具有混合边值条件的恒温器混合Caputo分数阶模型

摘要

我们将恒温器模型的二阶微分方程推广到分数阶混合方程和包含型。我们以混合条件的形式考虑这个问题的边值条件。为了证明混合分数阶恒温器方程和包含型方程解的存在性，我们对单值和集值映射应用了著名的Dhage不动点定理。最后，我们给出了两个例子来说明我们的主要结果。

1介绍

也许几年前谈论数学帮助环境的可能性会是一件有趣的事情。事实上，如果建模达到我们可以在计算机上进行一些化学测试的程度，数学可以发挥作用。因此，通过研究复杂的分数阶积分微分方程和包含来提高我们的现代建模能力非常重要。众所周知，许多研究人员已经研究了不同类型的混合方程（例如，参见[1–4]和[5]). 重要的策略之一是回顾不同现象的混合模型。

2010年，Dhage和Lakshmikantham推出了混合微分方程[6]. 2011年，Zhao等人将Dhage的工作扩展到分数阶，并研究了混合分数阶微分方程[4]. 2012年，Sun等人研究了分数混合两点边值问题

$$\textstyle\开始{cases}\mathcal{D}（D）_{0}^{p}[\frac{z（t）}{h（t，z（t。\结束{cases}$$

在混合Carathéodory和Lipschitz条件下，将Dhage不动点定理应用于Banach代数，得到了一些存在性结果。2015年，Hilal和Kajouni讨论了Caputo混合边值问题极值解的存在性

$$\textstyle\开始{cases}^{c}\mathcal{D}（D）_{0}^{p}[\frac{z（t）}{h（t，z（t$$

哪里\（p\英寸（0,1）\）,一,b条和c（c）是一些带有\（a+b\neq 0）以及功能\（h:J\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}\setminus\{0\}\）和\（g:J\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}\）是连续的[三]. 几个月后，Baleanu等人回顾了Caputo分数混合包含问题的一些存在结果

$$^{c}\mathcal{D}（D）_{0}^{p}\biggl（\frac{z（t）}{h（t，z（t{我}_{0}^{\alpha_{1}}z（t），\ldot，\mathcal{我}_{0}^{\alpha_{n}}z（t）}\biggr）在\mathcal{H}\bigl（t，z（t{我}_{0}^{\beta_{1}}z（t），\ldots，\mathcal{我}_{0}^{\beta_{k}}z（t）\bigr）$$

为所有人\（在[0,1]\中），具有边界值条件\（z（0）=z{0}^{*}\）和\（z（1）=z{1}^{*}\），其中\（p\ in（1,2]\）,\（{}^{c}\mathcal{D}（D）_{0}^{p}\）和\（\mathcal{我}_{0}^{\gamma}\）表示分数阶的Caputo导数算子第页分数阶Riemann–Liouville积分算子\（\gamma\in\{\alpha_{i}，\beta_{j}\}\子集（0，\infty）\）对于\（i=1，\ldots n\）和\（j=1，\ldots，k\）分别是。他们使用多值映射的Dhage不动点定理作为存在性结果[5].

2006年，Infante和Webb制定了一个在\（t=0）控制器位于\（t=1）:

$$\textstyle\begin{cases}z''（t）+\varPhi（t，z（t））=0\quad（t\in[0,1]），\\z'（0）=0，\qquad\lambda z'（1）+z（\eta）=0，\end{cases}$$

(∗)

哪里\（[0,1]\中的\ eta\）是一个实际常数，并且\（\lambda>0\）是一个参数[7]. 根据这个二阶模型，恒温器根据传感器在\（t=\eta\）[7]). 他们将不动点指数理论应用于Hammerstein积分方程，得到了边值问题的存在性结果[7]. 几年后，尼托和皮门特尔研究了这个问题的分数阶形式

$$\textstyle\begin{cases}^{c}\mathcal{D}^{p}z（t）+\varPhi（t，z（t^{p-1}z（1） +z（\eta）=0，\end{cases}$$

(∗∗)

哪里\（{}^{c}\mathcal{D}^{p}\）表示Caputo型阶的分数导数\（p\ in（1,2]\）和\（\lambda>0）和\（[0,1]\中的\ eta\）给出了实际常数[8].

众所周知，恒温器是一种部件，它可以感应物理系统的温度并执行操作，从而使系统的温度保持在所需的设定点附近。许多研究人员回顾了恒温器系统的不同模型。已经为它们提供了一些用于恒温器系统的模型（例如[9–11]).

通过使用[三,5,7]和[8]将这些与恒温器模型混合，我们将研究恒温器模式的分数混合问题

$${}^{c}\mathcal{D}（D）_{0}^{p}\biggl（\frac{z（t）}{h（t，z（t$$

(1)

混合边值条件

$$\textstyle\begin{cases}\mathcal{D}（\frac{z（t）}{h（t，z（t{D}（D）_{0}^{p-1}（\frac{z（t）}{h（t，z（t$$

(2)

哪里\（p\ in（1,2]\）,\（p-1英寸（0,1]\）,\（[0,1]\中的\ eta\）,\（\mathcal{D}=\frac{\mathrm{D}}{\mathr）{d} t吨}\),λ是一个正实参数，\（{}^{c}\mathcal{D}（D）_{0}^{\gamma}\）是分数阶的卡普托推导\（\gamma\in\{p，p-1\}\），函数\（\varPhi:[0,1]\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}\）是连续的，并且\（h\在C中（[0,1]\times\mathbb{R}，\mathbb{R}\setminus\{0\}）\）。

此外，我们还研究了恒温器的混合分数微分包含模型

$$-{}^{c}\mathcal{D}（D）_{0}^{p}\biggl（\frac{z（t）}{h（t，z（t$$

(3)

三点混合边值条件

$$\textstyle\boot｛cases｝\mathcal｛D｝（\frac｛z（t）｝｛h（t，z（t））｝）\vert _｛t=0｝=0，\\\\lambda｛｝^｛c｝\mathcal{D}（D）_｛0｝^｛p-1｝（\frac｛z（t）｝｛h（t，z（t））｝）\vert_｛t=1｝+（\frac｛z（t）｝｛h（t，z（t））｝）\vert_｛t=\eta｝=0，\end｛cases｝$$

(4)

哪里\（\mathcal{G}:[0,1]\times\mathbb{R}\to\mathcal{P}（\mathbb{R}）\）是一个多值映射。

让\（p>0）是一个实数\（n-1<p<n\）和功能\（z:[a，b]\to\mathbb{R}\）可积（或\（z\在C（[a，b]，\mathbb{R}）中\）). 函数的Riemann–Liouville分数次积分z（z）由定义

$$\马塔尔｛J｝_{0}^{p}z（t）=\frac{1}{\varGamma（p）}\int_{0}^{t}（t-\tau）^{p-1}z（\tau$$

积分存在时[12,13]. 函数的Caputo分数导数\（z\在C^{（n）}（[a，b]，\mathbb{R}）中\）由定义

$$^{c}\mathcal{D}（D）_{0}^{p}z（t）=\frac{1}{\varGamma（n-p）}\int_{0}^{t}（t-\tau）^{n-p-1}z^{（n）}（\tau$$

哪里\（n-1<p<n\）具有\（n=【p】+1）[12,13]. 众所周知，分数阶微分方程的一般解\（{}^{c}\mathcal{D}（D）_{0}^{p}z（t）=0\）由提供\（z（t）=b{0}+b_{1} t吨+b个_{2} t吨^{2} +\cdots+b_{n-1}吨^{n-1}\），其中\（b_｛0｝，\ldots，b_｛n-1｝\）是一些实数和\（n=【p】+1）[14]. 此外，对于每个正实数T型和每个连续函数z（z）关于区间\（[0，T]\），关系

$$\bigl（\mathcal{我}_{0}^{p}{}^{c}\mathcal{D}（D）_{0}^{p}\biger）z（t）=z（t_{j} t吨^{j} =z（t）+b_｛0｝+b_{1} t吨+b个_{2} t吨^{2} +\cdots+b_{n-1}吨^{n-1}$$

保持，其中\（b_{0}，\ldots，b_{n-1}）是一些实常量和\（n=【p】+1）[14].

