分数阶临界Choquard问题的分岔结果第页-拉普拉斯算子

摘要

利用基于与上同调指数相关的伪index的抽象临界点定理，证明了分数阶临界Choquard问题的分岔结果第页-拉普拉斯算子：

$$（-\Delta）_{p}^{s}u=\lambda\vert u\vert^{p-2}u+\biggl（\int_{\Omega}\frac{\vert u \vert ^{p_{\mu，s}^{*}}}{\vert-x-y\vertqu{\mu}}\，dy\biggr \text{in}{\mathbb{R}}^{N}\setminus\Omega$$

其中Ω是中的有界域\（{\mathbb{R}}^{N}\）Lipschitz边界，λ是一个实参数，\（p\ in（1，\ infty）\）,\（s \ in（0,1）\）,\（N>sp\）、和\（p{\mu，s}^{*}=\压裂{（N-\压裂{\mu}{2}）p}{N-sp}\）是Hardy–Littlewood–Sobolev不等式意义上的临界指数。这些扩展了分数Chogard问题文献中的结果，对于第页-拉普拉斯病例。

1导言和主要成果

鉴于\（p\ in（1，\ infty）\）,\（s \ in（0,1）\）,\（（0，N）中的\μ\）,\（N>sp\），我们考虑这个问题

$$\textstyle\boot｛cases｝（-\Delta）_｛p｝^｛s｝u=\lambda\vert u\vert ^｛p-2｝u+（\int_｛\Omega｝\frac｛\vert u\vert ^｛p_｛\mu，s｝^｛*｝｝｝｝｝｛\vert x-y\vert ^｛\mu｝｝\，dy）\vert u\vert ^｛*｝-2｝u，\\text｛in｝\Omega，\\u=0，\\text｛in｝\mathbb｛R｝^｛N｝\setminus\Omega，\结束｛cases｝$$

(1)

哪里\（p{\mu，s}^{\ast}=\压裂{（N-\压裂{\mu}{2}）p}{N-sp}\）Ω是中的有界域\（\mathbb{R}^{N}\）与利普希茨边界。\（（-\Δ）_｛p｝^｛s｝\）是相关的分数运算符，在归一化常数之前，定义为

$$（-\Delta）_{p}^{s}u（x）=2\lim_{\varepsilon\searrow0}\int_{\mathbb{R}^{N}\set-muse-B_{\verepsilon}（x）}\frac{\vertu（x）-u（y）\vert^{p-2}（u（x●●●●$$

这个定义与线性分数拉普拉斯算子的通常定义一致\（（-\增量）^{s}\）什么时候\（p=2\）。最近，涉及非局部算子的问题受到了广泛关注，我们可以参考[2,12,15,18,32,36–38]了解更多详细信息。特别是分数第页-特征值问题已在[4,6,8,16,17,19,20,29]和关键案例中的存在理论[1,13,21–25,30,33].

另一方面，方程式(1)也与所谓的Choquard方程有关，该方程受以下Hardy–Littlewood–Sobolev不等式的启发：

$$\int_{\mathbb{R}^{N}}\int__{\mathbb{R}^{N}}\frac{\vertu（x）\vert^{p_{mu，s}^{ast}}\vert u（y \int_{\mathbb{R}^{N}}\vert u \vert^{p_{s}^{ast}}\，dx\biggr）^{\frac{2p_{\mu，s}^}$$

哪里\（p_{s}^{\ast}=\frac{Np}{N-sp}\）。有关分数阶Choquard方程的更多详细信息，请读者参阅[5,9,11,24,34,35]. 最近，穆克吉和斯里纳德[24]获得了以下多重性结果，将结果扩展为[10]在局部情况下，对于半线性分数阶Choquard方程的Brezis–Nirenberg型问题：

$$\textstyle\begin{cases}（-\Delta）^{s}u=（\int_{\Omega}\frac{\vert u\vert^{2_{\mu，s}^{*}}{\vert-x-y\vert ^{\mu}}\，dy）\vert u \vertqu{2_\mu、s}^}-2}u+\lambda u，&\text{in}\Omega，\\u=0，&\text{in}\mathbb{R}^{N}\setminus\Omega，\end{cases}$$

(2)

其中Ω是具有Lipschitz边界的有界域\（\mathbb{R}^{N}\）,\（N>2s\）,\（0<s<1）,\（2_{\mu，s}^{*}=\压裂{2N-\mu}{N-2s}\）、和\（\lambda>0）是一个参数。让\（0<\lambda_{1}<\lampda_{2}\le\lambda{3}\le\ cdots\to+\infty\）是问题的特征值

$$\textstyle\begin{cases}（-\Delta）^{s}u=\lambdau，&\text{in}\Omega，\\u=0，&\text{in}\tathbb{R}^{N}\setminus\Omega。\结束{cases}$$

