Schrödinger自由边界问题的Schrödinger型恒等式

摘要

在本文中，我们的目的是为一个Schrödinger自由边界问题建立一个Schödinger-型恒等式\（\mathbb｛R｝^｛n｝\）作为应用，我们建立了某些分布函数的乘积满足薛定谔型恒等式的充要条件。因此，我们的结果大大改进和推广了以前的工作。

1导言和主要成果

薛定谔型恒等式在文献中得到了广泛的研究（参见[1,12,13,18]对于薛定谔方程[5,14]对于薛定谔系统）。

近年来，通过对光波在非线性周期晶格中传播的仔细实验，发现了许多激发现象。这些现象由以下薛定谔方程控制：

$$\操作员姓名{附表}_｛\alpha｝（u）=（-\Delta）^｛\alpha｝u+V（x）u-h（x，u）=0$$

(1.1)

在里面\（\mathbb{R}^{n}\），其中\（第2页）,\（（0,1）中的α）,\（（-\Delta）^{\alpha}\）代表分数拉普拉斯算子，V（V）是正的连续电位，\（在C中为h\（\mathbb{R}^{2}\times\mathbb{R}，\mathbb2{R}）\）分数拉普拉斯算子\（（-\Delta）^{\alpha}\）具有\（（0,1）中的α）函数的\（\iota\in\mathcal｛S｝\）由定义

$$\mathcal{G}\bigl（（-\Delta）^{\alpha}\bigr）\iota\biger）（\xi）=\vert\xi\vert^{2\alpha}\ mathcal}\G}（\iota）（\xi），\quad\forall\alpha\ in（0,1）$$

哪里\（\mathcal{S}\）表示快速减少的Schwartz空间\（C^{\infty}\）中的函数\（\mathbb{R}^{n}\）和

$$\mathcal{F}（\iota）（\xi）=\frac{1}{（2\pi）^{n/2}}\int_{\mathbb{R}^{n}}e^{-2\pii\xi\cdotx}\iota（x）\，dx$$

薛定谔变换\（\操作员姓名{附表}_{\字母}\）定义为以下奇异积分：

$$\bigl（\operatorname{附表}_{α}（f）\biger）（x）：=p.v.\frac{1}{\pi}\int_{\mathbb{R}\frac}（y）}{x-y}\，dy=\lim_{\epsilon\ to 0}\int_{\vert-y-x\vert\ge\epsilen}\frac{f（y）{x-y{\，dy$$

哪里\（x\in\mathbb{R}\）.

薛定谔自由边界问题的Schrödinger型恒等式

$$\操作员姓名{附表}_{\alpha}（fg）=\operatorname{fSch}_{\alpha}（g）$$

首次研究于[2–4,6]. 经证明，如果\（h，g\在L^{2}（\mathbb{R}）中\）满足\（\operatorname{supp}\hat{f}\subseteq\mathbb{右}_{+}\)(\（\mathbb｛R｝_{+}=[0，\infty）\）)和\（\operatorname{supp}\hat{g}\subseteq\mathbb{右}_{+}\)在[20]. 2015年，Wan还通过在[19]. 最近，Lv、Ulker和Huang在时域中建立了Poisson不等式的第一个充要条件，并在频域中建立了一个并行结果[10,14].

很自然，人们试图在多维情况下定义复杂信号并证明薛定谔型恒等式。

定义1.1

部分薛定谔变换\（{\操作员姓名{附表}_{\alpha}}{j}\）属于（f）由提供

$$（{\操作员姓名{附表}_{\字母}}_{j} （f）)（x）：=p.v.\frac｛1｝｛\pi｝\int_｛\mathbb｛R｝｝\frac｛f（y）｝｛x_{j} -年_{j} }\，dy{j}$$

哪里\（f\在L^{p}（\mathbb{右}_{n} ）\）和\（1）.

全薛定谔变换\（\操作员名称{附表}_{\字母}\）属于（f）定义如下：

$$\开始{aligned}\bigl（\operatorname｛附件｝_{\alpha}（f）\bigr）（x）&：=p.v.\frac{1}{\pi^{n}}\int_{\mathbb{R}^{n{}}\frac}f（y）}{\prod^{无}_{j=1}（x_{j} -年_{j} ）}\，dy\\&=\lim_{max\epsilon_{j}\到0}\int_{vert y_{j} -x个_{j} vert\ge\epsilon_{j}>0，j=1,2，\ldots，n}\frac{f（y）}{\prod^{n}_{j=1}（x_{j} -年_{j} ）}\，dy，\结束{对齐}$$

哪里\（f\在L^{p}（\mathbb{右}_{n} ）\）和\（1）.物业

$$\bigl\Vert\operatorname{附表}_{\alpha}（f）\bigr\Vert_{L^{p}（\mathbb{R}^{n}）}\le C^{无}_{p} \垂直f\垂直_{L^{p}（\mathbb{R}^{n}）}$$

于年被证明[8]. 它的迭代性质\（L^{p}（\mathbb{R}^{n}）\）显示在中[16]，其中\（p>1）。结果表明

$$\操作员姓名{附表}_{\alpha}=\prod^{无}_{j=1}{\操作员姓名｛附件｝_{\alpha}}{j}$$

操作\（{\操作员姓名{附表}_｛\alpha｝｝_｛i｝\）和\（{\操作员姓名{附表}_{\alpha}}{j}\）相互通勤\（i，j=1,2，\ldot，n）.

现在我们定义Schrödingerean Fourier变换f̂属于（f）（请参见[17])由

$$\hat{f}（x）=\int_{mathbb{R}^{n}}f（t）e^{-ix.t}\，dt$$

哪里\（x\in\mathbb{R}^{n}\）和\（在L^{1}（\mathbb{R}^{n}）中为f）.

设置

$$\开始{aligned}&D_{+}=\Biggl\{x:x\in\mathbb{R}^{n}，\operatorname{sgn}（-x）=\prod^{无}_{j=1}\operatorname{sgn}（-x_{j}）=1\Biggr\}，\\&D_{-}=\Biggl\{x:x\in\mathbb{R}^{n}，\operator name{sgan}（-x）=\prod^{无}_{j=1}\operatorname{sgn}（-x_{j}）=-1\Biggr\}，\end{aligned}$$

和

$$D_{0}=\Biggl\{x:x\in\mathbb{R}^{n}，\operatorname{sgn}（-x）=\prod^{无}_{j=1}\operatorname{sgn}（-x_{j}）=0\Biggr\}$$

我们表示为\（\mathcal{D}（D）_{D_{+}}（\mathbb{R}^{n}）\）,\（\mathcal{D}（D）_{D_{-}}（\mathbb{R}^{n}）\）和\（\mathcal｛D｝_{D_{0}}（\mathbb{R}^{n}）\）中的函数集\（\mathcal{D}（\mathbb{R}^{n}）\）上支持的\（D_{+}\）,\（D_{-}\）、和\（D_{0}\）分别是。

施瓦茨类\（\mathcal{S}（\mathbb{R}^{n}）\）由所有功能组成φ在\（\mathbb{R}^{n}\）这样的话

$$\sup_｛x\in\mathbb｛R｝^｛n｝｝\bigl\vert x^｛\alpha｝D^｛\beta｝\varphi（x）\bigr\vert</infty$$

哪里\（\alpha，\beta\in\mathbb{Z}^{无}_{+}\).

薛定谔傅里叶变换φ̂是一个线性同胚\（S（\mathbb{R}^{n}）\）到它自己身上。同时，以下身份保持不变：

$$（\操作员姓名{附表}_{\alpha}\varphi）^{\wedge}（x）=（-i）\operatorname{sgn}（x）\hat{\varphi}$$

哪里\（\varphi\in\mathcal{S}（\mathbb{R}^{n}）\）.

薛定谔傅里叶变换\（F:\mathbb{S}^{prime}为任何\（\varphi\in\mathcal{S}（\mathbb{R}^{n}）\）如下：

$$\langle\hat{\varrho}，\varphi\rangle=\langle\ varrho，\hat}\varphi}\rangle$$

它是一个线性同构\（\mathbb{S}^{prime}（\mathbb{R}^{n}）\）到它自己身上。有关的详细属性\（\tathbb{S}（\mathbb{R}^{n}）\）和\（\mathbb{S}^{prime}（\mathbb{R}^{n}）\），请参阅[三,7,15].

