一类二阶常微分方程边值问题弱解的存在性

摘要

本文的目的是研究一类二阶微分方程边值问题弱解的存在性。作为主要工具，我们将Krasnosel的kii型不动点定理与Banach空间中的弱非紧性测度技术相结合。最后，给出了两个例子来说明我们的抽象结果。

1介绍

本文研究了形式为二阶微分方程边值问题弱解的存在性

$$\开始{aligned}&\biggl（\frac{x（t）-g（t，x（t$$

(1.1)

$$\begin{aligned}&x（0）=g\bigl（0，x（0$$

(1.2)

其中函数\（f，g:[0,1]\times\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\）和\（h:[0,1]\times\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\反斜杠\{0\}\）满足第节中详细给出的一些特殊假设三.

边界值问题出现在各种应用数学和物理领域（参见[1,2]等）。一些常方程的边值问题可以转化为(1.1)-(1.2). 例如，在桥梁设计中，表示\（u（t）\）桥梁从空载位置的位移。小型桥梁通常设计有两个支撑点，这导致了两点边值问题（参见[三]):

$$\begin{aligned}&u''（t）+\upsilon（t）+\varphi\bigl（t，u（t）\bigr）=0，\quad 0<t<1，\\&u（0）=0、\quad u（1）=0。\结束{对齐}$$

如果我们定义\（x（t）=g（t，x（t对于已知的函数克和小时、和\（f（t，x（t））=\upsilon（t）+\varphi（t，u（t），则将上述问题转化为(1.1)-(1.2).

作为另一个示例，对于适当的功能\（p（t）\）和\（磅/平方英寸（t，x）），如果我们取方程(1.1)在表单中

$$\开始{对齐}&g\bigl（t，x（t）\bigr）=e^{-\int_{0}^{t}p（s）\，ds}\int_}0}^}x（s）p（s \text{和}\quad f\bigl（t，x（t）\bigr$$

然后等式(1.1)可以很容易地转换为以下等式：

$$x''（t）+p（t）x'（t）+\psi\bigl（t，x（t）\bigr）=0，\quad 0<t<1$$

与通常唯一可解的初值问题不同，边值问题可以没有解或有多个解。然而，我们将在本文中采取一种策略来应对这个问题的薄弱解决方案。考虑问题弱解的存在性(1.1)-(1.2)，我们将其转化为以下摄动二次积分方程：

$$x（t）=g\bigl（t，x（t$$

(1.3)

哪里G公司格林函数与问题有关吗(1.1)-(1.2). 我们考虑了\（L^{1}（I）\），由定义的所有实函数和区间上可积的Lebesgue组成的Banach空间\（I:=[0,1]\）更具体地说，通过使用与弱非紧性测度相关的不动点技术，我们将建立方程的可积解的存在性(1.3)在某个球\（L^{1}（I）\）.关于一些非线性积分方程可积解的存在性，我们请读者参阅文献[4–10].

2准备工作

让E类成为巴拿赫空间。从现在起，我们表示为\（\数学{B}（E）\）所有非空有界子集的集合E类、和\（\mathcal{W}（E）\）是的子集合\（\数学{B}（E）\）由以下所有弱紧子集组成E类。表示方式\（\mathrm｛B｝_{r} \）闭合球E类以零为中心，半径为第页在下文中，我们接受以下定义（参见[11]).

定义2.1

地图\（\omega:\mathcal{B}（E）\rightarrow\mathbb{R}^{+}\）被称为弱不一致性的（常规）度量\（M，N在数学中{B}（E）），满足以下条件：

• (1) 家庭\（\operatorname{ker}（\omega）：=\{M\in\mathcal{B}（E）：\omega（M）=0\}\）非空，并且\（M\in\operatorname{ker}（\omega）\）当且仅当M（M）相对较弱致密；

• (2) \（N\子结构M\右箭头\omega（N）\leq\ omega（M）\）;

• (3) \（\omega（\overline{M}^{\omega}）=\omega，其中\（上划线{M}^{omega}\）是的弱闭包M（M）;

• (4) \（ω（M\杯N）=最大值{ω（M），ω（N）}）;

• (5) \（\omega（\lambda M）=\vert\lambda\vert\omega（M）\）对所有人来说\（\lambda\in\mathbb{R}\）;

• (6) \（\omega（\operatorname{co}（M））=\ omega（M）\），其中\（\操作员姓名{co}（M）\）是的凸包M（M）;

