具有几乎拉普拉斯速度耗散的二维MHD方程的整体正则性

摘要

我们得到了具有几乎拉普拉斯速度耗散的二维MHD方程的全局存在性和全局正则性，这需要耗散算子弱于分数拉普拉斯算子的任何幂。该结果可以看作是对以往工作的进一步改进和推广。

1导言和主要成果

本文主要研究二维磁流体力学（MHD）系统

$$\开始{aligned}\textstyle\begin{cases}{\partial_{t}}u+（u\cdot\nabla）u=-\nabla{p}+B\cdot\nabla B-\nu\text{\pounds}_{1} u个，\\{\partial_{t}}B+（u\cdot\nabla）B=B\cdot/nabla u-\kappa\text{\pounds}_{2} B类，\\divu=divB=0，\end{cases}\displaystyle\end{aligned}$$

(1.1)

哪里\（u=（u{1}（x，t），u{2}（x，t））\）表示速度，\（p=p（x，t）\）标量压力，以及\（B=（B_{1}（x，t），B_{2}（x，t））流体的磁场。\（u{0}（x）\）和\（B_{0}（x）\）给定的初始数据是否满足要求\（纳布拉\cdot u{0}=0\）和\（\nabla\cdot B_{0}=0\）运营商£₁, £₂是带符号的一般负定乘数\（h（\xi）\），即

$$\widehat{\text{\pounds}_{1} u个（\xi）}=\vert\xi\vert^{2} 小时（xi）\widehat{u（\xi）}，\wideha{\text{\pounds}_{2} B类（\xi）}=\vert\xi\vert^{2} 小时（xi）\widehat{B（\xi）}$$

(1.2)

我们注意到公约规定\（nu=0\）我们的意思是在(1.1)₁和类似的\（\kappa=0\）表示在(1.1)₂众所周知，具有拉普拉斯耗散Δ的二维MHD方程u个和磁扩散ΔB类具有全局平滑解决方案[1]. 在没有速度耗散和磁扩散的情况下(\（nu=\kappa=0\）)，二维MHD方程的光滑解是否在有限时间内产生奇异性的问题尚未解决[2,三]. 因此，更多的研究集中于具有分数耗散和部分耗散的MHD方程（参见例如[4——7])以及其中引用的参考文献，2D MHD的全局正则性问题(\（\nu=0\）,\（\kappa=1\）或\（nu=1\）,\（\kappa=0\）)吸引了许多数学家的极大兴趣，并激发了大量关于各种推广和改进的研究论文（参见[8——12]). Ren等人最近取得了重要进展[13]，他们证明了没有磁扩散的二维MHD方程的整体存在性和小光滑解的衰减估计，这些结果证实了数值观察，即MHD方程能量的耗散速率与欧姆电阻率无关，欧姆电阻率是用于[13]是各向异性的Littlewood–Paley分解和各向异性的Besov空间。最近，袁和叶[11,14]分别研究了二维不可压磁流体动力学方程在整个空间中具有近似拉普拉斯磁扩散的解的整体正则性。此外，雷[15]研究了具有非平凡磁场的轴对称MHD方程的整体正则性。

受前人工作的启发，本文的目的是削弱算子£尽可能地，然后全球\（H^{1}\）-只要速度场的分数耗散功率为正，而不损失系统的全局正则性，就可以达到解的界(1.1)，我们得到了要求速度耗散算子弱于分数拉普拉斯算子任何幂的解的整体正则性，这一结果可以看作是对前人工作的进一步改进和推广[三]. 更准确地说，本文的主要结果如下。

定理1.1

让 \（H^{s}（R^{2}）中的u_{0}，B_{0{ 对于任何 \（s>2\） 并满足 \（\nabla\cdot u_{0}=\nabla \cdot B_{0{0}=0\）,哪里 \（菜单>0） 和 \（\kappa>0\）,假设 \（h（\xi）=h（|\xi|） 是满足以下条件的径向非递减光滑函数:

(1)小时 是所有函数的非负函数 \（\xi\neq 0\）；

(2)存在一个常数 \（\宽波浪号｛C｝>0\） 这样的话

$$\bigl\vert\partial_{\xi}^{k} 小时（xi）\bigr\vert\leq\widetilde{C}\vert\xi\vert^{-k}\bigl\verth h（\xi）\大\vert，\quad k\in\{1,2,3\}，\forall \xi\neq 0$$

(3)对于任何给定的 \（输入（0，输入）） 这样的话

$$\int_{T}^{\infty}\frac{ds}{sh（s）}=C_{T{<\infty$$

哪里 \（B_{T}>0\） 是下列方程的唯一解

$$x^{2}h（x）=\压裂{1}{T}$$

然后对于MHD方程(1.1)有一个独特的全球解决方案

$$u，B\在L^{\infty}\bigl（[0，T]；H^{s}\bigle（R^{2}\biger）\bigr）中，\qquad u\在L${2}\ bigl中$$

备注1.2

凭借中的表达式(1.2)耗散算子£in定理1.1比分数拉普拉斯的任何幂都弱。因此，我们改进了[三]用于系统(1.1)其中\（菜单>0）和\（\kappa>0\）.

