基于多重积分有限体积法的Rosenau RLW方程的保守数值格式

摘要

本文将多重积分有限体积法与拉格朗日插值相结合，应用于Rosenau-RLW（RRLW）方程。我们构造了RRLW方程的两层隐式全离散格式。该数值格式在空间上具有三阶精度，在时间上具有二阶精度。给出了数值解的可解性和唯一性。我们验证了数值格式保持了原方程的能量守恒特性。证明了数值格式的收敛阶\（O（tau^{2}+h^{3}）\）并且无条件稳定。通过数值实验验证了该方案的有效性和准确性。

1介绍

众所周知，非线性偏微分方程存在于数学物理和流体力学的许多领域。在非线性演化方程中，Korteweg–de Vries（KdV）和Rosenau-RLW（RLW）方程是两种典型的情况，如下所示

$$u{t}+u{xxx}+uu{x}=0$$

(1.1)

和

$$u{t}-u{xxt}+u{x}+uu{x{}=0$$

(1.2)

KdV方程(1.1)是一个非线性模型，用于研究长波在矩形通道中传播的变化形式。RLW方程(1.2)用于模拟具有非线性波浪浸泡和弥散的介质中的波浪运动。RLW方程由Peregrine提出[1,2]在经典KdV方程的基础上，对非线性色散波的不同情况进行了解释。

同时，我们注意到RLW方程描述的运动与KdV方程具有相同的近似边界。众所周知，KdV方程有相应的缺点。为了克服KdV方程不可避免的缺点，Rosenau[三,4]引入了一个方程

$$u{t}+u{xxxxt}+u{x}+uu{x}=0$$

(1.3)

解的存在性、唯一性和正则性的理论研究(1.3)，由Park执行[5]. 各种数值技术已被用于求解罗森奥方程[6,7,8,9,10,11,12]尤其包括间断Galerkin方法、C1协调有限元方法[13]，有限差分法和正交三次样条配置法。更多详细的求解过程可在参考文献中获得。[14,15,16,17,18,19].

另一方面，为了进一步了解波的更一般非线性行为，术语\（-u{xxt}\）需要考虑。所以我们解决

$$u{t}-u{xxxt}+u{xxxxt}+u{x}+uu{x}=0$$

(1.4)

该方程通常称为罗森纳-RLW（RRLW）方程。左等. [20]提出了RRLW方程的Crank–Nicolson有限差分方法。同时，针对(1.4)由Pan调查等. [21]. 此外，使用有限元近似解来求解(1.4)建立了半离散和全离散Galerkin方法的相关误差估计[22,23,24]. KdV和RRLW的耦合方程也通过三层平均隐式有限差分格式求解，同时在空间和时间上显示出二阶精度[25]. 参考文献[26]提出用Galerkin三次B样条有限元方法构造RRLW方程的数值格式。平移[27]通过一种更经典的有限差分方法研究了RRLW方程的C-N格式，并证明了相应的可解性和收敛性。此外，Wang构造了一般RRLW方程的差分格式[28]有一些理论证明。

当前工作的主要贡献是为以下RRLW方程提供了一个两层隐式数值格式，并进行了一些理论分析：

$$u{t}-u{xxxt}+u{xxxxt}+u{x}+uu{x}=0，\quad（x，t）\ in（x{l}，x{r}）\ times[0，t]$$

(1.5)

具有初始条件

$$u（x，0）=u{0}（x），\quad x\in[x{l}，x{r}]$$

(1.6)

和边界条件

$$u（x{l}，t）=u（x_{r}，t）=0，\qquad u{xx}$$

(1.7)

在本文中，我们假设初始条件\（u{0}（x）\）按照误差分析的要求足够平滑。系统(1.5)–(1.7)已知满足以下保守定律：

$$E（t）=\垂直u\垂直^{2}+\垂直u_{x}\垂直^{2]+\垂直u{xx}\垂直^{2}=E（0）$$

(1.8)

本文内容如下。首先，在门派。 2，我们给出了一些符号和引理。在Sect。 三，我们提出了一种多重积分有限体积法，它是离散偏微分方程的工具。从而得到了RRLW方程的两层隐式数值格式。接下来，我们讨论了数值格式的离散能量守恒定律，并证明了其在第节中的可解性和唯一性。 三.我们在第节中给出了数值格式的先验估计。 4并证明了数值格式在Sect中的收敛性和稳定性。 5最后，第节给出了数值算例的误差分析和能量分析。 6.

事实上，我们构造的带参数的数值离散格式显示了可以用有限差分法构造的所有离散格式。通过选择待定参数，我们找到了最佳的离散方案。最佳离散格式可以很好地保持原始微分方程的守恒性质。同时，对于原微分方程中的未知函数，该方法大大降低了对未知函数的数学要求。更重要的是，我们解释了提高数值离散格式精度的具体而详细的方法。

2一些符号和引理

2.1一些符号

让小时和τ分别是空间方向和时间方向上的均匀步长，其中\（f=压裂{x_{r} -x个_{l} }{J}\）和\（τ=frac{T}{N}）.

表示\（x_｛j｝=x_｛l｝+jh\（0\le j\le j）\）,\（t_{n}=n\tau（0\len\leN））和\（u{j}^{n}\近似u（x{l}+jh，n\tau）\）.表示网格\（\varOmega_{h}=\{x_{j}|j=0,1，\ldots，j\}\）和\（Z_{h}^{0}={u_{j}|u_{0}=u_{j}=0，j=0,1，\ldots，j\}\）。通常，将使用以下符号：

$$开始{对齐}和\bigl（u{j}^{n+\frac{1}{2}}\bigr）{\widehat{t}}=\frac{u{j{^{n+1}-u_j}^}{n}}{tau}，\qquad u_{j}^{n+/frac{1}{2{}=\frac{u_j{^}n+1}+u_{j}^{n}{2}，\\&\bigl（u{j}^{n}\bigr）{x}=\frac{u{j+1}^{n}-u{j{}^{n}{h}，\qquad\bigl，\\&\bigl（u{j}^{n}\bigr）{\widehat{x}}=\frac{u{j+1}^{n}-u{j-1}^{n}}{2h}，\qquad\bigl{x} x个}=\frac{u{j+1}^{n}-2u{j}^{n}+u{j-1}^{n}}{h^{2}}，\\&\bigl（u{j{n+\fracc{1}{2}{biger）{xx\上划线{x}\上划线n+\frac{1}{2}}+6u{j}^{n+\frac{1{2}{-4u{j+1}^{n+\frac{1}}{2{}+u{j+2}^{n+\frac{1}{2}}{h^{4}}，\qquad\bigl（u^n}，v^{n}\bigr）=h\sum_j}u{j{6}}n个}v_{j}^{n}，\\&\bigl\Vert u^{n{}\bigr\Vert=\sqrt{bigl（u^{n}，u^{n}\biger）}，\qquad\bigl\Vert u^}n}\bigr\ Vert u{infty}=\max_{0\le j\le j}\bigl\ Vert u{j}n{。\结束{对齐}$$

在本文中，我们表示为C类一个正常数，在不同的场合可能有不同的值。

2.2一些引理

引理2.1

对于任意两个网格函数 \（u，v在Z_{h}^{0}\中）,我们有

$$（u_{x}，v）=-（u，v_{\上划线{x}}），\qquad（u__x\上划线}，v）=-$$

此外，如果\（（u{0}^{n}）{x\上划线{x}}=（u{J}^{n}）_x\上拉线{x}{=0\），然后\（（（（{u}^{n}）_{xx\上划线{x}\上划线}，u^{n{）=\垂直u{xx}^{n}\垂直^{2}\）.

