具有双阻尼项的非线性梁方程解的衰减和爆破

摘要

本文研究了具有双阻尼项的非线性梁方程的初边值问题

$$\开始{对齐}u_｛tt｝-u_{xxt}+u_{xxxx}+u_{xxxxt}=g（u_{xx}）_{xx}，\quad x在\Omega中，t>0，\end{aligned}$$

哪里\（欧米茄=（0,1））、和\（克\）是一个给定的非线性函数。利用一种改进的凹性方法，我们得到了问题解爆破的充分条件。此外，利用积分不等式建立了弱解的整体存在性以及解能量的指数衰减率和一致衰减率。

1介绍

本文研究了以下初边值问题：

$$\开始{对齐}（&u）_{tt}-u_{xxt}+u_{xxxx}+u_{xxxxt}=g（u_{xx}）_{xx}，\quad x在\Omega中，t>0，\end{aligned}$$

(1.1)

$$\begin{aligned}&u（0，t）=u（1，t）=0，\qquad{u_{x}（0，t）=u_{x}（1，t）=0}，\quad t\geq0，\end{alinged}$$

(1.2)

$$在H_{0}^{2}（\Omega）中开始{对齐}&u（x，0）=u_{0{（x），在L^{2{（\欧米茄）中结束{对齐{$$

(1.3)

哪里\（u（x，t）\）表示未知函数，\（克\）是一个给定的非线性函数，\（欧米茄=（0,1））,\（u{0}（x）\）和\（u{1}（x）\）给出了满足边界条件的函数(1.2),\（u_{xxxxt}\）表示强材料阻尼，以及\（u{xxt}\）表示内部动态阻尼。

系统(1.1)用内阻尼模拟新胡克弹性体杆的运动，作为一类抽象非线性阻尼双曲方程的模型，在自然科学的许多应用中都出现了，例如非线性纵向位移的单向传播[1]，动态纵向振动[2]非线性阻尼梁的振动[三].

Banks等人建立了一类一般的抽象演化方程。 [1]:

$$\开始｛对齐｝&w_｛tt｝+A_{1} w个+A类_{2} w个_{t} +N^{\ast}g（Nw）=f（t），\end{对齐}$$

(1.4)

$$\begin{aligned}&w（0）=\varphi_{0}，\end{aligned}$$

(1.5)

$$\begin{aligned}&w{t}（0）=\varphi{1}，\end{aligned}$$

(1.6)

哪里\（A）_{2} w个_{t} \）是弹性体内部动态阻尼机制的精确形式，以及\（A_{1}、A_{2}、N\）和（f）满足某些假设（参见[1]). 问题广义解的整体存在性、唯一性、正则性和对初始数据的连续依赖性(1.4)–(1.6)在非线性项的一般条件下得到了证明。此类包含问题(1.1)–(1.3)作为一个特殊的例子。本示例在[1]. 为了获得全球生存[1]使用了Galerkin近似方法和单调性方法（参见[4]). 而且在[三]在非线性的某些假设（局部Lipschitz加仿射控制）下，建立了一类非线性梁方程弱解的存在唯一性。他们的结果削弱了先前理论中严格的单调性假设。在[5]Chen证明了阻尼非线性双曲方程三类不同初边值问题广义整体解和经典整体解的存在唯一性。此外，中给出了解放大的充分条件[5].

2010年，Song等人[6]证明了梁方程整体解的存在性和不存在性

$$\开始{aligned}u{tt}+k_{1} u个_{xxxx}+k_{2} u个_{xxxxt}=g（u{xx}）{xx}\end{aligned}$$

(1.7)

具有初始值条件

$$\begin{aligned}u（x，0）=u_{0}（x），\qquad u_{t}（x，0）=u_{1}（z），\quad x\in\mathbb{R}。\结束{对齐}$$

(1.8)

应用傅里叶变换方法，作者证明了\（T>0），柯西问题(1.7)–(1.8)承认独特的全局平滑解决方案\（u\在C^｛\infty｝（（0，T]；H^｛\infty｝（\mathbb｛R｝））\cap C（（0，T]；H^｛3｝（\mathbb｛R｝））\cap C^｛1｝（（0，T]；H^｛-1｝（\mathbb｛R｝））\中在以下情况下\（g（s）=s^{n}\）最近，Yu等人[7]研究了以下波动方程：

$$\开始{对齐}u_{tt}-k_{1} u个_{xxt}+u_{xxxx}+u{xxxxt}=g（u_{x}）_{x{，\quad x\in\mathbb{R}，t>0，\end{aligned}$$

(1.9)

具有初始值条件(1.8). 他们给出了解在有限时间内爆破的充分条件和一个例子。

在[8]，Chen等人给出了问题解放大的充分条件：

$$\开始{对齐}&u_{tt}+k_{1}\增量^{2} u个+k_{2}\三角形^{2} u个_{t} +\Delta g（\Delta u）=0，\quad x \in\Omega，t>0，\end{aligned}$$

(1.10)

$$\begin{aligned}&u=0，\qquad\frac{\partial u}{\partical\nu}=0，\quad x \in\partial\Omega，t\geq0，\end{alinged}$$

(1.11)

$$\开始{aligned}&u（x，0）=u{0}（x），\qquad u{t}（x，0）=u{1}（z），\quad x\in\bar{\Omega}，\end{aligned}$$

(1.12)

并证明了该问题局部广义解的存在唯一性。此外，Aassila和Guesmia[9]解决了\（\Omega\subset\mathbb{R}^{m}\）后来，他们的结果扩展到了各种问题，以便进行更多的调查和我们参考的不同观点[10——21]以及其中的参考文献。

关于这类非线性梁方程解的适定性和能量衰减，已有许多令人印象深刻的工作(1.1). 然而，据我们所知，许多作者只考虑了由材料阻尼或带有动态阻尼项的非线性发展方程驱动的问题，参见[1——6,8——12]. 关于方程的适定性和能量衰减的研究很少(1.1)同时具有材料阻尼和内部动态阻尼。对于这类方程，柯西问题和初边值问题的整体广义解（或整体弱解）的存在性和不存在性问题仍然是公开的。

本文研究了初边值问题全局弱解的存在性和唯一性(1.1)–(1.3). 然后，我们将重点放在寻找充分条件，使上述问题不存在全局解。我们在一定条件下构造了一个微分不等式。应用的方法是所谓的“凹度方法”[21]. 作为上述结果的应用，给出了一个全局解不存在的例子。我们研究解的爆破的方法也适用于其他非线性发展方程。最后，我们研究了问题解的渐近行为(1.1)–(1.3)通过使用积分不等式。

本文的结构如下。在Sect。 2给出了一些注释和主要结果。在Sect。 三问题整体弱解的存在性(1.1)–(1.3)进行了研究。章节4包含解决方案放大的声明和证明。章节5给出了能量泛函衰减估计的表述和证明。在Sect。 6对各种结果进行了比较。我们还提出了一些开放的重要问题。

2初步工作和主要成果

在本节中，给出了初边值问题的一些符号和主要结果(1.1)–(1.3)已说明。出租\（L^{2}=L^{2]（\Omega）\）和\（H=H_{0}^{2}（\Omega）\）我们有Gelfand三人组\（H\hookrightarrow L^｛2｝\hookrightarrow H^｛\ast｝\）具有\（H^{\ast}=H^{-2}（\Omega）\）.

