弹性动力学问题的高阶光滑插值再生核粒子方法

摘要

将插值再生核粒子方法（IRKPM）与弹性动力学积分弱形式相结合，提出了一种求解弹性动力学平面问题的高阶光滑插值再生核微粒方法。IRKPM的形状函数不仅具有任意点的插值性质，而且具有不低于核函数的高阶光滑性。这种新方法克服了大多数无网格方法在处理基本边界条件时的困难，并确保了高的数值精度。对于时域积分，我们使用经典的Newmark平均加速度方法。数值算例表明，该方法具有精度高、求解规模小、直接应用边界条件等优点。

1介绍

工程中广泛使用的梁、板、壳经常受到振动和冲击的影响。有限元方法依靠网格划分来处理此类问题[1,2]。当网格变形时，有限元计算结果的精度会降低。无网格方法采用基于点的近似，在处理数值问题时可以忽略网格畸变的影响[三]。无网格法具有节省分析时间、保证计算精度的优点，是目前科学和工程计算方法的热点和发展方向[4].

在计算过程中，只需要节点信息，克服了将节点连接到节点间元素的局限性[5]。无网格法可以很容易地处理大变形问题[6]，裂纹扩展过程[7]，对流传热[8]，流体-结构相互作用[9]和弹性动力学[10,11].

随着计算机技术和计算方法的飞速发展，各种数值方法已成为解决科学和工程问题的重要手段[12–17]。结构动力分析作为一个重要的科学问题，在各个领域受到了越来越多的关注[18–21]。在这种情况下，有限元法作为最通用的数值方法，成为动力分析和非线性分析的主要方法[22,23]。求解结构动力问题的有限元法依赖于单元的划分和细化[24]。在复杂几何形状的情况下，除非以非常耗时且繁琐的成本生成高质量的有限元网格，否则会出现应力奇异性和集中[25]。当与元件相关的不连续应力处于应力集中区域时，二次近似的输出结果将失真[26]。无网格方法首次用于模拟无边界的天体现象[27,28]。无网格方法使用点的近似，计算点的位移试函数仅与影响域中离散点的形状函数相关联。在不依赖网格的情况下，输出位移、应变和应力在整个分析域中是连续的，并且避免了二次近似的误差[29,30]。两种主流的无网格方法是无单元Galerkin方法[31–35]和再生核粒子方法[36–39]。然而，基于Galerkin离散格式的无网格方法不容易应用边界条件。

动力分析是弹性结构评估的重要步骤。无网格方法以粒子为基本计算单元，不需要在粒子之间建立固定的拓扑关系，因此适用于求解弹性动力学问题[40,41]。几位作者尝试将无网格方法应用于弹性动力学问题。选择合适的形式函数可以降低计算成本[42]。摘要提出了一种利用拉普拉斯变换技术求解二维弹性动力断裂问题的无网格局部积分方法[43]。纽马克方法通常被选为处理时间相关情况的近似方案[44–46].

本文将IRKPM与弹性动力学积分弱形式控制方程相结合，建立了二维弹性动力学问题的高阶光滑插值再生核粒子方法。我们推导了相应的离散方程，并采用时域积分Newmark恒平均加速度法。该方法采用基于点的近似，在动态分析中可以忽略网格畸变的影响，节省分析时间，保证计算精度。该方法可以方便地应用有限元法等边界条件，避免了处理边界条件的困难。与其他无网格方法相比，该方法具有直接应用边界条件、计算量小、精度高等特点。通过算例验证了该方法的正确性和有效性。

2弹性力学基本方程

让Ω是带边界问题的域Γ.对于线弹性问题，b条是体力，\（\bar{\boldsymbol{t}}\）是自然边界上的已知表面力，\（\bar{\boldsymbol{u}}\）是基本边界上的已知位移，以及n个是该点的方向余弦矩阵x个在自然边界上。二维弹性力学的基本方程如下

$$\begin{aligned}和\boldsymbol{L}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\sigma}+\boldsimbol{b}-\rho\ddot{\boldsembol{u}}-\mu\dot{\bolsymboldsympol{u{}}=\boldssimbol{0}\quad\text{in}\varOmega，\end{alinged}$$

(1)

$$\begin{aligned}&\boldsymbol{\varepsilon}=\boldsymbol{Lu}\quad\text{in}\varOmega，\end{aligned}$$

(2)

$$\begin{aligned}&\boldsymbol{\sigma}=\boldsymbol{D}\boldsembol{\varepsilon}\quad\text{in}\varOmega，\end{alinged}$$

(3)

$$开始{aligned}&\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}=\bar{\boldsimbol{t}}\quad\text{on}\varGamma_{u}，\end{aligned}$$

(4)

$$\begin{aligned}&\boldsymbol{u}=\bar{\boldsymbol{u}}\quad\text{on}\varGamma_{t}，\end{aligned}$$

(5)

$$\开始{aligned}和\boldsymbol{u}（\boldsymbol{x}，t_{0}）=u_{0}（\bolssymbol}），\quad\boldsympol{x{in\bolsymbol{varOmega}，\end{aligned}$$