备注1.3

对于二维广义MHD方程，是否存在没有耗散算子£的全局光滑解仍然是一个悬而未决的问题。

2定理的证明1.1

在本节中，我们将给出系统光滑解的全局存在唯一性(1.1)。根据经典双曲线方法，存在一个有限时间\（T_{0}\）这样系统(1.1)区间内局部位置是否良好\（[0，T_{0}]\）在里面\（H^{s}\）具有\（s>2\）因此，在区间内建立先验估计就足够了\（[0，T]\）对于给定的\（T>T_{0}\）.我们将证明定理1.1采用精细的非线性能量法。此外，在本文中，我们使用C来表示可能因线而异的正常数。

2.1 \（L^{2}\）估计\（（u，B）\）

引理2.1

假设定理中的条件1.1持有,那么它就支持了

$$\bigl\Vert u（t）\bigr\Vert_{L^{2}}^{2{+\bigl\ Vert B（t）\ bigr\Vert_{L_{2}{2}+2\int_{0}^{t}\bigl Vert\textit{\pounds}^{\frac{1}{2{}u（\tau）\biger\Vert_L^{2]}^{2\，d\tau=\Vert u{0}\Vert_{L^{2}}^{2{+\VertB_{0}\Vert_{L^}2}^{2}$$

(2.1)

证明

获取的内部产品(1.1)₁具有u个和(1.1)₂具有B类，添加结果并使用以下取消标识：

$$\int_{R^{2}}（B\cdot\nabla）B\cdot u\，dx+\int_[R^{2]}（B\cdot\nabla）u\cdot B\，dx=0$$

(2.2)

我们有

$$\frac{1}{2}\frac}{d}{dt}\bigl（\bigl\Vertu（t）\bigr\Vert_{L^{2}}^{2{+\bigl\ VertB（t）\ bigr\Vert_{L ^{2neneneep}^{2}\bigr）+\bigle\Vert\text{\pounds}^{\frac#1}{2{}}u\bigr\ Vert_L^{2{2}}^2}=0$$

(2.3)

多亏了普朗彻定理

$$\begin｛aligned｝\int _｛R^｛2｝｝\text｛\bounds｝u\cdot u\，dx=&\int _｛R^｛2｝｝\widehat｛\text｛\bounds｝u（\xi）｝\widehat｛u（\xi）｝\，d\xi=\int _｛R^｛2｝｝｝\vert\xi\vert^{2} 克（xi）\bigl\vert\widehat{u（\xi）}\bigr\vert^{2}\，d\xi\end{aligned}$$

(2.4)

$$\begin{aligned}=&\int_{R^{2}}\bigl\vert\widehat{\text{\pounds}^{\frac{1}{2}u（\xi）}\bigr\vert^{2{\，d\xi=\bigl\ vert\text{\ponds}^}\frac}1}{2\}u\bigr\ vert_2}}，\end{alinged}$$

(2.5)

然后对上述不等式进行积分，得到

$$\bigl\Vert u（t）\bigr\Vert_{L^{2}}^{2{+\bigl\ Vert B（t）\ bigr\Vert_{L_{2}{2}+2\int_{0}^{t}\bigl Vert\text{\pounds}^{\frac{1}{2{}u（\tau）\biger\Vert_{L^2}}}^2}，d\tau=\Vert u{0}\垂直_{L^{2}}^{2{+\垂直B_{0}\垂直_（L^{2）}^{2}$$

（2.6）

 □

2.2 \（H^{1}\）估计\（（u，B）\）

引理2.2

假设定理中的条件1.1持有,那么存在一个正常数 C类 依赖于 T型,\（u{0}\） 和 \（B_{0}\）,这样的话

$$\bigl\Vert\omega（t）\bigr\Vert_{L^{2}}^{2{+\bigl \Vert j（t）\ bigr\Vert_{L_{2}{2}+\int_{0}^{t}\bigl\ Vert\textit{\pounds}^{\frac{1}{2{}\omega\bigr\ Vert_{L2}^{2\，d\tau\leq C（t，u{0}，B_{0}）$$

(2.7)

证明

首先，我们通过应用∇×到MHD方程(1.1)，其中涡度\（ω=nabla\times u=\partial_{x{1}}u_{2}-\部分{x{2}}u{1}\）和电流\（j=nabla\times B=partial_{x_{1}}B_{2}-\部分{x{2}}B_{1}\），对应的涡度方程：

$$\begin｛aligned｝\partial _｛t｝\omega+（u\cdot\nabla）\omega+\nu\text｛\bounds｝\omega=（B\cdot\nabla）j，\end｛aligned｝$$

(2.8)

$$\begin{aligned}\partial _{t}j+（u\cdot\nabla）j=（B\cdot\nabla\omega）+t（\nabla u，\nabla B），\end{alinged}$$

(2.9)

哪里\（T（nabla u，nabla B）=2\partial _{x}B_{1}.

