关于可微凸函数的共形分数Newton型不等式

摘要

作者提出了一种根据共形分数算子研究积分恒等式的新方法。此外，通过取新建立的等式的模，考虑了可微凸函数的一些牛顿型不等式。此外，我们借助Hölder不等式和幂-曼不等式证明了几个Newton型不等式。此外，利用所得不等式的特殊选择给出了几个新的结果。最后，我们给出了有界变分函数的几个保形分数牛顿型不等式。

1介绍

辛普森的第二条法则是三点牛顿-科特斯求积法则。具有二次核的三步计算通常称为牛顿型结果。在文献中，这些结果被称为牛顿型不等式。牛顿型不等式已被许多数学家广泛研究。例如，在[14]考虑了二阶导数为凸函数的Newton型不等式。Noor等人建立了与调和凸和第页-调和凸函数[28]和[29]分别是。在[25]后量子积分证明了Newton型不等式。此外，利用有界变差和Lipschitzian映射给出了Newton型求积公式的几个误差估计[12]. 此外，还针对中的量子可微凸函数提出了Newton型不等式[4]. 参考读者[18,20,27,32]以及其中关于包括凸可微函数的牛顿型不等式的更多信息和无法解释的主题的参考文献。

分数微积分近年来越来越受欢迎，因为它在不同科学领域的广泛应用。由于分数微积分的重要性，一个可以被认为是不同的分数积分算子。利用Hermite–Hadamard型不等式和Simpson型不等式，可以得到新公式的界。例如，在[31]首次使用Riemann–Liouville分数次积分建立了Hermite–Hadamard型和梯形型不等式。在[32]利用Riemann–Liouville分数次积分建立了可微凸函数的各种Newton型不等式，并获得了有界变差函数的几个Riemann-Liouvill分数Newton型不等不等式。此外，对于函数在某些幂次的绝对值的一阶导数是算术调和凸的情况，在[11]. 此外，给出了几个Newton型不等式，并在[14]. 请参见[9,10,16,19,20,35]了解细节和无法解释的主题。

Riemann–Liouville分数次积分、共形分数次积分和许多类型的分数次积分都是用不等式来考虑的。如今，它激发了数学家、工程师和物理学家的好奇心[6,33]. 除此之外，分数导数还用于建模各种数学生物学问题，以及化学过程和工程问题[7,13]. 通过使用导数的基本极限公式，在[23]. 共形导数应用了Riemann–Liouville和Caputo定义无法应用的几个主要要求。在[1]作者证明了整合方法在[23]与特定函数的Caputo定义相比，无法产生良好的结果。一致性定义中的这个缺陷通过一致性方法的几个扩展得到了弥补[三,8,17,26,34].

本研究分为六个部分，包括引言。在正在进行的研究和上述论文的帮助下，我们研究了涉及共形分数阶算子的Newton型不等式。分数微积分的基本定义和本学科的其他相关研究在第节中给出。 2我们将在第节中证明一个完整的等式。 三这对于确定本文的主要结果至关重要。此外，将证明保角分数次积分的各种新的Newton型不等式。在教派。 4，通过对所得不等式的特殊选择，将给出几个结果。在教派。 5，我们将给出一些关于有界变差函数的共形分数Newton型不等式。最后，在门派。 6，我们将对进一步的研究方向提出几点想法。

2前期工作

Simpson型不等式是根据Simpson的以下规则生成的不等式：

• i、。 辛普森求积公式（辛普森1/3法则）：

  $$\int _｛\sigma｝^｛\delta｝\mathcal｛F｝（x）\，dx\approx\frac｛\delta-\sigma｝｛6｝\biggl[\mathcal｛F｝（\sigma）+4\mathcal｛F｝\biggl（\frac｛\sigma+\delta｝｛2｝\biggr）+\mathcal｛F｝（\delta）\biggr]$$

• ii、。 牛顿-科特斯求积公式或辛普森第二公式（辛普森3/8法则）：

  $$\int_{\sigma}^{delta}\mathcal{F}（x）\，dx\approx\frac{delta-\sigma}{8}\biggl[\mathcal{F}（\sigma）+3\mathcali{F}\bigl（\sfrac{2\sigma+\delta}{3}\bigr）+3\mathcal{F}\bigbl（\frac}\sigma+2\delta{3}\ biggr）+\mathcial{F}（\delta）\biggr]$$

定义1

（请参见[30])

让我们考虑一下我是实数的区间。然后，一个函数\（\mathcal{F}:I\rightarrow\mathbb{R}\）称为凸，如果

$$\mathcal{F}\bigl（\mu x+（1-\mu）y\bigr）\leq\mu\mathcal{F}（x）+（1-\ mu）\mathcali{F}（y）$$

是有效的\（I中的所有x，y）和\（{}[0,1]\中的所有\mu\）。

定义2

（请参见[15,24])

让\（L_{1}[\sigma，\delta]\中的\mathcal{F}\）,\（\sigma，\delta\in\mathbb{R}\）具有\（σ<delta）Riemann–Liouville分数积分\（J_{\sigma^{+}}^{\beta}\mathcal{F}\）和\（J_{\delta^{-}}^{\beta}\mathcal{F}\）订单的\（β>0\）由定义

$$开始{aligned}和J{\sigma^{+}}^{\beta}\mathcal{F}$$

(1)

和

$$\开始{对齐}和J_{\delta^{-}}^{\beta}\mathcal{F}（x）=\frac{1}{\Gamma（\beta）}\int_{x}^{delta}（\mu-x）^{\beta-1}\mathcal{F{（\mo）\，d\mu，\quad x<\delta，\end{aligned}$$

(2)

分别是。这里，Γ表示由

$$\Gamma（\beta）=\int_{0}^{\infty}e^{-u}u^{\β-1}\，du$$

让我们注意到\（J{\sigma+}^{0}\mathcal{F}（x）=J{\delta-}^{0}\mathcal{F{（x。

在[22]. 这些作者还导出了这些算子与文献中其他一些分数算子之间的各种特征和关系。分数共形积分算子定义如下：

定义3

（请参见[22])

让\（β>0\）和\（在（0,1]\）中为α。对于\（L_{1}[\sigma，\delta]\中的\mathcal{F}\）分数阶共形积分算子——广义分数阶黎曼-刘维尔积分（FCIOs）\（{}_{+}^{\beta}\mathcal{日本}_{\sigma}^{\alpha}\mathcal{F}\）和\（{}_{-}^{\beta}\mathcal{日本}_{\delta}^{\alpha}\mathcal{F}\）由定义

$$\开始{aligned}&{}_{+}^{\beta}\mathcal{日本}_{\sigma}^{\alpha}\mathcal{F}（x）=\frac{1}{\Gamma（\beta）}\int_{\simma}^{x}\biggl \，d\mu，\quad x>\sigma\end{对齐}$$

(3)

和

$$\开始{aligned}&{}_{-}^{\beta}\mathcal{日本}_{\delta}^{\alpha}\mathcal{F}（x）=\frac{1}{\Gamma（\beta，\quad x<\delta，\end{对齐}$$

(4)

分别是。

让我们考虑一下\（阿尔法=1）在平等中(三)和(4). 然后，在(三)和(4)与中的Riemann–Liouville分数积分一致(1)和(2)分别是。请参见参考。[2,21]以及其中的参考，以获取更多信息。

三主要成果

在整篇论文中，我们假设\（在（0,1]\）中为α,\（\beta\in\mathbb｛R｝^｛+｝\）。

引理1

让 \（\mathcal{F}:[\sigma，\delta]\rightarrow\mathbb{R}\） 是上的可微映射 \（（\σ，\δ）\） 具有 \（β>0\） 和 \（在（0,1]\）中为α。如果 \（L[\sigma，\delta]\中的\mathcal{F}^{\prime}\）,则以下FCIO身份保持不变以下为：

$$\beart｛aligned｝&&frac｛3^｛\alpha\beta-1｝\alpha^｛\beta｝｝｛（\delta-\sigma）^｛\alpha\beta｝｝｝\Gamma（\beta+1）\biggl[_{+}^｛\beta｝\mathcal{日本}_｛\sigma｝^｛\alpha｝\mathcal｛F｝\biggl（\frac｛2\sigma+\delta｝｛3｝\biggr）+_｛+｝^｛\beta｝\mathcal{日本}_{\frac{2\sigma+\delta}{3}}^{\alpha}\mathcal{F}\biggl（\frac{\sigma+2\delta{3}\bigr）+_{+}^{\ beta}\mathcal{日本}_{\frac{\sigma+2\delta}{3}}^{\alpha}\mathcal{F}（\delta）\biggr]\\&\qquad{}-\frac}{8}\biggl[\mathcal{F}（\sigma）+3\mathcali{F}\bigbl}\biggr）+\mathcal{F}（\delta）\biggr]\\&\quad=\frac{（\delta-\sigma）\alpha^{\beta}}{9}[I{1}+I{2}+I_{3}]，\结束{对齐}$$

(5)

哪里 \（\Gamma（\beta）\） 是Euler Gamma函数

$$\begin{aligned}&I{1}=\int_{0}^{1}\biggl（\biggal（\frac{1-（1-\mu）^{\alpha}{\alfa}\bigr）^}\beta}-\frac}5}{8\alpha^{\beta{}\bigcr）\mathcal{F}^{\prime}\bigl（\mu\sigma+（1-\mo）\biggl（\frac{2\sigma+\delta}{3}\biggr）\bigger）\，d\mu，\\&I_{2}=\int_{0}^{1}\bigl（\biggl（\frac{1-（1-\mu）^{alpha}}{\alpha}\biggr}\biggl（\biggl（\frac{1-（1-\mu）^{\alpha}}{\alfa}\biggr）^{β}-\frac}3}{8\alpha^{\beta}}\bigr）\mathcal{F}^{\prime}\biggl（\mu\biggl（\frac{\sigma+2\delta}{3}\bigr）+（1-\mu）\delta\biggr）\，d\mu。\结束{对齐}$$

