齐次反应扩散Atkinson系统的动力学行为和分岔分析

摘要

本文研究一类在有界空间域上受齐次Neumann边界条件约束的齐次反应扩散Atkinson振子系统。利用比较原理和不变矩形技术，证明了解的吸引域的存在性。因此，我们证明了在一定条件下，PDE系统的解收敛到唯一的正平衡解。我们还导出了系统不存在非恒定正稳态解的精确条件。最后，我们利用分支技术证明了图灵模式的存在性。这些结果使我们更清楚地了解了图案的形成机制。

1介绍

1952年，图灵[1]提出了一个著名的“扩散诱导不稳定性”的概念，它说，否则稳定的恒定稳态的失稳将导致稳定的非均匀空间结构的出现，这通常称为图灵模式。多年来，图灵的想法吸引了大量研究人员的注意，并在理论背景下得到了成功发展。1990年，De Kepper等人[2，三]发现了特征波长为0.2毫米的固定三维（但几乎是二维）结构的形成，这是图灵图案发表近40年来的第一个实验证据[1]. 从那时起，对化学图灵模式的研究如雨后春笋般涌现（参见[4–13]以及其中的参考）。

本文研究了一类用于表征振子模式形成机制的扩散阿特金森振子模型的模式形成[14]:

$$\textstyle\begin{cases}\frac{du}{dt}=w-u，\\frac{dv}{dtneneneep=\beta{4}（s-v），\\frac{dw}{dt}=\beta{1}\beta{3}（\frac{\lambda{2}}{1+u}（1+\alpha{2}\frac}（v/a）^{n{2}{1+（v/a，^{n}2}}）-s）。\结束{cases}$$

为了分析周期溶液的生成机制，我们假设RNA转录物是快速过程，也就是说，我们假设\（dw/dt=ds/dt=0）.然后可以将系统简化为二阶平面系统：

$$\frac{du}{dt}=\lambda{1}\biggl（1+\alpha_{1}\frac{v^{n{1}}}{1+v^{n{1}{}\bigr）-u，\qquad\frac{dv}{dt{}=\frac}\lambda{2}}{1+u}\bigl（1+\ alpha_2}\frac}（v/a）^{n_2}}}}1+（v/a）^{n{2}}}\biggr）-v$$

(1.1)

由于化学反应遵循扩散过程，因此在模型中加入扩散是很自然的(1.1)导致以下反应-扩散系统：

$$\textstyle\begin{cases}\frac{\partial u}{\partic t}-d_{1}\Delta u=\lambda{1}+u}（1+\alpha{2}\frac{（v/a）^{n{2}}}{1+（v/a，x\in\partial\Omega，\\u（x，0）=u_{0}。\结束{cases}$$

(1.2)

该模型已被一些作者广泛研究，但大多数研究集中在相应的ODE系统上(1.1). 据所知，现有文献中很少有研究相应反应扩散方程的动力学行为和分岔的工作。在本文中，我们尝试研究Atkinson PDE模型。我们关注的是时间无关解的全局存在性、有界性、常数稳态的渐近行为以及正稳态解的分岔。特别地，我们推导了系统在什么条件下(1.2)没有图灵模式。

本文的结构如下。在节中2，我们研究了系统整体时间解的有界性和唯一性(1.2). 特别地，我们证明了存在一个吸引系统所有解的不变矩形(1.2)无论初始值如何。然后，我们考虑系统解的长期行为(1.2)并导出了这些解指数收敛到唯一恒定稳态解的精确条件。在节中三，我们导出了系统的条件(1.2)没有非恒定的正稳态，包括图灵模式。在节中4利用全局分歧理论证明了图灵模式的存在性。

2解的整体存在性、有界性和渐近性

在本节中，我们考虑解的全局存在性、有界性和渐近性。首先，很明显，系统(1.2)具有唯一的正稳态解\（（u_{*}，v_{*{）\）系统的

$$u{*}=\lambda{1}\biggl（1+\alpha_{1}\fracc{v{*}^{n{1}}}{1+v{*{^{n_1}}\bigr），\qquad\lambda}1\biggl biggr）=\frac{\lambda{2}}{v{*}}\biggl（1+\alpha{2}\frac{（v{*{/a）^{n{2}{1+（v{**}/a）^}n{2{}}\biggr）-1$$

(2.1)

关于系统含时解的全局存在性和有界性，我们得到了以下结果(1.2).

提议2.1

假设 \（a，\alpha_｛1｝，\alpha_｛2｝，\lambda _｛1｝，\lambda _｛2｝>0\）.对于任何 \（d_{1}，d_{2}>0\），初边值问题(1.2)承认独特的解决方案 \（（u（x，t），v（x，t）） 为所有人 \（x\in\Omega\） 和 \（t>0）.此外，存在两个正常数 \（M_{1}\） 和 \（M_{2}\），取决于 \（\字母{1}，\字母{2}，\lambda{1}，\lampda{2}\），\（u{0}（x）\），和 \（v_{0}（x）\），这样的话

$$M_{1}<u（x，t），\qquad v（x，t）<M_{2}，\quad t>0，x\in\overline{\Omega}$$

(2.2)

证明

初边值问题局部时间解的存在唯一性(1.2)众所周知[15].

