海森堡群上奇异Schrödinger-Poisson系统的多个正解

摘要

在这项工作中，我们研究了以下薛定谔-泊松系统

$$\textstyle\begin{cases}-\Delta_{H} u个+\mu\phi u=\lambda u^{-\gamma}，&\text{in}\Omega，\\-\Delta_{H}\phi=u^{2}，\\text{in}\Omeca，\\u>0，&\text{in}\ Omega$$

哪里\（\Delta_{H}\）是第一个海森堡小组的科恩-拉普拉斯\（\mathbb{H}^{1}\）、和\（\Omega\subset\mathbb{H}^{1}\）是光滑有界域，\（\mu=\pm 1\）,\（0<\伽玛<1\）、和\（\lambda>0）是一些真实的参数。对于上述系统，我们证明了\（\mu=1\）和每个\（\lambda>0）。还考虑了系统的多种解决方案\（\mu=-1\）和\（\lambda>0）对于非光滑泛函，使用临界点理论就足够小了。

1导言和主要成果

本文考虑以下奇异Schrödinger-Poisson系统

$$\textstyle\begin{cases}-\Delta_{H}u+\mu\phi u=\lambda u^{-\gamma}，&\text{in}\Omega，\\-\Delta _{H{\phi=u^{2}，\\text{in}\ Omega、\\u>0，&\text{in}\Omeca，\\u=\phi=0，&\text{on}\partial\Omega，\end{cases{$$

(1.1)

哪里\（\Delta_{H}\）是第一个海森堡小组的科恩-拉普拉斯\（\mathbb{H}^{1}\），Ω是的光滑有界域\（\mathbb{H}^{1}\）,\（\mu=\pm 1）,\（0<伽马<1）、和\（\lambda>0）是一些真实的参数。

多年来，由于海森堡群在量子力学、复变量和调和分析等数学分支中的关键作用，许多学者对其进行了广泛研究，因此可以参考[9,12,19]以及其中的参考文献。

2022年，Liu等人[15]研究了海森堡群上的下列薛定谔-泊松系统

$$\textstyle\begin{cases}-（a-b\int_{\Omega}\vert\nabla_{H}u\vert^{2}\，d\xi）\Delta_{H{u+\mu\phi u=\lambda\vert u\vert^{q-2}u+\垂直\垂直^{2} u个，\\text｛in｝\Omega，\\-\Delta _｛H｝\phi=u^｛2｝，\\text｛in｝\Omega，\\u=\phi=0，\\text｛on｝\partial \ Omega，\end｛cases｝$$

(1.2)

哪里\（\Omega\subset\mathbb{H}^{1}\）是光滑有界域，\（a，b>0）,\（1<q<2）或\（2<q<4）,\（\lambda>0）、和\（\mu\in\mathbb{R}\）是一些真实的参数。他们获得了解的存在性和多重性。特别是，当\（a=1）,\（b=0）、安和刘在[1]确定问题解的存在性和多重性(1.2). 利用格林表示公式、浓度紧致性和临界点理论，他们证明了上述系统至少有两个正解\（\mu<S\times\operatorname{meas}（\Omega）^{-\frac{1}{2}}\）和λ足够小。此外，他们还确定了一个积极的国家解决方案(1.2).

雷和廖[13]考虑了以下系统

$$\textstyle\begin{cases}-\Delta u+\lambda\phi u=\frac{\lambda}{\vert x\vert^{\beta}u^{\gamma}}+\vert u\vert^{4} 单位，&\text{in}\Omega，\\-\Delta\phi=u^{2}，&\text{in}\Omeca，\\u>0，&\ttext{in}\fomega，\\u=\phi=0，&\t{on}\partial\Omega，\end{cases}$$

哪里\（0<伽马<1）,\（0\leq\beta<\frac{5+\gamma}{2}）和\（\lambda>0）为参数，他们使用变分方法和Nehari流形方法获得了两个正解。

在[20]，Pucci和Ye研究了Kirchhoff-Poisson系统的对数和临界非线性

$$\textstyle\begin{cases}-M（\int_{\Omega}\vert\nabla_{H} u个\vert^{2}\，d\xi）\Delta_{H}u+\mu\phi u=\vert u\vert^{2} u个+\lambda\vert u\vert^{q-2}u\ln\vert u\vert ^｛2｝，\\text｛in｝\Omega，\\-\Delta _｛H｝\phi＝u^｛2｝，\\text｛in｝\Omega，\\u＝\phi＝0，\\text｛on｝\partial \ Omega，\end｛cases｝$$

其中Ω是的光滑有界域\（\mathbb{H}^{1}\）,\（q\ in（2θ，4））,\（\mu\in\mathbb{R}\）、和\（\lambda>0）是一些真实的参数。在基尔霍夫函数的适当假设下M（M），覆盖退化情形，证明了当\（\lambda>0）足够大。有关海森堡群结果的更多信息，请读者参阅[2,8,10,14,16–18,21]以及其中的参考文献。

此外，对于系统(1.1)在海森堡群中，没有结果表明本文的答案是肯定的。在给出定理之前，我们定义了(1.1)如果u个满足

$$\int_{\Omega}\nabla（美元）_{H} u个\nabla_{H}v\，d\xi+\mu\int_{\Omega}\phi_{u} 紫外线\，d\xi-\lambda\int_{\Omega}\frac{v}{u^{\gamma}}\，d\xi=0，\quad\对于S中的所有v\^{1}_{0}（\Omega）$$

我们这么说u个是问题的解决方案(1.1).

定理1.1

假设 \（0<伽马<1）,\（\mu=1\） 和 \（\lambda>0）,然后是系统(1.1)有独特的解决方案.

定理1.2

假设 \（0<伽马<1） 和 \（\mu=-1\）,那么就有了 \（\Lambda_{0}>0\） 这样，对于每一个 \（（0，\lambda_{0}）中的\lambda\）,系统(1.1)至少有两个正解.

备注1.3

我们的方法是新颖的，与欧几里德的情况不同，因为奇异项的存在给我们带来了很大的困难；利用非光滑泛函的临界点理论克服了这些困难，推广了文献的结果[22].

2一些初步结果

在本节中，我们将回顾海森堡小组。有关更多结果，请参阅[7,11]. 让\（\mathbb{H}^{1}\）是拓扑维数为3的海森堡群，即基础流形所在的李群\（\mathbb{R}^{3}\）被赋予非阿贝尔定律

$$\开始{aligned}\tau:{\mathbb{H}^{1}}\rightarrow{\mathbb{H{^1}}，\qquad\tau_{xi}\bigl（\xi'\bigr）=\xi\circ\xi'，\end{aligned}$$

哪里

$$\begin{aligned}\xi\circ\xi'=\bigl（x+x'，y+y'，t+t'+2\bigl-（x'y-xy'\bigr）\biger），\end{alinged}$$

对于\（对于所有xi，在mathbb{H}^{1}中为xi'\），使用\（xi=（x，y，t））和\（\xi'=（x'，y'，t'），满足逆运算。考虑扩张家族\（\mathbb｛H｝^｛1｝\）由定义

$$\begin{aligned}\delta_{s}（\xi）=\bigl（sx，sy，s^{2} t吨\大），对于{\mathbb{H}^{1}}中的所有\xi，\quad\，\end{aligned}$$

所以\（δ{s}（\xi\circ\xi'）=δ{s{（\xi）（请参见[19]). 数字\（Q=4\）是均匀尺寸\（\mathbb{H}^{1}\），定义

$$\开始{aligned}\bigl\vert B_{H}（\xi_{0}，r）\bigr\vert=\omega_{Q} 第页^{Q} ，\结束{对齐}$$

哪里\（B_{H}（\xi_{0}，r）是海森堡球的半径第页居中于\（\xi_{0}\）即。，

$$\begin{aligned}B_{H}（\xi_{0}，r）=\bigl\{xi\ in{\mathbb{H}^{1}}:d_{H}（\xi_0}，\xi）<r\bigr\}，\ end{alinged}$$

\（d_{H}（\xi_{0}，\xi）=和\（ω_{Q}=|B_{H}（0，1）|\）.

