具有变号势的分数阶Kirchhoff方程解的存在性

摘要

在本文中，作者研究了以下分数阶Kirchhoff边值问题：

$$\textstyle\开始{cases}（{a+b\int_{0}^{T}{（{}_{0}D_{t} ^{\alpha}u）^{2}\，dt}}）{}_{t} D类_{T} ^{\alpha}（{}_{0}D_{t} ^{\alpha}u）+\lambda V（t）u=f（t，u），\quad t\in[0，t]，\\u（0）=u（1）=0，\end{cases}$$

其中参数\（\lambda>0）和常量\（a，b>0）应用山路定理和连接定理，得到了上述分数次边值问题的一些存在性结果。应该指出V（V）可能正在变符号。

1介绍

近十年来，由于分数阶微分方程在科学和工程中的各种应用，许多研究人员对其进行了广泛的研究[1–5]. 事实上，人们可以在神经元、粘弹性、生物化学、生物工程、多孔介质、电磁等各种现象的建模中找到许多应用。特别是在最近几年，对包含左右分数阶导数的方程的研究越来越受到人们的重视。由于方程中同时出现了左分数导数和右分数导数，不动点理论通常不适合研究此类问题解的存在性。焦和周第一次[6]表明变分法是研究这类问题的一种非常有效的工具。在[6]通过引入适当的空间和变分结构，并利用一些临界点定理，作者研究了下列方程解的存在性：

$$\textstyle\begin{cases}{}_{t} D类_{T} ^{\alpha}（{}_{0}D_{t} ^{\alpha}u（t））=\nabla F（t，u（t，t）），\quad\mbox{a.e.}t在[0，t]中，\\u（0）=u（t）=0。\结束{cases}$$

(1.1)

在适当的条件下，得到了方程的存在性结果(1.1). 自那时以来，已有许多文献通过变分方法研究了各种具有左右导数的分数阶方程，并获得了关于一个解、三个解、无限解等的存在性的许多结果（参见[7–15]).

另一方面，最近，越来越多的研究集中在以下Kirchhoff型问题上：

$$\textstyle\begin{cases}-（{a+b\int_{mathbb{R}^{N}}{vert\nabla u\vert^{2}}）\Delta u+V（x）u=f（x，u），\quad x\in\mathbb}R}^}，\\u\ in H^{1}（\mathbb{R}^{N{），\end{cases}$$

(1.2)

哪里\（V:\mathbb{R}^{N}\到\mathbb{R}\）和常量\（a、b）是两个正数。问题(1.2)由于术语的存在，被称为非局部\（\int_{\mathbb{R}^{N}}{\vert\nabla u\vert^{2}\，dx}\），这意味着(1.2)不再是点式恒等式。这种现象引发了更多需要克服的困难，这使得对这类问题的研究特别有趣。如果函数V（V）消失和\（\mathbb{R}^{N}\）替换为有界域\（\Omega\subset\mathbb{R}^{N}\）英寸(1.2)，则可归结为以下基尔霍夫型狄里克莱问题：

$$\textstyle\boot｛cases｝-（｛a+b\int_｛\Omega｝｛\vert\nabla u\vert^｛2｝\，dx｝｝）\Delta u=f（t，u），\ quad x \ in \ Omega，\\u=0，\ quad x \ in \ partial \ Omega，\ end｛cases｝$$

它与方程的平稳模拟有关

$$\rho\frac{\部分^{2} u个}{\partial t^{2}}-\biggl（{\frac{P_{0}}{h}+\frac}E}{2L}\int_{0{0}^L}{\biggl\vert{\frac u}{\partic x}}\biggr\vert^{2\，dx}}\biggr）^{2} u个}{\部分x^{2}}=0$$

(1.3)

Kirchhoff于年提出[16]，是经典达朗贝尔波动方程的扩展，用于表征弹性弦的自由振动。

近年来，公式(1.2)在不同条件下对（f）和V（V），以及非平凡解的许多存在性结果(1.2)通过变分法得到。在[17]，Jin和Wu利用喷泉定理得到了无穷多径向解的存在性\（N=3\）和\（V=1）.同时（f）满足4-超线性条件V（V）承认其他假设，吴[18]建立了非平凡解的一些存在性结果。有关更多相关研究，读者可以参考[19–30]以及其中的参考文献。

受上述工作的启发，作者将分数阶方程与左右导数和基尔霍夫方程相结合，研究以下分数阶基尔霍夫边值问题（简称BVP）：

$$\textstyle\开始{cases}（{a+b\int_{0}^{T}{（{}_{0}D_{t} ^{\alpha}u）^{2}\，dt}}）{}_{t} D类_{T} ^{\alpha}（{}_{0}D_{t} ^{\alpha}u）+\lambda Vu=f（t，u），\quad t\in[0，t]，\\u（0）=u（t）=0，\end{cases}$$

(1.4)

其中参数\（\lambda>0）和常量\（a，b>0）利用山路定理和连接定理，建立了边值问题非平凡解的存在性结果(1.4). 应该指出的是，在前面提到的一些参考文献中V（V）总是假定为连续且为正。这里，我们考虑BVP(1.4)具有更广泛的潜力V（V）尤其是潜在的V（V）可以是sign-changing。因此，有更多的困难需要克服，需要引入更多的推导技术。此外，在\（（C）{C}\）条件，但不是通常情况\（（PS）{c}\）将应用条件。据我们所知，没有人研究过BVP(1.4)到目前为止。

最后，我们转向展示论文的组织结构。在教派。 2，我们给出了一些定义和变分工作框架(1.4)以及一些引理，稍后将使用。在教派。 三，我们给出了主要结果。

2前期工作

在本节中，我们将介绍以下定义和引理。

定义2.1

([5])

让（f）是定义于的函数\（[a，b]\）.左Riemann–Liouville分数阶积分\（伽马>0）for函数（f）由定义

$$ { }_{a} D类_{t} ^{-\gamma}f（t）=\frac{1}{\gamma（\gamma）}\int_{a}^{t}{（t-s）^{\gamma-1}f（s）\，ds}，\四元t \ in[a，b]$$

如果右侧是在上逐点定义的\（[a，b]\），其中Γ是伽马函数。

定义2.2

([5])

让（f）是定义于的函数\（[a，b]\）.右Riemann–Liouville分数阶积分\（伽马>0）for函数（f）由定义

$$ { }_{t} D类_{b} ^{-\gamma}f（t）=\frac{1}{\gamma（\gamma）}\int_{t}^{b}{（s-t）^{\gamma-1}f（s）\，ds}，\四元t \ in[a，b]$$

如果右侧是在上逐点定义的\（[a，b]\）.

定义2.3

([5])

让（f）是定义于的函数\（[a，b]\）.左右Riemann–Liouville分数阶导数\（伽马>0）for函数（f）记为\({ }_{a} D类_{t} ^{\gamma}f（t）\）和\({ }_{t} D类_{b} ^{\gamma}f（t）\）分别由定义

$$ { }_{a} D类_{t} ^{\gamma}f（t）=\压裂{d^{n}}{dt^{n{}}{}_{a} D类_{t} ^{\gamma-n}f（t）$$

和

$$ { }_{t} D类_{b} ^{\gamma}f（t）=（-1）^{n}\frac{d_{n}}{dt^{n{}}{}_{t} D类_{b} ^{\gamma-n}f（t）$$

哪里\（t在[a，b]\中）,\（n-1\le\gamma<n\）,\（以n表示）.

定义2.4

([6])

让\（0<阿尔法1）和\（1<p<infty）.表示分数导数空间\（E_{0}^{\alpha，p}\）通过关闭\（C_{0}^{\infty}（[0，T]，\mathbb{R}）\）论规范

$$\Vertu\Vert_{\alpha，p}=\biggl（{\int_{0}^{T}{\bigl\Vert u（T）\bigr\Vert^{p}\，dt}+\int_}0}^}T}{\bigl\Vert{}_{0}D_{t} ^{\alpha}u（t）\bigr\vert^{p}\，dt}}\biggr）^{1/p}，\quad\对于E_{0}^{\alpha，p}中的所有u$$

由[6]，空间\（（（E_{0}^{\alpha，p}，\Vert\cdot\Vert_{\alpha，p}）\）是巴纳赫空间。

一如既往\（1），我们确定了规范\（\Vertu\Vert_{L^{P}}=（{\int_{0}^{T}{\vertu（T）\Vert^{P}\，dt}}）^{\frac{1}{2}}\）对于\（位于L^{p}[0，T]\中）和\（\Vert u\Vert_{infty}=\max_{t\in[0，t]}\Vert u（t）\Vert\）对于\（u \在C（[0，T]，\mathbb{R}）中\）.

由[6]，我们有以下结果。

引理2.1

([6])

让 \（0<阿尔法1）,\（1<p<infty）.然后 \（E_{0}^{\alpha，p}\）是一个可反射且可分离的巴纳赫空间.此外,如果 \（\alpha>\frac{1}{p}\）,然后 \（E_{0}^{\alpha，p}\subset C（[0，T]，\mathbb{R}）\）.

引理2.2

([6])

让 \（0<阿尔法1）,\（1<p<infty）.对于任何 \（u\在E_{0}^{\alpha，p}\中）,

• （i） 如果 \（\alpha>\frac{1}{p}\） 或 \（\alpha\le 1-\frac｛1｝｛p｝\）,然后 \（\Vertu\Vert_{L^{p}}\le\frac{T^{alpha}}{\Gamma（\alpha+1）}\Vert{}_{0}D_{t} ^{\alpha}u\Vert_{L^{p}}\）;

• （ii） 如果 \（\alpha>\frac{1}{p}\） 和 \（压裂{1}{p}+压裂{1{q}=1\）,然后 \（垂直u\Vert_{infty}\leq\frac{T\alpha^{-1/p}}{\Gamma（\alpha）（（alpha-1）q+1）^{1/q}}\Vert{}_{0}D_{t} ^{\alpha}u\Vert_{L^{p}}\）.

