具有源项的抛物-椭圆Keller-Segel系统的爆破和延迟

摘要

在本文中，我们研究了有界区域中源项为正的抛物-椭圆Keller-Segel系统\（{\mathbb{R}}^{N}\）(\（N=2,3）)在齐次Dirichlet边界条件下，系数与时间有关。如果解在有限时间内爆炸，则在适当的数据假设下导出爆破时间的下限。此外，还研究了关联能量的指数衰减。

1介绍

让我们考虑以下抛物线-椭圆Keller-Segel系统：

$$\textstyle\bbegin｛cases｝u_｛t｝=\三角形u-k_{1｝（t）\nabla\cdot（u^｛m｝\nabla v）+f（u），&x\in\Omega，t>0，\\0=\三角形v-k_{2｝（t）v+k_{3｝（t）u，&x\in\Omega，t>0，\\u|_｛\partial\Omega｝=0，\\qquad v|_｛\partial\Omega｝=0，&t>0，\\u（x，0）=u_｛0｝（x），&x\in\Omega，\end｛cases｝$$

(1.1)

其中Ω是中的有界凸域\（{\mathbb{R}}^{N}\）(\（N=2,3）)边界光滑，\（k_{i}（t）\）(\（i=1,2,3）)是的正功能和常规功能t吨,\（u{0}（x）\）是一个非负函数，单位为Ω。此外，在第一个方程中，我们假设\（f（u）\）是一个非负函数，并且米是一个正常数。

经典的Keller–Segel系统

$$\textstyle\begin{cases}U_{t}=-\nabla（-\mu\nabla U+\chi U\nabla V），&x\in\Omega，t>0，\\V_{t{=\nabla$$

(1.2)

最初由Keller和Segel于1970年推出[11]，它代表了一个基本模型，对生物学有很大兴趣，其中Ω表示容量，是一个开放域\（{\mathbb{R}}^{N}\）(\（编号1）),∇是梯度操作符，\（U（x，t）\）表示电池密度，以及\（V（x，t）\）代表化学引诱剂。\（\mu>0\）是变形虫的运动，\（\chi>0\）是趋化敏感性，\（D>0\）是cAMP的扩散速率，\（g>0\）是阿米巴每单位密度cAMP分泌率，\（k>0）是cAMP在环境中的降解速率。第一个方程中的交叉扩散项反映了这样一个假设，即单个细胞部分地适应其运动，从而向增加的化学吸引剂迁移。

在过去的三十年里，人们对模型的类型进行了大量的研究(1.2)及其变化。例如，请参见系统(1.2)带有\（\Omega={\mathbb{R}}^{N}\）,\（\mu=\chi=D=1\）,\（k=0）Kozono、Sugiyama和Takada[12]考虑了以下情形是否存在向后型有限时间自相似解的问题\（编号2），杉山和叶哈吉[22]研究了退化型Keller–Segel系统弱解相对于初始数据的唯一性和连续性。对于这方面的更多贡献，我们可以看到[三–6,19–21]以及其中的参考文献。

鉴于细胞群是否自发形成聚集体这一具有生物学意义的问题，一些研究集中于解决方案是保持有界还是爆破（参见[7–10,16–18,23,26]).

因为实践经验表明，模拟趋化现象的特定参数是如何成为一个通用的趋化系统的，尤其是那些受逻辑类型源影响的参数（参见[1,2,13–15,25,27]). 尤其是马拉斯、维尼尔·皮罗和维利亚洛罗[15]考虑了系统

$$\textstyle\begin{cases}u_{t}=\三角形u_k_{1}（t）\nabla\cdot（u^{m}\nablav）+f（u），&x\in\Omega，t>0，\\v_{t{=k_{2}（t）\三角形v-k_{3}\qquad\frac{\部分v}{\部分n}=0，&x\in\partial\Omega，t>0，\\u（x，0）=u_{0} $$

(1.3)