证明

使用部件集成和更改变量\（x=\mu\sigma+（1-\mu）（\frac{2\sigma+\delta}{3}），我们获得

$$开始{对齐}I_{1}={}&\int_{0}^{1}\biggl（\biggal（\frac{1-（1-\mu）^{\alpha}}{\alfa}\bigr）^β}-\frac}5}{8\alpha^{\beta}}\bigcr）\mathcal{F}^{\prime}\bigl（\mu\sigma+（1-\mu）\biggl（\frac{2\sigma+\delta}{3}\biggr）\，d\mu\\={}&\frac{3}{\delta-\sigma}\bigl（\biggl（\frac}1-（1-\mu）^{\alpha}}{\alpha}\biggr）^{\beta}-\frac{5}{8\alpha^{\beta}}\bigr）\mathcal{F}\bigl \biggl（\frac{1-（1-\mu）^{\alpha}}{\alfa}\biggr）^{β-1}（1-\mo）^{\ alpha-1}\mathcal{F}\biggl（\mu\sigma+（1-\mu）\biggl（\frac{2\sigma+\delta}{3}\biggr）\bigr）\，d\mu\={}&-\biggl[\frac}9}{8\alpha^{beta}（\delta-\sigma）}\mathcal{F}（\ sigma压裂{2\sigma+\delta}{3}\biggr）\biggr]\\&{}+\biggl（压裂{3}{\delta-\sigma}\bigr）^{1+\alpha\beta}\beta\int_{\sigma}^{\frac{2\sigma+\delta}{3}\biggl（\frac}（\frac{\delta-\sigma}{3{）\={}&-\biggl[\frac{9}{8\alpha^{\beta}（\delta-\sigma）}\mathcal{F}（\sigma）+\frac{15}{8\alpha^{\beta}（\delta-\sigma）}\mathcal{F}\biggl（\frac{2\sigma+\delta}{3}\bigr）\biggr]\\&{}+\frac}3^{1+\alpha\beta{\Gamma（\beta+1）}{{日本}_{\sigma}^{\alpha}\mathcal{F}\biggl（\frac{2\sigma+\delta}{3}\bigr）\biggr]。\结束{对齐}$$

与上述过程类似，使用\（x=\mu（\frac{2\sigma+delta}{3}）+（1-\mu）和\（x=\mu（\frac{\sigma+2\delta}{3}）+（1-\mu）\delta\），我们有

$$开始{对齐}I_{2}={}&\int_{0}^{1}\biggl（\biggal（\frac{1-（1-\mu）^{\alpha}}{\alfa}\bigr）^β}-\frac}1}{2\alpha^{\beta}}\bigcr）\mathcal{F}^{\prime}\bigl（\mu\biggl（\frac{2\sigma+\delta}{3}\bighr）+（1-\mu）\biggl（\frac{\sigma+2\delta}{3}\biggr）\bigr）\，d\mu\\={}&-\frac{3}{（\delta-\sigma）}\比格尔（\biggl（\frac{1-（1-\mu）^{\alpha}}{\alfa}\biggr）^{\taba}-\frac}{1}{2\alpha^{\beta}}\bigr）\mathcal{F}\bigl（\mu\biggl（\frac{2\sigma+\delta}{3}\bigcr）+（1-\m）\bigg gr）\bigg\vert_{0}^{1}\\&{}+\frac{3\beta}{（delta-\sigma）}\int_{0}^{1{\biggl（\frac}1-（1-\mu）^{\alpha}}{\ alpha}\biggr）^{\beta-1}（1-\mu）3}{2\alpha^{\beta}（\delta-\sigma）}\mathcal{F}\biggl（\frac{\sigma+2\delta}{3}\bigr）+\frac}3}{2\alpha^{\beta}（\delta-\sigma）}\mathcal{F}\biggl（\frac{2\sigma+\delta}{3}\bigr）\biggr]\\&{}+\biggl \biggl（\frac{（\frac{\delta-\sigma}{3}）^{\alpha}-（x-\frac}2\sigma+\delta}{3{）^}\alpha}}{\alpha}\biggr）^{\beta-1}\frac{\mathcal{F}c{3}{2\alpha^{beta}（\delta-\sigma）}\mathcal{F}\biggl（\frac{2\sigma+\delta}{3}\bigr）\biggr]\\&{}+｛\frac｛3^｛1+\alpha\beta｝\Gamma（\beta+1）｝｛（\delta-\sigma）^｛1+\alpha\beta｝｝｝\biggl[_｛+｝^｛\beta｝\mathcal{日本}_{\frac{2\sigma+\delta}{3}}^{\alpha}\mathcal{F}\biggl（\frac{\sigma+2\delta{3}\bigr）\biggr]\end{aligned}$$

和

$$\beart｛aligned｝I_｛3｝=｛｝&｛｛\frac｛3｝｛\delta-\sigma｝\biggl}{\alpha}\biggr）^{\beta}-\frac{3}{8\alpha^{\beta}}\bigr）\mathcal{F}\bigl \biggl（\frac{1-（1-\mu）^{\alpha}}{\alfa}\biggr）^{β-1}（1-\mo）^{\ alpha-1}\mathcal{F}\biggl（\mu\biggl（\frac｛\sigma+2\delta｝｛3｝\biggr）+（1-\mu）\delta \biggr）\，d\mu\\=｛｝&-\biggl（\frac｛9｝｛8\alpha^｛\beta｝（\delta-\sigma）｝\mathcal｛F｝（\delta-\sigma）+\frac｛15｝｛8\alpha^｛\beta｝（\delta-\sigma）｝\mathcal｛F｝\biggl（\frac｛\sigma+2\delta｝｛3｝\biggr）\biggr]\\&｛｝+\bigl（\frac｛3｝｛\delta-\sigma｝\biggr）^{1+\alpha\beta}\beta\int_{\frac{\sigma+2\delta}{3}}^{\delta{\biggl a+2\delta}{3}）^{1-\alpha}}\，dx\\={}&-\biggl[\frac{9}{8\alpha^{\beta}（\delta-\sigma）}\mathcal{F}（delta）+\frac{15}{8\alpha^{beta}（\delta-\sigma）}\matchcal{F}\biggl（\frac}\sigma+2\delta}{3}\bigr）\biggr]\\&{}+\frac{3^{1+\alpha\beta}\Gamma}\马塔尔{日本}_{\frac{\sigma+2\delta}{3}}^{\alpha}\mathcal{F}（\delta）\bigr]。\结束{对齐}$$

最后，如果我们相乘\（I_{1}+I_{2}+I_3}\）通过\（\frac{（\delta-\sigma）\alpha^{\beta}}{9}\），那么我们有(5). 这就完成了引理的证明1. □

定理1

假设引理的所有假设1持有。此外,让 \（\vert\mathcal{F}^{prime}\vert\） 是上的凸函数 \（[\sigma，\delta]\）。然后,我们有

$$开始{对齐}和\biggl\vert\frac{3^{\alpha\beta-1}\alpha^{\beta}}{（delta-\sigma）^{\alpha\beta}}\Gamma（\beta+1）\biggl[_{+}^{\beta}\mathcal{日本}_{\sigma}^{\alpha}\mathcal{F}\biggl（\frac{2\sigma+\delta}{3}\bigr）+_{+}^{beta}\matchcal{日本}_{\frac{2\sigma+\delta}{3}}^{\alpha}\mathcal{F}\biggl（\frac{\sigma+2\delta{3}\bigr）+_{+}^{\ beta}\mathcal{日本}_{\frac{\sigma+2\delta}{3}}^{\alpha}\mathcal{F}（\delta）\biggr]\\&\qquad{}-\frac}{8}\biggl[\mathcal{F}（\sigma）+3\mathcali{F}\bigbl}\biggr）+\mathcal{F}（\delta）\biggr]\biggr\vert\\&\quad\leq\frac{（\delta-\sigma）\alpha^{\beta}}{27}\bigl[\bigl（2A{2}（\alpha，\beta）+A{1}（\ alpha、\betaβ）+2A{4}（α，β）-A{3}（β）（\alpha，\beta）-A_{5}（\alfa，\beta）\bigr）\bigl\vert\mathcal{F}^{prime}（\ delta）\bigr\vert\bigr]，\end{aligned}$$

(6)

