可分Musielak-Orlicz-Sobolev空间中散度形式的微分方程

摘要

本文研究了散度型微分方程弱解的存在性

$$-\operatorname｛div｝\bigl（a_｛1｝（x，Du）\bigr）+a_｛0｝（x，u）=f（x，u，Du）$$

inΩ与可分离Musielak-Orlicz-Sobolev空间中的Dirichlet或Neumann边界条件耦合，其中\（{1}\）满足增长条件、强制条件和单调条件，以及\（a{0}\）满足增长条件，没有任何强制条件或单调条件。右侧\（f:\Omega\times\mathbb{R}\times\mathbb}R}^{N}\rightarrow\mathbb{R}\）是满足生长条件的Carathéodory函数，取决于溶液u个及其梯度杜利用线性泛函分析方法证明了弱解的存在性。一些充分条件保证了子解和超解之间弱解的存在性。我们的方法不需要Musielak-Orlicz-Sobolev空间的任何自反性。

1介绍

让\（\Omega\subset\mathbb{R}^{N}\）是具有Lipschitz边界的有界域。勒[1]建立了变指数Sobolev空间中Leray-Lions算子变分不等式的次上解方法。以下[1]，风扇[2]建立了散度型微分方程的次上解方法

$$-\operatorname{div}\bigl（a_{1}（x，Du）\bigr）+a_{0}（x，u）=f（x，u）$$

(1.1)

自反Musielak-Orlicz-Sobolev空间中与Neumann或Dirichlet边界条件耦合的inΩ\（W_{0}^{1} L（左）_{\Phi}（\Omega）\）.在这里\（{1}\）和\（a{0}\）假设满足增长条件、强制条件和单调条件，即，

$$\begin{aligned}&\bigl\verta{1}（x，\xi）\bigr\vert\leqb_{1}\varphi\bigl（x、\vert\xi\vert\bigr）+g（x），\end{aligned}$$

(1.2)

$$\开始{aligned}&a{1}（x，\xi）\xi\geqb_{2}\Phi\bigl（x、\vert\xi\vert\bigr）-h（x），\end{aligned}$$

(1.3)

$$\开始{aligned}&\bigl[a{1}（x，\xi）-a{1}（x，\ta）\bigr]（\xi-\eta）\geq0，\end{aligned}$$

(1.4)

和

$$\begin｛aligned｝&&bigl\vert a_｛0｝（x，t）\bigr\vert\leq b_｛1｝\varphi\bigl（x，\vert t\vert\bigr）+g（x），\end｛aligned｝$$

(1.5)

$$\begin｛aligned｝&a_｛0｝（x，t）t\geq b_｛2｝\Phi\bigl（x，\vert t\vert\bigr）-h（x），\end｛aligned｝$$

(1.6)

$$\开始{aligned}&\bigl[a{0}（x，s）-a{0}（x，t）\bigr]（s-t）\geq0，\end{aligned}$$

(1.7)

对于\（x\in\Omega\）,\（s，t\in\mathbb{R}\）和\（\xi，\eta\in\mathbb{R}^{N}\），其中\（b{1}，b{2}>0\）,\（g\in E_｛\overline｛\Phi｝｝（\Omega）\）,\（g \geq0）,\（h\在L^{1}（\Omega）中\）、和\（h\geq0\）.右侧\（f:\Omega\times\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\）是Carathé气味功能。

线路接口单元等。[三]证明了弱解的存在性(1.1)带有\（a{0}=0\）在自反的Musielak-Orlicz-Sobolev空间中。

然而，存在一些非自反的Musielak-Orlicz-Sobolev空间。例如，让\（Phi（x，t）=（1+\压裂{t}{p（x）}）\ln，用于\（x\in\Omega\）和\（t>0），其中\（p:\Omega\rightarrow\mathbb{R}\）是一个可测量的函数\（1<p_{-}：=\inf_{x\in\Omega}p（x）\leqp（x然后是Musielak-Orlicz-Sobolev空间\（W^{1} L（左）_{\Phi}（\Omega）\）是可分离的和非反射的。

本文的目的是削弱Musielak-Orlicz空间在[2]并研究以下非线性问题解的存在性：

$$-\operatorname｛div｝\bigl（a_｛1｝（x，Du）\bigr）+a_｛0｝（x，u）=f（x，u，Du）$$

(1.8)

单位为Ω，与Dirichlet或Neumann边界条件耦合，其中\（{1}\）满足增长条件、强制条件和单调条件，以及\（a{0}\）满足增长条件，没有任何强制条件或单调条件。右侧\（f:\Omega\times\mathbb｛R｝\times\mathbb｛R｝^｛N｝\rightarrow\mathbb｛R｝\）是满足生长条件的Carathéodory函数，取决于溶液u个及其梯度杜.

需要以下Φin的强制条件[2]:

$$\Phi（x，\alpha-u）\geq\alpha-G（\alpha）\Phi$$

(1.9)

哪里\（G:（0，+\infty）\rightarrow\mathbb{R}\）是这样一个函数\（G（\alpha）\rightarrow+\infty\）作为\（\alpha\rightarrow+\infty\）.我们将指出(1.9)可以省略。

本文组织如下：第节2包含一些预备知识和一些需要的技术引理。我们建立了Musielak-Orlicz函数的一些基本性质，并给出了Musiellak-Oricz函数满足\（\增量{2}\）条件。在节中三，我们建立了散度型微分方程的线性泛函分析方法，以证明方程弱解的存在性(1.8)在可分Musielak-Orlicz-Sobolev空间中具有Dirichlet边界或Neumann边界条件。我们用亚上解方法给出了亚解和超解之间弱解的封闭性。我们的方法不要求\（a{0}\）.我们指出强制条件(1.9)由于中Musielak-Orlicz-Sobolev空间的自反性，Φ的可以省略[2].

我们参考了变分不等式的次超解方法的一些结果，以及在变指数Sobolev或Orlicz-Sobolev空间中研究的微分方程解的存在性（参见，例如, [4–11]). 对于一些结果，我们也参考[12–14].

在本文中，我们总是假设\（\Omega\subset\mathbb{R}^{N}\）是具有Lipschitz边界的有界域，表示为\（L^{0}（\Omega）\）定义在Ω上的所有实可测函数的集合。

2前期工作

现在我们简要列出了Musielak-Orlicz-Sobolev空间的一些定义和事实；有关更多详细信息，请参阅[2,15,16]、和[17].

实数函数Φ定义于\（\Omega\times\mathbb{右}_{+}\)，其中\（\mathbb{右}_{+}=[0，+\infty）\），可以说是广义的N个-功能(即Musielak-Orlicz函数），表示为\（\Phi\ in N（\Omega）\），如果满足以下条件：

• （i） \（\Phi（x，u）\）是一个N个-变量的函数\（u\geq0）对于每个\（x\in\Omega\）,即是一个凸的、非递减的连续函数u个这样的话\（\Phi（x，0）=0\）,\（\Phi（x，u）>0）对于\（u>0\），我们有条件

  $$\lim_｛u\rightarrow0^｛+｝｝\sup_｛x\in\Omega｝\frac｛\Phi（x，u）｝｛u｝=0，\qquad\lim_｛u\rightarrow+\infty｝\inf_｛x\in\Omega｝\frac｛\Phi（x，u）｝｛u｝=+\infty$$

• （ii） \（\Phi（x，u）\）是的可测量函数x个为所有人\（u\geq0）.

等效地，Φ承认该表示

$$\Phi（x，u）=\int_{0}^{u}\varphi（x，\tau）\，d\tau$$

(2.1)

哪里\（\varphi（x，u）\）是的右导数\（\Phi（x，\cdot）\）在u个，对于固定\（x\in\Omega\）以及所有\（u\geq0）.然后针对每个\（x\英寸\欧米茄\）,\（\varphi（x，\tau）\）是\（\tau\geq0）,\（\varphi（x，0）=0）,\（\varphi（x，\tau）>0）对于\（\tau>0\）、和\（\lim_{u\rightarrow+\infty}\inf_{x\in\Omega}\varphi（x，\tau）=+\infcy\）.

让\（\Phi\ in N（\Omega）\），然后\（\Phi（x，u）\leq u\varphi（x，u）\leq\ Phi（x，2u）\），用于\（x\in\Omega\）,\（u\geq0）.

Musielak-Orlicz函数Φ的互补函数Φ̅定义如下：

$$\上划线{\Phi}（x，v）=\sup_{u\geq0}\bigl\{uv-\Phi（x，u）\bigr\}，\quad\mbox{表示所有}v\geq0，x\in\Omega$$

那么Φ是Musielak-Orlicz函数，Φ也是Φ的互补函数。等效地，Φ̅承认该陈述

$$\上划线{\Phi}（x，v）=\int_{0}^{v}\Phi（x、\sigma）\，d\sigma$$

(2.2)

哪里ϕ由提供

$$\phi（x，\sigma）=\sup\bigl\{\tau:\varphi（x，\tau）\leq\sigma\bigr\}，\quad\mbox{代表所有}x\in\Omega$$

(2.3)

与中的证明类似[18]，我们可以推断

$$\phi\bigl（x，\varphi（x、u）\bigr）\gequ，\qquad\varphi\bigle（x）\geq v，\quad\mbox{代表}u\geq0，v\geq0\mbox{和}x\in\Omega$$

(2.4)

和

$$\begin｛aligned｝&&\phi\bigl（x，\varphi（x，u）-\varepsilon\bigr）\leq u，\quad\mbox｛for｝u\geq0，0<\varepsilon\leq\varphi（x，u）\mbox｛and｝x\in\Omega，\\&&\varphi\bigl（x，\phi（x，v）-\varepsilon\bigr）\leq v，\quad\mbox｛for｝v\geq0，0<\varepsilon\leq\phi（x，v）\mbox｛and｝x\in\Omega。\结束{对齐}$$