对于\（\varrho\in\mathcal{S}^{prime}（\mathbb{R}^{n}）\）,\（\lambda\in\mathcal{S}（\mathbb{R}^{n}）\），很容易检查

$$\langle\tilde｛\varrho｝｝，\lambda\rangle=\langle\tilde｛\varrho｝，\hat｛\lambda｝\rangle=\langle\varrho，\breve｛\tilde｛\lambda｝｝\rangle=\langle\hat｛\varrho｝，\lambda\rangle=\langle\varrho，\hat｛\lambda｝\rangle$$

对于任何\（\lambda\in\mathcal{S}（\mathbb{R}^{n}）\），其中

$$\波浪线{\lambda}（x）=\lambda（-x）$$

ϱ̃是如下定义的逆Schrödingerean傅立叶变换：

$$\langle\breve{\varrho}，\lambda\rangle=\langle\ varrho，\tilde{\lambda}\rangle$$

因此，在分配意义上，我们得到

$$\tilde{\breve{\varrho}}=\hat{\varhro}$$

遵循中的定义[4]，一个函数λ属于空间\（\mathcal{D}（D）_{L^{p}}（\mathbb{R}^{n}）\）,\（1）当且仅当

• (1) \（C^{infty}中的\lambda\（\mathbb{R}^{n}）\）;

• (2) \（L^{p}中的D^{k}\lambda\（\mathbb{R}^{n}）\）,\（k=1,2，\ldots\） , 哪里\（C^{\infty}（\mathbb{R}^{n}）\）由无穷可微函数组成，

  $$D^{k}\lambda（x）=\frac{\partial^{\vertk\vert}}{\paratilx^{k_1}}_{1}\cdots\partialx^}_{n}}（x）$$

在续集中，我们表示为\（\mathcal{D}^{prime}_{L^{p}}（\mathbb{R}^{n}）\）对应空间的对偶\（\mathcal{D}（D）_{L^{p^{\prime}}（\mathbb{R}^{n}），其中

$$\frac｛1｝｛p｝+\frac｛1｝｛p^｛\prime｝｝＝1$$

因此，我们

$$\mathcal{D}\bigl（\mathbb{R}^{n}\bigr）\subseteq\mathcal{S}\bigle（\mathbb{R}^{n}\biger）\substeq\mathcal{D}（D）_{L^{p}}\bigl（\mathbb{R}^{n}\bigr）\substeq L^{p}\bigle（\mathbb{R}^{n}\biger）$$

和

$$L^{p}\bigl n}\bigr）$$

定义1.2

让\（f\in\mathcal{D}^{prime}_{L^{p}}（\mathbb{R}^{n}）\），其中\（1<p<\fity）然后是Schrödinger变换（f）定义如下：

$$\bigl\langle\operatorname{附表}_｛\alpha｝（f），\lambda\bigr\rangle=\bigl\langle f，（-1）^｛n｝\运算符名称{附表}_{\alpha}\lambda\bigr\rangle$$

哪里\（\lambda\in\mathcal{D}（D）_{L^{p^{\prime}}（\mathbb{R}^{n}）.

在[10]，Huang证明了总Schrödinger变换是一个线性同胚\（\mathcal{D}（D）_{L^{p}}（\mathbb{R}^{n}）\）如果\（h\in\mathcal{D}^{prime}_{L^{p}}（\mathbb{R}^{n}）\）(\（1<p<infty）)，然后\（\mathfrak{PI}小时\在\mathcal{D}^{prime}_{L^{p}}（\mathbb{R}^{n}）中上面定义的薛定谔变换H是一个线性同构\（\mathcal{D}^{prime}_{L^{p}}（\mathbb{R}^{n}）\）到它自己身上。

注意，如果\（L^{p}中的\varrho\（\mathbb{R}^{n}）\）(\（1<p<infty）)，那么我们有

$$\begin｛aligned｝\bigl\langle（H\varrho）^｛\wedge｝，\lamba\bigr\langle=&&\langleH\varrho，\hat｛\lambda｝\langle\\=&（-1）^｛n｝\langle\varrho，H\hat｛\lambda｝\langle\\=&（-1）^｛n｝\bigl\langle\check｛\varrho｝，（H\hat｛\lambda｝）^｛\wedge｝\langle\\bigr\langle\\=&（-1）^｛n｝\bigl\langle \check｛\varrho｝，（-i）^｛n｝\运算符名称｛sgn｝（\cdot）\hat{\hat}\lambda}\bigr\rangle\\=&\bigl\langle\check{\varrho}，（i）^{n}\operatorname{sgn}n}\operatorname{sgn}（\cdot）\hat{\varrho}，\lambda\bigr\rangle，\end{aligned}$$

哪里\（\lambda\in\mathcal{S}（\mathbb{R}^{n}）\）.

因此，在分配意义上

$$（H\varrho）^{\wedge}（x）=（-i）^{n}\operatorname{sgn}（\cdot）\hat{\varrho}（x）$$

定义

$$t\Omega=\{tx:x\in\Omega\}$$

哪里t吨是非零实数，Ω是的非空子集\（\mathbb{R}\）。因此，我们有

$$\运算符名称｛supp｝\biggl（u\biggl（\frac｛x｝｛t｝\biggr）\biggr）=t\运算符名称｛supp｝（u）$$

对于任何非零实数t吨.

对于子集\（A\子结构\mathbb{R}\），定义

$$A\Omega=\bigcup_{t\in A}t\Omega$$

2的Schrödinger型恒等式\（L^{p}（\mathbb{R}^{n}）\）功能

这一部分的动机是需要定义多维复杂信号。我们定义了\（f\在L^{p}（\mathbb{R}^{n}）中\）通过全薛定谔变换\（\操作员姓名{附表}_{\字母}\）作为\（f+i\运算符名称{附表}_{\字母}（f）\）.

在本节中，我们研究多维薛定谔型恒等式\（\操作员姓名{附表}_{\alpha}（fg）=\operatorname{fSch}_{\字母}（g）\）对于\（f\in\mathcal{S}（\mathbb{R}^{n}）\）和\（g\在L^{p}（\mathbb{R}^{n}）中\），其中\（1<第2页）特别地，得到了几个充要条件。

定理2.1

假设 \（f\in\mathcal{S}（\mathbb{R}^{n}）\）;\（g\在L^{p}（\mathbb{R}^{n}）中\）(\（1<第2页\）),然后是函数的薛定谔变换 前景 满足薛定谔-类型标识 \（\操作员姓名{附表}_{\alpha}（fg）=\operatorname{fSch}_｛\alpha｝（g）\） 当且仅当

$$\int_{\mathbb{R}^{n}}\bigl（\operatorname{sgn}（x）-\operator name{sgno}（t）\bigr）\hat{f}（x-t）\hat{g}（t）\，\mathrm{d} t吨=0. $$

(2.1)

证明

根据[10]，我们使用以下等式：

$$开始{对齐}和\mathrm{d}\bar{x}=\varepsilon^{2}\，\mathrm{d}x，\\&\mathrm2{d}\bar{Gamma}=\valepsilon\，\mathrm{d}\Gamma\quad\text{on}\mathcal{S}\bigl（\mathbb{R}^{n}\bigr）2}\，\mathrm{d}\Gamma\quad\text{on}L^{p}\bigl（\mathbb{R}^{n}\bigr）。\结束{对齐}$$

所以

$$开始{aligned}和\int_{0}^{T}\int_\mathbb{R}^{n}}\int_{\mathbb{R}^{n}}\bigl[f_{\varepsilon}g_{\varepsilon}\cdot\partial_{T}\varrho+f_{g{\varepsilon}\otimes g{\varepsilon}:\omega{\varεsilon}（\varrho）+f{\varesilon}\operatorname{分割}_{\varepsilon}\varrho\bigr]\，\mathrm{d}x\，\mathrm{d\&quad=\int_{0}^{t}\int_}\mathbb{R}^{n}}\bigl[P\bigl（\bigl\vert\omega_{\varesilon}（g_{\varepsilon}）\bigr\vert\bigr ga{\varepsilon}（\varrho）-f{\varesilon}\cdot\varrho\bigr]\，\mathrm{d}x\，\mathrm{d}t\\&\quad\quadra{}+\frac{h（\varepsilon）}{\varepsilon}\int_{0}^{t}\inte\mathcal{S}^{n}）}g_{\varepsilon}\cdot\varrho\，\mathrm{d}\Gamma\，\mathrm{d\t，\end{aligned}\end{arigned}$$

