一类具有积分和反周期边界条件的分数阶Langevin方程的解

摘要

本文考虑一类具有积分和反周期边界条件的分数阶Langevin方程。利用一些不动点定理和Leray–Schauder度理论，得到了一些新的解的存在性结果。

1介绍

本文考虑具有积分和反周期条件的分数阶Langevin方程解的存在性：

$$\开始{aligned}\textstyle\begin{cases}^{c} D类^｛\beta｝_｛0^｛+｝｝(^{c} D类^{\alpha}_{0^{+}}+\lambda）x（t）=f（t，x（t^{1} x个（s） \，ds，\qquad{}^{c} D类^{\alpha}_{0^{+}}x（0）+^{c} D类^{\alpha}_{0^{+}}x（1）=0，\end{cases}\displaystyle\end{aligned}$$

(1)

哪里\（0<\alpha<1\）,\（1<\beta\leq 2）,\（\lambda>0）、和\（\mu>0\）是实数，\({}^{c} D类^{\alpha}_{0^{+}}x（t）\）和\({}^{c} D类^{\beta}_{0^{+}}x（t）\）是Caputo分数导数，以及\（f在C中（[0,1]\乘以R，R）\）.

分数阶微分方程理论在许多领域都有重要的应用。它已成为微分方程的一个新的研究领域[1–三]. 分数阶微分方程边值问题已有很多很好的研究成果[4–24]. 最近，一些学者研究了分数阶朗之万方程（例如，参见[25–27]).

在[28]Ahmad等人通过不动点定理讨论了具有三点非局部边值条件的分数阶Langevin方程解的存在性。

在[29]，Li等人研究了分数阶Langevin方程的无穷点边值问题。利用非线性替代和Leray–Schauder度理论，他们得到了边值问题的一些存在性结果。

据我们所知，对于分数阶Langevin方程，具有积分和反周期边界条件的边值问题的研究很少，因此本文的研究是新的。

本文的其余部分组织如下。在Sect。 2，我们介绍了一些预备知识和引理。在Sect。 三，我们采用一些不动点定理和Leray–Schauder度理论来获得边值问题解的存在性(1).

2相关引理

分数微积分理论中的一些必要定义可以在[2,三]. 我们在这里省略了它们。

引理2.1

让 \（h \in C（0.1）\cap L（0.1）\）,\（0<α<1）,\（1<\beta\leq 2）,然后是以下问题

$$\开始{aligned}\textstyle\begin{cases}^{c} D类^{\beta}_{0^{+}}(^{c} 天^{\alpha}_{0^{+}}+\lambda）x（t）=h（t），\quad t\in（0,1）\\x（0）=0，\qquad x（1）=\mu\int_{0}^{1} x个（s） \，ds，\qquad{}^{c} D类^{\alpha}_{0^{+}}x（0）+^{c} D类^{\alpha}_{0^{+}}x（1）=0\end{cases}\displaystyle\end{aligned}$$

(2)

有解决方案 \（x（t）\） 令人满意的

$$开始{对齐}x（t）=&\frac{1}{\Gamma（\alpha+\beta）}\int_{0}^{t}（t-s）^{\alpha+/\beta-1}h（s）\，ds-\frac}t^{\alpha}+\frac{\lambdat^{\alpha}（2t-\alpha-1）}{（1-\alpha）\Gamma（\alpha）}\int_{0}^{1}（1-s）^{\alpha-1}x（s）\，ds\\&{}-\frac{t^{\alpha}（1-t）}{（1-\alpha）\Gamma（\alpha+1）\Garma（\beta^{1} x个（s） \，ds\\&{}+\frac{\t^{alpha}（2t-\alpha-1）}{1-\alpha}\int_{0}^{1} x个（s） \，ds-\frac{\lambda}{\Gamma（\alpha）}\int_{0}^{t}（t-s）^{\alpha-1}x（s）\，ds.\end{aligned}$$

