三次非线性梁方程爆破解的极限行为

摘要

根据尖锐的Gagliardo–Nirenberg–Sobolev不等式，我们找到了具有\（L^{2}\）临界非线性。我们进一步研究了爆破解的极限轮廓。

1介绍

非线性梁方程是一类出现在不同物理环境中的四阶偏微分方程（参见[26,27]用于综述），它模拟了色散波的弱相互作用[1]固定板和梁的运动[20]. 通常，非线性梁方程采用以下形式：

$$\frac{\partial^{2}}{\particalt^{2{}}u+\Delta^{2neneneep u+mu-|u|^{p-1}u=0，\quad x\in\mathbb｛R｝^｛D｝$$

(1.1)

其中参数\（m>0）.\（u=u（t，x）：[0，t）\times\mathbb{R}^{D}\to\mathbb{R}\）和\（0<T\leq+\infty\）.\（\Delta^{2}=\Delta\Delta\）Δ是拉普拉斯算子。\（1<p\leq\frac{2D}{（D-4）^{+}}-1\），其中\（压裂{2D}{（D-4）^{+}}=+\infty\）什么时候\（D=1,2,3,4）;\（压裂{2D}{（D-4）^{+}}=\压裂{2D{D-4}\）什么时候\（D\geq5\）.何时\（m=0），缩放对称性\（\lambda^{\frac{4}{p-1}}u（\lampda^{2}t，\lambda x）\）等式的(1.1)意味着两个关键指数：一个是\（L^{2}\）临界指数\（p=1+\压裂{8}{D}\），另一个是\（H^{2}\）能量临界指数\（p=\压裂{2D}{D-4}-1\)（请参见[12]). 因此，当\（p=3\）和\（D=4,6,8\），我们称之为等式(1.1)的\（L^{2}\）关键，\（L^{2}\）超临界，以及\（H^{2}\）能量临界三次非线性梁方程。我们补充方程式(1.1)使用初始数据

$$u（0，x）=u_｛0｝，\qquad\frac｛\partial｝｛\partial t｝u（0，x）=u_｛1｝$$

(1.2)

在过去二十年中，等式(1.1)已被广泛研究。柯西问题的局部适定性(1.1)–(1.2)的\（1<p<\压裂{2D}{（D-4）^{+}}-1\）和\（p=\压裂{2D}{（D-4）^{+}}-1\）成立于[17]和中[12]分别是。方程行波和驻波的稳定性(1.1)于年获得[17]. 有很多关于全局解的渐近行为和散射特性的论文（参见[9,10,15,18,21,24,25,28,31,32]). 据我们所知，方程的爆破解的唯一结果是(1.1)是[12]其中，作者给出了存在爆破解的充分条件。这促使我们研究等式的以下性质(1.1)如何区分爆破和全球存在的领域？放大解决方案的限制行为是什么？

根据非线性薛定谔方程的尖锐准则[8,14,16,19,23,36]，我们研究了非线性梁方程的sharp准则。首先，对于\（L^{2}\）关键情况：\（p=3\）和\（D=4\），我们有以下定理。

定理1.1

让 \（m=1）,\（p=3\）,和 \（D=4\）.让 R（右） 处于基态

$$\压裂{3}{2}\增量^{2} R（右）+\裂缝{1}{2}R-|R|^{2} R（右）=0，\四元R\在H^｛2｝中$$

(1.3)

如果初始数据 \（（u_｛0｝，u_｛1｝）\在H^｛2｝\乘以L^｛2｝\中） 满足

$$E\bigl（（u_{0}，u_{1}）\bigr）<E（R，0）=\frac{1}{2}\|R\|_{2}^{2}$$

(1.4)

那么我们有以下内容:

• （i） 如果 \（\|u_{0}\|_{2},然后是解决方案 \（u（t，x）\） 柯西问题(1.1)–(1.2)全球存在,和 \（u（t，x）\） 满足这一点,一直如此 t吨,

  $$\bigl\Vertu（t）\bigr\Vert_{2}^{2}+\biggl\Vert\frac{partial}{\partial t}u（t）\ biggr\Vert_}2}^}<\Vert R\Vert_2}^2}\quad\textit{和}\quad\bigl\ Vert\Delta u（t u（t）\biggr\Vert_{2}^{2}$$

  (1.5)

• （ii） 如果 \（\|u_{0}\|_{2}>\|R\|{2}\）,然后是解决方案 \（u（t，x）\） 关于柯西问题(1.1)–(1.2)在有限时间内爆炸 \（0<T<+\ infty \）.