取中第一个方程的内积(2.8)与ω，中的第二个方程(2.8)与j个将它们相加，并使用不可压缩条件和以下事实

$$\int_{R^{2}}（B\cdot\nablaj）\omega\，dx+\int_[R^{2]}（B\cdot\nabla\omega）j\，dx=0$$

(2.10)

那么我们很容易获得

$$\frac{1}{2}\frac}{d}{dt}\bigl（\Vert\omega\Vert_{L{^{2}}}^{2{+\bigl\Vertj（t）\bigr\Vert_{L^{2neneneep}^{2}\bigr）+\bigr\ Vert\text{\pounds}^{1}{2}{}\omega\bigr\Vert_{L^}}}^{2{2}=\ int_{R^{2}}t（nabla u，nabla B）j\，dx$$

(2.11)

对于任意函数

$$\begin{aligned}\Vert\nabla u\Vert_{L^{2}}^{2{=&C\bigl\Vert\xi\widehat{u（\xi）}\bigr\Vert_2}^{2}\\=&C\int_{R^{2{}\Vert\xi\Vert^2}\bigl\ Vert\widehat{u（\ xi）{，d\xi\\=&C\ int_{xi\Vert\leq 1}\Vert\xi\ Vert^{2}\bigl\Vert\widehat{u（\xi}）\bigr\Vert^}\，d\xi+C\int_{\vert\xi\vert\geq1}\vert\xi\vert^{2}\bigl\vert\widehat{u（\xi}）\bigr\vert_{2}\，d\xi\\=&C\int_}\vert_xi\vert\leq1}\ widehat{u（\ xi}^{2} 米（\xi）\bigl\vert\widehat{u（\xi}）\bigr\vert^{2}\，d\xi\\leq&C\int_{R^{2{}\bigl\ vert\wide hat{u（\xi）}\bigr\vert_{2}，d\xi+C\int__{vert\xi\vert\geq1}\frac{1}{m（1）}\vert\xi\ vert^{2} 米（\xi）\bigl\vert\widehat{u（\xi}）\bigr\vert^{2}\，d\xi\\leq&C_{1}\vert u\vert_{L^{2{}^{2neneneep+C_{2}\bigl\ vert\text{\pounds}^{\frac{1}{2}}u\bigr\vert_L^{2]}^{2]，\end{aligned}$$

(2.12)

我们最终获得

$$\Vert\nabla u\Vert_{L^{2}}\leq C_{1}\Vert u\Vert_{L^}}+C_{2}\bigl\Vert\text{\pounds}^{\frac{1}{2}u\bigr\Vert_2}}$$

（2.13）

利用估算\（\|\nabla u\|_{L^{2}}\）英寸(2.13)以及插值不等式，我们得到

$$开始{aligned}和\int_{R^{2}}T（\nabla u，\nablaB）j\，dx\\&\quad\leq C\Vert\nabla u\Vert_{L^{2{}}\Vert\natbla B\Vert_ ^{2}\\&\quad\leq C\Vert\omega\Vert_{L^{2{}}\Vert j\Vert_}L^{2]}\Vert\nabla j\Vert_{L^}}\\&\quad\leq C\Vert\omega\Vert_{L^{2}}\Vert\nabla B\Vert_}L^{2]}\Verd\nabla j\Vert_ r \Vert_{L^{2}}\bigr）\bigl（\Vert j\Vert_\\&\quad\leq\frac{1}{2}\bigl\Vert\text{\pounds}^{\frac}1}{2]}\omega\bigr\Vert_{L^{2}}^{2{+C\bigl（1+\VertB\Vert_{L^}}^2}+bigl\Vert\text{\ponds}^}^{1}}{2{B\bigr\ Vert_{2}{}^{2}\biger）\bigl（\Vert\omega\Vert_{L^{2}}^{2{+\Vertj\Vert_}L^{2]}^{2\biger）。\结束{对齐}$$

(2.14)

因此，结合(2.14)和(2.11)这意味着

$$开始{对齐}和\frac{d}{dt}\bigl \quad\leq C\bigl（1+\Vert B\Vert_{L^{2}}^{2{+\bigl\Vert\text{\pounds}^{\frac{1}{2}{B\bigr\Vert_{L^}}^}{2{bigr）\bigl（\Vert\omega\Vert_{L^{2}}^{2{+\Vert j\Vert_}L^{2]}^{2\biger）。\结束{对齐}$$

(2.15)

Gronwall引理为我们提供了

$$\bigl\Vert\omega（t）\bigr\Vert_{L^{2}}^{2{+\bigl \Vert j（t）\ bigr\Vert_{L_{2}{2}+\int_{0}^{t}\bigl\ Vert\text{\pounds}^{\frac{1}{2{}\omega\bigr\ Vert_{2}^{2}，d\tau\leq C（t，u_{0}，B_{0}）$$

（2.16）

 □

2.3 \（L_{t}^{infty}L^{inffy}\）估计u个

引理2.3

假设定理中的条件1.1持有,那么它就支持了

$$\Vertu\Vert_{L_{t}^{\infty}L^{\infty}}\leq C（t，u_{0}，B_{0{），\quad\textit{表示[0，t]中的任意}$$

(2.17)

证明

根据经典双曲线理论，系统(1.1)在区间中局部适定\（[0，T_{0}]\）在里面\（H^{s}\）具有\（s>2\），我们有估计

$$\Vert u\Vert_{L^{infty}_{T_{0}}H^{s}}+\Vert B\Vert_{L_{T_0}}^{inffy}H_{s}{leq C（u_{0}，B_{0{）$$

(2.18)

因此，根据嵌入定理，

$$\Vertu\Vert_{L^{infty}_{T_{0}}L^{infty}}\leq C（u_{0}，B_{0{）$$

(2.19)

