排斥型奇异Liénard方程周期解的存在性

摘要

本文研究具有排斥型奇异性的Liénard方程的正周期解问题，

$$x''+f（x）x'-\frac{\alpha（t）}{x^{\mu}}=h（t）$$

哪里\（f：（0，+\输入）\右箭头R\）是连续的，α,小时是连续的T型-周期性和\（阿尔法（t）为所有人\（R中的t）,\（\mu\in（0，+\infty）\）是一个常数。利用Manásevich-Mawhin的延拓定理，得到了正解存在的一个充分必要条件T型-方程的周期解。有趣的是，恢复力的弱奇异性\（\压裂{\alpha（t）}{x^{\mu}}\）在\（x=0）是允许的，并且（f）可能在\（x=0）.

1介绍

近年来，二阶奇异微分方程的周期解问题受到了微分方程研究者的广泛关注。这是因为奇点在应用科学和物理学中有着重要的背景（参见[1–12]以及其中的参考）。关于二阶奇异微分方程周期问题的第一个研究似乎是Nagumo的工作[13]1943年。经过一些工作[14–16]，随着Lazer和Solimini的开创性论文，人们对这一领域的兴趣增加[17]. 他们考虑了排斥型奇点方程周期解的存在性，

$$x“”-\frac{1}{x^{\alpha}（t）}=h（t）$$

(1.1)

哪里\（h:R\右箭头R\）与连续T型-周期性的，\（（0，+\infty）中的alpha\）是一个常数。对于\（[1，+\infty中的alpha\）（称为强力条件），通过使用拓扑度方法，他们发现方程存在正周期解的充要条件(1.1)是

$$\overline｛h｝：=\frac｛1｝｛T｝\int_｛0｝^{T} 小时（s） \，ds<0$$

对于\（（0,1）中的α）（弱奇异性条件），他们给出了一些例子\（h（t）\）具有\（上一行{h}<0\）这样的方程(1.1)没有任何阳性T型-周期解。之后，强力状态\（\alpha\ge1）被认为是[18–24]. 利用锥上的一些不动点定理，最近人们广泛研究了排斥型保守方程周期解的存在性，

$$x“”+a（t）x-\frac｛b（t）｝｛x^｛\alpha｝（t）｝=c（t）$$

(1.2)

哪里\（L^{1}[0，T]\中的a，b，c\）具有\（a（t）\ge0）,\（b（t）\ge0）对于a.e。\（在[0，t]\中）在一系列积极的措施中保持积极[25–29]. 大多数研究集中在允许奇异非线性具有弱奇异性的情况下(\（（0,1）中的α）). 与研究具有弱奇点的保守方程相比，具有排斥型弱奇点Liénard方程的对应方程被忽略了。我们发现，在最近有关排斥型奇异Liénard方程的论文中，需要强奇异性[30–35]. 例如，Jebelean和Mawhin[11]考虑了a的正周期解的存在性问题第页-拉普拉斯-李纳德方程类

$$\bigl（\bigl\vert x’\bigr\vert^{p-2}x'\biger）'+f（x）x'-\frac{\beta}{x^{\mu}}=h（t）$$

(1.3)

哪里\（p>1）,\（测试版>0）,\（\mu>0\）是常数，\（f:[0，+\infty）\rightarrow\mathbb{R}\）是连续的，\（h:\mathbb｛R｝\rightarrow\mathbb｛R｝\）是一个T型-周期函数\（L^{\infty}[0，T]\中的h\）.在强奇异性条件下\（\mu\ge1\）他们发现方程存在正周期解的充要条件(1.3)是\（\overline｛h｝<0\）.Wang在[32]进一步研究了具有强奇异性的时滞Liénard方程正周期解的存在性(\（[1中的\mu\，+\infty）\）)排斥型，

$$x''+f（x）x''+a（t）x（t-\tau）-\frac{\beta}{x^{\mu}（t-\tao）}=h（t）$$

(1.4)