假设\（（\mathcal{M}，\|\cdot\|_{\mathcal{M}}）\）是一个赋范空间。我们表示为\（{\mathcal{P}}（\mathcal{M}）\）,\（{\mathcal{P}}_{cl}（\mathcal{M}）\）,\（{\mathcal{P}}_{b}（\mathcal{M}）\）,\（{\mathcal{P}}_{cp}（\mathcal{M}）\）和\（{\mathcal{P}}_{cv}（\mathcal{M}）\）所有子集的集合\（\mathcal{M，}\）所有闭子集的集合\（\mathcal{M，}\）的所有有界子集集\（\mathcal{M，}\）的所有紧子集的集合\（\数学｛M，｝\）和所有凸子集的集合\（\mathcal{M}\）分别是。集值映射\（\mathcal{G}\）如果集合\（\mathcal{G}（z）\）每个元素都是凸的\（z\in\mathcal{M}\）此外，我们说集值映射\（\mathcal{G}\）是上半连续的（美国）\（z^{*}\在\mathcal{M}\中），集合\（\mathcal{G}（z^{*}）\）属于\（\mathcal{P}（P）_{cl}（\mathcal{M}）\）对于每个开放集\（\mathcal{V}\）包含\（\mathcal{G}（z^{*}）\），有一个开放的社区\（\mathcal{U}（U）_{0}^{*}\)属于\（z^{*}\）使得\（\mathcal{G}（\ mathcal{U}（U）_{0}^{*}）\subseteq\mathcal{V}\）[15]. 一个元素\（z^{*}\在\mathcal{M}\中）称为多值映射的不动点\（\mathcal{G}:\mathcal{M}\to\mathcali{P}（\mathcal{M}）\）无论何时\（z^{*}\在\mathcal{G}（z^}）中\）[15]. 多功能的所有固定点的集合\（\数学｛G｝\）表示为\（{\mathrm{Fix}}（\mathcal{G}）\）[15].

让\（（\mathcal{M}，d_{\mathcal{M}}）\）是一个度量空间。对于每两个子集\（A_{1}，A_{2}\in\mathcal{P}（\mathcal{M}）\）庞培–豪斯多夫公制\（\mathrm{酸碱度}_{d} ：{\mathcal{P}}由定义

$$\mathrm美元｛小时｝_{d_{\mathcal{M}}（A{1}，A{2}）=\max\Bigl\{\sup_{A{1}\在A{1{}}d_{\ mathcal{M}}中（A{1{，A_2}），\sup_{A_2}\在A{2}}d_{中$$

哪里\（d_{\mathcal{M}}（A{1}，A{2}）=\inf{A{1}\在A{1{}}d_{\ mathcal}}中和\（d_{\mathcal{M}}（a{1}，a{2}）=\inf{a{2}\在a{2{}d_{\ mathcal}}中[15]. 多值函数\（\mathcal{G}:\mathcal{M}\到{\mathcali{P}}_{cl}（\mathcal{M}）\）据说是利普希茨常数\（k>0）无论何时\（\mathrm{酸碱度}_{d_{\mathcal{M}}（\mathcal{G}（z{1}），\mathcali{G}（z{2}））为每个人保留\（z_{1}，z_{2}\in\mathcal{M}\）一张Lipschitz地图\（\mathcal{G}\）每当\（k\英寸（0,1）\）[15]. 集值算子\（\mathcal{G}:[0,1]\到{\mathcal{P}}_{cl}（\mathbb{R}）\）当函数\（t \longmapsto d_{\mathcal{M}}（\omega，\mathcal{G}（t））=\inf\{|\omega-\nu|：\nu\in\mathcali{G}（t）\}\）对于所有实际常数都是可测量的ω[15,16]. 集值函数的图\（\mathcal{G}:\mathcal{M}\to\mathcar{P}（P）_{cl}（\mathcal{Q}）\）由定义\（\mathrm{Graph}（\mathcal{G}）=\{（z_{1}，z_{2}）\in\mathcal{M}\times\mathcali{Q}:w^{*}\in\mathcal{G}（z）\}\）[15]. 我们称之为\（\mathcal{G}\）对于每个序列，无论何时都关闭\（{z{n}}{n\geq1}）在里面\（\mathcal{M}\）和\（{w{n}}{n\geq1}）在里面\（\mathcal{Q}\）,\（z{n}\到z{0}\）,\（从w{n}到w{0}）和\（w_{n}\in\mathcal{G}（z_{n{）），wh have\（w_{0}\in\mathcal{G}（z_{0{）\）[16].

多功能\（\mathcal{G}\）当集合\（\mathcal{G}（\mathcal{W}）\）总体来说相对紧凑\（\mathcal{W}\in\mathcal{P}（P）_{b} （\mathcal{M}）\）.如果多功能\（\mathcal{G}:\mathcal{M}\to\mathcar{P}（P）_{cl}（\mathcal{Q}）\）是上半连续的，那么\（\mathrm{Graph}（\mathcal{G}）\）是产品空间的子集\（\mathcal｛M｝\times\mathcal｛Q｝\）具有紧密性。相反，如果集值映射\（\mathcal{G}\）是完全连续的并且有一个闭合图，那么\（\mathcal{G}\）是上半连续的([15]，提议2.1）。集值映射\（\mathcal{G}:[0,1]\times\mathbb{R}\rightarrow{\mathcal{P}}（\mathbb{R}）\）据说无论何时都是Carathéodory多功能\（t\mapsto\mathcal{G}（t，z）\）是所有人都可以测量的映射\（z\in\mathbb{R}\）和\（z\mapsto\mathcal{G}（t，z）\）几乎所有映射都是上半连续映射\（在[0,1]\中）[15,16]. 此外，还有Carathéodory多功能\（\mathcal{G}:[0,1]\times\mathbb{R}\rightarrow{\mathcal{P}}（\mathbb{R}）\）据说是\（\mathcal{L}^{1}\）-每时每刻都有焦糖气味\（\mu>0\）存在一个函数\（\phi_{\mu}\in\mathcal{L}^{1}（[0,1]，\mathbb{R}^{+}）使得

$$\bigl\Vert\mathcal{G}（t，z）\bigr\Vert=\sup_{t\in[0,1]}\bigl\\verts\Vert:s\in\mathcal}（t，z）\ bigr\}\leq\phi_{\mu}（c）$$

为所有人\（|z|\leq\mu\）几乎所有人\（在[0,1]\中）[15,16]. 多功能选择集\（\mathcal{G}\）在点\（z\在C（[0,1]，\mathbb{R}）中\）由定义

$$（SEL）_{\mathcal{G}，z}:=\bigl\{v\in\mathcal{L}^{1}\bigl（[0,1]，\mathbb{R}\bigr）：v（t）\in\mathcal{G}\bigle（t，z（t）\ bigr\}$$

