On the oscillation of odd order advanced differential equations

Baculíková, Blanka; Džurina, Jozef

doi:10.1186/s13661-014-0214-3

研究
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出版：2014年9月26日

奇阶高级微分方程的振动性

边值问题 体积 2014，物品编号：214(2014)引用这篇文章

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韵律学细节

摘要

本文的目的是研究n个四阶高级微分方程

{(第页 (t吨) {[{x个}^{(n个 - 1)} (t吨)]}^{γ})}^{'} + q个 (t吨) {x个}^{γ} [τ (t吨)] = 0 .

所得结果基于Riccati变换。

MSC公司：34K11、34C10。

1简介

在本文中，我们将研究高阶高级微分方程解的渐近性和振动性

{(第页 (t吨) {[{x个}^{(n个 - 1)} (t吨)]}^{γ})}^{'} + q个 (t吨) {x个}^{γ} [τ (t吨)] = 0 .

(1.1)

在整篇论文中，我们假设 $q个, τ \in C类 ([{t吨}_{0}, \infty))$ , $第页 \in {C类}^{1} ([{t吨}_{0}, \infty))$ 和

（H）₁):n个很奇怪，γ是两个正奇整数的比率，

（H）₂): $第页 (t吨) > 0$ , ${第页}^{'} (t吨) \geq 0$ , $q个 (t吨) > 0$ , $τ (t吨) \geq t吨$ .

无论何时，假设

R（右） (t吨) = \int_{{t吨}_{0}}^{t吨} {第页}^{- 1 / γ} (秒) d日 秒 \to \infty 作为 t吨 \to \infty .

(1.2)

通过方程式的解(1.1)，我们是指一个函数 $x个 (t吨) \in {C类}^{n个 - 1} ([{T型}_{x个}, \infty))$ , ${T型}_{x个} \geq {t吨}_{0}$ ，具有属性 $第页 (t吨) {({x个}^{(n个 - 1)} (t吨))}^{γ} \in {C类}^{1} ([{T型}_{x个}, \infty))$ 并满足等式(1.1)上的 $[{T型}_{x个}, \infty)$ 。我们只考虑这些解决方案 $x个 (t吨)$ 第页，共页(1.1)满足要求的 $啜饮 {| x个 (t吨) | : t吨 \geq T型} > 0$ 为所有人 $T型 \geq {T型}_{x个}$ 。我们假设(1.1)拥有这样的解决方案。解决方案(1.1)如果其上有任意大的零点，则称为振荡 $[{T型}_{x个}, \infty)$ ，否则称为非振荡。

微分方程的振动问题已经被许多作者广泛研究，他们提供了许多技术，特别是对于低阶时滞微分方程。东进[1]改进并推广了Riccati变换以获得二阶时滞微分方程的新振动准则

{[第页 (t吨) {[{x个}^{'} (t吨)]}^{γ}]}^{'} + q个 (t吨) {x个}^{γ} [τ (t吨)] = 0 .

格蕾丝等。英寸[2]以及目前的作者[三]–[6]三阶时滞微分方程的比较技术

{[第页 (t吨) {[{x个}^{″} (t吨)]}^{γ}]}^{'} + q个 (t吨) {x个}^{γ} [τ (t吨)] = 0

并与一阶微分方程的振动性进行了比较。

另一方面，针对高级微分方程建立的方法相对较少。本文的目的是填补振荡理论中的这一空白。

备注1

本文中考虑的所有函数不等式都假定最终成立，即它们都满足t吨足够大。

2主要成果

我们的结果基本上使用了Philos和Staikos（参见[7]和[8])。

引理A

让 $z（z） \in {C类}^{j个} ([{t吨}_{0}, \infty))$ .假设 ${z（z）}^{(j个)}$ 在 $[{t吨}_{0}, \infty)$ .如果,此外, $z（z） (t吨) > 0$ , ${z（z）}^{(j个 - 1)} (t吨) {z（z）}^{(j个)} (t吨) \leq 0$ ,和 $林_{t吨 \to \infty} z（z） (t吨) \neq 0$ ,那么对于每个 $k个 \in (0, 1)$ 存在 ${t吨}_{k个} \geq {t吨}_{0}$ 这样的话

z（z） (t吨) \geq \frac{k个}{(j个 - 1)!} {t吨}^{j个 - 1} | {z（z）}^{(j个 - 1)} (t吨) |

(2.1)

等待 $[{t吨}_{k个}, \infty)$ .

