粘性浅水方程带必要条件的最优控制问题

摘要

分析了带有粘性项的浅水方程的最优控制问题。研究了控制问题最优控制的存在性。利用费用泛函和伴随方程的一阶Géteaux导数，导出了最优控制的必要条件。利用成本泛函的二阶Géteaux导数建立了最优控制的局部唯一性。本文的新颖之处在于，利用粘性系数得到了该问题最优控制的必要条件和局部唯一性\（\varepsilon>0\）.

1介绍

本文研究一类带粘性项的浅水方程的最优控制问题，

$$\开始{对齐}u_{t} -u个_{xxt}+2ku_{x}-\瓦雷普西隆（u_｛xx｝-u_{xxxx}）+muu{x}=au{x}u{xx}+buu{xxx}，\end{aligned}$$

(1.1)

哪里k个是一个常量，\（m，a，b\in\mathbb｛R｝\）,\（\Omega=[0,1]\子集\mathbb{R}\）,\（（t，x）\in\mathbb{R}^{+}\times\Omega\）,\（\varepsilon（u_{xx}-u_{xxxx}）\）是粘性项\（\varepsilon>0\）是粘性系数。

我们简要概述了文献中的各种相关工作。康斯坦丁[1]导出了浅水方程

$$u美元_{t} -u个_{xxt}+2ku{x}+muu{x}=au{x}u{xx}+buu{xxx}$$

(1.2)

哪里\（u（t，x）\）是当时的流体速度t吨在里面x个方向和k个是与临界浅水波速相关的常数。他们为方程的柯西问题建立了局部适定性(1.2)以及溶液的破波现象。赖[2]研究了方程Cauchy问题的局部适定性(1.2)在Sobolev空间\（H^{s}（\mathbb{R}）\（s>\frac{3}{2}）.

拿\（\varepsilon=0，m=a+b\）在等式中(1.1)得出一个广义浅水方程。赖[三]得到了Cauchy问题强解的整体存在性和解的爆破准则。对于本案\（b=1）英寸(1.1)、霍尔姆[4]不仅研究了平衡参数的影响一和孤立波结构的核函数\（\varepsilon=0\）并以较小的粘度进行数值计算\（\varepsilon\neq0）.张[5]研究了具有粘性项的广义浅水方程的最优控制问题，其中包括粘性Camassa–Holm方程和粘性Degasperis–Procesi方程作为特例。给出了最优控制和控制问题最优解的存在性。沈[6]研究了θ-等式。利用泛函分析方法，得到了在固定最终水平情况下控制问题最优控制的必要条件。特别是\（varepsilon=0，m=3，a=2，b=1）英寸(1.1)，我们得到了经典的Camassa–Holm方程，该方程模拟了浅水波的传播。对于建立Camassa–Holm方程Cauchy问题局部适定性和解的整体存在性的方法，可以参考[7–9]以及其中的参考文献。田[10]研究了广义粘性Camassa–Holm方程的最优控制问题。他们利用Galerkin方法证明了局部弱解的存在唯一性。得到了最优控制和最优解的存在性。沈[11–13]研究了一类广义粘性浅水方程的最优控制问题。宗[14]研究了粘性Camassa–Holm方程和非粘性Camassa-Holm方程的边界稳定性。分析了该控制问题的非线性边界控制律和全局渐近镇定。如果我们采取\（varepsilon=0，m=4，a=3，b=1）英寸(1.1)，我们得到了经典的Degasperis–Procesi方程。在中研究了Degasperis-Procesi方程Cauchy问题的局部适定性和解的爆破机制[15,16]. 田[17]利用Galerkin方法和分布参数系统的最优控制理论，研究了粘性Degasperis-Procesi方程的最优控制问题。

然而，为模拟物理过程而创建的非线性偏微分方程在几乎所有数学分支中都发挥着重要作用。您可以在中查看更多详细信息[18]. 柯西问题的适定性和方程解的性质已被广泛研究。例如，Goubet和Hamraoui[19]从数值和理论上研究了缺陷对二维三次非线性薛定谔方程径向解爆破的影响。另一方面，许多研究人员在[20]流体模型最优控制问题的研究[21–30]. Dullin–Gottwald–Holm方程的最优控制问题在[31–33]其结构类似于Camassa–Holm方程和Degasperis–Procesi方程。黄哲伦[33]得到了对控制问题进行最优控制的必要最优条件。利用代价泛函的二阶G-teaux可微性，建立了最优控制的局部唯一性。赵和刘[22]研究了三维对流Cahn–Hilliard方程最优控制的存在性和控制问题的最优解。给出了最优控制的一阶必要最优条件。Leszczynski等人[29]考虑了单药剂药物治疗的一般数学模型的最优控制问题。给出了极值控制轨迹强局部最优的充分条件。Papageorgiou等人[30]对非线性演化包含控制的最优控制问题进行了灵敏度分析。研究了解集的非空性和解多功能的连续选择。一般来说，考虑粘性流体在物理学中是有意义的。卡斯特罗[34]结果表明，当粘性系数趋于零时，粘性Burgers方程最优控制问题的最优控制收敛到非粘性版本。

受到工作的激励[6,20,29,30,32,33]，我们研究了带有粘性项的浅水方程的最优控制问题

$$\begin{aligned}\min J（v）=\bigl\Vert-Cu（v）-z_{d}\bigr\Vert_{M}^{2}+（Nv，v）_{U}，\quad\text{表示所有}v\ in U，\end{alinged}$$

(1.3)

其中控件v（v）和州\（u（v）\）满足分布式控制系统

$$\textstyle\开始{cases}y_{t}（v）+2ku_{x}（v）-\varepsilon y_}xx}（f）+（m-a-b）u（v）u_{x{（v，x）=u_{xx}（v；t，x）=0，\quad（t，x$$

（1.4）

哪里\（y_{0}（x）在L^{2}（Omega）中,\（y（v）=u（v）-u{xx}（v）\）.\（f（t，x）在L^{2}（[0，t]；H^{-1}（\Omega））中是力，\（v\在U_{\mathrm{ad}}\子集U\中）是控件。解决方案\（u（v）\）表示控制问题的状态(1.4).\（B\in\mathcal{L}（U，L^{2}（[0，T]；H^{-1}（\Omega）））是控制器。观察结果是\（z（v）=铜（v）\），其中\（C\in\mathcal{L}（S（0，T），M））是观测操作员M（M）是观测变量的希尔伯特空间。目标\（M\中的z_{d}\）是所需的值\（u（v）\）.\（数学{L}（U，U））是一个自共轭的对称正算子，满足

$$\begin{aligned}（Nv，v）_{U}=（v，Nv）_}$$

让\（U_{\mathrm{ad}}\）是一个可容许控制集，它是U型.成本函数中的第一个术语\（J（v）\）英寸(1.3)测量物理目标，第二项是控制大小。控制对象是匹配所需目标\（z{d}\）通过调整控制v（v）在控制音量中\（[0，T]\次\欧米茄\）.一个元素\（U\中的v_{0}\）达到最低成本功能\（J（v）\）结束\（U_{\mathrm{ad}}\）称为最优控制问题的最优控制(1.3).

首先，我们考虑该问题的局部适定性

$$\textstyle\begin{cases}y_{t}+2ku_{x}-\varepsilon y_{xx}+（m-a-b）u_{x{}\\quad{}+au_{xneneneep y+b_y_{x｝=f，\quad（t，x）\ in[0，t]\times\Omega，\\u（t，x）=u_{x}\partial\Omega，\\y（0，x）=y_{0}（x），\quad x\in\Omega\，\end{cases}$$

(1.5)

在太空中\（S（0，T）\），其中\（y=u-u_｛xx｝\）和\（f（t，x）\）是力函数。其次，我们考虑最优控制问题(1.3).

符号.让\（V=H_{0}^{1}（\Omega），H=L^{2}（\ Omega。我们具有嵌入属性\（V\hookrightarrow H=H^{*}\hook右箭头V^{*{）其中每个嵌入物都很密集。中的内积V（V）是\（（\phi，\varphi）{V}=（\phi_{x}，\valphi_{x}）{H}），对于所有人\（V中的\phi、\varphi）。对于\（a \ lesssim b \），我们的意思是存在一个统一常数C类，在不同的行上可能不同，因此\（a \leq C b）.空间\（W（[0，T]；V）=L^{2}中的f|f\,\（S（0，T）=L^{2}（[0，T]；H_{0}^{3}（\Omega））中的f_{T}和\（W（H_{0}^{2}，L^{2{）=L^{2]（[0，T]；H_{0}^{2}（\Omega））中的f|f\是具有公共内积的希尔伯特空间。由于所有空间中的函数都大于Ω，如果没有歧义，我们就去掉Ω。与收敛情况一样，符号⇀表示弱收敛。

2主要成果

列出了本文中主要结果的精确陈述。

定理2.1

假设 \（f在L^{2}（[0，T]；H^{-1}（\Omega）中），u_{0}在H中^{2}_{0}（\Omega）\）.然后是问题(1.5)承认独特的本地解决方案 \（在S（0，T）中为u）.解决方案映射 \（p=（u{0}，f）\右箭头u（p）\） 从 \（P_{0}=H^{2}_{0}（\欧米茄）\乘以L^{2}（[0，T]；H^{-1}（\Omega））\） 进入之内 \（S（0，T）\） 局部Lipschitz连续.对于每个 \（p{1}=（u{10}，f{1}），p{2}=（u{20}，f{2}）,

$$\开始{aligned}&\bigl\Vertu{1}（p_{1}）-u{2}（p2}）\bigr\Vert_{S（0，T）}\\&\quad\lesssim\Vertu_{10} -u个_{20} \垂直_｛H_｛0｝^｛2｝（\欧米茄）｝+\垂直f_{1} -f_{2} \Vert_{L^{2}（[0，T]；H^{-1}（\Omega））}。\结束{对齐}$$

（2.1）

此外,如果 \（Bw\位于L^{2}（[0，T]；H^{-1}（\Omega））\）,存在最优控制 \（v{0}\） 最优控制问题(1.3).