引理2.3

([6])

让 \（1<p<infty） 和 \（\alpha>\frac{1}{p}\）.如果 \（u{k}\rightharpoonup u\） 在里面 \（E_{0}^{\alpha，p}\）,然后 \（u{k}\到u\） 在里面 \（C（[0，T]，\mathbb{R}）\）.当然,\（u{k}\到u\） 在里面 \（L^{q}（[0，T]）\） 对于任何 \（问题1）.

在下文中，我们总是假设\（p=2\）和\（压裂{1}{2}<\alpha\le 1\）.

让\（V^{+}\）和\（V ^｛-｝\）成为潜力的积极部分和消极部分V（V）分别是。然后\（V=V^{+}-V^{-}\）.

我们给出了一些关于潜力的假设V（V）如下：

(\（V_{1}\）):

V（V）是可测量的，并且本质上有界于\（[0，T]\）.

(\（V_{2}\）):

\（\Omega_{i}\ne\emptyset\）,\（i=1,2），其中\（\Omega_{1}=\mbox{int}\{t\in[0，t]：V（t）\ge0\}\）,\（\Omega_{2}=\mbox{int}\{t\in[0，t]：V（t）<0\}\）.

(\（V_{3}\）):

\（\lim_{R\to+\infty}\operatorname{meas}\{x\ in[0，T]：V（x）\geR\}=0\）.

为了研究具有变号势的Kirchhoff型边值问题V（V），我们需要以下工作框架。对于每个固定\（\lambda>0），定义

$$X_{\lambda}:=\biggl\{u\在E_{0}^{\alpha，2}:\int_{0}^{T}{V^{+}（T）u^{2}（T）\，dt}<\infty}\biggr\}$$

和\（语言{u，v}语言{0}^{T}{[a（{}）_{0}D_{t} ^{\alpha}u）（{}_{0}D_{t} ^｛\alpha｝v）+\lambda v^｛+｝uv]\，dt｝\）对于\（u，v\在X_{\lambda}\中）.

鉴于引理2.1–2.3，很容易知道以下结果成立。

引理2.4

假设条件 \（（V_{1}）\） 持有.然后

• （i） 空间 \（X_{\lambda}\） 是一个具有内积的反射和可分离的Hilbert空间 \（语言{u，v}语言{lambda}）,还有一个反射和可分离的巴纳赫空间 \（\Vertu\Vert_{lambda}=\langle{u，u}\rangle_{lambda}^{\frac{1}{2}}\）,\（u\在X_｛\lambda｝\中）.

• （ii） 规范 \（\Vert\cdot\Vert_｛\alpha，2｝\） 和 \（\Vert\cdot\Vert_{\lambda}\） 在 \（X_{\lambda}\） 是等效的.

• （iii） \（X_{\lambda}\） 连续而紧凑地嵌入空间 \（C（[0，T]）\） 和 \（L^{2}（[0，T]）\）.

此外，我们需要以下符号。对于固定的\（\lambda>0），让

$$Y_{\lambda}=\bigl\{u\in X_{\lambda}:\operatorname{支持}u\子集V^{-1}[0，\infty）}\bigr\}$$

然后\（X_{\lambda}=Y_{\λ}\oplus Y_{\λ}^{\bot}\）显然，如果\（V（t）\ge 0），然后\（X_｛\lambda｝=Y_｛\lambda｝\）。否则，\（Y_{\lambda}^{\bot}\ne\{0\}\）.

我们定义了一个双线性函数\（a{\lambda}^{+}\）在\（X_{\lambda}\乘以X_{\ lambda{\）通过

$$a_{\lambda}^{+}（u，v）=\int_{0}^{T}{\bigl[a\bigl（{}_{0}D_{t} ^{\alpha}u\bigr）\bigl（{}_{0}D_{t} ^{\alpha}v\bigr）（t）+\lambda v^{+}（t）u（t）v（t）\bigr]\，dt}$$

和双线性泛函\（b_{\lambda}\）在\（Y_{\lambda}^{\bot}\乘以Y_{\ lambda{^{\bat}\）通过

$$b_{lambda}（u，v）=\int_{0}^{T}{\lambdaV^{-}（T）u（T）v（T）\，dt}$$

稍后将使用以下结果。

引理2.5

在条件下 \（（V_{1}）\）,函数 \（b_{\lambda}（u，u）\） 弱连续打开 \（Y_{\lambda}^{\bot}\）.

证明

由\（（V_{1}）\），函数\（V ^｛-｝\）本质上是有界的，即存在\（v{0}>0\）这样的话\（0\lev（t）\lev_{0}\），即。\（t\在[0，t]\中）.让\（{{u{n}}\}\）是任意序列\（u{n}\rightharpoonup u\）在里面\（Y_{\lambda}^{\bot}\）然后，通过引理2.4，因此\（u{n}\到u\）在里面\（C（[0，T]）\），因此，

$$\lim_{n\to\infty}\int_{0}^{T}{V^{-}$$

根据支配收敛定理。那就是，\（b_{\lambda}（u，u）\）在上是弱连续的\（Y_{\lambda}^{\bot}\）.证据完整。□

现在，我们来考虑下面的特征值问题\（Y_{\lambda}^{\bot}\）:

$$a{}_{t} D类_{T} ^{\alpha}\bigl（{}_{0}D_{t} ^{\alpha}u\biger）+\lambda V ^{+}u=\beta\lambdaV^{-}u，\quad u\ in Y_{\lambda}^{\bot}$$

(2.1)

其中常量\（a>0）,\（\lambda>0）.

我们表示运算符\（A_{\lambda}^{+}\）在\（Y_{\lambda}^{\bot}\）与关联(2.1)由

$$A_{\lambda}^{+}u=A{}_{t} D类_{T} ^{\alpha}\bigl（{}_{0}D_{t} ^{\alpha}u\bigr）+\lambda V^{+}u，\quad u\ in Y_{\lambda}^{\bot}$$

显然，\（A_{\lambda}^{+}\）在形式上是自共轭的\（L^{2}（[0，T]）\）因此，鉴于[31]结合引理2.5，我们得出以下结论。

引理2.6

在条件下 \（（V_{1}）\）,特征值问题(2.1)接受一系列特征值 \（{{\beta_{k}（\lambda）}\}\） 令人满意的

$$0<\β_｛1｝（\lambda）<\β_｛2｝（\lambda）\le\cdots\le\β_｛N_｛0｝（\lambda）｝（\lambda）\le\β_｛N_｛0｝（\lambda）+1｝（\lambda）\le\cdots\le\β_｛N｝（\lambda）\le\cdots$$

具有 \（\beta_{N_{0}（\lambda）}（\ lambda 和 \（\beta_{k}（\lambda）\到+\infty\） 作为 \（k到信息）.此外,\（\beta{k}（\lambda）\） 具有以下特征

$$\beta_{k}（\lambda）=\inf_{F\bot Y_{\lambda}，\dim F\ge-k}\sup\biggl\{{\lampda^{-1}{\Vert-u\Vert_{\lambeda}}^2}:u\ in F，\int_{0}^{T}{V^{-1{（T）u^{2}（T$$

和特征向量 \（e_{k}\） 对应于 \（\beta{k}（\lambda）\） 形成基础 \（Y_{\lambda}^{\bot}\）,可以选择哪一个，以便 \（\langle{e_{i}，e_{j}}\rangle{\lambda}=\delta{ij}\）.

表示子空间\（X_{\lambda，1}\）,\（X_{\lambda，2}\）通过\（X_{\lambda，1}=\operatorname{span}\{{e_{k}:1\lek\leN_{0}（\lambda）}\}\）,\（X_{\lambda，2}=\overline{\operatorname{span}}\{e_{k}:k\geN_{0}（\lambda）+1\}\）分别是。然后\（Y_{\lambda}^{\bot}=X_{\lambda，1}\oplus X_{\ lambda，2}\）,\（X_{\lambda}=X_{lambda，1}\oplus X_{\ lambda.

此外，我们需要引入双线性函数\（a{\lambda}\）在\（X_{\lambda}\乘以X_{\ lambda{\）如下：

$$a_｛\lambda｝（u，v）=\int_｛0｝^｛T｝｛\bigl[a\bigl（｛｝_{0}D_{t} ^{\alpha}u\bigr）\bigl（{}_｛0｝D_{t}^{\alpha}v\bigr）（t）+\lambda v（t）u（t）v（t）\bigr]\，dt}，\quad u，v\ in X_{\lambda}$$

关于上述功能\（a{\lambda}\），我们得出以下结论。

引理2.7

假设该条件 \（（V_{1}）\） 持有.对于常量 \（a>0） 和固定的 \（\lambda>0）,我们有

• （i） \（a{\lambda}（u，u）\le 0\） 对于任何 \（u\在X_{\lambda，1}\中）;

• （ii） \（a{\lambda}（u，u）\ge 0\） 对于任何 \（u\在X_{lambda，2}\中）;

• （iii） \（a{lambda}（u，v）=0） 对于任何 \（u，v\在X_{\lambda}\中） 在不同的子空间中 \（X_{\lambda，1}，X_{\lambda，2}\）,和 \（Y_{\lambda}\）.