科恩-拉普拉斯人\（\增量_｛H｝\）在\（\mathbb{H}^{1}\）定义为

$$\开始{aligned}\Delta_{H} u个=\操作员姓名{分割}_{H} （纳布拉_{H} u个)，\结束{对齐}$$

哪里\（纳布拉_{H} u个=（徐，余）事实上，向量场

$$X=\frac｛\partial｝｛\partial X｝+2y\frac｛\partial｝｛\partial t｝，\qquad Y=\frac｛\partial｝｛\partial Y｝-2x\frac｛\partial｝｛\partial t｝，\fquad\text｛and｝\fquad t=\frac｛\partial｝｛\partial t｝$$

是李代数的基础\（\mathbb{H}^{1}\）从而在上构成一组左不变向量场\（\mathbb{H}^{1}\）众所周知\（\Delta_{H}\）是一个退化椭圆算子，满足Bony极大值原理（参见[4]). 在本节中，系统解的存在性和多重性(1.1)，何时\（\mu=-1\），进行了研究。我们证明了这个系统(1.1)利用非光滑泛函的临界点理论和变分方法得到了两个正解\（\lambda>0）足够小。

让我们回顾一下非光滑函数相关概念的关键点。让\（（X，d）\）是具有度量的完备度量空间d日和\（f:X\rightarrow\mathbb{R}\）在中是连续函数X（X）。表示方式\（|df|（u）\）至高无上的δ在里面\（[0，\infty）\）这样就存在\（r>0\）和一张连续的地图\（\sigma:U\times[0，r]\rightarrow X\），令人满意

$$\textstyle\begin{cases}f（\sigma（v，t））\leq f（v）-\delta t，&（v，t）\in U\times[0，r]，\\d。\结束{cases}$$

(2.1)

数字\（|df|（u）\）被称为（f）在u个因此，\（u\在X\中）是（f）如果\（|df|（u）=0\）、和\（c\in\mathbb{R}\）是的临界值（f）如果存在临界点\（X中的u）属于（f）具有\（f（u）=c）.

因为我们正在求解系统的正解(1.1)，所以考虑功能\（I_{\lambda}\）定义在闭合正锥上\（U^{+}\）属于\（S^{1}_{0}（\Omega）\），定义为

$$\begin{aligned}U^{+}=S中的\bigl\{U\^{1}_{0}（\Omega），u（x）\geq 0，\text{a.e.}x\in\Omega\bigr\}。\结束{对齐}$$

希尔伯特空间\（S^{1}_{0}（\Omega）\）定义为\（C^{\infty}_{0}（\Omega）\）内部产品下\（langleu，v\rangle=int_{\Omega}\nabla_{H}u\nabla_2{H}v\，d\xi\）因此，范数表示为\（\|u\|=\|u\ |_{S^{1}_{0}（\Omega）}=（\int_{\Omega}|\nabla_{H}u|^{2}\，d\xi）^{\frac{1}{2}}\）.标准\（L^{p}（\Omega）\）表示为\（\|u\|{p}=（\int_{\Omega}|u|^{p}\，d\xi）^{\frac{1}{p}}\）.嵌入\（S^{1}_{0}（\欧米茄）\钩右箭头L^{p}（\Omega）\）连续\（p\在[1，Q^{*}]\中），其中\（Q ^｛*｝=\frac｛2Q｝｛Q-2｝=4\）是中的临界指数\（\mathbb{H}^{1}\）。让我们用表示\（B_{\rho}\）和\（S_{\rho}\）分别为零中心和半径的闭合球和球体ρ.让S公司是最佳的索波列夫常数，即

$$S=\inf_{u\in S^{1}_{0}（\mathbb{H}^{1}）\反斜杠\{0\}}\frac{int_{mathbb}H}^1}}\vert\nabla_{H}u\vert^{2}\，d\xi}{（\int_{mathbb{H1}^{1'}\vertu\vert ^{4}\，2\xi）^{\frac}{1}{2}}}$$

(2.2)

首先，使用Lax-Milgram定理\（单位：S^{1}_{0}（\Omega）\），存在唯一的解决方案\（S中的φ{u}^{1}_{0}（\Omega）\），满足系统的第二个方程(1.1). 然后，系统(1.1)转化为以下问题

$$\textstyle\begin{cases}-\Delta_{H}u+\mu\phi_{u}u=\lambda u^{-\gamma}，&\text{in}\Omega，\\u>0，&\text{in}\Omeca，\\u=0，&\text{on}\partial\Omega。\结束{cases}$$

(2.3)

对于问题(2.3)，我们定义了函数

$$\开始{对齐}I_{\lambda}（u）=\frac{1}{2}\Vertu\Vert^{2}+\frac}\mu}{4}\int_{\Omega}\phi_{u} u个^{2} \，d\xi-\frac{\lambda}{1-\gamma}\int_{\Omega}\vertu\vert^{1-\gamma}\，d_xi。\结束｛对齐｝$$

(2.4)

我们知道功能\（I_{\lambda}\）定义明确\（C^{1}（S）中的I_{\lambda}^{1}_{0}（\Omega），\mathbb{R}）此外，我们这么说u个是问题的弱解决方案(2.3)如果u个满足

$$\begin{aligned}\bigl\langleI'_{\lambda}（u），v\bigr\rangle&=\int_{\Omega}\nabla_{H} u个\nabla_{H}v\，d\xi+\mu\int_{\Omega}\phi_{u} u个\，vd\xi-\lambda\int _｛\Omega｝\frac｛v｝｛u^｛\gamma｝｝｝\，d\xi=0，\fquad\对于S中的所有v\^{1}_｛0｝（\Omega）。\结束{对齐}$$

(2.5)

通过Hölder不等式和(2.2)，我们获得

$$\begin{aligned}\int_{\Omega}\vert u\vert^{1-\gamma}\，d\xi\leq S^{-\frac{1-\gamma}{2}}\vert\Omega\vert ^{\frac}3+\gamma{4}}\vert u\vert^{1-\gamma}。\结束{对齐}$$

(2.6)

引理2.1

（参见[1])

对于所有人 \（单位：S^{1}_{0}（\Omega）\）,有一个独特的解决方案 \（S中的φ{u}^{1}_{0}（\Omega）\） 属于

$$\textstyle\begin{cases}-\Delta_{H}\phi=u^{2}，&\textit{in}\Omega，\\phi=0，&\text{on}\partial\Omeca，\end{cases{$$

和

• (1) \（\phi_{u}\geq0\） 和 \（φ{tu}=t^{2}φ{u}） 对于每个 \（t>0）;

• (2) 如果 \（u{n}\rightharpoonup u\） 在里面 \（S^{1}_{0}（\Omega）\）,然后 \（φ{u{n}}\rightarrow\φ{u}\） 在里面 \（S^{1}_｛0｝（\欧米茄）\） 和

  $$开始{aligned}\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\Omega}\phi_{u_{n}}u_{n} v（v）\，d\xi=\int_{\Omega}\phi_{u} 紫外线\S中所有v的，d\xi，\quad\^{1}_{0}（\欧米茄）；\结束{对齐}$$

• (3) 对于所有人 \（单位：S^{1}_{0}（\Omega）\）,有人认为

  $$\开始{aligned}\int_{\Omega}\vert\nabla_{H}\phi_{u}\vert^{2}\，d\xi=\int_}\Omega}\phi_{u} 单位^{2} \，d\xi\leq S^｛-1｝\垂直u\垂直^{4}_{8/3}\leq S^{-3}\vert\Omega\vert^{\frac{1}{2}}\vert-u\vert^{4}；\结束{对齐}$$

• (4) 对于 \S中的（u，v^{1}_{0}（\Omega）\）,\（\int_{\Omega}（\phi_{u} u个-\φ_{v} v（v）)（u-v）\，d\xi\geq\frac{1}{2}\_{u}-\φ{v}）.

