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不等式与应用杂志
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Jaggi–Suzuki型混合收缩的不动点结果及其应用

不等式与应用杂志 体积 2023，物品编号：46(2023)引用这篇文章

摘要

在这份手稿中，一种新的一般收缩类，称为Jaggi–Suzuki型混合动力(G公司-α-ϕ)-引入了压缩，证明了度量空间中一些不能由其同系物导出的不动点定理。这个收缩族的优势在于它的收缩不等式可以根据多个参数以不同的方式进行专门化。构造了非平凡的比较示例来验证我们所获得的定理的假设。因此，我们强调并分析了一些推论，这些推论将我们的结果简化为文献中的一些突出结果。此外，我们检查了本文提出的新收缩的乌拉姆型稳定性和适定性。最后，将我们得到的推论之一应用于建立一类积分方程解的前所未有的存在条件。对于我们结果的未来方面，注意到一个关于离散化人口平衡模型的公开问题，其解决方案可以使用本文建立的技术进行分析。

1介绍

度量空间中著名的Banach收缩为度量不动点理论开辟了一条新的曙光，该理论已被证明在不等式、逼近理论、优化等方面有许多应用。该领域的研究人员在度量空间中引入了几个新概念，并获得了丰富的不动点\（（FP）\）线性和非线性收缩的结果。最近，努瓦利和叶什·伊尔卡亚[15]引入了混合收缩的新概念，将MS中现有的一些线性收缩和非线性收缩结合起来。

另一方面，穆斯塔法[11]引入了MS的扩展名，即广义MS（或更具体地说，G公司-度量空间(G公司-MS））并证明了一些计划Banach型压缩映射的结果。穆斯塔法和西姆斯将这一新的概括引人注意[14]. 随后，穆斯塔法等人[12]和其他几位作者（参见，例如[1,5,6,10,13,17,18])取得了一些显著成绩计划满足一定收缩条件的结果G公司-硕士。然而，Jleli和Samet[7]以及Samet等人[19]发表的观察结果表明计划中的个结果G公司-MS是MS存在的直接结果。事实上，Jleli和Samet[7]注意到如果G公司-度量可以简化为准度量，然后相关计划结果成为已知计划在准质谱的背景下得出的结果。受后一个观察结果的启发，许多研究人员（参见，例如[4,8])开发了建立计划中的个结果G公司-在普通或准MS中无法从其类似物中得出的MS。

根据现有文献，我们认识到计划中的个结果G公司-MS尚未得到充分的研究。因此，在[4,8,15]，我们引入了Jaggi–铃木型混合动力车的新概念(G公司-α-ϕ)-收缩G公司-MS并证明一些相关计划定理。给出了一个例子来证明我们结果的有效性，并表明本文得到的主要思想并没有归结为MS中的任何存在性结果计划中的定理G公司-硕士。此外，还建立并分析了这种混合收缩的乌拉姆型稳定性和适定性。此外，将我们得到的推论之一应用于建立一类积分方程解的新的存在条件。为了进一步研究和扩展我们的结果，我们强调了一个关于离散化人口平衡模型的开放问题，可以使用我们建立的技术分析其解决方案。

2前期工作

在本节中，我们将介绍一些基本的符号和结果，这些符号和结果将在随后部署。

总之，每一组Φ都被认为是非空的，N个是一组自然数，R（右）表示实数集，并且 R（右） + 非负实数集。

定义1

([14])

设Φ为非空集G公司:Φ×Φ×Φ⟶ R（右） + 是满足以下条件的函数：

\（（G_{1}）\）:

\（G（r，s，t）=0）如果\（r=s=t\）;

\（（G_{2}）\）:

\（0<G（r，r，s）\）为所有人\（r，s\in\Phi\）具有\（\r\neq \）;

\（（G_{3}）\）:

\（G（r，r，s）\leq G（r、s，t）\）为所有人\（r，s，t\in\Phi\）具有\（新问题）;

\（（G_{4}）\）:

\（G（r，s，t）=G（r、t、s）=G（三个变量对称）；

\（（G_{5}）\）:

\（G（r，s，t）\leq G（r、a、a）+G（a、s、t）\）为所有人\（r、s、t、a \ in \ Phi \）（矩形不等式）。

然后是函数G公司称为广义度量，或者更具体地说，称为G公司-Φ上的公制，以及这对\（（\Phi，G）\）称为G公司-硕士。

示例1

([12])

让\（（\菲律宾，d）\）成为一名普通的MS。那么\（（\Phi，G_{p}）\）和\（（\Phi，G_{m}）\）是G公司-MS，其中

$$\开始{aligned}&G_{p}（r，s，t）=d（r，s）+d（s，t$$
(1)
$$\begin{aligned}&G_{m}（r，s，t）=\max\bigl\{d（r，s），d（s，t。\结束{对齐}$$
(2)

定义2

([12])

让\（（\Phi，G）\）成为G公司-MS和let { 第页 x个 } x个 ∈ N个 是Φ的点序列。我们这么说 { 第页 x个 } x个 ∈ N个 是G公司-收敛于第页如果\（\lim_{x，m\rightarrow\infty}G（r，r_{x}，r_}m）=0\）; 也就是说，对任何人来说\（epsilon>0\），存在 x个 0 ∈N个这样的话\（G（r，r{x}，r{m}）<\epsilon\）,\（对于所有x，m\geqx{0}）。我们指的是第页作为序列的极限 { 第页 x个 } x个 ∈ N个 .

提议1

([12])

让 \（（\Phi，G）\） 成为 G公司-微软.那么以下是等效的:

  1. （i）

    { 第页 x个 } x个 ∈ N个 是 G公司-收敛于 第页.

  2. （ii）

    \（G（r，r{x}，r{m}）\右箭头0\） 作为 \（x，m\rightarrow\infty\）.

  3. （iii）

    \（G（r_{x}，r，r）\右箭头0\） 作为 \（x\rightarrow\infty\）.

  4. （iv）

    \（G（r_{x}，r_{x}，r）\右箭头0\） 作为 \（x\rightarrow\infty\）.

定义3

([12])

让\（（\Phi，G）\）成为G公司-硕士。A序列 { 第页 x个 } x个 ∈ N个 被称为G公司-Cauchy if，给定\（epsilon>0\），存在 x个 0 ∈N个这样的话\（G（r_{x}，r_{m}，r_{l}）<\epsilon\）,\（对于所有x，m，l\geqx{0}）也就是说，\（G（r_｛x｝，r_｛m｝，r_｛l｝）\长右箭头0\）作为\（x，m，l\右箭头\infty\）.

提议2

([12])

在一个 G公司-微软 \（（\Phi，G）\）,以下是等效的:

  1. （i）

    序列 { 第页 x个 } x个 ∈ N个 是 G公司-柯西.

  2. （ii）

    对于每个 \（epsilon>0\）,存在 x个 0 ∈N个 这样的话 \（G（r_{x}，r_{m}，r_{m{）<\epsilon\）,\（对于所有x，m\geqx{0}）.

定义4

([12])

让\（（\Phi，G）\）和\（（\ Phi'，G'）\）是两个G公司-MS和let\（f:（\Phi，G）\右长箭头（\Phi'，G'）\）是一个函数。然后（f）据说是G公司-在某一点上连续\（位于Phi中）当且仅当，给定\（epsilon>0\），存在\（增量>0）这样的话\（r，s\in\Phi\）和\（G（a，r，s）<\δ\） ⇒ \（G'（f（a），f（r），f.A函数（f）是G公司-Φ上连续当且仅当它是G公司-完全是连续的\（a \ in \ Phi \）.

提案3

([12])

让 \（（\Phi，G）\） 和 \（（\ Phi'，G'）\） 是两个 G公司-微软.然后是一个函数 \（f:（\Phi，G）\右长箭头（\Phi'，G'）\） 据说是 G公司-在某一点上连续 \（在\Phi\中） 当且仅当它是 G公司-顺序连续于 第页,就是这样,无论何时 { 第页 x个 } x个 ∈ N个 是 G公司-收敛于 第页,\（{fr_{x}\}\） 是 G公司-收敛于 前.

定义5

([12])

A类G公司-微软\（（\Phi，G）\）称为对称G公司-MS如果

$$\begin{aligned}G（r，r，s）=G（s，r，r）\quad\forall r，s\in\Phi。\结束{对齐}$$

提案4

([12])

让 \（（\Phi，G）\） 成为 G公司-微软.然后是函数 \（G（r，s，t）\） 在所有三个变量中都是连续的.

