混合径向角中心Morrey空间上Hardy型算子的尖锐界

摘要

通过使用旋转方法n个-得到了混合径向角中心Morrey空间上的维Hardy算子。此外，对于n个-建立了混合径向角中心Morrey空间上的维Hardy算子。此外，我们还计算了n个-维度的米-线性Hardy算子从混合径向角中心Morrey空间到混合径向角弱中心Morrey-空间的乘积。由于混合径向角中心Morrey空间是中心Morrey-空间和混合径向角空间的推广，本文中的主要定理将现有的各种结果推广到更一般的情况。

1介绍

让（f）是上的非负可积函数\（\mathbb{R}\）经典Hardy算子定义为

$$H（f）（x）：=\frac{1}{x}\int_{0}^{x} 如果（t） \，日期$$

哪里\（x\neq 0）.

正如我们所知，经典的Hardy算子，最初是由Hardy引入的[14]，得出以下Hardy不等式：

$$\bigl\Vert H（f）\bigr\Vert_{L^{p}}\le\frac{p}{p-1}\Vert f\Vert_{L^}}$$

其中常量\（\压裂{p}{p-1}\）是最好的。

Faris引入了高维Hardy型算子[9]. 后来，基督和格拉瓦科斯[4]给出了一个等价的表达式n个-维Hardy算子

$${\mathcal{H}}（f）（x）：=\frac{1}{\Omega_{n}\vertx\vert^{n}}\int_{\verty\vert<\vertX\vert}f（y）\，dy，\quad x\in\mathbb{R}^{n{\backslash\{0\}$$

(1.1)

哪里（f）是上的非负可测函数\（\mathbb{R}^{n}\）和\（\Omega_{n}=\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma（1+n/2）}\）是单位球的体积\（\mathbb{R}^{n}\）.

在同一篇论文中[4]，Christ和Grafakos证明了\（\mathcal{H}\）在\（L^{p}（\mathbb{R}^{n}）\） \（（1<p<infty））也是\（\压裂{p}{p-1}\）此外\（（p，p）\）绑定到\（\mathcal{H}\）由Zhao等人获得[46]：即，对于\（1\leq p\leq\infty\），我们有

$$\bigl\Vert\mathcal{H}（f）\bigr\Vert_{L^{p，\infty}}\leq 1\cdot\Vert f\Vert_}$$

其中常数1是最好的。近年来，Hardy-type算子的尖锐界受到了广泛关注。我们建议读者参考[12,13,20,36,42,45–47]有关Hardy型算子在不同函数空间上的锐界的更多研究。

2012年，Fu等人将Hardy算子扩展到了多线性设置[11]. 让\（m\in\mathbb{N}^{+}\）,\（f{1}，f{2}，点，f{m}）是非负局部可积函数\（\mathbb{R}^{n}\）. The米-线性Hardy算子定义为

$$\开始{aligned}&\mathcal{高}_{m} （f{1}，点，f{m}）}\，dy{2}\cdots\，dy{m}。\结束{对齐}$$

(1.2)

的其他两种变体米-Bényi和Oh也介绍和研究了线性Hardy算子[2]. 锋利的边界米-在[11]. 之后，许多研究人员研究了n个-维度的米-乘积Lebesgue空间和乘积Morrey型空间上的线性Hardy算子及其变体。参考读者[10,28,40]了解更多详细信息。关于哈代型不等式的一些早期发展，可以参考这本书[15]. 我们还向读者推荐[22,26]了解Hardy-type不等式和相关主题的一些最新进展。

注意，最近混合径向角空间被用于改进偏微分方程中的一些经典结果，请参见[三,5,8,29,39]. 后来，调和分析中的许多积分算子被证明在这些空间上是有界的。例如，Duoandikoetxea和Oruetxebaria[7]建立了混合径向角空间上的外推定理，研究了加权有界的混合径向角时空上算子的有界性。此外，Liu等人还研究了一些具有粗糙核的算子在混合径向角空间上的有界性[23–25]. 现在我们回顾混合径向角空间的定义。