定理2.2

假设 \（Bw，f\在L^{2}（[0，T]；H^{-1}（\Omega））中，u_{0}\在H中^{2}_{0}（\Omega）\）.对于控制问题(1.4),解决方案映射 \（v\右箭头u（v）\） 从 U型 进入之内 \（S（0，T）\） Gáteaux在 \（v=v{0}\）.让 \（z=Du（v_{0}）w\） 是的G¨teaux方向导数 \（u（v）\） 在 \（v=v{0}\） 在方向上 w个,哪里 \（w=v-v{0}\）.因此 \（z=Du（v_{0}）w\） 是这个问题的唯一解决方案吗

$$<trans\; data-src="\{">\{</trans>\begin{array}{c}{\mathrm{<trans\; data-src="\pounds ">\pounds </trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="t">t吨</trans>}}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="k">k个</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="z">z（z）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}<trans\; data-src="-">负极</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\epsilon ">\epsilon </trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="\pounds ">\pounds </trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}<trans\; data-src="+">+</trans><trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="m">米</trans>}<trans\; data-src="-">负极</trans>\mathrm{<trans\; data-src="a">一</trans>}<trans\; data-src="-">负极</trans>\mathrm{<trans\; data-src="b">b条</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="z">z（z）</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="u">u个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="u">u个</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="z">z（z）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="a">一</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="z">z（z）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}\mathrm{<trans\; data-src="y">年</trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="u">u个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}\mathrm{<trans\; data-src="\pounds ">英镑</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans>\hfill \\ <trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="b">b条</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="z">z（z）</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="y">年</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="u">u个</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="\pounds ">\pounds </trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="=">=</trans>\mathrm{<trans\; data-src="B">B类</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="w">w个</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans><trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="t">t吨</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="\in ">\in </trans><trans\; data-src="[">[</trans>\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="T">T型</trans>}<trans\; data-src="]">]</trans><trans\; data-src="\times ">\times </trans>\mathrm{<trans\; data-src="\Omega ">\Omega </trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\hfill \\ \mathrm{<trans\; data-src="z">z（z）</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="t">t吨</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="=">=</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="z">z（z）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="t">t吨</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="=">=</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="z">z（z）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="t">t吨</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="=">=</trans>\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans><trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="t">t吨</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="\in ">\in </trans><trans\; data-src="[">[</trans>\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="T">T型</trans>}<trans\; data-src="]">]</trans><trans\; data-src="\times ">\times </trans>\mathrm{<trans\; data-src="\partial ">\partial </trans>}\mathrm{<trans\; data-src="\Omega ">\Omega </trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\hfill \\ \mathrm{<trans\; data-src="\pounds ">\pounds </trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="=">=</trans>\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}<trans\; data-src="\in ">\in </trans>\mathrm{<trans\; data-src="\Omega ">\Omega </trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\hfill \end{array}$$

(2.2)

哪里 $\mathrm{<trans\; data-src="y">年</trans>}<trans\; data-src="=">=</trans>\mathrm{<trans\; data-src="u">u个</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="v">v（v）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="u">u个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}<trans\; data-src="(">(</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="v">v（v）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\pounds ">\pounds </trans>}<trans\; data-src="=">=</trans>\mathrm{<trans\; data-src="z">z（z）</trans>}<trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="z">z（z）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}$.

定理2.3

假设 \（Bw，f\在L^{2}（[0，T]；H^{-1}（\Omega））中，u_{0}\在H中^{2}_{0}（\Omega）\）.我们有:

• （i） 最优控制的必要条件 v（v） 最优控制问题(5.7)其特点是(3.17), (5.9)和(5.12);

• （ii） 最优控制的必要条件 v（v） 最优控制问题(5.13)其特点是(3.17), (5.15)和(5.17).

定理2.4

假设 \（Bw，f\在L^{2}（[0，T]；H^{-1}（\Omega））中，u_{0}\在H中^{2}_{0}（\Omega）\）.如果 \（T=T（菜单）） 很小,存在唯一的最优控制 v（v） 最优控制问题(5.13).

本文的其余部分组织如下。定理的证明2.1,2.2,2.3和2.4以章节的形式呈现。 三,4,5和6分别是。本文的结论见第节。 7.

三弱解的存在性和唯一性

我们回顾了弱解的定义和相关引理。

定义3.1

让\（y_{0}（x）\在H\中）.功能\（u（t，x）\在S（0，t）中\）是解决问题的薄弱环节(1.5)如果\（y（t，x）\单位为W（[0，t]；V）\）和\（y（t，x）\）满足

$$开始{对齐}和\frac{d}{dt}（y，\varphi）{（-1,1）}+2k（u{x}，\varfi）{2}+\varepsilon（y{x}，\varphi{x}）{2{+（m-a-b）（uu{x{，\valphi）_{2}\\&\qquad{}+a（u_{x} 年，\varphi）{2}+b（uy_{x}，\varfi）{2}\\&\quad=（f，\varpi）{（-1,1）}，\ quad\text{表示V中的所有}\varphi\，\text{表示[0，t]中的a.e.}。\结束{对齐}$$

(3.1)

引理3.1

([33])

让 u个 满足中的边界条件(1.5)并假设 \（u-u_{xx}\在W（[0，T]；V）中\）.那么我们有 \（\垂直u\Vert_{S（0，T）}\lesssim\垂直u_u_{xx}\垂直_{W（[0，T]；V）}\）.

定理的证明2.1

使用条件\（p=（u_{0}，f）\在p_{0{中\）和Galerkin方法[5,13,32]通过适当的修改，我们推断出这个问题(1.5)拥有独特的本地解决方案\（在S（0，T）中为u）.

我们准备为以下内容提供详细的推导(2.1). 让\（φ=u_{1} -u个_{2} =u（p_{1}）-u（p_2}）\）和\（\Phi=\Phi-\Phi_{xx}\）.那么我们有

$$\开始{aligned}\textstyle\begin{cases}\Phi_{t}+2k\Phi_{x}-\varepsilon\Phi{xx}+（m-a-b）（φu{1，x}+u{2}\Phi{x}）+a（φ_{x} 年_{1} +u{2，x}\Phi）\\四{}+b（\Phi y_{1，x}+u{2}\Phi{x}）=f_{1} -f_{2} ，\quad（t，x）\ in[0，t]\times\Omega，\\phi（t，x）=\phi_{x}（t、x）=\ph_{xx}。\结束{cases}\displaystyle\end{aligned}$$

(3.2)

乘法(3.2)通过Φ和积分x个和t吨在\（[0，T]\次\欧米茄\）产量

$$开始{对齐}和\frac{1}{2}\Vert\Phi\Vert_{L^{2}}^{2{+\varepsilon\int_{0}^{T}\Vert_Phi_{x}\Verd_{L^}}^}\，dt\\&\quad=\frac}{1}{2}^{2}-\int_{0}^{T}（2k\phi_{x}，\phi_{x} 年_{1} +u_{2，x}\Phi，\Phi）\，dt\\&\qquad{}-\int_{0}^{T} b条（φy_{1，x}+u_{2}\phi_{x}，\phi），dt+\int_{0}^{T}（f_{1} -f_{2} ，\Phi）_{（-1,1）}\，日期。\结束{对齐}$$

(3.3)

使用事实\（y_｛1｝，y_｛2｝\在W（[0，T]；V）\中）收益率

$$开始{对齐}和\frac{1}{2}\Vert\Phi\Vert_{L^{2}}^{2{+\varepsilon\int_{0}^{T}\Vert_Phi_{x}\Verd_{L^}}^}\，dt和\quad\leq\frac}{1}{2}\Vert\Phi_{0{0}\Vert_{L^2}}+C\int_}0}^{T}\Vert\Phi\Vert_{L^{2}}^{2{bigl（1+\Verty_{1}\Vert_{H^{1}}\bigr）\，dt\\&\qquad{}+C\Vertf_{1} -f_{2} \垂直^{2}_{L^{2}（[0，T]；V^{\ast}）}+\frac{\varepsilon}{2}\Vert\Phi_{x}\Vert_{L^}2}^{2neneneep。\结束{对齐}$$

(3.4)

应用Gronwall不等式，我们得到

$$开始{对齐}\Vert\Phi\Vert_{L^{2}}^{2{+\int_{0}^{T}\Vert_Phi_{x}\Verd_{L^}2}^{2}\，dt\lesssim\Vert\Phi_{0{0}\Vert_{L^_2}}^}2{+\ Vert f_{1} -f_{2} \垂直^{2}_{L^{2}（[0，T]；V^{\ast}）}。\结束{对齐}$$

(3.5)

使用中的第一个方程式(3.2)引起

$$开始{aligned}\Vert\Phi_{t}\Vert_{H^{-1}}\lesssim\Vert\Phi_{x}\Verd_{L^{2}}+C\Verty_{1，x}\Vert_{L^}2}}\Vert\Phi\Vert_[L^{2]}+C\ Vertf_{1} -f_{2} \垂直_｛V ^｛\ast｝｝。\结束{对齐}$$

(3.6)

考虑到(3.5)和(3.6)，我们有

$$\开始{对齐}\Vert\Phi_{t}\Vert_{L^{2}（[0，t]；H^{-1}）}^{2{\lesssim\Vert\Pi_{0}\Vert_{L^}}^{2]+\Vertf_{1} -f_{2} \垂直^{2}_{L^{2}（[0，T]；V^{\ast}）}。\结束{对齐}$$

(3.7)

由此可见

$$\开始{aligned}\Vert\Phi\Vert_{W（[0，T]；V）}\lesssim\Vert_Phi_{0}\Vert_{L^{2}}+\Vertf_{1} -f_{2} \Vert_{L^{2}（[0，T]；V^{\ast}）}。\结束{对齐}$$

(3.8)

应用引理3.1收益率

$$\开始{aligned}\Vert\phi\Vert_{S（0，T）}\lesssim\Vert u_{10} -u个_{20} \垂直_｛H_｛0｝^｛2｝｝+\垂直f_{1} -f_{2} \Vert_{L^{2}（[0，T]；V^{\ast}）}。\结束{对齐}$$

(3.9)

我们证明了最优控制的存在性\（v{0}\）最优控制问题(1.3).