提议5

([12])

每 G公司-微软 \（（\Phi，G）\） 将定义MS \（（\Phi，d_{G}）\） 通过

$$\begin{aligned}d_{G}（r，s）=G（r，s，s）+G（s，r，r）\quad\对于\Phi中的所有r，s。\结束{对齐}$$
(3)

注意，如果 \（（\Phi，G）\） 是对称的 G公司-微软,然后

$$\begin{aligned}（\Phi，d_{G}）=2G（r，s，s）\quad\对于\Phi中的所有r，s。\结束{对齐}$$
(4)

然而,如果 \（（\Phi，G）\） 不是对称的,然后它被 G公司-度量属性

$$\开始{aligned}\frac{3}{2} G公司（r，s，s）\leq d_{G}（r，s）\leq3G（r、s、s）\quad\对于所有r，s\in\Phi，\end{aligned}$$
(5)

总的来说,这些不平等是尖锐的.

定义6

([12])

A类G公司-微软\（（\Phi，G）\）据说是G公司-完成（或完成G公司-公制）如果每G公司-Cauchy序列\（（\Phi，G）\）是G公司-收敛于\（（\Phi，G）\）.

提案6

([12])

A类 G公司-微软 \（（\Phi，G）\） 是 G公司-完成当且仅当 \（（\Phi，d_{G}）\） 是一个完整的MS.

穆斯塔法[11]在G公司-硕士。

定理1

([11])

让 \（（\Phi，G）\） 是一个完整的 G公司-微软,然后让 \（\Gamma:\Phi\longrightarrow\Phi\） 做一个自我-满足以下条件的映射:

$$\开始{aligned}G（\Gamma r，\Gammas，\Gamma t）&\leq kG（r，s，t）\end{aligned}$$
(6)

为所有人 \（r，s，t\in\Phi\）,哪里 \（0\leq k<1）.然后Γ有一个独特的 计划(说 u个,我.e（电子）.,\（伽马u=u\）),和Γ是 G公司-连续时间为 u个.

定义7

([2])

设Ψ为所有函数的集合ϕ: R（右） + ⟶ R（右） + 令人满意的：

  1. （i）

    ϕ单调递增，即，\（p{1}\leqp{2}\） ⇒ \（φ（p{1}）\leq\phi（p{2}）\）;

  2. （ii）

    系列\（\sum_{x=0}^{\infty}\phi^{x}（p）\）对所有人来说都是收敛的\（p>0）.

然后ϕ称为\（（c）\）-比较函数。

备注1

如果\（\phi\in\Psi\），然后\（φ（p）<p\）对于任何\（p>0）,\（φ（0）=0）和ϕ在0处连续。

波佩斯库[16]在MS的设置中给出了以下定义。

定义8

([16])

让α:Φ×Φ⟶ R（右） + 是一个函数。自我映射\（\Gamma:\Phi\longrightarrow\Phi\）被称为α-轨道容许条件\（在\Phi\中）,

$$\开始{aligned}\alpha（r，\Gamma r）\geq 1\quad\Rightarrow\quad\alpha\bigl（\Gammar，\Gamma^{2} 第页\较大）\geq 1。\结束{对齐}$$

定义9

([16])

让α:Φ×Φ⟶ R（右） + 是一个函数。自我映射\（\Gamma:\Phi\longrightarrow\Phi\）称为三角形α-轨道容许条件\（在\Phi\中），Γ为α-轨道容许和

$$\begin{aligned}\alpha（r，s）\geq 1\quad\text{和}\quad\alpha。\结束{对齐}$$

我们在以下框架中修改了上述定义G公司-MS如下。

定义10

让α:Φ×Φ×Φ⟶ R（右） + 是一个函数。自我映射\（\Gamma:\Phi\longrightarrow\Phi\）被称为(G公司-α)-轨道容许条件\（在\Phi\中）,

$$\开始{aligned}\alpha\bigl（r，\Gamma r，\Gamma^{2} 第页\bigr）\geq 1\quad\Rightarrow\quad\alpha\bigl（\Gamma r，\Gamma^{2} 第页，\伽马射线^{3} 对\较大）\geq 1。\结束{对齐}$$

定义11

让α:Φ×Φ×Φ⟶ R（右） + 是一个函数。自我映射\（\Gamma:\Phi\longrightarrow\Phi\）称为三角形(G公司-α)-轨道容许条件\（在\Phi\中），Γ为(G公司-α)-轨道容许和

$$\开始{aligned}\alpha（r，s，\Gamma s）\geq 1\quad\text{和}\quad\alpha\bigl（s，\Gamma s，\γ^{2} 秒\bigr）\geq 1\quad\Rightarrow\quad\alpha\bigl（r，\Gamma s，\Gamma^{2} 秒\较大）\geq 1。\结束{对齐}$$

引理1

让 \（\Gamma:\Phi\longrightarrow\Phi\） 是三角形的(G公司-α)-轨道容许映射.如果存在 \（r_{0}\in\Phi\） 这样的话 \（\阿尔法（r_{0}，\伽马r_{0}，\Gamma^{2} 第页_{0}）\geq 1\）,然后

α( 第页 x个 , 第页 米 , 第页 我 )≥1∀x个,米,我∈N个,
(7)

哪里 { 第页 x个 } x个 ∈ N个 是由定义的序列 \（r{x+1}=\伽马r{x}\）,x个∈N个.

证明

因为Γ是(G公司-α)-轨道容许映射和\（\阿尔法（r_{0}，\伽马r_{0}，\Gamma^{2} 第页_{0}）\geq 1\），然后我们推断\（α（r{1}，r{2}，r{3}）=\alpha（\Gamma r{0}，\Gammar r{1{，\Gamma r_2}）\geq 1\）。继续以这种方式，我们获得\（α（r{x}，r{x+1}，r{x+2}）为所有人\（x\geq 1）.假设\（α（r{x}，r{m}，r{m+1}），其中\（m>x\）.因为Γ是三角形的(G公司-α)-轨道容许映射和\（α（r{m}，r{m+1}，r{m+2}）然后，很明显，\（α（r{x}，r{m+1}，r{m+2}）为所有人米,x个∈N个这验证了我们的假设\（α（r{x}，r{m}，r{m+1}）.出租\（l=m+1）完成证明。□

定义12

([三])

让α:Φ×Φ×Φ⟶ R（右） + 成为一个映射。集合Φ被称为关于α当且仅当对于每个序列 { 第页 x个 } x个 ∈ N个 Φ，以便\（α（r{x}，r{x+1}，r{x+2}），对于所有人x个和\（r_{x}\rightarrow r\in\Phi\）作为\（x\rightarrow\infty\），我们有\（α（r{x}，r，r）\geq 1）为所有人x个.

诺瓦利和叶什·伊尔卡亚[15]给出了MS中Jaggi型混合收缩的以下定义。

定义13

([15])

让\（（\菲律宾，d）\）成为一名自我映射硕士\（\Gamma:\Phi\longrightarrow\Phi\）称为Jaggi–Suzuki型混合收缩\（\phi\in\Psi\）和α:Φ×Φ⟶ R（右） + 这样的话

$$\开始{aligned}\frac{1}{2} d日（r，\Gamma r）\leq d（r，s）\quad\Rightarrow\quad\\alpha$$
(8)

为所有人\（r，s\in\Phi\），其中

$$\begin{aligned}M（r，s）=\textstyle\begin{cases}[\lambda_{1}（\frac{d（r，\Gamma r）\cdot d（s，\Gamma s）}{d（r，s）}）^{q}+\lambda_{2} d日（r，s）^{q}]^{\frac{1}{q}}&\text{表示}q>0，\r\neqs；\\d（r，\Gamma r）^{\lambda_{1}}\cdot d（s，\Gamma s）^{\lambda{2}}&\text{表示}q=0，r，s\in\Phi\backslash\mathrm{Fix}（\ Gamma），\end{cases}\displaystyle\end{aligned}$$
(9)

\（\lambda{1}，\lambda{2}\geq 0\）具有\（λ{1}+λ{2}=1\）,\（λ｛1｝<\frac｛1｝｛2｝\）和\（\mathrm{Fix}（\Gamma）=\{r\in\Phi:\Gammar=r\}\）.