哈克尔、托雷斯和萨莫拉[33]考虑排斥型奇异方程的周期问题，

$$u“”（t）+f\bigl（u（t）\bigr）u'（t）+\varphi（t）\ bigl$$

(1.5)

哪里\（增量\英寸（0,1]\）是一个常量，φ是一个T型-周期函数\（L（[0，T]，\mathbb{R}）中的\varphi\）,\（f在C（（0，+\infty），\mathbb{R}）中）可能是单数\（x=0）,\（g在C中（（0，+\infty），\mathbb{R}）在\（x=0）,即,\（g（x）\右箭头-\输入\）作为\（x\右箭头0^{+}\）.利用Schauder不动点定理，得到了正解存在性的一些结果T型-得到了周期解。然而，一个强烈的奇异性，\（\int_{0}^{1} 克（s） \，ds=-\infty\），也是必需的。

现在的问题是如何研究方程的周期问题(1.5)在弱奇异性条件下\（[int_｛0｝^{1} 克（s） \，ds>-\infty\）基于此，本文的目的是调查积极因素的存在性T型-排斥型奇异Liénard方程的周期解

$$x''+f（x）x'-\frac{\alpha（t）}{x^{\mu}}=h（t）$$

(1.6)

哪里\（f:（0，+\infty）\右箭头R\）是连续的，α,小时是连续的T型-周期函数\（阿尔法（t）为所有人\（R中的t）和\（阿尔法（t）不等于0）,\（\μ\ in（0，+\ infty）\）是一个常数。通过使用Mawhin和Manásevich建立的延拓定理[36]得到了一些新的结果。有趣的是，恢复力项的弱奇异性\（\压裂{\alpha（t）}{x^{\mu}}\）在\（x=0）是允许的，并且（f）可能在\（x=0）此外，在以下条件下\（\int_{0}^{1} （f）（s） \，ds=\infty\），得到了正的存在性的一个充分必要条件T型-方程的周期解(1.6).

2初级狐猴

让\（C_{T}=x\在C中（\mathbb{R}，\mathbb{R}）：x（T+T）=x（T）\）为所有人\（t\in\mathbb{R}\）规范定义为\（|x|_{\infty}=\max_{t\in[0，t]}|x（t）|\）.对于任何T型-周期解\（h（t）\）具有\（C_{T}中的h\）,\（h{+}（t）\）和\（h｛-｝（t）\）表示为\（最大值\{（h（t），0）\}\）和\（-\分钟\{（h（t），0）\}\）分别为和\（\overline｛h｝=\frac｛1｝｛T｝\int^{T}（T）_{0}小时（s） \，ds\）显然，\（h（t）=h{+}（t）-h{-}（t）\）为所有人\（t\in\mathbb{R}\）、和\（\overline｛h｝=\overline{h}（小时）_{+}-\上划线{h}（小时）_{-}\)此外，\（\|\varphi\|_{p}:=（\int_{0}^{T}|\varpi（T）|^{p}\，dt）^{\frac{1}{p}）,\（p\in[1，+\infty）\）,\（C_{T}中的\varphi\）.

以下引理是中定理3.1的推论[36].

引理2.1

假设存在正常数 \（M_{0}\）,\（M_{1}\） 和 \（M_{2}\） 具有 \（0<M_{0}<M_{1}\）,以下条件成立:

• 1. 对于每个 \（lambda\ in（0,1]\）,每种可能的阳性 T型-周期解 x个 到方程式

  $$u''+\lambda f（u）u'-\lambda\frac｛\alpha（t）｝｛u^｛\mu｝｝＝\lambda h（t）$$

  满足不等式 \（M_{0}<x（t）<M_{1}\） 和 \（|x'（t）|<M_{2}\） 为所有人 \（在[0，t]\中）;

• 2 每个可能的解决方案 \（x\英寸（0，+\英寸）\） 到方程式

  $$\frac{\overline{\alpha}}{x^{\mu}}+\overline{h}=0$$

  满足不等式 \（M_{0}<x<M_{1}\）;

• 三。 不平等

  $$\biggl（\frac{\overline{\alpha}}{M_{0}^{\mu}}+\overline{h}\biggr）\biggl$$

持有.然后方程(1.6)至少有一个阳性 T型-周期解 \（x（t）\） 这样的话 \（M_{0}<x（t）<M_{1}\） 为所有人 \（在[0，t]\中）.

