具有速度耗散的二维MHD方程的磁正则性判据

摘要

本文考虑了一个具有速度耗散和无磁扩散的二维MHD方程的初值问题。我们根据磁场建立了一个新的磁规则性判据。与磁规则性判据相反\（L^{1}（0，T；BMO（\mathbb{R}^{2}）中的b），我们的正则性标准\（\int_{0}^{T}（\Vert b\otimes b（s）\Vert_{b_{\infty，1}^{0}（\ mathbb{R}^{2}）}+\Vert b \otime b（s）\Vert_{L^{2{（\ mathbb{R}^{2）}）\，ds<\infty\）不同；例如，我们简化的正则性准则\（\int_{0}^{T}\Vert b（s）\Vert^{2}_{B_{\infty，1}^{\varepsilon}（\mathbb{R}^{2}）}\，ds<\infty\）要求较高的时间可积性和较低的空间正则性。

1引言

本文考虑了二维不可压磁流体力学（MHD）方程在速度耗散和无磁扩散情况下的整体正则性，

$$\开始{aligned}\left\{\textstyle\begin{array}{@{}l}\partial_{t}u+u\cdot\nabla u+nabla p=b\cdot\nabla b+\Delta u，\quad x\in\mathbb{R}^{2}，t>0，\\partial_{t}b+u\cd ot\nabra b=b\cd ot\nablau，\quad x\in \mathbb{R}^{2{，t>0，\\nabla\cd ot u=\nabla\cdot b=0，\quad x\in\mathbb{R}^{2}，t\geq0，\\u（0，x）=u_{0}（x），\quad x\in\mathbb{R}^{2}，\end{array}\displaystyle\right。\结束{对齐}$$

(1.1)

哪里\（u=u（t，x）\）代表流体的速度，\（b=b（t，x）\）磁场，以及\（p=p（t，x）\）对于标量压力。由于缺乏磁扩散，全球处于良好状态非常困难，而且仍然是开放的。

流体运动学基本方程的研究是一个有趣的领域。例如，我们有MHD方程[1，2]Benjamin-Bona-Mahony方程[三，4]和准营养方程[5–7]. 由于磁流体动力学方程有很强的物理背景[1，2]最近几年，MHD方程的研究引起了极大的兴趣，并取得了很大的进展。MHD方程的一个基本问题是它们会产生奇点。这是由于Navier-Stokes方程与磁场诱导力和感应方程之间的非线性耦合所致（参见[8–10]).

我们首先回顾一下最近在这方面取得的一些进展。系统的本地就绪性(1.1)已在中证明[11–13]分别是。此外，九和牛[13]证明了该解始终保持平滑T型如果

$$b\在L^{p}\bigl（0，T；W^{2，q}\bigle（\mathbb{R}^{2}\biger）\bigr）\quad\mbox{with}\frac{2}{p}+\frac{1}{q}\leq2，1\leqp\leq\frac{4}{3}，2<q\leq\infty中$$

九和刘[14]讨论了具有水平耗散和垂直磁扩散的三维轴对称磁流体动力学方程的整体正则性。范和小泽一郎[15]、周和范[16]获得了速度场的正则性判据\（L^{1}（0，T；L^{infty}（\mathbb{R}^{2}）中的u））和磁场\（L^{1}（0，T；BMO（\mathbb{R}^{2}）中的b）分别是。据我们所知，对于MHD方程(1.1)当耗散指标大于1且没有零磁扩散时，全局适定性也是开放的。由于缺乏磁扩散，很难在任何Sobolev空间中获得局部解的全局估计。最近，Jiu、Niu和Wu等。[17]利用贝索夫空间技术给出了一个新的正则性判据。受到[17]和[18]本文的主要目的是根据磁场条件建立另一个正则性准则。我们的主要结果如下。

定理1.1

假设 \（（u_{0}（x），b_{0neneneep（x））在H^{s}（\mathbb{R}^{2}）中(\（s>2\）)具有 \（nabla\cdotu{0}（x）=。让 \（u（t，x），b（t，x）） 是系统的局部平滑解(1.1).然后 \（u（t，x），b（t，x）） 可以延长时间 T型 如果

$$\begin{aligned}\int_{0}^{T}\bigl（\bigl\Vert b\otimes b（s）\bigr\Vert _{b_{\infty，1}^{0}（\mathbb{R}^{2}）}+\bigl\ Vert b\ otimes b（s）\ bigr\Vert _{L^{2{（\mathbb{R}^{2}）{\bigr）\，ds<\infty。\结束{对齐}$$

（1.2）

备注1.1

\（所有\varepsilon>0\），\（B^{\varepsilon}_{\infty，1}\）是Banach代数和嵌入\（B_{\infty，1}^{\varepsilon}\hookrightarrow B_{\ infty保持，条件(1.2)可以替换为

$$\开始{aligned}\int_{0}^{T}\bigl\Vert b（s）\bigr\Vert^{2}_{B_{\infty，1}^{\varepsilon}（\mathbb{R}^{2}）}\，ds<\infty。\结束{对齐}$$

（1.3）

根据上述观察(1.3)比周和范强加的正则条件要求更高的时间可积性和更低的空间正则性[16].

