具有声学边界条件的拟线性粘弹性波动方程解的整体不存在性

摘要

本文考虑一类具有声学边界条件的拟线性粘弹性波动方程。在松弛函数的适当假设下克，函数Φ，\（p>\max\{\rho+2，m，q，2）和初始数据，我们证明了具有正初始能量的拟线性粘弹性波动方程解的整体不存在性。

1介绍

在本文中，我们关注以下具有声学边界条件的准非线性粘弹性波动方程：

$$开始{对齐}和开始{校准}[b]和\bigl\vert u_{t}{p-2}u（t）\quad\mbox{in}\Omega\times（0，\infty），\end{aligned}\end{aligned}$$

(1)

$$\begin｛aligned｝&u（t）=0\quad\mbox｛on｝\Gamma_｛0｝\times（0，\infty），\end｛aligned｝$$

(2)

$$\开始{对齐}和\frac{部分u（t）}{\partial\nu}-\int_{0}^{t}g（t-s）\frac}\partial u（s）}{\部分\nu}\，ds+\Phi\bigl（u_{t}（t）\bigr）=h（x）y_{t{（t$$

(3)

$$\开始{对齐}&u_{t}（t）+f（x）y_{t{}（t）+q（x）y（t）=0\quad\mbox{on}\Gamma_{1}\次（0，\infty），\end{aligned}$$

(4)

$$\begin{aligned}&u（x，0）=u{0}（x），u{t}（x，0）=u{1}（z）\quad\mbox{in}\Omega，\end{alinged}$$

(5)

$$\begin{aligned}&y（x，0）=y_{0}（x）\quad\mbox{on}\Gamma_{1}，\end{aligned}$$

(6)

其中Ω是的正则有界域\（\mathbb{R}^{n}\）(\（第1页）)、和\（\partial\Omega=\Gamma_{0}\cup\Gamma_{1}\）.在这里\（\Gamma_{0}\）,\（伽马{1}）闭合且不相交\（\分数{\部分}{\部分\nu}\）表示Γ的单位外法向导数。功能\（克：\mathbb{右}_{+}\rightarrow\mathbb{右}_{+}\)是一个正的非递增函数\（\Phi:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\）是单调连续的，函数\（f，q，h:\Gamma_{1}\rightarrow\mathbb{右}_{+}\)本质上是有界的，并且\（q（x）\geqq{0}>0\）.

系统(1)–(6)是一个具有声学边界条件的拟线性粘弹性波动方程模型。声学边界条件由Morse和Ingard引入[14]1968年，由Beale和Rosencrans于[1]，其中作者证明了非线性问题的全局存在性和正则性。什么时候？\（\vert u{t}（t）\vert ^{rho}\）不是一个恒定的系统(1)–(6)can模拟密度取决于速度的材料\（u{t}\）上述系统的物理应用是结构声学系统中的噪声抑制问题，这是物理学和工程界非常感兴趣的问题之一。降低直升机机舱内的压力水平和抑制声学室内的噪音也是基于一些特殊类型的边界条件，如系统中所述(1)–(6)，（请参见[4,5]还有另一个案例[9]).

Boukhatem和Benabderrahmane[2,三]研究了具有声学边界条件的粘弹性波动方程解的存在性、爆破性和衰减性。最近，许多作者用声学边界条件处理了波/梁方程，参见[7,8,10,12,13,15,16]以及其中的参考文献。Graber和Haid Houari[5]研究了具有多孔声学边界条件的非线性波动方程的爆破解：

$$\开始{对齐}和u_{tt}（t）-\Delta u（t）+\alpha（x）u（t）+g（x）z（t）=0\quad\mbox{on}\Gamma{1}\times（0，\infty），\\&\frac{\partialu（t）}{\partial\nu}-h（x）\eta\bigl（z_{t}（t）\bigr）+\rho\bigle（u_{t{（t \Omega，\\&z（x，0）=z_{0}（x）\quad\mbox{on}\Gamma_{1}，\end{aligned}$$

哪里\（\alpha:\Omega\rightarrow\mathbb{R}\）和\（f，g，h:\上划线{\Gamma}_{1}\rightarrow\mathbb{R}\）给出了函数。还有功能\（j_｛1｝\）和\（j{2}\）具有多项式结构，如下所示：\（j{1}=垂直^{p-2}）,\（j{2}（s）=\verts\vert^{k-2}sk\）,\（第二页）、功能ρ和ϕ是单调的、连续的，并且存在四个正常数\（m{q}\）,\（M_{q}\）,\（c｛r｝\）、和\（C_{r}\）这样的话\（m_{q}\verts s\vert^{q}\leq\rho（s）s\leq m_{q{\verts s \ vert^{q}\）,\（c_{r}\verts s\vert^{r}\leq\phi（s）s\leq c_{r}\vert s\vert ^{r}\）此外，Di等人[4]研究了一个具有非线性边界源项的粘弹性波动方程：

$$\开始{aligned}&\bigl\vert u_{t}（t）\bigr\vert^{\rho}u_{tt}（t）-\增量u（t）+\int_{0}^{t}g（t-s）\增量u \partial u}{\partial\nu}（t）-\int_{0}^{t}g（t-s）\frac{\partic u}{\ partial\nu}（s）\，ds=f\bigl（u（t）\bigr）\quad\mbox{on}\Gamma_{1}\times（0，\infty），\\&u（x，0）=u{0}（x），u{t}（x，0）=u{1}（x\quad\\mbox{in}\Omega，\end{aligned}$$

哪里\（\rho\geq1\）Ω是的有界域\（\mathbb{R}^{n}\）(\（第1页）)边界光滑\（\Gamma:=\部分\Omega\）.让\（\{\Gamma_{0}，\Gamma_1}\}\）是其边界Γ的划分，这样\（\伽马=\伽马_｛0｝\杯子\伽马_｛1｝\）,\（\overline{\Gamma}_{0}\cap\overline{\Gamma}_{1}=\emptyset\）、和\（\operatorname{meas}（\Gamma_{0}）>0\）在这里，ν是向外垂直于Γ的单位，以及克,（f）给出了满足适当条件的函数。他们引入了一类势阱，并证明了一些集的不变性。然后，他们在适当的假设下，建立了具有小初始能量的全局弱解的存在性和不存在性\（g（\cdot）\）,\（f（\cdot）\）初始数据和方程中的参数。他们还证明了具有临界初始条件的问题弱解的全局存在性\（I（u_{0}）\geq0\）和\（e（0）=d\）此外，Song[17]研究非线性粘弹性波动方程

$$开始{对齐}和\bigl\vert u_{t}（t）\bigr\vert^{\rho}u_{tt}（t）-\Delta u（t）+\int_{0}^{t}g（t-\tau）\Delta u（\tau 2}u（t）\quad\mbox{in}\Omega\times[0，t]，\\&u（x，t）=0\quad\\mbox{on}\部分\Omega\times[0，T]，\\&u（x，0）=u_{0}（x），u_{T}（x，0）=u_{1}（z）\quad\mbox{in}\Omega，\end{aligned}$$

