关键非局部问题的集中解

摘要

在本文中，我们处理了一类分数临界问题。在适当的假设下，我们利用Lyapunov–Schmidt约化方法导出了一个集中在Robin函数临界点的正解的存在性。与以往的工作相比，由于非局部项的存在，我们遇到了一些新的挑战。通过对非局部项进行精细估计，我们克服了困难，找到了冒泡解。

1介绍

本文研究了以下涉及分数谱Laplacian和临界指数的椭圆方程的解：

$$\begin{aligned}\textstyle\begin{cases}（-\Delta）^{s}u=\vert u\vert^{2_{s}^{*}-2}u+\lambda u，\quad u>0，&x\in\varOmega，\\u=0，&x \in\partial\varOmega，\end{casesneneneep \displaystyle\end{alinged}$$

(1.1)

哪里\（0<s<1）,\（2_{s}^{*}=\压裂{2N}{N-2s}\）,Ω是的光滑有界域\（\mathbb{R}^{N}\）.\（（-\增量）^{s}\）表示分数拉普拉斯算子，以及\（\lambda_{1}（\varOmega）\）是的第一个特征值\（（-\增量）^{s}\）在里面ΩDirichlet边界数据为零。

拉普拉斯算子的分数幂\（（-\增量）^{s}\）出现在不同领域，包括物理、生物建模和数学金融；参见[6,7,12]. 分数阶拉普拉斯算子的一个重要性质是它的非局部性质，这使得它很难处理。卡法雷利和西尔维斯特提出了一种新方法，可以将非局部问题转换为局部问题[8]. 许多研究人员研究了方程的非线性问题(1.1)基于这些扩展，允许它使用变分方法。更准确地说，对于亚临界指数，Dipierro等人证明了[13]. 最近，王和周[27]他们还考虑了次临界情况，利用Brouwer度理论和变分方法得到了径向符号变换解的存在性。在[30]作为紧致性结果的应用，Yan等人获得了无穷多个解。对于方程式\（（-\增量）^{s}=u^{q}\）超临界指数\（q\geq\frac｛N+2s｝｛N-2s｝\），在中证明了解的不存在[三,25,26]其中一个使用了Pohozaev类型的身份。含有分数阶拉普拉斯算子的偏微分方程引起了许多研究者的关注；参见示例[2,5,6,8,14,15,17,18,22,23,29]以及其中的参考文献。

模拟问题(1.1)拉普拉斯算子近年来得到了广泛的研究；参见[1,4,6,11,28]以及其中的参考文献。对于\（s=1），方程变成了Brezis–Nirenberg问题

$$\begin{aligned}\textstyle\begin{cases}-\Delta u=u^{\frac{N+2}{N-2}}+\lambda u，\quad u>0，&x\in\varOmega，\\u=0，&x \in\partial\varOmega。\结束{cases}\displaystyle\end{aligned}$$

(1.2)

雷伊[20]构造了一组在Robin函数的非退化临界点渐近爆破的解。此外，该结果在[19]，其中Musso和Pistoia获得了某些域的多峰解的存在性。在[4]，Brezis和Nirenberg考虑了问题正解的存在性(1.1)带有\（s=1）众所周知，Sobolev嵌入\（H_{0}^{1}（\varOmega）\hookrightarrow L^{2^{*}}（\ varOmeca）\）不紧凑，即使Ω有界。在[16]提出了一个浓度-紧性原理来处理非紧临界变分问题。在中找到了全局紧度结果[24]它精确地描述了临界半线性椭圆问题的紧性障碍。

本文的目的是研究当\（p=\压裂{N+2s}{N-2s}\）是临界Sobolev指数\（\lambda>0）接近于零。使用变分方法和Lyapunov–Schmidt约简，我们证明了方程(1.1)允许正解集中在Robin函数的临界点。然而，由于分数阶拉普拉斯算子是非局部的，因此关于分数阶拉布拉斯算子的研究很少。我们指出，我们在论文中采用了分数拉普拉斯算子在有界情况下的谱定义，并具有Caffarelli–Silverstre型扩展[9]而不是积分定义。我们指的是[21]比较一下这两个不同的概念。

我们设置分数Sobolev空间\（H_{0}^{s}（\varOmega）\）(\（0<s<1）)由

$$H_{0}^{s}（\varOmega）=\Biggl\{u=\sum_{k=1}^{infty}a_{k}\phi_{k{在L^{2}中（\varO mega）：\sum_{k=1}^{infty}a_{k}^{2{\lambda_{kneneneep ^{s{<\infty\Biggr}$$

这是一个希尔伯特空间，其内积由

$$\Biggl\langle\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}\phi_{k{，\sum_{k=1}^{\finty}b_{kneneneep \phi_}k}\Biggr\rangle_{H_{0}^{s}（\varOmega）}=\sum_}k=1}_{k} b条_{k} 在H_{0}^{s}（\varOmega）中，\lambda_{k}^{s}\quad\text{if}\sum_{k=1}^{\infty}a{k}\phi{k}，\sum_{k=1}^{\ infty{b{k}\fhi{k}\$$

此外，对于中的函数\（H_{0}^{s}（\varOmega）\），我们将分数拉普拉斯定义为

$$（-\Delta）^{s}\Biggl（\sum_{k=1}^{infty}a_{k}\phi_{kneneneep \Biggr）=\sum_{k=1}^{\infty{a_{k}\lambda_{k{^{sneneneep \phi_}k}$$

我们还考虑平方根\（（-\Delta）^{\frac{s}{2}}:H_{0}^{s}（\varOmega）\rightarrow L^{2}（\ varOmeca）\）注意，根据上述定义，我们有

$$\langle u，v\rangle_{H_{0}^{s}（\varOmega）}=\int_{\varOmega}（-\Delta）^{\frac{s}{2}}u\cdot（-\Delta）^\\frac{s2}}v\，dx=\int_{\varO mega}（-\ Delta）^{s} u个\cdot v\，dx\quad\text{表示H_{0}^{s}（\varOmega）中的}u，v\$$

(1.3)

如果域Ω是整个空间\（\mathbb{R}^{N}\），空间\（H^{s}（\mathbb{R}^{N}）\）(\（0<s<1）)表示为

$$H^｛s｝\bigl（\mathbb｛R｝^｛N｝\bigr）=\ biggl \｛u \ in L^｛2｝\bigl（\mathbb｛R｝^｛N｝\bigr）：\ Vert u \ Vert _｛H^｛s｝（\mathbb｛R｝^｛N｝）｝：=\ biggl（\ int _｛\mathbb｛R｝^｛N｝｝｝）\ bigl \ Vert｛u｝（\ xi）\ bigr ^｛2｝\，d\xi\biggr）^｛\frac｛1｝｛2｝｝<\infty\biggr\｝$$

哪里û表示的傅里叶变换u个，和分数拉普拉斯算子\（（-\增量）^{s}\）定义为

$$\widehat{（-\Delta）^{s} u个}（xi）=\vert2\pi\xi\vert^{2s}\hat{u}（\xi）$$

定义1.1

对于函数\（u\在H_{0}^{s}（\varOmega）中\），我们表示它的s调和扩张\（w=E_{s}（u）\）至气缸\（\mathcal{C}\）作为问题的解决方案

$$\begin{aligned}\textstyle\begin{cases}\operatorname{div}（t^{1-2s}\nablaw）=0，&\text{in}\mathcal{C}，\\w=0，&\text{on}\partial_{L}\mathcal{C{，\\w（x，0）=u（x），&\text{on}x\in\varOmega\times\{0\}，\end{cases{\displaystyle\end{aligned}$$

(1.4)

和

$$\开始{对齐}（-\增量）^{s} u个（x） =-k_{s}\lim_{y\rightarrow0^{+}}y^{1-2s}\frac{\partialw}{\paratily}（x，y），\end{aligned}$$

哪里\（k_{s}=2^{1-2s}\varGamma（1-s）/\varGamma（s）\）是一个归一化常数。

扩展函数\（w（x，y）\）属于空间

$$开始{对齐}H_{0，L}^{1}（\mathcal{C}）：=上划线{C_{0}^{\infty}\bigl（\varOmega\times[0，\infty）\bigr$$