证明

（i） 对于任何\（u\在X_{\lambda，1}\中）具有\（\sum_{i=1}^{N_{0}（\lambda）}{t_{i}e_{i}}\），由(2.1)，我们有

$$\begin{aligned}\delta_{ij}=&\langle{e_{i}，e_{j}}\rangle_{\lambda}=a{\lampda}^{+}（e_{i}，e_{j}）\\=&\int_{0}^{T}{\bigl[a\bigl（{}_{0}D_{t} ^{\alpha}e_{i}\bigr）\bigl（{}_{0}D_{t} ^{\alpha}e_{j}\bigr）（t）+\lambda V^{+}（t）e_{i}（t）e_[j}（c）\bigr]\，dt}\\=&\beta_{i}\lambda\int_{0}^{t}{V^{-}（t-）e_}i}。\结束{对齐}$$

因此，

$$\开始{对齐}a{\lambda}（e_{i}，e_{j}）=&\int_{0}^{T}{\bigl[a\bigl（{}_{0}D_{t} ^{\alpha}e_{i}\bigr）\bigl（{}_{0}D_{t} ^{\alpha}e_{j}\biger）（t）+\lambda V（t）e_{i}\delta_{ij}，\quad 1\lei，j\leN_{0}（\lambda），\end{aligned}$$

因此\（a{\lambda}（u，u）=\sum{i=1}^{N_{0}（\lambda）}\frac{\beta{i}-1}{\beta{i}}t_{i}^{2}\le0\），用于\（u=\sum_{i=1}^{N_{0}（\lambda）}{t_{i}e_{i}}\），注意到\（0<\beta{i}\le 1）作为\（1 \le i \le N_{0}（\lambda）\）.

（ii）对于任何\（u\在X_{lambda，2}\中）具有\（u=\sum_{i=N_{0}（\lambda）+1}^{m}{t_{i}e_{i}}\）通过类似于（i）中的论点，我们知道

$$a{\lambda}（u，u）=\sum_{i=N_{0}（\lambda）+1}^{m}{\frac{\beta_{i}-1}{\beta{i}}t_{i}^{2}>0，\quad}$$

(2.2)

注意到了\（\beta{i}>1\）作为\（i \ge N_｛0｝（\lambda）+1\）因此，对于任何\（u\在X_{lambda，2}\中），采取\（子集X｛\lambda，2｝\）具有\（u{n}=\sum{i=n_{0}（\lambda）+1}^{m{n}}{t_{i}^{（n）}e_{i}}）令人满意的\（u{n}\到u\）作为\（到英寸）。它源自(2.2)那个\（a{\lambda}（u{n}，u{n{）>0\）,\（第1页）.签署人

$$a{\lambda}（u{n}，u{n{）=\Vertu{n}\Vert_{lambda{^{2}-\int_{0}^{T}{V^{-}（T）u_{n}^{2}（T）\，dt}$$

事实上\（垂直u{n}\垂直u{lambda}\到\垂直u\垂直u{lambda}，u{n{到u\）在里面\（C（[0，T]）\）,\（0\le V^{-}（t）\le V_{0}\），即。\（t\在[0，t]\中），应用支配收敛定理，我们知道

$$a{\lambda}（u，u）=\lim{n\to\infty}a{\lambda}（u{n}，u{n{）\ge0$$

（iii）对于任何\（u\在X_{lambda，1}中，v\在Y_{lampda}中），因为\（V^{-}（t）V（t）=0\），我们有

$$a{\lambda}（u，v）=a{\lambda}^{+}（u，v）-\lambda \int_{0}^{T}{v^{-}（T）u（T）v$$

同样，对于任何\（u\在X_{lambda，2}中，v\在Y_{lampda}中），或\（u\在X_{lambda，1}中，v\在X_{lambda，2}中），我们有\（a{lambda}（u，v）=0）. □

现在，我们来介绍两个临界点定理。让E类是Banach空间并且\（I:E\到\mathbb{R}\）成为班级的一员\（C^｛1｝\）.A序列\（{{u_{n}}\}\子集E\）是一个\（（C）{C}\）序列我意味着如果\（I（u_{n}）\到c\）和\（（1+\Vert u_{n}\Vert）{I}'（u_{n}）\到0\）作为\（到英寸）此外，我满足Cerami条件c（c）如果有\（（C）{C}\）序列我具有收敛子序列。

引理2.8

（山口定理[32])

让 E类 成为巴拿赫空间,\（C^{1}（E，\mathbb{R}）中的I） 满足这一点 \（\max\{I（0），I（e）}\}\le\mu<\eta\le\inf_{\Vertu\Vert=\rho}I（u）\） 对一些人来说 \（\mu<\eta，\rho>0\）,和 \（e中的e） 具有 \（\垂直\垂直>\rho\）.让 c（c） 具有以下特征 \（c=\inf_{\gamma\in\gamma}\max_{0\let\le1}I（\gamma（t）））,哪里 \（C（[0,1]，E）中的伽玛={伽玛：伽玛（0）=0，伽玛（1）=E}）.然后 \（抄送） 和 我 有一个 \（（C）{C}\） 序列.

引理2.9

（链接定理[33])

让 \（X=Y\oplus Z\） 成为巴拿赫空间 \（\ dim Y<\ infty）.让 \（\rho>r>0\） 和 \（e_{0}\在Z\中） 具有 \（\Verte_｛0｝\Vert=r\）.设置

$$\begin{aligned}&M：=\bigl\{u=y+\lambdae_{0}：\Vert u\Vert\le\rho，\lambda \ge 0，y\ in y\bigr\}，\\&N_{r}：=\bigl\{u \ in Z:\Vert u \Vert=r\bigr\{}，\&M_{0}:=\bigl\{u=y+\Lambdae_{0}:y\ in y，\Vert u\Vert=\rho \ge 0\textit{或}\Vert u\Vert\le\rho，\lambda=0\bigr\}。\结束{对齐}$$

如果 \（位于{C}^{1}（X，\mathbb{R}）中的I） 满足这一点 \（b:=\inf_{N_{r}}I>a:=\max_{M_{0}}I\）,然后 \（c \ge b）,并且存在一个 \（（C）{C}\） 序列 我,哪里 \（c:=\inf_{r\in\Gamma}\max_{u\inM}I（\Gamma（u））\）,\（C（M，X）中的伽马=\{{Gamma：\Gamma_{|M_{0}}=I_{d}}）.

三主要结果

在本节中，我们建立了关于BVP解的一些存在性结果(1.4). 首先，我们列出了函数的一些条件（f）和F类，其中\（F（t，x）=\int_{0}^{x}{F（t，s）\，ds}，（t，x）\in[0，t]\ times\mathbb{R}\）.

\（（f{1}）\）:

\（f在C（[0，T]\times\mathbb{R}）中）.

\（（f{2}）\）:

存在常量\（\mu>4,0<\tau<2）和一个非负函数\（g\在L^{\frac{2}{2-\tau}}\中）这样的话

$$F（t，x）-\frac{1}{\mu}F（t，x）x\leg（t）\vertx\vert^{\tau}，\quad\mbox{a.e.}在[0，t]，x\in\mathbb{R}中$$

\（（f{3}）\）:

存在\（σ>2）这样的话\（[0，t]}中的\lim_{\vert x\vert\to 0}\sup_{t\frac{F（t，x）}{\vertx\vert^{\sigma}}<\infty\）.

\（（f_{4}）\）:

存在\（θ>2）这样的话\（[0，t]}\frac{F（t，x）}{vertxvert^{theta}}>0\）.

\（（（f^{\素数}_{4}）\）:

存在\（θ>4）这样的话\（[0，t]}\frac{F（t，x）}{vertxvert^{theta}}>0\）.

\（（f{5}）\）:

\（f（t，x）x\ge 0\mbox{表示所有}在[0，t]\mbox}和}x\in\mathbb{R}\中）.

与BVP相关的能量函数(1.4)表示为

$$\begin｛aligned｝I_｛\lambda｝（u）&=\frac｛1｝｛2｝\int_｛0｝^｛T｝｛\bigl[a\bigl（｛｝_{0}D_{t} ^{\alpha}u\bigr）^{2}（t）+\lambda V（t）u^{2neneneep（t）\bigr]\，dt}\\&\quad{}+\frac{b}{4}\biggl（{\int_{0}^{t}{\bigl（{}_｛0｝D_{t}^{\alpha}u\bigr）^{2}\，dt}}\biggr）^{2}-\int_{0}^{T}{F\bigl（T，u（T）\bigr）\，dt}。\结束{对齐}$$

(3.1)

此外，很明显，在条件下\（（V_{1}）\）和\（（f{1}）\）,

$$\开始{对齐}{I}'_{\lambda}（u）v=&\int_{0}^{T}{\bigl[a\bigl（{}_{0}D_{t} ^｛\alpha｝u\bigr）\bigl（｛｝_{0}D_{t} ^{\alpha}v\bigr）（t）+\lambda v（t）u（t）v（t）\bigr]\，dt}\\&{}+b\int_{0}^{t}{\bigl（{}_{0}D_{t} ^{\alpha}u\bigr）^{2}\，dt}\int_{0}^{t}{\bigl（{}_{0}D_{t} ^{\alpha}u\bigr）\bigl（{}_{0}D_{t} ^{\alpha}v\bigr）（t）\，dt}-\int_{0}^{t}{f\bigl（t，u（t）\biger）v（t）/，dt}\end{aligned}$$

(3.2)

为所有人\（u，v\在X_{\lambda}\中）.

\（u\在X_｛\lambda｝\中）称为BVP的弱解(1.4)如果\（{I}'_{\lambda}（u）v=0\）为所有人保留\（X_{\lambda}中的v\）也就是说，u个是…的关键点\（I_{\lambda}\）在里面\（X_{\lambda}\）.