以下有用的结果将在后面用于证明我们的主要结果。

引理1

假设 $x个 (t吨) > 0$ , ${x个}^{'} (t吨) > 0$ , ${x个}^{″} (t吨) > 0$ ,最后.然后,用于任意 ${k个}_{0} \in (0, 1)$ ,

x个 [τ (t吨)] \geq {k个}_{0} \frac{τ (t吨)}{t吨} x个 (t吨),

(2.2)

最后.

证明

它源于 ${x个}^{'} (t吨)$ 那个

x个 [τ (t吨)] - x个 (t吨) = \int_{t吨}^{τ (t吨)} {x个}^{'} (秒) d日 秒 \geq {x个}^{'} (t吨) (τ (t吨) - t吨) .

那就是，

\frac{x个 [τ (t吨)]}{x个 (t吨)} \geq 1 + \frac{{x个}^{'} (t吨)}{x个 (t吨)} (τ (t吨) - t吨) .

（2.3）

另一方面，因为 $x个 (t吨) \to \infty$ 作为 $t吨 \to \infty$ ，那么对于任何 ${k个}_{0} \in (0, 1)$ 存在 ${t吨}_{1}$ 足够大以至于

{k个}_{0} x个 (t吨) \leq x个 (t吨) - x个 ({t吨}_{1}) = \int_{{t吨}_{1}}^{t吨} {x个}^{'} (秒) d日 秒 \leq {x个}^{'} (t吨) (t吨 - {t吨}_{1}) \leq {x个}^{'} (t吨) t吨,

或同等标准，

\frac{{x个}^{'} (t吨)}{x个 (t吨)} \geq \frac{{k个}_{0}}{t吨} .

(2.4)

使用(2.4)英寸(2.3)，我们获得

\frac{x个 [τ (t吨)]}{x个 (t吨)} \geq 1 + \frac{{k个}_{0}}{t吨} (τ (t吨) - t吨) \geq {k个}_{0} \frac{τ (t吨)}{t吨} .

证据是完整的。 □

积极的解决方案(1.1)具有以下结构。

引理2

如果 $x个 (t吨)$ 是一个积极的解决方案(1.1),然后 $第页 (t吨) {[{x个}^{(n个 - 1)} (t吨)]}^{γ}$ 正在减少,所有衍生产品 ${x个}^{(我)} (t吨)$ , $1 \leq 我 \leq n个 - 1$ ,具有恒定的符号,和 $x个 (t吨)$ 满足任一条件

{x个}^{'} (t吨) > 0, {x个}^{″} (t吨) > 0, {x个}^{(n个 - 1)} (t吨) > 0, {x个}^{(n个)} (t吨) < 0

(2.5)

或

{(- 1)}^{我} {x个}^{(我)} (t吨) > 0, 我 = 1, 2, \dots, n个 .

(2.6)

证明

自 $x个 (t吨)$ 是一个积极的解决方案(1.1)，然后它从(1.1)那个

{(第页 (t吨) {[{x个}^{(n个 - 1)} (t吨)]}^{γ})}^{'} = - q个 (t吨) {x个}^{γ} [τ (t吨)] < 0 .

因此， $第页 (t吨) {[{x个}^{(n个 - 1)} (t吨)]}^{γ}$ 正在减少，这意味着 ${x个}^{(n个 - 1)} (t吨) > 0$ 或 ${x个}^{(n个 - 1)} (t吨) < 0$ .但是这个案子 ${x个}^{(n个 - 1)} (t吨) < 0$ 暗示 $第页 (t吨) {[{x个}^{(n个 - 1)} (t吨)]}^{γ} < - 米 < 0$ 。来自 ${t吨}_{1}$ 到t吨产量

{x个}^{(n个 - 2)} (t吨) < {x个}^{(n个 - 2)} ({t吨}_{1}) - 米^{1 / γ} \int_{{t吨}_{1}}^{t吨} {第页}^{- 1 / γ} (秒) d日 秒,

但鉴于(1.2) ${x个}^{(n个 - 2)} (t吨) \to - \infty$ 对于 $t吨 \to \infty$ 重复此过程，我们得到 $x个 (t吨) \to - \infty$ 这是一个矛盾，我们的结论是 ${x个}^{(n个 - 1)} (t吨) > 0$ 此外， ${x个}^{(n个 - 1)} (t吨) > 0$ 意味着要么 ${x个}^{(n个 - 2)} (t吨) > 0$ 或 ${x个}^{(n个 - 2)} (t吨) < 0$ 但第一种情况导致 ${x个}^{(我)} (t吨) > 0$ 对于 $0 \leq 我 \leq n个 - 2$ 重复这些考虑，我们验证 $x个 (t吨)$ 满足任一条件(2.5)或(2.6).