其中Ω是的有界域\（\mathbb{R}^{n}\）(\（第1页）)边界光滑∂Ω,\（m\geq2）,\（g:\mathbb{R}^{+}\rightarrow\mathbb{R}^{+{）正的非递增函数，以及

$$2<p，\rho<infty，\quad\mbox{if}n=1,2，\qquad 2<p$$

作者证明了粘弹性波动方程正初始能量解的全局不存在性。最近Jeong等人[6]用声学边界条件研究拟线性波动方程

$$开始{aligned}&u_{tt}（t）-\Delta u_{t}（t）-\operatorname{div}\bigl{t}（t）\bigr\vert^{m-2}u{t}（t）\\&\quad=\bigl\vert u（t）\bigr\vert^{p-2}u（t）\quad\mbox{in}\Omega\times（0，\infty），\\&u（t bigl\vert\nabla u{t}（t）\bigr\vert^{\beta-2}\frac{\partial u{t{（t）}{\partial\nu}=h（x）y_{t}（t）\quad\mbox{on}\Gamma{1}\times（0，\infty），\\&u_{t{（t{1}（x）\quad\mbox{in}\Omega，\\&y（x，0）=y_{0}（x）\quad\mbox{on}\Gamma_{1}，\end{aligned}$$

哪里\（a，b>0）,\（\alpha，\beta，m，p>2\），Ω是的正则有界域\（\mathbb{R}^{n}\）(\（第1页）)和\（\partial\Omega（=\Gamma）=\Gamma_{0}\cup\Gamma_{1}\）.功能\（f，q，h:\Gamma_{1}\rightarrow\mathbb{右}_{+}\)本质上是有界的。他们研究了具有声学边界条件的拟线性波动方程解的整体不存在性。受之前作品的启发[5,17]，我们考虑问题(1)–(6). 在适当的松弛函数假设下克，非线性函数\（\Phi（\cdot）\）,\（p>\max\{\rho+2，m，q，2）根据系统的初始数据和参数，我们证明了具有小正初始能量的弱解的不存在性。

2爆破结果

在本节中，我们将介绍一些将在整个工作中使用的材料

$$H_{\Gamma_{0}}^{1}（\Omega）=\bigl\{u\在H^{1{（\欧米茄）\vert u=0\mbox{on}\Gamma_{0}\bigr\}$$

并捐赠\（H_{\Gamma_{0}}^{1}（\Omega）\）希尔伯特结构由\（H^{1}（\Omega）\）.我们有\（H_{\Gamma_{0}}^{1}（\Omega）\）是希尔伯特空间。为了简单起见，我们表示\（\Vert\cdot\Vert_{p}=\Vert\cdot\Vert_{L^{p}（\Omega）}\）,\（\Vert\cdot\Vert_{p，\Gamma}=\Vert\cdot\Vert_{L^{p}（\Gamma）}\）,\（1）.

我们提出了证明主要结果所需的一些假设和初步准备。

我们做出以下假设：

（H1）:

\（克：\mathbb{右}_{+}\rightarrow\mathbb{右}_{+}\)是一个可微函数，使得

$$1-\int_{0}^{\infty}g（s）\，ds=l>0，\qquad g（t）\geq0，\q quad g'（t）\ leq0，\ quad \ for all t\geq0$$

(7)

（H2）:

对于非线性项，我们有

$$开始{aligned}&2<p\leq\frac{2（n-1）}{n-2}\quad\mbox{if}n\geq3\quad\\mbox{和}\quad p>2\quad\mbox{if{n=1,2，\end{aligned}$$

(8)

$$\开始{aligned}&2<\rho\leq\frac{2}{n-2}\quad\mbox{if}n\geq3\quad\\mbox{和}\quad\rho>0\quad_mbox{if}n=1,2。\结束{对齐}$$

(9)

（H3）:

\（\Phi:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\）是单调的、连续的，并且存在正常数\（m{q}\）和\（M_{q}\）这样的话

$$m_{q}\vert s\vert^{q}\leq\Phi（s）s\leq m_{qneneneep \vert s \ vert^}，\quad\对于所有s\在\mathbb{R}中$$

(10)

（H4）:

功能（f）,q个,小时本质上是有界的

$$f（x）>0，\qquad q（x）>0\quad\mbox{和}\quad h（x）大于0，\quad_对于\Gamma_{1}中的所有x$$

我们在没有证明的情况下陈述了一种局部存在，这种局部存在可以通过组合[4,5].

假设（H1）-（H4）成立，\（u{0}\在H_{\Gamma{0}}^{1}（\Omega）中）,\（u_{1}\在L^{2}（\Omega）中\）、和\（L^{2}（Gamma{1}）中的y_{0}）.然后是问题(1)–(6)承认局部解决方案薄弱\（（u，y）\）这样，对一些人来说\（T>0\）,

在L^{\infty}\bigl（[0，T）；H_{\Gamma_{0}}^{1}（\Omega）\bigr）中的$$开始{对齐}&u，在L^}\infty}\bigle（[0,T）；L^{2}（\ Omega Gamma_{1}\bigr），在L^{2}\bigl（[0，T）$$

为了获得全局不存在的结果，我们需要以下引理。

引理2.1

假设（H1）–（H4）持有.让 \（u（t）\） 解决问题(1)–(6).然后能量函数 \（E（t）\） 问题的数量(1)–(6)没有增加.此外,以下能量不等式成立:

(11)

哪里

(12)

和

(13)

引理2.2

假设（H1）–（H4）持有.让 \（u（t）\） 是问题的解决方案(1)–(6).此外,假设

$$E（0）<E_{1}=\biggl（\frac{1}{2}-\frac}1}{p}\biggr）B_{1}^{-\frac{2p}{p-2}}$$

和

$$\Vert\nabla u_{0}\Vert\geq B_{1}^{-\frac{p}{p-2}}$$

哪里 \（B_｛1｝=B/l^｛\frac｛1｝｛2｝｝） 和 B类 是Sobolev嵌入的最佳常数 \（H_{0}^{1}（\Omega）\hookrightarrow L^{p}（\欧米茄）\）.然后存在一个常数 \（β>B_{1}^{-\frac{p}{p-2}}\） 这样的话

$$\biggl（1-\int_{0}^{t}g（s）\，ds\biggr）\bigl\Vert\nabla u（t）\bigr\Vert_{2}\geq\beta^{2}，\quad\forall t>0$$

(14)

和

$$\bigl\Vert u（t）\bigr\Vert_{p}\geq B_{1}\beta，\quad\对于所有t>0$$

(15)

证明

发件人(6)和嵌入定理，我们有

(16)