上述公式的尖锐标准(1.1)与\（L^{2}\）临界非线性薛定谔方程[30]Weinstein证明了对于初始数据\（u{0}，相应的解决方案可能会爆炸。然而，对于等式(1.1)，在这种情况下\（\|u_{0}\|_{2}>\|R\|{2}\），相应的解必须在有限时间内爆破。

此外，我们还获得了方程的爆破解的以下极限轮廓(1.1).

定理1.2

让 \（m=1）,\（p=3\）,和 \（D=4\）.如果 \（（u_{0}，u_{1}）\在H^{2}\乘以L^{2{\） 和 \（u（t，x）\） 是相应的打击-柯西问题的上解(1.1)–(1.2)具有 \（\lim_｛t\rightarrow t｝\|u（t）\|_｛2｝=+\infty\） 和 \（增量u（t）\|_{2}=\|\增量R\|_}2\）,哪里 \（0<T<+\ infty \） 就是打击-正常运行时间,那么就有了 \（y（t）\in\mathbb{R}^{4}\）,\（\gamma（t）\in\mathbb{R}\） 这样的话

$$u\bigl（t，\lambda（t）\ bigl$$

(1.6)

哪里 \（\lambda（t）=（\frac{\|u（t）\|_{2}}{\|R\|_}2}}）^{\frac}1}{2}） 和 R（右） 是的基态(1.3).

在本文中，我们假设\（m=1）和\（p=3\）为了简化，以及一般情况\（m=1）和\（1<p<\frac｛2D｝｛（D-4）^｛+｝｝-1\）可以通过完全相同的方式获得。我们将尖锐的标准论点扩展到[14,16]从非线性薛定谔方程到非线性梁方程(1.1). 这很重要，因为等式(1.1)没有\（L^{2}\）-范数和缩放不变性。本文的论点可能对其他无标度不变性的非线性波动方程有潜在的应用。

在本文中，我们缩写了\（L^{q}（\mathbb{R}^{D}）\）,\（\|\cdot\|_{L^{q}（\mathbb{R}^{D}）}\）,\（H^{2}（\mathbb{R}^{D}）\）、和\（\int_{\mathbb{R}^{D}}\cdot\，dx\）通过\（L^{q}\）,\（\ | \ cdot \ | _{q}\）,\（H^{2}\）、和\（[int\cdot\，dx\）。各种正常数将用C类.

2符号和序言

对于柯西问题(1.1)–(1.2)，工作空间定义为

$$H^{2}:=\biggl\{v\在L^{2{2\Bigm|\int\bigl（|v|^{2neneneep+|\nabla v|^}+|\Delta v|^{2}\bigr）\，dx<+\infty\biggr\}$$

很容易检查\（（（\|v\|_{2}^{2}+\|\Delta v\|_2}^{2}）^{\frac{1}{2}}）是的等效范数\（H^{2}\），此等效范数用于分解中的有界序列\（H^{2}\）（请参见[37]). 在中定义两个函数\（H^{2}\乘以L^{2{\）通过

$$\begin{aligned}和E\biggl（\biggl（v（t），\frac{\partial}{\partic t}v（t{2}\bigl\vert v（t）\bigr\vert^{2}-\frac｛1｝｛4｝\bigl\vert v（t）\bigr\vert ^｛4｝\biggr]\，dx，\\&H\bigl（v（t）\bigr）：=\int\biggl[\frac｛1｝｛2｝\bigl\vert v（t）\bigr\vert ^｛2｝\，dx-\frac｛1｝｛4｝\bigl\vert v（t）\bigr\vert ^｛4｝\biggr]\，dx。\结束{对齐}$$

工作人员电子和H（H）由Sobolev嵌入定理定义良好（参见[12]). 此外，Hebey和Pausader确立了Cauchy问题的局部适定性(1.1)–(1.2)在能量空间\（H^{2}\乘以L^{2{\）在[12]如下所示。