证明

从中的相关引理[23]，因此

$$\开始{aligned}&\bigl(^{c} D类^{\alpha}_{0^{+}}+\lambda\bigr）x（t）=I_{0${+}{{\beta}h（t）+c_{0}+c_{1} t吨, \\& {}^{c} D类^{\alpha}_{0^{+}}x（t）=I{0^}}^{\beta}h（t）+c_{0}+c_{1} t吨-λx（t）=\frac｛1｝｛\Gamma（β）｝\int_｛0｝^｛t｝（t-s）^｛β-1｝h（s）\，ds+c｛0｝+c_{1} t吨-\λx（t），\\&x（t_{1} t-I型_{0^{+}}^{\alpha}\lambda x（t）+c_{2}\\&\hphantom{x（t alpha+2）}t^{\alpha+1}\\&\hphantom{x（t）=}-\frac{\lambda}{\Gamma（\alpha）}\int_{0}^{t}（t-s）^{\alpha-1}x（s）\，ds+c{2}。\结束{对齐}$$

根据边值条件\（x（0）=0）,\（x（1）=\mu\int_{0}^{1} x个（s） \，ds\）、和\({}^{c} D类^{\alpha}_{0^{+}}x（0）+\） \({}^{c} D类^{\alpha}_{0^{+}}x（1）=0\），我们可以

$$开始{对齐}和c{2}=0，\\&\frac{1}{\Gamma（\alpha+\beta）}\int_{0}^{1}（1-s）^{\alpha+/\beta-1}h（s）\，ds+\frac}c{0}}{\Gamma（\ alpha+1 0}^{1}（1-s）^{\alpha-1}x（s）\，ds\\&\quad=\mu\int_{0}^{1} x个（s） \，ds，\end｛对齐｝$$

和

$$c_{0}+\frac{1}{\Gamma（\beta）}\int_{0{^{1}（1-s）^{\beta-1}h（s）\，ds+c_{0}+c_{1}-\λ\mu\int_{0}^{1} x个（s） \，ds=0$$

通过直接计算，我们得到

$$开始{对齐}c_{0}=&\frac{\Gamma（\alpha+2）}{（1-\alpha）\Gamma（\ alpha+\beta c{\lambda\mu}{1-\alpha}\int_{0}^{1} x个（s） \，ds-\frac{\mu\Gamma（\alpha+2）}{1-\alpha}\int_{0}^{1} x个（s） \，ds-\frac{1}{（1-\alpha）\Gamma（\beta）}\int_{0}^{1}（1-s）^{\beta-1}h（s）\，ds，\end{aligned}$$

和

$$\begin{aligned}c{1}=&\frac{2\lambda\alpha（1+\ alpha）}{1-\alpha}\int_{0}^{1}（1-s）^{\alpha-1}x（s）\，ds+\frac}{1+\alpha{（1-\ alpha）\Gamma（\beta）}\int_{0}^{1{（1s）^}\beta-1}h（s）\alpha）}{1-\alpha}\int_{0}^{1} x个（s） \，ds\\&{}+\frac{2\mu\Gamma（\alpha+2）}{1-\alpha}\int_{0}^{1} x个（s） \，ds-\frac{2\伽马（\alpha+2）}{（1-\alpha）\Gamma（\alfa+\beta）}\int_{0}^{1}（1-s）^{\alpha+\beta-1}h（s）\，ds.\end{aligned}$$

因此(2)满足

$$开始{对齐}x（t）=&\frac{1}{\Gamma（\alpha+\beta）}\int_{0}^{t}（t-s）^{\alpha+/\beta-1}h（s）\，ds-\frac}t^{\alpha}+\frac{\lambdat^{\alpha}（2t-\alpha-1）}{（1-\alpha）\Gamma（\alpha）}\int_{0}^{1}（1-s）^{\alpha-1}x（s）\，ds\\&{}-\frac｛t^｛\alpha｝（1-t）｝｛（1-\alpha）\Gamma（\alpha+1）\Gamma（\beta）｝\int_｛0｝^｛1｝（1-s）^｛\beta-1｝h（s）\，ds\\&｛｝+\frac｛\lambda\mu t^｛\alpha｝（1-t）｝｛（1-\alpha）\Gamma（\alpha+1）｝\int_｛0｝^{1} x个（s） \，ds+\frac{\mut^{\alpha}（2t-\alpha-1）}{1-\alpha{\int_{0}^{1} x个（s） \，ds\\&{}-\frac{\lambda}{\Gamma（\alpha）}\int_{0}^{t}（t-s）^{\alpha-1}x（s）\，ds.\end{aligned}$$