哪里\（\xi=（（1-\int_{0}^{t}g（s）\，ds）\Vert\nabla u（t）\Vert^{2}）^{\frac{1}{2}\）。很容易看出\（G（\xi）\）取其最大值\（\ xi=\ xi ^｛*｝=B_｛1｝^｛-\frac｛p｝｛p-2｝｝\），将严格增加\（0<\xi<\xi^{*}\），严格减少\（\xi>\xi^{*}\）,\（G（\xi）\右箭头-\infty\）作为\（\xi\rightarrow\infty\）、和

$$G\bigl（\xi^{*}\bigr）=\biggl（\frac{1}{2}-\frac}1}{p}\biggr）B_{1}^{-\frac{2p}{p-2}}=E_{1}$$

自\（E（0）<E_{1}\），存在\（\beta>\xi^{*}\）这样的话\（G（β）=E（0））.设置\（\xi_{0}=\Vert\nabla u（0）\Vert\），由(16)，我们看到了

$$G（\xi_{0}）\leq E（0）=G（\beta）$$

这意味着

$$\Vert\nabla u_｛0｝\Vert=\xi_｛0｝>\测试版$$

为了证明(14)相反，我们认为

$$\biggl（\biggl（1-\int_{0}^{t}g（s）\，ds\biggr）\bigl\Vert\nabla u（t）\bigr\Vert^{2}\biggr）^{\frac{1}{2}}<\beta$$

对一些人来说\（t=t{0}>0\）.通过连续性\（（1-\int_｛0｝^｛t｝g（s）\，ds）\Vert\nabla u（t）\Vert^｛2｝\），我们可以选择\（t_{0}\）这样的话

$$\beta>\biggl（\biggl（1-\int_{0}^{t_{0}g（s）\，ds\biggr）\bigl\Vert\nabla u（t_{0{）\bigr\Vert^{2}\bigger）^{\frac{1}{2}>\xi^{*}$$

然后它从(16)那个

$$E（t_{0}）\geq G\biggl$$

这与引理相矛盾2.1.因此(14)已被证明。现在我们要证明(15). 发件人(12), (13), (14)、和引理2.1，我们推断

因此，引理的证明2.2已完成。□

定理2.1

让 \（2<m<p）,\（2 \leq q<p） 并假设（H1）–（H4）持有.假设 \（\rho<p-2）,\（0<\varepsilon_{0}<\frac{p}{2}-1\）,和

$$\int_{0}^{\infty}g$$

(17)

都很满意,那么就不存在问题的全局解决方案(1)–(6)如果

$$E（0）<\bigl（1-C M_｛q｝\frac｛\lambda ^｛q｝｝｛q｝\frac｛2｝｛p-2｝-\frac｛1｝｛p（p-2）｝\frac｛1-l｝｛l｝\biggr）\bigl（\frac｛1｝｛2｝-\frac｛1｝｛p｝\biggr）B_｛1｝^｛-\frac｛2 p｝｛p-2｝｝$$

(18)

和

$$\Vert\nabla u_{0}\Vert>B_{1}^{-\frac{p}{p-2}}$$

(19)

证明

假设解决方案\（u（t）\）第页，共页(1)–(6)是全球性的。我们设置了

$$H（t）=E_{2}-E（t）$$

(20)

其中常量\（E_{2}\ in（E（0），E_{1}）\）应稍后选择。按引理2.1，函数\（H（t）\）正在增加。那么，对于\（t \geq s \geq0）,

(21)

因此，从(14)我们得到

$$\开始{对齐}[b]H（t）&\leqE_{2}-\frac{1}{2}\biggl（1-\int_{0}^{t}g（s）\，ds\biggr）\bigl\Vert\nabla u（t）\bigr\Vert^{2}+\frac}1}{p}\bigl\ Vert_u（t{2}\biggl（1-\int_{0}^{t}g（s）\，ds\biggr）\bigl\Vert\nabla u（t）\bigr\Vert^{2}+\frac{1}{p}\bigl\ Vert u（t\bigr\Vert_{p}^{p}\\&\leq E_{1}-\frac{1}{2}B_{1}^{-\frac{2p}{p-2}}+\frac}1}{p}\bigl\Vert u（t）\bigr\ Vert_{p}^{p}\\&=\biggl \压裂{2p}{p-2}}-\压裂{1}{2}B{1}^{-\frac{2p{{p-2{}}+\frac}1}{p}\bigl\Vertu（t）\bigr\Vert_{p}^{p}\\&\leq\frac[1}{p{2}}+\frac{1}\bigr\Vert_{p}^{p}。\结束{对齐}$$

(22)

现在，我们定义

$$开始{对齐}[b]L（t）&=H^{1-\sigma}（t）+\frac{\varepsilon}{\rho+1}\int_{\Omega}\bigl\vert u{t}（t）\bigr\vert^{\rho}u{t{（t y^{2}（t）\，d\Gamma-\varepsilon\int_{\Gamma_{1}}H（x）u（t）y（t）$$

(23)

其中常量\（0<西格玛<1）,\（\varepsilon>0\）应稍后选择。

求…的导数(23)，使用(7)–(10)和引理2.1，我们有

$$开始{对齐}L'（t）&=（1-\sigma）H^{-\sigma}（t）H'（t u（t）\，dx\\&\四{}-\varepsilon\int_{\Gamma{1}}H（x）f（x）y（t）y_{t}（t），d\Gamma-\varepsilon\int_{\Gamma_{1}}h（x）u_{t}（t）y（t）\，d\Gamma\\&\quad{}-\varesilon\int_}\Gamma_1}}h（x）u（t）y_{tneneneep（t）\垂直u_{t}（t）\bigr\Vert_{\rho+2}^{\rho+2}\\&\quad{}+\varepsilon\int_{\Omega}u（t）\biggl[\Delta u（t）-\int_{0}^{t}g（t-s）\Delta u（s）\，ds-\bigl\vert u_{t}（t x）f（x）y（t）y{t}（t）y（t）\，d\Gamma\\&&\quad｛｝-\varepsilon\int_｛\Gamma_｛1｝｝h（x）u（t）y_｛t｝（t）\，d\Gamma\\&&=（1-\sigma）h^｛-\sigma｝（t）h'（t）+\frac｛\varepsilon｝｛\rho+1｝\bigl\Vert u_｛t｝（t）\bigr\Vert_｛\rho+2｝^｛\rho+2｝\\&&\quad｛｝-\varepsilon\int_｛\ Omega｝\bigl\Vert\nabla u（t）\bigr\Vert^｛2｝\，dx+\varepsilon\int_｛\Omega｝\nabla u（t）\int_{0}^{t}g（t-s）\nabla u（s）\，ds\，dx\\&quad{}-\varepsilon\int_}\Omega}\bigl\vert u_{t}（t）\ bigr\vert^{m-2}u_{t}（t）u（t epsilon\int_{\Gamma_{1}}u（t）\biggl（\frac{\partialu（t分形{部分u（s）}{部分nu}\，ds\biggr）\，d\Gamma\\&\quad{}-\varepsilon\int_{\Gamma_{1}}h（x）y（t）\bigl（f（x）y_{t}（t）+u_{t{（t t）\，d\Gamma\\&=（1-\sigma）h^{-\sigma}（t）h'（t）+\frac{\varepsilon}{\rho+1}\bigl\Vert u_{t}（t）\bigr\Vert _{\rho+2}^{\rho+2}-\varepsilon\bigl\ Vert\nabla u（t）\ bigr\Vert^{2}\\&\ quad{}+\varepsilon\int_{\Omega}\nabla u（t）\nint_{0}^{t}g（t-s）\nabla u（s）\，ds\，dx-\varepsi lon\int_{\Omega}\ bigl\Vert u{t}（t）\bigr\Vert ^{m-2}u{tneneneep（t）u（t）\，dx\\&\四{}+\varepsilon\bigl\Vertu（t）\bigr\Vert_{p}^{p}-\varepsilon\int_{\Gamma_{1}}\Phi\bigl（u_{t}（t）\ bigr）u（t），d\Gamma+\varepsiolon\int_{\Gamma_{1{}h（x）q（x）y^{2}（t）\，d\ Gamma。\结束{对齐}$$