另一方面，因为 ${x个}^{(n个 - 1)} (t吨) > 0$ ，然后使用 ${第页}^{'} (t吨) > 0$ 在里面

0 > {(第页 (t吨) {[{x个}^{(n个 - 1)} (t吨)]}^{γ})}^{'} = {第页}^{'} (t吨) {[{x个}^{(n个 - 1)} (t吨)]}^{γ} + 第页 (t吨) γ {[{x个}^{(n个 - 1)} (t吨)]}^{γ - 1} {x个}^{(n个)} (t吨),

我们的结论是 ${x个}^{(n个)} (t吨) < 0$ 。证据完整。 □

现在，我们为所有非振动解的某些渐近行为提供了一些判据。为了进一步参考，我们设置

问 (t吨) = \int_{t吨}^{\infty} q个 (秒) {(\frac{τ (秒)}{秒})}^{γ} d日 秒

和

P（P） (t吨) = \frac{1}{{第页}^{1 / γ} (t吨)} {[\int_{t吨}^{\infty} q个 (秒) d日 秒]}^{1 / γ} .

定理1

假设

\underset{t吨 \to \infty}{林inf公司} \frac{1}{问 (t吨)} \int_{t吨}^{\infty} \frac{秒^{n个 - 2} 问^{1 + 1 / γ} (秒)}{{第页}^{1 / γ} (秒)} d日 秒 > \frac{(n个 - 2)!}{{(γ + 1)}^{1 + 1 / γ}}

(2.7)

和

\int_{{t吨}_{0}}^{\infty} 秒^{n个 - 2} P（P） (秒) d日 秒 = \infty,

（2.8）

那么每个非振荡解 $x个 (t吨)$ 属于(1.1)满足 $林_{t吨 \to \infty} x个 (t吨) = 0$ .

证明

假设 $x个 (t吨)$ 是最终的积极解决方案(1.1)。首先假设 $x个 (t吨)$ 满足(2.5)。由(2.7)，很容易看出存在一些 $k个 \in (0, 1)$ 这样的话

\underset{t吨 \to \infty}{林inf公司} \frac{{k个}^{1 + 1 / γ}}{问 (t吨)} \int_{t吨}^{\infty} \frac{秒^{n个 - 2} 问^{1 + 1 / γ} (秒)}{{第页}^{1 / γ} (秒)} d日 秒 > \frac{(n个 - 2)!}{{(γ + 1)}^{1 + 1 / γ}} .

(2.9)

我们把 ${k个}_{0} = {k个}^{1 / γ}$ ，然后设置(2.2)到(1.1)，我们得到

{(第页 (t吨) {[{x个}^{(n个 - 1)} (t吨)]}^{γ})}^{'} + k个 q个 (t吨) \frac{τ^{γ} (t吨)}{{t吨}^{γ}} {x个}^{γ} (t吨) \leq 0 .

我们定义

w个 (t吨) = \frac{第页 (t吨) {[{x个}^{(n个 - 1)} (t吨)]}^{γ}}{{x个}^{γ} (t吨)} > 0 .

(2.10)

差异化 $w个 (t吨)$ ，一个得到

\begin{aligned} {w个}^{'} (t吨) & = \frac{{[第页 (t吨) {[{x个}^{(n个 - 1)} (t吨)]}^{γ}]}^{'}}{{x个}^{γ} (t吨)} - γ \frac{第页 (t吨) {[{x个}^{(n个 - 1)} (t吨)]}^{γ}}{{x个}^{γ} (t吨)} \frac{{x个}^{'} (t吨)}{x个 (t吨)} \\ \leq - \frac{k个 q个 (t吨) τ^{γ} (t吨)}{{t吨}^{γ}} - γ w个 (t吨) \frac{{x个}^{'} (t吨)}{x个 (t吨)} . \end{aligned}

(2.11)

另一方面，引理A暗示

{x个}^{'} (t吨) \geq \frac{k个}{(n个 - 2)!} {t吨}^{n个 - 2} {x个}^{(n个 - 1)} (t吨) .