提议2.1

让 \（m=1）,\（1<p<\压裂{2D}{（D-4）^{+}}-1\）,和 \（（u_{0}，u_{1}）\在H^{2}\乘以L^{2{\）.有一个独特的解决方案 \（u（t，x）\） 柯西问题(1.1)–(1.2)关于最长时间 \（[0，T）\） 这样的话 \（u（t，x）\在C（[0，t）中；H^｛2｝\乘以L^｛2｝）\）.此外,以下属性保持不变:任何一个 \（T=+\infty\）(全球存在),或 \（0<T<+\ infty \） 和 \（\lim_{t\到t}\|u（t，x）\|_{H^{2}}=+\infty\）(吹-向上的).此外,对所有人来说 \（位于[0，t）中）,

$$E\biggl（\biggl（u（t），\frac{\partial}{\partict}u（t，\biggr）\biggr）=E\bigl（（u_{0}，u_{1}）\bigr）$$

(2.1)

备注2.2

特别是在\（H^{2}\）能量临界情况：\（p=\压裂{2D}{（D-4）^{+}}-1\）Hebey和Pausader的结果[12]意味着柯西问题的局部适定性(1.1)–(1.2)也保持在\（H^{2}\乘以L^{2{\）此外，对于解决方案\（u（t，x）\在C（[0，t）中；H^{2}\乘以L^{2{）\），如果\（0<T<+\ infty \），然后\（\lim_{t\到t}\|u（t，x）\|_{H^{2}}=+\infty\），或\（\limsup_{t\rightarrowT}\|u（t，x）\|_{L_{t}^{q}（[0，t）；L_{x}^{r}）}=+\infty\）（放大），其中

$$（q，r）=\biggl（\压裂{2（D+4）}{D-4}，\压裂{2D（D+4）}{（D-4）（D+2）}\biggr）$$

是B类-可接受。

现在，我们介绍以下重要的尖锐不等式：年建立的尖锐广义Gagliardo–Nirenberg不等式[7]和中[37,38]. 其他一些尖锐的Gagliardo–Nirenberg不等式可以通过轮廓参数建立（参见[2–4,11,22,29,34,35]).

引理2.3

让 R（右） 处于基态(1.3)然后,什么时候 \（D=4\）,对所有人来说 \（H^{2}中的v）,我们有

$$\|v\|{4}^{4}\leq\frac{2}{\|R\|{2}^{2}}\|v\ |{2{2}^{2{$$

(2.2)

三爆破和全球存在的明确标准

根据尖锐的Gagliardo–Nirenberg型不等式、尖锐的Sobolev不等式和一些新的估计，我们获得了方程组爆破的精确尖锐准则(1.1)：如果\（\|u_{0}\|_{2}，则解决方案全局存在；如果\（\|u_{0}\|_{2}>\|R\|{2}\），则解在有限时间内爆炸，其中R（右）是的基态(1.3). 现在，我们给出定理的证明1.1.

证明

（i） 应用尖锐不等式(2.2)到能量函数电子，我们推断\（I中的t）（最大存在间隔），

$$\开始{对齐}[b]2E\biggl（\biggl（u（t），\frac{\partial}{\partitle t}u（t}^{2}-\压裂{1}{2}\bigl\Vertu（t）\bigr\Vert_{4}^{4}\\&\geq\biggl\Vert\frac{\partial}{\partitle t}u（t R\Vert_{2}^{2}}\biggr）\bigl\Vert\Delta u（t）\bigr\Vert_}^{2}。\结束{对齐}$$

(3.1)

通过bootstrap和连续性参数，我们认为如果\（\|u_｛0｝\|_｛2｝<\|R\|_｛2｝\）那么，对于所有人来说\（t\在I\中）,

$$\bigl\|u（t）\bigr\|_{2}$$

(3.2)

的确，如果(3.2)不是真的，那么就存在\（I\中的t_{1}\）这样的话\（u（t_{1}）.自解决方案以来\（u（t，x）\）在以下方面是连续的t吨，存在\（0<t_{0}\leq t_{1}\）这样的话\（\|u（t_{0}）\|{2}=\|R\|{2]）。但来自(1.4), (3.1)和能量守恒\（E（（u_{0}，u_{1}））=E（（u（t），\分数{\部分}{\部分t}u（t具有\（t=t{0}\），我们得到

$$\Vert R\Vert_{2}^{2}>2E\biggl（\biggl（u（t_{0}），\frac{\partial}{\partital t}u（t_}0}，\biggr）\biggr）\geq\biggl\Vert\frac{\ partial{{\partic}{\protialt}u（t_{0}）\bigbr\Vert_2}+\bigl\Vert u（t_10}）\bigr\Vert_{2}^{2}\geq\bigl\Vertu（t_{0}）\bigr\Vert_{2}^}2}$$