(24)

利用霍尔德和杨氏不等式\（\varepsilon_{1}\）(\（0<\varepsilon_{1}<1\）)，我们获得

(25)

因此，从(24)和(25)，我们到达

(26)

因此，从(11), (12), (20)，以及(26)，我们推断

(27)

从这个关系和使用

由此可见

$$开始{对齐}L'（t）&\geq（1-\sigma）H^{-\sigma}n（1-\varepsilon_{1}）pH+\varepsilon\biggl（\frac{1}{\rho+1}+\frac{p（1-\varepsilon_{1}）}{\rro+2}\biggr）\bigl\Vert u_t}（t）\bigr\Vert_{\rho2}^{\rho+2}\\&\quad{}+\varepsi lon\varepsion_{1{\bigl\ Vert u（t）\ bigr\Vert_{p}^{p}-\varepsilon\int_{\Omega}\bigl\Vert u_{t}（t）\bigr\Vert^{m-2}u_{t}（t）u（t）\，dx\\&\quad{}-\varepsilon\int_{\Gamma_{1}}\Phi\bigl（u_{t}（t）\biger）u（t）裂缝{（1-\varepsilon_{1}）p}{2}-1\biggr）\biggl（1-\int_{0}^{t}g（s）\，ds\biggr）\bigl\Vert\nabla u（t）\bigr\Vert^｛2｝\\&&\quad｛｝-\frac｛\varepsilon｝｛2 p（1-\varepsilon\｛1｝）｝\int_｛0｝^｛t｝g（s）\，ds\bigl\Vert\nabla u（t）\bigr\Vert^｛2｝\\&&\geq（1-\sigma）H^｛-\sigma｝（t）\bigl\Vert u_｛t｝（t）\bigr\Vert_｛m｝^｛m｝+pH（t）\varepsilon（1-\varepsilon\｛1｝）\\&&\quad｛｝+\varepsilon\biggl）\biggl（1-\int_{0}^{t}g（s）\，ds\biggr）\bigl\Vert\nabla u（t）\bigr\Vert^{2}\\&\quad{}-\frac{\varepsilon}{2p（1-\varepsilon_{1}）}\int_{0}^{t}g（s）\，ds\bigl\Vert\nabla u（t）\bigr\Vert^{2}-\varepsilon（1-\verepsilon_1}）pE_{2}+\varepsi lon\varepssilon_{1}\bigl\ Vert u（t \Omega}\bigl\Vert u_{t}（t）\bigr\Vert ^{m-2}u_{t}（t）u（t）\，d\Gamma-\varepsilon\int_{\Gamma_{1}}\Phi\bigl（u_{t}（t）\biger）u（t）（压裂{（1-\varepsilon_{1}）p}{2}+1\biggr）\int{\Gamma{1}}H（x）q（x）y^{2}（t）\，d\Gamma。\结束{对齐}$$

(28)

根据Hölder和Young不等式，条件\（m<p\）, (22)，和嵌入定理(\（L^{p}（\Omega）\hookrightarrow L^{m}（\欧米茄）\）)，我们获得

$$开始{对齐}[b]\int_{\Omega}\bigl\vert u_{t}bigl\vert u（t）\bigr\vert ^{m}\，dx\biggr）^{\frac{1}{m}}\\&\leq\bigl\vert u{t}（t）\ bigr\vert{m}^{m-1}\bigl\Vert_u（t）\bigr\Vert_{m}\\&\leq C\bigl\ Vert_u{t}C{p}{m}}\bigl\垂直u（t）\bigr\垂直_}\bigl（\varepsilon_{1}\bigl\Vertu（t）\bigr\Vert_{p}^{p}+C（\varesilon_{1{）\bigl\ Vert_u{t}（t）\ bigr\Vert_{m}^{m}\bigr）\\&\leq CH（t）^{frac{1}{p}-\frac{1}}{m}}\big）\bigr\Vert_{p}^{p}+C（\varepsilon_{2}）\bigl\Vert_u{t}（t）\birgr\Vert_{m}^{m}\bigr），\end{aligned}$$

(29)

哪里C类是一个通用的正常量，可能会在不同的行之间变化，并且\（\varepsilon_{2}>\varepsilon_{1}p^{1/p-1/m}\）.

我们在这里选择

$$0<\sigma<\min\biggl$$

(30)

并采取\（α=\压裂{m-p}{pm}+\西格玛=-（压裂{1}{m}-\压裂{1{p}）+\西格玛<0\）。然后是属性(21)函数的\（H（t）\）向大家展示

$$H（t）^｛\frac｛1｝｛p｝-\frac｛1｝｛m｝｝=H（t）^｛-\sigma｝H（t）^｛\alpha｝\leq H（t）^｛-\sigma｝H（0）^｛\alpha｝$$

因此从不平等(30)它如下

$$\int_{\Omega}\bigl\vert u_{t}（t）\bigr\vert ^{m-2}u_{t}（t）u（t）\，d\Gamma\leq CH（t）^{-\sigma}H（0）^{\alpha}\bigr t）\bigr\vert_{m}^{m}\bigr）$$

(31)

此外，来自(10)，很明显

$$\int_{\Gamma_{1}}\Phi\bigl（u_{t}（t$$

(32)