将最后一个不等式设置为(2.11)，我们获得

{w个}^{'} (t吨) \leq - k个 [q个 (t吨) {(\frac{τ (t吨)}{t吨})}^{γ} + γ {w个}^{1 + 1 / γ} (t吨) \frac{{t吨}^{n个 - 2}}{(n个 - 2)! {第页}^{1 / γ} (t吨)}] .

积分最后一个不等式t吨到∞，我们有

w个 (t吨) \geq k个 [问 (t吨) + \frac{γ}{(n个 - 2)!} \int_{t吨}^{\infty} {w个}^{1 + 1 / γ} (秒) \frac{秒^{n个 - 2}}{{第页}^{1 / γ} (秒)} d日 秒]

(2.12)

或

\frac{w个 (t吨)}{k个 问 (t吨)} \geq 1 + \frac{γ {k个}^{1 + 1 / γ}}{(n个 - 2)! 问 (t吨)} \int_{t吨}^{\infty} \frac{秒^{n个 - 2}}{{第页}^{1 / γ} (秒)} 问^{1 + 1 / γ} (秒) {(\frac{w个 (秒)}{k个 问 (秒)})}^{1 + 1 / γ} d日 秒,

最后，让我们说 $t吨 \geq {t吨}_{1}$ 。自 $w个 (t吨) > k个问 (t吨)$ ，然后

\underset{t吨 \geq {t吨}_{1}}{inf公司} \frac{w个 (t吨)}{k个 问 (t吨)} = λ \geq 1 .

因此，

\frac{w个 (t吨)}{k个 问 (t吨)} \geq 1 + \frac{γ {(k个 λ)}^{1 + 1 / γ}}{(n个 - 2)! 问 (t吨)} \int_{t吨}^{\infty} \frac{秒^{n个 - 2}}{{第页}^{1 / γ} (秒)} 问^{1 + 1 / γ} (秒) d日 秒 .

(2.13)

发件人(2.9)，我们发现存在一些积极的因素η这样的话

\frac{{k个}^{1 + 1 / γ}}{(n个 - 2)! 问 (t吨)} \int_{t吨}^{\infty} \frac{秒^{n个 - 2}}{{第页}^{1 / γ} (秒)} 问^{1 + 1 / γ} (秒) d日 秒 > η > {(γ + 1)}^{- \frac{γ + 1}{γ}} .

（2.14）

组合(2.13)与(2.14)，我们有

\frac{w个 (t吨)}{k个 问 (t吨)} \geq 1 + γ λ^{1 + 1 / γ} η .

因此，

λ \geq 1 + γ λ^{1 + 1 / γ} η > 1 + γ λ^{1 + 1 / γ} {(γ + 1)}^{- \frac{γ + 1}{γ}}

或同等标准，

0 > \frac{1}{γ + 1} + \frac{γ}{γ + 1} {(\frac{λ}{γ + 1})}^{1 + 1 / γ} - \frac{λ}{γ + 1} .

这与函数

（f） (α) = \frac{1}{γ + 1} + \frac{γ}{γ + 1} α^{1 + 1 / γ} - α

对所有人来说都是非负的 $α > 0$ 我们的结论是 $x个 (t吨)$ 无法满足(2.5).

现在我们假设 $x个 (t吨)$ 满足(2.6)。那么存在一个有限的 $林_{t吨 \to \infty} x个 (t吨) = ℓ$ 。我们声称 $ℓ = 0$ .假设 $Ş > 0$ .集成(1.1)来自t吨到∞，我们得到

第页 (t吨) {({x个}^{(n个 - 1)} (t吨))}^{γ} \geq \int_{t吨}^{\infty} q个 (秒) {x个}^{γ} [τ (秒)] d日 秒 \geq ℓ^{γ} \int_{t吨}^{\infty} q个 (秒) d日 秒,

这意味着

{x个}^{(n个 - 1)} (t吨) \geq ℓ P（P） (t吨) .

将最后一个不等式积分两次t吨到∞，我们得到

{x个}^{(n个 - 三)} (t吨) \geq ℓ \int_{t吨}^{\infty} \int_{u个}^{\infty} P（P） (秒) d日 秒 d日 u个 = ℓ \int_{t吨}^{\infty} P（P） (秒) (秒 - t吨) d日 秒 .

