带非线性对流项的半线性椭圆方程整体大解的爆破速率和唯一性

摘要

本文分析了方程整体大解的爆破速率和唯一性\（δu=a（x）f（u）+\mu b（x）|\nabla u|^{q}\）,\（x\in\mathbb{R}^{N}\）(\（编号3\）)，其中\（\mu>0\）,\（q>0）和\（a，b\in\mathrm{C}^{alpha}_{\mathrm{loc}}（\mathbb{R}^{N}）\）(\（\alpha\在（0，1）\中）). 重量一为非负，b条能够更改登录\（\mathbb{R}^{N}\）、和\（在C^{1}[0，\infty中为f\）积极且不减\（（0，\infty）\）并且在无穷远处快速或有规律地变化。此外，我们还研究了整个大解的唯一性。

1导言和主要成果

本文的目的是研究以下椭圆方程整体大解的爆破速率和唯一性：

$$\Delta u=a（x）f（u）+\mub（x）\vert\nabla u\vert^{q}，\quad x\in\mathbb{R}^{N}，u（x）>0$$

(1.1)

哪里\（\mu>0\）,\（q\ in（0,2]\）和u个是等式的整体大解(1.1)当它解出等式(1.1)和\（u（x）\右箭头\输入\）作为\（\vert x\vert\rightarrow\infty\）.非线性（f）是这样的

\（\mathbf{（f{1}）}\）:

\（在C^{1}[0，\infty中为f\）,\（f（0）=0）,\（f’（t）\geq 0）和\（f（t）>0）对于\（t>0\）满意；和

\（\mathbf{（f{2}）}\）:

Keller–Osserman条件

$$\int_{1}^{\infty}\bigl（F（t）\bigr）^{-1/2}\，dt<\infty$$

(1.2)

持有，并且存在\（C_{f}\在[1中，\infty）\）这样的话

$$\lim_{t\rightarrow\infty}\bigl^{t} （f）（s） \，ds$$

(1.3)

重量一是这样的

\（\mathbf{（a{1}）}\）:

\（C^{\alpha}_{\mathrm{loc}}（\mathbb{R}^{N}）中的a）(\（（0,1）中的α）)在中为正\（\mathbb{R}^{N}\）; 和

\（\mathbf{（a{2}）}\）:

存在\（k_{1}\在\mathcal{k}\中）和正常数\（[2,2（N-1）中的lambda_{1}）这样的话

$$0<a{1}:=\liminf_{\vert x\vert\rightarrow\infty}\frac{a（x）}{\vertx\vert^{-\lambda_{1}}k{1}（\vert x\vert）}\leqa{2}:=\ limsup_{\vert x\vert\rightarrow\ifty}\frac{a（x）}{\ vertx\ vert^}-\lamda{1{}}（\ vert x\ vert）英菲$$

哪里

$$\int_{t_{0}}^{\infty}\frac{k{1}{s}\，ds<\infty，\quad\text{if}\lambda{1}=2$$

\（\mathcal{K}\）表示卡拉马塔函数集k个定义于\（[t_{0}，\infty）\）通过

$$k（t）：=c\exp\biggl（\int_{t_{0}}^{t}\frac{y（s）}{s}\，ds\biggr），\quad t\geq t_{0}>0$$

具有\（c>0）和\（y \在C中（[t_｛0｝，\infty））\）这样的话\（\lim_{t\rightarrow\infty}y（t）=0\）.

重量b条是这样的

\（\mathbf{（b{1}）}\）:

\（b\在C^{\alpha}_{\mathrm{loc}}（\mathbb{R}^{N}）中）(\（（0,1）中的α）)可以更改登录\（\mathbb{R}^{N}\）;和

\（\mathbf{（b{2}）}\）:

存在\（k_{2}\在\mathcal{k}\中）和正常数\（\lambda{2}\）这样的话

$$0<b_{1}:=\liminf_{\vert x\vert\rightarrow\infty}\frac{\vertb x\vert）}<\infty$$

哪里\（\mathcal{K}\）定义于\（\mathbf{（a{2}）}\）.

让Ω是具有\（C^{2}\）-中的边界\（\mathbb{R}^{N}\）或\（\varOmega=\mathbb{R}^{N}\）.方程大解的存在性、不存在性、唯一性和渐近性(1.1)许多作者在不同的背景下进行了广泛的研究。什么时候？Ω是有界域，“大解”被理解为解u个等式的(1.1)上的Ω这样的话\（\lim_{x\rightarrow\partial\varOmega}u（x）=\infty\）.

现在，我们回顾这些研究，并将其分为以下两组：

第一部分(\（\mu=0\）). 什么时候？Ω是具有\（C^{2}\）-边界，\（b等于1）在里面\（\varOmega\subseteq\mathbb{R}^{N}\）(\（{N=2}\）)和\（f（u）=e^{u}\）; 比伯巴赫[5]首先研究了方程大解的存在性、唯一性和渐近性(1.1). 在这种情况下，公式(1.1)在常负曲率黎曼曲面理论和自守函数理论中起着重要作用。稍后，Rademacher[40]用比伯巴赫的思想证明结果仍然成立\（N=3\）.何时\（f（u）=e^{u}\）和b条持续且严格肯定Ω̄、Lazer和McKenna[30]将上述结果推广到有界域Ω在里面\（\mathbb{R}^{N}\）(\（第1页）)具有均匀的外部球体。然而，凯勒[26]和奥斯曼[39]对方程式进行了系统研究(1.1)并获得以下重要结果：

• （i） 如果\（\varOmega\subseteq\mathbb{R}^{N}\）是有界域，\（b等于1）在Ω̄、和（f）满足\（\mathbf{（f{1}）}\），然后是等式(1.1)具有经典的大解当且仅当Keller–Osserman条件\（\mathbf{（f{2}）}\）持有。