这就完成了证明。□

三主要成果

让\（E=C[0,1]\）显然，空间电子是一个Banach空间，如果它被赋予如下规范：

$$\Vert x\Vert=\max_{t\in[0,1]}\bigl\Vert x（t）\bigr\Vert$$

定义运算符\（T:E\右箭头E\）作为

$$开始{对齐}（Tx）（t）=&\frac{1}{\Gamma（\alpha+\beta）}\int_{0}^{t}（t-s）^{\alpha+/\beta-1}f\bigl（s，x（s）\bigr）\，ds-\frac}t^{\alpha}{\alpha+\beta-1}f\bigl（s，x（s）\bigr）\，ds+\frac{\lambda t^{\alba}（2t-\alpha-1）}{（1-\alpha）\Gamma（\alpha）}\int_{0}^{1}（1-s）^{\alpha-1}x（s）\，ds\\&{}-\frac{t^{\alpha}（1-t）}{（1-\alpha）\Gamma（\alpha+1）\Garma（\beta）}\int_{0}^{1}}\int_{0}^{1} x个（s） \，ds\\&{}+\frac{\t^{alpha}（2t-\alpha-1）}{1-\alpha}\int_{0}^{1} x个（s） \，ds-\frac{\lambda}{\Gamma（\alpha）}\int_{0}^{t}（t-s）^{\alpha-1}x（s）\，ds，\quad t\in[0,1]。\结束{对齐}$$

(3)

很容易看出(1)等于T型.

引理3.1

• （i） \（在[0,1]}|t^{alpha}（2t-\alpha-1）|=max\{（\frac{\alpha}{2}）^{\alfa}，1-\alpha\}）;

• （ii） \（[0,1]}t^{alpha}（1-t）=\frac{alpha^{alpha}}{（1+alpha）^{1+\alpha}}）.

证明

（i） 让\（g（t）=t^{α}（2t-α-1）,\（0\leq t\leq 1\），然后\（g'（t）=（\alpha+1）t^{\alpha-1}（2t-\alpha）,\（g（0）=0）,\（g（1）=1-α>0）.

什么时候？\（0\leq t<\frac｛\alpha｝｛2｝\）,\（g’（t）\leq 0）; 什么时候\（压裂{\alpha}{2}<t\leq 1\）,\（g’（t）\geq 0）总之，\（|g（t）|{max}=\max\{|g（\frac{alpha}{2}）|，g（1）.

（ii）出租\（g（t）=t^{α}（1-t））,\（0\leq t\leq 1\），然后\（g'（t）=t^{\alpha-1}[\alpha-（\alpha+1）t]\）.

什么时候？\（0\leq t<\frac{\alpha}{1+\alpha{）,\（g’（t）\geq 0）; 什么时候\（压裂{\alpha}{1+\alpha{<t\leq 1\）,\（g’（t）\leq 0）.所以\（g（t）_｛\max｝=g（\frac｛\alpha｝｛1+\alpha｝）=\frac｛\alpha ^｛\alpha｝｝｛（1+\alpha）^｛1+\alpha｝｝\）.

证明已完成。□

让\（eta=\frac{1}{1-\alpha}\max\{（\frac}\alpha{2}）^{alpha}，1-\alfa\}\）.

引理3.2

\（T:E\右箭头E\） 是完全连续的.

