渐近周期分数阶Kirchhoff型问题的Nehari型基态解\（\mathbb{R}^{N}\）

摘要

本文研究了以下分数阶Kirchhoff型方程：

$$\biggl（a+b\int_{\mathbb{R}^{N}}\bigl\vert（-\三角形）^{\frac{\alpha}{2}}u\bigr\vert^{2}\，\mathrm{d} x个\biggr）（-\三角形）^{\alpha}u+V（x）u=f（x，u），\quad x\ in{\mathbb{R}}^{N}$$

哪里一,b条是正常数，\（（0,1）中的α）,\（N（2α，4α））,\（（-\三角形）^{\alpha}\）是分数拉普拉斯算子，\（V（x）\）和\（f（x，u）\）是周期的还是渐近周期的x个在非线性较弱的条件下，分别在周期和渐近周期情况下，得到了上述问题基态解的存在性。特别是，我们的结果统一了渐近三次非线性和超剪切非线性，即使对于\（\alpha=1\）.

1介绍

本文研究了以下分数阶Kirchhoff型问题：

$$\biggl（a+b\int_{\mathbb{R}^{N}}\bigl\vert（-\三角形）^{\frac{\alpha}{2}}u\bigr\vert^{2}\，\mathrm{d} x个\biggr）（-\三角形）^{\alpha}u+V（x）u=f（x，u），\quad x\ in{\mathbb{R}}^{N}$$

(1.1)

哪里\（在（0,1]\）中为α,一,b条为正常数。分数拉普拉斯算子\（（-\triangle）^｛\alpha｝\）定义为：

$$（-\三角形）^{\alpha}u（x）=\frac{1}{C（\alpha）}\int_{\mathbb{R}^{N}}\frac}u（x）-u（y）}{\vertx-y\vert^{N+2\alpha{}}\，\mathrm{d} x个，\quad x\in\mathbb｛R｝^｛N｝$$

可以看作是Lévy稳定扩散过程的无穷小生成元[1]. 为了减少我们的陈述，我们首先假设V（V）和非线性（f）满足以下基本假设：

（五） ：

\（V\in\mathcal{C}（\mathbb{R}^{N}）\cap L^{infty}（\ mathbb}R}^}）\）和\（\inf_{\mathbb{R}^{N}}V（x）>0\）；

（一层）：

\（f\in\mathcal{C}（\mathbb{R}^{N}\times\mathbb2{R}，\mathbb{R}）\）并且存在常量\（C>0\）和\（2<p<2^{ast}_{alpha}:=\压裂{2N}{N-2\alpha}\）这样的话

$$\begin{aligned}\bigl\vert f（x，t）\bigr\vert\leq C\bigl（1+\vert t\vert^{p-1}\bigr），\quad\forall（x，t）\in\mathbb{R}^{N}\times\mathbb{R}；\结束{对齐}$$

（F2）：

\（f（x，t）=o（t））作为\（向右箭头）在中一致\（x\in\mathbb{R}^{N}\）；

（F3）：

\（\lim_{\vert t\vert\rightarrow\infty}\frac{\int_{0}^{t} （f）（x，s）\，\mathrm{d} 秒}{\vert t\vert^{4+N-4\alpha}}=\infty\）在中一致\（x\in\mathbb｛R｝^｛N｝\）；

（F4）：

存在一个常数\（（0,1）中的θ{0}）这样，对于任何\（x\in\mathbb{R}^{N}\）,\（t>0）和\（\tau\neq0）

$$\begin｛aligned｝\biggl[\frac｛f（x，\tau）｝｛\tau ^｛3｝｝-\frac｛f（x，t\tau）｝｛（t\tau）^｛3｝｝\biggr]\运算符名称｛sign｝（1-t）+\theta_{0}伏（x） \frac{\vert 1-t^{2}\vert}{（t\tau）^{2{}\geq0。\结束{对齐}$$

近年来，在纯数学研究和具体的实际应用中，如分数量子力学中，分数算子和非局部算子出现在对各种现象的描述中[2,三]物理和化学[4]，障碍物问题[5]、优化和财务[6]保角几何和极小曲面[7]等等。

如果\（阿尔法=1），问题(1.1)正式简化为众所周知的Kirchhoff Dirichlet方程：

$$-\biggl（a+b\int_{\Omega}\vert\nabla u\vert^{2}\，\mathrm{d} x个\biggr）\三角形u+V（x）u=f（x，u），\quad x\in\mathbb{R}^{N}$$

(1.2)

这与方程的平稳模拟有关

$$u美元_{tt}-\biggl（a+b\int_{\Omega}\vert\nabla u\vert^{2}\，\mathrm{d} x个\biggr）\三角形u=f（x，u）$$

(1.3)

这类方程首先由基尔霍夫提出[8]描述拉伸弦的横向振荡。有关物理方面的更多细节，我们请读者参阅[7,9,10]. 特别是狮子队之后[11]引入了一个抽象的功能分析框架(1.2)基尔霍夫型问题越来越受到各作者的关注。有许多存在性和多样性结果(1.2)例如，张和张[12]证明了渐近周期Kirchhoff型问题Nehari型基态解的存在性（f）满足（F1）、（F2）和以下条件：

（F3′）：

\（\lim_{\vert t\vert\rightarrow\infty}\frac{\int_{0}^{t} （f）（x，s）\，\mathrm{d} 秒}{\vert t\vert^{4}}=\infty\）在中一致\（x\in\Omega\）；

（F4′）：

\（\frac{f（x，t）}{\vert转换^{3}}\）不会减少t吨在\（\mathbb{R}\setminus\{0\}\）对于每个\（x\in\mathbb{R}^{N}\）.

有关基尔霍夫型问题的最新结果，请参见例如[13–22].

什么时候？\（a=1）和\（b=0），然后(1.1)归结为以下分数Schrödinger问题：

$$（-\三角形）^{\alpha}u+V（x）u=f（x，u），\quad x\in\mathbb{R}^{N}$$

(1.4)

自\（（-\三角形）^{\alpha}\）是一个非局部算子，椭圆偏微分方程的常用分析工具对于(1.4). 这导致了一些数学上的困难，这使得对这样一个问题的研究特别有趣。在Caffarelli和Silvestrein将非局部问题转化为局部问题之后[23]，已有大量的工作集中于分数阶薛定谔方程的研究。最近，塞奇[24]利用Nehari流形方法得到了正解的存在性。Chang公司[25]证明了正基态解的存在性(1.4)何时\（f（x，t）\）相对于t吨在无穷远处。Zhang、Zhang和Mi[26]确定了解决方案的存在性(1.4)在周期和渐近周期情况下，通过变分方法。我们建议读者参考[27–32]以及其中的参考文献。

虽然分数阶薛定谔方程已经被广泛研究，但就我们所知，很少有论文涉及分数阶基尔霍夫型问题，如(1.1)在文学作品中。最近，在衰变假设下V（V）、刘、马可和张[33]已考虑(1.1)其中\（N=2）具有\（\α\ in（\压裂{1}{2}，1）\）或\（N=3\）具有\（\α\ in（\压裂{3}{4}，1）\）和\（f（x，t）=f（t）\）满足：

（H1）：

\（f\in\mathcal{C}^{1}（\mathbb{R}^{+}，\mathbb{R}）\）和\（\lim_{t\rightarrow0}\frac{f（t）}{t}=0\）；

（下半年）：

有\（D>0\）和\（2<q<2^{*}{\alpha}\）这样的话\（f（t）\geqt^{t^{2^{*}_{\alpha}}-1}+Dt^{q-1}\）对于任何\（t \geq0）.