被赋予了规范

$$\begin{aligned}\Vert w\Vert _{H_{0，L}^{1}（\mathcal{C}）}=\biggl（k_{s}\int_{\mathcal{C}}y^{1-2s}\Vert\nabla w\Vert^{2}\，dx\，dy\biggr）^{\frac{1}{2}}。\结束{对齐}$$

扩展运算符是一个等距\（H_{0}^{s}（\varOmega）\）和\（H_｛0，L｝^｛1｝（\mathcal｛C｝）\），即

$$\begin{aligned}\Vert u\Vert_{H_{0}^{s}（\varOmega）}=\bigl\Vert E_{s}-（u）\bigr\Vert _{H_0，L}^{1}（\ mathcal{C}）}\quad\text{代表H_0}^{s}中的所有}u\。\结束{对齐}$$

根据这个定义，我们看到了问题(1.1)是分数Laplacian的Brezis–Nirenberg型问题。处理非局部问题(1.1)，我们将研究相应的可拓问题；我们建议读者参考[2,三,22]以及其中的参考文献。因此，非局部问题(1.1)可以重新表述为以下局部问题：

$$\begin{aligned}\textstyle\begin{cases}\operatorname{div}（t^{1-2s}\nabla v）=0，&\text{in}\mathcal{C}，\\v=0，&\text{on}\partial_{L}\mathcal{C{，\\lim_{y\rightarrow0^{+}y^{1-2-s}\frac{\partial v}{partial\nu}=vert v（x，0）\vert^{2_{s}^{*}-2}v（x，0）+\lambdav（x、0），&\text{on}\varOmega\times\{0\}，\end{cases}\显示样式\结束{对齐}$$

(1.5)

哪里\（\分数{\部分}{\部分\nu}\）是的向外法向导数\（\部分\数学{C}\）。扩展运算符是介于\（H_{0}^{s}（\varOmega）\）和\（H_｛0，L｝^｛1｝（\mathcal｛C｝）\），即

$$\begin{aligned}\Vert u\Vert_{H_{0}^{s}（\varOmega）}=\Vert v\Vert _{H_0，L}^{1}（\ mathcal{C}）}\quad\text{代表H_0}^{s}中的所有}u\。\结束{对齐}$$

(1.6)

因此，功能的关键点

$$开始{对齐}I（v）=\frac{1}{2C{s}}\int_{\mathcal{C}y^{1-2s}\vert\nabla v\vert^{2}\，dx\，dy-\frac}1}{2_{s}^{*}}\int _{\varOmega\times\{0\}}\vert v\vert ^2_{s2}，dx-\frac\\lambda}{2}\int_{\varOmega\times\{0\}}\vert v\vert^{2}\，dx\end{aligned}$$

定义于\（H_｛0，L｝^｛1｝（\mathcal｛C｝）\）对应于的解(1.5). 在不失一般性的情况下，我们可以假设\（C_{s}=1\）.

现在我们介绍格林函数\（（-\增量）^{s}\）使用Dirichlet边界条件

$（-\增量）^{s} G公司（cdot，y）=\delta_{y}\quad\text{in}\varOmega\quad_text{和}\quad G（\cdot，y）=0\quad\\text{on}\partial\varOmega$$

的常规部分G公司由提供

$$H（x，y）=\frac{a_{N，s}}{\vert x-y\vert^{N-2s}}-G（x，y）\quad\text{其中}a_{N，s}=\frac{1}{\VertS^{N-1}\vert}\frac}2^{1-2s}\varGamma$$

对角线部分τ函数的H（H）即，\（τ（x）：=H（x，x））对于\（x\英寸\varOmega\）被称为Robin函数，它对我们的问题起着至关重要的作用。

定理1.2

假设 \（0<s<1）和 \（N>4秒\）,该方程有一个气泡解，它集中在Robin函数的局部极小值.

本文组织如下。在Sect。 2，我们研究分数拉普拉斯函数的格林函数的正则性，并给出一些估计。在Sect。 三，使用Lyapunov–Schmidt归约方法，我们证明了主要定理。我们在附录中展示了构造浓缩溶液的一些必要计算。

2一些初步情况和估计

在下面的引理中，我们列出了一些相关的不等式[三].

引理2.1

对于任何 \（1 \leqr \leq2_{s}^{*}\）以及任何 \（z\在H_{0，L}^{1}（\mathcal{C}）中\）,我们有

$$\begin{aligned}\biggl（\int_{\varOmega}\bigl\vert u（x）\bigr\vert^{r}\，dx\biggr）^{\frac{2}{r}}\leq C\int_}\mathcal{C}}y^{1-2s}\bigl\vert\nabla z（x，y）\bigr\vert^2\，dx\，dy，\quad u=\operatorname{Tr}（z），\end对齐}$$

(2.1)

对于某些正常数 \（C=C（r，s，N，\varOmega））.

什么时候？\（r=2_{s}^{*}\），中的最佳常数(2.1)表示为\（S（S，N）\）也就是说，

$$\begin{aligned}S（S，N）：=\inf_{z\in H_{0，L}^{1}（\mathcal{C}）\setminus \{0\}}\frac{\int_{\mathcal{C}}y^{1-2s}\vert\nabla z（x，y）\vert^{2}\，dx\，dy}{（\int_{\varOmega}\vert z（x、0）\vert ^2_{S}^{*}}\，dx）^{\frac{2}{2_{S}^{*}}}}，\end{aligned}$$

(2.2)

哪里\（S（S，N）\）为实现\（\varOmega=\mathbb{R}^{N}\）按功能\（U_{x，\mu}\）它们是的s谐波扩展\（u{x，\mu}\），其中

$$u_{x，\mu}=a_{N，s}\biggl（\frac{\mu}{1+\mu^{2}\vert x-x_{\lambda}\vert^{2{}\bigr）^{\frac}N-2s}{2}}$$

让\（U（x）=（1+|x|^{2}）^{\压裂{2s-N}{2}}\）然后让\（\mathcal{W}\）是的延伸U型.然后

$$\开始{对齐}\mathcal{W}（x，y）=E_{s}（U）=c_{N，s}\int_{\mathbb{R}^{N}}\frac{U（z）\，dz}{（\vertx-z\vert^{2}+y^{2{）^{\frac}N+2s}{2}}}\end{aligned}$$

是分数Sobolev不等式的极值函数(2.2). 常量\（\数学{S}（S，N）\）取精确值

$$\boot｛aligned｝\mathcal｛S｝（S，N）=\frac｛2\pi^｛S｝\varGamma（1-S）（\varGamma（\frac｛N｝｛2｝））^｛\frac｛2s｝｛N｝｝｝｝｛\varGamma（S）\varGamma（\frac｛N-2s｝｛2｝）（\varGamma（N））^｛S｝｝｝。\结束{对齐}$$

结果表明，如果施加适当的衰减假设，那么\（\{u_{x，\mu}:\mu>0，x\in\mathbb{R}^{N}\}\）是问题的所有解决方案的集合

$（-\增量）^{s} u个=u^{p}，\quad u>0\text{in}\mathbb{R}^{N}\quad\text{和}\quad\lim_{|x|\rightarrow\infty}u（x）=0$$

我们使用\D^{s}（\mathbb）中的（U_{x，\mu}{右}_{+}^{N+1}）\）表示的s调和扩张\（u{x，\mu}\），所以\（U_{x，\mu}\）解决

$$\开始{aligned}\textstyle\begin{cases}\operatorname{div}（t^{1-2s}U_{x，\mu}（x，t））=0，&（x，t）\in\mathbb{R}^{N+1}_{+}，\\U_{x，\ mu}。\结束{cases}\displaystyle\end{aligned}$$

(2.3)

现在我们在s-调和扩张算子的情况下引入格林函数。让G公司是分数拉普拉斯算子的格林函数\（（-\增量）^{s}\）Dirichlet边界条件为零。那么它可以被视为格林函数的轨迹\（G{\mathcal{C}}=G{\mathcal{C}}（z，x）\）满足以下条件的扩展Dirichlet–Neumann问题

$$\begin{aligned}\textstyle\begin{cases}\operatorname{div}（t^{1-2s}\nabla G{\mathcal{C}}（\cdot，x））=0，&\text{in}\mathcal{C}，\\G{\mathcal{C}}^{s} G公司_{\mathcal{C}}（\cdot，x）=\delta_{x}，&\text{on}\varOmega\times\{0\}。\结束{cases}\displaystyle\end{aligned}$$

