共振时非线性一阶时滞微分方程的正周期解

摘要

本文研究了下列时滞微分方程正周期解的存在性：

$$u'+a（t）u=f\bigl（t，u\bigl（t-\tau（t）\bigr）\biger）$$

哪里\（a，tau\在C中（\mathbb{R}，\mathbb{R}）\）是ω-周期函数\（int_{0}^{omega}a（t），dt=0\）,\（f:\mathbb{R}\times[0，\infty）\to\mathbb{R}\）是连续的，并且ω-关于…的周期性t吨利用锥上的不动点定理，建立了几个新的存在性定理。我们的主要结果丰富并补充了文献中的可用结果。

1介绍

在过去的几年里，人们对一阶方程正周期解的存在性产生了极大的兴趣

$$u’+a（t）u=λb（t）f\bigl（u\bigl（t-\tau（t）\bigr）\bigr）$$

(1.1)

哪里\（C中的a，b\（\mathbb{R}，[0，\infty））是ω-周期函数

$$\int_{0}^{\omega}a（t）\，dt>0，\qquad\int_{0}^{\ omega}b（t）$$

和τ是连续的ω-周期函数。请注意，当\（λ=0），方程式(1.1)减少到\（u'=-a（t）u\）这在马尔萨斯人口模型中是众所周知的。在实际应用中(1.1)也被视为各种生理过程和条件的模型，包括血细胞生成、呼吸以及心律失常。例如，请参见[1,2,三,4,5,6,7,8,9,10]对于这个主题的一些研究工作。同时，许多研究人员也注意到了微分系统对应的(1.1)即，

$$u'{i}+a{i}（t）u{i}=\lambdab_{i}（t）f{i}-（u{1}，u{2}，dots，u{n}），四i=1,2，dotes，n$$

哪里\（a_｛i｝，b_｛i｝\在C中（\mathbb｛R｝，[0，\infty））\）是ω-满足周期函数

$$\int_{0}^{\omega}a_{i}（t）\，dt>0，\qquad\int_{0}^{omega}b_{ineneneep（t）$$

在这里，我们让读者参考[11,12,13]以及其中列出的参考文献。

显然，基本假设\（int_{0}^{omega}a（t），dt>0\）或\（int_{0}^{omega}a{i}（t），dt>0\）(\（i=1,2，\点，n\）)，通常用于确保线性边值问题

$$u’+a（t）u=0，u（0）=u（ω）$$

(1.2)

是非共振的，在上述论文的论证中发挥了关键作用。事实上，这一假设确保了许多工具，如不动点理论、分岔理论等，可以用来研究相应的问题并建立期望的存在性结果。这里是线性问题(1.2)如果它的唯一解是平凡解，则称为非共振解。众所周知，如果(1.2)如果是非共振的小时是一个\（L^{1}\）-函数，Fredholm的替代定理暗示了非齐次问题

$$u’+a（t）u=h（t），u（0）=u（ω）$$

总是可以接受一个独特的解决方案，而且可以写成

$$u（t）=\int_{0}^{\omega}G（t，s）h（s）\，ds$$

哪里\（G（t，s）\）格林函数与(1.2)，请参阅[7,8,9,10,11,12,13]了解更多详细信息。

与非共振问题相比，共振问题的研究进展非常缓慢，相关结果也很少。当然，一个自然而有趣的问题是，相应的非线性方程是否具有正周期解，前提是

$$\int_{0}^{\omega}a（t）\，dt=0$$

这意味着一可以更改其登录\（\mathbb{R}\）所研究的问题是共振的。在本文中，我们将对上述问题作出肯定的回答。更具体地说，将为共振方程建立几个新的存在性和多重性结果

$$u'+a（t）u=f\bigl（t，u\bigl（t-\tau（t）\bigr）\bigr）$$

(1.3)

据我们所知，上述问题迄今尚未研究过，我们的研究结果将填补这一空白。

为了简单起见，我们称之为函数\（q\gg 0）前提是\（q:\mathbb{R}\到（0，\infty）\）是ω-周期性和连续性。如果\（q:\mathbb{R}\到[0，\infty）\）是ω-周期性和连续性\（int_{0}^{omega}q（t），dt>0），则表示为\（成功0）因此，如果我们选择一个函数\（\chi\gg 0\）这样的话\（p:=a+\chi\suc0\），然后是线性微分算子\（Lu:=u'+p（t）u\）是可逆的，因为

$$\int_{0}^{\omega}p（t）\，dt=\int_}0}^}\omega}a（t），dt+\int__{0{{omega}\chi（t）$$

此外，不难看出这一点u个是的正周期解(1.3)当且仅当它是的正周期解

$$u’+p（t）u=\chi（t）u+f\bigl$$

(1.4)

因此，我们将重点关注(1.4).