哪里\（k{i}（t）\）(\（i=1,2,3,4）)是的正功能和常规功能t吨,\（f（u）\）非负函数满足\（f（u）\leq-cu^{2}\）,\（c>0）、和米是一个正常数。他们显示了放大时间的下限\（t^{*}\）至系统(1.3)在这两种情况下都可以得到Neumann边界条件（即。，\（h（t）=0）)和Robin边界条件（即。，\（h（t）>0\）)用于三维案例，并提供\（压裂{2}{3}<m<1）或者对于二维情况，提供\（1米<2米）分别是。

趋化系统的齐次Dirichlet边界条件由边界附近细胞和化学吸引剂的消失来描述。

本文的目的是研究抛物-椭圆Keller-Segel系统的爆破时间下限和关联能量的衰减准则(1.1)在三维情况下的Dirichlet边界条件下\（压裂{2}{3}<m<1）或者对于二维情况，提供\（1\leq m<2\）分别是。让我们指出，尽管这一想法以前曾用于其他问题，但对程序进行调整以适应我们的问题并不是小事一桩。由于抛物线-椭圆Keller-Segel系统(1.1)在Dirichlet边界条件下，我们需要更精细的估计。

从生物学角度来看，系统的解决方案(1.1)，表示密度和化学引诱剂，必须满足

$$u\geq0，\qquad v\geq0$$

因此，始终要求初始数据是合理的\（C^{0}中的u_{0}\（上划线{\Omega}）\）非负。

2放大时间下限

在本节中，我们给出了系统放大时间的下限(1.1)在三维情况下，并提供\（压裂{2}{3}<m<1），在二维情况下\（1米<2米）分别是。

2.1下限为\（\Omega\子集{\mathbb{R}}^{3}\）,\（压裂{2}{3}<m<1）

在本小节中，为了获得爆破时间的下限\（t^{*}\）解决方案的\（（u，v）\）至系统(1.1)带有\（N=3\），我们定义了以下辅助功能：

$$\Phi（t）=\alpha（t）\int_{\Omega}u^{2}\，dx$$

(2.1)

具有\（\Phi_{0}=\Phi（0）=\alpha（0）\int_{\Omega}u_{0{2}\，dx>0\）、和α是一个合适的含时正函数。

定义2.1

我们这么说\（（u，v）\）爆破，Φ-测量时间\（t^{*}\）如果

$$\lim_{t\rightarrow t^{*}}\Phi（t）=\infty$$

(2.2)

本小节的主要结果在以下定理中给出。

定理2.1

让 \（\Omega\子集{\mathbb{R}}^{3}\） 是原点在内部的有界凸域.假设 \（f（u）\） 是非负函数，满足

$$f（u）\leq cu^{2}，\quad c>0$$

(2.3)

此外,让 \（（u，v）\） 是系统的经典解(1.1),和 \（（u，v）\） 在Φ-按时间测量 \（t=t^{*}\）,具有Φ定义于(2.1),然后 \（t^{*}\） 满足下限

$$t^{*}\geq\int_{\Phi（0）}^{+\infty}\frac{d\xi}{A{0}\xi+A{1}\xi^{压裂{m+2}{2}}+A{2}\xi压裂{4-m}{4-3m}}}+A{3}\xi^压裂{3}{2{2}+A_{4}\xi_{3}}$$

(2.4)

哪里

$$\begin{aligned}&\begin{aligned}&A_{0}=\frac{\alpha'}{\alfa}，\qquad A_{1}=c_{1}2^{\压裂{3}{2} m-1个}p_{1}^{\压裂{3}{2} 米}\alpha^{-\frac{m+2}{2}}，\\&A_{2}=c_{1}2^{\压裂{3}{2} m-1个}\裂缝{p{2}^{\裂缝{3}{2} 米}}{\varepsilon_{0}^{\frac{3m}{4-3m}}}\cdot\fracc{4-3m{4}\alpha^{\frac{m-4}{4-3m}}，\qquad A{3}=A{1}\alfa^{-\frac}{2}}\&c{1}=\压裂{2\αk_{1} k个_{3} }{m+1}，\qquad a{1}=\alpha c（2p{1}）^{压裂{3}{2}}，\ qquad a{2}=2^{-\frac{1}{2{}}\alpha-cp{2}^{\frac}3}{2}}0}}+1，\qquad\rho_{0}=\min_{\partial\Omega}x\cdot\nu>0，\qquad d=\max_{\overline{\Omega}|x|。\end{aligned}\end{alinged}$$