让\（在U_{mathrm{ad}}J（v）中J=\inf_{v\）.我们牢记\（U_{\mathrm{ad}}\）不为空。然后存在一个序列\（{v_{n}\}\子集U）这样的话

$$\begin｛aligned｝\inf_｛v\in U_｛\mathrm｛ad｝｝｝J（v）=\lim_｛n\rightarrow\infty｝J（v_｛n｝）=J.\end｛aligned｝$$

(3.10)

因此\（{J（v_{n}）有界。我们推断存在一个常数\（K_{0}>0\）这样的话

$$\开始{对齐}\nu\Vert v_{n}\Vert _{U}^{2}\leq（Nv_{n}，v_{n}）_{U}\leqJ（v_{n-}）\leq K_{0}，\end{aligned}$$

（3.11）

由此得出\（{v_{n}\}\）以为界U型。应用的属性\（U_{\mathrm{ad}}\）是闭的和凸的，我们选择一个子序列\（{v_{n}\}\），仍表示为\（{v_{n}\}\），因此\（v{n}\rightharpoonup v{0}\）在里面U型作为\（n\right arrow\infty\）.

让国家\（u_{n}=u（v_{n{）在S（0，T）中与控制相对应\（v{n}\）解决问题

$$\textstyle\begin{cases}y_{n，t}+2ku_{n，x}-\varepsilon y{n，xx}+（m-a-b）u_{n} u个_{n，x}+au{n，x}y{n}+bu_{n} 年_{n，x}\\quad=f+Bv_{n}，\quad（t，x）在[0，t]\times\Omega中，\\u_{nneneneep（t，x）=u_{n，x}（t，x}）=u_{n，xx}（t，x）=0，\ quad（t,x）在[0，t]\ times\partial\Omega，\\y_{n{（0，x）=y_{n}$$

(3.12)

哪里\（y{n}=u_{n} -u个_{n，xx}\）.使用(3.12)，我们获得

$$开始{对齐}\Vert Bv_{n}\Vert_{L^{2}（[0，T]；V^{ast}）}和\leq\Vert B \Vert_{mathcal{L}；V^{\ast}）}\sqrt{K_{0}\nu^{-1}}。\结束{对齐}$$

(3.13)

铭记在心(3.8)导致不平等

$$开始{对齐}\Verty_{n}\Vert_{W（[0，T]；V）}\lesssim\Vertu_{0}\Vert\{H^{2}}+\Vertf\Vert_L^{2{（[0、T]；V^{ast}）}+K_{1}。\结束{对齐}$$

(3.14)

应用引理3.1收益率

$$\begin｛aligned｝\Vert u_｛n｝\Vert _｛S（0，T）｝\lesssim\Vert u_｛0｝\Vert _｛H^｛2｝｝｝+\Vert f\Vert _｛L^｛2｝（[0，T]；V^｛\ast｝）｝+K_｛1｝。\结束{对齐}$$

(3.15)

存在以下子序列\（{y_{n}\}\），表示为\（{y{n{k}}）、和函数\（y=u-u_{xx}\在W（[0，T]；V）中\）这样的话\（y{n{k}}\rightharpoonup y\）在里面\（W（[0，T]；V）\）.利用以下事实\（H）^{1}_{0}\hookrightarrow L^{2}\）是紧的，我们推断存在\（{y_{n}\}\），表示为\（{y{n{k}}），因此\（y_{n_{k}}\右箭头y\）在里面\（L^｛2｝（[0，T]；L^｛2｝）\）.自嵌入以来\（W（[0，T]；V）\hookrightarrow C（[0、T]；L^{2}）\）是紧凑的，我们推断\（u_{n}\在C（[0，T]；H_{0}^{2}）中。则存在以下子序列\（{u{n}），表示为\（{u{n{k}}），因此\（u{n{k}}\右箭头u\）在里面\（H_{0}^{2}\），用于a.e。\（在[0，t]\中）.因此

$$\开始{aligned}\开始{arigned}&u{n{k}，x}y{n{k}}\右箭头u_{x} 年，\quad\text{in}L^{2}\bigl（[0，T]；L^{2]\bigr），\\&u_{n_{k}}y_{n_0{k}，x}\rightharpoonup-uy_{x}，\qua2\text}in}L ^{2{\bigl-（[0、T]；L ^{2]_{x} u个，\quad\text{in}L^{2}\bigl（[0，T]；L^{2]\bigr），\end{aligned}\end$$

(3.16)

作为\（k\rightarrow\infty\）.我们更换\（u_｛n｝，y_｛n｝\）通过\（u{n{k}}，y{n{k}}）英寸(3.12)分别是。拿\（k\rightarrow\infty\）表明极限函数年满足

$$\textstyle\begin{cases}y{t}+2ku_{x}-\varepsilon y_{xx}+（m-a-b）uu_{x}+au_{xneneneep y+buy_{x{=f+Bv_{0}，\\quad（t，x）在[0，t]\times\Omega中，\\u（t，x）=u_{x}四边形x\ in \ Omega，\ end{cases}$$

(3.17)

在弱解意义上。

来自定理2.1，我们得到了问题弱解的唯一性(3.17). 然后我们推断\（u=u（v_{0}）\在S（0，T）\中）和\（u（v{n}）\rightharpoonup u（v_{0}）\）在里面\（S（0，T）\）.操作员C类持续打开\（S（0，T）\）和\（\Vert\cdot\Vert_{M}\）是下半连续的。因此

$$\begin{aligned}\bigl\Vert-Cu（v_{0}）-z_{d}\bigr\Vert_{M}\leq\lim\inf_{n\rightarrow\infty}\bigle\Vert-Co。\结束{对齐}$$

(3.18)

它从\（\lim\inf_{n\rightarrow\infty}\VertN^{\frac{1}{2}}v_{n}\Vert_{U}\geq\VertN2^{\frac{1{2}{v_{0}\Vert-{U}\）那个\（\lim\inf_{n\rightarrow\infty}（Nv_{n}，v_{n}）_{U}\geq（Nv_0}，v_{0}）_{U}）.然后\（J=\lim\inf_{n\rightarrow\infty}J（v_{n}）\geqJ（v_{0}）\）同时，来自(3.10)，我们推导\（J（v_{0}）.因此\（J（v_{0}）=U_{mathrm{ad}}J（v）中的inf_{v\）.这就完成了定理的证明2.1. □

4定理的证明2.2

来自定理2.1，我们定义唯一的解决方案映射\（v\右箭头u（v）\）从U型进入之内\（S（0，T）\）.让\（DJ（v_{0}）\）是的Gáteaux导数\（J（v）\）定义于(1.3)在\（v=v{0}\）.我们打算研究最优控制的必要最优条件

$$\begin{aligned}DJ（v_{0}）（v-v_{0}）\geq0，\quad\text{代表U_{\mathrm{ad}中的所有}v\。\结束{对齐}$$

(4.1)

我们使用伴随方程(5.2)第页，共页(1.4)给出的详细表达式(4.1).

给出了解映射的G-teaux可微性的定义。

定义4.1

([33])

对于控制问题(1.4)、解决方案图\（v\右箭头u（v）\）从U型进入之内\（S（0，T）\）Gáteaux在\（v=v{0}\）如果是所有人\（U中为w\），存在\（Du（v_{0}）\in\mathcal{L}（U，S（0，T））\）这样的话

$$\开始{aligned}\biggl\Vert\frac{u（v_{0}+\lambda w）-u（v_a{0}）}{\lambda}-Du（v_A{0}）w\biggr\Vert_{S（0，T）}\rightarrow0\quad\text{as}\lambda\rightarrow0。\结束{对齐}$$

(4.2)

操作员\（杜氏（v_{0}）\）是的G–teaux导数\（u（v）\）在\（v=v_｛0｝\）和功能\S（0，T）中的（Du（v_{0}）是的G¨teaux方向导数\（u（v）\）在\（v=v{0}\）在方向上\（U中为w\）.