引理2.2

假设 \（u^{+}\中的u\） 和 \（|dI_{\lambda}|（u）<+\infty\）.然后,为所有人 \（v\在U^{+}\中）,一个人获得

$$\开始{aligned}\lambda\int_{\Omega}\frac{v-u}{u^{\gamma}}\，d\xi\leq\int_}\Omega}\nabla_{H} u个\纳布拉{H}（v-u）\，d\xi-\int_{\Omega}\phi_{u} u个（v-u）\，d\xi+\vert dI_{\lambda}\ vert（u）\垂直v-u\垂直。\结束{对齐}$$

(2.7)

证明

让\（u^{+}中的u\neq v）和\（\|v-u\|>2\delta\）.定义\（\sigma:U\次[0，\delta]\右箭头U^{+}\）通过

$$\begin{aligned}\sigma（z，t）=z+t\frac{v-z}{\Vertv-z\Vert}，\end{aligned}$$

哪里U型是附近的u个，然后\（σ（z，t）-z=t）.签署人(2.1)，存在\（（z，t）\单位为U \次[0，\增量]\）这样的话\（I_{\lambda}（\sigma（z，t））>I_{\ lambda{（z）-ct\）因此，我们假设存在序列\（{u_{n}\}\子集u^{+}\）和\（\｛t_｛n｝\｝\subet[0，+\infty）\），使得\（u{n}\右箭头u\）,\（t_{n}\右箭头0^{+}\）、和

$$I{\lambda}\biggl（u_{n}+t_{n}\frac{v-u{n}}{\Vertv-u{n}\Vert}\bigr）\geqI{\lambda}（u_}）-ct_{n}$$

那就是说

$$\开始{对齐}I_{\lambda}\bigl（u_{n}+s_{n{（v-u{n}$$

(2.8)

哪里\（s_{n}=\frac{t_{n}}{\Vertv-u{n}\Vert}\rightarrow0^{+}\）作为\（n\rightarrow\infty\）.分割(2.8)由\（s{n}\），我们推断

$$开始{对齐}和\frac{\lambda}{1-\gamma}\int_{\Omega}\frac{[u{n}+s_{n}（v-u{n{）]^{1-\gamma}-u_{n{n}^{1-\ gamma}{s_{n}，d\xi\\&\quad\leq\frac{1}{2}\frac}\vertu{n}+s_{n}）\垂直^{2}-\Vertu{n}\Vert^{2}{s_{n}}\\&\quad\quad{}-\frac{1}{4}\int_{\Omega}\frac{\phi_{u{n}+s_{n}（v-u{n{）}^{2}-\φ{u{n}}u{n{n}^{2}}{s{n}，d\xi+c\垂直v-u{nneneneep \垂直。\结束{对齐}$$

(2.9)

此外，我们可以推断出

$$开始{aligned}\int_{\Omega}\frac{[u_{n}+s_{n{（v-u_{n}）]^{1-\gamma}-u_{n}^{1-\ gamma}}{s_{n（1-\gama）}\，d\xi=&\int_}\Omega}\frac{[u{n}+s_}）u{n}]^{1-\gamma}}{s_{n}（1-\gama）}\，d\xi\\&+\int_{\Omega}\frac{[（1-s_{n}）u{n}]^{1-\ gamma}-u{n{，d\xi\\=&\int_{\Omega}\frac{[u_{n}+s_{n{（v-u{n}\Omega}\vert u_{n}\vert^{1-\gamma}\，d\xi\\=&I_{1n}+I_{2n}。\结束{对齐}$$

(2.10)

根据中值定理

$$I_{1n}=\int_{\Omega}\frac{\zeta_{n}^{-\gamma}s_{n} v（v）}｛s_｛n｝｝\，d\xi=\ int _｛\Omega｝\ frac｛v｝｛\zeta _｛n｝^｛\gamma｝｝\，d\xi$$

哪里\（u）中的（zeta{n}_{n} -秒_{n} （v-u{n}），这是\（\泽塔{n}\右箭头u（u{n}\rightarrow u）\）作为\（s_{n}\右箭头0^{+}\），自\（I_{1n}\geq0\）为所有人n个.应用Fatou引理\（I_{1n}\），一个得到

$$\liminf_{n\rightarrow\infty}I_{1n}\geq\int_{\Omega}\frac{v}{u^{\gamma}}\，d\xi，\quad\对于u^{+}中的所有v\$$

对于\（I_{2n}\），通过支配收敛定理，它认为

$$\lim_｛n\rightarrow\infty｝I_｛2n｝=-\int _｛\Omega｝\vert u\vert ^｛1-\gamma｝\，d\xi$$

对于每个\（v\在U^{+}\中），以及上述信息，我们有

$$开始{aligned}\lambda\int_{\Omega}\frac{v-u}{u^{\gamma}}\，d\xi&\leq\liminf_{n\rightarrow\infty}（I_{1n}+I_{2n}）_{H} u个\纳布拉{H}（v-u）\，d\xi-\int_{\Omega}\phi_{u} u个（v-u）\，d\xi+c\垂直v-u\垂直，\结束{对齐}$$

哪里\（|dI_{\lambda}|（u）<c\）是任意的。□

引理2.3

\（I_{\lambda}\） 满足 \（（附言） 条件.

证明

让\（{u_{n}\}\子集u^{+}\）是\（（附言）序列\（I_{\lambda}\），这是

$$\vert dI_{\lambda}\vert（u_{n}）\rightarrow 0，\qquad I_{\lambda}（u_}）\ rightarrol c\in\mathbb{R}\quad\text{as}n\rightarror\infty$$

按引理2.2,\（对于U^{+}\中的所有v\），我们可以推断

$$开始{aligned}\lambda\int_{\Omega}\frac{v-u_{n}}{u_{n}^{gamma}}\，d\xi\leq\int_}\Omega}\nabla_{H} u个_{n} 纳布拉{H}（v-u{n}）$$

(2.11)

拿\（v=2u_{n}\在U^{+}\中）英寸(2.11)，我们有

$$开始{aligned}\lambda\int_{\Omega}\vert u_{n}\vert^{1-\gamma}\，d\xi\leq\int_}\Omega}\vert\nabla_{H} u个_{n} \vert^{2}\，d\xi-\int_{\Omega}\phi_{u{n}}u{n{2}\，d_xi+o（1）\Vertu{nneneneep \vert。\结束{对齐}$$

(2.12)

自\（I_{\lambda}（u_{n}）\右箭头c\）,

$$\开始{aligned}\frac{1}{2}\int_{\Omega}\vert\nabla_{H} u个_{n} \vert^{2}，d\xi-\frac{1}{4}\int_{\Omega}\phi_{u{n}}u{n{2}\，d\xi-\frac{\lambda}{1-\gamma}\int_{\Omega}\vertu{nneneneep，d\xi=c+o（1）。\结束{对齐}$$

