一种确定层状周期结构的新方法

摘要

本文研究穿透结构对时间谐波的逆散射。通过应用积分方程方法，我们建立了统一的\（升^{p}_{\alpha}\（1<p\leq 2）\）对应于一系列入射点源的散射波场和透射波场的估计。基于这些先验估计和一个混合互易关系，我们证明了可以通过仅在结构上方测量的由可数无穷多个准周期入射平面波诱导的散射场来唯一识别可穿透结构。

1介绍

在本文中，我们考虑了确定可穿透周期结构的逆问题\（｛\mathbb｛R｝｝^｛3｝\）根据仅在结构上方测量的分散数据。这种问题出现在各种应用中，如雷达成像、现代衍射光学和无损检测。为了方便起见，我们写了一个点x个在里面\（{\mathbb{R}}^{3}\）对于\（（\widetilde{x}，x{3}）\）具有\（宽颚化符｛x｝：=（x_｛1｝，x_｛2｝）\在｛\mathbb｛R｝｝^｛2｝\中）假设渗透剖面由

$$\开始{aligned}\Gamma:=\bigl\{x\in{\mathbb{R}}^{3}:x_{3}=f（\widetilde{x}）\bigr\}，\end{aligned}$$

哪里（f）是关于变量的周期函数x̃也就是说，\（f（widetilde{x}）=f（wide tilde{x}+2n\pi）对于\（n:=（n{1}，n{2}）在{\mathbb{Z}}^{2}\中进一步假设Γ以上和Γ以下的均匀介质描述为

$$\begin{aligned}\Omega_{+}:=\bigl\{x\in{\mathbb{R}}^{3}:x_{3}>f（\widetilde{x}）\bigr\}\quad\text{和}\quad\Omega{-}:=\ bigl\}x\in}\mathbb{R}^{3}:x_{3}<f（\widetilde\{x}）\biger\}\end{alinged}$$

带有波数\（k{1}\）和\（k{2}\）分别是。

考虑以下形式的入射平面波

$$\开始{aligned}u^{i}（x）=\exp\bigl（i\alpha_{j}\cdot\widetilde{x} -i\beta_{j}^{+}x{3}\biger），{\mathbb{Z}}^{2}中的\quad j\，\text{with}\alpha_{j{=\alpha+j，\end{aligned}$$

(1.1)

它从\（\欧米茄_{+}\）具有\（阿尔法=（阿尔法{1}，阿尔法{2}）：=k{1}（sin\theta{1}\cos\theta{2}，sin\theta{1}\sin\theta}）与入射角成正比\（[0，\pi/2中的θ{1}，[0，2\pi）、和\（{mathbb{C}}\中的\beta_{j}^{+}\）由提供

$$\开始{aligned}\beta_{j}^{+}=\sqrt{k{1}^{2}-\vert\alpha_｛j｝\vert^｛2｝｝\quad\text｛if｝\vert\alpha_｛j｝\vert\leq k_｛1｝，\qquad\beta_｛j｝^｛+｝=i\sqrt｛\vert\alpha_｛j｝\vert^{2} -k个_{1} ^{2}}\quad\text{if}\vert\alpha{j}\vert>k{1}。\结束{对齐}$$

然后是事件的分散\（u^{i}\）通过周期结构可以确定总场\（u{1}:=u^{i}+u^{s}\）用散射场\（u^{s}\）以及传输的字段\（u{2}\）以下问题：

$$\开始{对齐}&\三角形u{1}+k{1}^{2} u个_{1} =0\quad\text{in}\Omega_{+}，\end{aligned}$$

(1.2)

$$\开始{对齐}&\三角形u{2}+k{2}^{2} u个_{2} =0\quad\text｛in｝\Omega _｛-｝，\end｛aligned｝$$

(1.3)

$$\begin{aligned}&u_{1}=u_{2}，\qquad\frac{\partial u_{1\}}{\parial\nu}=\lambda\frac{\ partial u{2}}{\ parial\nu}\quad\text{on}\Gamma，\end{alinged}$$

(1.4)

$$开始{对齐}&u^{s}（x）=\sum_{n\in{\mathbb{Z}}^{2}}u_{n}^{+}\exp\bigl（i\alpha_{n{}\cdot\widetilde{x}+i\beta^{+{_{n} x个_{3} \biger），\quad x_{3}>A_{1}:=\max_{t\in{\mathbb{R}}^{2}}f（t），\end{aligned}$$

(1.5)

$$开始{对齐}&u_{2}（x）=\sum_{n\in{\mathbb{Z}}^{2}}u_{n}^{-}\exp\bigl（i\alpha_{n{}\cdot\widetilde{x} -i\β^{-}_{n} x个_{3} \biger），\quad x_{3}<A_{2}:=\min_{t\in{\mathbb{R}}^{2}}f（t）。\结束{对齐}$$

(1.6)

在这里，\（u_{n}^{pm}\在{\mathbb{C}}\中）是解决方案序列，λ是传输系数和单位法向量ν关于Γ是指向内部的\（\欧米茄_{-}\）注意入射波\（u^{i}（\cdot）\）满足这样的要求α-准周期条件\（u^｛i｝（\widetilde｛x｝+2n\pi，x_｛3｝）=e^｛i 2\alpha\cdot n\pi｝u^｛i｝（\widetilde｛x｝，x_｛3｝）\）为所有人\（在{\mathbb{Z}}^{2}\中）然后是解决方案\（u{l}，l=1,2\），也需要满足相同的要求α-准周期条件，即。，\（u{l}（\widetilde{x}+2n\pi，x{3}）=e^{i2\alpha\cdotn\pi}u{l{（\widetilde}x}，x}3}，）在里面\（{\mathbb{R}}^{3}\）.条件(1.5)以及(1.6)被称为散射场的瑞利展开条件\（u^{s}\）在里面\（\欧米茄_{+}\）和发射场\（u{2}\）在里面\（欧米茄分别使用\（\beta_{n}^{-}\）定义类似于\（\beta_{n}^{+}\）通过波数\（k{2}\）.