三主要成果

我们首先定义Jaggi–铃木型混合动力车的概念(G公司-α-ϕ)-收缩G公司-硕士。

定义14

让\（（\Phi，G）\）成为G公司-硕士。自我映射\（\Gamma:\Phi\longrightarrow\Phi\）被称为Jaggi–Suzuki型混合动力车(G公司-α-ϕ)-收缩（如果存在）\（\phi\in\Psi\）和α:Φ×Φ×Φ⟶ R（右） + 这样的话

$$\开始{aligned}\frac{1}{2} G公司\bigl（r，\Gamma r，\Gamma^{2} 第页\biger）\leq G（r，s，\Gamma s）\quad\Rightarrow\quad\\alpha^{2} 秒\biger）\leq\phi\bigl（M（r，s，\Gamma s）\bigr）\end{对齐}$$
(10)

为所有人\（r，s\in\Phi\backslash\mathrm{Fix}（\Gamma）\），其中

$$\begin{aligned}M（r，s，\Gamma s）=\textstyle\begin{cases}[\lambda_{1}（\frac{G（r，\Gamma r，\Gamma^{2} 第页)\cdot G（s），\伽马s，\伽玛^{2} 秒)}{G（r，s，\Gamma s）}）^{q}+\lambda_{2} G公司（r，s，\Gamma s）^{q}]^{\frac{1}{q}}&\text{表示}q>0；\\G（r，\Gamma r，\Gamma^{2} 第页)^{\lambda_{1}}\cdot G（s，\Gamma s，\Gamma^{2} 秒)^｛\lambda _｛2｝｝&&text｛for｝q＝0，\end｛cases｝\displaystyle\end｛aligned｝$$
(11)

\（\lambda{1}，\lambda{2}\geq 0\）具有\（λ{1}+λ{2}=1\）和\（\mathrm{Fix}（\Gamma）=\{r\in\Phi:\Gammar=r\}\）.

以下是我们的主要结果。

定理2

让 \（（\Phi，G）\） 是一个完整的 G公司-MS和let \（\Gamma:\Phi\longrightarrow\Phi\） 成为Jaggi–铃木-类型混合(G公司-α-ϕ)-收缩.进一步假设

  1. （i）

    Γ是三角形的(G公司-α)-轨道容许值;

  2. （ii）

    存在 \（r_{0}\in\Phi\） 这样的话 \（\阿尔法（r_{0}，\伽马r_{0}，\Gamma^{2} 第页_{0}）\geq 1\）;

  3. （iii）

    要么Γ是连续的或

  4. （iv）

    \（\Gamma^{3}\） 是连续的，并且 \（\alpha（r，\Gamma r，\Gamma^{2} 第页)\geq 1） 对于每个 \（在\mathrm{Fix}（\Gamma^{3}）中）.

然后Γ有一个 计划 在里面Φ.

证明

让\（r_{0}\in\Phi\）成为任意点并定义序列 { 第页 x个 } x个 ∈ N个 单位Φby\（r_{x}=\伽马^{x} 第页_{0}\)为所有人x个∈N个.假设存在一些米∈N个这样的话\（γr{m}=r{m+1}=r_{m}\）然后，很明显，\（r{m}\）是一个计划γ。所以，我们假设\（r{x}\neq r{x-1}\）对于任何x个∈N个由于Γ是Jaggi–Suzuki型杂交种(G公司-α-ϕ)-收缩，然后从(10)我们有

$$\开始{aligned}\frac{1}{2} G公司\bigl（r_{x-1}，\Gamma r_{x-1}^{2} 第页_｛x-1｝\bigr）&=\frac｛1｝{2} G公司（r_{x-1}，r_{x}，\Gamma r_{x}）\leq G（r__{x-1}，r_{x{，\γr_{x}）^{2} 第页_{x} \bigr）\\&\leq\phi\bigl（M（r_{x-1}，r_{x}，\Gamma r_{x}）\biger）。\结束{对齐}$$
(12)

由于Γ是三角形的事实(G公司-α)-轨道容许连同(7)和(12)，我们有

$$开始{对齐}G（r{x}，r{x+1}，\Gamma r{x+1}）&=G（r_{x}，r{x+1}，r{x+2}）^{2} 第页_{x} \bigr）\\&\leq\phi\bigl（M（r_{x-1}，r_{x}，\Gamma r_{x}）\biger）。\结束{对齐}$$
(13)

我们现在考虑以下给定的情况(10).

案例1：针对\（q>0），我们获得

$$\开始{对齐}M（r_{x-1}，r_{x}，\Gamma r_{x}）={}&\biggl[\lambda_{1}\biggl（\frac{G（r_1}，\ Gamma r_{x-1\，\Gamma^{2} 第页_｛x-1｝）G（r_｛x｝，\伽玛r_｛x｝，\伽玛^{2} 第页_{x} ）}{G（r_{x-1}，r_{x}，\Gamma r_{x}）}\biggr）^{q}+\lambda_{2} G公司（r_{x-1}，r_{x}，\Gamma r_{x}）^{q}\biggr]^{\frac{1}{q}}\\={}&\biggl[\lambda_{1}\bigl x}，r{x+1}）}\biggr）^{q}+\lambda_{2} G公司（r{x-1}，r{x}，r{x+1}）^{q}\biggr]^{\frac{1}{q}}\\={}&\bigl[\lambda_{1}G_{2} G公司（r{x-1}，r{x}，r{x+1}）^{q}\bigr]^{\frac{1}{q}}。\结束{对齐}$$

自ϕ如果我们假设这一点的话，这不会减少

$$\开始｛对齐｝G（r_｛x-1｝，r_｛x｝，r_｛x+1｝）\leq G（r_｛x｝，r_｛x+1｝，r_｛x+2｝），\结束｛对齐｝$$

然后(13)成为

$$\开始{对齐}G（r_{x}，r_{x+1}，r_{x+2}）&\leq\phi\bigl（\bigl[\lambda_{1} G公司（r{x}，r{x+1}，r{x+2}）_{1} G公司（r_｛x｝，r_｛x+1｝，r_｛x+2｝）^｛q｝+\lambda _｛2｝G（r_｛x｝，r_｛x+1｝，r_｛x+2｝\&=\phi\bigl（G（r_｛x｝，r_｛x+1｝，r_｛x+2｝）\bigr）\&<G（r_｛x｝，r_｛x+1｝，r_｛x+2｝），\end｛aligned｝$$

这是一个矛盾。因此，对于每个x个∈N个，我们有

$$\开始｛对齐｝G（r_｛x｝，r_｛x+1｝，r_｛x+2｝）<G（r_｛x-1｝，r_｛x｝，r_｛x+1｝），\结束｛对齐｝$$

因此(13)成为

$$\开始{对齐}G（r_{x}，r_{x+1}，r_{x+2}）&\leq\phi\bigl（\bigl[\lambda_{1} G公司（r{x}，r{x+1}，r{x+2}），r{x}，r{x+1}）\bigr）\\&\leq\phi\bigl（G（r{x-1}，r{x}，r{x+1}）\ biger）。\结束{对齐}$$

继续归纳，我们有

$$开始{对齐}G（r{x}，r{x+1}，r{x+2}）\leq\phi^{x}\bigl（G（r_{0}，r{1}，r{2}）\ bigr）。\结束{对齐}$$
(14)

现在，因为

$$\开始{对齐}G（r_{x}，r_{x}，r_{x+1}）\leq G（r_对齐}，n_{x+1}，re_{x+2}）\ leq\phi^{x}\bigl$$

为所有人x个∈N个具有\（r{x+1}\neq r{x+2}\），那么对于任何x个,米∈N个具有\（x<m）通过矩形不等式，我们得到

$$开始{对齐}G（r_{x}，r_{x}，r_{m}）和\leq G（r_2x}、r_{x2}、r_{x+1}）+G phi^{x+2}+\cdots+\phi^{m-1}\bigr\bigl（G（r_{0}，r_{1}，r_{2}）\bigr）。\结束{对齐}$$

自ϕ是一个\（（c）\）-比较函数，然后是序列\（sum_{i=0}^{\infty}\phi^{i}（G（r_{0}，r_{1}，r_{2}））是收敛的，因此表示为\（S_{p}=\sum_{i=0}^{\infty}\phi^{i}（G（r{0}，r{1}，r{2}）），我们有

$$\开始{对齐}G（r_{x}，r_{x}，r_{m}）和\leq S_{m-1}-S_{x-1}。\结束{对齐}$$

因此，作为\（x，m\右箭头\infty\），我们看到了

$$\开始{aligned}G（r_{x}，r_{x}，r_{m}）\longrightarrow 0。\结束{对齐}$$

因此 { 第页 x个 } x个 ∈ N个 是一个G公司-Cauchy序列\（（\Phi，G）\），所以根据\（（\Phi，G）\），存在\（位于Phi中）这样的话 { 第页 x个 } x个 ∈ N个 是G公司-收敛于t吨也就是说，

$$\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow\infty}G（r_{x}，r_{x}，t）=0。\结束{对齐}$$