我们指出，他们获得了基态解的存在性(1.1)何时D类足够大（H2）。请注意\（2^{*}_{\alpha}>4\）什么时候\（N=2）具有\（\α\ in（\压裂{1}{2}，1）\）或\（N=3\）具有\（\α\ in（\压裂{3}{4}，1）\），这意味着（f）满足超铜条件（F3′）。事实上，在（F1）和（F3′）下，很容易验证山口几何的能量泛函。与他们的工作不同，我们假设（f）是非自治的，并且满足（F3），这意味着（F3′）。显然，（F1）和（F3）表明\（N（2α，4α））具有\（\alpha\in（0,1）\）这就是我们在本文中所关注的。我们的结果可以被视为[33]. 我们还引用[34–41]获取相关结果。

本文研究渐近周期分数阶Kirchhoff型问题基态解的存在性(1.1)涉及渐近立方或超立方非线性。为此，我们必须克服三个主要困难：（一）何时（f）是渐近立方(即。 \（\lim_{\vert-t\vert\rightarrow\infty}\frac{\vertf（x，t）\vert}{\vert t\vert^{3}}=V_{\infty}\geq\（不相等）\0\）)，没有用于(1.1)标准变分方法不能用于Nehari流形；（二） 何时\（V（x）\）和\（f（x，u）\）在中是渐近周期的x个对于渐近周期问题，许多有效的求解周期问题的方法是无效的；（三） 何时（f）不可微，Nehari流形可能不是\（\mathcal{C}^{1}\）因此很难证明Nehari流形上变分泛函的极小值是一个临界点。为了克服这些困难，我们将在本文中介绍一些新的方法和分析技术。

为了准确地说明我们的结果，我们用\（\mathcal{H}\）函数类\（h\in\mathcal{C}（\mathbb{R}^{N}，\mathbb{R}）\cap L^{infty}这样，对于每一个\（epsilon>0\），套装\（{x\in\mathbb{R}^{N}:\verth h（x）\vert\geq\epsilon\}\）具有有限Lebesgue测度。此外，对于潜力V（V）和非线性项（f），我们假设：

（V0）：

\（V\in\mathcal{C}（\mathbb{R}^{N}，（0，\infty））和\（V（x）\）在中为1-周期x个；

（F0）：

\（f（x，t）\）在中为1-周期x个；

（V0′）：

\（V（x）=V{0}（x）+V{1}（x）\）,\（V_{0}，V_{1}\在\mathcal{C}中（\mathbb{R}^{N}，\mathbb{R}^{N{）\）、和\（V_{0}（x）\）在中为1-周期x个,\（V_{1}（x）\leq0\）对于\（x\in\mathbb{R}^{N}\）、和\（V_{1}\ in \mathcal{H}\）；

（F0′）：

\（f（x，t）=f{0}（x，t）+f{1}（x，t）\）,\（f_{0}\in\mathcal{C}（\mathbb{R}^{N}\times\mathbb{R}^{N{，\mathbb2{R}）,\（f_{0}（x，t）\）在中为1-周期x个，对于任何\（x\in\mathbb{R}^{N}\）,\（t>0）和\（\tau\neq0）,

$$\beign｛aligned｝\biggl[\frac｛f_{0}（x，\tau）｝｛\tau ^｛3｝｝-\frac｛f_{0}（x，t\tau）｝｛（t\tau）^｛3｝｝\biggr]\ operatorname｛sign｝（1-t）+V_｛0｝（x）\frac｛\vert 1-t^｛2｝\vert｝｛（t\tau）^｛2｝｝\geq0；\结束{对齐}$$

(1.5)

\（f_{1}\in\mathcal{C}（\mathbb{R}^{N}\times\mathbb{R}，\mathbb2{R}）\），满足

$$\begin{aligned}\bigl\vert f_{1}（x，t）\bigr\vert\leq h（x）\bigl（\vert t\vert+\vert t_vert^{q-1}\bigr），\quad f_1}（x，t）t\geq0，\end{alinged}$$

(1.6)

哪里\（F_{1}（x，t）=\int_{0}^{t} （f）_{1} （x，s）\，\mathrm{d} 秒\),\（q\在（2,2^{\ast}{\alpha}）中和\（h\in\mathcal｛h｝\）.

受到上述工作的启发，尤其是[21,42,43]，我们寻求明确的答案来克服上述三个困难。首先，我们使用一个新的技巧来显示以下集合：

$$\begin{aligned}\mathcal{E}=\biggl\{u\在E:b\bigl\Vert（-\triangle）^{\frac{\alpha}{2}}u\bigr\Vert中^{4}_{2} +\int_{\mathbb{R}^{N}}\bigl[V（x）u^{2}-f（x，u）u\bigr]\，\mathrm{d} x个<0\biggr\}，\end{对齐}$$

不为空（参见引理2.4)，并构造一个新的极大极小特征（参见引理2.6)（F3）下。其次，对于渐近周期的情况，我们采用了一种引入[21]通过结合定量形变引理和度理论，克服了周期性下降带来的困难\（V（x）\）和\（f（x，u）\）在里面x个（参见第节4). 第三，因为基于Nehari流形方法的论点（参见Szulkin和Weth[44])在条件（F4）而不是（F4′）下无效，我们将使用在[42,43]. 它依赖于为与之相关的变分泛函找到一个最小化的Cerami序列(1.1)使用对角线方法在Nehari流形外部（参见引理2.8). 注意（F3）意味着（F3′），它涵盖了由于\（N（2α，4α））.

现在，我们陈述本文的主要结果。在周期情况下，我们建立了以下定理。

定理1.1

假设 V（V） 和 （f） 满足（V0）和（F0）-（F4）。然后是问题(1.1)具有基态解决方案 \（在E\中为u_{0}\） 这样的话 \（\Phi（u_{0}）=\inf_{\mathcal{N}}\Phi>0\）.此外,

$$b\bigl\Vert（-\三角形）^{\frac{\alpha}{2}}u_{0}\bigr\Vert^{4}_{2} +\int_{\mathbb{R}^{N}}\bigl[V（x）u_{0}^{2} -f（x，u{0}）u{0{0}\bigr]\，\mathrm{d} x个< 0. $$

在渐近周期的情况下，我们建立了以下定理。

定理1.2

假设 V（V） 和 （f） 满足（V0′），（F0′）和（F1）-（F4）。然后是问题(1.1)具有基态解决方案 \（在E\中为u_｛0｝\） 这样的话 \（\Phi（u_{0}）=\inf_{\mathcal{N}}\Phi>0\）.此外,

$$b\bigl\Vert（-\三角形）^{\frac{\alpha}{2}}u_{0}\bigr\Vert^{4}_{2} +\int_{\mathbb{R}^{N}}\bigl[V（x）u_{0}^{2} -f（x，u{0}）u{0{0}\bigr]\，\mathrm{d} x个< 0. $$

备注1.3

自任期以来\（\Vert（-\triangle）^｛\frac｛\alpha｝｛2｝｝u \Vert）^{4}_{2}\)同质化程度为4级，文献大部分集中于研究(1.1)带有（f）满足超铜条件（F3′）。然而，很少有论文考虑（f）满足渐近立方。为了统一处理渐近立方或超立方非线性，我们使用较弱的条件（F3）代替（F3′），其中\（N（2α，4α））具有\（（0,1）中的α）.我们的结果有力地改进了先前关于基态解存在性的结果(1.1)，即使对于\（阿尔法=1）此外，我们将通常的Nehari型单调条件简化为较弱的条件（F4）。事实上，有许多函数满足（F1）-（F4），但不满足（F3′）和（F4′），文中介绍了一些典型的例子[21].

在本文中，我们表示\（L^{s}（\mathbb{R}^{N}）\）通过\（\垂直u\垂直{s}\）对于\（第2页）,\（B_{r}（x）=\{y\in\mathbb{r}^{N}:\vert y-x\vert<r}\）、和C是各种正常数。

2前期工作

首先，我们给出一些符号。分数Sobolev空间的完整介绍可以在[45]; 在接下来的讨论中，我们提供一个简短的回顾。我们定义了齐次分数Sobolev空间\（\mathcal{D}^{alpha，2}（\mathbb{R}^{N}）\）如下：

$$\mathcal{D}^{\alpha，2}\bigl（\mathbb{R}^{N}\bigr）=\biggl\{u\在L^{2^{\ast}_{\alfa}}\bigle（\mathbb{R}^{N}\biger）：\frac{\vertu（x）-u（y）\vert}{\vertx-y\vert^{\frac}N}{2}+\alpha}}hbb{R}^{N}\times\mathbb{R}^{N}\bigr）\biggr\}$$

这是完成\（\mathcal{C}^{infty}_{0}（\mathbb{R}^{N}）\）低于标准

$$\Vert u\Vert _｛\mathcal｛D｝^｛\alpha，2｝（\mathbb｛R｝^｛N｝）｝=\bigl（\int_｛\mathbb｛R｝^｛N｝｝）\bigl\Vert（-\triangle）^｛\frac｛\alpha｝｛2｝｝u \bigr\Vert ^｛2｝\，\mathrm{d} x个\biggr）^{1/2}=\biggl（\int_{\mathbb{R}^{N}}\int__{\mathbb{R}^{N}}\frac{\vert u（x）-u（y）\vert^{2}}{\vertx-y\vert ^{N+2\alpha}}\，\mathrm{d} x\，\mathrm{d} 年\biggr）^{1/2}$$

此外，嵌入\（\mathcal{D}^{alpha，2}（\mathbb{R}^{N}）\hookrightarrowL^{2^{ast}_{alpha}}（\ mathbb}R}^}）\）是连续的，对于任何\（（0,1）中的α），存在一个最佳常数\（S_{\alpha}\）这样的话

$$S_{\alpha}=\inf_{u\in\mathcal{D}^{\alfa，2}（\mathbb{R}^{N}）}\frac{int_{mathbb}R}^}N}}\vert（-\三角形）^{frac{\alba}{2}u\vert^{2}\，\mathrm{d} x个}{（\int_{\mathbb{R}^{N}}\vert u^{2_{\alpha}^{\ast}}\ vert，\mathrm{d} x个）^{\frac{2}{2_{\alpha}^{\ast}}}}$$