(2.4)

事实上，如果一个函数W公司在里面\（\mathcal{C}\）解决

$$\begin{aligned}\textstyle\begin{cases}\operatorname{div}（t^{1-2s}\nabla W）=0，&\text{in}\mathcal{C}，\\W=0，&\text{on}\partial_{L}\mathcal{C{，\\partial_{nu}^{s} W公司=g，&\text{on}\varOmega\times\{0\}，\end{cases}\displaystyle\end{aligned}$$

(2.5)

对于某些功能克在\（\varOmega\次\{0\}\），然后我们可以看到W公司具有表达式

$$W（z）=\int_{\varOmega}G_{\mathcal{C}}（z，y）G（y）\，dy=\int_{\varO mega}G_{\ mathcal}C}}（z，y）（-\Delta）^{s} w个（y） \，dy，\quad z\in\mathcal{C}$$

哪里\（w=tr|_{\varOmega\times\{0\}}w\）然后，通过堵塞\（z=（x，0）\）在上述等式中，我们得到

$$w（x）=\int_{\varOmega}G_{\mathcal{C}}\bigl（（x，0），y\bigr）（-\Delta）^{s} w个（y） \、dy、$$

这意味着\（G_{\mathcal{C}}（（x，0），y）=G（x，y）\）对于任何\（x，y\ in \ varOmega \）.

格林函数\（G_{\mathcal{C}}\）在半缸上\（\mathcal{C}\）可以划分为奇异部分和正则部分。单个部分是

$$\开始{aligned}G_{mathbb{右}_{+}^{N+1}}\bigl（（x，t），y\bigr）：=\frac{a_{N，s}}{\vert（x-y，t）\vert^{N-2s}}，\end{aligned}$$

这满足了

$$\开始{aligned}\textstyle\begin{cases}\operatorname{div}（t^{1-2s}\nabla_{x，t}G_{mathbb{右}_{+}^{N+1}}（（x，t），y）=0，&\text{in}\mathbb{右}_{+}^{N+1}，\\部分_{nu}^{s} G公司_{\mathbb{右}_{+}^{N+1}}（（x，0），y）=\delta_{y}（x），&\text{on}\varOmega\times\{0\}。\结束{cases}\displaystyle\end{aligned}$$

(2.6)

在本节中，我们将证明定理1.2通过将Lyapunov–Schmidt约化方法应用于扩展问题

$$\begin{aligned}\textstyle\begin{cases}\operatorname{div}（t^{1-2s}\nabla v）=0，&\text{in}\mathcal{C}=\varOmega\times（0，\infty），\\v=0，&\text{on}\partial_{L}\mathcal{C{=\partial \varOmega\timers（0，\ infty^{s} v（v）=v^{p}+\lambdav，&\text{on}\varOmega\times\{0\}，\end{cases}\displaystyle\end{aligned}$$

(2.7)

哪里\（0<s<1）和\（p=\压裂{N+2s}{N-2s}\）我们记得\（u{x，\mu}\）和\（U_{x，\mu}\）定义于(2.3). 众所周知，线性化方程的有界解空间

$$\开始{对齐}（-\Delta）^{s}\phi=pu_{x，\mu}^{p-1}\phi\quad\text{in}\mathbb{R}^{N}\end{aligned}$$

(2.8)

跨距为

$$\begin{aligned}\frac{\partial u_{x，\mu}}{\ partial x_{1}}，\ldots，\frac}\partialu_{x，\mu}{\partic x_{N}}\ quad\text{和}\quad\frac{partial u{x，\ mu}}{\platial\mu}，\ end{alinged}$$

(2.9)

哪里\（x=（x_{1}，\ldots，x_{N}）\）表示中的变量\（\mathbb{R}^{N}\）根据Dávial、del Pino和Sire的结果[10]，也就是说

$$\开始{aligned}\textstyle\begin{cases}\operatorname{div}（t^{1-2s}\nabla\varPhi）=0，&\text{in}\mathbb{右}_{+}^{N+1}=\mathbb{R}^{N/times（0，+\infty），\\partial_{nu}^{s}\varPhi=pU_{x，\mu}^{p-1}\varPhi，&\text{on}\mathbb{R}^{N}\times\{0\}，\end{cases}\displaystyle\end{aligned}$$

(2.10)

其边界为\（\varOmega\次\{0\}\），由以下各项的线性组合组成

$$\frac{\partial U_{x，\mu}}{\partical x_{1}}，\ldots，\frac}\partialU_{x，\mu{}{\protial x_{N}}$$

我们定义\（P_{\varOmega}\）这样的话

$$\begin{aligned}\textstyle\begin{cases}\partial_{nu}^{s}（P_{\varOmega}U_{x，\mu}）=\ partial_{nu}^s}U_{x，\ mu}=U_{x，\mu}^{2_{s}^{*}-1}，&x\in\varOmega\times\{0\}，\\P_{\ varOmega}U_2{x，\su}=0，&x\ in部分\varOmega\次（0，+\infty）。\结束{cases}\displaystyle\end{aligned}$$

(2.11)

让\（\varphi=U_{x，\mu}-P_{\varOmega}U_{x，\mu}\），我们有

$$\begin{aligned}\textstyle\begin{cases}\operatorname{div}（t^{1-2s}\nabla\varphi）=0，&\text{in}\varOmega\times（0，+\infty），\\varphi|_{\partial\varOmega}=U_{x，\mu}|_{\ partial\ varOmega}=\frac{C_{0}{\mu^{\frac}N-2s}{2}}}\vert-y-x_{\lambda}\vert^{N-2s}}（1+O（\frac{1}{\mu^{2}\verty-x_{\lambda}\vert_{2}}）），部分_｛\nu｝^｛s｝\varphi=0，&&\text｛on｝\varOmega\times\｛0\｝。\结束{cases}\displaystyle\end{aligned}$$

(2.12)

考虑

$$\begin{aligned}\textstyle\begin{cases}\operatorname{div}（t^{1-2s}\nabla_{（x，t）}H_{\mathcal{C}}（（x，t），y））=0，&\text{in}\mathcal{C}，\\H_{\tathcal{C}}｛a｝_{N，s}}{vert（x-y），t\vert^{N-2s}}，&\text{on}\partial_{L}\mathcal{C}，\\partial_{nu}^{s} H（H）_{\mathcal{C}}（（x，0），y）=0，&\text{on}\varOmega\times\{0\}，\end{cases}\displaystyle\end{aligned}$$

(2.13)

然后\（H_｛\mathcal｛C｝｝｝（（x，t），y）\）是格林函数的常规部分。因此，我们得到

$$U_｛x，\mu｝-P_｛\varOmega｝U_｛x，\mu｝=\frac｛C_｛0｝｝｛\mu ^｛\frac｛N-2s｝｛2｝｝｝｝｝H\bigl（（x，t），y\bigr）$$

我们定义

$$\begin{aligned}E=\biggl\{U\in H_{0，L}^{1}（\mathcal{C}）：\biggl \langle U，\frac{\partial U_{x，\mu}}{\partitle x_{j}}\biggr \rangle_{H_{0,L}^}1}。\结束{对齐}$$

(2.14)

为了证明定理1.2，我们只需要证明以下命题。

提议2.2

在定理假设下1.2, (1.5)有解决方案 v（v） 表单的

$$v=P_{\varOmega}U_{x，\mu}+\omega$$

哪里 \（E中的“ω”）,\（P_{\varOmega}U_{x，\mu}\）定义于(2.11),\（\|w\|_{H_{0，L}^{1}（\mathcal{C}）}\rightarrow0\）,\（x{\lambda}\右箭头x{0}\）作为 \（\lambda\rightarrow 0\）.

