数阶Kirchhoff问题，我们提到[9]利用有限维约化方法和扰动变元研究了临界情况下奇异摄动分数阶Kirchhoff方程

$$\biggl（a+b\int_{\mathbb{R}^{N}}\bigl\vert（-\Delta）^{\frac{s}{2}}u\bigr\vert^{2}\，dx\biggr）（-\Delta）^{s} u个=\bigl（1+\varepsilon K（x）\bigr）u^{2^{\ast}_{s} -1个}，\quad\textrm｛in｝\mathbb｛R｝^｛N｝$$

(1.5)

并给出了非退化结果。请参见[30]对于具有强奇异性的分数阶Kirchhoff问题，即右项为\（f（x）u^{-\gamma}\），其中\（伽马>1）同时，分数阶Kirchhoff型p-Laplacian问题引起了广泛关注。参见，例如[4,5,7,8,14,16,24–29]对于存在性、多样性和集中现象。

我们提到2019年，梁和勒杜勒斯库[15]考虑了以下具有对数非线性的关键基尔霍夫问题：

$$\textstyle\begin{cases}（a+b[u]_{s，p}^{p}）（-\Delta）_{p}^{s} u个=\lambda\vert u\vert^{q-2}u\ln\vert u\vert ^｛2｝+\vert u\vert ^｛p_｛s｝^｛*｝-2｝u，\quad\text｛in｝\Omega，\\u=0，\quad\text｛in｝\mathbb｛R｝^｛N｝\setminus\Omega。\结束{cases}$$

（1.6）

在适当的假设下，得到了能量最小的符号变换解。上述问题中有一个对数项；请看[6,8,11,15,24]获取相关结果。带对数项的薛定谔方程出现在许多物理领域，如量子力学、量子光学和核物理。我们也引用了这篇论文[22]其他奇异积分方程及其物理背景。本文采用边界积分方程法。

我们还提到，2022年，王和张[25]通过克拉克定理证明了以下问题无穷多解的存在性：

$$\textstyle\begin{cases}M（[u]_{s（\cdot）}^{2}）（-\Delta）^{s（\tdot）}u+V（x）u=\lambda\vertu\vert^{p（x）-2}u+\mu\vertu\ vert^}q（x）-2-u，\quad\text{in}\Omega，\\u=0，\quae\text{in}\mathbb{R}^{N}\setminus\Omega。\结束{cases}$$

(1.7)

最近，Liang等人[14]研究了以下问题：

$$\textstyle\begin{cases}（a+b[u]_{s（\cdot）}^{2}）（-\Delta）^{s（\tdot）}u=\vert u\vert^{q（x）-2}u+\lambda f（x，u），\quad\text{in}\Omega，\\u=0，\quad\text{in}mathbb{R}^{N}\setminus\Omega。\结束{cases}$$

(1.8)

他们使用约束变分方法和定量变形引理来获得一个最小能量符号变换解的存在性。

在本文中，受上述论文的启发，我们正在寻求问题的显著变化的弱解(1.1). 据我们所知，没有关于这个问题的工作。为了说明我们的结果，我们做出以下假设：

\（（S1）\）:

\（0<s｛-｝：=\ min_｛（x，y）\ in \mathbb｛R｝^｛N｝\times\mathbb｛R｝^｛N｝｝｝s（x，y）\ le s｛+｝：=\ max_｛（x，y）\ in \mathbb｛R｝^｛N｝\times\mathbb｛R｝^｛N｝｝｝s（x，y）<1\）;

\（（S2）\）:

\（s（\cdot）\）是对称的，也就是说，\（s（x，y）=s（y，x）\）为所有人\（（x，y）\in\mathbb{R}^{N}\times\mathbb{R}^{N{）;

\（第1版）:

\（V（x）\）是满足要求的连续函数

$$\inf_{x\in\Omega}V（x）>V_{0}>0$$

(1.9)

现在，我们可以将我们的结果陈述如下。

定理1.1

假设 \（（S1）\）,\（（S2）\）,和 \（第1版） 持有.然后,对于 \（4<q（x）<2^{*}（x）\） 为所有人 \（x\英寸\欧米茄\）,存在 \（\lambda_{1}>0\） 这样所有人 \（\lambda\ge\lambda{1}\）,问题(1.1)能量最小-改变解决方案 \（u{b}\）.

现在，关于双能量的性质，根据上述定理的证明，我们可以定义

$$\马塔尔{无}_{\lambda}=\bigl\{u\在E\setminus\{0\}中：\bigl\ langle J_{\lampda}^{\prime}（u），u\bigr\rangle=0\bigr\}$$

(1.10)

我们有以下定理。

定理1.2

假设 \（（S1）\）,\（（S2）\）,和 \（第1版） 持有.然后,对于 \（4<q（x）<2^{*}（x）\） 为所有人 \（x\英寸\欧米茄\）,存在 \（λ^｛*｝>0\） 这样对所有人来说 \（\lambda\ge\lambda ^{*}\）,

$$c^{*}:=\inf_{u\in\mathcal{无}_{\lambda}}J_{\lampda}（u）>0$$

(1.11)

实现并 \（J{\lambda}（u{b}）>2c^{*}）.