分数Sobolev空间\（H^{\alpha}（\mathbb{R}^{N}）\）可以描述为

$$H^{\alpha}\bigl（\mathbb{R}^{N}\bigr）=\biggl\{u\inL^{2}\bigle（\mathbb{R}^{N}\biger）：\frac{\vert u（x）-u（y）\vert}{\vertx-y\vert^{\frac}N}{2}+\alpha}\inL#{2}（\methbb{R1}^{N}\times\mathbb}R}^{N}\bigr）\biggr\}$$

被赋予自然规范

$$\Vertu\Vert_{H^{\alpha}（\mathbb{R}^{N}）}=\biggl（\int_{mathbb}R}^}N}}\vertu\Vert^{2}\，\mathrm{d} x个+\int_{\mathbb{R}^{N}}\int__{\mathbb{R}^{N}}\frac{\vert u（x）-u（y）\vert ^{2}}{\vertx-y\vert^{N+2\alpha}}\，\mathrm{d} x个\，\mathrm{d} 年\biggr）^{1/2}$$

众所周知\（H^{\alpha}（\mathbb{R}^{N}）\）不断嵌入\（L^{q}（\mathbb{R}^{N}）\），并紧密嵌入\（升^{q}_{\mathrm{loc}}（\mathbb{R}^{N}）\）对于\（2\leq\leq2_{\alpha}^{\ast}:=\frac{2N}{N-2\alpha}\）.

在假设（V）下，我们看到

$$E=\biggl\{u\在H^{\alpha}\bigl（\mathbb{R}^{N}\bigr）中：\int_{\mathbb{R}^{N{}\bigle（a\bigl\vert（-\三角形）^{\frac{\alfa}{2}}u\bigr\vert^{2}+V（x）u^{2{\bigrr）\，\mathrm{d} x个<+\infty\biggr\｝$$

希尔伯特空间配备了标准配置

$$\Vert u\Vert=\biggl（\int_{\mathbb{R}^{N}}\bigl（一个\bigl\Vert（-\三角形）^{\frac{\alpha}{2}}u\bigr\Vert^{2}+V（x）u^{2{\bigr）\，\mathrm{d} x个\biggr）^{1/2}$$

让

$$开始{对齐}[b]\Phi（u）&=\frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^{N}}\bigl{d} x个\\&\quad{}+\frac{b}{4}\biggl（\int_{\mathbb{R}^{N}}\bigl\vert（-\triangle）^{\frac{\alpha}{2}}u\bigr\vert^{2}\，\mathrm{d} x个\biggr）^{2}-\int_{\mathbb{R}^{N}}F（x，u）\，\mathrm{d} x个，\四\表示E中的所有u \结束{对齐}$$

(2.1)

从（F1）和（F2）很容易看出\（\Phi\in\mathcal{C}^{1}（E，\mathbb{R}）\）作为一种功能

$$\begin{aligned}\bigl\langle\Phi'（u），v\bigr\rangle=&\int_{\mathbb{R}^{N}}\bigle（a（-\三角形）^{\frac{\alpha}{2}}u（-\三角）^{\ frac{\ alpha}{2}v+v（x）uv\biger）\，\mathrm{d} x个\\&{}+b\int_{\mathbb{R}^{N}}\bigl\vert（-\三角形）^{\frac{\alpha}{2}}u\bigr\vert^{2}\，\mathrm{d} x个\int_{\mathbb{R}^{N}}（-\三角形）^{\frac{\alpha}{2}}u（-\三角）^{\ frac{\ alpha}}v\，\mathrm{d} x个\\&{}-\int_{\mathbb{R}^{N}}f（x，u）v\，\mathrm{d} x个，对于所有u，v在E中，结束{对齐}$$

(2.2)

显然，Φ的任何临界点都是(1.1). 设置

$$\begin{aligned}\mathcal{N}:=\bigl\{u\在E:\bigl\ langle\Phi'（u）中，u\bigr\rangle=0，u\neq0\bigr\}。\结束{对齐}$$

(2.3)

引理2.1

假设（V） ，（F1），（F2）和（四层）持有.然后

$$开始{aligned}\Phi（u）\geq&\Phi（tu）+\frac{1-t^{4}}{4}\bigl\langle\Phi^{'}（u），u\bigr\rangle+\frac{（1-\theta_{0}）。\结束{对齐}$$

(2.4)

证明

对于任何\（x\in\mathbb{R}^{N}\）,\（t \geq0）,\（\tau\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\），（F4）产量

$$开始{对齐}[b]&\frac{1-t^{4}}{4}\tau f（x，\tau）+f（x，t\tau）-f（x，tau）+\frac{theta_｛0｝V（x） }{4}\bigl（1-t^{2}\bigr）^{1}_{t} biggl[\frac｛f（x，\tau）｝｛\tau ^｛3｝｝-\frac｛f（x，\xi\tau）｝｛（\xi\tau）^｛3｝｝+θ_{0}伏（x） \frac{1-\xi^{2}}{（\xi\tau）^{2{}\biggr]\xi^}3}\tau^{4}\，\mathrm{d}\xi\geq0。\结束{对齐}$$

(2.5)

由(2.1), (2.2)和(2.5)，我们有

$$\开始{对齐}\Phi（u）-\Phi{4} b条\bigl\Vert（-\三角形）^{\frac{\alpha}{2}}\bigr\Vert^{4}_{2} +\int_{\mathbb{R}^{N}}\bigl[F（x，tu）-F（x，u）\bigr]\，\mathrm{d} x\\=&\frac{1-t^{4}}{4}\bigl\langle\Phi^{'}（u），u\bigr\rangle+\frac{（1-t^}）^{2}{2}\Vertu\Vert^{2{\\&{}+\int_{\mathbb{R}^{N}}\biggl[\frac}1-t^{4}{4} （f）（x，u）u+F（x，tu）-F（x，u）\biggr]\，\mathrm{d} x个\\geq&\frac{1-t^{4}}{4}\bigl\langle\Phi^{'}（u），u\bigr\rangle+\frac{（1-\theta_{0}）（1-t^}）{4} （f）（x，u）u+F（x，tu）-F（x，u）+frac{theta_{0}伏（x） ｛4｝\bigl（1-t^｛2｝\bigr）^{2} u个^{2} \biggr]\，\mathrm{d} x个\\geq&\frac{1-t^{4}}{4}\bigl\langle\Phi^{'}（u），u\bigr\rangle+\frac}（1-\theta_{0}）（1-t^}2}）^{2}}{4]\Vertu\Vert^{2{}。\结束{对齐}$$

这表明(2.4)持有。□

推论2.2

假设（五） 、（一层）、（二层）和（四层）持有.然后,对于 \（u\in\mathcal｛N｝\）,

$$\开始{对齐}\Phi（u）\geq&\Phi（tu）+\frac{（1-\theta_{0}）（1-t^{2}）^{2{4}\Vertu\Vert^{2]，\quad\forall t\geq0。\结束{对齐}$$

（2.6）

推论2.3

假设（五） 、（一层）、（二层）和（四层）持有.然后,对于任何 \（u \ in \ mathcal{N}\）,

$$\begin{aligned}\Phi（u）=\max_{t\geq0}\Phi（tu）。\结束{对齐}$$

（2.7）

在（F3）下，显示\（\mathcal｛N｝\neq\emptyset\）在我们的情况下，我们必须克服\（int_{mathbb{R}^{N}}\vert（-\三角形）^{frac{alpha}{2}}u\vert^{2}\，\mathrm{d} x\)。为此，我们定义了一个集合\（\mathcal{E}\）如下：

$$\begin{aligned}\mathcal{E}=\biggl\{u\在E:b\bigl\Vert（-\triangle）^{\frac{\alpha}{2}}u\bigr\Vert中^{4}_{2} +\int_{\mathbb{R}^{N}}\bigl[V（x）u^{2}-f（x，u）u\bigr]\，\mathrm{d} x个<0\biggr\}。\结束{对齐}$$

(2.8)

引理2.4

假设（五）和（一层）-（四层）持有.然后 \（\mathcal{E}\neq\emptyset\）.此外,\（\mathcal{N}\子集\mathcal{E}\）.