哪里

$$\begin{aligned}&A{1}（\alpha，\beta）=\int_{0}^{1}\mu\biggl\vert\biggl（\frac{1-（1-\mu）^{\alpha}}{\ alpha}\biggr）^{\ beta}-\frac}5}{8\alpha^{\beta}}\bigr\vert\，d\mu\\&\hphantom{A{1{^{\beta}}\biggl[\frac{5}{8}\bigl（C_{1}^{2}-\frac{1}{2}\biggr）+\frac{1}}{\alpha}\bigl（2\mathcal{B}\bigbl（\beta+1，\frac}{\alpha}，\biggl（\frac5}{8}\bigr）^{\frac[1}{\beta}}\bighr）\\&\hphantom{A{1}（\alpha，\beta）=}{}-2\mathcal}{B}\ biggl（\beta+1，\frac{1}{\alpha}，\biggl（\frac{5}{8}\biggr）{\alpha}\biggr）+\mathfrak{B}\bigl beta}}\biggr\vert\，d\mu\\&\hphantom{A{2}（\alpha，\beta）}=\frac{1}{\alpha^{\beta}{\biggl[\frac}5}{8}（2摄氏度_{1}-1）+\frac{1}{\alpha}\biggl（\mathfrak{B}\bigl（\beta+1，\frac}{\alpha}\biggr（\alpha，\beta）=\int_{0}^{1}\mu\biggl\vert\biggl（\frac{1-（1-\mu）^{\alpha}}{\alfa}\biggr）^{beta}-\frac}1}{2\alpha^{beta}}\biggr\vert\，d\mu\\&\hphantom{A{3}（\alpha，\beta）}=\frac{1}{\alpha^}\beta}{\biggl[\frac}{2}\bigl（C_{2}^{2}-\frac{1}{2}\biggr）+\frac{1}}{\alpha}\bigl（2\mathcal{B}\bigbl（\beta+1，\frac}{\alpha}，\biggl（\frac[1}{2{\bigger）^{\frac#1}{\beta}}\bigr）\\&\hphantom{A{3}（\alpha，\beta）=}{}-2\mathcal}{B}\ biggl（\beta+1，\frac{1}{\alpha}，\biggl（\frac}1}{2}\biggr）{\alpha}\biggr）+\mathfrak{B}\bigl beta}}\biggr\vert\，d\mu\\&\hphantom{A{4}（\alpha，\beta）}=\frac{1}{\alpha^{\beta}{\biggl[\frac}1}{2}（2摄氏度_{2}-1）+\frac{1}{\alpha}\biggl（\mathfrak{B}\bigl（\beta+1，\frac}{\alpha}\biggr（\alpha，\beta）=\int_{0}^{1}\mu\biggl\vert\biggl（\frac{1-（1-\mu）^{\alpha}}{\alfa}\biggr）^{beta}-\frac}3}｛8\alpha^｛\beta｝｝\biggr\vert\，d\mu\\&&\hphantom｛A_｛5｝（\alpha，\beta）｝=\frac｛1｝｛\alpha^｛\beta｝｝\biggl｛3｝｛8｝\biggl（C_｛3｝^{2}-\frac{1}{2}\biggr）+\frac{1}}{\alpha}\bigl（2\mathcal{B}\bigbl（\beta+1，\frac}{\alpha}，\biggl（\frac[3]{8}\bigr）^{\frac[1}{\beta}}\bighr）\\&\hphantom{A_{5}（\alpha，\beta）=}{}-2\mathcal}{B}\ biggl（\beta+1，\frac{1}{\alpha}，\biggl（\frac}3}{8}\biggr）{\alpha}\biggr）+\mathfrak{B}\bigl（\beta+1，\frac{1}{\alfa}\bigr）\biggr]\end{aligned}$$

和

$$\beart｛aligned｝A_｛6｝（\alpha，\beta）&=\int _｛0｝^｛1｝\biggl\vert\biggl（\frac｛1-（1-\mu）^｛\alpha｝｛\alpha｝\biggr）^｛\beta｝-\frac｛3｝｛8\alpha^｛\beta｝\biggr\vert\，d\mu \\&=\frac｛1｝｛\alpha^｛\beta｝｝\biggl｛3｝｛｛8｝（2C_{3}-1）+\frac{1}{\alpha}\biggl（\mathfrak{B}\bigl（\beta+1，\frac}{\alpha}\biggr。\结束{对齐}$$

在这里,\（C_｛1｝=1-（1-（\frac｛5｝｛8｝）^｛\frac｛1｝｛\beta｝）^｛\frac｛1｝｛\alpha｝｝）,\（C_{2}=1-（1-（压裂{1}{2}）^{压裂{1{beta}}）,\（C_{3}=1-（1-（压裂{3}{8}）^{压裂{1}{beta}}）,功能 \（\mathfrak{B}（\cdot，\cdot）\） 和 \（\mathcal{B}（\cdot、\cdot和\cdot）\） Beta函数和不完整Beta函数定义为

$$\textstyle\begin{cases}\mathfrak{B}（x，y）=\int_{0}^{1} u个^{x-1}（1-u）^{y-1}\，du，\\mathcal{B}（x，y，r）=\int_{0}^{r} u个^{x-1}（1-u）^{y-1}\，du\结束{cases}$$

对于 \（x，y>0） 和 \（r \在[0,1]\中）。

证明

按引理1，按部分积分和的凸性\（\vert\mathcal{F}^{prime}\vert\），我们获得

$$开始{对齐}和\biggl\vert\frac{3^{\alpha\beta-1}\alpha^{\beta}}{（delta-\sigma）^{\alpha\beta}}\Gamma（\beta+1）\biggl[_{+}^{\beta}\mathcal{日本}_{\sigma}^{\alpha}\mathcal{F}\biggl（\frac{2\sigma+\delta}{3}\bigr）+_{+}^{beta}\matchcal{日本}_{\frac{2\sigma+\delta}{3}}^{\alpha}\mathcal{F}\biggl（\frac{\sigma+2\delta{3}\bigr）+_{+}^{\ beta}\mathcal{日本}_{\frac{\sigma+2\delta}{3}}^{\alpha}\mathcal{F}（\delta）\biggr]\\&\qquad{}-\frac}{8}\biggl[\mathcal{F}（\sigma）+3\mathcali{F}\bigbl}\biggr）+\mathcal{F}（\delta）\biggr]\biggr\vert\\&\quad\leq\frac{（\delta-\sigma）\alpha^{\beta}}{9}\biggl[\biggl\vert\int_{0}^{1}\biggl gr）\biggr）\，d\mu\biggr\vert\\&\qquad{}+\biggl\vert\int_{0}^{1}\biggl（\biggl（\frac{1-（1-\mu）^{\alpha}}{\alfa}\biggr）^{\beta}-\frac{1}{2\alpha^{\beta}}\bigr）\mathcal{F}^{\prime}\bigl&\qquad{}+\biggl\vert\int_{0}^{1}\biggl-\frac{3}{8\alpha^{\beta}}\biggr）\mathcal{F}^{\prime}\bigl{1}\biggl\vert\biggl（\frac{1-（1-\mu）^{\alpha}}{\alfa}\bigr）^}\beta}-\frac{5}{8\alpha^{\beta}}\biggr\vert\biggl\vert\mathcal{F}^{\prime}\bigl（\frac{2+\mu}{3}\bigr）\sigma+\biggl（\frac{1-\mu}{3}\ biggr）\delta\biggr{1-（1-\mu）^{\alpha}}{\alalpha}\biggr）^{beta}-\frac{1}{2\alpha^{\beta}}\biggr\vert\biggl\vert\mathcal{F}^{prime}\biggl（\biggr（\frac{1+\mu}{3}\bigr）\sigma+\biggal（\frac{2-\mu}{3}\ biggr）\delta\biggro）\biggr\vert\，d\mu\&\qquad{}+\int_{0}^{1}\bigbl\vert_biggl alpha}}{\alpha}\biggr）^{\beta}-\frac{3}{8\alpha^{\beta}}\bigr\vert\biggl\vert\mathcal{F}^{\prime}\biggl（\frac{\mu}{3}\sigma+\biggl（\frac{3-\mu}{3}\biggr）\delta\biggr）\biggr\vert\，d\mu\biggr]\\&\quad\leq\frac}（\delta-\sigma）\alpha^{\beta}}{9}\biggl[\bigl\vert\mathcal{F}\prime}（\sigma）\bigr\vert\int_{0}^{1}\ biggl（\frac{2+\mu}{3}\biggr）\biggl\vert\biggl\biggr）^{\beta}-\frac{5}{8\alpha^{\beta}}\biggr\vert\，d\mu\\&\qquad{}+\bigl\vert\mathcal{F}^{\prime}（\delta）\bigr\vert\int_{0}^{1}\bigl alpha}\biggr）^{\beta}-\frac{5}{8\alpha^{\beta}}\bigr\vert\，d\mu\\&\qquad{}+\bigl\vert\mathcal{F}^{\prime}（\sigma）\bigr\vert\int_{0}^{1}\biggl（\frac{1+\mu}{3}\bigr）\biggl\vert\biggl F}^{\prime}（\delta）\bigr\vert\int_{0}^{1}\biggl（\frac{2-\mu}{3}\bigr）\biggl\vert\biggl（\frac{1-（1-\mu）^{\alpha}}{\alfa}\biggr）^{β}-\frac}{2\alpha^{\beta}}\bigr\vert\，d\mu\\&\qquad{}+\bigl\vert\mathcal{F}^{\prime}gl（\frac{1-（1-\mu）^{\alpha}}{\alalpha}\biggr）^{beta}-\frac}3}{8\alpha^{\beta}}\bighr\vert\，d\mu\\&\qquad{}+\bigl\vert\mathcal{F}^{prime}（\delta）\bigr\vert\int_{0}^{1}\biggl（\frac{3-\mu}{3}\bigr）\biggl\vert\biggl vert\，d\mu\biggr]\\&\quad=\frac{（\delta-\sigma）\alpha^{\beta}}{27}\bigl[\bigl（2A{2}（α，β）+A{1}（α，贝塔）+A_4}（β，α）+A_3}（δ，β）+A_5}（γ，β）β）-A{3}（α，β）+3A{6}（β，α）-A{5}（\alpha，\beta）\bigr）\bigl\vert\mathcal{F}^{prime}（\delta）\bigr\vert\bigr]。\结束{对齐}$$