(2.5)

其中包括 \（\varepsilon_{0}\）,\（\varepsilon_{1}\） 呈现正常数,ν 表示向外指向的单位法向量 ∂Ω.

证明

利用Hölder不等式和算术不等式

$$年^{r} b条^{s} \leq ra+sb，\quad a>0，b>0，s+r=1$$

(2.6)

我们获得

$$\int_{\Omega}u^{m+2}\，dx\leq\biggl（\int_}\Omega}u^{2}\，d\biggr）^{1-m}\biggal（\ int_{\ Omega{u^{3}\，e\bigger）^{m}$$

(2.7)

接下来，我们估计期限\（\int_{\Omega}u^{3}\，dx\）出现在(2.7)通过以下不等式（参见中的引理A2[17]):

$$\biggl（\int_{\Omega}|u|^{3}，dx\biggr）^{m}\leq\biggl[p_{1}\int_}\Omega}u^{2}\，dx+p_{2}\biggal}\，dx\biggr）^{\frac{1}{2}}\biggr]^{\frac{3}{2} 米} $$

(2.8)

具有\（p{1}=\压裂{3}{2\rho{0}}\）,\（p{2}=\压裂{d}{\rho{0}}+1），其中\（\rho_｛0｝=\min_｛\partial\Omega｝x\cdot\nu>0\）,\（d=\max_{\overline{\Omega}}|x|\）,ν表示向外指向的单位法向量∂Ω.

发件人(2.8)和不平等

$$（a+b）^{s}\leq2^{s-1}\bigl（a^{s{+b^{sneneneep \bigr），\quad a>0，b>0，s\geq1$$

(2.9)

我们实现了

$$\开始{aligned}&\biggl（\int_{\Omega}|u|^{3}\，dx\biggr）^{m}\\&\quad\leq2^{\frac{3}{2} m-1个}\biggl[p_{1}^{\frac{3}{2} 米}\biggl（\int_{\Omega}u^{2}\，dx\biggr）^{\frac{3}{2} 米}+p{2}^{\压裂{3}{2} 米}\biggl（\int_{\Omega}u^{2}\，dx\biggr）^{\frac{3}{4} 米}\biggl（\int_{\Omega}|\nabla u|^{2}\，dx\biggr）^{\frac{3}{4} 米}\biggr]。\结束{对齐}$$

(2.10)

插入此估算(2.10)到(2.7)，我们有

$$\开始{aligned}\int_{\Omega}u^{m+2}\，dx\leq&2^{frac{3}{2} m-1个}p_{1}^{\压裂{3}{2} 米}\biggl（\int_{\Omega}u^{2}\，dx\biggr）^{压裂{m+2}{2}}+2^{\压裂{3}{2} m-1个}\frac｛p_｛2｝^｛\frac｛3｝{2} 米}}{\varepsilon_{0}^{\frac{3m}{4-3m}}}\cdot\frac}4-3m}{4}\biggl（\int_{\Omega}u^{2}\，dx\biggr）{2} m-1个}p{2}^{\压裂{3}{2} 米}\cdot\压裂{3}{4} 米\varepsilon_{0}\int_{\Omega}|\nablau|^{2}\，dx，\end{aligned}$$

(2.11)

