无界区间上一类非局部分数阶发展方程的存在唯一性

摘要

通过拉普拉斯变换及其逆变换，我们得到了一类非局部抽象微分方程（分数阶）在右半轴上的正确等价积分方程。在此基础上，利用Knaster定理建立了解的存在性结果，并利用Banach压缩原理得到了温和解的唯一性。

1介绍

如今，分数阶微积分在工程、科学、经济、生物、物理和其他科学学科中有着广泛的用途（参见[1,2,三]). 分数阶微分方程描述了现实世界中的许多现象和过程。鉴于分数阶微分方程的广泛应用，近年来有众多学者致力于分数阶微分方程式的研究。为了获得分数阶微积分和分数阶导数方程的更多一般知识，读者可以参考[4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28].

目前，分数阶非局部演化方程已成为分数阶微分方程领域的研究热点之一，在物理现象建模中发挥着重要作用。非局部问题温和解的存在性首次在[29]. 在[30]Byszewski和Lakshmikantham表示，就描述物理现象而言，非局部条件可能比标准条件更适用。

在[19]，El-Borai获得了以下类型分数阶抽象方程的存在性结果：

$$\begin{aligned}\textstyle\begin{cases}\frac{d^{beta}z}{d^}\beta}s}=B（s）z（t）+Az（s），\quad s\in[0，a]，\\z（0）=z{0}，\end{casesneneneep \displaystyle\end{alinged}$$

哪里\（0<\beta\leq 1）,\（a>0）.

本文首先利用拉普拉斯变换及其逆变换，利用一定的概率密度描述了抽象方程的等价积分方程。从那时起，许多研究人员利用El-Borai的结果来研究分数演化方程，例如[20,21,22,23,24,25,26,27,28].

据我们所知，分数阶演化方程最近受到了越来越多的关注[18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28]. 例如，在[20]，Zhou研究了一类分数阶非局部演化方程

$$\开始{aligned}\textstyle\begin{cases}^{C} D类_{0+}^{q} z（z）（s） =f（s，z（s））+Az（s），\quad s\in（0，a]，\\z（0）+g（z）=z_{0}，\end{cases}\displaystyle\end{aligned}$$

周和焦得到了关于该方程温和解的存在唯一性的许多好结论。

然而，尽管如此，许多研究分数导数演化方程温和解的论文都是关于有界区间的，关于右半轴的结论仍然很少。

动机[19,20,31]，我们讨论了Banach空间中的一类分数阶非局部泛函微分方程电子

$$\textstyle\begin{cases}{}^{C} D类_{0+}^{q} u个（t） =f（t，u（m（t）））+Au（t），在（0，+infty），k（u）+u（0）=u_{0}，结束{cases}$$

(1.1)

哪里\（0<q<1）,\({}^{C} D类_{0+}^{q}\）表示卡普托意义下的分数导数，\（在E\中为u_{0}\）,\（\｛T（T）\｝_｛T \ geq 0｝｝\）是一个\（C_{0}\）Banach上的半群电子和A类是半群的无穷小生成器，\（m\在C[0中，\infty）\）,\（m（t）\geq 0\）是递增函数，\（f:[0，+\infty）\次E\右箭头E\）、和\（k:E\右箭头E\）满足一定条件。

这里，我们得到了主方程的一个正确的等价积分方程，这与先前文献中已经得到的完全不同。应用Knaster定理证明主问题正温和解的存在性(1.1)给出了。然后，利用Banach收缩定理，给出了温和解的唯一性。

现在列出了本文其余部分的布局。在Sect。 2介绍了分数导数、分数积分和几个有用的预备知识。在Sect。 三，分别利用Knaster定理和Banach压缩定理给出了我们的主要结论。在Sect。 4，通过一个例子说明了我们主要结论的应用。

2前期工作

在下面，我们假设电子是有序的Banach空间。让\（P\子集E\）是一个圆锥体，它通过定义偏序\（y \leq z）当且仅当\（P\中的z-y\）上的电子我们建议读者参考[32,33]有关圆锥体的更多详细信息。

在整篇文章中，我们设置了一个法向正锥\（P=\{z\在E\mid-z\geq\theta\}\中）具有N个作为其正常常数。让

$$BC（J，E）=\bigl\{v（s）\mid-v（s”\mbox{在}J\bigr\}，\quad J=[0，+\infty）上有界且连续$$

显然，这是一个配备了规范的巴纳赫空间\（\Vertv\Vert_{b}}=\sup_{t\inJ}}\Vertv（t）\Vert\）.设置

$$P_｛｛BC｝｝＝\bigl\｛v\ mid v（t）\ geq\ theta，t\在J中，v\在BC（J，E）\ bigr\｝中$$

显然，\（P_{{BC}}\）是标准圆锥\（公元前（J，E）\）具有正常常数N个，与圆锥体法线相同P（P）同时，一个有序的Banach空间\（公元前（J，E）\）是由\（P_{{BC}}\）（为了方便起见，我们还用“≤”表示偏序\（公元前（J，E）\）和上的电子没有混淆）。

