Periodic solutions for a kind of neutral functional differential systems

He, Zhi Min; Du, Bo

doi:10.1186/s13661-014-0151-1

研究
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出版：2014年9月23日

一类中立型泛函微分系统的周期解

何志敏¹&
波都²

边值问题 体积 2014，物品编号：151(2014)引用这篇文章

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2引文
韵律学细节

摘要

本文分析了线性差分算子的一些性质 $A类 : {C类}_{T型} \to {C类}_{T型}$ , $[A类 x个] (t吨) = x个 (t吨) - V（V） (t吨) x个 (t吨 - τ)$ 然后，利用Mawhin的重合度理论，研究了一类具有非恒定矩阵的中立型微分系统。得到了周期性存在的一些新结果。值得注意的是 $V（V） (t吨)$ 不再是一个常量矩阵，这与以往的相应工作不同。

1引言

中性函数方程（简称NFDEs）领域在实践中取得了重大突破；它不再只是一个专家的领域。在许多实际系统中，系统模型由NFDE描述，其中模型依赖于状态和状态导数的延迟。中性系统的实例包括人口生态学、热交换、力学和经济学；参见[1]–[4]. 特别是，许多作者对非功能性DEs溶液的周期性和稳定性等定性分析进行了广泛的研究。我们参考[5]–[12]最近关于中立型方程的周期性和稳定性的一些工作。

在过去的几年里，具有时滞的各类中立型系统的稳定性越来越受到许多作者的关注。对于中立型时滞系统，人们提出了许多充分条件来保证其渐近稳定性。我们只提到一些作者的作品[13]–[15]. 众所周知，中立型方程和中立型系统周期解的存在性是一个非常基本和重要的问题，它起着类似于稳定性的作用。因此，寻求产生的周期中立系统具有周期解的条件是合理的。在这方面取得了很大进展，许多标准是基于不同的方法制定的。然而，目前还没有文献研究具有非常数矩阵的中立型系统周期解的存在性。此外，据我们所知，现有的大多数结果都涉及标量NFED或具有常数矩阵的中性系统。例如，在文献中[16]–[20]基于Mawhin的延拓定理，研究了几种类型的标量中性方程：

\begin{aligned} \frac{{d日}^{2}}{d日 {t吨}^{2}} (u个 (t吨) - k个 u个 (t吨 - τ)) = （f） (u个 (t吨)) {u个}^{'} (t吨) + α (t吨) 克 (u个 (t吨)) + \sum_{j个 = 1}^{n个} β_{j个} (t吨) 克 (u个 (t吨 - γ_{j个} (t吨))) + 第页 (t吨), \\ \frac{d日 N个}{d日 t吨} = N个 (t吨) [α (t吨) - β (t吨) N个 (t吨) - \sum_{j个 = 1}^{n个} {b条}_{j个} (t吨) N个 (t吨 - σ_{j个} (t吨)) - \sum_{我 = 1}^{米} {c（c）}_{我} (t吨) {N个}^{'} (t吨 - τ_{我} (t吨))], \\ \frac{d日 N个}{d日 t吨} = N个 (t吨) [第页 (t吨) - \sum_{j个 = 1}^{n个} α_{j个} (t吨) 自然对数 N个 (t吨 - σ_{j个} (t吨)) - \sum_{我 = 1}^{米} {b条}_{我} (t吨) \frac{d日}{d日 t吨} 自然对数 (t吨 - τ_{我} (t吨))], \\ {x个}^{'} (t吨) + α {x个}^{'} (t吨 - τ) = （f） (t吨, x个 (t吨)), \\ {(u个 (t吨) + B类 u个 (t吨 - τ))}^{'} = 克_{1} (t吨, u个 (t吨)) - 克_{2} (t吨, u个 (t吨 - τ_{1})) + 第页 (t吨) . \end{aligned}

对于中性系统，我们注意到Lu和Ge[21]研究了以下系统：

\frac{{d日}^{2}}{d日 {t吨}^{2}} (x个 (t吨) - C类 x个 (t吨 - \tilde{τ})) + \frac{d日}{d日 t吨} 毕业生 F类 (x个 (t吨)) + 毕业生 克 (x个 (t吨 - τ (t吨))) = 第页 (t吨) .

但是C类是一个常对称矩阵。本文的目的是研究具有非常形式矩阵的非线性中立型系统周期解的存在性

\frac{{d日}^{2}}{d日 {t吨}^{2}} (x个 (t吨) - C类 (t吨) x个 (t吨 - τ)) + \frac{d日}{d日 t吨} 毕业生 F类 (x个 (t吨)) + 毕业生 克 (x个 (t吨 - γ (t吨))) = 第页 (t吨),

(1.1)

哪里 $x个 \in 对^{n个}$ , $C类 (t吨) = 诊断 ({c（c）}_{1} (t吨), {c（c）}_{2} (t吨), \dots, {c（c）}_{n个} (t吨))$ , $C类 (t吨 + T型) = C类 (t吨)$ ; $F类 (x个) \in {C类}^{2} (对^{n个}, 对)$ , $克 (x个) \in {C类}^{1} (对^{n个}, 对)$ ; $第页 \in (对, 对^{n个})$ , $第页 (t吨 + T型) = 第页 (t吨)$ ; $γ \in C类 (对, 对)$ , $γ (t吨 + T型) = γ (t吨)$ ;T型，以及τ是给定的常数 $T型 > 0$ .