对于\（\Phi\ in N（\Omega）\），以下不等式称为Young不等式：

$$uv\leq\Phi（x，u）+\上划线{\Phi}（x，v），\quad\mbox{代表所有}u，v\geq0，x\in\Omega$$

(2.5)

只有当且仅当\（u=φ（x，v））或\（v=\varphi（x，u）\）,即

$$u\varphi（x，u）=\Phi（x，u）+\上划线{\Phi}\bigl$$

(2.6)

让\（\Phi\ in N（\Omega）\）.Φ表示满足\（\增量{2}\）条件(\（\Phi\in\Delta_{2}\），简称），如果存在正常数\（K>1）和一个非负函数\（h\在L^{1}（\Omega）中\）这样的话

$$\Phi（x，2u）\leq K\Phi$$

(2.7)

很明显，根据中1.3（6）命题的证明[2]，如果\（\Phi\in\Delta_{2}\），那么就存在\（K>1）和一个非负函数\（h\在L^{1}（\Omega）中\）这样的话

$$\上一行{\Phi}\bigl（x，\varphi（x、u）\bigr）\leq（K-1）\Phi（x，u）+h（x），\quad\mbox{表示所有}u\geq0\mbox}和a.e.}x\in\Omega$$

(2.8)

对于每个\（x\in\Omega\），的反函数\（\Phi（x，\cdot）\）表示为\（\Phi^{-1}（x，\cdot）\）,即

$$\Phi^{-1}\bigl（x，\Phi（x，u）\bigr）=\Phi\bigl$$

让\（\Psi，\Upsilon\ in N（\Omega）\）.\（\Psi\proceq\Upsilon\）表示Ψ弱于ϒ，即，存在正常数\（K_{1}\）,\（K_{2}\）和一个非负函数\（h_{1}\在L^{1}（\Omega）中\）这样的话

$$\Psi（x，u）\leq K_{1}\Upsilon（x，K）_{2} u个)+h{1}（x），\quad\mbox{代表所有}u\geq0\mbox{和a.e.}x\in\Omega$$

(2.9)

Φ称为局部可积，如果\（\int_{\Omega}\Phi（x，u）\，dx<\infty\）对于每个\（u>0\）.

将使用以下假设。

(\（\Phi_{1}\）):

\（\inf_{x\in\Omega}\Phi（x，1）=c_{1}>0\）.

(\（\Phi_{2}\）):

对于每个\（t_{0}>0\）存在\（c=c（t{0}）>0）这样的话

$$\inf_{x\in\Omega}\frac{\Phi（x，t）}{t}\geqc$$

(2.10)

和

$$\inf_{x\in\Omega}\frac{\上划线{\Phi}（x，t）}{t}\geqc$$

(2.11)

为所有人\（t\geq t_{0}\）.

显然(2.10)暗示(\（\Phi_{1}\）).

让\（\Phi\ in N（\Omega）\）Musielak-Orlicz空间(即广义Orlicz空间）\（L_{\Phi}（\Omega）\）由定义

$$L_{\Phi}（\Omega）=\biggl\{u\在L^{0}（\ Omega$$

符合（卢森堡）规范

$$\Vert u\Vert _｛\Phi｝=\inf\bigl\｛\lambda>0:\int_｛\Omega｝\Phi\bigl（x，\frac｛\Vert u（x）\Vert｝｛\lambda｝\biggr）\，dx\leq1\biggr\｝$$

此外，这套

$$K_{\Phi}（\Omega）=\biggl\{u\在L^{0}（\ Omega$$

将被称为Musielak-Orlicz类(即广义Orlicz类）。A函数\（u\在L^{0}（\Omega）中\）将被称为\（L_{\Phi}（\Omega）\），如果\（K_{\Phi}（\Omega）中的\lambda u\）对于每个\（\lambda>0）所有有限元的空间\（L^{0}（\Omega）\）将用表示\（E_{\Phi}（\Omega）\）.然后\（K_{\Phi}（\Omega）\）是的凸子集\（L_{\Phi}（\Omega）\）,\（L_{\Phi}（\Omega）\）是的最小向量子空间\（L^{0}（\Omega）\）包含\（K_{\Phi}（\Omega）\）、和\（E_{\Phi}（\Omega）\）是最大的向量子空间\（L^{0}（\Omega）\）包含在中\（K_{\Phi}（\Omega）\）.

如果Φ是局部可积的，则\（E_{\Phi}（\Omega）\）是一个可分空间，并且\（E_{\Phi}（\Omega）=K_当且仅当\（\Phi\in\Delta_{2}\）.

如果Φ是局部可积的且满足(2.10)，然后\（（E_{\Phi}（\Omega））^{\ast}=L_{\overline（\Phi{}）（\Omega））此外，如果Φ̅是局部可积满足的(2.11)、和\（\Phi，\overline{\Phi}\in \Delta_{2}\），然后\（L_｛\Phi｝（\Omega）\）是反射性的。

Musielak-Orlicz-Sobolev空间\（W^{1} L（左）_{\Phi}（\Omega）\）由定义

$$W美元^{1} L（左）_｛\Phi｝（\Omega）=\bigl\｛u\在L_｛\Phi｝（\Omega）中：\fall\vert\alpha\vert\leq1，D^｛\alpha｝u\在L_｛\Phi｝（\Omega）\ bigr｝中$$

哪里\（阿尔法=（阿尔法{1}，阿尔法{N}）具有非负整数\（\字母{i}\）,\（i=1，\ldot，N）,\（\vert\alpha\vert=\vert\ alpha_{1}\vert+\vert\alpha_{2}\vert+\cdots+\vert\alpha__{N}\vert_）和\（D^{\alpha}u\）表示分布导数。

让

$$\varrho_{\Phi}（u）=\sum_{\vert\alpha\vert\leq1}\int_{\Omega}\Phi\bigl{\lambda}\biggr）\leq1\biggr\}$$

对于\（单位：W^{1} L（左）_{\Phi}（\Omega）\）.\（\varrho_{\Phi}（u）\）是一个凸模\（\垂直u\垂直{\Phi，\Omega}\）是上的规范\（W^{1} L（左）_{\Phi}（\Omega）\）分别是。这对\（（W^{1} L（左）_{\Phi}（\Omega），\Vert u\Vert_{\Phi，\Omega}）是Banach空间，如果Φ是局部可积的并且满足(\（\Phi_{1}\）).

拿\（\Phi（x，u）=\ Phi（u）\）,\（W^{1} L（左）_{\Phi}（\Omega）\）是Orlicz-Sobolev空间。拿\（\Phi（x，\vert u\vert）=\vert u\vert ^｛p（x）｝\）,\（W^{1} L（左）_{\Phi}（\Omega）\）是可变指数Sobolev空间\（W^{1，p（\cdot）}（\Omega）\）.

很容易看出这一点

$$W美元^{1} L（左）_{\Phi}（\Omega）=\bigl\{u\在L_{\Phi}（\ Omega$$

表示\（\Vert Du\Vert_{\Phi}=\Vert\Vert Du\Vert\Vert_{\ Phi}\）和\（\Vert u\Vert_{1，\Phi}=\Vert u \Vert _{\Phi{+\Vert Du\Vert _{\Phi}\）.然后\（\Vert u\Vert _｛1，\Phi｝\）和\（\垂直u\垂直{\Phi，\Omega}\）是两个等价的规范。

空间\（W^{1} L（左）_{\Phi}（\Omega）\）将始终标识为乘积的子空间\（\prod_{\vert\alpha\vert\leq1}L_{\Phi}（\Omega）=\prod L_{\ Phi}\）; 这个子空间是\（\sigma（\prod L_{\Phi}，\prod E_{\overline{\Phi}}）\）关闭。让\（W_{0}^{1} L（左）_{\Phi}（\Omega）\）成为\（\sigma（\prod L_{\Phi}，\prod E_{\overline{\Phi}}）\）Schwartz空间的闭包\（\mathcal{D}（\Omega）\）在里面\（W^{1} L（左）_{\Phi}（\Omega）\）.

让\（W^{1} E类_{\Phi}（\Omega）=\{u\在E_{\Phi}（\ Omega、和\（W_{0}^{1} E类_{\Phi}（\Omega）\）是的（标准）闭包\（\mathcal{D}（\Omega）\）在里面\（W^{1} L（左）_{\Phi}（\Omega）\）.

以下引理的证明类似于[19].

引理2.1

让测量值Ω被限定,\（\Phi\ in N（\Omega）\）,和 φ 是正确的吗-手导数Φ.然后

$$\frac{\int_{\Omega}\varphi（x，\vert-Du\vert）\vert Du\vert\，dx}{\int_{\Omega}\vert-Du\vert，dx{\rightarrow+\infty，\quad\textit{if}\int_}\Omega}\vert杜\vert$$

(2.12)

证明

让我们假设有一个序列\（{u{n}）具有\（\int_{\Omega}\vert Du_{n}（x）\vert\，dx\rightarrow+\infty\）和\（K_{0}<\infty\）这样的话

$$\frac{\int_{\Omega}\varphi（x，\vert Du_{n}（x）\vert）\vert-Du_{n}$$

自\（\Phi\ in N（\Omega）\），存在\（R>0）这样的话

$$\inf_{x\in\Omega}\varphi（x，R）\geq\inf_{x\in \Omega}\frac{\Phi（x，R）}{R}>2K_{0}$$

我们定义\（\widetilde{\Omega}（R，n）：=\{x\in\Omega |\vert D u_{n}（x）\vert\geq R\}\）并全力以赴n个具有\（\int_{\Omega}\vert Du_{n}（x）\vert\，dx\geq2R\operatorname{meas}\Omega），然后

$$开始{对齐}和\frac{\int_{\Omega}\varphi（x，\vert Du_{n}（x）\vert vert Du_{n}（x）\vert\，dx}{\int_{\widetilde{\Omega}（R，n）}}\\&\quad\geq\frac{1}{2}\inf_{x\in\Omega}\varphi（x，R）>K_{0}。\结束{对齐}$$

这是一个矛盾，因此(2.12)持有。□

引理2.2

（请参见[20]，备注2.1）

让 V（V） 是有限维向量空间 \（A:V\右箭头V'） 是一个连续映射

$$\lim_{\Vert-u\Vert_{V}\rightarrow+\infty}\frac{（A（u），u）}{\Vert_u\Vert-{V}}=+\inft$$

哪里 \（V'\） 是的双重空间 V（V）,然后 A类 是阴沉的.