问题的恰当性(1.2)–(1.6)可以通过变分法（参见[31])或积分方程法（参见[32,33]). 在当前的论文中，我们首先建立了\（L_{\alpha}^{p}\（1<p\leq 2）\）散射场的估计\（u^{s}\）和发射场\（u{2}\）基于这些先验估计，我们着重于从散射场中唯一识别可穿透的周期结构\（u^｛s｝\）只在周期结构上方的直线上测量，周期结构由无数个准周期入射平面波诱导。

关于逆周期传输问题的唯一性问题有很多结果（参见[5,7,12,13,18,19,23,24,33,34])对于多边形周期结构的逆散射（参见[6,11,14]). 对于介质具有能量吸收特性的特殊情况，在[5]从二维空间中一个入射平面波的测量散射场。的结果[5]然后扩展到三维案例[2]. 值得注意的是，对于实波数情况下的逆周期问题，一个入射波的唯一性并不成立，即介质不具有能量吸收特性。另请参见[7]在结构的一些先验假设下，研究了平面波入射下光滑周期结构恢复的唯一性定理。对于事先已知光栅表面高度的先验限制的情况，可以在[18]从对应于有限数量入射平面波的多次测量中识别光滑完美反射周期结构。方法[18]扩展到了周期传输问题[13]. 在重建周期结构方面也存在一些数值方法。例如，线性抽样方法是在[20,22]用于确定部分涂层的双周期结构的形状，以及[35]介绍了一种新的线性采样方法，用于同时重建非均匀周期介质中的介质光栅结构。另请参见[10]对于有限元方法或[三,4,17]用于确定周期结构的因子分解方法，或[30]对于局部扰动无限平面的唯一重构。最近，通过使用微分采样方法，各向异性周期层可以在[25]假设周期层的补码在一个周期内是连通的。关于恢复周期层中局部扰动的采样方法的分析，请参见[16].

对于一般周期结构的散射，有几个唯一性结果。我们指的是[23]对于反狄利克雷问题的唯一性定理，以及[21,24,32]研究了利用所有准周期入射平面波求解逆传输问题的唯一性结果。参考读者[19]对于部分涂覆的完美光栅，相对于无限多点光源[34]对于二维空间中部分涂覆的完全反射光栅和周期透射情况的唯一性结果，对应于可数无穷多个准周期入射平面波。在本文中，我们打算开发一种新的方法，它不同于[34]证明了仅从结构上方的测量数据识别三维空间中可穿透周期结构对于可数无穷多个准周期入射平面波的唯一性。本文开发的技术可以追溯到这项工作[27,36]关于确定穿透性电磁障碍物支撑的逆散射问题[28]对于识别有界固体障碍物的流固耦合问题[29]对于空腔散射情况。

论文组织如下。在Sect。 2，意义上的先验估计\（L_{\alpha}^{p}\（1<p\leq 2）\）中直接散射问题解的范数\（{\mathbb{R}}^{3}\）应用积分方程方法建立。章节三研究了仅从由可数无限个准周期入射平面波产生的结构上方的测量数据唯一确定周期结构的反问题。

2先验估计

在本节中，我们利用积分方程方法建立了直接散射问题解的一些先验估计。消除事故现场\（u^{i}\），很容易发现散射场\（w{1}:=u_{1} -u个^{i} \）在里面\（\欧米茄_{+}\）和发射场\（w{2}:=u{2}\）在里面\（\欧米茄_{-}\）满足以下边值问题：

$$\开始{对齐}&\三角形w{1}+k{1}^{2} w个_{1} =0\quad\text{in}\Omega_{+}，\end{aligned}$$

(2.1)

$$\开始{对齐}&\三角形w{2}+k{2}^{2} w个_{2} =0\quad\text{in}\Omega_{-}，\end{aligned}$$

(2.2)

$$\开始{对齐}（&w）_{1} -w个_{2} =f_{1}，\qquad\frac{\partial w_{1{}{\partical\nu}-\lambda\frac{\ partial w_{2}}{\partial\nu}=f_}2}\quad\text{on}\Gamma，\end{aligned}$$

(2.3)

$$开始{对齐}&w_{1}（x）=\sum_{n\in{\mathbb{Z}}^{2}}w_{n}^{+}\exp\bigl（i\alpha_{n{}\cdot\widetilde{x}+i\beta^{+{_{n} x_{3} \biger），\quad x_{3}>A_{1}，\end{aligned}$$

(2.4)

$$开始{对齐}&w_{2}（x）=\sum_{n\in{\mathbb{Z}}^{2}}w_{n}^{-}\exp\bigl（i\alpha_{n{}\cdot\widetilde{x} -i\β^{-}_{n} x个_{3} \biger），\quad x_{3}<A_{2}\end{aligned}$$

(2.5)

一般情况下\（f_{1}，f_{2}\在L中^{p}_{\alpha}（\Gamma）\）具有\（1<p \leq 2）.\（这里，L^{p}_{\alpha}（\Gamma）（第1页）表示Γ上标量函数的Sobolev空间，假设为α-关于变量的拟周期性x̃在通常的Sobolev空间中配备了标准配置\（L^{p}（\Gamma）\）.

在继续之前，我们首先介绍本文其余部分中使用的基本符号。为了简单起见，我们使用\（\Omega _{\pm}\）和Γ再次表示限制在一个周期内的相同集合\（0<x{1}，x{2}<2\pi\）.对于每个\（h>0），表示为\（欧米茄{+}（h）：=欧米茄中的x：x{3}<A{1}+h\}）,\（欧米茄{-}（h）：=\{x\in\Omega{-}:x_{3}>A_{2} -小时\}\),\（伽马{+}（h）：=\{x\in\Omega{+}:x{3}=A{1}+h\}）、和\（伽马{-}（h）：=\{x\in\Omega{-}:x{3}=A_{2} -小时\}\)分别是。那么，让我们\（H）^{1}_{\alpha}（\Omega _{\pm}（h））和\（升^{p}_｛\alpha｝（\Omega_｛\pm｝（h））（第1页）表示上标量函数的Sobolev空间\（\Omega _{\pm}（h）\）假设为α-关于变量的准周期x̃在通常的Sobolev空间中配备了规范\（H^{1}（\Omega_{pm}（H））和\（L^{p}（\Omega_{pm}（h））分别是。让\（H^｛1/2｝_｛\alpha｝（γ_｛\pm｝（H））\）表示的跟踪空间\（H）^{1}_{\alpha}（\Omega _{\pm}（h））、和\（H^{-1/2}{\alpha}（\Gamma{\pm}（H））是的双重空间\（H^｛1/2｝_｛\alpha｝（γ_｛\pm｝（H））\）.