在本文中，我们使用了一些符号：

(1)
$我_{n个} = {1, 2, \dots, n个}$ ; $\forall 一 = {(一_{1}, 一_{2}, \dots, 一_{n个})}^{T型} \in 对^{n个}$ , $| 一 | = {(\sum_{我 = 1}^{n个} {| 一_{我} |}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ ;
(2)
${C类}_{T型} = {x个 : x个 \in C类 (对, 对^{n个}), x个 (t吨 + T型) = x个 (t吨), \forall t吨 \in 对}$ 符合规范
${| φ |}_{0} = \underset{t吨 \in [0, T型]}{最大值} | φ (t吨) |, \forall φ \in {C类}_{T型};$

(3)
${C类}_{T型}^{1} = {x个 : x个 \in {C类}^{1} (对, 对^{n个}), x个 (t吨 + T型) = x个 (t吨), \forall t吨 \in 对}$ 符合规范
$∥ φ ∥ = \underset{t吨 \in [0, T型]}{最大值} {{| φ |}_{0}, {| φ^{'} |}_{0}}, \forall φ \in {C类}_{T型}^{1} .$

显然， ${C类}_{T型}$ 和 ${C类}_{T型}^{1}$ 是Banach空间。

2主要引理

引理2.1

[22]

如果 $| c（c） (t吨) | \neq 1$ ,然后操作员 ${A类}_{1}$ 具有连续逆 ${A类}_{1}^{- 1}$ 在 ${C类}_{T型}$ ,令人满意的

\begin{aligned} (1) [{A类}_{1}^{- 1} （f）] (t吨) = {\begin{matrix} （f） (t吨) + \sum_{j个 = 1}^{\infty} \prod_{我 = 1}^{j个} c（c） (t吨 - (我 - 1) τ) （f） (t吨 - j个 τ), & {c（c）}_{0} < 1, \forall （f） \in {C类}_{T型}, \\ - \frac{（f） (t吨 + τ)}{c（c） (t吨 + τ)} - \sum_{j个 = 1}^{\infty} \prod_{我 = 1}^{j个 + 1} \frac{1}{c（c） (t吨 + 我 τ)} （f） (t吨 + j个 τ + τ), & σ > 1, \forall （f） \in {C类}_{T型}, \end{matrix} \\ (2) \int_{0}^{T型} | [{A类}_{1}^{- 1} （f）] (t吨) | d日 t吨 \leq {\begin{matrix} \frac{1}{1 - {c（c）}_{0}} \int_{0}^{T型} | （f） (t吨) | d日 t吨, & {c（c）}_{0} < 1, \forall （f） \in {C类}_{T型}, \\ \frac{1}{σ - 1} \int_{0}^{T型} | （f） (t吨) | d日 t吨, & σ > 1, \forall （f） \in {C类}_{T型}, \end{matrix} \\ (三) {∥ {A类}_{1}^{- 1} （f） ∥}_{0} \leq {\begin{matrix} \frac{{| （f） |}_{0}}{1 - {c（c）}_{0}}, & {c（c）}_{0} < 1, \forall （f） \in {C类}_{T型}, \\ \frac{{| （f） |}_{0}}{σ - 1}, & σ > 1, \forall （f） \in {C类}_{T型} . \end{matrix} \end{aligned}

在这里

{c（c）}_{0} = \underset{t吨 \in [0, T型]}{最大值} | c（c） (t吨) |, σ = \underset{t吨 \in [0, T型]}{最小值} | c（c） (t吨) | .

让

A类 : {C类}_{T型} ⟶ {C类}_{T型}, [A类] (t吨) = x个 (t吨) - V（V） (t吨) x个 (t吨 - τ),

哪里 $\forall t吨 \in 对$ , $V（V） (t吨) \in {C类}_{T型}^{1}$ 是实对称矩阵.

我们将给出 $A类$ .

引理2.2

假设 $λ_{1} (t吨), λ_{2} (t吨), \dots, λ_{n个} (t吨)$ 是的特征值 $V（V） (t吨)$ .然后是操作员 $A类$ 具有连续逆 ${A类}^{- 1}$ 在 ${C类}_{T型}$ ,令人满意的

\begin{aligned} (1) \int_{0}^{T型} | [{A类}^{- 1} （f）] (t吨) | d日 t吨 \leq {\begin{matrix} {(\sum_{我 = 1}^{n个} \frac{1}{{(1 - λ_{我, L（左）})}^{2}})}^{\frac{1}{2}} \int_{0}^{T型} | （f） (t吨) | d日 t吨, & λ_{我, L（左）} < 1, \forall （f） \in {C类}_{T型}, \\ {(\sum_{我 = 1}^{n个} \frac{1}{{(1 - λ_{我, 我})}^{2}})}^{\frac{1}{2}} \int_{0}^{T型} | （f） (t吨) | d日 t吨, & λ_{我, 我} > 1, \forall （f） \in {C类}_{T型}, \end{matrix} \\ (2) {| [{A类}^{- 1} （f）] |}_{0} \leq {\begin{matrix} {(\sum_{我 = 1}^{n个} \frac{1}{{(1 - λ_{我, L（左）})}^{2}})}^{\frac{1}{2}} {| （f） |}_{0}, & λ_{我, L（左）} < 1, \forall （f） \in {C类}_{T型}, \\ {(\sum_{我 = 1}^{n个} \frac{1}{{(1 - λ_{我, 我})}^{2}})}^{\frac{1}{2}} {| （f） |}_{0}, & λ_{我, 我} > 1, \forall （f） \in {C类}_{T型}, \end{matrix} \end{aligned}

哪里

λ_{我, L（左）} = \underset{t吨 \in [0, T型]}{最大值} | λ_{我} (t吨) |, λ_{我, 我} = \underset{t吨 \in [0, T型]}{最小值} | λ_{我} (t吨) |, 我 \in 我_{n个} .

证明

(1)
自 $V（V） (t吨)$ 是实对称矩阵，存在正交矩阵 $U型 (t吨)$ 这样的话
$U型 (t吨) V（V） (t吨) {U型}^{T型} (t吨) = {E类}_{λ} (t吨) = 诊断 (λ_{1} (t吨), λ_{2} (t吨), \dots, λ_{n个} (t吨)) .$

考虑一下这个系统

x个 (t吨) - V（V） (t吨) x个 (t吨 - τ) = （f） (t吨),

其中我们与

年 (t吨) - {E类}_{λ} (t吨) 年 (t吨 - τ) = \tilde{（f）} (t吨),

(2.1)

哪里 $\tilde{（f）} (t吨) = U型 (t吨) （f） (t吨)$ , $年 (t吨) = U型 (t吨) x个 (t吨)$ 另一方面，系统（2.1）中向量的分量为

年_{我} (t吨) - λ_{我} (t吨) 年_{我} (t吨 - τ) = {\tilde{（f）}}_{我} (t吨), 我 \in 我_{n个} .