对应于(1.5)是

$$开始{对齐}I（v）：=\frac{1}{2}\int_{\mathcal{C}y^{1-2s}\vert\nabla v\vert^{2}\，dx\，dy-\frac}\lambda}{2{\int_}\varOmega\times\{0\}}\vertv\vert_2}\ \垂直^{p+1}\，dx。\结束{对齐}$$

(2.15)

我们扩张\（J（欧米茄））如下：

$$\begin{aligned}J（\omega）=I（P_{\varOmega}U_{x，\mu}+\omega{2} L（左）（\omega）+R（\omega），\end{对齐}$$

(2.16)

哪里

$$\begin{aligned}和\begin{aligned}[b]L（\omega）&=\int_{\mathcal{C}y^{1-2s}\vert\nabla\omega\vert^{2}\，dx\，dy-\lambda\int_{\varOmega\times\{0\}}\omega^{2{\，dx \\四{}-\bigl}}\vert P_{\varOmega}U_{x，\mu}\vert^{2_{s}^{*}-2}\omega^{2}\，dx，\end{aligned}\end{aligned}$$

(2.17)

$$\begin{aligned}&\ell（\omega）=\int_{\varOmega\times\{0\}}U_{x，\mu}^{2_{s}^{*}-1}\omega\，dx\，dy-\int_{\varO mega\times\{0\}}\vertP_{\varOmega}U_{x，\ mu}\vert ^2_{s}^{**}-1}\omega\，dx-\lambda\int_ omega\times\{0\}}P_{varOmega}U_{x，\mu}\omega\，dx，\end{aligned}$$

(2.18)

和

$$\begin{aligned}R（\omega）=&\frac{1}{2_{s}^{*}}\int_{\varOmega\times\{0\}}\bigl（\vertP_{\verOmega}U_{x，\mu}+\omega\vert^{2_}s}^}}-\vertP _{varOmega}U_{x，\ mu}\vert#{s}{*}\vert P_{\varOmega}U_{x，\mu}\vert^{2_{s}^{*}-1}\omega\\&{}-\biglU_{x，\mu}\vert^{2_{s}^{*}-2}\omega^{2}\biger）\，dx\end{aligned}$$

是的高阶ω.

为了找到关键点\（J（欧米茄）），我们需要讨论扩展中的每个术语(2.16). 我们将使用x个而不是\（x{\lambda}\）为了本文的简洁性。

现在，我们在本节中得出了主要结果。

引理2.3

有一个常数 \（C>0\） 独立于 μ 这样的话

$$\begin{aligned}\bigl\Vert R'（\omega）\bigr\Vert_{H_{0，L}^{1}（\mathcal{C}）}\leq C\Vert\omega\Vert_{H_0，L}^{1{（\mathcal{C:）}^{min\{2_{s}^{*}-1,2\}}}\end{alinged}$$

和

$$\开始{aligned}\bigl\VertR''（\omega）\bigr\Vert_{H_{0，L}^{1}（\mathcal{C}）}\leq C\Vert\omega\Vert_{H_}0，L{^1}。\结束{对齐}$$

证明

通过直接计算\（2_{s}^{*}-1>2\），我们知道

$$\begon｛aligned｝\bigl\langle R'（\omega），\phi\bigr\rangle=&\int _｛\varOmega\times\｛0\｝｝\bigl（\vert P_｛\varOmega｝U_｛x，\mu｝+\omega\vert ^｛2_｛s｝^｛*｝-1｝-\vert P_｛\varOmega｝U_｛x，\mu｝\vert ^｛2_ s｝^｛*｝-1｝bigr）U_｛x，\mu｝\vert^｛2_｛s｝^｛*｝-2｝\omega\bigr）\phi，dx\\leq&C\int_{\varOmega\times\{0\}}\vert P_{\varOmega}U_{x，\mu}\vert^{2_{s}^{*}-3}\omega^{2}\phi\，dx\\leq&C\biggl{*}-3}\omega^{2}\biger）^{\frac{2_{s}^{*}}{2_}^{}-1}}\，dx\biggr）}}\biggl（\int_{\varOmega\times\{0\}}\phi^{2_{s}^{*}}\，dx\biggr）hcal{C}）}\结束{对齐}$$

和

$$\begin{aligned}\bigl\langle R''（\omega），（\phi，\psi）\bigr\rangle=&\int_{\varOmega\times\{0\}}\bigle（\vert P_{\varOmega}U_{x，\mu}+\omega\vert^{2_{s}^{{{*}-2}-\vertP_{varOmega}U_{x，\ mu}\vert_{2_}s}^{*}-2}\biger）\phi\psi\，dx\\leq&C\int_{\varOmega\times\{0\}}（P_{\valOmega}U_{x，\mu}）^{2_{s}^{*}-3}\omega\phi\psi，dx\\leq&C\biggl（\int_{\varOmega\times\{0\}}\bigl（\vertP_{\valOmega}U_{x，\mu}\vert^{2_{s}^{*}-3}\omega\phi\biger）-1}{2_{s}^{*}}\biggl（int_{\varOmega\times\{0\}}\psi^2_{s}^{*}}\，dx\biggr）（\mathcal{C}）}\Vert\phi\Vert_{H_{0，L}^{1}（\mathcal{C{。\结束{对齐}$$

现在，我们要处理\（2_{s}^{*}-1<2）以获得

$$\begin{aligned}和\bigl\langle R'（\omega），\phi\bigr\rangle\leq C\int_{\varOmega\times\{0\}}\omega^{2_{s}^{*}-1}\phi\，dx\leq C:Vert\omega\Vert_{H_{0，L}^{1}（\mathcal{C}）}^2_{s}^{**}-1}\Vert\phi\Vert_{H_{0，L}^{1}（\mathcal{C}）}，\\&\bigl\langle R''（\omega），（\phi，\psi）\bigr\rangle\leq C\int_{\varOmega\times\{0\}}\ω^{2_{s}^{*}-2}\phi\psi\，dx\leq C\Vert\omega\Vert_{H_{0，L}^{1}}）}。\结束{对齐}$$

因此，我们完成了证明。□

引理2.4

有一个常数 \（C>0\） 独立于 μ 这样的话

$$\begin{aligned}\Vert\ell\Vert_{H_{0，L}^{1}（\mathcal{C}）}\leq C\biggl（\frac{1}{\mu^{N-2s}}+\frac{\lambda}{\mo^{2s}{\biggr）。\结束{对齐}$$

证明

召回

$$\begin{aligned}\ell（\omega）=\int_{\varOmega\times\{0\}}U_{x，\mu}^{2_{s}^{*}-1}\omega\，dx-\int_}\varOmega\times \{0\}}\vertP_{\varOmega}U_{x，\ mu}\vert ^2_{s}^{**}-1}\omega\，dx-\ lambda\int__{varOmega时间\{0\}}（P_{\varOmega}U_{x，\mu}）\omega\，dx。\结束{对齐}$$

(2.19)

通过直接计算，我们得到

$$\begin{aligned}\bigl\vert\vertP_{\varOmega}U_{x，\mu}\vert^{2_{s}^{*}-1}-\vert U_{x,\mu}\ vert^2_{s}^{x}-1}\bigr\vert=&\bigl\ vert\vert U_{x，\ mu}-\varphi\vert|2_{s2}^{s}^{*{-1}-\ vert U_2{x，\su}\vert s}^{*}}\bigr\vert\\\leq&C\bigl\vert U_{x，\mu}^{2_{s}^}{*}-2}\varphi\bigr\ vert\leq C\frac{1}{\mu^{frac{N-2s}{2}}}H\bigl（（x_{0}，0），x_{0}\bigr）U_{x，\mu}^{2_{s}^{*}-2}。\结束{对齐}$$

(2.20)

对于\（\varphi=U_{x，\mu}-P_{\varOmega}U_{x，\mu}\），我们有

$$\begin{aligned}\int_{\varOmega\times\{0\}}\vert P_{\valOmega}U_{x，\mu}\vert^{2}\，dx=&\int_}\varOmega\times \{0\}}-\int_{\varOmega\times\{0\}}2U_{x，\mu}\varphi\，dx+\int_}\varOmega\times\{0\{}}\varfi^{2}\，dx。\结束{对齐}$$

(2.21)

通过直接计算，我们得到

$$\begin{aligned}\int_{\varOmega\times\{0\}}\varphi^{2}\，dx=\int_}\varOmega}\biggl（\frac{1}{\mu^{\frac}N-2s}{2}}H\bigl（（x，0），x\bigr）\biggr）对齐}$$

(2.22)

和

$$\begin{aligned}\int_{\varOmega}U_{x，\mu}^{2}\，dx=&\int_}\varOmega\times\{0\}}\biggl（\frac{\mu}{1+\mu^{2{\vert-y-x{\lambda}\vert^{2neneneep}\bigr）C{\mu}{1+\vertz\vert^{2}}\biggr）^{N-2s}\，dz\\=&\frac{C{0}}{\mu^{2s}}\int_{\mathbb{R}^{N}}\frac{1}｛（1+\vert z\vert ^｛2｝）^｛N-2s｝｝\，dz+O\biggl（\frac｛1｝｛\mu ^｛2s｝｝\biggr），\end｛aligned｝$$

(2.23)

哪里\（\varOmega_{\mu}=\{y:\mu^{-1}年=x\英寸\varOmega\}\）.