因此，建立一个先验估计就足够了(2.19)对有效\（t>t_{0}\）.我们重写了系统中的第一个方程(1.1)作为

$$\部分_{t} u个+\nu\text{\pounds}u=\nabla\cdot（B\otimes B）-\nabla\ cdot（u\otimesu）-\nab la p$$

(2.20)

根据线性非齐次方程的解(2.20)可以通过显式给定

$$u（t）=K（t）\ast u_{0}+\int_{0}^{t}K（t-\tau）\ast\bigl[\nabla\cdot（B\otimes B）-\nabla \cdot$$

(2.21)

拿\（L^{\infty}\）利用空间变量范数和Young不等式，我们得到

$$\begin{aligned}\bigl\Vert u（t）\bigr\Vert _{L^{infty}}=&\bigl\ Vert K（t）\ ast u_{0}\bigr\ Vert _}+\int_{0{0}^{t}\bigle\Vert\nabla K（t-\tau）\ ast\bigl[（B\otimes B）-（u\otimesu）\ bigr]（\tau}\，d\tau\\&{}+\int_{0}^{t}\bigl\Vert-div\bigl（K（t-\tau）\bigr）p\bigr\Vert_{L^{infty}}\，2\tau\end{aligned}$$

(2.22)

$$\开始{aligned}\leq&C\bigl\Vert K（t）\bigr\Vert_{L^{1}}\Vert u_{0}\Vert_{L^}\infty}}+C\int_{0{t}\bigl\ Vert\nabla K（t-\tau）\biger\Vert_2}}\bigl\Vert\bigl[（B\otimes B）\\&{}-（u\otimesB）\bigra]（\tau）\bigr\Vert_{L^{2}}\，d\tau+\int_{0}^{t}\bigl\Vert-div\bigl，d\tau\\leq&C\bigl\Vert K（t）\bigr\Vert_{L^{1}}\Vert u_{0}\Vert_{L^}\infty}}+C\int_{0{0}^{t}\bigl\ Vert\nabla K（t-\tau）\bigr\Vert_{L ^{2}}\bigr\ Vert B（\tau bigr\Vert_{L^{4}}\，d\tau\\leq&C\bigl\Vert K（t）\bigr\Vert_{L_{1}}\Vert u_{0}\Vert_{L^}\infty}}+C\bigl\ Vert\nabla K（\tau）\bigr\Vert_{L_{t}^{1}L^{2}}\bigl\Vert u（\tau \Vert_{L^{\infty}}+C（t，u_{0}，B_{0{）\\leq&C\bigl（1+t^{3}\bigr）\VertB_{0}\Vert_{L^}\infty}}+C（t，u，u，B_}0}），\end{aligned}$$

(2.23)

我们在哪里使用了不等式\（K（t）\|_{L^{1}}\leq C（1+t^{-1}+t^}），这是引理2.5中证明的算子的性质[14]，因此我们得到

$$\Vertu\Vert_{L_{t}^{\infty}L^{\infty}}\leq C（t，u_{0}，B_{0{），\quad\text{表示}t>t_{0}$$

(2.24)

组合(2.19)和(2.24)，我们有

$$\Vertu\Vert_{L_{t}^{\infty}L^{\infty}}\leq C（t，u_{0}，B_{0{），\quad\text{表示[0，t]中的任意}$$

(2.25)

 □

2.4 \（升^{2}_{t} L（左）^｛infty｝\）估计ω

引理2.4

假设定理中的条件1.1持有,那么它就支持了

$$\int_{0}^{t}\bigl\Vert\omega（\tau）\bigr\Vert_{L^{infty}}^{2}\，d\tau\leq C（t，u_{0{，B_{0neneneep）$$

(2.26)

证明

我们写出了(2.8)作为

$$\partial_{t}\omega+\nu\text{\pounds}\omega=（B\cdot\nabla）j-（u\cdot\nabla）\omega=\nabla\cdot（B\otimes j）-\nabla/cdot（u\otimes\omega）$$

(2.27)

根据线性非齐次方程的解(2.27)可以显式地写为

$$\omega=K（t）\ast\omega _｛0｝+\int _｛0｝^{t} K（K）（t-\tau）\ast\bigl[\nabla\cdot（B\otimes j）-\nabla \cdot，（u\otimes\omega）\bigr]（\tau，）\，d\tau$$

(2.28)

拿\（L^{\infty}\）利用Young不等式，我们得到了空间变量的范数

$$\begin{aligned}\Vert\omega\Vert_{L^{infty}}=&\bigl\Vert K（t）\ast\omega_{0}\bigr\Vert_}+\int_{0{0}^{t}\bigl\ Vert\nabla K（t-\tau）\ast\ bigl[（B\otimes j）-（u\otimesj）\bigr]（\tau d\tau\\leq&C\bigl\VertK（t）\bigr\Vert_{L^{2}}\Vert\omega_{0}\Vert_{L^}}+C\int_{0{t}\bigl\Vert\nabla K（t-\tau）\bigr\Vert_{L^{2}}。\结束{对齐}$$

(2.29)