我们现在将展示这一点t吨是一个计划γ。通过Γ是连续的假设，我们得到

$$\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow\infty}G（t，t，\Gamma t）&=\lim_{x\右箭头\infty}G}，\Gamma r_{x}）=0，\end{对齐}$$

所以我们得到\（伽马t=t）也就是说，t吨是一个计划γ。

或者，假设\（四）保持，我们有\（\伽马射线^{3} t吨=\lim\Gamma^{3} 第页_{x} =t）.看看这个\（伽马t=t），假设相反\（伽马射线）然后，通过(10)和命题1，我们获得

$$\begin｛aligned｝和\ frac｛1｝{2} G公司\bigl（t，\Gamma t，\Gamma^{2} t吨\biger）\leq G\bigl（t，\Gamma t，\Gamma^{2} t吨\bigr）\\&\quad\Rightarrow\quad\\alpha\bigl（t，\Gamma t，\Gamma^{2} t吨\bigr）G\bigl（\伽玛t，\伽玛^{2} t吨，\伽马射线^{3} t吨\bigr）\leq\phi\bigl（M\bigle（t，\Gamma t，\Gamma^{2} t吨\大）\大）。\结束{对齐}$$

现在，

$$\开始｛对齐｝G\bigl（t，\伽玛t，\伽玛^{2} t吨\bigr）=G\bigl（\Gamma^{3} t吨，\伽玛t，\伽玛^{2} t吨\biger）和\leq\alpha\bigl（t，\Gamma t，\Gamma^{2} t吨\bigr）G\bigl（\伽玛t，\伽玛^{2} t吨，\伽马射线^{3} t吨\bigr）\\&\leq\phi\bigl（M\bigle（t，\Gamma t，\Gamma^{2} t吨\bigr）\biger）<M\bigl（t，\Gamma t，\Gamma^{2} t吨\bigr），\end{对齐}$$

哪里

$$\开始{对齐}M\bigl（t，\Gamma t，\Gamma^{2} t吨\bigr）={}&\biggl[\lambda_{1}\biggl（\frac{G（t，\Gamma t，\Gamma^{2} t吨)\cdot G（\γt，\γ^{2} t吨，\伽马射线^{3} t吨)}{G（t，\伽马t，\γ^{2} t吨)}\biggr）^{q}+\lambda_{2} G公司\bigl（t，\Gamma t，\Gamma^{2} t吨\biger）^{q}\biggr]^{\frac{1}{q}}\\={}&\bigl[\lambda_{1}G\bigl（t，\Gamma t，\Gamma^{2} t吨\biger）^{q}+\lambda_{2} G公司\bigl（t，\Gamma t，\Gamma^{2} t吨\biger）^{q}\bigr]^{\frac{1}{q}}\\={}&\bigl[（\lambda_{1}+\lambda _{2}）G\bigl（t，\Gamma t，\Gamma^{2} t吨\biger）^{q}\bigr]^{\frac{1}{q}}\\={}&（\lambda_{1}+\lambda _{2}）^{2} t吨\bigr）\\={}&G\bigl（t，\Gamma t，\Gamma^{2} t吨\bigr），\end{对齐}$$

这是一个矛盾。因此，\（伽马t=t）.

案例2：针对\（q=0），我们有

$$\begin｛aligned｝M（r_｛x-1｝，r_｛x｝，\Gamma r_｛x｝）=｛｝&G\bigl（r_｛x-1｝，\Gamma r_｛x-1｝，\Gamma^{2} 第页_{x-1}\bigr）^{\lambda_{1}}\cdot G\bigl（r_{x}，\Gamma r_{x}，\ Gamma^{2} 第页_{x} 大）^{\lambda_{2}}\\={}&G（r{x-1}，r{x}，r{x+1}）。\结束{对齐}$$

现在，如果\（G（r_｛x-1｝，r_｛x｝，r_｛x+1｝）\leq G（r_｛x｝，r_｛x+1｝，r_｛x+2｝）\），然后(13)成为

$$开始{对齐}G（r{x}，r{x+1}，r{x+2}）$$

这是一个矛盾。因此，

$$开始{对齐}G（r{x}，r{x+1}，r{x+2}）。\结束{对齐}$$

因此，通过(13)，我们有

$$开始{对齐}G（r{x}，r{x+1}，r{x+2}），r{2}）\更大）。\结束{对齐}$$

通过与案件类似的论点\（q>0），我们可以证明存在G公司-柯西层序 { 第页 x个 } x个 ∈ N个 在里面\（（\Phi，G）\）还有一点t吨Φ，以便\（\lim_{x\rightarrow\infty}r_{x}=t\）类似地，在Γ连续的假设下，通过极限的唯一性，我们得到\（伽马t=t）也就是说，t吨是一个计划Γ.□的

在下面的结果中，我们检查了计划Γ在某些补充假设下。

定理3

如果在定理中2,如果发生以下情况 \（q>0）,我们进一步假设 \（（\Phi，G）\） 在以下方面是常规的 α 和 \（\alpha（r，s，\Gamma s）\geq 1） 对于任何 \（r，s\in\mathrm{Fix}（\Gamma）\）,然后 计划 属于Γ是独一无二的.

证明

让\（v，t\in\mathrm{Fix}（\Gamma）\）是这样的\（v\neq t）。通过在中替换此(10)并注意到其他假设，我们有

$$\开始{aligned}&\frac{1}{2}G\bigl（t，\Gamma t，\Gamma^{2} t吨\bigr）\leq G（t，v，\Gamma v）\\&&\quad\Rightarrow G（t，v，\Gamma v）\leq\alpha（t，v，\Gamma v）G\bigl（\Gamma t，\Gamma v，\Gamma^{2} v（v）\biger）\\&\phantom{\quad\Rightarrow G（t，v，\Gamma v）}\leq\phi\bigl^{2} t吨)G（v，\伽玛v，\伽玛^{2} v（v）)}{G（t，v，\Gamma v）}\biggr）^{q}+\lambda_{2} G公司（t，v，\Gamma v）^{q}\biggr]^{\frac{1}{q}}\\&\phantom{\quad\Rightarrow G（t，v，\Gamma v）}=\biggl[\lambda_{1}\bigl_{2} G公司（t，v，\Gamma v）^{q}\biggr]^{\frac{1}{q}}\\&\phantom{\quad\Rightarrow G（t，v，\Gamma v）}=\lambda_{2}^{\frac{1{q}G（t、v，\Gamma v$$

这是一个矛盾。因此，\（v=t），所以计划Γ是唯一的。□

示例2

让\（\Phi=[-1,1]\）然后让\（\Gamma:\Phi\longrightarrow\Phi\）是Φ上的自映射，由定义

$$\开始{aligned}\Gamma r=\textstyle\begin{cases}\frac{r}{5}&\text{if}r\in\{-1,1\}；\\\压裂{1}{5}&\text{if}r\in（-1,1）\end{cases}\displaystyle\end{aligned}$$

为所有人\（在\Phi\中）.定义G公司:Φ×Φ×Φ⟶ R（右） + 通过

$$\begin{aligned}G（r，s，\Gamma s）=\vert r-s\vert+\vert r-\Gammas \vert+\ vert s-\Gamma s \vert\quad\forall r，s\in\Phi。\结束{对齐}$$

然后\（（\Phi，G）\）是一个完整的G公司-硕士。定义ϕ: R（右） + ⟶ R（右） + 通过\（φ（p）=frac{p}{2}）为所有人\（第0页）和α:Φ×Φ×Φ⟶ R（右） + 通过

$$\begin{aligned}\alpha（r，s，\Gamma s）=\textstyle\begin{cases}1&\text{if}r，s\in\{-1\}\cup[0,1]；\\0&\text{others.}\end{cases}\displaystyle\end{aligned}$$
(15)

然后，很明显，\（\phi\in\Psi\），Γ是三角形的(G公司-α)-轨道容许，Γ对所有\（在\Phi\中）、和\（\Gamma^{3}\）对于任何\（在\mathrm{Fix}（\Gamma^{3}）中）。此外，还存在\（r_{0}=\frac{1}{2}\in\Phi\）这样的话\（\alpha（\frac{1}{2}，\Gamma（\frac{1}}{2{），\Gamma^{2}（\frac}1}{2]））=\ alpha因此，条件\（（i）\）-\（四）定理的2都很满意。

看到Γ是Jaggi–Suzuki型杂交种(G公司-α-ϕ)-收缩，注意\（\alpha（r，s，\Gamma s）=0）为所有人\（r，s \ in（-1,0）\）和\（G（\伽马r，\伽马s，\伽玛^{2} 秒)=0\)为所有人\（r，s在（-1,1）中\）因此，不平等(10)为所有人保留\（r，s在（-1,1）中\）.