插入(2.22)和(2.23)至(2.21)，我们获得

$$\begin{aligned}\int_{\varOmega\times\{0\}}\vert P_{\valOmega}U_{x，\mu}\vert^{2}\，dx\leq\frac{C}{\mu^{2s}}+O\biggl（\frac}1}{\mo^{2s+1}}\biggr）。\结束{对齐}$$

(2.24)

组合(2.19), (2.20)和(2.24)，我们有

$$\begin{aligned}\bigl\Vert\ell（\omega）\bigr\Vert_{H_{0，L}^{1}（\mathcal{C}）}\leq&\int_{\varOmega\times\{0\}}\bigle（\Vert P_{\varOmega}U_{x，\mu}\Vert^{2_{s}^{*}-1}-U_{x、\mu}^2_{s}^}大）\omega\，dx+\lambda\int_{\varOmega\times\{0\}}}\frac｛U_｛x，\mu｝^｛2_｛s｝^｛*｝-2｝｝｝｛\mu ^｛\frac｛N-2s｝｛2｝｝｝｝H\bigl（（x_｛0｝，0），x_｛0｝\bigr）\omega\，dx+\lambda\int _｛\varOmega\times\｛0｝｝int _｛\varOmega\times\｛0｝｝\bigl\vert U_｛x，\mu｝^｛2_｛s｝^｛*｝-2｝H\bigl（（x_｛0｝，0），x_｛0｝\bigr）\ bigr\vert ^｛\frac｛2N｝{N+2s}}\，dx\biggr）^{压裂{N+2s}{2N}}\Vert\omega\Vert_{H_{0，L}^{1}（\mathcal{C}）}\\&{}+\lambda\biggl}{2}}\Vert\omega\Vert_{H_{0，L}^{1}（\mathcal{C}）}\\leq&\frac{C}{\mu^{\frac{N-2s}{2{}}\biggl（\int_{\varOmega\times\{0\}}\bigl\Vert U_{x，\mu}^{2_{s}^{*}-2}\bigr\vert^{\frac{2_}s}^}}{2_{s}，dx\biggr）da\biggl（int_{\varOmega\times\{0\}}（P_{\valOmega}U_{x，\mu}）^{2}\，dx\biggr）}+\frac｛\lambda｝｛\mu^｛2s｝｝｝\biggr）\Vert\omega\Vert_｛H_｛0，L｝^｛1｝（\mathcal｛C｝）｝。\结束{对齐}$$

(2.25)

然后我们得出结论。□

三有限维约简及主要结果的证明

在本节中，我们打算通过Lyapunov–Schmidt约化证明主要定理。很容易检查Lw（低）可以由有界线性算子生成L（左）从E类到E类，定义为

$$\begin{aligned}\langle L\omega，\varphi\rangle=\int_{\mathcal{C}}y^{1-2s}\nabla\omega\nabla \varphi\，dx\，dy-\lambda\int_{\varOmega\ times\{0\}}\omega\ varphi\{x，\mu}）^{2_{s}^{*}-2}\omega\varphi\，dx。\结束{对齐}$$

接下来，我们展示了L（左）在里面E类.

提议3.1

存在一个常量 \（\rho>0\）,这样的话

$$\Vert PL\omega\Vert_{H_{0，L}^{1}（\mathcal{C}）}\geq\rho\Vert\omega\Vert_{H_0，L}^{1{（\mathcal{C}）{，\quad\omega\在E中$$

证明

我们用矛盾的方式进行辩论。假设有\（n\rightarrow+\infty\）,\（x{n}\右箭头x{0}\）,\（\mu _｛n｝\rightarrow+\infty\）,\（\lambda_{n}\rightarrow 0\）,\（E中的ω{n}），使得

$$\VertPL\omega_{n}\Vert_{H_{0，L}^{1}（\mathcal{C}）}\leq\frac{1}{n}\ Vert\omega_}n}\垂直_{H_0，L}^{1{（\mathcal{C}）{$$

在不失一般性的情况下，我们假设\（ω{n}，L}^{1}（mathcal{C}）}=1），然后\（PL\omega_{n}\|{H_{0，L}^{1}（\mathcal{C}）}\leq\frac{1}{n}）.

然后

$$\begin{aligned}和\int_{mathcal{C}y^{1-2s}\nabla\varphi\nabla\omega_{n}\，dx\，dy-\lambda_{n{}\ int_{\varOmega\times\{0\}}\varphi\omega_{n}，dx-\bigl U{x{n}，\mu{n}}）^{2_{s}^{*}-2}\varphi\omega_{n}\，dx\\&\quad=o（1）\Vert\varphi\Vert_{H{0，L}^{1}（\mathcal{C}）}+\alpha_{0}\biggl\langle\frac{\partial P_{\varOmega}U_{x_{n}，\mu_{n{}}{\partical\mu}，\ varphi\biggr\rangle_{H_{0，L}^}，\mu_{n}}}{\partialx_{i}}，\varphi\biggr\rangle_{H_{0，L}^{1}（\mathcal{C}）}。\结束{对齐}$$

(3.1)

第一步，我们声称\（\alpha_｛0｝，\alpha_｛i｝=0\）对于\（（i=1，\ldots，N））.让\（\varphi=\partial P_{\varOmega}U_{x_{n}，\mu_{n{}），我们获得

$$\begin{aligned}和\int_{mathcal{C}y^{1-2s}\nabla（\partial P_{varOmega}U_{x_{n}，\mu_{n{}）\nabla\omega{n}\，dx\，dy-\lambda{n}\int_}\varOmega times\{0}{n}\，dx\\&\qquad{}-\bigl（2_{s}^{*}-1\biger-2} （部分P_{\varOmega}U_{x_{n}，mu_{n{}）ω{n}\，dx\\&\quad=\int_{\VaOmega\times\{0\}}\bigl^{*}-1\biger）\int_{\varOmega\times\{0\}}（P_{\varOmega}U_{x_{n}，\mu_{n{}）^{2_{s}^{*}-2}\部分（P_}\varOmega}U_x_{n}，\ mu_{n}）\omega_{n｝，dx\\&\quad=o_{nneneneep（1），\end{aligned}$$

(3.2)

哪里\（部分（P_{\varOmega}U_{x_{n}，\mu_{n{}）=\frac{\partial（P_}\varOmega}U_{x{n}，\mu_{n}}）}{\partitle\mu}）或\（部分（P_{varOmega}U_{x_{n}，mu_{n{}）}{部分x_{i}}）对于\（i=1，\ldot，N）.然后\（\alpha_｛0｝，\alpha_｛i｝=0\）对于\（（i=1，\ldots，N））.