存在一个常量\（\lambda^{*}\）如果有q个介于之间的特征值数量λ和\（\lambda+\lambda ^{*}\），然后是问题(2)有q个不同的解决方案对（请参见[24，定理2.6]）。

在本文中，我们使用了一种更通用的基于子层集的结构，如Perera和Szulkin[31]（另见Perera等人[28，命题3.23]），并将上述多重性结果推广到拟线性非局部问题(1). 然而\（（-\增量）_{p}^{s}\）基于亏格的子层集合的结构信息不足，无法实现链接构造。因此，我们使用了与Iannizzotto等人不同的特征值序列[14]这是基于\（\mathbb{Z}（Z）_{2}\)-Fadell和Rabinowitz的上同调指数[7]，定义如下。

定义1.1

让 W公司 成为巴拿赫空间,然后让 \（{\mathcal{A}}\） 表示的对称子集类 \（W\设置减号\{{0}\}\）.对于 \（{\mathcal{A}}\中的A\）,让 \（上横线{A}=A/\mathbb{Z}（Z）_{2}\) 是的商空间 A类 每个 u个 和−u个 已识别,让 \（f:\上划线{A}\到\mathbb{R}\mathrm{P}^{infty}\） 是的分类图 A̅,然后让 \（f^{\ast}:H^{\asp}（\mathbb{R}\mathrm{P}^{\infty}）\到H^{\ ast}（\上划线{A}） 是Alexander–Spanier上同调环的诱导同态.上同调指数 A类 由定义

$$i（A）=\textstyle\begin{cases}\sup\{m\ge1:f^{ast}（\omega^{m-1}）\ne0}\}，&A\ne\emptyset，\\0，&A=\emptysset，\end{cases}$$

哪里 \（H^{1}中的ω（\mathbb{R}\mathrm{P}^{infty}） 是多项式环的生成器 \（H^{\ast}（\mathbb{R}\mathrm{P}^{\infty}）=\mathbb{Z}（Z）_{2} [\omega]\）.

例如，单位球面的分类图\（S^{m-1}\）在里面\（\mathbb{R}^{m}\）,\（m\ge1）是否包含\（\mathbb{R}\mathrm{P}^{m-1}\subset\mathbb{R}\mathrm{P}^{infty}\），在上诱导同构\（H^{q}\）对于\（q\le m-1\），所以\（i（S^{m-1}）=m\）.

定义所谓的Gagliardo半范数

$$[u]_{s，p}=\biggl（\int_{\mathbb{R}^{2N}}\frac{\vert u（x）-u（y）\vert ^{p}}{\vertx-y\vert^{N+sp}}\，dx\，dy\biggr）^{1/p}$$

哪里\（u:\mathbb{R}^{N}\到\mathbb{R}\）是一个可测函数，并通过以下公式给出分数Sobolev空间

$$W^{s，p}\bigl$$

可以配备标准

$$\Vert u\Vert _{s，p}=\bigl（\Vert u\Vert _{p}^{p}+[u]_{s，p}^{p}\bigr）^{1/p}$$

哪里\（|\cdot|_{p}\）是在\（L^{p}（\mathbb{R}^{N}）\）（见Di Nezza等人[26]详细信息）。我们在闭线性子空间中工作

$$X_{p}^{s}（\Omega）=\bigl\{u\在W^{s中，p}\bigl（\mathbb{R}^{N}\biger）：u=0\text{a.e.在}\mathbb{R}中$$

通过设置进行等效重整\（\|\cdot\|{s，p}=[\cdot]{s，p}）（请参见[26，定理7.1]），这是一致凸的Banach空间。由[26，定理6.5和推论7.2]，嵌入\（X_{p}^{s}（\Omega）\hookrightarrow L^{r}（\欧米茄）\）连续\（在[1，p_{s}^{\ast}]\中）和紧凑型\（在[1，p_{s}^{\ast}中）.

Dirichlet谱\（（-\Δ）_｛p｝^｛s｝\）单位为Ω，包括\（\lambda\in\mathbb{R}\）对于这个问题

$$\textstyle\begin{cases}（-\Delta）_{p}^{s}u=\lambda\vert u\vert^{p-2}u，&\text{in}\Omega，\\u=0，&\text{in}\ mathbb{R}^{N}\setminus\Omega，\end{case}$$

(3)

有一个不平凡的解决方案。我们将使用一个合适的极大极小方案来定义一个增量的无界变分特征值序列。基于亏格的标准方案在这里不适用，因此我们将使用以下基于Iannizzotto等人引入的上同调指数的方案[14]（另请参见Perera[27]). 让

$$\Psi（u）=\frac{1}{\vert u\vert_{p}^{p}}，\quad u\ in{\mathcal{M}}=\bigl\{u\ in X_{p}^{s}（\Omega）：\vert u\vert_{s，p}=1}\bigr\}$$