定义1.1

对于\（第2页）和\（1\leqp，\bar{p}\leq\infty），混合径向角空间\（升^{p}_{|x|}L_{\theta}^{\bar{p}}（\mathbb{R}^{n}）由所有功能组成（f）在里面\（\mathbb{R}^{n}\）对于其中

$$\垂直f\垂直_{L^{p}_{\vert x\vert}L_{\theta}^{\bar{p}}}:=\biggl（\int_{0}^{\finfty}\biggl（\int_{mathbb{S}^{n-1}}\bigl\vert f（r，\theta）\bigr\vert^{\bar{p}，d\theta\biggr）^{p/\bar{p}r^{n-1}\，dr\biggr）^{1/p}<\英菲$$

哪里\（\mathbb{S}^{n-1}\）表示单位球体\（\mathbb{R}^{n}\）.如果\（p=\infty\）或\（\bar{p}=\infty\），然后我们必须进行适当的修改。

类似地，我们可以定义弱混合径向角空间。

定义1.2

对于\（第2页）和\（1\leqp，\bar{p}\leq\infty），弱混合径向角空间\（wL^{p}_{|x|}L_{\theta}^{\bar{p}}（\mathbb{R}^{n}）由所有功能组成（f）在里面\（\mathbb{R}^{n}\）对于其中

$$\垂直f\垂直_｛wL^{p}_{\vert x\vert}L_{\theta}^{\bar{p}}}:=\sup_{t>0}t\vert\chi_{{x\in\mathbb{R}^{n}:\vert f（x）\vert>t\}}\vert_{L^{p}_{\vert x\vert}L_{\theta}^{\bar{p}}<\infty$$

哪里\（\chi_{{x\in\mathbb{R}^{n}:|f（x）|>t\}}\）表示集合的特征函数\（{x\in\mathbb{R}^{n}:|f（x）|>t\}\）.

显然，混合径向角空间是Benedek和Panzone研究的混合形式Lebesgue空间的特例[1]. 我们建议读者参考[6,18,19,32–34]更多关于混合形式Lebesgue空间的研究。

为了研究偏微分方程解的局部性质，Morrey[31]引入了经典的Morrey空间\（M^{\lambda}_{p}（\mathbb{R}^{n}）\），包括所有功能（f）有限范数

$$\Vertf\Vert_{M^{\lambda}_{p}}:=\sup_{x\in\mathbb{R}^{n}，R>0}\frac{1}{\vertB（x，R）\Vert^{1/p+\lambda}}\Vertf\ Vert_{L^{p}（B（x、R））}$$

哪里\（1）,\（-1/p\leq\lambda<0）和\（B（x，R）\）表示球进入\（\mathbb{R}^{n}\）以为中心x个带半径R（右）.通过限制以原点为中心的球，我们获得了中心Morrrey空间\（\dot｛M｝^｛\lambda｝_｛p｝（\mathbb｛R｝^｛n｝）\），包括所有功能（f）有限范数

$$\Vertf\Vert_{dot{M}^{\lambda}_{p}}:=\sup_{R>0}\frac{1}{\vertB（0，R）\Vert^{1/p+\lambda}}\Vertf\ Vert_{L^{p}（B（0、R））}$$

对于\（1）,\（-1/p\leq\lambda<0）.

如今，莫雷型空间已经成为函数空间理论中最重要的函数空间[37]对于Morrey型空间的综合理论。通过将Morrey空间与不同的函数空间相结合，我们可以构造一些新的函数空间，例如Morrey–Herz空间、Besov–Morrey空格、Hardy–Morrew空格、Morrey-Lorentz空格等。请参见[16,17,21,27,30,35,38,44]了解更多详细信息。

