比例Caputo-hybrid算子下的新中点型不等式

摘要

分数微积分是数学和应用科学的重要基础，是一种极有价值的工具。此外，新的混合分数算子将比例算子和Caputo算子结合在一起，在数学和计算机科学的许多领域提供了更好的应用。由于其应用范围广泛，本文主要研究比例Caputo-hybrid算子。首先，我们为这个算子建立一个新的恒等式。然后，基于新发现的恒等式，我们建立了一些与比例Caputo-hybrid算子的Hermite–Hadamard型不等式左侧相关的积分不等式。此外，我们还展示了这些结果如何改进和完善积分不等式设置中的许多先前发现。稍后，我们将给出具体的例子及其相关的图，以更好地理解新获得的不等式。我们的结果不仅扩展了以往的研究，而且为解决广泛的数学和科学问题提供了有价值的观点和方法。

1介绍

在数学中，凸分析非常重要，因为它可以应用于许多领域，如控制理论、优化理论、能源系统、物理、工程应用、经济和金融。此外，凸分析和积分不等式之间有着密切的关系，这两个概念在它们所提供的性质方面相互补充。凸理论中最著名的不等式之一是Hermite–Hadamard不等式，该不等式由Charles Hermite和Jacques Hadamar德独立研究[16,19]. 这个不等式可以表示为：

$$\psi\biggl（\frac{\zeta+\vartheta}{2}\biggr$$

(1)

哪里\（\psi:I\rightarrow\mathbb{R}\）是区间上的凸函数我实数和\（I中的\ zeta，\ vartheta \）具有\（ζ<\vartheta\）.如果ψ是凹的，则语句中的两个不等式都保持相反的方向。

Hermite–Hadamard不等式给出了紧区间上凸函数平均值的上下界。这个不等式在许多领域都有应用，包括积分学、概率论、统计学、最优化和数论。此外，它是解决需要确定函数平均值的物理和工程问题的有用工具。Hermite–Hadamard不等式在不同的数学领域得到了广泛的研究和应用。随着新问题的出现，它们的应用不断扩展，使其成为解决广泛数学问题的宝贵工具。此外，Hermite–Hadamard不等式的特征是其左右部分的梯形和中点不等式。这些类型的不等式一直是研究人员工作的重点。Dragomir和Agarwal于年首次建立了凸函数情况下的梯形不等式[15]，而凸函数情况下的中点型不等式是在[25]. 自从这些不平等现象出现以来，这一领域发生了很多活动[2,8,21].

分数微积分有着重要的历史基础。分数微积分的起源可以追溯到莱布尼茨和《乐必达》之间的对应关系。分数阶微积分使我们能够更准确地描述复杂系统的行为，尤其是那些表现出非整数阶动力学的系统。它扩展了传统微积分的概念，包括分数阶。它已经变得越来越重要，并在科学和工程的各个领域得到了应用[12]利用分段分数算子技术，研究了一个包含非线性扰动的确定性随机营养不良模型。此外，Chu等人[11]提出了一种求解分数阶混沌系统的数值方法。近年来，分数微积分是数学的一个发展中的分支，在捕捉科学和工程不同领域复杂系统的动力学方面发挥了重要作用（参见[28,30,31,33])因为新的分数积分和导数，如Caputo–Fabrizio[10]阿坦加纳-巴利亚努[5]，回火[34]等。

下面是Riemann–Liouville积分算子的定义，它是基本的分数积分算子之一[24]:

定义1

对于\（L_{1}[\zeta，\vartheta]\中的\psi\），阶Riemann-Liouville积分\（\varrho>0\）由提供

$$J_{\zeta+}^{\varrho}\psi（\varkappa）=\frac{1}{\Gamma（\varrho$$

和

$$J{\vartheta-}^{\varrho}\psi（\varkappa）=\frac{1}{\Gamma（\varrho）}\int_{\varkapta}^{\ vartheta}（\mathfrak{s}-\varkappa）^{\varrho-1}\psi（\mathfrak{s}）\，d\mathfrack{s}，\quad\varkappa<\vartheta$$

在这里，\（\Gamma（\varrho）\）是伽马函数\（J{\zeta+}^{0}\psi（\varkappa）=J{\vartheta-}^{0}\psi显然，对于该条件，黎曼-刘维尔积分将等于经典积分\（\varrho=1\）.

萨卡亚和尤尔德[38]以以下方式给出了分数积分方面Hermite–Hadamard不等式的不同表示。

定理1

让 \（\psi:[\zeta，\vartheta]\rightarrow\mathbb{R}\） 是一个函数 \（0\leq\zeta<\vartheta\） 和 \（L_{1}[\zeta，\vartheta]\中的\psi\）.如果 ψ 是上的凸函数 \（[\zeta，\vartheta]\）,那么以下分数次积分不等式成立:

$$\psi\biggl（\frac{\zeta+\vartheta}{2}\biggr \varrho}\psi（\zeta）\bigr]\leq\frac{\psi（\ zeta）+psi（\vartheta）}{2}$$

具有 \（\varrho>0\）.

后来，Saríkaya等人[37]和Iqbal等人[22]分别介绍了凸函数的分数中点型不等式和梯形不等式的几个不等式。有关分数阶积分不等式的其他论文，请参见[7,9,17,26]以及其中引用的参考文献。

分数分析中的另一个重要定义如下[35].

定义2

让\（\varrho>0\）和\（\varrho\notin\{1,2，\ldots\}\）,\（n=[\varrho]+1）,\（\psi\在AC^{n}[\zeta，\vartheta]\中），函数的空间\（第n个\）导数是绝对连续的。左右Caputo分数阶导数ϱ定义如下：

$$ {}^{C} D类_{\zeta^{+}}^{\varrho}\psi（\varkappa）=\frac{1}{\Gamma（n-\varrho）}\int_{\zeta}^{\ varkappa}$$

和

$$ {}^{C} D类_{\vartheta^{-}}^{\varrho}\psi（\varkappa）=\frac{1}{\Gamma（n-\varrho）}\int_{\varkapta}^{\ vartheta}（\mathfrak{s}-\varkappa）^{n-\varrho-1}\psi^{（n）}（\mathfrak{s}）\，d\mathfrack{s}，\quad\varkappa<\vartheta$$

如果\（\varrho=n\in\{1,2,3，\ldots\}\）和通常的导数\（\psi^{（n）}（\varkappa）\）订单的n个存在，则卡普托分数导数\({}^{C} D类_{\zeta^{+}}^{\varrho}\psi（\varkappa）\）与…一致\（\psi^{（n）}（\varkappa）\），而\({}^{C} 天_{\vartheta^{-}}^{\varrho}\psi（\varkappa）\）精确到常数乘数\（（-1）^{n}\）。对于\（n=1）和\（\varrho=0\），我们有\({}^{C} D类_{\zeta^{+}}^{\varrho}\psi（\varkappa）={}^{C} D类_{\vartheta^{-}}^{\varrho}\psi（\varkappa）=\psi（\ varkappa\）.