在整个论文中，我们做出了以下假设：

• （H1） \（a，tau\在C中（\mathbb{R}，\mathbb{R}）\）是ω-周期函数\（int_{0}^{omega}a（t），dt=0\）;

• （H2） 存在\（\chi\gg 0\）这样的话\（p:=a+\chi\succ 0\）;

• （H3） \（f在C中（\mathbb{R}\times[0，\infty），\mathbb{R}）是ω-关于…的周期性t吨和\（f（t，u）\geq-\chi（t）u\）.

备注1.1

显然，因为一和（f）是符号变换，等式(1.3)比现有文献中研究的相应内容更为普遍。关于共振时非线性微分方程的其他存在性结果，请读者参考[14,15,16,17]以及其中列出的参考文献。

论文的其余部分安排如下。在教派。 2，我们介绍一些预备知识。最后，在门派。 三，我们将陈述并证明我们的主要结果。此外，我们将给出几点评论，以证明我们主要结果的可行性。

2前期工作

让我们考虑线性边值问题

$$\textstyle\begin{cases}u'+p（t）u=h（t），&t\in（0，\omega），\\u（0）=u（\omega$$

(2.1)

哪里第页定义见（H2）。如果我们用\（K（t，s）\）格林函数(2.1)，然后通过简单的计算得出

引理2.1

假设（H1）和（H2）持有.让 \（δ=e^{-\int_{0}^{\omega}p（t）\，dt}\）.然后

$$K（t，s）=\frac{e^{\int_{t}^{s}p（θ）\，d\theta}}{\delta^{-1}-1}，\quad t\leq s\leq t+\omega$$

此外,

$$\压裂{1}{\增量^{-1}-1}\leq K（t，s）\leq\frac{delta^{-1}}{delta^{-1}-1}，\quad t\leq s\leq t+\omega$$

让E类是连续的巴拿赫空间ω-带有范数的周期函数\（\|u\|=\max_{t\in[0，\omega]}|u（t）|\）。对于\（E\中的h\），定义

$$（Ah）（t）：=\int_{t}^{t+\omega}K（t，s）h（s）\，ds$$

(2.2)

那么我们有

引理2.2

假设（H1）和（H2）持有.然后 \（A:E\至E\） 是一个完全连续的线性算子.此外,如果 \（成功0）,然后 \（（Ah）（t）>0） 在 \（[0，\omega]\）.

证明

通过一个标准的论点，我们可以很容易地证明A类是一个线性完全连续算子。此外，引理2.1产量\（K（t，s）>0）对于任何\（（t，s）\），其中，连同\（成功0），表示\（（Ah）（t）>0）在\（[0，\omega]\）. □

让

$$m:=\压裂{1}{\增量^{-1}-1}，\qquad M:=\frac{\delta^{-1}}{\delta^{-1}-1}，\qquad\sigma:=\frac{m}{m}<1$$

和

$$\mathcal{P}=\bigl\{u\在E:u（t）\geq\sigma\Vert-u\Vert，t\in[0，\omega]\bigr\}中$$

然后\（\mathcal{P}\）为正锥体E类此外，不难检查(1.4)可以改写为等价的算子方程

$$u（t）=\int_{t}^{t+\omega}K（t，s）\bigl（\chi（s）u$$

引理2.3

假设（H1），（H2）和（H3）持有.然后 \（T（\mathcal{P}）\subseteq\mathcal{P}\） 和 \（T:\mathcal{P}\到\mathcal{P}\） 是完全连续的.

证明

假设\（u \ in \ mathcal{P}\），然后\（u（t）\geq\sigma \|u\|\）由（H3）可知\（\chi（s）u（s）+f（s，u（s-）tau（s是非负的，因此

$$\begin{aligned}（Tu）（t）=&\int_{t}^{t+\omega}K（t，s）\bigl \bigr）\biger）\，ds.\end{对齐}$$

(2.3)

再次应用（H3），我们得到

$$\begon｛aligned｝（Tu）（t）=&&int_｛t｝^｛t+\omega｝K（t，，s）K ds\\=&&sigma\int_｛t｝^｛t+\omega｝m\bigl$$

这个，连同(2.3)，收益率\（T（\mathcal{P}）\subseteq\mathcal{P}\）最后，通过引理2.2和一个类似于[12，引理2.2，2.3]有明显的变化，我们可以证明吨是一个完全连续的操作员。□