引理2.2

\（2B-E） 是正定矩阵,其中矩阵E是J阶单位矩阵+ 1和

$$B=\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots&0&0 \\0&7&1 \\cdots&0&0\\0&1&7 \\cdots&0&0&0 \\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\ vdots＆\vdots\\0&0&&0&\ cdots＆7&0\\0&0&0-\cdots&1&0\\cots&7&0\ 0&0&\\cdotts&0＆0&1\end｛bmatrix｝_｛（J+1）\次（J+1）｝$$

证明

我们知道

$$2B-E=\begin{bmatrix}1&0&0&\ cdots&0&0 \\0&13&2&\cdots&0&0\\0&2&13&\cdotes&0＆0\\vdots&\vdots&\ddots&\ vdots＆\vdots \\0&0&\cdots&13&0\\0&0&&0&\cdot&2&13&0\\ 0&0＆0&\cdos&0&1\end{矩阵}_{（J+1）\次（J+1”）}$$

让${\mathrm{<trans\; data-src="B">B类</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}<trans\; data-src="=">=</trans><trans\; data-src="[">[</trans>\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}<trans\; data-src="]">]</trans><trans\; data-src=",">,</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="B">B类</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}<trans\; data-src="=">=</trans><trans\; data-src="[">[</trans>\begin{array}{cc}\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}& \mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}\\ \mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}& \mathrm{<trans\; data-src="13">13</trans>}\end{array}<trans\; data-src="]">]</trans><trans\; data-src=",">,</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="B">B类</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="3">三</trans>}}<trans\; data-src="=">=</trans><trans\; data-src="[">[</trans>\begin{array}{ccc}\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}& \mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}& \mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}\\ \mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}& \mathrm{<trans\; data-src="13">13</trans>}& \mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}\\ \mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}& \mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}& \mathrm{<trans\; data-src="13">13</trans>}\end{array}<trans\; data-src="]">]</trans>$,\（B_{J+1}=2B-E\）很明显\（\vert B_{1}\vert=1>0，\vert B_{2}\vert=13>0，\ vert B_{3}\ vert=165>0\）和\（{\vert B_{j}\vert\}\（j=4，\ldots，j）\）服从

$$\vert B_{j}\vert=13\vert B_{j-1}\vert-\\vert B_{j-2}\vert+\vert B _{j-3}\vert$$

我们可以得到

$$\begin{aligned}\ begin}对齐}和\vert B_{4}\ vert=13\ vert B_{3}\ vert-\vert B_{2}\ vert+\ vert B_{1}\vert，\\&\vert B _{5}\ vert_ 13\ vert B _{4}\vert-\ vert B _{3}\vert+\ vertB_{2}，\\和\cdots\和\virt B_ 2}\垂直+\垂直B_{J-3}\垂直。\end{aligned}\end{alinged}$$

(2.1)

我们假设\（\vert B_{1}\vert，\vert B_{2}\ vert，\ ldots，\vertB_{J-1}\ vert>0\）。我们想证明\（\vert B_{J}\vert>0\）.来自(2.1),

$$开始{对齐}\vert B_{J}\vert&=12\bigl \vert B_{J-3}\vert+\cdots+\vert B_{3}\ vert\biger）+166>0。\结束{对齐}$$

(2.2)

根据假设，我们有

$$\vert B_{J+1}\vert=\vert B _{J}\vert>0$$

所以\（2B-E）是正定矩阵。□

引理2.3

（不动点定理[29])

H是有限维内积空间.我们假设 \（g:H\至H\） 和 克 是连续的.如果存在 \（阿尔法>0）,对于任何 x个 在里面 H（H）,只要 \（\Vert x \Vert=\alpha\）,我们有 \（（g（x），x）>0）.那一定存在 \（H\（\Vert x^{*}\Vert\le\alpha）中的x^{**}\）,它服从 \（g（x^｛*｝）=0\）.

引理2.4

（离散Sobolev不等式[29])

对于任何离散函数 \（u{h}\） 对于任何给定的 \（\varepsilon>0\）,存在一个常数 \（K（\varepsilon，n））,仅取决于 ε 和 n个,这样的话

$$\垂直u\Vert_{\infty}\le\varepsilon\bigl\Vert{u}_{x} ^｛n｝\bigr\Vert+K（\varepsilon，n）\bigl\Vert｛u｝^｛n｝\bigr\Vert$$

引理2.5

（离散Gronwall不等式[30])

假设离散函数 \（w{h}\） 满足递推公式

$$w_{n}-w_{n-1}\leA\tau w_{n}+B\tau w_{n-1}+C_{n{$$

其中A,B类,\（C_{n}\（n=1,2，\ldots，n）\） 为非负常数.然后

$$\垂直w_{n}\Vert_{infty}\le\Biggl（w_{0}+\tau\sum_{k=1}^{n}C_{k}\Biggr）e^{2（A+B）\tau}$$

哪里 τ 很小,这样的话 \（（A+B）裂缝{N-1}{2N}\（N>1）\）.