几乎所有人\（在[0,1]\中）[15,16]. 让\（\mathcal{G}\）是一个集值映射。众所周知\（（SEL）_{\mathcal{G}，z}\neq\emptyset\）为所有人\（z\在C（[0,1]，\mathcal{M}）中\）无论何时\（\dim\mathcal{M}<\infty\）[15]. 我们需要以下结果。

引理1

（Dhage的Schaefer型非线性选择[17])

让\（\mathcal{M}\）是Banach代数。对于每个正数\（\varepsilon\in\mathbb{R}\）,考虑一下开球\（V_{\varepsilon}（0）\）和闭合球\（\上横线{垂直}_{\varepsilon}（0）\）。假设两个操作符\（\mathcal{乙}_{1} ：\mathcal{M}\到\mathcal{M}\）和\（\数学{乙}_{2} ：\覆盖线{垂直}_{\varepsilon}（0）\to\mathcal{M}\）满足以下条件:

• （i） \（\mathcal{乙}_{1}\)是包含Lipschitz属性和Lipschit常量的运算符\（l^{*}\）;

• （ii） \（\mathcal{乙}_{2}\)具有完整的连续性属性;

• （iii） \（l^{*}M_{0}^{*{<1\）,以便\（M_{0}^{*}=\Vert\mathcal{乙}_{2} （\上横线{垂直}_｛\varepsilon｝（0））\Vert_｛\mathcal｛M｝｝＝\sup\｛\Vert\mathcal{乙}_{2} z（z）\垂直{\mathcal{M}}:z\在\上划线{垂直}_{\varepsilon}（0）\}\）。

然后要么

• （a） 算子方程\（\mathcal{乙}_{1} z（z）\马查尔{乙}_{2} z（z）=z）在中有解决方案\（\上横线{垂直}_{\varepsilon}（0）\）,或

• （b） 有一个元素\（v^{*}\在\mathcal{M}\中）具有\（\Vert v^{*}\Vert_{mathcal{M}}=\varepsilon\）使得\（\mu\mathcal{乙}_{1} v（v）^{*}\马塔尔{乙}_{2} v（v）^{*}=v^{*}\）对一些人来说\（\mu\英寸（0,1）\）。

引理2

([18])

假设\（\mathcal{M}\）是可分离的Banach空间,\（\mathcal{G}:[0，1]\times\mathcal{M}\ to{\mathcali{P}}_{cp，cv}（\mathcal{M}）\）是一个\（\mathcal{L}^{1}\）-Carathéodory多功能和\（\varUpsilon:\mathcal｛L｝^｛1｝（[0,1]，\mathcal｛M｝）\到C（[0,1]，\mathcal｛M｝）\）是线性连续映射。然后

$$\varUpsilon\circ（SEL）_{\mathcal{G}}:C\bigl$$

是产品领域的运营商\（C（[0,1]，\mathcal{M}）\乘以C（[0.1]，\mathcal{M}）有行动\（z\mapsto（\varUpsilon\circ（SEL）_{\mathcal{G}}）具有闭图属性。

引理3

([19])

让M（M）是Banach代数。假设存在一个-有值映射\（\mathcal{乙}_{1} ：\mathcal{M}\到\mathcal{M}\）和一个多重-有值映射\（\mathcal{乙}_{2} ：\mathcal{M}\to\mathcar{P}（P）_{cp，cv}（\mathcal{M}）使得

• （i） \（\mathcal{乙}_{1}\)是包含Lipschitz属性和Lipschit常量的运算符\（l^{*}\）;

• （ii） \（\mathcal{乙}_{2}\)是包含上半部分的运算符-连续性和紧性;

• （iii） \（2l^{*}M_{0}^{*{<1\）以便\（M_{0}^{*}=\Vert\mathcal{乙}_{2} （\mathcal{M}）\垂直\）。

然后要么

• （a） 有一个解决方案\（\mathcal{M}\）用于运算符包含\（z\in\mathcal{乙}_{1} z（z）\马查尔{乙}_{2} z（z）\),或

• （b） 这套\（\varSigma^{*}=\{v^{*{\在\mathcal中{乙}_{1} 五^｛*｝\数学{乙}_{2} v（v）^{*}，\mu>1\}\）没有边界。

2主要成果

考虑巴纳赫空间\（\mathcal{M}=C_{\mathbb{R}}（[0,1]）\）符合规范

$$\Vert z\Vert_{mathcal{M}}=\sup\bigl\{bigl\Vert z（t）\bigr\Vert:t\in[0,1]\bigr\}$$

现在，我们提供了第一个关键结果。

引理4

让\（\rho\in\mathcal{M}\）。A函数\（z{0}\）是混合分数方程的解

$$｛｝^｛c｝\数学{D}（D）_{0}^{p}\biggl（\frac{z（t）}{h（t，z（t$$

(5)

和三个-点混合边界条件

$$\开始{对齐}&\mathcal{D}\biggl（\frac{z（t）}{h（t，z（t））}\bigr）\bigg\vert_{t=0}=0，\\&\lambda{}^{c}\mathcal{D}（D）_{0}^{p-1}\biggl（\frac{z（t）}{h（t，z（t$$

(6)

当且仅当\（z{0}\）是积分方程的解

$$开始{对齐}z（t）={}&h\bigl（t，z（t（p）}\rho（\tau）\，\mathrm{d}\tau+\lambda\int_{0}^{1}\rho。\结束{对齐}$$

(7)

证明

首先，假设\（z{0}\）是混合分数方程的解(5). 然后存在常量\（b_{0}，b_{1}\in\mathbb{R}\）使得

$$z_{0}（t）=h\bigl（t，z_{0}（t）\bigr）\biggl[-\int_{0{^{t}\frac{（t-\tau）^{p-1}}{varGamma（p）}\rho（\tau_{1} t吨\biggr]$$

（8）

然后

$$\mathcal{D}\biggl（\frac{z_{0}（t）}{h（t，z_{0}（t））}\bigr）=-\int_{0{^{t}\frac}（t-\tau）^{p-2}}{varGamma（p-1）}\rho（\tau）\，\mathrm{D}\tau+b_{1}$$

和

$$^{c}\mathcal{D}（D）_{0}^{p-1}\biggl（\frac{z{0}（t）}{h（t，z{0{（t$$

因此，\（b{1}=0\）和

$$b_{0}=\int_{0{^{1}\rho（\tau）\，\mathrm{d}\tau+\int_}0}^{eta}\frac{（\ta-\tau$$

通过替换这些值\（b_{0}\）和\（b{1}\）英寸(8)，我们得到

$$z_{0}（t）=h\bigl（t，z_{0}（t）\bigr）\biggl[-\int_{0{^{t}\frac{（t-\tau）^{p-1}}{varGamma（p）}\rho（\tauρ（τ）\，\mathrm{d}\tau+\lambda\int_{0}^{1}\rho（\tau）\、\mathrm{d}.tau\biggr]$$

这意味着\（z_｛0｝\）是分数阶积分方程的解函数(7). 相反，很容易看出\（z{0}\）是分数阶混合问题的解函数(5)——(6)无论何时\（z{0}\）是分数阶积分方程的解函数(7). □