以下引理对于证明我们的主要结果至关重要。

引理2.4

（Guo–Krasnoselskii的不动点定理[18])

让 E类 成为巴拿赫空间,然后让 \（\mathcal{P}\subseteq E\） 圆锥体.假设 \（\varOmega_{1}\）,\（\varOmega_{2}\） 是的两个开放有界子集 E类 具有 \（0\in\varOmega_{1}，\bar{\varOmerga}_{1{\subseteq\varOmega_{2}\）,然后让 \（T:\mathcal{P}\cap（\bar{\varOmega}_{2}\setminus\varOmega_{1}）\to\mathcal{P}\） 是一个完全连续的运算符，以便

• （i） \（图\|\leq\|u\|\）,\（u\in\mathcal{P}\cap\partial\varOmega_{1}\）,和 \（图\|\geq\|u\|\）,\（u\in\mathcal{P}\cap\partial\varOmega_{2}\）;或

• （ii） \（图\|\geq\|u\|\）,\（u\in\mathcal{P}\cap\partial\varOmega_{1}\）,和 \（图\|\leq\|u\|\）,\（u\in\mathcal{P}\cap\partial\varOmega_{2}\）.

然后 吨 在中有一个固定点 \（\mathcal{P}\cap（\bar{\varOmega}_{2}\setminus\varOmega_{1}）.

三主要成果

在本节中，我们陈述并证明了我们的主要发现。

定理3.1

让（H1）–（H3）持有.如果

$$\lim_{u\到0+}\frac{f（t，u）}{u}=-\chi（t）$$

(3.1)

和

$$\lim_｛u\to+\infty｝\frac｛f（t，u）｝｛u｝=\infty，\quad\textit｛一致用于｝t\in[0，\omega]$$

(3.2)

然后(1.3)至少承认一个阳性 ω-周期解.

证明

对于\（0<r<r<infty），设置

$$\varOmega_{1}=\bigl\{u\在E:\Vert-u\Vert<r\bigr\}中，\qquad\varOmega _{2}=\bigl\{u在E:\ Vert-u\ Vert<r\bigr\{中$$

我们有\（0\in\varOmega_{1}\）,\（\bar｛\varOmega｝_｛1｝\substeq\varOmega _｛2｝\）.

它源自(3.1)存在\（r>0\）所以对任何人来说\（0<u \leq r）,

$$f（t，u）\leq cu-\chi（t）u$$

哪里c（c）是一个令人满意的正常数\（cM\omega<1）因此，对于\（u \ in \ mathcal{P}\）具有\（\|u\|=r）,

$$f（t，u）+\chi（t）u\leq cu，\quad t\in[0，\omega]$$

此外，\（0=r）因此，

$$（Tu）（t）\leq cM\Vert u\Vert\int_{t}^{t+\omega}\，ds=cM\omega\Vert u \Vert<\Vert u \Vert$$

这意味着\（图\|\leq\|u\|\）,\（对于所有u\in\mathcal{P}\cap\partial\varOmega_{1}\）.

另一方面(3.2)产生的存在\（\波浪线{R}>0\）这样，对于任何\（u\geq\波浪线{R}\）,

$$f（t，u）\geq\eta u$$

哪里\（\ta>0\）是一个足够大的常数\（σm\omega（eta+\underline{chi}）>1\）和\（\underline{chi}=\min_{t\in[0，\omega]}\chi（t）\）.固定\（R>\max\{R，\frac{\tilde{R}}{\sigma}\}\）并让\（u \ in \ mathcal{P}\）具有\（\|u\|=R\），我们得到\（u（t）\geq\sigma\|u\|=\sigma R>\ tilde{R}\），因此

$$f（t，u）+\chi（t）u\geq\eta u+\chi（t）u\geq\sigma（\eta+\anderline｛\chi｝）\Vert u\Vert，\quad t\in[0]，\omega]$$

因此，对于\（u \ in \ mathcal{P}\）具有\（\|u\|=R\），我们可以得出结论

$$\beign｛aligned｝（Tu）（t）=&&\int_｛t｝^｛t+\omega｝>\垂直u\垂直。\结束{对齐}$$

因此\（图\|\geq\|u\|\）,\（对于所有u\in\mathcal{P}\cap\partial\varOmega_{2}\）.

因此，通过引理2.4（i） ，吨在中有一个固定点\（\mathcal{P}\cap（\bar{\varOmega}_{2}\setminus\varOmega_{1}），这只是一个积极的方面ω-的周期解(1.3). □

定理3.2

让（H1）–（H3）持有.如果

$$\lim_{u\到0+}\frac{f（t，u）}{u}=\infty，\quad\textit{统一用于[0，\omega]中的}t$$

(3.3)

和

$$\lim_｛u\to+\infty｝\frac｛f（t，u）｝｛u｝=-\chi（t）$$

(3.4)

然后(1.3)至少承认一个阳性 ω-周期解.