三一种隐式守恒数值格式及其离散守恒定律

3.1多重积分有限体积法

有必要简要介绍多重积分有限体积法（MIFVM）。该方法是罗月生提出的一种求解偏微分方程的新近似方法。其基本思想是通过在空间上进行一定数量的积分，使原来的偏微分方程成为积分方程x个方向。目标是积分方程不再包含未知函数的导数项。这样，我们就避免了处理导数项的近似值。

首先，积分的数量取决于空间中最高导数的顺序x个偏微分方程中未知函数的方向。之间的关系米和第页满足\（m=2^{r}-1\），其中米是积分数第页是未知函数在空间中的最高导数的阶数x个方向。

其次，众所周知，例如，原始偏微分方程通常由未知函数和未知函数的导数表示吗\（u{x}，u{xx}，u{xxx}，u{xxxx}\）和u个MIFVM是将原始的偏微分方程转换为积分方程，其表示为\（u{j}^{n}\）.\（u{j}^{n}\近似u（x{l}+jh，n\tau）\）是网格节点处未知函数的近似值。如果有\（u{j+\varepsilon}^{n}\）在积分方程中，我们通常使用拉格朗日多项式来处理它。这一步只是对原始函数的近似。

例如，对于(1.5)，未知函数的最高导数的阶数为4。由\（m=2^{4}-1\），我们应该对每个项目进行15次集成，如所示

$$\int_{xxxx}u_{t}-\int_}xxxx}u_{xxxt}+\int__{xxxxx}u_xxxxt}+\ int_{xxxx}u_{x}+\int _{xxxxxx}uu_{x}=0$$

(3.1)

哪里

$$开始{aligned}\int_{xxxx}u&\overset{\mathrm{def}{=}\int_{x_{j}+\varepsilon_{7}}^{x{j}+\varesilon_{8}}\，dx{f{2}}\int\x{j{6}}^{x}j}+\ varepsilen_{7{}}，dx_{f{1}}}\nint_{x_{j}+\varepsilon_{5}}^{x_j}+\ varepsilen_{6}}\，dx_{e_{2}}\nit_{x{j}}^x{j{+\varesilon_{5{}\，dx_{e{1}}\\&\四{}\times\nint_{x_{j}-\varepsilon_{4}}^{x_j}}\，dx_{d_{2}}\int_{x_{j{-\varesilon_{3}}^{x{j}-\varepsilon_{4]}\，d_x{d_1}}\int}\，dx{c{2}}\\&\四{}\times\int_{x{j}-\varepsilon{1}}^{x{j}-\valepsilon}\，dx{c{1}}\int_x{f{1}{}}^{x{f2}}\，d x{f}\nint_{x_{e_{1}}，^x_{2}}{f}}\，dx{b}\int_{x{c}}^{x{d}}\$$

(3.2)

\（R中的\varepsilon_{i}，i=1,2，\ldot，8\）中心差用于处理时间方向上的一阶导数。然后我们可以得到原始方程的数值格式。

3.2一种二层隐式数值格式

为了得到一个能保持原方程某些性质的数值格式，将MIFVM应用于方程(1.5)准时\（n+\压裂{1}{2}\）水平，我们让\（瓦雷普西隆{1}=-\varepsilon{4}=-\瓦雷普西隆{5}=\瓦雷普西隆{8}=\sqrt{3}h\）,\（瓦雷普西隆{2}=-\varepsilon{3}=-\瓦雷普西隆{6}=\瓦雷普西隆{7}=\frac{\sqrt{3}}{3} 小时\).这样我们就可以

$$\开始{aligned}&\int_{x{j}+\frac{\sqrt{3}}{3} 小时}^{x{j}+\sqrt{3}h}，dx{f{2}}整型{3} 小时}^{x{j}+\frac{\sqrt{3}}{3} 小时}\，dx{f{1}}\int_{x{j}-\sqrt{3}h}^{x{j}-\frac{\sqrt}3}}{3} 小时}\，dx_｛e_｛2｝｝\ int _｛x_｛j｝-\sqrt｛3｝h｝^｛x_｛j｝｝\，dx_｛e_｛1｝｝\ int _｛x_｛j｝｝^｛x_｛j｝+\ sqrt｛3｝h｝\，dx_｛d_｛2｝｝\ \&&\ quad｛｝\times\int _｛x_ j｝+\ frac｛\sqrt｛3｝｝{3} 小时}^{x{j}+\sqrt{3}h}\，dx{d{1}}\int{x{j}-\frac{\sqrt}3}}{3} 小时}^{x{j}+\frac{\sqrt{3}}{3} 小时}\，dx{c{2}}\int_{x{j}-\sqrt{3}h}^{x{j}-\frac{\sqrt}3}}{3} 小时}{x{c{1}}}^{x{2}}\，dx{c}\int_x{e}}j}+\压裂{\sqrt{3}}{3} 小时}^{x{j}+\sqrt{3}h}\，dx{f{2}}\int{x{j}-\frac{\sqrt}3}}{3} 小时}^｛x_｛j｝+\frac｛\sqrt｛3｝｝{3} 小时}\，dx{f{1}}\int_{x{j}-\sqrt{3}h}^{x{j}-\frac{\sqrt}3}}{3} 小时}{3} 小时}^{x{j}+\sqrt{3}h}\，dx{d{1}}\int{x{j}-\frac{\sqrt}3}}{3} 小时}^{x{j}+\frac{\sqrt{3}}{3} 小时}\，dx{c{2}}\int_{x{j}-\sqrt{3}h}^{x{j}-\frac{\sqrt}3}}{3} 小时}{x{c{1}}}^{x{2}}\，dx{c}\int_x{e}}{j}+\压裂{\sqrt{3}}{3} 小时}^{x{j}+\sqrt{3}h}\，dx{f{2}}\int{x{j}-\frac{\sqrt}3}}{3} 小时}^{x{j}+\frac{\sqrt{3}}{3} 小时}\，dx{f{1}}\int_{x{j}-\sqrt{3}h}^{x{j}-\frac{\sqrt}3}}{3} 小时}{3} 小时}^{x{j}+\sqrt{3}h}\，dx{d{1}}\int{x{j}-\frac{\sqrt}3}}{3} 小时}^{x{j}+\frac{\sqrt{3}}{3} 小时}\，dx_｛c｛2｝｝\ int _｛x_｛j｝-\sqrt｛3｝h｝^｛x_｛j｝-\frac｛\sqrt｛3｝｝{3} 小时}{x{c{1}}}^{x{2}}，dx{c}，int_x{e}}{j}+\压裂{\sqrt{3}}{3} 小时}^{x{j}+\sqrt{3}h}\，dx{f{2}}\int{x{j}-\frac{\sqrt}3}}{3} 小时}^{x{j}+\frac{\sqrt{3}}{3} 小时}\，dx{f{1}}\int_{x{j}-\sqrt{3}h}^{x{j}-\frac{\sqrt}3}}{3} 小时}{3} 小时}^｛x_｛j｝+\sqrt｛3｝h｝\，dx_｛d_｛1｝｝\ int _｛x_｛j｝-\frac｛\sqrt｛3｝｝｝{3} 小时}^{x{j}+\frac{\sqrt{3}}{3} 小时}\，dx{c{2}}\int_{x{j}-\sqrt{3}h}^{x{j}-\frac{\sqrt}3}}{3} 小时}{x{c{1}}}^{x{2}}\，dx{c}\int_x{e}}j}+\压裂{\sqrt{3}}{3} 小时}^{x{j}+\sqrt{3}h}\，dx{f{2}}\int{x{j}-\frac{\sqrt}3}}{3} 小时}^{x{j}+\frac{\sqrt{3}}{3} 小时}\，dx{f{1}}\int_{x{j}-\sqrt{3}h}^{x{j}-\frac{\sqrt}3}}{3} 小时}{3} 小时}^{x{j}+\sqrt{3}h}\，dx{d{1}}\int{x{j}-\frac{\sqrt}3}}{3} 小时}^{x{j}+\frac{\sqrt{3}}{3} 小时}\，dx{c{2}}\int_{x{j}-\sqrt{3}h}^{x{j}-\frac{\sqrt}3}}{3} 小时}{x{c{1}}}^{x{2}}，dx{c}，int_x{e}}^x{f}}。\结束{对齐}$$