首先，我们建立了几个引理。

引理3.1

如果条件 \（（V_{1}）\） 和 \（（f{1}）\）–\（（f{2}）\） 持有,那么任何 \（（C）{C}\） 序列 \（{{u{n}}\}\） 属于 \（I_{\lambda}\） 对于每个 \（c\in\mathbb{R}\） 以为界 \（X_{\lambda}\）.

证明

让\（{{u{n}}\}\）是任何\（（C）{C}\）序列\（I_{\lambda}\）.然后\（I_{\lambda}（u_{n}）\到c\）和\（（1+\Vertu{n}\Vert_{lambda}）{I}'{lambda}（u{n}）\到0\）作为\（到英寸）因此，

$$开始{对齐}c+o（1）=&I{\lambda}（u{n}）-\frac{1}{\mu}{I}'{\lampda}{2}-\压裂{1}{\mu}}\biggr）\int_{0}^{T}{\bigl[a\bigl（{}_{0}D_{t} ^{\alpha}u_{n}（t）\bigr{4}-\压裂{1}{\mu}}\biggr）b\biggl（{\int_{0}^{T}{\bigl（{}_{0}D_{t} ^｛\alpha｝u_｛n｝（t）\bigr）^｛2｝\，dt｝｝\biggr{2}-\frac｛1｝｛\mu｝｝\biggr）\Vert u_｛n｝\Vert _｛\lambda｝^{2}-\biggl（{\frac{1}{2}-\压裂{1}{\mu}}\biggr）\int_{0}^{T}{\lambda V^{-}（T）u_{n}^{2}（T）\，dt}\\&{}+\biggl（{\frac{1}{4}-\压裂{1}{\mu}}\biggr）b\biggl（\int_{0}^{T}{\bigl（{}_{0}D_{t} ^{\alpha}u_{n}\bigr）^{2}\，dt}\biggr）^{2}+\int_{0}^{t}{\biggl（{\frac{1}{\mu}f（t，u_{n}）u_{n} -F（t，u{n}）}\大gr）\，dt.}\结束{对齐}$$

(3.3)

由\（（V_{1}）\），存在\（v{0}>0\）这样的话\（0\le V^{-}（t）\le V_{0}\），即。\（t\在[0，t]\中），因此

$$0\le\int_{0}^{T}{V^{-}（T）u_{n}^{2}$$

(3.4)

此外，通过\（（f{1}）\）–\（（f{2}）\），一个得到

$$\int_{0}^{T}{\biggl[{F\bigl{n}\垂直_{L^{2}}^{tau}$$

(3.5)

哪里\（g_｛0｝=\Vert g\Vert _｛L^｛\frac｛2｝｛2-\tau｝｝｝｝\）因此，它由(3.3)–(3.5)那个

$$\biggl（{\frac{1}{2}-\压裂{1}{\mu}}\biggr）\Vertu{n}\Vert_{lambda}^{2}\le c+o（1）+\lambda\biggl（{\frac{1}{2}-\压裂{1}{\mu}}\biggr）v{0}\Vertu{n}\Vert_L^{2}^{2{+g{0}\ Vertu{n}\Vert{L^2}^tau}$$

(3.6)

不平等(3.6)显示如果序列\（{{u{n}}\}\）以为界\（L^{2}\）那么它也在里面\（X_{\lambda}\）.

自相矛盾地假设存在一个子序列，仍然表示为\（{{u{n}}\}\），因此\（\垂直u_{n}\垂直_{L^{2}}\到\输入\）作为\（到英寸）.写入\（v{n}=\frac{u{n}}{\Vertu{n}\Vert_{L^{2}}}\）.然后\（\垂直v_{n}\垂直_{L^{2}}=1\）。它源自(3.6)那个

$$\biggl（{\frac{1}{2}-\压裂{1}{\mu}}\biggr）\Vert v_{n}\Vert_{lambda}^{2}\le\frac{c}{\Vert u_{n{}\Vert_{L^2}}+o（1）+\lambda\biggl（{\frac}{2}-\压裂{1}{\mu}}\biggr）v{0}+g{0}\Vertu{n}\Vert_{L^{2}}^{\tau-2}$$

上述不等式与\（0<τ<2）意味着\（{v_{n}\}\）以为界\（X_{\lambda}\）因此，直到子序列，\（v{n}\rightharpoonup v\）在里面\（X_{\lambda}\）然后由引理导出2.4那个\（v{n}\到v\）在里面\（L^{q}，q\ge 1）和\（v{n}\到v\）在里面\（C[0]，T]\）.

另一方面，通过(3.3)–(3.5)，我们也有

$$\biggl（{\frac{1}{4}-\裂缝{1}{\mu}}\biggr）\biggl（{\int_{0}^{T}{\bigl（{}_{0}D_{t} ^{\alpha}v_{n}（t）\bigr）^{2}\，dt}\biggr）^{2}\le\frac{c}{\Vertu_{n{\Vert_{L^2}}^{4}}+o垂直{L^{2}}^{tau-4}$$

(3.7)

表示规范\（\Vert\cdot\Vert^{*}\）在\（X_{\lambda}\）通过\（\Vertu\Vert^{*}=（{\int_{0}^{T}{（{}_{0}D_{t} ^{\alpha}u（t））^{2}\，dt}}）^{1/2}\）.然后它来自引理2.2–2.4规范\（\Vert\cdot\Vert_{\lambda}\）和\（\Vert\cdot\Vert^{*}\）是等效的。因此，关系\（v{n}\rightharpoonup v\）在里面\（（X_{\lambda}，\Vert\cdot\Vert_{\lampda}）\）意味着\（v{n}\rightharpoonup v\）在里面\（（（X_{\lambda}，\Vert\cdot\Vert^{*}）\）因此，通过范数的弱下半连续性，我们得到了\（\Vert v\Vert^{*}\leq\lim_{x\to\infty}\inf\Vert v{n}\Vert ^{*{）也就是说，\（\int_{0}^{T}{（{}_{0}D_{t} ^{\alpha}v）^{2}，dt}\le\lim_{n\to\infty}\inf\int_{0}^{t}（{}_{0}D_{t} ^｛\alpha｝v_｛n｝）^｛2｝\，dt\）因此，由(3.7)，因此\（\int_{0}^{T}{（{}_{0}D_{t} ^{\alpha}v（t））^{2}\，dt}=0\）等等，\({ }_{0}D_{t} ^{\alpha}v（t）=0\），即。\（t\在[0，t]\中）因此，\（v（t）={}_{0}D_{t} ^{-\alpha}{}_{0}D_{t} ^｛\alpha｝v（t）=0，t\in[0，t]\），这与\（垂直v\Vert_{L^{2}}=\lim_{n\to\infty}\Vert_v{n}\Vert_{L^}}=1\）。这意味着\（{{u{n}}\}\）以为界\（L^{2}[0，T]\）中也有\（X_{\lambda}\）.证据完整。□

引理3.2

在条件下 \（（V_{1}）\）–\（（V_{2}）\）,对于每个固定 \（第1页）,特征值 \（\beta{j}（\lambda）\） 与关联(2.1)满足这一点 \（\beta_{j}（\lambda）\到0\） 作为 \（\lambda\到+\infty\）.

证明

依据\（（V_{1}）\）–\（（V_{2}）\），我们可以选择\（\ phi_｛i｝\在C_｛0｝^｛\infty｝（\ Omega_｛2｝）\反斜杠\｛0\｝\中）具有\（\operatorname{supp}\phi_{i}\cap\operator名称{supp}\fhi_{j}={\O}\）,\（i \ne j，1 \le i，j \le m）.让\（F=\operatorname{span}\{{\phi{1}，\phi{2}，\ ldots，\phi_{m}}\}\）然后，通过引理2.6,

$$0<\beta_{j}（\lambda）\le\sup_{u\在F\backslash\{0\}}\frac{\Vertu\Vert_{lambda}^{2}}{\lambda\int_{0}^{T}{V^{-}（T）u^{2{（T，dt}}）中$$

(3.8)

请注意\（\operatorname{supp}\phi_{i}\subset\Omega_{2}，\phi_{i}（t）V^{+}（t）=0，t\in[0，t]\）因此\（\垂直u\垂直{\lambda}=\垂直u\Vert_{1}\）.

现在，对于任何人\（u\在F\中），定义\（垂直u\Vert_{ast}=（{\int_{0}^{T}{V^{-}（T）u^{2}（T）\，dt}}）^{frac{1}{2}}\）。我们声称\（（（F，\Vert\cdot\Vert_{ast}）\）是一个赋范空间。事实上，对于任何\（u\在F\中）和\（k\in\mathbb{R}\）显然，\（\垂直u\垂直_{\ast}\ge 0\）和\（\Vert-ku\Vert_{ast}=\Vert k\Vert\Vert-u\Vert_}\ast}\）此外，如果\（\垂直u\垂直_{\ast}=0\），那么事实上\（\operatorname{supp}u\subset\Omega_{2}\）意味着\（u（t）=0，t在[0，t]\中），即\（u=0）.