为了简洁起见，我们使用了以下缩写：

$$\begin{aligned}\Vert\cdot\Vert=\Vert\cdot\Vert_{L^{2}（\Omega）}，\qquad\Vert\cdot \Vert_{H}=\Vert_cdot\Vert_{H_0}^{2{（\欧米茄）}、\qqua1\Vert_cdot \Vert_{H ^{ast}=\Vert\cdot\ Vert_{H^{-2}（\ Omega，}）}。\结束{对齐}$$

阿尔索\（（\ cdot，\ cdot）\）表示\（L^{2}\）-内积，而\（（\cdot，\cdot）_{H^{\ast}，H}\）代表通常的二元乘积。假设(1.1)——(1.3)满足以下假设：

假设2.1

我们假设

$$\begin{aligned}G（\xi）=\int_{0}^{xi}G（\tau）\，d\tau，\quad G（\si）=G'（\xi）\end{alinged}$$

满足以下条件：

• （a） 存在正常数\（C_{i}\）对于\（i=1、2、3）这样的话

  $$\开始{对齐}-C_{2}\vert\xi\vert^{2} -C_{3} \leq G（\xi）\leq\frac{1}{2}（1-\varepsilon）\vert\xi\vert^{2}+C_{1}，\quad\对于所有varepsilen>0。\结束{对齐}$$

• （b） 存在正常数\（\widetilde{C}（C）_{j} \）对于\（j=1,2）这样的话

  $$\开始{aligned}\bigl\vert g（\xi）\bigr\vert\leq\widetilde{C}（C）_{1} \vert\xi\vert+\widetilde{C}（C）_{2}. \结束{对齐}$$

• （c） 克是一个非递减函数，即。，

  $$\begin{aligned}g'（\xi）\geq 0，\quad\forall \xi\in\mathbb{R}。\结束{对齐}$$

定义2.1

我们表示函数空间

$$\begin{aligned}X（T）=\bigl\{w|w\在L^{2}（0，T；H）中，w_{T}\在L_{2}\bigl（0；T；H^{ast}\bigr）中$$

配备标准

$$\开始{aligned}\Vert w\Vert_{X（T）}=\bigl（\Vert w\Vert^{2}_｛L^｛2｝（0，T；H）｝+\垂直w_｛T｝\垂直^{2}_{L^{2}（0，T；H）}+\垂直w_{tt}\垂直^{2}_{L^{2}（0，T；H^{\ast}）}\biger）^{\frac{1}{2}}。\结束{对齐}$$

我们现在定义了问题弱解的概念(1.1)–(1.3).

定义2.2

一个函数\（X（T）中的u）是一个全球薄弱的解决方案(1.1)–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––(1.3)如果它满足每个\（在[0，t]\中）

$$\开始{对齐}和\bigl（u_{tt}（t），v\bigr）_{H^{\ast}，H}-\bigle（u_{t}（t），v_{xx}\biger）+\bigl-（u_xxx}（c），v_{xx}\ bigr xx}\bigr）\end{对齐}$$

为所有人\（H\中的v\）此外，u个还必须满足

$$\在H中开始{aligned}u（x，0）=u_{0}（x），在L^{2}中开始{对齐}u（x，0）=u_{1}（x）。\结束{对齐}$$

对于这个问题(1.1)–(1.3)，我们有以下定理。

定理2.1

假设 \（u_{0}（x）\在H\中）,\（u_｛1｝（x）\在L^｛2｝\中） 和那个假设2.1 持有.然后是问题(1.1)——(1.3)有一个全球薄弱的解决方案 \（X（T）中的u）.

定理2.2

假设 \（g\在C^{2}（\mathbb{R}）中\）,\（u_{0}\在H^{2}（\Omega）中\）,\（u_{1}\在L^{2}（\Omega）中\）,\（G（u_{0xx}）\在L^{1}（\Omega）\中） 存在一个常数 \（伽马>0） 这样的话

$$\begin{aligned}sg（s）\geq2（1+2\gamma）G（s），\quad s\in \mathbb{R}，\end{alinged}$$

(2.1)

哪里 \（G（s）=\int_{0}^{s} 克（\套）\，d\套\）.

然后是解决方案 \（u（x，t）\） 问题的关键(1.1)——(1.3)如果下列条件之一成立，则在有限时间内爆炸:

• (1) \（E（0）<0）;

• (2) \（E（0）=0）,\（2（u{0}，u{1}）>压裂{1}{gamma}（u{0xx}）;

• (3) \（E（0）>0）,\（（u_｛0｝，u_｛1｝）>[E（0）（\|u_｛0｝\|^｛2｝｝+T_｛0｝\|u_｛0x｝\|^｛2｝｝+T_｛0｝\|u_｛0xx｝\|^｛2｝）]^｛\frac｛1｝｛2｝｝）,

哪里 \（E（0）=\|u{1}\|^{2}}+\|u_{0xx}\|^}{2}-2\int_{\Omega}G（u_{x}）\，dx\）.

定理2.3

假设定理的条件2.1 持有.让 \（u（x，t）\在x（t）中\） 是这个问题的全球薄弱解决方案(1.1)——(1.3).我们还假设

• (1) \（G（s）\leq0\）,为所有人 \（s\in\mathbb{R}\）,

• (2) \（sg（s）\leq2G（s）\）,为所有人 \（s\in\mathbb｛R｝\）.

然后

$$\开始{aligned}E_{1}（t）\leqE_{1{（0）E^{1-\frac{t}{3}}，结束{aligned}$$

哪里 \（E_{1}（t）=\|^{2}-2\整数{0}^{1} G公司（u{xx}）\，dx\）.

三解决方案的存在

在本节中，我们建立了问题的存在性结果(1.1)——(1.3)在适当的条件下。我们使用的方法是Galerkin近似，类似于[三]和[4].