对于任何\（C_{0}^{\infty}中的\varrho\（0，T；[C^{\infty}（\bar{\Omega}）]^{3}）\），这导致

$$\int_{0}^{T}\int__{\Omega}b（f_{\varepsilon}）\partial_{T}\lambda+b（f_{\varesilon}）g_{\varesilon}\cdot\nabla_{\valepsilon}\lampda+\bigl[\bigl{分割}_{\varepsilon}g{\varebsilon}\bigr]\lambda\，\mathrm{d}x\，\mathrm{d\t=0$$

注意（请参见[19])

$$\begin{aligned}&\int_{\Omega_{\varepsilon}}\biggl（\bar{\rho}{\varesilon}（t）\frac{\vert\bar{克}_{\varepsilon}（t）\vert^{2}}{2}+\bar{\rho}_{\varesilon}\bar（巴）{克}_{\varepsilon}\vert\biger）\bar{D}\bar{克}_{\varepsilon}:\bar{D}\bar｛g｝_{varepsilon}\，\mathrm{d}\bar{x}\，\ mathrm}d}s+h（\varepsi隆）\int_{0}^{t}\int_}\Gamma{1，\varepsilon}\vert\bar{克}_{\varepsilon}\vert^{2}\，\mathrm{d}\bar{\Gamma}\，\thrm{d\quad\quad{}+q\int_{0}^{t}\int_}\Gamma{2，\varepsilon}}\vert\bar{克}_{\varepsilon}\vert^{2}\，\mathrm{d}\bar{\Gamma}\，\ mathrm}d}s\\&\quad=\int_{0}^{t}\int_}\Omega_{\varesilon}}\bar}\rho}_{\varepsilon}\ bar{\mathbf{f}}_{\ varepsilen}\cdot\bar{克}_{\varepsilon}\，\mathrm{d}\bar{x}\，\ mathrm}d}s+\int_{\Omega_{\varesilon}}\biggl（\frac{\vert（\bar{\rho}_{\veresilon{\bar｛g｝_{\varepsilon}。\结束{对齐}$$

对于任何\（语言0，语言），这将产生

$$开始{对齐}和开始{校准}和int_{\Omega}\biggl（f_{\varepsilon}t}\int_{\Omega}P\bigl（\bigl\vert\Omega_{\varepsilon}（g_{\verepsilon}）\bigr\vert\bigr）\bigl\vert\omega_{\varepsilon}（g_{\vertsilon}）\bigr\vert^{2}\，\mathrm{d}x\，\mathrm{d}s \\&\quad\quad{}+\frac{h（\varepsilon）}{\varesilon}\int_{0}^{t}\int_2{\mathcal{s}（\mathbb{R}^{n}）}\vert g_{\varepsilon}\vert^{2}\，\mathrm{d}\Gamma\，\mathrm{d\s+q\int_{0}^{t}\int__{L^{p}（\mathbb{R}^{n}）}\vert g_{\varepsilon}\vert^{2}\，\mathrm{d}\Gamma\，\mathrm{d\s\\&\quad=\int_{0}^{t}\int_}\Omega}f_{{克}_{\varepsilon}\cdot\mathbf{v}（v）_{\varepsilon}\，\mathrm{d}x\，\methrm{d\s+int_{\Omega}\biggl，\结束{aligned}\\&\开始{aligned}&\垂直\sqrt{g{\varepsilon}}\上划线{\partial}\alpha\vert^{2}_{\lambda}+\bigl\Vert\sqrt{g_{\varepsilon}}\上划线{\partial}^{*}_{\lampda}\alpha\bigr\Vert^{2}_{\lambda}\\&\quad={\sum_{\vert L\vert=p-1}}'\sum_{j，k=1}^{n}\int_{b\Omega}g\frac{\partial^{2}\rho}{\ partial{z}（z）_{j} \部分\上划线{z}（z）_{k} }\alpha_{jL}\上划线{\alpha}_{kL}e^{-\lambda}\，dS\\&\quad\quad{}+{\sum_{\vertK\vert=p}}'\sum_{k=1}^{n}\int_{\Omega}g{\biggl\vert\frac{\partial\alpha{k}}{\partic\overline{z}（z）_{k} }\biggr\vert^{2}}e^{-\lambda}\，dV\\&\quad\quad{}+{\sum_{vertL\vert=p-1}}'\sum_}j，k=1}^{n}\int_{\Omega}\bigl（g\frac{\partial^{2{\lambda}{\partic{z}（z）_{j} \部分\上划线{z}（z）_{k} }-\压裂{\部分^{2} 克}{\部分{z}（z）_{j} \部分\上划线{z}（z）_{k} }\biggr）\alpha_{j-L}\上划线{\alpha}_{kL}e^{-\lambda}\，dV\\&\quad\quad{}+2\operatorname{Re}\Biggl\langle{\sum_{vertL\vert=p-1}}'\sum__{j=1}^{n}\alpha_{jL}\frac{\partialg}{\partic{z}（z）_{j} ｝\，d\覆盖线{z}（z）_{五十} ，\上划线{\partial}^{*}_{\lambda}\alpha\Biggr\rangle_{\lambda}\结束{aligned}\end{aligned}$$

和

$$开始{aligned}&2\operatorname{Re}\Biggl\langle{sum_{vertL\vert=p-1}}'\sum_{j=1}^{n}\alpha_{jL}\frac{\partialg}{\partitle{z}（z）_{j} }\，d\上划线{z}（z）_{五十} ，\overline{\partial}^{*}_{\lambda}\alpha\Biggr\rangle_{\lambda}\\&\quad\leqslate 2\Biggl\vert\Biggl\ langle{\sum_{vertL\vert=p-1}}'\frac{1}{\sqrt{g{\varepsilon}}e^{-\lambda/2}\sum_j=1}^{n}\frac}{\partic g}{\protial｛z｝_{j} }\字母{j L}\，d\上划线{z}（z）_{j} ，\sqrt{g_{\varepsilon}}e^{-\lambda/2}\上划线{\partial}^{*}_{\lambda}\alpha\Biggr\rangle\Biggr\vert\&\quad\leqslate 2\Biggl\vert{\sum_{vertL\vert=p-1}}'\frac{1}{\sqrt}\g_{varepsilen}}\sum_j=1}^{n}\frac}\部分｛z｝_{j} }\字母{j L}\，d\上划线{z}（z）_{j} \Biggr\Vert_{\lambda}\bigl\Vert\sqrt{g_{\varepsilon}}\上横线{\partial}^{*}{\lampda}\alpha\bigr\Vert_}\lambda}\\&\quad\leqslate{\sum_{\Vert L\Vert=p-1}}'\varsigma\Biggl\Vert\frac{1}分数{\部分g}{\部分{z}（z）_{j} }\alpha_{j-L}\Biggr\Vert_{lambda}^{2}+\frac{1}{\varsigma}\bigl\Vert\sqrt{g_{\varepsilon}}\上划线{\partial}^{*}_{lambda}\alpha\bigr\Vert_{\lambda{^{2{\end{aligned}$$

对于任何\（语言0，语言），其中

$$g_｛\varepsilon｝=\bigl（f_1，\varepsilon｝，\varepsilon ^｛-1｝f_2，\varepsilon｝，\varepsilon ^｛-1｝f_3，\varepsilon｝\bigr），\quad\quad v_｛\varepsilon｝=（u _｛1，\varepsilon｝，\varepsilon u _｛2，\varepsilon｝，\varepsilon u _｛3，\varepsilon｝）$$

由于薛定谔傅里叶变换是从\（\mathcal{S}^{\prime}\）融入自身，前景,\（\操作员姓名{附表}_{\α}（f）g\）,\（\操作员姓名{fSch}_L^{p}中的{α}（g）（\mathbb{R}^{n}），我们有

$$\bigl（\operatorname{附表}_{\alpha}（fg）\bigr）^{\wedge}=\bigl（\operatorname{fSch}_{\alpha}（g）\biger）^{\wedge}$$

相当于

$$（-1）^{n}\operatorname{sgn}（x）\int_{\mathbb{R}^{n{}\hat{f}（x-t）\hat}g_{\varepsilon}}（t）\，dt=\int_}\mathbb{R}^}}$$

哪里

$$\operatorname{sgn}（x）=\prod^{无}_{j} =1\operatorname{sgn}（x{j}），\quad x=（x{1}，x{2}，\ldots，x{n}）$$

所以

$$\int_｛\mathbb｛R｝^｛n｝｝｝\bigl（\运算符名称｛sgn｝（x）-\运算符名称｛sgn｝（t）\bigr）\hat｛f｝（x-t）\hat｛g_｛\varepsilon｝｝（t）\，dt=0$$

 □

让\（{j}\）和\（b{j}\）在本文的其余部分中表示非负实数，其中\（j=1，2，\ldot，n）.