这与\（\|u（t_{0}）\|{2}=\|R\|{2]）因此，索赔(3.2)持有。

现在，我们可以证明(1.5). 通过注射(3.2)到(3.1)，我们可以在(1.5)由(1.4)和(3.1). 对于中的第二个估计(1.5)，来自(3.1)，我们看到了\（I中的所有t）

$$\Vert R\Vert_{2}^{2}>2E\biggl（\biggl（u（t），\frac{\partial}{\partitle t}u（t^{2}-\垂直u（t）\垂直_{2}^{2}}{\Vert R\Vert_{2}^{2{}}\bigl\Vert\Delta u（t$$

所以，对所有人来说\（I中的t）,

$$\bigl（\Vert R\Vert_{2}^{2}-\bigl\垂直u（t）\bigr\垂直_{2}^{2}\bigr）\bigl（\Vert R\Vert_{2}^{2}-\bigl\Vert\Delta u（t）\bigr\Vert_{2}^{2}\bigr）\geq0$$

(3.3)

注入(3.2)到(3.3). 我们得到了\（增量u（t）\|_{2}^{2}对所有人来说\（I中的t）此外，通过重写(3.1)，我们看到了，对所有人来说\（I中的t）,

$$\begon｛aligned｝\Vert R\Vert _｛2｝^｛2｝&>2E\biggl（\biggl（u（t），\frac｛\partial｝｛\partial t｝u（t）\biggr）\geq\biggl\Vert\frac｛\partial｝｛\partial t｝u（t）\biggr\Vert _｛2｝^｛2｝+\bigl（1-\frac｛\Vert\Delta u（t）\Vert _｛2｝^｛2｝｝｝｛\Vert R\Vert _｛2｝^｛2｝｝｝\biggr）\bigl\Vert u（t）\bigr\Vert _｛2｝^｛2｝\\&\geq\biggl\Vert\frac{\partial}{\partical t}u（t）\biggr\Vert_{2}^{2}+\bigl\Vert\Delta u（t。\结束{对齐}$$

然后是第二个估计(1.5)是真的。

（ii）我们声称，如果\（\|u_{0}\|_{2}>\|R\|{2}\）那么，对所有人来说\（I中的t）

$$\bigl\Vert u（t）\bigr\Vert _{2}>\Vert R\Vert _{2}\quad\mbox{和}\quad \bigl\ Vert \Delta u（t$$

(3.4)

的确，如果\（u（t）{2}>R{2}）并非所有人都如此\（I中的t），那么就存在\（I\中的t_{2}\）这样的话\（u（t_{2}）。从\（u（t）{2}），存在\（0<t{3}\leqt{2}\）这样的话\（u（t_{3}）{2}=R{2}）.将此注入(3.1)带有\（t=t{3}\），我们得到

$$2E\biggl（\biggl（u（t_{3}），\frac{\partial}{\partitlet}u（t_}3}，\biggr）\bigger）\geq\bigl\Vert u（t_{3}）\bigr\Vert_{2}^{2}=\Vert R\Vert_2}^{2}$$

这与之相矛盾\（E（（u（t），\frac{\部分}{\部分t}u（t对所有人来说\（I中的t）.然后我们证明\（u（t）{2}>R{2}）对所有人来说\（I中的t）此外，注射\（u（t）{2}>R{2}）对所有人来说\（I中的t）到(3.3)，我们得到\（增量u（t）对所有人来说\（I中的t）这就完成了索赔证明(3.4). 现在，让我们\（J（t）：=int|u（t，x）|^{2}\，dx\）通过一些基本的计算，我们推断出\（I中的t）,\（J’（t）=2\int u（t）\分数{\部分}{\部分t}u（t，dx\）和

$$\开始{对齐}[b]J“（t）&=6\biggl\Vert\frac{\partial}{\partitle t}u（t）\biggr\Vert_{2}^{2}+2\bigl\Vert u（t^{2} -8E型\bigl（（u{0}，u{1}）\bigr）\\&>6\biggl\Vert\frac{\partial}{\partitlet}u（t）\biggr\Vert_{2}^{2}，\end{aligned}$$

(3.5)