哪里\（\varepsilon_{0}\）是一个正常数。

然后，区分\（\Phi（t）\）并利用事实\（u|_{\partial\Omega}=0\），我们有

$$\begin{aligned}\Phi'（t）=&2\alpha\int_{\Omega}uu_{t}\，dx+\alpha'\int_}\Omega}u^{2}\，dx\\=&2\\alpha\int{\Omega}u \bigl u^{2}\，dx\\=&2\alpha\int_{\Omega}u\三角形u\，dx-2\alfa-k_{1}\int_}\Omega}u\nabla\cdot\bigl（u^{m}\nabla v\bigr）\，dx+2\alpha\int_{\Omega}uf（u）\，dx+\alpha'\int_}\Omega}u^{2}\，dx \\=&-2\alpha \int__{\欧米茄}|\nabla u|^{2{\，dx-\frac{2\alpha k{1}{m+1}\int_[Omega]u^{m+1}\三角形v \，dx2\alpha\ int_{欧米茄{uf（u）\，dx+\alpha'\int_{\Omega}u^{2}\，dx\\=&-2\alpha\int_}\Omega}|\nabla u|^{2{\，dx-\frac{2\alpha k_{1} k个_{2} ｛m+1｝\int_｛\Omega｝u^｛m+1｝v\，dx+\frac｛2\alpha k_{1} k个_{3} }{m+1}\int_{\Omega}u^{m+2}\，dx\\&{}+2\alpha\int_Omega{uf（u）\，dx+\alpha'\int_}\Omega}u^{2}\，d x。\结束{对齐}$$

(2.12)

第四学期(2.12)，我们使用(2.3), (2.8)、和(2.9)，这导致

$$开始{aligned}2\alpha\int_{\Omega}uf（u）\，dx\leq&2\alba-c\int_\Omega}u^{3}\，dx \\leq&a{1}\biggl（\int_{\Omega}u^{3}\，dx\biggr）^{3{+3a_{2}\varepsilon_{1}\int_}\Omega}|\nabla u|^{2}\，d\end{aligned}$$

(2.13)

具有

$$a{1}=\alpha c（2p{1}）^{\frac{3}{2}}，\qquad a{2}=2^{-\frac}{2{}}\alpha-cp{2}^{\frac{3{2}$$

这里，我们还使用了Hölder不等式和Young不等式\（\varepsilon_{1}>0\）.

插入(2.11)和(2.13)到(2.12)，我们获得

$$\开始{aligned}\Phi'（t）\leq&-2\alpha\int_{\Omega}|\nabla u|^{2}\，dx+c_{1}2^{\压裂{3}{2} m-1个}p_{1}^{\压裂{3}{2} 米}\biggl（\int_{\Omega}u^{2}\，dx\biggr）^{\frac{m+2}{2}}\\&{}+c_{1}2^{\压裂{3}{2} m-1个}\裂缝{p{2}^{\裂缝{3}{2} 米}}{瓦雷普西隆{0}^{压裂{3m}{4-3m}}}\cdot\frac{4-3m{4}\biggl（int_{\Omega}u^{2}\，dx\biggr）^{裂缝{4-m}{4-3m}}+c{1}2^{\压裂{3}{2} m-1个}p{2}^{\压裂{3}{2} 米}\cdot\压裂{3}{4} 米\varepsilon_{0}\int_{\Omega}|\nabla u|^{2}\，dx\\&{}+a_{1}\biggl（\int_}\Omega}u^{3}，dx\biggr）大gr）^{3}+3a{2}\varepsilon_{1}\int_{\Omega}|\nabla u|^{2}\，dx+\alpha'\int_}\Omega}u^{2{\，dx \\=&\biggl{2} m-1个}p{2}^{\压裂{3}{2} 米}\cdot\压裂{3}{4} 米\瓦雷普西隆_{0}-2\alpha\biggr）\int_{\Omega}|\nabla u|^{2}\，dx\\&{}+c_{1}2^{\压裂{3}{2} m-1个}p_｛1｝^｛\frac｛3｝{2} 米}\alpha^{-\frac{m+2}{2}}\biggl（\alpha\int_{\Omega}u^{2}\，dx\biggr）_{1}2^{\压裂{3}{2} m-1个}\裂缝{p{2}^{\裂缝{3}{2} 米}}｛\varepsilon\｛0｝^｛\frac｛3m｝｛4-3m｝｝｝\cdot\frac｛4-3m｝｛4｝\alpha^｛\frac｛m-4｝｛4-3m｝｝｝\biggl（\alpha\int_｛\Omega｝u^｛2｝\，dx\biggr）^｛\frac｛4-m｝｝+\frac｛\alpha'｝｛3｝｛2｝｝\biggl（\alpha\int_｛\Omega｝u^｛3｝\，dx\biggr）^｛\frac｛3｝｛2｝｝+\frac｛a_｛2｝｝｛\varepsilon\ 1｝^｛2｝}\alpha^{-3}\biggl（\alpha\int_{\Omega}u^{3}\，dx\biggr）^{3{end{aligned}$$