定理5

假设\（h\在C中（[0,1]\times\mathbb{R}，\mathbb{R}\setminus\{0\}）\）和\（C中的\varPhi\（[0,1]\times\mathbb{R}，\mathbb{R}）\）和

\（（\mathcal）{A} 1个)\):

存在一个有界映射\（\kappa:[0,1]\到\mathbb{R}^{+}\）使得

$$\bigl\vert h（t，z_{1}）-h（t，z_{2}）\bigr\vert\leq\kappa（t）\bigl\ vert z_{1'（t）-z_{2{（t）\ bigr\ vert$$

为所有人\（z_{1}，z_{2}\in\mathbb{R}\）和\（在[0,1]\中）,

\（（\mathcal）{A} 2个)\):

有一个连续的非-递减映射\（\chi:[0，\infty）\到（0，\inffy）\）和一个连续函数\（g:[0,1]\到\mathbb{R}^{+}\）使得

$$\bigl\vert\varPhi（t，z）\bigr\vert\leq g（t）\chi\bigl（\vert z\vert\bigr）$$

对于\（在[0,1]\中）以及所有人\（z\in\mathbb{R}\）,

\（（\mathcal）{A} 3个)\):

有一个正实数ε使得

$$开始{对齐}\varepsilon>\frac{H^{*}\Delta^{*{G^{**}\chi$$

(9)

哪里\（H^{*}=\sup_{t\in[0,1]}\vert H（t，0）\vert\）,\（G^{*}=\sup_{t\in[0,1]}\vert G（t）\vert\）,\（\kappa^{*}=\sup_{t\in[0,1]}\vert\kappa（t）\vert\）和

$$\Delta^{*}=\frac{1}{\varGamma（p+1）}+\frac}\eta^{p}{\valGamma$$

(10)

如果\（\κ^｛*｝\Δ^｛*｝G^｛*｝\chi（\Vert z\Vert）<1\）,那么混合分数问题(1)–(2)至少有一个解决方案。

证明

考虑一下闭合球\（\上横线{垂直}_{\varepsilon}（0）：=\{z\in\mathcal{M}:\Vertz\Vert_{\mathcal{M}}\leq\varepsilon\}\）在巴纳赫空间\（\mathcal{M}\），其中ε满足不等式(9). 通过使用引理4和分数阶积分方程(7)，我们定义了两个运算符\（\mathcal{乙}_{1} ，\mathcal{乙}_{2} ：\覆盖线{垂直}_{\epsilon}（0）\to\mathcal{M}\）通过\（（\mathcal）{乙}_{1} z）（t）=h（t，z（t））和

$$开始{对齐}（\mathcal{B}_{2}z）（\tau）={}&{-}\int_{0}^{t}\frac{（t-\tau \biger）\，\mathrm{d}\tau\\&{}+\int_{0}^{\eta}\frac{（\eta-\tau）^{p-1}}{\varGamma（p）}\varPhi\bigl（\tau，z（\t au）\bigr）\，\mathrm{d}\tau。\结束{对齐}$$

很明显\（z\in\mathcal{M}\）作为分数阶混合问题的一种解法(1)——(2)满足算子方程\（\mathcal{乙}_{1} z（z）\马查尔{乙}_{2} z（z）=z）.通过应用引理的假设来证明这个主题1，我们证明存在这样的解决方案。在第一步中，证明了算子\（\mathcal{乙}_{1}\)是赋范空间上的Lipschitz算子\（\mathcal{M}\）Lipschitz常数\（\kappa^{*}=\sup_{t\in[0,1]}\vert\kappa（t）\vert\）.让\（z_{1}，z_{2}\in\mathcal{M}\）.通过使用假设(\（\mathcal{A} 1个\))，我们有

$$\开始｛对齐｝\bigl\vert（\mathcal{乙}_{1} z_{1} ）（t）-（\马塔尔{乙}_{1} z（z）_{2} ）（t）\bigr\vert&=\bigl\vert h\bigl$$

对于每个\上划线中的（z{1}，z{2}{垂直}_{\varepsilon}（0）\）.通过接管最高权力$[0,1]$可以推断出

$$\开始{aligned}\Vert\mathcal{乙}_{1} z（z）_{1}-\马查尔{乙}_{1} z（z）_{2} \垂直_{\mathcal{M}}\leq\kappa^{*}\Vert z_{1} -z（-z）_{2} \垂直{\mathcal{M}}\结束{aligned}$$

为所有人\上划线中的（z{1}，z{2}{垂直}_{\varepsilon}（0）\）。这表明\（\mathcal{乙}_{1}\)Lipschitzian算子是开的吗\（\上横线{垂直}_{\varepsilon}（0）\）Lipschitz常数\（\kappa^{*}\）.建立操作员的完整连续性\（\mathcal{乙}_{2}\)在\（\上横线{垂直}_{\varepsilon}（0）\），我们首先证明\（\mathcal{乙}_{2}\)持续打开\（\上横线{垂直}_{\varepsilon}（0）\）.为此目的，假设\（{z{n}）是开球中的一个序列\（\上横线{垂直}_{\varepsilon}（0）\）具有\（z{n}\到z\），其中z（z）是的元素\（\上横线{垂直}_{\varepsilon}（0）\）.自Φ持续打开\（[0,1]\times\mathbb｛R｝\）,\（\lim_{n\to\infty}\varPhi（t，z_{n}（t））=\varPhi（t，z（t）.通过使用Lebesgue支配收敛定理，我们得出如下结论

$$\开始{aligned}\lim_{n\to\infty}（\mathcal{乙}_{2} z（z）_{n} ）（t）={}&{-}\int_{0}^{t}\frac{（t-\tau）^{p-1}{\varGamma（p）}\lim_{n\to\infty}\varPhi\bigl（tau，z{n}（\tau）\biger）\，\mathrm{d}\tau\\&{}+\int_{0}^{\eta}\frac{（\ta-\tau，^{p-1}}{\varGamma（p）}\lim_{n\to\infty}\varPhi\bigl（\tau，z_{n}（\tao）\bigr 0}^{1}\varPhi\bigl（\tau，z（\tau）\bigr）\，\mathrm{d}\tau\\&{}+\int_{0}^}\eta}\frac{（\eta-\tau，^{p-1}}{\varGamma（p）}\varPhi\bigl（\tau，z（\tau）\bigr）\，\mathrm{d}\tau\\={}&（\mathcal{乙}_{2} z（z）)（t）结束{对齐}$$

为所有人\（在[0,1]\中）因此，\（\mathcal{乙}_{2} z（z）_{n} \到\数学{乙}_{2} z（z）\)等等\（\mathcal{乙}_{2}\)是上的连续运算符\（\上横线{垂直}_{\varepsilon}（0）\）。

在下一步中，算子的一致有界性\（\数学{乙}_{2}\)在\（\上横线{垂直}_{\varepsilon}（0）\）已选中。根据假设(\（\mathcal{A} 2个\))，我们有

$$\开始{aligned}\bigl\vert（\mathcal{乙}_{2} z（z）)（t）\bigr\vert={}&\int_{0}^{t}\frac{（t-\tau）^{p-1}}{\varGamma（p）}\bigl\vert\varPhi\bigl（\tau，z（\tau）\biger）\biger\vert\，\mathrm{d}\tau+\lambda\int_{0}^{1}\bigle\vert\valPhi\bigl，\mathrm{d}\tau\\&{}+\int_{0}^{\ta}\frac{（\ta-\tau）^{p-1}}{varGamma（p）}\bigl\vert\varPhi\bigl（\tau，z（\tau）\biger）\bigr\vert\，\mathrm{d}\tau\\leq{}&\frac{t^{p}}{\varGamma（p+1）}g（\tao）\chi\bigle（\Vertz\vert\bigr）+\lambda g（\tau）\chi\ bigl{\varGamma（p+1）}g（\tau）\chi\bigl（\vert z\vert\bigr）\end{aligned}$$