那么问题的特征值(三)与Ψ的临界值一致。我们使用标准符号

$$\Psi^{a}=\bigl\{u\ in{\mathcal{M}}:\Psi（u）\le a}\bigr\}，\qquad\Psi_{a}=\bigl\{u\ in{\matchcal{M}}:\Psi（u）\ gea}\biger\}、\quad a\ in \mathbb{R}$$

分别用于子级集和超级集。让\（{\mathcal{F}}\）表示的对称子集类\（{\mathcal{M}}\），并让

$$\lambda_{k}:=\inf_{M\在{\mathcal{F}}中，i（M）\ge-k}\sup_{u\在M}\Psi（u）中，\quad k\在\mathbb{N}^{+}中$$

然后\（0<\lambda_{1}<\lampda_{2}\le\lambda{3}\le\ cdots\to+\infty\）是问题的特征值序列(三)、和

$$\lambda{k}<\lambda{k+1}\quad\表示\quad i\bigl（\Psi^{\lambada{k}}\bigr）=i（{\mathcal{M}}\setminus\Psi_{\lampda{k+1{}}）=k$$

(4)

（见Iannizzotto等人[14，建议2.4]）。在中充分利用索引信息(4)，我们将证明以下定理：

让

$$C_{H，L}:=\sup_{u\在X_{p}^{s}（\Omega）中\setminus\{{0}\}}\frac{\vertu\vert_{p_{s}^{*}}}{（\int_{\Omega}\int_}\Omega}\frac{\vert u（X）\vert^p_{\mu，s}\vertu（y）\vert ^{p_}\mu、s}^{\ast}}}{\vert X-y\vert^{\mu}}\，dx\，dy）^{\frac{1}{2p_{\mu，s}^{\ast{}}\quad（\mbox{见下面的引理2.2}）$$

和

$$S_{H，L}:=\inf_{u\在X_{p}^{S}（\Omega）\setminus\{{0}\}}\frac{\Vertu\Vert_{S，p}^}}{{p}{（\int_{\Omega}\int_}\Omegan}\frac{\vertu（X）\Vert^{p_{\mu，S}^{\ast}\Vert u（y）\Vert ^{p{\mu，S}\ast}}{\Vert X-y\Vert^{\mu}}\，dx\，dy）^{\frac{p}{2p{\mu，S}^{\ast}{}}}$$

定理1.2

• （i） 如果

  $$\lambda_{1}-\frac{S_{H，L}}{\vert{\Omega}\vert^{frac{sp}{N}}C_{H，L}^{p}}<\lambda$$

  然后是问题(1)有一对非平凡的解决方案 \（\pm u^{\lambda}\） 这样的话 \（u^｛\lambda｝\to0\） 作为 \（\lambda\nearrow\lambda{1}\）.

• （ii） 如果 \（\lambda{k}\le\lambda<\lambada{k+1}=\cdots=\lambda{k+m}<\lampda{k+m+1}\） 对一些人来说 \（k，m\in\mathbb{N}^{+}\） 和

  $$\lambda>\lambda_{k+1}-\frac{S_{H，L}}{vert{\Omega}\vert^{frac{sp}{N}}C_{H，L}^{p}}$$

  (5)

  然后是问题(1)有 米 非平凡解的不同对 \（\pm u^{\lambda}{j}\）,\（j=1，\点，m）,这样的话 \（u^{lambda}_{j}\to0） 作为 \（\lambda\nearrow\lambda{k+1}\）.

推论1.3

问题(1)对所有人都有一个重要的解决方案 \（\lambda\in\bigcup_{k=1}^{infty}（\lampda_{k}-\frac{S_{H，L}}{vert{Omega}\vert^{frac{sp}{N}}C_{H，L}^{p}}，\lambda{k}）.

我们注意到\（\lambda_{1}\ge\frac{S_{H，L}}{\vert{\Omega}\vert^{frac{sp}{N}}C_{H，L}^{p}}\）的确，如果\（\varphi_｛1｝\）是与\（\lambda{1}\）,

$$\lambda{1}=\frac{\Vert\varphi{1}\Vert_{s，p}^{p}}{\Vert\varphi}1}\Vert_{p}^}}\ge\frac}s_{H，L}}（y）\Vert^{p{\mu，s}^{\ast}}}{\vertx-y\Vert_{\mu}}\，dx\，dy）^{\frac{p}{2p{\mo，s}^{\ast}}}}{\Vert\varphi_{1}\Vert_{p}^{p}}\ge\frac{S_{H，L}}{\vert{\Omega}\vert^{\frac{sp}{N}}C_{H，L}^{p}}$$

通过Hölder不等式。

2初步情况和一些已知结果

下面的Hardy–Littlewood–Sobolev不等式对于应用变分法求解问题至关重要(1).