证明

对于任何固定\（在E\中为u\）具有\（u\neq0），套\（u{t}（x）=tu（t^{-1}x）\）对于\（t>0）通过（V），一个

$$\开始{对齐}[b]&b\bigl\Vert（-\三角形）^{\frac{\alpha}{2}}u_{t}\bigr\Vert^{4}_{2} +\int_{\mathbb{R}^{N}}\bigl[V（x）u_{t}^{2} -f（x，u{t}）u{t{\bigr]\，\mathrm{d} x个\\&\quad=t^{4+2N-4\alpha}b\bigl\Vert（-\triangle）^{\frac{\alpha{2}}u\bigr\Vert^{4}_{2} +t^{2+N}\int_{mathbb{R}^{N}}V（tx）u^{2}\，\mathrm{d} x-t^{N}\int_{\mathbb{R}^{N{}}f（tx，tu）tu\，\mathrm{d} x个\\&\quad\leq t^{2+N}\biggl[t^{2+N-4\alpha}b\bigl\Vert（-\triangle）^{\frac{\alpha{2}}u\bigr\Vert^{4}_{2} +\垂直V\垂直_{\infty}\垂直u\垂直^{2}_{2} -\int_{\mathbb{R}^{N}}\frac{f（tx，tu）tu}{t^{2}}\，\mathrm{d} x\biggr]\\&\quad=t^{2+N}\biggl\{t^{2+N-4\alpha}\bigl[b\bigl\Vert（-\triangle）^{\frac{\alpha{2}}u\bigr\Vert^{4}_{2} -\int_｛\mathbb｛R｝^｛N｝｝\frac｛f（tx，tu）tu｝｛t^｛4+N-4\alpha｝｝\，\mathrm{d} x个\biggr]+\Vert V\Vert_{\infty}\Vert u\Vert^{2}_{2} \biggr \}。\结束{对齐}$$

(2.9)

注意，对于\（u\neq0）,\（F（tx，tu）/\vert tu\vert^{4+N-4\alpha}\rightarrow+\infty\）作为\（t\rightarrow+\infty\）乘以（F3），其中\（F（x，t）=\int_{0}^{t} （f）（x，s）\，\mathrm{d} 秒\).来自(2.5)带有\（t=0），一个有

$$开始{aligned}\frac{1}{4}\tauf（x，\tau）-f（x，\t au）+\frac{theta_{0}伏（x） }{4}\tau^{2}\geq0，对于所有x\in\mathbb{R}^{N}，\tau\in\mathbb{R}，\end{aligned}$$

(2.10)

那么我们有

$$\begin{aligned}\frac{f（tx，tu）tu}{\vert tu\vert^{4+N-4\alpha}}\rightarrow+\infty，\quad\mbox{as}t\rightarror+\inffy\mbox{统一位于}x\in\mathbb{R}^{N}中。\结束{对齐}$$

(2.11)

对于\（N（2α，4α）），因此来自(2.9)和(2.11)，一个有

$$\开始{对齐}b\bigl\Vert（-\三角形）^{\frac{\alpha}{2}}u_{t}\bigr\Vert^{4}_{2} +\int_{\mathbb{R}^{3}}\bigl[V（x）u_{t}^{2} -f（x，u_｛t｝）u_｛t｝\bigr]\，\mathrm{d} x个\rightarrow-\infty，\quad\mbox{as}t\rightarror+\infty。\结束{对齐}$$

因此，采取\（v=u{T}\）对于T型大，我们有\（v\in\mathcal{E}\）.来自(2.2)，很容易看出这一点\（\mathcal{N}\子集\mathcal{E}\）. □

引理2.5

假设（五）和（一层）-（四层）持有.如果 \（u\in\mathcal｛E｝\）,那么就存在一个独特的 \（t（u）>0） 这样的话 \（t（u）\in\mathcal{N}\）.

证明

首先，我们证明了\（t（u）\）.鉴于引理2.4，让\（u \ in \ mathcal{E}\）固定并定义函数\（g（t）=\langle\Phi'（tu），tu\rangle\）在\（[0，+\infty）\）。通过（F4），一个具有

$$\开始{对齐}\θ_{0}伏（x） （头套）^{2} -f（x，t\tau）t\tau\leq\bigl[\theta_{0}伏（x） \陶^{2} -f（x，\tau）\tau\bigr]t^{4}，对于所有x\in\mathbb{R}^{N}，t\geq 1，\tau\in\mathbb{R}，\end{aligned}$$

(2.12)

自\（u \ in \ mathcal{E}\）(2.12)收益率

$$\开始{对齐}[b]&bt^{4}\bigl\Vert（-\三角形）^{\frac{\alpha}{2}}u\bigr\Vert^{4}_{2} +\int_{\mathbb{R}^{N}}\bigl[\theta_｛0｝V（x） （tu）^{2} -f（x，tu）tu\bigr]\，\mathrm{d} x个\\&\quad\leq t^{4}\biggl（b\bigl\Vert（-\三角形）^{\frac{\alpha}{2}}u\bigr\Vert^{4}_{2} +\int_{\mathbb{R}^{N}}\bigl[\theta_｛0｝V（x） u个^{2} -f（x，u）u\bigr]\，\mathrm{d} x个\biggr）<0，\quad\对于所有t \geq 1。\结束{对齐}$$

(2.13)

它源自(2.1)和(2.13)那个

$$\开始{对齐}g（t）=&t^{2}\biggl[a\bigl\Vert（-\triangle）^{\frac{\alpha}{2}}u\bigr\Vert^{2}_{2} +（1-\theta_{0}）\int_{mathbb{R}^{N}}V（x）u^{2}\，\mathrm{d} x\biggr]+bt^{4}\bigl\Vert（-\三角形）^{\frac{\alpha}{2}}u\bigr\Vert^{4}_{2} \\&{}+\int_{\mathbb{R}^{N}}\bigl[\theta_{0}伏（x） （tu）^{2} -f（x，tu）tu\bigr]\，\mathrm{d} x个\\leq&t^{2}\biggl[a\bigl\Vert（-\三角形）^{\frac{\alpha}{2}}u\bigr\Vert^{2}_{2} +（1-\theta_{0}）\int_{mathbb{R}^{N}}V（x）u^{2}\，\mathrm{d} x个\biggr]\\&{}+t^{4}\biggl（b\bigl\Vert（-\三角形）^{\frac{\alpha}{2}}u\bigr\Vert^{4}_{2} +\int_{\mathbb{R}^{N}}\bigl[\theta_{0}伏（x） u个^{2} -f（x，u）u\bigr]\，\mathrm{d} x个\biggr）。\结束{对齐}$$

(2.14)

对于（F1）、（F2）和(2.14)，很容易验证\（g（0）=0）,\（g（t）>0）对于\（t>0）小型和\（g（t）<0\）对于t吨大是因为\（u \ in \ mathcal{E}\）因此，存在\（t{0}=t（u）>0\）以便\（g（t{0}）=0\）和\（t（u）u\ in \ mathcal{N}\）.

接下来，我们证明了唯一性。对于任何给定的\（u \ in \ mathcal{E}\），让\（t{1}，t{2}>0）这样的话\（g（t{1}）={g（t}2}）=0}\）.与(2.6)，一个有

$$\开始{aligned}\Phi（t_{1} u个)\geq\Phi（t_{2} u个)+压裂{（1-\theta_{0}）（t_{1}^{2} -吨_{2} ^{2}）^{2{}{4t_{1}^{2neneneep}\Vertu\Vert^{2}\end{aligned}$$

(2.15)

和

$$\开始{aligned}\Phi（t_{2} u个)\geq\Phi（t_{1} u个)+压裂{（1-\theta_{0}）（t_{2}^{2} -吨_{1} ^{2]）^{2}}{4t_{2}^{2{}\垂直u\垂直^{2neneneep。\结束{对齐}$$

(2.16)

两者都有(2.15)和(2.16)暗示\（t{1}=t{2}\）因此，\（t（u）>0）对于任何\（u \ in \ mathcal{E}\）. □

引理2.6

假设（五）和（一层）-（四层）持有.然后

$$\inf_{u\in\mathcal{N}}\Phi（u）=c=\inf_{u\in \mathcal{E}，u\neq0}\max_{t\geq0}\ Phi（tu）>0$$

证明

推论2.3和引理2.5暗示\（c=\inf_{u\in\mathcal{E}，u\neq0}\max_{t\geq0}\ Phi（tu）\）.来自引理2.1，很容易看出\（c>0）. □

引理2.7

假设（五）和（一层）-（四层）持有.然后存在一个常数 \（c_{\ast}\在（0，c]\）中 和一个序列 \（{u_{n}}\子集E\） 令人满意的

$$\begin{aligned}\Phi（u_{n}）\rightarrow c_{ast}，\quad\bigl\Vert\Phi'（u_}n）\bigr\Vert\bigl（1+\Vert u_{n}\Vert\bigr）\rightarrow0。\结束{对齐}$$

(2.17)

证明

我们使用了年开发的非Nehari流形方法[42,43]显示(2.17). 从（F1）、（F2）和(2.1)，我们知道存在\（\delta_{0}>0\）和\（\rho_{0}>0\）这样的话

$$\begin｛aligned｝\Phi（u）\geq\rho_｛0｝，\quad\Vert u\Vert=\delta_｛0｝。\结束{对齐}$$

(2.18)