根据引理2.1，我们有

年_{我} (t吨) = {\begin{matrix} {\tilde{（f）}}_{我} (t吨) + \sum_{j个 = 1}^{\infty} \prod_{k个 = 1}^{j个} λ_{我} (t吨 - (k个 - 1) τ) {\tilde{（f）}}_{我} (t吨 - j个 τ), & λ_{我, L（左）} < 1, \\ - \frac{{\tilde{（f）}}_{我} (t吨 + τ)}{λ_{我} (t吨 + τ)} - \sum_{j个 = 1}^{\infty} \prod_{k个 = 1}^{j个 + 1} \frac{1}{λ_{我} (t吨 + k个 τ)} {\tilde{（f）}}_{我} (t吨 + j个 τ + τ), & λ_{我, 我} > 1 . \end{matrix}

(2.2)

因此， ${A类}^{- 1}$ 存在并且

{A类}^{- 1} : {C类}_{T型} \to {C类}_{T型}, {A类}^{- 1} （f） (t吨) = x个 (t吨) = {U型}^{T型} (t吨) 年 (t吨), t吨 \in [0, T型] .

(2.3)

什么时候？ $λ_{我, L（左）} < 1$ ，通过（2.2）我们得到

| 年_{我} (t吨) | \leq \frac{{最大值}_{t吨 \in [0, T型]} | {\tilde{（f）}}_{我} (t吨) |}{1 - λ_{我, L（左）}}, 我 \in 我_{我},

即,

\underset{t吨 \in [0, T型]}{最大值} | 年_{我} (t吨) | \leq \frac{{最大值}_{t吨 \in [0, T型]} | {\tilde{（f）}}_{我} (t吨) |}{1 - λ_{我, L（左）}}, 我 \in 我_{我} .

因此，通过（2.3），我们得到

\begin{array}{rcl} {| {A类}^{- 1} （f） |}_{0} & = & \underset{t吨 \in [0, T型]}{最大值} | {U型}^{T型} (t吨) 年 (t吨) | = \underset{t吨 \in [0, T型]}{最大值} | 年 (t吨) | = \underset{t吨 \in [0, T型]}{最大值} {(\sum_{我 = 1}^{n个} 年_{我}^{2} (t吨))}^{\frac{1}{2}} \\ \leq & {(\sum_{我 = 1}^{n个} \underset{t吨 \in [0, T型]}{最大值} 年_{我}^{2} (t吨))}^{\frac{1}{2}} \leq {(\sum_{我 = 1}^{n个} \frac{{最大值}_{t吨 \in [0, T型]} {| {\tilde{（f）}}_{我} (t吨) |}^{2}}{{(1 - λ_{我, L（左）})}^{2}})}^{\frac{1}{2}} \\ \leq & {(\sum_{我 = 1}^{n个} \frac{1}{{(1 - λ_{我, L（左）})}^{2}})}^{\frac{1}{2}} {| \tilde{（f）} |}_{0} = {(\sum_{我 = 1}^{n个} \frac{1}{{(1 - λ_{我, L（左）})}^{2}})}^{\frac{1}{2}} {| U型 （f） |}_{0} \\ = & {(\sum_{我 = 1}^{n个} \frac{1}{{(1 - λ_{我, L（左）})}^{2}})}^{\frac{1}{2}} {| （f） |}_{0} . \end{array}

显然，

\int_{0}^{T型} | {A类}^{- 1} （f） (t吨) | d日 t吨 \leq {(\sum_{我 = 1}^{n个} \frac{1}{{(1 - λ_{我, L（左）})}^{2}})}^{\frac{1}{2}} \int_{0}^{T型} | （f） (t吨) | d日 t吨 .

(2)
与上述证明类似，当 $λ_{我, 我} > 1$ ，我们得到
$\begin{aligned} {| {A类}^{- 1} （f） |}_{0} \leq {(\sum_{我 = 1}^{n个} \frac{1}{{(1 - λ_{我, 我})}^{2}})}^{\frac{1}{2}} {| （f） |}_{0}, \\ \int_{0}^{T型} | {A类}^{- 1} （f） (t吨) | d日 t吨 \leq {(\sum_{我 = 1}^{n个} \frac{1}{{(1 - λ_{我, 我})}^{2}})}^{\frac{1}{2}} \int_{0}^{T型} | （f） (t吨) | d日 t吨 . \end{aligned}$

□

让X（X）和Y（Y）是两个Banach空间，并且设 $L（左） : D类 (L（左）) \subset X（X） \to Y（Y）$ 是一个线性算子，一个索引为零的Fredholm算子（意味着ImL（左）已关闭Y（Y）和 $昏暗的克尔 L（左） = 法典委员会伊姆河 L（左） < + \infty$ ). 如果L（左）是索引为零的Fredholm运算符，则存在连续投影仪 $P（P） : X（X） \to X（X）$ , $问 : Y（Y） \to Y（Y）$ 这样的话 $伊姆河 P（P） = 克尔 L（左）$ , $伊姆河 L（左） = 克尔问 = 伊姆河 (我 - 问)$ ，以及 ${L（左）}_{D类 (L（左）) \cap 克尔 P（P）} : (我 - P（P）) X（X） \to 伊姆河 L（左）$ 是可逆的。表示方式 ${K（K）}_{第页}$ 的倒数 ${L（左）}_{P（P）}$ .