引理2.1

([19，定理4.3]）

假设 \（1<r）,\（t<\infty）,和 \（0<\mu<N\） 具有 \（压裂{1}{r}+\frac{1}}+\frac{mu}{N}=2\）.如果 \（u\在L^{r}（\mathbb{r}^{N}）中\） 和 \（v\在L^{t}（\mathbb{R}^{N}）中\）,那么就有了 \（C（N，\mu，r，t）>0） 这样的话

$$\int_{\mathbb{R}^{N}}\int__{\mathbb{R}^{N}}\frac{\vertu（x）\vert\vertv（y）\vert}{\vert x-y\vert^{\mu}}\，dx\，dy\leq C（N，\mu，R，t）\vert u\vert_{R}\vert v\vert{t}$$

哈代-利特伍德-索波列夫不等式,存在 \（\widetilde{C}（N，\mu，s，p）>0\） 这样的话

$$\int_{\mathbb{R}^{N}}\int__{\mathbb{R}^{N}}\frac{\vert u（x）\vert ^{p_{mu，s}^{ast}}\vert u（y）\vert^{p_{mu _{{p{s}^{\ast}}}^{2p{\mu，s}^}\ast}$$

(6)

为所有人 \（u\在X_{p}^{s}（\Omega）中\）.因此,通过Sobolev嵌入,

$$\int_{\mathbb{R}^{N}}\int__{\mathbb{R}^{N}}\frac{\vert u（x）\vert ^{p_{mu，s}^{ast}}\vert u（y）\vert^{p_{mu ^{2p{\mu，s}^{\ast}}$$

对一些人来说 \（C（N，\mu，s，p）>0）.定义

$$S_{H，L}=\inf_{u\在X_{p}^{S}（\Omega）中ast}}{\Vert X-y\Vert^{\mu}}\，dx\，dy）^{\frac{p}{2p{\mu，S}^{\ast}}}}$$

(7)

很明显,\（S_{H，L}>0\）.

现在我们可以介绍\（C^｛1｝\）-与问题相关的功能(1)由

$$I{\lambda}（u）=\frac{1}{p}\Vertu\Vert_{s，p}^{p}-\frac}\lambda}{p{\vertu\Vert_{p}^}-\frac{1{2p{\mu，s}^{\ast}}\int_{\Omega}\int_{\Omega}\frac{\Vert u（x）\Vert^{p{\mu、s}^}}\Vert u（y）\Vert^{p_{\mu，s}^{\ast}}}{\Vert x-y\Vert${\mu}}\，dx\，dy，\quad u在x_{p}^{s}（\Omega）中$$

此外，u个是问题的弱解决方案(1)当且仅当u个是功能的关键点\（I_{\lambda}\）.

让

$$\Vertu\Vert_{o}:=\biggl（\int_{\Omega}\int_}\Omega}\frac{\vertu（x）\Vert^{p_{mu，s}^{*}}\Vert u（y）\Vert ^{p_{mu、s}^}}{x}}{\Vert x-y\Vert_{mu}\，dx\，dy\biggr）ast}}}$$

对于\（u\在L^{p_{s}^{*}}（\Omega）中\），我们有以下引理。

引理2.2

存在 \（C｛H，L｝>0\） 这样的话 \（|u|_{p_{s}^{*}}\leqC_{H，L}\|u\|_{o}\）.

证明

让u个,\（v\在L^{p_{s}^{*}}（\Omega）中\）然后利用Hölder不等式和Riesz势的半群性质，我们得到

$$开始{对齐}和\int_{\Omega}\int_}\Omega}\frac{\vert（u+v）（x）\vert^{p_{\mu，s}^{\ast}\vert \vert（u+v）（x）\vert^{2p_{\mu，s}^{\ast}}}{\vert x-y\vert|{\mu}}\，dx\，dy\\&\quad\leq\int_{\Omega}\int_}\Omega}\frac{\vert u（x）\vert \ vert（u+v）（x）\ vert^{2p_{\mu，s}^{\ast}-1}}{\vertx-y\vert^}\，dx\，dy+\int_{\Omega}\int_}\Omega}\frac{\ vertv}\，dx\，dy\\&\quad\leq\biggl（int_{\Omega}\int_{\欧米茄}\frac{\vert u（x）\vert^{2p_{\mu，s}^{\ast}}}{\vert x-y\vert^{\mu}}\，dx\，dy\biggr）^{\frac{1}{2p_{\mu，s}^{\ast}}\biggl（int_{\Omega}\int_{\欧米茄}\frac}\vert（u+v）^{1-\frac{1}{2p_{\mu，s}^{\ast}}}\\&\qquad{}+\biggl（\int_{\Omega}\int_}\Omega}\frac}\vertv（x）\vert^{2p_a{\mu.，s}}}{\vert x-y\vert^{\mu}}\，dx\，dy\biggr）^{\frac{1}{2p_{\mu，s}^{\ast}}\biggl（int_{\Omega}\int_{\欧米茄}\frac}\vert（u+v）^{1-\frac{1}{2p_{\mu，s}^{\ast}}}\\&\quad=\biggl（\biggl（\int_{\Omega}\int_}\Omega}\frac}\vert u}}{\vert x-y\vert^{\mu}}\，dx\，dy\biggr）^{\frac{1}{2p_{\mu，s}^{\ast}}}+\biggl（\int_{\Omega}\int_}\Omega}\frac}\vertv（x）\vert_{2p_2\mu压裂{1}{2p_{\mu，s}^{\ast}}}\biggr）\\&\qquad{}\times\biggl}}{\vert x-y\vert^{\mu}}\，dx\，dy\biggr）^{1-\frac{1}{2p{\mu，s}^{\ast}}}。\结束{对齐}$$

