在本节中，我们将证明定理1.1分两步进行。首先，我们收集了几个技术引理，这些引理提供了必要的Lipschitz界来设置一个压缩参数，并获得了\（L^{q，p}（\gamma）\）第二步是证明\（H^{2J}（\gamma）\）.从这一点开始，κ将表示不等式中可能从一行变到另一行的变量通用常数，当它取决于重要参数时，我们将强调它。此外，我们将使用符号\（\泽塔（0）\）而不是\（\泽塔（t=0）\）所有功能，以及\（\varPsi:=\psi-\varphi\）和\（\rho{\varPsi}:=\rho_{\psi}-\rho_{\varphi}\）当没有混淆时。
对于所有人\（J\在{\mathbb{N}}^{\star}\中），我们表示为\（U_{J}（t）\）自由高阶薛定谔算子的传播子。更准确地说，
$$U_｛J｝（t）=e ^｛-\mathrm{i} t吨H_{J}}，\qquad H_{J}:=-\sum_{J=0}^{J}\frac{\alpha（J）\hbar^{2j}}{m^{2j-1}c^{2j-2}}\Delta^{J}$$
特别地，\（U_{J}（t）\）是每个\（H^{s}\）为所有人\（s\in\mathbb｛R｝\）（参见参考[6]，建议3.4）。为了证明解的存在性，我们寻求以下泛函的不动点：
$$\begin{aligned}\varLambda[\psi]（t，x）：=&U_{J}（t）\phi\\&{}-\mathrm{i}\int_{0}^{t}U_{J}（t-s）\biggl（x，s），ds：=&U_{J}（t）\phi-\mathrm{i}\int_{0}^{t}U_{J}（t-s）\bigl（mathfrak{c}）（psi）+\mathfrak{P}（\psi）-\mathbrak{S}（\fsi）\biger）（x，S）\，ds，\end{aligned}$$
在一个精心挑选的封闭球里。为了简化符号，我们将使用以下内容：
$$\varLambda_{I}（\xi）（t，x）：=\int_{I\cap\{s，t\}}U_{J}（t-s）\xi（s，x）\，ds$$
对于所有时间间隔我，这样我们才能写作
$$\varLambda[\psi]（t，x）：=U_{J}（t）\phi-\mathrm{i}\varLampda_{i}\bigl（\mathfrak{C}（\psi）+\mathbrak{P}（\ psi）-\mathfrak{S}（\fsi）\bigr）（t，x）$$
(2)
2.1
\（L^{q，p}（\gamma）\）解决
在本小节中，我们证明了定理的第一部分1.1。为此，我们需要传播算子的以下局部Strichartz估计\（U_{J}（t）\）.
引理2.1
([21])
让
\（J\geq2）,\（（q{1}，p{1}），（q{2}，p2}）,和
我
长度小于的有限时间间隔1然后:
-
1
存在
\（\kappa:=\kappa（p{1}）\）
这样的话
$$\bigl\Vert U_{J}（\cdot）\zeta\bigr\Vert_{L^{q_{1}.p_{1{}}_{I}（\ gamma）}\leq\kappa\Vert\zeta\Vert_{L^_2}（\fagama）}}，\quad\textit{代表L^{2}（\gamma”）中的所有}\zeta\$$
-
2
如果
我
包含原点,存在
\（\kappa:=\kappa（p{1}，p{2}）\）
这样的话
$$\bigl\Vert\varLambda_{I}（\zeta）\bigr\Vert_{L^{q_1}.p_{1}}_{I{（\gamma）}\leq\kappa\Vert\zeta\Vert_{L^}\frac{q_2}}{q_{2}-1}，\压裂{p{2}}{p_{2}-1}}_{一} （\gamma）}，\quad\textit{代表L^{\frac{q_{2}}{q中的所有}\zeta\_{2}-1}，\压裂{p{2}}{p_{2}-1}}（\gamma）$$
这个引理是[21]. 经典Strichartz估计对我们的加权空间的适应性很简单，我们请读者参考[17]作为证据。感谢Lemma2.1，我们有
$$\bigl\Vert U_{J}（\cdot）\zeta\bigr\Vert_{\mathfrak{B}^{q_{1}，p_{1{}{I}（\ gamma）}\leq\kappa（p_{1}）\Vert\zeta\Vert_{L^{2}{q{1}，p_{1}}{I}}\leq\kappa（p_{1\，p_2}）\Vert\zeta\Vert_{\mathfrak{B}^{\prime q{2}，p2}}_{I}（\gamma）}$$
(3)
只要右手边是有限的。接下来，我们回顾SPS系统的以下质量保护属性。
引理2.2
让
\（T>0）
和
\（φ=（\phi_{i}）_{i\在{\mathbb{N}}中）
中的一组初始数据
\（L^{2}（\gamma）\）.如果存在弱解
\（\psi（t）=（{\psi_{i}（t）}）{i\在{\mathbb{N}}}中）
到上的SPS系统
\（[0，T]\）,然后
\（（（{\psi_{i}（t）}）{i\在{\mathbb{N}}中）
是这样的
\（\|\psi（t）\|_{L^{2}（\gamma）}}=\|\phi\|_}{L^}2}
为所有人
\（在[0，t]\中）.
证明
一方面，我们将SPS系统相乘(1)由\（\bar{\psi}_{l}\）并在空间上进行整合。在另一边，我们更换k个通过我在(1)，取系统的复共轭，乘以\（\phi_{l}\）在空间方面进行整合，并将该术语进行部分整合\（-\sum_{j=0}^{j}\frac{\alpha（j）\hbar^{2j}}{m^{2j-1}c^{2j-2}}\int_{mathbb{R}^3}[{Delta^{j}\bar{\psi}{l}}]\psi_{k}\，dx\）。最后，将这两个等式相加得到期望的结果。□
现在，我们估计\（\mathfrak{B}^{primeq，p}{T}（\gamma）\）为所有人\（（q，p）\ in \mathfrak{J}\）和\（T>0）首先，我们有
引理2.3
让
\（T>0）,\（（q，p）\in\mathfrak｛J｝\）
这样的话
\（3）
和
\（\psi，\varphi\in\mathfrak{B}^{q，p}_{T} （伽玛射线）.然后就有了
\（\κ：=\κ（p）>0\）
这样的话
$$\bigl\Vert\mathfrak{C}（\varPsi）\bigr\Vert_{\mathfrak{B}^{\prime q，p}_{T}（gamma）}\leq\kappa\max\bigl（T，T^{1-\frac{3}{J}（\frac{1}{2}-\压裂{2}{p}）}\biger）\Vert\varPsi\Vert_{mathfrak{B}^{q，p}_{T} （\gamma）}$$
(4)
证明
证明基于库仑势的截止\（\压裂{1}{x|}\）的确，对于所有功能\（C^{\infty}\中的\chi\）这样的话\（\chi（r）=1）对于\（0\leq r\leq1\）和\（\chi（r）=0）对于\（第二页），我们已经明确
$$\frac{1}{\vert x\vert}=\frac}1}{\ vert x\ vert}\ bigl（1-\chi\bigl biggr]$$
在一边，我们设置\（b=+\infty\）并获得
$$\bigl\Vert\mathfrak{C}（\varPsi）\chi\bigl（\Vert x\Vert\bigr）\bigr\Vert_{L^{1,2}_{T} （\gamma）}\leq\biggl\Vert\frac{\chi$$
相反，利用霍尔德在时间和空间上的不等式，结合以下事实\（（q，p）\ in \mathfrak{J}\），我们获得