(2.13)

发件人(2.12)和(2.13)，我们有

$$\开始{aligned}\frac{1}{4}\int_{\Omega}\vert\nabla_{H} u个_{n} \vert^{2}\，d\xi和\leq\lambda\biggl \垂直^{1-\gamma}+c+o（1）\垂直u_{n}\垂直，\结束{对齐}$$

(2.14)

这意味着\（{u{n}）以为界\（S^{1}_{0}（\Omega）\）因此，存在一个子序列（仍由其自身表示）和一个函数\（u \在S中^{1}_{0}（\Omega）\），因此\（u{n}\rightharpoonup u\）在里面\（S^{1}_{0}（\Omega）\）,\（u_{n}（x）\右箭头u（x）a.e.单位为Ωas\（n\rightarrow\infty\）.选择\（v=u{m}\）作为中的测试功能(2.11)，我们有

$$\开始{aligned}\lambda\int_{\Omega}\frac{u_{m} -u个_{n} }{u{n}^{gamma}}\，d\xi\leq\int_{\Omega}\nabla_{H} u个_{n} \nabla_{H}（u_{m} -u个_{n} ）\，d\xi-\int_{\Omega}\phi_{u{n}}u{n{（u_{m} -u个_{n} ）\，d\xi+o（1）\垂直u_{m} -u个_{n} \垂直。\结束{对齐}$$

交换\（u｛m｝\）和\（u｛n｝\）给出了一个类似的不等式，并将两个不等式和引理相加2.1（4） ，它认为

$$\开始{对齐}\垂直u_{n} -u个_{m} \垂直^{2}&\leq\lambda\int_{\Omega}（u_{n} -u个_{m} ）\biggl（\压裂{1}{u{n}^{gamma}}-\压裂{1'{u{m}^{gamma}}\biggr）\，d\xi\\&\四{}-\int_{\Omega}（\phi_{u{m}}u_{米}-\φ{u{n}}（u_{n} -u个_{m} ）\，d\xi+o（1）\垂直u_{m} -u个_{n} \Vert\\\\leq-\int_｛\Omega｝（\phi_｛u_｛m｝｝u）_{米}-\φ{u{n}}（u_{m} -u个_{n} ）\，d\xi+o（1）\垂直u_{m} -u个_{n} \Vert\\&\leq-\frac{1}{2}\Vert\phi_{u{m}}-\phi_{u{n}}\Vert^{2}+o（1）\Vert u_{m} -u个_{n} \垂直（1）\垂直u_{m} -u个_{n} \垂直。\结束{对齐}$$

我们有\（\lim_｛n\rightarrow\infty｝\垂直_{n} -u个_{m} \垂直=0\）因此，\（u{n}\右箭头u\）在里面\（S^{1}_{0}（\Omega）\）作为\（n\rightarrow\infty\）. □

引理2.4

假设 \（\vert dI_{\lambda}\vert（u）=0\）,然后 u个 是这个问题的薄弱解决方案(2.3).即,\（L^{1}（\Omega）中的u^{-\gamma}\varphi\） 为所有人 \（\varphi\在S中^{1}_｛0｝（\欧米茄）\）,有个等待

$$\开始{aligned}\int_{\Omega}\nabla_{H} u个\nabla_{H}\varphi\，d\xi-\int_{\Omega}\phi_{u} u个\varphi\，d\xi=\lambda\int_{\Omega}\frac{\varphi}{u^{\gamma}}\，d_xi。\结束{对齐}$$

(2.15)

证明

按引理2.2，我们推断

$$\开始{aligned}\lambda\int_{\Omega}\frac{v-u}{u^{\gamma}}\，d\xi\leq\int_}\Omega}\nabla_{H} u个\纳布拉{H}（v-u）\，d\xi-\int_{\Omega}\phi_{u} u个（v-u）\，d\xi，\结束{对齐}$$

对于每个\（v\在U^{+}\中）.出租\（s\in\mathbb{R}\）,\（S中的\varphi\^{1}_{0}（\Omega）\），采取\（v=（u+s\varphi）^{+}\）和\（v\在U^{+}\中）作为中的测试功能(2.7)，一个人得到

$$\开始{aligned}0&\leq\int_{\Omega}\nabla_{H} u个\nabla_{H}\bigl（（u+s\varphi）^{+}-u\bigr）\，d\xi-\int_{\Omega}\phi_{u} u个\bigl（（u+s\varphi）^{+}-u\bigr）\，d\xi-\lambda\int_{\Omega}\frac{（u+s\varphi_{H} u个\nabla_{H}\varphi\，d\xi-\int_{\Omega}\phi_{u} u个\varphi\，d\xi-\lambda\int_{\Omega}\frac{\varphi}{u^{\gamma}}\，d_xi\biggr）-\int_}\{u+s\varphi<0\}}\nabla_{H} u个\nabla{H}（u+s\varphi）\，d\xi\\&\quad{}+\int_{u+s\ varphi<0\}}\phi_{u} 单位（u+s \ varphi）\，d \ xi+\ int _｛\｛u+s \ varphi＜0\｝｝\ frac｛u+s \ varphi｝｛u ^｛\gamma｝｝｝\，d \ xi \&\ leq s \ biggl（\ int _｛\Omega｝\nabla_{H} u个\nabla_{H}\varphi\，d\xi-\int_{\Omega}\phi_{u} u个\varphi\，d\xi-\lambda\int_{\Omega}\frac{\varphi}{u^{\gamma}}\，d\\xi\biggr）\\&\quad{}-s\int_}\{u+s\varphi<0\}}（\nabla_{H} u个\纳布拉{H}\varphi-\phi_{u} u个\varphi）\，d\xi，\end{对齐}$$

自从\（纳布拉{H}u（x）=0\）对于a.e。\（x\英寸\欧米茄\）具有\（u（x）=0）、和\（\operatorname{Meas}\{x\in\Omega:u（x）+s\varphi（x）<0，u（x）>0\}\rightarrow 0\）作为\（s\rightarrow 0\），一个获得

$$\开始{aligned}\int_{{u+s\varphi<0\}}（\nabla_{H} u个\nabla_｛H｝\varphi-\phi_{u} 单位\varphi）\，d\xi=\int_{\{u+s\varphi<0，u>0\}}（\nabla_{H} u个\纳布拉{H}\varphi-\phi_{u} u个\varphi）\，d\xi\rightarrow 0。\结束｛对齐｝$$

因此

$$\开始{aligned}0\leqs\biggl（\int_{\Omega}\nabla_{H} u个\nabla_{H}\varphi\，d\xi-\int_{\Omega}\phi_{u} u个\varphi\，d\xi-\lambda\int_{\Omega}\frac{\varphi}{u^{\gamma}}\，d_xi\biggr）+o（s），\end{aligned}$$

作为\（s\rightarrow 0\），我们得到

$$\开始{aligned}\int_{\Omega}\nabla_{H} u个\nabla_{H}\varphi\，d\xi-\int_{\Omega}\phi_{u} 单位\varphi\，d\xi-\lambda\int_｛\Omega｝\frac｛\varphi｝｛u^｛\gamma｝｝\，d\xi\geq 0。\结束{对齐}$$

由于…的任意性φ，也适用于−φ

$$\开始{aligned}\int_{\Omega}\nabla_{H} u个\nabla_{H}\varphi\，d\xi-\int_{\Omega}\phi_{u} u个\varphi\，d\xi-\lambda\int_{\Omega}\frac{\varphi}{u^{\gamma}}\，d_xi=0。\结束{对齐}$$

因此，我们可以推断(2.15)持有。□

引理2.5

鉴于 \（0<伽马<1）,存在常量 \（r，\rho，\Lambda_{0}>0\）,这样 \（I_{\lambda}\） 满足以下条件 \（0<\lambda<\lambda _｛0｝\）:

• （i） \（S_{\rho}}\geqr>0\中的I_{\lambda}（u）|_{u\）,\（B_{\rho}}I_{\lambda}（u）中的\inf_{u\;

• （ii） 存在 \（S中的e^{1}_{0}（\Omega）\） 具有 \（\|e\|>\rho\） 这样的话 \（I_{lambda}（e）<0）.