• (7) \（ω（M+N）\leqslated\ω（M）+\ω（N）\）;

• (8) 如果\（（（M_{n}）_{n=1}^{infty}）是的非空、有界和弱闭子集的递减序列E类具有\（\lim_{n\rightarrow\infty}\omega（M_{n}）=0\），然后\（M_{infty}:=\bigcap_{n=1}^{infty}M_{n}）非空。

家庭\（\ker（\omega）\）（1）中描述的被称为弱非紧性测度的核ω。请注意，交集集合\（M_{\infty}\）来自（8）属于\（\ker（\omega）\）自从\（ω（M_{infty}）对所有人来说\（n\in\mathbb{n}\）和\（\lim_{n\rightarrow\infty}\omega（M_{n}）=0\）.

弱不一致性度量的第一个重要例子是由德布拉西定义的[12]如下：

$$\omega（M）=\inf\bigl\{r>0:\存在W\in\mathcal{W}（E）\text{这样}M\subseteq W+\mathrm｛B｝_{r} \bigr\}$$

弱非紧性的De Blasi测度具有一些有趣的性质。它在非线性分析中起着重要作用，并有一些应用。

然而，在具体的Banach空间中，借助一个方便的公式，很难表达上述弱非紧性的De Blasi测度。在空间的情况下，这样的公式是已知的\（L^{1}（I）\）.英寸[13]Appell和De Pascale表示\（\omega（\cdot）\）在里面\（L^{1}（I）\）具有以下简单形式：

$$\omega（M）=\limsup_{\varepsilon\to0}\biggl\{\sup_{x\in M}\bigbl[\int_{D}\bigl\vert x（t）\bigr\vert，dt:D\subseteq I，\operatorname{meas}（D）\leq\varepsilon\biggr]\biggr$$

(2.1)

对于任何非空有界子集M（M）属于\（L^{1}（I）\），其中\（\operatorname{meas}（\cdot）\）表示勒贝格测度。

回想一下中相对弱紧集的一个有用的刻画\（L^{1}（I）\）由以下Dunford-Pettis定理提供（参见[14第115页）。

定理2.2

有界集合 N个 在 \（L^｛1｝（I）\） 当且仅当 N个 是平等的-可积的,那就是,

$$对于所有\varepsilon>0，\exists\delta>0\textit{这样}\int_{D}\bigl\vert x（t）\bigr\vert，dt\leqslead\varepsilen，\quad\对于N中的所有x$$

对于任何可测集合 \（第I小节） 具有 \（\operatorname{meas}（D）\leqsleat\delta\）.

定义2.3

（请参见[15,16])

让\（E_{1}\）和\（E_{2}\）是两个巴纳赫空间，让\（\mathcal{D}\）是的子集\（E_{1}\）.连续操作员\（T:\数学｛D｝\右箭头E_｛2｝\）据说是

• (1) ws-compact如果\（（（x_{n}）_{n\in\mathbb{n}}\subseteq\mathcal{D}\）是中的弱收敛序列\（E_｛1｝\），序列\（（Tx{n}）{n\in\mathbb{n}}）具有强收敛子序列；

• (2) ww-compact如果\（（（x_{n}）_{n\in\mathbb{n}}\subseteq\mathcal{D}\）是中的弱收敛序列\（E_{1}\），序列\（（Tx_｛n｝）_｛n \in\mathbb｛n｝｝）具有弱收敛子序列。

备注2.4

连续算子是ws-compact当且仅当它将相对弱紧集映射为相对强紧集；并且它是ww-compact当且仅当它将相对弱紧集映射成相对弱紧的集时，因为Banach空间中集的弱紧性等价于它的弱序列紧性，由Eberlein-S̆mulian定理（参见[17第430页）。

A函数\（f:I\times\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\）如果在t吨对于每个x个在里面\（\mathbb{R}\）并在中连续x个几乎每一个（或简称）\（I中的t）.

让\（\mathbf{m}（I）\）表示所有可测量函数的集合\（x:I\rightarrow\mathbb{R}\）。如果函数\（f:I\times\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\）满足Carathé气味条件，那么（f）定义映射\（\mathcal{无}_{f} ：\mathbf{m}（I）\rightarrow\mathbf{m}（I）\）通过\（\mathcal{无}_{f} x个（t） ：=f（t，x（t））\）此映射称为与（f）关于它的连续性，我们有以下定理（参见[18第93页）。

定理2.5

叠加算符 \（\mathcal{无}_{f} \） 地图 \（L^{1}（I）\） 进入之内 \（L^{1}（I）\） 当且仅当存在函数时 \（单位：L^{1}_{+}（I）\） 和一个常数 \（b>0\） 这样的话

$$\bigl\vert f（t，x）\bigr\vert\leq a（t）+b\vert x\vert$$

哪里 \（升^{1}_{+}（I）\） 表示的正锥体 \（L^{1}（I）\）.在这种情况下,\（\mathcal{无}_{f} \） 在将有界集映射为有界集的意义上是连续的和有界的.