让\（\mathcal{S}\子集E\）是这样的子集

$$在E:y\leqz中的上一行{\mathcal{S}}=\{z\，在\mathcal{S}\}中的所有y\$$

重点\（E\中的z^{*}\）被称为的下确界\（\上划线{\mathcal{S}}\）如果\（z ^｛*｝\ in \ overline｛\mathcal｛S｝｝\）以及每个\（z\在\上划线{\mathcal{S}}\）,\（z^{*}\leqz）.

类似地，我们可以定义\（\上划线{\mathcal{S}}\）通过颠倒上述定义中的不等式。

接下来，我们介绍由Knaster建立的定理[34].

定理2.1

([34])

让 电子 是通过部分排序排序的Banach空间“⪯”.假设 \（\mathcal{S}\子集E\） 是的子集 电子,其属性如下: (1)的每个非空子集 \（\mathcal{S}\） 拥有属于 \（\mathcal{S}\）; (2)的下确界 \（\mathcal{S}\） 在中 \（\mathcal{S}\）.假设地图 \（T:\mathcal{S}\rightarrow\mathcal{S}\） 正在增加,我.e（电子）.,\（y\precq z\） 意味着 \（Ty\proceq Tz\）(\（y，z\in\mathcal｛S｝\）).然后 T型 在中有一个固定点 \（\mathcal{S}\）.

接下来，我们列出了分数积分和分数导数的两个定义以及一个引理，这两个引理将被用到。

定义2.1

([1,2,三])

分数阶积分\（\alpha>0\）函数的Riemann–Liouville意义\（g:（0，\infty）\rightarrow\mathbb｛R｝\）由定义

$$I^{\alpha}_{0+}g（t）=D^{-\alpha{0+{g（t^{t}（t）_{0}（t-s）^{α-1}克\，ds$$

(2.1)

假设上面的积分是在上逐点定义的\（（0，\infty）\）.

定义2.2

([1,2,三])

阶的分数导数\（阿尔法>0）在函数的Caputo意义上\（g:（0，\infty）\rightarrow\mathbb{R}\）由定义

$$ ^{C} D类^{\alpha}_{0+}g（t）=\frac{1}{\varGamma（n-\alpha）}\int^{t}（t）_{0}（t-s）^{n-\alpha-1}g^{（n）}（s）\，ds$$

(2.2)

哪里\（n=[\alpha]+1），前提是上面的积分是在上逐点定义的\（（0，\infty）\）.

引理2.1

([1,三])

让 \({}^{C} D类^L^{1}（0，+\infty）中的{\alpha}_{0+}g（t）,\（\alpha>0\）.然后有一个

$$I^{\alpha}_{0+}{^{C} D类^｛\alpha｝_｛0+｝｝g（t）=g（t）+C_｛1｝+C_{2} t吨+\cdots+C_{M} t吨^{M-1}，\四t>0$$

(2.3)

对于某些常数 \（C_{i}\）,\（i=1，2，3，\ldot，M） ,哪里 \（M=\min\｛M\mid M\geq\alpha，M\textit｛是一个整数｝\｝\）.

备注2.1

如果函数克出现在上述引理中，两个定义在Banach空间中取值电子，那么这里的积分都是Bochner意义上的积分。此外，如果抽象函数克是可测的，其范数在勒贝格意义下是可积的，它是博克纳可积的。

接下来，我们开始介绍关于线性算子半群的一系列概念和结果。读者可以在中找到更多详细信息[35,36].

给定一个强连续半群\（{T（T）\}_{T}\geq0}\）（即。\（C_{0}\）-半群），我们可以定义\（{T（T）}_{T\geq0}}\）作为

$$Az=\lim_{s\rightarrow0^{+}}\frac{T（s）z-z}{s}，\quad z\在E中$$

的域A类由提供

$$D（A）=\biggl\{z:\lim_{s\rightarrow0^{+}}\frac{T（s）z-z}{s}\mbox{exists}，z\在E\biggr\}中$$

引理2.2

([35,36])

假设 \（{T（T）\}_{T}\geq0}\） 是强连续半群,然后 \（\垂直T（T）\垂直C e ^{ωT}\）,哪里 ω 和 \（第1页） 是两个常量.

引理2.3

([35,36])

给定一个强连续的收缩半群 \（{T（T）\}_{T}\geq0}\） 和线性算子 A类,我们有以下结果:A类 是的无穷小生成器 \（{T（T）\}_{T}\geq0}\） 当且仅当

• (1) \（上横线{D（A）}=E\） 和 A类 已关闭.