选择\（v_｛k｝\in\mathcal｛N｝\subet \mathcal｛E｝\）这样的话

$$\开始{aligned}c\leq\Phi（v_{k}）<c+\frac{1}{k}，\quad k\in\mathbb{N}。\结束{对齐}$$

(2.19)

对于引理2.1，很容易看出\（\Phi（tv_{k}）<0\）对于大型\（t>0）事实上，如果\（\Phi（tv_｛k｝）\geq0\）对于大型\（t>0）.签署人(2.4)和\（v_{k}\in\mathcal{N}\），我们有

$$开始{aligned}\Phi（v_{k}）\geq\Phi$$

(2.20)

这与之相矛盾(2.19). 从山口引理来看，存在一个序列\（{u_{k，n}\}_{n\in\mathbb{n}}\subset E\）令人满意的

$$\begin{aligned}\Phi（u_{k，n}）\rightarrow c_{k}，\qquad\bigl\Vert\Phi'（u_{k，n}）\ bigr\Vert\bigl（1+\Vert u_{k，n}\Vert\bigr）\ rightarror 0，\quad k\in\mathbb{n}，\ end{alinged}$$

(2.21)

哪里\（c_{k}\位于[\rho_{0}，\sup_{t\geq0}\Phi（tv_{k{）]\）.签署人(2.7)和(2.19)，一个有

$$\开始{对齐}\rho_{0}\leqc_{k}\leq \ sup_{t\geq0}\Phi（tv _{k}）=\Phi。\结束{对齐}$$

(2.22)

因此，通过(2.21)和(2.22)，用于\（k\in\mathbb｛N｝\），一个有

$$开始{aligned}\Phi（u_{k，n}）\rightarrow c_{k}\in\biggl[\rho_{0}，c+\frac{1}{k}\biggr），\qquad\bigl\Vert\Phi'（u_}k，n{）\bigr\Vert\bigl$$

(2.23)

鉴于(2.23)，用于\（k=1），存在\（n{1}>0\）足够大，以至于

$$\begin{aligned}\rho_{0}\leq\Phi（u_{1，n_{1}}）<c_{1{+1，\qquad\bigl\Vert\Phi'（u_}1，n_{1}）\bigr\Vert\bigl（1+\Vert u_{1，n_1}}\Vert\bigr）<1；\结束{对齐}$$

（2.24）

对于\（k=2），存在\（n{2}>n{1}>0\）足够大，以至于

$$\begin{aligned}\rho_{0}\leq\Phi（u_{2，n_{2}}）<c_{2{+1/2，\qquad\bigl\Vert\Phi'（u_2,n_{2]}）\bigr\Vert\bigl（1+\Vert u_2}}\Vert\bigr）<1/2。\结束{对齐}$$

(2.25)

这样，我们可以选择一个序列\（{n_{k}\}\子集\mathbb{n}\）具有\（n_｛k｝\rightarrow\infty\）作为\（k\rightarrow\infty\）这样的话

$$\begin{aligned}\Phi（u_{k，n_{k}}）\in \biggl[\rho_{0}，c+\frac{1}{k}\biggr），\qquad\bigl\Vert\Phi'（u_}k，n_{k}）\ bigr\Vert\bigl.\end{对齐}$$

（2.26）

让\（u{k}=u{k，n{k}}\）,\（k\in\mathbb{N}\）然后，如有必要，我们从以下方面得出结论(2.26)那个

$$\开始{aligned}\Phi（u_{n}）\rightarrow c_{\ast}，\qquad\bigl\Vert\Phi'（u_}n）\bigr\Vert\bigl（1+\Vert u_{n}\Vert\bigr）\rightarrow0。\结束{对齐}$$

(2.27)

 □

引理2.8

假设（五）和（一层）-（四层）持有.然后是任何序列 \（{u_{n}\}\子集E\） 令人满意的(2.17)以为界 E类.

证明

由(2.2), (2.10)和(2.17)，一个有

$$开始{对齐}[b]c_{\ast}+o（1）&=\Phi（u_{n}）-\frac{1}{4}\bigl\langle\Phi'（u_}n}c{1}{4} （f）（x，u）u-F（x，u）+frac{theta_{0}伏（x） }{4} u个^{2} \biggr）\，\mathrm{d} x个\\&\geq\frac{1-\theta_{0}}{4}\Vertu_{n}\Vert^{2}。\结束{对齐}$$

(2.28)

这表明序列\（{u{n}）以为界E类. □

接下来，我们证明了约束问题的极小值是一个临界点，它在渐近周期情况下起着至关重要的作用。

引理2.9

假设（五）和（一层）-（四层）持有.如果 \（u_{0}\in\mathcal{N}\） 和 \（\Phi（u_{0}）=c\）,然后 \（u{0}\） 是…的关键点Φ.

证明

类似于[21]，将定量变形引理与度理论相结合，很容易证明这一引理。□

三周期性案例

定理的证明1.1

引理2.7暗示序列的存在\（{u_{n}\}\子集E\）令人满意的(2.17)，然后

$$\开始{aligned}\Phi（u_{n}）\rightarrow c_{\ast}，\qquad\bigl\Vert\Phi'（u_}n）\bigr\Vert\bigl（1+\Vert u_{n}\Vert\bigr）\rightarrow0。\结束{对齐}$$

(3.1)

按引理2.8,\（{u{n}）以为界E类因此，存在\（C>0\）这样的话\（\垂直u_{n}\垂直{2}\leq C\）.如果

$$开始{对齐}\增量：=\limsup_{n\rightarrow\infty}\sup_{y\in\mathbb{R}^{n}}\int_{B_{1}（y）}\vert u_{n}\vert^{2}\，\mathrm{d} x个=0，\结束{对齐}$$

(3.2)

然后根据Lion的集中紧致性原理[46]，我们有\（u{n}\右箭头0\）在里面\（L^{q}（\mathbb{R}^{N}）\）对于\（2<q<2^{\ast}{\alpha}\）根据（F1）和（F2）\（\varepsilon=c_{*}/2C^{2}\），存在\（C_{\varepsilon}>0\）这样的话

$$开始{aligned}\limsup_{n\rightarrow\infty}\int_{\mathbb{R}^{n}}\biggl\vert\frac{1}{2} （f）（x，u{n}）u_{n} -F（x，u｛n｝）\biggr\vert\，\mathrm{d} x个\leq\frac{3}{2}\varepsilon C^{2}+C_{varepsilen}\lim_{n\rightarrow\infty}\Vertu_{n}\Vert^{p}_{p} =\压裂{3c_{*}}{4}。\结束{对齐}$$

(3.3)

发件人(2.1), (2.2), (3.1)和(3.3)，一个有

$$\begin{aligned}c_{*}=&\Phi（u_{n}）-\frac{1}{2}\bigl\langle\Phi'（u_}n}\biggl[\frac{1}{2} （f）（x，u{n}）u_{n} -F（x，u_｛n｝）\biggr]\，\mathrm{d} x个\\leq&\压裂{3c{*}}{4}。\结束{对齐}$$

这种矛盾表明\（增量>0）.

如果有必要进入子序列，我们可以假设\（k_{n}\in\mathbb{Z}^{n}\）这样的话

$$开始{aligned}\int_{B_{2}（k_{n}）}\vert u_{n{}\vert^{2}\，\mathrm{d} x个>\裂缝{\delta}{2}。\结束{对齐}$$

(3.4)

让\（v{n}（x）=u{n}（x+k{n}）\），然后

$$开始{对齐}\int_{B_{2}（0）}\vert v_{n}\vert^{2}\，\mathrm{d} x个>\裂缝{\delta}{2}。\结束{对齐}$$

(3.5)

自\（V（x）\）和\（f（x，u）\）是周期性的x个，我们有

$$\begin{aligned}\Phi（v_{n}）\rightarrow c_{ast}，\qquad\bigl\Vert\Phi'（v_}n）\bigr\Vert\bigl（1+\Vert v_{n}\Vert\bigr）\rightarrow0。\结束{对齐}$$

(3.6)

接下来，我们有\（v{n}\rightharpoonup\bar{v}\）在里面E类,\（v{n}\右箭头\bar{v}\）在里面\（升^{q}_{\mathrm{loc}}（\mathbb{R}^{N}）\）对于\（2<q<2^{*}{\alpha}\）和\（v{n}\右箭头\bar{v}\）a.e.开启\（\mathbb{R}^{N}\）因此(3.5)意味着\（\bar｛v｝\neq0\）.让\（l:=\lim_{n\rightarrow\infty}\Vert（-\三角形）^{\frac{\alpha}{2}}\bar{v}（v）_{n} \垂直_{2}\）则范数的弱下半连续意味着\（顶点（-\triangle）^｛\frac｛\alpha｝｛2｝｝\bar｛v｝\Vert_｛2｝\leq l\）。很容易检查

$$\开始{aligned}[b]&\bigl\langle\Phi'（\bar{v}），\varphi\bigr\rangle+\bigl（l^{2}-\bigl\Vert（-\triangle）^｛\frac｛\alpha｝｛2｝｝\bar｛v｝\bigr\Vert^{2}_{2} \biger）\int_{\mathbb{R}^{N}}（-\三角形）^{\frac{\alpha}{2}}\bar{v}（-\三角形）{d} x\\&\quad=\lim_{n\rightarrow\infty}\bigl\langle\Phi'（\bar{v}（v）_{n} ），\varphi\bigr\rangle=0，\quad\forall \varphi\ in\mathcal{C}（C）_{0}^{\infty}\bigl（\mathbb{R}^{N}\bigr）。\结束{对齐}$$