$$\开始{aligned}\bigl\Vert\mathfrak{C}（\varPsi）\bigl（1-\chi\bigle（\Vert x\Vert\bigr）\bigr{2}-\frac{2}{p}）}\biggl\Vert\frac{chi（\Vert x\Vert）}{\Vert x \Vert}\bigr\Vert_{L^{\frac{p}{p-2}}_{x}}\Vert\varPsi\Vert_{L^{q，p}_{T} （\gamma）}。\结束{对齐}$$
这个估计的右侧对所有人来说都是有限的\（3），这确保了\（\压裂{p}{p-2}\在[\压裂{3}{2}，3[\中）.总结我们得到的两个不等式(4). □
现在，让我们弄清楚密度规范之间的关系\（\rho_{\psi}\）和波函数ψ。由于闵可夫斯基的不平等，我们\（γ）为所有人\（第二页）此外，对所有人使用反向Minkowski不等式\（第二页），我们获得\（\|\rho^{\frac{1}{2}}_{\psi}\|_{L^{p}}\leq\|\psi\|{L^}p}（\gamma）}\）我们将在续集中默认使用此属性。现在，系统的泊松部分满足以下要求。
引理2.4
让
\（T>0）,\（（q，p）\ in \mathfrak{J}\）
这样的话
\（3）
和
\（\psi，\varphi\in\mathfrak{B}^{q，p}_{T} （伽玛射线）.然后存在一个常数
\（\kappa:=\kappa（p）\）
这样的话
$$\开始{aligned}&\bigl\Vert\mathfrak{P}（\psi）-\mathfrak{P}（\varphi）\bigr\Vert_{\mathfrak{B}^{\prime q，P}_{T}（\ gamma）}\\&\quad\leq\kappa\bigl \biger）^{2}\max\bigl（T，T^{1-\frac{3}{J}（\frac{1}{2}-\压裂{2}{p}）}\biger）\Vert\varPsi\Vert_{mathfrak{B}^{q，p}_{T} （\gamma）}。\结束{对齐}$$
(5)
证明
证明与参考文献相同[17]，为了方便读者，我们在这里画了草图。我们有
$$\begin{aligned}\bigl\Vert\mathfrak{P}（\psi）-\mathfrak{P}（\varphi）\bigr\Vert_{\mathfrak{B}^{\prime q，P}_{T}（\ gamma）}\leq&\biggl\Vert\biggl（\rho_{\varPsi}\star\frac{1}{\Vert x\Vert}\biggr）\varphi\biggr\Vert_}\mathbrak{B}{\prime q，P}_{T}（\gamma）}+\biggl\Vert\biggl（\rho_{psi}\star\frac{1}{\Vert x\Vert}\biggr）\varPsi\biggr\Vert_{mathfrak{B}^{prime q，p}_{T}（\gamma）}。\结束{对齐}$$
我们将使用引理证明中给出的库仑势的截止值2.3一方面，回顾一下\（\rho{\psi}=\sum{i}\gamma{i}|\psi{i}|^{2}\）利用杨氏不等式和霍尔德不等式，我们得到
$$\biggl\Vert\biggl（\rho_{\varPsi}\star\frac{\chi（\Vert x\Vert）}{\Vert x \Vert}\biggr）\varphi\biggr\Vert_{L^{1,2}_{T} （\gamma）}\leq\kappa\Vert\varphi\Vert_{L^{infty，2}$$
和
$$\begl｛aligned｝和\biggl\Vert\biggl（\rho_｛\varPsi｝\star\frac｛1-\chi（\Vert x\Vert）｝｛\Vert x\Vert｝\biggr）\varphi\biggr\Vert_｛L^｛\frac｛q｝｛q-1｝，\frac｛p｝｛p-1｝｝_｛T｝（\gamma）｝和\quad\leq\kappa\Vert\varphi\Vert_｛L^｛\infty，2｝（\gamma）｝\bigl（\Vert\psi\顶点_｛L^｛\infty，2｝（\gamma）｝+\Vert\varphi\Vert_｛L^｛\infty，2｝（\gamma）}\较大）T^{1-\压裂{3}{J}（\压裂{1}{2}-\压裂{2}{p}）}\Vert\varPsi\Vert_{L^{q，p}_{T} （\gamma）}。\结束{对齐}$$
等效地，我们有
$$\begin｛aligned｝&\biggl\Vert\biggl（\rho_｛\psi｝\star\frac｛\chi（x）｝｛\Vert x\Vert｝\biggr）\varPsi\biggr\Vert_｛L^{1,2}_{T} （\gamma）}\leq\kappa\Vert\psi\Vert^{2}_{L^{\infty，2}（\gamma）}T\Vert\varPsi\Vert_{L^}\infty，2}_{T}（\ gamma”}，\end{aligned}$$
和
$$\begin{aligned}和\biggl\Vert\biggl（\rho_{psi}\star\frac{1-\chi（x）}{\Vert x\Vert}\biggr）\varPsi\biggr\Vert_{L^{frac{q}{q-1}，\ frac{p}{p-1}}{T}（\gamma）}\leq\kappa\Vert\psi\Vert^{2}_{L^{infty，2}（\gamma）}T^{1-\frac{3}{J}（\ frac{1}{2}-\压裂{2}{p}）}\Vert\varPsi\Vert_{L^{q，p}_{T} （\gamma）}。\结束{对齐}$$
收集这些估计，我们得到(5). 观察情况\（3）需要像引理一样限制电势的短程部分2.3. □
现在，我们为SPS系统的Slater部分提供估计值。
引理2.5
让
\（T>0）,\（（q，p）\ in \mathfrak{J}\）
具有
\（p>2）
和
\（\psi，\varphi\in\mathfrak{B}^｛q，p｝_{T} （伽玛射线）.然后有一对
\（（r，s）\in\mathfrak{J}\）
这样的话
$$\begin{aligned}\bigl\Vert\mathfrak{S}（\psi）-\mathfrak{S}（\varphi）\bigr\Vert_{L^{\frac{r}{r-1}，\frac}{S}{S-1}}{T}（\ gamma）}\leq\kappa T^{1-\frac[1}{2J}\bigr（\Vert\psi\Vert^{2}{3}{L}^{q，p}_{T} （\gamma）}+\Vert\varphi\Vert^{\frac{2}{3}}_{L^{q，p}_{T} （\gamma）}\biger）\Vert\varPsi\Vert_{L^{infty，2}_{T}（\gama）}。\结束{对齐}$$
(6)
证明
我们遵循以下论点[20]使用不同的\（L^{q，p}（\lambda）\）空格。首先，使用一阶泰勒展开式，我们可以为所有人写\（[0,1]\中的θ）
$$\begin{aligned}\mathfrak{S}（\psi）-\mathbrak{S{（\varphi{\ell^{2}（\gamma）}\biger）\rho^{-\frac{2}{3}}_{\varphi+\theta\varPsi}（\tavphi+\ttheta\varPsi）\，d\theta\+&\int_｛0｝^｛1｝\rho^｛\frac｛1｝｛3｝｝_｛\varphi+\theta\varPsi｝\varPsi\，d\theta:=\mathfrak{T}（T）_{1} +\mathfrak（+\马特拉克）{T}（T）_{2}. \结束{对齐}$$
事实上\（\rho_{\zeta}^{\frac{1}{3}}\zeta\）由提供