所以，我们有\（u+v{o}\leq\u\{o}+v{0}）范数的其他性质也满足于\（\ | \ cdot \ | _{o}\）所以，\（\ | \ cdot \ | _{o}\）是上的规范\（L^{p_{s}^{*}}（\Omega）\）和\（L^{p_{s}^{*}}（\Omega）\）在这个规范下是Banach空间。发件人(6)，我们有

$$\Vertu\Vert_{o}\leq\widetilde{C}（N，\mu，s，p）^{frac{1}{2p_{mu，s}^{ast}}\vertu\Vert_{p_{s}^}}$$

所以，来自\（（L^{p_{s}^{*}}（\Omega），\|\cdot\|_{o}）到\（（L^{p_{s}^{*}}（\Omega），|\cdot|_{p{s}^{ast}}）\）是线性的和有界的。因此，通过开映射定理，我们得到\（\ | \ cdot \ | _{o}\）是等同于标准规范的规范\（|\cdot|_{p_{s}^{*}}\）在\（L^｛p_｛s｝^｛*｝｝（\欧米茄）\）.所以我们有\（|u|_{p_{s}^{*}}\leqC_{H，L}\|u\|_{o}\）. □

定义2.3

([三])

让 \（{\mathcal{A}}^{\ast}\） 表示的对称子集类 W公司,让 \（r>0\）,让 \（S_{r}=\{u\在W:\|u\|_{S中，p}=r}\}\）,让 \（0<b\le+infty\）,然后让Γ表示的奇同胚群 W公司 那是外面的身份 \（Ij^{-1}（0，b）\）.伪-的索引 \（位于{\mathcal{A}}^{\ast}\中） 与…有关 我,\（S_{r}\）,和Γ由定义

$$i^{\ast}（M）=\min_{\gamma\in\gamma}i\bigl（\gamma（M，\cap S_{r}\bigr）$$

哪里 我 在定义中1.1.

以下是基于伪index的一般临界点定理，伪index与我们在此应用的上同调指数有关（另请参见Perera et al[28，建议3.44]）。

引理2.4

([30])

让 \（A_{0}\）,\（B_{0}\） 是的对称子集 \（S_{1}\） 这样的话 \（A_{0}\） 是紧凑的,\（B_{0}\） 已关闭,和

$$i（A_{0}）\ge k+m，\qquad i（S_{1}\setminus B_{0{）\le k$$

对于某些整数 \（k\ge0\） 和 \（m\ge1）.假设存在 \（R>R） 这样的话

$$\sup I（A）\le0<\inf I（B），\qquad\sup I（X）<B$$

哪里 \（A_｛0｝中的A=\｛Ru:u\）,\（B_{0}}中的B=\{ru:u\）,和 \（X=A中的{{tu:u\，0\let\le1}\}\）.对于 \（j=k+1，\点，k+m \）,让

$${\mathcal{A}}_{j}^{\ast}=\bigl\{M\in{\mathcal{A{}^{\st}:M\textit{是紧凑的，}i^{ast}（M）\gej}\bigr\}$$

并设置

$$c_{j}^{\ast}:=\inf_{M\在{\mathcal{A}}{j}^{ast}}\max_{u\在M}I（u）中$$

然后

$$\inf I（B）\le c_{k+1}^{\ast}\le\dotsb\le c_{k+m}^{\st}\le\sup I（X）$$

特别地,\（0<c_{j}^{\ast}<b\）.如果,此外,我 满足 \（（\mathrm{PS}）_{c}\） 所有人的条件 \（（0，b）中的c）,那就是,如果每个序列 \（{u_{j}\}\子集W\） 这样的话 \（I（u_{j}）到c） 和 \（I'（u_{j}）\至0\） 具有收敛子序列,然后每个 \（c{j}^{\ast}\） 是的临界值 我 而且有 米 相关临界点的不同对.