本文的计划如下。在下一节中，我们将介绍Besov空间标准理论中的一些符号和初步结果。在第三部分中，我们首先建立了获得磁正则性所需的所有工具，然后将证明分为三个步骤来获得磁正则判据。

2符号和序言

我们首先介绍以下符号。C类表示一个可能因行而异的正常数。\（X\最小Y\）意味着存在一个正的无害常数C类这样的话\（X\leq CY\）我们使用子指数（如\（C_{s}\）或\（\lesssim_{s}\）)指示常数的参数依赖性C类.让\（\mathcal{S}（\mathbb{R}^{d}）\）是快速递减函数的Schwartz类\（\mathcal｛S’｝（\mathbb｛R｝^｛d｝）\）回火分布的空间。对于所有人\（u\in\mathcal{S}'\），傅里叶变换\（\mathcal{F} u个\)，也表示为û，由定义

$$\马塔尔{F} u个（xi）=\hat{u}（\xi）=int_{mathbb{R}^{d}}e^{-ix\cdot\xi}u（x）\，dx，\quad\forall\xi\in\mathbb}R}^}$$

傅里叶逆变换允许我们恢复u个从û:

$$u（x）=\mathcal{F}^{-1}\hat{u}（x）=（2\pi）^{-d}\int_{\mathbb{R}^{d}}e^{ix\cdot\xi}\hat{u}（\xi）\，d\xi$$

\（[A，B]\）代表换向器运算符\（AB-BA\），其中A类和B类是某些Banach空间上的任意一对运算符。

我们现在回顾一下贝索夫空间的一些标准理论（更多详细信息请参见[19]).

让\（\mathcal{C}\）表示环空\（{\xi\in\mathbb{R}^{d}:3/4\leq\vert\xi\vert\leq8/3}）.存在两个径向函数\（C_{C}^{infty}中的chi（mathcal{B}（0,4/3））和\（C_{C}^{infty}（\mathcal{C}）中的\varphi\）两者都将价值观纳入$[0,1]$这样的话

$$\chi（\xi）+\sum_{j\geq0}\varphi\bigl（2^{-j}\xi\bigr）=1，\quad\forall\xi\in\mathbb{R}^{d}$$

对于每个\（u\in\mathcal{S'}（\mathbb{R}^{d}）\），非均匀并元块体\（三角形{j}）定义如下：\（\三角形_{-1}u=\chi（D）u\）和\（\三角形_{j} 单位=\varphi（2^{-j}D)u \），\（对于所有j\geq0）.非均匀低频截止算子\（S_｛j｝\）由定义

$$S美元_{j} u个=\sum_{q=-1}^{j-1}\三角形_{q} 美国。 $$

在非均匀情况下，以下Littlewood-Paley分解是有意义的：

$$u=\sum_{j\geq-1}\三角形_{j} 单位，\quad u\in\mathcal{S'}\bigl（\mathbb{R}^{d}\bigr）$$

让\（s\in\mathbb{R}\）和\（p，q\in[1，\infty]\），非齐次Besov空间\（B_{p，q}^{s}（\mathbb{R}^{d}）\）由定义

$$\begin{aligned}B_{p，q}^{s}=\biggl\{u\in\mathcal{s'}\bigl（\mathbb{R}^{d}\bigr），\Vert u\Vert_{B_{p，q}^{s{（\mathbb{R}^{d}）}:=\bigbl（\sum_{j\geq-1}2^{qjs}\Vert\三角形_{j} u个\垂直^{q}_{L^{p}}\biggr）^{1/q}<\infty\biggr\}。\结束{对齐}$$

本文研究了两类耦合时空Besov空间\（L_{T}^{r} B类_{p，q}^{s}\）和\（\widetilde{左}_{T}（T）^{r} B类_{p，q}^{s}\）(\（第1页）)分别定义如下：

$$\开始{aligned}和L_{T}^{r} B类_{p，q}^{s}=\bigl\{u\in\mathcal{s'}\bigl（\mathbb{R}^{d}\bigr），\Vert-u\Vert_{L_{T}^{r} B类_｛p，q｝^｛s｝（\mathbb｛R｝^｛d｝）｝：=\bigl\的_{j} u个\垂直_{L^{p}}\bigr）_{L^{q}\biger\Vert_{L{T}^{r}}<\infty\bigr\}，\\&\widetilde{左}_{T}（T）^{r} B类_{p，q}^{s}=\bigl\{u\in\mathcal{s'}\bigl（\mathbb{R}^{d}\bigr），\Vert u\Vert_{widetilde{左}_｛T｝^{r} B类_{p，q}^{s}（\mathbb{R}^{d}）}:=\bigl（2^{js}\Vert\triangle_{j} u个\垂直_{L_{T}^{r} L（左）^{p} }\bigr）{l^{q}}<\infty\bigr\}。\结束{对齐}$$

由于Minkowski不等式，这些空间之间的以下联系是直接结果：

$$\开始{aligned}L_{T}^{r} B类_{p，q}^{s}\hookrightarrow\widetilde{左}_{T}（T）^{r} B类_{p，q}^{s}，\quad\mbox{if}q\geqr；\quad\mbox{和}\quad\widetilde{左}_{T}（T）^{r} B类_{p，q}^{s}\hookrightarrow L_{T}^{r} B类_{p，q}^{s}，\quad\mbox{if}r\geqq.\end{aligned}$$

(2.1)

特别地，

$$\开始{aligned}L_{T}^{q} B类_{p，q}^{s}\thickaprox\widetilde{左}_{T}（T）^{q} B类_{p，q}^{s}。\结束{对齐}$$

(2.2)

伯恩斯坦不等式在涉及贝索夫空间的分析中是基本的，这些不等式交换了导数的可积性。

引理2.1

[19]

让 \（\mathcal{C}\） 是一个环 \（\mathcal{B}\） 一个球。然后有一个常数 \（k\in\mathbb{N}\cup\{0\}\），\（1），和 \（L^{p}中的f\），我们有

$$\开始{aligned}&\operatorname{supp}\hat{f}\subset\lambda\mathcal{B}\quad\Rightarrow\quad_bigl\Vert D^{k} 如果\bigr\Vert_{q}=\sup_{Vert\alpha\Vert=k}\bigl\Vert\partial^{alpha}f\bigr\垂直_{q}\leq C\lambda^{k+d（\frac{1}{p}-\压裂{1}{q}）}\Vertf\Vert_{p}，\end{aligned}$$