• (2) \（（0，+\infty）\subset\rho（A）\）,和 \（所有\mu>0\）,一个有

  $$\bigl\Vert R（\mu，A）\bigr\Vert\leq\frac{1}{\mu}$$

  哪里 \（\rho（A）\） 是的预解集 A类,和

  $$R（\亩，A）z:=（\亩I-A）^{-1}ze中=\int_{0}^{+\infty}e^{-\mut}t（t）z\，dt，\quad z\$$

定义2.3

([37])

对于给定的强连续半群\（{T（T）}_{T\geq0}}\），它是积极的电子，如果\（θT（T）z）,\（t \geq 0）,\（E\中的z\）.

定义2.4

([35,36])

对于给定的强连续半群\（{T（T）}_{T\geq0}}\），在以下条件下一致指数稳定\（ω{0}<0\），其中\（\ω{0}\）表示半群的增长界，它由下式给出

$$\omega_{0}=\inf\bigl\{\omega\mid\bigl\Vert T（T）\bigr\Vert\leq C e ^{\omega T}，T\geq 0，C\geq 1\bigr\}$$

按定义2.4和引理2.2，对于一致指数稳定\（C_{0}\）-半群\（\｛T（T）\｝_｛T \ geq 0｝｝\）,\（\垂直T（T）\垂直C e ^{ωT}\）,\（t \geq 0，C \geq 1）和\（在（0，|\omega_{0}|]\）(\（\ω{0}\）是上述半群的增长界）。接下来，定义一个标准电子如下：

$$\Vert z\Vert _{\omega}=\sup_{s\geq 0}\bigl\Vert e^{\omega s}T（s）z\bigr\Vert$$

显然\（\垂直z\Vert\leq\Vert z\Vert_{\omega}\leq C\Vert z\Vert\），这意味着\（\Vert\cdot\Vert\）和\（\Vert\cdot\Vert_{omega}\）是等效规范。表示方式\（\垂直T（T）\垂直{ω}\）的规范\（T（T）\）这是由\（\Vert\cdot\Vert_{omega}\）然后，针对每个\（t \geq 0），我们获得

$$\bigl\Vert T（T）\bigr\Vert_{\omega}\leq e^{-\omega T}$$

(2.4)

同时，很容易验证规范

$$\Vert v\Vert _{{b\omega}}=\sup_{s\in J}}\bigl\Vert v（s）\bigr\Vert _{{omega}，\quad v \in BC（J，E）$$

在上是等效的\（公元前（J，E）\）显然，如果\（v（t）等于v_{0}，t在J中）,\（E中的v_{0}\），那么我们有

$$\Vertv\Vert_{b\omega}}=\Vertv-{0}\Vert_{b\omega}}=\ Vertv\ Vert_{{omega}}$$

给定单边稳定概率密度[20,21,38]

$$\psi_{q}（θ）=\frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\sin（k\piq）\frac}\varGamma（kq+1）}{k！}\theta^{-qk-1}，\quad\theta\ in（0，+\infty）$$

哪里\（0<q<1）.注意注释2.8[21]，如果\（[0,1]\中的β），我们有

$$\int_{0}^{+\infty}\psi_{q}（\theta）\theta^{-q\beta}\，d\theta=\frac{\varGamma$$

(2.5)

发件人[20,21,38]，拉普拉斯变换\（psi{q}（θ））是

$$\mathcal｛L｝\bigl[\psi｛q｝（θ）\bigr]=\ int _｛0｝^$$

(2.6)

在剩下的部分中，我们证明了半群\（{T（T）}_{T\geq0}}\）收缩是强连续的，并且在增长界限内一致指数稳定\（\ω{0}\）、和\（在（0，|\omega_{0}|]\）.

引理2.4

定义运算符

$$开始{对齐}&（\mathcal{J}h）（t）：=\frac{q}{\varGamma{（1-q）}}\int_{0}^{1}\int_0}^{infty}\tau^{-q}（1-\tau）^{q-1}\frac}\psi_{q}}}{theta^{q}}\biggr）h（s），d\theta，d\tau，d\&quad h在BC（J，E）中。\结束{对齐}$$

(2.7)