现在，为了\（r，s在\{-1,1\}\中），如果\（r=s=1），然后\（G（\伽马r，\伽马s，\伽玛^{2} 秒)=0\)为所有人\（问题0）.如果\（r=s=-1\）然后让\（\lambda{1}=\压裂{2}{5}\）,\（\lambda{2}=\压裂{3}{5}\）、和\（q=1），我们获得

$$\begin｛aligned｝和\ frac｛1｝{2} G公司\bigl（r，\Gamma r，\Gamma^{2} 第页\较大）=\压裂{1}{2} G公司\biggl（-1，\frac{-1}{5}，\frac{1}{5{biggr）\\&\phantom{\frac{1}{2} G公司（r，\Gamma r，\Gamma^{2} 第页）}=\压裂{6}{5}{2} G公司（r，\Gamma r，\Gamma^{2} 第页）}=G\biggl（-1，-1，\frac{-1}{5}\biggr）=G（r，s，\Gamma s）\\&\quad\Rightarrow\quad\\alpha^{2} 秒\bigr）=\alpha\biggl（-1，-1，\frac{-1}{5}\biggr）G\biggl^{2} 秒）}=\frac{4}{5}<\frac{6}{5{=\frac}1}{2}\biggl（\frac{12}{5neneneep \biggr）\\&\幻影{quad\Rightarrow\quad\alpha（r，s，\Gamma s）G（\Gammar，\Garma s，\Gamma^{2} 秒）}=\frac{1}{2}\biggl（M\biggl（-1，-1，\frac}{5}\bigr）\biggr）\\&\phantom{\quad\Rightarrow\quad\\alpha（r，s，\Gamma s）G（\Gammar，\Gammas，\Garma^{2} 秒）}=\phi\bigl（M（r，s，\Gamma s）\bigr）。\结束{对齐}$$

此外，对于\（q=0），我们有

$$\开始{aligned}\alpha（r，s，\Gamma s）G\bigl（\Gammar，\Gamma s，\Gamma^{2} 秒\bigr）=\frac{4}{5}<\frac{1}{2}\biggl（\frac{12}{5{biggr）=\fhi\bigl（M（r，s，\Gamma s）\biger）。\结束{对齐}$$

如果\（\r\neq \），然后针对\（r=1）,\（s=-1\），我们有

$$\开始{aligned}\frac{1}{2} G公司\bigl（r，\Gamma r，\Gamma^{2} 第页\较大）=\压裂{1}{2} G公司\biggl（1，\frac{1}{5}，\frac{1}{5}\biggr$$

而对于\（r=-1\）,\（s=1），我们获得

$$\开始{aligned}\frac{1}{2} G公司\bigl（r，\Gamma r，\Gamma^{2} 第页\较大）=\压裂{1}{2} G公司\biggl（-1，\frac{-1}{5}，\frac{1}{5{5}\biggr）=\frac}6{5}<4=G\biggl（-1,1，\frac{1}{5}\ biggr，=G（r，s，\Gamma s）。\结束{对齐}$$

这些都意味着\（r，s在\{-1,1\}\中）具有\（\r\neq \），让\（\lambda{1}=\压裂{1}{5}\）,\（\lambda{2}=\压裂{4}{5}\）和\（q=3），我们获得

$$\开始{aligned}\alpha（r，s，\Gamma s）G\bigl（\Gammar，\Gamma s，\Gamma^{2} 秒\bigr）&=\alpha\biggl（1，-1，\frac{-1}{5}\biggr）G\biggal（\frac}1}{5{，\frac{-1}{5}，\frac{1}{5}，\ frac{5}\ biggr}{5}\biggr）\\&=\frac{4}{5}<\frac}8}{5{=\frac{1}{2}\bigl（\frac[16}{5neneneep \bigger）\\&=\frac#1}{2{（M\biggl（1，-1，\frac_1}{5｝\biggre）\biggr）=\frac{1}{2}\biggl（M\biggl（-1,1，\frac}{5}\bigcr）\biggr）\\&=\phi\bigl（M（r，s，\Gamma s）\bigr）。\结束{对齐}$$

此外，对于\（q=0），我们采取\（λ{1}=λ{2}=frac{1}{2}\）.然后

$$\开始{aligned}\alpha（r，s，\Gamma s）G\bigl（\Gammar，\Gamma s，\Gamma^{2} 秒\bigr）&=\alpha\biggl（1，-1，\frac{-1}{5}\biggr）G\biggal（\frac}1}{5{，\frac{-1}{5}，\frac{1}{5}，\ frac{5}\ biggr}{5}\biggr）\\&=\frac{4}{5}<\frac}24}{25}=\frac{1}{2}\bigl（\frac[48}{25{\biggr]）\\&=\ frac{1}{2}\ biggl（M\biggl\biggr）=\frac{1}{2}\biggl（M\biggl（-1,1，\frac}{5}\bigcr）\biggr）\\&=\phi\bigl（M（r，s，\Gamma s）\bigr）。\结束{对齐}$$

因此，不平等(10)对所有人都满意\（r，s\in\Phi\）因此，Γ是Jaggi–Suzuki型杂交种(G公司-α-ϕ)-满足定理所有假设的收缩2和\（r=\压裂｛1｝｛5｝\）是计划γ。

我们现在证明，我们的结果独立于诺瓦利和耶什·伊尔卡亚的结果[15]. 让α:Φ×Φ⟶ R（右） + 如定义所示(13),\（r_{0}\in\Phi\）是这样的\（\alpha（r{0}，\Gamma r{0{）\geq 1\）,\（φ（p）=frac{19p}{40}）为所有人\（第0页）、和d日:Φ×Φ⟶ R（右） + 由定义

$$\begin{aligned}d（r，s）=\vert r-s\vert\quad\forall r，s\in\Phi。\结束{对齐}$$

考虑\（r，s在\{-1,1\}\中）对于案例2，\（\r\neq \）,\（\lambda{1}=\压裂{2}{5}\）、和\（\lambda{2}=\压裂{3}{5}\）然后是不平等(10)我们看到了

$$\begin｛aligned｝和\ frac｛1｝{2} G公司\bigl（r，\Gamma r，\Gamma^{2} 第页\较大）=\压裂{1}{2} G公司\biggl（1，\frac{1}{5}，\frac{1}{5}\biggr^{2} 秒\bigr）=\alpha\biggl（1，-1，\frac{-1}{5}\biggr）G\biggl（\frac}1}{5{，\frac{-1}{5}，\frac{1}{5}\bighr）\\&\幻影{quad\Rightarrow\quad\alpha（r，s，\Gamma s）G（\Gammar，\Gamma s，\Gamma s^{2} 秒）}=\frac{4}{5}<\frac{24}{25}=\fras{19}{40}\biggl（\frac{192}{95}\bigr）^{2} 秒）}=\frac{19}{40}\biggl^{2} 秒）}=\phi\bigl（M（r，s，\Gamma s）\bigr）\end{对齐}$$

对于\（r=1）,\（s=-1\）和

$$\begin｛aligned｝和\ frac｛1｝{2} G公司\bigl（r，\Gamma r，\Gamma^{2} 第页\较大）=\压裂{1}{2} G公司\biggl（-1，\frac{-1}{5}，\frac{1}{5{5}\biggr）=\frac}6}{5<4=G\biggl（-1,1，\frac{1}{5}\ biggr^{2} 秒\bigr）=\alpha\biggl（-1,1，\frac{1}{5}\biggr）G\biggal^{2} 秒）=}=\frac{4}{5}<\frac{89}{100}=\frac{19}{40}\biggl（\frac{178}{95}\bigr）\\&\幻影{\Rightarrow\quad\alpha（r，s，\Gamma s）G（\Gammar，\Gammas，\Gamm^{2} 秒）=}=\frac{19}{40}\biggl（M\biggl（-1,1，\frac}{5}\bigr）\biggr）\\&\phantom{\Rightarrow\quad\alpha（r，s，\Gamma s）G（\Gammar，\Gammas，\Garma^{2} 秒）=}=\phi\bigl（M（r，s，\Gamma s）\bigr）\end{对齐}$$

对于\（r=-1\）,\（s=1）然而，不平等(8)由于Noorwali和Yešilkaya[15]收益率

$$\begin｛aligned｝和\ frac｛1｝{2} d日（r，\Gamma r）=\frac{1}{2} d日\biggl（1，\frac{1}{5}\biggr）=\frac{1}{2} d日\biggl（-1，\frac{-1}{5}\biggr）=\frac{2}{5{2=d（1，-1）=d（-1，s），\\&\quad\text{but}\alpha（r，s）d（\frac{-1}{5}，\frac{1}{5{biggr）\\&\phantom{quad\text{but}\alpha（r，s）d（\Gamma r，\Gammas）}=\frac{2}{5>\frac{19}{50}=\frac{19}{40}\biggl（\frac{76}{95}\bigr）\\&\phantom{\quad\text{but}\alpha \phi\bigl（M（r，s）\bigr）\end{对齐}$$

为所有人\（r，s在\{-1,1\}\中）.