• （ii） 如果\（b等于1）在里面\（\mathbb{R}^{N}\）和（f）满足\（\mathbf{（f{1}）}\），然后是等式(1.1)只有当且仅当以下条件成立时，才有一个完整的大型解决方案：

  $$\int_{1}^{\infty}\bigl（2F（t）\bigr）^{-1/2}\，dt<\infty$$

什么时候？Ω是有界域，\（b等于1）在里面Ω和\（f（u）=u^{\压裂{N+2}{N-2}}\）具有\（N>2）Loewner和Nirenberg[32]受某些几何问题的启发，证明了(1.1)具有唯一的正经典大解u个令人满意的

$$\lim_{d（x）\rightarrow 0}u（x）\ bigl（d（x）\bigr）^{\frac{N-2}{2}}=\biggl（\frac{N（N-2）}{4}\biggr）^{\frac{N-2{4}}$$

后来，班德尔和马库斯[4]进一步研究了方程的一个大解的精确渐近性和唯一性(1.1)何时（f）在上是凸的\（（0，\infty）\）即。，\（s\映射到f（s）\）正在上增加\（（0，\infty）\）然而，当b条是一个大常数，通过获得良好的边界层估计b条、杜和郭[14]证明了对于更弱的假设，大解是唯一的（f）即。，\（s\映射到f（s）\）正在上增加\（（T，\ infty）\）对于某个大常数T型对于方程大解的存在性、唯一性、多重性和渐近行为的其他见解(1.1)带有\（\mu=0\）在有界域中，请参阅[8,15,17,24,29,31,33,34,35,36,50,52,53,54]以及其中的参考文献。

现在，让我们回到方程的整体大解(1.1)带有\（\mu=0\）.奥列尼克[38]和Sattinger[44]研究了方程整体正解的不存在性(1.1). 后来，Ni在[37]. 对于\（f（u）=u^{\gamma}\）具有\（伽马>1）、Cheng和Ni[7]研究了最大正解的存在唯一性，并对所有可能的正解进行了完全分类。后来，莱尔[27]、Crstea和Rdulescu[10]、Tao和Zhang[46]进一步研究了方程整体大解的存在性(1.1). 特别是，当（f）在无穷远处表现出次线性增长，Lair[28]证明如果b条满足

$$\int_{0}^{\infty}r\bigl（\phi_{1}（r）-\phi_2}（r）\bigr）\varphi（r$$

哪里

$$\varphi（r）=\exp\biggl（\hbar\int_{0}^{r}\tau\phi_{2}（\tau）\，d\tau\biggr）$$

具有

$$\phi_{1}（r）：=\max_{vertx\vert=r}{b（x）}，\quad\quad\phi_{2}$$

然后等式(1.1)有完整的大型解决方案当且仅当

$$\int_{0}^{\infty}r\phi_{2}（r）\，dr=\infty$$

在[16]，Dupaigne等人建立了最小解的存在性u个并指出，如果u个是一个无界解，然后在无穷远处爆炸。特别是，他们还表明，方程(1.1)对于某些适当的假设来说是唯一的（f）和b条.灵感来自[1,17,18]，万[47,48]Wan等人[49]利用摄动方法和截断技术研究了方程整体大解的渐近性和唯一性(1.1). 特别是[49]找到了这些快速且规则变化函数的一些充要条件，并证明了当（f）属于更一般的函数类。

第二部分(\（\mu\neq 0\）). 什么时候？\（f（u）=u^{\gamma}\）(\（伽马>1）)或\（f（u）=e^{u}\）,\（\mu=1\）和重量\（a，b等于1）在里面Ω、班德尔和贾鲁索[三]研究了方程大解的存在性和渐近性(1.1). 后来，贾鲁索[21]和[22]当（f）属于更一般的函数类。什么时候？\（\varOmega=\mathbb{R}^{N}\）,\（f（u）=u^{\gamma}\）(\（伽马>1）)和\（\mu b=\pm 1）在里面\（\mathbb{R}^{N}\），Lair研究了方程的整个大解的存在性(1.1). 什么时候？（f）满足\（\mathbf{（f{1}）}\）、吉尔古和勒杜勒斯库[19]建立了一维logistic问题整体大解的存在性和不存在性。什么时候？Ω是平滑有界域或\（\varOmega=R^{N}\）、吉尔古和勒杜勒斯库[20]研究了方程大解的存在性和不存在性(1.1)提供了非线性（f）满足\（\sup_{s\geq1}f（s）/s<\infty\）和重量\（\mu b\equiv-1）上的Ω特别是，他们为该案件提供了\（\varOmega=R^{N}\），存在无穷大爆破的正解的充要条件。在另一个方向上，Crstea和Rdulescu[9,11,12,13]首先引入卡拉马塔正则变分理论来研究方程的边界行为和大解的唯一性(1.1)在有界域中。这有助于我们获得一些新方向的知识，并使我们能够在一般框架中获得大量关于大型解决方案定性行为的信息[51]和Huang等人[25]确定了方程的大解的精确渐近行为(1.1)带有\（\mu=\pm 1\）在有界域中。

最近，Rhouma和Drissi[42]研究了一类方程正径向解和整体大解的存在性第页-拉普拉斯方程。Santos等人[43]研究了一类变因次拉普拉斯方程整体大解的存在性。阿尔维斯、桑托斯和周[2]建立了一个新的比较原理来研究方程整体大解的存在性(1.1)这取决于非负实参数。此外，受到米提迪埃里和波霍扎耶夫思想的启发[34]，他们通过构造一个测试函数来确定整个大解的不存在性，该函数在\（\mathbb{R}^{N}\）.