定理的证明2.1

让\（{\omega_{j}（x）\}\）是一个基本功能系统H（H）现在我们构造以下近似解\（u{m}（x，t）\）问题的(1.1)–(1.3):

$$\开始{对齐}u{m}（x，t）=\sum{j=1}^{m}\alpha{j}^{m}（t）\omega{j}（x），\quad m=1,2，\ldots，\end{aligned}$$

这满足了

$$\开始{对齐}[b]&\bigl（u_{mtt}（t），\omega_{i}\bigr）-\ bigl t）\bigr），\omega_{ix}\biger），\quad i=1,2，\ldot，m，\end{aligned}$$

（3.1）

具有初始条件

$$\开始{aligned}&u{m}（x，0）=\sum{j=1}^{m} 一个_{j} ^｛m｝\omega_｛j｝（x）\rightarrow u_｛0｝（x）\quad\（目的时间的是而下$$

(3.2)

$$\开始{aligned}&u{mt}（x，0）=\sum{j=1}^{m} b条_{j} ^{m}\omega_{j}（x）\rightarrowu_{1}（x）\quad\text{in}L^{2}\text{as}m\rightarrow+\infty。\结束{对齐}$$

(3.3)

乘法(3.1)由\（\压裂{d}{dt}\字母{i}^{m}（t）\）并进行总结我，我们获得

$$\begon｛aligned｝[b]&\bigl（u_｛mtt｝（t），u_｛mt｝（t）\bigr）-\bigl（u_｛mt｝（t），u_｛mxxt｝（t）\bigr）+\bigl（u_｛mxx｝（t），u_｛mxxt｝（t）\bigr）+\bigl（u_｛mxxt｝（t）\bigr）_｛mxxt｝（t）\bigr）。\结束{对齐}$$

（3.4）

因此，

$$\开始{对齐}[b]&\frac{d}{dt}\bigl[\bigl\Vertu{mt}（t）\bigr\Vert^{2}+\bigl\ Vertu{mxx}（t）\bigr\Vert^{2}\bigr]+2\bigl \Vertu_{mxt}\&\quad=2\bigl（g\bigle（u{mxx}（t）\bigr），u{mxxx}（t）\biger）。\结束{对齐}$$

（3.5）

来自假设2.1和(3.5)，我们有

$$\开始{对齐}[b]&\frac{d}{dt}\biggl[\bigl\Vertu{mt}（t）\bigr\Vert^{2}+\bigl\ Vertu{mxx}（t）\biger\Vert^{2}-2\int_{0}^{1} G公司（u_{xx}）\，dx\biggr]\\&\quad{}+2\bigl\Vert u_{mxt}（t）\bigr\Vert^{2}+2\bigl\Vert-u_{mxxt}。\结束{对齐}$$

(3.6)

利用这个事实，我们得出结论，存在一个正常数C独立于米这样的话

$$开始{对齐}[b]&\bigl\Vert u_{mt}（t）\bigr\Vert^{2}+\varepsilon\bigl\ Vert u_{mxx}垂直u_{mxx\tau}（\tau）\bigr\Vert^{2}\，d\tau\leq C，\quad t\in[0，t]。\结束{对齐}$$

(3.7)

因此，存在极限函数\（u（x，t）\在W^{1，2}（0，t；H）中\）还有一个子序列\（{u{m}），其中作为\（m\rightarrow+\infty\）我们有

$$\begin{aligned}u_{m}\rightarrow u\quad\text{弱位于}W^{1，2}（0，T；H）中。\结束{对齐}$$

来自假设2.1（b） ，我们有

$$\开始{aligned}[b]&\bigl\Vert g（u_{mxx}）\bigr\Vert^{2}_{L^{2}（0，T；L^{2]）}\\&\quad=\int_{0}^{T}\int_}^{1}\bigl\vert g\bigl（u_{mxx}（x，\tau）\bigr \vert^{2{，dx\，d\tau\\quad\leq 2\int_{0}^{T}\int_0}^{1}\bigle（tilde{C}^{2}_{1} \bigl\vert u_{mxx}（x，\tau）\bigr\vert^{2}+\波浪线{C}^{2}_{2} \大）\，dx\，d\tau\\&\quad=2\波浪线{C}^{2}_{1} \int_{0}^{t}\bigl\Vert u_{mxx}（\tau）\bigr\Vert^{2}\，d\tau+2\波浪线{C}^{2}_{2} t吨\\&\quad\leq 2\tilde{C}^{2}_{1} Ct公司+2\波浪线{C}^{2}_{2} t吨\leq 2\bigl（\tilde{C}^{2}_{1} C类+\波浪线{C}^{2}_{2} \bigr）T。\end｛对齐｝$$

(3.8)

因此，存在一个函数\（在L^{2}（0，t；L^{2]）中\波浪线{g}（t）\）为所有人\（在[0，t]\中）这样的话

$$\begin{aligned}g\bigl（u_{mxx}（t）\bigr）\rightarrow\tilde{g}（t）\quad\text{弱位于}L^{2}\bigl-（0，t；L^{2]\biger）中。\结束{对齐}$$

在(3.1)，我们修复我然后让\（m\rightarrow+\infty\）.那么，我们有

$$\开始{对齐}[b]&\bigl（u{tt}（t），\omega{i}\bigr）-\bigl-（u{t}（t），\omega{ixx}\biger）+\bigl（u{xx}（d），\omega{ixxx}\bicr）+\bigl ixx}\bigr）\end{对齐}$$

（3.9）

和

$$\开始{对齐}[b]&\bigl（u_{tt}（t），v\bigr）-\bigle（u_{t}（t），v_{xx}\bigr.）+\bigl.\结束{对齐}$$

(3.10)

具有\（u（x，0）=u{0}（x）\）和\（u{t}（x，0）=u{1}（x）\）.

来自假设2.1（c） ，遵循中的想法[4]，我们可以证明

$$\begin{aligned}g\bigl（u_{xx}（t）\bigr）=\tilde{g}（t）\quad\text{表示[0，t]中的a.e.}t\。\结束{对齐}$$

通过密度，我们得出\（u（x，t）\）是解决问题的一个薄弱环节(1.1)–(1.3).

我们还注意到

$$开始{对齐}[b]v\rightarrow（u_{tt}，v）_{H^{ast}，H}={}&{-}\int_{0}^{t}\bigl（u_\\tau}（\tau），v_{\tau}（\t au）\bigr）\，d\tau\\={}&int_{0}^{t}\bigle（τ）大）\，d\tau-\int_{0}^{t}\bigl（u_{xx}（\tau），v_{xxx}（\t au）\bigr）\，2\tau\\&{}-\int_{0}^{t{大^{t} \bigl（u_{tau}（\tau），v_{xx}（\t au）\bigr），d\tau\end{aligned}$$

(3.11)

在中连续\（\mathcal{D}（0，T；H）\）具有以下拓扑结构\（L^{2}（0，T；H）\）因此通过密度\（L^{2}（0，T；H）\）.所以\（u_{tt}\在L^{2}（0，T；H）^{ast}=L^{2}（O，T；H^{ast）中\）。因为我们已经确定\（u（x，t）\在W^{1，2}（0，t；H）中\），我们有\（u（x，t）\在x（t）中\），我们得到了额外的正则性\C（0，t；H）中的（u（x，t））和\（u_{t}（x，t）\在C（0，t；L^{2}）中\）由[22]. 这就完成了证明。□

4溶液的放大

在本节中，我们将证明问题解决方案放大的事实(1.1)–(1.3). 本文采用的主要方法是基于莱文提出的凹度论证[23,24]. 为了证明我们的主要结果，我们将使用以下引理。

引理4.1

([21])

假设一个积极的,两次-可微函数 \（θ（t）） 满足不等式

$$\开始{对齐}\θ''（t）\θ（t）-（1+\gamma）\theta^{\prime2}（t$$

哪里 \（伽马>0） 和 \（C_{1}，C_{2}\geq0\） 是常量.