三定理的证明1.2

我们只证明了（ii），因为（i）的证明是相似的，并且相对简单。第一，\（I_{\lambda}\）满足\（（\mathrm{PS}）_{c}\）所有人的条件\（c<\frac{2p_{\mu，s}^{*}-p}{2pp_{\mo，s}^{*{}s_{H，L}^{\frac}2p_}\mu事实上，让\（c<\frac{2p_{\mu，s}^{*}-p}{2pp_{\mo，s}^{*{}s_{H，L}^{\frac}2p_}\mu，并让\（{u{j}）成为一个序列\（X_{p}^{s}（\Omega）\）这样的话

$$开始{对齐}和I{\lambda}（u{j}）=\frac{1}{p}\Vertu{j}\Vert_{s，p}^{p}-\frac}\lambda}{p{\vertu{jneneneep \Vert_{p}^}-\frac{1{2p_{mu，s}^{\ast}}\Vertu}^{\ast}}=c+\mathrm{o}（1），\end{aligned}$$

(8)

$$\begin｛aligned｝&\begin｛aligned｝[b]I_｛\lambda｝'（u_｛j｝j｝v&=\int_ int｛｛｛｛｛｛｛｛\R｝｛｛｛｛｛｛｛\lambda \lang1033\mathb\mathbb｛（u｝（u｛（uj｝｝j｝（u（u（u｛（uj）（u（uj）-u（j｝（x-）-{x（x（x））-），中，中时也\vert u_｛j｝\vert ^｛p-2｝u_｛j｝v\，dx-\int_｛\Omega｝\int_\vert^{p_{\mu，s}^{\ast}}\vert u_{j}（x）\vert ^{p_p_{\mo，s}^{\ast}-2}u_{j}（x）v（x）}{\vert x-y\vert_{N+sp}}\，dx\\&=\mathrm{o}\bigl（\vert v\vert_{s，p}\bigr），\quadr\forall v\ in x_{p}^{s}（\Omega），\结束{aligned}\结束{arigned}$$

(9)

作为\（j至信息）.然后

$$\biggl（\frac{1}{p}-\frac｛1｝｛2p_｛\mu，s｝^｛*｝｝\biggr）\Vert u_｛j｝\Vert _｛o｝^｛2p_｛\mu，s｝^｛\ast｝｝｝=I_｛\lambda｝（u_｛j｝）-\frac｛1｝｛p｝I_｛\lambda｝'（u_｛j｝）u_｛j｝\Vert _｛s，p｝\bigr）+o（1）$$

其中包括(8)，引理2.2Hölder不等式表明\（{u{j}）以为界\（X_{p}^{s}（\Omega）\）。则存在以下子序列\（{u{j}）仍然表示为\（{u{j}）和\（u\在X_{p}^{s}（\Omega）中\）这样的话

$$u_{j}\rightharpoonup u\quad\mbox{弱位于}X_{p}^{s}（\Omega）、\mbox{和}L^{p_{s}^{*}}（\ Omega$$

表示方式\（p'=p/（p-1）\）的Hölder共轭第页,\（|u_{j}（x）-u_{j}（y）|^{p-2}（u_{j}（x）-u{j}（y））/|x-y|^{（N+sp）/p'}\）以为界\（L^{p'}（\mathbb{R}^{2N}）\）并收敛到\（|u（x）-u（y）|^{p-2}（u（xa.e.英寸\（\mathbb{R}^{2N}\）、和\（（v（x）-v（y））/|x-y|^{（N+sp）/p}\在L^{p}中（\mathbb{R}^{2N}）\），所以中的第一个积分(9)收敛到

$$\int_{\mathbb{R}^{2N}}\frac{\vert u（x）-u（y）\vert ^{p-2}（u（x$$

进一步的子序列。此外，

$$\int_{\Omega}\vert u_{j}\vert^{p-2}u_{j}v\，dx\ to \int_}\Omega}\ vert u\ vert^ p-2}-uv \，dx$$

和

$$开始{对齐}[b]&\int_{\Omega}\int_}\Omega}\frac{\vert u_{j}{\Omega}整型}\，dx\，dy.\end{对齐}$$

(10)

实际上，Riesz势定义了一个线性连续映射\（L^{\frac{2N}{2N-\mu}}（\Omega）\）到\（L^{\frac{2N}{\mu}}（\Omega）\）哈代-利特伍德-索波列夫不平等。然后

$$\frac{\vert u_{j}\vert^{p_{\mu，s}^{*}}}{\vert-x-y\vert${\mu}}\rightharpoonup\frac}\vert u \vert|p_{\ mu，s}^{*{}}{\ vert x-y\vert^{\mu{}}\quad\mbox{in}L^{\frac[2N}{\muneneneep}（\Omega）$$

(11)

作为\（n\rightarrow\infty\）此外，

$$\vert u_{j}\vert^{p_{mu，s}^{*}-2}u_{j}\rightharpoonup\vert u \vert${p_}\mu，s}^{*{-2}u \quad\mbox{in}L^{\frac{p__{s}^}{*}}{p_[mu，s2}（\Omega）$$

(12)

组合(11)与(12)以及\（\压裂{p{s}^{*}}{p{\mu，s}^}}=\压裂{2N}{2N-\mu}\），我们得到了期望的结果(10). 所以在(9)说明了这一点\（u\在X_｛p｝^｛s｝（\Omega）\中）是的弱解(1).