(6)

$$\begin｛aligned｝&\dot｛\boldsymbol｛u｝｝（\boldsymbol｛x｝，t_｛0｝）=\boldsymbol{v}（v）_｛0｝（\boldsymbol｛x｝）、\quad\boldsymbol｛x｝\in\boldsymbol｛\varOmega｝、\end｛aligned｝$$

(7)

哪里L（左）是微分算子矩阵

$$\boldsymbol{L}=\begin{bmatrix}\frac{\partial}{\parial x_{1}}&0&\frac}\partial}{\protial x_{2}}\\0&\frac{\paratil}{\ partial x_2}}&\frac{\partic}{\perial x_1}}}\end{bmatric}^{\mathrm{T}}}$$

(8)

ρ是密度，μ是阻尼系数，\（-\mu\dot{\boldsymbol{u}}\）是阻尼力，\（-\rho\ddot{\boldsymbol{u}}\）是惯性力；

$$\begin{aligned}&\boldsymbol{\sigma}=\begin{bmatrix}\sigma{11}（t）&\sigma{22}$$

（9）

$$\begin{aligned}&\boldsymbol{b}=\begin{bmatrix}b_{1}（t）&b_{2}（t）\end{bmmatrix}^{mathrm{t}}，\end$$

（10）

$$\begin{aligned}&\boldsymbol{\varepsilon}=\begin{bmatrix}\varepsi lon{11}（t）&\varepsic lon{22}$$

(11)

$$\begin{aligned}&\boldsymbol{u}=\begin{bmatrix}u（t）&v（t）\end{bmatriax}^{\mathrm{t}}，\end$$

(12)

哪里σ,b条,ε、和u个分别是域上任意点的应力向量、体力向量、应变矩阵和位移矩阵；

$$\begin{aligned}和\dot{\boldsymbol{u}}^{\mathrm{T}}=\bigl（\dot{u}（T），\dot}（T）\bigr），\end{alinged}$$

(13)

$$\begin｛aligned｝&\ddot｛\boldsymbol｛u｝｝^｛\mathrm｛T｝｝＝\bigl（\ddot｛u｝（T），\ddot｛v｝（T）\bigr），\end｛aligned｝$$

(14)

哪里\（\dot{\boldsymbol{u}}\）和\（\ddot{\boldsymbol{u}}\）是位移矩阵的一阶和二阶导数u个分别是。

让D类为弹性矩阵。平面应力矩阵可以表示为

$$\boldsymbol{D}=\frac{E}{1-\mu^{2}}\begin{bmatrix}1&\mu&0\\mu&1&0\\frac{1-\mo}{2}\end{bmatricx}$$

(15)

哪里E类是杨氏模量，以及μ是泊松比。

三弹性动力学问题的插值再生核粒子方法

3.1插值再生核粒子法的形状函数

当紧支撑域中的节点数大于基函数单项式的数目时，我们构造了改进的再生核粒子方法的插值形状函数。

采用三次样条函数作为权重函数，即

$$\hat{\varPhi}_{\hat{一}_{一} }（\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_{一} ）=\varPhi（d）=\textstyle\begin{cases}\frac{2}{3}-4d^{2}+4d^{3}，&d\le\frac{1}{2}，\\frac{4}{3{-4d+4d^}2}-\frac{4}{3} d日^{3} ，&\frac{1}{2}<d\le 1，\\0，&d>1。\结束{cases}$$

(16)

让改进的插值核粒子\（u（x）\）大约是

$$u^｛a｝（\boldsymbol｛x｝）=\sum_｛I=1｝^｛NP｝\varPsi _｛I｝（\boldsymbol｛x｝）u_｛I｝$$

（17）

其中，改进的插值核粒子的形状函数为

$$\varPsi _｛I｝（\boldsymbol｛x｝）=\hat｛\varPsi｝_｛I｝（\boldsymbol｛x｝）+\bar｛\varPsi｝_｛I｝（\boldsymbol｛x｝）$$

(18)

带有函数\（\hat{\varPsi}_{I}（\boldsymbol{x}）\）具有Kroneckerδ特性和增强函数\（\bar{\varPsi}_{I}（\boldsymbol{x}）\）以IRKPM的形式。因此，所构造的形状函数具有在任意点上插值的特性，并且具有不小于核函数的高阶光滑性。

插值核粒子形状函数的改进二阶插值条件\（\varPsi_{I}（\boldsymbol{x}）\）可以作为

$$\sum_{I=1}^{NP}\bigl[\hat{\varPsi}_{I}（\boldsymbol{x}）+\bar{\varPsi}_{I}（\ boldsympol{x{）\bigr]x{I}^{\alpha}=x^{\alpha}，\quad\vert\alpha\vert\le 2$$

(19)