(3.7)

自\（\mathcal{C}（C）_{0}^{\infty}（\mathbb{R}^{N}）\）在E类(3.7)暗示\（\langle\Phi'（\bar{v}），\varphi\rangle\leq0\）。我们声称\（\langle\Phi'（\bar{v}），\bar{v}\rangle=0\）事实上，如果\（\langle\Phi'（\bar{v}），\bar{v}\rangle<0\），连同\（\langle\Phi'（t\bar{v}），t\bar{v}\rangle>0\）对于小型\（t>0），那么就存在\（t{1}\在（0,1）\中）这样的话\（\langle\Phi'（t_{1}\bar{v}），t_{1{\bar{v}\rangle=0\）和\（\Phi（t_{1}\上横线{v}）\geq c\）。使用（F4），我们有

$$开始{对齐}f（x，t\tau）t\tau\leq f（x、\tau）\tau t^{4}+\theta_{0}伏（x） \bigl（1-t^{2}\bigr）（t\tau）^{2{，对于所有x\in\mathbb{R}^{N}，0\leqt\leq1，\tau\in\mathbb{R}。\结束{对齐}$$

(3.8)

请注意(2.5)暗示

$$\开始{对齐}[b]F（x，t\tau）&\geq\frac{t^{4} -1个}{4} （f）（x，tau）\tau+F（x，\tau）\\&\四{}-\frac{1-2t+t^{4}}{4}\theta_{0}伏（x） tau^{2}，对于所有x\in\mathbb{R}^{N}，0\leqt\leq1，\tau\in\mathbb{R}。\结束{对齐}$$

(3.9)

组合(3.8)和(3.9)，我们有

$$\开始｛对齐｝[b]&&frac｛1｝{4} （f）（x，t\tau）t\tau-F（x，t_tau）+frac{theta_｛0｝V（x） }{4}（t\tau）^{2}\\&\quad\leq\frac{1}{4} （f）（x，τ）τ-F（x，tau）+frac{theta_{0}伏（x） }{4}\tau^{2}，对于所有x\in\mathbb{R}^{N}，0\leqt\leq1，\tau\in\mathbb{R}。\结束{对齐}$$

(3.10)

然后由(2.1), (2.2), (3.6)和(3.10)，范数和Fatou引理的弱下半连续，我们有

$$开始{对齐}c\leq&\Phi（t_{1}\bar{v}）-\frac{1}{4}\bigl\langle\Phi'（t_{1\bar{v{），t_{1{\bar{v}\bigr\rangle\\=&\frac}a\theta_{0}}{4} t吨_{1} ^{2}\bigl\Vert（-\三角形）^{\frac{\alpha}{2}}\bar{v}\bigr\Vert_{2}^{2{+\frac{1-\theta_{0}}{4} t吨_{1} ^{2}\Vert\bar{v}\Vert^{2{\\&{}+\int_{\mathbb{R}^{N}}\biggl[\frac{1}{4} （f）（x，t{1}\bar{v}）t{1{\bar{v} -F（x，t{1}\bar{v}）+frac{theta_{0}伏（x） }{4}（t{1}\bar{v}）^{2}\biggr]\，\mathrm{d} x个\\<&\frac{a\theta_{0}}{4}\bigl\Vert（-\triangle）^{\frac}\alpha}{2}}\bar{v}\bigr\Vert_{2}^2}+\frac{1-\theta_0}}{4]\Vert\bar{v}\Vert^{2}+\int_{mathbb{R}^{N}\biggl[\frac{1}{4} （f）（x，\bar{v}）\bar{v} -F（x，\bar{v}）+\frac{theta_{0}伏（x） ｛4｝（\bar｛v｝）^｛2｝\biggr]\，\mathrm{d} x个\\leq&\lim_{n\rightarrow\infty}\biggl\{\frac{a\theta_{0}}{4}\bigl\Vert（-\triangle）^{\frac{\alpha}{2}}v_{n}\bigr\Vert_{2}^{2}+\frac}1-\theta_{0}{4{\Vert v_{n}\Vert^2}\\&{}+\int_{mathbb{R}^{n}}\biggl[\frac{1}{4} （f）（x，v{n}）v_{n} -F（x，v{n}）+frac{theta_{0}伏（x） }{4} v（v）_{n} ^{2}\biggr]\，\mathrm{d} x\biggr\}\\=&\lim_{n\rightarrow\infty}\biggl\{\Phi（v_{n}）-\frac{1}{4}\bigl\langle\Phi'（v_}），v_{n}\bigr\rangle\biggr \}\leqc，\end{aligned}$$

(3.11)

这是不可能的。因此，我们得到\（\bar{v}\in\mathcal{N}\）和\（\Phi（\bar{v}）\geq c\）.与(3.7)，我们有\（\lim_{n\rightarrow\infty}\Vert（-\triangle）^{\frac{\alpha}{2}}v_{n}\Vert_{2}=\Vert和\（\Phi’（\bar｛v｝）=0\）另一方面，来自(2.10), (3.6)，范数的弱下半连续和Fatou引理，其中

$$开始{对齐}c\geq&c_{*}=\Phi（v_{n}）-\frac{1}{4}\bigl\langle\Phi'（v_}n}\bigr\Vert_{2}^{2}+\frac{1-\theta_{0}}{4}\Vert v_{n}\Vert^{2{\\&{}+\int_{mathbb{R}^{n}}\biggl[\frac}1}{4} （f）（x，v{n}）v_{n} -F（x，v{n}）+frac{theta_{0}伏（x） }{4} v（v）_{n} ^{2}\biggr]\，\mathrm{d} x个\biggr \}\\geq&\liminf_{n\rightarrow\infty}\biggl[\frac{a\theta_{0}}{4}\bigl\Vert（-\triangle）^{frac{\alpha}{2}}v_{n}\bigr\Vert_{2}^{2}+\frac}1-\theta_{0}{4{\Vertv_{n}\Vert^2}\bighr]\\&{}+\liminf_{n\rightarrow\infty}\int_{\mathbb{R}^{n}}\biggl[\frac{1}{4} （f）（x，v{n}）v_{n} -F（x，v{n}）+frac{theta_｛0｝V（x） }{4} v（v）_{n} ^{2}\biggr]\，\mathrm{d} x个\\geq&&frac｛1｝｛4｝\Vert\bar｛v｝\Vert^｛2｝+\int_｛\mathbb｛R｝^｛N｝｝\biggl[\frac｛1｝{4} （f）（x，\bar｛v｝）v-F（x，\bar｛v｝）\biggr]\，\mathrm{d} x\\=&\Phi（\bar{v}）-\frac{1}{4}\bigl\langle\Phi'（\bar}v}。\结束{对齐}$$

(3.12)

这表明\（\Phi（\bar｛v｝）\leq c\）等等\（\Phi（\bar{v}）=c=\inf_{\mathcal{N}}\Phi>0\）. □

4渐近周期情形

在本节中，我们有\（V（x）=V{0}（x）+V{1}（x）\）和\（f（x，u）=f{0}（x，u）+f{1}（x，u）\）.定义功能\（\Phi_{0}\）如下：

$$开始{对齐}[b]\Phi_{0}（u）&=\frac{1}{2}\int_{mathbb{R}^{N}}\bigl{d} x个\\&\四{}+\frac{b}{4}\biggl（\int_{\mathbb{R}^{N}}\bigl\vert（-\三角形）^{\frac}\alpha}{2}}u\bigr\vert^{2}\，\mathrm{d} x个\biggr）^{2}-\int_{\mathbb{R}^{N}}F{0}（x，u）\，\mathrm{d} x个，对于E中的所有u，结束{对齐}$$

(4.1)