还有努瓦利和耶什·伊尔卡亚[15]在定义的情况1中声明(13)那个第页和秒是不同的，因为\（M（r，s）\）未定义，如果\（r=s \）然而，我们的结果对所有人都有效\（r，s\in\Phi\backslash\mathrm{Fix}（\Gamma）\）.

以上比较以图形方式进行了说明\（r，s在\{-1,1\}\中）使用图1和2.

图1
图1

收缩不等式图解(10)对所有人来说\（r，s在\{-1,1\}\中）

全尺寸图像
图2
图2

收缩不等式图解(8)对所有人来说\（r，s在\{-1,1\}\中）

全尺寸图像

因此，Jaggi–铃木型混合动力车(G公司-α-ϕ)-收缩不是Noorwali和Yešilkaya定义的Jaggi–Suzuki型混合收缩[15]Noorwali和Yešilkaya提出的定理8[15]不适用于此示例。

备注2

定义中的假设14那个\（\压裂{1}{2} G公司（r，\Gamma r，\Gamma^{2} 第页)\leq G（r，s，\伽玛s）\）为所有人\（r，s\in\Phi\）.

然后我们得到了主要结果的以下结果。

定义15

([2])

让\（\Gamma:\Phi\longrightarrow\Phi\）和α:Φ×Φ×Φ⟶ R（右） + 是两个映射。那么Γ被称为α-如果所有人都可以接受\（r，s，t\in\Phi\）,

$$\begin{aligned}\alpha（r，s，t）\geq 1\quad\Rightarrow\quad\alpha。\结束{对齐}$$

定义16

([2])

让\（（\Phi，G）\）成为G公司-MS和let\（\Gamma:\Phi\longrightarrow\Phi\）是Φ的自映射。那么Γ就是一个(G公司-α-ϕ)-类型收缩我如果存在两个函数α:Φ×Φ×Φ⟶ R（右） + 和\（\phi\in\Psi\）这样所有人\（r，s，t\in\Phi\）,

$$\begin{aligned}\alpha（r，s，t）G（\Gamma r，\Gammas，\Gamma t）\leq\phi\bigl（G（r，s，t）\bigr）。\结束{对齐}$$

推论1

（请参见[[2]，定理29]）

让 \（（\Phi，G）\） 是一个完整的 G公司-微软.假设 \（\Gamma:\Phi\longrightarrow\Phi\） 是一个(G公司-α-ϕ)-类型收缩 我 满足以下条件:

  1. （i）

    Γ是 α-可接受的;

  2. （ii）

    存在 \（r_{0}\in\Phi\） 这样的话 \（\alpha（r_{0}，\Gammar_{0}，\ Gammar_0}）\geq 1\）;

  3. （iii）

    Γ是 G公司-连续的.

然后就有了 \（u \ in \ Phi \） 这样的话 \（伽马u=u\）.

证明

考虑定义(14)然后让\（伽马s=t\）,α:Φ×Φ×Φ⟶ R（右） + 是α-容许映射，\（q>0）,\（\lambda_{1}=0\）、和\（λ{2}=1\）.那么Γ是一个(G公司-α-ϕ)-类型的压缩映射我等等不平等(10)成为

$$\begin{aligned}\alpha（r，s，t）G（\Gamma r，\Gammas，\Gamma t）\leq\phi\bigl（G（r，s，t）\bigr）\end{alinged}$$

为所有人\（r，s，t\in\Phi\）和\（\phi\in\Psi\）因此，证明遵循Alghamdi和Karap nar的定理29[2]. □

推论2

（请参见[[20]，定理3.1]）

让 \（（\Phi，G）\） 是一个完整的 G公司-微软.假设自我-映射 \（\Gamma:\Phi\longrightarrow\Phi\） 满足

$$\begin{aligned}G（\Gamma r，\Gammas，\Gamma t）\leq\phi\bigl（G（r，s，t）\bigr）\end{alinged}$$

为所有人 \（r，s，t\in\Phi\）.然后Γ有一个独特的 计划(说 u个)和Γ是 G公司-连续时间为 u个.

证明

考虑定义(14)然后让\（\alpha（r，s，\Gamma s）=1）为所有人\（r，s\in\Phi\）,\（伽马s=t\）,\（q>0）,\（\lambda_{1}=0\）、和\（λ{2}=1\）然后是不平等(10)成为

$$\begin{aligned}G（\Gamma r，\Gammas，\Gamma t）\leq\phi\bigl（G（r，s，t）\bigr）\end{alinged}$$

为所有人\（r，s，t\in\Phi\）和\（\phi\in\Psi\）这与Shatanawi提出的定理3.1一致[20]因此，证明以类似的方式进行。□

推论3

（参见[定理1])

让 \（（\Phi，G）\） 是一个完整的 G公司-MS和let \（\Gamma:\Phi\longrightarrow\Phi\） 做一个自我-映射满足

$$\开始{aligned}G（\Gamma r，\Gammas，\Gamma t）\leq kG（r，s，t）\end{aligned}$$

为所有人 \（r，s，t\in\Phi\） 哪里 \（0\leq k<1）.然后Γ有一个独特的 计划(说 u个)和Γ是 G公司-连续时间为 u个.

证明

考虑定义(14)然后让\（\alpha（r，s，\Gamma s）=1）为所有人\（r，s\in\Phi\）,\（伽马s=t\）,\（q>0）,\（\lambda_{1}=0\）,\（λ{2}=1\）、和\（φ（p）=kp\）为所有人\（第0页）,\（k\英寸[0,1）\）.然后(10)与…一致(6)定理的1因此，很容易看出我们可以找到一个独特的点u个Φ，以便\（伽马u=u\）Γ是G公司-连续时间为u个. □

备注3

如果，除了备注的假设2，我们专门指定参数\（λ｛i｝\） \（i=1,2）和q个，以及出租\（\alpha（r，s，\Gamma s）=1）为所有人\（r，s\in\Phi\）和\（φ（p）=kp\）为所有人\（t\geq 0\）,\（k\英寸（0,1）\），那么下面的结果也是定理的直接推论2.

推论4

让 \（（\Phi，G）\） 是一个完整的 G公司-微软.如果存在 \（k\英寸（0,1）\） 这样的话,为所有人 \（r，s\in\Phi\）,映射 \（\Gamma:\Phi\longrightarrow\Phi\） 满足

$$\开始{对齐}G\bigl（\Gamma r，\Gammas，\Gamma^{2} 秒\bigr）\leq kG（r，s，\Gamma s），\end｛aligned｝$$
(16)

然后Γ有一个 计划 在里面Φ.