对于解的全局存在性和有界性，我们部分地使用了不变区域技术[10，11，16]. A地区\（Re:=[U_{1}，U_{2}]\次[V_{1{，V_{2]]\）在中\（（u，v）\）相平面称为系统的正不变区域(1.2)如果矢量场

$$\biggl（\lambda_{1}\biggl（1+\alpha_{1{}\frac{v^{n{1}}}{1+v^{n{1}{}\bigr）-u，\ frac{\lambda{2}}{1+u}\bigl（1+\ alpha_2}\frac{（v/a）^{n_2}}}}{1+（v/a）-v\biggr）$$

(2.3)

在边界向内的点ℜ为所有人\（t \geq0）.我们构造了不变矩形\（Re:=[U_{1}，U_{2}]\次[V_{1{，V_{2]]\）按以下方式：

$$\begin{聚集}U_{1}:=\min\Bigl\{\lambda_{1{，\min_{x\in\overline{\Omega}}{U_{0}（x）}\Bigr\}，\qquad U_{2}:=\ max\Bigl\{\lampda_{1\}（1+\alpha{1}），\max_{x\ in\overrine{\欧米茄}{{U_0}{1}:=\min\biggl\{\frac{\lambda{2}}{1+U{2}，\min_{x\in\上划线{{\Omega}}{V{0}（x）}\biggr\}：=\max\biggl\{\frac{\lambda_{2}（1+\alpha_{2{）}{1+U_{1}}，\max_{x\in\上划线{\Omega}}{v_{0}（x）}\biggr\}。\结束{聚集}$$

(2.4)

显然，\（u{0}（x）\）和\（v_｛0｝（x）\）被矩形封闭ℜ现在我们证明向量场指向ℜ.

打开\（u=u{1}，V{1}\leqv\leqV{2}\），根据的定义\（U｛1｝\）我们有

$$\lambda{1}\biggl（1+\alpha_1}\frac{v^{n_1}}{1+v^{n_1}}}\bigr）-u=\lambda{1}\biggl（1+\ alpha_1{}\frac{v^ n_1}{}}{1+v^_{1} -U型_{1} \geq0$$

打开\（u=u{2}，V{1}\leqv\leqV{2}\），根据的定义\（U_{2}\）我们有

$$\lambda{1}\biggl（1+\alpha_1}\frac{v^{n_1}}{1+v^{n_1}}\bigr）-u=\lambda{1}\ biggl}）-u_{2}\leq0$$

打开\（v=v{1}，U{1}\lequ\leqU{2}\），根据的定义\（V_{1}\）我们有

$$\frac{\lambda{2}}{1+u}\biggl（1+\alpha_{2}\frac}（v/a）^{n_{2{}}{1+（v/a v{1}/a）^{n_{2}}}\biggr）-v{1}>\frac{\lambda{2}{{1+u{2}neneneep}-v{1{0}\geq0$$

打开\（v=v{2}，U{1}\lequ\leqU{2}\），根据的定义\（V_{2}\）我们有

$$\frac{\lambda{2}}{1+u}\biggl（1+\alpha_{2}\frac}（v/a）^{n_{2{}}{1+（v/a v{2}/a）^{n{2}}}\biggr）-v{2}<frac{\lambda{2}（1+\alpha{2}）}{1+u{1}}-v{2{0}\leq0$$

因此，\（Re:=[U_{1}，U_{2}]\次[V_{1{，V_{2]]\）是向量场的不变矩形，其中\（M_{1}:=\min\{U_1}，V_1}\}\）和\（M_{2}:=\max\{U_2}，V_2}\}\）.□

我们现在证明了这个系统(1.2)有一个吸引区域，它实际上吸引系统的所有解，而不管初始值是多少[17].

定理2.2

假设 \（（u（x，t），v（x，t）） 是系统的唯一解决方案(1.2).对于任何 \（x\ in\上划线{\Omega}\），我们有:

$$\开始{聚集}\lambda_{1}<\lim\inf_{t\rightarrow\infty}u\leq\lim\sup_{t\rightarrow \infty}u<\lambda{1}（1+\alpha_{1{）；\\\压裂{\lambda{2}}{1+\lambda{1}。\结束{聚集}$$

(2.5)

证明

（a） ●●●●。让我们证明一下\（\lambda_｛1｝<\lim\inf_｛t\rightarrow\infty｝u\）.按命题2.1存在一个足够小的数字\（0<\varepsilon<\lambda{1}\alpha{1}{v^{n{1}}/（1+v^{n{1}）\）为所有人\（x\ in\上划线{\Omega}\）和\（t>0\）.让\（u{1}\）是以下ODE的唯一解决方案：

$$\frac{d{u{1}（t）}}{dt}=\lambda{1}+\varepsilon-u{1{（t$$

(2.6)

设置\（\rho{1}（x，t）=u（x，t）-u{1}（t）\），我们有

$$开始{聚集}\frac{\partial\rho{1}（x，t）}{\particalt}-du{1}\Delta\rho}_1}（x，t）+\rho_1}1-\varepsilon）\min_{x\in\上划线{\Omega}}{u_{0}（x）}>0。\结束{聚集}$$

(2.7)

根据抛物方程的最大值原理，我们得到\（\rho_{1}（x，t）>0\），这意味着\（u（x，t）>u{1}（t）\）为所有人\（x\ in\上划线{\Omega}\）和\（t>0）.来自(2.6)我们有\（\lim_{t\rightarrow\infty}{u{1}（t）}=\lambda_{1}+\varepsilon\）.