因此,\（\mathcal{J}\） 地图 \（公元前（J，E）\） 进入之内 \（公元前（J，E）\） 和

$$\Vert\mathcal{J}h\Vert_{b\omega}}\leq\Vert-h\Vert-{b\omega}}$$

特别地,如果 \（h（t）等于x）,\（单位：J\）,\（E\中的x\）,然后

$$\Vert\mathcal{J}x\Vert_{b\omega}}\leq\Vert-x\Vert-{{\omega{}}}$$

证明

自

$$开始{对齐}和\bigl\Vert（\mathcal{J}h）（t）\bigr\Vert_{{omega}}\\&\quad\leq\frac{q}{\varGamma{（1-q）}}\int_{0}^{1}\int_0}^{infty}（1-\tau）}\biggl\Vert t\biggl（\frac{t^{q}（1-\tau）^{q{}{theta^{qneneneep}\bigr）h（s）\biggr\Vert_{{omega}}\，d\theta\，d\\tau\\&\quad\leq\frac}{\varGamma{（1-q）}}\int_{0}^{1}\int_{0}^{\infty}（1-\tau）^{q-1}\tau^{-q}\frac{\psi_{q}（\theta）}{\theta^{q}}\biggl\Vert T\biggl垂直{{\omega}}\bigl\Vert h（s）\bigr\Vert_{\omega}}\，d\theta\，d\\tau\\&\quad\leq\frac{q}{\varGamma{（1-q）}}\int_{0}^{1}\int_{0}^{\infty}（1-\tau）^{q-1}\tau^{-q}\frac{psi_{q}（θ垂直h\Vert_{b\omega}}\int_{0}^{1}（1-\tau）^{q-1}\tau^{-q}\biggl（int_{0:}^{infty}\frac{psi{q}（\theta）}{\theta^{q}}\，d\theta\biggr）\，d\tau\\&\quad\leq\Vert h\Vert_{b\omega}}，\end{aligned}$$

证明完成。□

引理2.5

设置

$$（\数学{K} 小时)（t）=int_{0}^{t}\int_{0}^{infty}q\frac{\psi_{q}（\theta）}{\theta^{q}}（t-s）^{q-1}T在BC（J，E）中，\bigl（\frac｛（t-s）^｛q｝｝｛theta ^｛q｝｝\biggr）h（s）\，d\ theta \，ds，\ quad h\$$

因此,\（\mathcal{K}\） 地图 \（公元前（J，E）\） 进入之内 \（公元前（J，E）\） 和

$$\bigl\Vert（\mathcal{K} 小时)（t）更大的\Vert_{{omega}}\leq\frac{1}{\varGamma{（q+1）}}\frac}1}{\ omega}\Verth\Vert_}{b\omega}}；\qquad\bigl\Vert（\mathcal{K} 小时)\bigr\Vert _｛｛b\omega｝｝\leq\frac｛1｝｛\varGamma｛（q+1）｝｝\frac｛1｝｛\omega｝\Vert h\Vert _｛｛b\omega｝｝｝$$

证明

自

$$\开始{aligned}（\mathcal{K} 小时)（t）&=\int_{0}^{t}\int_}0}^}\infty}q\frac{\psi{q}（\theta）}{\theta^{q}}（t-s）^{q-1}T\biggl（\frac{（t-s）^{q}}{\theta^{q{}\biggr）h（s）\，d\theta\，ds\\&=\int_{0}^{1}\int_}0}^}\infty}q\frac}\psi_{q}（\theta）}{\ttheta^{q}}}（1-\tau）^{q-1}吨^{q} T型\biggl（\frac{（1-\tau）^{q} t吨^{q} }{\theta^{q}}\biggr）h（t\tau）\，d\theta\，d\\tau，\end{aligned}$$

我们有

$$\开始{aligned}\bigl\Vert（\mathcal{K} 小时)（t）\bigr\Vert_{{omega}}&\leq\int_{0}^{1}\int_}0}^}\infty}q\frac{\psi{q}（θ）}{\theta^{q}}（1-\tau）^{q-1}吨^{q} \biggl\Vert T\biggl（\frac{（1-\tau）^{q} t吨^{q} }{\theta^{q}}\biggr）\biggr\Vert_{{omega}}\bigl\Verth（t\tau）\bigr\Vert_{}\，d\theta\）^{q-1}e^{-\omega\frac{t^{q}（1-\tau）^{q{}{\theta^{qneneneep}\bigl\Vert h（t\tau）\bigr\Vert_{omega}}\，d\theta\，d\\tau\\&\leq\frac}1}{\omega}\Vert h\Vert_{b\omega{}}\int_{0}^{\infty}\biggl[\biggl（int_{0}^{1}e^{-\ω}\biggr）\frac{\psi_{q}（\theta）}{\theta^{q}}\biggr]\，d\theta\\&=\frac{1}{\omega}\Vert h\Vert_{b\omega{}\int_{0}^{\infty}\bigl（1-e^{-\omega\frac}{t^{q{}}{\ttheta^{q}}\bigr）\frac{\psi.q}}}（θ）}{θ^{q}}，d\θ\\&\leq\frac{1}{ω}\frac}1}{\varGamma{（q+1）}}\Verth\Vert_{b\omega}}。\结束{对齐}$$