为所有人\（在[0,1]\中）和\（z\内\上{垂直}_{\varepsilon}（0）\）.因此\（\Vert\mathcal{乙}_{2} z（z）\垂直\leq G^{*}\chi（\Vert z\Vert）\Delta^{*{），其中\（\增量^{*}\）在中给出(10). 这意味着集合\（\mathcal{乙}_{2} （\上横线{垂直}_{\varepsilon}（0））是赋范空间中一致有界的\（\mathcal{M}\）。现在，运算符的等连续性\（\数学{乙}_{2}\)已进行调查。为此，假设\（[0,1]\中的t{1}，t{2}\）具有\（t{1}<t{2}）.那么我们有

$$\开始{aligned}\bigl\vert（\mathcal{乙}_{2} z（z）)（t{2}）-（mathcal{乙}_{2} z（z）)（t{1}）\bigr\vert={}&\biggl\vert\int_{0}^{t{2}}\frac{（t_{2}-\tau）^{p-1}}{\varGamma（p）}\varPhi\bigl（\tau，z（\tao）\bigr）\，\mathrm{d}\tau\\&{}-\int_{0}^{t_{1}}\frac{（t_{1}-\tau）^{p-1}}{\varGamma（p）}\varPhi\bigl（\tau，z（\tao）\bigr）\，\mathrm{d}\tau\biggr\vert\\leq{}&G^{*}\chi\bigle（\Vertz\vert\biger）\biggl[\int_{0}^{t{1}\biggl（\frac{（t_{2}-\τ）^{p-1}}{\varGamma（p）}-\frac{（t_{1}-\tau）^{p-1}}{varGamma（p）}\biggr）\，\mathrm{d}\tau\\&{}+\int_{t{1}}^{t{2}}\frac{（t_{2}-\tau）^{p-1}}{varGamma（p）}\，\mathrm{d}\tau\biggr]。\结束{对齐}$$

可以观察到，不等式的右侧收敛到零，与\（z\内\上{垂直}_{\varepsilon}（0）\）作为\（t{1}到t{2}）因此，操作员\（\mathcal{乙}_{2}\)是等容的。现在，通过使用Arzela–Ascoli定理，我们得出以下结论：\（\mathcal{乙}_{2}\)在上完全连续\（\上横线{垂直}_{\varepsilon}（0）\）。

另一方面，通过使用(\（\mathcal{A} 3个\))，我们有

$$\开始{aligned}M_{0}^{*}&=\bigl\Vert\mathcal{乙}_{2} \bigl（上横线{垂直}_{\varepsilon}（0）\biger）\bigr\Vert_{\mathcal{M}}=\sup\bigl\{\Vert\mathcal{乙}_{2} z（z）\ vert:z\ in\上划线{垂直}_{\varepsilon}（0）\bigr\}\\&=G^{*}\chi\bigl。\结束{对齐}$$

通过放置\（l^{*}=\kappa^{*{），我们得到\（G^{*}l^{*{<1\）所以引理的假设1保持不变，因此引理中的条件（a）或（b）之一1持有。对于一些人\（\mu\英寸（0,1）\），假设z（z）满足算子方程\（z=\mu\mathcal{乙}_{1} z（z）\马查尔{乙}_{2} z（z）\)以便\（\Vert z\Vert=\varepsilon\）.那么我们有

$$\开始{aligned}\bigl\vert z（t）\bigr\vert={}&\mu\bigl\ vert（\mathcal{乙}_{1} z（z）)（t）\bigr\vert\bigl\vert（\mathcal{乙}_{2} z（z）)（t）\bigr\vert=\mu\bigl\vert h\bigl（t，z（t）\ bigr）\biger\vert\\&{}\times\biggl\vert-\int_{0}^{t}\frac{（t-\tau）^{p-1}}{varGamma bigl（\t，z（\t）\bigr）\，\mathrm{d}\tau\\&{}+\int_{0}^{\ta}\frac{（\ta-\tau）^{p-1}}{\varGamma（p）}\varPhi\bigl \tau）^{p-1}}{varGamma（p）}\bigl\vert\varPhi\bigl（\tau，z（\tau）\bigr）\biger\vert\，\mathrm{d}\tau+\lambda\int_{0}^{1}\bigl\vert\varPhi\bigl（\tau，z（\tau）\biger）\bigr\vert\，\mathrm{d}\tau\\&{}+\int_}0}^}\eta}\frac{（\ta-\tau）^{p-1}{\varGamma \，\mathrm{d}\tau\biggr）\\leq{}&\bigl（\kappa（t）\bigl\vert z（t）\ bigr\vert+H^{*}\bigr）\Delta^{*{G^{*}\chi\bigl（\Vert z\Vert\bigr$$

等等\（\varepsilon\leq\frac{H^{*}\Delta^{*>G^{**}\chi（\Vertz\Vert）}{1-\kappa^{*{Delta^}\Delta（\Vert z\Vert]）}\）这与不平等是矛盾的(9). 这意味着引理的条件（b）1是不可能的。因此，引理中的条件（a）1hold与分数混合问题(1)——(2)有解决方案。 □

现在，我们将陈述并证明我们对于恒温器分数混合包含模型的主要结果，如下所示(三)——(4).

定义6

我们说绝对连续函数\（z:[0,1]\to\mathbb{R}\）是分数混合包含问题的解(三)——(4)只要有可积函数\（v\in\mathcal{L}^{1}（[0,1]，\mathbb{R}）\）具有\（v（t）在mathcal{G}（t，z（t））中几乎所有人\（在[0,1]\中）,

$$\mathcal{D}\biggl（\frac{z（t）}{h（t，z（t））}\bigr）\bigg\vert_{t=0}=0，\qquad\lambda{}^{c}\mathcal{D}（D）_{0}^{p-1}\biggl（\frac{z（t）}{h（t，z（t$$

和

$$z（t）=h\bigl（t，z（t d}\tau+\lambda\int_{0}^{1}v（\tau）\，\mathrm{d}\tao\biggr]$$

为所有人\（在[0,1]\中）。

定理7

假设

(\（\mathcal{A} 4个\)):

存在有界映射\（\kappa:[0,1]\到\mathbb{R}^{+}\）使得,对于每个\（z_｛1｝，z_｛2｝\in\mathbb｛R｝\）和\（t\在[0,1]\中）,我们有\（\verth（t，z{1}（t））-h;

(\（\mathcal{A} 5个\)):

成套设备-有值映射\（\mathcal{G}:[0,1]\times\mathbb{R}\to\mathcal{P}（P）_{cp，cv}（\mathbb{R}）\）有\（\mathcal{L}^{1}\）-卡拉斯气味特性;

(\（\mathcal{A} 6个\)):

存在正映射\（\sigma\in\mathcal{L}^{1}（[0,1]，\mathbb{R}^{+}）\）使得

$$\bigl\Vert\mathcal{G}（t，z）\bigr\Vert=\sup\bigl\{\Vert v\Vert:v\in\mathcal}\bigl（t、z（t）\biger）\biger\}\leq\sigma（t）$$