这是定理的期望结果1. □

定理2

假设引理的所有假设1持有。假设也是这样 \（\vert\mathcal｛F｝^｛\prime｝\vert^｛q｝\） 是上的凸函数 \（[\sigma，\delta]\）,哪里 \（压裂{1}{p}+压裂{1{q}=1\） 具有 \（p，q>1）。然后,我们有

$$开始{对齐}和\biggl\vert\frac{3^{\alpha\beta-1}\alpha^{\beta}}{（delta-\sigma）^{\alpha\beta}}\Gamma（\beta+1）\biggl[_{+}^{\beta}\mathcal{日本}_{\sigma}^{\alpha}\mathcal{F}\biggl（\frac{2\sigma+\delta}{3}\bigr）+_{+}^{beta}\matchcal{日本}_{\frac{2\sigma+\delta}{3}}^{\alpha}\mathcal{F}\biggl（\frac{\sigma+2\delta{3}\bigr）+_{+}^{\ beta}\mathcal{日本}_{\frac{\sigma+2\delta}{3}}^{\alpha}\mathcal{F}（\delta）\biggr]\\&\qquad{}-\frac}{8}\biggl[\mathcal{F}（\sigma）+3\mathcali{F}\bigbl}\biggr）+\mathcal{F}（\delta）\biggr]\biggr\vert\\&\quad\leq\frac{（\delta-\sigma）\alpha^{\beta}}{9}\biggl[A_{7}^{\frac{1}{p}}（\alpha，\beta，p）\biggl（\frac}5\vert\mathcal{F}^{prime}（\sigma）\vert^{q}+\vert\mathcal{F1}^{prime}1}{p}}（\alpha，\beta，p）\biggl（\frac{\vert\mathcal{F}^{prime}（\sigma）\vert^{q}+\vert\mathcal{F}^{prime}（δ）\vert^{q}}{2}\biggr）^{\frac{1}{q}{\\&\qquad{}+A_{9}^{\frac{1{p}}（alpha，beta，p）\biggl（\frac}\vert\mathcal{F}{prime}（\sigma）\vert_q}+5\vert\mathcal{F1}^{prime{6}\biggr）^{\frac{1}{q}}\biggr]，\end{aligned}$$

(7)

哪里

$$开始{aligned}&A_{7}（\alpha，\beta，p）=\int_{0}^{1}\biggl\vert\biggl（\frac{1-（1-\mu）^{\alpha}}{\alfa}\bigr）^}\beta}-\frac}5}{8\alpha^{\beta{}\vert^{p}\，d\mu，\\&A_}8}1}\biggl\vert\biggl（\frac{1-（1-\mu）^{\alpha}}{\alfa}\biggr）^{beta}-\frac}{2\alpha^{\beta}}\biggr\vert^{p}\，d\mu\end{aligned}$$

和

$$开始{对齐}A_{9}（\alpha，\beta，p）&=\int_{0}^{1}\biggl\vert\biggl（\frac{1-（1-\mu）^{\alpha}}{\alba}\bigr）^}\beta}-\frac}3}{8\alpha^{\beta{}}\vert^{p}\，d\mu。\结束{对齐}$$

证明

如果我们考虑引理1，然后我们可以很容易地获得

$$开始{对齐}和\biggl\vert\frac{3^{\alpha\beta-1}\alpha^{\beta}}{（delta-\sigma）^{\alpha\beta}}\Gamma（\beta+1）\biggl[_{+}^{\beta}\mathcal{日本}_{\sigma}^{\alpha}\mathcal{F}\biggl（\frac{2\sigma+\delta}{3}\bigr）+_{+}^{beta}\matchcal{日本}_{\frac{2\sigma+\delta}{3}}^{\alpha}\mathcal{F}\biggl（\frac{\sigma+2\delta{3}\bigr）+_{+}^{\ beta}\mathcal{日本}_{\frac{\sigma+2\delta}{3}}^{\alpha}\mathcal{F}（\delta）\biggr]\\&\qquad{}-\frac}{8}\biggl[\mathcal{F}（\sigma）+3\mathcali{F}\bigbl}\biggr）+\mathcal{F}（\delta）\biggr]\biggr\vert\\&\quad\leq\frac{（\delta-\sigma）\alpha^{\beta}}{9}\biggl[\int_{0}^{1}\biggl\vert\biggl压裂{1-\mu}{3}\biggr）\delta\bigger）\biggr\vert\，d\mu\\&\qquad{}+\int_{0}^{1}\biggl\vert\biggl（\frac{1-（1-\mu）^{\alpha}}{\alalpha}\biggr））\delta\biggr）\biggr\vert\，d\mu\\&\qquad{}+\int_{0}^{1}\biggl\vert\biggl（\frac{1-（1-\mu）^{\alpha}}{\alpha}\biggr）^{\beta}-\frac{3}{8\alpha^{\beta}}\bigr\vert\biggl\vert\mathcal{F}^{\prime}\bigl。\结束{对齐}$$

(8)

现在，我们考虑右边的积分(8). 使用的凸性\（\vert\mathcal｛F｝^｛\prime｝\vert^｛q｝\）还有众所周知的Hölder不等式

$$\开始{aligned}&\int_{0}^{1}\biggl\vert\biggl（\frac{1-（1-\mu）^{\alpha}}{\alfa}\bigr）^}\beta}-\frac}5}{8\alpha^{\beta{}}\bigcr\vert\bigl\vert\mathcal{F}^{\prime}\bigl（\frac{2+\mu}{3}\bighr）\sigma+\biggr gl（\frac{1-\mu}{3}\biggr）\delta\bigger）\biggr\vert\，d\mu\\&\quad\leq\biggl（\int_{0}^{1}\biggl\vert\biggl（\frac｛1-（1-\mu）^｛\alpha｝｝｛\alpha｝\biggr）^｛\beta｝-\frac｛5｝｛8\alpha ^｛\beta｝｝\biggr\vert^｛p｝\，d\mu\biggr）^｛\frac｛1｝｛p｝｝｝\&\qquad｛｝\times\biggl（\int _｛0｝^｛1｝\biggl\vert\mathcal｛F｝^｛\prime｝\biggl（\frac｛2+\mu｝｛3｝\ biggr）\西格玛+\比格尔（\frac｛1-\mu｝｛3｝\biggr）\德尔塔\比格尔）\比格尔\ vert^｛q｝\，d\mu\biggr）^{\frac{1}{q}}\\&\quad\leq A_{7}^{\frac{1{p}}（\alpha，\beta，p）\biggl（\int_{0}^1}\biggl（\frac}2+\mu}{3}\bigl\vert\mathcal{F}^{prime}（\sigma）\bigr\vert^{q}+\frac[1-\mu}}{3{\bigl \vert\mathcal{F}^{\prime}（\delta）\bigr\vert^{q}\biggr）\，d\mu\bigger）^{\frac{1}{q}}\\&\quad=A_{7}^{\frac{1}}{p}}（\alpha，\beta，p）\biggl[\frac{5\vert\mathcal{F}^{prime}（\sigma）\vert^{q}+\vert\mathcal{F1}^{prime}。\结束{对齐}$$

（9）

以类似的方式，我们很容易获得

$$开始{aligned}和\int_{0}^{1}\biggl\vert\biggl（\frac{1-（1-\mu）^{\alpha}}{\alfa}\bigr）^}\beta}-\frac}1}{2\alpha^{\beta{}}\bigbr\vert\ biggl\ vert\mathcal{F}^{\prime}\bigl（\frac{1+\mu}{3}\bigcr）\sigma+\biggr gl（\frac{2-\mu}{3}\biggr）\delta\bigger）\biggr\vert\，d\mu\\&\quad\leq\biggl（\int_{0}^{1}\biggl\vert\biggl（\frac｛1-（1-\mu）^｛\alpha｝｝｛\alpha｝\biggr）^｛\beta｝-\frac｛1｝｛2\alpha^｛\beta｝｝\biggr\vert^｛p｝\，d\mu\biggr）^｛\frac｛1｝｛p｝｝｝\&\qquad｛｝\times\biggl（\int _｛0｝^｛1｝\biggl\vert\mathcal｛F｝^｛\prime｝\biggl（\frac｛1+\mu｝｛3｝\ biggr）\西格玛+\比格尔（\frac｛2-\mu｝｛3｝\biggr）\德尔塔\比格尔）\比格尔\ vert^｛q｝\，d\mu\biggr）^{\frac{1}{q}}\\&\quad\leq A_{8}^{\frac{1{p}}（\alpha，\beta，p）\biggl（\int_{0}^1}\biggl（\frac}1+\mu}{3}\bigl\vert\mathcal{F}^{prime}（\sigma）\bigr\vert^{q}+\frac[2-\mu}}{3{\bigl \vert\mathcal{F}^{\prime}（\delta）\bigr\vert^{q}\biggr）\，d\mu\bigger）^{\frac{1}{q}}\\&\quad=A_{8}^{\frac{1}}{p}}（\alpha，\beta，p）\biggl[\frac{\vert\mathcal{F}{\prime}（\sigma）\vert^{q}+\vert\mathcal{F}^{\prime}（\ delta）\vert_q}}{2}\biggr]^{\frac}1}{q}}\end{aligned}$$

(10)

和

$$开始{aligned}&\int_{0}^{1}\biggl\vert\biggl（\frac{1-（1-\mu{3}\biggr）\delta\biggr）\biggr\vert\，d\mu\\&\quad\leq\biggl（\int_{0}^{1}\biggl\vert\biggl \mu}{3}\sigma+\biggl（\frac{3-\mu}{3}\ biggr）\delta\biggr}\\&\quad\leq A_{9}^{\frac{1}{p}}（\alpha，\beta，p）\biggl（\int_{0}^{1}\biggal（\frac}\mu}{3}\bigl\vert\mathcal{F}^{prime}（\ sigma）\bigr\vert^{q}+\frac｛3-\mu}{3}\bigl vert\matchcal{F}^{prime}^{q}\biggr）\，d\mu\bigger）^{frac{1}{q}}\\&\quad=A{9}^{frac{1}{p}}（\alpha，\beta，p）\biggl[\frac{\vert\mathcal{F}^{\prime}（\sigma）\vert^{q}+5\vert\mathcal{F}^{prime}（\delta）\vert\q}}{6}\biggr]^{\frac}1}{q}}。\结束{对齐}$$