(2.3)

$$\开始{aligned}&\运算符名称{supp}\hat{f}\subset\lambda\mathcal{C}\quad\Rightarrow\quad C^{-1}\lambda ^{k}\Vert f\Vert_{p}\leq\bigl\Vert D^{k} （f）\bigr\Vert_{p}\leq C\lambda^{k}\Vertf\Vert_}。\结束{对齐}$$

(2.4)

毕奥-萨伐尔定律将经常被用来控制速度梯度和涡度之间的关系。

引理2.2

[19]

对于任何分歧-自由向量场 u个，存在一个普遍的正常数 C类 这样的话，对于任何 \（1<p<infty），我们有

$$开始{aligned}\Vert\nabla u\Vert_{L^{p}}\leq C\frac{p^{2}}{p-1}\Vert w\Vert_{L^}}，结束{aligned}$$

(2.5)

在这里 \（w=\operatorname{curl}u=\nabla\times u\） 是涡度。

接下来，我们给出了涉及Riesz算子的交换子估计\（\mathcal{R}=（-\Delta）^{-1}\operatorname{curldiv}\）。

引理2.3

[20]

标准Riesz运算符 \（\mathcal{R}=（-\Delta）^{-1}\operatorname{curldiv}\） 是连续和线性的，它映射 \（L^{p}（\mathbb{R}^{d}）\） 进入之内 \（L^{p}（\mathbb{R}^{d}）\） 对于任何 \（1<p<infty）。特别地，为所有人 \（f\在L^{p}（\mathbb{R}^{d}）中\） 以下估计是正确的:

$$\开始{aligned}\Vert\mathcal{R} 如果\垂直_{L^{p}（\mathbb{R}^{d}）}\leqC_{d，p}\Vertf\Vert_{L^}p}。\结束{对齐}$$

(2.6)

引理2.4

[20]

如果 u个 是平滑发散-的自由向量场 \（\mathbb{R}^{2}\） 有涡度，和 （f） 是一个平滑函数，那么就全部 \（p\ in（1，\ infty）\），

$$开始{aligned}\bigl\Vert[\mathcal{R}，u\cdot\nabla]f\bigr\Vert_{L^{p}}\leq C\Vert\nabla u\Vert_{L^}}\bigle（\Vert f\Vert_2}}+\Vert f \Vert_3{B^｛0｝_{{\infty}，1}}\biger）。\结束{对齐}$$

(2.7)

证明

为了方便起见，我们草拟了证据。在不损失通用性的情况下，我们假设函数\（在C_{C}^{infty}（\mathbb{R}^{2}）中的u）和\（C_{C}^{infty}（\mathbb{R}^{2}）中的f）。很容易直接验证

$$\开始{aligned}{}[\mathcal{R}，u\cdot\nabla]f=\operatorname{分割}_{x} \bigl（\mathcal{R}（uf）\bigr）-\operatorname{分割}_{x} （u \mathcal{R} （f）)=\总和{j=1}^{2}\部分_{j} 超滤_{j}-\sum_{i，j=1}^{2}\部分_{i} u个\mathcal公司{右}_{i，j}f_{j} ●●●●。\结束{对齐}$$

(2.8)

由于Hölder不等式、Bernstein不等式和嵌入\（B_{\infty，1}^{0}\hookrightarrow L^{\inffy}\），我们得到

$$\begin{aligned}\bigl\Vert[\mathcal{R}，u\cdot\nabla]f\bigr\Vert_{L^{p}}\leq&C\Vert\nabla u\Vert_{L^}}\bigr（\Vert f\Vert_L^{infty}}+\Vert\mathcal{R} （f）\Vert _｛L^｛\infty｝｝\bigr）\\leq和C\Vert\nabla u\Vert _｛L^｛p｝｝\Biggl（\Vert f\Vert _｛B^｛0｝_{{\infty}，1}}+\Vert\triangle_{-1}\mathcal{R} （f）\垂直_{L^{\infty}}+\sum_{j=0}^{\infty}\Vert\triangle_{j}\mathcal{R} 如果\Vert _｛L^｛\infty｝｝\Biggr）\\\leq&C\Vert\nabla u\Vert _｛L^｛p｝｝\Biggl（\Vert f\Vert _｛B^{0}_{{\infty}，1}}+\Vert\mathcal{R} （f）\垂直_{L^{2}}+\sum_{j=0}^{\infty}\Vert\triangle_{j}f\Vert_{L^}\infty}\Biggr）^{0}_{{\infty}，1}}\biger）。\结束{对齐}$$

(2.9)

此外，很容易看出这两个不等式(2.8)和(2.9)可以通过一个简单的密度参数扩展到所有函数。□

三定理的证明1.1

在这一节中，我们证明了我们的主要结果定理1.1.证明策略如下。我们首先证明了\（\垂直w\垂直_{H^{1}}\）和\（\垂直j\垂直_{H^{1}}\）然后我们将证明分为三个步骤：（1）\（L^{p}\）(\（2<p<infty）)涡度的估计ω，（2）速度的梯度估计u个（3）涡度的能量估计ω和j个。

现在我们用旋度算子处理速度方程(1.1)得到以下涡度方程：

$$\开始{aligned}\partial_{t}w+u\cdot\nabla w-\Delta w=\operatorname{curldiv}（b\otimes b）。\结束{对齐}$$

(3.1)

将我磁方程的第个分量(1.1)由\（b{j}\），我们获得

$$开始{aligned}（\partial{t}b{i}）b{j}+u\cdot\nabla b_{i} b条_{j} =（b\cdot\nabla u{i}）b{j}，\end{aligned}$$

(3.2)

类似地，将j个磁方程的第个分量(1.1)由\（b｛i｝\），我们有

$$开始{aligned}（\partial{t}b{j}）b{i}+u\cdot\nabla b_{j} b条_{i} =（b\cdot\nabla u{j}）b{i}。\结束{对齐}$$