为了获得\（L_{t}^{2} L（左）^{\infty}\）估计ω，我们采取\（L^{2}\）时间变量范数和卷积Young不等式及其估计(2.25)以获得

$$\开始{aligned}\Vert\omega\Vert_{L_{t}^{2}}{L^{infty}}}\leq&C\bigl\Vert K（t）\bigr\Vert_}^{2} L（左）^{2} }\Vert\omega_{0}\Vert_{L^{2}}+C\bigl\Vert\nabla K（t）\bigr\Vert_{L_{t}^{1} L（左）^{2} ｛\bigl（\Vert B\otimes j\Vert _｛L_｛t｝^{2} L（左）^{2} }+\bigl\Vert（u\otimes j）\bigr\Vert_{L_{t}^{2} L（左）^{2} }\bigr）\\leq&C\bigl\Vert K（t）\bigr\Vert_{L_{t}^{2} L（左）^{2} }\Vert\omega_{0}\Vert_{L^{2}}+C\bigl\Vert\nabla K（t）\bigr\Vert_{L_{t}^{1} L（左）^{2} }\bigl（\Vert B\Vert_{L_{t}^{2} L（左）^{\infty}}\垂直j\垂直_{L_{t}^{\inffy}L^{2}}\\&{}+\Vertu\Vert_{L_}^{4} L（左）^{4} }\垂直j\垂直_{L_{t}^{4} L（左）^{4} }\bigr）\\leq&C（T，u_{0}，B_{0{），\end{aligned}$$

(2.30)

其中，由于线性非均匀方程，我们使用了以下已知估计：

$$\int_{0}^{t}\bigl\Vert K（\tau）\bigr\Vert_{L^{2}}^{2{，d\tau\leq C（t，u_{0{，B_{0｝），\qquad\int_{0}^{t}\bigle\Vert K（\t au）\ bigr\Vert_{L^}\infty}}\，d\tau\leqC（t、u_{0}，B_{0}）$$

(2.31)

另一方面，我们还利用了以下事实

$$\垂直u\垂直_｛L_｛t｝^{4} L（左）^{4} }\leq C\Vertu\Vert_{L_{t}^{infty}L^{2}}^{\frac{1}{2}{\Vert\omega\Vert_}L{t}^2}L^{1}}\leqC（t，u_{0}，B_{0{）$$

(2.32)

和

$$\开始{aligned}\Vert\omega\Vert_{L_{t}^{4} L（左）^{4} }\leq&C\Vert\omega\Vert_{L_{t}^{infty}L^{2}}^{\frac{1}{2}{\Vert\nabla\omega\Vert_{L{t}^2}}^{\frac{1{2}}\\leq&C\ Vert\omega \Vert_{L{t}^{2{}}{2}}\bigl}\大）\\leq&C（T，u_{0}，B_{0{）。\结束{对齐}$$

(2.33)

因此，有人

$$\int_{0}^{t}\bigl\Vert\omega（\tau）\bigr\Vert_{L^{infty}}^{2}\，d\tau\leq C（t，u_{0{，B_{0neneneep）$$

(2.34)

 □

2.5对\（int _｛0｝^｛t｝\|\nabla j（\tau）\|_｛L ^｛infty｝｝\，d \tau）

引理2.5

假设定理中的条件1.1持有,那么它就支持了

$$\begin{aligned}&\bigl\Vert\omega（t）\bigr\Vert_{L^{infty}}\leq C（t，u_{0}，B_{0{），\end{alinged}$$

(2.35)

$$\begin{aligned}和\Vert\nabla u\Vert_{L^{infty}}\leq C\Vert\natbla u\ Vert_{L^{2}}^{\frac{1}{2}{\Vert_nabla\omega\Vert_ L^}{\infty{}}，\end{alinged}$$

(2.36)

$$\begin｛aligned｝&\int _｛0｝^｛t｝\Vert\nabla u\Vert _｛L^｛\infty｝｝^｛2｝\，d\tau\leq C（t，u_｛0｝，B_｛0｝）。\结束{对齐}$$

(2.37)

证明

由(2.28)，我们可以检查一下

$$\omega=K（t）\ast\omega_{0}+\int_{0{^{t} K（K）（t-\tau）\ast\bigl[\nabla\cdot（B\otimes j）-\nabla \cdot，（u\otimes\omega）\bigr]（\tau，）\，d\tau$$

（2.38）

接受手术∇然后取\（L^{\infty}\）根据空间变量的范数，并使用Young不等式，我们得到

$$\begin{aligned}和\Vert\nabla\omega\Vert_{L_{\infty}}\\和\quad\leq\bigl\Vert_nabla K \bigr\Vert_{L^{\infty}}\，d\tau\\&\quad\leq C\bigl\Vert\nabla K（t）\bigr\ Vert_{L ^{2}}\Vert\omega_{0}\Vert_{L^{2}}+C\int_{0{t}\bigl\Vert\nabla^{2} K（K）（t-\tau）\bigr\Vert_{L^{1}}\bigl（\bigl\Vert（B\otimesj）（\tau。\结束{对齐}$$

(2.39)