(3.3)

有五个集成项。对于第一项，时间方向上一阶导数的近似值为

$$u_{t}\bigl（x，t^{{n+\frac{1}{2}}\bigr）=\frac{u^{n+1}（x）-u^{n}（x）}{\tau}+O\bigl（\tau^{2}\biger）$$

（3.4）

对于第三项，我们使用五点拉格朗日插值x个方向。它是

$$开始{对齐}u（x，t）={}&\frac{（x-x{j-1}）（x-x}）{j-2}（t）x{j}）（x{j-1}-x{j+1}）j-1}）（x{j}-x{j+1}））}{（x{j+1}-x{j-2}）{（x{j+2}-x{j-2}）（x{j+2}-x{j-1}）。\结束{对齐}$$

(3.5)

对于其他三项，我们使用三点拉格朗日插值x个方向。它是

$$开始{对齐}u（x，t）={}&\frac{（x-x{j}）{j}-x{j+1}）}u{j}（t）\\&{}+frac{（x-x{j-1}）}u_{j+1}（t）+O\bigl（h^{3}\bigr）。\结束{对齐}$$

(3.6)

替换(3.4), (3.5)和(3.6)到(3.3)通过简化，我们得到了方程的两层隐式格式(1.5). 我们获得

$$开始{对齐}和\frac{1}{9}\bigl{x\上划线{x}\widehat{t}}+\bigl}\\&&\quad｛｝+\frac｛1｝｛3｝\bigl（u_｛j｝^｛n+\frac｛1｝｛2｝｝\bigr）_｛\widehat｛x｝｝\bigl（u_｛j-1｝^｛n+\frac｛1｝｛2｝｝+u_｛j｝^｛n+\frac｛1｝｛2｝\bigr）=0，\quad 1\le j-1，1\le n-1，\结束｛对齐｝$$

(3.7)

$$\开始{aligned}&u{j}^{0}=u{0}（x{j}），\四元1\lej\leJ-1，\结束{aligned}$$

(3.8)

$$开始{对齐}&u_{0}^{n}=u_{J}^{n}=0，\qquad\bigl。\结束{对齐}$$

(3.9)

3.3离散格式守恒定律

定理3.1

这两个-水平隐式数值格式(3.7)接受以下不变量:

$$E^{n}=\frac{7}{9}\bigl\Vertu^{n{bigr\Vert^{2}+\fracc{2h}{9{\sum_{j=1}^{j-1}u_{j}^{n} u个_{j+1}^{n}+\bigl\Vertu_{x}^{n}\bigr\Vert^{2}+\bigl\Vert u_{xx}^{n}\bigl\ Vert^}2}=E^{n-1}=\cdots=E^}0}$$

证明

计算的内积(3.7)带有\（2u^{n+\压裂{1}{2}}\）（即。\（u^{n+1}+u^{n}\）)，根据引理2.1，我们有

$$开始{对齐}和\frac{7}{9\tau}\bigl\Vertu^{n+1}\bigr\Vert^{2}+frac{2h}{9\t au}\sum_{j=1}^{j-1}u_{j}^{n+1}u_{j+1}^{n+1}-\frac}7}{9-tau}\vertu^}{n}c{2h}{9\tau}\sum{j=1}^{j-1}u{j}^{n} u个_{j+1}^{n}+\frac{1}{\tau}\bigl \bigl\Vert u_{xx}^{n}\bigr\Vert ^{2}\biger）+\bigl（P，2u^{n+\frac{1}{2}}\bicr）=0，\end{aligned}$$

(3.10)

哪里\（P=\frac{1}{3}（u{j}^{n+\frac}1}{2}）{{widehat{x}}（u{j-1}^{n+\frac{1}{2}}+u{j}^{n+\ frac{1}{2{}+u现在，计算左侧的最后一项(3.10)，我们得到

$$开始{对齐}和\bigl{2}}+u{j+1}^{n+\frac{1}{2}\bigr），u^{n+\frac}1}{2}\biggr）\\&\quad{}=\fracc{1{3}\sum{j=1}^{j-1}\bigl（u{j+1}^{n+\frac{1}{2}}u{j}^{n+\frac{1}{2}}u{j{^{n++压裂{1}}{2{}+u{j+1}^{n+\frac{1}{2}u{j｝j}^{n+\frac{1}{2}}u{j-1}^{n+\frac{1}}{2{-u{j-1}^{n+\frac{1{2}{u{j}^ n+\ frac{1}{2}}u_{j}{j=1}^{j-2}\bigl（u{j}^{n+\frac{1}{2}}u{j{^{n++压裂{1}}压裂{2}{u{j+1}^{n+压裂{1{2}}+u{j}^{n+压裂{1}{2{}}u{j+1}压裂}-u{j}^{n+\压裂{1}{2}}u{j{^{n+压裂{1{2}{u{j+1}^{n+\压裂}{1}}-u{j}^{n+\裂缝{1}{2}}）\Biggr]\\&\qquad{}+u_｛J-1｝^｛n+\frac｛1｝｛2｝｝u_｛J-1｝^｛n+\frac｛1｝｛2｝｝u_｛J｝^｛n+\frac｛1｝｛2｝｝+u_｛J-1｝^｛n+\frac｛1｝｛2｝｝u _｛J｝^｛n+\frac｛1｝｛2｝｝\&&quad｛｝-\bigl（u_｛0｝^｛n+\frac｛1｝｛2｝｝u_｛0｝^｛n+\frac｛1｝｛2｝｝u_｛1｝^｛n+\frac｛1｝｛2｝｝+u_｛0｝^｛n+\frac｛1｝｛2｝｝u_｛1｝^｛n+\frac｛1｝｛2｝｝\bigr）=0。\结束{对齐}$$