(2.14)

具有\（c{1}=\压裂{2\αk_{1} k个_{3} }{m+1}\）.

为了简化(2.14)，我们选择合适的常数\（\varepsilon_{0}\）和\（\varepsilon_{1}\）这样的话

$$3a{2}\varepsilon_{1}+c{1}2^{\frac{3}{2} m-1个}p{2}^{\压裂{3}{2} 米}\cdot\frac{3}{4} 米\瓦雷普西隆_{0}-2\α=0$$

因此，我们可以估计(2.14)作为

$$\Phi'（t）\leq A_{0}\Phi+A_{1}\Phi ^{\frac{m+2}{2}}+A_}\Phi ^{\frac{4-m}{4-3m}}+A{3}\Ph$$

(2.15)

哪里

$$\begin{aligned}&A_{0}=\frac{\alpha'}{\alfa}，\qquad A_{1}=c_{1}2^{\压裂{3}{2} m-1个}p_{1}^{\压裂{3}{2} 米}\alpha^{-\frac{m+2}{2}}，\qquad A{2}=c_{1}2^｛\frac｛3｝{2} m-1个}\压裂{p_{2}^{\压裂{3}{2} 米}}{瓦雷普西隆{0}^{压裂{3m}{4-3m}}}\cdot\frac{4-3m{4}\alpha^{裂缝{m-4}{4-3m}}，\\&A{3}=A{1}\alfa^{-\frac}{2}}。\结束{对齐}$$

现在，集成(2.15)超过\（（0，t）\），我们有

$$t\geq\int_{\Phi（0）}^{\Phi-（t）}\frac{d\xi}{A_{0}\xi+A_{1}\xi^{压裂{m+2}{2}}+A_2}\xi压裂{4-3m}{4}+A_3}\xi_{3}\frac{3}{2{}+A_}$$

因此，定理的证明2.1已完成。□

2.2下限为\（\欧米茄\子集｛\mathbb｛R｝｝^｛2｝\）,\（1米<2米）

在本小节中，我们考虑系统(1.1)在这种情况下\（\Omega\子集{\mathbb{R}}^{2}\），我们得到了以下主要结果。

定理2.2

让 \（（u，v）\） 是系统的经典解(1.1)在凸区域中 \（\Omega\子集{\mathbb{R}}^{2}\） 边界光滑 \（1米<2米）.假设 \（f（u）\） 是非负函数，满足(2.3).如果 \（（u，v）\） 在Φ-及时测量 \（t^{*}\）,具有Φ定义于(2.1),然后 \（t^{*}\） 满足下限

$$t^{*}\geq\int_{\Phi（0）}^{+\infty}\frac{d\xi}{\上划线{答}_{0}\xi+\上划线{答}_{1} 上划线{答}_{2} \xi^{\frac{2}{2-m}}+\上划线{答}_{3} \xi^｛\frac｛3｝｛2｝｝+\覆盖线{答}_{4} \xi^{3}}$$

(2.16)