如果简单函数\（\hat{\varPsi}_{I}（\boldsymbol{x}）\）满足Kroneckerδ特性，即，\（\hat{\varPsi}_{I}（\boldsymbol{x}_{J} ）=δ_｛I J｝\），和等式(19)保持不变，则增强函数向量如下：

$$\bar{\boldsymbol{\varPsi}}（\boldsymbol{x}）=\bigl\{\bar{\\varPsi{{1}$$

(20)

由正交的移动单项式组成的基向量可以写成

$$\开始{对齐}&\粗体符号{h}（小时）_{i} （\boldsymbol{x}）=\bigl\{h{i}（\bolsymbol{x}-\boldsymbol{x}_{1} ），h{i}（\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_{2} ），\ldot，h{i}（\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_{NP}）\bigr\}，\end{对齐}$$

(21)

$$\开始{对齐}和\boldsymbol{H}（\boldsymbol{x}-\boldsimbol{x}_{一} ）=\bigl[1，x_{1}-x_{I1}，\ldots，x_}d-x_{Id}，（x_{1\x_{II1}）^{2}，\ ldots$$

(22)

其中我的第个元素\（\boldsymbol{H}（\bodsymbol{x}-\boldsymbol{x}_{一} ）\）例如，对于所有离散点\（\{\boldsymbol{x}_{J} {J=1}^{NP}），是

$$\bar{\boldsymbol{\varPsi}}（\boldsymbol{x}_{J} ）^｛\mathrm｛T｝｝\粗体符号{h}（小时）_{i} （\粗体符号{x}_{J} ）=所有J的0$$

(23)

根据方程式(19)，等式(23)可以重写为

$$\sum_{I=1}^{NP}\bigl[\hat{\varPsi}_{I}（\boldsymbol{x}{x}_{一} ）=\boldsymbol{H}（\boldsymbol{0}）$$

(24)

对于\（\粗体符号{x}_{J} \），我们有

$$\sum_{I=1}^{NP}\bigl[\hat{\varPsi}_{I}（\boldsymbol{x}_{J} ）+\bar{\varPsi}_{I}（\boldsymbol{x}_{J} ）\bigr]\boldsymbol{H}（\boldsymbol{x}_{J} -\粗体符号{x}_{一} ）=\boldsymbol{H}（\boldsymbol{0}）$$

(25)

如果\（\hat{\varPsi}_{I}（\boldsymbol{x}_{J} ）=δ_｛I J｝\）以及任何J型点满足\（sum_{I=1}^{NP}\delta_{IJ}\boldsymbol{H}（{x}_{J} -\粗体符号{x}_{一} ）=\boldsymbol{H}（\boldsymbol{0}）\），然后根据最后一个方程，我们得到

$$\sum_{I=1}^{NP}\bar{\varPsi}_{I}（\boldsymbol{x}_{J} ）\boldsymbol{H}（\boldsymbol{x}_{J} -\粗体符号{x}_{一} ）=\boldsymbol{0}$$

(26)

我们可以得到等效方程

$$\sum_{I=1}^{NP}\bar{\varPsi}_{I}（\boldsymbol{x}_{J} ）h{i}（粗体符号{x}_{J} -\粗体符号{x}_{一} ）=0$$

(27)

因此，我们得到了等式(23).

让

$$\bar{\varPsi}_{I}（\boldsymbol{x}）=\boldsymbol{G}^{\mathrm{T}}{x}_{一} ）\boldsymbol{b}（\boldsymbol{x}）$$

(28)

哪里\（\boldsymbol{G}（\bodsymbol{x}-\boldsymbol{x}_{一} ）\）是具有相同维数的基函数向量\（\boldsymbol｛H｝（\boldsymbol{x}_{J} -\粗体符号{x}_{I} ）\）、和\（\boldsymbol{b}（\bolsymol{x}）\）是对应的系数向量。替换公式(28)到等式(26)我们有

$$\boldsymbol{Q}（\boldsymbol{x}_{J} ）\boldsymbol{b}（\boldsymbol{x}_{J} ）=\粗体符号{0}$$

(29)

哪里

$$\boldsymbol{Q}（\boldsimbol{x}）=\sum_{I}\boldsymbol{H}（\ boldsymbol{x}-\boldsembol{x}_{一} ）\boldsymbol{G}^{\mathrm{T}}（\boldsymbol{x}-\boldsimbol{x}_{一} ）$$

(30)

如果\（\boldsymbol{Q}（\bolssymbol{x}_{J} ）\）是非奇异的，那么从等式(29)我们获得\（\boldsymbol｛b｝（\boldsymbol{x}_{J} ）=\粗体符号{0}\）.自\（\bar{\varPsi}_{I}（\boldsymbol{x}_{J} ）=0\）通过等式(28)，我们得到

$$\varPsi_{I}（粗体符号{x}_{J} ）=\bar{\varPsi}_{I}（\boldsymbol{x}_{J} ）+\stackrel{\brown}{\varPsi}_{I}（\boldsymbol{x}_{J} ）=△{I J}$$

(31)