（3.11）

替换(3.11)到(3.10)，我们有

$$\开始{对齐}和\frac{7}{9}\bigl\Vertu^{n+1}\bigr\Vert^{2}+\frac[2h}{9}\sum_{j=1}^{j-1}u_{j}^{n+1}u_j+1}^{n+1}-\frac}{7}{9}\ bigl\vertu^}{n}\bigrar\Vert^2}\\&\quadr{}+\frac{2h}{9}\sum_{j=1}^{j-1}u_{j}^{n} u个_{j+1}^{n}+\bigl\Vert u_{x}^{n+1}\bigr\Vert^{2}-\bigl\ Vert u_{x}^{n}\bigr\ Vert^}2}+\bigl\Vert-u_{xx}^{n+1}\bigr\Vert u_{2}-\bigl \Vert u{xx}。\结束{对齐}$$

我们让

$$E^{n}=\frac{7}{9}\bigl\Vertu^{n{bigr\Vert^{2}+\fracc{2h}{9{\sum_{j=1}^{j-1}u_{j}^{n} u个_{j+1}^{n}+\bigl\Vert u_{x}^{n}\bigr\Vert^{2}+\bigl\Vert-u_{xx}^{n}\bigl\ Vert^}2}$$

然后我们得到

$$E^{n}=\frac{7}{9}\bigl\Vertu^{n{bigr\Vert^{2}+\fracc{2h}{9{\sum_{j=1}^{j-1}u_{j}^{n} 单位_{j+1}^{n}+\bigl\Vertu_{x}^{n}\bigr\Vert^{2}+\bigl\Vert u_{xx}^{n}\bigl\ Vert^}2}=E^{n-1}=\cdots=E^}0}$$

(3.12)

证明已完成。□

3.4可解决性

接下来，我们将证明差分格式的可解性(3.7).

定理3.2

有限差分格式(3.7)是可解的.

证明

对于差分方案(3.7)–(3.9)，我们假设\（u^{0}，u^{1}，\ldot，u^}n}\）(\（n\le n-1）)服从(3.7). 接下来，我们将证明这一点\（u^{n+1}\）也满足了(3.7). 操作克定义如下：

$$g（v）=\压裂{2}{9} A类bigl（v-u^{n}\biger）-2\bigl（v_{x\overline{x}}-u_{x\ overline}}^{n{\biger+v{j}+v{j+1}）v{\widehat{x}}$$

(3.13)

很明显克是连续的。计算的内积(3.13)带有v（v），根据引理2.1，我们有

$$\begon｛aligned｝\bigl（g（v），v\bigr）=｛｝&&\ frac｛2｝｛9｝（Av，v）-\frac｛2｝｛9｝\bigl（Au ^｛n｝，v\bigr）-2（v_{x\overline｛x｝｝，v）+2\bigl（u_{x\overline｛x｝^｛n｝，v\bigr）+（2v_{xx\overline｛x｝\overline｛x｝｝，v）-\bigl（2u_{xx\overline｛x｝）上划线｛x｝｝^｛n｝，v\bigr）\\\ge｛｝&&frac｛2｝{9} 五^{T} W公司^{T} v（v）+\压裂{2}{9} v（v）^{T} L（左）^{T} v（v）-\frac{2}{9}\bigl\Vert Au^{n}\bigr\Vert\Vert v\Vert+2\Vert v_{x}\Vert^{2}\\&{}-2\bigl\ Vert u_{x{}^{n{}\bigr\Vert\Vert v_{x}\Vert+2\Vertv_{xx}\Vert_2}-2\bigr\ Vertu_{xx{n}xx}\Vert\\ge{}&\frac{2}{9}\bigl（\lambda_{0}v_{0}^{2}+\lambda_{2} v（v）_{1} ^｛2｝+\cdots+\lambda_{J} v（v）_{J} ^{2}\biger）-\frac{1}{9}\bigl\Vert Au^{n}\bigr\Vert^{2{\\&{}-\frac{1}{9}\ Vert v\Vert|2}+\Vert v_{x}\ Vert^}2}-\bigl\ Vert u_{x{2}^{n{\bigr\ Vert ^2}+\ Vert v_{xx}\ Vert_2}-\ bigl\Vertu_{xx}^{n}\bigr\Vert^{2}\\ge{}&\frac{1}{9}（2\lambda_{min}-1）\Vertv\Vert_{2}-\frac}{1}{9}\bigl\VertAu^{n{bigr\Vert^{2]-\bigl\Vert u_{x}^{n}\bigr\Vert ^{2}-\bigle\Vert u _{xx}^{n}\biger\Vert^{2{，\end{aligned}$$

哪里

$$\begin{aligned}&A=\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots&0&0 \\1&7&1&\cdot s&0&0&0\\0&1&7&\cdots s&0＆0\\vdots&\vdots&\ddots&\ vdots＆\vdots \\0&0&\cdot 7&0\\0&0&\ cdots&1&0\\cdots＆1&7~1\\0&0&0&\ cdots&0&1\结束{矩阵}_{（J+1）\次数（J+1”）}=W+L，\\&W=\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots&0&0 \\0&7&\cdot&0&0-\0&1&7&\ cdots&0&0&\\vdots&\vdots&0&0&\cdots&0&0~1\end{矩阵}_{（J+1）\times（J+1 \cdots&0&0&0结束{矩阵}_{（J+1）\次（J+1”）}，\结束{对齐}$$

\（\lambda_{\min}\）是的最小特征值W公司.通过引理2.2，我们知道\（2\lambda_{\min}-1>0\）.让

$$\Vert v\Vert^{2}=\frac{1}{2\lambda_{min}-1}\bigl（\bigl\Vert Au^{n}\bigr\Vert_{2}+9\bigl\ Vert u_{x}^{nneneneep \bigr\ Vert^}2}+9 \bigl\sertu_{xx}^{n}\biger\Vert_2}+1\bigr）$$

我们有\（（g（v），v）>0，对于Z_{h}^{0}中的所有v）.根据引理2.3，有\（v^{*}\在Z_{h}^{0}\中）它服从\（g（v^{*}）=0\）.所以我们让\（v^{*}=\压裂{u^{n+1}+u^{n}{2}\），然后\（u^{n+1}\）服从(3.7). □

定理3.3

有限差分格式(3.7)有一个独特的解决方案.