自然，通过组合中心Morrey空间和混合径向角空间的定义，我们可以定义混合径向角中心Morrew空间，请参见[41]以获得这些空间的更通用版本。

定义1.3

对于\（第2页）,\（1）,\（-1/p\leq\lambda<0），以及\（1\leq\bar｛p｝<\infty\），混合径向角中心Morrey空间\（\dot{M}^{\lambda}_{p，\bar{p}}（\mathbb{R}^{n}）\）由所有功能组成（f）在里面\（\mathbb{R}^{n}\）对于其中

$$\Vertf\Vert_{dot{M}^{\lambda}_{p，\bar{p}}:=\sup_{R>0}\frac{1}{\vertB（0，R）\Vert^{1/p+\lambda}}\Vertf\ chi_{B（0、R）}\Vert_{L^{p}_{\vert x\vert}L_{\theta}^{\bar{p}}}<\infty$$

哪里\（\chi_{B（0，R）}\）表示球的特征函数\（B（0，R）\）.

类似地，混合径向角弱中心Morrey空间可以定义为：

定义1.4

对于\（第2页）,\（1）,\（-1/p\leq\lambda<0），以及\（1\leq\bar｛p｝<\infty\），混合径向角弱中心Morrey空间\（w\dot{M}^{lambda}_{p，\bar{p}}（\mathbb{R}^{n}）\）由所有功能组成（f）在里面\（\mathbb{R}^{n}\）对于其中

$$\Vertf\Vert_{w\dot{M}^{\lambda}_{p，\bar{p}}:=\sup_{R>0}\frac{1}{\vertB（0，R）\Vert^{1/p+\lambda}}\Vertf\ chi_{B（0、R）}\Vert_{wL^{p}_{\vert x\vert}L_{\theta}^{\bar{p}}}<\infty$$

显然，我们恢复了空间\（升^{p}_{|x|}L_{\theta}^{\bar{p}}（\mathbb{R}^{n}）和\（wL^{p}_{|x|}L_{\theta}^{\bar{p}}（\mathbb{R}^{n}）如果\（λ=-1/p）在定义中1.3和1.4分别是。

最近n个-维Hardy算子\（\mathcal{H}\）从\（升^{p}_{|x|}L_{\theta}^{bar{p}_{1} }（\mathbb{R}^{n}）\）到\（升^{p}_{|x|}L_{\theta}^{bar{p}_{2} ｝（\mathbb｛R｝^｛n｝）\）是魏和燕获得的[43]. 此外，在[43]. 灵感来自[11,12,43,46]，我们将考虑n个-维Hardy算子\（\mathcal{H}\）和n个-维度的米-线性Hardy算子\（\mathcal{高}_{m} \）本文研究了混合径向角中心Morrey空间。此外，我们还将对\（\mathcal{H}\）从\（\dot{M}^{\lambda}_{p，\bar{p}_{1} }（\mathbb{R}^{n}）\）到\（w\dot{M}^{lambda}_{p，\bar{p}_{2} ｝（\mathbb｛R｝^｛n｝）\）.

本文的结构如下。尖锐的界限n个-维Hardy算子\（\dot{M}^{\lambda}_{p，\bar{p}_{1} }（\mathbb{R}^{n}）\）到\（\dot{M}^{\lambda}_{p，\bar{p}_{2} ｝（\mathbb｛R｝^｛n｝）\）在第节中获得。2.我们计算了\（\mathcal{H}\）从\（\dot{M}^{\lambda}_{p，\bar{p}_{1} }（\mathbb{R}^{n}）\）到\（w\dot{M}^{lambda}_{p，\bar{p}_{2} ｝（\mathbb｛R｝^｛n｝）\）第节。3.此外，我们还计算了n个-维度的米-线性Hardy算子\（\dot{M}^{\lambda_{1}}_{p_{1{，\bar{p}_{1} }（\mathbb｛R｝^｛n｝）\times\dot｛M｝^｛\lambda _｛2｝｝_｛p_｛2｝，\bar{p}_{2} }（\mathbb{R}^{n}）\times\cdots\times\dot{M}^{lambda{M}}_{p_{M}，\bar{p}_{m} }（\mathbb{R}^{n}）\）到\（\dot{M}^{\lambda}_{p，\bar{p}}（\mathbb{R}^{n}）\）第节。 4.