然后，我们通过取\（L^{1}\）时间变量范数与卷积Young不等式的应用

$$\开始{aligned}&\bigl\Vert\nabla\omega（t）\bigr\Vert_{L_{t}^{1} L（左）^{\infty}}\\&\quad\leq C\bigl\Vert\nabla K（t）\bigr\Vert_{L_{t}^{1} L（左）^{2} }\Vert\omega_{0}\Vert_{L^{2}}+C\bigl\Vert\nabla^{2} K（K）（t） \bigr\Vert_{L_{t}^{1} L（左）^{1} }\bigl（\Vert B\otimes j\Vert_{L_{t}^{1}L^{\infty}}+\Vert u\otimes\omega\Vert_{L_}t}^}1}L ^{\infty}{}\bigr）\\&\quad\leq C\bigl\Vert\nabla K（t）\bigr\Vert_ L_{t}^{1} L（左）^{2} }\Vert\omega_{0}\Vert_{L^{2}}+C\bigl\Vert\nabla^{2} K（K）（t） \bigr\版本_｛L_｛t｝^{1} L（左）^{1} }\bigl（\Vert Bj\Vert_{L_{t}^{1} L（左）^{\infty}}+\垂直u\垂直_{L_{t}^{2} L（左）^{\infty}}\Vert\omega\Vert_{L_{t}^{2} L（左）^{\infty}}\bigr）\\&\quad\leq C\bigl\Vert\nabla K（t）\bigr\Vert_{L_{t}^{1} L（左）^{2} }\Vert\omega_{0}\Vert_{L^{2}}+C\bigl\Vert\nabla^{2} K（K）（t） \bigr\Vert_{L_{t}^{1} L（左）^{1} }\\&\qquad\bigl（\Vert B\Vert_{L_{t}^{\infty}L^{\infty}}\Vert j\Vert_}L_{t}^{1} L（左）^{\infty}}+\Vertu\Vert_{L_{t}^{\inffy}L^{2}}^{\压裂{1}{2}{\Vert\omega\Vert_{L_}^{1} L（左）^{\infty}}^{\frac{1}{2}}\Vert\omega\Vert_{L_{t}^{2} L（左）^｛\fity｝｝\bigr）。\结束{对齐}$$

(2.40)

根据之前的估计\（K{L_{t}^{1} L（左）^{2}}\)，很容易证明\（K\|{L_{t}^{1}L^{2}}\|j{0}\|{L^{2]}）非递减函数是否满足

$$开始{aligned}和\bigl\Vert\nabla K（t）\bigr\Vert_{L_{t}^{1}}L^{2}}\Vert\omega_{0}\Vert_ L^{2]}\leq C（t，u_{0neneneep，B_{0{），\end{aligned}$$

(2.41)

$$\开始{aligned}&\bigl\Vert\nabla^{2} K（K）（t） \bigr\Vert_{{L_{t}^{1}}L^{1{}}\VertB\Vert_}{t}^{infty}L^{inffy}}\leq C（t，u_{0}，B_{0{）。\结束{对齐}$$

(2.42)

因此，它由(2.40)那个

$$\开始{aligned}&\int_{0}^{t}\bigl\Vert\nabla\omega（\tau）\bigr\Vert_{L^{infty}}\，d\tau\\&\quad\leq C\bigl\ Vert\nabra K（t）\biger\Vert_{L_{t}^{1} L（左）^{2} }\Vert\omega_{0}\Vert_{L^{2}}+\bigl（C\bigl\Vert\nabla^{2{K（t）\bigr\Vert_{L_{t}^{1} L（左）^{1} }+\Vertu\Vert_{L_{t}^{\infty}L^{2}}^{\frac{1}{2}{\Vert\omega\Vert_}L_{t1}^{2{L^{\infty}}\\&\qquad{}+C\VertB\Vert_{L_}{t}^{\infty}L^{{\inffy}}\bigl\Vert\nabla^{2neneneep K（t）\bigr\Vert_{L_{t}^{1}L^{1{}\bigr）\int_{0}^{t}\bigl\Vert\omega（\tau）\bigr\Vert_{L^{\infty}}\，d\tau。\结束{对齐}$$

(2.43)

将涡度方程两侧乘以\（|\omega|^｛p-2｝\omega\）和集成\（R^{2}\），我们获得

$$开始{对齐}\frac{1}{p}\frac{d}{dt}\bigl\Vert\omega（t）\bigr\Vert_{L^{p}}^{p{=&\int_{R^{2}}（B\cdot\nabla j）\omega\Vert\omega\Vert^{p-2}\，dx-\nu\int_R^{2{}\text{\pounds}\omega\ Vert\omega \Vert^p-2}\omega，dx\\leq&\Vert B\Vert_{L^{infty}}\Vert\nabla j\Vert_}L^{p}}\Vert\omega\Vert_ L^{p}}^{p-1}，\结束{对齐}$$

(2.44)

在这里我们使用了几乎拉普拉斯速度耗散的非负性，那么我们有

$$\begin{aligned}\frac{d}{dt}\bigl\Vert\omega（t）\bigr\Vert_{L^{p}}\leq\Vert B\Vert_}L^{infty}}\Vert\nabla j\Vert_ L^}}。\结束{对齐}$$

(2.45)

随着时间的推移，我们已经

$$\begin{aligned}\bigl\Vert\omega（t）\bigr\Vert_{L^{p}}\leq\bigl\ Vert_omega（0）\biger\Vert_{L^}}+\int_{0}^{t}\bigle\Vert B（\tau）\bigr\Vert_{L^{\infty}}\bigl\Vert\nabla j（\tau）\bigra\Vert_L^{p{}}\，d\tau。\结束{对齐}$$

(2.46)

出租\（p\rightarrow\infty\），这个产量

$$\begin{aligned}\bigl\Vert\omega（t）\bigr\Vert_{L^{infty}}\leq\bigl\ Vert_omega（0）\biger\Vert_}L^{infty}}+\int_{0}^{t}\bigr\ Vert B迪托。\结束{对齐}$$