最后一步是什么(1.4)和(3.4). 因此，\（J’’（t）\）是正的，并且所有值都有一个下限\（I中的t）。请注意\（J’（t）^{2}\leq4\|u.然后

$$J（t）J’’（t）>6\biggl\Vert\frac{\partial}{\partical t}u（t）\biggr\Vert_{2}^{2}\bigl\Vert u（t{2} J型'（t）^{2}$$

(3.6)

存在\（t_{0}>0\）这样的话\（J'（t）>0\）对所有人来说\（t>t{0}\）因此，对于所有人来说\（t>t{0}\），我们得到\（压裂{J’’（t）}，这意味着存在\（K>0\）这样的话\（J’（t）>K J（t）^{压裂{3}{2}}）。由于\（压裂{3}{2}>1\），我们推断\（t>t{0}\）,

$$J（t）>\biggl（\frac{2\sqrt{J（t_{0}）}{2-K\sqrt{J（t_{0}）{（t-t_{0{）}\biggr）^{2}$$

然后就有了\（0<T<+\ infty \）这样的话\（\lim_{t\rightarrowT}\|u（t）\|_{2}^{2}=\lim_{t\riftarrowT}J（t）=+\infty\）.解决方案\（u（t，x）\）在有限时间内爆炸\（0<T<+\ infty \）. □

4爆破解决方案的极限轮廓

在本节中，我们假设(1.3)在空间平移和膨胀中是唯一的，也可以表示为R（右）类似的假设已经被用于中的经典二阶非线性薛定谔方程的基态[30]. 首先，我们展示了R（右）.

引理4.1

让 \（D=4\）.如果 \（H^{2}中的v） 满足 \（增量v\|_{2}=\|\Delta R\|_}2\） 和 \（H（v）=0）,然后 \（v（x）\） 具有以下形式:

$$v（x）=R（\lambda x+x_{0}）\quad\textit{对于某些}\lambda>0，x_{0}\in\mathbb{R}^{4}$$

(4.1)

哪里 R（右） 是的基态(1.3).

证明

根据假设\（H（v）=0），我们看到了\（\int|v|^{2}\，dx=\frac{1}{2}\int|v|^{4}\，dx\）。因此，将其注入以下函数：

$$I（v）：=\frac{（int|v|^{2}，dx）=I_{*}$$

这意味着v（v）是的极小值\（I（v）\）根据朱、张和杨的结果[37]，我们可以推断\（v（x）\）是形式\（v（x）=R（λx+x_{0}）由于…的独特性R（右）. □

研究方程爆破解极限的主要工具(1.1)是朱、张和杨在[37]. 这一论点已用于研究驻波的稳定性（参见[5,6,33]).

提议4.2

让 \（D=4\） 和 \（{v{n}{n=1}^{+infty}） 是中的有界序列 \（H^{2}\）.然后存在以下子序列 \（{v{n}{n=1}^{+infty}）(仍表示 \（{v{n}{n=1}^{+infty}）),一家人 \（{x{n}^{j}{j=1}^{+infty}） 中序列的 \（\mathbb{R}^{4}\）,和一个序列 \（{V^{j}\}_{j=1}^{+\infty}\） 在里面 \（H^{2}\） 这样的话

• （i） 每 \（k\neq j）,\（|x{n}^{k} -x个_{n} ^{j}|\rightarrow+\infty\） 作为 \（n\rightarrow+\infty\）;

• （ii） 对于每个 \（1） 以及每个 \（x\in\mathbb{R}^{4}\）,\（v{n}（x）=sum{j=1}^{l} V（V）^{j} （x-x{n}^{j}）+v{n}^{l}（x）\） 具有 \（\lim_{l\rightarrow+\infty}\limsup_{n\rightarrow+\finty}\|v_{n}^{l}\|{q}=0\） 对于每个 \（q\ in（2，+\ infty）\）.

此外,作为 \（n\rightarrow+\infty\）,我们有

$$\开始{对齐}和\垂直v_{n}\垂直_{2}^{2}=\sum_{j=1}^{l}\bigl\VertV^{j}\bigr\Vert_2}^{2}+\bigl\垂直v_{n}^{1}\biger\Vert_{2{2}^{2{+o}^{l}\bigl\Vert\Delta v^{j}\bigr\Vert_{2}^{2}+\bigl\ Vert_Delta v_{n}^{1}\bigr\Vert_{2}^{2}+o（1），\\&\Biggl\Vert\sum_{j=1}^{l} V（V）^{j} \bigl（x-x_{n}^{j}\bigr）\Biggr\Vert_{4}^{4}=\sum_{j=1}^{l}\bigl\VertV^{j{\bigl（x-x_{n}^{j}\biger）\bigr\Vert_{4}^{4}+o（1），\end{aligned}$$

(4.2)

哪里 \（o（1）：=o_{n}（1）\右箭头0\） 作为 \（n\rightarrow+\infty\）.

