方程的关联能量泛函(1.1)是
$$J（u）=\frac{1}{p}\hat{M}\bigl（\Vertu\Vert^{p}\ bigr）-\frac}\lambda}{q}\int_{{mathbb{R}}^{N}}g\vertu\Vert^{q}\，dx-\frac[1}{R}\int_{mathbb{R}{N}h\Vert u\Vert ^{R}，dx$$
(2.1)
对于任何\（C_{0}^{\infty}（{\mathbb{R}}^{N}）中的v\），我们有
$$\begin{aligned}\bigl\langle J'（u），v\bigr\rangle={}&\bigl[M\bigl（\Vert u\Vert^{p}\bigr）\bigr]^{p-1}\int_{{\mathbb{R}}^{N}\bigle（\Vert\nabla u\Vert^{p-2}\nabla u \cdot\nablav+v\Vert u\Vert^{p-2}紫外\biger）\，dx\\&{}-\lambda\int_{{\mathbb{R}}^{N}}g\vert u\vert^{q-2}紫外\，dx-\int_{{\mathbb{R}}^{N}}h\vert u\vert^｛r-2｝紫外线\，dx。\结束{对齐}$$
(2.2)
我们这么说\（｛u｝n｝\｝\）是一个\（（PS）_｛c｝\）功能的顺序J型如果
$$\开始{对齐}J（u_{n}）\到c\quad\text{和}\quad J'（u_}）\to0\quad_text{in}X^{*}，结束{对齐{$$
(2.3)
哪里\（X^{*}\）表示的对偶空间X（X）。如果每\（（PS）{c}\）序列J型有一个强收敛的子序列，那么我们说J型满足\（（PS）\）条件。
定理的证明1.3主要依赖于以下山口引理[22]（另请参见[23]).
引理2.1
让
电子
成为一个真正的巴拿赫空间
\（C^{1}（E，\mathbb{R}）中的J）
具有
\（J（0）=0）.假设
\（（\mathrm{高}_{1})\)
有
\（\rho，\alpha>0\）
这样的话
\（J（u）\ge\alpha\）
对于
\（\|u\|_{E}=\rho\）;
\（（\mathrm{高}_{2})\)
有
\（e中的e）,\（{e}>\rho\）
这样的话
\（J（e）<0）.定义
$$\Gamma=\bigl\{\Gamma\在C^{1}\bigl（[0,1]，E\bigr）|\Gamma（0）=0，\Gamma（1）=E\bigr\}中$$
然后
$$c=\inf_{\gamma\in\gamma}\max_{0\let\le1}J\bigl（\gamma（t）\bigr）\ge\alpha$$
是有限的，并且
\（J（\cdot）\）
拥有
\（（PS）{c}\）
水平顺序
c（c）.此外,如果J满足
\（（PS）\）
条件,则c是J的临界值.
在以下内容中，我们将进行验证J型满足山口引理的所有条件。
引理2.2
假设
\（（\mathrm{A}）\）, (\（\mathrm）{米}_{1}\))和(\（\mathrm{米}_{2}\))或(\（\mathrm{米}_{3}\)).还假设
\（p<\sigma r）.然后是任何
\（（PS）{c}\）
J序列有界.
证明
让\（｛u｝n｝\｝\）是任何\（（PS）{c}\）序列J型并满足(2.3).