2夏普的目标\（\mathcal{H}\）在\（\dot{M}^{\lambda}_{p，\bar{p}}（\mathbb{R}^{n}）\）

本节的主要结果如下：

定理2.1

让 \（第2页）,\（1<p，\bar{p}_{1} ，\bar{p}_{2} <\infty\）,和 \（-1/p\leq\lambda<0）.然后 n个-维Hardy算子 \（\mathcal{H}\） 定义于(1.1)以为界 \（\dot{M}^{\lambda}_{p，\bar{p}_{1} }（\mathbb{R}^{n}）\） 到 \（\dot{M}^{\lambda}_{p，\bar{p}_{2} ｝（\mathbb｛R｝^｛n｝）\）.此外,

$$\Vert\mathcal{H}\Vert_{dot{M}^{lambda}_{p，\bar{p}_{1} }\rightarrow\dot{M}^{\lambda}_{p，\bar{p}_{2} }}=\frac{1}{1+\lambda}w{n}^{1/\bar{p}_{2}-1/\bar（巴）{p}_{1}}, $$

哪里 \（w{n}=2\pi^{n/2}/\Gamma（n/2）\） 是度量 \（\mathbb{S}^{n-1}\）.

证明

我们借鉴了一些想法[4,11]，其中使用了旋转方法。设置

$$g（x）=\frac{1}{w_{n}}\int_{\mathbb{S}^{n-1}}f\bigl（\vertx\vert\theta\biger）\，d\theta，\quare x\in\mathbb{R}^{n}$$

(2.1)

显然，\（克（x）\）是径向函数。此外，对于任何\（R>0）和局部可积函数（f）在\（\mathbb{R}^{n}\），我们有

$$\开始{对齐}和\frac{1}{\vert B（0，R）\vert^{1/p+\lambda}}\vert f\chi_{B（0、R）}\vert_{L^{p}_{\vert x\vert}L_{\theta}^{bar{p}_{1} }}}\\&\quad=\frac{1}{\vert B（0，R）\vert^{1/p+\lambda}}\biggl（\int_{0}^{R}\bigl（\int_{\mathbb{S}^{n-1}}\bigl\vert g（R，\theta）\bigr\vert_{\bar{p}_{1} }\，d\theta\biggr）^{p/\bar{p}_{1} }r^{n-1}\，dr\biggr）^{1/p}\\&\quad=w^{1/\bar{p}_{1} }_{n}\frac{1}{\vert B（0，R）\vert^{1/p+\lambda}}\biggl（int_{0}^{R}\bigl\vert g（R）\bigr\vert^{p} 第页^{n-1}\，dr\biggr）^{1/p}，\end{aligned}$$

（2.2）

哪里\（克（r）\）应被视为\（g（r）=g（x）\）对于任何\（x\in\mathbb{R}^{n}\）具有\（|x|=r\），自克是径向函数。

鉴于(2.1)和(2.2)通过使用Hölder不等式，我们得到

$$\开始{对齐}和\frac{1}{\vert B（0，R）\vert^{1/p+\lambda}}\vert f\chi_{B（0、R）}\vert_{L^{p}_{\vert x\vert}L_{\theta}^{bar{p}_{1} }}}\\&\quad=w^{1/\bar{p}_{1} }_{n}\frac{1}{\vertB（0，R）\vert^{1/p+\lambda}}\biggl（int_{0}^{R}\bigl\vert\frac{1}{w_{n{}}\int_{mathbb{S}^{n-1}}f（θ）\，d\theta\biggr\vert^{p} 第页^{n-1}\，dr\biggr）^{1/p}\\&\quad=w^{1/\bar{p}_{1}-1}_{n} \frac{1}{\vertB（0，R）\vert^{1/p+\lambda}}\biggl（\int_{0}^{R}\bigl\vert\int_{\mathbb{S}^{n-1}}f（R\theta）\，d\theta\biggr\vert^{p} 第页^{n-1}\，dr\biggr）^{1/p}\\&\quad\leq w^{1/\bar{p}_{1}-1}_{n} \frac{1}{\vertB（0，R）\vert^{1/p+\lambda}}\biggl（\int_{0}^{R}\bigl{p}_{1} }\，d\theta\biggr）^{p/\bar{p}_{1} }\biggl（\int_{mathbb{S}^{n-1}}\，d\theta\biggr）^{p/\bar{p}'{1}}r^{n-1\，dr\bigger）^{1/p}\\&\quad=\frac{1}{\vertB（0，r）\vert^{1/p+\bigda}}\bigbl（\int _{0}^{r}\biglam（\int_{mathbb{S}^{n-1}}\bigl\vert f（r\theta）\bigr\vert ^{\bar{p}_{1} }\，d\theta\biggr）^{p/\bar{p}_{1} }r^{n-1}\，dr\biggr）^{1/p}\\&\quad\leq\Vertf\Vert_{dot{M}^{lambda}_{p，\bar{p}_{1} }}，\结束{对齐}$$