• (1) 如果 \（C_{1}=C_{2}=0\）,\（θ（0）>0） 和 \（θ'（0）>0）,那么存在一个 \（t{1}\在（0，frac{theta（0）}{gamma\theta'（0）{]\中） 这样的话 \（θ（t）） 趋于无穷大 \（t\rightarrow t_{1}\）.

• (2) 如果 \（C_{1}+C_{2}>0\）,\（θ（0）>0） 和 \（θ'（0）>-\gamma{2}\gamma^{-1}\theta（0）\）,那么存在一个 \（t{1}>0\） 这样的话 \（θ（t）） 趋于无穷大 \（t\右箭头t_｛1｝\）,哪里 \（t_｛1｝\） 上边界为

  $$开始{对齐}\frac{1}{2\sqrt{C_{1}^{2}+\gamma C_{2}}}\ln\frac}\gamma{1}\theta（0）+\gama\theta'$$

  具有 \（\gamma{1}=-C_{1}+\sqrt{C_1}^{2}+\gammaC_2}}\） 和 \（\gamma_{2}=-C_{1}-\sqrt{C_{1}^{2}+\gamma C_{2}}\）.

定理的证明2.2

假设初边值问题解的最大存在时间(1.1)–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––(1.3)是无限的。能量函数可以定义为

$$开始{对齐}[b]E（t）={}&\bigl\Vert u_{t}{xxt}（\tau）\bigr\Vert^{2}\，d\tau-2\int_{\Omega}G（u_{xx}）\，dx。\结束{对齐}$$

（4.1）

发件人(4.1)和(1.1)，因此

$$\开始{aligned}[b]\frac{d}{dt}电子（t） ={}&\frac{d}{dt}\biggl[\bigl\Vertu{t}（t）\bigr\Vert^{2}+\bigl\ Vertu{xx}_{xxt}（\tau）\bigr\Vert^{2}\，d\tau-2\int_{\Omega}G（u_{xx}）\，dx\biggr]\\={}&2\int_{\ Omeganeneneep \bigl（u_{tt}u_{t} +u个_{xxxx}u_{t} -u个_｛xxt｝u_{t} +u个_{xxxxt}u_{t} -克（u{xx}）_{xx}u_{t} \大）\，dx\\={}&0。\结束{对齐}$$

(4.2)

集成(4.2)从0到t吨导致

$$E（t）=E（0）$$

（4.3）

我们现在定义

$$\begin{aligned}\phi（t）={}&\bigl\Vertu（t）\bigr\Vert^{2}+\int_{0}^{t}\bigl\ Vert u_{x}（\tau）\bigr\Vert^}2\，d\tau+\int_{0}^{t{\bigl Vert u{xx}（\t au）\ bigr\Vert^{2\、d\tau \\&{}+（t_{0}-t)\垂直u_{0x}\垂直^{2}+（T_{0}-t)\垂直u_{0xx}\垂直^{2}+\beta（t+t_{0}）^{2{，\结束{对齐}$$

哪里\（0\leq t\leq t_{0}\）,β和\（t_{0}\）是稍后给出的非负实数。因此，

$$\开始{对齐}[b]\phi'（t）={}&2\int_{\Omega}u（t）u_{t}（t）\，dx+\bigl\Vertu_{x}^{2}-\Vert u_｛0x｝\Vert ^｛2｝\\&｛｝-\Vert u_｛0xx｝\Omega｝u_｛xx｝（\tau）u_｛xxt｝（\tau）\，dx\，d\tau+/。\结束{对齐}$$

(4.4)

发件人(4.4)和(1.1)，我们有

$$\begin{aligned}\phi''（t）=&2\biggl[\bigl\Vert u{t}gr]\\=&2\biggl[\bigl\Vert u_{t}（t）\bigr\Vert^{2}+\int_{\Omega}u（t）\ bigl[u_{tt}（t）-u_{xxt}，dx+\beta\biggr]\\=&2\biggl[\bigl\Vert u_{t}^{2}-\bigl\Vert u_{xx}（t）\bigr\Vert^{2}+\bigl（g（u_{xxx}），u_{xx}\bigr）+\beta\bigr]。\结束{对齐}$$

(4.5)

发件人(4.4)，我们可以写

$$开始{对齐}\phi'（t）^{2}=&4\biggl[\int_{\Omega}u（t）u_{t}（\tau）\，dx\，d\tau\\&{}+\beta（t+t_{0}）\biggr]^{2}\\leq&4\biggl[\bigl\Vert-u（t）\bigr\Vert-u{t}\bigl\Vert u_{x}（\tau）\bigr\Vert^{2}\，d\tau\biggr）^{\frac{1}{2}}\biggl（\int_{0}^{t}\bigl\ Vert u{xt}\bigl\Vert u_{xx}（\tau）\bigr\Vert^{2}\，d\tau\biggr}+\sqrt{beta}\sqrt{beta}（t+t_{0}）\biggr]^{2}\\leq&4\phi（t）\bigl[\bigl\Vertu{t}（t}（\tau）\bigr\Vert^{2}\，d\tau+\beta\biggr]。\结束{对齐}$$

(4.6)

现在，从(4.4)–(4.6)，我们获得

$$\开始{aligned}[b]&\phi''（t）\phi（t）-（1+\gamma）\phi'（t）^{2}\\&\quad=2\phi^{2}-\bigl\Vert u_{xx}（t）\bigr\Vert^{2}+\int_{Omega}g\bigl^{2}-\bigl\Vert u_{xx}（t）\bigr\Vert^{2}+\int_{Omega}g\bigl \bigr\Vert^{2}\，d\tau+\int_{0}^{t}\bigl\Vert u_{xxt}（\tau）\bigr\ Vert^}\，2\tau+/beta\biggr）\biggr]\\&\quad\geq2\phi（t）\psi（t），\结束{对齐}$$

（4.7）

哪里

$$\开始{对齐}[b]\psi（t）={}&{-}\bigl\Vert u_{xx}（t）\bigr\Vert^{2}+\int_{\Omega}g\bigl（u_{xxx}（t）\biger）u_xxx}\gamma）\int_{0}^{t}\bigl（\bigl\Vert u_{xt}（\tau）\bigr\Vert^{2}+\bigl\ Vert u_2}（\t au）\ bigr\Vert^{2\bigr）\，d\tau。\结束{对齐}$$