引理2.2

[29]

让 \（x（t）\） 是一个连续可微的 T型-周期函数.然后,对于任何 \（[0，T]\中的\tau\）,

$$\biggl（\int_{0}^{T} x个^{2} （t）\，dt\biggr）^{\压裂{1}{2}}\leq\frac{t}{\pi}\biggl（\int_{0}^{T} x个^{\prime 2}（t）\，dt\biggr）^{\frac{1}{2}}+\sqrt{t}\bigl\vert x（\tau）\bigr\vert$$

为了研究方程正周期解的存在性(1.6)，我们列出了以下假设：

（H）₁):

\（\lim_{x\rightarrow0^{+}}|\int_{x}^{1} （f）（s） \，ds |=+\输入\）.

（H）₂):

\（（-\frac{\overline{\alpha}}{\overrine{h}}）^{\frac}1}{\mu}}>T^{\frac{1}{2}}[\frac｛T}{\pi}\h\|{2}+（T^{\ frac{1{2}（-\frac}\overline{\alfa}}}{\ overline}{h}）|_{2}）^{\frac{1}{2}}]\）.

备注2.1

如果\（上一行{h}<0\），则存在常量\（D_{1}\）和\（D_{2}\）具有\（0<D_{1}<D_}2\）这样的话

$$\frac{\overline{\alpha}}{x^{\mu}}+\overline{h}>0\quad\对于所有x\ in（0，D_{1}）$$

和

$$\frac｛\overline｛\alpha｝｝｛x^｛\mu｝｝+overline｛h｝＜0\quad\ for all x\in（D_｛2｝，\infty）$$

现在，我们嵌入方程式(1.6)包含参数的下列方程组\（lambda\ in（0,1]\）,

$$x''+\lambda f（x）x'-\lambda\frac{\alpha（t）}{x^{\mu}}=\lambda h（t），\quad\lambda\ in（0,1]）$$

(2.1)

三主要成果

定理3.1

如果（H）₁)持有,然后方程(1.6)有一个积极的 T型-周期解当且仅当 \（上一行{h}<0\）.

证明

假设这个等式(1.6)有一个积极的T型-周期解\（y（t）\），那么

$$y''+f（y）y'-\frac{\alpha（t）}{y^{\mu}}=h（t）$$

(3.1)

正在集成(3.1)关于区间\（[0，T]\）、和通过使用

$$\int_{0}^{T} 年“”\，ds=\int_{0}^{T} （f）\bigl（y（s）\bigr）y'，ds=0$$

我们有

$$\int_{0}^{T}\frac{\alpha（s）}{y^{\mu}}\，ds=-T\上划线{h}$$

加上假设\（阿尔法（t）和\（y（t）>0）为所有人\（在[0，t]\中）给出了正的存在的必要条件T型-方程的周期解(1.6):\（上一行{h}<0\）.

下面，我们将展示充分性的证明。为了做到这一点，假设\（上一行{h}<0\），并让u个任意肯定T型-的周期解(2.1). 然后

$$u’’+\lambda f（u）u’-\lambda\frac{\alpha（t）}{u^{\mu}}=\lambda h（t），\quad\lambda\ in（0,1]）$$

(3.2)

正在集成(3.2)在间隔期间\（[0，T]\），我们有

$$\int美元^｛T｝_{0}\frac{\alpha（t）}{u^{\mu}}\，dt=-\int^{T}（T）_{0}h（t）\，dt=-t\上划线{h}$$

(3.3)