(2.47)

根据之前的估计，我们得出

$$\begin{aligned}\bigl\Vert\omega（t）\bigr\Vert_{L^{infty}}\leq\bigl\ Vert_omega（0）\birgr\Vert_{L1^{inffy}}+C（t）\int_{0}^{t}\bigle\Vert\nabla j（\tau）\biger\Vert_{L^}\，d\tau。\结束{对齐}$$

(2.48)

现在，假设

$$\开始{对齐}H（t）=H_{1}（t）+H_{2}（t）\int_{0}^{t}\bigl\Vert\omega（\tau）\bigr\Vert_{L^{infty}}\，d\tau，\end{aligned}$$

(2.49)

它是从(2.43)那个

$$\开始{aligned}\int_{0}^{t}\bigl\Vert\nabla\omega（\tau）\bigr\Vert_{L^{infty}}\，d\tau\leq H（t）。\结束{对齐}$$

(2.50)

由于(2.48)，我们很容易获得

$$\开始{对齐}\frac{d}{dt}H（t）=&H_{2}（t）\bigl\Vert\omega（t）\bigr\Vert_{L^{infty}}\\leq&H_2}（t）\ biggl bigr\Vert_{L^{\infty}}\，d\tau\biggr）\\leq&H_{2}（t）\bigl（\bigl\Vert\omega（0）\bigr\Vert_{L_{\inffy}}+C（t）H（t）\biger）。\结束{对齐}$$

(2.51)

Gronwall引理为我们提供了

$$\开始{aligned}G（t）\leq C（t，u_{0}，B_{0{），结束{aligned}$$

（2.52）

这进一步意味着

$$\begin{aligned}\int_{0}^{t}\bigl\Vert\nabla j（\tau）\bigr\Vert_{L^{infty}}\，d\tau\leq C（t，u_{0{，B_{0}）。\结束{对齐}$$

(2.53)

梳理(2.53)和(2.48)，我们获得

$$\开始{aligned}\bigl\Vert\omega（t）\bigr\Vert_{L^{infty}}\leq C（t，u_{0}，B_{0{）。\结束{对齐}$$

(2.54)

根据插值不等式

$$\begin{aligned}\Vert\nabla u\Vert_{L^{infty}}\leq C\Vert\natbla u\ Vert_{L^{2}}^{压裂{1}{2}}\Vert_nabla\omega\Vert_ L^}{2}{结束{aligned}$$

(2.55)

和(2.16)，我们获得

$$\开始{aligned}\int_{0}^{t}\Vert\nabla u\Vert_{L^{infty}}^{2}\，d\tau\leq C（t，u_{0{，B_{0neneneep）。\结束{对齐}$$

(2.56)

 □

2.6全球的\（H^{s}（s>2）\）估计\（（u，B）\）

引理2.6

假设定理中的条件1.1持有,那么它就支持了

$$\bigl\Vert u（t）\bigr\Vert_{H^{s}}+\bigl\ Vert B（t）\ bigr\Vert_{H_{s}{+\int_{0}^{t}\bigl Vert\textit{\pounds}^{\frac{1}{2}}u（t$$

(2.57)

证明

获取的全局界限\（（u，B）\）在里面\（H^{s}（s>2）\），我们申请\（\Lambda^{s}\）具有\（\Lambda=（I-\Delta）^{\frac{1}{2}}\）到原始方程u个和B类，然后使用\（L^｛2｝\）所得方程的内积\（\兰姆达^{s} u个，\兰姆达^{s} B类)\)得到能量不等式。

$$开始{对齐}和\frac{1}{2}\frac}d}{dt}\bigl{2}\\&\quad=-\int_{R^{2}}\bigl[\Lambda^{s}，u\cdot\nabla\bigr]u\cdot \Lambda ^{s{u\，dx+\int_R^{2{}}\bigl[\Lambda^}，B\cdot\nabla\bigr]B\cdot\Lambda^{s}u\，dx\\&\qquad{}-\int_{R^{2}}\bigl[\Lambda{s}，u\cdot\nabla\bigr]B\cdot \Lambada{s}B\，dx+\int_R^{2{}\bigr[\Lambeda^{s}，B\cdote\nabla\sbigr]u\cdot \ Lambda{s}B \\&\quad=I_{1}+I_{2}+I{3}+I{4}，结束{对齐}$$

(2.58)

哪里\（[m，n]\）是标准的换向器符号，即\（[a，b]=ab-ba\）利用以下加藤-庞塞不等式[16].

$$\begin{aligned}\bigl\Vert\bigl[\Lambda^{s}，f\bigr]g\bigr\Vert_{L^{p}}\leq C\bigl（\Vert\nabla f\Vert_}L^{infty}}\bigl\Vert_Lambda^{s-1}克\bigr\Vert_{L^{p}}+\Vert g\Vert_}L^{\infty}}\bigl\Vert\Lambda^{s} （f）\bigr\Vert_{L^{p}}\bigr），\quad 1<p<\infty。\结束{对齐}$$

(2.59)

然后，我们估计能量项如下：

$$开始{对齐}和I{1}\leq C\Vert\nabla u\Vert_{L^{infty}}\Vert u\Vert_{H^{s}}^{2}较大），\结束{对齐}$$