第二步，我们展示\（int_{\varOmega\times\{0\}}（P_{\varOmega}U_{x_{n}，\mu_{n{}）^{2_{s}^{*}-2}\部分（P_{\varO mega}U_{x_{nneneneep，\mu_{n}}），自

$$开始{aligned}&\int_{\varOmega\times\{0\}}\vert P_{\varOmega}U_{x_{n}，\mu_{n{}\vert^{2_{s}^{*}-2}\ partial（P_{\ varOmega}U_{x_}n}、\mu_}）\omega_{nneneneep，dx\\&\quad=\biggl vert-y-x_{n}\vert\geq-R）\times\{0\}\}}+\int_{{（\mu_{nneneneep \vert-y-x_{n{}\vert_leqR）\times \{0\}}\biggr）\vert-P_{\varOmega}U{x{n}，\mu{n}}，vert^2_{s}^{*}-2}，partial（P_{varOmega}U{x}n}、\mu{n}），ω，dx。\结束{对齐}$$

我们考虑以下不等式：

$$\begin{aligned}&\int_{{（\mu_{n}\vert-y-x_{n{}\vert\geqR）\times\{0\}\}}\bigl\vert（P_{\varOmega}U_{x_{n}，\mu_}n}）^{2_{s}^{*}-2}\vert\，dx\\&\quad\leq\int_{}\bigl（U_{0,1}^{2_{s}^{*}-2}\partial U_{10,1}\biger）^{\frac{2N}{n+2s}}\，dx\biggr）^{\ frac{n+2s2}{2N{}}\vert\tilde{\omega}_{n}\Vert_{L^{2_{s}^{*}}（\varOmega）}\\&\quad=o_{R}$$

(3.3)

哪里\（颚化符{\omega}{n}（y）=\mu_{n}^{-\frac{n-2s}{2}}\omega（\mu_}n}^{-1}x+x{n}）\）,\（z=mu{n}|y-x{n}|）.

现在，我们考虑\（int_{{（\mu_{n}|y-x{n}|\leq R）\times\{0\}\}}|P_{\varOmega}U_{x{n{，\mu_}n}|^{2_{s}^{*}-2}\部分（P_{varOmega}U_x{nneneneep，\mu{n}}）\omega_{n{}，dx\）.自\（ω{n}（x）{H_{0，L}^{1}（mathcal{C}）}=1\），然后\（\|\颚化符{\omega}_{n}\|_{H_{0，L}^{1}（\mathcal{C}）}=1\）.然后\（\{\波浪号｛w｝_{n} \}\）以为界\（H_｛0，L｝^｛1｝（\mathcal｛C｝）\）.我们有

$$\begin{aligned}\begin{aligned}&\tilde{\omega}_{n}\rightharpoonup\omega，\quad\text{弱位于}H_{0，L}^{1}（\mathcal{C}），\\&\tilde{\omega}_{n}（x，0）\rightarrow\omega r）。\end{aligned}\end{alinged}$$

(3.4)

自\（波浪线{\omega}_{n}（y）\）满足

$$\begin{aligned}\textstyle\begin{cases}\operatorname{div}（t^{1-2s}\nabla\tilde{\omega}_{n}）=0，&\text{in}\varOmega_{\mu}\ times\{（0，+\infty）\}，\\tilde{\ omega}{n}=0，&\text{on}\partial_{L}\varO mega_}\mu}\times\{（0，+/infty \\部分{{nu}^{s}\波浪线{\omega}_{n}=\波浪线}\omega{{n}^{2_{s}^{*}-1}+\lambda{n}\波浪线上{\omega}_{n} ，&\text{in}\varOmega_{\mu}\times\{0\}，\end{cases}\displaystyle\end{aligned}$$

(3.5)

我们看到了ω满足以下方程式：

$$\begin{aligned}\textstyle\begin{cases}\operatorname{div}（t^{1-2s}\nabla\omega）=0，&\text{in}\mathbb{R}^{N+1}_{+}，\\omega>0，&\text{in}\mathbb{R}^{N+1}_{++}，\\N\partial_{nu}^{s}\omega=\omega^2_{s}^{{*}-1}，&\text{in}\mathbb{R}^{N}\times\{0\}，\end{cases}\displaystyle\end{aligned}$$

(3.6)

因此\（ω=\alpha_{0}\frac{\partialU_{0,1}}{\paratil\mu}+\sum_{i=1}^{N}\alpha_{i}\frac{\partical U_{01}}{\ partialx_{i}}）.

自\（E中的ω{n}），然后\（langle w{n}，frac{部分U{x{n}，mu{n}}{部分mu}范围{（H{0，L}^{s}（mathcal{C}））}=0\）,\（langle\omega_{n}，frac{部分U_{x_{n{，mu_{nneneneep}{部分x_{i}}范围_{H_{0，L}^{1}（mathcal{C}）}=0\），然后我们得到\（\langle\omega，\partial U_｛0,1｝\langle_｛H_｛0，L｝^｛1｝（\mathcal｛C｝）｝=0\）.因此\（ω=0）和

$$\begin｛aligned｝\int _｛\｛（\mu _｛n｝\vert y-x_｛n｝\vert\leq R）\times\｛0｝\｝\vert P_｛\varOmega｝U_｛x_｛n｝，\mu _｛n｝｝\vert ^｛2_ s｝^｛*｝-2｝\偏（P_｛\varOmega｝U_｛x_ n｝，\mu _｛n｝）\omega _｛n｝\，dx\leq C\biggl（\int _｛\vert y\vert\leq R｝\omega _｛n｝^｛2｝\biggr）^｛\frac｛1｝｛2｝｝\right箭头0。\结束{对齐}$$

(3.7)

组合(3.3)和(3.7)，我们获得\（int_{\varOmega\times\{0\}}（P_{\varOmega}U_{x_{n}，\mu_{n{}）^{2_{s}^{*}-2}\部分（P_{\varO mega}U_{x_{nneneneep，\mu_{n}}）.

步骤3，in(3.1)，我们表示\（\varphi=w{n}\），我们有

$$开始{对齐}o_{n}（1）\Vert w_{nneneneep \Vert_{H_{0，L}^{1}}\，dx\\&{}-\bigl（2_{s}^{*}-1\biger）\int_{\varOmega\times\{0\}}-2} \vert\omega_{n}\vert^{2}\，dx\\=&\vert\omega_n}\vert_{H_{0，L}^{1}$$

(3.8)

我们遇到了矛盾，因此L（左）是可逆的。□

现在我们执行有限维约简过程。

提议3.2

有一个 \（C^{1}\）地图来自 S公司 到 \（H_{0，L}^{1}\）:\（\omega=\omega（\mu）\）,令人满意的 \（E中的“ω”）,和

$$\开始{对齐}J'（\omega）|_{E}=0。\结束{对齐}$$

(3.9)

此外,存在一个常数 \（C>0\）独立于 μ 这样的话

$$\begin{aligned}\Vert\omega\Vert_{H_{0，L}^{1}（\mathcal{C}）}\leq C\biggl（\frac{1}{\mu^{N-2s}}+\frac{\lambda}{\mo^{2s}{\biggr）。\结束{对齐}$$

(3.10)

证明

我们将使用收缩定理来证明它\（\ ell（\ omega）\）是中的有界线性泛函E类根据Riesz表示定理，有一个\（E\中的\ ell\）这样的话

$$\ell（\omega）=\langle\ell，\omega\rangle$$

所以，找到一个关键点\（I（\omega）\）相当于求解

$$\begin｛aligned｝\ell+L\omega+R’（\omega）=0。\结束{对齐}$$

(3.11)

按命题3.1,L（左）是可逆的。因此(3.11)等于

$$\omega=A（\omega）：=-L^｛-1｝\bigl（\ell+R'（\omega）\bigr）$$

设置

$$S:=\biggl\{\omega\在E:\Vert\omega\Vert_{H_{0，L}^{1}（\mathcal{C}）}\leq\biggl（\frac{C}{\mu^{N-2s}}+\frac{\lambda}{\mo^{2s}{\biggr）^{1-\theta}\biggr\}中$$

我们将核实A类是来自的收缩映射S公司对自身而言。事实上，一方面，对于任何\（S中的“ω”），我们获得

$$\begin{aligned}\bigl\Vert A（\omega）\bigr\Vert_{H_{0，L}^{1}（\mathcal{C}）}\leq&C\bigl（\Vert\ell\Vert_{H_0，L}^{1{（\mathcal{C:）}+\bigl\ Vert R'（\omega）\biger\Vert_}H_{0,L}^}1}\\leq&C\bigl（\Vert\ell\Vert_{H_{0，L}^{1}（\mathcal{C}-1,2\}}\bigr）\\leq&\biggl（\frac{C}{\mu^{N-2s}}+\frac}\lambda}{\mo^{2s}{\biggr）+\biggl（\frac{C}{\mu{N-2s}}+\ frac{\lambda}{\m^{2s}{}）^{（1-\theta）\min\{2_{s}^{*}-1,2\}leq&\压裂{C}{\mu^{N-2s}}+\压裂{\lambda}{\mu^{2s}}。\结束{对齐}$$