证明

我们遵循与定理证明中相同的策略和符号3.1首先，我们表明\（r>0\）足够小，

$$\Vert-Tu\Vert\geq\Vert-u\Vert，\quad\forall u\in\mathcal{P}\cap\partial\varOmega_{1}$$

(3.5)

发件人(3.3)因此，存在\（\波浪线{r}>0\）这样的话\（f（t，u）\geq\beta-u）对于任何\（0<u\leq\tilde{r}\），其中\（测试版>0）是一个足够大的常数\（\西格玛m\ω（\β+\下划线｛\chi｝）>1\）因此，对于\（0<r\leq\tilde{r}\），如果\（u \ in \ mathcal{P}\）和\（\|u\|=r），然后

$$f（t，u）+\chi（t）u\geq\beta-u+\ch（t）u \geq\sigma（\beta+\underline{\chi}）\Vert-u\Vert，\quad-t\in[0，\omega]$$

此外，我们还获得

$$\begin{aligned}（Tu）（t）=&\int_{t}^{t+\omega}K（t，s）\bigl（\chi（s）u（s）+f\ bigl下划线{\chi}）\Vert u\Vert>\Vert u \Vert。\结束{对齐}$$

因此(3.5)是真的。

接下来我们展示\（R>0）足够大，

$$\Vert Tu\Vert\leq\Vert u\Vert，\quad\forall u\in\mathcal｛P｝\cap\partial\varOmega_｛2｝$$

(3.6)

它源自(3.4)存在\（\波浪线{R}>0\）所以对任何人来说\（u \ geq \颚化符｛R｝\）,

$$f（t，u）\leq\mu u-\chi（t）u$$

哪里\（\mu>0\）满足\（\mu M\omega<1）.让\（R>\max\{\tilde{R}，\frac{\tilde{R}}{\sigma}\}\），那么如果\（u \ in \ mathcal{P}\）和\（\|u\|=R\），我们可以获得

$$u（t）\geq\sigma\Vertu\Vert=\sigma R>\tilde{R}$$

因此，

$$f（t，u）+\chi（t）u\leq\mu u\leq \mu \Vert u\Vert，\quad t\in[0，\omega]$$

因此\（u\in\mathcal｛P｝\）具有\（\|u\|=R\），我们有

$$（Tu）（t）\leq\mu M\Vert u\Vert\int_{t}^{t+\omega}\，ds=\mu M \omega\Vert u \Vert<\Vert u \Vert$$

也就是说(3.6)也是正确的。

最后，它遵循引理2.4（ii）吨在中有一个固定点\（\mathcal{P}\cap（\bar{\varOmega}_{2}\setminus\varOmega_{1}），这只是一个积极的方面ω-的周期解(1.3). □

在本节的其余部分中，我们将研究正数的多重性ω-的周期解(1.3). 最后，我们假设：

• （H4） \（\lim_{u\到0+}\frac{f（t，u）}{u}=\infty\）和\（\lim_{u\to+\infty}\frac{f（t，u）}{u}=\infty）统一用于\（在[0，\omega]\中）此外，还有一个常数\（阿尔法>0）这样的话

  $$\max\bigl\{f（t，u）：\sigma\alpha\lequ\leq\alpha，t\in[0，\omega]\bigr\}\leq\ bigl（\epsilon-\chi（t）\bigr）\alpha$$

  (3.7)

哪里\（epsilon>0\）满足\（epsilon M\omega<1）.

定理3.3

假设（H1）–（H4）持有.然后(1.3)承认至少两个阳性 ω-周期解.

证明

定义

$$\varOmega_{3}=\bigl\{u\在E:\Vertu\Vert<\alpha\bigr\}中$$

让\（\varOmega_{1}\）和\（\varOmega_{2}\）如定理的证明3.1和3.2.然后针对\（0<r<阿尔法<r），我们有\（\bar{\varOmega}_{1}\subseteq\varOmega_{3}\）,\（\bar{\varOmega}_{3}\subseteq\varOmega_{2}\）.