证明

让\（I^{n+1}=U^{n+1}-V^{n+1}\），其中\（U^{n+1}\）和\（V^{n+1}\）都是方案的解决方案(3.7). 我们想证明这一点\（I^{n+1}=0\）.根据(3.7)，我们得到

$$开始{对齐}和\frac{1}{9}\bigl{widehat{t}}\biger）-\bigl\overline{x}\widehat{t}}+\bigl（I{j}^{n+\frac{1}{2}}\bigr）_{widehat{x}}\\&\quad{}+\varphi\bigle（u{j}，u{j{n+\fracc{1{2}，u{j}}^{n+\frac{1}{2}\biger）-\varphi\ bigl{1}{2}}，v{j}^{n+\frac{1}[2}}\bigr）=0，\end{aligned}$$

（3.14）

哪里\（\varphi（u{j}^{n+\frac{1}{2}}，u{j{n+\frac{1}}}）=\frac{1}{3}（u_j}^n+\frac{1{2}）{widehat{x}}}+u{j+1}^{n+\压裂{1}{2}}）\）.计算的内积(3.12)带有\（2I^{n+\frac{1}{2}}（I^{n}+I^{n+1}）\），我们有

$$开始{对齐}和\frac{7}{9\tau}\bigl\VertI^{n+1}\bigr\Vert^{2}+\frac{2h}{9\tau}\sum_{j=1}^{J-1}一_{j} ^{n+1}I_{j+1}^{n+1}-\frac{7}{9\tau}\bigl\VertI^{n}\bigr\Vert-\frac{2h}{9\t}\sum_{j=1}^{J-1}一_{j}^{n} 我_{j+1}^{n}\\&\quad{}+\frac{1}{\tau}\bigl（\bigl\Vert I_{x}^{n+1}\bigr\Vert^{2}-\bigl\ Vert I_{x}^{n}\bigr\ Vert^}\biger）+\frac{1}{\tau}\bigle（\bigl\VertI_{xx}^n+1}\bigr\Vert \bigl\Vert I_{xx}^{n}\bigr\Vert^{2}\biger）\\&\quad{}+\bigl{2} }，v{j}^{n+\frac{1}{2}}\bigr），I^{n+/frac{1}{2{}\biger）=0。\结束{对齐}$$

由于结果是

$$开始{对齐}和{-}\bigl（\varphi\bigle（u{j}^{n+\frac{1}{2}}，u{j{n+\frac{1}}\bigr）-\varphi\ bigl}}\biger）\\&\quad=-\frac{2}{3} 小时\sum_{j=1}^{j-1}\bigl（I_{j-1}^{n+\frac{1}{2}}+I_{j}^{n+\frac{1}{2}}+I_{j+1}^{n+\frac{1{2}{）\bigr n+\压裂{1}{2}}\\&\qquad{}-\压裂{2}{3} 小时\sum_{j=1}^{j-1}\bigl（I_{j-1}^{n+\frac{1}{2}}+I_{j}^{n+\frac{1}{2}}+I_{j+1}^{n+\frac{1{2}{）\bigr n+\压裂{1}{2}}\\&\qquad{}-\压裂{2}{3} 小时\sum_{j=1}^{j-1}\bigl（v_{j-1}^{n+\frac{1}{2}}+v_{j}^{n+\frac{1}{2}}+v_{j+1}^{n+\frac{1{2}{）n+\frac{1}{2}}\\&\qquad{}+\frac{2}{3} 小时\sum_{j=1}^{j-1}\bigl（u_{j-1}^{n+\frac{1}{2}}+u_{j}^{n+\frac{1}{2}}+u{j+1}^{n+\frac{1{2}\bigr）n+\压裂{1}{2}}\\&\四元\le\压裂{2}{3} 中国\sum_{j=1}^{j-1}\bigl（\bigl\vertI_{j-1}^{n+\frac{1}{2}}\bigr\vert+\bigl\ vertI{j}^{n+\frac{1}{2}}\bigr\ vert+\ bigl\VertI{j+1}^{n+\frac{1{2}\biger\vert\bigr）{2}}\bigr\vert+\frac{2}{3} 中国\和{j=1}^{j-1}\bigl\vert\bigl}\bigr\vert^{2}+\bigl\VertI_{x}^{n+1}\birgr\vert^}+\bigl\vert I_{x}^{n}\biger\vert_{2}\biger），\end{aligned}$$

我们有

$$\begin｛aligned｝&\ frac｛7｝｛9 \ tau｝\ bigl\Vert I^｛n+1｝\ bigr\Vert ^｛2｝+\ frac｛2h｝｛9 \ tau｝\sum_｛j=1｝^｛j-1｝I_｛j｝^｛n+1｝-\frac｛7｝｛9 \ tau｝\ bigl\Vert I ^｛n｝\ bigr\Vert ^｛2｝-\frac｛2h｝｛9 \ tau｝\sum_｛j=1｝^｛j-1｝I_｛j｝^{n} 我_{j+1}^{n}\\&\qquad{}+\frac{1}{\tau}\bigl-\bigl\Vert I_{xx}^{n}\bigr\Vert^{2}\biger+\bigl\Vert I_{x}^{n+1}\bigr\Vert^{2}+\bigle\Vert I_{x{^{n}\biger\Vert_{2}\biger）。\结束{对齐}$$

让

$$Q^{n}=\frac{7}{9}\bigl\VertI^{n{bigr\Vert^{2}+\fracc{2h}{9{\sum_{j=1}^{j-1}I_{j}^{n} 我_{j+1}^{n}+\bigl\VertI_{x}^{n}\bigr\Vert^{2}+\bigl\Vert I_{xx}^{n}\bigl\ Vert^}2}$$

所以我们得到

$$Q^{n+1}-Q^{n}\le C\tau\bigl（Q^{n+1}+Q^{n\bigr）$$

那就是，

$$Q^{n+1}\le\frac{1+C\tau}{1-C\tau{Q^{n}=（1+vartheta\tau）Q^{n}$$

哪里\（\vartheta=压裂{2C}{1-C\tau}\）.那么我们有

$$Q^{n+1}\le（1+\vartheta\tau）Q^{n}\le\cdots\le（1++vartheta\t）^{n+1}Q^{0}\le\ cdots\lee e^{vartheta.tau（n+1）}Q^{0}$$

因为\（Q ^｛0｝=\frac｛7｝｛9｝\Vert I^｛0｝\Vert ^｛2｝+\frac｛2｝｛9｝\sum_｛j=1｝^｛j-1｝I_｛j｝^{0}我_{j+1}^{0}+\垂直I_{x}^{0}\Vert^{2}+\VertI_{xx}^{0:\垂直^{2}=0\）,\（Q^{n+1}\lee^{vartheta\tau（n+1）}Q^{0}=0\）.我们有

$$Q^{n}=\frac{7}{9}\bigl\VertI^{n{bigr\Vert^{2}+\fracc{2h}{9{\sum_{j=1}^{j-1}I_{j}^{n} 我_{j+1}^{n}+\bigl\VertI_{x}^{n}\bigr\Vert^{2}+\bigl\Vert I_{xx}^{n}\bigl\ Vert^}=0$$