证明

由于（f）,\（T:E\右箭头E\）是连续的。对于任何有界集\（D\子集E\），存在\（K>0\）这样的话\（对于D\中的所有x\）,\（\|x\|\leq K\）.存在一个常量\（L_{1}>0\）这样的话\（|f（t，x）|\leq L_{1}\）对于任何\（在[0,1]\中）和\（x\英寸[-K，K]\）.然后\（对于D\中的所有x\），因此

$$开始{aligned}\bigl\vert（Tx）（t）\bigr\vert\leq&\frac{1}{\Gamma（\alpha+\beta）}\int_{0}^{t}（t-s）^{\alpha+\beta-1}\bigle\vertf\bigl ^{\alpha+\beta-1}\bigl\vert f\bigl（s，x（s）\biger）\bigr\vert\，ds\\&{}+\frac{\lambda\eta}{\Gamma（\alpha）}\int_{0}^{1}（1-s）^{\alpha-1}\bigl\vert x vert\，ds\\&{}+\frac{\lambda\mu\alpha^{\alpha}}{（1+\alpha）^{1+\alpha}（1-\alpha）\Gamma（\alpha+1）}\int_{0}^{1}\bigl\vert x（s）\bigr\vert \，ds+\mu\eta\int_{0}^{1}\bigl\ vert x int_{0}^{t}（t-s）^{\alpha+\beta-1}\，ds+\frac{L_{1}\eta}{\Gamma（\alpha+/beta）}\int_{0}^{1}（1-s）^{\alpha+\beta-1}\，ds\\&{}+\frac{\eta\lambda\Vertx\Vert}{\Gamma（\alpha ^{1}（1-s）^{\beta-1}\，ds\\&{}+\frac{\lambda\mu\alpha^{\alpha}\Vertx\Vert}{（1+\alpha）^{1+\alpha}（1-\alpha）\Gamma（\alpha+1）}\\&{}+\eta\mu\Vert x\Vert+\frac{\lambda\Vert x \Vert}{\Garma（\alpha）}\int_{0}^{t}（t-s）^{\alpha-1}\，ds\\=&\frac{L_{1} t吨^{\alpha+\beta}}{\Gamma（\alpha+/\beta+1 \beta+1）}\\&{}+\frac{\lambda\mu\alpha^{\alpha}\Vert x\Vert}{（1+\alpha）^{1+\alpha}（1-\alpha）\伽马（\alpha+1）}+\eta\mu\Vert x\Vert+\frac{\lambda\Vert x \Vert t^{\alpha}}{\Gamma（\ alpha+1{1}}{（1+\alpha）^{1+\alpha}（1-\alpha）\Gamma（\alpha+1）\Garma（\beta+1）}\\&{}+\frac{\lambda\mu\alpha^{\alpha}\Vert x\Vert}{（1+\alpha）^{1+\alpha}^{\alpha}L_{1}}{（1+\alpha）^{1+\alpha}（1-\alpha）\Gamma（\alpha+1）\Gamma（\beta+1）}\\&{}+\frac｛\lang1033\lang1033\lang1033\lang1033\lang1033\lang1033\lang1033\lang1033\lang1033\lang1033\lang1033\lang1033\lang1033\lang1033\lang1033\lang1033\lang1033\lang1033\lang1033\lang1033\lang1033\lang1033\lang1033\lang1033\lang1033\lang1033\lang1033\lang1033\lang1033\lang1033\lang1033\lang1033\lang1033\lang1033\lang1033\lang1033\lang1033\lang1033\lang1033\lang1033\lang1033\lang1033\lang1033\lang1033\lang1033\lang1033\lang1033\$$