引理2.3

（请参见[21]，引理2.1）

如果 \（单位：W^{1} L（左）_{\Phi}（\Omega）\）,然后 \（u^｛+｝，u^｛-｝\用W表示^{1} L（左）_{\Phi}（\Omega）\）,和

$$Du^{+}=\textstyle\begin{cases}Du，&\textit{if}u>0，\\0，&\text{if}u\leq0，\end{cases{\displaystyle\quad\textit{和}\quad Du^{-}=\text style\being{casesneneneep 0，&\t textit{if{u\geq0，\\-Du，&\txt{if}u<0。\结束{cases}$$

在这里\（u^{+}=\最大\{u，0\}\）,\（u^{-}=-\min\{u，0\}\）.这个引理成立\（W_{0}^{1} L（左）_{\Phi}（\Omega）\）也。

引理2.4

（请参见[17])

如果序列 \（L_{\上划线{\Phi}}（\Omega）中的g_{n}\） 在测度上收敛到可测函数 克 如果 \（g_｛n｝\） 保持有界 \（L_{\上划线{\Phi}}（\Omega）\）,然后 \（g\在L_{\上划线{\Phi}}（\Omega）中\） 和 \（g{n}\右箭头g\） 对于 \（\sigma（L_{\overline{\Phi}}（\Omega），E_{\Phi}（\ Omega.

以下命题涉及中的定理1.6-1.8[16]，中的定理4.2[22]和中的定理2.1[18].

提议2.1

让 \（\Phi\ in N（\Omega）\） 和

$$\Phi_{1}（x，u）=a\Phi（x，bu）\quad（a，b>0），\textit{表示所有}u\geq0，x\in\Omega$$

(2.13)

然后 \（N（Omega）中的\Phi_{1}\） 和互补功能 \（上一行{\Phi_{1}}\） 到 \（\Phi_{1}\） 由提供

$$\overline{\Phi_{1}}（x，v）=a\overline{\Phi}\biggl（x，\frac{v}{ab}\bigr），\quad\textit{代表所有}v\geq0，x\in\Omega$$

(2.14)

哪里Φ̅是对Φ.

证明

很容易看出这一点\（N（Omega）中的\Phi_{1}\）。我们只需要展示(2.14). 由(2.1)和(2.13)，我们可以推断

$$\varphi_{1}（x，\tau）=ab\varphi（x、b\tau），\quad\mbox{代表所有}\tau\geq0，x\in\Omega$$

哪里φ和\（\varphi_{1}\）是Φ和的右导数\（\Phi_{1}\）分别是。

发件人(2.3),\（\phi_｛1｝（x，\sigma）=\frac｛1｝｛b｝\sup\{b\tau:\varphi（x，b\tau）\leq\frac｛\sigma｝｛ab｝\｝=\frac｛1｝｛b｝\phi（x，\frac｛\sigma｝｛ab｝）\）,\（对于所有\sigma\geq0）和\（x\in\Omega\）.

对于\（对于所有v\geq0），由(2.2),\（上横线{\Phi}{1}（x，v）=a\int_{0}^{v}\Phi（x，\frac{\sigma}{ab}）\，d\frac{\sigma}{ab{）,\（对于所有v\geq0）和\（x\in\Omega\）.定义\（s=\frac｛\sigma｝｛ab｝\）.然后\（\overline{\Phi}_{1}（x，v）=a\int_{0}^{\frac{v}{ab}}\Phi（x、s）\，ds=a\overline{\Phi}（x，\frac{v}{ab}）\）,\（对于所有v\geq0）和\（x\in\Omega\）. □

提议2.2

让 \（N（\Omega）中的\Phi_{1}，\Phi_2}\） 和

$$\Phi_1}（x，u）\leq\Phi_2}（x，u）+h（x），L^{1}（\Omega）中的某些}h\，\textit{all}u\geq0\textit}和Omega中的}x\$$

(2.15)

然后

$$\上划线{\Phi_{2}}（x，v）\leq\上划线}（x，v）+h（x），\quad\textit{代表所有}v\geq0\textit{和}x\in\Omega$$

哪里 \（上一行{\Phi_{1}}\） 和 \（上一行{\Phi_{2}}\） 是的补充功能 \（\Phi_{1}\） 和 \（\Phi_{2}\）,分别地.

证明

由(2.5)和(2.6)，有一个\（\Phi_{2}（x，\Phi_2}（x，v）,\（对于所有v\geq0）和\（x\in\Omega\）.

鉴于(2.15),\（\Phi_{2}（x，\Phi_{2neneneep（x，v））+h（x）\geq\Phi_{1},\（对于所有v\geq0）和\（x\in\Omega\）因此，\（\overline{\Phi_{2}}（x，v）\leq\overline{\Phi{1}},\（对于所有v\geq0）和\（x\in\Omega\）. □

提议2.3

让 \（\Phi\ in N（\Omega）\） 其互补功能是Φ̅.φ 和 ϕ 由提供(2.1)和(2.2),分别地.那么以下断言是等价的.

• (1) \（\Phi\in\Delta_{2}\）.

• (2) \（对于所有l_{1}>1\）,存在 \（K'>1\） 和一个非负函数 \（\波浪号{h}（小时）_{1} \在L^｛1｝中（\欧米茄）\） 这样的话

  $$\Phi（x，l）_{1} u个)\leq K'\Phi（x，u）+\波浪线{h}（小时）_{1} （x），\quad\textit{代表所有}u\geq0\textit{和a.e.}x\in\Omega$$

• (3) \（对于所有l_｛2｝>1\）,存在 \（\varepsilon\in（0,1）\） 和一个非负函数 \（\波浪号{h}（小时）_{2} \在L^{1}（\Omega）中\） 这样的话

  $$\Phi\bigl（x，（1+\varepsilon）u\bigr）\leq l_{2}\Phi（x，u）+\tilde{h}（小时）_{2} （x），\quad\textit{代表所有}u\geq0\textit{和a.e.}x\in\Omega$$

• (4) \（对于所有l{3}>1）,存在 \（增量>0） 和一个非负函数 \（\波浪号{h}（小时）_{3} \在L^{1}（\Omega）中\） 这样的话

  $$（l_{3}+\delta）\overline{\Phi}（x，v）\leq\overline{\Phi}（x，l_{3} v（v）)+\波浪线{h}（小时）_{3} （x），\quad\textit{代表所有}v\geq0\textit{和a.e.}x\in\Omega$$

• (5) \（对于所有l_{4}>1\）,存在 \（l_{0}>1\） 和一个非负函数 \（\波浪号{h}（小时）_{4} \在L^｛1｝中（\欧米茄）\） 这样的话

  $$\上划线{\Phi}（x，v）\leq\frac{1}{l_｛0｝l_{4} }\上划线{\Phi}（x，l_{4} v（v）)+\波浪线{h}（小时）_{4} （x），\quad\textit{代表所有}v\geq0\textit{和a.e.}x\in\Omega$$

• (6) 存在 \（l{5}>1\） 和一个非负函数 \（\波浪号{h}（小时）_{5} \在L^{1}（\Omega）中\） 这样的话

  $$\overline{\Phi}（x，v）\leq\frac{1}{2l_{5}}\ overline（x，l）_{5} v（v）)+\波浪线{h}（小时）_{5} （x），\quad\textit{代表所有}v\geq0\textit{和a.e.}x\in\Omega$$

• (7) 存在 \（l{6}>0\） 和一个非负函数 \（\波浪号{h}（小时）_{6} \在L^{1}（\Omega）中\） 这样的话

  $$u\varphi（x，2u）\leq l_{6} u个\varphi（x，u）+\波浪线{h}（小时）_{6} （x），\quad\textit{代表所有}u\geq0\textit{和a.e.}x\in\Omega$$

• (8) \（对于所有m{1}>1\）,存在 \（l_{7}>0\） 和一个非负函数 \（\波浪号{h}（小时）_{7} \在L^{1}（\Omega）中\） 这样的话

  $$u\varphi（x，m_{1} u个)\leq l（发光二极管）_{7} u个\varphi（x，u）+\波浪线{h}（小时）_{7} （x），\quad\textit{代表所有}u\geq0\textit{和a.e.}x\in\Omega$$

证明

(1)⇒(2). 自\（\Phi\in\Delta_{2}\），由(2.7)，存在\（K>1）和一个非负函数\（h\在L^{1}（\Omega）中\）这样的话\（Phi（x，2u）\leq K\Phi（x，u）+h（x）\）,\（对于所有u\geq0\）以及其他。\（x\in\Omega\）。对于每个\（l{1}>1\），存在\（n\in\mathbb{n}\）这样的话\（2^{n}\geql{1}\）.然后

$$\开始{aligned}\Phi（x，l_{1} u个)&\leq\Phi\bigl（x，2^{n} u个\大）\leq K\Phi\bigl（x，2^{n-1}u\大）+h（x）\\&\leq K^{2}\Phi\bigl（x，2^{n-2}铀\大）+（K+1）h（x）\\&\leq\cdots\leq K^{n}\Phi（x，u）+\bigl（K^{n-1}+\cdots+K+1 \biger）h（x）\\&=K^{n}\Phi（x，u）+\frac{K^{n} -1个}{K-1}小时（x） ，\结束{对齐}$$