设Ω是X（X），一张地图 $N个 : \bar{Ω} \to Y（Y）$ 称为L紧凑型 $\bar{Ω}$ 如果 $问 N个 (\bar{Ω})$ 有界且运算符 ${K（K）}_{第页} (我 - 问) N个 (\bar{Ω})$ 相对紧凑。我们首先给出著名的Mawhin延拓定理。

引理2.3

[23]

假设 X（X） 和 Y（Y） 是两个巴纳赫空间和 $L（左） : D类 (L（左）) \subset X（X） \to Y（Y）$ 是索引为零的Fredholm运算符.此外, $Ω \subset X（X）$ 是一个开有界集，并且 $N个 : \bar{Ω} \to Y（Y）$ 是L-压缩 $\bar{Ω}$ .如果以下所有条件都成立:

(1)
$L（左） x个 \neq λ N个 x个$ , $\forall x个 \in \partial Ω \cap D类 (L（左）)$ , $\forall λ \in (0, 1)$ ,
(2)
$N个 x个 \notin 伊姆河 L（左）$ , $\forall x个 \in \partial Ω \cap 克尔 L（左）$ ,
(3)
$度 {问 N个, Ω \cap 克尔 L（左）, 0} \neq 0$ ,

然后是方程式 $L（左） x个 = N个 x个$ 有关于的解决方案 $\bar{Ω} \cap D类 (L（左）)$ .

3主要成果

定理3.1

假设 $\int_{0}^{T型} 第页 (t吨) d日 t吨 = 0$ , $φ (t吨)$ 是的非零周期解(3.1)存在一个常数 $M（M） > 0$ 这样的话

（H）₁): $\forall 我 \in 我_{n个}$ , $\frac{\partial 克}{\partial {x个}_{我}}$ 在集合中有界 $△_{1}$ (或 $△_{2}$ ),哪里

\begin{aligned} △_{1} = {x个 : x个 = ({x个}_{1}, {x个}_{2}, \dots, {x个}_{n个}) \in 对^{n个}, {x个}_{我} \in (- \infty, M（M）], {x个}_{j个} \in 对, j个 \in 我_{n个} - {我}}, \\ △_{2} = {x个 : x个 = ({x个}_{1}, {x个}_{2}, \dots, {x个}_{n个}) \in 对^{n个}, {x个}_{我} \in [- M（M）, \infty), {x个}_{j个} \in 对, j个 \in 我_{n个} - {我}} . \end{aligned}

（H）₂): ${x个}_{我} \frac{\partial 克}{\partial {x个}_{我}} > 0$ (或<0),无论何时 $| {x个}_{我} | > M（M）$ , $我 \in 我_{n个}$ .

（H）_三):假设 $μ_{1}, μ_{2}, \dots, μ_{n个}$ 是的特征值 $\frac{\partial^{2} F类 (v（v）)}{\partial {x个}^{2}}$ , $v（v） \in 对^{n个}$ ,存在一个常数 $λ_{F类} \geq 0$ 这样的话

最大值 {| μ_{1} |, | μ_{2} |, \dots, | μ_{n个} |} \leq λ_{F类} .

然后是系统(1.1)至少有一个 T型-周期解,如果 $λ_{0, 我} < \frac{1}{2}$ (或 $σ_{0, 我} > 1$ ), $(λ_{2, 我} T型 n个 + n个 λ_{1, 我} \sqrt{n个}) T型 + λ_{0, 我} < 1$ ,和 $τ = 米 T型$ , $米 \in Z轴$ ,哪里

\begin{aligned} λ_{0, 我} = \underset{t吨 \in [0, T型]}{最大值} {| {c（c）}_{我} (t吨) |, 我 \in 我_{n个}}, λ_{1, 我} = \underset{t吨 \in [0, T型]}{最大值} {| {c（c）}_{我}^{'} (t吨) |, 我 \in 我_{n个}}, \\ λ_{2, 我} = \underset{t吨 \in [0, T型]}{最大值} {| {c（c）}_{我}^{″} (t吨) |, 我 \in 我_{n个}}, σ_{0, 我} = \underset{t吨 \in [0, T型]}{最小值} {| {c（c）}_{我} (t吨) |, 我 \in 我_{n个}} . \end{aligned}

证明

定义

\begin{aligned} A类 : {C类}_{T型} \to {C类}_{T型}, [A类 x个] (t吨) = x个 (t吨) - C类 (t吨) x个 (t吨 - τ), \forall t吨 \in 对, \\ N个 : {C类}_{T型}^{1} \to {C类}_{T型}, (N个 x个) (t吨) = - \frac{d日}{d日 t吨} 毕业生 F类 (x个 (t吨)) - 毕业生 克 (x个 (t吨 - γ (t吨))) + 第页 (t吨), \\ L（左） : D类 (L（左）) \subset {C类}_{T型} \to {C类}_{T型}^{1}, L（左） x个 = {(A类 x个)}^{″}, \end{aligned}

哪里 $D类 (L（左）) = {x个 : x个 \in {C类}_{T型}^{1}, {x个}^{″} \in C类 (对, 对^{n个})}$ 然后系统（1.1）服从算子方程 $L（左） x个 = N个 x个$ .我们有 ${(x个 (t吨) - C类 (t吨) x个 (t吨 - τ))}^{″} = 0$ , $\forall x个 \in 克尔 L（左）$ .然后

x个 (t吨) - C类 (t吨) x个 (t吨 - τ) = {\tilde{c（c）}}_{1} t吨 + {\tilde{c（c）}}_{2},

哪里 ${\tilde{c（c）}}_{1}, {\tilde{c（c）}}_{2} \in 对^{n个}$ .自 $x个 (t吨) - C类 (t吨) x个 (t吨 - τ) \in {C类}_{T型}$ ，我们有 ${\tilde{c（c）}}_{1} = 0$ .让 $φ (t吨) \in C类 (对, 对^{n个})$ 是的非零周期解

x个 (t吨) - C类 (t吨) x个 (t吨 - τ) = 我,

(3.1)

然后 ${| φ (t吨) |}^{2} > 0$ 和 $\int_{0}^{T型} φ^{2} (t吨) d日 t吨 \neq 0$ ，其中我是单位矩阵。我们得到

克尔 L（左） = {一_{0} φ (t吨) : 一_{0} \in 对}, 伊姆河 L（左） = {年 : 年 \in {C类}_{T型}, \int_{0}^{T型} 年 (秒) d日 秒 = 0} .