我们引入自由空间α-准周期格林函数

$$开始{对齐}G{1}（x，y；k{1}）=\frac{i}{8\pi^{2}}\sum{n\in{mathbb{Z}}^{2{}\frac}{1}{\beta^{+}{n}}\exp\bigl（i\alpha_{n}\cdot（\widetilde{x}-\widetilde{y}）+i\beta_{n}^{+}\vert x_{3} -年_{3} \vert\bigr），\quad x \neq y \end{对齐}$$

(2.6)

和α-准周期层势算符\（S_{1}\）,\（K_{1}\）,\（K'_{1}\）、和\（T_{1}\）由定义

$$\开始{aligned}和S_{1}\xi（x）=\int_{\Gamma}G{1}（x，y；k_{1}）\xi（y）\，ds（y），\quad x\in\Gamma，\end{aligned}$$

(2.7)

$$\begin{aligned}&K_{1}\xi（x）=\int_{\Gamma}\frac{\partial}{\partitle\nu（y）}G_{1{（x，y；K_{1neneneep）\xi$$

(2.8)

$$\begin{aligned}&K'_{1}\xi（x）=\frac{\partial}{\partical\nu（x）}\int_{\Gamma}G{1}（x，y；K_{1{）\ xi（y）\，ds（y），\quad x\in\Gamma，\end{alinged}$$

(2.9)

$$\begin{aligned}&T_{1}\xi（x）=-\frac{\partial}{\parial\nu。\结束{对齐}$$

(2.10)

注意到\（G_1}（x，y；k_1}）-\Phi（x，y；k_1{}）\）是平滑的，它是从[8]操作员\（S_{1}:H^{-\压裂{1}{2}}{{\alpha}（\Gamma）\rightarrow H^{\frac{1}}{2\alpha}（\Gamma）\）,\（K{1}:H^{\frac{1}{2}}{{\alpha}（\Gamma）\rightarrow H^{\frac{1}}{2{}}{\alfa}（\ Gamma,\（K'{j}:H^{-\frac{1}{2}}{{\alpha}（\Gamma）\rightarrow H^{-\frac}{1}}{\alfa}（\ Gamma、和\（T_{1}:H^{\压裂{1}{2}}{{\alpha}（\Gamma）\rightarrow H^{-\frac{1}}{\alfa}（\伽马）\）都是有界的，其中\（\Phi（x，y；k{1}）=\分形{1}{4\pi}\分形{e^{ik_{1}|x-y|}}{|x-y|}\）是亥姆霍兹方程的基本解\（\三角形\ Phi+k_｛1｝^｛2｝\ Phi=-\三角形_｛y｝\）在自由空间\（{\mathbb{R}}^{3}\）.

定理2.1

对于 \L中的（f_{1}，f_{2}^{p}_{\alpha}（\Gamma）\） 具有 \（1<p\leq 2\）,有一个独特的解决方案 \L中的（（w_{1}，w_{2}）^{p}_{\alpha}（\Omega_{+}（h））\乘以L^{p}_{\alpha}（\Omega_{-}（h）） 传输问题(2.1)——(2.5)满足估计

$$\开始{aligned}\Vert w_{1}\Vert_{L^{p}_{\alpha}（\Omega_{+}（h））}+\Vert w_{2}\Vert_{L^{p}_{\alpha}（\Omega_{-}（h））}\leq C\bigl（\Vert f_{1}\Vert_{L^{p}_{\alpha}（\Gamma）}+\Vert f_{2}\Vert_{L^{p}_{\alpha}（\Gamma）}\biger），\end{对齐}$$

(2.11)

哪里 \（C>0\） 是独立于 \（f{1}，f{2}\）,并且取决于 \（G_{j}（\cdot，y；k_{j{），\Omega_{+}（h）\） 具有 \（j=1,2） 和算子的有界性 \（S_{j}，K_{j}，K'_{j{，j=1,2\）,和 \（T_{2} -T型_{1}\) 在里面 \（升^{p}_{\alpha}（\Gamma）\）.

此外,如果 \L中的（f_{1}，f_{2}^{p}_{\alpha}（\Gamma）\） 具有 \（压裂{4}{3}<p\leq 2）,我们有

$$\开始{aligned}\Vert w_{1}\Vert_{L^{2}_{\alpha}（\Omega_{+}（h））}+\Vert w_{2}\Vert_{L^{2}_｛\alpha｝（\Omega_｛-｝（h））｝\leq C\bigl（\Vert f_｛1｝\Vert _｛L^{p}_{\alpha}（\Gamma）}+\Vert f_{2}\Vert_{L^{p}_{\alpha}（\Gamma）}\bigr）\end{对齐}$$

(2.12)

具有正常数 \（C>0\）,独立于 \（f{1}，f{2}\）,并且取决于 \（G_{j}（\cdot，y；k_{j{），\Omega_{+}（h）\） 具有 \（j=1,2） 和算子的有界性 \（S_{j}，K_{j}，K'_{j{，j=1,2\） 和 \（T_{2} -T型_{1}\) 在里面 \（升^{p}_{\alpha}（\Gamma）\）.

证明

我们寻求问题的解决方案(2.1)–(2.5)以单层和双层组合电势的形式

$$\begin{aligned}&w_{1}（x）=\int_{\Gamma}G_1}（x，y；k_{1{）\varphi_{1neneneep（y）\，ds（y$$

(2.13)

$$\开始{对齐}&w{2}（x）=\int_{\Gamma}G{2]（x，y；k{2}）\varphi_{1}（y）\，ds（y）+\int_\\Gamma}\frac{\partialG{2}（x，y；k{2]）}{\partical\nu（y）}\varphi_2}（y）\，bs（y），\end{aligned}$$

(2.14)

哪里\（G_2}（x，y；k_2}）\）定义为(2.6)用波数\（k{1}\）替换为\（k{2}\）.