证明

（i） 它源自(2.6)和引理2.1（3） 那个

$$\开始{对齐}I_{\lambda}（u）&=\frac{1}{2}\Vert-u\Vert^{2}-\压裂{1}{4}\int_{\Omega}\phi_{u} u个^{2} \，d\xi-\frac{\lambda}{1-\gamma}\int_{\Omega}\vert u\vert^{1-\gamma}\，d_xi\\&\geq\frac}{1}{2}\vert u\vert^{2}-\压裂{1}{4} 秒^｛-3｝\vert\Omega\vert^｛\frac｛1｝｛2｝｝\vert u\vert^{4}-\压裂{\lambda}{1-\gamma}S^{-\frac{1-\gamma}{2}}\vert\Omega\vert^{\压裂{3+\gamma{4}}\vert u\vert^{1-\伽玛}，\end{aligned}$$

这意味着存在常量\（r，\rho，\Lambda_{0}>0\），因此\（S_{\rho}}\geqr>0\中的I_{\lambda}|_{u\）对于每个\（（0，\lambda_{0}）中的\lambda\）此外，对于\（单位：S^{1}_{0}（\Omega）\反斜杠\{0\}\），它认为

$$\lim_{t\rightarrow0^{+}}\压裂{I_{\lambda}（tu）}{t^{1-\gamma}}=-\frac{\lampda}{1-\gamma}\int_{\Omega}\vertu\vert^{1-\gamma{\，d\xi<0$$

因此，我们得到\（I_{lambda}（tu）<0\）为所有人\（用户0）和t吨足够小。因此，对于\（\|u\|\）足够小，有一个

$$m=\inf_{u\在B_{\rho}}I_{\lambda}（u）<0$$

（ii）每\S中的（u^{+}^{1}_{0}（\Omega）\）,\（u^{+}\neq 0\）和\（t>0），我们得到

$$\begin｛aligned｝I_｛\lambda｝（tu）&=\frac｛t^｛2｝｝｛2｝\Vert u\Vert^{2}-\压裂{t^{4}}{4}\int_{\Omega}\phi_{u} u个^{2} \，d\xi-\frac{\lambda t^{1-\gamma}}{1-\gamma}\int_{\Omega}\vert u\vert ^{1-\ gamma}\，d_xi\rightarrow-\infty，\end{aligned}$$

作为\（t\rightarrow+\infty\）。因此，我们可以发现\（S中的e^{1}_{0}（\Omega）\）这样的话\（\|e\|>\rho\）和\（I_{lambda}（e）<0）. □

三主要结果证明

在本节中，我们展示了\（\lambda>0），功能\（I_{\lambda}\）实现全球最小化\（S^{1}_{0}（\Omega）\），这是系统的唯一解决方案(1.1)的\（\mu=1\）以及系统的多种解决方案\（\mu=-1\）,\（\lambda>0）足够小了。

定理的证明1.1

我们证明定理1.1分三步进行。

步骤1.对于每个\（\lambda>0）和\（\mu=1\），功能\（I_{\lambda}\）实现全球最小化\（S^{1}_{0}（\Omega）\）换句话说，存在\（u_｛*｝\在S中^{1}_{0}（\Omega）\）这样的话

$$I_{\lambda}（u_{*}）=m_{\lambda}=\inf_{S^{1}_{0}（\Omega）}I_{\lambda}<0$$

事实上，对于所有人来说\（单位：S^{1}_{0}（\Omega）\），结合引理2.1（1） 和(2.6)，我们推断

$$\开始{对齐}I_{\lambda}（u）&=\frac{1}{2}\Vertu\Vert^{2}+\frac}{4}\int_{\Omega}\phi_{u} u个^{2} \，d\xi-\frac｛\lambda｝｛1-\gamma｝\int _｛\Omega｝\vert u\vert ^｛1-\gamma｝\，d\xi\&&\geq\frac｛1｝｛2｝\vert u\vert^{2}-\压裂{\lambda}{1-\gamma}S^{-\frac{1-\gamma}{2}}\vert\Omega\vert^{\压裂{3+\gamma{4}}\vert u\vert^{1-\伽玛}，\end{aligned}$$

(3.1)

这意味着\（I_{\lambda}\）是强制的并且从下面开始有界\（S^{1}_{0}（\Omega）\）对于每个\（\lambda>0）因此，\（m_{\lambda}=\inf_{S^{1}_{0}（\Omega）}I_{\lambda}\）。对于\（t>0）并给出\（u \在S中^{1}_{0}（\Omega）\反斜杠\{0\}\）,

$$\开始{对齐}I_{\lambda}（tu）=\frac{t^{2}{2}\Vertu\Vert^{2]+\frac}t^{4}{4}\int_{\Omega}\phi_{u} u个^{2} \，d\xi-\frac{\lambda t^{1-\gamma}}{1-\gamma}\int_{\Omega}\vert u\vert ^{1-\ gamma}\，d_xi。\结束{对齐}$$

我们从中推断\（t>0）足够小，\（I_{lambda}（tu）<0\）因此，\（m_{\lambda}=\inf_{S^{1}_{0}（\Omega）}I_{\lambda}<0\）.

从定义\（m{\lambda}\），极小化序列的存在性\（{u_{n}\}\子集S^{1}_{0}（\Omega）\）这样的话\（\lim_{n\rightarrow\infty}I_{\lambda}（u_{n}）=m_{\lambda}<0）.自\（I_{\lambda}（u_{n}）=I_{\ lambda{（|u_{n}|）\），我们可以假设\（u{n}\geq0\）.签署人(3.1)，我们知道\（{u{n}）在中有界\（秒）^{1}_{0}（\Omega）\）。假设存在一个子序列，仍表示为\（{u{n}）、和\（u_{*}\在S中^{1}_{0}（\Omega）\）这样的话

$$\开始{aligned}\textstyle\begin{cases}u{n}\rightharpoonup u{*}，&\text{弱位于}S中^{1}_{0}（\Omega），\\u_{n}\rightarrowu_{*}，&\text{强位于}L^{p}（\ Omega。\结束{cases}\displaystyle\end{aligned}$$

然后，结合范数和引理的弱下半连续性2.1（2） ，一个有

$$开始{对齐}I_{\lambda}（u_{*}）&=\frac{1}{2}\Vert-u_{*.}\Vert^{2}+\frac{1}{4}\int_{\Omega}\phi_{u_{**}}u_{}^{2{，d\xi-\frac}\lambda}{1-\gamma}\int_{\Omega}\Vert-u{*}\Vert^{1-\gamma}\，d\xi\\&\leq\liminf_{n\rightarrow\infty}I_{\lambda}（u_{n}）=m_{\lambda}。\结束{对齐}$$

此外，\（I_{\lambda}（u_{*}）\geq m_{\lambda}\），因此\（I_{\lambda}（u_{*}）=m_{\lambda}<0\）.