定理的证明2.2

让\（λ\in（-1,0）\cup（0,1），w=v-v{0}）和\（z{\lambda}=\frac{u（v{0}+\lambda w）-u（v}0}）}{\lampda}\）.使用(1.4)和(3.17)，我们推断\（z{\lambda}\）满足

$$<trans\; data-src="\{">\{</trans>\begin{array}{c}{\mathrm{<trans\; data-src="\pounds ">\pounds </trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="\lambda ">\lambda </trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="t">t吨</trans>}}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="k">k个</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="z">z（z）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="\lambda ">\lambda </trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}<trans\; data-src="-">负极</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\epsilon ">\epsilon </trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="\pounds ">\pounds </trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="\lambda ">\lambda </trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}<trans\; data-src="+">+</trans><trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="m">米</trans>}<trans\; data-src="-">负极</trans>\mathrm{<trans\; data-src="a">一</trans>}<trans\; data-src="-">负极</trans>\mathrm{<trans\; data-src="b">b条</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="(">(</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="z">z（z）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="\lambda ">\lambda </trans>}}{\mathrm{<trans\; data-src="u">u个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="\lambda ">\lambda </trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="u">u个</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="z">z（z）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="\lambda ">\lambda </trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans>\hfill \\ <trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="a">一</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="z">z（z）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="\lambda ">\lambda </trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}{\mathrm{<trans\; data-src="y">年</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="\lambda ">\lambda </trans>}}<trans\; data-src="+">+</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="u">u个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}{\mathrm{<trans\; data-src="\pounds ">\pounds </trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="\lambda ">\lambda </trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="b">b条</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="z">z（z）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="\lambda ">\lambda </trans>}}{\mathrm{<trans\; data-src="y">年</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="\lambda ">\lambda </trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="u">u个</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="\pounds ">\pounds </trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="\lambda ">\lambda </trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="=">=</trans>\mathrm{<trans\; data-src="B">B类</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="w">w个</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans><trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="t">t吨</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="\in ">\in </trans><trans\; data-src="[">[</trans>\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="T">T型</trans>}<trans\; data-src="]">]</trans><trans\; data-src="\times ">\times </trans>\mathrm{<trans\; data-src="\Omega ">\Omega </trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\hfill \\ {\mathrm{<trans\; data-src="z">z（z）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="\lambda ">\lambda </trans>}}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="t">t吨</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="=">=</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="z">z（z）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="\lambda ">\lambda </trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="t">t吨</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="=">=</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="z">z（z）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="\lambda ">\lambda </trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="t">t吨</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="=">=</trans>\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans><trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="t">t吨</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="\in ">\in </trans><trans\; data-src="[">[</trans>\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="T">T型</trans>}<trans\; data-src="]">]</trans><trans\; data-src="\times ">\times </trans>\mathrm{<trans\; data-src="\partial ">\partial </trans>}\mathrm{<trans\; data-src="\Omega ">\Omega </trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\hfill \\ {\mathrm{<trans\; data-src="\pounds ">\pounds </trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="\lambda ">\lambda </trans>}}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="=">=</trans>\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}<trans\; data-src="\in ">\in </trans>\mathrm{<trans\; data-src="\Omega ">\Omega </trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\hfill \end{array}$$

(4.3)

哪里\（u{\lambda}=u（v{0}+\lambda w）\）,\（y_{\lambda}=u_{\lambda}-u_{\ lambda，xx}\）和${\mathrm{<trans\; data-src="\pounds ">\pounds </trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="\lambda ">\lambda </trans>}}<trans\; data-src="=">=</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="z">z（z）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="\lambda ">\lambda </trans>}}<trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="z">z（z）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="\lambda ">\lambda </trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}$.

来自定理2.1，我们有

$$\begin{aligned}\bigl\Vert u（v_{0}+\lambda w）-u（v_{0}）\bigr\Vert _{S（0，T）}\leq C_{1}\Vert\lambda\Vert\Vert B w\Vert _{L^{2}（[0，T]；v^{ast}）}。\结束{对齐}$$

(4.4)

因此

$$\开始{aligned}\Vertz_{lambda}\Vert_{S（0，T）}\lesssim\VertBw\Vert_{L^{2}（[0，T]；V^{ast}）}<\infty。\结束{对齐}$$

(4.5)

我们推断存在\（z在S（0，T）中）和一个序列\（\｛\lambda_｛k｝\｝\子集（-1，1）\右箭头0\）这样的话\（z{\lambda{k}}\rightharpoonup z\）在里面\（S（0，T）\）作为\（k\rightarrow\infty\）.使用Aubin紧引理会产生\（z{\lambda{k}}\rightarrowz\）在里面\（H_{0}^{2}\），用于a.e。\（在[0，t]\中）.从Lebesgue支配收敛定理，我们得到

$$\begin{array}{rl}& {\mathrm{<trans\; data-src="z">z（z）</trans>}}_{{\mathrm{<trans\; data-src="\lambda ">\lambda </trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="k">k个</trans>}}}{\mathrm{<trans\; data-src="u">u个</trans>}}_{{\mathrm{<trans\; data-src="\lambda ">\lambda </trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="k">k个</trans>}}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}<trans\; data-src="\to ">\to </trans>\mathrm{<trans\; data-src="z">z（z）</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="u">u个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}<trans\; data-src=",">,</trans>\text{<trans data-src="in ">英寸</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="L">L（左）</trans>}}^{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}<trans\; data-src="(">(</trans><trans\; data-src="[">[</trans>\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="T">T型</trans>}<trans\; data-src="]">]</trans><trans\; data-src=";">;</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="L">L（左）</trans>}}^{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src=",">,</trans>\\ & {\mathrm{<trans\; data-src="z">z（z）</trans>}}_{{\mathrm{<trans\; data-src="\lambda ">\lambda </trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="k">k个</trans>}}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}{\mathrm{<trans\; data-src="y">年</trans>}}_{{\mathrm{<trans\; data-src="\lambda ">\lambda </trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="k">k个</trans>}}}<trans\; data-src="\to ">\to </trans>{\mathrm{<trans\; data-src="z">z（z）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}\mathrm{<trans\; data-src="y">年</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\text{<trans data-src="in ">英寸</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="L">L（左）</trans>}}^{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}<trans\; data-src="(">(</trans><trans\; data-src="[">[</trans>\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="T">T型</trans>}<trans\; data-src="]">]</trans><trans\; data-src=";">;</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="L">L（左）</trans>}}^{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src=",">,</trans>\\ & {\mathrm{<trans\; data-src="z">z（z）</trans>}}_{{\mathrm{<trans\; data-src="\lambda ">\lambda </trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="k">k个</trans>}}}{\mathrm{<trans\; data-src="y">年</trans>}}_{{\mathrm{<trans\; data-src="\lambda ">\lambda </trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="k">k个</trans>}}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}<trans\; data-src="\to ">\to </trans>\mathrm{<trans\; data-src="z">z（z）</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="y">年</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}<trans\; data-src=",">,</trans>\text{<trans data-src="in ">英寸</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="L">L（左）</trans>}}^{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}<trans\; data-src="(">(</trans><trans\; data-src="[">[</trans>\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="T">T型</trans>}<trans\; data-src="]">]</trans><trans\; data-src=";">;</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="L">L（左）</trans>}}^{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src=",">,</trans>\\ & {\mathrm{<trans\; data-src="\pounds ">\pounds </trans>}}_{{\mathrm{<trans\; data-src="\lambda ">\lambda </trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="k">k个</trans>}}}<trans\; data-src="\rightharpoonup ">\rightharpoonup </trans>\mathrm{<trans\; data-src="\pounds ">\pounds </trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\text{<trans data-src="in ">英寸</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="L">L（左）</trans>}}^{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}<trans\; data-src="(">(</trans><trans\; data-src="[">[</trans>\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="T">T型</trans>}<trans\; data-src="]">]</trans><trans\; data-src=";">;</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="H">小时</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}}^{\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src=",">,</trans>\end{array}$$

(4.6)

作为\（k\rightarrow\infty\），其中\（y=u（v_{0}）-u_{xx}（v_{0}）\）,$\mathrm{<trans\; data-src="\pounds ">\pounds </trans>}<trans\; data-src="=">=</trans>\mathrm{<trans\; data-src="z">z（z）</trans>}<trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="z">z（z）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}$.

因此${\mathrm{<trans\; data-src="\pounds ">\pounds </trans>}}_{{\mathrm{<trans\; data-src="\lambda ">\lambda </trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="k">k个</trans>}}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="t">t吨</trans>}}<trans\; data-src="\rightharpoonup ">\rightharpoonup </trans>{\mathrm{<trans\; data-src="\pounds ">\pounds </trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="t">t吨</trans>}}$在里面\（L^{2}（[0，T]；H^{-1}）\）.然后\（z_{\lambda}\rightharpoonup z=Du（v_{0}）w\）在里面\（S（0，T）\）作为\（\lambda\rightarrow0\），其中z（z）是解决问题的方法(2.2).

在接下来的内容中，我们给出了以下推导\（z_｛\lambda｝\rightarrow z=Du（v_｛0｝）w\）在里面\（S（0，T）\）作为\（\lambda\rightarrow0\）.

让\（\phi_{\lambda}=z_{\lambda}-z\）和\（\Phi_{\lambda}=\Phi_{\lambda}-\Phi_}\lambda，xx}\）.来自(2.2)和(4.3)，我们推导

$$\textstyle\begin{cases}\Phi_{\lambda，t}+2k\Phi_{\lambda，x}-\varepsilon\Phi_{\lambeda，xx}+（m-a-b）u\Phi_}\lambda，x}+a u_{x}\Phi{\lampda}+b u\Phi{\lamma，x}=\theta（\lambda]），\\quad（t，x）\in[0，t]\times\Omega，\\Phi_{\ lambda}（t，x）=\Phi_{\lambda，x}，\四边形x\ in \ Omega，\ end{cases}$$

(4.7)

哪里\（θ（λ）=-[（m-a-b）（z{lambda}u{lambda，x}-zu{x}）+a（z{lambda，x}y{lambda}-z_{x} 年)+b（z_｛\lambda｝y_｛\lambda，x｝-zy_｛x｝）]\）.