(4.8)

发件人(4.8)和(1.1)，我们推断

$$\开始{aligned}\psi'（t）={}&{-}2\int_｛\Omega｝u_｛xx｝（t）u_｛xxt｝（t）\，dx+\frac｛d｝｛dt｝\int_｛\Omega｝g\bigl（u_｛xx｝（t）\bigr）u_｛xx｝（t）\，dx\\&｛｝-2（2\gamma+1）\int_｛\Omega｝u_｛t｝（t）u_｛tt｝（t）\，dx-2（1+\gamma）\bigl（\bigl\Vert u_｛xt｝（t）\bigr\Vert^｛2｝+\bigl\Vert u_｛xxt｝（t）\bigr\Vert ^｛2｝\bigr）\\=｛｝&{-}2\int_{\Omega}u_{xx}（t）u_{xxx}xxxxt}（t）+g\bigl&{-}2\int_{\Omega}u_{xx}（t）u_{xxx}_{xt}（t）\bigr\Vert^{2}+\bigl\Vert u_{xxt}\int_{\Omega}g\bigl（u_{xx}（t）\biger}（t）\bigr\Vert^{2}+2\gamma\bigl\Vert u_{xt}。\结束{对齐}$$

（4.9）

正在集成(4.9)从0到t吨并利用这个假设(2.1),

$$\开始{对齐}[b]\psi（t）\geq{}&\psi（0）-\int_{\Omega}g（u_{0xx}）u_{x}\，dx+\int_}\Omega}g\bigl+2（1+2\gamma）\int_{\Omega}g（u_{0xx}）\，dx\\&{}+2\gama\bigl\Vert u_{xx}（t）\bigr\Vert^{2}-2\gamma\Vert u_{0xx}\Vert^{2}\\geq{}&\psi（0）-\int_{Omega}g（u_{xx}）u_{0xx}\，dx+2（1+2\gamma）\int_}\Omega{g（u_}0xx}_{0xx}\垂直^{2}+\垂直u_{1}\垂直^{2}-2\int_{\Omega}G（u_{0xx}）\，dx+\beta\biggr）\\geq{}&{-}（1+2\gamma）\bigl（E（0）+\beta \bigr）。\结束{对齐}$$

(4.10)

将此不等式与(4.7)，我们获得

$$\begin{aligned}\phi''（t）\phi（t）-（1+\gamma）\phi'（t）^{2}\geq-2（1+2\gamma）\ bigl（E（0）+\beta\bigr）\ phi（t）。\结束{对齐}$$

(4.11)

我们考虑了初始能量符号的三种不同情况\（E（0）\）:

$(1)$如果\（E（0）<0\），我们选择\（β=-E（0）），然后(4.11)成为

$$\开始{aligned}\phi''（t）\phi（t）-（1+\gamma）\phi'（t）^{2}\geq0。\结束{对齐}$$

(4.12)

如果我们选择\（T_{0}\）和\（t_{0}\）这样的话\（\frac{\phi（0）}{\gamma\phi'（0）{\leqT_{0}\），通过考虑假设（1），引理4.1意味着\（φ（t））趋于无穷大

$$开始{对齐}t\rightarrow t_{1}\leq\frac{\phi（0）}{\gamma\phi'（0）{=\frac{\Vertu_{0}\Vert^{2}+t_{0}\垂直u_{0x}\Vert_{2}+t_{0}\垂直^{2} -E类（0）t_{0}^{2}}{\gamma[\int_{\Omega}2u{0}（x）u{1}（x）\，dx-E（0）t_{0}]}。\结束{对齐}$$

这与解的最大存在时间是无限的这一事实相矛盾。因此，我们可以得出以下结论：(1.1)–(1.3)在有限的时间内爆炸。

为了完成证明，我们需要确定\（T_{0}\）和\（t_{0}\）为正常数。我们选择\（t_{0}\）足够大以至于

$$\开始{aligned}2（u_{0}，u_{1}）-E（0）t_{0}-\压裂{1}{\gamma}\bigl（\Vertu{0xx}\Vert^{2}+\Vertu_{0x}\Vert_{2}\bigr）>0。\结束{对齐}$$

此外，\（\frac{\phi（0）}{\gamma\phi'（0）{\leqT_{0}\）当且仅当

$$\开始{aligned}\frac{\Vertu_{0}\Vert^{2} -E类（0）t_{0}^{2}}{\gamma[\int_{\Omega}2u_{0}（x）u_{1}（x）\，dx-E（0）t_{0}]-\垂直u_{0xx}\垂直^{2}-\垂直u_{0x}\垂直^{2}}\leq T_{0}。\结束{对齐}$$

显然，\（T_{0}\）和\（t_{0}\）为正常数。

$(2)$如果\（E（0）=0），我们选择\（β=0\）和\（T_{0}\）这样的话

$$\开始{aligned}\frac{\Vertu{0}\Vert^{2}{2\gamma[\int_{\Omega}u{0}（x）u{1}（x）\，dx]-\Vertu_{0xx}\Vert^{2}-\垂直u_{0x}\垂直^{2}}\leq T_{0}。\结束{对齐}$$

然后(4.11)成为

$$\开始{aligned}\phi''（t）\phi（t）-（1+\gamma）\phi'（t）^{2}\geq0。\结束{对齐}$$

(4.13)

通过考虑假设（2），引理4.1意味着\（φ（t））趋于无穷大

$$开始{对齐}t\rightarrow t_{2}\leq\frac{\Vert u_{0}\Vert^{2}+t_{0}\ Vert u_{0x}\Vert ^{2{+t_{0}\Vert-u_{0xx}\Vert_{2{2}{2\gamma\int_{\Omega}u_{0}（x）u_{1}（x）\，dx}。\结束{对齐}$$

这与解的最大存在时间是无限的这一事实相矛盾。因此，我们可以得出以下结论：(1.1)–(1.3)在有限的时间内爆炸。

$(3)$如果\（E（0）>0），我们选择\（β=0），然后(4.11)成为

$$\begin｛aligned｝\phi‘'（t）\phi（t）-（1+\gamma）\phi‘（t）^｛2｝\geq-2（1+2\gamma）E（0）\phi（t）。\结束{对齐}$$

(4.14)

我们现在定义辅助函数\（J（t）\）如下：

$$\begin{aligned}J（t）=\phi^{-\gamma}（t）。\结束{对齐}$$

(4.15)

现在我们计算

$$\begin{aligned}J’（t）=-\gamma\phi^{-\gamma-1}（t）\phi'（t）。\结束{对齐}$$

(4.16)