因此，

$$\lim\inf_{t\rightarrow\infty}u\geq\lim_{t\rightarrow \infty}{u_{1}（t）}>\lambda_{1{$$

(2.8)

（b） ●●●●。现在让我们证明一下\（\lim\sup_{t\rightarrow\infty}u<\lambda_{1}（1+\alpha_{1{）\）.按命题2.1存在一个足够小的数字\（0<\eta<\lambda{1}\alpha{1}/（1+v^{n{1}}）\）为所有人\（x\ in\上划线{\Omega}\）和\（t>0\）.让\（u{2}\）是以下ODE的唯一解决方案：

$$\frac{d{u{2}（t）}}{dt}=\lambda_{1}（1+\alpha_{1{）-\eta-u{2neneneep（t），\qquad u{2{（0）=（1+\ eta）\max_{x\in\上划线{\Omega}}{u{0}（x）}$$

(2.9)

设置\（\rho{2}（x，t）=u（x，t）-u{2}（t）\），我们有

$$开始{聚集}\frac{\partial\rho{2}（x，t）}{\particalt}-du{1}\Delta\rho}2}上划线{\Omega}}{u{0}（x）}<0。\结束{聚集}$$

(2.10)

根据抛物方程的最大值原理，我们得到\（\rho_{2}（x，t）<0\），这意味着\（u（x，t）<u{2}（t）\）为所有人\（x\in\overline｛\Omega｝\）和\（t>0）.来自(2.9)我们有\（\lim_{t\rightarrow\infty}{u_{2}（t）}=\lambda_{1}（1+\alpha_1}）-\eta\）.

因此，

$$\lim\sup_｛t\rightarrow\infty｝u<\lambda_｛1｝（1+\alpha_｛1｝）$$

(2.11)

（c） ●●●●。让我们证明一下\（frac{\lambda{2}}{1+\lambda{1}（1+\alpha{1}）}<lim\inf{t\rightarrow\infty}v\）.按命题2.1存在一个足够小的数字\（\varphi>0\）这样的话\（\varphi<（1+\lambda{1}（1+\ alpha{1}））v\）为所有人\（x\ in\上划线{\Omega}\）和\（t>0）.让\（v{1}\）是以下ODE的唯一解决方案：

$$\frac{d{v{1}（t）}}{dt}=\lambda{2}+\varphi-\bigl（1+\lambda{1}（1+\ alpha{1}）\bigr）v{1{（t$$

(2.12)

设置\（\xi_{1}（x，t）=v（x，t）-v_{1{（t）\），我们有

$$开始{聚集}\frac{\partial\xi{1}（x，t）}{\particalt}-du{2}\Delta\xi{1\}（x，t）+\bigl（1+\lambda{1}（1+\ alpha_1}）\bigr）\xi{1'（x，t）\\quad=\frac{\lambda{2}{1+u}-\varphi+\bigle}）\biger）v+\frac{\lambda{2}\alpha{2}}{1+u}\cdot\frac}（v/a）^{n{2}{1+（v/a\较大的）v>0，\\xi{1}（x，0）=v（x，O）-（1-\varphi）\min{x\in\上划线{\Omega}}{v{0}（x）}>0。\结束{聚集}$$

(2.13)

根据抛物方程的最大值原理，我们得到\（\xi_{1}（x，t）>0\），这意味着\（v（x，t）>v{1}（t）\）为所有人\（x\ in\上划线{\Omega}\）和\（t>0）.来自(2.12)我们有\（\lim_｛t\rightarrow\infty｝｛v_｛1｝（t）｝=\frac｛\lambda_｛2｝+\varphi｝｛（1+\lambda_｛1｝（1+\alpha_｛1｝））｝\）.

因此，

$$\lim\inf_{t\rightarrow\infty}v>\frac{\lambda_{2}}{1+\lambda _{1}（1+\alpha_{1{）}$$

(2.14)

（d） ●●●●。让我们证明一下\（\lim\sup{t\rightarrow\infty}v<\frac{\lambda{2}（1+\alpha{2}）}{1+\lambda{1}）.自

$$0<\lambda_{1}<\lim\inf_{t\rightarrow\infty}u\quad\text{或者，等价地，}\quad_frac{1}{1+\lambda{1}}>\lim\sup_{t\右箭头\infty}\frac{1}{1+u}>0$$

(2.15)

存在一个有限的数\（t_{0}\），取决于\（（u{0}，v{0}）\）这样，对于任何\（x\ in\上划线{\Omega}\）和\（t\geq t_{0}\），

$$\frac｛1｝｛1+\lambda_｛1｝｝>\frac｛1｝｛1+u｝$$

（2.16）

按命题2.1和(2.16)存在一个足够小的数字\（增量>0）这样，对所有人来说\（x\ in\上划线{\Omega}\）和\（t\geq t_｛0｝\），我们有

$$\frac{1}{1+\lambda{1}}-\ frac{\delta}{\lambda{2}（1+\lambda{1}）（1+\ alpha{2}）}>\frac}1}{1+u}$$

(2.17)

让\（v{2}\）是以下ODE的唯一解决方案：

$$\frac{d{v{2}（t）}}{dt}=\frac{\lambda{2}（1+\alpha{2}）-\delta}{（1+\ lambda}）}-v{2{（t）}$$

（2.18）

设置\（\xi_{2}（x，t）=v（x，t）-v_{2{（t）\），由(2.17)和(2.18)我们有

$$开始{聚集}\frac{\partial\xi{2}（x，t）}{\particalt}-du{2}\Delta\xi{2]biggr）-\frac{\lambda{2}（1+\alpha_2}）-\Delta}{（1+/lambda_1}）}\\quad<\frac}\lambda{2}}{1+u}-\δ}{1+\lambda{1}}<0，\\xi{2}（x，t_{0}）=v（x，t_{0}）-，。\结束{聚集}$$

(2.19)

根据抛物方程的最大值原理，我们得到\（\xi_{2}（x，t）<0\），这意味着\（v（x，t）<v{2}（t）\）为所有人\（x\ in\上划线{\Omega}\）和\（t>t{0}\）.来自(2.18)我们有\（\lim{t\rightarrow\infty}{v{2}（t）}=\frac{\lambda{2}（1+\alpha{2}）-\delta}{1+\lambda{1}}）.