$$\partial_{\psi}\bigl（\rho_{\psi}^{\frac{1}{3}}\psi\bigr）h=\frac{2}{3{Re\langle h，\psi\ rangle_{\ell^{2}（\gamma）}\rho{\psi}^{-\frac}2}{3}\psi+\rho_psi}^{1}{3}h$$
其中符号ℜ表示复数的实数部分，以及\（\langle h，\psi\rangle_{\ell^{2}（\gamma）}\）表示中的欧几里德标量积\（\ell^{2}（\gamma）\）,\（langleh，\psi\rangle{\ell^{2}（\gamma）}:=\sum{j}\gamma{j}h{j}\bar{psi}{j}\）.我们的目标是估计\（\mathfrak{T}（T）_{1} \)和\（\mathfrak{T}_{2}\）在里面\（L^{\压裂{p}{p-1}，\压裂{r}{r-1}}（\gamma）\）这一事实的证明是Minkowski不等式的直接应用。事实上，让\（（q，p）\ in \mathfrak{J}\）然后利用Hölder的时空不等式得到
$$\开始{aligned}\Vert\mathfrak{T}（T）_{2} \Vert_{L^{压裂{Jp}{Jp-1}，\frac{6p}{3p+4}}{T}（\gamma）}\leq&\bigl\Vert\rho^{frac{1}{3}}{\varphi+\theta\varPsi}\bigr\Vert_压裂{压裂{2} 第页}_{T} }\Vert\varPsi\Vert_{L^{infty，2}_{T}（\gamma）}\\=&\bigl\Vert\rho^{\frac{1}{2}}{\varphi+\theta\varPsi}\bigr\Vert^{\frac{2}{3}}_{L^\\frac{2{3}\frac}{Jp}{1}，p}_{T}\Vert\varPsi{L^{infty，2}{T}（\gamma）}\\leq&\Vert\varphi+\theta\varPsi\Vert^{frac{2}{3}}{L^}{frac}2}{3}\frac{Jp}{Jp-1}，p}}{T{（\gamma）}\Vert\varPsi\Vert_{L^{infty，2}_{T}（\gamma）}\\leq&T^{1-\frac{1}{2J}}\bigl \varPsi\Vert_{L^{infty，2}_{T}（\gamma）}。\结束{对齐}$$
为了从上述估算的第二行传递到第三行，我们使用了以下事实\（\|\rho^{\frac{1}{2}}_{\zeta}\|_{L^{q，p}}\leq\|\zeta\|{L^}，p}（\gamma）}\）为所有人\（第二页）和\（\ζ\在L^｛q，p｝中（\γ）\）.请注意\（压裂{Jp}{Jp-1}\）是的共轭Jp公司和\（压裂{6p}{3p+4}\）是的共轭\（压裂{6p}{3p-4}\）和那对\（（Jp，压裂{6p}{3p-4}）。最终，我们显然\（1-\压裂{1}{2J}>0\）为所有人\（J\geq2）现在，我们估计\（\mathfrak{T}（T）_{1}\):
$$\开始{aligned}\Vert\mathfrak{T}（T）_{1} \Vert_{L^{压裂{Jp}{Jp-1}，\frac{6p}{3p+4}}{T}（\gamma）}\leq&\eta\bigl\Vert\rho^{frac{1}{2}}{\varphi+\theta\varPsi}\rho^}{\frac}{1}}\varPsi}\rhoθ\varPsi}\Vert\varphi+\theta\varPsi \Vert\bigr\Vert_{L^{frac{Jp}{Jp-1}，frac{6p}{3p+4}}{T}（\gamma）}\\leq&\eta\bigl\Vert\rho^{frac{1}{2}}_{[\rho^{-\frac{1}{6}}{{\varphi+\theta\varPsi}\rho_{\frac}1}{2}}{\varPsi}\vert\varphi+\T theta\varPsi\vert]}\bigr\vert_{L^{\frac{Jp}{Jp-1}，\frac6p}{3p+4}}{T}}\\=&\eta\bigl\vert\rho^ \frac{1}{6}}{{\varphi+\theta\varPsi}\rho^{\frac}1}{2}}{\varPsi}\rho ^{\frac{1}{2}{\valphi+\ttheta\varPsi}\bigr\vert_{L^{\frac{Jp}{Jp-1}，\压裂{6p}{3p+4}}{T}}\\leq&\eta\bigl\Vert\rho^{frac{1}{3}}{\varphi+\theta\varPsi}\bigr\Vert_{L^{frac{Jp}{Jp-1}，\frac{3}{2} 第页}_{T}}\bigl\Vert\rho^{\frac{1}{2}}_{\varPsi}\bigr\Vert_{L^{\infty，2}_{T}}\\leq&\eta T^{1-\frac}{2J}}\bigl压裂{2}{3}}_{L^{q，p}（\gamma）}\biger）\Vert\varPsi\Vert_{L^}\infty，2}_{T}（\ gamma。\结束{对齐}$$
在第一行中，我们使用了Cauchy–Schwartz不等式，\（|\langleh，\psi\rangle{\ell^{2}（\gamma）}|^{2{\leq\rho{\psi}\rho_{h}\）和符号\（|\zeta|=（|\zeta_{j}|）_{j\在{\mathbb{N}}\中）。在第二行中，我们使用了以下事实\（\|\zeta\|_{L^{q，p}（\gamma）}\leq\|\rho^{\frac{1}{2}}{{\zeta}\|{L^}，p}}\）为所有人\（第二页）和\（L^{q，p}（\gamma）中的\ zeta\）显然，我们已经\（\frac｛6p｝｛3p+4｝\leq2\）。最后，通过设置来证明引理\（（r，s）=（Jp，\压裂{6p}{3p-4}）\）. □
现在，我们可以建立一个压缩论点来证明定理的第一部分1.1.让\（0<T\leq1）待稍后修复，\（φ=（\phi_{i}）_{i\在{\mathbb{N}}中）是中的一组正交初始数据\（L^{2}（\gamma）\）、和\（\psi=（\psi_{i}）_{i\在{\mathbb{N}}}\中）,\（\varphi=（\varfi_{i}）_{i\在{\mathbb{N}}}\中）在以下闭合球中：
$$B_{R}:=\bigl\lbrace\zeta\in\mathfrak{B}^｛q，p｝_{T} （\gamma）\cap L^{\infty}\bigl（[0，T]；{L^{2}（\garma）}\bigr），\Vert\zeta\Vert_{\mathfrak{B}^{q，p}_{T} （\gamma）}\leq R\bigr\rbrace$$
使用引理2.1–2.5，我们可以为所有人写作\（（q，p）\ in \mathfrak{J}\）这样的话\（3）和\（J\geq2），我们有
$$\开始{aligned}&\bigl\Vert\varLambda[\psi]（t，x）\bigr\Vert_{mathfrak{B}^{q，p}_{T} （伽玛）}\\&\quad\leq\kappa（p）\Vert\phi\Vert_{L^{2}（\gamma）}}\\&\qquad\}+\kappa-（p）\ max\bigl（T，T^{1-\frac{3}{J}（\frac{1}{2}-\压裂{2}{p}）}，T^{1-\压裂{1}{2J}}\biger{乙}_{T} ^{q，p}（\gamma）}。\结束{对齐}$$