借助层电位的跳跃关系（参见[26]对于中的案例\（L^{p}\）范数），我们得到传输问题(2.1)–(2.5)可以简化为积分方程组

$$\begin{aligned}\begin{pmatrix}\varphi{2}\\varphi}{1}\end{pmmatrix}+L\ begin}\varphi{2}\\varphi{1}\ end{pmatrix}=\ begin{pmatricx}\frac{2}{1+\lambda}f_{1}\\-\frac{2}}{1+/lambda{f_{2}\end{pmatriax}\quad\text{in}L^{p}_{\alpha}（\Gamma）\乘以L^{p}_{\alpha}（\Gamma），\end{aligned}$$

（2.15）

其中操作员L（左）由提供

$$\开始{aligned}L:=\开始{pmatrix}\frac{2}{1+\lambda}（\lambda K_{1}-K_{2}）和压裂{2}{1+\lambda}（S_{1} -S型_{2} ）\\frac｛2\lambda｝｛1+\lambda｝（T_{2} -T型_{1} ）&\压裂{2}{1+\lambda}（\lambda K'_{2} -克'_{1}）\结束{pmatrix}。\结束{对齐}$$

很容易看出(2.15)由于运算符的紧凑性，属于Fredholm类型\（S_{j}，K_{j}，K'_{j{，j=1,2\）、和\（T_{2} -T型_{1}\)在里面\（升^{p}_{\alpha}（\Gamma）\）这与散射问题的唯一性(1.2)–(1.6)，意味着(2.15)有独特的解决方案\L中的（（\varphi_{2}，\varphi_1}）^{T}^{p}_{\alpha}（\Gamma）\乘以L^{p}_{\alpha}（\Gamma）\）根据估计

$$\开始{aligned}\Vert\varphi_{2}\Vert_{L^{p}_{\alpha}（\Gamma）}+\Vert\varphi_{1}\Vert_{L^{p}_{\alpha}（\Gamma）}\leq C\bigl（\Vert f_{1}\Vert_{L^{p}_{\alpha}（\Gamma）}+\Vert f_{2}\Vert_{L^{p}_｛\alpha｝（\Gamma）｝\bigr）。\结束{对齐}$$

(2.16)

我们接下来要证明\（升^{p}_{\alpha}，1<p\leq 2）传输问题解的估计(2.1)–(2.5). 事实上，可以检查

$$\begin{aligned}和\biggl\Vert\int_{\Gamma}\Omega_{+}（h）G_{1}（\cdot，y；k_{1{）\varphi_{1neneneep（y）\，ds（y）\biggr\Vert_{L^{p}_{\alpha}（\Omega_{+}（h））}\\&\quad=\sup_{g\in L^｛q｝_{\alpha}，\Vert g\Vert_{L^{q}_{\alpha}（\Omega_{+}（h））}=1}\biggl\vert\int_{\Omega _{+{（h^{q}_{\alpha}，\Vert g\Vert_{L^｛q｝_{\alpha}（\Omega_{+}（h））}=1}\biggl\vert\int_{\Gamma}\int_{\欧米茄_{+{（h}，\垂直G\垂直_{L^{q}_{\alpha}（\Omega_{+}（h））}=1}\sup_{y\in\Gamma}\bigl\VertG_{1}（\ cdot，y；k_{1{）\bigr\Vert_{L^{p}_{\alpha}（\Omega_{+}（h））}\Vert g\Vert_{L^{q}_{\alpha}（\Omega_{+}（h））}\Vert\varphi_{1}\Vert_{L^{p}_{\alpha}（\Gamma）}\\&\quad=\vert\Gamma\vert^{\frac{1}{q}}\sup_{y\in\Gamma}\bigl\VertG{1}^{p}_{\alpha}（\Omega_{+}（h））}\Vert\varphi_{1}\Vert_{L^{p}_{\alpha}（\Gamma）}\leq C\Vert\varphi_{1}\Vert_{L^{p}_{\alpha}（\Gamma）}\end{aligned}$$

(2.17)

和

$$\begin{aligned}&\biggl\Vert\int_{\Gamma}\frac{\partial G_{1}（\cdot，y；k_{1{）}{\partical\nu（y）}\varphi_{2}（y）\，ds（y）\biggr\Vert_{L^{p}_{\alpha}（\Omega_{+}（h））}\\&\quad=\sup_{g\in L^{q}_{\alpha}，\Vert g\Vert_{L^{q}_{\alpha}（\Omega_{+}（h））}=1}\biggl\vert\int_{\Omega _{+{（h^{q}_{\alpha}，\Vert g\Vert_{L^{q}_{\alpha}（\Omega_{+}（h））}=1}\biggl\vert\int_{\Gamma}\frac{\partial}{\parial\nu（y）}\int_{\ Omega_{+}（h）}G_1}（x，y；k_1}）G（x）\，dx\varphi_{2}（y^{q}_｛\alpha｝，\垂直g \垂直_｛L^{q}_{\alpha}（\Omega_{+}（h））}=1}\biggl\Vert\frac{\partial}{\parial\nu（y）}\int_{\Omega _{+{（h^{q}_{\alpha}（\Gamma）}\Vert\varphi_{2}\Vert_{L^{p}_{\alpha}（\Gamma）}\\&\quad\leq\sup_{g\in L^{q}_{\alpha}，\Vert g\Vert_{L^{q}_｛\alpha｝（\Omega_｛+｝（h））｝=1｝C\Vert g\Vert _｛L^{q}_{\alpha}（\Omega_{+}（h））}\cdot\Vert\varphi_{2}\Vert_{L^{p}_{\alpha}（\Gamma）}=C\Vert\varphi_{2}\Vert_{L^{p}_{\alpha}（\Gamma）}\end{aligned}$$

(2.18)

具有\（\frac｛1｝｛p｝+\frac｛1｝｛q｝=1\）这里，我们使用了体积势算子有界于\（升^{q}_{\alpha}（\Omega_{+}（h））进入之内\（W^{2，q}_{\alpha}（\Omega_{+}（h））具有\（2）（请参见[15，定理9.9]），边界跟踪算子有界于\（W^{1，q}_{\alpha}（\Omega_{+}（h））进入之内\（升^{q}_{\alpha}（\Gamma）\）具有\（2）（请参见[1，定理5.36]）。值得注意的是(2.17)–(2.18)仍然适用\（G_{1}（x，\cdot；k_{1{）\）替换为\（G_2}（x，\cdot；k_2}）和\（\欧米茄{+}（h）\）替换为\（\欧米茄{-}（h）\）分别是。现在所需的估计(2.11)以下为(2.13)–(2.14)和(2.16)–(2.18). 此外，如果\L中的（f_{1}，f_{2}^{p}_{\alpha}（\Gamma）\）具有\（压裂{4}{3}<p\leq 2），通过与(2.17)–(2.18)，可以得出所需的结果(2.13). 这就完成了定理的证明。□

推论2.2

对于 \（y_{0}\in\Gamma\）,定义顺序 \（y{j}:=y_{0}-\frac{1}{j}\nu（y_{0}）\in\Omega_{+}\）,\（j\在{\mathbb{N}}\中）.让 \（（u{1j}，u{2j}）\） 是散射问题的解(1.2)——(1.6)与入射点源 \（u^{i}=G{1}（x，y{j}；k{1}）.然后,对于任何 \（{\mathbb{R}}\中的h\）,我们有

$$\开始{对齐}\Vert u_{1j}\Vert_{L^{2}_{\alpha}（\Omega_{+}（h））}+\Vertu_{2j}\Vert_{L^{2}_{\alpha}（\Omega_{-}（h））}\leqC\end{aligned}$$

(2.19)

统一用于 \（j\在{\mathbb{N}}_{+}\中）,哪里 \（C>0\） 是一个常数，取决于 \（G_｛j｝（\cdot，y；k_{j｝），\Omega_{+}（h）\） 具有 \（j=1,2）.