显然，我L（左）已关闭 ${C类}_{T型}$ 和 $昏暗的克尔 L（左） = 尾标伊姆河 L（左） = n个$ .所以L（左）是索引为零的Fredholm运算符。定义连续投影仪P（P）,问:

P（P） : {C类}_{T型} \to 克尔 L（左）, (P（P） x个) (t吨) = \frac{\int_{0}^{T型} x个 (t吨) φ (t吨) d日 t吨}{\int_{0}^{T型} φ^{2} d日 t吨} φ (t吨)

和

问 : {C类}_{T型} \to {C类}_{T型} / 伊姆河 L（左）, 问 年 = \frac{1}{T型} \int_{0}^{T型} 年 (秒) d日 秒 .

让

{L（左）}_{P（P）} = L（左） |_{D类 (L（左）) \cap 克尔 P（P）} : D类 (L（左）) \cap 克尔 P（P） \to 伊姆河 L（左）,

然后

{L（左）}_{P（P）}^{- 1} = {K（K）}_{P（P）} : 伊姆河 L（左） \to D类 (L（左）) \cap 克尔 P（P） .

自 $伊姆河 L（左） \subset {C类}_{T型}$ 和 $D类 (L（左）) \cap 克尔 P（P） \subset {C类}_{T型}^{1}$ , ${K（K）}_{P（P）}$ 是嵌入运算符。因此 ${K（K）}_{P（P）}$ 在Im中是一个完全连续的操作符L（左）。根据问和N个，大家都知道 $问 N个 (\bar{Ω})$ 限定于 $\bar{Ω}$ 因此，非线性算子N个L-compact是否打开 $\bar{Ω}$ 。我们通过三个步骤完成证明。

第1步.让 $Ω_{1} = {x个 \in D类 (L（左）) \subset {C类}_{T型}^{1} : L（左） x个 = λ N个 x个, λ \in (0, 1)}$ 。我们证明了这一点 $Ω_{1}$ 是有界集。我们有 $L（左） x个 = λ N个 x个$ $\forall x个 \in Ω_{1}$ ,即,

\frac{{d日}^{2}}{d日 {t吨}^{2}} (x个 (t吨) - C类 (t吨) x个 (t吨 - τ)) + λ \frac{d日}{d日 t吨} 毕业生 F类 (x个 (t吨)) + λ 毕业生 克 (x个 (t吨 - γ (t吨))) = λ 第页 (t吨) .

(3.2)

将（3.2）的两侧整合到 $[0, T型]$ ，我们有

\int_{0}^{T型} 毕业生 克 (x个 (t吨 - γ (t吨))) d日 t吨 = 0,

即, $\forall 我 \in 我_{n个}$ ,

\int_{0}^{T型} \frac{\partial 克 (x个 (t吨 - γ (t吨)))}{\partial {x个}_{我}} d日 t吨 = 0 .

(3.3)

让 $\frac{\partial 克}{\partial {x个}_{我}}$ 被限定在 $△_{1}$ 和

{x个}_{我} \frac{\partial 克}{\partial {x个}_{我}} > 0, 无论何时 | {x个}_{我} | > M（M） .

(3.4)

让

{E类}_{1} = {t吨 : t吨 \in [0, T型], x个 (t吨 - γ (t吨)) \leq M（M）}, {E类}_{2} = {t吨 : t吨 \in [0, T型], x个 (t吨 - γ (t吨)) > M（M）} .

假设（H₁)，如果 ${x个}_{我} \leq M（M）$ ，存在一个常量 ${M（M）}_{1} > 0$ 这样的话 $| \frac{\partial 克}{\partial {x个}_{我}} | \leq {M（M）}_{1}$ 从（3.3）和（3.4）中，我们得到

\int_{{E类}_{2}} | \frac{\partial 克 (x个 (t吨 - γ (t吨)))}{\partial {x个}_{我}} | d日 t吨 = \int_{{E类}_{2}} \frac{\partial 克 (x个 (t吨 - γ (t吨)))}{\partial {x个}_{我}} d日 t吨 \leq \int_{{E类}_{1}} | \frac{\partial 克 (x个 (t吨 - γ (t吨)))}{\partial {x个}_{我}} | d日 t吨 \leq {M（M）}_{1} T型 .

因此

\int_{0}^{T型} | \frac{\partial 克 (x个 (t吨 - γ (t吨)))}{\partial {x个}_{我}} | d日 t吨 = \int_{{E类}_{1}} | \frac{\partial 克 (x个 (t吨 - γ (t吨)))}{\partial {x个}_{我}} | d日 t吨 + \int_{{E类}_{2}} | \frac{\partial 克 (x个 (t吨 - γ (t吨)))}{\partial {x个}_{我}} | d日 t吨 \leq 2 {M（M）}_{1} T型,

即,

\begin{aligned} \int_{0}^{T型} | 毕业生 克 (x个 (t吨 - γ (t吨))) | d日 t吨 & = \int_{0}^{T型} {[\sum_{我 = 1}^{n个} {(\frac{\partial 克 (x个 (t吨 - γ (t吨)))}{\partial {x个}_{我}})}^{2}]}^{\frac{1}{2}} d日 t吨 \\ \leq \int_{0}^{T型} [\sum_{我 = 1}^{n个} | \frac{\partial 克 (x个 (t吨 - γ (t吨)))}{\partial {x个}_{我}} |] d日 t吨 \\ \leq 2 n个 {M（M）}_{1} T型 . \end{aligned}

(3.5)

我们声称存在一个点 ${t吨}_{1} \in 对$ 这样的话

| {x个}_{我} ({t吨}_{1}) | \leq M（M） .

(3.6)

事实上，对于 $\forall t吨 \in [0, T型]$ ，我们有 ${x个}_{我} (t吨 - γ (t吨)) > M（M）$ 到（3.4），我们已经 $\int_{0}^{T型} \frac{\partial 克 (x个 (t吨 - γ (t吨)))}{\partial {x个}_{我}} d日 t吨 > 0$ 这是一个矛盾；见（3.3）。所以一定有一点 $ξ \in [0, T型]$ 这样的话

{x个}_{我} (ξ - λ (ξ)) \leq M（M） .