Caputo导数被定义为分数积分对函数标准导数的应用，而Riemann–Liouville分数导数是通过将函数的分数积分与其阶自变量进行微分而获得的n个与考虑分数微分方程的传统Riemann–Liouville分数导数相比，Caputo分数导数需要更合适的初始条件[14]. Al-Qurashi等人[1]介绍了一种新的离散、非平衡、基于忆阻的Hindmarsh–Rose神经元（HRN）和Caputo分数差分格式。Alsharidi等人[三]利用离散的卡普托分数阶导数，创建了永磁同步发电机系统分数阶概念。此外，比例导数的算子表示为\({}^{P} D类_{\varrho}\psi（\varkappa）\）由方程式给出[4]

$$ {}^{P} D类_{\varrho}\psi（\mathfrak{s}）=K_1}（\varrho，\mathbrak{s{）\psi（\tathfrak}）+K_0}$$

在这个方程式中，\（K_｛1｝\）和\（K_{0}\）是关于\（{}[0,1]\中的\varrho\）和\（\mathfrak{s}\in\mathbb{R}\）取决于特定条件，以及功能ψ关于是可微的\（\mathfrak{s}\in\mathbb{R}\）它与广泛且不断增长的共形导数领域有关。这种算子的使用在控制理论领域是很自然的事情。近年来，对卡普托导数和比例导数进行研究的重要性显著增加[18,20,23,27,29,32,39].

在[6]Baleanu等人给出了以下定义，将Caputo导数和比例导数的概念以一种新颖的方式合并，得到了一个混合分数算子，可以表示为Caputo分数导数和Riemann–Liouville分数积分的线性组合。

定义3

让\（\psi:I\subset\mathbb{R}^{+}\rightarrow\mathbb{R}\）是上的可微函数\（我^{\circ}\）和ψ,\（\psi^{\prime}\）在当地\（L_{1}（I）\）那么比例Caputo-hybrid算子可以定义如下：

$$ {}^{C} D类_{\zeta^{+}}^{\varrho}\psi（\mathfrak{s}）=\frac{1}{\Gamma（1-\varrho{s}-\τ）^{-\varrho}\，d\tau$$

哪里\（\varrho\in｛｝[0,1]\）和\（K_{1}\）和\（K_{0}\）是满足以下条件的函数：

$$\开始{aligned}&\lim_{\varrho\rightarrow0^{+}}K_{0}（\varrho，\tau）=0；\qquad\lim_{\varrho\rightarrow 1}K_{0}（\varrho，\tau）=1；\qquad K_{0}（\varrho，\tau）\neq 0，\quad\varrho\ in（0,1]；\\&\lim_{\varrho\rightarrow 0}K_{1}；\qquad\lim_{\varrho\rightarrow 1^{-}}K_{1}（\varrho，\tau）=1；\qquad K_｛1｝（\varrho，\tau）\neq 0，\quad\varrho\in｛｝[0,1）.\end｛aligned｝$$

另一方面，萨卡亚利用不同的\（K_{1}\）和\（K_{0}\）根据定义的功能三并使用该定义给出了Hermite–Hadamard不等式[36]如下：

定义4

让\（\psi:I\subset\mathbb{R}^{+}\rightarrow\mathbb{R}\）是上的可微函数\（我^{\circ}\）和ψ,\（L_{1}（I）中的prime}）.左右比例Caputo-hybrid有序算子ϱ分别定义如下：

$${}_{\zeta^{+}}^{个人电脑}D_{\vartheta}^{\varrho}\psi（\vartheta）=\frac{1}{\Gamma（1-\varrho}\，d\tau$$

和

$${}_{\vartheta^{-}}^{个人电脑}D_｛\zeta｝^｛\varrho｝\psi（\zeta）=\frac｛1｝｛\Gamma（1-\varrho）｝\int _｛\zeta｝^｛\vartheta｝\bigl[K_｛1｝（\varrho，\tau-\zeta）\psi（\tau）+K_｛0｝（\varrho，\tau-\zeta）\psi ^｛\prime｝（\tau）\bigr]（\tau-\zeta）^｛-\varrho｝，d\tau$$

哪里\（{}[0,1]\中的\varrho\）和\（K_{0}（\varrho，\tau）=（1-\varrho）^{2}\tau^{1-\varhro}\）和\（K_{1}（\varrho，\tau）=\varrho^{2}\tau^{varrho}）.

定理2

让 \（\psi:I\subset\mathbb{R}^{+}\rightarrow\mathbb{R}\） 是上的可微函数 \（我^{\circ}\）,区间的内部 我,哪里 \（I^{circ}中的\ zeta，\ vartheta） 具有 \（\zeta<\vartheta）,和 ψ,\（\psi^{\prime}\） 是上的凸函数 我.那么以下不等式成立:

$$开始{对齐}和\varrho^{2}q\frac{\Gamma（1-\varrho）}{2（\vartheta-\zeta）^{1-\varhro}}\bigl[_{\zeta^{+}}^｛个｝D_{\vartheta}^{\varrho}\psi（\vartheta）+{}_{\vartheta^{-}}^{个人电脑}D_{\zeta}^{\varrho}\psi（\zeta）\bigr]\\&\quad\leq\varrho ^{2}（\vartheta-\zeta psi^{prime}（\vartheta）}{4}\biggr]。\结束{对齐}$$

此外，Demir等人[13]介绍了Hermite–Hadamard不等式的另一种公式，该公式利用了与先前定理不同的方法中的Caputo混合算子。这可以从以下表达式中观察到。

定理3

让 \（\psi:I\subset\mathbb{R}^{+}\rightarrow\mathbb{R}\） 是上的可微函数 \（我^{o}\）,间隔I的内部,哪里 \（I^{o}中的\ zeta，\ vartheta） 令人满意的 \（\zeta<\vartheta）,和 ψ,\（\psi^{\prime}\） 是上的凸函数 我.然后满足以下不等式:

$$开始{对齐}和\varrho^{2}（\vartheta-\zeta）^{\varrhoS}2^{-\varrhos}\psi\biggl（\frac{\zeta+\vartheta}{2}\biggr）+（1-\varrho）（\vartheta-\zeta）gr）\\&\quad\leq\frac{\Gamma（1-\varrho）}{2^{\varrho}（\vartheta-\zeta）^{-\varrhoS+1}}\biggl[{}_{\泽塔^{+}}^｛个｝D_{（\frac{\zeta+\vartheta}{2}）}^{\varrho}\psi\biggl（\frac{\zeta+\varheta}{2}\biggr）+{}_{\vartheta ^{-}}^{个人电脑}D_{（\frac{\zeta+\vartheta}{2}）}^{\varrho}\psi\biggl 1-\varrho）（\vartheta-\zeta）^{1-\varrho}2^{\varrho-2}\biggl[\frac{\psi^{\prime}（\zeta（\vartheta）}{2}\biggr]。\结束{对齐}$$

本文的目的是利用比例Caputo-hybrid算子研究关于黎曼积分的Hermite–Hadamard型不等式的类似版本。根据这一目的，我们最初在新定义的比例Caputo混合算子的帮助下提出了一个恒等式。这个恒等式在建立各种中点型不等式方面起着关键作用。然后，我们利用凸性、Hölder不等式和幂平均不等式给出了许多重要的不等式。此外，为了验证我们的主要发现，我们提供了具体的示例和图形说明。这些结果通过考虑适当的假设扩展和推广了先前研究中得出的不等式ϱ.