为所有人\（z\in\mathbb{R}\）,几乎所有\（在[0,1]\中）和\（\Vert\sigma\Vert_{mathcal{L}^{1}}=\int_{0}^{1}\Vert\sigma（\tau）\Vert\，\mathrm{d}\tau\）;

(\（\mathcal{A} 7个\)):

存在一个正数\（\tilde{\varepsilon}\in\mathbb{R}\）使得

$$\tilde{\varepsilon}>\frac{H^{*}\Delta^{*neneneep \Vert\sigma\Vert_{\mathcal{L}^{1}}{1-\kappa^{*{Delta^}\Vert\sigma\Vert_{\mathcal{L}^{1}}}$$

(11)

哪里\（H^{*}=\sup_{t\in[0,1]}\vert H（t，0）\vert\）和\（\kappa^{*}=\sup_{t\in[0,1]}\vert\kappa（t）\vert\）。

然后是分数混合包含问题(三)–(4)每次都至少有一个解决方案\（\kappa^{*}\Delta^{*{\Vert\sigma\Vert_{\mathcal{L}^{1}}<\frac{1}{2}\）。

证明

让\（在[0,1]\中）考虑操作员\（\mathcal{K}:\mathcal{M}\to\mathcali{P}（\mathcal{M}）\）由定义

$${\mathcal{K}}（z）=\textstyle\begin{cases}w\in\mathcal{M}:\\w（t）=\ttextstyle\bench{cases}h（t，z（t））（-\int_{0}^{t}\frac{（t-\tau）^{p-1}{\varGamma（p）}v（\tau裂缝{（eta-\tau）^{p-1}}{\varGamma（p）}v（\tau，\mathrm{d}\tau），\quad v\in（SEL）_{mathcal{G}，z}。\结束{cases}\显示样式\结束{cases}$$

注意\（\mathcal{K}\）是分数混合包含问题的一个解(三)——(4). 定义单值映射\（\mathcal{乙}_{1} ：\mathcal{M}\到\mathcal{M}\）通过\（（\mathcal）{乙}_{1} z（z）)（t）=h（t，z（t））和集值映射\（\数学{乙}_{2} ：\mathcal{M}\到\mathcal{P}（\mathca{M}）\）通过

$$（\mathcal{乙}_{2} z（z）)（t）=\textstyle\begin{cases}\psi\in\mathcal{M}:\\psi（t）=\textstyle\ begin{cases}-\int_{0}^{t}\frac{（t-\tau）^{p-1}}{varGamma（p）}v（\tau）}v（\tau）\，\mathrm{d}\tau\\quad{}+\lambda\int_{0}^{1}v（\teau）\，\tathrm{d\tau，\quad v\ in（SEL）_{\mathcal{G}，z}\end{cases}\displaystyle\end{cases}$$

对于\（t\在[0,1]\中）。请注意\（\mathcal{K}（z）=\mathcal{乙}_{1} z（z）\马查尔{乙}_{2} z（z）\).我们证明了这一点\（\mathcal{乙}_{1}\)和\（\mathcal{乙}_{2}\)满足引理的假设三首先通过使用假设(\（\mathcal{A} 4个\))以及定理中的类似证明5，我们可以证明\（\mathcal{乙}_{1}\)Lipschitz开了吗\（\mathcal{M}\）现在，我们证明了集值映射\（\mathcal{乙}_{2}\)具有凸值。让\（z{1}，z{2}{乙}_{2} z（z）\)。然后选择\（v_{1}，v_{2}\在（SEL）_{\mathcal{G}，z}\中）使得

$$开始{对齐}z_{j}（t）={}&{-}\int_{0}^{t}\frac{（t-\tau）^{p-1}}{varGamma（p）}v_{j{（\tau eta}\frac{（\eta-\tau）^{p-1}}{\varGamma（p）}v_{j}（\tau）\，\mathrm{d}\tau\quad（j=1,2）\end{aligned}$$

几乎所有人\（在[0,1]\中）.对于每个常数\（伽马\in（0,1）\），我们有

$$\begin｛aligned｝\gamma z_｛1｝（t）+（1-\gamma）z_｛2｝（t \tau）+（1-\gamma）v_｛2｝（\tau）\bigr]\，\mathrm｛d｝\tau \\&｛｝+\int _｛0｝^｛\eta｝\裂缝{（eta-\tau）^{p-1}}{\varGamma（p）}\bigl[\gamma v{1}（\tau$$

几乎所有人\（在[0,1]\中）.自\（\mathcal{G}\）是凸值的，\（（SEL）_{\mathcal{G}，z}\）具有凸值，因此\（伽马v{1}（t）+（1-\gamma）v{2}（t）\ in（SEL）{mathcal{G}，z}\）为所有人\（在[0,1]\中）因此，\（\mathcal{乙}_{2} z（z）\)是一个凸集合\（z\in\mathcal{M}\）。

建立操作员的完整连续性\（\mathcal{乙}_{2}\)，我们必须证明\（\mathcal{乙}_{2} （\mathcal{M}）\）是一个等距一致有界集。为此，我们证明\（\mathcal{乙}_{2}\)将所有有界集映射到空间的有界子集\（\mathcal{M}\）.对于正数\（\varepsilon^{*}\in\mathbb{R}\），考虑一个有界球\（V_{\varepsilon^{*}}=\{z\in\mathcal{M}:\Vertz\Vert_{\mathcal{M}}\leq\varepsilon^{*}\}\）。对于每个\（z\在V_{\varepsilon^{*}}\中）和\（\psi\in\mathcal{乙}_{2} z（z）\)，有一个函数\（v\ in（SEL）_{\mathcal{G}，z}\）使得

$$开始{对齐}\psi（t）={}&{-}\int_{0}^{t}\frac{（t-\tau）^{p-1}}{\varGamma（p）}v（\tau tau）^{p-1}}{varGamma（p）}v（\tau）\，\mathrm{d}\tau\end{aligned}$$

为所有人\（在[0,1]\中）.那么我们有

$$\begin{aligned}\bigl\vert\psi（t）\bigr\vert\leq{}&\int_{0}^{t}\frac{（t-\tau）^{p-1}}{\varGamma（p）}\bigl\ vertv（\tau{}+\int_{0}^{\eta}\frac{（\eta-\tau）^{p-1}}{\varGamma（p）}\bigl\vertv（\tau\tau\\leq{}&\int_{0}^{t}\frac{（t-\tau）^{p-1}{\varGamma（p）}\sigma（\tau 1}}{\varGamma（p）}\sigma（\tau）\，\mathrm{d}\tau\\leq&{}\biggl[\frac{1}{\varGamma+\lambda\biggr]\Vert\sigma\Vert_{\mathcal{L}^{1}}\\=&{}\Delta^{*}\Vert\sigma\Vert_{\mathcal{L1}}，\end{aligned}$$