(11)

如果我们插入(9)–(11)到(8)，那么我们有

$$开始{对齐}和\biggl\vert\frac{3^{\alpha\beta-1}\alpha^{\beta}}{（delta-\sigma）^{\alpha\beta}}\Gamma（\beta+1）\biggl[_{+}^{\beta}\mathcal{日本}_{\sigma}^{\alpha}\mathcal{F}\biggl（\frac{2\sigma+\delta}{3}\bigr）+_{+}^{beta}\matchcal{日本}_{\frac{2\sigma+\delta}{3}}^{\alpha}\mathcal{F}\biggl（\frac{\sigma+2\delta{3}\bigr）+_{+}^{\ beta}\mathcal{日本}_{\frac{\sigma+2\delta}{3}}^{\alpha}\mathcal{F}（\delta）\biggr]\\&\qquad{}-\frac}{8}\biggl[\mathcal{F}（\sigma）+3\mathcali{F}\bigbl}\biggr）+\mathcal{F}（\delta）\biggr]\biggr\vert\\&\quad\leq\frac{（\delta-\sigma）\alpha^{\beta}}{9}\biggl[A_{7}^{\frac{1}{p}}（\alpha，\beta，p）\biggl（\frac}5\vert\mathcal{F}^{prime}（\sigma）\vert^{q}+\vert\mathcal{F1}^{prime}1}{p}}（\alpha，\beta，p）\biggl（\frac{\vert\mathcal{F}^{prime}（\sigma）\vert^{q}+\vert\mathcal{F}^{prime}（δ）\vert^{q}}{2}\biggr c{1}{q}}\biggr]。\结束{对齐}$$

这就完成了定理的证明2. □

定理3

让我们考虑一下引理的所有假设1持有。如果 \（\vert\mathcal｛F｝^｛\prime｝\vert^｛q｝\） 在上是凸的 \（[\sigma，\delta]\）,哪里 \（问题1）,那么我们有以下牛顿-类型不等式

$$开始{对齐}和\biggl\vert\frac{3^{\alpha\beta-1}\alpha^{\beta}}{（delta-\sigma）^{\alpha\beta}}\Gamma（\beta+1）\biggl[_{+}^{\beta}\mathcal{日本}_{\sigma}^{\alpha}\mathcal{F}\biggl（\frac{2\sigma+\delta}{3}\bigr）+_{+}^{beta}\matchcal{日本}_{\frac{2\sigma+\delta}{3}}^{\alpha}\mathcal{F}\biggl（\frac{\sigma+2\delta{3}\bigr）+_{+}^{\ beta}\mathcal{日本}_{\frac{\sigma+2\delta}{3}}^{\alpha}\mathcal{F}（\delta）\biggr]\\&\qquad{}-\frac}{8}\biggl[\mathcal{F}（\sigma）+3\mathcali{F}\bigbl}\biggr）+\mathcal{F}（\delta）\biggr]\biggr\vert\\&\quad\leq\frac{（\delta-\sigma）\alpha^{\beta}}{9}\biggl[A_｛2｝^｛1-\ frac｛1｝｝A 3｝\biggr）\bigl\vert\mathcal｛F｝^｛｛）\biggr \qquad{}+\biggl（\frac{2A_{4}（\alpha，\beta）-A_{3}（\ alpha、\ beta）}{3}\biggr）\bigl\vert\mathcal{F}^{\prime}（\delta）\bigr\vert^｛q｝\biggr）^｛\frac｛1｝｛q｝｝\\&\qquad｛｝+A｛6｝^｛1-\frac｛1｝｛q｝｝（\alpha，\beta）\biggl（\frac｛A_｛5｝（\alpha，\beta）｝｛3｝\bigl\vert\mathcal｛F｝^｛\prime｝（\sigma）\bigr\vert^｛q｝+\biggl（\frac｛3A_｛6｝（\alpha，\beta）-A_｛5｝（\alpha，β）｝｛3｝\biggr）\bigl\vert\mathcal｛F｝^｛\prime｝（\delta）\bigr\vert^｛q｝\biggr）^{\frac{1}{q}}\biggr]，\end{aligned}$$

(12)

哪里 \（A_{1}（α，β））,\（A_{2}（α，β））,\（A_{3}（α，β））,\（A_{4}（α，β））,\（A_{5}（α，β））,和 \（A_{6}（α，β）） 在定理中定义1。

证明

如果我们考虑\（\vert\mathcal｛F｝^｛\prime｝\vert^｛q｝\）和幂-曼不等式，然后我们得到

$$\开始{aligned}&\int_{0}^{1}\biggl\vert\biggl（\frac{1-（1-\mu）^{\alpha}}{\alfa}\bigr）^}\beta}-\frac}5}{8\alpha^{\beta{}}\bigcr\vert\bigl\vert\mathcal{F}^{\prime}\bigl（\frac{2+\mu}{3}\bighr）\sigma+\biggr gl（\frac{1-\mu}{3}\biggr）\delta\bigger）\biggr\vert\，d\mu\\&\quad\leq\biggl（\int_{0}^{1}\biggl\vert\biggl（\frac{1-（1-\mu）^{\alpha}}{\alalpha}\biggr）^{β}-\frac}5}{8\alpha^{\beta}}\bigr\vert\，d\mu\bigger）^{1-\frac[1}{q}}\\&\qquad{}\times\biggl mu）^{\alpha}}{\alfa}\biggr）^{\β}-\frac{5}{8\alpha^{\beta}}\bigr\vert\biggl\vert\mathcal{F}^{\prime}\biggl（\frac{2+\mu}{3}\biggr）\sigma+\biggal{1}\biggl\vert\biggl\时间\biggl\vert\mathcal{F}^{prime}\biggl}（\alpha，\beta）\biggl（\int_{0}^{1}\biggl\vert\biggl{8\alpha^{\beta}}\biggr\vert\\&\qquad{}\times\biggl[\frac{2+\mu}{3}\bigl\vert\mathcal{F}^{prime}（\sigma）\bigr\vert^{q}+\frac}1-\mu}{3}\ bigl\verst\mathcal{F}{prime{（\delta）\biggr c{1}{q}}\\&\quad=A{2}^{1-\frac{1{q}{（alpha，\beta）\biggl（\frac}2A{2}（\alpha+A{1}（\alpha，\beta）}{3}\biggr）\bigl\vert\mathcal{F}^{prime}（\sigma）\bigr\vert^{q}\\&\qquad{}+\biggl（\frac{A{2}（\ alpha、\beta \biggr）^{\frac{1}{q}}。\结束{对齐}$$

(13)

以类似的方式，我们

$$开始{aligned}和\int_{0}^{1}\biggl\vert\biggl（\frac{1-（1-\mu）^{\alpha}}{\alfa}\bigr）^}\beta}-\frac}1}{2\alpha^{\beta{}}\bigbr\vert\ biggl\ vert\mathcal{F}^{\prime}\bigl（\frac{1+\mu}{3}\bigcr）\sigma+\biggr gl（\frac{2-\mu}{3}\biggr）\delta\bigger）\biggr\vert\，d\mu\\&\quad\leq\biggl（\int_{0}^{1}\biggl\vert\biggl（\frac{1-（1-\mu）^{\alpha}}{\alfa}\biggr）mu）^{\alpha}}{\alfa}\biggr）^{\β}-\frac{1}{2\alpha^{\beta}}\bigr\vert\biggl\vert\mathcal{F}^{\prime}\biggl（\frac{1+\mu}{3}\biggr）\sigma+\biggal{1}\biggl\vert\biggl（\frac{1-（1-\mu）^{alpha}}{\alpha}\bigr）}\biggr\vert\biggl\vert\mathcal{F}^{prime}\biggl（\biggal（\frac{1+\mu}{3}\bigr）\sigma+\biggl（\frac{2-\mu}{3}\ biggr）\delta\biggr}{q}}（\alpha，\beta）\biggl（\int_{0}^{1}\biggl\vert\biggl-\frac{1}{2\alpha^{beta}}\biggr\vert\\&\qquad{}\times\biggl[\frac{1+\mu}{3}\bigl\vert\mathcal{F}^{prime}（\sigma）\bigr\vert^{q}+\frac}2-\mu}{3}\ bigl\verst\mathcal{F}（\ delta）\biggr\vert^q}\bighr]\，d\mu\biggr）^{\frac{1}{q}}\\&\quad=A_{4}^{1-\frac}{q{}}（\alpha，\beta）\biggl（\biggl（\frac[A_{4]（α，β）+A{3}（α，贝塔）}{3}\biggr \vert^{q}\biggr）^{\frac{1}{q}}\end{aligned}$$

(14)

和

$$开始{aligned}&\int_{0}^{1}\biggl\vert\biggl（\frac{1-（1-\mu{3}\biggr）\delta\biggr）\biggr\vert\，d\mu\\&\quad\leq\biggl（\int_{0}^{1}\biggl\vert\biggl mu）^{\alpha}}{\alfa}\biggr）^{\β}-\frac{3}{8\alpha^{\beta}}\bigr\vert\biggl\vert\mathcal{F}^{\prime}\biggl（\frac{\mu}{3}\sigma+\biggl（\frac{3-\mu}{3}\ biggr）\delta\biggr gl（\frac{1-（1-\mu）^{\alpha}}{\alalpha}\biggr）^{β}-\frac}3}{8\alpha^{\beta}}\bigr\vert\biggl\vert\mathcal{F}^{\prime}\biggl（\frac{\mu}{3}\sigma+\biggl（\frac{3-\mu}{3}\ biggr）\delta\biggr \biggl（\frac{1-（1-\mu）^{\alpha}}{\alalpha}\biggr）\bigl\vert\mathcal{F}^{prime}（\sigma）\bigr\vert^{q}+\frac{3-\mu}{3}\bigl\ vert\mathcal{F{{prime{（\delta）\bigr\vert^}\biggr]\，d\mu\biggr biggl（\frac{A_{5}（\alpha，\beta）}{3}\bigl\vert\mathcal{F}^{prime}（\sigma）\bigr\vert^{q}+\biggl（\frac{3A{6}（\alpha，\beta）-A{5}。\结束{对齐}$$