最后，我们证明

$$\垂直u+v\垂直_{\ast}\le\垂直u\Vert_{\st}+\垂直v\Vert_}\ast}$$

对于任何\（u，v\在F\中）的确，对于任何人\（u，v\在F\中），自

$$\begin{aligned}\int_{0}^{T}{V^{-}（T）\bigl\vert u（T）\ bigr\vert\bigl\vert V（T）\figr\vert，dt}=&\ int_{0}^{T}{\bigl{2}}\bigl\vert V（T）\bigr\vert，dt}\\le&\biggl（{\int_{0}^{T}{V^{-}（T）u^{2}}\biggl（{\int_{0}^{T}{V^{-}（T）V^{2}（T）\，dt}}\biggr）$$

我们有

$$\开始{对齐}\Vert u+v\Vert_{\ast}^{2}=&\int_{0}^{T}{v^{-}（T）（u+v）^{2{，dt}\\le&\int_{0}^{T{v^}（T）\bigl ^{2}+\Vert v\Vert_{\ast}^{2{+2\int_{0}^{T}{v^{-}（T）\Vert u\Vert\Vert v\Vert\，dt}\\le&\bigl（\Vert u\Vert_{\ast{+\垂直v\Vert_{ast}\biger）^{2}。\结束{对齐}$$

那就是，\（\垂直u+v\垂直_{\ast}\le\垂直u\Vert_{\st}+\垂直v\垂直_{\ast}\）因此，\（（（F，\Vert\cdot\Vert_{ast}）\）是有限维的赋范空间。

现在，根据有限维空间上范数的等价性，存在两个常数\（c{1}，c{2}>0\）这样的话\（c｛1｝\Vert u \Vert _｛\ast｝\le \Vert u \Vert _｛1｝\le c｛2｝\Vert u \Vert _｛\ast｝\）对于任何\（u\在F\中）。然后，它从(3.8)那个\（0<\beta{j}（\lambda）\le\frac{1}{\lambda}c{2}^{2}\到0\），作为\（\lambda\到+\infty\），注意到\（\垂直u\垂直{\lambda}=\垂直u\Vert_{1}\）.证据完整。□

按引理3.2，存在\（\Lambda_{0}>0\）这样的话\（X_{\lambda，1}\ne\emptyset\）作为\（\lambda>\lambda_{0}\）。在下面，我们将应用引理2.9具有\（Y=X_{\lambda，1}\）和\（Z=X_{\lambda，2}\oplus Y_{\lambda}\）当然，\（Y\ne\emptyset\）和\（\ dim Y<\ infty）.

引理3.3

让 \（（V_{1}）\）–\（（V_{2}）\） 和 \（（f{1}），（f{3}） 持有.然后,对于每个 \（\lambda>\lambda_{0}\）,存在 \（r_{\lambda}>0\） 和 \（k{\lambda}>0\） 这样的话 \（I_{\lambda}（u）\ge-k_{\lambda}\） 为所有人 \（u\在X_{\lambda中，2}\oplus Y_{\lambda}\） 具有 \（\垂直u\垂直_{\lambda}=r_{\lambda}\）.

证明

我们首先表明存在\（\delta_｛\lambda｝>0\）这样的话\（a_{\lambda}（u，u）\ge\delta_{\lambda}\Vertu\Vert_{\lampda}^{2}\）为所有人\（u\在X_{lambda，2}\中）.该参数与引理中的参数类似2.7事实上，对于任何\（j\ge N_{0}（\lambda）+1），我们有

$$\begin｛aligned｝&a_｛\lambda｝（e_｛j｝，u）=\int_｛0｝^｛T｝｛\bigl[a\bigl（｛｝_{0}D_{t} ^{\alpha}e_{j}（t）\bigr）\bigl（{}_{0}D_{t} ^{\alpha}u（t）\bigr）+\lambda V（t）e_{j}（t）u（t gle_{\lambda}=\int_{0}^{t}{\bigl[a\bigl（{}_{0}D_{t} ^{\alpha}e_{j}（t）\bigr）\bigl（{}_{0}D_{t} ^{\alpha}u（t）\bigr）+\lambda V^{+}（t）e_{j}（t）u（t）\biger]\，dt}\\&\hphantom{\langle{e_{j}，u}\rangle_{\lambda}}=\lambada\beta_{j}\int_{0}^{t}{V^{-}。\结束{对齐}$$

因此，

$$a{\lambda}（e_{j}，u）=\biggl（{1-\frac{1}{\beta{j}}\biggr）\langle{e_{j}，u}\rangle_{\lampda}\ge\delta{\lambeda}\langle}e_{$$

哪里\（\delta{\lambda}=1-\frac{1}{\beta{N_{0}（\lambda）+1}}>0\）注意到了\（\beta_{N_{0}（\lambda）+1}>1\）.

自\（{e_{j}\}_{j=N_{0}（\lambda）+1}^{\infty}\）是的基础\（X_{\lambda，2}\），采取\（{u_{n}\}\子集X_{lambda，2}\）这样的话\（u{n}\右箭头u\） \（X_{\lambda，2}\）具有\（u{n}=\sum{i=n_{0}（\lambda）+1}^{m{n}}{t_{i}^{n}e_{i}}），然后

$$开始{对齐}a{\lambda}（u，u{n}）=&a{\lambda}\Biggl（u，\sum_{i=n_{0}（\lambda）+1}^{m_{n}}{t_{i}^{（n）}e_{i}\Bigr a{\lambda}（u，e_{i}}）\\ge&\delta{\lambeda}\sum{i=n{0}（\lambda）+1}^{m{n}}{t{i}^{（n）}\langleu，e_{i}\rangle{\lampda}}\\=&\delta{\lambda}\langleu，u{n}\rangle{\lampda}，\end{aligned}$$

所以，\（a{\lambda}（u，u）=\lim_{n\to\infty}a{\langda}.对于任何\（在Y_{\lambda}中为v\），因为\（V（t）V^{2}（t）=V^{+}，我们有\（a_｛\lambda｝（v，v）=\Vert v\Vert _｛\lambda｝^｛2｝\）因此，对于任何\（w=u\oplus v\ in X_{\lambda，2}\oplusY_{\lambda}\），观察到\（a{lambda}（u，v）=0）通过引理2.7，我们有

$$\begin｛aligned｝I_｛\lambda｝（w）=&&frac｛1｝{2} 一个_{\lambda}（u，u）+\frac{1}{2} 一个_{\lambda}（v，v）+\frac{b}{4}\biggl（\int_{0}^{T}\bigl（{}_{0}D_{t} ^{\alpha}w（t）\bigr）^{2}\，dt\biggr）^{2}-\int_{0}^{T}F\bigl（T，w（T）\bigr）\，dt\\ge&\frac{1}{2}\delta_{\lambda}\Vertu\Vert_{\lampda}^{2}+\frac}{2{\Vertv\Vert_{\lambda}^{2}-\int_{0}^{T}{F\bigl（T，w（T）\bigr）\，dt}\\ge&\上划线{\delta_{\lambda}}\Vert w\Vert_{\lambda}^{2}-\int_{0}^{T}{F\bigl（T，w（T）\bigr）\，dt}，\end{aligned}$$

(3.9)

哪里\（\overline{\delta{\lambda}}=\min\{{\frac{1}{2}\delta}\lambda}，\frac}{2{}>0\）.

另一方面，根据条件\（（f{3}）\），采取\（l>0\）具有\（在[0，t]}\frac{F（t，x）}{\vertx\vert^{\sigma}}<l\），那么就存在\（r{1}>0\）这样的话\（frac{F（t，x）}{vertx\vert^{sigma}}<l\）作为\（垂直x垂直<r{1}）因此，\（F（t，x）<l\vert x\vert^{\sigma}\）作为\（垂直x垂直<r{1}）所以，通过引理2.2和2.4，有\（r{2}>0\）这样的话\（\垂直u\垂直_{\lambda}\le r_{2}\）确保\（垂直u\Vert_{infty}<r_{1}\）对于任何\（u\在X_｛\lambda｝\中）因此，对于任何\（在X_{\lambda中为w\，2}\oplus Y_{\lambda}\），如果\（\垂直w\垂直_{\lambda}\le r_{2}\），然后

$$F\bigl（t，w（t）\bigr）\le l\bigl\vert w（t$$

(3.10)

因此，它由(3.9)–(3.10)那个

$$I_{\lambda}（w）\ge\上划线{\delta_{\lambda}}\垂直w\Vert_{\lampda}^{2} -l个\int_{0}^{T}{\bigl\vert w（T）\bigr\vert ^{\sigma}\，dt}\ge\上划线{\delta_{\lambda}}\vert w\vert_{\lambda}^{2} -lT\垂直w\Vert_{infty}^{sigma}$$

(3.11)

再次使用引理2.2和2.4，存在\（c_{\lambda}>0\）这样的话\（\Vert w\Vert _{\infty}^{\sigma}\le c_{\lambda}\Vert w \Vert _{\lampda}^{\sigma}\）因此，通过(3.11)，我们得到

$$I_{\lambda}（w）\ge\上划线{\delta_{\lambda}}\垂直w\Vert_{\lampda}^{2}-\上划线{c_{\lambda}}\Vert w\Vert_{\lambda}^{\sigma}$$

(3.12)

其中常量\（\overline{c{\lambda}}>0\）.注意到\（σ>2），由(3.12)，我们可以拿小的\（0<r<r{1}\）和一个数字\（k{\lambda}>0\）这样的话\（I_{\lambda}（w）\ge-k_{\lambda}\）对于\（在X_{\lambda中为w\，2}\oplus Y_{\lambda}\）具有\（\垂直w\垂直_{\lambda}=r\）.证据完整。□

由\（（V_{2}）\），我们可以接受\（e_{0}\在C_{0}^{\infty}（\Omega_{1}）\反斜杠\{0\}\中）具有\（e_{0}（t）\ge 0，t\in[0，t]\）和\（\Verte_{0}\Vert_{\lambda}=r\），然后\（在Y_{\lambda}\中为e_{0}\）。我们得出以下结论。

引理3.4

假设 \（（V_{1}）\）–\（（V_{2}）\） 和 \（（f{1}）\）,\（（f_{4}）\）–\（（f{5}）\） 持有.然后,对于每个 \（\lambda>\lambda_{0}\）,存在 \（b_{\lambda}>0\） 和 \（\rho{\lambda}（>r{\lampda}）\） 这样的话\（\sup_{u\in\partial\Phi}I_{\lambda}（u）<k_{\lambda}\） 作为 \（b<b{λ}）,哪里

$$\Phi=\bigl\{{u=v+se_{0}:v\在X_{\lambda，1}，\Vert-u\Vert_{\lampda}\le\rho_{\lambda}，s\ge0}\bigr\}中$$

证明

由\（（f_{4}）\），采取\（d_{0}>0\）具有\（[0，t]}中的inf{t.然后\（存在M_{0}>0\）这样的话\（frac{F（t，x）}{vertx\vert^{theta}}>d_{0}\）作为\（\vert x\vert\ge M_{0}\）也就是说，\（F（t，x）>d_{0}\vertx\vert^{theta}\），作为\（\vert x\vert\ge M_{0}\）.签署人\（（f{1}）\），让\（m_{0}=[0，t]中的最小值因此\（F（t，x）\ge d_{0}\vert x\vert^{theta}-\vert m_{0}\ vert，t\in[0，t]，x\in\mathbb{R}\）.