\（对于所有u\geq0\）以及其他。\（x\in\Omega\）.采取\（K'=K^{n}\）和\（\波浪号{h}（小时）_{1} =\压裂{K^{n} -1个}{K-1}小时（x） \），我们可以推导出断言（2）。

(2)⇒(3). 对于每个\（l{2}>1\），根据断言（2），存在\（K'>l_{2}\）和一个非负函数\（\波浪号{h}（小时）_{1} \在L^｛1｝中（\欧米茄）\）这样的话

$$\菲律宾比索（x，2u）\leq K'\Phi（x，u）+\波浪线{h}（小时）_{1} （x），\quad\mbox{代表所有}u\geq0\mbox{和a.e.}x\in\Omega$$

采取\（\varepsilon=\frac{l_{2}-1}{K'-1}\），然后\（\varepsilon\in（0,1）\）因此，

$$\begin{aligned}\Phi\bigl（x，（1+\varepsilon）u\bigr）&=\Phi\ bigl{h}（小时）_{1} （x）=l_{2}\Phi（x，u）+\varepsilon\tilde{h}（小时）_{1} （x），\结束{对齐}$$

为所有人\（u\geq0）以及其他。\（x\in\Omega\）.采取\（\波浪号{h}（小时）_{2} =\varepsilon\波浪号{h}（小时）_{1}\)，我们完成了断言（3）。

(3)⇒(4). 根据断言（3），\（对于所有l{3}>1），存在\（\varepsilon\in（0,1）\）和一个非负函数\（\波浪号{h}（小时）_{2} \在L^{1}（\Omega）中\）这样的话

$$\Phi\bigl（x，（1+\varepsilon）u\bigr）\leq l_{3}\Phi（x，u）+\tilde{h}（小时）_{2} （x），\quad\mbox{代表所有}u\geq0\mbox{和a.e.}x\in\Omega$$

这意味着\（分形{1}{l_{3}}\Phi（x，（1+\varepsilon）u）\leq\Phi{h}（小时）_{2} （x）\）.表示\（\Phi_{1}（x，u）=\frac{1}{l_{3}}\Phi（x，（1+\varepsilon）u）\）.按提案2.1,\（上划线{\Phi{1}}（x，v）=\frac{1}{l_{3}}\上划线{\fhi}（x，frac{l_}3}}{1+\varepsilon}v）\）,\（对于所有v\geq0）以及其他。\（x\in\Omega\）.按提案2.2，我们得到

$$\overline｛\Phi_｛1｝｝（x，v）\leq\frac｛1｝｛l_｛3｝｝\overline｛\Phi｝\biggl（x，\frac｛l_｛3｝｝｝｛1+\varepsilon｝v\biggr）+\frac｛1｝｛l_｛3｝｝\tilde{h}（小时）_{2} （x）\leq\frac｛1｝｛l_｛3｝（1+\varepsilon）｝\overline｛\Phi｝（x，l_{3} v（v）)+\分数{1}{l{3}}\波浪线{h}（小时）_{2} （x）$$

\（对于所有v\geq0）和a.e。\（x\in\Omega\）因此，我们\（l_{3}（1+\varepsilon）\overline{\Phi_{1}}（x，v）\leq\ overline（x，l）_{3} v（v）)+（1+\varepsilon）\波浪线{h}（小时）_{2} （x）\）.采取\（δ=l{3}\varepsilon）和\（\波浪号{h}（小时）_{3} =（1+\varepsilon）\tilde{h}（小时）_{2}\)，我们完成了断言（4）。

(4)⇒(5). 根据断言（4），\（对于所有l_{4}>1\），存在\（增量>0）和一个非负函数\（\波浪号{h}（小时）_{3} \在L^{1}（\Omega）中\）这样的话

$$（l_{4}+\delta）\overline{\Phi}（x，v）\leq\overline{\Phi}（x，l_{4} v（v）)+\波浪线{h}（小时）_{3} （x），对于所有v\geq0\mbox{和a.e.}x\in\Omega$$

因此，\（上划线{\Phi}（x，v）\leq\frac{1}{l_{4}_{4} v（v）)+\裂缝{1}{l{4}（1+\裂缝{delta}{l}4}）}\波浪线{h}（小时）_{3} （x）\）.采取\（l{0}=1+\压裂{\delta}{l{4}}\）和\（\波浪号{h}（小时）_{4} =\压裂{1}{l{4}（1+\压裂{delta}{l}4}）}\波浪线{h}（小时）_{3}\)，我们完成了断言（5）。

(5)⇒(1). 通过断言（5），\（对于所有l_{4}>1\），存在\（l_{0}>1\）和一个非负函数\（\波浪号{h}（小时）_{4} \在L^｛1｝中（\欧米茄）\）这样的话

$$\上划线{\Phi}（x，v）\leq\frac{1}{l_｛0｝l_{4} }\上划线{\Phi}（x，l_{4} v（v）)+\波浪线{h}（小时）_{4} （x），对于所有v\geq0\mbox{和a.e.}x\in\Omega$$

按命题2.1和命题2.2，我们获得\（\Phi（x，l）_{0}u)\leq l（发光二极管）_｛0｝l_{4} \Phi（x，u）+l_｛0｝l_{4} \波浪线{h}（小时）_{4} （x）\）,\（对于所有u\geq0\）以及其他。\（x\in\Omega\）.接受\（n_{0}\in\mathbb{n}\）这样的话\（l{0}^{n{0}}\geq2\）.然后\（Phi（x，2u）\leq\Phi（x，l_{0}^{n_{0{}）\leq l_{0}^{n_0{0}}l_{4}^{n_0}}\Phi_｛0｝l_{4}-1}\波浪线{h}（小时）_{4} （x）\）.表示\（l{0}^{n{0}}l_{4}^{n{0{}}=K\）和\（压裂{l{0}^{n{0}}l{4}^{n{0{}-1}{l_｛0｝l_{4}-1}\波浪线{h}（小时）_{4} =小时\）.我们推断(2.7),即 \（\Phi\in\Delta_{2}\）.

(6)⇒(1). 定义\（\Psi_{1}（x，v）=\frac{1}{2l_{5}}\上划线{\Phi}（x，l_{5} v（v）)\).按提案2.1,\（\overline{\Psi_{1}}（x，u）=\frac{1}{2l_{5}}\Phi（x，2u）\）,\（对于所有u\geq0\）以及其他。\（x\in\Omega\）.按提案2.2,\（\Phi（x，2u）\leq2l_{5}\Phi{h}（小时）_{5} （x）\）,\（对于所有u\geq 0）以及其他。\（x\in\Omega\）因此，\（\Phi\in\Delta_{2}\）.

类似地，（1）意味着（6）。

(1)⇒(7). 通过（2），存在\（K'>0\）和\（\波浪号{h}（小时）_{1} \在L^｛1｝中（\欧米茄）\）这样的话

$$\菲律宾比索（x，4u）\leq K'\Phi（x，u）+\波浪线{h}（小时）_{1} （x），\quad\mbox{代表所有}u\geq0\mbox{和a.e.}x\in\Omega$$

另一方面，我们有\（2u\varphi（x，2u）\leq\Phi（x，4u）\）和\（\Phi（x，u）\leq u\varphi（x，u）\），用于\（x\in\Omega\）,\（u\geq0）因此，

$$u\varphi（x，2u）\leq\frac{K'}{2}u\varφ（x，u）+\frac{1}{2{tilde{h}（小时）_{1} （x），\quad\mbox{代表所有}u\geq0\mbox{和a.e.}x\in\Omega$$

因此，断言（7）通过以下方式成立\（l_{6}=\压裂{K'}{2}\）和\（\波浪号{h}（小时）_{6} =\分数{1}{2}\波浪线{h}（小时）_{1}\).

(7)⇒(8). 对于每个\（m_｛1｝>1\），有\（n_{0}\在\mathbb{n}^{+}\中）这样的话\（2^{n{0}}\geqm{1}\）.然后\（u\varphi（x，m_{1} u个)\lequ\varphi（x，2^{n{0}}u）_{6}-1}\波浪线{h}（小时）_{6} （x）\）,\（对于所有u\geq0\）以及其他。\（x\in\Omega\）.采取\（l{7}=l{6}^{n{0}}\）和\（\波浪号{h}（小时）_{7} =\压裂{l_{6}^{n_{0}}-1}{l_{6}-1}\波浪线{h}（小时）_{6}\)，我们完成了（8）。

(8)⇒(1). 对于每个\（l{1}>1\），我们有\（\Phi（x，l）_{1} u个)\leq l（发光二极管）_{1} u个\瓦尔斐（x，l_{1} u个)\).通过（8），存在\（l_{7}>0\）和\（\波浪号{h}（小时）_{7} \在L^{1}（\Omega）中\）这样的话

$$u\varphi（x，l_{1} u个)\leq l（发光二极管）_{7} u个\varphi\biggl（x，\frac{u}{2}\biggr）+\波浪线{h}（小时）_{7} （x），\quad\mbox{代表所有}u\geq0\mbox{和a.e.}x\in\Omega$$

由此可见\（\Phi（x，l）_{1} u个)\leq l（发光二极管）_{1} 我_{7} u个\varphi（x，\分数{u}{2}）+l{1}\波浪线{h}（小时）_{7} （x）\leq 2l_{1} 我_{7} \Phi（x，u）+l_{1}\波浪线{h}（小时）_{7} （x）\），对于所有人\（u\geq0）以及其他。\（x\in\Omega\）.采取\（K’=2升_{1} 我_{7}\)和\（\波浪号{h}（小时）_{1} =l_{1}\波浪线{h}（小时）_{7}\)，我们推导出（2）。立即，（1）保持。□