值得指出的是，我们的结果与[8]或[14]. 从技术角度来看，我们有三大困难。一是分数拉普拉斯项和基尔霍夫项都是非局部的。这使得能量函数的分解更加复杂。第二个是对数项在变号。第三，我们的问题至关重要。与之相反[14]，我们的非线性项包含对数项。幸运的是，由于Ω是有界的，函数我（请参见(2.4))是\（C^{1}\）.与相比[8]，在本文中，我们添加了一个摄动参数λ为了降低能量值，我们可以处理索波列夫临界问题。这称为局部P.S.情况。到目前为止，我们认为，添加一个扰动参数λ之前的对数项并不能有效地研究关键问题，因为这个项是符号变换的。我们的目的是研究对数项和指数是函数。我们将使用可变指数Lebesgue空间\（L^{p（x）}（\Omega）\）; 参见[12]对于广义Orlicz空间\（L^｛\varphi｝（\Omega）\）.

从现在开始，我们总是假设\（（S1）\）,\（（S2）\）、和\（第1版）除非另有说明，否则暂停。我们需要找到相应极小化问题的符号变换极小化子。

2定理的证明1.1和定理1.2

我们继续使用符号和工作空间，如[14]. 对于函数\（m:\Omega\rightarrow\mathbb{R}\），我们设置

$$\underline{m}=\operatorname{ess}\underset{x\in\Omega}{\inf}m（x），\qquad\overline{m}=\operatorname{less}\underset{x\in \Omega}{\sup}m（x）$$

(2.1)

自五是连续的，单位为\（H_{0}^{s（\cdot）}（\Omega）\），我们可以选择等效范数

$$\垂直u\垂直^{2}=[u]^{2}_{s（\cdot）}+\int_{\Omega}V（x）u^{2}\，dx$$

(2.2)

为了方便起见，我们表示\（E：=H_{0}^{s（\cdot）}（\Omega）\）符合规范\（\|\cdot\|\），这是一个具有内积的希尔伯特空间\（（\cdot，\cdot）_{E}\）.

对应的能量函数(1.1)定义为

$$开始{对齐}J_{\lambda}（u）=&\frac{1}{2}\lVertu\rVert^{2}+\frac}{b}{4}[u]_{s（\cdot）}^{4}+2\int_{\Omega}{\frac[1}{q（x）^{2{}}\vertu\vert^{q（x）}\，dx\\&{}-\int_}{\Omega}{1}{q（x）}}\vertu\vert^{q（x）}\ln\vertu\ vert^}，dx-\lambda\int_{\Omega}{\frac{1}{2^{\ast}（x）（x）}，dx，E中的四u结束{对齐}$$

(2.3)

我们可以核实一下\（C^{1}中的J_{\lambda}（E，\mathbb{R}）事实上，在我们的例子中，Ω是一个具有规则边界的有界域。鉴于[2]或[21],

$$I（u）：=\int _｛\Omega｝｛\frac｛1｝｛q（x）｝｝\vert u\vert ^｛q（x）｝\ln\vert u\vert ^｛2｝\，dx$$

(2.4)

属于\（C^｛1｝（E，\mathbb｛R｝）\）。对于\（u，v在E中）,

$$\bigl\langle I^{\prime}（u），v\bigr\rangle=\int_{\Omega}\vert u\vert^{q（x）-2}uv\ln\vert u \vertqu{2}\，dx+2\int_}\Omega}\vert-u\vert ^{q$$

(2.5)

我们的目标是找到一个标志性的关键点\（J_{\lambda}\）虽然许多单词与[14]，我们需要逐字检查结果，因为我们的函数包含对数项\（I（u）\）.

让我们表示

$$u^{+}（x）：=\max\bigl\{u（x），0\bigr\}，\qquad u^{-}（x）：=\ min\bigl\{u（x），0\figr\}$$

(2.6)

显然，\（u=u^{+}+u^{-}\）为了方便，为了任何\（在E\中为u\）,\（u^{\pm}\ne 0\），让我们定义一个函数\（\varPsi_{u}:[0，\infty）\次[0，\ infty（）\）通过

$$\varPsi_{u}（\alpha，\beta）：=J_{\lambda}\bigl（\阿尔法u^{+}+\betau^{-}\bigr）$$

(2.7)

此外，

$$H（u）：=\int_{\Omega}{\int_}\Omega}{\frac{（u^{+}（x）-u^{+/}（y））（u^}-u^}（y））}{\vertx-y\vert^{N+2s（x，y）}}}\，dx\，dy$$

(2.8)

显然，

$$H（u）=-2\int_{\Omega}\int_}\Omega}\frac{u^{+}（x）u^{-}（y）}{\vert x-y\vert^{N+2s（x，y）}\，dx\，dy>0$$

(2.9)

我们定义了符号变换Nehari流形

$$\马塔尔{米}_{\lambda}=\bigl\{u\在E中，u^{\pm}\ne 0:\bigl\tangle J_{\lampda}^{\prime}（u），u^}+}\bigr\rangle=\bigle\langle J_}\lambda}^{\trime}$$

(2.10)

我们需要证明\（\mathcal{米}_{\lambda}\ne\emptyset\）.我们有以下引理。我们注意到引理中的最后一个结论2.1稍后将使用。

引理2.1

对于 \（在E\中为u\）,\（u^{\pm}\ne 0\）,存在一个独特的 \（（阿尔法{u}，贝塔{u}） 正数，这样 \（\alpha_｛u｝u^｛+｝+\beta_｛u｝u^｛-｝\in\mathcal）{米}_｛\lambda｝\）.此外,\（（阿尔法{u}，贝塔{u}） 是的唯一最大值点 \（\varPsi_{u}\） 在 \（[0，\infty）\次[0，\ infty（）\）.此外,如果 \（语言J^{\prime}_{\lambda}（u），u^{\pm}\rangle\le0\）,然后 \（0<\alpha{u}，\beta{u}\le1\）.