现在，因为\（压裂{3}{J}（压裂{1}{2}-\压裂{2}{p}）\leq\frac{1}{2J}\），我们让\（R:=2\kappa（p）\|\phi\|_{L^{2}（\gamma）}}）和
$$T\leq\min\bigl\{1，{\bigl[2\kappa（p）\bigl（1+4\kappa^{2}（p）\Vert\phi\Vert^{2}_{{L^{2}（\gamma）}}+\bigl$$
因此，我们得到
$$\开始{aligned}&\bigl\Vert\varLambda[\psi]（t，x）\bigr\Vert_{mathfrak{B}^{q，p}_{T} （伽马）}（&\quad\leq\frac{R}{2}+\kappa（p）T^{1-\压裂{3}{J}（压裂{1}{2}-\裂缝{2}{p}）}\bigl（1+4\kappa^{2}（p）\Vert\phi\Vert^{2}_{{L^{2}（\gamma）}}+\bigl（2\kappa（p）\Vert\phi\Vert_{L^}（\ gamma$$
这表明Λ地图\（B_{R}\）融入自身。等效地，
$$\begin｛aligned｝&&bigl\Vert\varLambda[\psi]（t，x）-\varLambda[\varphi]（t，x）\bigr\Vert_｛\mathfrak｛B｝^{q，p}_{T} （伽马）}{2}-\压裂{2}{p}）}，T^{1-\压裂{1}{2J}}\biger）\\&\qquad{}\times\bigl（1+2\Vert\phi\Vert^{2}_{{L^{2}（\gamma）}}+\bigl（\Vert\psi\Vert^{\frac{2}{3}}_{L_{T}^{q，p}（\ gamma}^{q，p}（\gamma）}。\结束{对齐}$$
因此，如果我们现在让
$$T\leq\min\bigl\{1，{\bigl[4\kappa（p）\bigl（1+4\kappa^{2}（p）\垂直\phi\Vert^{2}_{{L^{2}（\gamma）}}+\bigl（2\kappa（p）\Vert\phi\Vert_{L^}（\ gamma$$
那么存在一个常数\（0<\波浪线{\eta}<1\）这样的话
$$\bigl\Vert\varLambda[\psi]（t，x）-\varLambda[\varphi]（t、x）\bigr\Vert_{mathfrak{B}^{q，p}_{T} （\gamma）}\leq\tilde{\eta}\Vert\psi-\varphi\Vert_{\mathfrak{乙}_{T} ^{q，p}（\gamma）}$$
(7)
我们推断Λ是对\（B_{R}\）。因此，SPS系统在中有一个解决方案\（L^{\infty}（[0，T]；{L^{2}（\gamma）}）\）此外，该解决方案在\（L^{\infty}（[0，T]；{L^{2}（\gamma）}）\cap L^{q，p}_{T} \）为所有人\（（q，p）\ in \mathfrak{J}\）这样的话\（3<p\leq6\）解决方案在\（C^{0}（[0，T]；{L^{2}（\gamma）}）\）使用标准参数跟随。最后需要说明的是解的全局存在性，这是引理的一个结果2.2的确，时间\（T>0）上述固定仅取决于\（L^{2}\）初始数据的范数，这是由SPS系统的动力学所保守的。因此，可以重申收缩论点，以涵盖整个实线。
2.2
\（H^{2J}（\gamma）\）解决
在本节中，我们证明了定理的第二部分1.1为此，我们采用加藤方法（参见参考文献[22,23])通过设置定点参数。从这一点开始，我们将使用符号\（C）^｛p｝_{T} {\bf X}：=C^{p}（[0，T]；{\bf-X}）\）,\（升^｛p｝_{T} {\bf X}：=L^{p}（[0，T]；{\bf-X}）\）和\（W^{q，p}_{T} {\bf X}：=W^{q，p}（[0，T]；{\bf-X}）\）对于给定的功能空间\（{\bf X}\）。让我们总结一下与运算符关联的以下属性\（U_{J}（t）\）.
引理2.6
让
\（J\geq2）,\（（q，p）\ in \mathfrak{J}\）
和
\（H^{2J}（\gamma）中的\ zeta\）,那么就全部
\（在[0，t]\中）
我们有
\C中的（U_{J}（t）\ zeta\^{0}_{T} 小时^{2J}（伽玛射线）
和
\（U_{J}（t）\zeta\|_{L^{infty}_{T} H（H）^{2J}（\gamma）}\leq\|\zeta\|_{H^{2J{（\gamma）{）.此外,\C中的（U_{J}（t）\ zeta\^{1}_{T} {L^{2}（\gamma）}\cap W^{1，q}_{T} L（左）^{p} （伽玛射线）
存在一个常数
\（\kappa=：\kappa（p）\）
这样的话
\（U_{J}（t）^｛1，q｝_{T} L（左）^{p} （\gamma）}\leq\kappa\|\zeta\|_{H^{2J}（\gama）}\）.
证明
第一个断言紧跟在\（U_{J}（t）\）在傅立叶变量中。现在，让我们ζ作为方程式的初始数据
$$i\partial_{t}\psi=\sum_{j=1}^{j}（-1）^{j+1}\frac{\alpha（j）\hbar^{2j}}{m^{2j-1}c^{2j-2}}（-\Delta）^{j}\psi$$
那么第二个断言是Strichartz在引理中给出的估计的结果2.1事实上
$$\partial_{t}\psi=\mathrm{i}\sum_{j=1}^{j}（-1）^{j}\frac{\alpha（j）\hbar^{2j}}{m^{2j-1}c^{2j-2}}（-\Delta）^{j}\psi=\mathrm{i}U{j}（t）\sum_{j=1}^{j}（-1）{2j}}{m^{2j-1}c^{2j-2}}（-\Delta）^{j}\zeta$$
这就完成了证明。□
这个引理提供了一个估计，它等价于(三). 第二次估算的等效值(三)是以下情况的直接后果。
引理2.7
让
\（J\geq2）,\（（q{1}，p{1}），（q{2}，p2}）
和
\（ζ\in L^｛\infty，2｝_｛T｝（\gamma）\）
这样的话
\L^{frac{q_{2}}{q中的（部分t}_{2}-1}，\压裂{p{2}}{p_{2}-1}}_{T} （伽玛射线）.然后
\L^{infty}中的（\varLambda_{[0，T]}（\zeta）_{T} H（H）^{2J}（\gamma）\cap C^{1}_{T} {L^{2}（\gamma）}\cap W^{1，q_{1}}_{T} 我^{p{1}}（\gamma）
和
$$\开始{aligned}&\bigl\Vert\varLambda_{[0，T]}（\zeta）\bigr\Vert_{L^{q_{1}，p_{1{}}_{T}（\ gamma）}\leq\kappa（p_{1}）\Vert\zeta\Vert_}^{1,2}_{T} （\gamma）}，\\&\bigl\Vert\partial_{T}\varLambda_{[0，T]}部分{T}\zeta\Vert_{L^{frac{q{2}}{q_{2}-1}，\压裂{p{2}}{p_{2}-1}}_{T} （\gamma）}，\\&\bigl\Vert（-\Delta）^{J}\varLambda_{[0，T]}（\zeta）\bigr\Vert_{L^{infty，2}_{T}（\ gamma kappa（p_{2}）\Vert\partial_{T}\zeta\Vert_{L^{frac{q_2}}{q_{2}-1}，\压裂{p{2}}{p_{2}-1}}_{T} （\gamma）}。\结束{对齐}$$
此外,如果
\（C中的\ zeta\^{0}_{T} {L^{2}（\gamma）}\）,然后
\C中的（\varLambda_{[0，T]}（\zeta）^{0}_{T} 小时^{2J}（伽玛射线）.