因此，

$$\bigl\Vert（\mathcal{K} 小时)\bigr\Vert_{{b\omega}}\leq\frac{1}{\omega{1}}{\varGamma{（q+1）}}\Verth\Vert_}{b\omega}}$$

 □

引理2.6

分数阶演化方程

$$\开始{aligned}\textstyle\begin{cases}^{C} D类_{0+}^{q} u个（t） =h（t）+Au（t），\四t \ in（0，+\ infty），\ u（0）=u_{0}，\ end{cases}\ displaystyle\end{aligned}$$

(2.8)

哪里 \（h在BC（J，E）中） 和 \（u_｛0｝\在D（A）\中）,在以下方面有独特的解决方案 \（公元前（J，E）\）

$$\开始{aligned}u（t）=&（\mathcal{J}u_{0}）（t）+（\mathcal{K} 小时)（t）\\=&\tint_{0}^{1}\int_{0}^{infty}\frac{q}{varGamma{（1-q）}}\frac{psi{q}（θ）}{theta^{q}}（1-\tau）^{q-1}\tau^{-q}T\biggl（\frac{（1-\tau）^{q} 吨^{q} }{\theta^{q}}\biggr）u{0}\，d\theta，d\tau\\&+int_{0}^{t}\int_{0}^{infty}q\frac{psi_{q}（\theta）}{\tea^{q{}}（t-s）^{q-1}T\biggl（\frac{（t-s）^{q}}{\theta^{q{}\biggr）h（s）\，d\theta\，ds.\end{aligned}$$

(2.9)

证明

按引理2.1，定义2.1、和定义2.2, (2.8)等效于以下积分方程：

$$u（t）=u_{0}+\int_{0{0}^{t}\frac{1}{\varGamma{（q）}}（t-s）^{q-1}\bigl[Au（s）+h（s）\bigr]\，ds$$

(2.10)

使用类似的方法[18,19]，对上述方程进行拉普拉斯变换后，我们可以得到

$$U（\lambda）=\frac{1}{\lambda}U_{0}+\frac}{\λ^{q}}AU（\lampda）+\frac{1}{\lampda^{q{}H（\lambeda），\quad\lambda>0$$

(2.11)

哪里\（H（λ））和\（U（\lambda）\）拉普拉斯变换是\（h（t）\）和\（u（t）\）分别是。

然后有一个

$$\bigl（\lambda^{q} I-A公司\较大）U（\lambda）=\lambda^｛q-1｝u_{0}+H（\lambda）$$

从引理2.3和(2.6)，我们获得

$$\开始{aligned}U（\lambda）=&\bigl（\lampda^{q} I-A公司\bigr）^｛-1｝\λ^{q-1}u_{0}+\bigl（\lambda^{q} I-A公司\更大）^{-1}高（\lambda）\\=&\lambda^{q-1}\int_{0}^{\infty}e^{-\lambda^{q} 秒}T（s）u_｛0｝\，ds+\int _｛0｝^｛infty｝e ^｛-\lambda^{q} 秒}T（s）H（\lambda）\，ds\\=&\lambda^{q-1}\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}e^{-\lambada s^{1/q}\theta}\psi_{q}（\theta）T（s q}\theta}\psi_{q}（\theta）T（s）H（\lambda）\，d\theta\，ds\\=&\lambda^{q-1}\nint_{0}^{infty}\biggl[\int_{0}^{infty}q\frac{t^{q-1}}{\theta^{q}}\psi_{q}（\theta）t\biggl（\tfrac{t1^q}{\ttheta^{q}}\biggr）u_{0}\，d\theta\biggr]e^{-\lambda t}\ psi{q}（θ）\frac{（t-s）^{q-1}}{theta^{q}}t\biggl（\frac{（ts）^{q}}{theta^{q{}\biggr）h（s）\，d\theta ds\biggr]qe^{-\lambda t}\，dt。\结束{对齐}$$