受到[2]和[47,48,49]在本文中，我们确定了方程的整个大解的精确渐近行为(1.1)在无穷大英寸\（\mathbb{R}^{N}\），我们证明了对流项\（\mu b（x）\vert\nabla u（x）\vert^｛q｝\）在某些条件下不影响渐近行为。此外，我们利用其渐近行为证明了整个大解是唯一的。

我们的结果总结如下。

定理1.1

让 （f） 满足 \（\mathbf{（f{1}）}\）–\（\mathbf{（f{2}）}\） 具有 \（（q-1）C_{f}<1）,重量 一 满足 \（\mathbf{（a{1}）}\）–\（\mathbf{（a{2}）}\）,重量 b条 满足 \（\mathbf{（b{1}）}\）–\（\mathbf{（b{2}）}\）,和 \（λ{2}>frac{lambda{1}（2-q）}{2}）.此外,我们进一步假设以下条件之一成立:

\（\mathbf{（S_{1}）}\）:

\（b \leq 0） 在里面 \（\mathbb{R}^{N}\） 和 \（（0，2]中的q）;和

\（\mathbf{（S_{2}）}\）:

b条 可以更改登录 \（\mathbb{R}^{N}\）,\（q=1） 和 \（\min\{\lambda{1}，\lambda{2}\}\geq 2）.特别地,如果 \（λ{2}=2\）,我们需要核实一下

$$\int_{t_{0}}^{\infty}\frac{k{2}{s}\，ds<\infty$$

然后是任何大型解决方案 u个 问题的数量(1.1)满足

$$开始{对齐}[b]\xi_{2}^{1-C_{f}}&\leq\liminf_{vertx\vert\rightarrow\infty}\frac{u（x）}{psi（（int_{vert x\vert}^{infty{s^{1-\lambda_{1}}k_{1{（s）\，ds）^{1/2}{u（x）}{\psi（（int_{vertx\vert}^{infty}s^{1-\lambda{1}}k_{1}（s）\，ds）^{1/2}）}\leq\xi_{1{1}^{1-C_{f}}，\结束{对齐}$$

(1.4)

哪里 ψ 唯一决定于

$$\int_{\psi（t）}^{\infty}\bigl（2F（s）\bigr）^{-1/2}\，ds=t，\quad t>0$$

(1.5)

和

$$\xi_{i}=\biggl（\frac{4a_{i} C类_{f} }{（\lambda_{1}-2）（C_{f} -1个)+2（N-2）｝\biggr）^｛1/2｝，quad i=1,2$$

特别地,如果 \（C_{f}=1\） 在里面 \（\mathbf{（f{2}）}\）,然后是任何一个大型解决方案 u个 问题的数量(1.1)满足

$$\lim_{\vert x\vert\rightarrow\infty}\frac{u（x）}{\psi（（int_{vert x\ vert}^{\infty}s^{1-\lambda_{1}}k{1}（s）\，ds）^{1/2}）}=1$$

(1.6)

备注1.1

在定理中1.1,\（\mathbf{（S_{1}）}\）和\（\mathbf{（S_{2}）}\）是保证方程整体大解存在的辅助条件(1.1)（请参阅[2]).

备注1.2

在定理中1.1,\（C_{f}（q-1）<1）意味着如果\（C_{f}=1\），然后\（问题2）.

定理1.2

让 一 满足 \（\mathbf{（a{1}）}\）,b条 满足 \（\mathbf{（b{1}）}\） 以及以下条件:

\（\mathbf{（b{3}）}\）:

\（b \geq 0） 在里面 \（\mathbb{R}^{N}\）,\（问题1） 或 \（b \leq 0） 在里面 \（\mathbb{R}^{N}\）,\（0<q<1）.

此外,让 （f） 满足 \（\mathbf{（f{1}）}\） 以及以下条件:

\（\mathbf{（f{3}）}\）:

\（t\mapsto\frac{f（t）}{t}\） 不会减少 \（（0，\infty）\）.

假设 \（u{1}\） 和 \（u{2}\） 是等式的任意整体大解. (1.1)让人满意的

$$\lim_{\vertx\vert\rightarrow\infty}\frac{u{1}（x）}{u{2}（x）}=1$$

然后 \（u{1}\相当于u{2}\） 在里面 \（\mathbb{R}^{N}\）.

本文概述如下。定理的证明1.1和定理1.2以节为单位。 2和三然后我们列出了卡拉马塔正则变分理论的一些基础，并在附录中给出了一些辅助结果1和2.

2定理的证明1.1

在本节中，我们将证明定理1.1.

证明

让\（在（0，b_{1}/2）中为varepsilon）和

$$\tau_{1}=\bigl（\xi^{2}_{1}-\瓦雷普西隆\xi^{2}_{1} /b_{1}\bigr）^{1/2}，\quad\quad\tau{2}=\bigl（\xi^{2}_{2} +\varepsilon\xi^{2}_{2} /b_{2}\biger）^{1/2}$$

我们看到了

$（1/2）^{1/2}\xi{1}$$

和

$$\lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\tau_{1}=\xi_{1{，\quad\quad\lim_}\varepsilon\rirtarrow 0}\tau_{2}=\xi_{2}$$

对于任何常数\（R>t_{0}\），我们定义

$$\varOmega_{R}:=\bigl\{x\in\mathbb{R}^{N}:\vert x\vert>R\bigr\}$$

哪里\（t_{0}\）由以下定义给出\（\mathcal{K}\）在里面\（\mathbf{（a{2}）}\）.