此外，我们还展示了\（u{*}>0\）单位为Ω。根据上述信息，\（u{*}\geq0\）和\（u_{*}\neq 0\）.修复\（S中的\eta\^{1}_{0}（\Omega）\）,\（\eta>0\）和\（t \geq 0），我们得到

$$开始{aligned}0&\leq\liminf_{t\rightarrow0}\frac{I{lambda}（u_{*}+t\eta）-I{\lambda{（u{*}）}{t}\\&=\int_{\Omega}（\nabla_{H} u个_{*}\nabla_{H}\eta+\phi_{u_{*}}u_{*.}\eta）\，d\xi-\frac{\lambda}{1-\gamma}\limsup_{t\rightarrow0}\int_{\Omega}\frac}（u_{x}+t\eta）^{1-\gamma}-u_{**}^{1-\ gamma}{t}\，d\\xi，\end{aligned}$$

那就是

$$开始{aligned}\frac{\lambda}{1-\gamma}\limsup_{t\rightarrow0}\int_{\Omega}\frac{（u_{*}+t\eta）^{1-\gamma}-u_{*.}^{1-\ gamma}}{t}\，d\xi\leq\int_}[\Omega}[\nabla_{H} u个_{*}\nabla_{H}\eta+\phi_{u_{*}}u_{*.eta]\，d\xi。\结束{对齐}$$

(3.2)

请注意

$$\begin{aligned}\int_{\Omega}\frac{（u_{*}+t\eta）^{1-\gamma}-u_{*.}^{1-\ gamma}{t}\，d\xi=（1-\gama）\int_}\Omega}（u_{*}+t\eta\zeta）^{-\gamma}\eta\，d\\xi，\end{alinged}$$

哪里\（\泽塔（x）\英寸（0,1）\）和

$$\bigl（u_｛*｝（x）+t\eta（x）\zeta（x）\bigr）^｛-\gamma｝\eta（x）\rightarrow u_｛*｝（x）^｛-\gamma｝\eta（x），\quad\text｛a.e.｝x\in\Omega，t\rightarrow 0$$

自\（（u_｛*｝（x）+t\eta（x）\zeta（x））^｛-\gamma｝\eta（x）\geq 0\），使用Fatou引理，来自(3.2)，它可以容纳

$$\开始{aligned}\frac{\lambda}{1-\gamma}\int_{\Omega}u_{*}^{-\gamma{eta\，d\xi\leq\int_}\Omega}[\nabla_{H} u个_{*}\nabla_{H}\eta+\phi_{u_{*}}u_{*.eta]\，d\xi。\结束{对齐}$$

使用类似的方法，上述等式也适用于\（S中的0\leq\eta\^{1}_{0}（\Omega）\），这是

$$\开始{aligned}\int_{\Omega}（\nabla_{H} u个_｛*｝\nabla_｛H｝\eta+\phi _｛u_｛*｝｝u_｛*｝\eta）\，d\xi-\frac｛\lambda｝｛1-\gamma｝\int _｛\Omega｝u_｛*｝^｛-\gamma｝\eta\，d\xi\geq 0，\ quad\eta\在S中^{1}_{0}（\Omega），\eta\geq 0。\结束{对齐}$$

(3.3)

因此，

$$\开始{对齐}-\增量_{H} u个_{*}+\phi{u{*}}u{**}\geq0。\结束{对齐}$$

请注意\（φ{u{*}}（\xi）>0\）对于任何\（\xi\in\Omega\）,\（u{*}\geq0\）和\（u_{*}\neq 0\）.根据最大值原理（参见[三,4]),\（u{*}>0\）单位为Ω。

步骤2.我们证明\（u{*}\）满足(2.5)的\（\mu=1\）.让\（增量>0）并定义\（h:[-\delta，\delta]\rightarrow\mathbb｛R｝\）通过\（h（t）=I_｛\lambda｝（u_｛*｝+tu_｛*｝）\），然后小时达到最低值\（t=0）它认为

$$\开始{对齐}h'（0）&=\Vertu{*}\Vert^{2}+\int_{\Omega}\phi_{u{*}}u{*{2}\，d\xi-\lambda\int_}\Omega}\vertu{*{1\gamma}\，2\xi=0。\结束{对齐}$$

(3.4)

我们接受\（S中的\eta\^{1}_{0}（\Omega）\反斜杠\{0\}\）,\（\varepsilon>0\）并定义\（\Phi=（u_{*}+\varepsilon\eta）^{+}\）.让

$$\begin{aligned}\Omega_{1}=\bigl\{x\in\Omega：u_{*}（x）+\varepsilon\eta（x）>0\bigr\}，\qquad\Omega_2}=\bigl\{x\in\Omega:u_{*.}。\结束{对齐}$$

然后，\（\Phi|_{\Omega_{1}}=u_{*}+\varepsilon\eta\）,\（\Phi|_{\Omega_{2}}=0\）.将Φ插入(3.3)和使用(3.4)，我们可以

$$\开始{aligned}0&\leq\int_{\Omega}\bigl（\nabla_{H} u个_{*}\nabla_{H}\Phi+\Phi_{u_{*}}u_{*.}\Phi-\lambda u_{**}^{-\gamma}\Phi \biger）\，d\xi\\&=\int_{\Omega_{1}}\bigl[\nabla_{H} u个_{*}\nabla_{H}（u_{*}+\varepsilon\eta）+\phi_{u_{**}}u_{*.}（u_{*{+\varebsilon\eta）-\lambda u_{*}^{-\gamma}_{H} u个_{*}\nabla_{H}（u_{*}+\varepsilon\eta）+\phi_{u_{**}}u_{*.}_{H} 单位_{*}\nabla_{H}\eta+\phi_{u_{*}}u_{*.}\eta-\lambda u_{**}^{-\gamma}\eta \bigr）\，d\xi-\int_{\Omega_{2}}\bigl[\nabla_{H} u个_{*}\nabla_{H}（u_{*}+\varepsilon\eta）\\&\quad{}+\phi_{u_{**}}u_{*.}（u _{*}+\varesilon\eta_{H} u个_{*}\nabla_{H}\eta+\phi_{u_{*}}u_{*.}\eta-\lambda u_{**}^{-\gamma}\eta \biger）\，d\xi-\varepsilon\int_{\Omega_{2}}（\nabla_{H} u个_{*}\nabla_{H}\eta+\phi_{u_{*}}u_{**}\eta）\，d\xi。\结束{对齐}$$

(3.5)

由于\（u{*}>0\）和域的度量\（欧米茄{2}={x\in\Omega:u_{*}（x）+\varepsilon\eta（x）\leq0\}\）趋向于零\（\varepsilon\rightarrow 0\），有个保持

$$\开始{aligned}\int_{\Omega_{2}}（\nabla_{H} u个_{*}\nabla_{H}\eta+\phi_{u_{*}}u_{**}\eta）\，d\xi\右箭头0。\结束{对齐}$$

然后，除以\（\varepsilon>0\）并让\（\varepsilon\rightarrow 0\）英寸(3.5)，我们有

$$\开始{aligned}\int_{\Omega}\bigl（\nabla_{H} u个_{*}\nabla_{H}\eta+\phi_{u_{*}}u_{*.}\eta-\lambda u_{**}^{-\gamma}\eta \bigr）\，d\xi\geq0，\quad\eta^{1}_{0}（\Omega）。\结束{对齐}$$

上述不平等也适用于−η，我们可以

$$\开始{aligned}\int_{\Omega}\bigl（\nabla_{H} u个_{*}\nabla_{H}\eta+\phi_{u_{*}}u_{*.}\eta-\lambda u_{**}^{-\gamma}\eta）\，d\xi=0，\quad\eta^{1}_{0}（\Omega）。\结束{对齐}$$

然后，\（u_{*}\在S中^{1}_｛0｝（\欧米茄）\）是系统的解决方案(1.1)的\（\lambda>0）和\（\mu=1\）.