众所周知

$$\frac{5}{9}\bigl\VertI^{n+1}\bigr\Vert^{2}+\bigl\ VertI_{x}^{n+1}\biger\Vert_{2}+\bigle\Verti_{xx}^{n+1}\bigr\Vert I_2}\leQ^{n}=0$$

所以\（\Vert I^{n+1}\Vert^{2}=\Vert U^{n+1}-V^{n+1}\Vert ^{2{=0\）我们可以这么说\（U^{n+1}=V^{n+1}\）. □

4差分解的一些先验估计

在本节中，我们将对数值格式进行一些预先估计。

定理4.1

假设 \（u{0}\在H_{0}^{2}[x{l}，x{r}]\中） 然后是数值格式解的估计(3.7)

$$\bigl\Vert-u_{xx}^{n}\bigr\Vert\le C，\qquad\bigl\Vert-u__{x}^{n}\biger\Vert_le C，\ qquad\\bigl\ Vert-u^{n{bigr\Vert_{infty}\le C$$

证明

它源自(3.12)那个

$$\frac{5}{9}\bigl\Vertu^{n}\bigr\Vert^{2}+\Biggl（\frac}2}{9{\bigl\ Vertu^}n}\bigr\Vert_2}+\frac{2}{9}\sum_{i=1}^{J-1}u_{i}^{n} u个_{i+1}^{n} 小时\Biggr）+\bigl\Vert u_{x}^{n}\bigr\Vert^{2}+\bigle\Vert u _{xx}^{n}\birgr\Vert^}2}=C$$

(4.1)

我们从(4.1)

$$\frac｛5｝｛9｝\bigl\Vert u^｛n｝\bigr\Vert ^｛2｝+\bigl\Vert u_｛x｝^｛n｝\bigr\Vert ^｛2｝+\bigl\Vert u_｛xx｝^｛n｝\bigr\Vert ^｛2｝\le C$$

所以

$$\bigl\Vert u_｛xx｝^｛n｝\bigr\Vert\le C，\qquad\bigl\Vert u_｛x｝^｛n｝\bigr\Vert\le C，\qquad\bigl\Vert u^｛n｝\bigr\Vert\le C$$

它来自引理2.4那个\（\垂直u^{n}\Vert_{infty}\le C\）. □

备注4.1

定理4.1意味着该方案(3.7)–(3.9)是无条件稳定的。

5差分格式的收敛性和稳定性

现在，我们考虑(3.7). 首先，我们定义截断误差如下：

$$\begin｛aligned｝Er_｛j｝^｛n+\frac｛1｝｛2｝｝=｛｝&&\frac｛1｝｛9\tau｝\bigl（v_{i-1｝^｛n+1｝+7v_{i｝^｛n+1｝+v_{i+1｝^｛n｝-7v_{i｝^｛n｝-v_{i+1｝^｛n｝\bigr）+\bigl（v_{i｝^｛n+\frac｛1｝｛2｝）\ bigr）_｛\widehat｛x｝｝\\&｛｝-\bigl（v_｛i｝^｛n+\frac｛1｝｛2｝｝\bigr）_｛x\overline｛x｝\widehat｛t｝｝+\bigl（v_｛i｝^｛n+\frac｛1｝｛2｝｝｝\bigr）_{xx\overline{x}\overline{x}\\widehat{t}}+\frac{1}{3}\bigl c{1}{2}\biger）。\结束{对齐}$$

(5.1)

根据泰勒展开和拉格朗日插值，我们得到如下结果。

引理5.1

假设 \（u{0}\在H_{0}^{2}[x{l}，x{r}]\中） 和 \（u（x，t）在C^{5,2}中,然后是数值格式的截断误差(3.7)满足

$$Er_{j}^{n+\frac{1}{2}}=O\bigl（\tau^{2}+h^{3}\bigr）$$

(5.2)

定理5.1

假设 \（u{0}\在H_{0}^{2}[x{l}，x{r}]\中） 和 \（u（x，t）在C^{5,2}中,然后是数值格式的求解(3.7)收敛于初始解-边值问题(1.5)–(1.7)带订单 \（O（tau^{2}+h^{3}）\） 由 \（\Vert\cdot\Vert_{infty}\） 规范.

证明

让\（e_{j}^{n+frac{1}{2}}=u（x{j}，t^{n+/frac{1'{2}）-u{j{^{n+frac{1}{2{}）.减法(3.7)来自(5.1)，我们有

$$开始{对齐}Er_{j}^{n+\frac{1}{2}={}&\frac}1}{9\tau}\bigl{1}{4}\bigl\widehat{t}}\\&{}+\bigl x{j-1}，t^{n+frac{1}{2}}\bigr）+u\bigl（x{j}，t1^{n+/frac{1'{2}\biger）+u\ bigl\bigl（u{j}^{n+\frac{1}{2}}\bigr）{widehat{x}}\bigl（u{j-1}^{n+\frac{1}{2}}+u{j}^{n+\ frac{1}{2}}+u。\结束{对齐}$$

(5.3)

对于简单的符号(5.3)由定义

$$\begin｛aligned｝Q＝｛｝&\bigl（u\bigl（x_｛j｝，t^｛n+\frac｛1｝｛2｝｝\bigr）_｛\bidhat｛x｝｝\bigl（u\bigl（x_｛j-1｝，t^｛n+\frac｛1｝｛2｝｝\bigr）+u\bigl（x_｛j｝，t^｛n+\frac｛1｝｛2｝｝\bigr）+u\bigl（x_｛j+1｝，t^｛n+\frac｛1｝｛2｝｝\bigr）\bigr）\\&｛｝-\frac｛1｝｛3｝\bigl（u_｛j｝^｛n+\frac｛1｝｛2｝｝\bigr）_｛\widehat｛x｝｝\bigl（u_｛j-1｝^｛n+\frac｛1｝｛2｝}+u{j}^{n+\frac{1}{2}}+u{j+1}^{n+\frac{1}{2}\biger）。\结束{对齐}$$

计算的内积(5.3)带有\（2e^{n+\压裂{1}{2}}\）（即。\（e^{n+1}+e^{n}\）)，我们得到

$$开始{对齐}和\bigl（Er_{j}^{n+\frac{1}{2}}，2e^{n+\frac}1}{2]}\biger）e_{j+1}^{n+1}-\frac{7}{9\tau}\bigl\Verte^{n}\bigr\Vert^{2}-\frac{2h}{9\t au}\sum_{j=1}^{j-1}e_{j}^{n} e（电子）_{j+1}^{n}+\frac{1}{\tau}\bigl-\bigl\Verte_{xx}^{n}\bigr\Vert^{2}\biger）+\bigl（Q，2e^{n+\frac{1}{2}}\bicr）。\结束{对齐}$$