由(\（\mathrm{米}_{1}\))和\（（\mathrm{A}）\），我们有
$$开始{对齐}c+1+\Vert u_{n}\Vert\ge{}&J（u_{n}）-\frac{1}{r}\bigl\langle J'（u_}n}），u_{n}\bigr\rangle\\={}&\frac}1}{p}\hat{M}\bigle（\Vert u{n}\Vert^{p}\bigr）-\frac{1}\r}\bigl[M\bigl（\Vert u_{n}\Vert ^{p}\bigr）\bigr]^{p-1}\ Vert u_{n}\垂直^{p}-\lambda\biggl（\frac{1}{q}-\frac{1}{r}\biggr）\int_{{\mathbb{r}}^{N}}g\vertu{N}\vert^{q}\，dx\\ge{}&\biggl（\frac{\sigma}{p}-\压裂{1}{r}\biggr）\bigl[M\bigl（\Vertu_{n}\Vert^{p}\biger）\bigr]^{p-1}\Vertu_n}\Vert^{p}-\lambda\biggl（\frac{1}{q}-\frac{1}{r}\biggr）S_{q}^{-q/p}\Vertu{n}\Vert^{q}。\结束{对齐}$$
(2.4)
案例1.如果(\（\mathrm｛M｝_{2}\))持有。然后我们从(2.4)那个
$$\开始{aligned}c+1+\Vertu_{n}\Vert\ge\biggl（\frac{\sigma}{p}-\压裂{1}{r}\biggr）m_{0}^{p-1}\垂直u_{n}\垂直^｛p｝-\lambda\biggl（\frac{1}{q}-\压裂{1}{r}\biggr）S_{q}^{-q/p}\Vertu{n}\Vert^{q}。\结束{对齐}$$
(2.5)
因此\（｛u｝n｝\｝\）有界。
案例2.如果(\（\mathrm{米}_{3}\))持有。让\（tau_{0}>0\）被修复。如果\（u{n}p}ge\tau{0}），然后
$$\开始{aligned}c+1+\Vertu_{n}\Vert\ge\biggl（\frac{\sigma}{p}-\frac{1}{r}\biggr）\bigl[M（\tau_{0}）\bigr]^{p-1}\Vertu_{n}\Vert^{p}-\lambda\biggl（\frac{1}{q}-\frac{1}{r}\biggr）S_{q}^{-q/p}\Vertu{n}\Vert^{q}，\end{aligned}$$
(2.6)
这意味着\（｛u｝n｝\｝\）有界。□
引理2.3
假设
\（（\mathrm{A}）\）, (\（\mathrm{米}_{1}\))和(\（\mathrm{米}_{2}\))或(\（\mathrm{米}_{4}\)).那么就有了
\（\rho，\alpha>0\）
这样的话
\（J（u）\ge\alpha\）
对于
\（\|u\|=\rho\）.
证明
案例1. (\（\mathrm｛M｝_{2}\))感到满意。它源自(1.11), (2.1)，以及(\（\mathrm{米}_{1}\))–(\（\mathrm｛M｝_{2}\))那个
$$\开始{对齐}J（u）&\ge\frac{\sigma}{p}m_{0}^{p-1}\Vert-u\Vert^{p}-\压裂{\lambda}{q} S公司_{q} ^{-q/p}\垂直u\垂直^{q}-\压裂{1}{r} S公司_{r} ^{-r/p}\垂直u\垂直^{r}\\&=\垂直u\Vert^{q}\biggl（\frac{\sigma}{p}m_{0}^{p-1}\Vertu\Vert^{p-q}-\压裂{\lambda}{q} S公司_{q} ^{-q/p}-\压裂{1}{r} S公司_{r} ^{-r/p}\Vert u\Vert ^{r-q}\biggr）。\结束{对齐}$$
(2.7)
表示\（φ（t）=在^{p-q}-B\λ-Ct ^{r-q}\）具有
$$\begin{aligned}A=\sigma m_{0}^{p-1}/p，\qquad B=S_{q}^{-q/p}/q，\qquad C=S_{r}^{-r/p}/r.\end{alinged}$$
(2.8)
显然，\（φ（t））达到最大值
$$\phi（t_{0}）=\frac{r-p}{r-q}在_{0}^{p-q}-B\λ$$
在
$$t=t_{0}=\biggl（\frac{A（p-q）}{C（r-q）}\biggr）^{1/（r-p）}$$
让\（\lambda_{0}=\压裂{A（r-p）}{B（r-q）}t_{0}^{p-q}\）,\（\rho=t_{0}\）、和\（α=t{0}^{q}\phi（t{0{）\）.然后\（J（u）\ge\alpha>0）对于\（\|u\|=\rho\）和\（[0，\lambda_{0}中的\lambda）\）.