示例2.1

让\（\Phi（x，\vert t\vert）=（1+\frac{\vert t_vert}{p（x）}）\ln，用于\（x\in\Omega\）和\（t\in\mathbb{R}\），其中\（p:\Omega\rightarrow\mathbb{R}\）是一个可测量的函数\（1<p_{-}\leqp（x）\leqp_{+}<+\infty\）.然后\（\varphi（x，\vert t\vert）=\frac{1}{p（x）}\ln（1+\frac{vert t\fort}{p,\（φ（x，\verts\vert）=p（x）（\exp（p（x和\（\overline{\Phi}（x，\verts s\vert）=\exp（p（x）\verts \svert）-p（x）\ verts \vert-1\）。由此可见\（\Phi\ in N（\Omega）\）和\（\Phi\in\Delta_{2}\）.但是\（上一行{\Phi}\notin\Delta_{2}\）此外，Φ和Φ̅都是局部可积的。因此，\（L_｛\Phi｝（\Omega）\）是可分离的，但\（L_｛\Phi｝（\Omega）\）不是反射性的。

备注2.1

让\（\Phi（x，\vert t\vert）=\exp（p（x）\vert n\vert）-1\），用于\（x\in\Omega\）和\（t\in\mathbb{R}\），其中\（p:\Omega\rightarrow\mathbb{R}\）是一个可测量的函数\（1<p_｛-｝\leq p（x）\leq p_｛+｝<+\infty\）.值得注意的是Φ不满足条件\（\lim_{u\rightarrow0^{+}}\sup_{x\in\Omega}\frac{\Phi（x，u）}{u}=0\）因此，\（\Phi\notin N（\Omega）\）.

显然，通过(2.9)，命题2.1和命题2.2，我们可以推导出以下命题。

提案2.4

如果 \（\Phi\precq\Psi\）,然后 \（\overline{\Psi}\precq\overline{\Phi}\）.

三存在定理

让\（\Phi\ in N（\Omega）\），并满足条件

(Φ):

\（\Phi\in\Delta_{2}\），Φ是Φ的互补函数，Φ和Φ都是局部可积的，并且满足\（（\Phi_{2}）\）.

我们假设存在\（Psi\ in N（\Omega）\）满足条件

(Ψ):

\（\Psi\in\Delta_{2}\），Ψ是Ψ的补充函数，Ψ和Ψ都是局部可积的，并且满足\（（\Phi_{2}）\）,\（\Phi\precq\Psi\）和嵌入\（W^{1} L（左）_{\Phi}（\Omega）\hookrightarrow L_{\Psi}（\欧米茄）\）紧凑。

注意，在这种情况下，空格\（L_{\Phi}（\Omega）\）,\（L_{\Psi}（\Omega）\）,\（W^{1} L（左）_{\Phi}（\Omega）\）,\（W_{0}^{1} L（左）_{\Phi}（\Omega）\）是可分离的Banach空间。

对于\（u，v\在L^{0}（\Omega）中\），我们表示\（u\wedge v=\min\{u，v\}\）,\（u\vee v=最大值,\（u^{+}:=u\vee0\）,\（u^{-}:=-u\wedge0\）,\（u \leq v \左右箭头u（x）\ leq v（x））对于a.e。\（x\in\Omega\）.

让\（a_{1}:\Omega\times\mathbb{R}^{N}\rightarrow\mathbb{R}^{N{）是满足以下条件的Carathéodory函数：

(\（A_{1}\）):

对于a.e。\（x\in\Omega\）以及所有\（\xi，\eta\in\mathbb{R}^{N}\）,

$$\开始{aligned}和\bigl\verta{1}（x，\xi）\bigr\vert\leqb_{1}\上一行{\Phi}^{-1}\bigl（x、\Phi\bigl\（x，\ vert\xi\vert\biger）\biger）+g{1}（x），\end{aligned}$$

(3.1)

$$\开始{aligned}&a{1}（x，\xi）\xi\geqb_{2}\Phi\bigl（x、\vert\xi\vert\bigr）-g{2}（x），\end{aligned}$$

(3.2)

$$\开始{aligned}和\bigl[a{1}（x，\xi）-a{1}（x，\ta）\bigr]（\xi-\eta）>0，\quad\xi\neq\eta，\end{aligned}$$

(3.3)

哪里\（b{1}，b{2}>0\）,\（g_{1}\在E_{\上划线{\Phi}}（\Omega）中\）,\（g{1}\geq0\）,\（g_{2}\在L^{1}（\Omega）中\）、和\（g{2}\geq0\）.

让\（a_{0}:\Omega\times\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\）是满足以下条件的Carathéodory函数：

(\（A_｛0｝\）):

对于a.e。\（x\in\Omega\）以及所有\（t\in\mathbb{R}\）,

$$\bigl\vert a_｛0｝（x，t）\bigr\vert\leq b_｛1｝\overline｛\Phi｝^｛-1｝\bigl（x，\Phi \bigl（x，\vert t\vert\bigr）\bigr）+g_｛1｝（x）$$

(3.4)

哪里\（b_{1}>0\）,\（g_{1}\在E_{\上划线{\Phi}}（\Omega）中\）、和\（g{1}\geq0\）.

示例3.1

• (1) 让\（\Phi（x，\vert t\vert）=\frac{1}{p（x）}\vert t \ vert^{p（x）}\）,\（a{1}（x，xi）=\vert\xi\vert^{p（x）-2}\xi\），用于\（x\in\Omega\）和\（t\in\mathbb{R}\），其中\（p:\Omega\rightarrow\mathbb{R}\）是一个可测量的函数\（2\leqp_{-}\leqp（x）\leqp_{+}<+\infty\）.然后Φ满足（Φ），我们得到\（p（x）\）-拉普拉斯算子\（\operatorname{div}（\vert Du\vert^{p（x）-2}Du）\）.

• (2) 让\（\Phi（x，\vert t\vert）=\frac{1}{p（x）}[（1+\vert \\vert^{2}）^{p（x）/2}-1]\）,\（a{1}（x，xi）=（1+\vert\xi\vert^{2}）^{（p（x）-2）/2}\xi），用于\（x\in\Omega\）和\（t\in\mathbb{R}\），其中\（p:\Omega\rightarrow\mathbb{R}\）是一个可测量的函数\（2\leqp_{-}\leqp（x）\leqp_{+}<+\infty\）然后Φ满足（Φ），我们得到了广义平均曲率算子\（\operatorname{div}（（1+\vert Du\vert^{2}）^{（p（x）-2）/2}Du）\）此外，通过命题2.3(6),\（\overline{\Phi}\ in \Delta_{2}\）.

• (3) 让\（\Phi（x，\vert t\vert）=（1+\frac{\vert t_vert}{p（x）}）\ln，用于\（x\in\Omega\）和\（t\in\mathbb{R}\），其中\（p:\Omega\rightarrow\mathbb{R}\）是一个可测量的函数\（1<p_{-}\leqp（x）\leqp_{+}<+\infty\）显然，可以验证Φ满足（Φ）。放置\（a{1}（x，xi）=\varphi（x、vert\xi\vert）\frac{xi}{vert\xi\ vert}）、和\（a{0}（x，t）=\varphi（x）\vert t\vert）\），用于\（x\in\Omega\）,\（t\in\mathbb{R}\）和\（\xi\in\mathbb｛R｝^｛N｝\），其中\（\varphi（x，\vert t\vert）=\frac{1}{p（x）}\ln（1+\frac{vert t\fort}{p.然后\（{1}\）和\（a{0}\）满足(\（A_{1}\）)和(\（A_｛0｝\）)分别为。

备注3.1

显然，情况(1.2)（分别为(1.5))暗示(3.1)（分别为(3.4)).

考虑以下Dirichlet边值问题：

$$\textstyle\begin{cases}-\operatorname{div}（a_{1}（x，Du））+a_{0}（x，u）=f（x，u，Du$$

(3.5)

哪里\（f:\Omega\times\mathbb{R}\times\mathbb}R}^{N}\rightarrow\mathbb{R}\）是Carathé气味功能。表示方式F类与关联的Nemytskii运算符（f）也就是说，

$$F（u）（x）=F\bigl（x，u（x），Du（x）\bigr），\quad\mbox{代表}x\in\Omega$$

A函数u个称为的（弱）解(3.5)如果\（在W_{0}中为u\^{1} L（左）_{\Phi}（\Omega）\）,\（F（u）在L_{上划线{\Psi}}（\Omega）中和u个满足等式

$$\int_{\Omega}a{1}（x，Du）Dv\，dx+\int_}\Omega}a{0}^{1} L（左）_{\Phi}（\Omega）$$

(3.6)

A函数u个被称为(3.5)如果\（在W_{0}中为u\^{1} L（左）_{\Phi}（\Omega）\）,\（F（u）在L_{上划线{\Psi}}（\Omega）中和(3.6)对于每个非负函数，“=”替换为“≤”（分别为“≥”）成立v（v）在里面\（W_{0}^{1} L（左）_{\Phi}（\Omega）\）（请参见[2]).