哪里\（\增量^{*}\）中给出(10). 因此，\（\Vert\psi\Vert\leq\Delta^{*}\Vert\sigma\Vert_{\mathcal{L}^{1}}\）这意味着\（\mathcal{乙}_{2} （\mathcal{M}）\）是一致有界集。现在，我们显示操作符\（\mathcal{乙}_{2}\)将有界集映射到等距集上。让\（z\在V_{\varepsilon^{*}}\中）和\（\psi\in\mathcal{乙}_{2} z（z）\)。选择\（v\ in（SEL）_{\mathcal{G}，z}\）使得

$$\begin｛aligned｝\psi（t）=｛｝&｛-｝\int _｛0｝^｛t｝\frac｛（t-\tau）^｛p-1｝｝｝｛\varGamma（p）｝v（\tau）\，\mathrm｛d｝\tau+\lamba\int _｛0｝^｛1｝v（\tau）\，\mathrm｛d｝\tau\&｛｝+\int _｛0｝^｛\tau｝\frac（\ta-\tau）^｛p-1｝｝｝｝｛\varGamma（p）｝v（\tau）\，\mathrm rm｛d｝\tau\end｛aligned｝$$

为所有人\（在[0,1]\中）对于每个\（[0,1]\中的t{1}，t{2}\）具有\（t{1}<t{2}），我们有

$$\开始{aligned}\bigl\vert\psi（t_{2}）-\psi（t_}1}）\bigr\vert\leq{}&\biggl\vert\int_{0}^{t{2}}\frac{（t_{2}-\τ）^{p-1}}{varGamma（p）}v（\tau）\，\mathrm{d}\tau\\&{}-\int_{0}^{t_{1}}\frac{（t_{1}-\tau）^{p-1}}{varGamma（p）}v（\tau）\，\mathrm{d}\tau\biggr\vert\\\leq{}&\int_{0}^{t{1}}\biggl（\frac{[（t_{2}-\tau）^{p-1}-（t_{1}-\tau）^{p-1}]}{\varGamma（p）}\biggr）\sigma（\tau_{2}-\tau）^{p-1}}{\varGamma（p）}\sigma（\tau）\，\mathrm{d}\tau。\结束{对齐}$$

很明显，上述不等式的右侧与零无关\（z\在V_{\varepsilon^{*}}\中）作为\（t{2}到t{1}）因此，通过使用Arzela–Ascoli定理\（\mathcal{乙}_{2} ：C（[0,1]，\mathbb{R}）\到\mathcal{P}（C（[0.1]，\mathbb{R}））\）具有完整的连续性属性。

现在，我们展示一下\（\mathcal{乙}_{2}\)有一个闭合图，这意味着\（\mathcal{乙}_{2}\)是上部半连续的，因为\（\mathcal{乙}_{2}\)是完全连续的。为此，假设\（z_｛n｝\在V_｛\varepsilon ^｛*｝｝\中）和\（psi_{n}在mathcal中{乙}_{2} z（z）_{n} \）是这样的\（z{n}\到z^{*}\）和\（到）。我们声称\（\psi^{*}\in\mathcal{乙}_{2} z（z）^{*}\)对于每个\（第1页）和\（psi_{n}在mathcal中{乙}_{2} z（z）_{n} \），选择\（v_{n}\ in（SEL）_{mathcal{G}，z_{n{}\）使得

$$开始{对齐}\psi_{n}（t）={}&{-}\int_{0}^{t}\frac{\eta}\frac{（\eta-\tau）^{p-1}}{\varGamma（p）}v_{n}（\tao）\，\mathrm{d}\tau\end{aligned}$$

为所有人\（在[0,1]\中）。这足以表明存在一个函数\（v^{*}\在（SEL）_{\mathcal{G}，z^{*{}\中）使得

$$开始{对齐}\psi^{*}（t）={}&{-}\int_{0}^{t}\frac{（t-\tau）^{p-1}}{varGamma（p）}v^{*{（\tau \eta}\frac{（\eta-\tau）^{p-1}}{\varGamma（p）}v^{*}（\tau，\mathrm{d}\tau\end{aligned}$$

为所有人\（在[0,1]\中）假设连续线性算子

$$\varUpsilon:\mathcal{L}^{1}\bigl$$

由定义

$$开始{对齐}\varUpsilon（v）（t）=z（t）={}&{-}\int_{0}^{t}\frac{（t-\tau）^{p-1}}{\varGamma（p）}v（\tau分形{（eta-\tau）^{p-1}}{varGamma（p）}v（\tau$$

为所有人\（在[0,1]\中）.那么我们有

$$开始{对齐}\bigl\Vert\psi_{n}（t）-\psi^{*}数据{0}^{1}\bigl（v{n}（\tau）-v^{*}（\t au）\bigr）}{\varGamma（p）}\bigl（v_{n}（\tau）-v^{*}（\t au）\bigr）\，\mathrm{d}\tau\biggr\Vert\to 0\end{aligned}$$

作为\（到英寸）因此，通过使用引理2，我们得出结论，操作员\（\varUpsilon\circ（SEL）_{\mathcal{G}}\）有一个闭合图。自\（\psi_{n}\ in \varUpsilon（（SEL）_{mathcal{G}，z_{n{}）\）和\（z{n}\到z^{*}\），存在\（v^{*}\在（SEL）_{\mathcal{G}，z^{*{}\中）使得

$$\begin｛aligned｝\psi^｛*｝（t）=｛｝&｛-｝\int _｛0｝^｛t｝\frac｛（t-\tau）^｛p-1｝｝｛\varGamma（p）｝v^｛*｝（\tau）\，\mathrm｛d｝\tau+\lambda\int _｛0｝^｛1｝v^｛*｝（\tau）\，\mathrm｛d｝\tau\\&｛｝+\int _｛0｝^｛\eta｝\frac（\eta-\tau）^｛p-1｝｝p）｝v^｛*｝（\tau）\，\mathrm｛d｝\tau \end｛aligned｝$$

为所有人\（t\在[0,1]\中）因此，\（\psi^{*}\in\mathcal{乙}_{2} z（z）^{*}\)等等\（\mathcal{乙}_{2}\)有一个闭合图。因此，\（\mathcal{乙}_{2}\)是上部半连续的。此外，根据假设，操作员\（\mathcal{乙}_{2}\)具有紧凑值。因此，\（\mathcal{乙}_{2}\)是一个紧致的上半连续算子。现在通过使用假设(\（\mathcal{A} 6个\))，我们得到

$$\开始{aligned}M_{0}^{*}&=\bigl\Vert\mathcal{乙}_{2} （\mathcal{M}）\bigr\Vert=\sup\bigl\{\Vert\mathcal{乙}_{2} z（z）\vert:z\in\mathcal{M}\bigr\}\\&=\biggl[\frac{1}{\varGamma（p+1）}+\frac}\eta^{p}}{\varGamma[p+1）{+\lambda\biggr]\vert\sigma\vert_{\mathcal{L}^{1}}\\&=\Delta^{*}\vert\sigma\vert_{\mathcal{L}{1}。\结束{对齐}$$

通过放置\（l^{*}=\kappa^{*{），我们获得\（M_{0}^{*}l^{*{<\压裂{1}{2}\）因此，引理的假设三等待\（\mathcal{乙}_{1}\)和\（\mathcal{乙}_{2}\)且（a）或（b）中的一个条件成立。

我们声称条件（b）是不可能的。通过使用引理三和假设(\（\mathcal{A} 7个\))，假设z（z）是的任意元素\（\varSigma^{*}\）具有\（\Vert z\Vert=\tilde{\varepsilon}\）.然后\（\mu z（t）\in\mathcal{乙}_{1} z（z）（t）\数学{乙}_{2} z（z）（t）\）为所有人\（\mu>1\）.选择相关功能\（v\ in（SEL）_{\mathcal{G}，z}\）然后，针对每个\（\mu>1\），我们获得

$$开始{对齐}z（t）={}&\frac{1}{\mu}h\bigl（t，z（t{}+\int_{0}^{\eta}\frac{（\eta-\tau）^{p-1}}{\varGamma（p）}v（\tau）\，\mathrm{d}\tau\biggr]\end{aligned}$$