推论2.1

让 \（f\in\mathcal{S}（\mathbb{R}^{n}）\） 和 \（g\在L^{p}（\mathbb{R}^{n}）中\）,哪里 \（1<第2页\）.如果

$$\operatorname{supp}\hat{f}\subseteq\prod^{无}_{j=1}[-a{j}，b{j}]，\quad\quad\operatorname{supp}\hat{g{varepsilon}}\subseteq\prod^{无}_{j=1}\mathbb{R}\setminus（-b_{j}，a_{j{）$$

(2.2)

然后是薛定谔-类型标识 \（\操作员姓名{附表}_{\alpha}（fg）=\operatorname{fSch}_{\字母}（g）\） 持有.

证明

我们首先证明

$$\int_{\mathbb{R}^{n}}\bigl（\operatorname{sgn}（x）-\operator name{sgno}（t）\bigr）\hat{f}（x-t）\hat{g_{\varepsilon}}（t）\，dt=0$$

来自定理2.1.

那就是，

$$\int_{D_{+}}\bigl（t），dt=0$$

让\（D_{+}中的x\），如果\（位于D_{+}中），被积函数是零的(2.1)持有。如果\（位于D_{0}中）, (2.1)保持不变，因为积分超过了一组测量值零。至于这个案子\（位于D_{-}中），假设存在\（位于D_{-}中），因此\（操作名{supp}\hat{f}（x-\cdot）\hat}g{\varepsilon}}（\ cdot）\），那么\（操作名{supp}\hat{g_{\varepsilon}}\cap D_{-}\）,\（x-t\in\operatorname{supp}\hat{f}\）.

自\（D_{-}\cap D_{+}=\emptyset\），存在\（j\in\{1,2，\ldots，n\}）这样的话\（x）_{j} t吨_{j} \leq 0\）。我们可以假设\（x{j}>0\）和\（t_{j}\le0）。多亏了(2.2)，我们有\（t{j}\le-b{j}\）和\（x）_{j} -吨_{j} \le b_{j}\），这是不可能的。

通过重复这个论点\（D_{-}\中的x\）和\（D_{0}中的x\）（请参见[6])，我们发现了相同的结论。□

引理2.1

假设 \（f\在L^{p}（\mathbb{R}^{n}）中\） 和 \（g\在L^{q}（\mathbb{R}^{n}）中\）,哪里

$$\frac{1}{p}+\frac{1}}{q}=\frac{1'{r}\le1\quad（1<p，q\le2）$$

然后

$$（f*g）^{\wedge}=\hat{f}\hat}g{\varepsilon}}$$

持有.

证明

让\（y{i}=1\），其中\（i=1,2，\ldot，n-1）.然后

$$f（t，1，\ldots，1）\geq k^{b} （f）（t，k，\ldots，k）$$

哪里\（k\英寸（0,1）\）.

所以

$$\开始{对齐}&f\bigl（t，k^{-1}，\ldots，k^}-1}\bigr）\geq k^{b} （f）（t，1，\ldots，1），\\&f（t，ky{1}，\ldot，ky}n-1}）\leqk^{-b}f（t，y{1}，\ldot，y{n-1}），\\&f（t，k，\ldots，k）\leqk^{-b}f（t，1，\ldot，1），\end{对齐}$$

哪里\（k\英寸（0,1）\），它产生

$$\开始{aligned}&f_{0^{+}}^{n-2}周（t） >0，\quad\quad f_{0^{+}}^｛n-3｝w（t） >0，\quad\quad\ldot，\quae\quad f_{0^{+}}^{1} w个（t） >0，\quad\quad w（t）>0，\\&\开始{aligned}&g\bigl（t，f_{0^{+}}^{n-2}周（t） ，f_{0^{+}}^{n-3}周（t） ，\ldot，f_{0^{+}}^{1} 周（t） ，w（t）\bigr）\\&\quad\leq g\bigl（t，f{0^{+}}^{n-2}Ae（t） ，f_{0^{+}}^｛n-3｝Ae（t） ，\ldot，f_{0^{+}}^{1} Ae公司（t） ，Ae（t）\bigr）\\&\quad\leq g\bigl（t，f_{0^{+}}^{n-2}甲，f_{0^{+}}^{n-3}甲，\ldots，f_｛0^｛+｝｝^{1} A类，A\biger）\\&\quad=g\biggl（t，\frac{A}{（n-2）^{b} 克（t，1,1，\ldots，1,1）\&\四元\leq A^{b} 克（1,1,1，\ldot，1,1），\end{对齐}\end}对齐}$$

和

$$\开始{对齐}&h\bigl（t，f_{0^{+}}^{n-2}周（t） ，f_{0^{+}}^{n-3}周（t） ，\ldot，f_{0^{+}}^{1} w个（t） ，w（t）\bigr）\\&\quad\leq h\biggl（t，f{0^{+}}^{n-2}\frac{1}{A} e（电子）（t） ，f_{0^{+}}^{n-3}\压裂{1}{A} e（电子）（t） ，\ldot，f_{0^{+}}^{1}\frac{1}{A} e（电子）（t） ，\压裂｛1｝{A} e（电子）（t） \biggr）\\&\quad=h\biggl（t，\frac{\Gamma（\alpha-n+2}，\压裂{1}{A} t吨^{\alpha-n+1}\biggr）\\&\quad\leq-h\biggl（t，\frac{\zeta}{A} t吨^{\alpha-1}，\frac{\zeta}{A} t吨^｛\alpha-1｝、\ldots、\frac｛\zeta｝{A} t吨^{\alpha-n+3}，\frac{\zeta}{A} t吨^｛\alpha-n+2｝\biggr）\\&&quad\leq h\biggl（t，\frac｛\zeta｝{A} t吨^{\alpha-1}，\frac{\zeta}{A} t吨^{\alpha-1}、\ldots、\frac{\zeta}{A} t吨^{\alpha-n+4}，\frac{\zeta}{A} t吨^{\alpha-n+3}\biggr）\\&\quad\leq\dots\\&\quid\leq h\biggl（t，\frac{\zeta}{A} t吨^{\alpha-1}，\frac{\zeta}{A} t吨^{\alpha-1}、\ldots、\frac{\zeta}{A} t吨^{\alpha-1}，\frac{\zeta}{A} t吨^{\alpha-1}\biggr）\\&\quad\leq\biggl（\frac{\zeta}{A}\bigbr）^{-b}t^{-b（\alpha-1）}f（t，1,1，\ldots，1,1）\\&\quad\leq\biggl（\frac{\zeta}{A}\biggr）^{-b}t^{-b（\alpha-1）}f（0,1,1，\ldots，1,1）。\结束{对齐}$$

