考虑二维\（（2D）\）水性CNT在移动的水平厚度的细针上的流动一.细针表面保持恒温\（T_{w}\）.移动细针和边界层外流体的速度表示为\（u{w}\）和\（u{\infty}\），并假定为常量。我们还假设纳米流体的热物理性质是恒定的。此外，在能量方程中加入了非线性热辐射和粘性耗散项。轴向坐标x̄圆柱坐标与移动的细针平行，而径向坐标r̄垂直于流动方向，如图所示1.
通过采用通常边界层近似值旁边提到的假设，控制流方程可以写成
$$\开始{aligned}和\frac{\partial}{\parial\bar{x}}（\bar{r}\bar{u}）+\frac}\partial/bar{r{}}$$
(1)
$$开始{aligned}和\bar{u}\frac{\partial\bar{u}}{\parial\bar{x}}+\bar{v}\frac{\parlial\bar}}{\ partial\ bar{r}}=\frac}\mu{nf}}{\rho{nf}\bar{r \partial\bar{r}}\biggr），\end{aligned}$$
(2)
$$开始{对齐}和\bar{u}\frac{\partial\bar{T}}{\parial\bar{x}}+\bar{v}\frac{\parlial\bar}}{\ partial\ bar{r}}=\frac{k{nf}}{（\rhoc_{p}）_{nf}{r}\frac-{partial}{\frac}{r{\partic}{\bar{r{}}}\biggl（\bar{r}\fra c{\partial\bar{T}}{\parial\bar{r}}\biggr）+\frac{16\sigma{SB}}{3a{r}（\rho c_{p}）{nf}}\biggl（\bar{T}^{3}\frac｛\part ^｛2｝\bar｛T｝｝｛nf｝｝｛（\rho c｛p｝）_｛nf｝｝\biggl（\frac｛的}\biggr）^{2}。\结束{对齐}$$
(3)
受影响的边界条件为
$$\开始{aligned}&\bar{u}\bigl（\bar{x}，\bar{r}=r（\bar}x}）\bigr）=\bar{u}_{w} ，\qquad\bar{T}\bigl（\bar{x}，\bar{r}=r（\bar}x}）\bigr）=\bar{T}（T）_{w} ，\qquad\bar{v}\bigl（x，\bar{r}=r（\bar{x}）\bigr）=0，\end{aligned}$$
(4)
$$\开始{aligned}&\bar{u}\to\bar{u}_{\infty}，\qquad\bar{T}\to\bar{T}（T）_{\infty}\quad\text{as}\bar{r}\to\infty，\end{aligned}$$
(5)
哪里ū和v̄是递增方向的速度分量x̄和r̄分别为，\（R（x）\）显示细针表面的形状，T̄是纳米流体的尺寸温度，\（\mu_{nf}\）,\（\rho_{nf}\）,\（（\ rho c _｛p｝）_｛nf｝\）、和\（k{nf}\）表示纳米流体的有效动态粘度、密度、有效热电容和有效导热系数，定义如下：
$$\begin{aligned}&\mu_{nf}=\frac{\mu__{bf}}{（1-\phi）^{2.5}}，\qquad（\rhoc_{p}）{nf}=（\rho c_{p{}）_{bf}（1-\ phi）+（\rho-c_{p}）\{CNT}}\phi，\end{alinged}$$
(6)
$$开始{对齐}&（\rho）{nf}=\rho{bf}（1-\phi）+\rho_{CNT}}\phi，\qquad k_{nf}=压裂{（1-\ phi）+2\phi（压裂{k_{CNT}}{k_CNT}-k_{bf{}）-\phi）+2\phi（\frac{k{bf}}{k{CNT}-k{bf}}）\ln。\结束{对齐}$$
(7)
介绍变量
$$\xi=\frac{\bar{U}\bar{r}^{2}}{\nu_{bf}\bar}x}}，\qquad\psi=\nu_{bf}\bar{x} 克（\xi），\qquad\theta=\frac{\bar{T}-\bar{T}（T）_{\infty}}{\bar{T}（T）_{w} -\bar（巴）{T}（T）_{\infty}}$$
(8)
哪里ψ表示定义的流函数，以便\（\bar{u}=\frac{1}{\bar{r}}\frac}\partial\psi}{\partial \bar{r}}\）和\（\bar{v}=-\frac{1}{\bar{r}}\frac}\partial\psi}{\partial \bar{x}}\）,\（g（\xi）\）表示无量纲流函数，ξ是相似性变量，θ表示无量纲温度分布，下标核燃料和高炉分别表示纳米流体和基础流体，\（\bar{U}=\bar{U}_{w}+\bar{u}_{\infty}（0）表示复合速度。通过设置\（\xi=a\）在等式中(8)我们得到\（R（\bar{x}）=（\frac{a\nu_{bf}\bar{x}}{\bar{U}}）.
方程式(1)等式同样满足(8)，而公式(2)–(5)产量
$$\begin{aligned}和2\bigl（\xi g“”+g“”\bigr）+（1-\phi）^{2.5}\biggl（1-\ph+\phi\frac{\rho_{CNT}}}}{\rho{bf}}}}\bigbr）gg“”=0，\end{alinged}$$
(9)
(10)
$$\begin{aligned}&g（a）=\frac{a}{2}\varepsilon，\qquad g'（a）=\frac{\varepsilon}{2{，\quad g`（\xi\to\infty）\ to \frac{1-\varepsiolon}{2]。\结束{对齐}$$
(11)
在这里ε表示速比参数，Ec公司是埃克特数，\（\theta{r}\）是加热参数，Pr是普朗特尔数，ϕ是纳米颗粒的固体体积分数，以及\（N_{r}\）是辐射参数。这些物理参数定义为
$$\开始{aligned}&\varepsilon=\frac{\bar{u}_{w} }{\bar{U}}，\qquad Ec=\frac{\bar}^{2}}{（c{p}）_{bf}（\bar{T}（T）_{w} -\bar{T}（T）_{\infty}）}，\qquad\theta{r}=\frac{\bar{T}（T）_{w} }{\bar{T}（T）_{\infty}}，\\&\Pr=\frac{\nu_{bf}}{k_{bf2}}（\rhoc_{p}）{bf{}，\qquad N_{r}=\frac{a{r}}k_{bf}}}{4\sigma_{SB}}\bar{T}（T）_{\infty}^{3}}。\结束{对齐}$$
(12)
局部表面摩擦系数的表达式\（（C_{fx}）\）和当地的努塞尔数\（（数字{x}）\）由提供
$$\开始{aligned}和C_{fx}（\operatorname{回复}_{x} ）^{0.5}=\压裂{8a^{0.5}克“”（a）}{（1-\phi）^{5/2}}\quad\text{和}\\&Nu_{x}（\operatorname{回复}_{x} ）^｛-\frac｛5｝｛2｝｝=-2a^｛0.5｝\biggl（\frac的）$$
哪里\（\操作员姓名{回复}_{x} =\压裂{\bar{U} x个}{\nu_{bf}}\）是当地的雷诺数。