2主要成果

我们依靠以下引理来展示我们的其他主要发现。基于这一发现，我们发展了各种积分不等式，这些不等式与比例Caputo-hybrid算子的Hermite–Hadamard型不等式的左侧有关。

引理1

让 \（\psi:I\subet\mathbb｛R｝^｛+｝\rightarrow\mathbb｛R｝\） 是上的二次可微函数 \（我^{o}\）,间隔I的内部,哪里 \（I^{o}中的\ zeta，\ vartheta） 令人满意的 \（\zeta<\vartheta）,然后让 \（L_{1}[\zeta，\vartheta]\中的\psi，\psi^{\prime}，\ps2^{\prime}\）.然后满足以下身份:

$$开始{对齐}和\varrho^{2}（\vartheta-\zeta）^{\varrho+1}2^{-\varrho2}\biggl[\int_{0}^{\frac{1}{2}}\mathfrak{s}\psi^{\prime}\bigl \frac{1}{2}}^{1}（\mathfrak{s} -1个)\psi^{prime}\bigl（\mathfrak{s}\zeta+（1-\mathfrak{s}）\vartheta\bigr）\，d\mathfrak{s}\ biggr]\\&\quad\quad{}+（1-\ varrho）（\vartheta-\zeta）^{2-\varrho}2^{\varrho-3}\\&\quid ^{2-2\varrho}-1\biger）\biggl[\psi^{\prime\prime}\biggl（\frac{1+\mathfrak{s}}{2}\zeta+\frac{1-\mathfrak{s}}{2}\vartheta\biggr）-\psi^{\prime\prime}\biggl（\frac}1-\matchfrak{s}}{2}\zeta+\fracc{1+\mathfrak{s}{2{2\vartheta\figgr）\biggr]\，d\mathfrak{s}\&quad=-\varrho^{2}（\vartheta-\zeta）^{\varrho}2^{-\varrho+1}\psi\biggl（\frac{\zeta+\vartheta}{2}\biggr）-（1-\varrho）（\vartheta-\zeta）^{1-\varrro}2^{\varrho-1}\psi^{\prime}\biggl^{个人电脑}D_{（\frac{\zeta+\vartheta}{2}）}^{\varrho}\psi\biggl（\frac{\zeta+\varheta}{2}\biggr）+{}_{\vartheta ^{-}}^{个人电脑}D_{（\frac{\zeta+\vartheta}{2}）}^{\varrho}\psi\biggl（\frac{\zeta+\varheta}{2}\biggr）\biggr]。\结束{对齐}$$

(2)

证明

通过部件集成，我们

$$\开始{aligned}&\int_{0}^{1}（\mathfrak{s} -1个)\psi^{prime}\biggl（\frac{1-\mathfrak{s}}{2}\zeta+\fracc{1+\mathfrak{s}{2{\vartheta\biggr）\，d\mathfrak{s}\\&\quad=\frac}2}{\vartheta-\zeta}\psi\biggal（\frac{\zeta+/vartheta}{2neneneep \bigger）-\frac[2]{\varheta-\ziggr ta}\int_{0}^{1}\psi\biggl（\frac{1-\mathfrak{s}}{2}\zeta+\frac}1+\mathfrak{s}{2neneneep \vartheta\biggr）\，d\mathfrac{s}\结束{对齐}$$

和

$$\begon｛aligned｝&&int _｛0｝^｛1｝\bigl（\mathfrak｛s｝^｛2-2\varrho｝-1\bigr）\psi^｛\prime\prime｝\biggl（\frac｛1-\mathfrak｛s｝｝｛2｝\zeta+\frac｛1+\mathfrak｛s｝｝｛2｝\vartheta\biggr）\，d\mathfrak｛s｝\\&&quad=\frac｛2｝｛\vartheta-\zeta｝\psi^｛\prime｝\biggl（\frac a+\vartheta｝｛2｝\biggr）-\frac｛4（1-\varrho）｝｛\vartheta-\zeta｝\int _｛0｝^｛1｝\矩阵{s}^{1-2\varrho}\psi^{prime}\biggl（\frac{1-\mathfrak{s}}{2}\zeta+\fracc{1+\mathfrak{s}{2{vartheta\biggr）\，d\mathfrak{s}。\结束{对齐}$$

通过利用变量的变化，将结果乘以\（\varrho^{2}（\vartheta-\zeta）^{\varrho+1}2^{-\varrho-1}）和\（（1-\varrho）（\vartheta-\zeta）^{2-\varrho}2^{\varrho-3}），并将其并排合并，我们获得以下结果：

$$\begin｛aligned｝&\varrho^｛2｝（\vartheta-\zeta）^｛\varrho+1｝2^｛-\varrho-1｝\int _｛0｝^｛1｝（\mathfrak{s} -1个)\psi^{prime}\biggl（\frac{1-\mathfrak{s}}{2}\zeta+\fracc{1+\mathfrak{s}{2{\vartheta\biggr）\，d\mathfrak{s}\\&\quad\quadro{}+（1-\varrho）（\vartheta-\zeta）^{2-\varrho}2^{\varrho-3}\int_{0}^{1}\bigl（\mathbrak{s}^{2-2\varrho}-1\biger）\psi^{prime\prime}\biggl（\frac{1-\mathfrak{s}}{2}\zeta+\fracc{1+\mathfrak{s}{2{\vartheta\biggr）\，d\mathfrak{s}\\&\quad=\varrho^{2}c{\zeta+\vartheta}{2}\biggr）\\&\quad\quad{}-\frac{2^{1-\varrho}}{（\vartheta-\zeta）^{1-\ varrho{}\int_{\frac{\zeta+\vartheta}{2}}^{\vartheta}\biggl[\varrho^{2}\bigl \psi^{\prime}（\tau）\biggr]\\&\quad\quad{}\times\biggl（\tau-\frac{\zeta+\vartheta}{2}\biggr）^{-\varrho}\，迪托。\结束{对齐}$$

(3)