所以

$$\开始{aligned}&g\bigl（t，f_{0^{+}}^{n-2}周（t） ，f_{0^{+}}^{n-3}周（t） ，\ldot，f_{0^{+}}^{1} 周（t） ，w（t）\bigr）\\&\quad\geq-g\biggl（t，f{0^{+}}^{n-2}\frac{1}{A} e（电子）（t） ，f_{0^{+}}^{n-3}\压裂{1}{A} e（电子）（t） ，\ldot，f_{0^{+}}^{1}\frac{1}{A} e（电子）（t） ，\压裂{1}{A} 电子（t） \biggr）\\&\quad=g\biggl（t，\frac{\Gamma（\alpha-n+2}，\压裂{1}{A} t吨^{\alpha-n+1}\biggr）\\&\quad\geq-g\biggl（t，\frac{\zeta}{A} 吨^{\alpha-1}，\frac{\zeta}{A} t吨^{\alpha-1}、\ldots、\frac{\zeta}{A} t吨^{\alpha-n+3}，\frac{\zeta}{A} t吨^｛\alpha-n+2｝\biggr）\\&&quad\geq g\biggl（t，\frac｛\zeta｝{A} t吨^{\alpha-1}，\frac{\zeta}{A} t吨^{\alpha-1}、\ldots、\frac{\zeta}{A} t吨^｛\alpha-n+4｝，｛\frac｛\zeta｝{A} t吨^{\alpha-n+3}\biggr）\\&\quad\geq\dots\\&\quid\geq g\biggl（t，\frac{\zeta}{A} t吨^{\alpha-1}，\frac{\zeta}{A} t吨^{\alpha-1}、\ldots、\frac{\zeta}{A} t吨^{\alpha-1}，\frac{\zeta}{A} t吨^{\alpha-1}\biggr）\\&\quad\geq\biggl（\frac{\zeta}{A}\bigbr）^{-b}t^{b（\alpha-1）}g（t，1,1，\ldots，1,1）\\&\quad\geq\biggl（\frac{\zeta}{A}\biggr）^｛-b｝t^{b（\alpha-1）}g（0,1,1，\ldots，1,1）\end{对齐}$$

和

$$\开始{对齐}&h\bigl（t，f_{0^{+}}^{n-2}周（t） ，f_{0^{+}}^{n-3}周（t） ，\ldot，f_{0^{+}}^{1} w个（t） ，w（t）\bigr）\\&&quad\geq h\bigl（t，f_{0^{+}）^{n-2}Ae（t） ，f_{0^{+}}^{n-3}Ae（t） ，\ldots，f_｛0^｛+｝｝^{1} Ae公司（t） ，Ae（t）\bigr）\\&\quad\geq h\bigl（t，f_{0^{+}}^{n-2}甲，f_{0^{+}}^{n-3}甲，\ldot，f_{0^{+}}^{1} A类，A\biger）\\&\quad=h\biggl（t，\frac{A}{（n-2）^{-b}f（t，1,1，\ldot，1,1）\\&\quad\geq A^{-b}f（1,1,1，\ldot，1,1），\end{对齐}$$

这就产生了

$$\开始{aligned}&\int_{0}^{1}\int_}0}^{1} H（H）（s，\varsigma）g\bigl（\varsimma，f{0^{+}}）^{n-2}v（\varsigma），\ldot，f_{0^{+}}^{1} v（v）（\varsigma），v（\varsigma）\bigr），d\varsigma\，ds\\&\quad\leq\int_{0}^{1}\iota_{q}\biggl^{n-2}v（\varsigma），\ldot，f_{0^{+}}^{1} v（v）（\varsigma），v（\varsigma）\bigr），d\varsigma\biggr），ds\\&\quad\leq\int_{0}^{1}\iota_{q}\biggl（\frac{s^{beta-1}A^{b} 克（1,1，\ldots，1）}{\Gamma（\beta）}\biggr）\，ds\\&\quad\leq\int_{0}^{1}\iota_{q}\bigl（s^{\beta-1}\bigr）\，ds \end{aligned}$$

和

$$\begin｛aligned｝&\int_｛0｝^｛1｝\int_｛0｝^{1} 小时（s，\varsigma）f\bigl（\varsimma，f{0^{+}}）^{n-2}周（\varsigma），\ldot，f_{0^{+}}^{1} w个（\varsigma），w（\varsigma）\bigr），d\varsigma\，ds\\&\quad\leq\int_{0}^{1}\iota_{q}\biggl（\frac{s^{beta-1}}{\Gamma（\beta）}\int_0}^1}f\bigl（\varσ，f{0^{+}}^{n-2}周（\varsigma），\ldots，f_｛0^｛+｝｝^{1} w个（\varsigma），w（\varsigma）\bigr），d\varsigma\biggr（0,1,1，\ldots，1）\，d\varsigma\biggr）\，ds\\&\quad\leq\frac{t^{alpha-n+1}（\zeta^{-b}甲^{b} （f）（0,1,1，\ldots，1））^｛q-1｝｝｛\Gamma（\alpha-n+1）（\Gamma（\beta））^｛q-1｝｝\int_｛0｝^｛1｝\iota_{q｝\biggl（s^｛\beta-1｝\int_｛0｝^｛1｝\varsigma^｛-b（\alpha-1）｝\，d\varsigma\biggr）\，ds.\end｛aligned｝$$

由此可见

$$\开始{aligned}&\int_{0}^{1}\iota_{q}\biggl（\int_}0}^{1} 克\bigl（\varsigma，f_{0^{+}}^{n-2}v（\varsigma），\ldot，f_{0^{+}}^{1} v（v）（\varsigma），v（\varsigma）\bigr），d\varsigma\biggr），ds\\&\quad\geq\int_{\xi}^{1}\iota_{q}\biggl（\int_}\xi}^{1} 克\bigl（\varsigma，f_{0^{+}}^{n-2}v（\varsigma），\ldot，f_{0^{+}}^{1} 五（\varsigma），v（\varsigma）\bigr），d\varsigma\biggr）^{n-2}v（\varsigma），\ldot，f_{0^{+}}^{1} v（v）（\varsigma），v（\varsigma）\bigr），d\varsigma\biggr）\，d\varsigma\biggr）\，ds\\&\quad=\bigl（\zeta^{b} A类^｛-b｝g（0,1,1，\ldots，1）\bigr）^{q-1}\int_{xi}^{1}\gamma（s）\iota_{q}\biggl（\int_}\xi}^1}\rho（\varsigma）\varsimma^{b（\alpha-1）}\，d\varsigma\biggr）\，ds\\&\quad\geqt^{\alpha-n+1}\bigl（\zeta^{b} A类^{-b}克（0,1,1，\ldots，1）\bigr）^{q-1}\\&\quad\quad{}\times\int_{xi}^{1}\gamma（s）\iota_{q}\biggl（\int_}\xi}^}\rho（\varsigma）\varsimma^{b（\alpha-1）}\，d\varsigma\biggr）\，ds\end{aligned}$$

和

$$\开始{aligned}&\int_{0}^{1}\int_}0}^}h\bigl（\varsigma，f_{0^{+}}^{n-2}周（\varsigma），\ldots，f_｛0^｛+｝｝^{1} w个（\varsigma），w（\varsigma）\bigr），d\varsigma\，ds\\&\quad\geq\int_{xi}^{1}\iota_{q}\biggl（\int_}\xi}^{1} （f）\bigl（\varsigma，f_{0^{+}}^{n-2}周（\varsigma），\ldot，f_{0^{+}}^{1} w个（\varsigma），w（\varsigma）\bigr）\，d\varsigma\biggr）\，ds\\&&quad\geq\int_｛\xi｝^｛1｝\gamma（s）\iota_{q｝\biggl（\int_｛\xi｝^｛1｝\rho（\varsigma）f\bigl（\varsigma，f_{0^｛+｝）^{n-2}周（\varsigma），\ldot，f_{0^{+}}^{1} w个（\varsigma），w（\varsigma）\bigr）\，d\varsigma\biggr）\，ds\\&&quad\geq\int_｛\xi｝^｛1｝\gamma（s）\iota_{q｝\biggl（\int_｛\xi｝^｛1｝\rho（\varsigma）H（\varsigma，\varsigma）A^{-b}f（1,1,1，\ldots，1）\，d\varsigma\biggr）\，ds\\&\quad\geq\bigl（A^{-b}f（1,1,1，\ldots，1）\bigr）^{q-1}\int_{xi}^{1}\gamma^{-b}f（1,1,1，\ldots，1）\bigr）^{q-1}\int_{\xi}^{1}\gamma（s）\iota_{q}\biggl（\int_}\xi}^}\rho（\varsigma）H（\varsigma，\varsimma）\，d\varsigma\biggr）\，ds，\end{aligned}$$

这就产生了

$$T（v，w）（T）\geq\frac{1}{A} t吨^{\alpha-n+1}=\frac{1}{A} e（电子）（t） $$

哪里\（t在（0,1）中）.