(3.12)

另一方面，对于任何\（S中的ω{1}，ω{2}）,

$$\begin{aligned}\bigl\Vert A（\omega_{1}）-A（\omega _{2}）\bigr\Vert _{H_{0，L}^{1}（\mathcal{C}）}=&\bigl\ Vert L^{-1}右'（ω{1}）-L^{-1}右'（\omega_{2}）\bigr\Vert_{H_{0，L}^{1}（\mathcal{C}）}\\leq&C\bigl\VertR'（\omega_{1}）-R'（\ω_2}）\ bigr\Vert_{H_0，L}^{1{（\mathcal{C}）{\\leq＆C\bigl\ VertR''\bigl（\theta\omega_1}+（1-\theta）\omega_{2}\biger）\bigr\Vert\Vert\omega_{1}-\omega_{2}\Vert_{H_{0，L}^{1}（\mathcal{C}）}\\leq&C\bigl\Vert\theta\omega_1}+（1-\theta）\omega_2}\bigr\Vert_H2}0，L{^{1{（\mathcal{C}）_{1}-\ω{2}\Vert_{H_{0，L}^{1}（\mathcal{C}）}\\leq&\frac{1}{2}\垂直ω_{1}-\ω{2}\垂直{H_{0，L}^{1}（\mathcal{C}）}。\结束{对齐}$$

(3.13)

然后根据压缩映射定理得出结果。□

我们证明了存在\（阿尔法{i}）(\（i=0,1，\ldot，j）)令人满意的

$$开始{对齐}和（-\Delta）^{s}（P_{\varOmega}U_{x，\mu}+\omega）-\lambda（P_}\varOmega}U_{x、\mu}+\omega）-（P__{\varOmega{U_}x，\mo}+\omega）^{2_{s}^{*}-1}\\&\quad=\alpha_{0}\frac{\partialP_{\ varOmega}U_{x，\mu}}{\partial\mu}+\sum_{i=1}^{N}\alpha_{i}\frac{\paratilP_{\varOmega}U_{x，\mu{}{\protialx_{i{}}\end{aligned}$$

(3.14)

和\（\|\omega\|_{H_{0，L}^{1}（\mathcal{C}）}\leq\frac{C}{\mu^{N-2s}}+C\frac}{\lambda}}）.

现在，我们想展示一下\（阿尔法{0}=\阿尔法{1}=\cdots=\alpha{n}=0\）首先，我们表示

$$\begin｛aligned｝\omega（x，\mu）&=\frac｛1｝｛2｝\int _｛\mathcal｛C｝｝y^｛1-2s｝\bigl\vert\nabla（P_｛\varOmega｝U_｛x，\mu｝+\omega）\bigr\vert^｛2｝\，dx\，dy-\frac｛\lambda｝｛2｝\int _｛\varOmega \times\｛0\｝｝\vert P_｛\varOmega｝U_｛x，\mu｝+\omega\vert^｛2｝\，dx\&\quad｛｛-\frac｛1｝｛2_｛s｝^｛*｝｝\int _｛\varOmega \times\｛0\｝\vert P_｛\varOmega｝U_｛x，\mu｝+\omega\vert^{2_{s}^{*}}\，dx。\结束{对齐}$$

接下来，我们有以下引理。

引理3.3

如果 \（（x，\mu）\）是…的关键点 \（\omega（x，\mu）\）,然后 \（阿尔法{0}=\阿尔法{1}=\cdots=\alpha{n}=0\）.

证明

我们可以参考[19]，我们省略了证据。□

现在，我们考虑以下关键点\（w（x，\mu）\）。对于\（ω=0），我们获得

$$\begin{aligned}\bar{\omega}（x，\mu）&=\frac{1}{2C_{s}}\int_{\mathcal{C}}y^{1-2s}\vert\nabla P_{\varOmega}U_{x，\mo}\vert^{2}\，dx\，dy-\frac}\lambda}{2}\int_{{\varOmega\times\{0}}\vert P_{varOmega}U_{x，\mu}\vert^{2}\，dx\\&\quadra{}-\frac{1}{2_{s}^{*}}\int_{\varOmega\times\{0\}}\vert P_{varOmega}U_{x，\mu}\ vert^2_{s}^{*}}\，dx\\&=\frac{s}{N}\int_{\mathbb{R}^{N}}u_{0,1}^{2_{s}^{*}{\，dx+\ frac{B_{0}H（（x，0），x）}{\mu^{N-2s}}-\ frac}\lambda B_{1}{\ mu^{2}+H.o.t，\end{aligned}$$

哪里\（B_{0}\）,\（B_{1}\）定义见附录。

通过直接计算，我们得到

$$\begin{aligned}\omega（x，\mu）&=\bar{\omega}_{x，\mu}+\int_{\mathcal{C}}\nabla（P_{\varOmega}U_{x、\mu}）\nabla\omega\，dx\，dy\\&\quadr{}-\lambda\int_}\varOmega\ times\{0\}_{\varOmega\times\{0\}}（P_{\valOmega}U_{x，\mu}）^{2_{s}^{*}-1}\omega\，dx\\&\quad{}-\frac{1}{2_}^{}}\int_{\varOmega\times\{0\}}（P_{\varOmega}U_{x，\mu}+\omega）\，dx\\&\quad{}+\frac{1}{2}\int_{\mathcal{C}}\vert\nabla\omega\vert^{2}\，dx \，dy-\frac}1}{2}\lambda\int_}\varOmega\times\{0\}}\omega^{2{，dx。\结束{对齐}$$

(3.15)

自\（\|\omega\|_{H_{0，L}^{1}（\mathcal{C}）}\leq C（\frac{1}{\mu^{N-2s}}+\frac}\lambda}{\mo^{2}}），我们有

$$\begin{aligned}和\int_{\mathcal{C}}\nabla（P_{\varOmega}U_{x，\mu}）\nabla\omega\，dx\，dy-\lambda\ int_{\ varOmega \ times\{0\}}}）^{2_{s}^{*}-1}\omega\，dx\\&\quad=\int_{\varOmega\times\{0\}}U_{x，\mu}^{2_{s}^{*{-1}\omega\，dx，dy-\lambda\int_{\varOmega\times\{0\}}}（\mathcal{C}）}。\结束{对齐}$$

(3.16)

组合(3.15)和(3.16)，我们获得

$$\开始{对齐}\omega（x，\mu）&=\bar{\omega}（x，\ mu）+o（1）\Vert\omega\Vert_{H_{0，L}^{1}（\mathcal{C}）}\\&=A+\frac{B_{0}高（x，0），x）}{\mu^{N-2s}}-\frac{\lambda B_{1}}{\mu^{2}}+o\biggl。\结束{对齐}$$

然后我们得到\（（x{0}，\mu{0}）是…的关键点\（\omega（x，\mu）\），其中\（x{0}\）是Robin函数的局部极小值\（H（（x_{0}，0），x_{0}）\）、和\（\mu=\mu_{0}=（压裂{（N-2s）B_{0}高（（（x_{0}，0），x_{0）}{2\lambda B_{1}}）^{压裂{1}{N-2s-4}}.

附录：能源扩张

在本节中，我们将给出近似解的能量展开式。召回

$$\begin{aligned}I（v）=\frac{1}{2}\int_{\mathcal{C}y^{1-2s}\vert\nabla v\vert^{2}\，dx\，dy-\frac}\lambda}{2}\int_{\varOmega\ times\{0\}}\vert v\vert_2}\垂直^{p+1}\，dx。\结束{对齐}$$

（A.1）

提案A.1

我们有

$$\begin{aligned}I（P_{\varOmega}U_{x，\mu}）=A+\frac{B}{\mu^{N-2s}}H\bigl（（x_{0}，0），x_{0:}\bigr）-\frac}\lambda B_1}}{\mo^{2s}{}+O\biggl$$

（A.2）

哪里 \（A=C_{1}\int_{\mathbb{R}^{N}}u_{0,1}^{2_{s}^{*}}\，dx\）,\（B=C_{2}\int_{mathbb{R}^{N}}\压裂{1}{（1+|z|^{2}）^{压裂{N+2s}{2}}\，dz\）和 \（B_｛1｝=C_｛0｝\ int _｛\mathbb｛R｝^｛N｝｝｝\ frac｛1｝｛（1+|z | ^｛2｝）^｛N-2s｝｝\，dz\）.