备注4.3

通过使用不等式

$$\Biggl\vert\Biggl\ vert\sum_{j=1}^{l} 一个_{j} \Biggr\vert^{p+1}-\sum_{j=1}^{l}\verta_{j}\vert ^{p+1}\Biggr\vert\leq C\sum_{j\neq k}|a_{j}|a{k}|^{p}$$

对于\（p>1），我们可以证明\（\|\sum_{j=1}^{l} V（V）^{j} （x-x{n}^{j}）消失。因此(4.2)是真的。

根据Hmidi和Keraani在[13]朱、张和杨的论点[37]，我们通过命题证明了以下精细紧性结果4.2.

引理4.4

让 \（D=4\） 和 \（{v{n}{n=1}^{+infty}） 是中的有界序列 \（H^{2}\） 这样的话

$$\limsup_{n\rightarrow+\infty}\|v_{n}\|_{2}\leq M\quad\textit{和}\quad_limsup_{n\right arrow+\infty}\|v_{n}\| _{4}\geq n>0$$

(4.3)

然后存在一个序列 \（{x{n}{n=1}^{+infty}） 属于 \（\mathbb{R}^{4}\） 这样直到一个子序列

$$v_{n}（x+x_{n{）\rightharpoonup v（x）\quad\textit{弱位于}H^{2}$$

(4.4)

具有 \（三角洲V{2}^{2}\geq\frac{|\Delta R{2}^{2} N个^{4} }{2M^{2}}\）,和 R（右） 是的基态(1.3).

证明

引理的证明4.4与中的定理1.1完全相似[37]. 关键是注入分解：\（v{n}（x）=sum{j=1}^{l} V（V）^{j} （x-x{n}^{j}）+v{n}^{l}（x）\）到(4.3). 确实，来自(4.2)，我们推断为\（n\rightarrow+\infty\）,\（l\rightarrow+\infty\）,

$$N^{4}\leq\limsup_{N\rightarrow+\infty}\Biggl（\Biggl\Vert\sum_{j=1}^{l} V（V）^{j} \bigl（x-x_{n}^{j}\biger）\Biggr\Vert_{4}+\bigl\Vert v_{n{^{l}（x）\bigr\Vert_{4]\Biggr）^{4}\leq\sum_{j=1}^{+\infty}\bigl\ Vert v^{j{}\bigr\ Vert_{4}^{4{}$$

左证明类似于中定理1.1的证明[37]，省略。□

应用引理4.4，我们得到了以下方程的爆破解的极限轮廓(1.1)在定理中1.2：用于Cauchy问题的放大解(1.1)–(1.2)令人满意的\（\lim_{t\rightarrow t}\|u（t）\|_{2}=+\infty\）和\（增量u（t）\|_{2}=\|\增量R\|_}2\），其中\（0<T<+\ infty \）是放大时间，我们证明\（u（t，x）\）保持接近基态R（右）在里面\（H^{2}\）非径向情况下的缩放和平移，其中R（右）是的基态(1.3).

定理的证明1.2

根据假设\（t_｛n｝\右箭头t\）作为\（n\rightarrow+\infty\），采取

$$\lambda_{n}^{2}:=\frac{\|u（t_{n}，x）\|_{2}}{\|R\|{2}{\rightarrow+\infty\quad\mbox{as}n\rightarrow+\ infty$$

(4.5)

和\（U_{n}=U（t_{n}，λ_{n}x）。我们注意到

$$\textstyle\begin{cases}\|U_{n}\|_{2}=\frac{1}{\lambda_{n{2}}\|U（t_{n}）\|_}2}=\ |R\|{2}，\\|\Delta U_{n}\|_2}=\。\结束{cases}$$

(4.6)