铭记在心(4.6)说明了这一点\（\theta（\lambda）\rightarrow0\）在里面\（L^{2}（[0，T]；L^{2]）\）作为\（\lambda\rightarrow0\）.

我们需要为\（\phi_{\lambda}\）.乘法(4.7)由\（\Phi_{\lambda}\）使用分部积分，我们得到

$$\开始{aligned}\Vert\Phi_{\lambda}\Vert_{L^{2}}^{2{+\int_{0}^{T}\Verd\Phi_}\lambda，x}\Vert_{L^}}^}\，dt\leq C_2}\bigl\Vert\theta（\lambda）\bigr\Vert_L^{2]（[0，T]；L^{2}）}^{2。\结束{对齐}$$

(4.8)

那么我们有

$$\begin{aligned}\Phi_{\lambda}\rightarrow0\quad\text{in}C\bigl（[0，T]；L^{2}\bigr）\cap L^{2]\bigl（[0、T]；H^{1}\biger）\quad\\text{as}\lambda \rightarrow0。\结束{对齐}$$

(4.9)

使用(4.7)和(4.9)引起

$$\开始{aligned}\Phi_{lambda，t}\rightarrow0\quad\text{in}L^{2}\bigl（[0，t]；H^{-1}\bigr）\text{as}\lambda\right箭头0。\结束{对齐}$$

(4.10)

因此，我们获得\（\Phi_{\lambda}\rightarrow0\）在里面\（W（[0，T]；V）\）.应用引理3.1收益率\（z_{\lambda}\rightarrow z\）在里面\（S（0，T）\）.我们完成了定理的证明2.2. □

5最优控制的必要性最优条件

我们可以对最优控制问题提出最优控制的必要最优条件(1.3).

定理2.2意味着成本功能\（J（v）\）Gáteaux在\（v=v{0}\）在这个方向\（v-v{0}\）.使用

$$\begin{aligned}DJ（v_{0}）w=\lim_{k\rightarrow0}\frac{J（v_{0}+kw）-J（v_0}）}{k}\end{alinged}$$

和\（J（v{0}）=（Cu（v{0}）-z{d}，Cu，我们有

$$\begin{aligned}和DJ（v_{0}）w\\&\quad=\lim_{k\rightarrow0}\frac{1}{k}\bigl[\bigl（\bigl（Cu（v_0}+kw）-z_{d}，Cu（v_{0{+kw{U}\bigr）\\&\qquad{}-\bigl（\bigle（Cu（v_{0}）-z_{d}，Cu（v _{0}）-z_{d}\biger）_{M}+（Nv _{0}，v _{0}\bigl[\bigl（Cu（v_{0}+kw）-Cu（v_0}），Cu}+\lim_{k\rightarrow0}\frac{1}{k}\bigl[\bigl（Cu（v_{0}），Cu（v_{0{+kw）-Cu（v_}）\bigr，N（v_0}+kw）-Nv_0}\bigr）_{U}\biger]\\&\quad=2\bigl[\bigl（Cu（v_0{0}）-z_{d}，C\bigl（Du（v_{0}）（v-v_0}）\ bigr。\结束{对齐}$$

设∧是同构映射M（M）到上面\（M^{\ast}\）.应用(4.1)，我们将最优控制的必要性最优条件重写为

$$\begin{aligned}\bigl（C^{*}\Lambda\ bigl$$

(5.1)

为所有人\（v\在U_{\mathrm{ad}}\中）.

与中的方法类似[20]，我们通过伴随方程导出了必要的最优条件，

$$\textstyle\开始{cases}{-}P_{t} -2公里_{x}-\varepsilon P_{xx}+（m-a-b）[pu_{x}-（up）_{x{]\\quad{}+a[-（py）_{x}+（1-\partial_{xneneneep ^{2}）（u_x}P）]\\quad{}+b[P y_{x｝-（1-\pattial_x}^{2{）（u P）_{x}]=f_{3}，\ quad（t，x）\in[0，t]\times\Omega，\\P（v_{0}；t，x）=P_{x}（v_}0}，t，x$$

(5.2)

哪里\（P=P（v{0}；t，x）-P_{xx}（v{0}；t，x）\）,\（f_{3}=C^{*}\Lambda（Cu（v_{0}）-z_{d}）.

当地解决问题的能力(5.2)由以下引理给出。

引理5.1

假设 \（C^{*}\Lambda（Cu（v_{0}）-z_{d}）在L^{2}（[0，T]；H^{-2}（\Omega））中 反转时间的方向 \（向右箭头t-t\） 在里面(5.2).问题(5.2)承认一个独特的解决方案 \（p（v{0}）\） 令人满意的

$$\开始{aligned}&（1）\四p（v_{0}）\在W\bigl（H_{0{2}，L^{2}\bigr）中；\\&（2） \quad\bigl（p_{t}（t）-\varepsilon p{xx}+（a-b）u_{2，x}p-bu_{2} 第页_{x} ，\Phi\bigr）\\&\幻影{（2）\quad}\qquad{}+\bigl_{2} 第页+ap y_{1}，\phi_{x}\bigr）\\&\幻影{（2）\quad}\quad{}=\ bigl（C^{*}\Lambda\bigl&（3） \四个P（0，x）=0，\结束{对齐}$$

哪里 \（P=P（v{0}）-P_{xx}（v{0}）\）.

引理的证明5.1

让\（p（v_{0}）=p\）.通过倒转时间\（向右箭头t-t\），我们改变问题(5.2)到

$$\开始{aligned}\textstyle\begin{cases}P_{t} -2公里_{x}-\varepsilon P_{xx}+（m-a-b）[pu_{x}-（up）_{x{]\\quad{}+a[-（py）_{x}+（1-\partial_{xneneneep ^{2}）（u_x}P）]\\quad{}+b[P y_{x｝-（1-\pattial_x}^{2{）（u P）_{x}]=f_{3}，\ quad（t，x）\in[0，t]\times\Omega，\\P（t，x）=P_{x}（t，x=P_{xx}（t,x）=0，\quad（t，x）\in[0，t]\timests\partial\Omega\，\\P（0，x）=0。\结束{cases}\displaystyle\end{aligned}$$

（5.3）

我们使用Galerkin方法，如[13,32]建立当地的问题解决能力(5.3). 我们给出了主要的推导。

乘法(5.3)由第页和按部件集成产量

$$\开始{对齐}和\垂直p\Vert_{L^{2}}^{2{+\Vert-p_{x}\垂直{L^}}^{2neneneep+\int_{0}^{T}\bigl L（1+\Verty_{x}\Vert_{L^{2}}\bigr）\bigl（\Vertp\Vert_2}}^{2{+\Vert p_{x{\Vert_3{2}{2}^}\bigr）+\Vert_f_3}\Vert_{H^{-2}}^2}。\结束{对齐}$$

(5.4)

因此，近似解序列\（{p_{n}\}\）一致有界于\（L^{2}（[0，T]；H_{0}^{2{）\）.使用运算符的属性\（（1-\部分_{x}^{2}）^{-1}\）, (5.3)和(5.4)，我们推断\（{p_{n，t}\}\）在中有界\（L^{2}（[0，T]；L^{2]）\）.因此\（{p_{n}\}\）以为界\（W（H_{0}^{2}；L^{2{）\）.应用Aubin紧引理，我们推导出存在极限函数\（在W（H_{0}^{2}；L^{2{）中为p\），这是解决问题的唯一方法(5.3). 这就完成了引理的证明5.1. □

为了简单起见，我们考虑以下两种情况下的观察结果。

（1） 让\（M=L^{2}（[0，T]\times\Omega），C_{3}\in\mathcal{L}（S（0，T），M）\）和观察

$$\开始{aligned}z（v）=C_{3} u个（v） =u（v）\在L^{2}\bigl（[0，T]；L^{2]\bigr）中。\结束{对齐}$$

(5.5)

（2） 假设\（M=L^{2}（[0，T]\times\Omega），C_{4}\in\mathcal{L}（S（0，T），M）\）和观察

$$\开始{aligned}z（v）=C_{4} u个（v） =\bigl（1-\partial_｛x｝^｛2｝\bigr）u（v）=y（v）\在L^｛2｝\bigl（[0，T]；L^｛2｝\bigr）中。\结束{对齐}$$

（5.6）

定理的证明2.3

对于在(5.5)，我们考虑最优控制问题

$$\开始{aligned}\min J（v）=\int_{0}^{T}\bigl\Vertu（v）-z_{d}\bigr\Vert^{2}_{L^{2}}\，dt+（Nv，v）_{U}，在U_{mathrm{ad}}中为所有}v，结束{aligned}$$

(5.7)

哪里\（u（v）\）状态是(1.4).