4乌拉姆型稳定性

Ulam稳定性是由Ulam引入的，被视为一种数据依赖性。Hyers和其他研究人员进一步发展了这个想法（参见[9]). 卡拉普纳尔和富尔加[9]调查了一般的乌拉姆类型(\（U_{t}\）)在某种意义上的稳定性计划MS中的问题。在这里，我们考虑\（U_{t}\）稳定性作为计划框架中的问题G公司-硕士。

假设\（\Gamma:\Phi\longrightarrow\Phi\）是一个自映射G公司-微软\（（\Phi，G）\）。然后我们说计划问题

$$\开始{aligned}\Gamma r=r\end{aligned}$$
(17)

有将军\（U_{t}\）稳定性当且仅当存在非递减函数μ: R（右） + ⟶ R（右） + 0时连续，\（\mu（0）=0\）以一种方式\（epsilon>0\）以及任何\（位于\ Phi中）满足不等式

$$\开始{aligned}G\bigl（s'，\Gamma s'，\ Gamma^{2} 秒'\bigr）\leq\epsilon，\end{对齐}$$
(18)

有一个解决方案\（位于Phi中）第页，共页(17)这样的话

$$\begin{aligned}G\bigl（t，s'，\Gamma s'\bigr）\leq\mu（\epsilon）。\结束{对齐}$$
(19)

对于正数C类，我们采取\（\mu（p）=Cp\）为所有人\（第0页）.然后计划第页，共页(17)据说是\（U_{t}\）稳定。

让\（（\Phi，G）\）成为G公司-硕士。然后计划问题(17)据说在上面摆得很好\（（\Phi，G）\）如果满足以下假设：

  1. （i）

    Γ有一个独特的计划 \（位于Phi中）;

  2. （ii）

    \（G（r_{x}，t，t）=0）对于任何序列 { 第页 x个 } x个 ∈ N个 Φ，以便\（\lim_{x\rightarrow\infty}G（r_{x}，\Gamma r_{x}，\ Gamma^{2} 第页_{x} ）=0\）.

定理4

让 \（（\Phi，G）\） 是一个完整的 G公司-微软.如果除了定理的假设三和备注2我们有 \（[0,1）中的λ{2}）,然后保持以下状态:

  1. （i）

    计划 方程式(17)Ulam–Hyers是否稳定，如果 \（\alpha（u，v，\Gamma v）\geq 1） 对于每个 \（u，v \） 令人满意的(18);

  2. （ii）

    计划 方程式(17)姿势良好，如果 \（\alpha（t，r{x}，\Gamma r{x{）\geq 1） 对于任何 { 第页 x个 } x个 ∈ N个 在里面Φ这样的话 \（\lim_{x\rightarrow\infty}G（r_{x}，\Gamma r_{x}，\ Gamma^{2} 第页_{x} ）=0\） 和 \（\mathrm{Fix}（\Gamma）=\{t\}\）.

证明

（i） 在定理中三，我们已经表明存在唯一的\（位于Phi中）这样的话\（伽马t=t）.让\（位于\ Phi中）这样，对于任何\（epsilon>0\），我们有

$$\开始{aligned}G\bigl（s'，\Gamma s'，\ Gamma^{2} 秒'\bigr）\leq\epsilon。\结束{对齐}$$

然后，很明显，t吨满足(18)，所以我们有\（\alpha（t，s'，\Gamma s'）\geq 1\）因此，通过矩形不等式，

$$\开始{aligned}G\bigl（t，s'，\Gamma s'\bigr）\leq{}&G\bigle（t^{2} 秒'\bigr）+G\bigl（\Gamma^{2} 秒'，s'，\Gamma s'\bigr）\\={}&G\bigl（\Gammat，\Gamma s'，\ Gamma^{2} 秒'\bigr）+G\bigl（s'，\Gamma s'，\ Gamma^{2} 秒'\bigr）\\leq{}&\alpha\bigl^{2} 秒'\bigr）+G\bigl（s'，\Gamma s'，\ Gamma^{2} 秒'\bigr）\\leq{}&\phi\bigl^{2} 秒'\bigr）\\<{}&M\bigl（t，s'，\Gamma s'\biger）+G\bigl'，\Gamma s'，\ Gamma^{2} 秒'\bigr）\\={}&\biggl[\lambda_{1}\biggl（\frac{G（t，\Gamma t，\Gamma^{2} t吨)\cdot G（s’，\伽玛s’，\伽玛^{2} 秒'）}{G（t，s'，\Gamma s'）}\biggr）^{q}+\lambda_{2} G公司\bigl（t，s'，\Gamma s'\bigr）^{q}\biggr]^{\frac{1}{q}}\\&{}+G\bigle（s'，\ Gamma s'，\Gamma^{2} 秒'\bigr）\\={}&\biggl[\lambda_{1}\biggl（\frac{G（t，t，t）\cdot G（s'，\Gamma s'，\ Gamma^{2} 秒'）}{G（t，s'，\Gamma s'）}\biggr）^{q}+\lambda_{2} G公司\bigl（t，s'，\Gamma s'\bigr）^{q}\biggr]^{\frac{1}{q}}+G\bigle（s'，\ Gamma s'，\Gamma^{2} 秒'\bigr）\\={}&\lambda_{2}^{\frac{1}{q}}G\bigl（t，s'，\Gamma s'\biger）+G\bigle（s'，\ Gamma s'，\Gamma^{2} 秒'\bigr），\end{对齐}$$

我们从中获得

$$\begin{aligned}\bigl（1-\lambda_{2}^{\frac{1}{q}}\bigr）G\ bigl^{2} 秒'\bigr）\end{对齐}$$

暗示

$$开始{对齐}G\bigl（t，s'，\Gamma s'\bigr）^{2} 秒'\bigr）\leq C\epsilon，\end｛aligned｝（对齐）$$

哪里\（C=\frac{1}{1-\lambda{2}^{\frac}1}{q}}）对于任何\（q>0）和\（[0,1）中的λ{2}）.

（ii）注意到补充条件，自\（\mathrm{Fix}（\Gamma）=t\），我们有

$$\开始{对齐}G（t，r_{x}，\Gamma r_{x}）\leq{}&G\bigl（t，\Gamma r_{x}，\ Gamma^{2} 第页_{x} \bigr）+G\bigl（\Gamma^{2} 第页_{x} ，r_{x}，\Gamma r_{x}\bigr）\\={}&G\bigl（\Gammat，\Gamma r_{x}，\ Gamma^{2} 第页_{x} \bigr）+G\bigl（r_{x}，\Gamma r_{x}，\伽玛^{2} 第页_{x} \bigr）\\leq{}&\alpha（t，r_{x}，\Gamma r_{x}）G\bigl（\Gammat，\Gamma r_{x}，\ Gamma^{2} 第页_{x} \bigr）+G\bigl（r_{x}，\Gamma r_{x}，\伽玛^{2} 第页_{x} \biger）\\leq{}&\phi\bigl（M（t，r_{x}，\Gamma r_{x}）\bigr）+G\bigl-（r_{x}，\ Gamma r_{x{，\Gamma^{2} 第页_{x} \bigr）\\<{}&M（t，r_{x}，\Gamma r_{x}）+G\bigl（r_{x}^{2} 第页_{x} \bigr）\\={}&\biggl[\lambda_{1}\biggl（\frac{G（t，\Gamma t，\Gamma^{2} t吨)\cdot G（r_{x}，\Gamma r_{x}，\伽马^{2} 第页_{x} ）}{G（t，r_{x}，\Gamma r_{x}）}\biggr）^{q}+\lambda_{2} G公司（t，r_{x}，\Gamma r_{x}）^{2} 第页_{x} \ bigr）\ \=｛｝&\ biggl[\lambda _｛1｝\ biggl（\ frac｛G（t，t，t）\ cdot G（r_｛x｝，\ Gamma r_｛x｝，\ Gamma^{2} 第页_{x} ）}{G（t，r_{x}，\Gamma r_{x}）}\biggr）^{q}+\lambda_{2} G公司（t，r_{x}，\Gamma r_{x}）^{2} 第页_{x} \bigr）\\=｛｝&&lambda _｛2｝^｛\frac｛1｝｛q｝｝｝G（t，r_｛x｝，\Gamma r_｛x｝）+G\bigl（r_｛x｝，\Gamma r_｛x｝，\Gamma^{2} 第页_{x} \bigr），\end{对齐}$$

我们从中获得

$$\begin{aligned}\bigl（1-\lambda_{2}^{\frac{1}{q}}\bigr）G（t，r_{x}，\Gamma r_{x}）<G\ bigl^{2} 第页_{x} \bigr）\end{对齐}$$

暗示

$$开始{对齐}G（t，r_{x}，\Gamma r_{x}）^{2} 第页_{x} \更大）。\结束{对齐}$$

出租\（x\rightarrow\infty\）并牢记提案(1)和\（\lim_{x\rightarrow\infty}G（r_{x}，\Gamma r_{x}，\ Gamma^{2} 第页_{x} ）=0\），我们获得

$$开始{对齐}\lim_{x\rightarrow\infty}G（r_{x}，t，t）=\lim_{x\右箭头\infty}G^{2} 第页_{x} \bigr）=0。\结束{对齐}$$

那就是，计划方程式(17)姿势良好。□

5积分方程解的应用

在本节中，推论4应用于检查一类积分方程解的存在性准则。本节中的想法是由[21].