自\（\lim_{u\到0+}\frac{f（t，u）}{u}=\infty\）统一用于\（在[0，\omega]\中）通过类似于定理证明的论点3.2，我们可以获得

$$\Vert-Tu\Vert\geq\Vert-u\Vert，\quad\forall u\in\mathcal{P}\cap\partial\varOmega_{1}$$

同样，我们可以通过（H4）证明

$$\Vert-Tu\Vert\geq\Vert-u\Vert，\quad\forall u\in\mathcal{P}\cap\partial\varOmega_{2}$$

显然，如果我们证明，证明就完成了

$$\Vert-Tu\Vert\leq\Vert-u\Vert，\quad\forall u\in\mathcal{P}\cap\partial\varOmega_{3}$$

(3.8)

假设\（u \ in \ mathcal{P}\）和\（\|u\|=\alpha\），然后\（\sigma\alpha\leq\sigma \|u\|lequ（t）\leq\ |u\|=\alpha\）、和来自(3.7)它如下

$$f（t，u）+\chi（t）u\leq f（t、u）+\ chi（t）\alpha\leq\epsilon\alpha，\quad t\in[0，\omega]$$

因此，我们得到

$$\begin{aligned}（Tu）（t）=&\int_{t}^{t+\omega}K（t，s）\bigl$$

等等(3.8)感到满意。

因此，引理2.4意味着吨至少有两个固定点\（u{1}\）和\（u{2}\），位于\（\mathcal{P}\cap（\bar{\varOmega}_{3}\setminus\varOmega_{1}）和\（\mathcal{P}\cap（\bar{\varOmega}_{2}\setminus\varOmega_{3}）分别是。因此(1.3)承认至少两个阳性ω-周期解。□

如果我们将（H4）替换为

（H4）′：

\（\lim_{u\到0+}\frac{f（t，u）}{u}=-\chi（t）\）,\（\lim_{u\to+\infty}\frac{f（t，u）}{u}=-\chi（t）\），并且存在一个常量\（阿尔法>0）这样的话

$$\min\bigl\{f（t，u）：\sigma\alpha\lequ\leq\alpha，t\in[0，\omega]\bigr\}\geq\bigl（\mu-\sigma\chi（t）\bigr）\alpha$$

(3.9)

哪里\（\mu>0\）满足\（m\omega\mu>1\）.

然后我们可以得到以下结果：

定理3.4

让（H1）–（H3）和（H4）′持有.然后(1.3)承认至少两个阳性 ω-周期解.

证明

对于\（0<r<阿尔法<r），让\（\varOmega_{i}\）(\（i=1,2,3）)如同定理的证明3.1和3.3.然后\（\bar{\varOmega}_{1}\subseteq\varOmega_{3}\）,\（\bar{\varOmega}_{3}\subseteq\varOmega_{2}\）.我们将遵循与定理证明中相同的策略3.3.

By（H4）′和一个类似定理证明的论点3.1和3.2，我们可以得出结论

$$\begin{aligned}和\Vert-Tu\Vert\leq\Vert-u\Vert，\quad\forall u\in\mathcal{P}\cap\partial\varOmega_{1}，\\&\Vert-Tu\Vert_leq\Vert-u\Vert，\quid\forall-u\in\ mathcal}\cap\ partial\ varOmega{2}。\结束{对齐}$$

现在，应用引理2.4，我们只需要展示

$$\Vert-Tu\Vert\geq\Vert-u\Vert，\quad\forall u\in\mathcal{P}\cap\partial\varOmega_{3}$$

(3.10)

让\（u \ in \ mathcal{P}\）具有\（\|u\|=\alpha\），然后\（\sigma\alpha\leq\sigma \|u\|lequ（t）\leq\ |u\|=\alpha\），由(3.9)我们得到

$$f（t，u）+\chi（t）u\geq f（t、u）+\sigma\alpha\chi$$

然后

$$\begin{aligned}（Tu）（t）=&\int_{t}^{t+\omega}K（t，s）\bigl$$

因此(3.10)是真的。使用引理2.4我们再次知道吨有两个固定点\（u{1}\）和\（u{2}\），位于\（\mathcal{P}\cap（\bar{\varOmega}_{3}\setminus\varOmega_{1}）和\（\mathcal{P}\cap（\bar{\varOmega}_{2}\setminus\varOmega_{3}）分别是。因此(1.3)承认至少两个阳性ω-周期解。□

备注3.1

我们想指出定理的结果3.1–3.4对特殊共振方程保持正确\（u’=f（t，u（t-\tau（t））），其中\（a（\cdot）等于0）.

备注3.2

值得一提的是，定理3.1–3.4适用于现有结果无法处理的方程[7,8,9,10]，因此我们的主要结果是新颖的。

4结论

应用锥中的不动点定理，建立了一类一阶时滞微分方程的一些新的存在性定理。我们的主要结果丰富并补充了文献中的可用结果。