(5.4)

根据定理3.3，我们获得

$$-\bigl（Q，2e^{n+\frac{1}{2}}\biger）\le C\bigle（\bigl\Verte^{n+1}\bigr\Vert^{2}+\bigl\ Verte ^{n}\biger\Vert_{2}+\bigle\Verte_{x}^{n+1}\bigr\Vert^}2}+\ bigl\verte_{x}^{n}\bigr\Vert ^{2{较大）$$

(5.5)

此外，显然

$$\bigl（Er_{j}^{n+\frac{1}{2}}，2e^{n++\frac}{1}}\biger \bigl（\bigl\Verte ^{n+1}\bigr\Vert ^{2}+\bigl\ Verte ^}n}\biger\Vert^{2}\biger）$$

替换(5.4)和(5.5)到(5.3)，我们有

$$\开始{对齐}和\frac{7}{9}\bigl\Verte e^{n+1}\bigr\Vert^{2}+\frac{2h}{9}\sum_{j=1}^{j-1}e_{j}^{n+1}e_{j+1}^{n+1}-\frac{7}{9}\ bigl\verte e^}n}\biger\Vert_2h}{9}sum_{j=1}^{j-1}e_{j}^{n} e（电子）_{j+1}^{n}\\&\qquad{}+\bigl\Vert e_{x}^{n+1}\bigr\Vert ^{2}-\bigl\ Vert e_{x}^{n}\biger\Vert \bigl\Vert-Er^{n+\frac{1}{2}}\bigr\Vert^{2}+\frac{tau}{2{2}\bigl\bigr\Vert^{2}\biger）\&\qquad{}+C\tau\bigl。\结束{对齐}$$

(5.6)

让\（B^{n}=\压裂{7}{9}\垂直^{n{2}+\压裂{2h}{9{j=1}^{j-1}e_{j}^{n} e（电子）_{j+1}^{n}+\垂直_{x}^{n}\Vert^{2}+\Verte_{xx}^{n}\Vert_{2}\），然后(5.6)可以重写为

$$B^{n+1}-B^{n}\le\tau\bigl\Vert-Er^{n+\frac{1}{2}}\bigr\Vert^{2}+C\tau\bigl（B^{n+1}+B^{n\bigr）$$

所以

$$（1-C\tau）\bigl（B^{n+1}-B^{n}\biger）\le\tau\bigl\Vert-Er^{n+\frac{1}{2}}\bigr\Vert^{2}+2C\tau-B^{n}$$

如果τ足够小，以满足\（1-C\tau=\sigma>0\），然后

$$B^{n+1}-B^{n}\le C\tau\bigl\Vert Er^{n+\frac{1}{2}}\bigr\Vert^{2}+C\tau B^{n}$$

(5.7)

总结(5.7)从0到\（n-1），我们有

十亿美元^{n} -B类^{0}\leq C\tau\sum_{i=0}^{n-1}\bigl\Vert Er^{i+\frac{1}{2}}\bigr\Vert^{2}+C\tau\sum_{i=0.0}^{n-1}乙^{i} ●●●●$$

通知，\（\tau\sum_｛i=0｝^｛n-1｝\Vert Er^｛i+\frac｛1｝｛2｝｝\Vert ^｛2｝\leq n\tau\max_｛0\leq i\leq n-1｝\Vert Er^｛i+\frac｛1｝｛2｝｝\Vert ^｛2｝\leq T\cdot O（\tau^｛2｝+h^｛2｝）^｛2｝\）,\（e ^｛0｝=0\）.我们得到\（B^{0}=0\）.

因此，从引理2.5，我们获得

$$B^{n}\leO\bigl（\tau^{2}+h^{3}\biger）^{2neneneep$$

那就是，

$$\frac{7}{9}\bigl\Verte^{n}\bigr\Vert^{2}+\bigl\ Verte_{x}^{n{\bigr\ Vert^}2}+\ bigl\ verte_{xx}^{n}\ bigr\Vert^{2}\le O\bigl（\tau^{2{+h^{3}\biger）^{2neneneep$$

所以

$$\bigl\Vert e^{n}\bigr\Vert\le O\bigl（\tau^{2}+h^{3}\biger），\qquad\bigl\Vert e_{x}^{n{\bigr\ Vert\le O\ bigl较大）$$

使用引理2.4，我们得到\（\垂直^{n}\垂直_{infty}\le O（\tau^{2}+h^{3}）\）. □

定理5.2

在定理的条件下 5.1,数值格式的求解(3.7)通过 \（\Vert\cdot\Vert_{infty}\） 规范.

6数值实验

在本节中，我们将计算一些数值实验来验证上述部分中我们理论分析的正确性。

考虑Rosenau-RLW方程的以下初边值问题：

$$u{t}-u{xxt}+u{xxxxt}+u{x}+uu{x}=0，\四元（x，t）\在（0,1）\次（0，t）中$$

（6.1）

具有初始条件

$$u（x，0）=x^{3}（1-x）^{3{，在[0,1]中为四个x\$$

(6.2)

和边界条件

$$u（0，t）=u（1，t）=0，\qquad u_{xx}（0，t）=u_{xxx}（1，t）=0$$

(6.3)

因为我们不知道(6.1)–(6.3)，我们考虑精细网格的数值解，取\（h=\压裂{1}{500}\），作为(6.1)–(6.3). 接下来，我们比较粗网格的数值解和细网格的数值求解。为了获得误差估计，我们将该解作为网格的参考解。表1，使用时间步长\（τ=0.02\），我们给出了不同空间步长下数值解与精确解之间的绝对误差小时.

表1数值解的绝对误差\（τ=0.02\）

根据表中的数值结果1，我们可以看到数字格式(3.7)是有效的。

在表中2，使用\（h=τ=0.01），数字格式的离散能量值(3.7)并与文献中的离散能量值进行了比较[20]和[21]. 可以看出，与文献中的数值方法相比，多重积分有限体积方法更好地保持了离散能量守恒[20]和[21]. 图1显示了方案的节能特性(3.7)带有\（J=100，τ=0.02，T=10）.

图1

的节能特性(3.7)在\（J=100\）,\（τ=0.02\）,\（T=10\）

表2离散能量值\（h=τ=0.02）

7结论

本文针对Rosenau-RLW方程提出了一种两层隐式非线性数值格式，该格式在物理学中有着广泛的应用。具有的唯一性、收敛性和稳定性\（O（tau^{2}+h^{3}）\）详细讨论了数值格式的。该方案保持了原方程的能量守恒特性。最后，数值实验表明我们的方案是有效的。