案例2. (\（\mathrm）{米}_{4}\))已实现。让\（\|u\|=\rho\）然后，通过(1.11), (2.1)，以及(\（\mathrm{米}_{1}\))，等一下
$$\开始{对齐}J（u）&\ge\frac{\sigma}{p}\bigl[M\bigl（\Vert u\Vert^{p}\bigr）\bigr]^{p-1}\Vert u \Vert^{p}-\压裂{\lambda}{q} S公司_{q} ^{-q/p}\垂直u\垂直^{q}-\压裂{1}{r} S公司_{r} ^{-r/p}\垂直u\垂直^{r}\\&=\rho^{q}\bigl（A（\rho）\rho^{p-q}-B\lambda-C\rho^{r-q}\biger），\end{对齐}$$
(2.9)
哪里\（A（\rho）=压裂{\sigma}{p}[M（\rho^{p}）]^{p-1}\）和\（B、C）由定义(2.8). 鉴于(\（\mathrm{米}_{4}\)),\（J（u）\ge\alpha>0）为所有人\（0<\lambda<\lampda_{0}=\frac{1}{B}[A（\rho）\rho^{p-q}-C\rho^{r-q}]\）. □
引理2.4
假设
\（（\mathrm{A}）\）, (\（\mathrm{米}_{1}\))和
\（p<\sigma r）.然后就有了
\（X中的e）
具有
\（\|e\|>\rho\）
这样的话
\（J（e）<0）.
证明
通过集成(\（\mathrm{米}_{1}\))，我们获得
$$\beart｛aligned｝\hat｛M｝（t）\le\hat｛M｝（t_｛1｝）\bigl（\frac｛t｝｛t_｛1｝｝\biggr）^｛1/｛\sigma｝｝quad\text｛for all｝t\ ge t_｛1｝>0。\结束{对齐}$$
(2.10)
因此，对于\（图{p}图{1}）,
$$\开始{对齐}J（tu）\le\frac{1}{p}\hat{M}（t_{1}）\biggl（\frac}\Vertu\Vert^{p}}{t{1}}\biggr）^{1/{\sigma}}t^{\frac｛p}{\simma}}-t^{a{p}-t^{q}\ frac{\lambda}{q}\int_{\mathbb{R}}}^{N}}g \Vert u\Vert^{q}\，dx-t^{R}\ frac{1}{R}\int_{{\mathbb{R}}^{N}}h\Vert u \vertqu{R}，dx。\结束{对齐}$$
(2.11)
因此，\（J（tu）<0）如果\（t \ge R）对一些人来说\（R>0）足够大。□
引理2.5
假设
\（（\mathrm{A}）\）, (\（\mathrm{米}_{1}\))和(\（\mathrm{米}_{2}\))或(\（\mathrm{米}_{3}\)).然后是任何
\（（PS）{c}\）
J序列具有强收敛子序列.