和

$$\开始{对齐}[b]J''（t）&=\gamma（\gamma+1）\phi^{-\gamma-2}（t）\phi'（t）^{2}-\伽马\phi^{-\gamma-1}（t）\phi'（t）\\&=-\gama\phi^}{-\gamma-2}（t）\bigl[\phi''（t。\结束{对齐}$$

(4.17)

通过考虑假设（3），我们推断

$$\begin{aligned}J’（0）=-\gamma\phi^{-\gamma-1}（0）\phi'（0）<0。\结束{对齐}$$

现在让我们

$$\begin{aligned}t^{\ast}=\sup\bigl\{\tau|J'（\tau）<0，\tau\in[0，t）\bigr\}.\end{alinged}$$

由于\（J’（t）\）,\（t^{\ast}\）是正数，所以乘法(4.17)由\（2J'（t）\），我们获得

$$开始{对齐}[b]\压裂{d}{dt}\bigl[J'（t）\bigr]^{2}&\geq4\gamma^{2} E类（0）\frac{d}{dt}\bigl[\phi^{-2\gamma-1}（t）\bigr]，\quad\对于\bigl[0，t^{ast}\bigr中的所有t）.\end{aligned}$$

(4.18)

集成(4.18)超过\（[0，t）\），我们获得

$$\开始{对齐}[b]J'（t）^{2}&\geqJ'（0）^{2]+4\gamma^{2} E类（0）φ{-2\gamma-1}（t）-4\gamma^{2} E类（0）φ{-2\gamma-1}（0）\\&\geq J’（0）^{2}-4\伽马射线^{2} E类（0）\phi^{-2\gamma-1}（0）。\结束{对齐}$$

（4.19）

根据假设（3），我们得到

$$\开始{对齐}J'（0）^{2}-4\伽马射线^{2} E类（0）\phi^{-2\gamma-1}（0）>0。\结束{对齐}$$

因此，利用\（J’（t）\），我们获得

$$\开始{对齐}J'（t）\leq-\bigl[J'（0）^{2}-4\伽马射线^{2} E类（0）\phi^{-2\gamma-1}（0）\大]^{\frac{1}{2}}，\quad\forall t\in \bigl[0，t^{\ast}\bigr）.\end{aligned}$$

(4.20)

正在集成(4.20)从0到t吨导致

$$\开始{对齐}J（t）\leq J（0）-\bigl[J'（0）^{2}-4\伽马射线^{2} 电子（0）φ{-2\gamma-1}（0）\bigr]^{\frac{1}{2}}t，对于所有t>0。\结束{对齐}$$

(4.21)

我们选择\（T_{0}\）这样的话

$$\开始{aligned}\frac{J（0）}{[J'（0）^{2}-4\伽马射线^{2} E类（0）\phi^{-2\gamma-1}（0）]^{\frac{1}{2}}}\leqT_{0}。\结束{对齐}$$

那么存在一个有限正数\（t{3}\）这样的话\（J（t_{3}）=0）和\（0<t{3}\leqT^{ast}=frac{J（0）}{[J'（0）^{2}-4\伽马射线^{2} E类（0）\phi^{-2\gamma-1}（0）]^{\frac{1}{2}}\）因此，\（\phi（t）\rightarrow\infty\）作为\（t\右箭头t_｛3｝\）这与解的最大存在时间是无限的这一事实相矛盾。证明了该定理。□

示例4.1

对于初边值问题(1.1)–(1.3)，我们采用特定功能\（克\）,\（u{0}（x）\）和\（u{1}（x）\）满足定理的条件2.2。我们首先讨论：

• （i） 这个案子\（E（0）<0）.为此，我们采取\（u{0}（x）=\sin^{2}\pix\）,\（u{1}（x）=1\）和\（g（s）=-s\）显然，\（u_{0}（x）\在H^{2}（0，1）\中）,\（u_{1}（x）\在L^{2}（0，1）\中）,\（g（0）=0）,\（G（u_｛0xx｝）\在L^｛1｝（0，1）\中）,\（sg（s）=-s^{2}\）和\（2（1+2伽马）G（s）=-\压裂{2（1x2\伽马）}{2} 秒^{2}\)因此，当\（伽马=1）,\（g（s）\）满足假设(2.1)定理的2.2经过简单计算，我们得出\（\|u{1}\|^{2}=1\）,\（\|u_{0x}\|^{2}=\frac{\pi_{2}}{2}，\|u{0xx}\|^}2}=2\pi^{2{）,\（\int_{0}^{1} G公司（u_{0xx}）\，dx=\pi^{4}\）和

  $$\开始{对齐}E（0）=\Vertu{1}\Vert^{2}}+\Vertu_{0xx}\Vert_{2}-2\int_{\Omega}G（u_{0xx}）\，dx=1+2\pi^{2}-2\π^｛4｝。\结束{对齐}$$

  (4.22)

  因此，我们从(4.22)那个\（E（0）<0）。我们选择\（t{0}=10\）因此

  $$\开始{aligned}2（u_{0}，u_{1}）-E（0）t_{0}-\压裂{1}{\gamma}\bigl（\Vertu_{0xx}\Vert^{2}+\Vertu_2}\Vert_{2}\bigr）=1+20\pi^{4}-\压裂{21}{2}\pi^{2}-10>0.\结束{对齐}$$

  然后是定理的条件2.2都很满意。因此存在一个\（t{1}\leq\frac{\phi（0）}{\gamma\phi'（0）{）这样的话\（\phi（t）\rightarrow\infty\）作为\（向右箭头t_{1}^{-}\）.

• （ii） 这个案子\（E（0）=0）.我们接受\（u_｛0｝（x）=\sin^｛2｝\pi x\）,\（u{1}（x）=k{1}\）和\（g（s）=k_{2} 秒\).然后\（u_{0}（x）\在H^{2}（0，1）\中）,\（u_{1}（x）\在L^{2}（0，1）\中）,\（G（u_｛0xx｝）\在L^｛1｝（0，1）\中）、和，何时\（伽马=1）,\（克\）满足假设(2.1)定理的2.2从上述关系中我们得出\（\|u{1}\|^{2}=k{1}^{2{）,\（\|u_{0x}\|^{2}=\frac{\pi_{2}}{2}，\|u{0xx}\|^}2}=2\pi^{2{）,\（\int_{0}^{1} G公司（u{0xx}）\，dx=k{2}\pi^{4}\）以及，当\（k{1}=50\）和\（k{2}=\frac{1250+\pi^{2}}{\pi^}4}}\）,

  $$\开始{对齐}E（0）=\Vertu{1}\Vert^{2}}+\Vertu_{0xx}\Vert_{2}-2\int_{\Omega}G（u_{0xx.}）\，dx=k_{1}^{2{+2\pi^{2} -2千_{2} \pi^{4}=0\结束{对齐}$$

  (4.23)

  和

  $$开始{aligned}2（u_{0}，u_{1}）-\frac{1}{\gamma}\bigl。\结束{对齐}$$

  (4.24)

  然后是定理的条件2.2都很满意。因此存在一个\（t{2}\leq\frac{\phi（0）}{\gamma\phi'（0）{）这样的话\（\phi（t）\rightarrow\infty\）作为\（向右箭头t{2}^{-}\）.