(3.7)

与上述证明类似，必须有一点 $η \in [0, T型]$ 这样的话

{x个}_{我} (η - γ (η)) \geq - M（M） .

(3.8)

(1)
如果 ${x个}_{我} (ξ - γ (ξ)) \geq - M（M）$ ，截至（3.7），我们已经
$| {x个}_{我} (ξ - λ (ξ)) | \leq M（M） .$

让 ${t吨}_{1} = ξ - γ (ξ)$ 这证明了（3.6）。

(2)
如果 ${x个}_{我} (ξ - γ (ξ)) < - M（M）$ （3.8）和事实 ${x个}_{我} (t吨)$ 持续打开ℝ，有一点 ${t吨}_{1}$ 之间 $ξ - γ (ξ)$ 和 $η - γ (η)$ 这样的话 $| {x个}_{我} ({t吨}_{1}) | \leq M（M）$ 这也证明了（3.6）。让 ${t吨}_{1} = k个 π + {t吨}_{2}$ , $k个 \in Z轴$ , ${t吨}_{2} \in [0, T型]$ .然后 $| {x个}_{我} ({t吨}_{1}) | = | {x个}_{我} ({t吨}_{2}) | \leq M（M）$ 。因此我们得到
$\begin{aligned} | {x个}_{我} (t吨) | = \underset{t吨 \in [0, T型]}{最大值} | {x个}_{我} ({t吨}_{2}) + \int_{{t吨}_{2}}^{t吨} {x个}_{我}^{'} (秒) d日秒 | \leq | {x个}_{我} ({t吨}_{2}) | + \int_{0}^{T型} | {x个}_{我}^{'} (秒) | d日秒 \leq M（M） + \int_{0}^{T型} | {x个}^{'} (秒) | d日秒, \\ {| x个 |}_{0} \leq \sqrt{n个} (M（M） + \int_{0}^{T型} | {x个}^{'} (秒) | d日秒) \leq \sqrt{n个} (M（M） + {T型}^{\frac{1}{2}} {(\int_{0}^{T型} {| {x个}^{'} (秒) |}^{2} d日秒)}^{\frac{1}{2}}) . \end{aligned}$

将系统（3.2）的两侧乘以 ${x个}^{T型} (t吨)$ 并将它们整合在一起 $[0, T型]$ ，与结合 $τ = 米 T型$ ，截至（3.9），我们已经

\begin{aligned} - \int_{0}^{T型} {| {x个}^{'} (t吨) |}^{2} d日 t吨 + λ_{2, 我} \int_{0}^{T型} {| x个 (t吨) |}^{2} d日 t吨 + n个 λ_{1, 我} {| x个 |}_{0} \int_{0}^{T型} | {x个}^{'} (t吨) | d日 t吨 + λ_{0, 我} \int_{0}^{T型} {| {x个}^{'} (t吨) |}^{2} d日 t吨 \\ + λ \int_{0}^{T型} {x个}^{T型} (t吨) 毕业生 克 (x个 (t吨 - γ (t吨)) d日 t吨 - λ \int_{0}^{T型} {x个}^{T型} (t吨) 第页 (t吨) d日 t吨 \geq 0, \end{aligned}

即,

\begin{array}{rcl} (1 - λ_{0, 我}) \int_{0}^{T型} {| {x个}^{'} (t吨) |}^{2} d日 t吨 & \leq & λ_{2, 我} T型 n个 {(M（M） + \int_{0}^{T型} | {x个}^{'} (t吨) | d日 t吨)}^{2} \\ + n个 λ_{1, 我} \sqrt{n个} (M（M） + \int_{0}^{T型} | {x个}^{'} (t吨) | d日 t吨) \int_{0}^{T型} | {x个}^{'} (t吨) | d日 t吨 \\ + ({| 第页 |}_{0} + 2 n个 {M（M）}_{1}) T型 (M（M） + \int_{0}^{T型} | {x个}^{'} (t吨) | d日 t吨) \\ = & (λ_{2, 我} T型 n个 + n个 λ_{1, 我} \sqrt{n个}) {(\int_{0}^{T型} | {x个}^{'} (t吨) | d日 t吨)}^{2} \\ + (2 λ_{2, 我} T型 n个 M（M） + n个 λ_{1, 我} \sqrt{n个} M（M） + {| 第页 |}_{0} T型 + 2 n个 {M（M）}_{1} T型) \int_{0}^{T型} | {x个}^{'} (t吨) | d日 t吨 \\ + λ_{2, 我} T型 n个 {M（M）}^{2} + ({| 第页 |}_{0} + 2 n个 {M（M）}_{1}) T型 M（M） \\ \leq & (2 λ_{2, 我} T型 n个 + n个 λ_{1, 我} \sqrt{n个}) T型 \int_{0}^{T型} {| {x个}^{'} (t吨) |}^{2} d日 t吨 \\ + (2 λ_{2, 我} T型 n个 M（M） + n个 λ_{1, 我} \sqrt{n个} M（M） + {| 第页 |}_{0} T型 + 2 n个 {M（M）}_{1} T型) {T型}^{\frac{1}{2}} \\ \times {(\int_{0}^{T型} {| {x个}^{'} (t吨) |}^{2} d日 t吨)}^{\frac{1}{2}} + λ_{2, 我} T型 n个 {M（M）}^{2} + ({| 第页 |}_{0} + 2 n个 {M（M）}_{1}) T型 M（M） . \end{array}

(3.9)

从（3.9）和 $(λ_{2, 我} T型 n个 + n个 λ_{1, 我} \sqrt{n个}) T型 + λ_{0, 我} < 1$ ，有一个常数 ${M（M）}_{2} > 0$ 这样的话

\int_{0}^{T型} {| {x个}^{'} (t吨) |}^{2} d日 t吨 \leq {M（M）}_{2} .