证明

由于证明几乎是标准的（参见[8])，我们只是为了方便读者而草拟证据。对于所有人\（r（x）\ in（q（x），2^｛*｝（x））\），注意到\（4<q（x）<2^{*}（x）\），选择\（\varepsilon>0\）小的，我们可以

$$\bigl\langle J_{\lambda}^{\prime}\bigl（\alpha u^{+}+\beta-u^{-}\bigr），\alpha-u^}\biger\rangle>0，\quad\textrm{表示任何}\alpha>0\textrm{足够小，所有}\beta>0$$

(2.11)

类似地，它产生

$$\bigl\langle J_{\lambda}^{\prime}\bigl（\alpha u^{+}+\beta-u^{-}\bigr），\betau^{}\biger\rangle>0，\quad\textrm{表示任何}\beta>0\textrm{足够小，所有}\alpha>0$$

(2.12)

因此，存在\（增量{1}>0\）这样的话

$$\bigl\langle J_{\lambda}^{\prime}\bigl（\delta_{1}u^{+}+\beta-u^{-}\bigr），\delta_1}u^}+\bigr\rangle>0\quad\text{和}\quad\\bigl\ langle J_{\lampda}^}更大范围>0$$

（2.13）

喜欢[8]，我们可以选择\（\delta^{\ast}_{2}>0\）这样，当\（在[\delta_{1}，\delta^{*}_{2}]\中的\beta\），我们有

$$\bigl\langle J_{\lambda}^{\prime}\bigl（\delta^{*}_{2}u^{+}+\betau^{-}\biger），\delta_{*}_2}u^}+}\bigr\rangle\le 0$$

(2.14)

同样，我们有

$$\bigl\langle J_{\lambda}^{\prime}\bigl（\alpha u^{+}+\delta^{*}_{2}u^{-}\bigr），\delta^{**}_{2]u^{}\biger\rangle\le 0$$

(2.15)

出租\（\delta_{2}>\delta_2}^{*}\）足够大，我们可以获得

$$\bigl\langle J_{\lambda}^{\prime}\bigl（\delta_{2}^{*}u^{+}+\beta-u^{-}\bigr），\delta_2}^{**}u_{+}\biger\rangle<0\quad\text{和}\quad\\bigl\ langle J_{\lamda}^{prime}\ bigl，\delta_{2}^{*}u^{-}\bigr\rangle<0$$

（2.16）

为所有人\（\α，\β\在[\delta_｛1｝，\ delta_｛2｝]\中）.组合(2.13)带有(2.16)，存在\（（阿尔法{u}，贝塔{u}）\在（0，\infty）\次（0，\ intty）\中这样的话\（T_{u}（\alpha_{u}，\beta_{u{）=（0,0）\）.

其次，我们证明了该对的唯一性\（（阿尔法{u}，贝塔{u}）。它可以分为两种情况。

案例 1.\（u\in\mathcal{米}_{\lambda}\）.让\（（\α_｛u｝，\β_｛u｝）\）是一对这样的数字\（\阿尔法_{u} u个^{+}+\测试版_{u} u个^｛-｝\in\mathcal{米}_{\lambda}\）。接下来我们将展示\（（α{u}，β{u}）=（1,1）.

对于这个案例\（0<\alpha_{u}\le\beta_{u{），如果\（β{u}>1）,\（语言J_{lambda}（alpha_{u} u个^{+}+\测试版_{u} u个^{-}），u^{-}\范围=0\）会导致矛盾。因此，我们的结论是\（β{u}\le 1）同样，\（语言J_{lambda}（alpha_{u} u个^{+}+\测试版_{u} u个^{-}），u^{+}\范围=0\）意味着\（α_｛u｝\ge 1\）因此，\（α{u}=β{u}=1）对于另一种情况，\（0<\beta{u}\le\alpha{u}\），我们可以采用上述类似的论点来获得\（α{u}=β{u}=1）.

案例 2.\（u\notin\mathcal{米}_{\lambda}\）假设存在\（（\波浪线{\alpha{1}}，\波浪线}\beta{1}）\）,\（（\tilde｛\alpha_｛2｝｝，\tilde｛\beta_｛2｝｝）\）这样的话

$$u{1}=\tilde{\alpha{1}}u^{+}+\tilde}\beta{1}{u^{-}\in\mathcal{米}_{\lambda}，\qquad u{2}=\tilde{\alpha{2}}u^{+}+\tilde}\beta{2}{u^{-}\in\mathcal{米}_{\lambda}$$

(2.17)

类似于[8]，我们获得\（\波浪线{\alpha_{2}}=\波浪线}\alpha_1}}\）,\（波浪线{\beta{2}}=\tilde{\beta{1}}\）.