证明
证明基于引理中Strichartz的估计2.1的确，第一个断言只是引理中的第二个估计2.1和这对\((1,2)\)作为的共轭\（（infty，2）在mathfrak{J}中）为了证明第二个断言，我们观察到
$$\partial_{t}\varLambda_{[0，t]}（\zeta）=\varLampda_{[0，t]{$$
该公式的合理性在于：\（partial_{t}\zeta\in\mathfrak{B}^{primeq_{2}，p_{2{}{t}\subset L^{1}_{T} H（H）^{-J}（伽玛射线），因此\（C中的\ zeta\^{0}_{T} H（H）^{-J}（伽玛射线）特别是\（\泽塔（0）\）有道理，实际上它属于\（{L^{2}（\gamma）}\）.多亏了引理2.1，我们有
$$\bigl\Vert\partial_{t}\varLambda_{[0，t]}_{2}-1}，\压裂{p{2}}{p_{2}-1}}_{T} }+\kappa\bigl\Vert\zeta（0）\bigr\Vert_{L^{2}（\gamma）}}$$
为了证明最后一个断言，我们写
$$（-\Delta）^{J}\varLambda_{[0，T]}（\zeta）=\mathrm{i}\bigl（-\partial_{T}\varLambda_}[0，T_}（\ zeta）+\zeta\bigr）$$
这个公式是由上述相同的论点证明的，因此我们有\（（-\Delta）^{J}\varLambda_{[0，T]}（\zeta）\in L^{infty，2}_{T}（\ gamma）\），然后立即使用第二个断言进行期望的估计。□
现在，我们有了\（\mathfrak{C}（\psi）+\mathbrak{P}（\fsi）-\mathfrak{S}（.psi）：H^{2J}（gamma）\rightarrow L^{2}）因此，很容易看出存在\（0\leq s<2J）这样的话\（在C^{0}（H^{S}（\gamma），{L^{2}（\ gamma例如，如果我们修复\（第1页），我们有
$$开始{对齐}和\bigl\Vert\mathfrak{C}伽玛）}}\leq2\Vert\nabla\psi\Vert_{L^{2}（\gamma）}}\ Vert\psi\ Vert^{2}_{{L^{2}（\gamma）}}\leq2\Vert\psi\Vert^{3}_{H^{s}（\gamma）}，\\&\bigl\Vert\mathfrak{s}{H^{s}（\gamma）}。\结束{对齐}$$
(8)
那就是，\（\mathfrak{C}（\psi）+\mathbrak{P}（\ psi）-\mathfrak{S}（\fsi）\in L^{infty，2}_{T}（gamma）\）为所有人\（在L^{infty}中为\psi\_{T} H（H）^{s} （\伽玛）\）此外，还有一个连续函数\（eta:\mathbb{R}^{star}_{+}\rightarrow\mathbb{R}^{star{{+}\）这样，对于每一个\（在L^{infty}中为\psi\_{T} H（H）^{s} （伽玛射线）令人满意的\（\|\psi\|_{L^{infty}_{T} H（H）^{s} （伽玛射线）}\leq K\），我们有
$$\bigl\Vert\mathfrak{C}（\psi）+\mathfrak{P}（\fsi）-\mathbrak{S}（.psi）\bigr\Vert_{L^{infty，2}_{T}（\ gamma）}\leq\eta（K）$$
(9)
让我们写\（\mathfrak{C}=\mathbrak{C}（C）_{1} +\mathfrak（+\马特拉克）{C}（C）_{2}\)，相当于\（\mathfrak{P}\）关于\（\压裂{1}{x|}\）。然后我们有以下内容。
引理2.8
让
\（T>0）,\（3<\bar{p}\leq6\）,\（2<\波浪号｛p｝<6\）,和
q̄,q̃
这样的话
\（（\bar{q}，\bar{p}）.然后,为所有人
\（在L^{infty}中为\psi\_{T} H（H）^{s} （伽玛射线）
这样的话
\（\|\psi\|_{L^{infty}_{T} H（H）^{s} （伽玛射线）}\leq K\）
和
\（在L^{{bar{q}}，\bar{p}}{t}（\gamma）\cap L_{t}^{infty，2}（\ gamma,我们有
$$\开始{aligned}&\bigl\Vert\partial_{t}\mathfrak{C}（C）_{1} （磅/平方英寸）\bigr\垂直^{1,2}_{T} （\gamma）}\leq\kappa T\Vert\partial_{T}\psi\Vert_{L^{infty，2}_{T}（\gama）}，\\&\bigl\Vert_partial_{T}\ mathfrak{C}（C）_{2} （\psi）\bigr\Vert_{L^{\frac{\bar{q}}{\bar}-1}，\frac}\bar{p}}{\bar{p} -1个}}_{T} （伽马）}\leq\kappa T^{1-\压裂{3}{J}（压裂{1}{2}-\frac｛1｝｛\bar｛p｝｝）｝\Vert\partial_｛t｝\psi\Vert_｛L^｛\bar｛q｝｝、\bar｛p｝｝_｛t｝（\gamma）｝、\\&&\bigl\Vert\partial_｛t｝\mathfrak{P}（P）_{1} （\psi）\bigr\Vert_{L^{1,2}_{T} （\gamma）}\leq\kappa K^{2}T\Vert\partial_{T}\psi\Vert_{L^{infty，2}_{T}（\gama）}{P}（P）_{2} （\psi）\bigr\Vert_{L^{\frac{\bar{q}}{\bar}-1}，\frac}\bar{p}}{\bar{p} -1个}}（伽马）}\leq\kappa K^{2}T^{1-\压裂{3}{J}（压裂{1}{2}-\压裂{1}{\bar{p}}{q} -1个}，\frac{\tilde{p}}{\tilde{p} -1个}}（伽马）}\leq\kappa K^{\frac{2}{3}}T^{1-\frac}{2J}（\frac[1}{2}-\压裂{1}{\波浪线{p}}）}\Vert\partial_{t}\psi\Vert_{L_{t}^{infty，2}（\gamma）}。\结束{对齐}$$
证明
多亏了Lemmas2.3–2.5，如果\（H^{2J}（伽马）中的\psi，\varphi）这样的话\（\|\psi\|_{H^{s}（\gamma）}那么，对所有人来说\（3<\bar{p}\leq6\）和\（2<\波浪线{p}<6\）我们有
$$\开始｛对齐｝&&bigl\Vert\mathfrak{C}（C）_{1} （\psi）-\mathfrak{C}（C）_{1} （\varphi）\bigr\Vert_{{L^{2}（\gamma{C}（C）_{2} （\psi）-\mathfrak{C}（C）_{2} （\varphi）\bigr\Vert_{L^{\frac{\bar{p}}{\bar{p} -1个}}（\gamma）}\leq\kappa\Vert\varPsi\Vert_{L^{\bar{p}}（\gama）}，\\&\bigl\Vert\mathfrak{P}（P）_{1} （\psi）-\mathfrak{P}（P）_{1} （\varphi）\bigr\Vert_{{L^{2}（\gamma{P}（P）_{2} （\psi）-\mathfrak{P}（P）_{2} （\varphi）\bigr\Vert_{L^{\frac{\bar{p}}{\bar{p} -1个}}（\gamma）｝\leq\kappa K^｛2｝\Vert\varPsi\Vert_｛L^｛\bar｛p｝｝（\gamma）｝，\\&&\bigl\Vert\mathfrak｛S｝（\psi）-\mathfrak｛S｝（\varphi）\bigr\Vert_｛L^｛\frac｛\tilde｛p｝｝{p} -1个}}（\gamma）}\leq\kappa K^{\frac{2}{3}}\Vert\varPsi\Vert_{L^{2}（\gama）}}。\结束{对齐}$$
因此，由于[23]，我们有