(3.10)

考虑到（3.9）和（3.10），我们得到

{| x个 |}_{0} \leq \sqrt{n个} (M（M） + {T型}^{\frac{1}{2}} {M（M）}_{2}^{\frac{1}{2}}) : = {M（M）}_{三} .

(3.11)

从引理2.2， ${(A类 x个 (t吨))}^{″} = A类 {x个}^{″} (t吨) - 2 {C类}^{'} (t吨) {x个}^{'} (t吨 - τ) - {C类}^{″} (t吨) x个 (t吨 - τ)$ 和（3.2），如果 $λ_{0, 我} < \frac{1}{2}$ ，我们有

\begin{aligned} {x个}^{″} (t吨) + {A类}^{- 1} [λ \frac{d日}{d日 t吨} 毕业生 F类 (x个 (t吨)) + λ 毕业生 克 (x个 (t吨 - γ (t吨)))] \\ = {A类}^{- 1} [2 {C类}^{'} (t吨) {x个}^{'} (t吨 - τ) + {C类}^{″} (t吨) x个 (t吨 - τ) + {A类}^{- 1} (λ 第页 (t吨))], \\ \int_{0}^{T型} | {x个}^{″} (t吨) | d日 t吨 \leq {(\sum_{我 = 1}^{n个} \frac{1}{{(1 - λ_{0, 我})}^{2}})}^{\frac{1}{2}} \\ \times (\int_{0}^{T型} | \frac{\partial^{2} F类 (x个 (t吨)}{\partial {x个}^{2}} | | {x个}^{'} (t吨) | d日 t吨 + \int_{0}^{T型} | 毕业生 克 (x个 (t吨 - γ (t吨))) | d日 t吨 \\ + 2 T型 λ_{1, 我} \int_{0}^{T型} | {x个}^{'} (t吨) | d日 t吨 + T型 λ_{2, 我} {| x个 |}_{0} + T型 {| 第页 |}_{0}) . \end{aligned}

(3.12)

根据假设（H_三)和（3.10）-（3.12），我们得到

\begin{aligned} \int_{0}^{T型} | {x个}^{″} (t吨) | d日 t吨 \\ \leq {(\sum_{我 = 1}^{n个} \frac{1}{{(1 - λ_{0, 我})}^{2}})}^{\frac{1}{2}} (λ_{F类} {T型}^{\frac{1}{2}} {M（M）}_{2}^{\frac{1}{2}} + 2 n个 {M（M）}_{1} T型 + 2 T型 λ_{1, 我} {T型}^{\frac{1}{2}} {M（M）}_{2}^{\frac{1}{2}} + T型 λ_{2, 我} {M（M）}_{三} + T型 {| 第页 |}_{0}) . \end{aligned}

所以存在一个常数 ${M（M）}_{4} > 0$ 这样的话

\int_{0}^{T型} | {x个}^{″} (t吨) | d日 t吨 \leq {M（M）}_{4} .

(3.13)

自 $x个 (t吨) \in {C类}_{T型}^{1}$ , $\int_{0}^{T型} {x个}^{'} (t吨) d日 t吨 = 0$ ，有一个常量向量 $α \in 对^{n个}$ 这样的话 ${x个}^{'} (α) = 0$ ; 然后通过（3.13）我们得到

| {x个}^{'} (t吨) | \leq \int_{0}^{T型} | {x个}^{″} (t吨) | d日 t吨 \leq {M（M）}_{4} .

因此

{| {x个}^{'} |}_{0} \leq {M（M）}_{4} .

步骤2.让 $Ω {x个 \in 克尔 L（左） : 问 N个 x个 = 0}$ ，我们将证明 $Ω_{2}$ 是一个有界集合。我们有 $x个 (t吨) = 一_{0} φ (t吨)$ , $一_{0} \in 对$ $\forall x个 \in Ω_{2}$ ; 然后

\int_{0}^{T型} 毕业生 克 (一_{0} φ (t吨 - γ (t吨))) d日 t吨 = \int_{0}^{T型} 毕业生 克 (一_{0} φ (t吨)) d日 t吨 = 0 .

(3.14)

什么时候？ $λ_{0, 我} < \frac{1}{2}$ , $我 \in 我_{n个}$ ，我们有

\begin{array}{rcl} φ_{我} (t吨) & = & {A类}^{- 1} (1) = 1 + \sum_{j个 = 1}^{\infty} \prod_{k个 = 1}^{j个} {c（c）}_{我} (t吨 - (k个 - 1) τ) \\ \geq & 1 - \sum_{j个 = 1}^{\infty} \prod_{k个 = 1}^{j个} λ_{0, 我} = 1 - \frac{λ_{0, 我}}{1 - λ_{0, 我}} \\ = & \frac{1 - 2 λ_{0, 我}}{1 - λ_{0, 我}} : = δ > 0 . \end{array}

那么我们有

| φ (t吨) | \geq \sqrt{n个} δ .

因此

一_{0} \leq \frac{M（M）}{\sqrt{n个} δ} .

否则，如果， $\forall t吨 \in [0, T型]$ , $| 一_{0} φ (t吨) | > M（M）$ ，然后根据假设（H₂)，我们有

\frac{\partial 克 (一_{0} φ (t吨))}{\partial {x个}_{我}} > 0 (或 < 0), 我 \in 我_{n个},

这是一个矛盾；见（3.14）。什么时候？ $σ_{0, 我} > 1$ , $我 \in 我_{n个}$ ，我们有

\begin{array}{rcl} φ_{我} (t吨) & = & {A类}^{- 1} (1) = - \frac{1}{{c（c）}_{我} (t吨 + τ)} - \sum_{j个 = 1}^{\infty} \prod_{k个 = 1}^{j个} \frac{1}{{c（c）}_{我} (t吨 + k个 τ)} \\ \leq & - \frac{1}{λ_{我, 我}} - \sum_{j个 = 1}^{\infty} \prod_{k个 = 1}^{j个 + 1} \frac{1}{λ_{0, 我}} \\ = & - \frac{1}{λ_{我, 我} - 1} : = γ < 0 . \end{array}

那么我们有

| φ (t吨) | \geq \sqrt{n个} | γ | .