让\（\widetilde{u}_{j} =u_{j}-u\）我们将证明\（\widetilde{u}_{j} \至0\）在里面\（X_{p}^{s}（\Omega）\）。来源[30，引理3.2]，我们得到

$$\垂直\widetilde{u}_{j} \Vert_{s，p}^{p}=\Vertu_{j}\Vert_{s，p}^{p}-\Vertu\Vert_}s，p{p}+\mathrm{o}（1）$$

(13)

我们在引理2.2中讨论了[10]并且有

$$\垂直\widetilde{u}_{j} \Vert_{o}^{2p_{\mu，s}^{\ast}}=\Vert u_{j}\Vert _{o}^{2p _{\mo，s}^{\ast}-\Vert u \Vert e_{o}{2p_{\mo，s{^{\ast}}+\mathrm{o}（1）$$

(14)

拿\（v=u{j}\）英寸(9)给予

$$\Vertu{j}\Vert_{s，p}^{p}=\lambda\vertu\Vert_{p}^}+\Vertu_{j}\ Vert_{o}^{2p_{\mu，s}^{ast}}+\mathrm{o}（1）$$

(15)

自\（{u{j}）以为界\（X_{p}^{s}（\Omega）\）并收敛到u个在里面\（L^{p}（\Omega）\）、和测试(9)带有\（v=u）给予

$$\Vertu\Vert_{s，p}^{p}=\lambda\vertu\Vert_{p}^}+\Vertu\ Vert_{o}^{2p_{mu，s}^{ast}}$$

(16)

组合(13)–(16)和(7)给予

$$\垂直\widetilde{u}_{j} \Vert_{s，p}^{p}=\Vert\widetilde{u}_{j} \Vert_{o}^{2p_{\mu，s}^{\ast}}+\mathrm{o}（1）\le\frac{\Vert\widetilde{u}_{j} \Vert_｛s，p｝^｛2p_｛\mu，s｝^｛\ast｝｝｝｝｝｝｝｝｝｝｝｝｝｝｝｝｝｝｝｝｝｝｝｝｝｝｝｛｛｝\s_{｛｛｝^ 2p_｛^｛^｛^｛s_ s｝H，s｝L｝^｛s_ s_ s_ s_ s_ s_ L｝$$

所以

$$\垂直\widetilde{u}_{j} \Vert_{s，p}^{p}\bigl（s_{H，L}^{2p_{mu，s}^{ast}/p}-\Vert\widetilde{u}_{j} \Vert_{s，p}^{2p_{\mu，s}^{\ast}-p}\bigr）\le\mathrm{o}（1）$$

(17)

另一方面，

$$开始{对齐}c&=\frac{1}{p}\Vertu_{j}\Vert_{s，p}^{p}-\frac}\lambda}{p{\vertu\Vert_{p}^}-\frac{1}}{2p_{\mu，s}^{\ast}}\Vertu_{j{\Vert_{o}^{2p{\mo，s}\ast}+\mathrm{o}（1）\quad\text{by（8）}\\&=\biggl（\frac{1}{p}-\压裂{1}{2p_{\mu，s}^{\ast}}\biggr）\bigl（\Vertu_{j}\Vert_{s，p}^{p}-\lambda\vertu\Vert_{p}^}\bigr）+\mathrm{o}（1）\quad\text{by（15）}\\&=\biggl（\frac{1}{p}-\裂缝{1}{2p_{\mu，s}^{\ast}}\biggr）\bigl（\Vert\widetilde{u}_{j} \Vert_{s，p}^{p}+\Vert-u\Vert_}s，p{{p}-\lambda\Vert-u\Vert_{p}^}\biger）+\mathrm{o}（1）\quad\text{by（13）}\\&=\biggl（\frac{1}{p}-\裂缝{1}{2p_{\mu，s}^{\ast}}\biggr）\bigl（\Vert\widetilde{u}_{j} \Vert_{s，p}^{p}+\Vert-u\Vert_}o}^{2p_{\mu，s}^{\ast}}\biger）+\mathrm{o}（1）\quad\text{by（16）}\\&\ge\biggl（\frac{1}{p}-\裂缝{1}{2p_{\mu，s}^{\ast}}\biggr）\Vert\widetilde{u}_{j} \垂直_｛s，p｝^｛p｝+\mathrm｛o｝（1），\end｛aligned｝$$

所以

$$\limsup_{j\to\infty}\Vert\widetilde美元{u}_{j} \Vert_{s，p}^{p}\le\frac{2pp_{\mu，s}^{\ast}c}{2p_{\mo，s}^{\ast}-p}<s_{H，L}^{\ frac{2p_}\mu$$

(18)

我们的结论是(17)和(18)那个\（\|\widetilde{u}_{j} \|_{s，p}\to0\）.