重复这个过程，我们到达

- {x个}^{'} (t吨) \geq \frac{ℓ}{(n个 - 三)!} \int_{t吨}^{\infty} {(秒 - t吨)}^{n个 - 三} P（P） (秒) d日 秒 .

现在，从 ${t吨}_{1}$ 到∞，我们看到了

x个 ({t吨}_{1}) \geq \frac{ℓ}{(n个 - 2)!} \int_{{t吨}_{1}}^{\infty} {(秒 - {t吨}_{1})}^{n个 - 2} P（P） (秒) d日 秒 \geq \frac{ℓ}{2^{n个 - 2} (n个 - 2)!} \int_{2 {t吨}_{1}}^{\infty} 秒^{n个 - 2} P（P） (秒) d日 秒,

这与之相矛盾(2.8)，所以我们已经验证了 $林_{t吨 \to \infty} x个 (t吨) = 0$ . □

示例1

考虑奇数顺序( $n个 \geq 三$ )非线性微分方程

{(t吨 {({x个}^{(n个 - 1)} (t吨))}^{三})}^{'} + \frac{β}{{t吨}^{三 n个 - 三}} {x个}^{三} (λ t吨) = 0, β > 0, λ > 1 .

(2.15)

在这里 $q个 (t吨) = β / {t吨}^{三 n个 - 三}$ 和 $τ (t吨) = λ t吨$ ，所以

\begin{matrix} 问 (t吨) = \int_{t吨}^{\infty} q个 (秒) {(\frac{τ (秒)}{秒})}^{三} d日 秒 = \frac{λ^{三} β}{(三 n个 - 4) {t吨}^{三 n个 - 4}}, \\ P（P） (t吨) = \frac{1}{{第页}^{1 / 三} (t吨)} {[\int_{t吨}^{\infty} q个 (秒) d日 秒]}^{1 / 三} = {(\frac{β}{三 n个 - 4})}^{1 / 三} \frac{1}{{t吨}^{n个 - 1}} . \end{matrix}

因此，

\int_{{t吨}_{0}}^{\infty} 秒^{n个 - 2} P（P） (秒) d日 秒 = {(\frac{β}{三 n个 - 4})}^{1 / 三} \int_{{t吨}_{0}}^{\infty} \frac{1}{秒} d日 秒 = \infty,

即, (2.8)持有；此外(2.7)减少到

λ β^{1 / 三} > {(\frac{三 n个 - 4}{4})}^{4 / 三} (n个 - 2)!,

根据定理1，它保证了(2.15)在无穷远处趋于零。

让 ${{一个}_{米} (t吨)}_{米 = 0}^{\infty}$ 是定义如下的连续函数序列，

{一个}_{0} (t吨) = k个 问 (t吨), k个 \in (0, 1) 固定的，固定的

和

{一个}_{米 + 1} (t吨) = {一个}_{0} (t吨) + \frac{k个 γ}{(n个 - 2)!} \int_{t吨}^{\infty} {一个}_{米}^{1 + 1 / γ} (秒) \frac{秒^{n个 - 2}}{{第页}^{1 / γ} (秒)} d日 秒, 米 = 0, 1, \dots .

(2.16)

然后我们得到以下结果。

定理2

假设(2.8)保持，并且存在一些 ${一个}_{米} (t吨)$ 这样的话

\int_{{t吨}_{0}}^{\infty} q个 (t吨) {(\frac{τ (t吨)}{t吨})}^{γ} 经验 (\frac{k个 γ}{(n个 - 2)!} \int_{{t吨}_{0}}^{t吨} {一个}_{米}^{1 / γ} (秒) \frac{秒^{n个 - 2}}{{第页}^{1 / γ} (秒)} d日 秒) d日 t吨 = \infty

(2.17)

对一些人来说 $k个 \in (0, 1)$ .那么每个非振荡解 $x个 (t吨)$ 属于(1.1)满足 $林_{t吨 \to \infty} x个 (t吨) = 0$ .

证明

假设 $x个 (t吨)$ 是最终的积极解决方案(1.1)。根据引理2， $x个 (t吨)$ 满足任一条件(2.5)或(2.6)。根据定理1的证明，如果 $x个 (t吨)$ 满足(2.6)，然后(2.8)确保它在无穷远处趋于零。

假设 $x个 (t吨)$ 满足(2.5)。根据定理1的证明(2.12)为每个保留 $k个 \in (0, 1)$ .