以及下面的杨氏不等式

$$XY\leq\frac｛\lambda ^｛\gamma｝X^｛\gamma｝+\frac｛\lambda ^｛-\beta｝Y^｛\beta｝｝$$

\（X，Y\geq0\）,\（\lambda>0）,\（伽马射线，β射线{右}_{+}\)这样的话\（压裂{1}{\gamma}+\frac{1}}{\beta}=1\），然后从(10)，我们得到

$$开始{对齐}[b]\int_{\Gamma_{1}}\Phi\bigl（u_{t}（t）\bigr）u（t）}{q}\bigl\Vertu（t）\bigr\vert_{q，\Gamma_{1}}^{q}+M_{q}\分形{q-1}{q}\lambda^{-\frac{q}{q-1}}\bigl\Vertu{t}（t）\bigr\Vert_{q，\Gamma{1}}^{q}。\结束{对齐}$$

(33)

因此，从(28)和(31)–(33)，我们推断

$$\boot｛aligned｝[b]L'（t）&\geq（1-\西格玛）H^｛-\西格玛｝（t）\bigl\Vert u_｛t｝（t）\bigr\Vert｛m｝^｛m｝+\varepsilon\biggl[\frac｛1｝｛\rho+1｝+\frac｛p（1-\varepsilon\｛1｝）｝｛\rho+1｝\biggr]\bigl\Vert u_｛t｝（t）\bigr\Vert+2｝+\varepsilon（1-\varepsilon\｛1｝）pH（t）\hspace｛-20pt｝\&&\quad｛｝+\varepsilon\biggl[\biggl（\frac{（1-\varepsilon_{1}）p}{2}-1\biggr{2}空格{-20pt}\\&\四{}-\varepsilon\bigl\Vert u（t）\bigr\Vert_{p}^{p}\\&\quad{}-\varepsilon CH（t）^{-\sigma}H（0）^{\alpha}\bigl（\varepsilon_{2}\bigr\ Vert u r）\\&\四{}+（1-\sigma）H^{-\sigma}（t）m_{q}\bigl\Vertu{t}（t）\bigr\Vert_{q，\Gamma{1}}^{q}\\&\quad{}-\varepsilon M_{q}\frac{\lambda^{q}{q}\bigl\Vert u（t）\bigr\Vert_{q，\Gamma_{1}}^{q{-\varesilon M_{q}\frac{q-1}{q{\lambda ^{-\frac}{q-1{}\bigl\ Vert u{t}（t）\ bigr\Vert_{q 1}^{q}\\&\四{}+\varepsilon\biggl（\frac{（1-\varepsilon_{1}）p}{2}+1\biggr）\int_{Gamma{1}}h（x）q（x）y^{2}（t）\，d\Gamma\\&=H^{-\sigma}（t）\bigl[1-\simma-\varepsilon C H^{\alpha}（0）C（\varepsilon_{2}）\bigr]\bigl\Vertu{t}\biggr]\bigl\Vert u_{t}（t）\bigr\Vert_{\rho+2}^{\rho+2}\hspace{-20pt}\\&\quad{}+瓦雷普西隆（1-\varepsilon_{1}）pH（t）-\varepsi隆（1-\ varepsilen_{1{）pE_{2}\\&\quad{}+\varepsilon\biggl[\biggl（\frac{（1-\verepsilon_1}）p}{2}-1\biggr）\biggal（1-\int_{0}^{t}g（s）\，ds\biggro）-\frac}{1}{2p（1-\varepsilon_{1}）}\int_{0}^{t}g（s）\，ds\biggr]\bigl\Vert\nabla u（t）\bigr\Vert^{2}\hsspace{-20pt}\\&\quad{}+\varepsilon\bigl[\varepsilon_{1}-\varepsilon_{2}C H^{-\sigma}（t）H^{\alpha}}^{q}\\&\quad{}+\biggl[（1-\sigma）H^{-\sigma}（t）M_{q}-\varepsilon M_{q{\frac{q-1}{q}\lambda^{-\frac{q}{q-1}}\biggr]\bigl\Vertu{t}（t）\bigr\Vert_{q，\Gamma{1}}^{q}\\&\quade{}+\varepsilon\biggl，d\Gamma，\quad\表示所有t\geq t_{0}。\结束{对齐}$$

(34)

我们还使用了嵌入定理。让我们回顾一下不平等(C类表示一般的正常数）

$$\bigl\Vertu（t）\bigr\Vert_{q，\Gamma_{1}}\leq C\bigl\ VertU（t）\ bigr\Vert_{H^{s}（\Omega）}$$

哪里\（问题1）和\（0\leq s<1）,\（s\geq\压裂{N}{2}-\压裂{N-1}{q}>0\）以及插值和庞加莱不等式（参见[11])

$$\bigl\Vert-u（t）\bigr\Vert_{H^{s}（\Omega）}\leq C\bigl\ Vert-u$$

如果\（s｛2｝｛q｝\），再次使用Young不等式，我们得到

$$\bigl\Vert_u（t）\bigr\Vert_{q，\Gamma_{1}}^{q}\leq C\bigl[\bigl（\bigl\ Vert-u（t}}\bigr]$$

对于\（\frac｛1｝｛\mu｝+\frac｛1｝｛\theta｝=1\）。在这里我们选择\（θ=frac{2}{qs}\）得到\（\mu=\frac{2}{2-qs}\）因此，前面的不等式

$$\bigl\Vert u（t）\bigr\Vert _｛q，\Gamma_｛1｝｝^｛q｝\leq C\biggl[\bigl（\bigl\Vert u（t）\bigr\Vert _｛p｝^｛p｝\bigr）^｛\frac｛2 q（1-s）｝｛（2-qs）p｝｝+\biggl（1-\int_｛0｝^｛t｝g（s）\，ds\biggr）\bigl\Vert\nabla u（t）\bigr\Vert ^｛2｝\biggr]$$

(35)

现在，选择秒这样的话

$$0<s\leq\frac{2（p-q）}{q（p-2）}$$

我们得到

$$\frac{2q（1-s）}{（2-qs）p}\leq1$$

(36)

曾经的不平等(36)如果满足，我们使用经典代数不等式

$$\chi^{\nu}\leq（\chi+1）\leq\biggl（1+\frac{1}{w}\biggr）（\chi+w），\quad\forall \chi\geq0,0<\nu\leq1，w\geq0$$

(37)

具有\（\chi=\垂直u（t）\Vert_{p}^{p}\）,\（d=1+\压裂{1}{H（0）}\）,\（w=H（0）\）、和\（nu=\压裂{2q（1-s）}{（2-qs）p}\）得到以下估计：

$$\bigl（\bigl\Vertu（t）\bigr\Vert_{p}^{p}\bigr）^{\frac{2q（1-s）}{（2-qs）p}}\leq d\bigl，\quad\用于所有t\geq0$$

(38)

发件人(35)和(38)，我们有

$$\bigl\Vert_u（t）\bigr\Vert_{q，\Gamma_{1}}^{q}\leq C\biggl（\bigl \Vert_u（t）\ bigr\ Vert_{p}^{p}+\biggl（1-\int_{0}^{t}g（s）\，ds\biggr）\bigl\ Vert\nabla u（t$$