为所有人\（在[0,1]\中）因此，我们得到

$$\开始{aligned}\bigl\vert z（t）\bigr\vert={}&\frac{1}{\mu}\bigle\vert h\bigl（t，z（t数据\int_{0}^{1}\bigl\vert v（\tau}{\varGamma（p）}\bigl\vert v（\tau）\bigr\vert\，\mathrm{d}\tau\biggr]\\leq{}&\bigl[\bigl\ vert h\bigl（t，z（t）\biger）-h varGamma（p）}\bigl\vert v（\tau）\bigr\vert\，\mathrm{d}\tau\\&{}+\lambda\int_{0}^{1}\bigr\ vert v\bigr\vert\，\mathrm｛d｝\tau\\&｛｝+\int _｛0｝^｛\eta｝\frac｛（\eta-\tau）^｛p-1｝｝｝｛\varGamma（p）｝\bigl\vert v（\tau）\bigr\vert\，\mathrm｛d｝\tau\biggr]\\leq｛｝&\bigl[\kappa^｛*｝\vert z\vert+H^｛*｝\bigr]\bigl[\int _｛0｝^｛t｝\frac（t-\tau）^｛p-1｝｝｛\varGamma（p）｝\西格玛（\tau）\，\mathrm｛d｝\tau \\&｛｝+\lambda\int _｛0｝^｛1｝\sigma（\tau）\，\mathrm{d}\tau+\int_{0}^{eta}\frac{（\eta-\tau a\Vert_{mathcal{L}^{1}}\end{aligned}$$

为所有人\（在[0,1]\中）因此，

$$\tilde{\varepsilon}\leq\frac{H^{*}\Delta^{*neneneep \Vert\sigma\Vert_{\mathcal{L}^{1}}{1-\kappa^{*{Delta^}\Vert\sigma\Vert_{mathcal}L}^}{1}{}}$$

通过使用条件(11)，我们观察到引理的条件（b）三是不可能的。因此，运算符包含\（z\in\mathcal{乙}_{1} z（z）\马查尔{乙}_{2} z（z）\)有一个解，所以分数混合包含问题(三)——(4)至少有一个解决方案。 □

现在，我们提供两个示例来说明我们的主要结果。

示例1

考虑恒温器模型的分数阶混合微分方程

$${}^{c}\mathcal{D}（D）_{0}^{\frac{3}{2}}\biggl（\ frac{z（t）}{\frac{t\vertz（t$$

(12)

具有三点混合条件

$$\begin{aligned}\begin{aligned}&\mathcal{D}\biggl（\frac{z（t）}{\frac}t\vertz（t{D}（D）_{0}^{\frac{1}{2}}\biggl（\frac{z（t）}{\frac{t\vertz（t+5}\biggr）\bigg\vert_{t=\frac{1}{4}}=0。\结束｛对齐｝\结束｛对齐｝$$

(13)

放置\（p=\压裂{3}{2}\）,\（p-1=压裂{1}{2}）,\（eta=frac{1}{4}\）和\（\lambda=压裂{1}{10}\）.考虑连续映射\（h:[0,1]\times\mathbb｛R｝\ to \mathbb｛R｝\setminus\｛0\｝\）和\（\varPhi:[0,1]\times\mathbb｛R｝\到\mathbb｛R｝^｛+｝\）由定义

$$h\bigl（t，z（t）\bigr）=\frac{t\vertz（t$$

和

$$\varPhi\bigl（t，z（t）\bigr）=\frac{t\sin^{2}$$

如果\（\kappa（t）=t\），然后\（\kappa^{*}=\sup_{t\in[0,1]}\vert\kappa（t）\vert=1\）.放置\（g（t）=压裂{1}{1000}）和\（\chi（\Vert z\Vert）=1）.然后\（\Δ^｛*｝\ simeq 0.85238\）。选择\（varepsilon>0.00426）.然后\（\kappa^{*}\Delta^{*{G^{**}\chi（\Vertz\Vert）\simeq 0.00085<1）现在使用定理5，分数混合方程(12)具有三点混合条件(13)至少有一个解决方案。

示例2

考虑分数混合包含问题

$${}^{c}\mathcal{D}（D）_{0}^{\frac{8}{5}}\biggl（\frac}z（t）}{t\cos\frac{z（t 4}）}+\frac{4}{5}\biggr]\quad\bigl（t\in[0,1]\bigr）$$

(14)

具有三点混合条件

$$\begin{aligned}\begin{aligned}&\mathcal{D}\biggl（\frac{z（t）}{t\cos\frac{z（t）{100}+6}\bigr）\bigg\vert_{t=0}=0，\\&\frac}{4}{}}^{c}\mathcal{D}（D）_{0}^{\frac{3}{5}}\biggl（\frac{z（t）}{t\cos\frac{z（t）}{100}+6}\bigr）\bigg\vert_{t=1}+\biggal（\frac{z（t=0）}{t\cos\frac{z（t-）}{100}+6}\biggr）\big\vert_{t=0.89}=0。\结束｛对齐｝\结束｛对齐｝$$

(15)

放置\（p=\压裂{8}{5}\）,\（p-1=压裂{3}{5}）,\（eta=0.89）和\（\lambda=压裂{7}{4}\）.定义连续映射\（h:[0,1]\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}\setminus\{0\}\）通过\（h（t，z（t））=t\cos\frac{z（t，t）}{100}+6\）和集值映射\（\mathcal{G}:[0,1]\times\mathbb{R}\to\mathcal{P}（\mathbb{R}）\）通过

$$\mathcal{G}\bigl（t，z（t）\bigr）=\biggl[\frac{\vertz（t$$

如果\（\kappa（t）=\压裂{t}{100}\），然后\（\kappa^{*}=\sup_{t\in[0,1]}\vert\kappa（t）\vert=\frac{1}{100}\）.自

$$\vert\psi\vert\leq\max\biggl（\frac{\vertz（t）\vert}{4$$

为所有人\（\psi\in\mathcal{G}（t，z（t））），我们得到\（\Vert\mathcal{G}（t，z（t））\Vert=\sup\{\Vert v\Vert:v\in\mathcal}（t，z（t））\}\leq 1\）.放置\（σ（t）=1）为所有人\（t\在[0,1]\中）等等\（\Vert\sigma\Vert_{mathcal{L}^{1}}=1\）.通过使用上述关系，我们得到\（\Delta^{*}\simeq 3.0298\）。因此，我们可以找到\（tilde{\varepsilon}>0\）具有\（tilde{varepsilon}>21.8712）.自\（\kappa^{*}\Delta^{**}\Vert\sigma\Vert_{\mathcal{L}^{1}}\simeq 0.030298<\frac{1}{2}\），通过使用定理7分数混合包含问题(14)——(15)至少有一个解决方案。

三结论

重要的是我们要提高研究复杂分数阶积分微分方程的能力。其中一种方法是将众所周知的模型扩展到不同的复杂版本。在这项工作中，我们将著名的分数恒温器模型扩展到其混合方程和包含版本。我们还以混合条件的形式考虑了该问题的边值条件。最后，我们提供了两个示例来说明我们的主要结果。