以下论点分为两部分。

（i） 我们证明了这一点\（\存在\rho{\lambda}（>r{\lampda}）\）和\（\overline{b{\lambda}}>0\）这样的话\（I_{lambda}（u）<0\）作为\（u\在X_{\lambda中，1}\oplus\mathbb{R} e（电子）_{0} \)具有\（\垂直u\垂直{\lambda}=\rho{\lampda}\）和\（b<上一行{b{lambda}}\）.

事实上，对于任何\（u=v+w\在X_｛\lambda，1｝\oplus\mathbb中{R} e（电子）_{0} \)，我们已经知道了\（a{\lambda}（v，w）=0，a{\lambda}（v，v）\le 0）通过引理2.7此外，由于以下事实\（e_｛0｝\在C_｛0｝^｛\infty｝（\ Omega_｛1｝）\中）和\（V（t）e_{0}^{2}（t）=V，我们有\（a_{\lambda}（w，w）=\Vert w\Vert _{\lambda}^{2}\）因此

$$开始{对齐}I_{\lambda}（u）\le&\frac{1}{2}\Vert w\Vert_{\lambda}^{2}+\frac}{b}{4}\biggl（{\int_{0}^{T}{\bigl（{}）_{0}D_{t} ^{\alpha}u\bigr）^{2}（t）\，dt}}\biggr）^{2}-\int_{0}^{T}{F\bigl（T，u（T）\biger^{4}-\int_{0}^{T}{\bigl[d_{0}\bigl\vert u（T）\bigr\vert^{\theta}-\vert m_{0{vert\bigr]\，dt}\\=&\frac{1}{2}\vert u\vert_{lambda}^{2}+\frac}b}{4a^{2{}\vert u\vert_{4}+\ vert m_0}\vert-T-d_{0}\Vertu\vert_{L^{theta}}^{theta}。\结束{对齐}$$

根据有限维空间上范数的等价性，存在\（d_{1}>0\）这样的话\（d_{0}\Vertu\Vert_{L^{theta}}^{theta}\ged_{1}\Vertu \Vert_}\lambda}^{theta}\）因此，

$$I_{\lambda}（u）\le\frac{1}{2}\Vertu\Vert_{\lampda}^{2}+\frac}{b}{4a^{2{}}\Vertu\Vert_}\lambda}^{4}+\vertm_{0}\vertT-d_{1}\Verthu\Vert_{{lambda{^{{theta}$$

(3.13)

让\（h（t）=压裂{1}{2} t吨^{2} +\垂直m_｛0｝\垂直T-d_｛1｝T^｛θ｝\）.假设\（θ>2）产生这样的结果\（h（t）到-作为\（t到+infty）因此，我们可以\（\rho{\lambda}（>r{\lampda}）\）这样的话\（h（\rho{\lambda}）<0），然后选择“小”\（\overline{b{\lambda}}>0\）以便\（h（\rho{\lambda}）+\frac{1}{4a^{2}}\上划线{b{\lampda}}\rho_{\lambeda}^{4}<0\）因此，它是从(3.13)那个\（I_{lambda}（u）<0\）作为\（u\在X_{\lambda中，1}\oplus\mathbb{R} e（电子） _{0} \)具有\（\垂直u\垂直{\lambda}=\rho{\lampda}\）和\（上划线{b{lambda}}）.

（ii）我们证明\（在（0，\overline｛b_｛\lambda｝｝]\中存在b_｛\lambda｝）这样的话\（I_{\lambda}（u）<k_{\lambda}\）对于\（u\在X_{\lambda，1}\中）具有\（\垂直u\Vert_{lambda}\le\rho_{lambda}\）、和\（b<b{\lambda}\）.

事实上，通过\（（f{5}）\）,\（F（t，x）\ge 0）,\（t\在[0，t]\中）和\（x\in\mathbb{R}\）.对于任何\（u\在X_{\lambda，1}\中）具有\（\垂直u\Vert_{lambda}\leq\rho_{lambda}\），通过引理2.7,\（a{\lambda}（u，u）\le 0\），因此

$$I_{\lambda}（u）\le\frac{b}{4}\biggl（{\int_{0}^{T}{\bigl（{}_{0}D_{t} ^{\alpha}u\bigr）^{2}（t）\，dt}}\biggr）^{2}\le\frac{b}{4a^{2{}\Vertu\Vert_{lambda}^{4}\le\frac{b}}{4a ^{2neneneep}\rho_{lambda}^{4}$$

对于\（0<\上划线{b{\lambda}}\）之前在（i）中获取，选择小\（0<b{\lambda}\le\上划线{b{\lambda}}\）以便\（压裂{b{\lambda}}{4a^{2}}\rho{\lambeda}^{4}<k{\lampda}）.然后\（I_{\lambda}（u）<k_{\lambda}\）作为\（\垂直u\Vert_{lambda}\le\rho_{lambda}\）.

根据上述关于（i）-（ii）的论点，我们得出如下结论：\（\sup_{u\in\partial\Phi}I_{\lambda}（u）\le k_{\lambda}\）.证据完整。□

引理3.5

假设 \（（V_{1}）\）,\（（V_{3}）\） 和 \（（f{1}）\）–\（（f{2}）\） 持有.然后是任何 \（（C）{C}\） 序列 \（{{u{n}}\}\） 属于 \（I_{\lambda}\） 满足Cerami条件 c（c） 对于每个 \（\lambda>0） 对于任何 \（c\in\mathbb{R}\）.

证明

让\（{{u{n}}\}\）是任何\（（C）{C}\）序列\（I_{\lambda}\）然后，通过引理3.1,\（{{u{n}}\}\）以为界\（X_{\lambda}\）因此，直到子序列，\（u{n}\rightharpoonup u\）在里面\（X_{\lambda}\），因此，\（（（{I}'_{\lambda}（u_{n}）-{I}'_{lambda{（u））（u_}n}-u）到0）作为\（到英寸）.让\（v{n}=u{n}-u\），然后按(3.2)

$$\begin｛aligned｝o（1）=&&bigl（｛I｝'_｛\lambda｝（u_｛n｝）-｛I｝'_｛\lambda｝（u）\bigr）（v_｛n｝）\\=&&Vert v_｛n｝\Vert _｛\lambda｝^{2}-\λ\int_{0}^{T}{V^{-}$$

(3.14)

哪里

$$\开始{aligned}A_{n}&=\int_{0}^{T}{\bigl（{}_{0}D_{t} ^{\alpha}u_{n}\bigr）^{2}\，dt}\int_{0}^{t}{\bigl（{}_{0}D_{t} ^{\alpha}u_{n}\bigr）\bigl（{}_{0}D_{t} ^{\alpha}v_{n}\bigr）\，dt}-\int_{0}^{t}{\bigl（{}_{0}D_{t} ^{\alpha}u\bigr）^{2}\，dt}\int_{0}^{t}{\bigl（{}_{0}D_{t} ^{\alpha}u\bigr）\bigl（{}_{0}D_{t} ^{\alpha}v_{n}\bigr）\，dt}\\&=\int_{0}^{t}{\bigl（{}_{0}D_{t} ^{\alpha}u_{n}\bigr）^{2}\，dt}\int_{0}^{t}{\bigl（{}_{0}D_{t} ^{\alpha}v_{n}\bigr）^{2}\，dt}\\&\quad{}+\biggl[{\int_{0}^{t}{\bigl（{}_{0}D_{t} ^{\alpha}u_{n}\bigr）^{2}\，dt}-\int_{0}^{t}{\bigl（{}_{0}D_{t} ^{\alpha}u\bigr）^{2}\，dt}}\biggr]\int_{0}^{t}{\bigl（{}_{0}D_{t} ^｛\alpha｝u\bigr）\bigl（｛｝_{0}D_{t} ^{\alpha}v_{n}\bigr）\，dt}\\&\ge\biggl[{\int_{0}^{t}{\bigl（{}_{0}D_{t} ^{\alpha}u_{n}\bigr）^{2}\，dt}-\int_{0}^{t}{\bigl（{}_{0}D_{t} ^{\alpha}u\bigr）^{2}\，dt}}\biggr]\int_{0}^{t}{\bigl（{}_{0}D_{t} ^{\alpha}u\bigr）\bigl（{}_{0}D_{t} ^{\alpha}v_{n}\bigr）\，dt}。\结束{对齐}$$

同样，由于以下事实\（v_｛n｝\rightharpoonup 0\）在里面\（X_{\lambda}\），我们有

$$o（1）=langle{v_{n}，u}\rangle_{lambda}=int_{0}^{T}{a\bigl（{}_{0}D_{t} ^{\alpha}v_{n}\bigr）\bigl（{}_{0}D_{t} ^{\alpha}u\bigr）\，dt}+\lambda\int_{0}^{t}{V^{+}（t）V_{n}（t）u（t）\，dt}$$