因此，我们已经证明

$$开始{对齐}&\lim_{t\rightarrow\infty}\sup v（1+\alpha_2}）}{1+\lambda_{1}}.\\&\结束{对齐}$$

(2.20)

□

接下来，在特定情况下，我们导出了精确的条件\（（u_{*}，v_{*{）\）是系统的相应常微分方程的全局渐近稳定解(1.2)所有的解决方案(1.2)倾向于\（（u_{*}，v_{*{）\）[18]:

定理2.3

定义

$$H_{1}:=\frac{\lambda{2}\alpha_2}{a}，\qquad H_2}:=\frac{a\lambda{2}\alpha_2}$$

(2.21)

假设 \（n_｛1｝=n_｛2｝=1\） 而且要么 \（H_{1}<2\） 或 \（H_{2}>2\）.然后，\（（u_{*}，v_{*{）\） 是系统的相应常微分方程的全局渐近稳定解(1.2).如果，另外，\（最大值\{1，d\}>M/\lambda_{1}\），那么系统的每个解决方案(1.2)指数收敛到唯一的常平衡解 \（（u_{*}，v_{*{）\），哪里 \（\mu_{1}\） 是的最小正特征值−Δ在Ω服从齐次Neumann边界条件，和

$$M:=\max\biggl\{\lambda{1}\alpha_{1}+1，\frac{\lampda{2}^{2}（1+\alpha_2}）^{2{（2+\lambda{1}）}{a}+1\biggr\}$$

(2.22)

证明

在特定情况下考虑以下ODE\（n{1}=n{2}=1\）:

$$\begin{collected}\frac{du}{dt}=\lambda{1}\biggl（1+\alpha_{1}\frac{v}{1+v}\bigr）-u=：f（u，v），\\frac{dv}{dtneneneep=\frac{\lambda{2}}{1+u}\bigl（1+\ alpha_2}\frac{v}{a+v}\ biggr）-v=：g（u，v）。\结束{聚集}$$

(2.23)

雅可比矩阵\（J（u，v）\）在\（（u，v）\）由给定

$$J（u，v）=\左（\开始{矩阵}-1&\分数{\lambda_{1}\alpha_{1{}{（1+v{矩阵}\右）$$

(2.24)

那么，我们有

$$\frac{\partialf}{\parialu}+\frac}\partialg}{\perialv}=\frac{a\lambda{2}\alpha{2}{（1+u）（a+v）^{2}}-2$$

(2.25)

签署人(2.5)我们有

$$\frac{a\lambda_{2}\alpha_2}}{（1+u）（a+v）^{2}}<\frac}a\lampda_{2]\alpha_{2{}{{2}\alpha{2}}{a}$$

(2.26)

另一方面，

$$开始{对齐}[b]\frac{a\lambda{2}\alpha{2}{（1+u）（a+v）^{2}}&>\frac{a\lambda{2]\alpha_2}}{H_{2}:=\frac{a\lambda{2}\alpha{2}（1+\lambda{1}）}{（1+/\alpha{1}）[a（1+\ lambda}）+\lampda{2{（1+\alpha_2}）]^{2}}。\结束{对齐}$$

（2.27）

如果\（H_{1}<2\）或两者之一\（H_{2}>2\），那么我们有\（分数{\部分f}{\部分u}+\分数{\分数g}{\分数v}<0\）（或>0）。因此，Poincaré–Bendixson定理意味着\（（u_{*}，v_{*{）\）在中全局渐近稳定(2.23). 定义

$$Q:=\sup_{（u，v）\在R}{\bigl\VertJ（u，v）\bigr\Vert}中$$

(2.28)

签署人(2.5)和(2.24)我们有

$$开始{对齐}[b]问：=\max\biggl\{\sup_{（u，v）\R}\biggl（1+\biggl/vert\frac{\lambda_{1}\alpha_{1{}{（1+v）^{2}}\bigr\vert\biggr），\sup_{{（a+v）（1+u）^{2}}\biggr\vert+\biggl\vert\frac{a\lambda{2}\alpha{2}{（1+u）（a+v）^{2}}\biggr\vert+1\biggr）\biggr\}\hspace{-30pt}\\&<M:=\max\biggl\{\lambda_{1}\alpha_{1{+1，\frac{\lampda_{2}^{2}（1+\alpha_2}）^{2{（2+\lambda{1}）}{a}+1\bighr\}。\结束{对齐}$$

(2.29)

由[19]，如果\（最大值\{1，d\}>M/\mu_{1}\），其中\（d=\min\{d_{1}，d_{2}），然后系统的每个解决方案(1.2)指数收敛到唯一的常平衡解\（（u_{*}，v_{*{）\）.□

三图灵模式的不存在

在本节中，对于以下两种情况\（n{1}\）和\（n{2}\）等于1，我们证明了系统的非恒定正稳态解的不存在性

$$\textstyle\begin{cases}-d_{1}\Delta u=\lambda{1}（1+\alpha{1}\frac{v}{1+v}）-u，&x\in\Omega，\\-d_{2}\ Delta v=\frac{\lambda{2}}{1+0}al_{v}u=0，&x\in\partial\Omega。\结束{cases}$$

(3.1)

引理3.1

假设 \（（u（x），v（x））\） 任何给定的正稳态-系统状态解(1.2).对于任何 \（x\ in\上划线{\Omega}\），我们有:

$$\lambda{1}<u（x）<\lambda{1}（1+\alpha{1}），\qquad\frac{\lambada{2}{1+\lambdata{1}（1+\ alpha{1}）}<v（x）<\frac{\ lambda}2}$$

(3.2)

引理是中定理2.1的直接结果[17].