通过归纳，使用(2.12)，很容易看出 ${{一个}_{米} (t吨)}_{米 = 0}^{\infty}$ 不会减少并且 $w个 (t吨) \geq {一个}_{米} (t吨)$ 因此，序列 ${{一个}_{米} (t吨)}_{米 = 0}^{\infty}$ 收敛到 $一个 (t吨)$ .通过Lebesgue单调收敛定理 $米 \to \infty$ 英寸(2.16)，我们得到

一个 (t吨) = {一个}_{0} (t吨) + \frac{k个 γ}{(n个 - 2)!} \int_{t吨}^{\infty} {一个}^{1 + 1 / γ} (秒) \frac{秒^{n个 - 2}}{{第页}^{1 / γ} (秒)} d日 秒,

鉴于 $一个 (t吨) \geq {一个}_{米} (t吨)$ 暗示

\begin{aligned} {一个}^{'} (t吨) & = - k个 q个 (t吨) {(\frac{τ (t吨)}{t吨})}^{γ} - \frac{k个 γ}{(n个 - 2)!} {一个}^{1 + 1 / γ} (t吨) \frac{{t吨}^{n个 - 2}}{{第页}^{1 / γ} (t吨)} \\ \leq - k个 q个 (t吨) {(\frac{τ (t吨)}{t吨})}^{γ} - \frac{k个 γ}{(n个 - 2)!} 一个 (t吨) {一个}_{米}^{1 / γ} (t吨) \frac{{t吨}^{n个 - 2}}{{第页}^{1 / γ} (t吨)}, \end{aligned}

最后，让我们说 $t吨 \geq {t吨}_{1}$ 因此，

\begin{matrix} {[一个 (t吨) 经验 (\frac{k个 γ}{(n个 - 2)!} \int_{{t吨}_{1}}^{t吨} {一个}_{米}^{1 / γ} (秒) \frac{秒^{n个 - 2}}{{第页}^{1 / γ} (秒)} d日 秒)]}^{'} \\ \leq - k个 q个 (t吨) {(\frac{τ (t吨)}{t吨})}^{γ} 经验 (\frac{k个 γ}{(n个 - 2)!} \int_{{t吨}_{1}}^{t吨} {一个}_{米}^{1 / γ} (秒) \frac{秒^{n个 - 2}}{{第页}^{1 / γ} (秒)} d日 秒) . \end{matrix}

集成自 ${t吨}_{1}$ 到t吨产量

\begin{aligned} 0 & \leq 一个 (t吨) 经验 (\frac{k个 γ}{(n个 - 2)!} \int_{{t吨}_{1}}^{t吨} {一个}_{米}^{1 / γ} (秒) \frac{秒^{n个 - 2}}{{第页}^{1 / γ} (秒)} d日 秒) \\ \leq 一个 ({t吨}_{1}) - k个 \int_{{t吨}_{1}}^{t吨} q个 (u个) {(\frac{τ (u个)}{u个})}^{γ} 经验 (\frac{k个 γ}{(n个 - 2)!} \int_{{t吨}_{1}}^{u个} {一个}_{米}^{1 / γ} (秒) \frac{秒^{n个 - 2}}{{第页}^{1 / γ} (秒)} d日 秒) d日 u个 . \end{aligned}

出租 $t吨 \to \infty$ ，我们得到了一个矛盾。证据是完整的。 □

定理3

假设(2.8)持有并且存在一些 $k个 \in (0, 1)$ 和 ${一个}_{米} (t吨)$ 这样的话

k个 \underset{t吨 \to \infty}{林啜饮} \frac{{t吨}^{(n个 - 1) γ}}{第页 (t吨)} {一个}_{米} (t吨) > {((n个 - 1)!)}^{γ} .

(2.18)

那么每个非振荡解 $x个 (t吨)$ 属于(1.1)满足 $林_{t吨 \to \infty} x个 (t吨) = 0$ .