第三，我们将证明\（（阿尔法{u}，贝塔{u}）是的唯一最大值点\（\varPsi_{u}\）在\（[0，+\infty）\次[0，+/infty显然，\（（阿尔法{u}，贝塔{u}）是…的关键点\（\varPsi_{u}\）显然，

$$2\rho^{q（x）}-q（x”）\rho^}q（x“）}\ln\vert\rho\vert^{2}\le 2，\quad\forall \rho\ in（0，\infty）$$

(2.18)

由此可见

$$\lim_{\vert（\alpha，\beta）|\rightarrow\infty}\varPsi_{u}（\alfa，\beta）=-\infty$$

(2.19)

因此，\（（阿尔法{u}，贝塔{u}）是唯一的关键点\（\varPsi_{u}\）在里面\（（0，+\输入）\次（0，+/\输入）。因此，只需检查在\（（0，+\输入）\次（0，+/\输入）。边界为

$$\｛0，+\infty\｝\times（0，+\infty）\cup（0，+\infty）\times\｛0，+\infty\｝\cup \｛0，+\infty\｝\times\｛0，+\infty\｝$$

(2.20)

鉴于(2.19)，最大值点\（\varPsi_{u}\）不能是\（+\infty\次（0，+\inft）\）,\（（0，+\infty）\times+\inffy），或\（{0，+\infty\}\次\{0，+/infty\}\）如果\（（0，\beta_{u}）\）是的最大点\（\varPsi_{u}\）对于一些实数正数\（0<\beta_｛u｝<+\infty\）然而，\（\varPsi_{u}\）是相对于α如果α足够小了。这太荒谬了。同样，\（\varPsi_{u}\）无法在达到其全局最大值\（（\alpha_{u}，0）\）.

剩下的部分是证明最后的结论。我们还将其分为两种情况。对于情况1，如果\（β{u}\leq\alpha{u}\），并共同\（语言J_{\lambda}^{\prime}（u），u^{\pm}\rangle\le0\）具有\（\阿尔法_{u} u个^{+}+\测试版_{u} u个^{-}\in\mathcal{米}_{\lambda}\），我们获得\（0<\alpha_{u}\le 1）对于情况2，如果\（阿尔法{u}\leq\beta{u}\），我们可以\（β{u}\leq 1）如前所述。□

现在，考虑以下最小化问题：

$$c_｛\lambda｝：=\inf_｛u\in\mathcal{米}_{\lambda}}J_{\lampda}（u）$$

(2.21)

我们需要证明它定义明确。

引理2.2

我们有 \（c_{\lambda}>0\）.

证明

自\（\下划线{r}，\上划线{r{，\下划线}2^{*}}，\上划线{2^{**}}>4\），类似于[8]，存在\（\rho>0\）这样的话

$$\bigl\lVert u^{\pm}\bigr\rVert^{2}\ge\rho，\quad\text{代表所有}u\in\mathcal{米}_｛\lambda｝$$

(2.22)

鉴于\（语言J^{prime}_{lambda}（u），u语言=0\）和

$$2\frac{1}{q（x）^{2}}\vert u\vert^{q$$

(2.23)

我们得到

$$开始{对齐}J_{\lambda}（u）&=J_{\slambdaneneneep（u）-\frac{1}{4}\bigl\langle J^{\prime}{\lampda}。\结束{对齐}$$

(2.24)

因此，我们有\（c_{\lambda}>0\）. □

接下来，我们让\（\lambda\rightarrow\infty\）得到的渐近性质\（c_{\lambda}=\inf_{u\in\mathcal{米}_{\lambda}}J_{\lampda}（u）\）.

引理2.3

我们有 \（\lim_{\lambda\rightarrow\infty}c_{\lambda}=0\）.

证明

对于任何\（在E\中为u\）具有\（u^{\pm}\ne 0\），使用引理2.1，每个\（\lambda>0），存在\（\alpha{\lambda}，\beta{\lampda}>0\）这样的话\（\alpha_{\lambda}u^{+}+\beta_{\lambda}u^{-}\in\mathcal{米}_{\lambda}\）。类似于[8],\（（（alpha{lambda}，beta{lambda））可以是有界的。所以让我们\（{\lambda_{n}\}\子集（0，+\infty）\）是这样的\（\lambda_{n}\rightarrow\infty\）作为\（n\rightarrow\infty\），我们有\（（\alpha{\lambda{n}}，\beta{\lampda{n{}}）\rightarrow（\alfa{0}，\ beta{0}）\）我们有以下索赔。

权利要求2.4

我们声称 \（阿尔法{0}=beta{0}=0\）.