由于\（α（t））为非负，\（分形{1}{u_{M}^{mu}}\int_{0}^{T}\alpha（T）\，dt\leq\int^{T}（T）_{0}\frac{\alpha（t）}{u^{\mu}（t，其中\（u{m}\）,\（u_{M}\）分别是的全局最小值和最大值u个.那么有一点\（[0，T]\中的\ eta\）这样的话

$$\frac{1}{u^{mu}（\eta）}\int^{T}（T）_{0}\α（t）\，dt=-t\上划线{h}$$

这导致

$$T\overline{\alpha}=-u^{\mu}（\eta）T\overrine{h}$$

然后

$$u（\eta）=\biggl（-\frac{\overline{\alpha}}{\overrine{h}}\biggr）^{\frac{1}{\mu}}$$

(3.4)

乘法(3.2)带有\（u（t）\），并在区间内对其进行积分\（[0，T]\），我们获得

$$\int美元^{T}（T）_{0}u“”（t）u（t）\，dt-\lambda\int^{T}（T）_{0}\frac{\α（t）u（t）}{u^{\mu}（t）{\，dt=\lambda\int^{T}（T）_{0}小时（t） u（t）\，日期$$

通过使用\（\int^{T}（T）_{0}u“”（t）u（t）\，dt=-\int_{0}^{t}|u'（t）|^{2}\，dt\），我们有

$$\int美元^{T}（T）_｛0｝\bigl\vert u'（t）\bigr\vert ^｛2｝\，dt+\lamba\int^{T}（T）_{0}\α（t）u^{1-\mu}（t）\，dt=-\lambda\int^{T}（T）_{0}小时（t） u（t）\，日期$$

再加上\（阿尔法（t）为所有人\（在[0，t]\中）和\（阿尔法（t）不等于0）给予

$$\int美元^{T}（T）_｛0｝\bigl\vert u'（t）\bigr\vert ^｛2｝\，dt<\int^{T}（T）_{0}\bigl\vert h（t）\bigr\vert u（t）\，dt\le\biggl（\int^{T}（T）_{0}小时^{2} （t）d\biggr）^{\frac{1}{2}}\biggl（\int^｛T｝_{0}u^{2} （t），dt\biggr）^{压裂{1}{2}}$$

(3.5)

按引理2.2，我们有

$$\biggl（\int^{T}（T）_{0}u^{2} （t）\，dt\biggr）^{\frac{1}{2}}<\frac{t}{\pi}\biggl（\int^{T}（T）_{0}\bigl\vert u'（t）\bigr\vert^{2}\，dt\biggr）^{\frac{1}{2}}+\sqrt{T} u个（等）$$

它源自(3.4)那个

$$\biggl（\int^{T}（T）_{0}u^{2} （t）\，dt\biggr）^{\frac{1}{2}}<\frac{t}{\pi}\biggl（\int^{T}（T）_{0}\bigl\vert u'（t）\bigr\vert^{2}\，dt\biggr）^{\frac{1}{2}}+\sqrt{t}\biggl（-\frac}\overline{\alpha}}{\overline{h}}\bigr）^{\frac{1}{\mu}}$$

将其替换为(3.5)，我们有

$$\开始{aligned}\int^{T}（T）_｛0｝\bigl\vert u'（t）\bigr\vert ^｛2｝\，dt&<\biggl（\int^{T}（T）_{0}小时^{2} （t）\，dt\biggr）^{\frac{1}{2}}\biggl[\frac{t}{\pi}\bigl（\int^{T}（T）_{0}\bigl\vert u'（t）\bigr\vert^{2}\，dt\biggr^{T}（T）_{0}小时^{2} （t）\，dt\biggr）^{\frac{1}{2}}\biggl（\int^{T}（T）_{0}\bigl\vert u'（t）\bigr\vert^{2}\，dt\biggr^{T}（T）_｛0｝小时^{2} （t）\，dt\biggr）^{\frac{1}{2}}，\end{aligned}$$