哪里\（\bar{p}'{1}\）满足\（1/\bar{p}_{1} +1/\bar{p}'_{1}=1\）.夺取至高无上的地位\（R>0），我们有

$$\垂直g\垂直_{\dot{M}^{\lambda}_{p，\bar{p}_{1} ｝\leq\Vert f\Vert _｛\dot｛M｝^｛\lambda｝_｛p，\bar{p}_{1}}}. $$

此外，Fu等人[11，定理证明1]表明\（\mathcal{H}（g）\）等于\（\mathcal{H}（f）\）因此，我们得出

$$\frac{\Vert\mathcal{H}（f）\Vert_{\dot{M}^{\lambda}_{p，\bar{p}_{2} }}}{\Vertf\Vert_{\dot{M}^{\lambda}_{p，\bar{p}_{1} }}}\leq\frac{\Vert\mathcal{H}（g）\Vert_{\dot{M}^{\lambda}_{p，\bar{p}_{2} }}}{\垂直g\Vert_{\dot{M}^{\lambda}_{p，\bar{p}_{1}}}}. $$

因此，操作员\（\mathcal{H}\）并且它对径向函数的限制具有相同的算子范数\（\dot{M}^{\lambda}_{p，\bar{p}_{1} }（\mathbb{R}^{n}）\）在不失一般性的情况下，我们可以假设（f）是径向函数。

对于径向函数（f）,\（\mathcal{H}（f）（x）\）也是一个径向函数。此外，我们还有

$$\开始{对齐}和\frac{1}{\转换B（0，R）\vert^{1/p+\lambda}}\bigl\vert\mathcal{H}（f）\cdot\chi_{B（0、R）}\bigr\vert_{L^{p}_{\vert x\vert}L_{\theta}^{bar{p}_{2} }}}\\&\quad=\frac{1}{\vert B（0，R）\vert^{1/p+\lambda}}\biggl（\int_{0}^{R}\bigl（\int_{\mathbb{S}^{n-1}}\bigl\vert\mathcal{H}（f）（R，\theta）\bigr\vert_^{\bar{p}_{2} }\，d\theta\biggr）^{p/\bar{p}_{2} }r^{n-1}\，dr\biggr）^{1/p}\\&\quad=\frac{1}{\vert B（0，r）\vert^{1/p+\lambda}}\biggl（int_{0}^{r}\bigl{p}_{2} }\，d\theta\biggr）^{p/\bar{p}_{2} }r^{n-1}\，dr\biggr）^{1/p}\\&\quad=w^{1/\bar{p}_{2} }_{n}\frac{1}{\vertB（0，R）\vert^{1/p+\lambda}}\biggl（int_{0}^{R}\bigl\vert\mathcal{H}（f）（R）\bigr\vert^{p} 第页^{n-1}\，dr\biggr）^{1/p}，\end{aligned}$$

(2.3)

哪里\（\mathcal{H}（f）（r）\）应被视为\（\mathcal{H}（f）对于任何\（x\in\mathbb{R}^{n}\）具有\（|x|=r\）注意到了\（\mathcal{H}（f）\）是径向函数。