(39)

插入估算(39)到(34)和使用(14)，我们到达

$$开始{对齐}L'（t）&\geq H^{-\sigma}（t）\bigl[1-\simma-\varepsilon C H^{\alpha}（0）C（\varepsilon_{2}）\bigr]\bigl\Vert u_{t}n_{1}）p}{\rho+2}\biggr]\bigl\Vertu{t}（t）\bigr\Vert_{\rho2}^{\rho+2}+\varepsilon（1-\varepsilon_{1}）pH（t）\\&\quad{}+\varebsilon\biggl[\biggl（\frac{p（1-\valepsilon_{1'）}{2}-1\biggr）\biggal（1-\int_{0}^t}g（s）\，ds\bigger）-\frac}{1}{2p（1-\ varepsilen_{1{）}\int_0}^{t}g（s）\，ds\biggr]\\&\quad{}\times\bigl\Vert\nabla u（t）\bigr\Vert^{2}-\varepsilon（1-\varepsilon_{1}）pE_{2}+\varepsilon\bigl[\varepsilon_{1}-\varepsilon_{2}C H^{-\sigma}（t）H^{\alpha}（0）\bigr]\bigl\Vertu（t顶点{p}^{p}+\biggl（1-\int_{0}^{t}g（s）\，ds\biggr）\bigl\Vert\nabla u（t）\bigr\Vert^{2}+2H（t）\大gr]\\&\quad{}+\biggl[（1-\sigma）H^{-\sigma}（t）m_{q}-\varepsilon m_{q{q}\frac{q-1}{1}\lambda^{\frac}{q-1{}}\biggr]\bigl\垂直u{t}gl[\frac{（1-\varepsilon_{1}）p}{2}+1\biggr]\int_{\Gamma{1}}H（x）q（x）y^{2}（t）\，d\Gamma\\&=H^{-\sigma}（t）\bigl[1-\sigma-\varepsilon C H^{\alpha}（0）C（\varepsilon_{2}）\bigr]\bigl\Vertu{t}（t）\bigr\Vert_{\rho+2}^{\rho2}\hspace{-20pt}\\&\quad{}+\varepsilon\biggl[（1-\varepsilon_{1}）p-2 C M_{q}\frac{\lambda^{q}}{q}\biggr]H（t）-\varepsilon（1-\varepsilon_{1}（1-\int_{0}^{t}g（s）\，ds\biggr）\\&\quad{}-\frac{1}{2（1-\varepsilon{1}）p}\int_}0}^}t}g\bigl\Vert\nabla u（t）\bigr\Vert^{2}\\&\quad{}+\varepsilon\biggl[\varepsilon_{1}-\varepsilon_{2}C H^{-\sigma}（t）H^{\alpha}（0）-C M_{q}\frac{\lambda^{q}{q}{q}\ biggr]\bigl\Vert u（t{}+\biggl[（1-\sigma）H^{-\sigma}（t）M_{q}-\varepsilon M_{q{frac{q-1}{q}\lambda^{-\frac{q}{q-1-}}\biggr]\bigl\Vertu（t）\bigr\Vert_{q，\Gamma_{1}}^{q}\\&\quad{}+\varepsilon\biggl[\frac{（1-\varepsilon_{1{）p}{2}+1\biggr]\int_{Gamma_}1}}h（x）q（x）y^{2}（t）\，d\Gamma\\&\geq h^{-\sigma}（t）\bigl[1-\sigma-\varepsilon C h^{\alpha}（0）C（\varepsilon_{2}）\bigr]\bigl\Vert u_{t}（t）\biger\Vert _{m}^{m}+\varepsilon\biggl[\frac{1}{\rho+1}+\frac{（1-\varepsilon_{1}）p}{\rro+2}\biggr]\bigl\Vertu{t}（t）\bigr\Vert_{\rho2}^{\rho+2}\hspace{-20pt}\\&\quad{}+\varebsilon\biggl[（1-\valepsilon_{1\）p-2C M_{q}\frac{\lambda^{q}}{q}\biggr]H（t）-\varepsilon{1-\int_{0}^{t}g（s）\，ds}\biggl[\biggl（\frac{（1-\varepsilon_{1}）p}{2}-CM_{q}\frac}\lambda^{q}}{q}-1\biggr）l-\frac[1}{2（1-\verepsilon_2}）p}（1-l）\biggr]\beta^{2}\\&\quadr{}+\varepsi silon\biggl[\varepsilon_{1}-\varepsilon_{2}C H^{-\sigma}（t）H^{\alpha}（0）-C M_{q}\frac{\lambda^{q}}{q}\ biggr]\bigl\Vert u（t）\bigr\Vert _｛p｝^｛p｝\\&&\quad｛｝+\biggl[（1-\sigma）H^｛-\sigma｝（t）m_｛q｝-\varepsilon m_｛q｝\frac｛q-1｝｛q｝\lambda ^｛-\frac｛q｝｛q-1｝｝\biggr]\bigl\Vert u（t）\bigr\Vert _｛q，\Gamma_｛1｝｝^｛q｝\\&&\quad｛｝+\varepsilon \biggl[\frac｛（1-\varepsilon｛1｝）p｝｛2｝+1\biggr]\int_｛\Gamma_｛1｝｝H（x）q（x）y^｛2｝（t）\，d\伽玛。\结束{对齐}$$

(40)

自

$$\int_{0}^{\infty}g$$

我们有

$$\biggl（\frac{p}{2}-1-C M_{q}\frac}\lambda^{q}}{q}\biggr）\biggl（1-\int_{0}^{infty}g（s）\，ds\bigger）-\frac[1}{2p}\int_}0}^}{infty}g$$

很容易看出存在\（\varepsilon_{1}^{*}>0\）和\（T_{0}>0\）这样，对于\（0<\varepsilon_{1}<\varesilon_{1{^{*}:=1-\frac{2（1+\varepsilon_{0}）}{p}\）,\（0<\varepsilon_{0}<\frac{p}{2}-1\）、和\（t>t_｛0｝\）,

$$开始{聚集}\frac{[（[frac{（1-\varepsilon_{1}）p}{2}-CM_{q}\frac{\lambda^{q}}{q}-1）l-\frac}{1}{2（1-\verepsilon_1}）p}（1-l）]\beta^{2}{1-\int_{0}^{t}g（1-\varepsilon_{1}）p}{2}-CM_{q}\frac{\lambda^{q}{q}-1）l-\frac}{2（1-\verepsilon_1}）p}（1-l）}{1-\int_{0}^{\infty}g（s）\，ds}B_{1}^{-\frac{2p}{p-2}}。\结束{聚集}$$