证明
让\（｛u｝n｝\｝\）是任何\（（PS）{c}\）序列J型并满足(2.3). 按引理2.2,\（｛u｝n｝\｝\）有界。如有必要，传递到子序列
$$开始{对齐}和u_{n}\rightharpoonup u\quad\text{in}X，\\&u_{n}\to u\qua2\text{in}L^{q}\bigl（{\mathbb{R}}^{n}，g\bigr）\text{和}\text{in}L^{R}\bigle}{\mathbb{R}}^{n}。\结束{对齐}$$
表示\（P_{n}=langle J'（u_{n{），u_{n} -u个\范围\）和
$$Q_{n}=\bigl[M\bigl（\Vert u_{nneneneep \Vert ^{p}\bigr）\bigr]^{p-1}\int_{{mathbb{R}}^{n}}\bigle（\Vert\nabla-u\Vert^{p-2}\nabla-u \nabla（u_{n} -u个)+V\垂直u\垂直^{p-2}铀（u）_{n} -u个)\bigr）\，dx$$
我们很容易得到
$$开始{对齐}&\lim_{n\to\infty}P_{n}=0，\qquad\lim_}n\to\infty}Q_{n{=0，\\&\lim{n\to\ infty{int_{{mathbb{R}}^{n}}g（x）\vert u{n}\vert^{q-2}u_{n} （u）_{n} -u个)\，dx=0，\\&\lim_{n\to\infty}\int_{{\mathbb{R}}^{n}}h（x）\vert u_{n}\vert^{r-2}铀_{n} （u）_{n} -u个)\，dx=0。\结束{对齐}$$
自
$$\开始{对齐}P_{n} -问_{n} ={}&\bigl[M\bigl（\Vertu_{n}\Vert^{p}\bigr）\bigr]^{p-1}\int_{{\mathbb{R}}^{n}}\bigl-（\Vert\nabla-u_{nneneneep \Vert^{p-2}\nabla-u_{无}-\vert\nabla u\vert^{p-2}\nabla u\bigr）\nabla（u_{n} -u个)\，dx\\&{}+\bigl[M\bigl（\Vertu_{n}\Vert^{p}\bigr）\bigr]^{p-1}\int_{{mathbb{R}}^{n}}V\bigl（\vertu_{nC}\Vert^{p-2}铀_{n} -\vert u\vert^{p-2}铀\较大）（u_{n} -u个)\，dx\\&{}-\lambda\int_{{\mathbb{R}}^{N}g（x）\vert u_{N}\vert^{q-2}u_{n} （u）_{n} -u个)\，dx-\int_{{\mathbb{R}}^{N}}h（x）\vert u_{N}\vert^{r-2}铀_{n} （u）_{n} -u个)\，dx，\结束{对齐}$$
我们可以推断
$$开始{对齐}&\lim_{n\to\infty}\biggl\{\bigl[M\bigl（\Vertu_{n}\Vert^{p}\bigr）\bigr]^{p-1}\int_{{mathbb{R}}^{n}}\bigle（\Vert\nabla-u_{n{Vert^{p-2}\nabla-u_{无}-\vert\nabla u\vert^{p-2}\nabla u\bigr）\nabla（u_{n} -u个)\，dx\\&\quad{}+\bigl[M\bigl（\Vert u_{n}\Vert^{p}\bigr）\bigr]^{p-1}\int_{{mathbb{R}}^{n}}V\bigle（\Vert u_}\Vert^{p-2}铀_{n} -\vert u\vert^{p-2}铀\较大）（u_{n} -u个)\，dx\biggr\}=0。\结束{对齐}$$
(2.12)
案例1. (\（\mathrm{米}_{2}\))持有。使用中的标准不等式\（{\mathbb{R}}^{N}\）由提供
$$\开始{aligned}\bigl\langle\vert x\vert^{p-2}x-\vert y\vert^{p-2}年，x-y\bigr\rangle\ge C_{p}\vert x-y\vert^{p}\squad\text{if}p\ge2\end{aligned}$$
(2.13)
或
$$\开始{aligned}\bigl\langle\vert x\vert^{p-2}x-\vert y\vert^{p-2}年，x-y\biger\rangle\ge\frac{C_{p}\vert x-y\vert^{2}}{（\vert x\vert+\vert y\vert）^{2-p}}\quad\text{if}2>p>1，\end{aligned}$$
(2.14)
我们从(2.12)那个\（\|u_{n} -u个\|\到0\）作为\（到英寸）.
案例2.如果(\（\mathrm{米}_{3}\))保持，然后由于(1.1)，必须考虑两种情况：\（\inf{n}\|u{n}\|>0\）或\（\inf{n}\|u{n}\|=0\）.