对于稳态解对\（（u（x），v（x））\）系统的(3.1)，我们定义

$$\begin{aligned}和\overline{u}=\frac{1}{\vert\Omega\vert}\int_{\Omega}u（x）\，dx，\qquad\overline}{v}=\frac{1}{\vert_Omega\ vert}\int_{\Omega}v（x）\，dx和\end{alinged}$$

(3.3)

$$\begin{aligned}&\phi（x）=u（x）-\overline{u}，\qquad\psi（x）=v（x）-\overline{v}，\ end{alinged}$$

(3.4)

$$\begin{aligned}&\textstyle\begin{cases}g{1}（u，v）：=\frac{1}{（1+\overline{v}）（1+v）}，\\g{2}（u，v）:=\frac{1}}{{2}\alpha{2}}，\\g{3}（u，v）：=\frac{1}{（1+\overline{u}）（1+u）}（1+/frac{\alpha_2}\ overline}{v}}{a+v}）。\结束{cases}\displaystyle\end{aligned}$$

(3.5)

引理3.1表明任何积极的解决方案\（（u，v）\）系统的(3.1)满足\（（u，v）\在R\中），其中

$$R:=\bigl（\lambda_{1}，\lambda_{1{（1+\alpha_{1neneneep）\bigr）\times\biggl（\frac{\lambda{2}}{1+\lambda{1}（1+\ alpha_}）}，\ frac{\ lambda_{2}（1+/\alpha_2}）{1+\ lambda}}\biggr）$$

(3.6)

定义

$$G_{i}:=\sup_{（u，v）\在R}\bigl\vert G_{i{（u，v）\bigr\vert，\quad i=1,2,3中$$

(3.7)

我们现在陈述以下关于系统非恒定正解不存在的定理(3.1).

引理3.2

让 \（g{i}（u，v）\） 和 \（G_｛i｝\），\（i=1,2,3），定义如下(3.5)和(3.7).假设 \（d_{1}>\frac{1}{\mu{1}}） 和 \（d_{2}>\frac{\lambda{2}\alpha{2}G{2}}{\mu{1}}）.然后，我们有

$$\biggl（\frac{d_{1}\mu_{1}-1}{\lambda_{1}\alpha_{1} G公司_{1} }\biggr）^{2}\int_{\Omega}\vert\nabla\phi\vert^{2{，dx\leq\int_}\vert_nabla\ psi\ vert^}\，dx\ leq\biggl（\frac{\lambda_{2} G公司_{3} }{d_{2}\mu_{1}-\λ{2}\α_{2} G公司_{2} }\biggr）^{2}\int_{\Omega}\vert\nabla\phi\vert^{2{\，dx$$

(3.8)

证明

将的第一个方程相乘(3.1)由ϕ在Ω上积分，我们得到

$$开始{对齐}[b]-\int_{\Omega}d_{1}\phi\Delta\phi\，dx&=\lambda{1}\ int_{\ Omega{\phi\{\Omega}\frac{1}{1+v}\phi\，dx-\int_{\Omega}\phi^{2}\，dx。\结束{对齐}$$

(3.9)

根据格林公式，我们有

$$\开始{对齐}[b]&d_{1}\int_{\Omega}\vert\nabla\phi\vert^{2}\，dx\\&\quad=-\lambda_{1}\ alpha_{1{\int_}\欧米茄}\frac{1}{1+v}\phi\，dx-\ int_{\欧米加}\phi^2}\（压裂{1}{1+v}-\frac{1}}{1+上划线{v}}\biggr）\phi\，dx-\int_{\Omega}\phi^{2}\，dx\hsspace{-30pt}\\&\quad=\lambda{1}\alpha_{1}\int_{\Omega}\frac{\phi\psi}{（1+\overline{v}）（1+v）}\，dx-\int_}\Omega}\phi^{2}\，dx=\lambda_{1{\alpha_1}\inte\Omega{g{1}（v{1}\alpha_{1}g_{1{\int_{\Omega}\vert\phi\psi\vert\，dx+\int__{\欧米茄}\phi^{2}\，dx\leq\lambda_{1neneneep \alpha_1}g_{1}\ int_{0}\Omega}\vert\phi\psi\vert\，dx+\frac{1}{\mu_{1}}\int_{\Omega}\vert\nabla\phi\vert^{2}，dx。\结束｛对齐｝$$

(3.10)

另一方面，我们有

$$开始{对齐}[b]\int_{\Omega}\vert\phi\psi\vert\，dx&\leq\biggl（\int_}\Omega}\vert_phi\vert^{2}\，dx\biggr）^{\frac{1}{2}}\biggal（\int_{\Omega}\vert\psi\vert^{2}\，dx\bighr）压裂{1}{\mu{1}}\int{\Omega}\vert\nabla\phi\vert^{2}\，dx\biggr}\int_{\Omega}\vert\nabla\psi\vert^{2}\，dx\biggr}\，dx\biggr）^{\frac{1}{2}}。\结束{对齐}$$