制造\（\boldsymbol{Q}（\bodsymbol{x}）\）非奇异的，显而易见的选择\（\boldsymbol{G}（\bodsymbol{x}-\bolsymbol{x}_{一} ）\）是

$$\boldsymbol{G}（\boldsymbol{x}-\boldsembol{x}_{一} ）=\boldsymbol{H}（\boldsymbol{x}-\boldsimbol{x}_{一} ）\bar{\varPhi}_{\bar{一}_{一} }（\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_{一} ）$$

(32)

哪里\（\bar{\varPhi}_{\bar{一}_{一} }（\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_{一} ）\ge 0\）是一种具有紧凑支撑的重量函数。所以

$$\bar{\varPsi}_{I}（\boldsymbol{x}）=\boldsymbol{H}^{\mathrm{T}}{x}_{I} ）\boldsymbol｛b｝（\boldsymbol｛x｝）\bar｛\varPhi｝_｛\bar{一}_{一} }（\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_{一} ）$$

(33)

从上面我们可以看到，如果增强函数的形式是(28)简单函数具有Kroneckerδ性质，然后插值函数\（\varPsi_{I}（\boldsymbol{x}）\）将生成公式(19)感到满意。

系数\（\boldsymbol{b}（\bolsymol{x}）\）属于\（\bar{\varPsi}_{I}（\boldsymbol{x}）\）可以通过再生条件获得，并且\（\hat{\varPsi}_{I}（\boldsymbol{x}）\）可以表示为

$$\hat{\varPsi}_{I}（\boldsymbol{x}）=\frac{\hat[\varPhi}_{\hat{一}_{一} }（\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_{I} ）｝｛\hat｛\varPhi｝_｛\hat{一}_{一} }（粗体符号{0}）}，\quad\hat{一}_{一} <\min\bigl\{\Vert\bold符号{x}_{I} -\粗体符号{x}_{J} 对于所有J\ne I\bigr\}$$

(34)

哪里\（\hat{\varPsi}_{I}（\boldsymbol{x}）\）满足Kronecker delta条件。

替换公式(33)和(34)到等式(18)收益率

$$\sum_{I=1}^{NP}\bigl[\hat{\varPsi}_{I}（\boldsymbol{x}）+\boldsymbol{H}^{\mathrm{T}}{x}_{一} ）\boldsymbol{b}（\boldsymbol{x}）\hat{\varPhi}_{\hat{一}_{一} }（\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_{一} ）\bigr]\boldsymbol{x}_{一} ^{\alpha}=\boldsymbol{x}^{\alpha}，\quad\vert\alpha\vert\le n$$

（35）

根据方程式(35)我们有

$$\sum_{I=1}^{NP}\boldsymbol{H}（\boldsymbol{x}-\boldsimbol{x}_{一} ）\bigl[\hat{\varPsi}_{I}（\boldsymbol{x}）+\boldsymbol{H}^{mathrm{T}}{x}_{一} ）\boldsymbol{b}（\boldsymbol{x}）\hat{\varPhi}_{\hat{一}_{一} }（\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_{一} ）\bigr]=\boldsymbol{H}（\boldsymbol{0}）$$

(36)

系数向量\（\boldsymbol{b}（\bolsymol{x}）\）可以作为

$$\boldsymbol{b}（\boldsymbol{x}）=\boldsembol{Q}^{-1}$$

(37)

哪里

$$\hat{\boldsymbol{H}}{x}_{一} ）\hat{\varPsi}_{I}（\boldsymbol{x}）$$

(38)

最后，我们得到了改进的再生核粒子的插值形状函数，如下所示：

$$\varPsi{I}（\boldsymbol{x}{x}_{一} ）Q^{-1}（x）\bigl[\boldsymbol{H}（\boldsimbol{0}）-\hat{\boldsymbol{H}}（\ boldsympol{x}）\bigr]\bar{\varPhi}_{\bar{一}_{一} }（\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_{一} ）$$

(39)

如图所示1显示，121个粒子被不均匀地放置在2D域中\（（x，y）在[0,10]\次[0,10]中\），三次样条函数被视为\（\hat{\varPhi}_{\hat{一}_{一} }（\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_{I} ）\）和\（\bar{\varPhi}_{\bar{一}_{一} }（\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_{一} ）\）,\（\帽子{一}_{1} =0.48d_{c}\）,\（\bar{a}=3.0d_{c}\）、和\（\hat{\varPsi}_{I}（\boldsymbol{x}）\）是最小粒子间距。然后星号粒子的形状函数如图所示1.