步骤3.我们证明\（u{*}\）是唯一的解决方案(1.1)的\（\mu=1\）。我们可以假设\（S中的v_{\star}^{1}_｛0｝（\欧米茄）\）也是系统的解决方案(1.1)，和来自(2.5)，我们得到

$$\开始{aligned}\int_{\Omega}\bigl[\nabla_{H} u个_{*}\nabla{H}（u_{*}-v_{\star}）+\phi_{u{*}}u_{x}）\bigr]\，d\xi-\lambda\int_{\Omega}u{*{^{-\gamma}$$

(3.6)

和

$$\开始{aligned}\int_{\Omega}\bigl[\nabla_{H} v（v）_{\star}\nabla{H}（u_{*}-v_{\star}）+\phi_{v_{star}}v_{\star}（u_{*{-v_[star}）\bigr]\，d\xi-\lambda\int_{\Omega}v_{\ star}^{-\gamma}。\结束{对齐}$$

(3.7)

与结合(3.6)和(3.7)，它认为

$$开始{aligned}\Vert u_{*}-v_{star}\Vert^{2}+\int_{Omega}gamma}\bigr）（u{*}-v{\star}）\，d\xi。\结束{对齐}$$

(3.8)

对于\（\gamma\in（0，1）\）,\（u{*}，v{\star}>0\）单位为Ω，和

$$\begin{aligned}\int_{\Omega}\bigl（u_{*}^{-\gamma}-v_{\star}^{-\gamma}\bigr）（u_}*}-v_{\star}）\，d\xi\leq 0。\结束{对齐}$$

因此，通过(3.8)和引理2.1（4） ，我们得到

$$\begin{aligned}\Vert u_{*}-v_{\star}\Vert^{2}\leq 0，\end{alinged}$$

也就是说

$$\begin{aligned}\Vert u_{*}-v_{\star}\Vert^{2}=0，\end{alinged}$$

那就是\（u{*}=v{\星}\）因此，\（u_{*}\在S中^{1}_｛0｝（\欧米茄）\）是系统的唯一解决方案(1.1). □

定理的证明1.2

我们证明定理1.2分两步进行。

步骤1.假设\（0<\lambda<\lambda{0}\），然后是系统(1.1)承认一个积极的解决方案\（u{*}\）这样的话\（I{\lambda}（u{\lampda}）=m<0\）.

事实上，我们声称存在\（在B_｛\rho｝\中的u｛\lambda｝\），因此\（I{\lambda}（u{\lampda}）=m<0\）根据的定义米，我们知道存在一个最小化序列\（{u_{n}\}\子集B_{rho}\子集u^{+}\）这样的话\（\lim_{n\rightarrow\infty}I_{\lambda}（u_{n}）=m<0）.自\（{u{n}）以为界\（B_{\rho}\），我们可以假设，直到仍由其自身表示的子序列，存在\（u_{lambda}\在S中^{1}_{0}（\Omega）\），因此

$$\开始{aligned}\textstyle\begin{cases}u{n}\rightharpoonup u{lambda}，&\text{弱位于}S中^{1}_{0}（\Omega），\\u_{n}\rightarrowu_{\lambda}，&\text{强位于}L^{p}（\ Omega$$

作为\（n\rightarrow\infty\）.设置\（w{n}=u_{n} -u个_{\lambda}\），并使用Brézis-Lieb引理（参见[5])，一个有

$$开始{aligned}\Vertu_{n}\Vert^{2}=\Vert w_{n{2}\Vert ^{2{+\Vert u_{\lambda}\Vert_{2}+o（1）。\结束｛对齐｝$$

(3.9)

因此，通过引理2.3，我们可以推断

$$\begin{aligned}m&=\lim_{n\rightarrow\infty}I_{lambda}（u_{n}）=I_{\lambda{$$

(3.10)

这意味着\（m\geqI{\lambda}（u_{\lampda}）.自\（B_{\rho}\）是封闭凸的\（B_{rho}中的u_{lambda}）因此，我们获得\（I{\lambda}（u{\lampda}）=m<0\）和\（u_｛\lambda｝\not \equiv 0\）单位为Ω。从上述论点中，我们知道\（u{\lambda}\）是局部最小值\（I_{\lambda}\）.

现在，我们证明\（u{\lambda}\）是…的关键点\（I_{\lambda}\）。请注意\（u{\lambda}\geq0\）和\（u_{\lambda}\不等于0\）那么，对于任何\（在U^{+}\子集S中为\psi\^{1}_{0}（\Omega）\），让\（t>0）这样的话\S中的（u_{lambda}+t\psi\^{1}_{0}（\Omega）\），其中一个有

$$\开始{对齐}0&\leq I_{\lambda}（u_{\lambda}+t\psi）-I_{\λ}（u）\\&=\frac{1}{2}\垂直u_{\λ}+t\psi\Vert^{2}-\压裂{1}{4}\int_{\Omega}\phi_{u{\lambda}+t\psi}垂直^{2}+\frac{1}{4}\int_{\Omega}\phi_{u{\lambda}}u{\lambda}^{2{，d\xi+\frac{\lampda}{1-\gamma}\int_{\Omega}\vert u_{\lambda}\vert ^{1-\gamma}\，d\xi。\结束{对齐}$$

(3.11)

实际上，来自(3.11)，我们可以看到

$$开始{对齐}和\frac{\lambda}{1-\gamma}\int_{\Omega}\bigl[（u_{\lambeda}+t\psi）^{1-\gamma}-u_{lambda{^{1-\ gamma}\ bigr]\，d\xi\\&\quad\leq\frac}1}{2}\bigr^{2}-\Vert u_{\lambda}\Vert^{2}\bigr）-\frac{1}{4}\int_{\Omega}\bigl[\phi_{u_{lambda{+t\psi}（u_{\ lambdaneneneep+t\psi）^{2}-\φ{u{\lambda}}u{\lambda}^{2}\bigr]\，d\xi。\结束{对齐}$$

除以\（t>0）并以极限状态传递\（向右箭头0^{+}\），它认为

$$\begin｛aligned｝\frac｛\lambda｝｛1-\gamma｝\liminf _｛t\rightarrow 0^｛+｝｝\int _｛\Omega｝\frac｛（u_｛\lambda｝+t\psi）^｛1-\gamma｝-u_｛\lambda｝^｛1-\gamma｝｝｝｛t｝\，d\xi\leq\int _｛\Omega｝\nabla_{H} 单位_{\lambda}\nabla_{H}\psi\，d\xi-\int_{\Omega}\phi_{u{\lampda}}u{\lambda}\psi，d\xi。\结束{对齐}$$

(3.12)

请注意

$$\begin{aligned}\frac{\lambda}{1-\gamma}\int_{\Omega}\frac{（u_{\lampda}+t\psi）^{1-\gamma}-u_{\ lambda{^{1-\ gamma}{t}\，d\xi=\lambda \int_}\Omega}（u{\lambeda}+\zeta t\psi）。\结束{对齐}$$