哪里

$$\开始{对齐}和\上划线{答}_{0}=\frac{\alpha'}{\alfa}，\qquad\上划线{答}_{1} =c_{1}\压裂{2^{\压裂{3m}{2}-1}p{1}^{m}}{3^{m{}\alpha^{-\frac{m+2}{2}}，\qquad\上划线{答}_{2} =c_{1}2^{\压裂{m}{2}-1}p{2}^{m}\压裂{2-m}{2}\varepsilon{2}^{压裂{m}{m-2}}\alpha^{frac{m}}{m-2}}，上划线{答}_{3} =a{1}\alpha^{-\frac{3}{2}}，上划线｛A｝_{4} =\frac{a{2}}{\varepsilon_{1}^{2}{\alpha^{-3}\end{aligned}$$

具有 \（c{1}\）,\（{1}\）,\（a{2}\）,\（p{1}\）,\（p{2}\）,\（\rho_{0}\）,d日 定义于(2.5).其中包括,\（\varepsilon_{1}\）,\（\varepsilon_{2}\） 呈现正常数,ν 表示向外指向的单位法向量 ∂Ω.

证明

通过使用Hölder不等式，我们得到

$$\int_{\Omega}u^{m+2}\，dx\leq\biggl（\int_}\Omega}u^}\，dx\biggr）^{1-\frac{m}{2}}\biggal$$

(2.17)

为了估计期限\（\int_{\Omega}u^{4}\，dx\），我们使用以下不等式（见（3.2）和（3.4）[17]):

$$\biggl（\int_{\Omega}|u|^{4}\，dx\biggr{\Omega}u^{2}\，dx\int_{\Omega}|\nabla u|^{2{\，dx \biggr）^{\frac{1}{2}}\biggr]$$

(2.18)

具有\（\rho_{0}\）,d日定义于(2.5).

插入(2.18)到(2.17)，我们获得

$$开始{aligned}\int_{\Omega}u^{m+2}\，dx\leq&2^{-\frac{m}{2}}\biggl（\int_}\Omega}u^{2}\，dx\biggr）^{1-\frac}{m}}\&{}\times\biggl[\frac[1}{1}{\rho{0}}\int_2}，dx+\biggl（1+\frac{d}{\rho{0}}\biggr）\biggl（\int_{\Omega}u^{2}\，dx\int_}\Omega}|\nabla u|^{2{\，dx \bigger）^{1}{2}\biggr]^{m}\\leq&2^{\frac}m}{2}-1}\裂缝{1}{\rho_{0}^{m}}\biggl（\int_{\Omega}u^{2}\，dx\biggr）^{1+\frac{m}{2}}+2^{\frac}m}{2}-1}\biggl（1+\frac{d}{\rho_{0}}\biggr）^{m}\bigl（\int_{\Omega}u^{2}\，dx\int_}\Omega}|\nabla u|^{2{\，dx \bigger）^{\frac}m}{2}}\\leq&\frac[2^{3}{2}-1}p_{1}^{m}}{3^{m{}\biggl（\int_{\Omega}u^{2}\，dx\biggr）^{1+\frac{m}{2}}+2^{\frac}m}{2}-1}p_{2}^{m}\frac{m}{2}\varepsilon_{2{int_{\Omega}|\nabla u|^{2}\，dx\\&{}+2^{\frac}{2}-1}p{2}^{m}\压裂{2-m}{2}\varepsilon_{2}^{\压裂{m}{m-2}}\biggl（\int_{\Omega}u^{2}\，dx\biggr）^{\frac{2}{2-m{}}。\结束{对齐}$$

(2.19)

从开始(2.12)，如果我们申请(2.13)和(2.19)，我们获得

$$开始{aligned}\Phi'（t）\leq&\biggl（3a{2}\varepsilon_{1}+c{1}2^{\frac{m}{2}-1}p_｛2｝^｛m｝\cdot\frac｛m｝｛2｝\varepsilon_{2}-2\alpha\biggr）\int_{\Omega}|\nabla u|^{2}\，dx+c_{1}\压裂{2^{\frac{3m}{2}-1}p_{1}^{m}}{3^{m{}\biggl（\int_{\Omega}u^{2}\，dx\biggr）^{1+\frac{m}{2}}\\&{}+c_{1}2^{\压裂{m}{2}-1}p{2}^{m}\frac{2-m}{2}\varepsilon_{2}^{\frac{m}{m-2}}\biggl（\int_{\Omega}u^{2}\，dx\biggr）a{1}\alpha^{-\frac{3}{2}\biggl（\alpha\int_{\Omega}u^{3}\，dx\biggr）\biggl（\alpha\int_｛\Omega｝u ^｛3｝\，dx\biggr）^｛3｝。\结束{对齐}$$