如果\（\alpha_{0}>0\）或\（β_｛0｝>0\），签署人\（alpha{lambda{n}}u^{+}+beta{lambda{n}{u^{-}在mathcal中{米}_{\lambda_{n}}\），我们有

$$开始{对齐}和\bigl\lVert\alpha_{\lambda_{n}}u^{+}+\beta_{\lambda_}}u ^{-}\bigr\rVert^{2}+b\bigl[\alpha_}\lambda _{n{}}u ^{+{+\beta _{\lampda_{n}}u^{-{\bigr]{s（\cdot）}4}\&\quad=\int_{\Omega}\bigl\vert\alpha_{\lambda_{n}}u^{+}+\beta_{\λ{n}{u^{-}\bigr\vert^{q（x）}\ln\bigl\ vert\alpha_}\lambda{n}u_{+}+\beta_{\lambda_{n}}u^{-}\bigr\vert^{2}\，dx\\&\qquad{}+\lambda{n}\int_{\Omega}\bigl\vert\alpha_{\lambda_}}u^{+}+\beta{\lampda_{n}}u ^{-{\bigr\ vert^2^{*}（x）}，dx。\结束{对齐}$$

(2.25)

利用勒贝格支配收敛定理，我们得到

$$\int_{\Omega}\bigl\vert\alpha_{\lambda_{n}}u^{+}+\beta_{\lambda_}n}}u^{-}\bigr\vert^{2^{*}（x）}\，dx\rightarrow\int_}\Omega}_{0}u^{+}+\测试版_{0}u^{-}\bigr\vert^{2^{*}（x）}\，dx>0$$

(2.26)

这是一个矛盾。因此，我们完成了证明。我们指出我们的参数λ在临界项之前，这确保了相应的能量被抑制。 □

下一个引理表明\（c_{\lambda}\）可以在以下情况下实现λ足够大了。我们借鉴了[8]或[15]. 然而，我们的案例与这两个案例不同，因为它包含了条款

$$\lambda\frac{\max\{\alpha^{\underline{2^{*}}，\alpha ^{\overline{2^}}\}}{\undertline{2_{*}{}}\quad\textrm{和}\quad:lambda\frac{\max\{\beta^{\enderline{2\*}}}}、\beta_{\overrine{2#{*}}}$$

(2.27)

为了严格的逻辑，我们耐心地逐字检查。

引理2.5

存在 \（\lambda_{1}>0\） 这样所有人 \（\lambda>\lambda{1}\）,\（c_{\lambda}\） 已实现.

证明

让\（{u{n}）是最小化序列。显然，\（{u{n}）以为界E类。在子序列之前，我们可以假设\（u{n}\rightharpoonup u\）在里面E类因此，我们有

$$开始{对齐}和\liminf_{n\rightarrow\infty}J_{\lambda}\bigl（\alpha u_{n}^{+}+\beta u_{n}^{-}\bigr）\\&\quad\ge J_{\ lambda{\bigl（\alfa u^{+{+\betau u^{-{\biger）\\和\qquad{}+\frac{\alpha^{2}}{2} A类_{1} +\压裂{\beta^{2}}{2} A类_{2} +\压裂{b\alpha^{4}}{2} A类_{3} \bigl[u^{+}\bigr]_{s（\cdot）}^{2}+\frac{b\alpha^{4}}{4} A类_{3} ^{2}+\压裂{b\beta^{4}}{2} A类_{4} \bigl[u^{-}\bigr]_{s（\cdot）}^{2}+\frac{b\beta^{4}}{4} A类_{4} ^{2}\\&\qquad{}-\lambda\frac{\max\{\alpha^{\underline{2^{*}}}，\alpha ^{\overline{2^}}}}{\undertline{2#*}}B_1}-\lambda\frac{\max\{\beta^{\enderline{2_{*}{}}}}B_{2}，\结束{对齐}$$

(2.28)

哪里

$$\开始{对齐}&A_{1}=\lim_{n\rightarrow\infty}\bigl\lVert u_{n}^{+}-u^{+{}\bigr\rVert^{2}，\qquad A_{2}=\lim_{n\rightarror\infty}\bigle\lVert-u_{n}^{-}-u^{-}\bigr\rVert^{2}，\\&A_{3}=\lim_{n\rightarrow\infty}\bigl[u_{n}^{+}-u^{+{bigr]_{s（\cdot）}^{2{，\qquad A_{4}=\li^{-}-u^{-}\bigr]{s（\cdot）}^{2}，\end{aligned}$$

(2.29)

和

$$B_｛1｝=\lim_｛n\rightarrow\infty｝\bigl\vert u_｛n｝^｛+｝-u^｛+｝\bigr\vert _{2^｛*｝（x）｝^｛2^｛*｝（x）｝｝，\qquad B_｛2｝=\lim _｛n\rightarrow\infty｝\bigl\vert u_｛n｝^｛-｝-u^{-}\bigr\vert_{2^{*}（x）}^{2^}}（x）}}$$

(2.30)

由于我们的证明太长，我们分三个步骤给出。

步骤1：我们想证明一下\（u^{\pm}\ne 0\）.

我们只是证明\（u^{+}\ne 0\）自从\（u^{-}\ne 0\）可以用类似的方法证明。如果\（u^{+}=0\）。我们将把它分为两种情况。

案例 1:\（B_{1}=0\）.根据(2.28)，对于所有人\（阿尔法>0），我们有

$$c_{\lambda}\ge J_{\lambda}\bigl（\alpha u^{+}\bigr）+\frac{\alpha^{2}}{2} A类_{1} +\frac｛b\alpha^｛4｝｝{2} A类_{3} \bigl[u^{+}\bigr]_{s（\cdot）}^{2}+\frac{b\alpha^{4}}{4} A类_{3} ^{2}-\lambda\frac{\max\{\alpha^{\underline{2^{*}}}，\alpha ^{\overline{2^}}}}{\undertline{2_{*}{}}B_{1}$$

(2.31)

子案例1:\（A_{1}=0\）。这与(2.22).