(3.15)

我们转向展示这一点\（\int_{0}^{T}{V^{+}（T）V_{n}（T）u（T）\，dt}\到0\）作为\（到英寸）.设置

$$V_{R}=\bigl\{x\in[0，T]：V^{+}（T）\geR}\bigr\}，\qquad V_{R}^{c}=[0，T]\backslash V_{R1}$$

由\（（V_{3}）\）,\（\lim_{R\to+\infty}\operatorname{meas}V_{R} =0\）.因为\（{{v{n}}\}\）以为界\（X_{\lambda}\），存在\（M_{0}>0\）这样的话\（\Vertv_{n}\Vert_{lambda}\le\sqrt{lambda}M_{0}\）等等\（（｛\int_｛0｝^｛T｝｛V ^｛+｝（T）V_｛n｝^｛2｝\，dt｝｝）^｛\frac｛1｝｛2｝｝｝\le\frac｛1｝｛\sqrt｛\lambda｝｝\Vert V_｛n｝\Vert _｛\lambda｝\le M_｛0｝\）因此

$$开始{对齐}\int_{V_{R}}{V^{+}\vert V_{n}\vert\vert u\vert\，dt}&=\int__{V{R}{\bigl（V^{+/}\bigr）^{\frac{1}{2}}\vertv_{n}\vert_bigl（{int_{V{R}}{V^{+}V{n}^{2}\，dt}}\biggr）}\\&\le\biggl（{\int_{0}^{T}{V^{+}V_{n}^{2}\，dt}}\biggr）{R}}{V^{+}u^{2}\，dt}}\biggr）^{\frac{1}{2}}。\结束{对齐}$$

(3.16)

现在，因为\（\int_{0}^{T}{V^{+}（T）u^{2}（T）\，dt}<\infty\），通过积分的绝对连续性结合事实\（\lim_{R\to+\infty}\operatorname{meas}V_{R} =0\），存在大量\（R_{0}>0\）以便\（（（{int_{V_{R_{0}}}{V^{+}（t）u^{2}（t），dt}}）^{frac{1}{2}}<frac{varepsilon}{2M{0}{）。然后它从(3.16)那个

$$\int_{V_{R_{0}}{V^{+}（t）\bigl\vert V_{n}（t）\bigr\vert\bigl\verst u（t）\ bigr\verst，dt}<\frac{\varepsilon}{2}$$

(3.17)

另一方面，考虑到\（u｛n｝\右叉式箭头显示0\）意味着\（v{n}\到0\）在里面\（C（[0，T]）\）和\（v{n}\到0\）在里面\（L^{2}[0，T]\），观察到\（\int_{V_{R_{0}}^{c}}{V^{+}（t）\vert V_{n}\vert\vert u\vert，dt}\le R_{0}\vert V_}n}\vert_{infty}\vert-u\vert_{infty}\），我们知道存在\（N_｛0｝\ge 1\）这样的话

$$\int_{V_{R_{0}}^{c}}{V^{+}（t）\vert V_{n}\vert\vert u\vert\，dt}<\frac{\varepsilon}{2}$$

(3.18)

作为\（第n页，第｛0｝页）.

然后，通过(3.17)–(3.18)，一个有

$$\int_{0}^{T}{V^{+}\vert V_{n}\vert\vert u\vert\，dt}\le\int__{V_{R_{0{}{V{+}\ vert V{n}\ vert\vertu\vert，dt}+\ int_{V{R{0}}^{c}{V_vertu\ vert{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$$

作为\（第n页，第｛0｝页）也就是说，\（\int_{0}^{T}{V^{+}\vert V_{n}\vert\vert u\vert，dt}\ to 0\）作为\（到英寸）等等\（\int_{0}^{T}{V^{+}V_{n}u\，dt}\到0\），作为\（到英寸）因此，它是从(3.15)那个

$$\int_{0}^{T}{\bigl（{}_{0}D_{t} ^{\alpha}v_{n}\bigr）\bigl（{}_{0}D_{t} ^{\alpha}u\bigr）\，dt}\到0$$

(3.19)

作为\（到英寸）因此，由(3.19)很容易看出这一点

$$\int_{0}^{T}{\bigl（{}_{0}D_{t} ^{\alpha}u_{n}\biger）^{2}\，dt}-\int_{0}^{t}{（{}_{0}D_{t} u）^{2}\，dt}=\int_{0}^{t}{\bigl（{}_{0}D_{t} ^{\alpha}v_{n}\biger）^{2}\，dt}+o（1）$$

(3.20)

因此

$$A_{n}\ge\int_{0}^{T}{\bigl（{}_{0}D_{t} ^{\alpha}v_{n}\bigr）^{2}\，dt}\int_{0}^{t}{\bigl（{}_{0}D_{t} ^{\alpha}u\bigr）\bigl（{}_{0}D_{t} ^{\alpha}v_{n}\bigr）\，dt}+o（1）\int_{0}^{t}{\bigl（{}_{0}D_{t} ^{\alpha}u\bigr）\bigl（{}_{0}D_{t} ^{\alpha}v_{n}\bigr）\，dt}$$

同样，来自(3.19)，因此存在\（N_{1}\ge 1）这样的话

$$A_{n}\ge-\frac{1}{3ba}\int_{0}^{T}{bigl（{}_{0}D_{t} ^{\alpha}v_{n}\biger）^{2}\，dt}+o（1）\ge-\frac{1}{3b}\Vert v_{n}\Vert_{lambda}^{2{+o（一）$$

(3.21)

作为\（n\ge n_{1}\）.

最后，由于以下事实\（在C（[0，T]，\mathbb{R}）\mbox{和}v_{n}\到0\中）在里面\（C（[0，T]）\）,\（u \在C（[0，T]）中\）,\（0\le V^｛-｝（t）\le V_｛0｝\），即。，\（t\在[0，t]\中），很容易看出

$$\int_{0}^{T}\bigl（f（T，u_{n}）-f\ bigl$$

组合(3.14)与(3.21)，我们得到

$$o（1）\ge\frac{2}{3}\Vertv{n}\Vert_{lambda}^{2}+o（1$$

这意味着\（v{n}\到0\）在里面\（X_{\lambda}\）证据齐全。□

现在，我们可以展示关于边值问题解的存在性的第一个结果(1.4).

定理3.1

假设条件 \（（V_{1}）\）–\（（V_{3}）\） 和 \（（f{1}）\）–\（（f{5}）\） 持有.然后存在常量 \（\Lambda_{0}>0\） 和 \（b_{\lambda}>0\） 这样BVP(1.4)至少有一个非平凡的弱解 \（\lambda>\lambda_{0}\） 和 \（b<b{\lambda}\）.

证明

首先，我们表明\（I_{\lambda}\）是一流的\（C^｛1｝\）.

事实上，让\（{{u{n}}\}\）是任意序列\（u{n}\到u\）在里面\（X_{\lambda}\）.然后\（u{n}\到u\）在里面\（C（[0，T]）\）和中\（L^{2}[0，T]\）通过引理2.4.设置\（L_{u}\varphi=\langle{u，\varphi}\rangle_{\lambda}\）,\（\phi_{u}\varphi=\int_{0}^{T}{V^{-}（T）u\varphi\，dt}\）,\（\psi_{u}\varphi=\int_{0}^{T}（{}_{0}D_{t} u）^{2}\，dt\int_{0}^{t}（{}_{0}D_{t} ^{\alpha}u）（{}_{0}D_{t} ^{\alpha}\varphi）\，dt\）和\（G_{u}\varphi=\int_{0}^{T} （f）（t，u）\varphi\，dt\）对于任何\（X_{\lambda}\中的\varphi\）然后，通过(3.2),\（I_{\lambda}^{\prime}（u）\varphi=L_{u}\varphi-\lambda \phi_{u{\varphi+b\psi_{u}-G{u}\ varphi，X_{\lambda}\中的\varphi）.

众所周知\（L_{u}\）在中连续\（X_{\lambda}^{\ast}\）接下来，我们展示\（\ phi_｛u｝，\ psi_｛u｝\）、和\（G_{u}\）也是连续的\（X_{\lambda}^{\ast}\）.

（i） 打开\（\phi_{u}\），对于任何\（X_{\lambda}\中的\varphi\）具有\（\Vert\varphi\Vert_{lambda}\le 1\），注意到\（0\le V^{-}（t）\le V_{0}\），我们有

$$开始{aligned}\Vert\phi_{u_{n}}\varphi-\phi_{u}\varpi\Vert&\le\int_{0}^{T}V^{-}\Vert u_{n}-u\Vert\Vert\varphi\Vert\，dt\\&\lev_{0{0}\int_}^{T}\vertu_{n}-u \Vert\varpi\Vert\virt\Vert\Vert，dt\\le-V_{0}\Vert u_}u\Vert_{L^{2}}\Vert\varphi\Vert_[L^{2]}\\&\lec_{0}\Vert_u{n}-u\Verd_{L^}}\Vert\varphi\Vert_{\lambda}\end{aligned}$$

对一些人来说\（c_{0}>0\），因为\（\垂直\varphi\Vert_{L^{2}}\le c_{1}\Vert\varphi\Vert_{lambda}\）通过引理2.4.因此

$$\Vert\phi_{u_{n}}-\phi_{u}\Vert_{X_{lambda}^{ast}}=\sup_{\Vert\varphi\Vert_{lambda}\le 1}\Vert\phi_{u_n}}\varphi-\phi_{u}\varphi\le c_{0}\Vert u_{n}-u\Vert_L^{2}}至0$$

作为\（到英寸）也就是说，\（\phi_{u}\）在中连续\（X_{\lambda}^{\ast}\）.