使用类似方法得出的另一个结果如下：

$$\begin｛aligned｝&\varrho^｛2｝（\vartheta-\zeta）^｛\varrho+1｝2^｛-\varrho-1｝\int _｛0｝^｛1｝（\mathfrak{s} -1个)\psi^{prime}\biggl（\frac{1+\mathfrak{s}}{2}\zeta+\fracc{1-\mathfrak{s}{2{\vartheta\biggr）\，d\mathfrak{s}\\&\quad\quadro{}+（1-\varrho）（\vartheta-\zeta）^{2-\varrho}2^{\varrho-3}\int_{0}^{1}\bigl（\mathbrak{s}^{2-2\varrho}-1\biger）\psi^{prime\prime}\biggl（\frac{1+\mathfrak{s}}{2}\zeta+\frac{1-\mathfrak{s}{2{\vartheta\biggr）\，d\mathfrak{s}\\&\quad=-\varrho^{2}c{\zeta+\vartheta}{2}\biggr）\\&\quad\quad{}+\frac{2^{1-\varrho}}{（\vartheta-\zeta）^{1-\ varrho{}\int_{\zeta}^{\frac{\zeta+\vartheta}{2}}\biggl[\varrho^{2}\bigl（\frac}\zeta+\vartheta}{2}-\tau\biggr）^{\varrho}\psi（\tau）+（1-\varrho）^{2}\biggl（\frac{\zeta+\vartheta}{2}-\tau\biggr）^{1-\varrho}\psi^{\prime}（\tau）\biggr]\\&\quad\quad{}\times\biggl（\frac{\zeta+\vartheta}{2}-\tau\biggr）^{-\varrho}\，d\tau。\结束{对齐}$$

(4)

减法(4)来自(三)，我们得到

$$\开始{对齐}和\varrho^{2}（\vartheta-\zeta）^{\varrho+1}2^{-\varrho-1}\int_{0}^{1}（\ mathfrak{s} -1个)\biggl[\psi^{\prime}\biggl d\mathfrak{s}\\&\quad\quad{}+（1-\varrho）（\vartheta-\zeta）^{2-\varrho}2^{\varrho-3}\\&\ quad\quid{}\times\int_{0}^{1}\bigl（\mathfrak{s}^{2-2\varrho}-1\biger+\mathfrak{s}}{2}\vartheta\biggr）\biggr]\，d\mathfrack{s}\\&\quad=-\varrho^{2}（\vartheta-\zeta）^{\varrho}2^{-\varrho+1}\psi\biggl（\frac{\zeta+\vartheta}{2}\biggr）-（1-\varrho）（\vartheta-\zeta）{\varrho-1}（\vartheta-\zeta）^{-\varrho+1}}\biggl[{}_{\zeta^{+}}^{个人电脑}D_{（\frac{\zeta+\vartheta}{2}）}^{\varrho}\psi\biggl（\frac{\zeta+\varheta}{2}\biggr）+{}_{\vartheta ^{-}}^{个人电脑}D_｛（\frac｛\zeta+\vartheta｝｛2｝）｝^｛\varrho｝\psi期（（的（。\结束{对齐}$$

因此，利用平等

$$\开始{aligned}&\int_{0}^{1}（\mathfrak{s} -1个)\biggl[\psi^{\prime}\biggl d\mathfrak{s}\\&\quad=4\biggl[\int_{0}^{\frac{1}{2}}\mathfrak{s}\psi^{\prime}\bigl（\mathfrak{s}\ zeta+（1-\mathbrak{s{）\vartheta\biger）\，d\mathfrak{s}+\int_{\frac{1}{2}}^{1}（\mathfrak{s} -1个)\psi^{\prime}\bigl（\mathfrak{s}\zeta+（1-\mathfrak{s}）\vartheta\bigr）\，d\mathfrack{s}\ biggr]，\end{aligned}$$

我们得出了证据的结论。□

备注1

通过将限制视为\（\varrho\rightarrow 1\）在引理中1，可以推断出

$$\begin｛aligned｝&&\frac｛1｝｛\vartheta-\zeta｝\int _｛\zeta｝^｛\vartheta｝\psi（\varkappa）\，d\varkappa-\psi\biggl（\frac｛\zeta+\vartheta｝｛2｝\biggr）\\\quad=（\vartheta-\zeta）\biggl[\int _｛0｝^｛\frac｛1｝｛2｝｝\mathfrak｛s｝\psi ^｛\prime｝\bigl（\mathfrak｛s｝\zeta+（1-\mathfrak｛s｝\zeta+frak｛s｝）\vartheta\bigr）\，d\mathfrak｛s｝+\int _｛\frac｛1｝｛2｝｝^｛1｝（\mathfrak{s} -1个)\psi^{\prime}\bigl（\mathfrak{s}\zeta+（1-\mathfrak{s}）\vartheta\bigr）\，d\mathfrack{s}\ biggr]，\end{aligned}$$

如Körmac所示[25].

推论1

当我们考虑 ϱ 接近0在引理中 1,我们发现了

$$\开始{对齐}&\frac{（\vartheta-\zeta）^{2}}{8}\biggl（\int_{0}^{1}\bigl（\mathfrak{s}^{2}-1\bigr）\biggl[\psi^{\prime\prime}\biggl（\frac{1+\mathfrak{s}}{2}\zeta+\frac}1-\mathbrak{s{}{2{\vartheta\biggr）-\psiqu{\prime \prime}\bigl）\biggr]\，d\mathfrak{s}\biggr）\\&\quad=-\frac{（\vartheta-\zeta）}{2}\psi^{\prime}\bigl（\frac}\zeta+\vartheta}{2} \biggr）+\bigl[\psi（\vartheta）-\psi（\ zeta）\bigr]\\&\quad\quad{}+\frac{2}{\vartheta-\zeta}\biggl（\int_{\zeta{^{\frac{\zeta+\varthetta}{2}\psi（\farkappa）\，d\varkappa-\int_}{\frac:zeta+\varheta}{2{}^{\varheta}\psi pa）\，d\varkappa\biggr）。\结束{对齐}$$

此外,通过选择 \（\varrho=\压裂{1}{2}\）,平等(2)采取形式

$$开始{aligned}和\frac{1}{\vartheta-\zeta}\biggl\{-\psi\biggl（\frac}\zeta+\vartheta}{2}\bigr）-\psi^{\prime}\bigl）\，d\varkappa+\psi（\vartheta）-\psi（\ zeta）\biggr]\biggr\}\\&\quad=\int_{0}^{\frac{1}{2}}\mathfrak{s}\psi^{\prime}\bigl（\mathfrak{s}\ zeta+（1-\mathfrak{s}）\vartheta\bigr）\，d\mathfrake{s}+\int_{\frac{1}{2}}^{1}（\mathfrak{s} -1个)\psi ^｛\prime｝\bigl（\mathfrak｛s｝\zeta+（1-\mathfrak｛s｝）\vartheta\bigr）\，d\mathfrak｛s｝\\&&quad\quad｛｝+\frac｛1｝｛4｝\int _｛0｝^｛1｝（\mathfrak{s} -1个)\biggl[\psi^{\prime\prime}\biggl]\，d\mathfrak{s}。\结束{对齐}$$