(3.11)

替换(3.11)到(3.10)，我们有

$$d_{1}\int_{\Omega}\vert\nabla\phi\vert^{2}\，dx\leq\frac{\lambda{1}\ alpha_{1}G{1}}{\mu_{1{}}\biggl（\int_}\Omega}\vert_nabla\ phi\vert_{2}，dx\ biggr）\psi\vert^{2}\，dx\biggr）^{\frac{1}{2}}+\frac}1}{\mu_{1}}\int_{\Omega}\vert\nabla\phi\vert|{2}，dx$$

(3.12)

因此，

$$\biggl（d_{1}-\frac｛1｝｛\mu_｛1｝｝\biggr）\int_｛\Omega｝\vert\nabla\phi\vert^｛2｝\，dx\leq\frac｛\lambda_｛1｝\alpha_｛1｝G_｛1｝｝｝｛\mu_｛1｝｝｝\biggl（\int_｛\Omega｝\vert\nabla\phi\vert^｛2｝\，dx\bigr）^｛\frac｛1｝｛2｝｝｝\biggl（\int_｛\Omega｝\vert\nabla\psi\vert^｛2｝\，dx \biggr）^｛\frac｛1｝｛2｝｝$$

(3.13)

自\（d_{1}>\frac{1}{\mu{1}}），我们有

$$\biggl（d_{1}-\压裂{1}{\mu_{1}}\biggr$$

(3.14)

因此，

$$\biggl（\frac｛d_｛1｝\mu_{1}-1}{\lambda_{1}\alpha_{1} G公司_{1} }\biggr）^{2}\int_{\Omega}\vert\nabla\phi\vert^{2{，dx\leq\int_}\Omega}\vert_nabla\ psi\ vert^2}\，dx$$

(3.15)

乘以第二个方程式(3.1)由ψ在Ω上积分，我们得到

$$开始{对齐}[b]d_{2}\int_{\Omega}\vert\nabla\psi\vert^{2}\，dx&=\lambda_{2}\int_}\Omega}\frac{\psi}{1+u}\，dx+\lambda{2}\salpha_2}\int_{\Omega}\frac{v\psi{{（1+u）（a+v）}\，d\ int_{Omega{v\psi \，dx\\&=-\frac{\lambda{2}}{1+\上划线{u}}\int_{\Omega}\frac}\phi\psi}{1+/u}\，dx+\lambda{2}\alpha_{2}\int_\Omega}{psi^{2}}{（1+u）（a+v）}\，dx\\&四{}+\lambda{2}\alpha{2}\上划线{v}\int_{Omega}\frac{psi}{。\结束{对齐}$$

(3.16)

此外，

$$\开始{对齐}[b]\int_{\Omega}\frac{\psi}{（1+u）（a+v）}\，dx&=\int_}\frac{\psi}{{（a+v）\phi+（1+u）\psi-\phi\psi}{压裂{（a+\上划线{v}）\phi\psi+（1+u）\psi^{2}}{（1+u）（a+v）}\，dx。\结束{对齐}$$

(3.17)

签署人(3.16)和(3.17)我们有

$$\开始{对齐}[b]&d_{2}\int_{\Omega}\vert\nabla\psi\vert^{2}\，dx\\&\quad=\lambda_{2}\salpha_2}\int_{\Omega}g_2}（u，v）\psi^{2{\，dx-\lambda{2}\int_opi\Omega}g_3}（u，v）\ phi\psi\，dx \\quad\leq\lambada_{2}\字母_{2} G公司_{2} \int_{\Omega}\psi^{2}\，dx+\lambda_{2}G_{3}\int_\Omega}\vert\phi\psi\vert\，dx\\&\quad\leq\frac{\lambda{2}\alpha_{2} G公司_{2} }{\mu{1}}\int{\Omega}\vert\nabla\psi\vert^{2}\，dx+\frac{\lambda_{2} G公司_{3} ｛\bigl（\int_｛\Omega｝\vert\nabla\phi\vert^｛2｝\，dx\biggr）^｛\frac｛1｝｛2｝｝\biggl（\int_｛\Omega｝\vert\nabla\psi\vert^｛2｝\，dx\biggr）^｛\frac｛1｝｛2｝｝｝｝。\结束{对齐}$$

(3.18)

自\（d_{2}>\frac{\lambda{2}\alpha{2}G{2}}{\mu{1}}），我们有

$$\biggl（d_{2}-\压裂{\lambda{2}\alpha_{2} G公司_{2} }{\mu_{1}}\biggr）^{2}\int_{\Omega}\vert\nabla\psi\vert^{2{，dx\leq\biggl（\frac{\lambda_{2} G公司_{3} ｛\mu_｛1｝｝\biggr）^｛2｝\int_｛\Omega｝\vert\nabla\phi\vert^｛2｝\，dx$$

(3.19)

因此，

$$\开始{aligned}&\int_{\Omega}\vert\nabla\psi\vert^{2}\，dx\leq\biggl（\frac{\lambda_{2} G公司_{3} }{d_{2}\mu_｛1｝-\λ{2}\α_{2} G公司_{2} }\biggr）^{2}\int_{\Omega}\vert\nabla\phi\vert^{2{\，dx.\\&\结束{对齐}$$

(3.20)