通过改变变量

$$\mathcal{H}（f）（r）=\frac{1}{\Omega_{n}}\int_{B（0,1）}f（ry）\，dy$$

(2.4)

组合(2.3)带有(2.4)使用Minkowski不等式，我们得到

$$\开始{对齐}和\frac{1}{\转换B（0，R）\vert^{1/p+\lambda}}\bigl\vert\mathcal{H}（f）\cdot\chi_{B（0、R）}\bigr\vert_{L^{p}_{\vert x\vert}L_{\theta}^{bar{p}_{2} }}}\\&\quad=\frac{w{n}^{1/\bar{p}_{2} }}{\Omega_{n}}\frac{1}{\vertB（0，R）\vert^{1/p+\lambda}}\biggl（int_{0}^{R}\bigl\vert\int_{B（0,1）}f（ry）\，dy\biggr\vert^{p} 第页^{n-1}\，dr\biggr）^{1/p}\\&\quad\leq\frac{w{n}^{1/\bar{p}_{2} }}{\Omega_{n}}\int_{B（0,1）}\biggl（\frac{1}{\vert B（0，R）\vert^{1+p\lambda}}\int_{0}^{R}\bigl\vert f（ry）\bigr\vert^{p} 第页^｛n-1｝\，dr\biggr）^｛1/p｝\，dy\\&&quad=\frac｛w_｛n｝^｛1/\bar{p}_{2} }}{\Omega_{n}}\int_{B（0,1）}\biggl（\frac{1}{\vert B（0，R）\vert^{1+p\lambda}}\int_{0}^{R}\bigl\vert f\bigl（R\vert y\vert\bigr）\bigr\vert^{p} 第页^｛n-1｝\，dr\biggr）^｛1/p｝\，dy\\&&quad=\frac｛w_｛n｝^｛1/\bar{p}_{2}-1/\巴{p}_{1} }}{\Omega_{n}}\int_{B（0,1）}\frac{1}{\vert B（0，R\vert y\vert）\vert^{1/p+\lambda}}\biggl（int_{0}^{R\verty\vert}w_{n{^{p/\bar{p}_{1} }\bigl\vert f（r）\bigr\vert^{p} 第页^{n-1}\，dr\biggr）^{1/p}\垂直y\垂直^{n\lambda}\，dy\\&\quad\leq\frac{w_{n}^{1/\bar{p}_{2}-1/\巴{p}_{1} }}{\Omega_{n}}\int_{B（0,1）}\vert y\vert^{n\lambda}\，dy\vert f\vert_{dot{M}^{lambda{{p，\bar{p}_{1} }}\\&\quad=w{n}^{1/\bar{p}_{2}-1/\巴{p}_{1} }\frac{w_{n}}{\Omega_{n{}}\frac{1}{n（1+\lambda）}\Vertf\Vert_{dot{M}^{\lambda}_{p，\bar{p}_{1} }}=\frac{1}{1+\lambda}w{n}^{1/\bar{p}_{2}-1/\巴{p}_{1} }\垂直f\垂直{\dot{M}^{\lambda}_{p，\bar{p}_{1} }}，\结束{对齐}$$

我们使用身份的地方\（w{n}=n\欧米茄{n}）.

通过占据一切优势\（R>0），我们获得

$$\bigl\Vert\mathcal{H}（f）\bigr\Vert_{\dot{M}^{\lambda}_{p，\bar{p}_{2} }}\leq\frac{1}{1+\lambda}w{n}^{1/\bar{p}_{2}-1/\巴{p}_{1} }\垂直f\垂直{\dot{M}^{\lambda}_{p，\bar{p}_{1}}}. $$