(3.3)

正在添加(3.2)和(3.3)，我们知道\（（i，j）\）的第个分量\（注释b\）满足

$$\开始{aligned}\partial_{t}（b_{i} b条_{j} ）+u\cdot\nabla（b）_{i} b_{j} ）=\bigl（\nabla u（b\otimes b）\bigr）_{i，j}+\bigle（（b\opimes b$$

(3.4)

等效地，

$$\begin{aligned}\partial_{t}（b\otimes b）+u\cdot\nabla（b\opimes b$$

(3.5)

哪里\（\nabla^{\top}u\）表示转置矩阵∇u个。

应用\（\mathcal{R}=（-\Delta）^{-1}\operatorname{curldiv}\）至(3.5)收益率

$$\begin{aligned}和\partial_{t}\bigl（\mathcal{R}（b\otimes b）\bigr）+u\cdot\nabla\mathcal{R}（b\opimes b。\结束{对齐}$$

(3.6)

设置\（G=w-\mathcal{R}（b\otimes b）\）.组合(3.1)和(3.6)，我们得到

$$\begin{aligned}\partial_{t}G+u\cdot\nabla G-\Delta G=[\mathcal{R}，u\cdot \nabla]（b\otimes b）-\mathcal{R}（\nabla u（b\opimes b$$

(3.7)

根据输运扩散方程(3.7)，我们可以得到以下期望的有界估计。

引理3.1

假设 \（（u{0}（x），b{0}（x）） 满足定理中的条件 1.1。让 \（u（t，x），b（t，x）） 是初值问题的对应解(1.1).然后，对于 \（第（2，第i）页） 以及任何 \（T>0），我们有

$$\开始{aligned}\Vert w\Vert_{L^{p}（\mathbb{R}^{2}）}\leq C，\end{aligned}$$

(3.8)

哪里 C类 是一个正常数，仅取决于 T型 和初始数据。

证明

乘法方程式(3.7)由\（\vert G\vert^｛p-2｝G\)和集成\（\mathbb{R}^{2}\），使用按部件和\（\operatorname{div}u=0\），我们有

$$\开始{aligned}\frac{1}{p}\frac{d}{dt}\Vert G\Vert_{L^{p}}^{p{+\int_{mathbb{R}^{2}（-\Delta）G\Vert G\Vert^｛p-2｝G\，dx=\int_{\mathbb{R}^{2}}f\vert G\vert^{p-2}G\，dx。\结束{对齐}$$

(3.9)

由于逐点不等式\（\int_{\mathbb{R}^{2}}（-\Delta）G\vertG\vert^{p-2}G\，dx\geq 0\）和Hölder不等式，我们有

$$开始{aligned}\frac{1}{p}\frac{d}{dt}\Vert G\Vert_{L^{p}}^{p{p}\leq&\int_{mathbb{R}^{2}}f\Vert G\Vert^{p-1}G\，dx\leq\Vert f\Vert _{L^{p}}\Vert G\Vert^{p-1}_{L^{p}}\\leq&\bigl\Vert[\mathcal{R}，u\cdot\nabla]（b\otimes b）-\mathcal{R}\bigl（nabla u（b\otemes b）+（b\ocimes b。\结束{对齐}$$

(3.10)

由于奇异积分型算子\（\mathcal{R}\）限定于\（L^{p}（\mathbb{R}^{2}）\）(\（1<p<infty）)，我们有

$$\begin{aligned}\frac{d}{dt}\Vert G\Vert_{L^{p}}\leq&\bigl\Vert[\mathcal{R}，u\cdot\nabla]（b\otimes b）-\mathcal{R}\bigl al{R}，u\cdot\nabla]（b\otimes b）\bigr\Vert_{L^{p}}+\bigl\Vert\mathcal{R}\bigl\nabla^{\top}u\bigr）\bigr\Vert_{L^{p}}\\leq&\bigl\Vert[\mathcal{R}，u\cdot\nabla]（b\otimes b）\biger\Vert_ mathcal{R}，u\cdot\nabla]（b\otimes b）\bigr\Vert_{L^{p}}+\Vert\nabla u\Vert_{L^}}\Vert b\otimes b\Vert_[L^{infty}}。\结束{对齐}$$

（3.11）

由于引理2.4，我们有

$$\begin{aligned}\bigl\Vert[\mathcal{R}，u\cdot\nabla]（b\otimes b）\bigr\Vert_{L^{p}}\leq C\Vert\nabla u\Vert_{L^}}\bigr。\结束{对齐}$$

(3.12)

放置(3.12)到(3.11)并使用经典嵌入\（B_{\infty，1}^{0}\hookrightarrow B_{\ infty，我们得到

$$\begin{aligned}\frac{d}{dt}\Vert G\Vert _{L^{p}}\leq C\Vert \nabla u\Vert _{L^}\bigl（\Vert b\otimes b\Vert_{b_{infty，1}^{0}}+\Vert b \otimesb \Vert_{L_{2}\bigr），\end{alinged}$$

根据毕奥-萨伐尔定律（引理2.2)，我们有

$$\begin{aligned}\frac{d}{dt}\Vert G\Vert_{L^{p}}\leq C\Vert\omega\Vert_{L^}\bigl$$

作为\（ω=G+mathcal{R}（音符b）），我们有

$$\begin｛aligned｝\frac｛d｝｛dt｝\Vert G\Vert _｛L^｛\\leq＆C\bigl（\Vert G\Vert _｛L^｛p｝｝+\Vert b\otimes b后将“的后的以的一它以的情况情况为，在^{0}}+\Vert b\otimes b\Vert_{L^{2}}\bigr），\end{aligned}$$