然后我们证明\（T:Q_{e}\乘以Q_{e}\到Q_{e}\）是一个混合单调算子。我们有

$$\开始{aligned}&\int_{0}^{1}\iota_{q}\biggl（\int_}0}^{1} 克\bigl（\varsigma，f_{0^{+}}^{n-2}v{1}（\varsigma），\ldot，f{0^{+}}^{1} v（v）_{1} （\varsigma），v{1}（\varsigma）\bigr），d\varsigma\biggr）\，ds\\&\quad\leq\int_{0}^{1}\iota_{q}\biggl（\int_}^{1} H（H）（s，\varsigma）g\bigl（\varsimma，f{0^{+}}）^{n-2}v_{2} （\varsigma），\ldots，f_｛0^｛+｝｝^{1} v（v）_{2} （\varsigma），v{2}（\varsigma）\bigr）\，d\varsigma\biggr）\，ds.\end{aligned}$$

因此\（T（v，w）（T）\）不会减少v（v）对于任何\（在Q_{e}中为w\）.

让\（在Q{e}中为w{1}，w{2}）和\（w{1}\geqw{2}\）.然后

$$\开始{aligned}&\int_{0}^{1} 对（s，\varsigma）\iota{q}\biggl（\int_{0}^{1} 问（s，\varsigma）f\bigl（\varsimma，f{0^{+}}）^｛n-2｝w_{1} （\varsigma），\ldot，f_{0^{+}}^{1} w个{1}（\varsigma），w{1}（\varsigma）\bigr），d\varsigma\biggr）\，ds\\&\quad\leq\int_{0}^{1} P（P）（s，\varsigma）\iota{q}\biggl（\int_{0}^{1} 问（s，\varsigma）f\bigl（\varsimma，f{0^{+}}）^{n-2}周_{2} （\varsigma），\ldots，f_｛0^｛+｝｝^{1} w个{2}（\varsigma），w{2}（\varsigma）\bigr），d\varsigma\biggr）\，ds，\end{aligned}$$

即。，

$$T（v，w{1}）（T）\leq T（v、w{2}）$$

因此\（T（v，w）（T）\）没有增加w个对于任何\（在Q_{e}中为v\）.

我们将向操作员展示T型有一个固定点。

由此可见

$$\开始{aligned}&\int_{0}^{1} P（P）（s，\varsigma）\iota{q}\biggl（\int_{0}^{1} 问（s，\varsigma）g\bigl（\varsimma，f{0^{+}}）^{n-2}电视（\varsigma），\ldot，f_{0^{+}}^{1} 电视（\varsigma），tv（\varsigma）\bigr）\，d\varsigma\biggr）\，ds\\&\quad=\int_{0}^{1} 对（s，\varsigma）\iota{q}\biggl（\int_{0}^{1} 问（s，\varsigma）g\bigl（\varsimma，tf{0^{+}}）^{n-2}v（\varsigma），\ldot，t f _{0^{+}}^{1} v（v）（\varsigma），tv（\varsigma）\bigr）\，d\varsigma\biggr）\，ds\\&\quad\geq\int_{0}^{1} 对（s，\varsigma）\iota{q}\biggl（\int_{0}^{1} 问（s，\varsigma）t^{b}g\bigl（\varsimma，f{0^{+}}^｛n-2｝v（\varsigma），\ldot，f_{0^{+}}^{1} v（v）（\varsigma），v（\varsigma）\bigr）\，d\varsigma\biggr）\，ds\\&\quad\geqt^{b}\int_{0}^{1} 对（s，\varsigma）\iota{q}\biggl（\int_{0}^{1} 问（s，\varsigma）g\bigl（\varsimma，f{0^{+}}）^{n-2}v（\varsigma），\ldot，f_{0^{+}}^{1} v（v）（\varsigma），v（\varsigma）\bigr）\，d\varsigma\biggr）\，ds\end{aligned}$$

和

$$\开始{aligned}&\int_{0}^{1} P（P）（s，\varsigma）\iota{q}\biggl（\int_{0}^{1} 问（s，\varsigma）f\bigl（\varsimma，f{0^{+}}）^{n-2}吨^{-1}周（\varsigma），\ldot，f_{0^{+}}^{1} t吨 ^{-1}周（\varsigma），t^{-1}周（\varsigma）\bigr）\，d\varsigma\biggr）\，ds\\&\quad=\int_{0}^{1} 对（s，\varsigma）\iota{q}\biggl（\int_{0}^{1} 问（s，\varsigma）f\bigl（\varsimma，t^{-1}f{0^{+}}^{n-2}周（\varsigma），\ldot，t^{-1}f_{0^{+}}^{1} w个（\varsigma），t^｛-1｝w（\varsigma）\bigr）\，d\varsigma\biggr）\，ds\\&\quad\geq\int_{0}^{1} P（P）（s，\varsigma）\iota{q}\biggl（\int_{0}^{1} 问（s，\varsigma）t^{b} （f）\bigl（\varsigma，f_{0^{+}}^{n-2}周（\varsigma），\ldot，f_{0^{+}}^{1} w个（\varsigma），w（\varsigma）\bigr）\，d\varsigma\biggr）\，ds\\&\quad\geqt^{b}\int_{0}^{1} P（P）（s，\varsigma）\iota{q}\biggl（\int_{0}^{1} 问（s，\varsigma）f\bigl（\varsimma，f{0^{+}}）^{n-2}周（\varsigma），\ldot，f_{0^{+}}^{1} w个（\varsigma），w（\varsigma）\bigr）\，d\varsigma\biggr）\，ds，\end{对齐}$$

我们获得

$$T\biggl（tx，\frac{1}{t} 年\biggr）\geq t^{b} T型Q_{e}中的（x，y），四元x，y，（0,1）中的t，（0,1）中的b$$

因此

$$开始{aligned}\frac{\Gamma（\alpha-n+2）}{A\Gamma（\alfa）}t^{\alpha-1}&=\frac}{A} 如果_{0^{+}}^{n-2}e（t） \lequ（t）\\&\leqMf_{0^{+}}^{n-2}e（t） =\frac｛A\Gamma（\alpha-n+2）｝｛\Gamma（\alpha）｝t^｛\alpha-1｝，\fquad t\in（0,1）。\结束{对齐}$$

自\（f\在L^{p}（\mathbb{R}^{n}）中\）和\（g\在L^{q}（\mathbb{R}^{n}）中\）（请参见[11])，我们有

$$f*g\在L^{r}\bigl（\mathbb{r}^{n}\bigr）中$$

这表明存在功能\（g_｛n｝\in\mathcal｛S｝（\mathbb｛R｝^｛n｝）\）这样的话

$$\垂直g-g_{n}\垂直_{q}\到0$$

作为\（n\rightarrow\infty\）,

$$（f*g{n}）^{\wedge}=\hat{f}\hat}g{\varepsilon}}{n}$$

和

$$（fg_｛n｝）^｛\wedge｝=\hat｛f｝*\hat｛g_｛\varepsilon｝｝_｛n｝$$

因此，在分配意义上

$$\lim_{n\to\infty}（f*g_{n}）^{楔形}（x）=（f*g）^{楔形}（x）$$

另一方面

$$\bigl\vert\bigl\langle\hat{f}（\hat}g{\varepsilon}}_{无}-\hat{g_{\varepsilon}}，\lambda）\bigr\vert\bigr\rangle=\bigl\vert\bigl\langle（\hat}_｛n｝-\hat{g_{\varepsilon}}，hat{f}\lambda）\bigr\vert\bigr\rangle\le\vert\hat{f}\lampda\vert_{q}\vert\ hat{g{varepsilen}}}_{无}-{g_{\varepsilon}}\Vert_{q^{prime}}\到0$$

作为\（到英寸）.