为了证明常数\（压裂{1}{1+\lambda}w{n}^{1/\bar{p}_{2}-1/\巴{p}_{1}}\)是最优的，我们只需要考虑这种情况\（-1/p＜\λ＜0\），自案件以来\（λ=-1/p）已在中进行了研究[43，定理2.1]。对于\（-1/p＜\λ＜0\），我们采取\（f_{0}（x）=|x|^{n\lambda}\）显然，\（f_{0}（x）=|x|^{n\lambda}\）满足\（\mathcal｛H｝（f_{0}）（x）=\frac｛1｝｛1+\lambda｝f_{0}（x）\）此外，

$$\开始{aligned}\frac{1}{\vert B（0，R）\vert^{1/p+\lambda}}\vert f_{0}\chi_{B（0、R）}\vert_{L^{p}_{\vert x\vert}L_{\theta}^{bar{p}_{1} }}&=\压裂{w{n}^{1/\bar{p}_{1} }}{\vertB（0，R）\vert^{1/p+\lambda}}\biggl（\int_{0}^{R} 第页^{np\lambda}r^{n-1}\，dr\biggr）^{1/p}\\&=\frac{w{n}^{1/\bar{p}_{1} }}{\Omega_{n}^{1/p+\lambda}[n（1+p\lambda）]^{1/p/}}<\infty，\end{aligned}$$

(2.5)

这就产生了\（f_｛0｝\）位于\（\dot{M}^{\lambda}_{p，\bar{p}_{1} }（\mathbb{R}^{n}）\），以及

$$\开始{对齐}\Vert f_{0}\Vert_{\dot{M}^{\lambda}_{p，\bar{p}_{1} }&=\sup_{R>0}\frac{1}{\vertB（0，R）\vert^{1/p+\lambda}}\vert f_{0}\chi_{B（0、R）}\vert_{L^{p}_{\vert x\vert}L_{\theta}^{bar{p}_{1} }}}\\&=\压裂{w{n}^{1/\bar{p}_{1} ｛\Omega_｛n｝^｛1/p+\lambda｝[n（1+p\lambda）]^｛1/p｝｝。\结束{对齐}$$

同样，

$$\开始{aligned}\bigl\Vert\mathcal{H}（f_{0}）\bigr\Vert_{dot{M}^{lambda}_{p，\bar{p}_{2} }}&=\frac{1}{1+\lambda}\sup_{R>0}\frac}1}{\vertB（0，R）\vert^{1/p+\lampda}}\Vertf_{0}\chi_{B（0、R）}\vert_{L^{p}_{\vert x\vert}L_{\theta}^{bar{p}_{2} }}}\\&=\压裂{1}{1+\lambda}\压裂{w{n}^{1/\bar{p}_{2} ｛\Omega_｛n｝^｛1/p+\lambda｝[n（1+p\lambda）]^｛1/p｝｝。\结束{对齐}$$

因此，

$$\bigl\Vert\mathcal{H}（f_{0}）\bigr\Vert_{dot{M}^{lambda}_{p，\bar{p}_{2} ｛｝＝\frac｛1｝｛1+\lambda｝w_｛n｝^｛1/\bar{p}_{2}-1/\巴{p}_{1} }\垂直f_{0}\垂直_{\dot{M}^{\lambda}_{p，\bar{p}_{1}}}, $$

完成证明。□

备注2.1

什么时候？\（p=\bar{p}_{1} =\bar{p}_{2} \in（1，\infty）\）在定理中2.1，我们恢复了[11，定理2]。

三锐弱界限\（\mathcal{H}\）从\（\dot{M}^{\lambda}_{p，\bar{p}_{1} }（\mathbb{R}^{n}）\）到\（w\dot{M}^{lambda}_{p，\bar{p}_{2} ｝（\mathbb｛R｝^｛n｝）\）

本节对n个-从混合径向角中心Morrey空间到混合径向角弱中心Morrey-空间的维Hardy算子。我们的主要结果如下。

定理3.1

让 \（第2页）,\（1 \leq p，\bar{p}_{1} ，\bar{p}_{2} <\infty\）,和 \（-1/p\leq\lambda<0）.然后 n个-维Hardy算子 \（\mathcal{H}\） 定义于(1.1)以为界 \（\dot{M}^{\lambda}_{p，\bar{p}_{1} }（\mathbb{R}^{n}）\） 到 \（w\dot{M}^{lambda}_{p，\bar{p}_{2} ｝（\mathbb｛R｝^｛n｝）\）.此外,

$$\Vert\mathcal{H}\Vert_{dot{M}^{lambda}_{p，\bar{p}_{1} }\右箭头w\dot{M}^{\lambda}_{p，\bar{p}_{2} }}=w{n}^{1/\bar{p}_{2}-1/\巴{p}_{1}}. $$