在哪里？\（\泽塔\右箭头0^{+}\）和\（（（u{\lambda}+\zeta t\psi）^{-\gamma}\psi\rightarrow u{\lambda}^{-\ gamma}\psi\）即。\（x\英寸\欧米茄\）作为\（向右箭头0^{+}\），自\（（u{\lambda}+\zeta t\psi）^{-\gamma}\psi\geq 0）.根据Fatou引理

$$\begin{aligned}\lambda\int_{\Omega}u_{\lambda}^{-\gamma}\psi\，d\xi\leq\frac{\lambeda}{1-\gamma}\liminf_{t\rightarrow 0^{+}}\int_}\Omega}\frac}（u{\lampda}+t\psi）^{1-\gamma}-u_{\ lambda}^{1-\ gamma}{t}\，d_xi。\结束{对齐}$$

因此，我们从(3.12)上述估计是

$$\开始{aligned}\int_{\Omega}\nabla_{H} u个_{\lambda}\nabla_{H}\psi\，d\xi-\int_{\Omega}\phi_{u{\lambeda}\psi，d\xi-\lambda \int_}\Omega}u{\lambda}}^{-\gamma}\psi.，d\xi\geq 0，\quad\psi\geq0。\结束{对齐}$$

(3.13)

自\（I{\lambda}（u{\lampda}）<0\），这个，连同引理2.5，意味着\（u｛\lambda｝\ notin S_｛\lho｝\）; 因此，我们得到\（u{\lambda}）。对于\（u{\lambda}\），有\（（0,1）中的增量{1}）这样的话\（（1+t）u_{\lambda}\在B_{\rho}\中）对于\（|t|\leq\delta_{1}\）.定义\（k:[-\delta{1}，\delta}]\）通过\（k（t）=I{\lambda}（（1+t）u{\lampda}）显然，\（k（t）\）在\（t=0），即

$$\开始{aligned}k'（t）|_{t=0}=\Vert u_{\lambda}\Vert^{2}-\int_{\Omega}\phi_{u{\lambda}}u{\lambda}^{2}，d\xi-\lambda \int_}\Omega}u{\λ}^{1-\gamma}，2\xi=0。\结束{对齐}$$

(3.14)

假设对于任何\（S中的v^{1}_{0}（\Omega）\）,\（epsilon>0\）.定义\（U^{+}\中的\Psi\）通过

$$\开始{aligned}\Psi=（u_{\lambda}+\epsilon v）^{+}。\结束{对齐}$$

与结合(3.13)和(3.14)，我们得到

$$\开始{aligned}0&\leq\int_{\Omega}\bigl（\nabla_{H} u个_{\lambda}\nabla_{H}\Psi-\phi_{u_{\lampda}}u_{\ lambda{\Psi-\lambda u_{\lambada}^{-\gamma}\Psi \bigr）\，d\xi\\&=\int_{\{u{\lambeda}+\epsilon v>0\}}}\bigl[\nabla_{H} u个_{\lambda}\nabla_{H}（u_{\lampda}+\epsilon v）-\phi_{u_{lambdaneneneep}u_{\ lambda{+\epsilon v epsilon v\leq 0\}}\biggr）\bigl[\nabla_{H} u个_{\lambda}\nabla_{H}（u_{\lampda}+\epsilon v）-\phi_{u_{lambda}}u_{lambda{+\epsilon v^{2}-\int_{\Omega}\phi_{u{\lambda}}u{\lambda}^{2}，d\xi-\lambda \int_}\Omega}\vert u{\lambda}\vert^{1-\gamma}\，d\ xi\\&\quad{}+\epsilon\int_{\Omega}\bigl（\nabla_{H} 单位_{\lambda}\nabla_{H} v（v）-\φ{u{\lambda}}u{\lambda}v-\lambda u{\λ}^{-\gamma}v\bigr）\，d\xi\\&\quad{}-\int_{\{u{\λ}+\epsilon v\leq 0\}}\bigl[\nabla_{H} u个_{\lambda}\nabla_{H}（u_{\lampda}+\epsilon v）-\phi_{u{\lambeda}}u_{\ lambda{+\epsilon v_{H} u个_{\lambda}\nabla_{H} v（v）-φ{u{\lambda}}u{\lambda}v-\lambda u{\lambda}^{-\gamma}v\biger）_{H} u个_{\lambda}\nabla_{H} 五-\φ_｛u_｛\lambda｝｝u_｛\lambda｝v）\，d\xi。\结束{对齐}$$

(3.15)

由于衡量一体化领域\（{u{\lambda}+\epsilon v\leq 0\}\rightarrow 0\）作为\（\epsilon\rightarrow 0\），因此

$$开始{aligned}\lim_{epsilon\rightarrow0}\int_{u_{lambda}+\epsilonv\leq0}（\nabla_{H} u个_{\lambda}\nabla_{H} v（v）-\φ{u{\lambda}}u{\lambda}v），d\xi=0。\结束{对齐}$$

因此，除以ϵ和设置\（\epsilon\rightarrow 0\）英寸(3.15)，一个得到

$$\开始{aligned}\int_{\Omega}\nabla_{H} u个_{\lambda}\nabla_{H} v（v）\，d\xi-\int_{\Omega}\phi_{u{\lambda}}u{\lambda}v \，d\\xi-\lambda \int_}u_{\lambeda}^{-\gamma}v \，2\xi\geq 0。\结束{对齐}$$

(3.16)

由于五，不平等也适用于−五

$$\开始{aligned}\int_{\Omega}\nabla_{H} u个_{\lambda}\nabla_{H} 五\，d\xi-\int_{\Omega}\phi_{u{\lambda}}u{\lambda}v\，d\\xi-\lambda \int_}u_{\lambeda}^{-\gamma}v \，d_xi=0。\结束{对齐}$$

(3.17)

自\（u{\lambda}\geq0\）和\（u_{\lambda}\不等于0\），来自(3.17)，有支架

$$\开始｛对齐｝-\增量_{H} u个_{\lambda}\geq\phi{u{\lampda}}u{\lambda}&\geq0。\结束{对齐}$$

请注意\（u{\lambda}\geq0\）和\（u_{\lambda}\neq 0\），然后根据最大值原理（参见[三,4])，这表明\（u{\lambda}>0\）单位为Ω。从上述论点中，我们得出\（u{\lambda}\）是系统的积极解决方案(1.1)带有\（I{\lambda}（u{\lampda}）=m<0\）.

步骤2.假设\（0<\lambda<\lambda{0}\），然后是系统(1.1)有一个积极的解决方案\（v{*}\）这样的话\（I_{\lambda}（v_{*}）>0\）.

事实上，根据引理2.5,\（I_｛\lambda｝\）满足山口引理的几何结构。按引理2.3，存在一个序列\（{v_{n}\}\）这样的话

$$\vert dI_{\lambda}\vert（v_{n}）\rightarrow 0，\qquad I_{lambdaneneneep（v_}n}$$

我们知道这一点\（{v_{n}\}\子集S^{1}_{0}（\Omega）\）具有收敛子序列，仍表示为\（{v_{n}\}\），我们可以假设\（v_｛n｝\右箭头v_｛*｝\）在里面\（秒）^{1}_{0}（\Omega）\）、和

$$I_{\lambda}（v_{*}）=\lim_{n\rightarrow\infty}I_{lambda{（v{n}$$

将定理1.3.1应用于[6]，类似于步骤1，\（v{*}\）满足问题(2.3)带有\（I_{\lambda}（v_{*}）=c>0\）因此，\（v{*}\）是系统的第二个正解(1.1). □