图1

非均匀颗粒二维IRKPM的形状函数

图1说明形状函数具有良好的节点插值特性。该方法得到的位移、应力和应变在整个域上具有光滑连续性，避免了有限元法的计算误差。

我们分析了再生核形状函数及其在特殊情况下的插值性质，研究了改进的再生核粒子插值形状函数的构造过程。从这些图中可以看出，改进的再生核形状函数具有良好的插值特性。从理论上讲，改进的再生核粒子的形状函数的光滑性保证不低于权重函数的光滑度。

改进的再生核粒子的插值形式函数是基于一个简单函数与Kroneckerδ特性和IRKPM形状函数格式的增强函数的耦合。当用原简单函数引入离散Kroneckerδ性质，用增强函数构造再生条件时，如果离散点的增强函数向量和移动单项式的基函数向量满足正交条件，然后得到了具有Kroneckerδ性质的改进再生核粒子的形状函数。这便于直接应用位移边界条件。

3.2弹性动力学问题的数值方程

在域中Ω位移\（\boldsymbol｛u｝=[u\enskip v]^｛\mathrm｛T｝｝\）任何一点x个在任何时候吨可以写为

$$\boldsymbol{u}=\boldsymbol{\psi}\boldsimbol{u}^{n}$$

(40)

哪里\（n=NP \le m）,米是弹性域中离散注释的总数Ω、和

$$\begin{aligned}和\boldsymbol{\psi}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{\spi}_{1}和\ boldsympol{\psi}_{2}&\cdots&\boldsimbol{\ psi}_{n}\end{bmatricx}，\end{aligned}$$

(41)

$$\开始{aligned}&\boldsymbol{u}^{n}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{u}_{1} ^{\mathrm{T}}和\boldsymbol{u}_{2} ^{\mathrm{T}}和\cdots和\boldsymbol{u}_{n} ^{\mathrm{T}}\end{bmatrix}^{\mathrm{T}}，\end{aligned}$$

(42)

哪里ψ是形状函数，并且\（\粗体符号｛u｝^｛n｝\）是的位移矢量n个点的紧支撑域上的离散点x个.

设置\（I=1,2，\ldot，n）,\（\boldsymbol{\varPsi}_{I}\）是任何粒子的形状函数子矩阵\（\粗体符号{x}_{一} \）,\（\粗体符号{u}_{一} \）是任何粒子的位移矢量\（\粗体符号{x}_{一} \），我们有

$$\begin{aligned}&\boldsymbol{\psi}_{I}=\begin{bmatrix}\varPsi{I}&0\\0&\varPsi{I}\end{bmmatrix}，\end已对齐}$$

(43)

$$\开始{对齐}&\粗体符号{u}_{一} =\begin{bmatrix}u{I}&v{I}\end{bmatricx}^{\mathrm{T}}。\结束{对齐}$$

(44)

3.3高阶光滑弹性动力学算法

基于具有光滑插值特性的任意离散点的无网格形状函数，可以构造如下的高阶光滑位移函数。

任何时候的速度和加速度吨在任何时候x个在域上可以写为

$$\开始{对齐}&\dot{\boldsymbol{u}}=\sum_{I}^{n}\boldsymbol{\psi}_{I{dot{\ boldsympol{u{}}_{I}，\end{aligned}$$

(45)

$$\begin｛aligned｝&\ddot｛\boldsymbol｛u｝｝=\sum_｛I｝^｛n｝\boldsymbol｛\psi｝_｛I｝\ddot｛\boldsymbol｛u｝｝_｛I｝，\end｛aligned｝$$

（46）

哪里\（\dot{\boldsymbol{u}}_{I}\）和\（\ddot{\boldsymbol{u}}_{I}\）是点的速度和加速度x个时间吨，它们可以写成

$$\开始{aligned}&\dot{\boldsymbol{u}}_{I}=\begin{bmatrix}\dot{u}_{一} &\点{v}（v）_{一} \end{bmatrix}^{\mathrm{T}}，\end{aligned}$$

(47)

$$\开始{aligned}&\ddot{\boldsymbol{u}}_{I}=\begin{bmatrix}\ddot{u}_{一} \\ddot（&\ddot）{v}（v）_{I} \end｛bmatrix｝^｛\mathrm｛T｝｝。\结束{对齐}$$

(48)

点的应变x个可以从等式中获得(2)和(40):

$$\开始{aligned}&\boldsymbol{\varepsilon}=\boldsymbol{Lu}=\boldsymbol{Bu}^{n}，\end{aligned}$$

(49)

$$\开始{aligned}&\boldsymbol{B}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{乙}_{1} &\粗体符号{乙}_{2} &\cdots&\boldsymbol{乙}_{n} \end{bmatrix}，\end{aligned}$$

(50)

哪里B类是应变矩阵，子矩阵\（\粗体符号{乙}_{一} \）质点处的应变矩阵\（\粗体符号{x}_{一} \）是

$$\粗体符号{乙}_{一} =\begin{bmatrix}\frac{\partial\varPsi{I}}{\parial x_{1}}&0\\frac{\ partial\ varPsi_{I}{\ parial x _{2}}\\frac}\ partial \ varPsi _{I}{\partal x _}}{部分x_{2}和\ frac{部分\varPsi _{I{{部分x _{1}{结束{bmatricx}$$

（51）

根据弹性力学的虚功原理，我们得到

$$\delta\varPi=-\int_{\varOmega}u}\，\mathrm{d}\varGamma=0$$

(52)

即。，

$$\int_{\varOmega}int_{\varGamma_{t}}\bar{\boldsymbol{t}{\delta\boldsymbol{u}\，\mathrm{d}\varGamma\biggr）=0$$