□

定理3.3

让 \（g{i}（u，v）\），\（G_{i}\），\（i=1,2,3），和 \（\varphi（x）\） 定义如下(3.5), (3.7),和(3.22).然后，对于任何 \（（d_{1}，d_{2}），系统(3.1)没有非恒定正解，哪里

$$\Re:=\biggl\{（d_{1}，d_{2}}^{2}：d_{2}>\varphi（d_{1}）\bigr\}$$

(3.21)

具有

$$\varphi（x）：=\frac{\lambda{1}\lambda{2}\alpha_{1} G公司_{1} G公司_{3} }{\mu{1}x-1}+\lambda{2}\alpha_{2} G公司_{2}. $$

(3.22)

证明

按引理3.2我们有

$$\begin｛aligned｝[b]\int_｛\Omega｝\vert\nabla\psi\vert^｛2｝\，dx&\leq\biggl（\frac｛\lambda_{2} G公司_{3} }{d_{2}\mu_{1}-\λ{2}\α_{2} G公司_{2} }\biggr）^{2}\int_{\Omega}\vert\nabla\phi\vert^{2{\，dx\\&\leq\biggl（\frac{\lambda_{1}\lambada_{2}\α_{1} G公司_{1} G公司_{3} }{（d{2}\mu_｛1｝-\λ{2}\α_{2} G公司_{2} ）（d_{1}\mu_{1}-1)}\biggr）^{2}\int_{\Omega}\vert\nabla\psi\vert^{2{\，dx。\结束｛对齐｝$$

(3.23)

对于任何\（（d_{1}，d_{2}），我们有\（\frac{\lambda{1}\lambda{2}\alpha_{1} G公司_{1} G公司_{3} }{（d{2}\mu_{1}-\λ{2}\α_{2} G公司_{2} ）（d_{1}\mu_{1}-1)}<1\).因此\（\nabla\psi\equiv0\）同样，我们有\（\nabla\phi\equiv0\）因此，系统(3.1)没有非恒定的正解。□

4分岔正非恒定稳态解的存在性

在本节中，对于以下两种情况\（n{1}\）和\（n{2}\）等于1，我们利用全局分歧理论证明了系统正非恒定稳态的存在性(3.1). 特别是，我们关注图灵模式的存在。

系统的线性化算子(2.23)在平衡状态下评估\（（u_{*}，v_{*{）\）由给定

$$J（u_{*}，v_{*{）=\左（\begin{matrix}-1&\lambda_{1}\alpha_{1{\chi_{1neneneei \\-\lambda_{2}\chi_}2}&\lampda_{2{\alpha_2}\chi_{3} -1个\结束{矩阵}\右）$$

(4.1)

哪里

$$\chi_{1}:=（1+v_{*}）^{2}，\qquad\chi_{2}:=\frac{1+v_2}+\alpha_2}v_{**}}{（a+v_}）（1+u_{*{）^}2}、\qqua2\chi_}3}:=\ frac{a}{$$

(4.2)

那么特征方程(4.1)由提供

$$\亩^{2}-（\lambda{2}\alpha{2}\ chi_{3}-2)\μ+1+\lambda_｛2｝（\lambda_｛1｝\alpha_｛1｝\chi_｛1｝\chi_{2}-\α_｛2｝\chi_｛3｝）＝0$$

（4.3）

签署人(2.1)和(4.3)如果跟在后面，如果

$$\alpha{2}>1，\qquad\chi{3}<\min\biggl\{\frac{2}{\lambda{2}\alpha_{2}}，\ frac{\lampda{1}\alba{1}\ chi{1}\chi{2}{\alpha_2}}}$$

(4.4)

然后\（（u_｛*｝，v_｛*｝）\）在ODE中为正且稳定(2.23); 此外，如果\（\chi{3}>\frac{1}{\lambda{2}\alpha{2}}\），然后是系统(1.2)是一个底层抑制系统。

系统的线性化算子(3.1)评估时间：\（（u_{*}，v_{*{）\）由（选择\（d_{1}\）作为分岔参数）

$$L（d_{1}）：=\左（\开始{矩阵}d_{1\Delta-1&\lambda{1}\alpha_{1}\ chi_{1{\\-\lambda{2}\chi_{2}&d_{2}\ Delta+\lambada{2}\alpha_2}\chi_{3} -1个结束{矩阵}）$$

(4.5)

让\（\mu_{i}\）和\（\xi_{i}（x），i\在{\mathcal{N}}_{0}\中），是符合Neumann边界条件的−Δ（单位：Ω）的本征值和相应的本征函数。然后是\（L（d_{1}）\）由下列运算符给出\（L_{i}（d_{1}）\）:

$$L_{i}（d_{1}）=\左（\开始{矩阵}-d_{1}\mu_{i} -1个&\lambda{1}\alpha{1}\shi{1}\\-\lambda{2}\chi{2}&-d{2}\mu{i}+\lambada{2}\ alpha{2}\shi_{3} -1个\结束{矩阵}\右）$$

(4.6)

其特征方程为

$$\亩^{2} -高_{i} （d_{1}）\mu+d_{i}（d_}）=0，\quad i\ in{\mathcal{N}}_{0}$$

(4.7)

哪里

$$开始{聚集}H_{i}（d_{1}）=-（d_}1}+d_{2}）\mu{i}+\lambda{2}\alpha{2}\ chi_{3}-2，\\D_{i}（D_{1}）=D_{1} d日_{2} \mu_{i}^{2}+（d_{1}+d_{2} -d日_{1} \lambda{2}\alpha{2}\shi{3}）\mu{i}+\lambda{1}\lambada{2}\ alpha{1}\schi{1}\ chi_｛2｝-\λ{2}\α{2}\chi{3}+1。\结束{聚集}$$

(4.8)

根据[13]，如果存在\（i\在{\mathcal{N}}_{0}\中）和\（d_{1}*>0\）这样的话

$$D_{i}（D_{1}*）=0，\qquad H_{i{（D_{1}*）\neq0，\q quad H_（j）}（D{1}＊）\neq 0，\ qquad D_{j}（D_{1}*）\ne q0\quad\text{代表所有}j \neq i$$

(4.9)

和\（\压裂{d}{dd_{1}}d_{i}（d_{1}*）\neq0\），则在临界点发生全局稳态分岔\（d_{1}*\）.