证明

很明显\（（（u{1j}^{s}，u{2j}）\）满足问题(2.1)–(2.5)使用边界数据

$$\开始{对齐}f_{1}（j）：=-G_{1{（x，y_{j}；k_{1neneneep），\qquad f_{2}（j）：=-\frac{\partial G_{1neneneei（x，y_{j{；k_1}）}{\parial\nu}\quad j\在{\mathbb{N}中。\结束{对齐}$$

很容易看出这一点\L中的（f_{1}（j），f_{2}（j）^{p}_{\alpha}（\Gamma）\）是一致有界的\（j\在{\mathbb{N}}\中）具有\（压裂{4}{3}<p）然后是所需的结果(2.19)遵循定理2.1这证明了推论。□

定理2.3

让 \（（u_｛1j｝，u_｛2j｝）\） 是散射问题的解(1.2)——(1.6)对应于入射点源 \（u^{i}=G{1}（x，y{j}；k{1}） 具有 \（y{j}\） 在推论中定义2.2.然后,对于任何 \（{\mathbb{R}}\中的h\）,它认为

$$\开始{对齐}\垂直u_{2j}\垂直_{H^{1}_{\alpha}（\Omega_{-}（h）\set-nuss{\overline{B}}）}\leqC\end{aligned}$$

(2.20)

统一用于 \（j\在{\mathbb{N}}_{+}\中）.在这里,\（C>0\） 是一个常数，取决于 \（G_{j}（\cdot，y；k_{j{），\Omega_{+}（h）\） 具有 \（j=1,2\） 和一致有界性 \（S_{\Gamma\集合减去{B}}（j）\） 和 \（K_{\Gamma\set-nuse-{B}}（j）\） 在相应的Hilbert空间中,B 一个球能让你满意吗 \（B\supset B_{\delta}\）,和 \（B_{\delta}\） 一个小球的中心在 \（y_{0}\） 具有半径 \（增量>0）.

证明

定义\（\波浪号{y}（y）_{j} ：=y_{0}+\frac{1}{j}\nu（y_{0}）\in\Omega_{-}\），让\（w{1}（j）：=u{1j}^{s} -G_{1} （x，\颚化符｛y｝_{j} ；k{1}）\）和\（w{2}（j）：=u{2j}\），因此\（（w{1}（j），w{2}（j））满足问题(2.1)–(2.5)使用边界数据

$$\开始{对齐}&f_{1}（j）：=-G_{1{（x，y_{j}；k_{1neneneep）-G_{1'（x，\波浪线{y}（y）_{j} ；k{1}），\\&f{2}（j）：=-\frac{\partialG{1}（x，y{j}；k{1{）}{\paratil\nu}-\frac{\particlG{1}（x，tilde{y}（y）_{j} ；k{1}）}{\部分\nu}。\结束{对齐}$$

显然，\L中的（f_{1}（j）^{p}_{\alpha}（\Gamma）\）一致有界\（j\在{\mathbb{N}}\中），其中\（1<p<2）此外，从中可以看出[9，引理4.2]\（f _{2}（j）在C（伽马）中一致有界\（j\在{\mathbb{N}}\中）.所以\L中的（f_{2}（j）^{p}_{\alpha}（\Gamma）\）是一致有界的\（j\在{\mathbb{N}}\中），其中\（1<p<2）然后，通过(2.16)在定理中2.1，我们可以得出解决方案\（（\varphi_{1}，\varphi_2}）^{T}\）第页，共页(2.15)满足

$$\开始{aligned}\Vert\varphi_{1}\Vert_{L^{p}_｛\alpha｝（\Gamma）｝+\Vert\varphi_｛2｝\Vert_｛L^{p}_{\alpha}（\Gamma）}\leq C\bigl（\Vert f_{1j}\Vert_{L^{p}_{\alpha}（\Gamma）}+\Vert f_{2j}\Vert_{L^{p}_{\alpha}（\Gamma）}\biger），\quad 1<p<2。\结束{对齐}$$

(2.21)

我们接下来证明操作员\（S_｛1j｝：L）^{p}_{\alpha}（\Gamma）\rightarrow L^{2}_{\alpha}（\Gamma\set-nuse-{B}）一致有界\（j\在{\mathbb{N}}\中），其中\（1<p<2）事实上，通过直接计算，我们可以推断出

$$\begin{aligned}&\biggl\Vert\int_{\Gamma}G_{1}（\cdot，y；k_{1{）\varphi_{1neneneep（y）\，ds（y）\biggr\Vert_{L^{2}（\ Gamma\setminus{B}）}\\&\quad=\sup_{\psi\ in L^{2}_{\alpha}，\Vert\psi\Vert_{L^{2}_{\alpha}（\Gamma\setminus{B}）}=1}\biggl\vert\int_{\Gamma\setminus{B}}\int_{\ Gamma}G_{1}（x，y；k_{1}）\varphi_{1（y）\，ds（y）\psi（x）\，dx\biggr\vert\&\quad=\sup_{psi\ in L^{2}_{\alpha}，\Vert\psi\Vert_{L^{2}_{\alpha}（\Gamma\set-muse-{B}）}=1}\biggl\vert\int_{\Gamma}\int_{\Gamma\set-muss-{B}}G_{1}（x，y；k_1}）\psi（x）\，dx\varphi_1}（y）\，ds（y）\biggr\vert\&\quad\leq\vert\Gamma\vert\vert^{frac_1}{q}}\sup_{psi\ in L^{2}_{\alpha}，\Vert\psi\Vert_{L^{2}_{\alpha}（\Gamma\set-muse-{B}）}=1}\sup_{y\in\Gamma\set-muse-}}\bigl\VertG_{1}（\ cdot，y；k_{1{）\bigr\Vert_{L^{2}_{\alpha}（\Gamma\set-nuse-{B}）}\Vert\psi\Vert_{L^｛2｝_{\alpha}（\Gamma\set-nuse{B}）}\Vert\varphi_{1}\Vert_{L^{p}_{\alpha}（\Gamma）}\\&\quad=\vert\Gamma\vert^{\frac{1}{q}}\sup_{y\in\Gamma\set-muse-{B}}\bigl\VertG{1}（\ cdot，y；k_{1}）\bigr\vert_{L^{2}_{\alpha}（\Gamma\set-muse-{B}）}\Vert\varphi_{1}\Vert_{L_{alpha}^{p}（\ Gamma）}\leq C\Vert\valphi_{1\Vert_{L^{p}_{\alpha}（\Gamma）}。\结束{对齐}$$