发件人\（\mathbf{（f{1}）}\）–\（\mathbf{（f{2}）}\）具有\（（q-1）C_{f}<1）,\（\mathbf{（a{1}）}\）–\（\mathbf{（a{2}）}\）和\（\mathbf{（b{1}）}\）–\（\mathbf{（b{2}）}\）具有\（λ{2}>frac{lambda{1}（2-q）}{2}），提议三–4、和引理B.2节（iii），我们发现存在足够大的\（R_{\varepsilon}>0\）和足够小的\（\delta_{\varepsilon}>0\）对应于\（\varepsilon>0\）这样，对于\（（x，r）在\varOmega_{r_{varepsilon}}中\次（0，2\delta_{varebsilon}）\）,

$$开始{对齐}和\frac{\vert x\vert^{2-\lambda_{1}}k{1}（\vert x \vert）}{\int_{\vertx\vert}^{\infty}s^{1-\lambda _{1{}}k{1}\，ds}+2）}>0，\结束{对齐}$$

(2.1)

$$\begin｛aligned｝&&begin｛aligned｝[b]&&biggl\vert\frac｛\tau_｛i｝^｛2｝｝｛4｝\frac｛\vert x\vert ^｛2-\lambda_｛1｝｝k_｛1｝（\vert x\vert）｝｛\int_｛\vert x\vert｝^｛infty｝s^｛1-\lambda_｛1｝｝k_｛1｝（s）\，ds｝-\frac｛\tau_｛i｝^｛2｝（\lambda_{1}-2)}{4} \biggr\vert+\biggl\vert-\\frac{\tau_{i}^{2}}{4}\biggl（\frac{\vert x\vert^{2-\lambda_{1}}k{1}（\vert x \vert）}{\int_{vert x\ vert}^{\infty}s^{1-\lambda{1}{k{1{（s）\，ds}+2（N-\lambada_{1{}）\\&\quadr{}+\frac{2\vert x\vert k'{1}-\lambda_{1}）\tau_{i}^{2}}{4C_{f}}\biggr\vert<\varepsilon/3，\end{aligned}\end{aligned}$$

(2.2)

$$\begin{aligned}和\begin{aligned}[b]和\biggl\vert\mu\biggl（\frac{\tau_{i}{2}\biggr）{1}}k{1}（s）\，ds）^{\frac{-q}{2}}\vertx\vert^{q（1-\lambda{1}）+\lambda_{1}-\lambda{2}}k{1}^{q}（\vertx\vert）}{\psi''（rλ{2}}k{2}\cdot r \bigl（-\psi'（r）\bigr）^{q-1}\cdot \biggl（\int_{vert x\vert}^{\infty}s ^{1-\lambda_{1}}k{1}（s）\，ds\biggr）_{1}-\lambda{2}}k{1}^{q}\bigl（\vert x\vert\bigr）<\varepsilon/3\end{aligned}\end$$

(2.3)

和

$$\vert x\vert^{-\lambda_{1}}k_{1{bigl（\vert x\vert\bigr）（a_{1}-\varepsilon/3）<a（x）<\vert x\vert^{-\lambda{1}}k{1}\bigl（\vert x\vert\bigr）（a{2}+\varepsilen/3）$$

(2.4)

采取

$$\sigma\in（0，\delta_｛\varepsilon｝）\quad\text｛with｝\sigma<（1/2）^｛1/2｝\si_｛1｝\biggl（\int_｛R_｛\varepsilon｝｝^｛\infty｝s^｛1-\lambda_｛1｝k_｛1｝（s）\，ds\biggr）^｛1/2｝$$

然后让u个是问题的任意整体大解(1.1).

定义

$$D_{-}^{\sigma}:=\varOmega_{R_{\varepsilon}}\setminuse\varOmega{-}^{\sigma}，\qquad D_{+}^{\sigma}:=\ varOmega_{R{\varebsilon}}\set减号\varOmega_{+{^{\sizma}$$

哪里

$$\varOmega_{-}^{\sigma}:=\biggl\{x\in\varOmega_{R{\varepsilon}}:\tau_{1}\biggl（\int_{vertx\vert}^{infty}s^{1-\lambda_{1{}k_{1neneneep（s）\，ds\biggr）^{1/2}\leq\sigma \biggr}$$

(2.5)

和

$$\varOmega_{+}^{\sigma}:=\biggl\{x\in\varOmega_{R_{\varepsilon}+R_{0}:\psi\biggl（\tau_{2}\biggal（\int_{vertx\vert}^{\finfty}s^{1-\lambda_{1}}k_{1{（s）\，ds\biggr）^{1/2}+\sigma gr\}、$$

(2.6)

哪里\（r{0}\）是一个足够大的常数\（\varOmega_{+}^{\sigma}\）是球的外部区域\（R_{\varepsilon}+R_{0}\）作为半径，原点作为中心。根据以下定义\（\varOmega_{\pm}^{\sigma}\），我们看到了\（D_{\pm}^{\sigma}\）是环形域。

让

$$\上一行{u}_{\varepsilon}（x）=\psi\biggl（\tau_{1}\biggl（\int_{vertx\vert}^{\infty}s^{1-\lambda_{1{}k_{1}（s）\，ds\biggr）^{1/2}-\sigma\biggr），D_{-}^{\sigma}中的四元x\$$

和

$$\下划线{u}_{\varepsilon}=\psi\biggl（\tau_{2}\biggl（\int_{vertx\vert}^{\infty}s^{1-\lambda_{1}}k_{1{（s）\，ds\biggr）^{1/2}+\sigma\biggro），D_{+}^{\sigma}中的\quad x$$

的确，我们可以随时调整以上内容\（\delta_{\varepsilon}>0\）以确保

$$（3/2）^{1/2}\xi{2}\biggl（int{\vert x\vert}^{\infty}s^{1-\lambda{1}}k{1}（s）\，ds\biggr）^{1/2}<\delta{\varepsilon}，\quad x\in\varOmega{R{\varesilon}}$$