证明

召回

$$\begin{aligned}I（P_{\varOmega}U_{x，\mu}）=&\frac{1}{2}\int_{\mathcal{C}}y^{1-2s}\vert\nabla P_{\ varOmega}U_{x，\ mu}\vert^{2}\，dx\，dy-\frac}\lambda}{2{2\int_{\\varOmega\times\{0\}}}\vert P_{{x，\mu}\vert^{2}\，dx\\&{}-\frac{1}{P+1}\int_{\varOmega\times\{0\}}\vert P_{varOmega}U_{x，\ mu}\vert^{P+1}，dx。\结束{对齐}$$

（A.3）

首先，使用(2.11)，我们注意到以下标识：

$$\begin{aligned}\int_{\mathcal{C}y^{1-2s}\bigl\vert\nabla（P_{\varOmega}U_{x，\mu}）\bigr\vert^{2}\，dx\，dy=&\int_}\varOmega\times\{0\}}\partial_{nu}^{s}）\，dx\\=&\int_{\varOmega\times\{0\}}U_{x，\mu}^{2_{s}^{*}-1}（P_{\valOmega}U_{x，\ mu}）\，dx\\=&\int_{\varOmega\times\{0\}}U_{x，\mu}^{2_{s}^{*}-1}（U_{x，\mu{-\varphi）\，dx。\结束{对齐}$$

（A.4）

通过直接计算，我们得到

$$\begin{aligned}\int_{\varOmega\times\{0\}}U_{x，\mu}^{2_{s}^{*}}\，dx=&\ int_{\ varOmega}a_{N，s}^\ frac{2N}{N-2s}}\biggl（\frac{\mu}{1+\mu^{2}\vert x-x_{\lambda}\vert^{2{}\bigr）^{N}\，dx\\=&\int_{\varOmega_{\mu}}a_{N，s}^{\frac{2N}{N-2s}}\biggl（\frac}\mu}{1+\vertz\vert^{2}}\biggr）^{N}\mu^{-N}\，dz=\int_{\varOmega_{\mu}}\frac{C_{0}}{（1+\vertz\vert^{2}）^{N}}\，dz\\=&\int_}\mathbb{R}^{N{}}\frac{C{0}{}}\frac{C_{0}}{（1+\vertz\vert^{2}）^{N}}\，dz\\=&\int_{\mathbb{R}^{N{}u_{0,1}^{2_{s}^{*}}\$$

（A.5）

和

$$\begin{aligned}&\int_{\varOmega\times\{0\}}U_{x，\mu}^{2_{s}^{*}-1}\varphi\，dx\\&\quad=\int_}\varOmega}\biggl（a_{N，s}\bigl（\frac{\mu}{1+\mu^{2}\vert x-x_{\lambda}\vert^{2{}\bigr）^{{2}}\biggr）^{2_{s}^{*}-1}\bigl，dx\&\quad=\frac{1}{\mu^{\frac{N-2s}{2}}}\int_{\varOmega}\biggl（\biggl（\frac}\mu}{1+\mu^}2}\vert-x-x{\lambda}\vert^{2}\bigr）），x_{0}\bigr）\，dx+O\biggl（\frac{1}{\mu^{N-2s+1}}\biggr）\\&\quad=\frac{1}{\mu{\frac}N-2s}{2}}\int_{\varOmega_{\mu}}\biggl[\frac{\mu^{\frac{N-2s}{2}}{（1+\vertz\vert^{2}）^{-1}z+x_{0}\bigr），x_{0}\biger）\mu^{-N}\，dz+O\biggl ^{\压裂{N+2s}{2}}}\，dz+O\biggl（压裂{1}{\mu^{N-2s+1}}\biggr）\\&\quad=\压裂{H（（x_{0}，0），x_{0:}）}{\mo^{N-2m}}\int_{mathbb{R}^{N}}\frac{1}{（1+\vertz\vert^{2}）^{压裂{N+2s}{2}}，dz+O\biggl（压裂{1}{mu^{N-2s+1}}\biggr）。\结束{对齐}$$

（A.6）

组合(A.4款)–(答6)，我们获得

$$\begin{aligned}和\int_{mathcal{C}y^{1-2s}\bigl\vert\nabla（P_{\varOmega}U_{x，\mu}）\bigr\vert^{2}\，dx\，dy\\&\quad=C_{1}\ int_{mathbb{R}^{N}U_{0,1}^{2_{s}^{*}，dx-C_2}\frac{H（（（x_{0}，0），x_{0}）}{\mu^{N-2s}}\int_{\mathbb{R}^{N}}\frac{1}{（1+\vertz\vert^{2}）^{\frac{N+2s}{2}}}\，dz+O\biggl\\&\quad=A-\压裂{H（（x_{0}，0），x_{0}）}{\mu^{N-2s}}B+O\biggl（压裂{1}{\mu^{\frac{N}{2}}\biggr），\end{aligned}$$

（A.7）

哪里\（A=C_{1}\int_{\mathbb{R}^{N}}u_{0,1}^{2_{s}^{*}}\，dx\）,\（B=C_{2}\int_{mathbb{R}^{N}}\压裂{1}{（1+|z|^{2}）^{压裂{N+2s}{2}}\，dz\）.

对于右侧的第二任期(答3)类似地，我们有

$$\begin{aligned}\int_{\varOmega\times\{0\}}\vert P_{\varOmega}U_{x，\mu}\vert^{2_{s}^{*}}\，dx=&\int _{\varOmega \times\{0\{}\vert U_{x，\mu}-\varphi\vert ^{2_{s}，dx\\=&\ int _{varOmega \times\{0\neneneep}}}U_{x，\mu}^{2_{s}^{*}}\，dx-2_{s}^{*}\int_{\varOmega\times\{0\}}U_{x，\mu}^{2_{s}^{*{-1}\varphi\，dx+O\biggl+2}{2}}\biggr）。\结束{对齐}$$

（A.8）

自\（\varphi=U_{x，\mu}-P_{\varOmega}U_{x，\mu}\），通过直接计算，我们得到

$$\begin{aligned}\int_{\varOmega\times\{0\}}\vert P_{\valOmega}U_{x，\mu}\vert^{2}\，dx=&\int_}\varOmega\times \{0\}}x-\int_{\varOmega\times\{0\}}2U_{x，\mu}\varphi\，dx+\int_}\varOmega\times \{0\}}\varfi^{2}\，dx.\end{aligned}$$

（A.9）

自

$$\begin{aligned}\int_{\varOmega\times\{0\}}\varphi^{2}\，dx=\int_}\varOmega}\biggl（\frac{1}{\mu^{\frac}N-2s}{2}}H\bigl（（x，0），x\bigr）\biggr）对齐}$$

（A.10）

和

$$\begin{aligned}\int_{\varOmega\times\{0\}}U_{x，\mu}^{2}\，dx=&\tint_{\\varOmega \times\压裂{\mu}{1+\vertz\vert^{2}}\biggr）^{N-2s}\，dz\\=&\frac{C{0}}{\mu^{2s}}\int_{\mathbb{R}^{N}}\frac}}｛（1+\vert z\vert ^｛2｝）^｛N-2s｝｝\，dz+O\biggl（\frac｛1｝｛\mu ^｛2s｝｝\biggr），\end｛aligned｝$$

（A.11）

哪里\（B_｛1｝=C_｛0｝\ int _｛\mathbb｛R｝^｛N｝｝｝\ frac｛1｝｛（1+|z | ^｛2｝）^｛N-2s｝｝\，dz\），我们获得

$$\begin｛aligned｝\int _｛\varOmega\times\｛0\｝｝\vert P_｛\varOmega｝U_｛x，\mu｝\vert ^｛2｝\，dx=\frac｛B_｛1｝｝｛\mu ^｛2s｝｝+O\biggl（\frac｛1｝｛\mu ^｛N-2s｝｝\biggr）。\结束{对齐}$$

（A.12）

组合(答7), (答8)和(A.12)，我们得到(A.2款). □