定理4

让 \（\psi:I\subset\mathbb{R}^{+}\rightarrow\mathbb{R}\） 是上的二次可微函数 \（我^{o}\）,区间I的内部,哪里 \（I^{o}中的\ zeta，\ vartheta） 令人满意的 \（\zeta<\vartheta）,然后让 \（L_{1}[\zeta，\vartheta]\中的\psi，\psi^{\prime}，\ps2^{\prime}\）.如果 \（|\psi^{\prime}|^{q}\） 和 \（|\psi^{\prime\prime}|^{q}\） 是凸的 \（[\zeta，\vartheta]\） 对于 \（q \ geq 1 \）,那么下面的不等式成立:

$$开始{对齐}&\biggl\vert\frac{\Gamma（1-\varrho）}{2^{\varrho-1}（\vartheta-\zeta）^{-\varrho+1}}\biggl[{}_{\zeta^{+}}^{个人电脑}D_{（\frac{\zeta+\vartheta}{2}）}^{\varrho}\psi\biggl（\frac{\zeta+\varheta}{2}\biggr）+{}_{\vartheta ^{-}}^{个人电脑}D_{（\frac{\zeta+\vartheta}{2}）}^{\varrho}\psi\biggl-\varrho）（\vartheta-\zeta）^{1-\varrho}2^{\varrho-1}\psi^{\prime}\biggl（\frac{\zeta+\vartheta}{2}\biggr）\biggr\vert\\&\quad\leq\varrho^{2}{\prime}（\vartheta）\bigr\vert\bigr）\\&\quad\quad{}+（1-\varrho）（\vartheta-\zeta）^{2-\varrho}2^{\varrho-3}\biggl\{\biggl（\frac{2-2\varrho}{3-2\varrho}\biggr）{2}-\frac{1}{3-2\varrho}-\frac}1}{4-2\varrho}\biggr）\\&\quad\quad{}+\fracc{|\psi^{\prime\prime}（\vartheta）|^{q}}{2}\bigl（\frac{1}{2}-\frac{1}{3-2\varrho}+\frac}1}{4-2\varrho}\biggr）\biggr]^{\frac[1}{q}}+\biggl[\frac{|\psi^{\prime\prime}（\zeta）|^{q}{2}\bigl（\frac{1}{2}-\frac{1}{3-2\varrho}+\frac}1}{4-2\varrho}\biggr）\\&\quad\quad{}+\fracc{|\psi^{\prime\prime}（\vartheta）|^{q}}{2}\bigl（\frac[3]{2}-\压裂{1}{3-2\varrho}-\压裂{1}{4-2\varrho}\biggr）\biggr]^{\frac{1}{q}}\bigr）\bigr\}。\结束{对齐}$$

(5)

证明

首先，考虑以下情况\（q=1）.通过使用凸性\（|\psi^{\prime}|\）和\（|\psi^{\prime\prime}|\），它来自引理1那个

$$开始{对齐}&\biggl\vert\frac{\Gamma（1-\varrho）}{2^{\varrho-1}（\vartheta-\zeta）^{-\varrho+1}}\biggl[{}_{\zeta^{+}}^{个人电脑}D_{（\frac{\zeta+\vartheta}{2}）}^{\varrho}\psi\biggl（\frac{\zeta+\varheta}{2}\biggr）+{}_{\vartheta ^{-}}^{个人电脑}D_{（\frac{\zeta+\vartheta}{2}）}^{\varrho}\psi\biggl-\varrho）（\vartheta-\zeta）^{1-\varrho}2^{\varrho-1}\psi^{\prime}\biggl（\frac{\zeta+\vartheta}{2}\biggr）\biggr\vert\\&\quad\leq\varrho^{2}（\vartheta-\zeta）^{\varrho+1}2^{-\varrho2}\biggl[\int_{0}^{\frac{1}{2}}\mathfrak{s}\bigl psi^{\prime}（\vartheta）\bigr|\biger）\，d\mathfrak{s}\\&\quad\quad{}+\int_{\frac{1}{2}}^{1}（1-\mathfrac{s}）\bigl（\mathfrak｛s｝\bigl|\psi^｛\prime｝（\zeta）\bigr|+（1-\mathfrak｛s｝）\bigl|\psi^｛\prime｝（\vartheta）\bigr|\bigr）\，d\mathfrak｛s｝\biggr]\\&&quad\quad｛｝+（1-\varrho）（\vartheta-\zeta）^｛2-\varrho｝2^｛\varrho-3｝\int _｛0｝^｛1｝\bigl（1-\mathfrak｛s ^｛2-2\varrho｝\bigr）\\&&\quad\quad｛｝\times\biggl（\frac｛1-\mathfrak｛s｝｝｛2｝\bigl\vert\psi^{\prime\prime}（\zeta）\bigr\vert+\frac{1+\mathfrak{s}}{2}\bigl\ vert\psis^{\prime\prime}（\ vartheta）\bigr\vert+\frac{1+\ mathfrak{s}{2{\bigl\svert\psia^{\rime\primer}（\seta）\bigr\vert+\fracc{1-\mathfrak{s}{2}\bigl\\vert\psi ^{\prime\prime}（\vartheta）\bigr\vert\biggr）\，d\mathfrak{s}。\结束{对齐}$$

(6)

然后，因为

$$\int_{0}^{\frac{1}{2}}\mathfrak{s}^{2}\，d\mathfrac{s}=\int_}\frac}{2{1}（1-\mathfrak{s}）（1-\mathfrak{s}）\，d\mathfrak{s}=\int_{\frac{1}{2}}^{1}$$

和

$$\int_{0}^{1}\bigl（1-\mathfrak{s}^{2-2\varrho}\bigr）\，d\mathfrak{s}=\frac{2-2\warrho}{3-2\varrho}$$

我们得到了不等式右边的表达式(6)是

$$开始{对齐}和\frac{\varrho^{2}（\vartheta-\zeta）^{\varhro+1}2^{-\varrho+1}}{4}\biggl 2^{\varrho-2}\biggl（\frac{2-2\varrho}{3-2\varrho}\bigr）\biggl（\frac{|\psi^{\prime\prime}（\zeta）|+|\psi ^｛\prime\prime｝（\vartheta）|｝｛2｝\biggr）。\结束{对齐}$$

此外，对于\（q>1），通过使用引理1，幂平均不等式，并考虑\（|\psi^{\prime}|^{q}\）和\（|\psi^{\prime\prime}|^{q}\），我们可以得出结论