通过直接计算结合(2.1)–(2.4)，我们看到了，因为\（x\在D_{-}^{\sigma}\中）,

$$\开始{对齐}和\Delta\上划线{u}_{\varepsilon}-a（x）f（上划线{u}_｛\varepsilon｝）-\mu b（x）\vert\nabla\overline{u}_{\varepsilon}\vert^{q}\\&\quad=\psi'''\biggl（\tau_{1}\biggal（int_{vert x\vert}^{\infty}s^{1-\lambda_{1{}k_1}（s）\，ds\biggr）^{1/2}-\sigma\biggro）\vert x\ vert^}-\lambda{1}}k\bigl（\vertx\vert\bigr）\biggl[\frac{\tau_{1}^{2}}{4}\frac{vertx\vert^{2-\lambda{1}}k{1}（vertxvert）}{int_{vertX\vert}^{infty}s^{1-\lambda{1}}k{1}，ds}\\&\quad\quadra{}+\frac{\tau{1}^{2}}{4}\biggl（\frac}\vertx\vert^{2-\lambda{1}{k{1{（\vert x\vert）}{int{\vert x \vert}^{infty}s^{1-\lambada{1}k{1}（s），ds}+2（N-\lambda_{1}）+\frac{2\vert x\vert k'_{1neneneep（\vert x\ vert）}{k_{1{（\vertx\ vert）}\biggr）\\&\quad\quad{}\times\frac{-\psi'（\tau_{1}（int_{vertx\vert}^{infty}s^{1-\lambda{1}}k_{1{（s）\，ds）^{1/2}-\sigma）}{\tau_}1}{1}（\int_{\vertx\vert}^{\infty}s^{1-\lambda_{1}}k{1}\，ds）^{1/2}-\sigma）}-\frac{a（x）}{vertx\ vert^{-\lambda{1}k{1}（\vertx\vert）}（-\psi'（\tau_{1}（\int_{vertx\ vert}^{infty}s^{1-\lambda{1}}k_{1{（s）\，ds）^{1/2}-\sigma）{\frac{-q}{2}}\vertx\vert^{q（1-\lambda{1}）+\lambda_{1}-\lambda{2}}k{1}^{q}（\vert x\vert）}{\psi''（\tau_{1}（int_{vert x\ vert}^{infty}s（s），ds）^{1/2}-\sigma mu\biggl（\frac{\tau{1}}{2}\biggr）^{q}\frac{b（x）}{vertx\vert^{-\lambda{2}}k{2}（\vertx\ vert）}\biggr]\\&\quad\leq\psi''（r）\vert x\vert^{-\lambda_{1}}k_{1{\bigl 1-\lambda{1}}k{1}，ds}-（\lambda_{1}-2)\biggr）\\&\quad\quad{}-\frac{\tau{1}^{2}}{4}\biggl（\frac}\vertx\vert^{2-\lambda_{1}}k{1}（\vert x\vert）}{int_{vertx\ vert}^{infty}s^{1-\lambda{1}k{1}（s），ds}+2（N-\lambada_{1{）+\frac{2 \vert x\vert k'{1}^{2} }{4C{f}}\\&\quad\quad{}}-\biggl（\frac{a（x）}{\vertx\vert^{-\lambda_{1}}k{1}（\vertX\vert）}-a{1}\biggr）+\tau_{1{2}\bigl（\frac{2（N-2）+（C_{f} -1个)（\lambda_{1}-2)}{4C{f}}\biggr）-a{1}\bigbr]\leq 0，\end{aligned}$$

哪里

$$r=\tau_{1}\int_{vertx\vert}^{\infty}s^{1-\lambda_{1{}k_{1neneneep（s）\，ds-\sigma$$

即。，\（\上横线{u}_{\varepsilon}\）是等式的上解(1.1)英寸\（D_{-}^{\sigma}\）.

同样，我们可以证明\（\下划线{u}_{\varepsilon}\）是等式的次解(1.1)英寸\（D_{\sigma}^{+}\）。我们断言存在一个大常数\（M>0）独立于σ这样的话

$$u（x）\leq\上划线{u}_{varepsilon}（x）+M，D_{-}^{sigma}中的四个x$$

(2.7)

和

$$\下划线{u}_{\varepsilon}（x）\lequ（x）+M，\quad x\in\varOmega_{R{\varebsilon}}$$

(2.8)

事实上，我们可以选择一个正常数M（M）独立于σ这样的话\（x\in\{x\in\ mathbb{R}^{N}:\vert x\vert=R{\varepsilon}\}\）

$$u（x）\leq\上划线{u}_{\varepsilon}（x）+M$$

(2.9)

和

$$\下划线{u}_｛\varepsilon｝（x）\leq u（x）+M$$

(2.10)

因为

$$u（x）<\上一行{u}_{\varepsilon}=\infty，\quad x \in \biggl\{x\in \mathbb{R}^{N}:\tau_{1}\biggl（\int_{vert x\vert}^{\infty}s^{1-\lambda_{1{}}k_1}（s）\，ds\biggr）^{1/2}=\sigma\biggr}$$

我们总是可以选择足够小的\（\rho>0\）这样的话

$$\sup_｛x\在D_｛-｝^｛\sigma｝｝u（x）\leq\overline中{u}_{\varepsilon}（x），D_{-}^{\sigma}\set-nuse\tilde中的\quad x{D}（D）_{-}^{\西格玛}$$

(2.11)

哪里

$$\波浪线{D}（D）_{-}^{\sigma}=\varOmega_{R_{\varepsilon}}\setminuse\tilde{\varOmega}_{-}^{\sigma}$$

具有

$$\tilde{\varOmega}_{-}^{\sigma}=\biggl\{x\in\varOmega_{R{\varepsilon}}:\tau_{1}\biggl（\int_{\vertx\vert}^{\finfty}s^{1-\lambda_{1{}k_{1\biggr）^{1/2}\leq\sigma（1+\rho）\biggr}$$