• （iii） 这个案子\（E（0）>0）.现在我们采取\（u{0}（x）=\sin^{2}\pix\）,\（u{1}（x）=100\）和\（g（s）=k_{3} 秒\).何时\（伽马=\压裂{1}{4}\）,\（克\）满足假设(2.1)定理的2.2.然后\（\|u_{0}\|^{2}=\frac{1}{2}，\|u{1}\|^}2}=10^{4}\）,\（\|u_｛0x｝\|^｛2｝=\frac｛\pi^｛2｝｝｛2｝，\|u_｛0xx｝\|^｛2｝=2\pi^｛2｝\）,\（\int_｛0｝^{1} G公司（u{0xx}）\，dx=k{3}\pi^{4}\），我们选择\（k{3}=51\）因此

  $$\开始{对齐}E（0）=\Vertu{1}\Vert^{2}}+\Vertu_{0xx}\Vert_{2}-2\int_{\Omega}G（u_{0xx}）\，dx=10^{4}+2\pi^{2} -2千_{3} \pi^{4}>0。\结束{对齐}$$

  (4.25)

  拿\（T_{0}=\压裂{1}{10}\）给予

  $$\begin｛aligned｝（u_｛0｝，u_｛1｝）>\biggl[E（0）\biggl（\Vert u_｛0｝\Vert ^｛｛2｝｝+\frac｛1｝｛10｝\Vert u_｛0x｝\Vert ^｛2｝｝+\Vert u_｛0xx｝\Vert ^｛2｝}\biggr）\biggr]^｛\frac｛1｝｛2｝｝｝｝。\结束{对齐}$$

  然后是定理的条件2.2都很满意。因此存在有限正数\（t{3}\）这样的话\（J（t_{3}）=0）和\（0<t{3}\leqT^{ast}=frac{J（0）}{[J'（0）^{2}-4\伽马射线^{2} E类（0）\phi^{-2\gamma-1}（0）]^{\frac{1}{2}}\）因此，\（\phi（t）\rightarrow\infty\）作为\（t\rightarrow t_{3}\）.

5解的能量衰减估计

在本节中，我们研究问题解决方案的能量衰减估计(1.1)–(1.3). 为了证明我们的结果，我们需要以下基本引理，可以在[25].

引理5.1

([25])

让 \（F:\mathbb{R}^{+}\rightarrow\mathbb{R}^{+{）(\（\mathbb{R}^{+}=[0，\infty）\）)成为非-递增函数并假设存在一个常数 \（M>0） 这样的话

$$\begin{aligned}\int_{t}^{infty}F（s）\，ds\leq MF（t），\quad \ for all t\in\mathbb{R}^{+}。\结束{对齐}$$

（5.1）

然后

$$\开始{对齐}F（t）\leq F（0）e^{1-\frac{t}{M}}，\quad\表示所有t\geq0。\结束{对齐}$$

(5.2)

定理的证明2.3

让能量

$$\开始{对齐}E_{1}（t）={}&\bigl\Vert u_{t}（t）\bigr\Vert^{2}+\bigl\ Vert u_{xx}（d）\biger\Vert^{2}-2\int_{0}^{1} G公司（u_{xx}）\，dx\\={}&2\int_{0}^{t}\bigl^{1} G公司（u_{0xx}）\，dx\\={}&2\int_{0}^{t}\bigl（-\bigl\Vert u_{xt}（\tau）\bigr\Vert^{2}-\bigl\Vert u_{xxt}（\tau）\bigr\Vert^{2}\bigr）\，d\tau+\Vert u{1}\Vert_{2}+\Vertu_0xx}\Vert ^{2{\\&{}-2\int_{0}^{1} 克（u{0xx}）\，dx\结束{对齐}$$

任何问题的全球解决方案(1.1)–(1.3). 一个简单的计算给出了

$$\开始{对齐}[b]E_{1}（S）-E{1}（T）={}&{-}2\int_{0}^{S}\bigl\Vert u_{xt}}}^{t}\bigl\Vertu{{xxt}}（t）\bigr\Vert^{2}\，dt\\={}&2\int_{S}^{t}\bigle\Vertu}}所有0\leq S\leq T的\bigr\Vert^{2}\，dt，\quad\。\结束{对齐}$$

(5.3)

发件人(5.3)和假设（1），可以得出能量\（E_{1}（t）\）无增加且\（E_{1}（t）\geq0\）.将的两边相乘(1.1)由\（u（x，t）\），集成超过\（（S，T）\次\欧米茄\），并应用分部积分，我们得到

$$\开始{对齐}[b]&\int_{S}^{T}\int_}0}^{1} -u个_{t} ^｛2｝+u_｛xx｝^｛2｝\，dx\，dt\\&&\ quad=-\biggl[\int_｛0｝^{1} 你_{t} \，dx\大gr]_{S}^{T}（T）-\裂缝{1}{2}\biggl[\int_{0}^{1} u个_{x} ^{2}\，dx\biggr]_{S}^｛T｝-\裂缝{1}{2}\biggl[\int_{0}^{1} u个_{xx}^{2}\，dx\biggr]_{S}^{T}\\&\qquad{}+\int_{S{{T}\int_}0}^{1} 克（u_{xx}）u_{xxx}\，dx\，dt，quad\对于所有0\leq S<T<infty。\结束{对齐}$$

(5.4)

正在添加\（2\int_{S}^{T}\int_{0}^{1}（u_{T}^{2} -G（u{xx}）\，dx\，dt\）到的两侧(5.4)，我们获得

$$\开始｛对齐｝[b]\int_｛S｝^{T} E类_{1} （t），dt={}&\int_{S}^{t}\int_}0}^{1} 2个_{t} ^{2}\，dx\，dt-\biggl[\int_{0}^{1} 你_{t} \，dx\biggr]_{S}^{t}\\&{}-\frac{1}{2}\biggl[\int_{0}^{1} u个_{x} ^{2}\，dx\biggr]_{S}^{T}（T）-\裂缝{1}{2}\biggl[\int_{0}^{1} u个_{xx}^{2}\，dx\biggr]_{S}^{T}\\&{}+\int_{S{T}\int_0}^{1}\bigl[g（u_{xx}）u_{xx}-2G（u{xx}）\bigr]\，dx\，dt。\结束{对齐}$$