$$\开始{aligned}&\bigl\Vert\partial_{t}\mathfrak{C}（C）_{1} （\psi）\bigr\Vert_{L^{1,2}_{T} （\gamma）}\leq\kappa\Vert\partial_{T}\psi\Vert_{L^{1,2}_{T} （\gamma）}，\\&\bigl\Vert\partial_{T}\mathfrak{P}（P）_{1} （\psi）\bigr\Vert_{L^{1,2}_{T} （\gamma）}\leq\kappa K^{2}\Vert\partial_{T}\psi\Vert_{L^{1,2}_{T} （\gamma）}，\\&\bigl\Vert\partial_{T}\mathfrak{C}（C）_{2} （\psi）\bigr\Vert_{L^{\frac{\bar{q}}{\bar}-1}，\frac}\bar{p}}{\bar{p} -1个}}_{T} （\gamma）}\leq\kappa\Vert\partial_{T}\psi\Vert_{L^{\frac{\bar{q}}{\bar}-1}，\bar{p}}_{T}（\gama）}{P}（P）_{2} （\psi）\bigr\Vert_{L^{\frac{\bar{q}}{\bar}-1}，\frac}\bar{p}}{\bar{p} -1个}}（\gamma）}\leq\kappa K^{2}\Vert\partial_{t}\psi\Vert_{L_{t}^{\frac{\bar{q}}{\bar{q}-1}，\bar{p}}（\gama）}，\\&\bigl\Vert\pertial_}\mathfrak{S}（\fsi））{q} -1个}，\frac{\tilde{p}}{\tilde{p} -1个}}（\gamma）}\leq\kappa K^{\frac{2}{3}}\Vert\partial_{t}\psi\Vert_{L_{t}^{\ frac{\ tilde{q}}{\ tilde{q} -1个}，2}（\gamma）}。\结束{对齐}$$
最后，及时应用霍尔德不等式完成了证明。□
接下来，我们设置一个不动点参数并完成定理的证明1.1首先，观察SPS系统(1)和Duhamel配方(2)是等效的。的确，让我们\（在L^{infty}中为\psi\_{T} H（H）^{s} （\伽玛）\），然后\L^{infty}_{T}H^{s-2J}（\gamma）中的（（-\Delta）^{J}\psi\自从\（（-\Delta）^{J}\psi\in\mathcal{L}（H^{s}，H^{s-2J}）此外，对于所有人\（T>0）,\（\mathfrak{C}（\psi）+\mathbrak{P}（\ psi）-\mathfrak{S}（\fsi）：I\rightarrow{L^{2}（gamma）}\）可测量，因为\（在C^{0}（H^{S}（\gamma），{L^{2}（\ gamma并且有界，因为它在有界集上有界，因此\（\mathfrak{C}（\psi）+\mathbrak{P}（\ psi）-\mathfrak{S}（\fsi）\in L^{infty，2}_{T}（gamma）\）因此，公式(1)和(2)定义明确\（{L^{2}（\gamma）}\）。等效性使用以下事实\（（（U_{J}（t））_{t\in\mathbb{R}}\）是上的一组等角线\（{L^{2}（\gamma）}\）.
让\（0\leq s<2J）这三个估计(8)保持正确，并且\（（q，p）\ in \mathfrak{J}\）这样的话\（p=\max\{\bar{p}，\波浪线{p}\}\）引理的2.8此外，让\（T，K>0）之后固定，并引入空间
$$\begin｛aligned｝\mathcal｛L｝（\gamma）：=｛｝&&bigl\lbrace\psi\ in L_｛T｝^｛\infty｝H^｛s｝（\gamma）\cap W^｛1，\infty｝_｛T｝｛L^｛2｝（\gamma）｝\cap W^{1，q}_{T} L（左）^{r} （\gamma）\text{这样}\\&{}\Vert\psi\Vert_{L_{T}^{\infty}H^{s}（\gama）}+\Vert\psi\Verd_{W^{1，\infty}_{T{L^{2}（\ gamma^{1，q}_{T} L（左）^{r} （\gamma）}\leq K\text{和}\psi（0）=\phi\bigr\rbrace。\结束{对齐}$$
请注意\（\mathcal{L}（\gamma）\neq\varnothing\）为所有人\（伽马>0）自从\（psi（t）=\varphi\ in \mathcal{L}\）还有那个\（（\mathcal{L}，d）\）当被赋予距离时是一个完整的度量空间\（d（\psi，\varphi）=\|\psi-\varphi\|_｛\mathfrak{乙}_{T} ^{q，p}}\）。多亏了(8)尤其是(9)，我们看到了\（\varLambda_{[0，T]}（\mathfrak{C}（\fsi）+\mathbrak{P}（.psi）+\ mathfrak{S}（/psi））（T，x）\）属于\（C）^{0}_{T} {L^{2}（\gamma）}\），因此它被很好地定义了。现在，由于霍尔德的不平等，如果\（\psi\in\mathcal{L}（\gamma）\），然后\（在W^{1，\bar{q}}中为\psi\_{T} L（左）^{\bar{p}}（\gamma）\）的确，
$$\开始{aligned}\Vert\psi\Vert_{W^{1，\bar{q}}_{T} L（左）^{\bar{p}}（\gamma）}=&\bigl（\Vert\psi\Vert^{2}_{L_{T}^{\bar{q}，\bar{p}}（\gamma）}+\Vert\partial_{T}\psi\Vert^{2}_{L_{T}^{\bar{q}，\bar{p}}（\gamma）}\biger）^{\frac{1}{2}\\leq&\bigl（\Vert\psi\Vert^{2\frac{2（p-\bar{p2}）}{\bar}（p-2）}}_{L{T}，2}（\ gamma{p} -2个)}{\bar{p}（p-2）}}_{L_{T}^{q，p}{p} -2个)}{\bar{p}（p-2）}}_{L_{T}^{q，p}{p} -2个)}{\bar{p}（p-2）}}_{L_{T}^{q，p}，（\gamma）}+\Vert\partial_{T}\psi\Vert^{2\frac{p（\bar{p} -2个)}｛\bar｛p｝（p-2）｝_｛L_｛T｝^｛q，p｝（γ）｝\bigr）^｛\frac｛1｝｛2｝｝\leq K ^｛\frac｛2（p-\bar｛p｝）｝｛\bar｛p｝（p-2）｝K ^｛\frac｛p（\bar{p} -2个)}{\bar{p}（p-2）}}=K.结束{对齐}$$
带引理2.8，我们得出以下估计：
$$\开始{aligned}&\bigl\Vert\partial_{t}\mathfrak{C}（C）_{1} （磅/平方英寸）\bigr\垂直^{1,2}_{T} （\gamma）}\leq\kappa K T，\qquad\bigl\Vert\partial_{T}\mathfrak{C}（C）_{2} （\psi）\bigr\Vert_{L^{\frac{\bar{q}}{\bar}-1}，\frac}\bar{p}}{\bar{p} -1个}}_{T} （伽马）}\leq\kappa K^{1-\压裂{3}{J}（压裂{1}{2}-\frac｛1｝｛\bar｛p｝｝）｝，\\&&\bigl\Vert\partial_｛t｝\mathfrak{P}（P）_{1} （\psi）\bigr\Vert_{L^{1,2}_{T} （\gamma）}\leq\kappa K^{3}T，\qquad\bigl\Vert\partial_{T}\mathfrak{P}（P）_{2} （\psi）\bigr\Vert_{L^{\frac{\bar{q}}{\bar}-1}，\frac}\bar{p}}{\bar{p} -1个}}（\gamma）｝\leq\kappa K^｛3｝T^｛1-\frac｛3｝｛J｝（\frac｛1｝{2}-\裂缝{1}{\bar{p}}）}，\\&\|\partial{t}\mathfrak{S}（\psi））{q} -1个}，\frac{\tilde{p}}{\tilde{p} -1个}}（伽马）}\leq\kappa K^{\frac{5}{3}}T^{1-\frac}{2J}（\frac[1}{2}-\frac｛1｝｛\tilde｛p｝｝）｝。\结束{对齐}$$