让\（v{0}\）是最优控制问题的最优控制(5.7). 然后是必要的最优条件(5.1)被重写为形式

$$\begin{aligned}\int_{0}^{T}\bigl（u（v_{0{）-z_{d}，z\bigr）_{2}\，dt+（Nv_{0}，v-v_{0:}）{u}\geq0，\quad\text{for-all}v\ in u_{\mathrm{ad}}。\结束{对齐}$$

(5.8)

我们考虑伴随系统

$$\textstyle\开始{cases}{-}P_{t} -2千帕_{x}-\varepsilon P_{xx}+（m-a-b）[pu_{x}-（up）_{x{]\\quad{}+a[-（py）_{x}+（1-\partial_x}^{2}）t，x）在[0，t]\times\Omega中，\\P（t，x$$

(5.9)

哪里\（P=P（v{0}）-P{xx}.

注意观察结果\L^{2}（[0，T]\times\Omega）中的（u（v_{0}）-z_{d}.使用引理5.1显示了这个问题(5.9)承认独特的解决方案\W（H_{0}^{2}，L^{2{）中的（p（v_{0{））.

乘法(5.9)由\（z（t，x）\）和集成\（[0，T]\次\欧米茄\），我们有

$$\开始{aligned}&\int_{0}^{T}\bigl（-P_{t} -2公里_{x}-\varepsilon P_{xx}+（m-a-b）\bigl[P u_{x}-（u P）_{x{\bigr]\\&\qquad{}+a\bigl[-\bigr]，z\bigr）\，dt\\&\quad=\int_{0}^{T}\bigl（u（v_{0{）-z_{d}，z\bigr）。\结束{对齐}$$

(5.10)

正在应用(2.2)和(5.10)收益率

$$\begin{array}{rl}& {<trans\; data-src="\int ">\int </trans>}_{\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}}^{\mathrm{<trans\; data-src="T">T型</trans>}}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="u">u个</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="v">v（v）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="z">z（z）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="d">d日</trans>}}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="z">z（z）</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans>\mathrm{<trans\; data-src="d">d日</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="t">t吨</trans>}\\ & <trans\; data-src="=">=</trans>{<trans\; data-src="\int ">\int </trans>}_{\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}}^{\mathrm{<trans\; data-src="T">T型</trans>}}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="p">第页</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="v">v（v）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src=",">,</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="\pounds ">\pounds </trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="t">t吨</trans>}}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="k">k个</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="z">z（z）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}<trans\; data-src="-">负极</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\epsilon ">\epsilon </trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="\pounds ">\pounds </trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}<trans\; data-src="+">+</trans><trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="m">米</trans>}<trans\; data-src="-">负极</trans>\mathrm{<trans\; data-src="a">一</trans>}<trans\; data-src="-">负极</trans>\mathrm{<trans\; data-src="b">b条</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="(">(</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="u">u个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}\mathrm{<trans\; data-src="z">z（z）</trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="u">u个</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="z">z（z）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans>\\ & <trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="a">一</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="y">年</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="z">z（z）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}<trans\; data-src="+">+</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="u">u个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}\mathrm{<trans\; data-src="\pounds ">\pounds </trans>}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="b">b条</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="y">年</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}\mathrm{<trans\; data-src="z">z（z）</trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="u">u个</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="\pounds ">\pounds </trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src=")">)</trans>\mathrm{<trans\; data-src="d">d日</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="t">t吨</trans>}\\ & <trans\; data-src="=">=</trans>{<trans\; data-src="\int ">\int </trans>}_{\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}}^{\mathrm{<trans\; data-src="T">T型</trans>}}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="p">第页</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="v">v（v）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="B">B类</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="v">v（v）</trans>}<trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="v">v（v）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src=")">)</trans>\mathrm{<trans\; data-src="d">d日</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="t">t吨</trans>}<trans\; data-src=".">.</trans>\end{array}$$

（5.11）

发件人(5.10)和(5.11)，我们看到了(5.8)等于

$$\boot｛aligned｝\int_｛0｝^｛T｝\bigl（p（v_{0｝），B（v-v_{0｝）\bigr）_{2｝\，d T+（Nv_{0｝，v-v_{0｝）_{U｝\geq0，\quad\text｛for all｝v\在U_｛\mathrm｛ad｝｝｝中。\结束{对齐}$$

(5.12)

我们完成了定理中情形（i）的证明2.3.

对于中的观察(5.6)，我们考虑最优控制问题

$$\开始{对齐}\min J（v）=\int_{0}^{T}\bigl\Verty（v）-z_{d}\bigr\Vert^{2}_{L^{2}}\，dt+（Nv，v）_{U}，在U_{mathrm{ad}}中为所有}v，结束{aligned}$$

(5.13)

哪里\（y（v）=u（v）-u{xx}（v）\）,\（u（v）\）状态是(1.4).

类似于(5.8)，必要的最佳条件(5.1)被重写为

$${<trans\; data-src="\int ">\int </trans>}_{\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}}^{\mathrm{<trans\; data-src="T">T型</trans>}}{<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="y">年</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="v">v（v）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="y">年</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="d">d日</trans>}}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\pounds ">英镑</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans>}_{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}\mathrm{<trans\; data-src="d">d日</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="t">t吨</trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>{<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="N">N个</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="v">v（v）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="v">v（v）</trans>}<trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="v">v（v）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans>}_{\mathrm{<trans\; data-src="U">U型</trans>}}<trans\; data-src="\ge ">\ge </trans>\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\text{<trans data-src="for all ">为所有人</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="v">v（v）</trans>}<trans\; data-src="\in ">\in </trans>{\mathrm{<trans\; data-src="U">U型</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="ad">广告</trans>}}<trans\; data-src=".">.</trans>$$

(5.14)

我们考虑伴随系统

$$\textstyle\开始{cases}{-}P_{t} -2公里_{x}-\varepsilon P_{xx}+（m-a-b）[pu_{x}-（up）{x}]\\qquad{}+a[-（py）{x}+（1-\partial_x}^{2}）（u_x}P）]+b[P y_x}-{0}）-z_{d}），\四元（t，x）\在[0，t]\times\Omega中，\\P（v_{0}；t，x，\quad x \in\Omega，\end{cases}$$

(5.15)

哪里\（P=P（v{0}）-P{xx}.

铭记在心\（（1-\partial_{x}^{2}）（y（v_{0}）-z_{d}）在L^{2{（[0，T]；H^{-2}）中，我们从引理推导5.1那个问题(5.15)承认独特的解决方案\W（H_{0}^{2}，L^{2{）中的（p（v_{0{））.

乘法(5.15)由\（z（t，x）\）通过分部积分，我们得到

$$\开始{aligned}&\int_{0}^{T}\bigl（-P_{t} -2千帕_{x}-\varepsilon P_{xx}+（m-a-b）\bigl[P u_{x}-（u P）_{x{\bigr]\\&\qquad{}+a\bigl[-\bigr]，z\bigr）\，dt\\&\quad=\int_{0}^{T}\bigl。\结束{对齐}$$

(5.16)

因此，必要性最优条件(5.14)等于

$$\begin{aligned}\int_{0}^{T}\bigl（p（v_{0{），B（v-v_{0}）\bigr）_{2}\，d T+（Nv_{0}，v-v_}0}）{U}\geq0，\quad\text代表U_{mathrm{ad}}中的所有}v\。\结束{对齐}$$

(5.17)

我们完成了定理中情形（ii）的证明2.3. □

6最优控制的局部唯一性

首先，我们给出了最优控制问题的最优控制局部唯一性的引理(5.13).

引理6.1

对于控制问题(1.4),映射 \（v\右箭头u（v）\） 从 U型 进入之内 \（S（0，T）\） 二阶Gáteaux在 \（v=v{0}\）.的二阶G¨teaux方向导数 \（u（v）\） 在 \（v=v{0}\） 在这个方向 \（v-v_{0}\在U中\）,说 \（g=D^{2} u个（v{0}）（v-v{0{，v-v{0}）\） 是解决问题的唯一方法

$$<trans\; data-src="\{">\{</trans>\begin{array}{c}{\mathrm{<trans\; data-src="G">G公司</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="t">t吨</trans>}}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="k">k个</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="g">克</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}<trans\; data-src="-">负极</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\epsilon ">\epsilon </trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="G">G公司</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}<trans\; data-src="+">+</trans><trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="m">米</trans>}<trans\; data-src="-">负极</trans>\mathrm{<trans\; data-src="a">一</trans>}<trans\; data-src="-">负极</trans>\mathrm{<trans\; data-src="b">b条</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="g">克</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="u">u个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="z">z（z）</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="z">z（z）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="u">u个</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="g">克</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans>\hfill \\ <trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="a">一</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="g">克</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}\mathrm{<trans\; data-src="y">年</trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="z">z（z）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}\mathrm{<trans\; data-src="\pounds ">\pounds </trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="u">u个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}\mathrm{<trans\; data-src="G">G公司</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans>\hfill \\ <trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="b">b条</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="g">克</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="y">年</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="z">z（z）</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="\pounds ">\pounds </trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="u">u个</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="G">G公司</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="=">=</trans>\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans><trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="t">t吨</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="\in ">\in </trans><trans\; data-src="[">[</trans>\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="T">T型</trans>}<trans\; data-src="]">]</trans><trans\; data-src="\times ">\times </trans>\mathrm{<trans\; data-src="\Omega ">\Omega </trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\hfill \\ \mathrm{<trans\; data-src="g">克</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="t">t吨</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="=">=</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="g">克</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="t">t吨</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="=">=</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="g">克</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="t">t吨</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="=">=</trans>\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans><trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="t">t吨</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="\in ">\in </trans><trans\; data-src="[">[</trans>\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="T">T型</trans>}<trans\; data-src="]">]</trans><trans\; data-src="\times ">\times </trans>\mathrm{<trans\; data-src="\partial ">\partial </trans>}\mathrm{<trans\; data-src="\Omega ">\Omega </trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\hfill \\ \mathrm{<trans\; data-src="G">G公司</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="=">=</trans>\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}<trans\; data-src="\in ">\in </trans>\mathrm{<trans\; data-src="\Omega ">\Omega </trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\hfill \end{array}$$