（3.13）

其中\（L^{p}\）最后一个不等式使用了Riesz算子的有界性。

乘法方程式(3.5)由\（\vert b\otimes b\vert^{p-2}（b\otemes b）\）和集成\（\mathbb{R}^{2}\），使用按部件和\（\操作员姓名{div}u=0\)，我们有

$$\begin{aligned}\frac{1}{p}\frac{d}{dt}\Vert b\otimes b\Vert_{L^{p}}^{p{=\int_{mathbb{R}^{2}\bigl（\nabla u（b\otimes b）+（b\ocimes b）（\nabla u）^{top}\bigr）\Vert b\oteimes b\ Vert^{p-2}（b\otemes b）\，dx。\结束{对齐}$$

Hölder不等式与Biot-Savart定律（引理2.2)产量

$$开始{对齐}\frac{d}{dt}\Vert b\otimes b\Vert_{L^{p}}\leq C\bigl r）。\结束{对齐}$$

(3.14)

合并估算(3.13)和(3.14)，我们得到

$$\begin{aligned}\frac{d}{dt}\bigl（\Vert G\Vert_{L^{p}}+\Vert b\otimes b\Vert_{L^}}\bigr）\leq C\ bigl}+\Vert b\otimes b\Vert_{L^{2}}\biger）。\结束{对齐}$$

(3.15)

假设

$$\开始{对齐}\int_{0}^{t}\bigl（\Vert b\otimes b\Vert_{b_{infty，1}^{0}}+\Vert b \otime b\Vert_{L^{2}}\bigr）\，ds<\infty、\end{aligned}$$

(3.16)

根据格朗沃尔的不平等

$$\begin{aligned}\Vert G\Vert _{L^{p}}+\Vert b\otimes b\Vert _{L^}}\leq C\exp\biggl（\int_{0}^{t}\bigl（\Vert b\otimesb\Vert_{b{infty，1}^0}}+\ Vert b\ otimesb \Vert_{2}\bigr）\，ds\biggr）\leq C$$

(3.17)

这意味着，对于任何\（2<p<infty），

$$\开始{对齐}\Vert w\Vert_{L^{p}}\leq\Vert G\Vert_{L^}}+\Vert b\otimes b\Vert_{L^prep}}\leq C.\end{aligned}$$

(3.18)

这就完成了引理的证明3.1. □

接下来，我们给出了在定理证明中至关重要的关键有界估计1.1。

引理3.2

假设 \（（u{0}（x），b{0}（x）） 满足定理中的条件 1.1。让 \（u（t，x），b（t，x）） 是初值问题的对应解(1.1).然后，对于 \（第（2，第i）页） 以及任何 \（T>0），

$$\开始{aligned}\int_{0}^{T}\bigl\Vert\nabla u（s）\bigr\Vert_{L^{infty}}\，ds\leq C，\end{aligned}$$

(3.19)

哪里 C类 是一个正常数，仅取决于 T型 以及初始数据。

证明

鉴于(3.7)，用于\（j\geq-1），与Littlewood-Paley操作员合作\（三角形{j}）上的(3.7)，一个有

$$\开始｛对齐｝&&部分_｛t｝\三角形_{j} G公司+\triangle_{j}（u\cdot\nabla G）-\Delta\三角形_{j} G公司\\&\quad=\triangle_{j}[\mathcal{R}，u\cdot\nabla]（b\otimes b）-\triangle{j}\mathcal{R}\bigl（\nabla u（b\otemes b）+（b\opimes b。\结束{对齐}$$

(3.20)

为了方便起见，我们采取

$$f_{j}=\三角{j}[\mathcal{R}，u\cdot\nabla]（b\otimes b）-\mathcal{R}\bigl（nabla u（b\otemes b）+（b\ocimes b$$

因此，方程式(3.20)写为

$$\开始{对齐}\partial_{t}\三角形_{j} G公司+u\cdot\nabla\三角形_{j} G公司-\三角\三角形_{j} G公司=f_{j}。\结束{对齐}$$

(3.21)

乘法方程式(3.21)由\（\垂直\三角形_{j} G公司\垂直^{q-2}\三角形_{j} G公司 \)具有\（q>2）和集成\（\mathbb{R}^{2}\）借助于Hölder不等式和\（\操作员姓名{div}u=0\)，我们推导出

$$\压裂{1}{q}\压裂{d}{dt}\垂直\三角形_{j} 克\垂直_{L^{q}}^{q{+\int_{\mathbb{R}^{2}}（-\Delta）\三角形_{j} G公司\垂直\三角形_{j} G公司\垂直^{q-2}\三角形_{j} 克\，dx\leq\垂直f_{j}\垂直_{L^{q}}\垂直\三角形_{j} G公司\垂直_{L^{q}}^{q-1}$$

对于\（j\geq0），傅里叶变换\（\三角形_{j} 克\)远离原点，耗散部分具有下限，

$$\int_{\mathbb{R}^{2}}（-\Delta）\三角形_{j} G公司\垂直\三角形_{j} G公司\垂直^{q-2}\三角形_{j} G公司\，dx\geq c2^{2q}\垂直\三角形_{j} G公司\垂直_{L^{q}}^{q{$$

哪里c（c）是独立于问。

因此，我们有

$$\frac｛d｝｛dt｝\Vert\三角形_{j} G公司\垂直_{L^{q}}+c2^{2q}\垂直\三角形_{j} G公司\垂直_{L^{q}}\leq\垂直f_{j}\Vert_{L^}}$$

因此，格朗沃尔不等式意味着

$$\开始{对齐}\Vert\三角形_{j} G公司\垂直_{L^{q}}\lesssim e^{-ct2^{2q}}\垂直\三角形_{j} G公司_{0}\Vert_{L^{q}}+\int_{0}^{t} e（电子）^｛-c（t-s）2^｛2q｝｝｝\bigl\Vertf_{j｝（s）\bigr\Vert_{L^｛q｝｝｝\，ds.\end｛aligned｝$$