(2.60)

$$\开始{对齐}和I_{3}+I_{4}\leq C\bigl（\Vert\nabla u\Vert_{L^{infty}}+\Vert\natbla B\Vert_{L^}\infty{}\bigr）\ bigl。\结束{对齐}$$

（2.61）

最后，我们得到

$$\开始{对齐}和\frac{d}{dt}\bigl（\bigl\Vertu（t）\bigr\Vert_{H^{s}}^{2}+\bigl\ VertB（t）\ bigr\Vert_{H2}}^2}\bigr）+\bigle\Vert\text{\pounds}^{1}{2}u\bigr\ Vert_{H^}}}q C\bigl（\Vert\nabla u\Vert_{L^{\infty}}+\Vert\nabla B\Vert_}^{2} \更大）。\结束{对齐}$$

(2.62)

我们需要估计\（\|\nabla u\|_{L^{infty}}\）和\（\|\omega\|_{L^{infty}}\），根据以下带对数校正的Sobolev外推不等式[17].

$$\begin{aligned}\Vert\nabla u\Vert_{L^{infty}}\leq C\bigl（1+\Vert u\Vert_{L^}（R^{2}）}+\Vert\omega\Vert_}{L^\\infty{}}（R ^{2{）}\bigr。\结束{对齐}$$

（2.63）

根据上述估算，我们有

$$\开始{对齐}和\frac{d}{dt}\bigl（\bigl\Vertu（t）\bigr\Vert_{H^{s}}^{2}+\bigl\ VertB（t）\ bigr\Vert_{H2}}^2}\bigr）+\bigle\Vert\text{\pounds}^{1}{2}u\bigr\ Vert_{H^}}}q C\bigl（1+\Vert\omega\Vert_{L^{infty}}+\Vert_nabla B\Vert_{L^}\infty{}\bigr）ln\bigl（e+\Vert-u\ Vert_{H^{s}}^{2}+\Vert B\Vert_{H^{s}}^{2}\bigr）\\&\qquad\bigl（\Vert u\Vert_{H^}s}}^{2{+\Vert B \Vert_2H^{s}}^}2}\bigr）。\结束{对齐}$$

(2.64)

利用log-Gronwall型不等式和估计(2.34)和(2.41)，我们获得

$$开始{aligned}\bigl\Vertu（t）\bigr\Vert_{H^{s}}+\bigl\ VertB（t）\ bigr\Vert_{H2^{s{}+\int_{0}^{t}\bigle\Vert\text{\pounds}^{\frac{1}{2}}u（t。\结束{对齐}$$

（2.65）

组合(2.13)我们获得

$$\begin｛aligned｝\int _｛0｝^｛t｝\bigl\Vert u（t）\bigr\Vert _｛H^｛s+1｝｝^｛2｝\，d\tau\leq C（t）。\结束{对齐}$$

(2.66)

根据前面结果中的六步先验估计，我们给出了定理的证明1.1.我们介绍了\（\varrho_{N} （f）\)由提供

$$\开始{aligned}（\varrho_{N} （f）)（x）=N^{2}\int_{R^{2{}\eta\bigl（N（x-y）\bigr）f（y）\，dy，\end{aligned}$$

(2.67)

哪里\（C_{0}^{infty}（R^{2}）中的0（|x|）满足\（\nint_{R^{2}}\eta（y）\，dy=1\）.我们将制度正规化(1.1)如下：

$$\开始{aligned}\textstyle\begin{cases}{\partial_{t}}u^{N}+P\varrho_{N}（（\varrho_{N} u个^{N} \cdot\nabla）\varrho_{N} u个^{N} ）+\nu J\text{\pounds}{1}\varrho_{N}u^{N}=P\varrho{N}（_{N} B类^{N} \cdot\nabla）\varrho_{N} B类^{N} ，\\{\partial_{t}}B^{N}+\varrho_{N}（\varrho_{N} u个\cdot\nabla）\varrho_{N} B类=\varrho_{N}（（\varrho _{N}B^{N}\cdot\nabla）_{N} u个_{0}（x），B^{N}（x，0）=\rho_{N} B_{0}（x），\end{cases}\displaystyle\end{aligned}$$

哪里P（P）表示Leray投影操作符。对于任何固定\（N>0），使用软化子的性质和在证明全局界时获得的先验估计\（t\in（0，\infty）\）,

$$\begin{aligned}和\bigl\Vert u^{N}（t）\bigr\Vert_{H^{s}}+\bigl\ Vert B^{N{}（t）\biger\Vert_{H^}s}}+\int_{0}^{t}\bigl \Vert\text{\pounds}^{{{1}{2}u^{N}（\tau）\bigr\Vert_H^{s2}}}，d\ tau\leq C（t），结束{对齐}$$

(2.68)

$$\开始{对齐}&\int_{0}^{t}\bigl\Vertu^{N}（\tau）\bigr\Vert_{H^{s+1}}^{2}\，d\tau\leq C（t），\end{aligned}$$

(2.69)

它们在N个，根据标准的Alaogu定理和紧性参数，我们可以提取子序列\（（u^{N_{i}}，B^{N_2}}）\）并传递到极限\（N\rightarrow\infty\）得到极限函数\（（u，B）\）确实是这个问题的全球经典解决方案(1.1)。唯一性也很容易获得。这就完成了定理的证明1.1. □