定义2.6

让\（\mathcal{D}\）是Banach空间的非空子集E类.操作员\（T:\mathcal{D}\rightarrow E\）据说是

• (1) 用…收缩ℓ如果存在\（[0,1）中的\ ell\）这样的话\（\垂直发送_{1} -发送_{2} \垂直\leqslane\ell\Vert x_{1} -x个_{2} \垂直\）对所有人来说\（x_{1}，x_{2}\在\mathcal{D}\中）;

• (2) ω-用…收缩ℓ如果它将有界集映射为有界集，并且存在\（[0,1）中的\ ell\）这样的话\（ω（T（M））对于所有有界集合M\（\mathcal{D}\）.

我们用以下Krasnosel的kii型不动点结果（参见[19，推论3.4]）。它在证明我们的主要结果中起着重要作用。

定理2.7

让 M（M） 做一个不空虚的人,有界的,Banach空间的闭凸子集 E类.假设操作员 \（A:M\右箭头E\） 和 \（B:E\右箭头E\） 满足

• （i） A类 是 ω-用…收缩 α,和 A类 是ws-契约;

• （ii） B类 与收缩 β,和 B类 是ww-契约;

• （iii） 平等 \（y=按+轴\） 具有 \（x\单位：M\） 暗示 \（y在M中）.

然后就有了 \（x\单位：M\） 这样的话 \（x=轴+Bx \） 假如 \（α+β<1）.

三主要成果

在本文中，\（L^{1}（I）\）表示由定义的所有实函数和勒贝格可积函数组成的巴拿赫空间\（I:=[0,1]\），符合标准规范\（\Vert\cdot\Vert\）; 和\（L^{\infty}（I）\）表示由定义的所有实函数组成的Banach空间我，符合标准规范\（\Vert\cdot\Vert_{infty}\）.

引理3.1

A函数 \（x=x（t）\） 是边值问题的解(1)-(2)当且仅当 x个 是以下积分方程的解:

$$\begin｛aligned｝x（t）=g\bigl（t，x（t）\bigr）+h\bigl（t，x（t）\bigr）\int_｛0｝^{1} G公司（t，s）\，f\bigl（s，x（s）\bigr）\，ds，\end{aligned}$$

(3.1)

其中格林函数与(1.1)-(1.2)由定义

$$G（t，s）=\textstyle\begin{cases}s（1-t），&0\leqs\leqt\leq1，\\t（1-s），&0 \leqt \leqs \leq1。\结束{cases}$$

(3.2)

证明

\（x:I\rightarrow\mathbb{R}\）是等式的解(1.1)当且仅当它满足

$$\frac{d}{dt}\biggl（\ frac{x（t）-g（t，x（t$$

由此可见

$$\frac{x（t）-g（t，x（t））}{h（t，x（t））}=-\int_{0}^{t}（t-s）\，f\bigl（s，x（s）\bigr）\，ds+c_{1} t吨+c{0}$$

(3.3)

通过选择\（t=0\）和\（t=1）英寸(3.3)分别和应用边界条件(1.2)，我们得到

$$c_{0}=\frac{x（0）-g（0，x（O））}{h（0，x（0））}=0，\qquad c_{1}=\int_{0{^{1}（1-s）\，f\bigl（s，x（s）\bigr）\，ds$$

(3.4)

发件人(3.3)-(3.4)我们推断

$$开始{对齐}\frac{x（t）-g（t，x（t（s）\bigr）\，ds.\end{aligned}$$

因此，问题是(1.1)-(1.2)已转换为扰动二次积分方程(3.1). □

备注3.2

由于格林函数的最大值G公司将作为\（s=t\），我们有\（I^{2}中的最大{（t，s）=I}t（1-t）=1/4）因此，线性算子\（\mathbb{G}\）由定义

$$\mathbb{G}x（t）：=\int_{0}^{1}G（t，s）x（s）\，ds，\quad\对于L^{1{（I）中的所有x$$

以为界\（L^{1}（I）\）进入之内\（L^{\infty}（I）\）事实上，我们已经

$$\Vert\mathbb{G}x\Vert_{infty}\leqsland\frac{1}{4}\int_{0}^{1}\bigl\Vert x（s）\bigr\Vert$$

(3.5)

定义3.3

A函数\（x\在L^｛1｝（I）\中）据说是问题的薄弱解决方案(1.1)-(1.2)如果x个满足等式(3.1)关于区间我.