(2.20)

现在，选择适当的常数\（\varepsilon_{1}\）和\（瓦雷普西隆{2}）这样的话

$$3a{2}\varepsilon_{1}+c{1}2^{\frac{m}{2}-1}p_｛2｝^｛m｝\cdot\frac｛m｝｛2｝\varepsilon_{2}-2\α=0$$

我们得到

$$\Phi'（t）\leq A_{0}\Phi+A_{1}\Phi ^{\frac{m+2}{2}}+A__2}\Phi ^{\frac{2}{2-m}}+A{3}\Ph$$

(2.21)

哪里

$$\开始{对齐}和\上划线{答}_{0}=\frac{\alpha'}{\alfa}，\qquad\上划线{答}_{1} =c_{1}\压裂{2^{\压裂{3m}{2}-1}p{1}^{m}}{3^{m{}\alpha^{-\frac{m+2}{2}}，\qquad\上划线{答}_{2} =c_{1}2^{\压裂{m}{2}-1}p{2}^{m}\压裂{2-m}{2}\varepsilon{2}^{压裂{m}{m-2}}\alpha^{frac{m}}{m-2}}，上划线{答}_{3} =a{1}\alpha^{-\frac{3}{2}}，上划线{答}_{4} =\frac{a{2}}{\varepsilon_{1}^{2}{\alpha^{-3}。\结束{对齐}$$

现在，集成(2.21)超过\（（0，t）\），我们有

$$t\geq\int_{\Phi（0）}^{\Phi（t）}\frac{d\xi}{\上划线{答}_{0}\xi+\上划线{答}_{1} 上划线{答}_{2} \xi^{\frac{2}{2-m}}+\上划线{答}_{3} \xi^｛\frac｛3｝｛2｝｝+\覆盖线{答}_{4} \xi^{3}}$$

因此，定理的证明2.2已完成。□

三相关能量的指数衰减

在本节中，我们将重点讨论系统关联能量的指数衰减(1.1). 我们仅在以下情况下考虑此情况\（\Omega\子集{\mathbb{R}}^{3}\），情况发生时\（\Omega\子集{\mathbb{R}}^{2}\）完全相似。为了说明我们的主要结果，我们需要以下条件：

$$-D_{1}\lambda_{1{+D_{2}\lampda_{1'^{\frac{3}{4}}\Phi（0）^{\frac{1}{2}}+D_}3}\Phi（0）$$

(3.1)

哪里

$$\begin{aligned}&D_{1}=2\alpha，\qquad D_{2}=2^{\frac{1}{2}}（c_{1} 米+2\α）p{2}^{\压裂{3}{2}}\α^{-\压裂{3+{4}}，\qquad D_{3}=2^{\裂缝{1}{2{}（c_{1} 米+2\alpha）p{1}^{\frac{3}{2}}\alpha^{-\frac}{42}}，\\&D_{4}=\frac{c{1}（1-m）+\alpha'}{\alpha}，\qquad\Phi（0）=\alpha（0）\int_{\Omega}u_{0}（x）^{2}，dx\end{aligned}$$

(3.2)

和\（\lambda{1}\）是边值问题的第一个特征值，如下所示：

$$\textstyle\begin{cases}\triangle\varphi+\lambda\varphi=0，&x\in\Omega，\\varphi|_{\partial\Omega}=0，\\varfi>0，&x\in\Omega。\结束{cases}$$

备注3.1

让我们注意到，在适当选择\（D_{1}\）,\（D_{2}\）,\（D_{3}\）,\（D_{4}\）、和\（\Phi（0）\），可以获得条件(3.1).