因此

一_{0} \leq \frac{M（M）}{\sqrt{n个} | γ |} .

否则，如果 $\forall t吨 \in [0, T型]$ , $| 一_{0} φ (t吨) | > M（M）$ ，然后根据假设（H₂)，我们有

\frac{\partial 克 (一_{0} φ (t吨))}{\partial {x个}_{我}} > 0 (或 < 0), 我 \in 我_{n个},

这是一个矛盾；见（3.14）。因此 $Ω_{2}$ 是有界集。

步骤3.让 $Ω = {x个 \in {C类}_{T型}^{1} : {| x个 |}_{0} < n个 {M（M）}_{2} + 1, {| {x个}^{'} |}_{0} < n个 {M（M）}_{4} + 1}$ ，然后 $Ω_{1} \cup Ω_{2} \subset Ω$ , $\forall (x个, λ) \in \partial Ω \times (0, 1)$ ，根据上述证明， $L（左） x个 \neq λ N个 x个$ 感到满意。显然，引理2.3的条件（2）也满足。现在我们证明引理2.3的条件（3）是满足的。我们有 $| {x个}^{0} | = {| 一_{0} φ |}_{0}$ , $一_{0} \in 对$ , $\forall {x个}^{0} \in \partial Ω \cap 克尔 L（左）$ 。至少存在一个 $我 \in 我_{n个}$ 这样的话 $| {x个}_{我}^{0} | > M（M）$ .何时 ${x个}_{我}^{0} > M（M）$ ，取同伦

H（H） (x个, μ) = μ x个 + (1 - μ) 问 N个 x个, x个 \in \bar{Ω} \cap 克尔 L（左）, μ \in [0, 1] .

然后，通过使用假设（H₂)，我们有 $H（H） (x个, μ) \neq 0$ .何时 ${x个}_{我}^{0} < - M（M）$ ，取同伦

H（H） (x个, μ) = - μ x个 - (1 - μ) 问 N个 x个, x个 \in \bar{Ω} \cap 克尔 L（左）, μ \in [0, 1] .

我们也有 $H（H） (x个, μ) \neq 0$ 然后根据度理论，

\begin{array}{rcl} 度 {问 N个, Ω \cap 克尔 L（左）, 0} & = & 度 {H（H） (\cdot, 0), Ω \cap 克尔 L（左）, 0} \\ = & 度 {H（H） (\cdot, 1), Ω \cap 克尔 L（左）, 0} \\ = & 度 {我, Ω \cap 克尔 L（左）, 0} \neq 0 . \end{array}

应用引理2.3，我们得出结论。□

备注3.1

什么时候？ $\frac{1}{2} \leq λ_{0, 我} < 1$ 或 $σ_{0, 我} < 1$ 系统（1.1）的周期解不存在。我们希望有兴趣对此问题进行进一步研究。

作为应用程序，我们考虑以下系统：

\frac{{d日}^{2}}{d日 {t吨}^{2}} (x个 (t吨) - C类 (t吨) x个 (t吨 - 4 π)) + \frac{d日}{d日 t吨} 毕业生 F类 (x个 (t吨)) + 毕业生 克 (x个 (t吨 - 5 余弦 t吨)) = 第页 (t吨),

(3.15)

哪里

\begin{aligned} x个 (t吨) = {({x个}_{1} (t吨), {x个}_{2} (t吨))}^{T型}, τ = 4 π, γ (t吨) = 5 余弦 t吨, C类 (t吨) = 诊断 (\frac{罪 t吨}{1, 000}, \frac{余弦 t吨}{1, 000}), \\ F类 (x个) = \frac{1}{2 π} ({x个}_{1}^{2} + 2 {x个}_{1} {x个}_{2} + {x个}_{2}^{2} + 2 {x个}_{1} + 三 {x个}_{2} + 1), 克 (x个) = \frac{1}{\sqrt{2} π} ({x个}_{1} + {x个}_{2}), \\ 第页 (t吨) = {(罪 t吨, 余弦 t吨)}^{T型} . \end{aligned}

显然，系统（3.15）是系统（1.1）的特殊情况。显然，

毕业生 克 (x个) = \frac{1}{\sqrt{2} π} {({x个}_{1}, {x个}_{2})}^{T型}, \frac{\partial^{2} F类 (v（v）)}{\partial {x个}^{2}} = (\begin{array}{cc} \frac{1}{π} & \frac{1}{π} \\ \frac{1}{π} & \frac{1}{π} \end{array}) .

此处假设（H₁)-（H）₂)都很满意。此外，

\begin{aligned} T型 = 2 π, λ_{0, 我} = λ_{1, 我} = λ_{2, 我} = \frac{1}{1, 000}, n个 = 2, \\ (λ_{2, 我} T型 n个 + n个 λ_{1, 我} \sqrt{n个}) T型 + λ_{0, 我} \approx 0.0976 < 1 . \end{aligned}

通过使用定理3.1，当 $λ_{0, 我} < \frac{1}{2}$ ，我们知道系统（3.15）至少有一个2π-周期解。

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致谢

作者感谢这位匿名裁判对本文提出的宝贵建议。这项工作得到了国家自然科学基金（11171085）的资助。

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作者和附属机构

浙江农林科技大学天目学院，中国杭州
何志敏
中国淮安，淮阴师范大学数学系
波都

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何志敏
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通讯作者

与的通信何志敏.

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竞争性利益

作者声明，他们没有相互竞争的利益。

作者的贡献

ZM在本研究中完成了所有证明步骤，并撰写了论文。BD提出了许多好的想法，使本文成为可能，并帮助改进了手稿。所有作者阅读并批准了最终手稿。

权利和权限

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关于这篇文章

引用这篇文章

He，Z.M.，Du，B.一类中立型泛函微分系统的周期解。边界值问题 2014, 151 (2014). https://doi.org/10.1186/s13661-014-0151-1

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收到:2014年3月23日
认可的:2014年6月3日
出版:2014年9月23日
内政部:https://doi.org/10.1186/s13661-014-0151-1