(2.22)

在这里，我们使用了以下事实\（G_{1}（\ cdot，y；k_{1{）\）边界平滑\（\Gamma\设置减号{B}\）在第一个不等式中。那么我们有了\（S_{1j}:L^{p}_{\alpha}（\Gamma）\rightarrow L^｛2｝_{\alpha}（\Gamma\set-nuse-{B}）一致有界\（j\在{\mathbb{N}}_{+}\中）此外，通过使用与证明(2.22)，可以看出操作员\（S_{ij}\）,\（K_{ij}\）,\（K'_{ij}\）、和\（T_{ij}\）都是一致有界的\（升^{p}_{\alpha}（\Gamma）\）进入之内\（升^{2}_{\alpha}（\Gamma\set-nuse-{B}）对于\（j\在{\mathbb{N}}_{+}\中）,\（i=1,2）。还要注意\L中的（f_{1}（j），f_{2}（j）^{2}_｛\alpha｝（\ Gamma\setminus｛B｝）\）一致有界\（j \ in｛\mathbb｛N｝｝_｛+｝\）这一点，结合方程式(2.15)，提供了唯一的解决方案\（（\varphi_{1}，\varphi_2}）^{T}\）第页，共页(2.15)满足这一点\L中的（（\varphi_{1}，\varphi_2}）^{T}^{2}_{\alpha}（\Gamma\set-nuse-{B}）\乘以L^｛2｝_{\alpha}（\Gamma\set-nuse-{B}）。从中可以看出(2.14)解决方案\（u{2j}\）变速器故障(2.1)–(2.5)可以重写为

$$开始{对齐}u_{2j}（x）={}&\int_{\Gamma\set-buse-{B}}G_{2}部分G_2}（x，y；k_2}）}{\varphi{2}（y）\，ds（y）。\结束{对齐}$$

(2.23)

定义

$$S_{\Gamma\set-muse-{B}}（j）\varphi_{1}:=\int_{\Gamma\set-mose-{B{}}G_{2}（x，y；k_{2{）\varfi_{1{（y）\，ds（y）$$

很容易看出\（S_{\Gamma\集合减号{B}}（j）：H^{-\frac{1}{2}}{\alpha}一致有界\（j\在{\mathbb{N}}\中）这与以下事实相结合：\（L中的\varphi_{1}^{2}_{\alpha}（\Gamma\set-nuse-{B}）意味着\（q_{1j}（x）：=S_{\Gamma\setminus{B}}（j）\varphi_{1}\）满足以下Dirichlet问题：

$$\开始{aligned}\textstyle\begin{cases}\三角形w+k^{2}_{2} w个=0&\text{in}\Omega_{-}\集合减号{B}，\\w=q_{1j}\在H^{frac{1}{2}}{{alpha}（tilde{Gamma}）和\text{on}\tilde{\Gamma}，\\w（x）=\sum_{n\in{mathbb{Z}}^{2}w_{n}^{-}\exp（i\alpha_{n{}\cdot\wid埃蒂尔德{x} -i\β^{-}_{n} x个_{3} ）&x{3}<A{2}，\end{cases}\displaystyle\end{aligned}$$

（2.24）

哪里\（\tilde{\Gamma}=（\Gamma\set-nuse-{B}）\cup（\partialB\cap\Omega_{-}）\）然后是Dirichlet问题的适定性(2.24)对于任何\（{\mathbb{R}}\中的h\）,\（H^{1}中的q_{1j}（\Omega_{-}（H）\setminuse\overline{B}}）统一用于\（j\在{\mathbb{N}}_{+}\中）.

我们现在定义

$$q_{2j}（x）：=\int_{\Gamma\cap B}G_{2}（x，y；k_2}）\varphi_{1}（y）\，ds（y）$$

自该地区\（\Omega_{-}\set-nuse-{B}\）与…有正距离\（y_{0}\），发现\（q_{2j}（x）在H^{1}中（\Omega_{-}（H）\set-nuse{\overline{B}}）统一用于\（j\在{\mathbb{N}}_{+}\中）。我们进一步定义

$$K{\Gamma\set-muse-{B}}（j）\varphi_{2}:=\int_{\Gamma\set-mose-{B{}}\frac{\partialG{2}（x，y；K_{2{）}{\parial\nu（y）}\varphi_2}（y）\，ds（y）$$

显然，\（K_{\Gamma\集合减号{B}}（j）：H^{-\frac{1}{2}}{\alpha}一致有界\（j\在{\mathbb{N}}_{+}\中）然后，根据事实\L中的（\varphi_{2}^{2}_{\alpha}（\Gamma\set-nuse-{B}），我们得到\（q_{3j}（x）：=K_{\Gamma\set-muse-{B}}（j）\varphi_{2}\）满足Dirichlet问题(2.24)，使用边界数据\（w=q{1j}\）替换为\（w=q{3j}\）关于Γ̃。然后使用与证明中类似的参数\H中的（q_{1j}^{1}_{\alpha}（\Omega_{-}（h）\set-nuss{\overline{B}}）收益\H中的（q_{3j}^{1}_{\alpha}（\Omega_{-}（h）\set-nuss{\overline{B}}）统一用于\（j\在{\mathbb{N}}_{+}\中）。我们还定义

$$q_{4j}（x）：=\int_{\Gamma\cap B}\frac{\partial G_{2}（x，y；k_{2{）}{\parial\nu（y）}\varphi_{2neneneep（y）\，ds（y）$$

的一致有界性\H中的（q_{4j}^{1}_｛\alpha｝（\Omega_｛-｝（h）\setminus｛\overline｛B｝）\）对于\（j\在{\mathbb{N}}_{+}\中）可以从区域之间的正距离得出结论\（（\Omega_{-}（h）\set-nuse-{上划线{B}}）\）和\（y_{0}\）最后，得到了预期的结果(2.20)来自以下讨论(2.24). 定理的证明就这样完成了。□