证明

假设 $x个 (t吨)$ 是最终的积极解决方案(1.1)令人满意的(2.5)。从引理A可以得出

x个 (t吨) \geq \frac{{k个}^{1 / γ}}{(n个 - 1)!} {t吨}^{n个 - 1} {x个}^{(n个 - 1)} (t吨),

最终，在哪里 $k个 \in (0, 1)$ 与中的相同 ${一个}_{米} (t吨)$ .然后

\frac{1}{w个 (t吨)} = \frac{1}{第页 (t吨)} {(\frac{x个 (t吨)}{{x个}^{(n个 - 1)} (t吨)})}^{γ} \geq \frac{1}{第页 (t吨)} \frac{k个}{{((n个 - 1)!)}^{γ}} {t吨}^{(n个 - 1) γ},

或同等标准，

{((n个 - 1)!)}^{γ} \geq k个 \frac{{t吨}^{(n个 - 1) γ}}{第页 (t吨)} w个 (t吨) \geq k个 \frac{{t吨}^{(n个 - 1) γ}}{第页 (t吨)} {一个}_{米} (t吨),

这与之相矛盾(2.18). □

出租 $米 = 0$ 在定理3中，我们得到了以下结果。

推论1

假设(2.8)持有和

\underset{t吨 \to \infty}{林啜饮} \frac{{t吨}^{(n个 - 1) γ}}{第页 (t吨)} \int_{t吨}^{\infty} q个 (秒) {(\frac{τ (秒)}{秒})}^{γ} d日 秒 > {((n个 - 1)!)}^{γ} .

(2.19)

那么每个非振荡解 $x个 (t吨)$ 属于(1.1)满足 $林_{t吨 \to \infty} x个 (t吨) = 0$ .

证明

它源自(2.19)存在一些 $k个 \in (0, 1)$ 这样的话

{k个}^{2} \underset{t吨 \to \infty}{林啜饮} \frac{{t吨}^{(n个 - 1) γ}}{第页 (t吨)} \int_{t吨}^{\infty} q个 (秒) {(\frac{τ (秒)}{秒})}^{γ} d日 秒 > {((n个 - 1)!)}^{γ},

相当于

k个 \underset{t吨 \to \infty}{林啜饮} \frac{{t吨}^{(n个 - 1) γ}}{第页 (t吨)} {一个}_{0} (t吨) > {((n个 - 1)!)}^{三} .

这个断言现在遵循定理3。 □

示例2

考虑三阶非线性微分方程

{({t吨}^{2} {({x个}^{(n个 - 1)} (t吨))}^{三})}^{'} + \frac{β}{{t吨}^{三 n个 - 4}} {x个}^{三} (λ t吨) = 0, β > 0, λ \geq 1, t吨 \geq 1 .

(2.20)

一个简单的计算得出

问 (t吨) = \frac{λ^{三} β}{(三 n个 - 5) {t吨}^{三 n个 - 5}}, P（P） (t吨) = {(\frac{β}{三 n个 - 5})}^{1 / 三} \frac{1}{{t吨}^{n个 - 1}} .

然后(2.8)持有和(2.19)减少到

β λ^{三} > (三 n个 - 5) {((n个 - 1)!)}^{三},

因此，根据推论1，每个非振荡解 $x个 (t吨)$ 第页，共页(2.20)趋向于零 $t吨 \to \infty$ .

我们的结果基于引理1，即，我们基本上利用了估算值(2.2)。很容易看出这一点 $x个 (t吨) = {t吨}^{1 / 2}$ 和 $τ (t吨) = 2 t吨$ ，估计(2.2)不成立，也就是说

x个 (t吨) > 0, {x个}^{'} (t吨) > 0, {x个}^{″} (t吨) < 0,

(2.21)

关系(2.2)失败，因此我们的结果无法应用于n个甚至。因此，如何获得相应的结果仍然是一个悬而未决的问题n个甚至。

工具书类

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作者信息

作者和附属机构

斯洛伐克科希策理工大学电气工程与信息学院数学系，科希策，Letná9，042 00
Blanka Baculíková和Jozef Džurina

作者

布兰卡·巴库利科娃
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Jozef Díurina小便器
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与的通信Jozef Díurina小便器.

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关于本文

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Baculíková，B.，Díurina，J.关于奇阶高级微分方程的振动性。边界值问题 2014, 214 (2014). https://doi.org/10.1186/s13661-014-0214-3

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收到:2014年1月18日
认可的:2014年9月5日
出版:2014年9月26日
内政部:https://doi.org/10.1186/s13661-014-0214-3

奇阶高级微分方程的振动性

摘要

1简介

备注1

2主要成果

引理A

引理1

证明

引理2

证明

定理1

证明

示例1

定理2

证明

定理3

证明

推论1

证明

示例2

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