案例2-1:\（\inf{n}\|u{n}\|>0\）然后我们可以从(2.12)–(2.14)那个\（\|u_{n} -u个\|\到0\）如情况1。
案例2-2:\（\inf_｛n｝\|u_｛n｝\|=0\）。如果0是序列的累加点\（{\|u{n}\|\}\），则有一个子序列\（｛u｝n｝\｝\）（未重新标记）\（u{n}\to0）.因此\（0=J（0）=lim_{n\to\infty}J（u_{n}）=c\）.莱玛2.3,\（c>0）。这是不可能的。因此，0是\（{\|u{n}\|\}\）。因此，存在以下子序列\（｛u｝n｝\｝\）（未重新标记）\（\inf{n}\|u{n}\|>0\），我们可以像以前一样继续。
这就完成了证明。□
结论由引理得出2.2–2.5立即。□
得到问题的多重性结果(1.1)，我们需要以下喷泉定理。
引理2.6
（喷泉定理[24])
让
X（X）
是具有规范的巴拿赫空间
\（\|\cdot\|\）,然后让
\（X_{i}\）
是的子空间序列
X（X）
具有
\（\dim X_{i}<\infty\）
对于每个
\（i\in\mathbb{N}\）.进一步,设置
$$X=\overline{\bigoplus_{i=1}^{\infty}X_{i}}，\qquad Y_{k}=\bigoblus_{i=1}^{k} X（X）_{i} ，\qquad Z_{k}=\上划线{\bigoplus_{i=k}^{\infty}X_{i}}$$
考虑一个偶数函数
\（C^{1}中的\Phi\（X，\mathbb{R}）\）.假设,对于每个
\（k\in\mathbb{N}\）,存在
\（\rho{k}>\gamma{k}>0）
这样的话
-
\（（\Phi_{1}）\）:
-
\（a_｛k｝：=\max_｛u\在Y_｛k｝中，\|u\|=\rho_｛k｝｝\Phi（u）\le0\）;
-
\（（\Phi_{2}）\）:
-
\（b_｛k｝：=\inf_{u\in Z_{k｝，\|u\|=\gamma_{k｝｝\Phi（u）\to+\infty，k\to+\infty\）;
-
\（（\Phi_{3}）\）:
-
Φ满足
\（（PS）{c}\）
每个的条件
\（c>0\）.
然后Φ具有无界的临界值序列.
显然，功能J型是均匀的。还有待验证J型满足\（（\Phi_{1}）\）–\（（\Phi_{3}）\）在引理中2.6.
它源自(2.10)那个
$$\开始{aligned}\hat{M}（t）\le C_{1} t吨^{1/\sigma}+C_{2}\结束{对齐}$$
对于正常数\（C_{1}，C_{2}\）以及所有人\（第0页）.因此
$$开始{对齐}J（u）\le\frac{1}{p}\bigl{N}}h\Vert u\Vert ^{R}\，dx。\结束{对齐}$$
(2.15)
因为所有范数在有限维空间上都是等价的\（Y_{k}\），我们都有\（Y_{k}中的u）,
$$开始{对齐}J（u）\le\frac{1}{p}\bigl（C_{1}\Vert-u\Vert^{frac{p}{\sigma}}+C_{2}\bigr）-\lambda C_{3}\Vert u\Vert^{q} -C_{4} \垂直u\垂直^{r}，\结束{对齐}$$
(2.16)
哪里\（C_{3}，C_{4}\）为正常数。因此\（在Y{k}中a{k}:=max{u\，\|u\|=\rho{k}}J（u）<0\）对于\（\|u\|=\rho{k}\）足够大。这给\（（\Phi_{1}）\）.