定理3.1

假设 \（\下划线{u}_{1} ，\ldot，\下划线{u}_{k} \） 和 \（\上横线{u}_{1} ，\ldot，\上划线{u}_{m} \） 是的亚解和超解(3.5),分别地,让人满意的

$$\下划线{u}:=\下划线{u}_{1} \ V形\下划线{u}_{2} \vee\cdots\vee\underline{u}_{k} \leq\上划线{u}_{1} \楔形\上划线{u}_{2} \wedge\cdots\wedge\上划线{u}_{m} ：=\上划线{u}$$

让(Φ), (Ψ), (\（A_{1}\）), (\（A_｛0｝\）)持有.假设非线性项 克 满足以下局部增长条件:

$$\bigl\vert f（x，t，\xi）\bigr\vert\leq（x）+b_{3}\overline{\Phi}^{-1}\bigl$$

(3.7)

对于.e（电子）.\（x\in\Omega\） 和 \（对于[\下划线{u}（x）中的所有t，\上划线{uneneneep（x）]\）,具有 \（在E_{上划线{\Psi}}（\Omega）中为q\）,\（b{3}，b{4}>0\）.那么就有一个解决方案 u个 属于(3.5)这样的话 \（\underline{u}\lequ\leq\上划线{u}\）.

证明

表示\（V=W_{0}^{1} L（左）_{\Phi}（\Omega）\）。对于\（x\in\Omega\），我们投入

$$Tu（x）=\textstyle\begin{cases}\上划线{u}（x}u \在V中$$

然后\（Tu=u\vee\underline{u}+u\wedge\上划线{u} -u个\)通过备注3.1英寸[2],\（T:V\右箭头V\）是连续的。很容易看出这一点吨有界。来自命题2.4，我们获得\（F（Tu）\在L_{\上划线{\Psi}}（\Omega）中\）,\（对于V中的所有u）.

我们定义了截止函数\（l:\Omega\times\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\）由提供

$$l（x，s）=\textstyle\begin{cases}\上划线{\Phi}^{-1}（x，\Phi（x，s-\上划线}（x）（x）-s），&\mbox{if}s<\underline{u}（x），\end{cases}$$

对于\（x\in\Omega\）,\（s\in\mathbb{R}\）.然后我满足以下条件：

$$\bigl\vert l（x，s）\bigr\vert\leq\上划线{\Phi}^{-1}\bigl i\bigl（x，2\bigl\vert\underline{u}（x）\bigr\vert\bigr）\biger）$$

(3.8)

对于\（x\in\Omega\）以及所有\（s\in\mathbb{R}\）.

对于所有人\（单位：V\），自\（\Phi\in\Delta_{2}\），存在\（K_{1}>1\）这样的话

$$开始{对齐}和\int_{\Omega}l（x，u）u\，dx\\&\quad=\int_}\{u>\overline{u}\}}\overline{\Phi}^{-1}\bigl（x，\Phi}^{-1}\bigl（x，\Phi（x，u-\overline{u}）\bigr）\overline{u}\，dx\\&\qquad{}+\int_{{u<\underline{u}\}}\overlline{\Phi}^{-1}\bigl（x，\Phi（x，\下划线{u} -u个)\较大）（\下划线{u} -u个)\，dx\\&\qquad{}-\int_{{u<\underline{u}\}}\overline{\Phi}^{-1}\bigl（x，\Phi（x，\ underline{u} -u个)\bigr）\underline｛u｝\，dx\\&&\quad\geq\int_｛\｛u＞\overline｛u｝\｝｝\Phi（x，u-\overline｛u｝）\，dx-\int_｛\｛u＞\overline｛u｝\｝\biggl[\frac｛1｝｛2｝\Phi（x，u-\overline｛u｝）+\Phi\bigl（x，2\vert\overline｛u｝\vert\bigr）\，dx\\&&\qquad｛｝+\int_｛\｛u＜\dunderline｛u｝\｝｝\Phi（x，\dunderline{u} -u个)\，dx-\int_{\{u<\underline{u}\}}\biggl[\frac{1}{2}\Phi（x，\underline{u} -u个)+\Phi\bigl（x，2\vert\underline{u}\vert\bigr）\biggr]\，dx\\&\quad=\frac{1}{2}\int_{u>\overline{u}}\Phi（x，u-\overline{u}\frac{1}{2}\int_{{u<\underline{u}\}}\Phi（x，\underline{u} -u个)\，dx-\int_{\{u<\underline{u}\}}\Phi\bigl（x，2\vert\underline\u}\vert\bigr）r）\biggr]\，dx-\int_{\Omega}\Phi\bigl（x，2\vert\overline{u}\vert\biger）\，dx\\&\qquad{}+\frac{1}{2}\int_{{u<\underline{u}\}}\biggl[2\Phi\biggl（x，\frac{\vert u\vert}{2}\bigr）-\Phi\ bigl{u>\上划线{u}\}\cup\{u<\下划线{u{}\}}\Phi\biggl（x，\frac{\vert u\vert}{2}\biggr）\，dx-C\\&\qquad{}+\int_｛\｛\overline｛u｝\leq u\leq\anderline｛u｝\｝｝\biggl[\Phi\biggl（x，\frac｛\vert u\vert｝｛2｝\biggr）-\Phi\biggl（x，\frac｛\vert\overline｛u｝\vert\vee\vert\underline｛u｝\vert｝｛2｝\biggr）\，dx\\&&\quad=\int_｛\Omega｝\Phi\biggl（x，\frac｛\vert u\vert｝｛2｝\biggr）\，dx-C\\&&quad\geq\frac｛1｝｛K_｛1｝｝\int_｛\Omega｝\Phi\bigl（x，\vert u\vert\bigr）\，dx-C，\结束{对齐}$$

(3.9)

对于一些常量\（C>0\）独立于u个，其中\（\{u<\underline{u}\}=\{x\in\Omega:u（x）<\undertline{u{（x）\}\）,\（\{u>\上划线{u}\}=\{x\in\Omega:u（x）>\上划{u}（x）\}\）、和\（\{\underline{u}\lequ\leq\上划线{u}\}=\{x\in\Omega:\underline{u}（x）\lequ（x）\ leq\上划线{uneneneep（x）.

让我们考虑一下发现的辅助方程\（单位：V\）这样的话

$$\begin{aligned}和\int_{\Omega}a_{1}（x，Du）Dv，dx+\int_}\Omega}a_{0}（x，Tu）v，dx+\lambda\int_Omega{l（x，u）v$$

(3.10)

哪里\（\lambda>0）是稍后指定的参数。

定义\（\Gamma_{T}:V\右箭头V^{*}\）,

$$（\Gamma_{T}u，v）：=\int_{\Omega}a{1}（x，Du）Dv，dx+\int_}\Omega}a{0}（x，Tu）v，dx+\lambda\int_u}l（x，u）v\，dx-\int__{\欧米加}F（Tu）v\，dx$$

\（对于v中的所有v）.然后\（伽马{T}）定义明确。

自\（\Phi\in\Delta_{2}\），存在一个序列\（\｛w_｛n｝\｝\子集V\）这样的话\（{w_{n}\}\）在V（V）.让\（V{m}=\operatorname{span}\{w{1}，\ldots，w{m}\}\）并考虑\（\伽马_｛T｝| _｛V_｛m｝｝\）。对于每个\（u\在V_{m}\中）,\（\Vert Du\Vert_{\Phi}\）和\（\int_{\Omega}\vert Du\vert，dx\）是两种规范\（V_｛m｝\）等价于有限维向量空间的通常范数。

类似于中命题3.1的证明[20]，我们可以推断映射\（u\rightarrow\Gamma_{T}|_{V_{m}}u:V_{ms}\rightArrowV_{m}^{*}\）是连续的。

鉴于(3.7)，有一个

$$\begin{aligned}和\biggl\vert\int_{\Omega}F（Tu）u\，dx\biggr\vert\\&\quad\leq C^{*}\vert q\vert_{\ overline{\Psi}}\vert-u\vert_{1，\Phi}+2b_{3}\int_{\ Omega}\Phi\bigl i\bigl（x，\vert\上划线{u}\vert\bigr）\，dx+b_{3}\int_{\Omega}\Phi\bigle+b_{4}\varepsilon_{1}\int_{\Omega}\Phi\bigl（x，vert Du\vert\biger）\Omega}\Psi\bigl（x，\vert\上划线{u}\vert\bigr）\，dx\\&\qquad{}+b_{4}\int_{\Omega}\Psi \bigl-（x，\ vert\underline{u}\vert\biger）\，dx+b_{4}\int_{\Omega}\Phi\bigl$$

(3.11)

为所有人\（单位：V\），其中\（\varepsilon_{1}=\压裂{b{2}}{2b{4}}\）和常数\（C^{*}>0\）.

多亏了(3.4)和(2.8)，存在\（K_2}>1\）和一个非负函数\（h\在L^{1}（\Omega）中\）这样的话

$$\开始{aligned}&\biggl\vert\int_{\Omega}a_{0}（x，Tu）u\，dx\biggr\vert\&\quad\leqb_{1}（K_{2}-1)\int_{\Omega}\bigl[\Phi\bigl（x，\vert u\vert\bigr）+\Phi\ bigl l（x，\vert u\vert\biger）\，dx+\int_{\Omega}\上划线{\Phi}\bigl（x，\ bigl\vert g_{1}（x）\bigr\vert\ biger），dx\\&\quad=（b_{1} K（K）_{2} +1）\int_{\Omega}\Phi\bigl（x，\vert u\vert\bigr）\，dx+C，\end{aligned}$$

(3.12)

为所有人\（单位：V\），其中常量\（C>0\）独立于u个.