(15)

如果我们插入(13)–(15)到(8)，然后是定理的证明三已完成。□

4特殊情况

备注1

如果我们选择\（阿尔法=1）英寸(5)，则等式减小为

$$开始{对齐}和\frac{3^{\beta-1}}{（\delta-\sigma）^{\beta}}\Gamma（\beta+1）\biggl[J{\sigma^{+}}^{\贝塔}\mathcal{F}\biggl（\frac}2\sigma+\delta}{3}\bigr）+J{{F}\biggl（\frac{\sigma+2\delta}{3}\bigr）+J{（\frac{\simma+2\delta}{3{）^{+}}^{\beta}\mathcal{F}（\delta）\biggr]\\&\qquad{}-\frac{1}{8}\biggl[\mathcal{F}（\sigma）+3\mathcal{F}\bigl{\delta-\sigma}{9}\bigl[I_{1}^{\ast}+I_{2}^{\t}+I_3}^{\st}\bigr]，\end{aligned}$$

哪里

$$\begin{aligned}&I_{1}^{\ast}=\int_{0}^{1}\biggl（\mu^{\beta}-\frac{5}{8}\bigr）\mathcal{F}^{prime}\bigl \int_{0}^{1}\biggl（\mu^{beta}-\frac{1}{2}\bigr）\mathcal{F}^{prime}\bigl（\mu\biggl（\frac}2\sigma+\delta}{3}\biggr）+（1-\mu）\biggl（\frac{\sigma+2\delta}{3}\bigger）\bigbr）\，d\mu，\\&I{3}^{\ast}=\int_{0}^{1}\bigbl}\biggr）+（1-\mu）\delta\biggr）\，d\mu。\结束{对齐}$$

这与[32，引理1]。

备注2

如果我们选择\（阿尔法=1）英寸(6)，然后我们得到

$$开始{对齐}和\biggl\vert\frac{3^{\beta-1}}{（\delta-\sigma）^{\beta}}\Gamma（\beta+1）\biggl[J{\sigma^{+}}^{\贝塔}\mathcal{F}\biggl（\frac{2\sigma+\delta}{3}\bigr）+J{}\mathcal{F}\biggl（\frac{\sigma+2\delta}{3}\bigr）+J{（\frac{\simma+2\delta}{3{）^{+}}^{\beta}\mathcal{F}（\delta）\biggr]\\&\qquad{}-\frac{1}{8}\biggl[\mathcal{F}（\sigma）+3\mathcali{F}\bigl大gr\vert\\&\quad\leq\frac{\delta-\sigma}{27}\bigl[\bigl（2A{2}^{ast}（\beta）+A{1}^{last}（β）+A{4}^{\ast}（β）+A{3}^{\st}（beta）+A_{5}^{\t}（beta）\biger）\bigl\vert\mathcal{F}^{prime}（\sigma）\bigr\vert\&\qquad{}+\bigl（A{2}^{ast}\beta）-A{3}^{\ast}（\beta\bigr）\bigl\vert\mathcal{F}^{\prime}（\delta）\bigr\vert\bigr]。\结束{对齐}$$

在这里，

$$开始{对齐}&A_{1}^{\ast}（\beta）=\int_{0}^{1}\mu\biggl\vert\mu^{\beta}-\frac{5}{8}\biggr\vert\，d\mu=\frac}{\beta+2}\bigl（\frac5}{9}\bigr）\frac{5}{16}，\\&A{2}^{ast}（\beta）=\int_{0}^{1}\biggl\vert\mu^{beta}-\frac}{5}{8}\bigr\vert\，d\mu=\frac{2\beta}{\beta+1}\biggl大gr\vert\，d\mu=\frac{\beta}{\beta+2}\biggl（\frac{1}{2}\bigr）^{\ast}（\beta）=\int_{0}^{1}\biggl\vert\mu^{\beta}-\frac{1}{2}\bigr\vert\，d\mu=\frac{2\beta}{\beta+1}\bigl（\frac}{2{\biggr）{5}^{\ast}（\beta）=\int_{0}^{1}\mu\biggl\vert\mu^{\beta}-\frac{3}{8}\biggr\vert\，d\mu=\frac}{\beta+2}\biggl（\frac{3}{8}\biggr）^{\frac}\beta+2}{\beta}}+\frac{1}{\beta+2}-\frac{3}{16}，\\&A_{6}^{\ast}（\beta）=\int_{0}^1}\bigl\vert\mu^{\beta}-\frac{3{8}\biggr\vert\，d\mu=\frac{2\beta}{贝塔+1}\biggl（\frac{3}{8}\bigr）^{\frac}\beta+1}{\beta}}+\frac{1}{\beta+1}-\frac{3}{8}，\end{aligned}$$

由Sitthiwiratham等人[32，定理4]。

备注3

考虑\（α=β=1）英寸(6). 然后(6)成为

$$\begin｛aligned｝&\ biggl \ vert \ frac｛1｝｛\delta-\sigma｝biggr]\biggr\vert\\&&quad\leq\frac｛25（\delta-\sigma）｝｛576｝\bigl（\bigl\vert\mathcal｛F｝^｛\prime｝（\sigma）\bigr\vert+\bigl\vert\mathcal｛F｝^｛\prime｝（\delta）\bigr\vert\bigr），\end｛aligned｝$$

其中给出了[32，备注3]。

备注4

注意不等式(7)的\（阿尔法=1）减少到

$$开始{对齐}和\biggl\vert\frac{3^{\beta-1}}{（\delta-\sigma）^{\beta}}\Gamma（\beta+1）\biggl[J{\sigma^{+}}^{\贝塔}\mathcal{F}\biggl（\frac{2\sigma+\delta}{3}\bigr）+J{}\mathcal{F}\biggl（\frac{\sigma+2\delta}{3}\bigr）+J{（\frac{\simma+2\delta}{3{）^{+}}^{\beta}\mathcal{F}（\delta）\biggr]\\&\qquad{}-\frac{1}{8}\biggl[\mathcal{F}（\sigma）+3\mathcali{F}\bigl biggr\vert\\&\quad\leq\frac{\delta-\sigma}{9}\biggl[\bigl（A_{7}^{\ast}（\beta，p）\biger）^{\frac}{p}}\biggl（\frac{5\vert\mathcal{F}^{prime}（\sigma）\vert^{q}+\vert\mathcal{F}^{prime}frac{\vert\mathcal{F}^{prime}（\sigma）\vert^{q}+\vert\mathcal{F}^{prime}\biggr）^{\frac{1}{q}}+\bigl q}}\biggr]，\end{对齐}$$

哪里

$$开始{对齐}和A_{7}^{\ast}（\beta，p）=\int_{0}^{1}\biggl\vert\mu^{\beta}-\frac{5}{8}\bigr\vert^{p}\，d\mu，\\&A_{8}^{\\ast}^{p}\，d\mu，\\&A_{9}^{\ast}（\beta，p）=\int_{0}^{1}\biggl\vert\mu^{beta}-\frac{3}{8}\bigr\vert^{p{，d\ mu。\结束{对齐}$$

Sitthiwiratham等人证明了这一点[32].

备注5

考虑\（α=β=1）英寸(7). 然后(7)与…一致

$$\开始{对齐}和\biggl\vert\frac{1}{\delta-\sigma}\int_{\sigma}^{\delta}\mathcal{F}（\mu）\，d\mu-\frac{1}{8}\biggl[\mathcal{F}（\sigma \sigma+2\delta}{3}\biggr）+\mathcal{F}（\delta）\biggr]\biggr\vert\\&\quad\leq\frac{\delta-\sigma}{9} \biggl[\biggl（\frac{5^{p+1}+3^{p+1}}{8^{p|1}（p+1）}\biggr）^{\frac}{p}}\bigl分数{1}{q}}\\&\qquad{}+\biggl（分数{1{2^{p}（p+1）}\biggr）（\sigma）\vert^｛q｝+\vert\mathcal｛F｝^｛\prime｝（\delta）\vert^｛q｝｝｛2｝\biggr）^｛\frac｛1｝｛q｝｝\&&\qquad｛｝+\biggl（\frac｛5^｛p+1｝+3^｛p+1｝｝｛8^｛p+1｝（p+1）｝\biggr）^｛\frac｛1｝｛p｝｝｝\biggl（\frac｛5\vert\mathcal｛F｝^｛\prime｝（\sigma）\vert^｛q}+\vert\mathcal｛F｝^｛\prime｝（\delta）\vert^｛q｝｝｛6｝\biggr）^｛\frac｛1｝｛q｝｝\biggr]，\结束｛对齐｝$$