$$开始{对齐}&\biggl\vert\frac{\Gamma（1-\varrho）}{2^{\varrho-1}（\vartheta-\zeta）^{-\varrho+1}}\biggl[{}_{\zeta^{+}}^{个人电脑}D_{（\frac{\zeta+\vartheta}{2}）}^{\varrho}\psi\biggl（\frac{\zeta+\varheta}{2}\biggr）+{}_{\vartheta ^{-}}^{个人电脑}D_{（\frac{\zeta+\vartheta}{2}）}^{\varrho}\psi\biggl-\varrho）（\vartheta-\zeta）^{1-\varrho}2^{\varrho-1}\psi^{\prime}\biggl（\frac{\zeta+\vartheta}{2}\biggr）\biggr\vert\\&\quad\leq\varrho^{2}裂缝{1}{2}}\mathfrak{s}\bigl[\mathfrak{s}\sbigl|\psi^{prime}（\zeta）\bigr|^{q}+（1-\mathflak{s{）\bigl|\si^{prime}\bigr|^{q}\bigr]\，d\mathfrak{s}\biggr ^{1}（1-\mathfrak{s}）\bigl[\mathfrak{s}\bigl|\psi^{prime}（\zeta）\bigr|^{q}+（1-\mathfrak}s}，d\mathfrak{s}\biggr）^{\frac{1}{q}}\bigr\}\\&\quad\quad{}+（1-\varrho）（\vartheta-\zeta）^{2-\varrho}2^{\varrho-3}\bigl\{\biggl \biggr）^{\frac{1}{p}}\\&\quad\quad{}\times\biggl（\int_{0}^{1}\bigl（1-\mathfrak{s}^{2-2\varrho}\bigr）\biggl[\frac{1+\mathfrak{s}}{2}\bigl|\psi^{\prime\prime}（\zeta）\bigr|^{q}+\fracc{1-\mathfrak{s}{2{\bigl |\psi ^{\prime\prime}{}+\biggl（\int_{0}^{1}\bigl（1-\mathfrak{s}^{2-2\varrho}\biger）\，d\mathfrack{s}\biggr）^{\frac{1}{p}}\\&\quad\quad{}\times\biggl（\int_{0}^{1}\bigl（1-\mathfrak{s}^{2-2\varrho}\biger）\biggl[\frac{1-\matchfrak{s}}{2}\bigl|\psi^{\prime\prime}（\zeta）\bigr|^{q}+\fracc{1+\mathfrak{s}{2{\bigl|\psia^{\prime\prime}（\ vartheta）\bigr|^}q}\biggr]\，d\mathfrak{s}\bigcr）^{\frac{1}{q}}\bigr\}。\结束{对齐}$$

因此，自

$$开始{对齐}&\int_{0}^{\frac{1}{2}}\mathfrak{s}\，d\mathfrak{s}=\int_}\frac}{1}}^{1}（1-\mathfrak{s}）}\bigr）（1+\mathfrak{s}）\，d\mathfrak{s}=\frac{3}{2}-\frac｛1｝｛3-2\varrho｝-\frac｛1｝｛4-2\varrho｝，\end｛aligned｝$$

和

$$\int_{0}^{1}\bigl（1-\mathfrak{s}^{2-2\varrho}\bigr）（1-\mathfrak}s}）\，d\mathfrak{s}=\frac{1}{2}-压裂{1}{3-2\varrho}+\压裂{1{4-2\varrho}$$

不平等(5)我们旨在证明的观点是正确的。□

备注2

通过将极限作为\（\varrho\rightarrow 1\）和设置\（q=1）在定理中4，我们发现

$$\biggl\vert\frac{1}{\vartheta-\ zeta}\int_{\zeta}^{\varheta}\psi（\varkappa）\，d\varkappa-\psi\biggl（\frac{\zeta+\ vartheta}{2}\biggr）\biggr\vert\leq\frac}（\vartheta-\zeta）}{8}\bigl（\bigl|\psi^{\prime}（\ zeta）\bigr|+\bigl| psi^{\prime}（\vartheta）\bigr|\bigr）$$

这一点已被K跏rmac跔证明[25].

推论2

作为 ϱ 方法0和用于 \（问题1） 在定理中 4,我们获得

$$开始{aligned}&\biggl\vert\psi（\vartheta）-\psi（\zeta）+\frac{2}{\vartheta-\zeta}\biggl（\int_{\zeta{^{\frac}\zeta+\varthetar}{2}}\psi（\ varkappa）\，d\varkappa-\int_}{\frac{\zeta+\varheta}{2{}^{\varheta}\psi \biggr）-\frac{（\vartheta-\zeta）}{2}\psi^{prime}\biggl（\frac}\zeta+\vartheta）}}\biggr）\biggr\vert\\&\quad\leq\frac{（\vartheta-\zeta）^{2}}{8}\biggl（\frac}{3}\bigr）^{\frac\q-1}{q}}\bigl[\biggl[\frac[11}{12}\bigl\vert\psi^{\prime\prime}（\zeta \psi^{\prime\prime}（\vartheta）\bigr\vert^{q}\biggr）^{1/q}\\&\quad\quad{}+\biggl（\frac{5}{12}\bigl\vert\psi^{\prime\prime}（\zeta）\bigr\vert^{q}+\frac{11}{12}\bigl\ vert\psia^{\prime\prime}（\ vartheta）\bigr\vert ^{q{\biggr）^{1/q}\biggr]。\结束{对齐}$$

此外,作为 ϱ 倾向于1和用于 \（问题1）,定理中所述的不等式 4简化为

$$开始{aligned}和\biggl\vert\frac{1}{\vartheta-\zeta}\int_{\zeta{^{\varheta}\psi（\varkappa）\，d\varkappa-\psi\biggl（\frac{\zeta+\vartheta}{2}\biggr）\biggr\vert\&\quad\leq\frac}（\varthetta-\zeta）}{8}\bigl（\frac{1+2^{\frac}{q}}}{3^{\frac{1}{q{}}\biggr）\bigl（\bigl\vert\psi^{\prime}（\zeta）\bigr\vert+\bigl\vert\psi^{\prime}（\vartheta）\bigr\ vert\biger）。\结束{对齐}$$

现在，为了说明我们的定理的适用性，我们给出了一个例子。

示例1

如果我们使用函数\（\psi（\varkappa）=2\varkappa^{3}）在间隔上定义$[0,2]$，我们可以计算不等式的右边(5)按以下方式：

$$\begin｛aligned｝&12\varrho^｛2｝\biggl \biggl（\frac｛1｝{2}-压裂{1}{3-2\varrho}+\frac{1}{4-2\varrho}\biggr）^{压裂{1{q}}+\biggl（压裂{3}{2}-\压裂{1}{3-2\varrho}-\frac{1}{4-2\varrho}\biggr）^{\frac}1}{q}}\bigbr]。\结束{对齐}$$

此外，我们还表明

$$\begin｛aligned｝&\biggl\vert\frac｛\Gamma（1-\varrho）｝｛2^｛\varrho-1｝（\vartheta-\zeta）^｛-\varrho+1｝｝\biggl[｛｝_｛\zeta^｛+｝｝^{个人电脑}D_{（\frac{\zeta+\vartheta}{2}）}^{\varrho}\psi\biggl（\frac{\zeta+\varheta}{2}\biggr）+{}_{\vartheta ^{-}}^{个人电脑}D_{（\frac{\zeta+\vartheta}{2}）}^{\varrho}\psi\biggl-\varrho）（\vartheta-\zeta）^{1-\varrho}2^{\varrho-1}\psi^{\prime}\biggl（\frac{\zeta+\vartheta}{2}\biggr）\biggr\vert\\&\quad=4\varrho^{2}+\frac{6（1-\varrho）^{2{}{2-\varrhoS}。\结束{对齐}$$

图1清楚地证明了不等式的左边(5)始终位于这个不等式的右侧下方\（\varrho\ in（0,1）\）和\（q \ geq 1 \）.