哪里\（F_{0}（x，u）：=\int_{\mathbb{R}^{N}}F_{0neneneep（x，s）\，ds\）.通过（V0′）、（F0′），（F1）和（F2），我们得到\（\Phi_{0}\in\mathcal{C}^{1}（E，\mathbb{R}）\）和

$$\开始{对齐}[b]\bigl\langle\Phi_{0}'（u），v\bigr\rangle&=\int_{\mathbb{R}^{N}}\bigl（a（-\三角形）{d} x个\\&\四{}+b\int_{\mathbb{R}^{N}}\bigl\vert（-\三角形）^{\frac{\alpha}{2}}u\bigr\vert^{2}\，\mathrm{d} x个\int_{\mathbb{R}^{N}}（-\三角形）^{\frac{\alpha}{2}}u（-\三角）^{\ frac{\ alpha}}v\，\mathrm{d} x个\\&\四{}-\int_{mathbb{R}^{N}}f_{0}（x，u）v\，\mathrm{d} x个，对于所有u，v在E中，结束{对齐}$$

（4.2）

根据标准论点，我们有以下引理。

定理4.1

假设（V0′）、（F0′）和（F1）和（二层）持有.如果 \（u{n}\rightharpoonup0\） 在里面 E类,然后

$$\开始{对齐}&\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\mathbb{R}^{n}}V_{1}（x）u^{2}_{n} \，\mathrm{d} x=0，\qquad\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\mathbb{R}^{n}}V_{1}（x）u_{n} v（v）\，\数学{d} x个=0，对于E中的所有v\，\quad\；\结束{对齐}$$

(4.3)

$$开始{对齐}&\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\mathbb{R}^{n}}F_{1}（x，u_{n}）\，\mathrm{d} x个=0，\qquad\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{1}（x，u_{n}）v\，\mathrm{d} x个=0，E中的所有v\结束{对齐}$$

(4.4)

定理的证明1.2

引理2.7暗示序列的存在\（{u_{n}\}\子集E\）令人满意的(2.17)，然后

$$\开始{aligned}\Phi（u_{n}）\rightarrow c_{\ast}，\qquad\bigl\Vert\Phi'（u_}n）\bigr\Vert\bigl（1+\Vert u_{n}\Vert\bigr）\rightarrow0。\结束{对齐}$$

(4.5)

按引理2.8,\（{u{n}）以为界E类因此，存在\（C>0\）这样的话\（\垂直u_{n}\垂直{2}\leq C\）.接下来，我们有\（u{n}\rightharpoonup\bar{u}\）在里面E类,\（u{n}\右箭头\bar{u}\）在里面\（升^{q}_{\mathrm{loc}}（\mathbb{R}^{N}）\）对于\（2\leqq<2^{*}{\alpha}）和\（u{n}\右箭头\bar{u}\）a.e.开启\（\mathbb｛R｝^｛N｝\）有两种可能的情况：（i）\（\bar{u}=0\）; （ii）\（\bar{u}\neq0\）.

案例i）。\（\bar{u}=0\）.然后\（u{n}\rightharpoonup0\）在里面E类,\（u｛n｝\rightarrow0\）在里面\（升^{q}_{\mathrm{loc}}（\mathbb{R}^{N}）\）对于\（2\leq q<2^｛*｝_｛\alpha｝\）和\（u{n}\右箭头0\）a.e.开启\（\mathbb{R}^{N}\）。请注意

$$\begin{aligned}&\Vert u\Vert^{2}=\int_{\mathbb{R}^{N}}\bigl（a \bigl\Vert（-\triangle）^{\frac{\alpha}{2}}u\bigr\Vert^{2]+V{0}（x）u^{2{\bigrm）\，\mathrm{d} x个+\int_{\mathbb{R}^{N}}V_{1}（x）u^{2}\，\mathrm{d} x个，对于E中的所有u，结束{对齐}$$

(4.6)

$$\开始{对齐}&\Phi_{0}（u）=\Phi（u）-\frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^{N}}V_{1}（x）u^{2}\，\mathrm{d} x个+\int_{\mathbb{R}^{N}}F_{1}（x，u）\，\mathrm{d} x个，对于E中的所有u，结束{对齐}$$

(4.7)

和

$$\开始{aligned}\bigl\langle\Phi'_{0}（u），v\bigr\rangle=\bigl\tangle\Phi'（u）、v\biger\rangle-\int_{\mathbb{R}^{N}}v_{1}（x）uv\，\mathrm{d} x个+\int_{\mathbb{R}^{N}}f_{1}（x，u）v\，\mathrm{d} x个，对于所有u，v在E中，结束{对齐}$$

(4.8)

由(2.17), (4.3), (4.4), (4.6)-(4.8)，一个有

$$开始{aligned}\Phi_{0}（u_{n}）\rightarrow c_{ast}，\qquad\bigl\Vert\Phi'_{0{（u_{n}）\bigr\Vert\bigl（1+\Vert u_{n}\Vert\bigr）\rightarrow0。\结束{对齐}$$

(4.9)

类似于(3.4)，存在\（k_{n}\in\mathbb{Z}^{n}\），必要时转到子序列，以便

$$\begin｛aligned｝\int_｛B_｛2｝（k_{n｝）｝\vert u_｛n｝\vert ^｛2｝\，\mathrm{d} x个>\裂缝{\delta}{2}。\结束{对齐}$$

(4.10)

让我们定义\（v_{n}（x）=u_{n}（x+k_{n}）\）.然后

$$开始{对齐}\int_{B_{2}（0）}\vert v_{n}\vert^{2}\，\mathrm{d} x>\压裂｛\delta｝｛2｝。\结束{对齐}$$

(4.11)

自\（V（x）\）和\（f（x，u）\）是周期性的x个，我们有

$$\开始{aligned}\Phi_{0}（v_{n}）\rightarrow c_{ast}\ in（0，c]，\qquad\bigl\Vert\Phi'_{0{}（v_{n{）\bigr\Vert\bigl（1+\Vert v_{n}\Vert\ bigr）\rightarrow0。\结束{对齐}$$

(4.12)

接下来，我们有\（v{n}\rightharpoonup\bar{v}\）在里面E类,\（v{n}\右箭头\bar{v}\）在里面\（升^{q}_{\mathrm{loc}}（\mathbb{R}^{N}）\）对于\（2\leqq<2^{*}{\alpha}）和\（v{n}\右箭头\bar{v}\）a.e.开启\（\mathbb{R}^{N}\）因此(4.10)意味着\（\bar{v}\neq0\）.类似于推论2.3和引理2.6，由(2.4), (4.7)和(4.8)，我们可以推断

$$\开始{aligned}\Phi_{0}（u）=\max_{t\geq0}\Phi_{0{（tu），\quad\forall u\in\mathcal{无}_{0}，\qquad\inf_{u\in\mathcal{N}}\Phi_{0}（u）=c_{0{=\inf_u\in\ mathcal{电子}_{0}}\max_{t\geq0}\Phi_{0}（tu）>0，\end{aligned}$$

(4.13)

哪里

$$\开始{聚集}\mathcal{无}_{0}:=\bigl\{u\在E:\bigl\tangle\Phi'_{0}（u）中，u\bigr\rangle=0，u\neq 0\bigr\}，\\mathcal{电子}_{0}=\biggl\{u\在E:b\bigl\Vert（-\三角形）^{\frac{\alpha}{2}}u\bigr\Vert中^｛4｝_{2} +\int_{\mathbb{R}^{N}}\bigl[V_{0}（x）u^{2}-f_{0{（x，u）u\bigr]\，\mathrm{d} x个<0\biggr\}。\结束{聚集}$$

根据定理1.1，存在\（v_{0}\in\mathcal{无}_{0}\子集\数学{电子}_{0}\)这样的话\（c_｛0｝=\Phi（v_{0｝）\）然后，从（F0′）开始(4.7)和(4.13)，我们得到

$$\begin{aligned}c=\inf_{u\in\mathcal{E}}\max_{t\geq0}\Phi（tv）\leq\max_{t\geq 0}\Phi（tv_{0}）\leq \max_}\t\geq0{}\Phi_{0{（tv_{0}）\lequeq\Phi_{0{0}。\结束{对齐}$$

(4.14)

类似于(3.7)，我们有\（\langle\Phi'_{0}（\bar{v}），\bar{v}\rangle\leq0\）.如果\（\langle\Phi'_{0}（\bar{v}），\bar{v}\rangle<0\），连同\（\langle\Phi'_{0}（t\bar{v}），t\bar{v}范围>0\）对于小型\（t>0），我们看到存在\（（0,1）中的t{2}）这样的话\（\langle\Phi'_{0}（t_{2}\bar{v}），t_{2neneneep \bar{v}\rangle=0\）和\（\Phi（t_{2}\上横线{v}）\geqc_{0}\）。根据（F0′），我们有

$$开始{对齐}f_{0}（x，t\tau）t\tau\leq f_{0}（x，\tau）\tau t^{4}+V_{0{（x）\bigl（1-t^{2}\bigr）（t\tau$$

(4.15)