表示\（Z_{k}中的\beta{k}=\sup{u\，\|u\|=1}（\int_{{mathbb{R}}^{N}}h|u|^{R}\，dx）^{1/R}\）.自\（Z_{k+1}\子集Z_{k}\），我们推断\（0\le\beta{k+1}\le\beta{k}\）.因此\（\beta{k}\to\beta_{0}\ge0\）作为\（k到+infty）根据的定义\（β_｛k｝\），存在\（在Z{k}中为u{k}\）具有\（\|u_｛k｝\|=1\）这样的话
$$-\frac{1}{k}\le\beta_{k}-\biggl（\int_{{mathbb{R}}^{N}}h\vert u_{k}\vert^{R}\，dx\biggr）^{1/R}\le0$$
为所有人\（k\ge1）因此，存在一个子序列\（{u{k}）（未重新标记）\（u{k}\rightharpoonup u\）在里面X（X）和\（语言u，e_{j}^{*}\rangle=\lim_{k\to\infty}\langleu{k}，e_}^{**}\range=0\）为所有人\（第1页）。因此，\（u=0）。这意味着\（u_｛k｝\右箭头框0\）在里面X（X）等等\（u{k}\to0）在里面\（L^{r}（{\mathbb{r}}^{N}，h）\）.因此\（\beta_{0}=0\）.证明\（（\Phi_{2}）\）分为以下两种情况。
案例1: (\（\mathrm{米}_{2}\))持有。对于任何\（u\在Z_{k}\中），有个保持
$$\开始{对齐}J（u）\ge\frac{\sigma}{p}m_{0}^{p-1}\Vert-u\Vert^{p}-\压裂{\lambda}{q} S公司_{q} ^{-q/p}\垂直u\垂直^{q}-\裂缝{1}{r}\beta_{k}^{r}\垂直u\Vert^{r{。\结束{对齐}$$
(2.17)
设置
$$\gamma_{k}=\biggl（\frac{\sigma m{0}^{p-1}r}{4p\beta{k}^{r}}\biggr）^{\frac{1}{r-p}}，\qquad\lambda{1}=\frac{\sigmaqm{0}^{p-1}}{2p}\gamma{1}^{p-q}S_{q} ^｛q/p｝$$
然后
$$开始{对齐}J（u）\ge\frac{\sigma}{4p}m_{0}^{p-1}\gamma{k}^{p}\end{aligned}$$
(2.18)
为所有人\（\lambda\in（0，\lambda_｛1｝）\）和\（u=gamma{k}）.因此\（（\Phi_{2}）\）已实现。
案例2: (\（\mathrm）{米}_{3}\)), (\（\mathrm{米}_{5}\))保持。对于\（\|u\|=\rho\），我们有
$$\开始{对齐}J（u）和\ge\frac{\sigma}{p}\bigl[M\bigl（\rho^{p}\ bigr）\bigr]^{p-1}\rho^{p}-\压裂{\lambda}{q} S公司_{q} ^{-q/p}\rho^{q}-\压裂{1}{r} S公司_{r} ^{-r/p}\rho^{r}。\结束{对齐}$$
(2.19)
设置
$$\widetilde{\gamma}_{k}=\biggl（\frac{\sigma[M（\gamma_1}^{p}）]^{p-1}r}{4p\beta{k}^{r}}\biggr）^{\frac{1}{r-p}}，\qquad\widetilde{\lambda}{1}=\frac}\sigmaq[M（\gamma{1}^{p}）]^{p-1}}{2p}\gamma_{1}^{p-q}S_{q} ^{q/p}$$
然后由(\（\mathrm{米}_{5}\))
$$开始{对齐}J（u）\ge\frac{\sigma}{4p}\bigl[M\bigl（\widetilde{\gamma}_{1}^{p}\bigr）\bigr]^{p-1}\gamma_{k}^{p}\end{aligned}$$
(2.20)
为所有人\（（0，\widetilde{\lambda}_{1}）中的\lambda）和\（u=widetilde{gamma}_{k}\）.因此\（（\Phi_{2}）\）已实现。
按引理2.5，我们获得\（（\Phi_{3}）\）因此，结论遵循喷泉定理。□