（ii）开启\（\psi_{u}\），对于任何\（X_{\lambda}\中的\varphi\）具有\（\Vert\varphi\Vert_{lambda}\le 1\），通过类似于(3.20)，我们有

$$\开始{aligned}&\vert\psi{u{n}}\varphi-\psi_{u}\varfi\vert\&\quad\le\biggl\vert{int_{0}^{T}{bigl（{}）_{0}D_{t} ^{\alpha}u_{n}\bigr）^{2}\，dt}-\int_{0}^{t}{\bigl（{}_{0}D_{t} ^{\alpha}u\bigr）^{2}\，dt}}\biggr\vert\biggl\vert{int_{0}^{t}{\bigl（{}_{0}D_{t} ^{\alpha}u_{n}\bigr）\bigl（{}_{0}D_{t} ^{\alpha}\varphi\bigr）\，dt}}\biggr\vert\\&\quad\quad{}+\int_{0}^{t}{\bigl（{}_{0}D_{t} ^{\alpha}u\bigr）^{2}\，dt}\biggl\vert{\int_{0}^{t}{{}_{0}D_{t} ^{\alpha}（u_{n}-u）\bigl（{}_{0}D_{t} ^{\alpha}\varphi\bigr）\，dt}}\biggr\vert\\&\quad\le\biggl（{\int_{0}^{t}{\bigl（{}_{0}D_{t} ^{\alpha}（u_{n}-u）\biger）^{2}\，dt}+\bigl\vert o（1）\bigr\vert}\biggr）\int_{0}^{t}{\bigl\ vert{}_{0}D_{t} ^{\alpha}u_{n}\bigr\vert\bigl\vert{}_{0}D_{t} ^{\alpha}\varphi\bigr\vert\，dt}\\&\quad\quad{}+\int_{0}^{t}{\bigl（{}_{0}D_{t} ^{\alpha}u\bigr）^{2}\，dt}\int_{0}^{t}{\bigl\vert{}_{0}D_{t} ^{\alpha}（u_{n}-u）\bigr\vert\bigl\vert{}_{0}D_{t} ^{\alpha}\varphi\bigr\vert\，dt}\\&\quad\le\biggl（{\int_{0}^{t}{\bigl（{}_{0}D_{t} ^{\alpha}（u_{n}-u）\biger）^{2}\，dt}+\bigl\vert o（1）\bigr\vert}\biggr）\biggl（{\int_{0}^{t}{\bigl（{}_{0}D_{t} ^｛\alpha｝u_｛n｝\bigr）^｛2｝\，dt｝｝\biggr）^｛\frac｛1｝｛2｝｝\biggl（｛int_｛0｝^｛t｝｛\bigl（｛｝_{0}D_{t} ^{\alpha}\varphi\bigr）^{2}\，dt}}\biggr）^{\frac{1}{2}}\\&\quad\quad{}+\int_{0}^{t}{\bigl（{}_{0}D_{t} ^{\alpha}u\bigr）^{2}\，dt}\biggl（{\int_{0}^{t}{\bigl（{}_{0}D_{t} ^{\alpha}（u_{n} -u个)\bigr）^{2}\，dt}}\biggr）^{\frac{1}{2}}\biggl（{\int_{0}^{T}{\bigl（{}_{0}D_{t} ^{\alpha}\varphi\bigr）^{2}\，dt}}\biggr）λ}\Vert\varphi\Vert_{lambda}+\frac{1}{a^{2}}\Vertu_{n}-u\Vert_}\lambda{\Vertu\Vert_{lambda}\Vert\varphi\Vert_{lambda}\\&\quad\le c_{1}\Vert u_{n}-u\Vert_{lambda}^{2}+\bigl\Vert o（1）\bigr\Vert+c_{2}\Vert-u{n}-u\Vert_{lampda}\end{aligned}$$

对一些人来说\（c{1}>0\）,\（c{2}>0\）注意到了\（垂直u_{n}\Vert_{lambda}}\}\）有界，\（\Vert\varphi\Vert_{lambda}\le 1\）和\（c｛2｝=\frac｛1｝｛a^｛2｝｝\Vert u\Vert _｛\lambda｝^｛2｝\）.

因此\（垂直\psi_{u_{n}}-\psi_{u}\Vert_{X_{lambda}^{ast}}=\sup_{\Vert\varphi\Vert_{lambda}\le 1}\Vert\psi__{u_n}}\varphi-\psis_{u}\varphi\Vert\to0\）作为\（到英寸）也就是说，\（\psi_{u}\）在中连续\（X_{\lambda}^{\ast}\）.

（iii）开启\（G_{u}\），由\（f在C（[0，T]，\mathbb{R}）中），很容易看出\（G_{u}\）在中也是连续的\（X_{\lambda}^{\ast}\），我们省略了它。

总结上述论点（i）–（iii），我们知道\（I_{\lambda}\）是一流的\（C^｛1｝\）现在，通过引理3.3和3.4并应用引理2.9，用于\（\lambda>\lambda_{0}\），存在\（（C）{C}\）序列\（{{u{n}}\}\）属于\（I_{\lambda}\）在里面\（X_{\lambda}\）具有\（c\gek{\lambda}>0\）然后，通过引理3.5，直至子序列，\（u{n}\到u\）在里面\（X_{\lambda}\）因此，\（对于X_{\lambda}中的所有\varphi\），多亏了这个事实\（I_{\lambda}\）是一流的\（C^｛1｝\）,\（0=\lim_{n\to\infty}I_{lambda}^{prime}（u_{n}）\varphi=I_{\lambda{^{prime}（u）\varfi）和\（0<k_{\lambda}\le c=\lim_{n\to\infty}I_{\lambda}（u_{n}）=I_{lambda{（u）\）因此，u个是BVP的一个重要解决方案(1.4). 证据完整。□

现在，我们给出了第二个存在性结果。

定理3.2

假设条件 \（（V_{1}）\）,\（（V_{3}）\）,\（（f{1}）\）–\（（f{3}）\）,和 \（（（f^{\素数}_{4}）\） 持有.此外,\（V（t）\ge 0）,一.e（电子）.\（t\在[0，t]\中）.然后是BVP(1.4)每个问题至少有一个非平凡的弱解 \（\lambda>0）.

证明

我们已经知道了\（I_{\lambda}\）是一流的\（C^｛1｝\）通过定理证明3.1此外，在条件下\（（f{1}）\）和\（（f{3}）\），提出类似于(3.12)，我们知道以下不等式也成立：

$$I_{\lambda}（u）\ge\上划线{\delta_{\lambda}}\Vertu\Vert_{\lampda}^{2}-\bar{c}_{\lambda}\Vert u\Vert _{\lampda}^{\sigma}，X_{\lambda}中的\quad u\$$

对一些人来说\（\overline{\delta_{\lambda}}>0\）,\（\overline{c{\lambda}}>0\）因此，观察到\（σ>2），存在常量\（\alpha_{0}>0，\rho>0\）这样的话\（I_{\lambda}（u）\ge\alpha_{0}\）作为\（\垂直u\垂直{\lambda}=\rho\）足够小了。

另一方面，通过\（（（f^{\素数}_{4}）\）并提出类似于(3.13)，我们也有

$$I_{\lambda}（u）\le\frac{1}{2}\Vert u\Vert_{\lambda}^{2}+\frac}{b}{4a^{2{}}\Vert-u\Vert_{\lampda}^}4}+\Vert m_{0}\Vert T-d_{0}\ Vert u\ Vert_{L^{\theta}}^{\ttheta}，X_{\langda}中的四元u$$

然后采取\（在X{lambda}\中为u{0}\）具有\（垂直u_{0}\Vert_{lambda}>\rho\），我们有

$$I_{\lambda}（tu_{0}）\le\frac{1}{2} t吨\垂直u_{0}\Vert_{\lambda}^{2}+\frac{b}{4} t吨^{4} \Vertu_{0}\Vert_{\lambda}^{4}+\vertm_{0{0}\vertT-d_{0}T^{\theta}\Vert_u{0{\Vert_{L^{\ttheta}}^{\to-infty$$

作为\（t到+infty），注意到\（θ>4）因此，我们选择\（t_{0}>0\）大到\（I{\lambda}（t_{0}u{0}）<0\）和\（\垂直t_{0}u_{0}\垂直>\rho\）.写入\（e{0}=t{0}u{0}\）.然后\（I_{\lambda}（e_{0}）<0\）和\（\垂直e_{0}\垂直2_{lambda}>\rho\）.通过引理2.8，有一个\（（C）{C}\）序列\（{{u{n}}\}\）属于\（I_{\lambda}\）具有\（c=c_{\lambda}\），其中

$$0<\alpha_{0}\le c_{\lambda}:=\inf_{\gamma\in T}\max_{T\in[0,1]}I_{\lambda}\bigl（\gamma（T）\bigr），\quad\quad\gamma=\bigl\{{\gama\in \bigl-（[0,1]，X_{\λ}\biger）：\gama（0）=0，\gammam（1）=e}\bigr\}$$

然后，通过引理3.5,\（{{u{n}}\}\）满足Cerami条件\（c_{\lambda}\）对于每个\（\lambda>0）因此，传递到子序列，\（u{n}\到u\）在里面\（X_{\lambda}\）通过之前的论证，我们知道u个是BVP的非平凡弱解(1.4). 这就完成了证明。□

4结论

本文应用山路定理和连接定理，得到了边值问题非平凡解的存在性结果(1.4)获得了。这里，问题(1.4)是一个非局部问题\（\int_{0}^{T}{（{}_{0}D_{t} ^{\alpha}u）^{2}\，dt}\）并具有普遍的潜力V（V），可以是sign-changing。因此，有更多的困难需要克服，需要引入更多的推导技术。