图1

不等式两边的图形(5)取决于\（\varrho\ in（0,1）\）和\（[1,3]\中的q）

定理5

让 \（\psi:I\subset\mathbb{R}^{+}\rightarrow\mathbb{R}\） 是上的二次可微函数 \（我^{o}\）,间隔I的内部,哪里 \（I^{o}中的\ zeta，\ vartheta） 令人满意的 \（\zeta<\vartheta）,然后让 \（L_{1}[\zeta，\vartheta]\中的\psi，\psi^{\prime}，\ps2^{\prime}\）.如果 \（|\psi^{\prime}|^{q}\） 和 \（|\psi^{\prime\prime}|^{q}\） 是凸的 \（[\zeta，\vartheta]\） 对于 \（q>1）,那么下面的不等式成立:

$$开始{对齐}&\biggl\vert\frac{\Gamma（1-\varrho）}{2^{\varrho-1}（\vartheta-\zeta）^{-\varrho+1}}\biggl[{}_{\zeta^{+}}^{个人电脑}D_｛（\frac｛\zeta+\vartheta｝｛2｝）｝^｛\varrho｝\psi\biggl（\frac｛\zeta+\vartheta｝｛2｝\biggr）+｛｝_｛\vartheta ^｛-｝^{个人电脑}D_{（\frac{\zeta+\vartheta}{2}）}^{\varrho}\psi\biggl-\varrho）（\vartheta-\zeta）^{1-\varrho}2^{\varrho-1}\psi^{\prime}\biggl（\frac{\zeta+\vartheta}{2}\biggr）\biggr\vert\\&\quad\leq\frac{\varrho^{2}）|^{q}}{8}\biggr{q} }\biggr]\\&\quad\quad{}+（1-\varrho）ta）|^{q}+3|\psi^{prime\prime}（\vartheta）||{q}}{4}\biggr）^{frac{1}{q}}+\biggl（\frac{3|\psi^{\prime\prime}（\zeta）|^{q}+|\ps2^{\prime\prime}（\ vartheta）||^{q}}{4}\biggr）^{\frac}1}{q}}\bigr]，\end{aligned}$$

(7)

哪里 \（压裂{1}{p}+压裂{1{q}=1\）.

证明

使用引理中的绝对值1并应用著名的Hölder不等式和\（|\psi^{\prime}|^{q}\）,\（|\psi^{\prime\prime}|^{q}\），我们得到

$$开始{对齐}&\biggl\vert\frac{\Gamma（1-\varrho）}{2^{\varrho-1}（\vartheta-\zeta）^{-\varrho+1}}\biggl[{}_{\zeta^{+}}^{个人电脑}D_{（\frac{\zeta+\vartheta}{2}）}^{\varrho}\psi\biggl（\frac{\zeta+\varheta}{2}\biggr）+{}_{\vartheta ^{-}}^｛个｝D_{（\frac{\zeta+\vartheta}{2}）}^{\varrho}\psi\biggl（\frac{\zeta+\varheta}{2\biggr）\biggr]\end{aligned}$$

(8)

$$开始{对齐}和\quad\quad{}-\varrho^{2}θ}{2}\biggr）\biggr\vert\\&\quad\leq\varrho^{2}（\vartheta-\zeta）^{\varrho+1}2^{-\varrho2}\biggl[\biggl（\int_{0}^{\frac{1}{2}}\mathfrak{s}^{p}\，d\mathfrac{s}\biggr）-\mathfrak{s}）\bigl\vert\psi^{prime}（\vartheta）\bigr\vert^{q}\bigr]\，d\mathfrak{s}\biggr）^{\frac{1}{q}}\\&\quad\quad{}+\biggl（\int_{\frac{1}{2}}^{1}（1-\mathfrak{s}）^{p}\，d\mathfrac{s}\biggr）-\mathfrak{s}）\bigl\vert\psi^{prime}（\vartheta）\bigr\vert^{q}\bigr]\，d\mathfrak{s}\biggr）^{\frac{1}{q}}\bighr]\\&\quad\quad{}+（1-\varrho）（\vartheta-\zeta）^{2-\varrho}2^{\varrho-3}\\&\quad\quad{}\times\biggl[\biggl（\int_{0}^{1}\bigl[1-\mathfrak{s}^{2-2\varrhoS}\bigr]^{p}\，d\mathfrak{s}\biggr）^{\frac{1}{p}\bigbl（\int _{0}^{1}\biggl[\frac{1+\mathfrak{s}}{2}\bigl\vert\psi^{prime\prime}（\zeta）\bigr\vert^{q}+\frac}1-\mathfrak{s}{2{\bigl\vert\psi^{\prime\prime}（\vartheta）\bigr\vert^{q}\biggr]\，d\mathfrak{s}\bigr）^{frac{1}{q}}\\&\quad\quad{}+\biggl压裂{1}{p}}\biggl（\int_{0}^{1}\bigl[\frac{1-\mathfrak{s}}{2}\bigle\vert\psi^{\prime\prime}（\zeta）\bigr\vert^{q}+\frac{1+\mathfrak{s}}{2}\bigl\vert\psi^{prime\prime}（\vartheta）\bigr\fort^{q{\biggr]\，d\mathfrak{s}\biggr）^{\frac}1}{q}\bigr]。\结束{对齐}$$

(9)

上述不等式中的积分可以通过

$$开始{aligned}&\int_{0}^{\frac{1}{2}}\mathfrak{s}^{p}\，d\mathfrak{s}=\int_}\frac}{2{1}}^{1}（1-\mathfrak{s}）c{1}{2}}\bigl[\mathfrak{s}\bigle\vert\psi^{prime}（\zeta）\bigr\vert^{q}+（1-\mathfrak{s}）\bigl\vert\psi^{prime}，d\mathfrak{s}=\frac{\vert\psi^{\prime}（\zeta）\vert^{q}+3\vert\psi^}\prime{（\vartheta）\virt^{q}}{8}，\\&\int_{\frac}1}{2}}^{1}\bigl[\mathfrak{s}\bigr\vert\psi{\prime}（\ zeta）\ bigr\verst^q}+（1-\mathfrak{s}）\bigl\vert\psi^{prime}（\vartheta）\bigr\vert^{q}\bigr]\，d\mathfrak{s}=\frac{3\vert\psi^{prime}（泽塔）\vert^{q}+\vert\psi^{prime}（\vartheta）\bigr\vert^{q}\biggr]\，d\mathfrak{s}=\frac{|\psi^{\prime\prime}（\zeta）|^{q{+3|\psi^{\prime\prime}（\vartheta）|^{q}}{4}，\\&\int_{0}^{1}\biggl[\frac{1+\mathfrak{s}}{2}\bigl\vert\psi^}\prime\trime}vert^{q}\biggr]\，d\mathfrak{s}=\frac{3|\psi^{\prime\prime}（\zeta）|^{q{+|\psi ^{\prime\prime}（\ vartheta）|^{q} {4}。\结束{对齐}$$