组合(2.9)带有(2.11)，我们获得

$$u（x）\leq\上划线{u}_{\varepsilon}（x）+M，\quad x\in \partial\bigl（\tilde{D}_{-}^{\sigma}\bigr）$$

相反，我们得出结论，使用(2.10)以及\（\varOmega^{\sigma}_{+}\）（请参阅(2.6))，那个

$$\下划线{u}_{\varepsilon}（x）\lequ（x）+M，\quad x\in\partial\bigl（D_{+}^{\sigma}\bigr）$$

我们注意到u个和\（\下划线{u}_{\varepsilon}\）这两种底土都在吗\（\波浪号{D}（D）_{-}^{\西格玛}\）和\（D_{+}^{\sigma}\）。因此，使用\（\mathbf{（f{1}）}\），我们看到了\（\上横线{u}_{\varepsilon}+M\）和\（u+M\）超解决方案在\（\波浪号{D}（D）_{-}^{\西格玛}\）和\（D_{+}^{\sigma}\）分别为。它后面是引理B.3节那个

$$u（x）\leq\上划线{u}_｛\varepsilon｝（x）+M，四进制x\in\tilde{D}（D）_{-}^{\西格玛}$$

(2.12)

和

$$\下划线{u}_{\varepsilon}（x）\lequ（x）+M，\quad x\ in D_{+}^{\sigma}$$

(2.13)

事实上(2.12)与(2.11)意味着(2.7)持有，以及(2.13)和(2.6)共同意味着(2.8)持有。

现在，使用(2.7)和(2.8)，我们表明，对于任何\（x\in\varOmega_{R_{varepsilon}}），保持以下状态：

$$开始{聚集}\frac{u（x）}{\psi（\tau_{1}（s）\，ds）^{1/2}）}；\\\压裂{u（x）}{psi（\tau_2}（int_{vertx\vert}^{infty}s^{1-\lambda_1}}k_{1}（s）\，ds）^{1/2}）}\geq1-\frac{M}{psi 1/2}）}。\结束{聚集}$$

(2.14)

根据的定义\（D_{-}^{\sigma}\），我们看到，对于固定\（x_{1}\在\varOmega_{R_{\varepsilon}}\中），存在一个足够小的\（\sigma{1}\）这样的话\（D_{-}^{\sigma_{1}}中的x_{1{）然而，我们知道，对于任何\（西格玛<\西格玛{1}\）,\（D_｛-｝^｛\sigma\｛1｝｝\subsetneqq D_｛-｝^｛\sigma\）。这一发现表明\（D_{-}^{\sigma}中的x_{1}\）.这一事实，加上(2.7)和(2.8)，表明

$$u（x{1}）\leq\psi\biggl（\tau_{1}\biggal（int_{vertx{1{\vert}^{\infty}s^{1-\lambda_{1{}k{1}\，ds\biggr）^{1/2}-\sigma\bigger）+M$$

(2.15)

和

$$\psi\biggl（\tau_{2}\biggl（\int_{vertx_{1}\vert}^{infty}s^{1-\lambda_{1{}k_{1neneneep（s）\，ds\biggr）^{1/2}+\sigma\bigger）\lequ（x_{1'）+M$$

(2.16)

自(2.15)–(2.16)持有任何\（西格玛<\西格玛{1}\），使用函数极限的秩保持ψ，我们获得

$$u（x{1}）\leq\psi\biggl（\tau_{1}\biggl（int_{vertx{1{\vert}^{\infty}s^{1-\lambda{1}}k{1}\，ds\biggr）^{1/2}\bigr）+M$$

和

$$\psi\biggl（\tau_｛2｝\biggl（\int_｛\vert x_｛1｝\vert｝^｛\infty｝s^｛1-\lambda_｛1｝｝k_｛1｝（s）\，ds\biggr）^｛1/2｝\biggr）\leq u（x_｛1｝）+M$$

这些发现表明，对于任何\（x\in\varOmega_{R_{varepsilon}}），中的条件(2.14)保持。

因此，通过引理B.2节（ii），我们有

$$开始{聚集}\limsup_{\vert x\vert\rightarrow\infty}\frac{u（x）}{\psi（\tau_{1}（int_{vert x\ vert}^{\infty}s^{1-\lambda_{1{}}k{1}\（s），ds）^{1/2}）}\leq 1，\\liminf_{\fort x\fort\rightarrow\infty}（x）{\psi（int{vertx\vert}^{infty}s^{1-\lambda{1}}k{1}（s）\，ds）^{1/2}）}\geq1。\结束{聚集}$$

对于\（C_{f}\在[1中，\infty）\），后面是引理B.2节（iv）

$$开始{aligned}和\limsup_{vertx\vert\rightarrow\infty}\frac{u（x）}{\psi（（int_{vert x\vert}^{infty{s^{1-\lambda_{1}}k{1}（s）\，ds）^{1/2}）}\\&\quad=\limsup{vertX\vert\rightarrow \infty}\frac{u垂直x\vert}^{\infty}s^{1-\lambda{1}}k{1}\，ds）^{1/2}）}\cdot\lim_{\vertx\vert\rightarrow\infty}\frac{\psi/2}）}\\&\四\leq\tau_{1}^{1-C_{f}}；\\&\liminf{\vertx\vert\rightarrow\infty}\frac{u（x）}{\psi（（int_{\vert x\vert}^{\infty}s^{1-\lambda_{1}}k{1}（s）\，ds）^{1/2}）}\\&\quad=\liminf_{\Vertx\fort\rightarrow\infty}ty}s^{1-\lambda{1}}k{1}\，ds）^{1/2}）}\cdot\lim{\vertx\vert\rightarrow\infty}\压裂{psi（\tau_{2}（int_{vertx\vert}^{infty}s^{1-\lambda{1}}k{1}，ds）^{1/2}）}{psi C_{f}}。\结束{对齐}$$

出租\（\varepsilon\rightarrow 0\），我们获得(1.4). □

三定理的证明1.2

在本节中，我们将证明定理1.2.