(6.1)

哪里 \（G（t，x）=G-G_{xx}\）.而且 克 满足估计

$$\开始{对齐}\Vert g\Vert_{S（0，T）}\lesssim\Vert v-v_{0}\Vert_{U}^{2}。\结束{对齐}$$

(6.2)

引理的证明6.1

这一点的证明克是解决问题的唯一方法(6.1)类似于定理证明2.2。我们省略了细节推导。利用以下事实z（z）是问题的解决方案吗(2.2)引起

$$\begin{array}{rl}{<trans\; data-src="\parallel ">\parallel </trans>\mathrm{<trans\; data-src="\pounds ">\pounds </trans>}<trans\; data-src="\parallel ">\parallel </trans>}_{\mathrm{<trans\; data-src="W">W公司</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans><trans\; data-src="[">[</trans>\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="T">T型</trans>}<trans\; data-src="]">]</trans><trans\; data-src=";">;</trans>\mathrm{<trans\; data-src="V">V（V）</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans>}& <trans\; data-src="\lesssim ">\lesssim </trans>{<trans\; data-src="\parallel ">\parallel </trans>\mathrm{<trans\; data-src="B">B类</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="v">v（v）</trans>}<trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="v">v（v）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="\parallel ">\parallel </trans>}_{{\mathrm{<trans\; data-src="L">L（左）</trans>}}^{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}<trans\; data-src="(">(</trans><trans\; data-src="[">[</trans>\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="T">T型</trans>}<trans\; data-src="]">]</trans><trans\; data-src=";">;</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="V">V（V）</trans>}}^{<trans\; data-src="\ast ">\ast </trans>}<trans\; data-src=")">)</trans>}\\ & <trans\; data-src="\lesssim ">\lesssim </trans>{<trans\; data-src="\parallel ">\parallel </trans>\mathrm{<trans\; data-src="v">v（v）</trans>}<trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="v">v（v）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}}<trans\; data-src="\parallel ">\parallel </trans>}_{\mathrm{<trans\; data-src="U">U型</trans>}}<trans\; data-src=".">.</trans>\end{array}$$

（6.3）

因此

$$\begin{array}{rl}{<trans\; data-src="\parallel ">\parallel </trans>\mathrm{<trans\; data-src="g">克</trans>}<trans\; data-src="\parallel ">\parallel </trans>}_{\mathrm{<trans\; data-src="S">S公司</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="T">T型</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans>}& <trans\; data-src="\lesssim ">\lesssim </trans>{<trans\; data-src="\parallel ">\parallel </trans>\mathrm{<trans\; data-src="G">G公司</trans>}<trans\; data-src="\parallel ">\parallel </trans>}_{\mathrm{<trans\; data-src="W">W公司</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans><trans\; data-src="[">[</trans>\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="T">T型</trans>}<trans\; data-src="]">]</trans><trans\; data-src=";">;</trans>\mathrm{<trans\; data-src="V">V（V）</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans>}\\ & <trans\; data-src="\lesssim ">\lesssim </trans>{<trans\; data-src="\parallel ">\parallel </trans>\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}<trans\; data-src="[">[</trans><trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="m">米</trans>}<trans\; data-src="-">负极</trans>\mathrm{<trans\; data-src="a">一</trans>}<trans\; data-src="-">负极</trans>\mathrm{<trans\; data-src="b">b条</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans>\mathrm{<trans\; data-src="z">z（z）</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="z">z（z）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="a">一</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="z">z（z）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}\mathrm{<trans\; data-src="\pounds ">\pounds </trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="b">b条</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="z">z（z）</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="\pounds ">\pounds </trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="]">]</trans><trans\; data-src="\parallel ">\parallel </trans>}_{{\mathrm{<trans\; data-src="L">L（左）</trans>}}^{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}<trans\; data-src="(">(</trans><trans\; data-src="[">[</trans>\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="T">T型</trans>}<trans\; data-src="]">]</trans><trans\; data-src=";">;</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="V">V（V）</trans>}}^{<trans\; data-src="\ast ">\ast </trans>}<trans\; data-src=")">)</trans>}\\ & <trans\; data-src="\lesssim ">\lesssim </trans>{<trans\; data-src="\parallel ">\parallel </trans>\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}<trans\; data-src="[">[</trans><trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="m">米</trans>}<trans\; data-src="-">负极</trans>\mathrm{<trans\; data-src="a">一</trans>}<trans\; data-src="-">负极</trans>\mathrm{<trans\; data-src="b">b条</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans>\mathrm{<trans\; data-src="z">z（z）</trans>}{<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}<trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="\partial ">\partial </trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}^{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans>}^{<trans\; data-src="-">负极</trans>\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}{\mathrm{<trans\; data-src="\pounds ">\pounds </trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="a">一</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="z">z（z）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}\mathrm{<trans\; data-src="\pounds ">\pounds </trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="b">b条</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="z">z（z）</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="\pounds ">\pounds </trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}<trans\; data-src="]">]</trans><trans\; data-src="\parallel ">\parallel </trans>}_{{\mathrm{<trans\; data-src="L">L（左）</trans>}}^{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}<trans\; data-src="(">(</trans><trans\; data-src="[">[</trans>\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="T">T型</trans>}<trans\; data-src="]">]</trans><trans\; data-src=";">;</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="L">L（左）</trans>}}^{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans>}\\ & <trans\; data-src="\lesssim ">\lesssim </trans>{<trans\; data-src="\parallel ">\parallel </trans>\mathrm{<trans\; data-src="\pounds ">\pounds </trans>}<trans\; data-src="\parallel ">\parallel </trans>}_{\mathrm{<trans\; data-src="W">W公司</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans><trans\; data-src="[">[</trans>\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="T">T型</trans>}<trans\; data-src="]">]</trans><trans\; data-src=";">;</trans>\mathrm{<trans\; data-src="V">V（V）</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans>}^{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}<trans\; data-src=".">.</trans>\end{array}$$

(6.4)

发件人(6.3)和(6.4)，我们获得(6.2). □

定理的证明2.4

我们仅在(5.6). 类似的结果适用于(5.5). 通过证明映射的严格凸性，建立了最优控制的局部唯一性\（v\在U_{\mathrm{ad}}\rightarrow J（v）中\）也就是说，对所有人\（U_｛\mathrm｛ad｝｝中的v_｛1｝，v_｛2｝\），让\（w=v_{2} -v型_{1}\)，然后

$$\开始{对齐}D^{2} J型（v{1}+θw）（w，w）>0，（0,1）中的θ。\结束{对齐}$$

(6.5)

让我们表示\（u（v{1}+theta（v_{2} -v型_{1} ），z（v{1}+\theta（v_{2} -v型_{1} ），g（v{1}+\theta（v_{2} -v型_{1}))\)通过\（u（θ），z（θ分别是。它如下

$$\begin{array}{rl}\mathrm{<trans\; data-src="D">天</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="J">J</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="v">v（v）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\theta ">\theta </trans>}\mathrm{<trans\; data-src="w">w个</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans>\mathrm{<trans\; data-src="w">w个</trans>}& <trans\; data-src="=">=</trans>\underset{{\mathrm{<trans\; data-src="h">小时</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}<trans\; data-src="\to ">\to </trans>\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}}{<trans\; data-src="lim">林</trans>}\frac{\mathrm{<trans\; data-src="J">J</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="v">v（v）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\theta ">\theta </trans>}\mathrm{<trans\; data-src="w">w个</trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="h">小时</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}\mathrm{<trans\; data-src="w">w个</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans>\mathrm{<trans\; data-src="w">w个</trans>}<trans\; data-src="-">负极</trans>\mathrm{<trans\; data-src="J">J</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="v">v（v）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\theta ">\theta </trans>}\mathrm{<trans\; data-src="w">w个</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans>\mathrm{<trans\; data-src="w">w个</trans>}}{{\mathrm{<trans\; data-src="h">小时</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}}\\ & <trans\; data-src="=">=</trans>\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}{<trans\; data-src="\int ">\int </trans>}_{\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}}^{\mathrm{<trans\; data-src="T">T型</trans>}}{<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="y">年</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\theta ">\theta </trans>}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="z">z（z）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="d">d日</trans>}}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\pounds ">\pounds </trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\theta ">\theta </trans>}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src=")">)</trans>}_{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}\mathrm{<trans\; data-src="d">d日</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="t">t吨</trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}{<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="N">N个</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="v">v（v）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\theta ">\theta </trans>}\mathrm{<trans\; data-src="w">w个</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="w">w个</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans>}_{\mathrm{<trans\; data-src="U">U型</trans>}}<trans\; data-src=",">,</trans>\end{array}$$

(6.6)

哪里$\mathrm{<trans\; data-src="y">年</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\theta ">\theta </trans>}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="=">=</trans>\mathrm{<trans\; data-src="u">u个</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\theta ">\theta </trans>}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="u">u个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\theta ">\theta </trans>}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\pounds ">\pounds </trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\theta ">\theta </trans>}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="=">=</trans>\mathrm{<trans\; data-src="z">z（z）</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\theta ">\theta </trans>}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="z">z（z）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\theta ">\theta </trans>}<trans\; data-src=")">)</trans>$.