让\（λ>K_{1}（b_{1} K（K）_{2} +1+2b_{3}）\）.组合(3.2), (3.9), (3.11)、和(3.12)，我们获得

$$\开始{对齐}（\Gamma_{T} u个，u）\geq｛｝&\frac｛b_｛2｝｝｛2｝\int_｛\Omega｝\Phi\bigl（x，\vert-Du\vert\bigr）\，dx+\bigl（\frac｛\lambda｝｛K_｛1｝｝｝-b_{1} K（K）_{2} -1-2b个_{3} \biggr）\int_{\Omega}\Phi\bigl{*}\Vertq\vert_{上划线{\Psi}}\vert u\vert_{1，\Phi}，\end{aligned}$$

(3.13)

为所有人\（单位：V\）还有一些\（C>0\）独立于u个根据1.9号提案[2]，存在\（C_{1}>0\）这样的话\（\垂直u\Vert_{\Phi}\leq C_{1}\Vert-Du\Vert_}\Phi{\）.鉴于(3.13)，对于所有人\（u\在V_{m}\中），我们有

$$开始{aligned}\frac{（\Gamma_{T}|_{V_{m}}u，u）}{\Vertu\Vert_{1，\Phi}}&\geq\frac}b_{2}\int_{\Omega}\Phi（x，\Vert Du\Vert）\，dx}{2（1+C_{1}）\Vert Du\Vert_{{1\Phi}{C}{{i}}-C^{*}\Vertq\Vert_{\上划线{\Psi}}\\&\geq\frac{b{2}\int_{\Omega}\Phi（x，\Vert Du\Vert）\，dx}{2C_{2}（1+C_{1}）\int_}\Omega}\Vert Do\Vert，dx}-\frac{C}{\Vertu\Vert_{1，\Phi}}-C^{*}\Vertq\Vert_{\overline{\Psi}}，\end{aligned}$$

对于一些常量\（C_{2}>0\）.通过引理2.1，我们得到

$$\frac{（\Gamma_{T}|_{V_{m}}u，u）}{\Vert u\Vert _{1，\Phi}}\rightarrow+\infty，\quad\mbox{as}\Vert u \Vert _{1，\ Phi}\right arrow+/\infty$$

(3.14)

按引理2.2，存在Galerkin解决方案\（在V{m}中为u{m}\）对于每个\（m\in\mathbb{N}\）这样的话\（（伽马{T}u{m}，v）=0\）,\（v{m}中的v\）.使用密度\（{w_{m}），我们推断

$$（\Gamma_{T}u_{m}，v）=0，对于v中的所有v，\quad\$$

(3.15)

对于\（单位：V\），定义\（\rho（u）=\int_{\Omega}（\Phi（x，\vert Du\vert）+\Phi和\（\Vertu\Vert_{\rho}=\inf\{\lambda>0:\rho（\frac{u}{\lampda}）\leq1\}\）.然后\（\垂直u\垂直{\rho}\）是V（V）相当于\（\Vert u\Vert _｛1，\Phi｝\）（请参见[2]).

拿\（\alpha_{0}=\min\{\frac{b{2}}{2}，\frac}\lambda}{K{1}}-b_{1} K（K）_{2} -1-2b个_{3} \}\)，我们有

$$\开始{对齐}（\Gamma_{T} u个，u）\geq{}&\alpha_{0}\biggl[\int_{\Omega}\Phi\bigl（x，\vert Du\vert\bigr{0}\bigl（\vert u\vert _{\rho}-\varepsilon\bigr）\biggl[\int_{\Omega}\Phi\biggl（x，\frac{\vert Du\vert}{\vert u \vert _{\rho}-\varepsilon}\biggr）\，dx+\int_{\Omega}\Phi\biggl}\bigl（\vert u\vert _{\rho}-\varepsilon\bigr）-C-C^{*}\vert q\vert _{\overline{\Psi}}\vert-u\vert_{1，\Phi}，\end{aligned}$$

为所有人\（单位：V\），作为\（\Vert u\Vert _｛1，\Phi｝\）足够大了。因此，通过(3.15)，我们得到一个序列\（{u{m}）以…为界V（V）因此，存在\（V\中的u_{0}\）和一个子序列\（{u{k}）属于\（{u{m}），因此

$$\begin{aligned}和u_{k}\rightharpoonup u_{0}\quad\mbox{弱in}V\mbox{for}\sigma\Bigl（\prod L_{\Phi}，\prod E_{overline{\Phi}}\Bigr），\end{alinged}$$

(3.16)

$$\begin{aligned}&u_{k}\rightarrowu_{0}\quad\mbox{强位于}L_{\Psi}（\Omega），\end{aligned}$$

(3.17)

$$\开始{aligned}&u{k}\rightarrowu{0}\quad\mbox{a.e.in}\Omega，\end{aligned}$$

(3.18)

作为\（k\rightarrow\infty\）.

由(3.4)和(3.8),\（\{a{0}（x，Tu_{k}）\}\）和\（l（x，u{k}）以为界\（L_{\上划线{\Phi}}（\Omega）\）.通过引理2.4,

$$a_{0}（x，Tu_{k}）\rightharpoonup a_{0}（x,Tu_{0{）\quad\mbox{弱位于}L_{\overline{\Phi}}（\Omega）\mbox{for}\sigma（L_{\ overline}}，E_{\Phi}）$$

和

$$l（x，u_｛k｝）\右叉式箭头l（x，u_｛0｝）\quad\mbox｛弱在｝l_｛\overline｛\Phi｝｝（\Omega）\mbox｛for｝\ sigma（l_｛\overline｛\Phi｝｝，E_｛\Phi｝）$$

作为\（k\rightarrow\infty\）.

另一方面，根据勒贝格定理，我们得出

$$\int_{\Omega}a_{0}（x，Tu_{k}）（u_{k} -u个_{0}）\，dx\rightarrow0，\qquad\int_{\Omega}l（x，u_{k}）（u_{k} -u个_{0}）\，dx\rightarrow0，\quad\mbox{作为}k\rightarrow\infty$$

多亏了(3.7),\（\{F（Tu_{k}）\}\）以为界\（L_{\上划线{\Psi}}（\Omega）\）因此，

$$\int_{\Omega}F（Tu_{k}）（u_{k} -u个_{0}）\，dx\rightarrow0，\quad\mbox{作为}k\rightarrow\infty$$

因此，我们获得

$$\int_{\Omega}a_{1}（x，Du_{k}）（Du_{k} -杜_{0}）\，dx\rightarrow0，\quad\mbox{作为}k\rightarrow\infty$$

(3.19)

类似于中命题3.1的证明[20]，我们可以构造一个子序列，仍然表示为\（{u{k}）这样的话

$$Du_{k}\rightarrow-Du_{0}\quad\mbox{a.e.in}\Omega，mbox{as}k\right箭头\infty$$

(3.20)

因此

$$a{1}（x，Du_{k}）\rightarrowa{1{（x、Du_{0}）\squad\mbox{a.e.在}\Omega中，\mbox{as}k\rightarrow\infty$$

(3.21)

鉴于(3.1),\（{a{1}（x，Du{k}）以为界\（（L_{\上划线{\Phi}}（\Omega））^{N}\）然后根据引理2.4，我们有

$$a{1}（x，Du_{k}）\rightarrow a{1{（x）\quad\mbox{弱in}\bigl（L_{\overline{\Phi}}（\Omega）\bigr）^{N}\mbox{for}\sigma\bigl.）^{N}\biger）$$

(3.22)

作为\（k\rightarrow\infty\）同样，

$$F（Tu_{k}）\rightharpoonup F（Tu_{0}）\squad\mbox{弱位于}L_{\overline{\Psi}}（\Omega）\mbox{for}\sigma（L_{\ overline}}，E_{\Psi}），\mbox}as}k\rightarrow\infty$$

因此，\（（伽马{T}u{k}，v）=（伽马}u{0}，v）,\（对于v中的所有v）.签署人(3.15),\（（伽马{T}u{0}，v）=0\）,\（对于v中的所有v）,即,\（u｛0｝\）是的解决方案(3.10).

对于每个\（m\in\mathbb{N}\），采取\（v=（u_{米}-\上划线{u}）^{+}\（V中）英寸(3.15)作为测试函数，我们得到

$$\begin{aligned}和\int_{\Omega}\bigl[a_{1}（x，Du_{m}）-a_{1neneneep（x，D\上划线{u}）\bigr]D（u_{米}-\上划线{u}）^{+}\，dx\\&\qquad{}+\int_{\Omega}\bigl[a{0}（x，Tu_{m}）-a{0}（x，\上划线{u}）\bigr]（u_{米}-\上划线{u}）^{+}\，dx+\lambda\int_{\Omega}l（x，u_{m}）（u_{米}-上划线{u}）^{+}\，dx\\&\quad\leq\int_{\Omega}\bigl[F（Tu_{m}）-F（上划线{u}）\bigr]（u_{米}-\上划线{u}）^{+}\，dx。\结束{对齐}$$

(3.23)

由(3.3)，我们有

$$\begin{aligned}和\int_{\Omega}\bigl[a_{1}（x，Du_{m}）-a_{1neneneep（x，D\上划线{u}）\bigr]D（u_{米}-\上划线{u}）^{+}\，dx\\&\quad=\int_{{u{m}>\overline{u}\}}\bigl[a{1}（x，Du_{m}）-a{1}（x，D\上划线{u}）\bigr]D（u_{米}-\上划线{u}）\，dx\geq0。\结束{对齐}$$

自

$$\int_{\Omega}\bigl[a_{0}（x，Tu_{m}）-a_{0neneneep（x，\overline{u}）\bigr]（u_{米}-\上划线｛u｝）^｛+｝\，dx=0$$

和

$$\int_{\Omega}\bigl[F（Tu_{m}）-F（\overline{u}）\bigr]（u_{米}-\上划线{u}）^{+}\，dx=0$$

我们得到

$$0\geq\int_{\Omega}l（x，u_{m}）（u_{米}-上划线{u}）^{+}\，dx\geq\int_{{u{m}>\上划线{u}\}}\Phi（x，u_{米}-\上划线{u}）\，dx\geq0$$

由此可见\（u_｛m｝\leq\overline｛u｝\）使用与上面类似的论点，我们可以证明\（u{m}\geq\下划线{u}\）.