我们现在准备陈述我们关于系统能量衰变的主要结果(1.1).

定理3.2

假设 \（\Phi（0）>0\）,\（2k{2}>k{3}\） 和条件(3.1)感到满意.然后解以指数形式衰减到零 \（L^{2}（\Omega）\）.

证明

让\（（u，v）\）是唯一的解决方案(1.1)，我们把

$$\Phi（t）=\alpha（t）\int_{\Omega}u^{2}\，dx，\Psi（t）=\frac{（2k_{2} -k个_{3} ）\alpha（t）｝｛k_｛3｝｝\int_｛\Omega｝v^｛2｝\，dx$$

遵循与定理证明中相同的思想2.1，我们有

$$\Phi'（t）\leq\biggl（\int_{\Omega}|\nabla u|^{2}\，dx\biggr）^{\frac{3}{4}}\biggal}\biggr）+D_{3}\Phi（t）^{\frac{3}{2}}+D_{4}\Phi（t）$$

(3.3)

具有\（D_{1}\）,\（D_{2}\）,\（D_｛3｝\）,\（D_{4}\）定义于(3.2).

插入结果

$$\int_{\Omega}|\nabla u|^{2}\，dx\geq\lambda_{1}\int_}\Omega}u^{2{\，dx$$

我们获得

$$\Phi'（t）\leq\biggl（\int_{\Omega}|\nabla u|^{2}\，dx\biggr）^{\frac{3}{4}}\bigl（-D_{1}\lambda{1}^{\frac{1}{4{}\Phi（t）+D_{3}\Phi（t）^{\frac{3}{2}}+D_}4}\Phi（t）$$

(3.4)

我们通过一个类似于王、王和周在[24]，那个

$$\Phi'（t）<0$$

(3.5)

和

$$\Phi'（t）\leq\Phi（t）\ bigl（-D_{1}\lambda_{1{^{\frac{1}{4}}\Phi$$

(3.6)

签署人(3.5)和(3.6)，存在一个正常数γ这样的话

$$D_{2}\Phi（t）^{\frac{3}{4}}+D_{3}\Phi（t）${\frac{3}}<D_{2]\Phi_{1} -D_{4}-\伽马射线$$

因此，有人认为

$$\Phi'（t）\leq-\gamma\Phi（t）$$

这就产生了

$$\功率因数（t）\leq\功率因数（0）\exp（-\gamma t）$$

(3.7)

这证明了u个在中指数衰减为零\（L^{2}（\Omega）\）.

接下来，我们研究\（\Psi（t）\）将第二个方程的两边相乘(1.1)由v（v）然后对Ω积分，我们得到

$$\int_{\Omega}v\三角形v\，dx=k_{2}\int_}\Omega}v^{2}\，dx-k_{3}\int_{\Omega}-uv，dx$$

也就是说，

$$-\int_{\Omega}|\nabla v|^{2}\，dx=k_{2}\int_}\Omega}v^{2{\，dx-k_{3}\int_{\Omega}-uv\，dx$$

由Hölder不等式和算术不等式(2.6)，我们有

$$k_{2}\int_{\Omega}v^{2}\，dx+\int_}\Omega}|\nabla v|^{2{\，dx=k_{3}\int_3}\Omega}uv \，dx-leq\frac{k{3}}{2}\int__{Omega{u{2}\\，dx+\ frac{k_{3{2}{2{2}/int_{0}，dx$$

因此，

$$\biggl（k_{2}-\压裂{k{3}}{2}\biggr$$

其中包括(3.7)收益率

$$\Psi（t）=\压裂{（2k_{2} -k_{3} ）\α（t）}{k{3}}\int_{\Omega}v^{2}\，dx\leq\alpha（t）\int_}\Omega}u^{2{\，dx=\ Phi（t）\ leq\Phi（0）\exp（-\gamma t）$$

根据需要。这就完成了证明。□