使用(6.6)，我们获得

$$\begin{array}{rl}{\mathrm{<trans\; data-src="D">天</trans>}}^{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}\mathrm{<trans\; data-src="J">J</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="v">v（v）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\theta ">\theta </trans>}\mathrm{<trans\; data-src="w">w个</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="w">w个</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="w">w个</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="=">=</trans>& \underset{{\mathrm{<trans\; data-src="h">小时</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}<trans\; data-src="\to ">\to </trans>\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}}{<trans\; data-src="lim">林</trans>}\frac{\mathrm{<trans\; data-src="D">天</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="J">J</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="v">v（v）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\theta ">\theta </trans>}\mathrm{<trans\; data-src="w">w个</trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="h">小时</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}\mathrm{<trans\; data-src="w">w个</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans>\mathrm{<trans\; data-src="w">w个</trans>}<trans\; data-src="-">负极</trans>\mathrm{<trans\; data-src="D">天</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="J">J</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="v">v（v）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\theta ">\theta </trans>}\mathrm{<trans\; data-src="w">w个</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans>\mathrm{<trans\; data-src="w">w个</trans>}}{{\mathrm{<trans\; data-src="h">小时</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}}\\ <trans\; data-src="=">=</trans>& \underset{{\mathrm{<trans\; data-src="h">小时</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}<trans\; data-src="\to ">\to </trans>\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}}{<trans\; data-src="lim">林</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}{<trans\; data-src="\int ">\int </trans>}_{\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}}^{\mathrm{<trans\; data-src="T">T型</trans>}}\frac{<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="y">年</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="v">v（v）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\theta ">\theta </trans>}\mathrm{<trans\; data-src="w">w个</trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="h">小时</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}\mathrm{<trans\; data-src="w">w个</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="z">z（z）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="d">d日</trans>}}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\pounds ">\pounds </trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="v">v（v）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\theta ">\theta </trans>}\mathrm{<trans\; data-src="w">w个</trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="h">小时</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}\mathrm{<trans\; data-src="w">w个</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src=")">)</trans>}{{\mathrm{<trans\; data-src="h">小时</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}}\mathrm{<trans\; data-src="d">d日</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="t">t吨</trans>}\\ & <trans\; data-src="-">负极</trans>\underset{{\mathrm{<trans\; data-src="h">小时</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}<trans\; data-src="\to ">\to </trans>\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}}{<trans\; data-src="lim">林</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}{<trans\; data-src="\int ">\int </trans>}_{\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}}^{\mathrm{<trans\; data-src="T">T型</trans>}}\frac{<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="y">年</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\theta ">\theta </trans>}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="z">z（z）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="d">d日</trans>}}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\pounds ">\pounds </trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\theta ">\theta </trans>}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src=")">)</trans>}{{\mathrm{<trans\; data-src="h">小时</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}}\mathrm{<trans\; data-src="d">d日</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="t">t吨</trans>}\\ & <trans\; data-src="+">+</trans>\underset{{\mathrm{<trans\; data-src="h">小时</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}<trans\; data-src="\to ">\to </trans>\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}}{<trans\; data-src="lim">林</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}\frac{{<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="N">N个</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="v">v（v）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\theta ">\theta </trans>}\mathrm{<trans\; data-src="w">w个</trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="h">小时</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}\mathrm{<trans\; data-src="w">w个</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="w">w个</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans>}_{\mathrm{<trans\; data-src="U">U型</trans>}}<trans\; data-src="-">负极</trans>{<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="N">N个</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="v">v（v）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\theta ">\theta </trans>}\mathrm{<trans\; data-src="w">w个</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="w">w个</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans>}_{\mathrm{<trans\; data-src="U">U型</trans>}}}{{\mathrm{<trans\; data-src="h">小时</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}}\\ <trans\; data-src="=">=</trans>& \mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}{<trans\; data-src="\int ">\int </trans>}_{\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}}^{\mathrm{<trans\; data-src="T">T型</trans>}}{<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\pounds ">\pounds </trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\theta ">\theta </trans>}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\pounds ">\pounds </trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\theta ">\theta </trans>}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src=")">)</trans>}_{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}\mathrm{<trans\; data-src="d">d日</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="t">t吨</trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}{<trans\; data-src="\int ">\int </trans>}_{\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}}^{\mathrm{<trans\; data-src="T">T型</trans>}}{<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="y">年</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\theta ">\theta </trans>}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="z">z（z）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="d">d日</trans>}}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="G">G公司</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\theta ">\theta </trans>}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src=")">)</trans>}_{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}\mathrm{<trans\; data-src="d">d日</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="t">t吨</trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}{<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="N">N个</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="w">w个</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="w">w个</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans>}_{\mathrm{<trans\; data-src="U">U型</trans>}}\\ <trans\; data-src="=">=</trans>& \mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}{<trans\; data-src="\int ">\int </trans>}_{\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}}^{\mathrm{<trans\; data-src="T">T型</trans>}}{<trans\; data-src="(">(</trans><trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}<trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="\partial ">\partial </trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}^{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="y">年</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\theta ">\theta </trans>}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="z">z（z）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="d">d日</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="g">克</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\theta ">\theta </trans>}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src=")">)</trans>}_{<trans\; data-src="(">(</trans><trans\; data-src="-">负极</trans>\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="d">d日</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="t">t吨</trans>}\\ & <trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}{<trans\; data-src="\int ">\int </trans>}_{\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}}^{\mathrm{<trans\; data-src="T">T型</trans>}}{<trans\; data-src="\parallel ">\parallel </trans>\mathrm{<trans\; data-src="\pounds ">\pounds </trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\theta ">\theta </trans>}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="\parallel ">\parallel </trans>}_{{\mathrm{<trans\; data-src="L">L（左）</trans>}}^{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}}^{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}\mathrm{<trans\; data-src="d">d日</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="t">t吨</trans>}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}{<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="N">N个</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="v">v（v）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}<trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="v">v（v）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src=",">,</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="v">v（v）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}<trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="v">v（v）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans>}_{\mathrm{<trans\; data-src="U">U型</trans>}}<trans\; data-src=".">.</trans>\end{array}$$

应用引理6.1，我们有

$$\begin{array}{rl}& {\mathrm{<trans\; data-src="D">天</trans>}}^{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}\mathrm{<trans\; data-src="J">J</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="v">v（v）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\theta ">\theta </trans>}\mathrm{<trans\; data-src="w">w个</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="w">w个</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="w">w个</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans>\\ & <trans\; data-src="\ge ">\ge </trans>\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}<trans\; data-src="[">[</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\nu ">\nu </trans>}<trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="C">C类</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="5">5</trans>}}{\mathrm{<trans\; data-src="T">T型</trans>}}^{\frac{\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}}{<trans\; data-src="\parallel ">\parallel </trans>\mathrm{<trans\; data-src="y">年</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\theta ">\theta </trans>}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="z">z（z）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="d">d日</trans>}}<trans\; data-src="\parallel ">\parallel </trans>}_{{\mathrm{<trans\; data-src="L">L（左）</trans>}}^{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}<trans\; data-src="(">(</trans><trans\; data-src="[">[</trans>\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="T">T型</trans>}<trans\; data-src="]">]</trans><trans\; data-src=";">;</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="L">L（左）</trans>}}^{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}<trans\; data-src=")">)</trans>}<trans\; data-src="]">]</trans>{<trans\; data-src="\parallel ">\parallel </trans>{\mathrm{<trans\; data-src="v">v（v）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}<trans\; data-src="-">负极</trans>{\mathrm{<trans\; data-src="v">v（v）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}<trans\; data-src="\parallel ">\parallel </trans>}_{\mathrm{<trans\; data-src="U">U型</trans>}}^{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}\\ & <trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}{<trans\; data-src="\int ">\int </trans>}_{\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}}^{\mathrm{<trans\; data-src="T">T型</trans>}}{<trans\; data-src="\parallel ">\parallel </trans>\mathrm{<trans\; data-src="\pounds ">英镑</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\theta ">\theta </trans>}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="\parallel ">\parallel </trans>}_{{\mathrm{<trans\; data-src="L">L（左）</trans>}}^{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}}^{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}\mathrm{<trans\; data-src="d">d日</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="s">秒</trans>}<trans\; data-src=".">.</trans>\end{array}$$

(6.7)

如果\（T=T（菜单））很小，使用(6.7)引起(6.5). 因此，我们得到了成本泛函的严格凸性\（J（v）\），其中\（v\在U_{\mathrm{ad}}\中）.这就完成了定理的证明2.4. □

7结论

在这项工作中，我们研究了具有粘性项和粘性系数的浅水方程的最优控制问题\（\varepsilon>0\）研究了控制问题最优控制的存在性。利用费用泛函和伴随方程的一阶Géteaux导数，导出了最优控制的必要条件。通过代价泛函的二阶Géteaux导数，建立了最优控制的局部唯一性。由于系数的独立性米,一和b条英寸(1.4)，非线性项\（uu_｛x｝\）使用转换后不会消失\（y=u-u_｛xx｝\）这导致难以确定期限估计\（uu{x}\）这是与文献中的结果相比的主要改进[5,10,17,32]，其中所研究的问题是最优控制问题的特例(1.3)在本文中。此外，我们还得到了最优控制问题最优控制的必要条件和局部唯一性(1.3)通过使用成本函数的G–teaux导数。这是我们论文的另一个新奇之处。