这意味着技术总监一致有界。

此外，对于\（D\中的x\）,\（0\leq t_{1}<t_{2}\leq 1\），我们有

$$开始{对齐}和\bigl\vert（Tx）（t_{2}）-（Tx_{2} -秒)^{\alpha+\beta-1}f\bigl（s，x（s）\bigr）\，ds-\frac{t{2}^{\alfa}（2t_{2}-\α-1）}{（1-\alpha）\Gamma（\alpha+\beta）}\\&\qquad{}\times\int_{0}^{1}（1-s）^{\alpha+/\beta-1}f\bigl（s，x（s）\bigr）\，ds+\frac{\lambda t_{2}^{\alpha}（2t_{2}-\α-1）}{（1-\α）\Gamma（\alpha）}\int_{0}^{1}（1-s）^{\alpha-1}x）\biger）\，ds+\frac{\lambda\mu t_{2}^{\alpha}（1-t{2}）}{（1-\alpha）\Gamma（\alpha+1）}\int_{0}^{1} x个（s） \，ds\\&\qquad{}+\frac{\mu t_{2}^{\alpha}（2t_{2}-\α-1）}{1-\alpha}\int_{0}^{1} x个（s） \，ds-\frac{\lambda}{\Gamma（\alpha）}\int_{0}^{t{2}}（t_{2} -秒)^{\alpha-1}x（s）\，ds\\&\qquad{}-\frac{1}{\Gamma（\alpha+\beta）}\int_{0}^{t_{1}}（t_{1} -秒)^{\alpha+\beta-1}f\bigl（s，x（s）\bigr）\，ds\\&\qquad{}+\frac{t{1}^{\alfa}（2t_{1}-\α-1）}{（1-\alpha）\Gamma（\alpha+\beta）}\int_{0}^{1}（1-s）^{\alpha+/\beta-1}f\bigl（s，x（s）\bigr）\，ds\\&\qquad{}-\frac{\lambda t_{1}^{\alpha}（2t_{1}-\α-1）}{（1-\α）\Gamma（\alpha）}\int_{0}^{1}（1-s）^{\alpha-1}x）\biger）\，ds\\&\qquad{}-\frac{\lambda\mu t_{1}^{\alpha}（1-t{1}）}{（1-\alpha）\Gamma（\alpha+1）}\int_{0}^{1} x个（s） \，ds\\&\qquad{}-\frac{\mut_{1}^{\alpha}（2t_{1}-\alpha-1）｝｛1-\alpha｝\int_｛0｝^{1} x个（s） \，ds+\frac{\lambda}{\Gamma（\alpha）}\int_{0}^{t_{1}}（t_{1} -秒)^{\alpha-1}x（s）\，ds\\&\quad=\biggl\vert\int_{0}^{t_{1}}\frac{f（s，x（s_{2} -秒)^{\α+\β-1}-（t_{1} -秒)^{\alpha+\beta-1}\bigr]\，ds+\int_{t{1}}^{t{2}}\frac{f（s，x（s））}{\Gamma（\alpha+/beta）}（t_{2} -秒)^{\alpha+\beta-1}\，ds\\&\qquad{}+\frac{（\alpha+1）（t{2}^{\alalpha}-t{1}^{\ alpha}）+2（t{1}^{\alpha+1}-t{2}^}\alpha+1}）}{（1-\alpha）\Gamma（s）\大）\，ds\\&\qquad{}+\frac{\lambda（\alpha+1）)}{（1-\α）\Gamma（\alpha）}\int_{0}^{1}（1-s）^{\alpha-1}x（s）\，ds\\&\qquad{}+\frac{_{0}^{1}（1-s）^{\beta-1}f\bigl（s，x（s）\bigr，ds\\&\qquad{}+\frac{\lambda\mu^{\阿尔法}-t{1}^{\alpha}）}{（1-\alpha）\Gamma（\alpha+1）}\int_{0}^{1} x个（s） \，ds\\&\qquad{}+\frac{2\mu（t_{2}^{\alpha+1}^{\ alpha+1{）+\mu（\alpha+1）（t_{1}^{\alpha}-t{2}^{\alpha}）}{1-\ alpha}\int_{0}^{1} x个（s） \，ds\\&\qquad{}+\int_{0}^{t_{1}}\frac{\lambda x（s）}{\Gamma（\alpha）}\bigl[（t_{1} -秒)^{\α-1}-（t_{2} -秒)^{\alpha-1}\bigr]\，ds-\int_{t{1}}^{t{2}}\frac{\lambdax（s）}{\Gamma（\alpha）}（t_{2} -秒)^{α-1}，ds\biggr\vert\&\quad\leq\frac{L_{1}\vert t_{2}^{\alpha+\beta}-t_{1{^{\alpha+\beta}\vert}{\Gamma（\alpha+/beta+1）}+\frac}L_1}\verts（\alba+1）-t{2}^{\alpha+1}）\vert}{（1-\alpha）\Gamma（\alpha+\beta+1）}\\&\qquad{}+\frac{\vert\lambda（\alfa+1）（t_{1}^{\alpha}-t{2}^{\alba}）+2\lambda（t_{2}^{\alpha+1}-t_{1}^{\alpha+1}）\vert\Vertx\vert}{（1-\alpha）\Gamma（\alpha+1）}\\&\qquad{}+\frac{L_1}\vert}-t{2}^{\alpha}）\vert}{（1-\alpha）\Gamma（\alpha+1）\Garma（\beta+1）}+\frac{\vert\lambda\mu（t_{1}^{\ alpha+1}-t{2}^{α+1}）+\lambda\mu ^{\alpha}）\vert\vert x\vert}{1-\alpha{+\frac{\lambda\vert x\ vert\vert t_{1}^{\alpha}-t_{2}^{\ alpha}\vert}{\Gamma（\alpha+1）}\\&\quad\leq\frac{L_{1}}{\Gamma（\ alpha+\beta+1）}\bigl \Gamma（\alpha+1）}\&\qquad{}+\frac{L_{1}}{（1-\alpha）\Gamma（\alfa+1）\Gamma（\beta+1）}+\frac{\lambda\mu K}{（1-\alpha）\Gamma（\alpha+1）}+\frac{2\mu K}{1-\alpha}\biggr]\bigl{（1-\alpha）\Gamma（\alpha+1）}+\frac{L_{1}}{（1-\ alpha+\frac{\lambda\mu K}{（1-\alpha）\Gamma（\alpha+1）}+\frac{\mu K（\alfa+1）}{1-\alpha}+\frac{\lambda K}{\Gamma（\alba+1）}\biggr]\bigl（t_{2}^{\alpha{-t_{1}^{\ alpha}\bigr），\end对齐}$$