接下来，使用(9)用引理的第一个估计2.7，我们得到了一个常数的存在性κ̃独立于K和T型这样的话
$$\bigl\Vert\varLambda_{[0，T]}\bigl（\mathfrak{C}（\psi）+\mathfrak{P}（\ psi）+\ mathfrak{S}（\fsi）\biger）\bigr\Vert_{L_{T}^{infty，2}（gamma）}\leq\tilde{\kappa}T\eta（K）$$
(10)
引理的其他估计2.7向大家展示\（\varLambda_{[0，T]}（\mathfrak{C}（.psi）+\mathbrak{P}（_psi）+\ mathfrak{S}（-psi））在L^{infty}_{T}H^{2J}（gamma）\cap W中^{1，l}_{T} L（左）^{m} （伽玛射线）为所有人\（\psi\in\mathcal{L}（\gamma）\）和所有配对\（（l，m）\ in \ mathfrak{J}\）此外，使用Lemma2.7和估计(9)–(10)，我们获得（通过可能选择更大的κ̃)
$$\begin{aligned}和\bigl\Vert\varLambda_{[0，T]}\bigl（\mathfrak{C}（\psi）+\mathfrak{P}（\fsi）+\mathfrak}S}（\ psi）\bigr \Vert_{W^{1，\infty}_{T} L（左）^{2} （\gamma）}\\&\qquad{}+\bigl\Vert\varLambda_{[0，T]}\bigl^{1，q}_{T} L（左）^{p} （\gamma）}\\&\quad\leq\tilde{\kappa}\bigl（T\eta（K）+\bigl\Vert\mathfrak{C}（C）_{1} （\phi）\bigr\Vert_{L^{2}（\gamma）}+\bigl\Vert\mathfrak{C}（C）_{2} （\phi）\bigr\Vert_{L^{2}（\gamma）}+\bigl\Vert\mathfrak{P}（P）_{1} （\phi）\bigr\Vert_｛L^｛2｝（\gamma）｝+\bigl\Vert\mathfrak{P}（P）_{2} （\phi）\bigr\Vert_{L^{2}（\gamma）}\\&\qquad{}+\bigl\Vert\mathfrak{S}{2}-\裂缝{1}{\bar{p}}）}\bigr]+K^{\frac{5}{3}}T^{1-\frac}{2J}（\frac[1}{2}-\frac{1}{\tilde{p}}）}\bigr），\end{aligned}$$
和
$$\开始{aligned}&\bigl\Vert\varLambda_{[0，T]}\bigl（\mathfrak{C}（\psi）+\mathfrak{P}（\fsi）+\mathfrak}S}（\ psi）\bigr \Vert_{L^{infty}_{T} H（H）^{2} （\gamma）｝\&&\quad\leq\tilde｛\kappa｝\bigl（[1+T]\eta（K）+\bigl\Vert\mathfrak{C}（C）_{1} （\phi）\bigr\Vert_{L^{2}（\gamma）}+\bigl\Vert\mathfrak{C}（C）_{2} （\phi）\bigr\Vert_{L^{2}（\gamma）}+\bigl\Vert\mathfrak{P}（P）_{1} （\phi）\bigr\Vert_{L^{2}（\gamma）}+\bigl\Vert\mathfrak{P}（P）_{2} （\phi）\bigr\Vert_{L^{2}（\gamma）}\\&\qquad{}+\bigl\Vert\mathfrak{S}{2}-\裂缝{1}{\bar{p}}）}\bigr]+K^{\frac{5}{3}}T^{1-\frac}{2J}（\frac[1}{2}-\裂缝{1}{\tilde{p}}）}\biger）。\结束{对齐}$$
将这些估计与引理结合起来2.6和(10)，我们获得（通过可能选择较大的κ̃)
$$\begin{aligned}和\bigl\Vert\varLambda[\psi]\bigr\Vert_{L_{T}^{infty，2}（\gamma）}\leq\tilde{\kappa}\bigl（T\eta（K）+\Vert\phi\Vert_{H^{2J}（\ gamma$$
(11)
$$\开始{aligned}&\bigl\Vert\varLambda[\psi]\bigr\Vert_{W^{1，\infty}_{T} L（左）^{2} （\gamma）}+\bigl\Vert\varLambda[\psi]\bigr\Vert_{W^{1，q}_{T} L（左）^{p} （\gamma）}\\&\quad\leq\tilde{\kappa}\bigl（\Vert\phi\Vert_{H^{2J}（\gama）}+T\eta（K）+\bigl\Vert\mathfrak{C}（C）_{1} （\phi）\bigr\Vert_{L^{2}（\gamma）}\\&\qquad{}+\bigl\Vert\mathfrak{C}（C）_{2} （\phi）\bigr\Vert_{L^{2}（\gamma）}+\bigl\Vert\mathfrak{P}（P）_{1} （\phi）\bigr\Vert_{L^{2}（\gamma）}+\bigl\Vert\mathfrak{P}（P）_{2} （\ phi）\ bigr\ Vert _｛L^｛2｝（\ gamma）｝+\ bigl\ Vert\mathfrak｛S｝（\ phi）\ bigr\ Vert _｛L^｛2｝（\ gamma）｝\&&\ qquad｛｝+\ bigl[K+K^｛3｝\ bigr]\ bigl[T+T^｛1-\ frac｛3｝｛J｝（\ frac｛1｝{2}-\裂缝{1}{\bar{p}}）}\bigr]+K^{\frac{5}{3}}T^{1-\frac}{2J}（\frac[1}{2}-\裂缝{1}{\tilde{p}}）}\biger）。\结束{对齐}$$
(12)
也，
$$\开始{aligned}\bigl\Vert\varLambda[\psi]\bigr\Vert_{L^{infty}_{T} H（H）^{2} （\gamma）}\leq{}&\tilde{\kappa}\bigl（\Vert\phi\Vert_{H^{2J}（\garma）}+[1+T]\eta（K）+\bigl\Vert\mathfrak{C}（C）_{1} （\phi）\bigr\Vert_{L^{2}（\gamma）}+\bigl\Vert\mathfrak{C}（C）_{2} （\phi）\bigr\Vert_{L^{2}（\gamma）}\\&{}+\bigl\Vert\mathfrak{P}（P）_{1} （\phi）\bigr\Vert_{L^{2}（\gamma）}+\bigl\Vert\mathfrak{P}（P）_{2} （\phi）\bigr\Vert_{L^{2}（\gamma）}+\bigl\Vert\mathfrak{S}{2}-\裂缝{1}{\bar{p}}）}\bigr]+K^{\frac{5}{3}}T^{1-\frac}{2J}（\frac[1}{2}-\裂缝{1}{\tilde{p}}）}\biger）。\结束{对齐}$$
(13)
接下来，我们选择K在里面\（\mathcal{L}（\gamma）\）这样的话
$$\开始{对齐}K={}&4\波浪线{\kappa}\bigl（\Vert\phi\Vert_{H^{2J}（\gamma）}+\bigl\Vert\mathfrak{C}（C）_{1} （\phi）\bigr\Vert_{L^{2}（\gamma）}+\bigl\Vert\mathfrak{C}（C）_{2} （\phi）\bigr\Vert_{L^{2}（\gamma）}\\&{}+\bigl\Vert\mathfrak{P}（P）_{1} （\phi）\bigr\Vert_{L^{2}（\gamma）}+\bigl\Vert\mathfrak{P}（P）_{2} （\phi）\bigr\Vert _｛L^｛2｝（\gamma）｝+\bigl\Vert\mathfrak｛S｝（\phi）\bigr\Vert _｛L^｛2｝（\gamma）｝\bigr），\end｛aligned｝$$