现在，我们可以选择\（\varepsilon_{1}>0\）足够小且\（E_{2}\ in（E（0），E_{1}）\）足够近\（E（0）\）这样的话

$$\frac{（1-\varepsilon_{1}）p}{2}-CM_{q}\frac{\lambda^{q}}{q}-1）l-\frac{1}{2（1-\varepsilon_{1'）p}（1-l）}{1-\int_{0}^{infty}g（s）（1-\varepsilon_{1}）E_{2}>0$$

(41)

自从

$$\开始｛对齐｝E（0）&＜E_｛2｝<\biggl（\frac｛1｝｛2｝-C M_｛q｝\frac｛\lambda ^｛q｝｝｛q｝\frac｛1｝｛p｝-\frac｛1｝｛2 p ^｛2｝｝\ frac｛1-l｝｛l｝\biggr）B_｛q｝\frac｛2｝｛p-2｝-\frac｛1｝｛p（p-2）｝\frac｛1-l｝｛l｝\biggr）\biggl（\frac｛1｝｛2｝-\frac｛1｝｛p｝\biggr）B_｛1｝^｛-\frac｛2 p｝{p-2}}<\biggl（\frac{1}{2}-\frac}1}{p}\biggr）B_{1}^{-\frac{2p}{p-2{}。\结束{对齐}$$

发件人(40)和(41)，我们到达

$$开始{对齐}[b]L'（t）&\geq H^{-\sigma}（t）\bigl[1-\simma-\varepsilon C H^{\alpha}（0）C（\varepsilon_{2}）\bigr]\bigl\Vert u_{t}p}{\rho+2}\biggr]\bigl\Vertu{t}（t）\bigr\Vert_{\rho2}^{\rho+2}\hspace{-20pt}\\&\ quad{}+\varepsilon\biggl[（1-\varepsilon_{1}）p-2 C M_{q}\frac{\lambda^{q}}{q}\biggr]H（t）\\&\quad{}+\varepsi lon\bigl[\varepssilon_{1'-\varepsion_{2}C H^{-\sigma}（t）H^{\alpha}（0）-C M_{q}\frac{\lampda^{q}}}}{q}\biggr]\bigl\Vertu（t）\bigr\Vert_{p}^{p}\\&\quad{}+\biggl[（1-\sigma）H^{-\sigma}（t）M_{q}-\varepsilon M_{q}\压裂{q-1}{q}\lambda^{-\frac{q}{q-1{}\biggr]\bigl\Vertu（t）\bigr\Vert_{q，\Gamma_{1}}^q}\\&\quad}h（x）q（x）y^{2}（t）\，d\伽马。\结束{对齐}$$

(42)

此时，对于\（\varepsilon_{2}C H^{-\sigma}（t）H^{\alpha}（0）<\varepsilon_{1}<\min\{1，\varepsilon_{2]p^{1/m-1/p}\}\），我们可以λ足够小以至于

$$开始{聚集}（1-\varepsilon_{1}）p-2 C M_{q}\frac{\lambda^{q}}{q}>0，\\varepsilen_{1{-\varepsilon_{2}C H^{-\sigma}（t）H^{\alpha}（0）-C M_{q}\frac{\lampda^{q}}{q}>0。\结束{聚集}$$

我们再次选择ε足够小以至于

$$开始{聚集}1-\sigma-\varepsilon C H^{\alpha}（0）C（\varepsilon_{2}）>0，\\（1-\simma）H^{-\sigma}（t）m_{q}-\varepsi lon m_{q{\frac{q-1}{q}\lambda^{-\frac{q}{q-1{}>0。\结束{聚集}$$

然后从(42)存在一个正常数\（K_{1}>0\）这样，以下不等式成立：

$$L'（t）\geq\varepsilon K_{1}\biggl（H（t）+\bigl\Vertu（t）\ bigr\Vert_{\rho+2}^{\rho+2}+\bigr\vertu（t \，d\Gamma\biggr）$$

(43)

另一方面，根据定义(23)从那以后\（f，h>0），我们有

$$L（t）\leq H^{1-\sigma}（t）+\frac{\varepsilon}{\rho+1}\int_{\Omega}\bigl\vert u_{t}（t）\bigr\vert^{\rho}u_{t}$$

因此，上述估计导致

$$开始{对齐}[b]L^{\frac{1}{1-\sigma}}（t）和\leq C（\varepsilon，\sigma，\rho）\biggl[H（t）+\biggl（\int_{\Omega}\bigl\vert u{t}\quad{}+\biggl（\int_{\Gamma{1}}H（x）q（x）y（t）\，d\Gamma\biggr）^{\frac{1}{1-\sigma}}\biggr]。\结束{对齐}$$

(44)

我们现在估计（参见[17])

$$开始{对齐}\biggl（\int_{\Omega}\bigl\vert u_{t}（t）\bigr\vert^{\rho}u_{t}（t）u（t）\，dx\biggr）bigl\Vertu（t）\bigr\vert_{p}^{\frac{1}{1-\sigma}}\\&\leq C\bigl\vertu{t}（t）\ bigr\vert_{\rho+2}^{\ frac{\rho+1}{1-\sigma}\mu}\bigl\Vertu（t）\bigr\Vert_{p}^{\frac{1}{1-\sigma}\theta}，\end{aligned}$$

哪里\（\frac｛1｝｛\mu｝+\frac｛1｝｛\theta｝=1\）。选择\（\mu=\frac{（1-\sigma）（\rho+2）}{\rho+1}>1\），那么

$$\frac{\theta}{1-\sigma}=\frac{\rho+2}{（1-\sigma）（\rho2）-（\rho+1）}$$

发件人(30)，我们知道

$$\frac{\theta}{1-\sigma}<p$$

(45)

然后从(22)我们推断

$$\开始{对齐}[b]\bigl\Vertu（t）\bigr\Vert_{p}^{\frac{\theta}{1-\sigma}}&=\bigl\ Vertu（t）\ bigr\ Vert_{p}^{p-（p-\frac}\theta}{1-\sigma}）}=\bigr\ vertu（t）\bigr\Vert_{p{p}}^{-k}\\&\leq C\bigl\Vertu（t）\bigr\Vert_{p}^{p}H（0）^{-\frac{k}{p}}，\end{aligned}$$

(46)

哪里\（k=p-\frac{\theta}{1-\sigma}）是一个正常数。因此，从(46)我们获得

$$\biggl（\int_{\Omega}\bigl\vert u_{t}^{p}H（0）^{-\frac{k}{p}}$$

(47)

另一方面，使用与中相同的方法[13]，我们获得

$$开始{aligned}\biggl\vert\int_{\Gamma_{1}}h（x）u（t）y（t）\，d\Gamma\biggr\vert&=\biggl \vert\int（x）q（x）}{q（x{1}{2}}\Vertq\vert_{L^{infty}}^{\frac{1}}{2{}}{q_{0}}\biggl（\int_{\Gamma{1}h（x）q（x）y^{2}（t）\，d\Gamma\biggr）^{\frac{1}{2}}\biggl（int_{\Gamma{1}}u^{2{（t。\结束{对齐}$$