三反问题的唯一性

在本节中，我们主要关注通过从周期界面一侧测量的近场数据确定周期界面的反问题。为了解决这个问题，我们首先引入入射平面波之间的混合互易关系(1.1)和入射点源(2.6). 为了实现这一点，我们让\（\hat{\alpha}:=-\alpha\）并考虑位于\（z\in\Omega_{+}\）采取形式

$$开始{对齐}G{1}（x，z；k{1}）=\frac{i}{8\pi^{2}}\sum{n\in{mathbb{z}}^{2{}\frac{1}{hat{beta}^{+}{n}}\exp\bigl（i\hat{alpha}_{n}\cdot（\widetilde{x}-\widetilde{z}）+i\hat{beta}^{+}{n}\vertx_{3} -z（-z）_{3} \vert\bigr），\quad x\neq z\end{对齐}$$

(3.1)

使用系数\（\hat{\alpha}{n}，\hat}\beta}{n{^{+}）由定义\（阿尔法{n}，贝塔{n}^{+}）具有α替换为α̂分别是。然后是入射点源的逆散射\（G_{1}（\ cdot，z；k_{1{）\）通过两层周期性界面可以公式化为α̂-准周期问题：

$$\开始{对齐}&\三角形\hat{v}（v）_{1} +k_{1}^{2}\hat{v}（v）_{1} =0\quad\text{in}\Omega_{+}\setminus\{z\}，\end{aligned}$$

(3.2)

$$\开始{对齐}&\三角形\hat{v}（v）_{2} +k_{2}^{2}\hat{v}（v）_{2} =0\quad\text{in}\Omega_{-}，\end{aligned}$$

(3.3)

$$\开始｛对齐｝&\帽子{v}（v）_{1} =\帽子{v}（v）_{2} ，\qquad\frac{\partial\hat{v}（v）_{1} }{\partial\nu}=\lambda\frac{\paratil\hat{v}（v）_{2} }{\partial\nu}\quad\text{on}\Gamma，\end{aligned}$$

(3.4)

$$\begin｛aligned｝&&hat｛v｝^｛s｝（x）=\sum_｛n｝in｛\mathbb｛Z｝｝^｛2｝｝\hat{v}（v）_{n} ^{+}\exp\bigl（i\hat{\alpha}_{n}\cdot\widetilde{x}+i\hat{\beta}^{+{_{n} x个_{3} \biger），\quad x_{3}>A_{1}，\end{aligned}$$

(3.5)

$$\开始{aligned}&\hat{v}（v）_{2} （x）=\sum_{n\in{mathbb{Z}}^{2}}\hat{v}（v）_{n} ^{-}\exp\bigl（i\hat{\alpha}_{n}\cdot\widetilde{x} -i\帽子{\beta}^{-}_{n} x个_{3} \较大），\四个x_{3}<A_{2}。\结束{对齐}$$

(3.6)

这里，两个\（\帽子{v}（v）_{1}\)在里面\（\欧米茄_{+}\）和\（\帽子{v}（v）_{2}\)在里面\（\欧米茄_{-}\）满足α̂-准周期条件

$$\开始{aligned}\hat{v}（v）_{j} （\widetilde{x}+2n\pi，x{3}）=e^{i2\hat{alpha}\cdotn\pi}\hat{v}（v）_{j} （\widetilde{x}，x{3}），\quad j=1,2。\结束{对齐}$$

此外，我们写散射场\（hat｛v｝^｛s｝（\cdot，z）：=hat{v}（v）_{1} （\cdot，z）-G{1}（\cdop，z；k{1}）表示波场与点源位置的相关性\（v（\cdot；m）\）和\（u^{s}（\cdot；m）\）是问题的分散解决方案(1.2)–(1.6)相对于入射波\（u^{i}（x；m）=\exp（i\alpha_{m}\cdot\widetilde{x} -i\β_｛m｝^｛+｝x_｛3｝），m\in｛\mathbb｛Z｝｝^｛2｝\）因此，我们有以下混合互易关系（为了证明，我们参考[34，引理4.1]）。

引理3.1

对于 \（z_{0}\在\Omega_{+}\中）,让 \（帽子{v}（v）_{n} ^{+}（z_{0}）\） 是的瑞利系数 \（\帽子{v}（v）_{1} ^{s}（\cdot；z_{0}）.那就这样了

$$\开始{aligned}u{1}^{s}（z{0}；m）=-8\pi^{2} 我\帽子{\beta}_{-m}^{+}\hat{v}（v）_{-m}^{+}（z_{0}）\quad\textit{forall}m\in{mathbb{z}}^{2}。\结束{对齐}$$

(3.7)

现在我们可以为我们的反问题提出一个唯一性定理。证明主要取决于Sect.中建立的先验估计。 2以及在一个足够小的域中构造一个适定的传输问题。

定理3.2

让 \（u{1}^{s}（\cdot；m）\） 和 \（\widetilde{u}_{1} ^{s}（\cdot；m）\） 是对应于问题的分散场(1.2)——(1.6)关于不同的bi-周期性界面Γ和Γ̃,分别地,由同一入射场引起 \（u^{i}（x；m）=\exp（i\alpha_{m}\cdot\widetilde{x} -i\β_｛m｝^｛+｝x_｛3｝），m\in｛\mathbb｛Z｝｝^｛2｝\）.如果 \（u{1}^{s}（\cdot；m）|{\Gamma{+}（h）}=\widetilde{u}_{1} ^{s}（\cdot；m）|_{\Gamma_{+}（h）}\） 所有事故现场 \（u^{i}（x；m）m\在{\mathbb{Z}}^{2}\中）,那么我们有 \（\Gamma=\widetilde{\Gamma}\）.

证明

我们将用矛盾来证明这一主张。相反地假设\（\Gamma\neq\widetilde{\Gamma}\）.在不失一般性的情况下，我们可以选择一个点\（z^{*}\在\Gamma\setminus\widetilde{\Gamma}\中）让人满意\（f（\widetilde{z}^{*}）>\widetelde{f}（\wide tilde{z}^{*}）\）具有\（z^｛*｝=（\宽波浪号｛z｝^｛*｝，z_｛3｝）\）然后我们定义序列

$$\begin{aligned}z{j}:=z^{*}-\frac{\delta}{j}\nu\bigl（z^{}\bigr）\quad\text{for}j=1,2，\ldots\cdots\end{aligned}$$

(3.8)

足够小的\（增量>0）这样的话\（B_{\varepsilon_{0}}（z^{*}）中的z_{j}为所有人\（j\在{\mathbb{N}}_{+}\中），其中\（B_｛\varepsilon\｛0｝｝（z ^｛*｝）\）是一个以\（z^{*}\）半径为\（\varepsilon_{0}>0\）.