和
$$T<\min\bigl\lbrace 1，\bigl[K\bigl（4\tilde{\kappa}\bigl（\eta（K）+K+K^{3}+K^}{5}{3}\biger）\bigr）^{-1}\bigr]^{\frac{2J\bar{p}}{（2J-3）+6}\biger\rbrace$$
因此，使用(12)我们获得
$$\开始{aligned}\bigl\Vert\varLambda[\psi]\bigr\Vert_{W^{1，\infty}_{T} L（左）^{2} （\gamma）}+\bigl\Vert\varLambda[\psi]\bigr\Vert_{W^{1，q}_{T} L（左）^{p} （伽马）}<\压裂{1}{2}K。\结束{对齐}$$
最后，使用插值不等式\（\|\psi\|_{H^{s}（\gamma）}\leq\|\psi \|^{压裂{2-s}{2}}{L^{2}（\ gamma和估算(11)和(13)，并可能选择T型更小，我们得到
$$\bigl\Vert\varLambda[\psi]\bigr\Vert_{L^{infty}_{T} H（H）^{s} （伽马）}<压裂{1}{2}K$$
特别是，功能Λ地图\（\mathcal{L}（\gamma）\）融入自身。对SPS系统的非线性项的估计进行轻微修改表明，可以选择T型可能更小，以显示映射Λ是完整度量的严格收缩\（（\mathcal{L}（\gamma），d）\）因此，我们可以推断不动点的存在性\（\psi\in\mathcal{L}（\gamma）\）解决系统(1)使用初始数据\（在H^{2J}（伽马）中为φ）.引理2.6和引理2.7允许人们推断\（磅/平方英寸（t，x）\单位：C^{0}_{T} H（H）^{2J}（\gamma）\cap C^{1}_{T} L（左）^{2} （伽玛射线）。为此，技术要点是表明\（\ mathfrak｛C｝（\ psi）+\ mathfrak｛P｝（\ psi）-\mathfrak｛S｝（\ psi）\在C中^{0}_{T} L（左）^{2} （伽玛射线）。这可以通过观察\（单位：C）^{0}_{T} L（左）^{2} （\伽玛）\）和使用(13)以获得\（在L^{infty}中为\psi\_{T} H（H）^{2J}（伽玛射线）最后，前面使用的插值不等式导致\（单位：C）^{0}_{T} H（H）^{s} （伽玛射线），因此\（\mathfrak{C}（\psi）+\mathbrak{P}（\ psi）-\mathfrak{S}（\fsi）\ C^{0}_{T} L（左）^{2} （伽玛射线）自从\（C（H^{S}（\gamma），L^{2}（\ gamma。注意\（单位：W）^{1，l}_{T} L（左）^{m} （伽玛射线）适用于所有配对\（（l，m）\in\mathfrak｛J｝\），并且解决方案的唯一性很容易通过使用差分参数来实现（该证明与显示映射的证明具有相同的精神Λ是一个严格的缩写）。爆破替代方案和对初始数据的持续依赖性可以用标准参数来表示，我们指的是，例如[23]. 最后，请注意T型取决于J型,第页,p̄,p̃和K，还有那个K仅取决于初始数据，因此可以重复该参数（使用初始数据\（psi（T）、psi（2T）、ldots）)并覆盖整个实数，从而完成定理的证明1.1.
2.3
\（H^{J}（\gamma）\）解决
推论的证明1.2可以使用基于定理的限制过程来实现1.1事实上，我们在\（H^{J}（\gamma）\）作为解序列的极限\（H^{2J}（\gamma）\）.证明是标准的，我们跳过它并参考[23]类似参数（另请参见[20]). 关键是要显示ψ在里面\（H^{J}（\gamma）\），这是以下原因的结果。
引理2.9
让
\（T>0）
和
\（φ=（\phi_{i}）_{i\在{\mathbb{N}}中）
中的一组初始数据
\（H^｛2J｝（\gamma）\）
和
\（\psi（t）=（{\psi_{i}（t）}）{i\在{\mathbb{N}}}中）
SPS系统的相关解决方案.然后,为所有人
\（在[0，t]\中）,我们有
$$\开始{aligned}\mathcal{电子}_{J} （\psi）：=&-\sum_{k\ in{\mathbb{N}}}\sum_{J=0}^{J}（-1）^{J}\frac{\alpha \vert^{2}\，dx+c_{c}\int_{\mathbb{R}^{3}}\frac{\rho{\psi}（t，x）}{\vertx\vert}\，d\&{}+frac{1}{2} c（c）_{p} \int_{\mathbb{R}^{3}}\ int_{\ mathbb}R}^}}\frac{\rho{\psi}（t，x）\rho_{\psi.}（t，y）}{\vertx-y\vert}\，dx，dy-\frac}3}{4} c（c）_{s} \int_{\mathbb{R}^{3}}\rho^{\frac{4}{3}{{psi}（t，x）\，dx=\mathcal{电子}_{J} （\phi）。\结束{对齐}$$
证明
证据是标准的。高阶算子和Slater项并没有带来任何新的困难，我们请读者参考[18]对于Hartree和Hartree–Fock案件的明确证明，以及[15,24]有关更一般设置中的证明（另请参见[25]对于伪相对论情况，即当动力学算符由\（\sqrt{-\alpha^{2}\Delta_{x_{i}}+\alpha ^{-4}}\）哪里\（阿尔法>0）表示索末菲精细结构常数）。□
表示存在一个常数\（\|\psi\|_{L^{infty}_{T} H（H）^{J} （\gamma）}\leq C\）为所有人\（T>0），我们需要控制能量的动力学部分，这显然取决于J型为此，我们需要以下Gagliardo–Nirenberg不等式：
$$\开始{aligned}\bigl\Vert（-\Delta）^{\frac{s}{2}}\psi\bigr\Vert_{L^{2}（\gamma）}}\leq\eta\bigl\ Vert（-\Delta{J}}_{L^{2}（\gamma）}}。\结束{对齐}$$
(14)
因此，只关注动能部分的主导项就足够了，即\（（-1）^{J+1}\压裂{\alpha（J）\hbar^{2J}}{m^{2J-1}c^{2J2}}}\|\三角洲^{压裂{J}{2}}\psi\|_{L^{2}（\gamma）}}\）。让我们假设J型很奇怪。然后，使用(14)质量守恒和估计
$$开始{aligned}&\int_{mathbb{R}^{3}}\rho^{frac{4}{3}{{psi}（t，x）$$
我们推断，自\（J>\压裂{3}{8}\）.因此\（在L^{infty}中为\psi\_{T} H（H）^{J} （\伽玛）\）现在，假设J型是偶数，然后再次使用(14)质量守恒和估计
$$开始{aligned}和\int_{mathbb{R}^{3}}\frac{rho{psi}（x）}{vertx\vert}\，dx\leq\vert\psi\vert^{2}_｛｛L ^｛2｝（\ gamma）｝｝+\Vert\psi\Vert_｛L ^｛2｝（\ gamma）｝\Vert\psi\Vert_｛L ^｛\frac｛8｝｛3｝｝（\ gamma）｝\leq\Vert\psi\Vert^{2}_{{L^{2}（\gamma）}}+\Vert\psi\Vert_{H^{\frac{3}{8}}（\ gamma psi\Vert^{\压裂{4}{3}}_{{L^{2}（\gamma）}}\Vert\psi\Vert^{8}{3{}_{L^}\frac{8}{3}{（\gamma）{leq\kappa\Vert\psi}_{{L^{2}（\gamma）}}\Vert\psi\Vert^{\frac{8}{3}}_{H^{\frac{3}{8}}（\ gamma$$
我们推断，动力学部分的主导项支配着势部分。因此\（在L^{infty}中为\psi\_{T} 小时^{J} （\伽玛）\）.