通过不平等\（X）^{2} -AX-B型<0\)，我们可以获得\（X<A+B^{\压裂{1}{2}}\）.让\（X=（\n整数^{T}（T）_{0}|u'（t）|^{2}\，dt）^{\frac{1}{2}}\）,\（A=\frac{T}{\pi}（\int^{T}（T）_{0}小时^{2} （t）\，dt）^{\压裂{1}{2}}\）,\（B=T^{\frac{1}{2}}（-\frac}\overline{\alpha}}{\overline{h}}）^{T}（T）_{0}小时^{2} （t）\，dt）^{\压裂{1}{2}}\），我们有

$$\biggl（\int^{T}（T）_{0}\bigl\vert u'（t）\bigr\vert^{2}\，dt\biggr）^{\frac{1}{2}}<\frac}t}{\pi}\|h\|{2}+t^{\frac{1{4}}\biggl ^{\frac{1}{2}}:=\rho{1}$$

(3.6)

组合(3.4)带有(3.6)，我们有

$$u（t）\leu（\eta）+\sqrt{t}\bigl\Vertu'\bigr\Vert_{2}<\biggl（-\frac{\overline{\alpha}}{\overrine{h}}\biggr）^{\frac}{\mu}}+t^{\frac{1}{2}}\rho{1}:=M$$

(3.7)

让\（t{1}\）,\（t{2}\）是的最大点和最小点\（u（t）\）在\（[0，T]\），然后

$$\int_{t_{1}}^{t_{2}}u''（t）\，dt+\lambda\int__{1}{^{t_2}}f\bigl（u（t）\bigr）u'（t）^{t_{2}}h（t）\，dt$$

其中包括\（u'（t_{1}）=u'（t_{2}）=0\）产量

$$F\bigl（u（t_{2}）\bigr）-F\bigle（u（t_{1}）\ bigr$$

哪里\（F（x）=\int_{1}^{x} （f）（s） \，ds\），然后

$$\bigl\vert F\bigl（u（t_{2}）\biger）\bigr\vert\leq\bigl\ vert F\ bigl$$

它源自(3.4)和(3.7)那个

$$开始{对齐}\bigl\vert F\bigl（u（t_{2}）\biger）\bigr\vert&\leq\max_{（-\frac{\overline{\alpha}}{\overrine{h}}）^{\frac}{1}{\mu}}\leqz\leq-M}\bigle\vert F线{\alpha}}{\overline{h}}）^{\frac{1}{\mu}}\leqz\leqM}\bigl\vert F（z）\bigr\vert+2T\ overline{h}（小时）_{-}. \结束{对齐}$$

(3.8)

从（H）很容易看出₁)有一个常数\（\gamma_{0}>0\），因此

$$\bigl\vert F（z）\bigr\vert=\biggl\vert\int_{1}^{z} （f）（s） \，ds\biggr\vert>\max_{（-\frac{\overline{\alpha}}{\overrine{h}}）^{\frac}1}{\mu}}\leqz\leqM}\bigl\vert F（z）\bigr\vert+2T\ overline{h}（小时）_{-}\quad\mbox{for}z\in（0，\gamma{0}]）$$

由(3.8)，我们有

$$u（t_｛2｝）>\gamma_｛0｝$$

然后

$$u（t）>\gamma_{0}\quad\mbox{代表[0，t]中的所有}$$

(3.9)

下一步，如果u个达到最大值\（[0，T]\）在\（[0，t]\中的t_{1}\），那么\（u'（t_{1}）=0\）我们从中看到(3.2)那个

$$u'（t）=\lambda\int_{t_{1}}^{t}\biggl[-f（u）u'+\frac{\alpha（t）}{u^{\mu}}+h（t）\biggr]\，dt\quad\mbox{表示[t{1}，t_{1{+t]中的所有}t$$