我们将考虑(1.1)-(1.2)根据以下假设。

(\（\mathcal{H} 1个\)):

功能\（f:I\times\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\）和\（h:I\times\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\反斜杠\{0\}\）满足Carathé气味条件。此外，还有一些功能\（f_{0}，h_{0}\在L中^{1}_{+}（I）\）和正数η和γ，从而

$$\bigl\vert f（t，x）\bigr\vert\leqsland f_{0}$$

(\（\mathcal{H} 2个\)):

功能\（g:I\times\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\）满足Carathé气味条件，且存在正数β这样的话

$$\bigl\vert g（t，x）-g（t、y）\bigr\vert\leqslated\beta\vert x-y\vert，\quad\对于所有x、y\in\mathbb{R}\text{和a.e.}t在I中$$

此外，\（g{0}（t）：=转换g（t，0）属于\（升^{1}_{+}（I）\）.

(\（\mathcal{H} 3个\)):

以下不等式成立：

$$4\beta+\gamma\Vert f_{0}\Vert+\eta\Vert h_{0neneneep \Vert+2\sqrt{\gamma\tata\bigl（4\Vert g_{0{0}\ Vert+\ Vert f_{0}\Vert\Vert h_0}\Vert\bigr）}<4$$

(3.6)

备注3.4

（1） 请注意，从(\（\mathcal{H} 2个\))我们推断\（\vert g（t，x）\vert\leqsleat g{0}（t）+\beta\vert x\vert\）对所有人来说\（x\in\mathbb{R}\）以及其他。\（I中的t）因此，根据定理2.5, (\（\mathcal{H} 1个\))和(\（\mathcal{H} 2个\))暗示叠加算符\（\mathcal{无}_{f} \）,\（\mathcal{无}_{g} \）和\（\mathcal{无}_{h} \）分别，映射\（L^{1}（I）\）不断地融入自身。此外，根据[7，引理3.2]，\（\mathcal{无}_{f} \）,\（\mathcal{无}_{g} \）和\（\mathcal{无}_{h} \）是ww-compact。

（2） 它很容易从不等式中推导出来(3.6)第页，共页(\（\mathcal{H} 3个\))关于以下二次不等式第页

$$\gamma\eta\mathbf{r}^{2}-\bigl$$

(3.7)

有积极的解决方案，因为不平等(3.6)意味着

$$\开始{aligned}&\bigl（4-4\beta-\gamma\Vert f_{0}\Vert-\eta\Vert h_{0{0}\ Vert\bigr）^{2}-4\gamma\eta\bigl（4\Vert g_{0}\Vert+\Vert f_{0{0}\ Vert\Vert h_{0neneneep \Vert\bigr）>0，\\&\frac{4-4\beta-\gamma\Vert f _{0｝\Vert-\eta\ Vert h_0}\Vert}{2\gamma\eta}>0。\结束{对齐}$$

此外，还有一个确定的解决方案\（\mathbf{右}_{0}\)第页，共页(3.7)这样的话

$$0<\mathbf{右}_{0}\leqsleat\frac{4-4\beta-\gamma\Vert f_{0}\Vert-\eta\Vert h_{0{0}\ Vert}{2\gamma\eta}$$

(3.8)

定理3.5

在假设条件下(\（\mathcal{H} 1个\))-(\（\mathcal{H} 3个\)),问题(1.1)-(1.2)至少有一个弱解 \（x\单位：M\）,哪里 \（M:=\{x:\Vert x\Vert\leqsleat\mathbf{右}_{0}\}\) 是一个封闭的球 \（L^｛1｝（I）\）,和 \（\mathbf{右}_{0}\) 是的解决方案(3.7)并满足(3.8) .