(3.22)

采取\（L^{1}[0，t]\）范数和使用Young不等式，我们得到

$$\开始{对齐}\Vert\三角形_{j} 克\垂直_{L_{t}^{1} L（左）^{q} }\lesssim&\bigl\Verte ^{-ct2^{2q}}\bigr\Vert_{L_{t}^{1}}\bigl（\Vert\triangle_{j} G公司_{0}\Vert_{L^{q}}+\Vert f_{j}\Vert_{L_{t}^{1} L（左）^{q} ｛\bigr）\\lesssim和2^｛-2q｝\biggl（\Vert\三角形_{j} G公司_{0}\Vert_{L^{q}}+\int_{0}^{t}\bigl\Vert f_{j}（s）\bigr\Vert_{L^}}\，ds\biggr）。\结束{对齐}$$

(3.23)

对于\（j=-1），我们有

$$\开始{对齐}\int_{0}^{t}\bigl\Vert\三角形_{-1}G（s） \bigr\Vert_{L^{q}}\，ds\leq C\int_{0}^{t}\bigl\Vert G（s）\bigr\ Vert_{L ^{q{}\，ds \leq C（t）。\结束{对齐}$$

(3.24)

收集上述高低频估计值，将相应的不等式乘以\（2^{j\压裂{2}{q}}\），然后求和j个从-1到∞，有

$$\开始{aligned}\int_{0}^{t}\bigl\VertG（s）\bigr\Vert_{B_{q，1}^{\frac{2}{q}}\，ds=\VertG\Vert_{L_{t}^{1} B类_{q，1}^{\frac{2}{q}}}，\end{aligned}$$

由于事实\（L_{t}^{1} B类_{q，1}^{\frac{2}{q}}\近似\widetilde{左}_{t}（t）^{1} B_{q，1}^{\压裂{2}{q}}\），我们有

$$\开始{aligned}\int_{0}^{t}\bigl\VertG（s）\bigr\Vert_{B_{q，1}^{\frac{2}{q}}\，ds=\VertG\Vert_{L_{t}^{1} B类_｛q，1｝^｛\frac｛2｝｛q｝｝｝｝近似值\Vert G\Vert _｛\widetilde{左}_｛t｝^{1} B类_{q，1}^{\frac{2}{q}}}，\end{aligned}$$

因此

$$\开始{aligned}&\int_{0}^{t}\bigl\VertG（s）\bigr\Vert_{B_{q，1}^{\frac{2}{q}}\，ds\\&\quad\lesssim\VertG{0}\Vert_2B_{q,1}^{\frac{2}{q} -2个}}+｛0｝^｛t｝\sum_｛j=-1｝^｛infty｝2^｛j（\frac｛2｝{q} -2个)}\bigl\Vert f_{j}（s）\bigr\Vert_{L^{q}}\，ds+C（t）\\&\quad\lesssim\Vert G_{0}\Vert_{B_{q，1}^{frac{2}{q} -2个}}+\int_{0}^{t}\sum_{j=-1}^{\infty}2^{j（\frac{2}{q} -2个)}\bigl\Vert[\triangle_{j}，u\cdot\nabla]G（s）\bigr\Vert_{L^{q}}\，ds+C（t）\\&\qquad{}+\int_{0}^{t}\bigl\ Vert[\mathcal{R}，u \cdot\nabla]R）\bigr\Vert_{L^{q}}\，ds.\end{aligned}$$

（3.25）

接下来，我们估计上述不等式右侧的最后一项。由于引理中的交换子估计2.4和的有界性\（\mathcal{R}\）在里面\（L^{p}\）(\（1<p<infty）)，我们有

$$\begin{aligned}和\int_{0}^{t}\bigl\Vert[\mathcal{R}，u\cdot\nabla]（b\otimes b）-\mathcal{R}\bigle垂直_{L^{q}}\bigl（\Vertb\otimesb\Vert_{b_{infty，1}^{0}}+\Vertb2\otimes b\Vert_{L^}2}}+\垂直b\otimes b\Vert_{L^{infty}}\biger）\，ds\\&\quad\lesssim 1。\结束{对齐}$$

(3.26)

对于第二项，使用伯恩斯坦不等式，我们得到

$$\开始{对齐}I=&\int_{0}^{t}\sum_{j=-1}^{\infty}2^{\frac{2}{q} -2个}\bigl\Vert[\triangle_{j}，u\cdot\nabla]G（s）\bigr\Vert_{L^{q}}\，ds\\lesssim&\int_{0}^{t}\sum_{j=-1}^{\infty}2^{j（\frac{2}{q} -2个)}\bigl（\bigl\Vert\triangle_{j}（u\cdot\nabla G）\bigr\Vert_{L^{q}}+\Vert u\cdote\triangle_{j}\nablaG\Vert_ L^{q}}\bigr）\，ds\\lesssim&\int_{0}^{t}\sum_{j=-1}^{infty}2^{j（\frac{2}{q} -2个)}\bigl（\bigl\Vert\triangle_{j}\nabla\cdot（uG）\bigr\Vert_{L^{q}}+\Vert-u\cdot\nable\triangle_{j}G\Vert_{L^}}\bigr）\，ds\\lesssim&\int_{0}^{t}\sum_{j=-1}^{\infty}2^{j（\frac{2}{q} -2个)}\bigl（2^{j}\VertuG\Vert_{L^{q}}+2^{j{\Vertu\Vert_{L^}2q}}\VertG\Vert_}L^{2q}{\bigr）\，ds\\lesssim&\int_{0}^{t}\sum_{j=-1}^{\infty}2^{j（\frac{2}{q} -1个)}\垂直u\垂直_{L^{2q}}\垂直G\垂直_}，ds\\leq&C（t），\结束{对齐}$$

(3.27)