根据卷积定理和引理，对上述方程进行拉普拉斯逆变换2.5，我们有

$$\开始{对齐}u（t）&=\mathcal{L}^{-1}\bigl[\lambda^{q-1}\bigr]\ast\mathcal{L}^{-1{\biggl[\int_{0}^{\infty}\biggl[\int_{0}^}\infty}q\psi_{q}（\theta）\frac{t^{q-1}{\theta^{q}}}t\biggl（\tfrac{t ^{q}}{\theta^{q}}\biggr）u_{0}\，d\theta\biggr]e^{-\lambda t}\，dt\biggr]\\&\quad{}+\mathcal{L}^{-1}\bigl[\int_{0{^{infty}e^{-\lambda t}\biggl压裂{t^{-q}}{\varGamma{（1-q）}}\ast\biggl[\int_{0}^{\infty}q\frac{t^}{\theta^{q}}\psi_{q}（\theta）t\biggl}\biggr）u_{0}\，d\theta\biggr]\\&\quad{}+\int_{0{^{t}\int_}0}^{infty}q\psi_{q}（\theta）\frac{（t-s）^{q-1}}{\theta^{q}}t\biggl（\trac{（ts）^{q}}{\theta^{q{}}&=\frac{q}{\varGamma{（1-q）}}\int_{0}^{t}\int_0}^{infty}s^{-q}\psi_{q}（θ）\ frac{（t-s）^{q-1}{θ}{\theta^{q}}\biggr）u{0}\，d\theta\，ds+（\mathcal{K} 小时)（t）\\&=（mathcal{J}u_{0}）（t）+（mathcal{K} 小时)（t）。\结束{对齐}$$

自

$$\bigl\Vert（\mathcal{K} 小时)（t）+（mathcal{J}u_{0}）（t）\bigr\Vert_{{omega}}\leq\bigl\Vert（\mathcal{K} 小时)（t）\bigr\Vert_{{omega}}+\bigl\Vert（\mathcal{J}u{0}）$$

我们有

$$\Vert\mathcal{J}u_{0}+\mathcal{K} 小时\垂直{{b\omega}}\leq\Vertu{0}\Vert_{{omega}+\frac{1}{\omega{1}}{\varGamma{（q+1）}}\Verth\Vert{b\omega}}$$

因此，\（u在BC（J，E）中）. □

因此，它导致了结论。

引理2.7

主要方程式(1.1)可以用等效形式书写

$$\开始{aligned}u（t）=Tu（t）：=\bigl[\mathcal{J}\bigl（u_｛0｝-k（u） \bigr）\bigr]（t）+（\mathcal{K} （f）)（t）。\结束{对齐}$$

(2.12)

很明显，这个问题(1.1)有温和的溶液，如果T型有一个固定点。

三主要成果

在这一部分中，我们给出了关于右半轴上主方程温和解的存在性的主要结论。

首先，我们给出了问题正温和解的存在性结果(1.1).

定理3.1

假设法向圆锥 P（P） 在Banach空间为正 电子 正常常数N.我们假设这个半群 \（\｛T（T）\｝_｛T \ geq 0｝｝\） 是强连续的，并且在增长界限内一致指数稳定 \（\ω_｛0｝（\ω_｛0｝＜0）\）,和无穷小生成器 \（{T（T）}_{T\geq0}}\） 是操作员A.让 \（m\在C[0中，\infty）\） 和 \（米（吨）\） 正在增加并且没有-消极的.前提是 \（P中的u_{0}，u_{0}，neq\theta\）,\（f（t，u）:J\次E\右箭头E\）,\（f_{0}（t）：=f（t，θ） 限定于 J型,\（k（u）\） 地图 电子 进入之内 电子,二者都 \（f（t，u）\） 和 \（k（u）\） 是连续的.如果 \（k（u）\） 和 \（f（t，u）\） 满足:

• （一层） 对于任何 \（单位：J\）,

  $$f（t，z）\geq f（t、y），\quad\所有θ\leq y\leq z$$

• （二层） 对于给定的 \（在（0，\vert\omega_{0}\vert]\中为\omega_1}\）,存在一个正数 R（右） 这样的话

  $$\垂直u_{0}\Vert_{b}}+\压裂{1}{\omega_{1}}\frac{1}{\varGamma{（q+1）}}R_{f}\leqR$$

  哪里

  $$R_{f}=\sup_{s\在J中，0\leq\Vertz\Vert_{b}}\leqR}\bigl\Vertf（s，z）\bigr\Vert_{b}{<+\infty$$
• （三层）
  $$\theta\leqk（y）\leq k（x）\lequ{0}，\quad\对于所有\theta\ leqx\leqy$$

因此,方程存在一个温和的正解. (1.1)在里面 \（公元前（J，E）\）.

证明

定义的非空子集\（公元前（J，E）\）

$$\mathcal｛D｝：=\bigl\{u\in P_｛｛BC｝｝：\Vert u\Vert _｛｛b\omega｝｝\leq R\bigr｝$$

由（F1），\（对于所有u\in\mathcal{D}），一个有

$$\开始{aligned}\theta&\leq-Tu（t）\end{aligned}$$

(3.1)

$$\开始{aligned}&=（\mathcal{K} （f）)（t）+\bigl[\mathcal{J}\bigl（u_{0}-k（u） \bigr）\bigr]（t）\\&&\leq（\mathcal{K} （f）)（t）+\bigl[\mathcal{J}（u{0}）\bigr]（t）\\&=q\int_{0}^{t}\int_}0}^\\infty}\frac{psi{q}（\theta）}{\theta^{q}}（t-s）^{q-1}T\biggl（\frac{（t-s）^{q}}{\theta^{q{}\biggr）f（s），u\bigl（m（s）\bigr）\，d\theta\，ds\\&\quad{}+\int_{0}^{1}\int_}0}^}{\infty}\frac}-\tau）^{q-1}\tau^｛-q｝T\biggl（\frac{（1-\tau）^{q} t吨^{q} }{\theta^{q}}\biggr）u{0}，d\theta\，d\tau。\结束{对齐}$$