子案例2个：\（A_{1}>0\）.签署人(2.31)和引理2.3，我们有

$$0<\frac{\alpha^{2}}{2} A类_{1} \le c_{\lambda}\rightarrow0\quad\text{表示所有}\alpha>0\text{和}\lambda \right箭头\infty$$

（2.32）

这太荒谬了。

案例 2:\（B_{1}>0\）。这将产生\（A_{1}>0\）.让

$$f_{1}（\alpha）：=\frac{\alpha^{2}}{2} A类_{1}-\lambda\frac{\alpha^{\underline{2^{\ast}}}{\undertline{2${\ast{}}B_{1}，\qquad f_2}（\alpha）：=\frac}\alpha_{2}}{2} A类_{1}-\lambda\frac{\alpha^{\overline{2^{\ast}}}{\underline{2^}\ast}{}B_{1}$$

(2.33)

我们可以接受\（\增量_｛0｝>0\），独立于λ，因此

$$0<\delta_{0}\leq\min\Bigl\{\max_{\alpha\geq0}f_{1}（\alpha），\max_}\alpha\feq0}f_{2}（\ alpha，\Bigr\}$$

(2.34)

然而，我们已经

$$\开始{aligned}&\max_{alpha\geq0}\biggl\{\frac{\alpha^{2}}{2} A类_{1} +\压裂{b\alpha^{4}}{2} A类_{3} \bigl[u^{+}\bigr]_{s（\cdot）}^{2}+\frac{b\alpha^{4}}{4} A类_{3} ^{2}-\lambda\frac{\max\{\alpha^{\underline{2^{*}}}，\alpha ^{\overline{2^}}\}}{\undertline{2\lambda\frac}}B_{1}\biggr\}\\&\quad\lec_{\lambda}\rightarrow0\quad\\textrm{as}\lambda\rightarrow\infty，\end{aligned}$$

(2.35)

这是一个矛盾。

步骤2:我们会证明\（u{n}\右箭头u\）在里面\（L^{2^{*}（x）}（\Omega）\）.

我们只是证明\（B_{1}=0\）自从证明\（B_{2}=0\）类似。如果\（B_{1}>0\）我们将其分为两种情况，以引起矛盾。

案例 1:\（B_{2}>0\）.面向所有人\（阿尔法>0），让

$$\开始{aligned}\varphi_{1}（\alpha）：&=\frac{\alpha^{2}}{2} 一个_{1} +\frac｛b\alpha^｛4｝｝{2} A类_{3} \bigl[u^{+}\bigr]_{s（\cdot）}^{2}+\frac{b\alpha^{4}}{4} A类_{3} ^{2}-\lambda\frac{\max\{\alpha^{\underline{2^{*}}}，\alpha ^{\overline{2^}}}{\undertline{2_{*}{}}B_{1}，\\varphi_{2}（\beta）：&=\frac}\beta^{2{}}{2} A类_{2} +\压裂{b\beta^{4}}{2} A类_{4} \bigl[u^{-}\bigr]_{s（\cdot）}^{2}+\frac{b\beta^{4}}{4} A类_{4} ^{2}-\lambda\frac{\max\{\beta^{\underline{2^{*}}}，\beta_{\overline{2^}}}}{\undertline{2_{*}{}}B_{2}。\结束｛对齐｝$$

(2.36)

我们可以选择\（\widehat{\alpha}，\wideha{\beta}>0\）这样的话

$$\varphi（\widehat{\alpha}）=\max_{\alha\ge0}\varphi_{1}（\alpha），\qquad\varphi$$

(2.37)

让

$$\varPsi{u}（\overline{\alpha{u}}，\overline{\beta{u}{）：=\max_{（\alpha，\beta）\in[0，\widehat{\alfa}]\times[0，\ widehat{\beta}]}\varPsi{u}（\alfa，\beta）$$

(2.38)

我们可以证明\（（上划线{\alpha_{u}}，上划线{\taba_{u{}}）在（0，\widehat{\talpha}）中的次数（0，\ widehat{\taba}），这确保了\（（上划线{\α{u}}，上划线{\beta{u}）是…的关键点\（\varPsi_{u}\）.

根据引理2.1,\（（上横线{\alpha{u}}，上横线}\beta{u}）=（alpha{u，beta{u}）.注意到(2.28)，我们有

$$开始{对齐}c_{\lambda}={}&\liminf_{n\rightarrow\infty}J_{\lambda}\bigl_{u} u个^{+}+\测试版_{u} 单位^{-}\biger）\\&{}+\frac{\alpha_{u}^{2}}{2} A类_{1} +\frac{\beta_{u}^{2}}{2} A类_{2} +\压裂{b\alpha_{u}^{4}}{2} 一个_{3} \bigl[u^｛+｝\bigr]_｛s（\cdot）｝^｛2｝+\frac｛b\alpha_｛u｝^｛4｝｝{4} A类_{3} ^{2}+\压裂{b\beta_{u}^{4}}{2} A类_{4} \bigl[u^{-}\bigr]{s（\cdot）}^{2}+\frac{b\beta_{u}^{4}}{4} A类_{4} ^{2}\\&{}-\frac{\max\{\alpha_{u}^{\underline{2^{*}}，\alpha_{u}^{\overline{2^}}}}{\下划线{2^{*}}B_{2}\\>{}&J_{lambda}\bigl（\alpha_{u} u个^{+}+\测试版_{u} u个^{-}\bigr）\gec{\lambda}，\end{aligned}$$