签署人(4.4)我们有\（H_{0}（d_{1}）<0\）因此，对于所有人来说\（i\在{\mathcal{N}}_{0}\中），我们有\（H_{i}（d_{1}）<0\）.解决\（D_{i}（D_{1}）=0\），我们得到一组临界值\（（d_{1}，d_{2}）\）由双曲线给出\（C_{i}\）具有\（i\在{\mathcal{N}}:={\mathcal{N{}}_{0}\反斜杠\{0\}\中）:

$$（C_{i}）：d_{2}^{i}=\frac{d_{1}（\lambda{2}\alpha{2}\ chi_{3} -1个)\mu{i}+\lambda{2}\alpha{2}\chi_{3}-\λ{1}\λ{2}\α{1}\chi{1}\chi_{2}-1}{d_{1}\mu{i}^{2}+\mu{i}$$

（4.10）

假设\（\mu_{i}\），\（i\在{\mathcal{N}}\中），是−的简单特征值△.以下[20]，我们打电话给\（B:=\bigcup_{i=1}^{\infty}C_{i}\）关于的分歧集\（（u_｛*｝，v_｛*｝）\）并表示\（B_{0}\）由两条曲线的交点的可数集\（{C_{i}{i=1}^{infty}）; 也表示\（\widehat{B}=B\反斜杠B_{0}\）.

显然，对于任何固定的\（d_{2}>0\），存在唯一的\（d_{1}^{i}\）这样的话\（（（d_{1}^{i}，d_{2}）\in\widehat{B}\cap C_{i}\）、和\（d=d_｛1｝^｛i｝\），两者都是(4.9)和\（\压裂{d}{dd_{1}}d_{i}（d_{1}*）\neq0\）都很满意。

然后，从[13]关于图灵模式的存在性，我们有以下结果。

定理4.1

假设(4.4)持有，并且 \（C_{i}\） 在中定义(4.10),哪里 \（\mu_{i}\），\（i\在{\mathcal{N}}\中），是的简单特征值−△.然后，对于任何 \（（（d_{1}^{i}，d_{2}）\in\widehat{B}\cap C_{i}\） 具有 \（d_{2}\） 固定的，有一条平滑的曲线 \（\Gamma_{i}\） 的正解(3.1)从……分叉 \（（d_{1}，u，v）=（d_}1}^{i}，u{*}，v{*}） 具有 \（\Gamma_{i}\） 包含在全局分支中 \（C_{i}\） 的正解(3.1).此外:

• 1 附近 \（（d_{1}，u，v）=（d_}1}^{i}，u{*}，v{*}），\（\Gamma_{i}=\{（d_{1}（s），u（s）和v（s）：s\in（-\varepsilon，\varepsilon））\}\），哪里 \（u（s）=u{*}+s\mathbf{一}_{i} \xi _｛i｝（x）+so_｛1｝（s），v（s）=v_｛*｝+s\mathbf{b}_{i} \xi_{i}（x）+so_{2}（s）\） 对于 \（s \ in（-\varepsilon，\varepsilon）\） 对一些人来说 \（C^{\infty}\） 光滑函数 \（d_{1}（s），o{1}s，o{2}s） 这样的话 \（d_{1}（0）=d_{1}^{i}\） 和 \（o{1}（0）=o{2}（o）=0\）.在这里 \（\mathbf{一}_{i} \） 和 \（\mathbf{b}_{i} \） 满足 \（L_{i}（d_{1}）（\mathbf{一}_{i} ，\mathbf{b}_{i} ）^{T}=（0,0）^{T}\），和 \（\xi_{i}（\cdot）\） 是特征值的对应特征函数 \（\mu_{i}\） 属于-△.

• 2 投影 \（C_{i}\） 到上面 \（d_{1}^{i}\）-轴包含间隔 \（（0，d_{1}^{i}）\）.

证明

签署人(4.10)由此可见(4.9)持有。因此，在正稳态解附近发生局部稳态分岔。然后，根据中的定理3.1[13]我们可以得出结论，局部稳态分支实际上是全局的。此外，由于我们的模型是在[20]，我们可以从定理2.3中导出[20]分支分支不能包含另一个分支点\（（d_{1}^{j}，u{*}，v{*}），使用\（i\neq j）。这就完成了定理的证明。□

5结论

本文在Neumann边界条件下考虑了一类齐次反应-扩散Atkinson振子系统。首先，我们证明了在一定条件下收敛于唯一正平衡解的含时解的全局存在性和有界性。然后我们证明了系统的非恒定正稳态解的不存在性。最后，我们利用全局稳态分岔理论证明了图灵模式的存在性。为了获得更好的结果，我们只考虑了特定的情况\（n{1}=n{2}=1\）考虑到更普遍的情况是我们研究的下一步。