此外，使用\（（A-B）^{p}\leq A^{p} -B类^{p} \）对于\（A>B \geq 0）和\（第1页），我们有

$$\int _｛0｝^｛1｝\bigl[1-\mathfrak｛s｝^｛2-2\varrho的的一个中，一一之前在后$$

因此，通过将计算的积分结果替换为不等式(8)，可以达到预期的结果。□

备注3

在特殊情况下，其中ϱ定理中的方法15，我们获得

$$\开始{aligned}&\biggl\vert\frac{1}{\vartheta-\zeta}\int_{\zeta{^{\varheta}\psi（\varkappa）\，d\varkappa-\psi\biggl（\frac{\zeta+\vartheta}{2}\biggr）\biggr\vert\&\quad\leq\frac}（\varthetan-\zeta）}{16}\bigl（\frac{4}{p+1}\ biggr）^{\frac{1}{p}}\bigl\{\bigl[\bigl|\psi^{\prime}（\zeta）\bigr|^{q}+3\bigl |\psi ^{\prime}（\vartheta）\bigr|^｛q｝\bigr]^｛\frac｛1｝｛q｝｝+\bigl[3\bigl|\psi^｛\prime｝（\zeta）\bigr|^｛q｝+\bigl|\psi^｛\prime｝（\vartheta）\bigr|^｛q｝\bigr]^｛\frac｛1｝｛q｝｝\bigr｝，\end｛aligned｝$$

这一点在年被Körmac证明了[25].

推论3

在特殊情况下 ϱ 倾向于0在定理中 5,我们获得

$$\begl｛aligned｝&\biggl\vert\psi（\vartheta）-\psi（\zeta）+\frac｛2｝｛\vartheta-\zeta｝\biggl（\int _｛\zeta｝^｛\frac｛\zeta+\vartheta｝｛2｝｝）\psi（\varkappa）\，d\varkappa-\int _｛\frac｛\zeta+\vartheta｝｛2｝｝^｛\vartheta｝\psi（\varkappa）\，d\varkappa\biggr）-\frac｛（\vartheta-\zeta）｛2｝\psi^｛\prime｝\biggl（\frac｛\zeta+\vartheta｝｛2｝\biggr）\biggr\vert\\&\quad\leq\frac{（\vartheta-\zeta）^{2}}{8}\biggl（\frac}{2p+1}\bigr）^{frac{1}{p}}\bigbl[\biggl[\frac（\frac{|\psi^{\prime\prime}（\zeta}\biggr）^{\frac{1}{q}}+\biggl（\frac{3|\psi^{\prime\prime}（\zeta）|^{q}+|\psi ^{\prime\prime}（\ vartheta）||^{q}}{4}\biggr）^{\frac{1}{q}}\biggr]。\结束{对齐}$$

此外,通过选择 \（\varrho=\压裂{1}{2}\）,我们得到

$$开始{aligned}和\biggl\vert\frac{1}{\vartheta-\zeta}\biggl[\int_{\zetaneneneep ^{\varheta}\psi（\varkappa）\，d\varkappa+\psi+\vartheta}{2}\biggr）\biggr]\biggr\vert\\&\quad\leq\frac{（\vartheta-\zeta）}{2} \biggl（\frac{1}{2（p+1）}\biggr）^{\frac}{p}}\bigbl[\biggl[（\frac{|\psi^{prime}（\zeta）|^{q}+3|\psi ^{prime}|^{q}+|\psi^{\prime}（\vartheta）|^{q}}{8}\biggr）^{\frac{1}{q}}\bigr]\\&\quad\quad{}+\frac}\vartheta-\zeta}{4}\bigl（\frac[p}{p+1}\biggr）^{frac{1}{p}\bigbl[\biggl（\frac{|\psi^{prime\prime}（\zeta）|^{q}+3|\ psi^}\prime\prime}psi^{prime\prime}（\vartheta）|^{q}}{4}\biggr）^{frac{1}{q}{biggr]。\结束{对齐}$$

现在，我们给出一个例子来证明定理中建立的不等式的有效性5为了说明这一点。

示例2

考虑到功能ψ示例中定义1不等式右侧的表达式(7)可按如下方式进行评估：

$$24\biggl（压裂{1+3^{压裂{p-1}{p}}{4^{裂缝{p}{}}\biggr）+1}\biggr）^{\frac{1}{p}}\bigbr]$$

另一方面，我们知道

$$开始{对齐}&\biggl\vert\frac{\Gamma（1-\varrho）}{2^{\varrho-1}（\vartheta-\zeta）^{-\varrho+1}}\biggl[{}_{\zeta^{+}}^{个人电脑}D_{（\frac{\zeta+\vartheta}{2}）}^{\varrho}\psi\biggl（\frac{\zeta+\varheta}{2}\biggr）+{}_{\vartheta ^{-}}^{个人电脑}D_｛（\frac｛\zeta+\vartheta｝｛2｝）｝^｛\varrho｝\psi\biggl（\frac｛\zeta+\vartheta｝｛2｝\biggr）\biggr]\\&&quad\quad｛｝-\varrho^｛2｝（\vartheta-\zeta）^｛\varrho｝2^｛-\varrho+1｝\psi\biggl（\frac｛\zeta+\vartheta｝｛2｝\biggr）-（1-\varrho）（\vartheta-\zeta）^｛1-\varrho rho｝2^｛\varrho-1｝\psi^｛\prime｝\biggl（\frac｛\zeta+\vartheta｝｛2｝\biggr）\biggr\vert\\&\quad=4\varrho^{2}+\frac{6（1-\varrho）^{2{}{2-\varrhoS}。\结束{对齐}$$

因此，从图中可以看出2不等式的左边(7)对于以下所有值，始终低于右侧\（\varrho\ in（0,1）\）和\（p>1\）.

图2

不等式两边的图形(7)取决于\（\varrho\ in（0,1）\）和\（第（1,3]\页）

三结论

鉴于分数分析领域的最新进展，已经开展了大量研究工作，以借助各种分数积分算子优化边界。其中一个算子是比例Caputo混合算子。本研究的主要目标是获得新的和一般的不等式，通过使用该算子在不等式理论和分数分析之间建立联系，因为该主题在建模真实世界的自然事件中非常重要，并且具有许多含义。在这项工作中，我们开发了一种新的技术，涉及当前算子的Hermite–Hadamard型不等式的左侧，该算子关于在某些幂下绝对值的导数是凸函数的函数。此外，我们还展示了这些结果是如何在积分不等式背景下发展和加强大量先前研究的。随后，我们提供了具体的例子和相应的图表，以更好地理解新发现的不等式。因此，预计这些理论研究将为进一步研究比例Caputo-hybrid算子的新方法以及在许多应用领域铺平道路。在未来的工作中，人们可以通过该算子研究不同的不等式，如Grüss型不等式、Chebyshev型不等式或Simpson型不等式。此外，人们可以专注于如何在现实世界中使用这些不平等。