因此，结果

$$（f*g）^{\wedge}=\hat{f}\hat}g{\varepsilon}}$$

获得。□

我们定义

$$开始{对齐}&S_{n}=\bigl\{西格玛{k}:\{1,2，\ldots，n\}到\{+1，-1\}\bigr\}，\\&Q_{\sigma{k}}=\bigl\{y=（y_{1}，y_{2}，\ldot，y_}）在\mathbb{R}^{n}:y_{j}\sigma{k}（j）>0\big R\}\结束{对齐}$$

和

$$-Q_{\sigma_{k}}=\bigl\{xi\ in \mathbb{R}^{n}:-\xi\ in Q_{\sigma_{k{}\bigr\}，\quad\quad\operatorname{sgn}（\xi）=\prod^{无}_{j=1}\operatorname{sgn}（\xi{j}）$$

哪里\（j=1,2，\ldot，n）.

因此，如果\（Q_{\sigma_{k}}中的\xi\）和\（\eta\ in-Q_{\sigma_{k}}\），那么\（\operatorname{sgn}（\xi）=\operator name{sgan}（\t）\）什么时候n个是偶数，并且\（\operatorname{sgn}（\xi）=-\operator名称{sgn{（\eta）\）什么时候n个很奇怪。

通过这些符号，我们得到了以下内容。

定理2.2

让 n个 是个怪人 \（f\in\mathcal{S}（\mathbb{R}^{n}）\）,\（g\在L^{p}（\mathbb{R}^{n}）中\）(\（1<第2页）)满足支持f̂,\（\operatorname{supp}\hat{g{\varepsilon}}\subseteqQ{\sigma{k}}\cup-Q{\sigma{k}}\） 具有 \（a_｛j｝\sigma_｛k｝（j）\）,\（-b{j}\sigma{k}（j）\in\operatorname{supp}\hat{f}\）(\（j=1,2，\ldot，n）)和

$$\operatorname{supp}\hat{f}\subseteq\bigl\{xi\ in Q_{\sigma_{k}}:\sigma_{k{}（j）\xi_{j}\lea_{j{}\bigr\}\cup\bigl\{xi\ in-Q_{\sigma-{k}：-\sigma _{kneneneep（j）\ xi_{j}\leb_{jneneneep \bigr$$

然后 \（g\在L^｛p｝中（\mathbb｛R｝^｛n｝）\） 满足薛定谔-类型标识 \（\操作员姓名{附表}_{\alpha}（fg）=\operatorname{fSch}_{\字母}（g）\） 当且仅当

Q_{\sigma_{k}}:\sum中的$$\operatorname{supp}\hat{f}\subseteq\Biggl\{\xi\^{无}_{j=1}\frac{\sigma{k}（j）\xi{j}{b_{j}}\ge1\Biggr\}\cup\Biggl\{xi\in\sum^{无}_{j=1}\frac{-\sigma{k}（j）\xi{j}}{a{j}{ge1\Biggr}$$

证明

假设\（Q_{\西格玛_{k}}\）是年的第一个八分位数\（\mathbb{R}^{n}\）也就是说，所有\（σ{k}（j）=1），其中\（j=1，2，\ldot，n）.

让

$$\begin{aligned}&\hat{f}\bigl（s），g_{0^{+}}^{n-2}\operatorname{sgn}（s g{0^{+}}^{n-2}米（s） ，g{0^{+}}^{n-3}米（s） ，\ldot，g_{0^{+}}^{1} 米（s） ，m），&\operatorname{sgn}<m（s），\\f（s）torname{sgn}（s）\leqn（s），\\f（s，g{0^{+}}^{n-2}n（s） ，g{0^{+}}^｛n-3｝n（s） ，\ldot，g_{0^{+}}^{1} n个（s） ，n个），&\operatorname{sgn}>n个。\结束{cases}\displaystyle\end{aligned}$$

(2.3)

考虑分数微分方程

$$开始{聚集}Q_{0^{+}}^{\beta}\iota_{p}\bigl+}}^{1}\operatorname{sgn}，\operator name{sgno}\bigr=0，\\0<t<1，\\v（0）=0，\quad\quad v（1）=av（\xi），\quad Q_{0^{+}}=Q_{0^{+}}^{\alpha-n+2}v（1）=0。\结束{聚集}$$

(2.4)

设置\（\Omega_｛2｝=\{v\in E_｛2｝：\Vert v\Vert\leq M_｛1｝\iota_{q｝（M_{2} L（左）_{2})\}\)，那么\（\Omega_{2}\）是一个闭的、有界的凸集，其中

$$L_{2}:=\sup_{t\in[0，1]，v\in\Omega_{2{}\bigl\vert\hat{f}\bigle（s，g_{0^{+}}^{n-2}\operatorname{sgn}（s），\ldots，g_0^{+{}}^1}\operatorname{sgen}（sg），\operator name{sgan}（s-）\bigr\vert+1$$

操作员\（A:\Omega_{2}\到E_{2}\）由定义

$$A\operatorname{sgn}=\int_{0}^{1} P（P）（s，\varsigma）\iota{q}\biggl（\int_{0}^{1} 问（s，\varsigma）\hat{f}\bigl（\varsimma，g{0^{+}}）^{n-2}v（\varsigma），\ldot，g_{0^{+}}^{1} v（v）（\varsigma），v（\varsigma）\bigr）\，d\varsigma\biggr）\，ds$$

现在，我们展示一下A类是一个完全连续的算子。由此可见

$$\开始{aligned}&\bigl\vert（Av）\bigr\vert\\&\quad=\biggl\vert\int_{0}^{1} P（P）（s，\varsigma）\iota{q}\biggl（\int_{0}^{1} 问（s，\varsigma）\hat{f}\bigl（\varsimma，g{0^{+}}）^{n-2}v（\varsigma），\ldot，g_{0^{+}}^{1} 五（\varsigma），v（\varsigma）\bigr）\，d\varsigma\biggr）\，ds\biggr\vert\\&\quad\leq\int_{0}^{1} P（P）（s，\varsigma）\iota{q}\biggl（\int_{0}^{1} 问（s，\varsigma）\bigl\vert\hat｛f｝\bigl（\varsigma，g_｛0^｛+｝）^｛n-2｝v（\varsigma），\ldot，g_{0^{+}}^{1} v（v）（\varsigma），v（\varsigma）\bigr）\biger\vert\，d\varsigma\biggr）\，ds\\&\quad\leqL_{2}^{q-1}\int_{0}^{1} P（P）（s，\varsigma）\iota{q}\biggl（\int_{0}^{1} 问（s，\varsigma）\，d\varsigma\biggr）\，ds\\&&\quad\leq L_｛2｝^｛q-1｝\int_｛0｝^{1} P（P）（s，s）\iota{q}\biggl（\int_{0}^{1} 问（\varsigma，\varsigma）\，d\varsigma\biggr）\，ds\\&&\quad<+\infty，\end｛aligned｝$$

这就产生了

$$P（t_{1}，s）-P（t_{2}，s）<frac{\varepsilon}{L_{2}^{q-1}\iota_{q}（int_{0}^{1} 问（\变量符号，\变量符号）\，d\变量符号）}$$

所以

$$开始{对齐}和\bigl\vert Av（t_{2}）-Av（t_{1}^{1} 问（s，\varsigma）\hat{f}\bigl（\varsimma，g{0^{+}}）^{n-2}v（\varsigma），\ldot，g_{0^{+}}^{1} v（v）（\varsigma），v（\varsigma）\bigr），d\varsigma\biggr）^{1} 问（\varsigma，\varsimma）\，d\varsigma\biggr）\，ds\\&\quad\leq L_{2}^{q-1}\iota_{q}\biggl（\int_{0}^{1} 问（\varsigma，\varsimma）\，d\varsigma\biggr）\int_{0}^{1}\bigl\vert P（t_{2}，s）-P（t_{1}，s）\bigr\vert，ds\\&\quad<\varepsilon\end{aligned}$$

对于任何\（v\在\欧米茄{2}\中）.