证明

让\（\mathcal｛B｝：=\mathcal{无}_{g} \）.定义\（\mathcal{A}\）通过\（\mathcal{A}x（t）：=\ mathcal{无}_{h} x（t）\cdot\mathbb{G}\mathcal{无}_{f} x（t）\）对于\（x\单位：M\）.用于证明算子方程\（x=\mathcal{A} x+\马查尔{B} x个\)在以下方面有独特的解决方案\（L^{1}（I）\），我们的流程分为几个步骤。

(1).\（\mathcal{A}\）是ws-compact。

对于所有人\（M\中的x_{1}，x_{2}\），来自(\（\mathcal{H} 1个\))-(\（\mathcal{H} 2个\))，备注3.4和备注3.2，我们推断

$$\开始{aligned}&\Vert\mathcal{A}x_{1}-\mathcal}A}x_2}\Vert\&\quad\leqslate\bigl\Vert\mathbb{G}（\mathcal{无}_{f} x个_{1}-\马查尔{无}_{f} x_{2}）\bigr\Vert_{infty}\cdot\Vert\mathcal{无}_{h} x_{1}\Vert+\Vert\mathbb{G}\mathcal{无}_{f} x_{2}\Vert_{infty}\cdot\Vert\mathcal（垂直）{无}_{h} x{1}-\mathcal公司{无}_{h} x_{2}\Vert\\&\quad\leqslated\frac{1}{4}\bigl（\Verth_{0}\Vert+\gamma\mathbf{r}_{0{bigr）\cdot\Vert\mathcal{无}_{f} x个_{1}-\马查尔{无}_{f} x_{2}\Vert+\frac{1}{4}\bigl（\Vert f_{0}\Vert+\eta\mathbf{r}_{0{\bigr）\cdot\Vert\mathcal{无}_{h} x_{1}-\mathcal公司{无}_{h} x_{2}\垂直。\结束{对齐}$$

因此，根据操作员的连续性\（\mathcal{无}_{f} \）和\（\mathcal{无}_{h} \），我们得到\（\数学｛A｝\）持续打开M（M）.

进一步，让我们取一个弱收敛序列\（（x_{n}）_{n\in\mathbb{n}}）从M（M）然后，对于任何可测子集D类间隔的我，来自(3.5)我们得到以下估计：

$$\开始{aligned}\int_{D}\bigl\vert\mathcal{A} x_{n} （t）\bigr\vert\，dt\leqsland和\vert\mathbb{G}\mathcal{无}_{f} x_{n}\Vert_{infty}\int_{D}\bigl\Vert\mathcal{无}_{h} x_{n}（t）\bigr\vert\，dt\\leqslate&\frac{1}{4}\bigl（\vert f_{0}\vert+\eta\mathbf{右}_{0}\bigr）\int_{D}\bigl\vert\mathcal{无}_{h} x{n}（t）\bigr\vert\，dt\quad（n=1,2，\ldots）。\结束{对齐}$$

(3.9)

由于序列\（（\mathcal）{无}_{h} x{n}）{n\in\mathbb{n}}）相对较弱紧凑（参见备注3.4（1） ），然后应用公式(2.1)我们从中推断(3.9)那个\（（\mathcal{A}x_{n}）_{n\in\mathbb{n}}）也相对较弱。

接下来，让我们确定一个数字\（\varepsilon>0\）.根据定理2.2，我们可以选择一个数字\（增量>0）这样，对于任何可测量子集\（D_{\delta}\）间隔的我具有\（\operatorname{meas}（D_{delta}）\leqsleat\delta\），我们有

$$\int_{D_{\delta}}\bigl\vert\mathcal{A}x_{n}（s）\bigr\vert\，ds\leqslide\frac{\varepsilon}{3}，\quad m=1,2，\ldots$$

(3.10)

根据备注3.4(1),\（\数学{无}_{f} x{n}）{n\in\mathbb{n}}）有一个弱收敛的子序列\（（\mathcal）{无}_{f} x_｛n_｛k｝｝）_｛k\in\mathbb｛n｝｝）由于线性算子的连续性\（\mathbb{G}\）暗示其在上的弱连续性\（L^{1}（I）\）对于a.e。\（I中的t），然后\（（\mathbb{G}\mathcal{无}_{f} x_{n_{k}}）_{k\in\mathbb{n}}\）对a.e逐点收敛。\（I中的t）现在，应用Egoroff定理，存在一个可测子集\（I_{0}\子结构I\）具有\（\operatorname{meas}（I\反斜杠I_{0}）\leqsleat\delta\）这样的话\（（\mathbb{G}\mathcal{无}_{f} x_{n_{k}}）_{k\in\mathbb{n}}\）一致收敛于\（I_{0}\）.