多亏了(3.18)，有一个\（\下划线{u}\lequ{0}\leq上横线{u}\）。根据的定义\（l（\cdot，u_｛0｝（\cdot））\）和\（图{0}\），我们有

$$l\bigl（x，u_{0}$$

和

$$f\bigl（x，Tu_{0}（x），DTu_{0{（x$$

对于a.e。\（x\in\Omega\）。我们注意到(3.10)减少到(3.6)，这就完成了证明。□

备注3.2

我们的证明不需要条件\（\overline{\Phi}\ in \Delta_{2}\）和\（（\Phi_{3}）\）英寸[2].

备注3.3

我们的方法需要严格的单调性(3.3)第页，共页\（{1}\），但不需要单调性(1.7)或强制力(1.6)第页，共页\（a{0}\）然而，如果\（\overline{\Phi}\ in \Delta_{2}\），然后我们可以推断(3.22)通过遵循中定理4.1的行[23]何时(3.3)被替换为(1.4).

备注3.4

假设(1.7)保持与定理的假设3.1保持。如果\（f（x，u，Du）=f（x）在L_{\上划线{\Psi}}（\Omega）中很容易看出(3.5)有一个独特的解决方案。

备注3.5

现在我们考虑以下Neumann边值问题：

$$\textstyle\begin{cases}-\operatorname{div}（a_{1}（x，Du））+a_{0}（x，u）=f（x，u，Du$$

(3.24)

哪里γ外单位是否垂直于∂Ω.

我们还假设有一个函数\（G:[k，+\infty）\rightarrow\mathbb{R}\）对一些人来说\（k>0）这样的话\（G（s）\右箭头+\输入\）作为\（s\rightarrow+\infty\）和

$$\Phi（x，s u）\geq G（s）s\Phi（x，u）-sh（x），\quad\mbox{表示所有}s>0，u\geq0，\mbox{a.e.}x\in\Omega$$

(3.25)

还有一些\（h\在L^{1}（\Omega）中\）,\（h\geq0\）.

假设(3.25)保持与定理的假设3.1保持。更换V（V）通过\（W^{1} L（左）_{\Phi}（\Omega）\）在定理证明中3.1、和(3.13)-(3.14)通过以下几行，我们可以推导出一个与定理类似的定理3.1关于Neumann边值问题(3.24).

$$\开始{对齐}（\Gamma_{T} u个，u）\geq{}&\frac{b_{2}}{2}\int_{\Omega}\Phi\bigl（x，\vert-Du\vert\biger）\，dx+\biggl（\frac}\lambda}{K_{1}}-b_{1} K（K）_{2} -1-2b个_{3} \biggr）\int_{\Omega}\Phi\bigl}\Phi\bigl（x，\vert u\vert \bigr）\，dx\biggr]-C-C^{*}\vert q\vert_{\上划线{\Psi}}\vert-u\vert_{1，\Phi}，\end{aligned}$$

(3.26)

为所有人\（单位：V\）还有一些\（C>0\）独立于u个，其中\（\alpha_{0}=\min\{\frac{b{2}}{2}，\frac}\lambda}{K{1}}-b_{1} K（K）_{2} -1-2b{3}\}\）.

组合(3.25)和(3.26)，我们可以推断，对于任何\（\varepsilon>0\）,

$$\开始{对齐}&（\Gamma_{T} u个，u）\\&\quad\geq\alpha_{0}\biggl[\int_{\Omega}\Phi\biggl（x，\bigl（\Vert u\Vert_{\rho}-\varepsilon\bigr）\frac{\Vert Du\Vert}{\Vert u \Vert_{\rho}-\verepsilon}\bighr）\，dx+\int_}\Omega}\Phi \biggl（x，\ bigl rho}-\varepsilon\bigr）\frac{\Vert u\Vert}{\Vert u\Vert_{\rho}-\varepsilon}\biggr）\，dx\biggr]\\&\qquad{}-C^{*}\垂直q\Vert_{上划线{\Psi}}\Vert u\Vert_}1，\Phi}\\&\quad\geq\alpha_{0}\bigl}{\Vert u\Vert _{\rho}-\varepsilon}\biggr）\，dx+\int_{\Omega}\Phi\biggl（x，\frac{\Vert u\Vert}{\Vert u\Vert _{\rho}-\varepsilon}\biggr）\，dx\biggr]\\&\qquad{}-\alpha_{0}\bigl（\Vert u \Vert _{\rho}-\verepsilon\bigr）\int_{\Omega}\bigle\Vert h（x）\bigr\Vert，dx-C-C^{*}\Vert q\Vert e_{\overline{\Psi}}}\Vertu\Vert_{1，\Phi}\\&\quad\geq\alpha_{0}\bigl-\varepsilon\biger）\bigr）-\alpha_{0}\bigl$$

\（对于V中的所有u），作为\（\Vert u\Vert _｛1，\Phi｝\）足够大了。自ε是任意的，我们得到

$$（\伽马射线_{T} u个，u）\geq\alpha_{0}\Vert u\Vert_{rho}G\bigl（\Vert u \Vert_{\rho}\bigr）-\alpha_{0}\ Vert u \ Vert_{\rho}\int_{\Omega}\bigl\Vert h$$

\（对于V中的所有u），作为\（\Vert u\Vert _｛1，\Phi｝\）足够大了。因此，我们获得

$$\frac{（\Gamma_{T}|_{V_{m}}u，u）}{\Vert u\Vert _{1，\Phi}}\rightarrow+\infty，\quad\mbox{as}\Vert u \Vert _{1，\ Phi}\right arrow+/\infty$$

提议3.1

如果 \（\overline{\Phi}\ in \Delta_{2}\）,然后是函数 \（h\在L^{1}（\Omega）中\）,\（h\geq0\）,和 \（G:[k，+\infty）\rightarrow\mathbb{R}\） 对一些人来说 \（k>2） 这样的话 \（G（s）\右箭头+\输入\） 作为 \（s\rightarrow+\infty\） 和(3.25)持有.

证明

证明(3.25)类似于的引理3.14的证明[24].

自\（\overline{\Phi}\ in \Delta_{2}\），存在一个正常数\（k>1）和一个非负函数\（h\在L^{1}（\Omega）中\）这样的话\（\overline｛\Phi｝（x，2v）\leq k\overline｛\Phi｝（x，v）+h（x）\），对于所有人\（v\geq 0）以及其他。\（x\in\Omega\）.必要时，\（k>2）.定义函数\（F:[1，+\infty）\rightarrow[k，+\infty）\）通过

$$F（r）=\r\nbigl（（1-\lambda）k^{n}+\lambdak ^{n+1}\biger）\quad\mbox{if}\r\nbigl[2^{n{，2^{n+1}\bigr]\mbox{和}r=（1-\lambda）2^{n}+\lambda2^{n+1}$$

我们获得

$$\开始{对齐}\上划线{\Phi}（x，rv）&\leq\bigl[（1-\lambda）k^{n}+\lambda-k^{n+1}\bigr]\上划线}（x，v）+\biggl[（1-\ lambda-）\frac{k^{n} -1个}{k-1}+\lambda\frac{k^{n+1}-1}{k-1}\biggr]h（x）\\&\leq\bigl[（1-\lambda）k^{n}+\lambda k^{n+1}\bigr]\上划线{\Phi}（x，v）+\bigl[（1-\ lambda（x，v）+frac{F（r）}{r}h（x）。\结束{对齐}$$

因此\（\frac{1}{F（r）}\上划线{\Phi}（x，rv）\leq\上划线}（x，v）+\frac{1}{r} 小时（x） \）.采取\（\Psi_{1}（x，v）=\frac{1}{F（r）}\上划线{\Phi}（x，rv）\），按命题2.1和命题2.2，我们有\（\Phi（x，u）\leq\frac{1}{F（r）}\Phi{r} u个)+\压裂{1}{r} 小时（x） \），对于所有人\（u\geq0）以及其他。\（x\in\Omega\）。由此可见\（F（r）\Phi（x，u）\leq\Phi{r} u个)+\frac｛F（r）｝｛r｝h（x）\），对于所有人\（u\geq0）以及其他。\（x\in\Omega\）.自\（\压裂{F（r）}{r}\）严格增加自k个到+∞为\（在[1，+\infty中）\），其倒数函数\（G（s）\）定义明确，严格地从1增加到+∞\（[k，+\infty中的s），我们有\（sG（s）\Phi（x，u）\leq\ Phi（x，su）+s h（x）\）,即

$$\Phi（x，su）\geq-sG（s）\Phi$$

 □

备注3.6

显然(1.9)可以替换为(3.25)在定理2.1的证明中[2]. 因此，通过命题3.1，条件(1.9)可以省略，因为\（\overline{\Phi}\ in \Delta_{2}\）英寸[2].

表示\（W_{0}中的\mathcal{S}=\{u\^{1} L（左）_{\Phi}（\Omega）：u\mbox{是（3.5）和}\underline{u}\lequ\leq\overline{u}的解.在定理的假设下3.1，解决方案集\（\mathcal{S}\）是非空的，我们可以推导出以下推论。

推论3.1

在定理的假设下 3.1,关于以下断言 \（\mathcal{S}\） 都是真的.

• （a） 这套 \（\mathcal{S}\） 是紧凑的 \（W_{0}^{1} L（左）_{\Phi}（\Omega）\）.

• （b） \（\mathcal{S}\） 是两个方向的直接集,那就是,如果 \（u{1}，u{2}\in\mathcal{S}\） 那么就有了 \（u，v\ in \ mathcal{S}\） 这样的话 \（u\gequ{1}\veeu{2}\） 和 \（v\lequ{1}\楔形u{2}\）.

• （c） \（\mathcal{S}\） 具有与排序相关的最少和最多元素≤’,那就是,有 \（u_{*}，u^{*}\在\mathcal{S}\中） 这样的话 \（u_{*}\lequ\lequ ^{*}\）,为所有人 \（u \ in \ mathcal{S}\）.