我们证明了分数阶微分方程至少有一个正解。假设\（天\）是的解决方案(2.4)（请参见[9])，然后

$$d（0）=0，\quad\quad d（1）=ad（\xi），\quae\quad Q_{0^{+}}^{\alpha-n+2}d$$

所以

$$\开始{aligned}&f\bigl（s，g_{0^{+}}^{n-2}n（s） ，g{0^{+}}^｛n-3｝n（s） ，\ldot，g_{0^{+}}^{1} n个（s） ，n（s）\biger）\\&\quad\leq\hat{f}\bigl（s，g{0^{+}}^{n-2}d（s） ，g{0^{+}}^{n-3}d（s） ，\ldot，g_{0^{+}}^{1} d日（s） ，d（s）\bigr）\\&&quad\leq f\bigl（s，g_｛0^｛+｝｝^{n-2}米（s） ，g{0^{+}}^{n-3}米（s） ，\ldots，g_｛0^｛+｝｝^{1} 米（s） ，米\更大）。\结束{对齐}$$

所以

$$\开始{aligned}&f\bigl（s，g_{0^{+}}^{n-2}q（s） ，g{0^{+}}^{n-3}q（s） ，\ldot，g_{0^{+}}^{1} q个（s） ，q（s）\bigr）\\&\quad\leq\hat{f}\bigl（s，g{0^{+}}^{n-2}d（s） ，g{0^{+}}^{n-3}d（s） ，\ldot，g_{0^{+}}^{1} d日（s） ，d（s）\bigr）\\&\quad\leq f \bigl（s），g_{0^{+}}^{n-2}p（s） ，g{0^{+}}^{n-3}p（s） ，\ldots，g_｛0^｛+｝｝^{1} 第页（s） ，p（s）\biger），\end{对齐}$$

这就产生了

$$开始{对齐}Q_{0^{+}}^{\beta}\iota_{p}\bigl}^{n-2}p（s） ，g{0^{+}}^{n-3}p（s） ，\ldots，g_｛0^｛+｝｝^{1} 第页（s） ，p（s）\更大）。\结束{对齐}$$

从上述讨论中，我们得出

$$开始{对齐}和Q_{0^{+}}^{\beta}\iota_{p}\bigl（Q_{0 ^{+{}}^}\alpha-n+2}n（s）\bigr）-Q_{0^{+}}^{\beta}\ieta_{p}\bigle（Q_ 0^{+}}^ \alpha-n+2}d（s）\ bigr^{n-2}p（s） ，g{0^{+}}^{n-3}p（s） ，\ldots，g_｛0^｛+｝｝^{1} 第页（s） ，p（s）\bigr）\\&\quad\quad{}-\hat{f}\bigl（s，g{0^{+}}^{n-2}d（s） ，g_｛0^｛+｝｝^{n-3}d（s） ，\ldot，g_{0^{+}}^{1} d日（s） ，d（s）\bigr）\\&&quad\geq 0，\end｛aligned｝$$

哪里\（在[0,1]\中）.

如果我们允许\（z（s）=\iota{p}（Q_{0^{+}}^{\alpha-n+2}n（s））-\iota}p}，那么\（z（0）=z（1）=0）.莱玛2.1，我们有\（z（s）\leq 0\）.

因此，

$$\iota{p}\bigl（Q_{0^{+}}^{\alpha-n+2}n（s）\biger）\leq\iota_{p}\ bigl$$

哪里\（[0,1]\中的秒）.

自\（\iota{p}\）单调增加，

$$Q_{0^{+}}^{\alpha-n+2}n（s）\leqQ_{0 ^{+{}}^}\alpha-n+2}d（s）$$

也就是说，

$$Q_{0^{+}}^{\alpha-n+2}（n-d）\leq 0$$

假设支持f̂,\（\operatorname{supp}\hat{g{\varepsilon}}\subseteq\sigma{k}（j）\cup-\sigma{k}（j）\），我们获得

$$\int_{Q_{\sigma_{k}}}\hat{f}（x-t）\hat}g{varepsilon}}（s）\，ds=0$$

哪里\（x\in-Q_{\sigma_{k}}\）、和

$$\int_{-Q_{\sigma_{k}}}（x-t）\hat{g_{varepsilon}}，ds=0$$

哪里\（x\在Q_{\sigma_{k}}\中）.

所以

$$\operatorname{supp}\hat{g_{\varepsilon}}\chi Q_{\sigma_{k}}\subseteq\Biggl\{\xi\在Q_{\sigma_{k{}}:\sum中^{无}_{j=1}\压裂{xi_{j}}{b_{j{}}\ge1\Biggr}$$

(2.5)

因为另一种情况可以以类似的方式获得。

让\（\lambda=\hat{f}\chi{-Q{\sigma{k}}\）和\（\varrho=\hat{g_{\varepsilon}}\chi Q_{\sigma_{k}}\）.我们分解ϱ进入之内

$$\varrho=\varrho{1}+\varrho2}$$

具有\（\operatorname{supp}\varrho_{1}\subseteq\prod^{无}_{j=1}[0，b{j}]\）和\（\operatorname{supp}\varrho{2}\subseteq\上一行{Q{\sigma{k}}\setminus\prod^{n}_{j=1}（0，b_{j}）}\）.

由(2.5)我们获得

$$（\varrho_{1}*\lambda）（x）=-（\varrro_{2}*\lambda）$$

哪里\（x\in-Q_{\sigma_{k}}\）.

与此同时

$$\operatorname{supp}（\varrho_{2}*\lambda）\subseteq\operator名称{supp}\varrho{2}+\ operatorname{supp}\slambda\subsetq\上划线{Q_{sigma_{k}}\setminus\prod^{无}_｛j＝1｝（0，b_｛j｝）｝+产品^{无}_{j=1}[-b_{j}，0]\substeq\mathbb{R}^{n}\setminus（-Q_{\sigma_{k}}）$$

(2.6)

和

$$\operatorname{supp}（\varrho_{1}*\lambda）\substeq\operator名称{supp}\varrho{1}+\operatormame{supp}\slambda\substeq \prod^{无}_{j=1}[0，b{j}]+\prod^{无}_{j=1}[-b{j}，0]\subseteq\prod^{无}_{j=1}[-b{j}，b{j}]$$

(2.7)

由(2.6)很明显

$$\operatorname{supp}（\varrho_{1}*\lambda）\subsetq\mathbb{R}^{n}\setminus（-）Q_{\sigma_{k}}$$

这与(2.7)意味着

$$\operatorname{conv}\operator name{supp}（\varrho_{1}*\lambda）\substeq\Biggl\{xi\in\mathbb{R}^{n}:-b_{j}\le\xi_{j{}\leb_{jneneneep，\sum^{无}_{j=1}\压裂{xi{j}}{a{j}{ge1-n\Biggr}$$

(2.8)

我们声称，对于任何\（\xi\in\operatorname{supp}\varrho{1}\）,

$$\总额^{无}_{j=1}\压裂{xi{j}}{a{j}{ge 1$$

持有。

如果无效，则\（\xi^{1}\in\operatorname{conv}\operator名称{supp}\varrho{1}\）令人满意的

$$\总额^{无}_{j=1}\压裂{xi{j}}{b{j}{<1$$

请注意\（\xi^{2}=b\in\operatorname{supp}\lambda\）满足

$$\总额^{无}_{j=1}\压裂{xi{j}}{b{j}=-n$$

自

$$\operatorname{conv}\operator name{supp}（\varrho_{1}*\lambda）=\operatoriname{conv}\operatorname{supp}\varrho{1}+\operatoraname{conv-}\opperator name{supp{lambda$$

存在一些问题\（\xi\in\operatorname{conv}\operator name{supp}（\varrho{1}*\lambda）\）这样的话

$$\总额^{无}_｛j=1｝\frac｛xi_｛j｝｝｛a_｛j｝｝<1-n$$

这与之相矛盾(2.8). 我们的结论是

$$\operatorname{supp}\varrho_{1}=\operator名称{supp}\hat{g{\varepsilon}}\chi Q_{\sigma_{k}}\subseteq\Biggl\{\xi\ in Q_{\sigma_{k{}}:\sum^{无}_{j=1}\frac{\xi_{j}}{b_{j{}}\ge1\Biggr\}$$

这就完成了证明。□

三结论

本文主要致力于发展中的一个薛定谔自由边界问题的Schrödinger型恒等式\（\mathbb{R}^{n}\）作为一个应用，我们建立了一些分布函数的乘积满足薛定谔型恒等式的充要条件。因此，我们的结果大大改进并推广了以前的工作。