其中我们使用了不等式：\（\垂直u\垂直_{L^{2q}}\leq C（t）\）和\（\Vert G\Vert _｛L^｛2q｝｝\leq C（t）\）对于\（q>2）.将上述估计综合起来，我们有

$$开始{aligned}\int_{0}^{t}\bigl\VertG（s）\bigr\Vert_{B_{q，1}^{\frac{2}{q}}\，ds\leq C\VertG{0}\Vert_{B_}q，1{^{\frac{2}{q} -2个}}+C（t）。\结束{对齐}$$

（3.28）

因此，对于任何固定的\（t>0），我们得到

$$\开始{aligned}\int_{0}^{t}\bigl\VertG（s）\bigr\Vert_{B_{q，1}^{\frac{2}{q}}\，ds\leqC<\infty。\结束{对齐}$$

(3.29)

借助标准嵌入\（B_{q，1}^{\frac{2}{q}}（\mathbb{R}^{2}）\hookrightarrowB_{\infty，1}^{0}（\ mathbb}R}^}）\），我们有

$$\开始{aligned}\int_{0}^{t}\bigl\VertG（s）\bigr\Vert_{B_{\infty，1}^{0}\，ds\leq\int_}0}^}\bigl\Vertg（s）\ bigr\Vert_{B_{q，1}^{\frac{2}{q}}\，ds \leq C<\infty。\结束{对齐}$$

（3.30）

此外，我们有以下估计：

$$\开始{aligned}\int_{0}^{t}\Vert w\Vert_{B_{infty，1}^{0}}\，ds\leq&\int_}0}^}\bigl（\Vert G\Vert_{B_}\infty、1}^}0}+\bigl\Vert\mathcal{R}（B\otimes B）\bigr\Vert_B_{infty，1}^{0}\bigr）\，ds \\leq&\int_{0}^{t}\bigl，ds\\leq&C.结束{对齐}$$

(3.31)

因此，我们得出以下键边界：

$$\begin{aligned}\int_{0}^{t}\bigl\Vert\nabla u（s）\bigr\Vert_{L^{infty}}\，ds\leq C\int_}0}^}\bigle（\bigl\ Vert u（s，s）\bigr\Vert_{L^}2}+\Vert w\Vert_B_{infty，1}^{0}\bigr）\，ds\ leq C<infty。\结束{对齐}$$

(3.32)

这就完成了引理的证明3.2. □

借助于的有界性\（\int_{0}^{t}\Vert\nabla u（s）\Vert_{L^{infty}}\，ds\），我们获得了\（\垂直w\垂直_{H^{1}}\）和\（\垂直j\垂直_{H^{1}}\）。

引理3.3

如果 \（u（t，x），b（t，x）） 是系统的解决方案(1.1),那么对于任何 \（T>0），

$$开始{aligned}和\bigl\Vert w（t）\bigr\Vert_{L^{2}}^{2{+\bigl\ Vert j（t）\ bigr\Vert_{L^}}^}2}+\int_{0}^{t}\Vert\nabla w\Vert_2}}^，ds\leq C，\quad\forall t\in[0，t]，\end{aligned}$$

(3.33)

$$开始{aligned}和\bigl\Vert\nabla w（t）\bigr\Vert_{L^{2}}^{2{+\bigl\ Vert\nabra j（t）\ bigr\Vert_{L_{2}{2}+\int_{0}^{t}\Vert\Delta w\Vert_$$

(3.34)

哪里 C类 是一个正常数，仅取决于 T型 和初始数据。

证明

取中第一个方程的内积(1.1)带有u个和中的第二个方程(1.1)带有b条分别将得到的方程相加，并按部分积分，我们得到

$$\开始{对齐}\bigl\Vert u（t）\bigr\Vert _{L^{2}}^{2{+\bigl\ Vert b（t）\ bigr\Vert _{L^{2]}^{2}+\int_{0}^{t}\Vert\nabla u\Vert _{L^}^{2\，ds=\Vert u{0}\Vert_{2}{2}^}^2}+\Vert b_{0{\垂直_{L^{2}}^{2{。\结束{对齐}$$

(3.35)

现在，w个和j个满足方程式

$$\begin{aligned}&\partial_{t}w+u\cdot\nabla w-\Delta w=b\cdot\nabla j，\end{alinged}$$

（3.36）

$$\begin{aligned}&\partial_{t}j+u\cdot\nabla j=b\cdot\nabla w+t（\nabla u，\nabla b），\end{alinged}$$

(3.37)

分别，其中

$$\begin{aligned}T（\nabla u，\nabla b）=2\部分_{1} b条_{1} （\部分_{1} 单位_{2} +\部分_{2} u个_{1} ）-2\部分_{1} u个_{1} （\部分_{1} b条_{2} +\部分_{2} b条_{1}). \结束{对齐}$$

(3.38)

取的内积(3.36)带有w个和(3.37)带有j个分别将所得方程相加并进行分部积分，我们得到

$$开始{对齐}\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\bigl[\bigl\Vert w（t）\bigr\Vert_{L^{2}}^{2{+\bigl\ Vert j（t）\ bigr\Vert_{L_{2}{2{}\bigr]+\Vert\nabla w\Vert_L^{2]}^2}=\int_{\mathbb{R}^{2]t（\nabla u，\nabla b）j\，dx\leq\Vert\nabla u\Vert_{L^{infty}}\Vert j\Vert^{2}_{L^{2}}。\结束{对齐}$$

(3.39)

在估算的帮助下(3.32)和Gronwall不等式，我们得到

$$\开始{aligned}\bigl\Vert w（t）\bigr\Vert_{L^{2}}^{2{+\bigl\ Vert j（t）\ bigr\Vert_{L_{2}{2}+\int_{0}^{t}\Vert\nabla w\Vert_{L^}}^}，ds\leq C.\end{aligned}$$

(3.40)