让\（（\帽子{v}（v）_{1} （\cdot；z{j}），\hat{v}（v）_{2} （\cdot；z{j}））和\（（\hat{\widetilde{v}}{1}（\cdot；z{j}），\hat}\widetilde{v}{2}（\ cdot；z{j}））是问题的解决方案(3.2)–(3.6)对应于相同的α̂-准周期入射点源\（\hat{v}^{i}=\ hat{G}（\cdot，z_{j}）\）具有\（z{j}\）由定义(3.8). 然后从引理得到3.1那个

$$\开始｛对齐｝u_｛1｝^｛s｝（z_｛j｝；m）=-8\pi^{2} 我\帽子{\beta}_{-m}^{+}\hat{v}（v）_{-m}^{+}（z{j}）\quad\text{和}\quad_widetilde{u}_{1} ^{s}（z{j}；m）=-8\pi^{2} 我\hat{\beta}_{-m}^{+}\hat}\widetilde{v}}_{-m}^{++（z{j}）\end{aligned}$$

(3.9)

为所有人\（m\in｛\mathbb｛Z｝｝^｛2｝\），其中\（\帽子{v}（v）_{-m}^{+}（z{j}）和\（{\widetilde{v}}{-m}^{+}（z{j}））表示散射场的瑞利系数\（{v}^{s}（\cdot；z{j}））和\（宽波浪号｛v｝｝^｛s｝（\cdot；z_｛j｝）\）分别是。假设\（u{1}^{s}（\cdot；m）|{\Gamma{+}（h）}=\widetilde{u}_{1} ^{s}（\cdot；m）|_{\Gamma_{+}（h）}\）所有事故现场\（u^{i}（x；m）m\在{\mathbb{Z}}^{2}\中），我们就到了\（\帽子{v}（v）_{-m}^{+}（z{j}）=\hat{\widetilde{v}}{-m}^{+{,\（m\在{\mathbb{Z}}^{2}\中）结合瑞利展开和唯一延拓原理，这意味着

$$\开始{aligned}\hat{v}（v）_{1} （\cdot；z_{j}）=\hat{\widetilde{v}}_{1}（\cdot:z_{j}）\quad\text{in}\Omega^{+}\cap\widetelde{\Omega}^{+{end{aligned}$$

(3.10)

为所有人\（j\在{\mathbb{N}}_{+}\中）.

表示\（D_{0}:=B_{\varepsilon_{0{}}（z^{*}）\cap\Omega^{-}\）足够小的\（\varepsilon_{0}>0\）这样的话\（D_{0}\subseteq（\Omega_{-}\cap\widetilde{\Omega}_{+}）.让\（U{j}:=\hat{\widetilde{v}}{1}（\cdot；z{j}）\）和\（W_{j}:=\hat{v}（v）_{2} （\cdot；z{j}）\），可以观察到\（（U_{j}，W_{j{）\）满足以下改进后的内部变速器问题：

$$\开始{aligned}\textstyle\begin{cases}\triangle U_{j} -U型_{j} =g_{1，j}&\text{in}D_{0}，\\三角形W_{j} -西_{j} =g_{2，j}&\text{in}D_{0}，\\U_{j} -西_{j} =h｛1，j｝&&\text｛on｝\partial D_｛0｝，\\\\frac｛\partial U_｛j｝｝｛\partial \U｝-\lambda\frac｛\partial W_｛j｝｝｛\partial \U｝=h｛2，j｝&&\text｛on｝\partial D_｛0｝\end｛cases｝\displaystyle\end｛aligned｝$$

(3.11)

使用正确的术语和边界数据

$$开始{对齐}&g{1，j}:=-\bigl（k{1}^{2}+1\biger）{v}（v）_{2} （\cdot；z{j}），\\&h{1，j}:=\hat{\widetilde{v}}{1}（\cdot:z{j{）-\hat{v}（v）_{2} （\cdot；z{j}），\qquad h{2，j}:=\frac{\partial\hat{\widetilde{v}}{1}{v}（v）_{2} （\cdot；z{j}）}{\partial\nu}。\结束{对齐}$$

很明显，有一点\（h{1，j}=h{2，j}\）在\（\部分D_{0}\cap\Gamma\）.自\（Z^{*}\）与Γ̃有正距离，我们得到\（H^{1}（D_{0}）中的{\widetilde{v}}^{s}（\cdot；z_{j}））全体一致\（j\在{\mathbb{N}}_{+}\中）.鉴于以下事实\（L^{2}（D_{0}）中的{G}（\cdot，z_{j}）全体一致\（j\在{\mathbb{N}}_{+}\中），推断出\（L^{2}（D_{0}）中的g_{1，j}）全体一致\（j\在{\mathbb{N}}_{+}\中）.的一致有界性\（g{2，j}\）在里面\（L^{2}（D_{0}）\）为所有人\（j\在{\mathbb{N}}_{+}\中）是推论的直接结果2.2第节。 2此外，争论与[36，定理2.9]，其中一个推导自以下事实\（h{1，j}=h{2，j}\）在\（\部分D_{0}\cap\Gamma\）那个\（h^{1/2}（部分D_{0}）中的（h_{1，j}）和\（h^{-1/2}（部分D_{0}）中的（h_{2，j}），分别统一用于所有\（j\在{\mathbb{N}}_{+}\中）因此，通过问题的适定性(3.11)，我们有

$$\begin{aligned}\bigl\Vert\hat{G}（\cdot，z_{j}）\bigr\Vert_{H^{1}（D_{0}）}-\bigl\ Vert\hat{widetilde{v}}^{s}j}）\bigr\Vert_{H^{1}（D_{0}$$

然而，上述不平等是一个矛盾，因为\（\|\hat{\widetilde{v}}^{s}（\cdot；z_{j}）\|_{H^{1}（D_{0}）}\）一致有界且\（\|\hat{G}（\cdot，z_{j}）\|_{H^{1}（D_{0}）}\to\infty\）作为\（j至信息）因此，有人得出结论认为\（\Gamma=\widetilde{\Gamma}\）。这就完成了定理的证明。□