(53)

通过等式(40), (45), (46)、和(49)我们可以得到以下方程：

$$\开始{aligned}&\int_{\varOmega}\delta\Biggl（\sum_{I}^{n}\boldsymbol{\psi}_{I{\boldsymbol｛u｝_{一} \Biggr）^{\mathrm{T}}\rho\Biggl（\sum_{J}^{n}\boldsymbol{\psi}_{J{\ddot{\boldsymbol{u}}_{J}\Bigger）{u}_{一} \Biggr）^{\mathrm{T}}\mu\Biggl（\sum_{J}^{n}\boldsymbol{\psi}_{J{\dot{\boldsymbol{u}}_{J}\Biggr）\，\mathrm{d}\varOmega\\&\quad{}+\int_{\varOmega}\delta\Biggl（\sum{I}^{n}\bold symbol{乙}_{一} \粗体符号{u}_{一} \Biggr）^{\mathrm{T}}\boldsymbol{D}\Biggl（\sum_{J}^{n}\bold符号{乙}_{J} \粗体符号{u}_{J} \Biggr）\，\mathrm{d}\varOmega-\int_{\varOmega}\delta\Biggl（\sum_{I}^{n}\boldsymbol{\psi}_{I{\boldsymbol{u}_{一} \Biggr）^{\mathrm{T}}\boldsymbol{b}\，\mathrm{d}\varOmega\\&\quad{}-\int_{\varGamma_{T}}\delta\Biggl（\sum_{I}^{n}\bolsymbol{\psi}_{I{\boldsymbol{u}_{一} \Biggr）^{\mathrm{T}}\bar{\boldsymbol{T}}\，\mathrm{d}\varGamma=0。\结束{对齐}$$

（54）

由于δu，我们可以写出离散系统方程

$$\boldsymbol{M}\ddot{\boldsymbol{u}}+\boldsimbol{C}\dot{\bodsymbol{u}{+\bodsombol{Ku}=\boldsembol{f}$$

(55)

如果忽略阻尼，公式(55)可以简化为

$$\boldsymbol{M}\ddot{\boldsymbol{u}}+\boldsembol{Ku}=\boldsimbol{f}$$

(56)

如果右侧项为零，则此公式为系统的自由振动方程。u个,\（\dot{\boldsymbol{u}}\）、和\（\ddot{\boldsymbol{u}}\）分别是粒子的位移、速度和加速度矢量。M（M）,C类,K、和（f）分别是质量、阻尼、刚度和颗粒荷载矩阵。它们可以写成

$$\开始{aligned}&\boldsymbol{u}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{u}_{1} ^{\mathrm{T}}和\boldsymbol{u}_{2} ^{\mathrm{T}}和\cdots和\boldsymbol{u}_{m} ^{\mathrm{T}}\end{bmatrix}^{\mathrm{T}}，\end{aligned}$$

(57)

$$\begin{aligned}和\dot{\boldsymbol{u}}=\begin{bmatrix}\dot}\boldsymbol{u}}_{1}^{\mathrm{T}}和\ dot{\ boldsympol{u{}}_}2}^{\ mathrm}}&\cdots&\ dot}$$

(58)

$$\begin｛aligned｝和\ddot｛\boldsymbol｛u｝｝=\ begin｛bmatrix｝\ddot｛\boldsymbol｛u｝_｛1｝^｛\mathrm｛T｝｝和\ddot｛\boldsymbol｛T｝｝_｛m｝^｛\mathrm｛T｝｝\ end｛bmatrix｝^｛\mathrm｛T｝｝，\ end｛aligned｝$$

(59)

$$\开始{对齐}&\粗体符号{米}_｛IJ｝=\int _｛\varOmega｝\boldsymbol｛\psi｝_｛I｝｝^｛\mathrm｛T｝｝\rho\boldsymbol｛\psi｝_｛J｝｝^｛\mathrm｛T｝｝\，\mathrm｛d｝\varOmega quad（I，J=1，\ldots，m），\end｛aligned｝$$

(60)

$$\开始{对齐}&\粗体符号｛C｝_{IJ}=\int_{\varOmega}\boldsymbol{\psi}_{I}}^{\mathrm{T}}\mu\boldsymbol{\spi}_{{J}}^}\mathrm{T}{\，\mathrm-{d}\varOmega，\end{aligned}$$

(61)

$$\开始{对齐}&\粗体符号{克}_{IJ}=\int_{\varOmega}\boldsymbol{乙}_{一} ^{\mathrm{T}}\粗体符号{数据库}_{J} \，\mathrm{d}\varOmega，\end{aligned}$$

(62)

$$\开始{对齐}&\粗体符号{f}_{一} =\int_{\varOmega}\boldsymbol{\psi}_{{I}}^{\mathrm{T}}\bodsymbol{b}\，\mathrm{d}\varOmega+\int_}\varGamma{T}}\ boldsympol{\psi}_{I}^{\methrm{T}}\bar{\boldsymbol{T}\，\ mathrm}\varGamma，\end{aligned}$$

(63)

哪里\（I，J=1,2，\ldot，m）、和\（\粗体符号{克}_{IJ}\）,\（\粗体符号｛C｝_｛IJ｝\）、和\（\粗体符号{f}_{一} \）是的元素K,C类、和（f）.