另一方面，\（（\mathcal）{无}_{h} x_{n_{k}}）_{k\in\mathbb{n}}\）根据Remark，也有一个弱收敛的子序列3.4(1). 在不失一般性的情况下，我们可以假设它仍然是\（（\mathcal）{无}_{h} x_{n_{k}}）_{k\in\mathbb{n}}\）因此，序列\（（\mathcal）{无}_{h} x_{n_{k}}\cdot\mathbb{G}\mathcal{无}_{f} x_{n_{k}}）_{k\in\mathbb{n}}\）也就是说，\（（\mathcal{A}x_{n_{k}}）_{k\in\mathbb{n}}在中是强收敛的\（L^{1}（I_{0}）\）（参见[14，3.5号提案，第58页]）。因此，\（（\mathcal{A}x_{n_{k}}）_{k\in\mathbb{n}}满足Cauchy准则\（I_{0}\），即存在\（k_{0}\in\mathbb{N}\）对于任意自然数\（j，k\geqslide k{0}）以下不等式成立：

$$\int_{I_{0}}\bigl\vert\mathcal{A}x_{n_{j}}（t）-\mathcal}A}x{n_}k}}，（t）\bigr\vert\，dt\leqsleat\frac{varepsilon}{3}$$

(3.11)

因此，我们从(3.10)和(3.11)那个

$$\开始{对齐}\Vert\mathcal{A}x_{n_{j}}-\mathcal}A}x_{n_}k}}\Vert&\leqslate\int_{I_{0}}\bigl\Vert\mathcal{A}x_{n_{j{}（t）-\mathcal{A{x_{n_}}}（t）\bigr\Vert\，dt\\&\quadr{}+\int__{I\反斜杠I_{0}}\bigl\Vert\mathcal{A}x_{n_{j}}，dt\\&\leqsleat\varepsilon，\end{aligned}$$

这意味着序列\（（\mathcal{A}x_{n_{k}}）_{k\in\mathbb{n}}收敛于\（L^{1}（I）\），然后\（\mathcal{A}\）映射的相对弱紧子集M（M）变成相对紧密的。

因此，我们完成了以下证明\（\mathcal{A}\）是ws-compact。

(2).\（\mathcal{A}\）是ω-收缩的。

让D类是区间的可测子集我，并让S公司是的非空子集M（M）.摘自备注(3.4)和备注(3.2)，对于所有人\（x在S中），我们推断

$$\int_{D}\bigl\vert\mathcal{A} x个（t） \bigr\vert\，dt\leqsland\vert\mathbb{G}\mathcal{无}_{f} x\Vert_{\infty}\int_{D}\bigl\Vert\mathcal{无}_{h} x（t）\bigr\vert\，dt\leqsland\frac{1}{4}\bigl$$

考虑到单个元素的集合是弱紧的，并且\（\Vert x\Vert\leqslant\mathbf）{右}_{0}\)、公式的使用(2.1)导致

$$\omega\bigl（\mathcal{A}（S）\biger）\leqslated\frac{（\Vert f_{0}\Vert+\eta\mathbf{r_{0{}}）\gamma}{4}\omega（S）=\alpha\omega$$

(3.12)

哪里\（\alpha:=（\Vert f_{0}\Vert+\eta\mathbf{r_{0}}）\gamma/4\）.应用不等式(3.8)，我们有

$$\alpha<\frac{\gamma}{4}\biggl（\Vert f_{0}\Vert+\frac{4-4\beta-\gamma\Vert f _{0{0}\ Vert-\eta\Vert h_{0｝\Vert}{\gama}\bigr）<1-\beta$$

(3.13)

因此(3.12)意味着\（\mathcal{A}\）是ω-收缩α.

(3). 如果\（y=马塔尔{B} 年+\数学{A} x\)对于\（x\单位：M\），然后\（y在M中）.