(3.2)

然后，结合引理2.4和引理2.5，一个有

$$\begin{aligned}\bigl\Vert-Tu（t）\bigr\Vert_{{b}}\leq&\frac{1}{\omega}\frac}{\varGamma{（q+1）}}R_{f}+\Vertu{0}\Vert_}{b}}。\结束{对齐}$$

因此，

$$\开始{aligned}\Vert-Tu\Vert_{{b\omega}}\leq&\Vert-u_{0}\Vert_}{b}}+\frac{1}{\omega{1}}{\varGamma{（q+1）}}R{f}。\结束{对齐}$$

根据条件（F2），可以得到

$$\begin{aligned}\Vert-Tu\Vert_{b\omega}}\leq&\Vert-u_{0}\Vert_{b}}+\frac{1}{\omega_{1}}\frac}{\varGamma{（q+1）}}R_{f}\leq R，\end{alinged}$$

这表明\（T（\mathcal{D}）\subseteq\mathcal{D}\）.

从条件（F1）和（F3）可以明显看出T型地图\（\mathcal{D}\）进入之内\（\mathcal{D}\）这也是一个不断增加的映射。然后，应用定理2.1，地图T型在非空集合中具有不动点\（\mathcal{D}\）因此，公式(1.1)具有阳性温和溶液\（公元前（J，E）\）. □

推论3.1

假设法向圆锥体 P（P） 在Banach空间为正 电子 正常常数N.提供了该半群 \（\｛T（T）\｝_｛T \ geq 0｝｝\） 是强连续的，并且在增长界限内一致指数稳定 \（\ω{0}\）(\（ω{0}<0\）),和无穷小生成器 \（{T（T）}_{T\geq0}}\） 是操作员A.让 \（m\在C[0中，\infty）\） 和 \（米（吨）\） 增加且不增加-消极的.前提是 \（P中的u_{0}，u_{0}，neq\theta\）,\（f（t，u）:J\次E\右箭头E\） 连续且有界,\（f_{0}（t）：=f（t，θ）,和 \（k（u）:E\右箭头E\） 是连续的.如果 \（f（t，u）\） 和 \（k（u）\） 满足条件 \（第一层） 和 \（（F3）\）,分别地,等式存在正温和解. (1.1)在里面 \（公元前（J，E）\）.

证明

自\（f（t，u）\）在上有界且连续\（J倍E），满足条件（F2），然后定理3.1意味着存在等式的正温和解(1.1)英寸\（公元前（J，E）\）. □

定理3.2

前提是 \（{T（T）}_{T\geq0}}\）(Banach空间上算子的半群 电子)是强连续的，并且在增长界限内一致指数稳定 \（\ω{0}\）(\（ω{0}<0\）),和无穷小生成器 \（{T（T）}_{T\geq0}}\） 操作员是A吗.假设 \（米（吨） 和 \（m\在C[0中，\infty）\）.如果 \（f（t，u）\） 和 \（k（u）\） 满足:

• （H1） 对于给定的 \（在（0，\vert\omega_{0}\vert]\中为\omega^{*}\）,我们有两个正数 \（\mathcal{C}（C）_{f} \） 和 \（\mathcal{C}（C）_{k} \） 令人满意的 \（\mathcal{M}<\omega^{*}/\chi\） 这样的话

  $$\马塔尔{C}（C）_{f} \垂直z_{1} -z（-z）_{2} \Vert_｛\omega^｛*｝｝｝｝\geq\bigl\Vert f（t，z_｛1｝）-f（t，z_｛2｝）\bigr\Vert_｛\omega^｛*｝｝｝｝｝，\quad\forall z_｛1｝，z_｛2｝\在E中$$

  和

  $$\马塔尔{C}（C）_{k} \垂直z_{1} -z（-z）_{2} E中的\Vert_{{ω^{*}}\geq\bigl\Vertk（z_{1}）-k（z_2}）\bigr\Vert_ω$$
• （H2）
  $$\马塔尔{左}_｛kf｝：=\mathcal{C}（C）_{k} +\压裂{1}{\omega^{*}}\frac{\mathcal{C}（C）_{f} {\varGamma{（q+1）}}<1$$

因此,一个有独特的温和解决方案，用于等式. (1.1)在里面 \（公元前（J，E）\）.