插值再生核粒子的形状函数都具有离散粒子中Kroneckerδ函数的特征，因此可以直接应用本质边界。

3.4隐式时间积分

时域离散化为n个时间增量。运动方程的时间离散采用Newmark方法。位移与时间速度之间的关系\（t{n}\）到时间\（t{n+1}\）可以写为

$$\开始{对齐}&\粗体符号{u}_{n+1}=\粗体符号{u}_{n} +\增量t\dot{\boldsymbol{u}}_{n}+\frac{1}{2}$$

(64)

$$开始{aligned}和\dot{\boldsymbol{u}}_{n+1}=\dot}\boldsymbol{u}}_n}+（1-\beta_{1}）\Delta t\ddot{\bolsymbol{u}{n}+\beta_1}\Delta t\ddot{u}，\end{aligned}$$

(65)

哪里\（β{1}）和\（β{2}）影响计算结果的稳定性和准确性。不同的参数选择对应不同的集成方法：

$$\boot｛aligned｝\box｛（i）｝&&quad\beta｛1｝=\frac｛1｝｛2｝，\qquad\beta｛2｝=\frac｛1｝｛3｝\fquad\box｛（线性加速法）｝；\\\mbox{（ii）}&\quad\beta{1}=\frac{1}{2}，\qquad\beta{2}=\frac{1}}{2{quad\mbox{（平均加速度法）}\mbox{（iii）}&\quad\beta{1}=\frac{1}{2}，\qquad\beta{2}=0\quad_mbox{（匀加速法）}；\\\mbox{（iv）}&\quad\beta{1}=\frac{3}{2}，\qquad\beta{2}=\frac{8}{5}\quad\\mbox{（Galerkin方法）}\mbox{（v）}&\quad\beta{1}=\frac{3}{2}，\qquad\beta{2}=4\quad_mbox{（后向差分法）}。\结束{对齐}$$

根据方程式(64)我们有

$$\ddot{\boldsymbol{u}}_{n+1}=\frac{2}{\beta{2}\Delta t^{2}}（\boldsymbol{u}_{n+1}-\粗体符号{u}_{n} ）-\frac{2}{\beta_{2}\Delta t}\dot{\boldsymbol{u}}{n}-\biggl（\frac}1}{\beta_2}}-1\biggr）\ddot{\bolsymol{u{n}$$

(66)

让

$$\开始{aligned}&\alpha_{1}=\frac{2}{\beta_{2}\Delta t^{2}}，\end{aligned}$$

(67)

$$\begin{aligned}&\alpha{2}=\frac{2}{\beta{2}\Delta t}，\end{aligned}$$

(68)

$$\begin{aligned}&\alpha_3}=\frac{1}{\beta{2}}-1。\结束｛对齐｝$$

(69)

考虑等式(67), (68)、和(69)，等式(66)可以写为

$$\ddot{\boldsymbol{u}}_{n+1}=\alpha_{1}（\boldsymbol{u}_{n+1}-\粗体符号{u}_{n} ）-\alpha{2}\dot{\boldsymbol{u}}{n}-\alba{3}\ddot{\bolsymbol{u}{n{$$

（70）

替换公式(70)到等式(65)，我们获得

$$\dot{\boldsymbol{u}}{n+1}=\beta{1}\alpha{2}（\boldsymbol{u}_{n+1}-\粗体符号{u}_{n} ）+\biggl（1-\frac{2\beta{1}}{\beta{2}}\biggr）\dot{\boldsymbol{u}}{n}+\bigl$$

(71)

在Newmark方法中，位移解\（\粗体符号{u}_{n+1}\）通过公式(56). 然后

$$\boldsymbol｛M｝\ddot｛\boldsymbol｛u｝｝_｛n｝+1｝+\boldsymbol{Ku}（库克）_｛n+1｝=\boldsymbol{f}_{n+1}$$

(72)

替换公式(70)和(71)到等式(72)，我们获得

$$（\粗体符号{克}_{n+1}+\字母{1}\粗体符号{米}_{n+1}）粗体符号{u}_{n+1}=\粗体符号{f}_{n+1}+\粗体符号{米}_{n+1}（\alpha_{1}\boldsymbol{u}_{n} +\alpha{2}\dot{\boldsymbol{u}}{n}+\alba{3}\ddot{\bodsymbol{u}{n{）$$

(73)

什么时候？\（\粗体符号{u}_{n+1}\）是经过计算的，\（\dot{\boldsymbol{u}}_{n+1}\）和\（\ddot{\boldsymbol{u}}_{n+1}\）由等式确定(70)和(71)分别是。