这意味着技术总监是等连续的。因此，通过阿尔泽拉–阿斯科利定理，\（T:E\右箭头E\）是完全连续的。

证明已完成。□

定理3.1

假设 （f） 满足Lipschitz条件

$$\bigl\vert f（t，x）-f（t，y）\bigr\vert\leq L\vert x-y\vert，\quad\对于[0,1]中的所有t，R中的x，y\$$

和

$$开始{对齐}A=&\frac{（1+\eta）L}{\Gamma（\alpha+\beta+1）}+\frac}（1+/eta）\lambda}{\Gamma（\ alpha+1）}+\frac:\alpha^{\alpha}L}{{（1+\alpha）^{1+\alpha}（1-\alpha）\Gamma（\alpha+1）}+\eta\mu<1。\结束{对齐}$$

然后(1)有独特的解决方案.

证明

定义\（Q=\max_{t\in[0,1]}|f（t，0）|\）并选择\（r\geq\frac{\frac{2Q}{\Gamma（\alpha+\beta+1）}+\frac}\alpha^{\alpha}Q}{（1+\alpha）^{1+\alpha}（1-\ alpha，将闭合球定义为\（B_｛r｝=\｛x\在E:\|x\|\leq r \｝\中），然后针对\（x\在B_{r}\中），我们有