证明

自

$$\lim_{\vert x\vert\rightarrow\infty}\frac{u{1}（x）}{u{2}（x）}=1$$

对于任意固定\（\varepsilon>0\），存在一个足够大的\（R_{\varepsilon}\）这样的话

$（1-\varepsilon）u{2}（x）\lequ{1}$$

(3.1)

设置

$$u^{+}（x）=（1+\varepsilon）u_{2}（x），\quad\quad u^{-}（z）=（1-\varepsilon）u _{2neneneep（x），\quid x\in\mathbb{R}^{N}$$

一个简单的计算表明

$$开始{对齐}和\Delta u^{+}=（1+\varepsilon 1-\varepsilon）b（x）\vert\nabla u{2}\vert^{q}。\结束{对齐}$$

由\（\mathbf{（f{3}）}\），我们有

$$（1+\varepsilon）f（u{2}）\leq f\bigl（（1+\ varepsilen）u{2neneneep \bigr），\quad\quad（1-\varepsilon）f（u{2]）\geq f\bigl$$

相反，我们应用\（\mathbf{（b{1}）}\）和\（\mathbf{（b{3}）}\）并得出结论

$$（1+\varepsilon）b（x）\vert\nabla u_｛2｝\vert^｛q｝\leq b（x）\bigl\vert（1+\varepsilon）\nabla u_｛2｝\bigr\vert^｛q｝，\quad\quad（1+\varepsilon）b（x）\vert\nabla u_｛2｝\vert^｛q｝\leq b（x）\bigl\vert（1+\varepsilon）\nabla u_｛2｝\bigr\vert^｛q｝$$

接下来将这些与\（\mathbf{（a{1}）}\）那个

$$\Delta u^{+}\leq a（x）f\bigl（u^{+/}\bigr）+\mu b（x）\bigl\vert u^{++}\biger\vert^{q}；\quad\quad\Delta u^｛-｝\geq a（x）f\bigl（u^｛-｝\bigr）+\mu b（x）\bigl \vert u^｛-｝\bigr \vert ^｛q｝，\quad x\in\mathbb｛R｝^｛N｝$$

让\（u{0}\）是唯一的解决方案

$$\Delta u=a（x）f（u）+\mu b（x）\vert\nabla u\vert^{q}，\quad x\in\varOmega_{0}，u|_{\partial\varOmega_{0:}}=u_{1}$$

哪里\（\varOmega_{0}=\mathbb{R}^{N}\setminus\varOmega_{R{\varepsilon}}\）.利用比较原理，我们得出

$$u^{-}（x）\lequ_{0}（x）\leq u^{+}（z），\quad x \in\varOmega_{0{中$$

(3.2)

注意到\（u{0}=u{1}\）在\（\varOmega_{0}\）并结合(3.1)带有(3.2)，我们获得

$$（1-\varepsilon）u_｛2｝（x）\leq u_｛1｝（x）\leq（1+\varepsilon）u_｛2｝（x），\quad x\in\mathbb｛R｝^｛N｝$$

(3.3)

出租\（\varepsilon\rightarrow 0\）完成证明。□

附录

附录1

在本节中，我们将介绍卡拉马塔正则变分理论的一些初步知识。

定义A.1

([45]定义1.1）

正连续函数（f）定义于\（[a，\infty）\）对一些人来说\（a>0）被称为在无穷远处规则变化带索引ρ，写为\（f\in\mathit{RV}（右心室）_{\rho}\），如果每个\（\xi>0\）还有一些\（\rho\in\mathbb｛R｝\）,

$$\lim_{s\rightarrow\infty}\frac{f（\xis）}{f（s）}=\xi^{\rho}$$

（A.1）

特别是，当\（\rho=0\）,（f）被称为在无穷远处缓慢变化.

显然，如果\（f\in\mathit{RV}（右心室）_{\rho}\），然后\（L（s）：=f（s）/{s^{\rho}}\）在无穷远处缓慢变化。

在无穷远处缓慢变化的函数的一些基本示例如下

\（（\mathrm{我}_{1})\):

上的每个可测量函数\（[a，\infty）\）在无穷远处有一个正极限；

\（（\mathrm{我}_{2})\):

\（（\ln s）^{\beta}\）和\（（\ln（\lns））^{\beta}\）,\（\beta\in\mathbb{R}\）; 和

\（（\mathrm{我}_{3})\):

\（e^{（\lns）^{p}}\）,\（0<p<1）.

定义A.2

([52]，定义2.1）

正连续函数（f）定义于\（[a，\infty）\）对一些人来说\（a>0）被称为在无穷远处迅速变化到无穷大如果每个\（\rho>0\）

$$\lim_{s\rightarrow\infty}\frac{f（s）}{s^{\rho}}=\infty$$

在无穷远处快速变化到无穷大的函数的一些基本示例如下

\（（\mathrm{二}_{1})\):

\（e ^｛s｝\）和\（e^{e^{s}}\）;

\（（\mathrm{二}_{2})\):

\（e^{e^{（\n s）^{p}}）,\（e ^｛s ^｛p｝｝\）和\（e^{e^{s^{p}}\）,\（p>0）;

\（（\mathrm{二}_{3})\):

\（s^{p}e^{（\n s）^{p{}\）和\（（ln s）^{β}e ^{（ln s）^{p}}）,\（p>1）,\（\beta\in\mathbb{R}\）; 和

\（（\mathrm{二}_{4})\):

\（（\lns）^{\beta}e^{s^{p}}\）和\（s ^｛\beta｝e ^｛s ^｛p｝｝）,\（p>0）,\（\beta\in\mathbb{R}\）.