这是一个矛盾。

案例 2:\（B_{2}=0\）显然，存在\（[0，\infty中的\beta_{0}\）这样的话

$$J{\lambda}\bigl（\alpha u^{+}+\beta u^{-}\bigr）\le 0，\quad\所有（\alfa，\beta）\in[0，\widehat{\alpha}]\times[\beta_{0}，\infty）$$

(2.39)

因此，存在\（（上划线{\alpha_{u}}，上划线{\taba_{u{}}）在[0，\widehat{\alha}]\times[0，\finfty）中这样的话

$$\varPsi{u}（\overline{\alpha_{u}}，\overline{\beta_{u{}）=\max_{（\alpha，\beta）\in[0，\widehat{\alfa}]\times[0，\ infty）}\varPsi{u}（\alfa，\beta）$$

(2.40)

我们也可以证明\（（上划线{\alpha_{u}}，下划线{\beta_{u{}}）\in（0，\widehat{\alfa}）\times（0，\ infty）\）。这意味着\（（上划线{\α{u}}，上划线{\beta{u}）是…的关键点\（\varPsi_{u}\）。那么接下来就是

$$开始{对齐}c_{\lambda}={}&\liminf_{n\rightarrow\infty}J_{\lambda}\bigl_{u} u个^{+}+\测试版_{u} u个^{-}\biger）\\&{}+\frac{\alpha_{u}^{2}}{2} A类_{1} +\frac{\beta_{u}^{2}}{2} A类_{2} +\压裂{b\alpha_{u}^{4}}{2} A类_{3} \bigl[u^｛+｝\bigr]_｛s（\cdot）｝^｛2｝+\frac｛b\alpha_｛u｝^｛4｝｝{4} 一个_{3} ^{2}+\压裂{b\beta_{u}^{4}}{2} A类_{4} \bigl[u^{-}\bigr]{s（\cdot）}^{2}\\&{}+\frac{b\beta_{u}^{4}}{4} A类_{4}^{2}-\lambda\frac{\max\{\alpha_{u}^{\underline{2^{*}}}，\alpha_{u}}{\overline{2^}}}{\ underline}2^{**}}}B_{1}\\>{}&J_{\lambda}\bigl（\alpha_{u} u个^{+}+\测试版_{u} u个^｛-｝\bigr）\\ge｛｝和c｛\lambda｝。\结束{对齐}$$

(2.41)

步骤3:我们可以证明\（c_{\lambda}\）实现了。类似于[15]，此处省略。□

定理的证明1.1

带引理~2.1–2.5目前，我们只需要澄清最小值\（u{b}\）是…的关键点\（J_{\lambda}\）对于\（\lambda>\lambda{1}\），其中\（λ{1}）来自引理2.5。此处使用的方法与中使用的方法不同[15]或[8]. 如果\（u{b}\）不是的关键点\（J_｛\lambda｝\），我们可以选择一个函数\（C^{\infty}_{0}（\mathbb{R}^{N}）中的\phi\）这样的话\（\langle J{\lambda}（u{b}），\phi\rangle\leq-1）。我们选择\（\varepsilon>0\）足够小以至于

$$\bigl\langle J'_{\lambda}\bigl（su^{+}_{b}+tu^{-}_{b} +\sigma\phi\bigr），\phi\bigr\rangle\leq-\frac{1}{2}，对于b_{varepsilon}（1,1,0）中的所有（s，t，\sigma）$$

(2.42)

哪里\（B_{\varepsilon}（1,1,0）\）是一个半径为ε居中于$(1,1,0)$.我们引入了平滑截止函数\（0\leq\eta\leq 1\）这样的话

$$\eta（s，t）=\textstyle\begin{cases}1，&（s，t）\in\overline{B_{frac{\varepsilon}{2}}（1,1）}，\\0，&（s，t）\in\ overline}B^{c}_{\varepsilon}（1,1）}。\结束{cases}$$

(2.43)

我们进行以下扰动：

$$\gamma（s，t）=\textstyle\begin{cases}su^{+}{b}+tu^{-}_{b} ，\四个（s，t）\在b中^{c}_{varepsilon}（1,1），\\su^{+}{b}+tu^{-}_{b} b_{varepsilon}（1,1）中的+\varepsilen\eta（s，t）\phi，\quad（s，t）\。\结束{cases}$$

(2.44)

显然，\（伽玛射线（s，t））从开始连续\（\mathbb{R}\times\mathbb{R}\）到\（（E，\|\cdot\|）\）。对于\（\varepsilon>0\）足够小了，我们有\（\gamma（s，t）^{\pm}\neq 0\）我们有以下索赔。

权利要求2.6

我们声称 \（\sup_｛s，t\geq 0｝J_｛\lambda｝（\gamma（s，t））<c｛\lambda｝\）.