（5.5）

发件人(5.5)和假设（2），我们推断

$$\开始{aligned}\int_{S}^{T} E类_{1} （t）\，dt\leq{}&\int_{S}^{t}\int_}0}^{1} 2个_{t} ^｛2｝\，dx\，dt-\biggl[\int_｛0｝^{1} 你_{t} \，dx\biggr]_{S}^{t}-\frac{1}{2}\biggl[\int_{0}^{1} u个_{x} ^{2}\，dx\biggr]_{S}^{T}（T）-\裂缝{1}{2}\biggl[\int_{0}^{1} u个_{xx}^{2}\，dx\biggr]_{S}^{T}\\={}&\int_{S{T}\int_}0}^{1} 2个_{t} ^｛2｝\，dx\，dt+\biggl[\int_｛0｝^{1} 你_{t} \，dx\biggr]_{t}^{S}+\frac{1}{2}\biggl[\int_{0}^{1} u个_{x} ^{2}\，dx\biggr]_{T}^{S}+\frac{1}{2}\biggl[\int_{0}^{1} u个_{xx}^{2}\，dx\biggr]_{T}^{S}\\={}&\int_{S}^{T}\int_}0}^{1} 2个_{t} ^{2}\，dx\，dt+\biggl（\int_{0}^{1} 你_{t} \，dx\biggr）（S）+\frac{1}{2}\biggl（\int_{0}^{1} u个_{x} ^{2}\，dx\biggr）（S）\\&{}+\frac{1}{2}\biggl（\int_{0}^{1} u个_{xx}^{2}\，dx\biggr）（S）\\&{}-\biggl（\int_{0}^{1} 你_{t} \，dx\biggr）（t）-\frac{1}{2}\biggl（\int_{0}^{1} u个_{x} ^{2}\，dx\biggr）（T）-\frac{1}{2}\biggl（\int_{0}^{1} u个_{xx}^{2}\，dx\biggr）（T）\\leq{}&\int_{S}^{T}\int_}0}^{1} 2个_{t} ^{2}\，dx\，dt+\biggl（\int_{0}^{1} 你_{t} \，dx\biggr）（S）+\frac{1}{2}\biggl（\int_{0}^{1} u个_{x} ^{2}\，dx\biggr）（S）\\&{}+\frac{1}{2}\biggl（\int_{0}^{1} u个_｛xx｝^｛2｝\，dx\biggr）（S）-\biggl（\int_｛0｝^{1} 你_{t} \，dx\biggr）（t）。\结束{对齐}$$

(5.6)

利用\（E_{1}（t）\）和Poincaré不等式，我们得到

$$\开始｛对齐｝2\int_｛S｝^｛T｝\int_｛0｝^{1} u个_{t} ^{2}\，dx\，dt\leq2\int_{S}^{t}\int_{0}^{1} u个_{xt}^{2}\，dx\，dt\leqE_{1}（S）-E_1}（T）\leq_E_1}。\结束{对齐}$$

(5.7)

利用Poincaré不等式和分部积分，我们可以看到

$$\开始{aligned}[b]\int_{0}^{1} 单位^{2} （x，t）\，dx&\leq\int_{0}^{1} u个_{x} ^{2}（x，t）\，dx=-\int_{0}^{1} 单位（x，t）u_｛xx｝（x，t）｛\，dx｝｝\\&&\leq\frac｛1｝｛2｝\int_｛0｝^{1} 单位^{2} （x，t）+u^{2}_{xx}（x，t）\，dx。\结束{对齐}$$

(5.8)

因此，

$$\开始{aligned}\int_{0}^{1} 单位^{2} （x，t）\，dx\leq\int_{0}^{1} 单位^{2}_{xx}（x，t）\，dx。\结束{对齐}$$

(5.9)

使用柯西不等式和(5.9)，我们有

$$\开始{aligned}&\biggl\vert\int_{0}^{1} 你_{t} {2} E类_{1} （t），\结束{对齐}$$

(5.10)

$$\开始{aligned}&\frac{1}{2}\int_{0}^{1} u个_{x} ^{2}\，dx\leq\frac{1}{2}\int_{0}^{1} u个_{xx}^{2}\，dx\leq\frac{1}{2} 电子_{1} （t）。\结束{对齐}$$

(5.11)

现在，从(5.7)–(5.11)，因此

$$\开始{aligned}\int_{S}^{T} E类_{1} （t），dt\leq 3E_{1}（S），\quad 0\leq S<t<infty。\结束{对齐}$$

(5.12)

出租\（向右箭头\输入\），我们根据(5.12)那个

$$\开始{aligned}\int_{S}^{infty}E_{1}（t）\，dt\leq 3E_{1{（S），\quad\对于所有S\geq 0，\end{aligned}$$

现在由引理得出结论5.1那个

$$\开始{aligned}E_{1}（t）\leqE_{1{（0）E^{1-\frac{t}{3}}，\quad\表示所有S\geq0。\结束{对齐}$$

这就完成了证明。□

6讨论和结论

6.1讨论

定理2.3使用定理的条件2.1也就是说，它在假设下成立2.1和假设

$$\开始{aligned}sg（s）\leq2G（s）\ leq 0\quad\text{forall}s\in\mathbb{R}。\结束{对齐}$$

问题(1.1)–(1.3)承认空间中的全局弱解决方案\（X（T）\）解以指数速率衰减。同时，定理2.2需要能量标识\（E（t）=E（0）\）和假设

$$\开始{aligned}sg（s）\geq2（1+2\gamma）G（s），\quad s\in\mathbb{R}。\结束{对齐}$$

然后是问题(1.1)–(1.3)在空间上没有全局解决方案

$$C\bigl（[0，T]；H^{2}（0，1）\bigr）\cap C^{1}\bigl（[0、T]；L^{2{（0、1）\bigr$$

因此定理的结论2.3和2.2兼容。在本文中，我们只考虑一维空间中的问题，但研究方程(1.1)具有高维空间和其他函数空间中柯西问题或初边值问题的全局解。这个问题很有趣，而且仍然是开放的。

6.2结论

本文的目的是研究具有双阻尼项的非线性梁方程初边值问题整体弱解的存在性和不存在性

$$\开始{对齐}u_｛tt｝-u_{xxt}+u_{xxxx}+u_{xxxxt}=g（u_{xx}）_{xx}，\quad x在\Omega中，t>0，\end{aligned}$$

哪里\（克\）是一个给定的非线性函数。什么时候？\（u_{0}\在H中，u_{1}\在L^{2}\中）和假设2.1保留，对于任何\（T>0），问题(1.1)——(1.3)承认一个独特的全球弱势解决方案\（X（T）中的u）利用微分不等式技术给出了整体解的能量泛函的衰减估计。此外，当\（u_{0}\在H^{2}（\Omega）中\）,\（u_{1}\在L^{2}（\Omega）中\）,\（G（u_{0x}）\在L^{1}（\Omega）\中）满足一定条件，问题的解决方案(1.1)–(1.3)在有限的时间内爆炸。