$$开始{aligned}\bigl\vert（Tx）（t）\bigr\vert\leq&\frac{1}{\Gamma（\alpha+\beta）}\int_{0}^{t}（t-s）^{\alpha+\beta-1}\bigle\vertf\bigl ^{\alpha+\beta-1}\bigl\vert f\bigl（s，x（s）\biger）\bigr\vert\，ds\\&{}+\frac{\lambda\eta}{\Gamma（\alpha）}\int_{0}^{1}（1-s）^{\alpha-1}\bigl\vert x vert\，ds\\&{}+\frac{\lambda\mu\alpha^{\alpha}}{（1+\alpha）^{1+\alpha}（1-\alpha）\Gamma（\alpha+1）}\int_{0}^{1}\bigl\vert x（s）\bigr\vert \，ds+\mu\eta\int_{0}^{1}\bigl\ vert x 0}^{t}（t-s）^{\alpha+\beta-1}\bigl\bigr\vert\bigr）\，ds\\&{}+\frac{\eta}{\Gamma（\alpha+\beta）}\int_{0}^{1}（1-s）^{\alpha+/beta-1}\bigl Gamma（\alpha）}\int_{0}^{1}（1-s）^{\alpha-1}\bigl\vert x（s）\bigr\vert，ds+\frac{\alfa^{\alpha}}{（1+\alpha）^{1+\alpha}（1-\alpha）\Gamma（\alpha+1）\Garma（\beta）}\\&{}\times\int_{0}^{1}（1s）^{\beta-1}\bigl{（1+\alpha）^{1+\alpha}（1-\alpha）\Gamma（\alpha+1）}\int_{0}^{1}\bigl\vert x（s）\bigr\vert，ds+\mu\eta\int_{0}^{1}\bigl\vert x（s）\bigr\vert c{\eta（Lr+Q）}{\Gamma（\alpha+\beta+1）}+\frac{\lambdar\eta}{\Gamma（\ alpha+1）}\\&{}+\frac{\alpha^{\ alpha}（Lr+Q）}{（1+\alpha）^{1+\alpha}（alpha+1）}\\leq&\frac{（1+\eta）（Lr+Q）}{\Gamma（alpha+\beta+1）}+\frac}（1+/eta）\lambda r}{\Gamma（\alpha+1）}+\frac{\alpha^{\ alpha}（Lr+Q）}{（1+\alpha）^{1+\alpha}}$$

这意味着\（\ | Tx \ | \leq r \）也就是说，\（T（B_{r}）\子集B_{r}\）在以下内容中\（E中的x，y\），每个\（在[0,1]\中），我们可以做到

$$开始{对齐}和\bigl\vert（Tx）（t）-（Ty）（t}{\Gamma（\alpha+\beta）}\int_{0}^{1}（1-s）^{\alpha+/beta-1}\bigl\vert f\bigl（s，x（s）\bigr）-f\bigl（s，y（s）\bigr）\bigr\vert\，ds\\&\qquad{}+\frac{\lambda\eta}{\Gamma（\alpha）}\int_{0}^{1}（1-s）^{\alpha-1}\bigl\vert x（s）-y）}\int_{0}^{1}（1-s）^{\beta-1}\bigl\vert f\bigl，ds\\&\qquad{}+\frac{\lambda\mu\alpha^{\alpha}}{（1+\alpha）^{1+\alpha}{\lambda}{\Gamma（\alpha）}\int_{0}^{t}（t-s）^{\alpha-1}\bigl\vert x（s）-y（s）\bigr\vert，ds\\&&quad\leq\frac｛（1+\eta）L\Vert x-y\Vert｝｛\Gamma（\alpha+\beta+1）｝+\frac｛（1+\eta）\lambda \Vert x-y\Vert｝｛\Gamma（\alpha+1）｝+\frac｛\alpha^｛\alpha｝L\Vert x-y\Vert｝｛（1+\alpha）^｛1+\alpha｝\mu\alpha^｛\alpha｝\Vertx-y\Vert｝｛（1+\alpha）^｛1+\alpha｝（1-\alpha）\Gamma（\alpha+1）}+\eta\mu\Vert x-y\Vert=A\Vert x-y\Vert，\end{aligned}$$

这意味着T型是一种收缩。因此，根据巴拿赫不动点定理[30],T型具有唯一的不动点(1)有一个独特的解决方案。

证明已完成。□

定理3.2

假设存在 \（M>0） 和 \（抄送0） 具有 \（\frac{（1+\eta）c}{\Gamma（\alpha+\beta+1）}+\frac}（1+/eta）\lambda}{\Gamma（\ alpha+1）}+\frac[\alpha^{\alpha}c}{（1+\alpha）^{1+\alfa}}（1-\alpha）\Gamma（\alpha+1）}+\eta\mu<1） 这样的话 \（|f（t，x）|\leq c|x|+M\） 对于 \（在[0,1]\中） 和 \（R\中的x\）,然后(1)至少有一个解决方案.

证明

首先我们分析方程解的先验界\（x=σTx）对一些人来说\（[0,1]\中的σ）.