现在我们可以应用引理2.4具有\（b=\frac{2p_{\mu，s}^{*}-p}{2pp_{\mo，s}^{*{}s_{H，L}^{\frac}2p_}\mu.签署人[30，建议3.5]，\（\Psi^{\lambda_{k+m}}\）具有紧对称子集\（A_{0}\）具有

$$i（A_{0}）=k+m$$

我们接受\（B_{0}=\Psi_{\lambda_{k+1}}\），所以

$$i（S_｛1｝\setminus B_｛0｝）=k$$

由(4). 让\（R>R>0\）然后让A类,B类、和X（X）如引理所示2.4。对于\（B_{0}中的u）,

$$I{\lambda}（ru）\ge\frac{r^{p}}{p}\biggl（1-\frac}\lambda}{\lampda{k+1}}\bigr）-\frac_2p_2p_{\mu，s}^{\ast}}{2p_{\ mu$$

由(7). 由此可见\（\inf I_{\lambda}（B）>0\）如果第页足够小，因为\（\lambda<\lambda_{k+1}\）和\（2p{\mu，s}^{\ast}>p\）。对于\（u\在A_{0}\子集\Psi^{\lambda_{k+1}}\中）,

$$I{\lambda}（Ru）\le\frac{R^{p}}{p}\biggl（1-\frac}\lambda}{\lampda{k+1}}\bigr）-\frac[R^{2p_{mu，s}^{\ast}}{2p_2\mu，s}^{\st}}（\frac{1}{\lambda{k+1}\vert\Omega\vert^{（p_{{s}^{*}-p）}/{p_{s}^{*{}}C_{H，L}^{p}}\biggr）^{frac{2p_{mu，s}^}}{p}$$

所以存在\（R>R）这样的话\（I_{\lambda}\le0\）在A类。对于\（X中的u）,

$$开始{对齐}I_{\lambda}（u）和\le\frac{\lampda_{k+1}-\lambda}{p}\vert\Omega\vert^{frac{p{s}^{*}-p}{p_{s}^{*{}}\vertu\vert_{p_}s}^}{{*}}}^{p}-\frac}\vert u\vert_{p_s}^{2p_{ms}，s}^{*}}{2p_{\mu，s}^{\ast}（C_{H，L}）^{2p_2\mu}}（\lambda_{k+1}-\lambda）\rho}{p}-\frac{\rho^{2p{\mu，s}^{\ast}/p}}{2p_{\mo，s}^{\ast}（C_{H，L}）{p}-\压裂{1}{2p_{\mu，s}^{\ast}}\biggr）\vert{\Omega}\vert^{\frac{2p_2p_{\ mu，s}^{ast}（p_{s}^}-p）}{p_{s}^}2p_{\mu，s}^{*}-p}}（\lambda_{k+1}-\lambda）。\结束{对齐}$$

所以

$$\开始{aligned}\sup I_{lambda}（X）&\le\biggl（\frac{1}{p}-\frac｛1｝｛2p_｛\mu，s｝^｛\sast｝｝｝\biggr）\vert与（（，的-\lambda）^｛2p_｛\mu，s｝^｛\sast｝/｛（2p_｛\mu，s｝^{\ast}-p）}}\结束{对齐}$$

由(5). 因此，功能\（I_{\lambda}\）有米不同的（非平凡的）临界点对\（\pm u^{\lambda}{j}\）,\（j=1，\点，m），因此

$$\开始{对齐}[b]&0<I_{\lambda}\bigl（u^{\lampda}_{j}\bigr）\le\biggl（\frac{1}{p}-\frac｛1｝｛2p_｛\mu，s｝^｛\sast｝｝｝\biggr）\vert｛\Omega｝\vert ^｛\frac｛2p_｛\mu，s｝^｛\sast｝（p_｛s｝^｛*｝-p）｝-\lambda）^｛2p_｛\mu，s｝^｛\ast｝/｛（2p_｛\mu，s｝^｛\ast｝｝-p）｝\to0\&&\quad\text｛as｝\lambda\nearrow\lambda_｛k+1｝。\结束{对齐}$$

(19)

然后

$$\bigl\Vert u^{\lambda}_{j}\bigr\Vert _{o}^{2p_{\mu，s}^{\ast}}=\frac{2pp_{\mo，s}^{\ast}}{2p_{\mu.，s}}^{\ ast}-p}\biggl[I_{\lampda}\bigl（u^{\ lambda{{j}\bigr）-\frac}{1}{p}I_{\ lamda}'\bigl（u^{\lambda}_{j}\bigr）u^{\ lambda{{j}\biggr]=\frac{2pp_{\mu，s}^{\ast}}{2p_{\mo，s}^{\ast}-p}I{\lampda}\bigl（u ^{\lambda}{j}\biger）\to0$$

因此\（u^{lambda}_{j}\to0）在里面\（L^{p}（\Omega）\）应用Hölder不等式和引理2.2，我们推断

$$\bigl\Vert-u^{\lambda}_{j}\bigr\Vert_{s，p}^{p}=pI_{\lampda}\bigl{j}\bigr\Vert_{o}^{2p{\mu，s}^{\ast}}\to0$$