因此，\（｛U_｛n｝\｝_｛n＝1｝^｛+\infty｝\）是中的一致有界序列\（H^{2}\）和\（{U_{n}\}_{n=1}^{+\infty}\）具有弱收敛子序列\（{U_{n}\}_{n=1}^{+\infty}\）（仍表示为\（{U_{n}\}_{n=1}^{+\infty}\）). 以及后续\（{U_{n}\}_{n=1}^{+\infty}\），我们推断

$$开始{对齐}[b]H（U_{n}）&=\frac{1}{\lambda_{n{4}}\biggl（E\bigl（（U_{0}，U_{1}）\bigr^{2}-\压裂{1}{2}\bigl\Vert\Delta u（t_{n}）\bigr\Vert_{2}^{2}\ biggr）\\&\leq\frac{1}}{\lambda_{n}^{4}}E\bigl（（u_{0}，u_{1}）\ bigr）\rightarrow0\quad\mbox{as}n\rightarror+\infty。\结束{对齐}$$

(4.7)

与此同时，来自(2.2)，我们看到了\（U_{n}增量=R{2}增量）暗示

$$H（U_{n}）\geq\frac{1}{2}\biggl（1-\frac{\|\Delta U_{n}\|_{2}^{2}}{\|\ Delta R\|_2}^{2}}\bigr）\|U_{n}\|_2{2}^{2neneneep}\geq0$$

(4.8)

然后我们得到\（\lim_｛n\rightarrow+\infty｝H（U_｛n｝）=0\）和\（\lim_{n\rightarrow+\infty}\|U_{n}\|_{4}^{4}=2\|R\|{2}^{2}）.通过应用引理4.4到序列\（{U_{n}\}_{n=1}^{+\infty}\）（这里，我们取\（M^{2}=\|R\|_{2}^{2{）,\（N^{4}=2\|R\|_{2}^{2}）)，存在\（{y_{n}\}_{n=1}^{+\infty}\subset\mathbb{R}^{4}）和\（U（x）\在H^{2}\中）这样的话

$$U_{n}（x+y_{n{）\rightharpoonup U（x）\quad\mbox{弱in}H^{2}\mbox{as}n\rightarrow+\infty$$

(4.9)

具有\（U{2}\geq\|\Delta R{2}\）但通过范数的较低半连续性，我们得到\（增量U\|_{2}\leq\liminf_{n\rightarrow+\infty}\|\Delta U_{n}（x+y_{n{}）\|_2}=\|\增量R\|_2{2}\），所以我们得到\（U{2}=R{2}=（x+y_{n}）从Brézis–Lieb引理，我们得到

$$\lim_{n\rightarrow+\infty}\bigl\Vert\Delta\bigl（U_{n}（x+y_n}）-U（x）\biger）\bigr\Vert_{2}=0$$

(4.10)

正在应用(2.2)至\（U_｛n｝（x+y_｛n｝）-U\），存在\（C>0\）这样的话

$$\bigl\Vert U_{n}（x+y_{n{）-U\bigr\Vert_{4}^{4}\leq C\bigl\ Vert U_2}（x+y_{n}）-U \bigr\ Vert_{2}^{2}\bigl \Vert\Delta\ bigl$$

注入(4.6)和\（U_{n}（x+y_{n{）-U（x）\|_{2}\leq2\|R\|{2}\）纳入上述估算。

$$U_{n}（x+y_{n{）\rightarrowU（x）\quad\mbox{强位于}L^{4}\mbox{as}n\rightarror+\infty$$

(4.11)

那么我们已经证明了\（\lim_{n\rightarrow+\infty}H（U_{n}（x+y_{n{））=H（U）=0\），这意味着\（\|U\|_{2}^{2}=\|R\|_}2}^}）因此，从Brézis–Lieb引理(4.6)，以及(4.9)，我们看到了

$$U_{n}（x+y_{n{）\rightarrowU（x）\quad\mbox{强位于}H^{2}\mbox{as}n\rightarror+\infty$$

现在，收集\（U=U（x）\），我们看到了

$$U\在H^{2}中，\qquad\|U\|_{2}=\|R\|_}2}，\qquid\|\Delta U\|_2}=\| Delta R\|_{2}\quad\mbox{和}\quad H（U）=0$$

应用基态的变分特性（参见引理4.1)，存在\（\lambda_{0}>0\）和\（x_{0}\在\mathbb{R}^{4}\中）这样的话\（U（x）=U（λ_{0}x+x{0}）\），因此我们可以获得(1.6)通过重新定义\（λ（t））和\（x（t）\）. □