因此，

$$开始{对齐}\bigl\vert u'（t）\bigr\vert&\leq\lambda\bigl\ vert F\bigl（u（t）\ bigr}+t}h_{+}（s）\，ds\\&\leq2\lambda\max_{gamma_{0}\lequ\leqM}\bigl\vert F（u）\bigr\vert+\lambda\ int_{0{^{t}\frac{\alpha（t）}{u^{\mu}（t）}\，dt+t\上划线{h}（小时）_{+}. \结束{对齐}$$

(3.10)

替换(3.3)到(3.10)，我们有

$$\bigl\vert u'（t）\bigr\vert\leq2\max_{\gamma_{0}\leq u\leq M}\bigl\ vert F（u）\biger\vert-t\上划线{h}+t\上划线{h}（小时）_{+}:=M^{*}\quad\mbox{forall}t\in[0，t]$$

然后

$$\bigl\vert u'（t）\bigr\vert\leq M^{*}\quad\mbox{代表[0，t]中的所有}t$$

(3.11)

发件人(3.7), (3.9), (3.11)和备注2.1，我们可以选择\（M_{0}：=分钟哪里\（D_{1}\）在备注中确定2.1,\（M_｛1｝=M\）和\（M_{2}=M^{*}\）这样引理的所有条件2.1都很满意。因此，通过使用引理2.1，我们看到了这个等式(1.6)至少有一个阳性T型-周期解。证据完整。□

定理3.2

假设 \（上一行{h}<0\） 和（H）₂)持有.然后方程(1.6)至少有一个阳性 T型-周期解.

证明

假设u个是任意的正数T型-方程的周期解(2.1)，然后

$$u’’+\lambda f（u）u’-\lambda\frac{\alpha（t）}{u^{\mu}}=\lambda h（t），\quad\lambda\ in（0,1]）$$

(3.12)

类似于(3.4)和(3.6)，我们发现有一点\（\xi\在[0，T]\中）这样的话

$$u（\xi）=\biggl（-\frac{\overline{\alpha}}{\overrine{h}}\biggr）^{\frac{1}{\mu}}$$

(3.13)

和

$$\biggl（\int^{T}（T）_{0}\bigl\vert u'（t）\bigr\vert^{2}\，dt\biggr）^{\frac{1}{2}}<\frac}t}{\pi}\|h\|{2}+t^{\frac{1{4}}\biggl ^{\frac{1}{2}}:=\rho{1}$$

(3.14)

鉴于不平等

$$\开始{对齐}u（t）&=u（\xi）+\int^{t}（t）_{\xi}u'，ds\lequ（\xi）+\int^{\xi+T}_{\xi{\bigl\vertu'（s）\bigr\vert\，ds\\&=u（\xi）+\T^{T}（T）_{0}\bigl\vert u'（s）\bigr\vert，ds，\quad t\in[\xi，\xi+t]，\end{aligned}$$

和通过使用(3.13)再加上施瓦兹不等式

$$\max_{t\in[0，t]}u（t）\leq\biggl（-\frac{\overline{\alpha}}{\overrine{h}}\biggr）^{\frac}{\mu}}+t^{\frac{1}{2}}\biggl（\int^{T}（T）_{0}\bigl\vert u'（s）\bigr\vert^{2}\，ds\biggr）^{\frac{1}{2}}$$

(3.15)

和

$$\min_{t\in[0，t]}u（t）\gequ（\xi）-\biggl\vert\int^｛t｝_{\xi}u'（s）\，ds\biggr\vert\geq\biggl（-\frac{\overline{\alpha}}{\overrine{h}}\biggr）^{\frac}{\mu}}-T^{\frac{1}{2}}\biggl（\int^{T}（T）_{0}\bigl\vert u'（s）\bigr\vert^{2}\，ds\biggr）^{\frac{1}{2}}$$

(3.16)