考虑积分方程

$$\begin{aligned}u（t）=h（t）+\int_{a}^{b}\mathcal{L}（t，s）f\bigl（s，u（s）\bigr）\，ds，\quad t\in[a，b]，\end{alinged}$$
(20)

哪里小时:[一,b条]×R（右）⟶R（右）,L（左）:[一,b条]×[一,b条]⟶ R（右） + 、和（f）:[一,b条]×R（右）⟶R（右）给定连续函数和u个未知。

让Φ=C类([一,b条],R（右）)是定义在上的所有连续实值函数的集合\（[a，b]\）.我们为Φ配备映射

$$\begin{aligned}G（u，v，w）=\max_{a\leq t\leq b}\bigl（\bigl\vert u（t）-v（t）\bigr\vert+\bigl\ vert u。\结束{对齐}$$
(21)

然后，很明显，\（（\Phi，G）\）是一个完整的G公司-硕士。考虑自映射\（\Gamma:\Phi\longrightarrow\Phi\）由定义

$$\begin{aligned}\Gamma u（t）=h（t）+\int_{a}^{b}\mathcal{L}（t，s）f\bigl（s，u（s）\bigr）\，ds，\quad t\in[a，b]。\结束{对齐}$$
(22)

大家可以看到\（u^｛*｝\）是一个计划Γ的当且仅当\（u^｛*｝\）是解决(20).

现在，我们研究积分方程的存在条件(20)根据以下假设。

定理5

假设满足以下条件:

  1. （C1）

    \（|f（s，u）-f（s，v）|+|f 为所有人 \（[a，b]\中的“s”）,\（u，v，w\in\Phi\）;

  2. （C2）

    \（在[a，b]}\int_{a}^{b}|\mathcal{L}（t，s）|\，ds=\eta<1\）.

然后积分方程(20)在中有解决方案Φ.

证明

拍摄(21)考虑到，我们得到

$$\开始{对齐}G\bigl（\Gamma u，\Gammav，\Garma^{2} v（v）\bigr）={}&\max_{t\in[a，b]}\bigl\vert\Gamma u（t）-\Gamma v^{2} v（v）（t） \bigr\vert+\max_{t\in[a，b]}\bigl\vert\Gamma v（t）-\Gamma^{2} v（v）（t） \bigr\vert\\=｛｝&\ max_｛t\ in[a，b]｝\bigl\vert\ int _｛a｝^｛b｝\mathcal｛L｝（t，s）\bigl（f\bigl（s，u（s）\bigr）-f\bigl（s，v（s）\bigr）\bigr，ds\biggr\vert\\&｛｝+\ max_｛t\ in[a，b]｝\bigl\vert\ int _｛a｝^｛b｝\mathcal｛L｝（t，s）\bigl（f\bigl L（s，u（s）\bigr）-f\bigl（s，\Gamma v（s）\bigr）\bigr）\，ds\biggr\vert\\&｛｝+\max_｛t\in[a，b]｝\biggl\vert\int_{a}^{b}\mathcal{L}（t，s）\bigl f\bigl（s，u（s）\bigr）-f\bigls，v（s）\ bigr\bigr）\bigr\vert\\&{}+\bigl\vert f\bigl \bigl\vert u（s）-\Gamma v（s）\bigr\vert+\bigl\ vert v（s&\biggl（\max_{t\in[a，b]}\int_{a}^{b}\bigl\vert\mathcal{L}（t，s）\bigr\vert\，ds\biggr（s）-\Gamma v（s）\bigr\vert\bigr]\，ds\biggr）\\={}&\eta G（u，v，\Gammav）。\结束{对齐}$$

因此，推论的所有条件4都很满意。因此Γ有一个计划 \（u^｛*｝\）在Φ中，对应于积分方程的一个解(20).

相反，如果\（u^｛*｝\）是的解决方案(20)，然后\（u^｛*｝\）也是解决(22)因此\（\Gamma u^{*}=u^{**}\）也就是说，\（u^｛*｝\）是一个计划Γ.□的

6未解决的问题

为了进一步研究，一个公开的问题被强调如下：

连续系统稳态下的离散种群平衡可以用非线性积分方程建模

克(t吨)= μ 2 ( 1 + 2 μ ) ∫ 0 t吨 克(t吨−第页)克(第页)d日第页+ e（电子） − t吨 ,μ∈R（右）.
(23)

到目前为止，关于解的存在条件是否为(23)可以使用本文中建立的任何结果获得。

备注4

  1. （i）

    我们可以通过替换Γ推导出许多其他推论第页具有秒或\（\伽马射线^{2} 秒\)具有t吨并通过列举定义中的一些参数(14).

  2. （ii）

    这项工作中提出的任何结果都不能用以下形式表示\（G（r，s，s）\）或\（G（r，r，s）\）因此，它们无法从MS中的等效版本中获得。

7结论

MS的扩展，称为G公司-MS由穆斯塔法和西姆斯介绍[14]、和多个计划结果在该空间中进行了研究。然而，Jleli和Samet[7]以及Samet等人[19]注意到大多数计划在中获得的定理G公司-MS是其类似物在MS中的直接结果。与后一个观察结果不同，一种新的一般收缩类型，名为Jaggi–Suzuki-type hybrid(G公司-α-ϕ)-本手稿中介绍了缩略语计划证明了在MS中不能从相应的定理中导出的定理。这种收缩族的流行是因为它的收缩不等式可以根据给定的参数以几种方式专门化。因此，一些推论，包括文献中最近公布的一些结果，都被强调和分析。构造了非平凡的比较示例来验证我们所获得的定理的假设。此外，我们检查了本文提出的新收缩的乌拉姆型稳定性和适定性。此外，我们得到的推论之一被应用于建立一类积分方程解的新的存在条件。对于我们结果的一些未来方面，突出了一个关于离散化人口平衡模型的开放问题，可以使用本文中建立的技术分析其解决方案。

数据和材料的可用性

不适用。

工具书类

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下载参考资料

致谢

作者感谢巴斯克政府Grant IT1555-22。

基金

这项工作由巴斯克政府根据拨款IT1555-22提供支持。

作者信息

作者和附属机构

  1. 尼日利亚扎里亚艾哈迈杜·贝洛大学物理科学学院数学系

    贾米卢·阿布巴卡尔·吉达（Jamilu Abubakar Jiddah）和穆罕默德·谢胡·沙加里（Mohammed Shehu Shagari）

  2. 沙特阿拉伯吉达阿卜杜拉齐兹国王大学数学系

    马哈·努瓦利

  3. 巴基斯坦费萨拉巴德政府学院大学数学系

    沙齐亚·坎瓦尔

  4. 突尼斯苏塞大学信息与通信技术研究所，H.Sousse，4000

    哈森·阿伊迪

  5. 中国医科大学中国医科大医院，台湾台中，40402

    哈森·阿伊迪

  6. 南非加兰库瓦Sefako Makgatho健康科学大学数学和应用数学系

    哈森·阿伊迪

  7. 巴斯克国家大学理工学院过程研究与开发学院电力与电子系，莱奥阿校区，48940，莱奥亚（比兹凯亚），西班牙

    曼努埃尔·德拉森

作者
  1. 贾米卢·阿布巴卡尔·吉达
    查看作者出版物

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  2. 穆罕默德·谢胡·沙加里
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  3. 马哈·努瓦利
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  4. 沙齐亚·坎瓦尔
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  5. 哈森·阿伊迪
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  6. 曼努埃尔·德拉森
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贡献

J.A.Jiddah和M.Noorwali：《概念化与写作》，M.S.Shagari和S.Kanwal，H.Aydi：以推论的形式证明了进一步的结果、应用并构造了一些新的特例，M.De La Sen和H.Aidi：《评论与编辑》，J.A.吉达和M.S..Shagari：《评论和编辑》。所有作者均已阅读并批准提交最终手稿并可能出版。所有作者也同意对他们在本手稿中的贡献承担个人和共同责任。所有作者在写这篇文章时都做出了同等重要的贡献。所有作者阅读并批准了最终版本。

通讯作者

与的通信哈森·阿伊迪.

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吉达，J.A.，沙加里，M.S.，努尔瓦利，M。等。Jaggi–Suzuki型混合动力收缩的不动点结果及其应用。J不平等申请 2023, 46 (2023). https://doi.org/10.1186/s13660-023-02947-9

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