定义A.3

([54]定义2.2）

正连续函数（f）定义于\（（0，a]\）对一些人来说\（a>0）被称为在零点快速变化到无穷大如果每个\（\rho>0\）

$$\lim_{s\rightarrow 0^{+}}h（s）s^{\rho}=\infty$$

显然，如果我们替换变量秒在函数中\（（\mathrm{二}_{1})\)–\（（\mathrm{二}_{4})\)带有变量\（s^{-1}\），我们得到了在零处快速变化到无穷大的函数的基本示例。

此外，不难理解正连续函数克定义于\（（0，a）\）对一些人来说\（a>0）指数为零时有规律变化ρ（写为\（g \ in \ mathit）{RVZ}（RVZ）_{\rho}\）)如果\（s向右箭头g（1/s）{RV}（右心室）_{-\rho}\）类似地，克称为零速变化，如果\（s向右箭头g（1/s））在无穷远处迅速变化。

提议1

（一致收敛定理[41]，提议0.5）

如果 \（f\in\mathit{RV}（右心室）_{\rho}\）,然后(A.1)保持一致 \（[c{1}，c{2}]\中的xi\） 具有 \（0<c{1}<c{2}\）.

提议2

（表示定理[45]，定理1.2；[41]，推论，第17页）

A函数 L（左） 当且仅当可以用形式书写时，在无穷远处缓慢变化

$$L=\varphi（s）\exp\biggl（\int_{a_{1}}^{s}\frac{y（\tau）}{\tau}\，d\tau\biggr），\quad s\geqa{1}$$

对一些人来说 \（a_｛1｝\ geq a \）,其中函数 φ 和 年 是连续的，并且 \（s \右箭头\内容\）,\（y（s）\右箭头0\） 和 \（\varphi（s）\rightarrow c_{0}\） 具有 \（c_{0}>0\）.如果 \（\varphi\equiv c{0}\）,然后 L（左） 被称为在无穷大处缓慢变化的归一化，并且

$$f（s）=s^{\rho}\hat{L}（s），\quad s\geqa{1}$$

据说是归一化的随指数在无穷远处规则变化 ρ(写为 \（f\in\mathit{NRV}（自然资源价值观）_{\rho}\）).

A函数\（在C^{1}[a_{1}，\infty中为f\）对一些人来说\（a{1}>0\）属于\（\mathit{NRV}（自然资源价值观）_{\rho}\）当且仅当

$$\lim_{s\rightarrow\infty}\frac{sf'}{f（s）}=\rho$$

提案3

（渐近行为[6]，建议1.5.8和1.5.10）

如果函数 L（左） 在无穷远处缓慢变化,然后,对于 \（s\rightarrow\infty\）,

$$\int_{s}^{infty}\tau^{rho}L（\tau）\，d\tau\sim（-\rho-1）^{-1}\tau ^{1+\rho}L（\tao），\quad\textit{表示}\rho<-1$$

提案4

([6]，提议1.3.6）

如果函数 L（左） 在零点缓慢变化,然后,对于 \（s\rightarrow+\infty\）,

$$s^{\rho}L（s）\rightarrow+\infty，\quad\quad s^{-\rho{L（s）\right arrow0，\quad\textit{表示}\rho>0$$

附录2

在本节中，我们收集了一些有用的结果。

引理B.1

([53]，引理2.2）

让 （f） 满足 \（\mathbf{（f{1}）}\）.

• （i） 如果 （f） 满足 \（\mathbf{（f{2}）}\）,然后 \（C_{f}\geq 1）.

• （ii） \（\mathbf{（f{2}）}\） 持有 \（C_{f}\在（1，+\输入）\中） 当且仅当 \（f\in\mathit{RV}（右心室）_{\压裂{C_{f}+1}{C_{f} -1个}}\).

• （iii） 如果 \（\mathbf{（f{2}）}\） 持有 \（C_{f}=1\）,然后 （f） 在无穷大处迅速变化到无穷大.

引理B.2

([53]，引理2.3）

让 （f） 满足 \（\mathbf{（f{1}）}\）–\（\mathbf{（f{2}）}\） 和 ψ 是问题的解决方案(1.5).然后

• （i） \（磅/平方英寸（t）=-（2华氏度）^{1/2}）,\（psi（t）=f（psi（t））,\（磅/平方英寸（t）>0）,\（t>0）;

• （ii） \（\lim_{t\rightarrow 0^{+}}\psi（t）=\infty\）;

• （iii） \（\lim_{t\rightarrow 0^{+}}\frac{t\psi''（t）}{\psi'（t）{=-C_{f}\）;和

• （iv） \（\lim_{t\rightarrow 0^{+}}\压裂{t\psi'（t）}{\psi（t）{=1-C_{f}\）,哪里 \（C_{f}\在[1中，\infty）\）.

引理B.3

（比较原则[23]，定理10.1、10.2）

让 \（\varPsi（x，s，\xi）\） 满足以下两个条件:

\（\mathbf{（D_{1}）}\）:

Ψ 没有增加 秒 对所有人来说 \（（x，\xi）\in\varOmega\times\mathbb｛R｝^｛N｝\）;和

\（\mathbf{（D_{2}）}\）:

Ψ 相对于变量是连续可微的 ξ 在里面 \（\varOmega\times（0，\infty）\times\mathbb｛R｝^｛N｝\）.

如果 \（u，v在C中（\bar{\varOmega}）\cap C^{2}（\varOmega）\） 满足 \（\Delta u+\varPsi（x，u，\nabla u）\geq\Delta v+\varPsi（x，v，\nabla v）\） 在里面 Ω 和 \（u \leq v） 在 ∂Ω,然后 \（u \leq v） 单位：Ω.