取的内积(3.36)带有\（-\增量w\）产量

$$\开始{aligned}\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\bigl\Vert\nabla w（t）\bigr\Vert_{L^{2}}^{2{+\Vert\Delta w\Vert_{L^}}^}2}=&\int_{\mathbb{R}^{2]}（-\nabla w\cdot\nabla-u\cdot\sabla w）\，dx\，dy\\&{}+\int_}\mathbb{R}^{2}}\bigl$$

(3.41)

类似地，取(3.37)带有\（-\Δj\）产量

$$\begin{aligned}\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\bigl\Vert\nabla j（t）\bigr\Vert_{L^{2}}^{2{=&\int_{\mathbb{R}^{2]}^{2}}\bigl（b\cdot\nabla（\nabla w）\cdot\nabla j+\nabla t（\nablau，\nabla b）\nablaj\bigr）\，dx\，dy.\end{aligned}$$

(3.42)

将上述方程相加并按部分积分，我们得到

$$\开始{对齐}\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\bigl[\bigl\Vert\nabla w（t）\bigr\Vert_{L^{2}}^{2{+\bigl\ Vert\nabra j（t）\ bigr\Vert_{L_2}}^2}\bigr]+\Vert\Delta w\Vert_{L^}}^2\leq\sum_{i=1}^{5} 我_{i} ，\结束｛对齐｝$$

(3.43)

哪里

$$\begin{aligned}&I_{1}=\int_{\mathbb{R}^{2}}\vert\nabla u\vert\vert\nabra w\vert^{2{\，dx\，dy；\\&I_{2}=\int_{\mathbb{R}^{2}}\vert\nabla u\vert\vert\nabra j\vert^{2{\，dx\，dy；\\&I_{3}=\int_{\mathbb{R}^{2}}I_{4}=\int_{\mathbb{R}^{2}}I_{5}=\int_{\mathbb{R}^{2}}\bigl$$

显然，\（I_{3}=I_{4}\）。我们只需要估计其他四项。

对于条款\（I_{1}\）和\（I_{2}\）根据Hölder不等式，我们有

$$开始{aligned}&I{1}\leq\Vert\nabla u\Vert_{L^{infty}}\Vert\natbla w\Vert_{L^}^{2}，\\&I{2}\leq \Vert\nabla u\ Vert_ L^{infty}}\Vert_nabla j\Vert_L^{2{}^{2}。\结束{对齐}$$

对于本学期\（I_{3}\）根据Hölder不等式，我们有

$$I_{3}\leq\Vert\nabla j\Vert_{L^{2}}\Vert\natbla w\Vert_$$

通过Gagliardo-Nirenberg不等式\（垂直f\Vert_{L^{4}}\leq C\Vert-f\Vert-{L^}}^{\frac{1}{2}}\Vert\nabla f\Vert_{L^[2}}^}{\frac{1}}{2{}}\），一个有

$$\开始{对齐}I_{3}\leq&C\Vert\nabla j\Vert_{L^{2}}\Vert\natbla w\Vert_}L^{2]}^{\frac{1}{2}{\Vert\Delta w\Vert_{L^}}^{\ frac{1}{2}}\Vert\nablab\Vert_ L^}{2{}}^ j\Vert_{L^{2}}^{\frac{1}{2}{\\leq&\frac{1}}{4}\Vert\Delta w\Vert_}L^{2]}^2}+C\Vert\nabla j\Vert\{L^}}^2{6}\Vert_nabla w\Vert\L^{2}}^{\压裂{2}{3}}。\结束{对齐}$$

对于本学期\（I_{5}\），很容易获得

$$I_{5}\leq\frac{1}{4}\Vert\Delta w\Vert_{L^{2}}^{2{+C\Vert\nabla j\Vert_{L^}^2}\bigl$$

添加的估计值\（I_{I}\）(\（i=1,2,3,4,5）)，我们得到

$$\begin{aligned}和\frac{d}{dt}\bigl[\bigl\Vert\nabla w（t）\bigr\Vert_{L^{2}}^{2{+\bigl\ Vert\napla j（t）\ bigr\Vert_{L_{2}{2}\bigr]+\Vert\Delta w\Vert_{L^}}^2}\\quad\leq C\bigl（\Vert_nabla w\Vert_ L^{2}}^{\frac{2}{3}}+\Vert\nabla u\Vert_{L^{\infty}}\bigr）\bigl\Vert\natbla w（t），\nabla j（t）\bigr\Vert_。\结束{对齐}$$

(3.44)

由于Lemma3.2，\（\int_{0}^{t}\Vert\nabla w\Vert_{L^{2}}^{2{\，ds\leq C\）Gronwall不等式立即产生

$$\开始{aligned}\bigl\Vert\nabla w（t）\bigr\Vert_{L^{2}}^{2{+\bigl\ Vert\nabra j（t）\ bigr\Vert_{L_{2}{2}+\int_{0}^{t}\Vert\Delta w\Vert_{L^}}^}}，ds\leq C<\infty。\结束{对齐}$$

(3.45)

这就完成了引理的证明3.3. □

定理的证明1.1

根据估计(3.45)，我们知道\（\Vert_nabla w（t）\Vert_{L^{2}}^{2{+\Vert\nabla j（t）\ Vert_{L1{2}{2}\leq C\），\（对于[0，t]\中的所有t\）.由于经典嵌入\（H^｛1｝（\mathbb｛R｝^｛2｝）\hookrightarrow BMO（\mathbb｛R｝^｛2｝）\），我们获得

$$\开始{aligned}\int_{0}^{T}\bigl（\bigl\Vert w（s）\bigr\Vert_{BMO}+\bigl\ Vert j（s）\ bigr\Vert_{BMO}\bigr）\，ds<\infty。\结束{对齐}$$

(3.46)

通过一个推广经典BKM准则的论点[21]对于MHD系统，我们完成了定理的证明1.1. □