其中给出了[32，备注5]。

备注6

对于\（阿尔法=1），不平等(12)成为

$$开始{对齐}和\biggl\vert\frac{3^{\beta-1}}{（\delta-\sigma）^{\beta}}\Gamma（\beta+1）\biggl[J{\sigma^{+}}^{\贝塔}\mathcal{F}\biggl（\frac{2\sigma+\delta}{3}\bigr）+J{}\mathcal{F}\biggl（\frac{\sigma+2\delta}{3}\bigr）+J{（\frac{\simma+2\delta}{3{）^{+}}^{\beta}\mathcal{F}（\delta）\biggr]\\&\qquad{}-\frac{1}{8}\biggl[\mathcal{F}（\sigma）+3\mathcali{F}\bigl biggr\vert\\&\quad\leq\frac{\delta-\sigma}{9}\biggl[\bigl（A_{2}^{\ast}（\beta）\biger）^{1-\frac{1}{q}}\biggl（\biggl（\frac{2A{2}^{\ast}（\beta）+A{1}^{\t}（\ beta）}{3}\biggr）\bigl\vert\mathcal{F}^{prime}\vert\mathcal{F}^{prime}（\delta）\bigr\vert^{q}\biggr）^{\frac{1}{q}}\\&\qquad{}+\bigl（A_{4}^{\ast}（β）\bigr）^｛1-\frac｛1｝｛q｝｝\biggl（\frac｛A_｛4｝^｛\ast｝（β）+A_｛3｝^｛\ast｝（β）｝｛3｝\biggr）\bigl\vert\mathcal｛F｝^｛\prime｝（西格玛）\bigr\vert^｛q｝+\biggl（\frac｛2A_｛4｝^｛\ast｝（β）-A_｛3｝^｛\ast｝（β）｝｛3｝\biggr）\bigl \vert\mathcal｛F｝^｛\prime｝（\delta）\bigr\vert^｛q｝\biggr）^｛\frac｛1｝｛q｝}\\&\qquad{}+\bigl（A_{6}^{ast}（\beta）\biger）^{1-\frac{1}{q}}\biggl（\frac}A_{5}^{last}（\ beta）}{3}\bigl\vert\mathcal{F}^{prime}^{\ast}（\beta）}{3}\biggr）\bigl\vert\mathcal{F}^{\prime}（delta）\bigr\vert^{q}\bigr）^{\frac{1}{q}}\bigbr]。\结束{对齐}$$

在这里，\（A_{1}^{\ast}（\beta）\）,\（A_｛2｝^｛\ast｝（β）\）,\（A_{3}^{\ast}（\beta）\）,\（A_｛4｝^｛\ast｝（β）\）,\（A_{5}^{\ast}（\beta）\）,\（A_{6}^{\ast}（\beta）\）在备注中定义2。有关证明，我们参考[32，定理5]。

备注7

考虑\（α=β=1）英寸(12). 然后(12)成为

$$\开始{对齐}和\biggl\vert\frac{1}{\delta-\sigma}\int_{\sigma}^{\delta}\mathcal{F}（\mu）\，d\mu-\frac{1}{8}\biggl[\mathcal{F}（\sigma \sigma+2\delta}{3}\biggr）+\mathcal{F}（\delta）\biggr]\biggr\vert\\&\quad\leq\frac{\delta-\sigma}{36}\biggl[\biggl（\frac{17}{16}\bigr）^{1-\frac}{q}}\bigl{}+\biggl（\frac{\vert\mathcal{F}^{prime}（\sigma）\vert^{q}+\vert\mathcal{F}^{prime}\biggr{q}}\biggr]，\end{aligned}$$

其中给出了[32，备注4]。

5有界变差函数的分数Newton型不等式

在本节中，我们建立了有界变差函数的分数阶Newton型不等式。

定理4

让我们考虑一下 \（\mathcal{F}:[\sigma，\delta]\rightarrow\mathbb{R}\） 是有界变化的函数 \（[\sigma，\delta]\）。然后,我们得到以下牛顿-FCIO的类型不等式

$$开始{对齐}和\biggl\vert\frac{3^{\alpha\beta-1}\alpha^{\beta}}{（delta-\sigma）^{\alpha\beta}}\Gamma（\beta+1）\biggl[_{+}^{\beta}\mathcal{日本}_{\sigma}^{\alpha}\mathcal{F}\biggl（\frac{2\sigma+\delta}{3}\bigr）+_{+}^{beta}\matchcal{日本}_{\frac{2\sigma+\delta}{3}}^{\alpha}\mathcal{F}\biggl（\frac{\sigma+2\delta{3}\bigr）+_{+}^{\ beta}\mathcal{日本}_｛\frac｛\ sigma+2 \ delta｝｛3｝｝^｛\frac｛5｝｛24｝\bigvee_｛\sigma｝。\结束{对齐}$$

在这里,\（\bigvee_{c}^{d}（\mathcal{F}）\） 是的总变化 \（\mathcal{F}\） 在 \（[c，d]\）。

证明

考虑

$$\Phi{\alpha}^{\beta}（x）=\textstyle\begin{cases}（（\frac{\delta-\sigma}{3}）^{\alfa}-（x-\sigma）^{\ alpha}）{\beta}-\frac}5}{8}（\frac{\delta-\simma}{3{）压裂{\delta-\sigma}{3}）^{\alpha}-（x-\frac{2\sigma+\delta}{3{）^}\alpha{）-\压裂{1}{2}}（\frac{\delta-\sigma}{3}）^{\alpha\beta}&\frac{\sigma+2\delta}{3{<x\leq\delta。\结束{cases}$$

那么，这就产生了

$$开始{对齐}和\int_{\sigma}^{\delta}\Phi_{\alpha}^{\ beta}（x）\，d\mathcal{F}（x）=\int_}\sigma}^{\frac{2\sigma+\ delta}{3}}\biggl{\beta}-\frac{5}{8}\biggl（\frac}\delta-\sigma}{3}\bigr）^{\alpha\beta{\biggr）\，d\mathcal{F}（x）\\&\quad{}+\int_{\frac{2\sigma+\delta}{3}}^{\frac{\sigma+2\delta{3}{}\biggl（\biggl（\frac}\delta-\sigma}{3{\biggr）{2}\biggl（\frac{\delta-\sigma}{3}\bigr）^{\alpha\beta}\bighr）\，d\mathcal{F}（x）\\&\quad{}+\int_{\frac{\sigma+2\delta}{3}}^{\delta{\biggl}\biggr）^{\alpha\beta}\bigr）\，d\mathcal{F}（x）。\结束{对齐}$$

(16)

通过使用分部积分，我们得到

$$开始{对齐}&\int_{\sigma}^{\frac{2\sigma+\delta}{3}}\biggl（\biggl（\frac}\delta-\sigma}{3{\biggr）^{\alpha}-（x-\sigma-）^{\ alpha}\bigr）beta}\biggr）\，d\mathcal{F}（x）\\&\quad=\biggl（\biggl（\frac{\delta-\sigma}{3}\bigbr）^{\alpha}-（x-\sigma）^{\alpha}\biggr）^{\β}-\frac{5}{8}\bigl压裂{2\sigma+\delta}{3}}\biggl（\biggl（\frac{\delta-\sigma}{3{\biggr）^{\alpha}-（x-\sigma）^{\alpha}\biggr）^{\beta-1}（x-\sigma）^{\ alpha-1}\mathcal{F}（x），dx\\&\quad=-\biggl[\frac{3}{8}\bigl（\frac}\delta-\sigma}{3}\bigr）3}\biggr）^{\alpha\beta}\mathcal{F}\bigl（\frac{2\sigma+\delta}{3}\biggr）\biggr]\\&\qquad{}+\alpha^{\beta}\Gamma（\beta+1）\biggl[_{+}^{\beta}\mathcal{日本}_{\sigma}^{\alpha}\mathcal{F}\biggl（\frac{2\sigma+\delta}{3}\bigr）\biggr]。\结束{对齐}$$

(17)

以类似的方式，我们获得

$$开始{aligned}&\int_{\frac{2\sigma+\delta}{3}}^{\frac{\sigma+2\delta{3}{}\biggl{2}\biggl（\frac{\delta-\sigma}{3}\bigr）^{\alpha\beta}\bigcr）\，d\mathcal{F}（x）\\&\quad=-\biggl[\frac{1}{2}\biggl（\frac{2\sigma+\delta}{3}\biggr）\biggr]\\&\qquad{}+\alpha^{beta}\Gamma（\beta+1）\bigl[_{+}^{\beta}\mathcal{日本}_{\frac{2\sigma+\delta}{3}}^{\alpha}\mathcal{F}\biggl（\frac{\sigma+2\delta{3}\bigr）\biggr]\end{aligned}$$

(18)

和

$$开始{aligned}&\int_{\frac{\sigma+2\delta}{3}}^{\delta{\biggl（\biggl（\frac}\delta-\sigma}{3{\bigr）^{\alpha}-\biggal（x-\frac[\sigma-2\delta}{3}\biggr）δ-\sigma}{3}\biggr）^{\alpha\beta}\bigr）\，d\mathcal{F}（x）\\&\quad=-\biggl[\frac{3}{8}\biggl（\frac{\delta-\sigma}{3}\biggr）^{\alpha\beta}\mathcal{F}（\delta）+\frac}{5}{8}\bigl（\frac{\delta-\simma}{3{\biggr）^{\ alpha\beta}\mathcal{F}\bigbgl \伽玛射线（\beta+1）\bigl[_{+}^{\beta}\mathcal{日本}_{\frac{\sigma+2\delta}{3}}^{\alpha}\mathcal{F}（\delta）\bigr]。\结束{对齐}$$

(19)