的确，如果\（s，t）\在B中^{c}_{\varepsilon}（1,1）\），通过引理2.1，我们得到\（J_{\lambda}（\gamma（s，t））<c_{\lambda}\）.如果\B_{varepsilon}（1,1）中的（（s，t），使用中值定理\（在（o，\varepsilon）中的上一行{\sigma}\）这样的话

$$\begin{aligned}J_{\lambda}\bigl（\gamma（s，t）\bigr）={}&J_{lambda{\bigl（su^{+}_{b}+tu^{-}_{b} \bigr）+\bigl\langle J'_｛\lambda｝\bigl（su^｛+｝_｛b｝+tu^{-}_{b} +\上划线{\sigma}\eta（s，t）\phi\bigr），\phi\bigr\rangle\\leq{}&J{\lambda}\bigl（su^{+}_{b}+tu^{-}_{b} \biger）-\frac{1}{2}\eta（s，t）\\<{}&c{\lambda}。\结束{对齐}$$

(2.45)

然而，考虑到引理2.1，用于\（（s，t）\ in（1-\frac{\varepsilon}{2}，1）\ times（1-\frac{\verepsilon{2}，1），我们有

$$\bigl\langle J'_{\lambda}\bigl（su^{+}_{b}+tu^{-}_{b} +\上划线{\sigma}\eta（s，t）\phi\bigr），u^{+}_{b}\bigr\rangle>0，\qquad\bigl\langle J’{\lambda}\bigl（su^{+{b}+tu^{-}_{b} +\上划线{\sigma}\eta（s，t）\phi\bigr），u^{-}_{b} \bigr\rangle>0$$

(2.46)

同样，对于\（（s，t）在（1,1+frac{\varepsilon}{2}）中的次数（1,1+/frac{\ varepsilen}{2{），我们有

$$\bigl\langle J'_{\lambda}\bigl（su^{+}_{b}+tu^{-}_{b} +\overline｛\sigma｝\eta（s，t）\phi\bigr），u^｛+｝_｛b｝\bigr\rangle＜0，\qquad\bigl\langle J'_｛\lambda｝\bigl（su^｛+｝_｛b｝+tu^{-}_{b} +\上划线{\sigma}\eta（s，t）\phi\bigr），u^｛-｝_{b} \bigr\rangle<0$$

(2.47)

因此\（s_｛0｝，t_｛0｝）\ in（1-\frac｛\varepsilon｝｛2｝，1+\frac｛\varepsilon｝｛2｝）\ times（1-\frac｛\varepsilon｝｛2｝，1+\frac｛\varepsilon｝｛2｝）\）这样的话

美元_{0}u^{+}{b}+t_{0}u^{-}_{b} +\上划线{\sigma}\eta（s{0}，t{0}）\phi\in\mathcal{米}_{\lambda}$$

(2.48)

这与上述说法相矛盾。 □

接下来，我们要证明\（u{b}\）.

定理的证明1.2

基于引理2.5和标准参数，存在\（\lambda_{2}>0\）这样所有人\（\lambda\ge\lambda{2}\），最小化问题

$$c^{*}:=\inf_{u\in\mathcal{无}_{\lambda}}J_{\lampda}（u）$$

(2.49)

定义明确，并允许最小值，这是一个临界点\（J_{\lambda}\）它被称为基态(1.1).

根据定理1.1，我们知道这个问题(1.1)具有能量最少的符号转换解决方案\（u{b}\）什么时候\（\lambda\ge\lambda{1}\）.

让\（\lambda^{*}=\max\{lambda{1}，\lambda{2}\}\）.让\（u{b}\）在定理中得到1.1.标准证明意味着存在\（\overline{s}>0\）和\（上一行{t}>0\）这样的话\（\overline）{s} 单位_{b} ^{+}\in\mathcal{无}_{\lambda}\）和\（\上横线{t} u个_{b} ^{-}\in\mathcal{无}_{\lambda}\）。如果我们定义

$$g{1}：=J{\lambda}\bigl（su_{b}^{+}\bigr）$$

(2.50)

我们有\（g{1}（上划线{s}）=max{s\geq0}g{1{（s））,\（g{1}（上划线{t}）=max{t\geq0}g{1{（t））所以，

$$\begin｛aligned｝c｛\lambda｝=｛｝&&\sup_｛s，t\geq 0｝J_｛\lambda｝\bigl（su_｛b｝^｛+｝+tu_｛b｝^｛-｝\bigr）\\=｛｝&&\sup_｛s，t\geq 0｝\biggl[J_｛\lambda｝\bigl（su_｛b｝^｛-｝\bigr）+\frac｛st｝{2} H（H）（u{b}）+\压裂{16} 秒^{2} t吨^{2} H（H）（u{b}）+\压裂{2} 秒^{2} 吨^{2} \bigl[u_{b}^{+}\bigr]^{2}_{s（\cdot）}\bigl[u{b}^{-}\bigr]^{2}_{s（\cdot）}\\&{}+\frac{b}{4} 秒^{3} t吨\大[u{b}^{+}\bigr]^{2}_{s（\cdot）}H（u_{b}）+\压裂{b}{4} 标准^{3} \bigl[u_{b}^{-}\bigr]^{2}_{s（\cdot）}H（u_{b}）\biggr]\\>{}&\sup_{s\geq0}J_{\lambda}\bigl（su_{b{^{+}\bigr）+\sup_{t\geq0}J_{\lampda}\bigl（tu_{b}^{-}\biger）\\geq{}&2c^{\ast}。\结束{对齐}$$

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