证明

根据条件（H1），引理2.4，引理2.5、和引理2.7,∀v（v）,\（u在BC（J，E）中），一个有

$$\开始{aligned}&\bigl\Vert Tv（t）-Tu（t）\bigr\Vert_{{omega^{*}}}\\&\quad=\bigl\ Vert\bigl[\mathcal{J}\bigl（u_{0}-k（v） \bigr）\bigr]（t）+\mathcal{K} （f）\bigl（t，v\bigl（m（t）\bigr）\biger）-\bigl[\mathcal{J}\bigl-（u_{0}-k（u） \bigr）\bigr]（t）-\mathcal{K} （f）\bigl（t，u\bigl（m（t）\bigr）\biger）\biger\Vert_{\omega^{*}}}\\&\quad=\bigl\Vert\mathcal{K}\bigl[f\bigl[（t，v\bigl-（m（t）\birgr）\bi格尔al{J}\bigl[K（u）-K（v）\bigr]\bigr）（t）\\&\quad\leq\bigl\Vert\mathcal{K}\bigle[f\bigl（t，v\bigle（m（t）\bigr）\bigr}\frac{1}{\omega^{*}}\bigl\Vertf\bigl}}+\bigl\Vert k\bigl（u（t）\biger）-k\bigle（v（t）\ biger）\bigr\Vert_{\omega^{*}}}\\&\quad\leq\frac{\mathcal{C}（C）_{f} }{\varGamma{（q+1）}}\frac{1}{\omega^{*}}\bigl\Vertv\bigl{C}（C）_{k} \bigl\Vertu（t）-v（t）\bigr\Vert_{{\omega^{*}}}\\&\quad\leq\biggl（\mathcal{C}（C）_{k} +\frac｛1｝｛\omega^｛*｝｝\frac｛\mathcal{C}（C）_{f} }{\varGamma{（q+1）}}\biggr）\Vertv-u\Vert_{b\omega^{*}}}。\结束{对齐}$$

因此，

$$\马塔尔{左}_{kf}\Vert-v-u\Vert_{b\omega^{*}}}\geq\Vert-Tv-Tu\Vert_}{b\omega^{*{}}$$

然后，根据条件（H2）(1.1)具有独特的温和溶液。□

4示例

为了证明主要结论的有效性，下面给出了一个示例。考虑以下分数阶偏微分方程。

示例4.1

$$\textstyle\开始{cases}\部分^{q}_{t} z（z）（t，x）=F（t，m（z（t，x）））+\部分^{2}_{x} z（t，x），&t\in[0，+\infty），\\z（0，x）+k（z（t，x））=z_{0}，&x\ in[0$$

(4.1)

哪里\（\部分^{q}_{t} \）(\（q\ in（0,1）\）)是Caputo意义下分数阶的分数阶偏导数。

设置\（E=L^｛2｝（[0，\pi]，\mathbb｛R｝）\）和\（Az=\部分^{2}_{x} z（z）\)，鉴于[39]，我们可以得出结论A类是线性算子映射\（D（A）\）进入之内电子、和域\（D（A）={v\midv（0）=v（\pi）=0，v'\在E中，v\在E\}\中）此外，操作员A类生成半群\（{T（T）}_{T\geq0}}\），它是强连续且一致指数稳定的。表示\（\ω{0}\）作为的增长边界\（{T（T）}_{T\geq0}}\），然后我们可以\（\omega_{0}\leq-1\）.

设置\（v（t）=z（t，\ cdot）\）,\（v{0}=z{0}\）,\（g（t，m（v（t））=F（t，z（t，\cdot））\）。此时，上述问题可以写成

$$\开始{aligned}\textstyle\begin{cases}^{C} D类_{0+}^{q} 五（t） =f（t，m（v（t）））+Av（t），在（0，+\ infty）中为四个t，v（0）+k（v）=v_{0}。\结束{cases}\displaystyle\end{aligned}$$

(4.2)

考虑功能

$$g（t，v）=\压裂{2+t^{2}}{1+t^}}\biggl（2-\压裂{1}{1+5^{2{}}\biggr）$$

和

$$k（v）=1+\frac{1}{4+\arctan v}$$

采取\（q=1/2）,\（v{0}=3\）和\（m（v）=v^{2}\）.

那么定理的条件3.1都满足了。因此，方程有一个正的温和解(4.1).

5结论

这里，我们利用拉普拉斯变换及其逆变换，得到了一类非局部抽象微分方程（分数阶）在右半轴上的正确等价积分方程，这与现有文献中给出的不同。根据上述等价积分方程，我们研究了一类抽象的分数阶微分方程。利用Knaster定理，得到了主方程正温和解的存在性，并利用Banach压缩定理得到了温和解的唯一性。