通过插入等式(17)–(19)到(16)，我们有

$$开始{aligned}&\int_{\sigma}^{delta}\Phi_{\alpha}^{\beta}（x）\，d\mathcal{F}（x）\\&\quad=\alpha^{\beta}\Gamma（\beta+1）\biggl[_{+}^{\ beta}\mathcal{日本}_{\sigma}^{\alpha}\mathcal{F}\biggl（\frac{2\sigma+\delta}{3}\bigr）+_{+}^{beta}\matchcal{日本}_{\frac{2\sigma+\delta}{3}}^{\alpha}\mathcal{F}\biggl（\frac{\sigma+2\delta{3}\bigr）+_{+}^{\ beta}\mathcal{日本}_{\frac{\sigma+2\delta}{3}}^{\alpha}\mathcal{F}（\delta）\biggr]\\&\qquad{}-\frac}{8}\biggl（\frac{\delta-\sigma}{3{\biggr）^{\alpha\beta}\bigbl[\mathcal{F}（\sigma）+3\mathcali{F}\bigcl（\frac{2\sigma+\delta{3}\大gr）+3\mathcal{F}\biggl（\frac{\sigma+2\delta}{3}\bigr）+\mathcal{F}（\delta）\biggr]。\结束{对齐}$$

因此，可以得出以下结论

$$\beart｛aligned｝&&frac｛3^｛\alpha\beta-1｝\alpha^｛\beta｝｝｛（\delta-\sigma）^｛\alpha\beta｝｝｝\Gamma（\beta+1）\biggl[_{+}^｛\beta｝\mathcal{日本}_｛\sigma｝^｛\alpha｝\mathcal｛F｝\biggl（\frac｛2\sigma+\delta｝｛3｝\biggr）+_｛+｝^｛\beta｝\mathcal{日本}_{\frac{2\sigma+\delta}{3}}^{\alpha}\mathcal{F}\biggl（\frac{\sigma+2\delta{3}\bigr）+_{+}^{\ beta}\mathcal{日本}_{\frac{\sigma+2\delta}{3}}^{\alpha}\mathcal{F}（\delta）\biggr]\\&\qquad{}-\frac}{8}\biggl[\mathcal{F}（\sigma）+3\mathcali{F}\bigbl}\biggr）+\mathcal{F}（\delta）\biggr]\\&\quad=\frac{3^{\alpha\beta-1}}{（\delta-\sigma）^{\alpha\beta}}\int_{\sigma}^{delta}\Phi_{\alpha}^{\beta}（x）\，d\mathcal{F}（x）。\结束{对齐}$$

(20)

如果我们取等式模(20)，然后我们很容易获得

$$开始{对齐}和\biggl\vert\frac{3^{\alpha\beta-1}\alpha^{\beta}}{（delta-\sigma）^{\alpha\beta}}\Gamma（\beta+1）\biggl[_{+}^{\beta}\mathcal{日本}_{\sigma}^{\alpha}\mathcal{F}\biggl（\frac{2\sigma+\delta}{3}\bigr）+_{+}^{beta}\matchcal{日本}_{\frac{2\sigma+\delta}{3}}^{\alpha}\mathcal{F}\biggl（\frac{\sigma+2\delta{3}\bigr）+_{+}^{\ beta}\mathcal{日本}_{\frac{\sigma+2\delta}{3}}^{\alpha}\mathcal{F}（\delta）\biggr]\\&\qquad{}-\frac}{8}\biggl[\mathcal{F}（\sigma）+3\mathcali{F}\bigbl}\biggr）+\mathcal{F}（\delta）\biggr]\biggr\vert\\&\quad\leq\frac{3^{\alpha\beta-1}}{（\delta-\sigma）^{\alpha\beta}}\biggl\vert\int_{\sigma}^{\delta}\Phi_{\alba}^{\ beta}（x）d\mathcal{F}（x）\biggr\vert。\结束{对齐}$$

(21)

众所周知，如果\（\mathcal{F}，g:[\sigma，\delta]\rightarrow\mathbb{R}\）是这样的克持续打开\（[\sigma，\delta]\）和\（\mathcal{F}\）在上具有有界变化\（[\sigma，\delta]\），然后\（\int_{\sigma}^{\delta}g（\mu）\，d\mathcal{F}（\mu）\）存在并且

$$\biggl\vert\int_{\sigma}^{\delta}g（\mu）\，d\mathcal{F}（\μ）\biggr\vert\leq\sup_{\mu\in[\sigma，\delta]}\bigl\vert g（\mo）\bigr\vert\bigfee_{\sigma}^{\delta}（\ mathcal}F}）$$

(22)

通过使用不等式(22)，我们获得

$$开始{aligned}和\biggl\vert\int_{\sigma}^{delta}\Phi_{\alpha}^{\beta}（x{\alpha}-（x-\sigma）^{\ alpha}\biggr）^{\beta}-\frac{5}{8}\bigl（\frac{\delta-\sigma}{3}\ biggr）^{\alpha\beta}\biggr压裂{2\sigma+\delta}{3}\biggr）^{alpha}\bigr）^{beta}-\frac{1}{2}\bigl（\frac{delta-\sigma}{3{\ biggr）^{\alpha\beta}\biggr大gr）^{\alpha}\biggr）^{\β}-\frac{3}{8}\bigl（\frac{\delta-\sigma}{3}\bigbr）^}\alpha\beta}\biggr）\，d\mathcal{F}（x）\biggr\vert\\&\quad\leq\sup_{x\ in[\sigma，\frac{2\sigma+\delta}{3}]}\biggl\vert\biggl（\biggl（\frac{\delta-\sigma}{3}\biggr）^{\alpha\beta}\bigr\vert\bigvee_{\sigma}^{\frac}2\sigma+\delta}{3} }（\mathcal{F}）\\&\qquad{}+\sup{x\in[\frac{2\sigma+\delta}{3}，\frac}\sigma+2\delta{3}]}\biggl\vert\biggl gr）^{\beta}-\frac{1}{2}\biggl（\frac{\delta-\sigma}{3}\bigr）\biggr\vert\bigvee_{\frac{2\sigma+\delta}{3}}^{\frac{\sigma+2\ delta}{3}（\mathcal{F}）\\&\qquad{}+\sup{x\in[\frac}\sigma+2\delta{3}，\delta]}\biggl\vert\ biggl gl（x-\frac{\sigma+2\delta}{3}\biggr）^{\alpha}\bigbr）^}\beta}-\frac}3}{8}\bigl（\frac｛\delta-\sigma}{3} biggr）^｛\alpha\beta｝\biggr\vert\bigvee_｛\frac｛\sigma+2\delta｝｛3｝｝^｛\delta｝（\mathcal｛F｝）\\&&quad=\Biggl｛\frac｛5｝｛8｝\Biggl（\frac｛\delta-\sigma｝｛3｝\biggr）^｛\alpha\beta｝\bigvee_｛\sigma｝^｛\frac｛2\sigma+\delta｝｛3｝｝｝（\mathcal｛F｝）+\frac｛1｝｛2｝\Biggl（\fracδ-∑｛3｝\biggr）^｛\alpha\beta｝\bigvee_{\frac{2\sigma+\delta}{3}}^{\frac{\sigma+2\delta{3}（\mathcal{F}）+\frac{5}{8}\biggl（\frac{\delta-\sigma}{3{\biggr）四元\leq\frac{5}{8}\biggl（\frac}\delta-\sigma}{3}\bigr）^{\alpha\beta}\bigvee_{\sigma}^{\delta}（\mathcal{F}）。\结束{对齐}$$

然后，与前面的过程类似，我们很容易

$$\biggl\vert\int _｛\sigma｝^｛\deta｝）$$

(23)

如果我们替换不等式(23)英寸(21)，则以下不等式成立：

$$开始{对齐}和\biggl\vert\frac{3^{\alpha\beta-1}\alpha^{\beta}}{（delta-\sigma）^{\alpha\beta}}\Gamma（\beta+1）\biggl[_{+}^{\beta}\mathcal{日本}_{\sigma}^{\alpha}\mathcal{F}\biggl（\frac{2\sigma+\delta}{3}\bigr）+_{+}^{beta}\matchcal{日本}_{\frac{2\sigma+\delta}{3}}^{\alpha}\mathcal{F}\biggl（\frac{\sigma+2\delta{3}\bigr）+_{+}^{\ beta}\mathcal{日本}_{\frac{\sigma+2\delta}{3}}^{\alpha}\mathcal{F}（\delta）\biggr]\\&\quad{}-\frac}{8}\biggl[\mathcal{F}（\sigma）+3\mathcali{F}\bigbl \biggr）+\mathcal{F}（\delta）\biggr]\biggr\vert\leq\frac{5}{24}\bigvee_{\sigma}^{\delta}（\ mathcal}F}），\结束｛对齐｝$$

这是定理的期望结果4. □

备注8

如果我们分配\（阿尔法=1）在定理中4，然后我们得到以下不等式

$$开始{对齐}和\biggl\vert\frac{1}{8}\biggl[\mathcal{F}（\sigma）+3\mathcal{F}\bigl（\frac{2\sigma+\delta}{3}\bigr）+3\mathcal{F}\bigbl（\frac{2\ sigma+2\delta{3}\ biggr）+\mathcali{F}\（\delta）\biggr]-\frac}{1}{\delta-\西格玛}\int_{\sigma}^{\delta}\mathcal{F}（\mu）\，d\mu\biggr\vert\\&\quad\leq\frac{5}{24}\bigvee_{sigma}^{delta}（\mathcal{F}），\end{aligned}$$

由阿洛马里于年建立[5].

6总结和结束语

在可微凸函数的情况下，利用保角分数次积分讨论了几种新的Newton型不等式。更精确地说，利用Hölder不等式和幂-曼不等式构造了可微凸函数的几个Newton型不等式。此外，通过对所得不等式的特殊选择，给出了更多的结果。最后，我们建立了有界变差函数的共形分数牛顿型不等式。

在未来的工作中，通过保角分数次积分对牛顿型不等式相关结果的思想和策略可能会为这一领域的数学家开辟新的途径。此外，可以尝试使用不同版本的凸函数类或其他类型的分数积分算子来推广我们的结果。最后，利用量子微积分对凸函数进行保角分数次积分，可以得到这类不等式。