如果\（L^{1}（I）中的y）满足\（y=马塔尔{B} 年+\数学{A} x个\)对于\（x\单位：M\），那么我们有

$$\begin{aligned}\bigl\vert y（t）\bigr\vert\leqslate和\bigl\ vert\mathcal{无}_{g} y（t）\bigr\vert+\bigl\vert\mathcal{无}_{h} x（t）\bigr\vert\cdot\bigl\vert\mathbb{G}\mathcal{无}_{f} x（t）\bigr\vert\\\leqslate&g_{0}$$

对于a.e。\（I中的t），因此

$$4\Vert y\Vert\leqslate4\Vertg_{0}\Vert+4\beta\Vert y \Vert+\bigl（\Vert f_{0{0}\eta\Vert x\Vert\bigr）\bigl（\ Vert h_{0neneneep \Vert+\gamma\Vert x \Vert\bigr$$

注意到\（\Vert x\Vert\leqslated\mathbf{r_{0}}\）和应用不等式(3.7)，我们从上面推断出

$$\垂直y\Vert\leqslated\frac{4\Vert g_{0}\Vert+\Vert f_{0{0}\Vert\Vert h_{0｝\Vert+（\gamma\Vert f _{0neneneep \Vert+/eta\Vert h_{0}\ Vert）\mathbf{右}_{0}+\gamma\eta\mathbf{r}^{2}_{0}}{4（1-\beta）}\leqsleat\mathbf{右}_{0}, $$

这意味着\（y在M中）.

(4). 结论。

定理的条件（i）2.7在（1）-（2）中得到了验证，定理的条件（iii）2.7已在（3）中验证。此外，\（\mathcal{B}=\mathcal{无}_{g} \）与收缩β由(\（\mathcal{H} 2个\))、和\（\mathcal{B}\）通过备注实现ww-compact3.4(1). 那么定理的条件（ii）2.7感到满意。估计值\（α+β<1）来自(3.13).

现在，根据定理2.7，我们得到公式(3.1)中至少有一个解决方案M（M），然后是弱解的存在性\（L^{1}（I）\）对于问题(1.1)-(1.2)已证明。□

4示例

在本节中，我们给出两个例子来说明定理中涉及的存在性结果3.5.

示例4.1

考虑二阶常微分方程的以下边界问题：

$$开始{对齐}和\biggl（\frac{2x（t）-（t-t^{2}）\sin x（t$$

(4.1)

$$\begin{aligned}&x（0）=0，\qquad x（1）=0。\结束{对齐}$$

(4.2)

为了显示这个问题(4.1)-(4.2)在某个球中至少承认一个弱解\（L^{1}（I）\），我们将检查定理的条件3.5都很满意。为此，定义以下功能：

$$g（t，x）：=\frac{1}{2}\bigl（t-t^{2}\bigr）\sin x，\qquad h（t，x）：=\frac{1}}{2{sqrt{e^{t}+x^{2{}}，\qquad f（t，×）：=\ frac{ln（1+t）+x}{1+x^}}$$

对于所有人\（x\in\mathbb{R}\）和\（在[0,1]\中），我们有

$$\bigl\vert f（t，x）\bigr\vert\leqslait\ln（1+t）+\vert x\vert，\qquad\bigl\overth$$

因此(\（\mathcal{H} 1个\))对…感到满意\（f_{0}（t）=ln（1+t））,\（eta=1）,\（h｛0｝（t）=\sqrt｛e^｛t｝｝/2\）和\（伽马=1/2）.

对于任何\（x_{1}，x_{2}\在\mathbb{R}\中）和\（I中的t），我们有

$$\bigl\vert g（t，x_{1}）-g（t、x_{2}）\bigr\vert=\frac{t-t^{2}}{2}\vert\sinx_{1\sinx_2}\vert\leqsleat\frac{1}{8}\vert x_{1} -x个_{2} \垂直$$

因此(\（\mathcal{H} 2个\))对…感到满意\（β=1/8）和\（g{0}（t）=0\）.

此外，简单的计算得出

$$\Vert f_{0}\Vert=2\ln2-1，\qquad\Vert g_{0neneneep \Vert=0，\qquad\Verth_{0{0}\ Vert=\sqrt{e} -1。 $$

很容易推断出这种不平等(3.6)保持，然后(\（\mathcal{H} 3个\))感到满意。

现在，根据定理3.5，我们推断存在\（x\在L^{1}（I）中\）这是一个问题的弱解决方案(4.1)-(4.2)在集合中\（M:=\{x:\Vert x\Vert\leq\mathbf{右}_{0}\} \)，其中\（\mathbf{右}_{0}\)满足

$$0<\mathbf{右}_{0}\leqsleat\frac{4-4\beta-\gamma\Vert f_{0}\垂直-\eta\Vert h_{0{2\gamma\eta}=5-\ln2-\sqrt{e}=2.8581\ldots$$