使用嵌入\（L^{p}（\Gamma_{1}）\hookrightarrow L^{2}（\ Gamma_}）\）和杨氏不平等，我们得到

$$开始{aligned}\biggl\vert\int_{\Gamma_{1}}h（x）u（t）y（t）}^{\frac{1}{2}}\Vertq\vert_{L^{\infty}}^{\frac{1}[2}}{q_{0}}\biggl（\int_{\Gamma{1}}h（x）q（x）y^{2}（t）\，d\Gamma\biggr。\结束{对齐}$$

因此，存在一个正常数\（\波浪号{C}（C）_{1} =\波浪线{C}（C）_{1} （\Vert h\Vert_{L^{infty}}，\Vert q\Vert_{L^}，q_{0}，\sigma）\）这样的话

$$\开始{aligned}&\biggl（\int_{\Gamma_{1}}h（x）u（t）y（t）\，d\Gamma\biggr）^{\frac{1}{1-\sigma}}\\&\quad\leq\ tilde{C}（C）_{1} \biggl（\int_{\Gamma_{1}}h（x）q（x）y^{2}（t）\，d\Gamma\biggr）。\结束{对齐}$$

将杨氏不等式应用于上述不等式的右侧，存在一个正常数，也表示为\（\波浪号{C}（C）_{2}\)，使得

$$\开始{对齐}[b]&\biggl（\int_{\Gamma_{1}}h（x）u（t）y（t）\，d\Gamma\biggr）^{\frac{1}{1-\sigma}}\\&\quad\leq\tilde{C}（C）_{2} \biggl（int_{\Gamma_{1}}h（x）q（x）y^{2}（t）\，d\Gamma\biggr）$$

(48)

对于\（压裂{1}{\tau}+\frac{1}}{\theta}=1\）.我们接受\（θ=2（1-σ）），因此\（τ=frac{2（1-\sigma）}{1-2\sigma}\）得到

$$开始{对齐}[b]&\biggl（\int_{\Gamma{1}}h（x）u（t）y（t）\，d\Gamma\biggr）-\sigma）}}+\int_{\Gamma_{1}}h（x）q（x）y^{2}（t）\，d\Gamma\biggr]。\结束{对齐}$$

(49)

通过使用(30)和代数不等式(37)带有\（\chi=\int_｛\Gamma_｛1｝｝\vert u（t）\vert ^｛p｝\，d\Gamma\）,\（d=1+\压裂{1}{H（0）}\）,\（w=H（0）\）、和\（nu=\frac{2}{p（1-2\sigma）}\），条件(30)上的σ确保\（0<\nu<1\），我们得到

$$\chi^{\nu}\leq d\bigl（\chi+H（0）\bigr）\leq 2\bigl.（\chi+H（t）\biger）$$

因此，从(49)存在一个正常数C̃这样，对所有人来说\（t \geq0）,

$$开始{对齐}[b]&\biggl（\int_{\Gamma_{1}}h（x）u（t）y（t）\，d\Gamma\biggr）（x）q（x）y^{2}（t），d\Gamma\biggr）。\结束{对齐}$$

(50)

因此，从(39)和(50)我们得到

$$开始{对齐}[b]&\biggl（\int_{\Gamma_{1}}h（x）u（t）y（t）\，d\Gamma\biggr）^{\frac{1}{1-\sigma}}\\&\quad\leq C\biggl（h（t）+\bigl\Vert u（t）\bigl\Vert\nabla u（t）\bigr\Vert^{2}+\int_{\Gamma{1}}h（x）q（x）y^{2{（t）\，d\Gamma\biggr）\\&\quad\leq C\biggl（H（t）+\bigl\Vert u（t）\bigr\Vert_{p}^{p}+\bigle\Vert\nabla u（t$$

(51)

哪里C类是一个正常数。因此，从(44), (47)，以及(51)，我们到达

$$开始{对齐}[b]L^{\frac{1}{1-\sigma}}（t）和\leq\上划线{C}\biggl[H（t）+\biggl（\int_{\Omega}\bigl\vert u_{t}（t）\bigr\vert^{\rho}u_{t}ma_{1}}H（x）q（x）y（t）\，d\Gamma\biggr）^{frac{1}{1-\sigma}}\biggr]\\&\leq\上划线{C}\bigl[H（t）+\bigl\Vert u_{t}（t）\bigr\Vert _{\rho+2}^{\rho+2}+\bigl\ Vert u（t）\ bigr\Vert _{p}^{p}+\bigl\Vert\nabla u（t$$

(52)

哪里C̅是一个常数，取决于ε,σ,ρ,C̃,C类因此，结合(43)和(52)，对一些人来说\（\xi>0\），我们得到

$$L'（t）\geq\xi L^{\frac{1}{1-\sigma}}（t），\quad\forall t\geq0$$

对于ε足够小，存在一些常数\（T_{1}\）这样的话

$$开始{对齐}L（T_{1}）&=H^{1-\sigma}\int_{\Gamma_{1}}H（x）f（x）y^{2}（T_{1}），d\Gamma\\&>0。\结束{对齐}$$

因此我们得到

$$L'（t）\geq\xi L^{\frac{1}{1-\sigma}}（t）>0，\quad\对于所有t\geqT_{1}$$

(53)

以下内容的简单集成(53)超过\（（T_｛1｝，T）\）产量

$$L^{\压裂{\西格玛}{1-\西格马}}（t）\geq\frac{1}{L^{压裂{-\sigma}{1-\sigma}}$$

因此\（L（t）\）在有限时间内爆炸

$$T^{*}\leq\frac{1-\sigma}{xi\sigma L^{frac{\sigma}{1-\sigma}}（T_{1}）}$$

因此，定理的证明2.1已完成。□

三结论

本文考虑一类具有声学边界条件的拟线性粘弹性波动方程。在松弛函数的适当假设下克，函数Φ，\（p>\max\{\rho+2，m，q，2）和初始数据，我们证明了具有正初始能量的拟线性粘弹性波动方程解的整体不存在性。实际上，本文的主要结果定理2.1，是一个全局不存在的结果，其中内部源项\（\vert u\vert ^{p-2}u\）控制内部和边界阻尼项，\（垂直u{t}垂直^{m-2}u{t{）和\（\Phi（u_{t}）\sim\vert u_{t}\vert^{q-2}u_{t}\）在适当的意义上，假设初始总能量足够小。

4缩写

考虑一类具有声学边界条件的拟线性粘弹性波动方程；给出了一些假设和必要的引理；通过对松弛函数的适当假设，证明了具有小正初始能量的弱解的不存在性克，非线性函数\（\Phi（\cdot）\）,\（p>\max\{\rho+2，m，q，2）、初始数据和系统中的参数。