3.5数值算法流程

首先，初始计算如下：

第1步.根据公式(60)至(62),M（M）,C类,K、和（f）已确定；

第2步.采用本质边界条件；

步骤3.u个,\（\dot{\boldsymbol{u}}\）、和\（\ddot{\boldsymbol{u}}\）设置；

第4步. Δ吨,\（β_｛1｝\）、和\（β{2}）已设置，并且\（阿尔法{1}）,\（阿尔法{2}）、和\（阿尔法{3}）获得。

其次，时间步是循环的。对于每个时间步，

第1步。有效载荷是在时间计算的\（t+\增量t\）;

第2步根据公式(56)，位移\（\粗体符号{u}_｛t+\增量t｝\）时间\（t+\增量t\）获得；

步骤3.速度\（\dot{\boldsymbol{u}}_{t+\Delta t}\）时间\（t+\增量t\）发现；

第4步.加速度\（\ddot{\boldsymbol{u}}_{t+\Delta t}\）时间\（t+\增量t\）发现；

第5步.在粒子位移矢量之后\（\粗体符号{u}_{t+\增量t}\）根据方程获得颗粒的应力和应变(2)和(三).

最后，时间步长循环结束，输出质点位移响应、速度和应力。本文采用平均加速度法，这是一种无条件稳定的积分格式。从而形成了新的无网格方法。

4数值示例

4.1悬臂梁的振动分析

如图所示2，悬臂梁在自由端承受动态突然荷载。悬臂梁的长度和高度为\（{l}=0.4~\text{m}\）和\（h=0.05~\text{m}\）分别是。材料常数为杨氏模量\（E=200~\text{GPa}\），泊松比\（nu=0.3\）和密度\（\rho=7850~\text{kg}/\text{m}^{3}\）.忽略阻尼的影响。突然均匀切向载荷\（p（t）=1000~\text{Pa}\）在梁的自由端应用\（t=0）如图所示三忽略静载荷，采用平面应力法进行计算。沿\（x{1}\）方向是u个.沿\（x{2}\）方向是v（v）.初始条件为\（\粗体符号{u}_{0}=\dot{\boldsymbol{u}}_{0}=0.）.

图2

悬臂梁承受动态突然荷载

图3

动载荷

梁自由端中点处挠度的解析解为

$$w（t）=\压裂{1}{2}\biggl[1-\cos\biggl（\压裂{2\pit}{t}\bigr）\biggr]w_{max}$$

(74)

哪里T型和\（w_｛\max｝\）分别为悬臂梁的固有振动频率和梁自由端的最大挠度，

$$\begin｛aligned｝&T=\frac｛2\pi｝｛1.875 ^｛2｝｝\sqrt｛\frac｛12\rho l^｛4｝｝｛Eh^｛2｝｝｝｝，\ end｛aligned｝$$

(75)

$$\开始{aligned}&w_{max}=\frac{2phl^{3}}{3EI}。\结束{对齐}$$

(76)

\（21乘以6）粒子用于域中，如图所示4三次样条函数用作权重函数。线性基函数用作基函数。时间积分选择的时间步长为\（增量t=2\乘以10^{-6}\text{s}\）.

图4

悬臂梁的节点分布

由IRKPM和解析方法获得的梁自由端中点处的位移解如图所示5IRKPM计算结果与分析方法的比较如表所示1，其中R（右）为相对误差，最大相对误差为3.8%。组合图5和表1可以看出，IRKPM具有很高的精度和稳定性。

图5

自由端中点的时间相关挠度

表1自由端中点的挠度

4.2悬臂梁在轴向突变荷载作用下的动力响应

如图所示6，悬臂梁承受轴向的突然荷载。几何和物理参数如第节所示。 4.1.忽略阻尼的影响，以及突然的轴向载荷\（p（t）=1~\text{GPa}\）在梁的自由端应用\（t=0）.突加载荷保持不变。

图6

轴向线性突变荷载作用下的悬臂梁

\（21乘以6）粒子用于域中。三次样条函数用作权重函数。线性基函数被用作基函数。有限元法的网格对应于粒子的密度。

图7显示了与时间相关的位移u个在这一点上A类采用IRKPM和有限元方法计算。图8显示了与时间相关的位移v（v）在这一点上A类采用IRKPM和有限元方法计算。

图7

随时间变化的位移u个在这一点上A类

图8

随时间变化的位移v（v）在这一点上A类

表2显示点的位移A类通过IRKPM和有限元法计算的不同时间，其中R（右）是相对误差。时变位移的最大相对误差u个为2.6%。时变位移的最大相对误差v（v）为2.6%。图9显示了与时间相关的应力\（西格玛{11}）在点B类.

图9

随时间变化的应力\（西格玛{11}）在这一点上B类

表2位移v（v）点的A类

5结论

结合插值再生核粒子法的形状函数和弹性动力学的虚位移原理，建立了二维问题的高阶光滑IRKPM。随后推导了算法的离散形式。

该方法与有限元方法一样，具有直接应用边界条件的优点，提高了计算效率。新方法可以更方便地直接应用于工程中。算例表明，该方法在处理二维弹性动力学问题时具有较高的精度和稳定性。