示例4.2

考虑二阶常微分方程的以下边界问题：

$$\begin｛aligned｝&x''（t）+tx'（t）+\ln\bigl（1+\bigl\vert x（t）\bigr\vert\bigr）+2-t+2t^{2}-\ln\bigl（1+t-t^{2}\bigr）=0，\quad t\in[0,1]，\end{aligned}$$

(4.3)

$$\begin{aligned}&x（0）=0，\qquad x（1）=0。\结束{对齐}$$

(4.4)

根据第节的介绍1，我们可以采用如下函数：

$$\开始{aligned}&g\bigl（t，x（t）\bigr）=e^{-\frac{1}{2} t吨^{2} }\int_{0}^{t}x（s）se^{frac{1}{2} 秒^{2} }\，ds，\qquad h\bigl（t，x（t）\bigr）=e^{-\frac{1}{2} t吨^{2} }，\\&f\bigl（t，x（t）\bigr）=e^{\frac{1}{2} t吨^{2} ｝\bigl[\ln\bigl（1+\bigl\vert x（t）\bigr\vert\bigr）+2-t+2t^{2}-\ln\bigl（1+t-t^{2}\bigr）\bigr]。\结束{对齐}$$

对于所有人\（x\in\mathbb{R}\）和\（在[0,1]\中），我们有

$$\开始{aligned}&\bigl\vert f（t，x）\bigr\vert\leqslate e^{\frac{1}{2} t吨^{2} }\bigl[2-t+2t^{2}-\ln\bigl（1+t-t^{2}\bigr）\bigr]+\sqrt{e}\vert x\vert，\\&\bigl\vert h（t，x）\biger\vert\leqsleat\int_{0}^{1}e^{-\frac{1}{2} t吨^{2} }\，dt+\gamma\vert x\vert。\结束{对齐}$$

因此(\（\mathcal{H} 1个\))对…感到满意\（f_{0}（t）=e^{\frac{1}{2} t吨^{2} }[2-t+2t^{2}-（1+t-t^{2}）]\）,\（\ta=\sqrt{e}\）,\（h{0}（t）=e^{-\frac{1}{2} t吨^{2}}\)和γ被选为足够小的正数。

此外，对于所有人\（x_{1}，x_{2}\在\mathbb{R}\中）和\（在[0,1]\中），我们有

$$\bigl\vert g（t，x_｛1｝）-g（t，x_｛2｝）\bigr\vert=e^｛-\frac｛1｝{2} t吨^{2} }\int_{0}^{t}\vert x_{1} -x个_{2} ｛1｝{2} 秒^{2} }\，ds\leqsland\biggl（1-\frac{1}{\sqrt{e}}\biggr）\vert x_{1} -x个_{2} \垂直$$

和\（g{0}（t，0）=0\）因此(\（\mathcal{H} 2个\))对…感到满意\（β=1-1/\sqrt｛e｝\）。注意，简单的计算得出

$$\Verth_{0}\Vert=\int_{0{1}e^{-\frac{1}{2} t吨^{2} }\，dt\leqsleat0.9，\qquad\Vert g_{0}\Vert=0，\qqquad\\Vert f_{0{0}\ Vert\leqslated\int_{0｝^{1}e^{-\frac{1}{2} t吨^{2} }\bigl（2-t+2t^{2}\biger）\，dt\leqsleat1.69$$

因此，如果我们\（0<\gamma\leqslide0.02\），那么我们有

$$\开始{aligned}&4\beta+\gamma\Vert f_{0}\Vert+\eta\Vert h_{0{0}\ Vert+2\sqrt{\gamma\ta\bigl sqrt{e}\times0.9+2\sqrt{0.02\times\sqrt}e\times1.69\times09}\\&\quad=3.5394\ldots<4，\end{aligned}$$

这意味着(\（\mathcal{H} 3个\))感到满意。

最后，基于定理3.5，我们推断存在\（x\在L^{1}（I）中\）这是一个问题的弱解决方案(4.3)-(4.4). 此外，很容易看出(4.3)-(4.4)是\（x（t）=t-t^{2}\）.

5结论

本文建立了二阶非线性微分方程边值问题弱解的存在性结果。我们对方程中涉及的函数的主要假设是Carathéodory条件，主要工具是Krasnosel的kii型不动点定理以及弱非紧性测度技术。

在定理证明中3.5，我们避免使用Scorza-Dragoni定理[20]Arzelá-Ascoli定理，函数的连续模G公司通过使用Egoroff定理，我们替换了这种方法，从而简化了证明过程。读者可以将其与[5,8,10,21,22].