和

$$开始{对齐}[b]&\frac{1-t^{4}}{4}\tau f_{0}（x，\tau）+f_{0{}（x，t\tau）-f_{0neneneei（x，tau）+\frac{V_{0neneneep（x）}{4{bigl（1-t^}\bigr）^{2}\tau^{2{\\&\quad=\int^{1}_{t} \biggl[\frac{f_{0}（x，\tau）}{\tau^{3}}-\frac}f_{0:}（x，\xi\tau对于所有x\in\mathbb{R}^{N}，t\geq0，\tau\in\mathbb{R}\backslash\{0\}。\结束{对齐}$$

(4.16)

组合(4.15)和(4.16)，我们有

$$\开始{aligned}[b]&\frac{1}{4} （f）_{0}（x，t\tau）t\tau-F_（0}{4} （f）_{0}（x，tau）\tau-F{0}（x，\tau）+frac{V{0}-（x）}{4}\tau^{2}，quad\对于所有x\in\mathbb{R}^{N}，0\leqt\leq1，\tau\in\mathbb{R}。\结束{对齐}$$

（4.17）

它源自(4.16)带有\（t=0）那个

$$\开始{aligned}\frac{1}{4} （f）_｛0｝（x，\tau）\tau-F_｛0｝（x，\tau）+\frac｛V_｛0｝（x）｝｛4｝\tau^｛2｝\geq 0，\fquad\ for all x\in\mathbb｛R｝^｛N｝，\tau\in\mathbb｛R｝。\结束{对齐}$$

(4.18)

自\（（0,1）中的t{2}），来自(4.1), (4.2), (4.12), (4.14), (4.17)和(4.18)，范数的弱下半连续性和Fatou引理，我们得到

$$开始{对齐}c_{0}\leq&\Phi_{0{（t_{2}\bar{v}）-\frac{1}{4}\bigl\langle\Phi_{0}'（t_{2]\bar{v}），t_{2{\bar{v-}{4} t吨_{2} ^{2}\bigl\Vert（-\三角形）^{\frac{\alpha}{2}}\bar{v}\bigr\Vert_{2}^{2{+\int_{\mathbb{R}^{N}}\biggl[\frac}1}{4} （f）_{0}（x，t{2}\bar{v}）t{2{\bar{v} -F_{0}（x，t{2}\bar{v}）+\frac{v{0}（x）}{4}（t{2{bar{v{）^{2}\ biggr]\，\mathrm{d} x个\\<&\frac{a}{4}\bigl\Vert（-\triangle）^{\frac}\alpha}{2}}\bar{v}\bigr\Vert_{2}^{2}+\int_{\mathbb{R}^{N}}\biggl[\frac{1}{4} （f）_{0}（x，\bar{v}）\bar{v} -F_{0}（x，\bar{v}）+\frac{v{0}（x）}{4}（\bar{v}）^{2}\biggr]\，\mathrm{d} x个\\leq&\lim_{n\rightarrow\infty}\biggl\{\frac{a}{4}\bigl\Vert（-\triangle）^{frac{\alpha}{2}}v_{n}\bigr\Vert_{2}^{2}+\int_{\mathbb{R}^{n}}\bigbl[\frac}1}{4} 如果_{0}（x，v{n}）v_{n} -F_{0}（x，v{n}）+\frac{v{0}（x）}{4} v（v）_{n} ^{2}\biggr]\，\mathrm{d} x个\biggr\}\\=&\lim_{n\rightarrow\infty}\biggl\{\Phi_{0}$$

(4.19)

这是不可能的。因此，我们得到\（\langle\Phi_｛0｝'（\bar｛v｝），\bar｛v｝\langle=0\）和\（\Phi_{0}（\bar{v}）\geqc_{0{）根据标准论点，我们有\（\Phi'_{0}（\bar{v}）=0\）另一方面，来自(4.1), (4.2), (4.12)和(4.18)，范数的弱下半连续性和Fatou引理，我们得到

$$\begin{aligned}c\geq&c_{*}=\lim_{n\rightarrow\infty}\biggl[\Phi_{0}（v_{n}）-\frac{1}{4}\bigl\langle\Phi'_{0{（v_an}三角形）^{\frac{\alpha}{2}}v_{n}\bigr\Vert_{2}^{2}+\int_{\mathbb{R}^{n}}\biggl[\frac}1}{4} 如果_{0}（x，v{n}）v_{n} -F_｛0｝（x，v_｛n｝）+\frac｛v_｛0｝（x）｝{4} v（v）_{n} ^{2}\biggr]\，\mathrm{d} x个\biggr \}\\geq&\liminf_{n\rightarrow\infty}\frac{a}{4}\bigl\Vert（-\triangle）^{frac{\alpha}{2}}v_{n}\bigr\Vert_{2}^{2}+\liminf{4} （f）_{0}（x，v{n}）v_{n} -F_{0}（x，v{n}）+\frac{v{0}（x）}{4} v（v）_{n} ^{2}\biggr]\，\mathrm{d} x个\\geq&\frac{1}{4}\Vert\bar{v}\Vert^{2}+\int_{\mathbb{R}^{N}}\biggl[\frac}1}{4} （f）_{0}（x，\bar{v}）v-F_{d} x个\\=&\Phi_{0}（\bar{v}）-\frac{1}{4}\bigl\langle\Phi'_{0{（\bar{v}），\bar{v}\bigr\rangle=\Phi_{0}（\bar}）。\结束{对齐}$$

(4.20)

这意味着\（\Phi_{0}（\bar{v}）\leq c\）。根据（F0′），我们有\（\langle\Phi'（\bar{v}），\bar{v}\rangle\leq\langle\ Phi'_{0}（\bar{v}），\bar{v}\rangle=0\），这意味着\（\bar{v}\in\mathcal{E}\）然后，通过引理2.5，存在\（t{0}=t（\bar{v}）这样的话\（t_{0}\bar{v}\in\mathcal{N}\geqc\）等等\（\Phi（t_｛0｝\bar｛v｝）\geq c\）现在我们证明\（\Phi（t_{0}\bar{v}）=c\）.间接论证时，我们假设\（\Phi（t_{0}\bar{v}）>c\）然后通过（V0′）、（F0′）(4.1), (4.2)和(4.16)，我们有

$$开始{对齐}c\geq&\Phi_{0}（\bar{v}）\\=&\Phi{0}（t_{0}\bar{v}）+\frac{1-t{0}^{4}{4}\bigl\langle\Phi'_{0{（\bar{v}），\bar{v}\bigr\rangle+\frac{a（1-t{0}）^{2}{4{4}\int_{mathbb{R}^{N}}\bigl\vert（-\三角形）^{\frac{\alpha}{2}}u\bigr\vert^{2}\，\mathrm{d} x个\\&｛｝+\int_｛\mathbb｛R｝^｛N｝｝\biggl[\frac｛1-t_｛0｝^｛4｝｝｛4｝\tau f_｛0｝（x，\bar｛v｝）+f_｛0｝（x，t_｛0｝\bar｛v｝）-f_｛0｝（x，\bar｛v｝）+\ frac｛v_｛0｝（x）｝｛4｝\bigl（1-t_｛0｝^｛2｝\bigr）^｛2｝（\bar｛v｝）^｛2｝\biggr]\，\数学{d} x个\\geq&\Phi_{0}（t_{0}\bar{v}）=\Phi（t_{0}\bar}）-\frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^{N}}v{1}（x）{d} x+\int_{\mathbb{R}^{N}}F{1}（x，t_{0}\bar{v}）\，\mathrm{d} x个\\geq&\Phi（t_{0}\bar{v}）>c.结束{aligned}$$

(4.21)

这一矛盾表明\（\Phi（t_{0}\bar{v}）=c\）.

让\（u{0}=t{0}\bar{v}\）.然后\（u_{0}\in\mathcal{N}\）和\（\Phi（u_{0}）=c\）.鉴于引理2.9，我们有\（\Phi'（u_{0}）=0\）。这表明\（在E\中为u_{0}\）是一个解决方案(1.1)带有\（\Phi（u_{0}）=\inf_{\mathcal{N}}\Phi>0\）.

案例ii）。\（\bar{u}\neq0\）.以与定理证明的最后一部分相同的方式1.1，我们可以证明\（\Phi'（\bar{u}）=0\）和\（\Phi（\bar{u}）=c=\inf_{\mathcal{N}}\Phi\）。这表明\（E中的\bar{u}\）是一个解决方案(1.1)带有\（\Phi（\bar{u}）=\inf_{\mathcal{N}}\Phi\）. □

5结论

本文利用变分方法和一些较弱的条件，证明了方程Nehari型解的存在性(1.1)建立。我们考虑具有更一般非线性的周期或渐近周期分数阶Kirchhoff问题（f）在里面\（\mathbb{R}^{N}\），其中\（2α<N<4α）和\（（0,1）中的α）尤其是（f）统一了渐近立方非线性和超立方非线性，推广和改进了先前的结果。与此同时(1.1)这是一个非局部问题，因此我们需要克服一些新的困难，本文涉及到一些新的方法和分析技术。