如果\（x=σTx）对一些人来说\（σ[0,1]\）,\（E\中的x\），然后我们得到

$$\begin{aligned}\对于[0,1]中的所有t，\quad\bigl\vert x（t）\bigr\vert=&\bigl\vert\sigma Tx（t，ds\\&{}+\frac{\eta}{\Gamma（\alpha+\beta）}\int_{0}^{1}（1-s）^{\alpha+/beta-1}\bigl\vert f\bigl（s，x（s）\bigr）\biger\vert\，ds\\&{}+\frac{\lambda\eta}{\Gamma（\alpha）}\int_{0}^{1}（1-s）^{\alpha-1}\bigl\ vert x（s \Gamma（\beta）}\int_{0}^{1}（1-s）^{\beta-1}\bigl\vert f\bigl（s，x（s）\bigr）\biger\vert\，ds\\&{}+\frac{\lambda\mu\alpha^{\alpha}}{（1+\alpha）^{1+\alpha}（1-\alpha）\Gamma（\alpha+1 ^{t}（t-s）^{\alpha-1}\bigl\vert x（s）\bigr\vert\，ds\\leq&\frac{（1+\eta）2（c\vert x\vert+M）}{\Gamma（\alpha+\beta+1）}+\frac{（1+\eta）\lambda\Vertx\Vert}{\Garma（\alpha+1 \Vert x\Vert}{（1+\alpha）^{1+\alpha}（1-\alpha）\Gamma（\alpha+1）}+\eta\mu\Vert x \Vert。\结束{对齐}$$

所以

$$开始{对齐}\Vert x\Vert\leq&\frac{（1+\eta）（c\Vert x\Vert+M）}{\Gamma（\alpha+\beta+1）}+\frac}（1+/eta）\lambda\Vert x \Vert}{\Gamma+1）\Gamma（\beta+1）}\\&{}+\frac{\lambda\mu\alpha^{\alpha}\Vert x\Vert}{（1+\alpha）^{1+\alpha}（1-\alpha）\Gamma（\alpha+1）}+\eta\mu\Vert x\Vert。\结束{对齐}$$

这意味着

$$开始{对齐}\Vert x \Vert\leq&\frac{\frac}2M}{\Gamma）\lambda}{\Gamma（\alpha+1）}+\frac{\alpha^{\alha}c}{（1+\alpha）^{1+\alpha}\伽马（\beta+1）}+\frac{\lambda\mu\alpha^{\alpha}}{（1+\alpha）^{1+\alpha}（1-\alpha）\Gamma（\alpha+1）}+\eta\mu）}\\：=&B.结束{对齐}$$

让\（伽马=B+1）.设置\（P_{\gamma}=\{x\在E:\parallel x\parallel<\gamma\}\中），然后\（对于所有x\ in \ partial P_{\gamma}\）,\（\parallel x\parallel=\gamma>B\）现在，我们考虑\（T:\上划线{P_{\gamma}}\右箭头E\）通过以上分析，可以得出以下结论\（x\neq\西格玛Tx\）对于\（对于部分P_{gamma}中的所有x，对于[0,1]\中的所有σ）.

定义运算符\（H_{\sigma}:E\右箭头E\）(\（[0,1]\中的所有\σ\）)，作为\（H_{\sigma}（x）=x-\sigma Tx\）。很容易看出

$$\对于[0,1]中的所有\sigma\，\对于部分P_{\gamma}中的所有x\，\quad H_{\sigma}（x）=x-\sigma-Tx\neq 0$$

根据引理3.2，T型是完全连续的。这就产生了\（[0,1]\中的所有\σ\）,\（H_{\西格玛}\）是一个完全连续的场。

因此，通过Leray–Schauder度的同伦不变性，我们知道

$$\操作员名称｛deg｝（H_｛\sigma｝，P_｛\gamma｝，0）=\操作员名称｛deg｝（H_｛1｝，P_｛\gamma｝，0）=\操作员名称｛deg｝（H_｛0｝，P_｛\gamma｝，0）=\操作员名称｛deg｝（I，P_｛\gamma｝，0）=1\neq 0$$

根据Leray–Schauder度的非零性质\（H_{1}（x）=x-Tx=0\）中至少有一个解决方案\（P_{\gamma}\）这就是问题所在(1)至少有一个解决方案。证明已完成。□