替换(3.14)到(3.15)和(3.16)分别有

$$\max_{t\in[0，t]}u（t）\leq\biggl（-\frac{\overline{\alpha}}{\overrine{h}}\biggr）^{\frac}{\mu}}+t^{\frac{1}{2}}\biggl[\frac[t}{\pi}\h\|{2}+t ^{\fac{1{4}}\biggl（-\frac}\overline{\alpha}}{\上划线{h}}\biggr）^{\frac{1}{2\mu}}\h\|{2}^{\frac{1{2}}\biggr]$$

(3.17)

和

$$\min_{t\in[0，t]}u（t）\geq\biggl（-\frac{\overline{\alpha}}{\overrine{h}}\biggr）^{\frac}{\mu}}-t^{\frac{1}{2}}\biggl[\frac[t}{\pi}\h\|{2}+t^{\frac{1}}{4}}\biggl（-\frac}\overline{\alpha}}{\上划线{h}}\biggr）^{\frac{1}{2\mu}}\h\{2}^{\frac{1{2}}\biggr]$$

(3.18)

其余的证明与定理的相应证明几乎相似3.1. □

示例3.1

考虑以下方程式：

$$x'（t）+\frac｛x'（t）｝｛x^｛2｝（t）｝-\frac｛\sin^{2} t吨}{x^{\压裂{2}{3}}=-1+\成本t$$

(3.19)

对应方程式(1.6)，我们有\（f（x）=\压裂{1}{x^{2}}\）,\（\mu=\压裂{2}{3}\）,\（\alpha（t）=\sin^{2} t吨\),\（h（t）=-1+cos t），然后\（T=2\pi\）,\（\int_{0}^{1} （f）（s） \，ds=+\输入\）这意味着假设（H₁)持有。自\（上一行{h}=-1<0），通过使用定理3.1，我们找到了这个方程(3.19)至少有一个正2π-周期解。

示例3.2

考虑以下方程式：

$$x''（t）+\压裂{x'（t）}{x^{\压裂{1}{2}}（t）{-\压裂{\sin^{2} 8吨}{x^{\压裂{3}{4}}=-\cos^{2} 8吨。 $$

(3.20)

对应方程式(1.6),（f）可以被视为\（f（x）=压裂{1}{x^{压裂{1{2}}）,\（\mu=\frac｛3｝｛4｝\）,\（α（t）=sin^{2} 8吨\)和\（h（t）=-\cos^{2} 8吨\).自\（\int_{0}^{1} （f）（s） \，ds=2\），遵循该假设（H₁)无法保持。这意味着定理3.1不能用于研究周期解的存在性(3.20). 但是，通过简单的计算，我们可以验证

$$-\frac{\overline{h}}{\overrine{\alpha}}=1，\qquad\|h\|^{2}_{2} =\压裂{3T}{8}$$

哪里\（T=\压裂{\pi}{8}\），然后

$$\biggl（-\frac{\overline{\alpha}}{\overrine{h}}\biggr）^{\frac}1}{\mu}}-T^{\frac{1}{2}}\biggl[\ frac{T}{\pi}\|h\|_{2}+\biggl（T^{\frac{1}}{2{}\bigbl（-\frac{\overbine{\alpha}}}{\biggr）^{\frac{1}{\mu}}\|h\|{2}\bigger）^{\frac{1}}\bigbr]=1-\biggl（\frac}\sqrt{6}\pi}{256}+\frac[4]{6}\ pi}{16}\bigr）>0$$

这意味着假设（H₂)持有。因此，通过使用定理3.2，我们发现(3.20)至少有一个阳性\（\压裂{\pi}{8}\）-周期解。

备注

上述两个示例都无法通过使用中的结果进行研究[31,32,34]和[35]，自\（f（x）\）英寸(3.19)和中(3.20)都是单数\（x=0）也不能使用中的结果进行研究[33]，因为恢复力条件\（\frac{\sin^{2} t吨}{x^{\压裂{2}{3}}\）英寸(3.19)和\（\frac{\sin^{2} 8吨}{x^{\压裂{3}{4}}}\）英寸(3.20)在\（x=0）.