证明

我们只提供案件的证据\（1<p，\bar{p}_{1} ，\bar{p}_{2} <\infty\），在以下情况下进行常规修改：\（p=1\）或\（\bar{p}_{i} =1\）,\（i=1,2）通过在混合范数Lebesgue空间上使用Hölder不等式（参见[1])，我们有

$$\begin｛aligned｝\bigl\vert\mathcal｛H｝（f）（x）\bigr\vert&\leq\frac｛1｝｛\Omega _｛n｝\vert x\vert ^｛n｝｝｝\vert f\chi _｛B（0，\vert x\vert）｝\vert _｛L^{p}_{\vert x\vert}L_{\theta}^{bar{p}_{1} }}\Vert\chi_{B（0，Vert x\Vert）}\Vert_{L^{p'}_{Vert x\ Vert}L_{theta}^{bar{p}'_{1}}\\&\leq\frac{1}{Omega_{n}\Vert xvert^{n}}\vertf\chi_{B（0，\Vert x Vert）{}\Vert_{L^{p}_{\vert x\vert}L_{\theta}^{bar{p}_{1} }}\Vert\chi_{B（0，Vert x\Vert）}\Vert_{L^{p'}_{Vert x\ Vert}L_{theta}^{bar{p}'_{1}}\\&=w_{n}^{1/\bar{p}_{1}-1/p'}\Omega_{n}^{\lambda}\vert x\vert^{n\lambda}\frac{1}{\vert B（0，\vert x \vert^{p}_{\vert x\vert}L_{\theta}^{bar{p}_{1} }}\\&\leq w{n}^{1/\bar{p}'_{1}-1/p'}\Omega_{n}^{lambda}\vert x\vert^{n\lambda{\vert f\vert_{dot{M}^{\lambda}_{p，\bar{p}_{1} }}，\结束{对齐}$$

哪里\（p’\）和\（\bar{p}'{1}\）满足\（1/p+1/p'=1）和\（1/\bar{p}_{1} +1/\bar{p}'_{1}=1\）.

表示方式\（A=w_{n}^{1/\bar{p}'_{1}-1/p'}\Omega_{n}^{\lambda}\|f\|{\dot{M}^{lambda{{p，\bar{p}_{1}}}\).注意到\（\lambda<0），我们有

$$\开始{aligned}\bigl\Vert\mathcal{H}（f）\bigr\Vert_{w\dot{M}^{lambda}_{p，\bar{p}_{2} }}&\leq\sup_{R>0}\sup_{t>0}\frac{t}{vertB（0，R）\vert^{1/p+\lambda}}\vert\chi_{x\ in B（0、R）：A\vertx\vert|{n\lambda}>t\}}\vert_{L^{p}_{\vert x\vert}L_{\theta}^{bar{p}_{2} ｛｝\\&=\sup_｛R>0｝\sup_｛t>0｝\frac｛t｝｛\vert B（0，R）\vert^｛1/p+\lambda｝｝\vert\chi B（0，R）中的\ vert x\ vert<（t/A）^｛\frac｛1｝^{p}_{\vert x\vert}L_{\theta}^{bar{p}_{2} ｝｝。\结束{对齐}$$

现在我们将讨论分为两个案例：

（i） 如果\（0<R\leq（t/A）^{frac{1}{n\lambda}}\），那么我们有

$$\begin{aligned}\begin{aligned}&\sup_{t>0}\sup_{0<R\leq（t/A）^{\frac{1}{n\lambda}}\frac}{\vertB（0，R）\vert^{1/p+\lambda{}}}\vert\chi_{x\在B（0、R）中：\vert x\vert<（t/A L（左）^{p}_{\vert x\vert}L_{\theta}^{bar{p}_{2} }}}\\&\quad=\frac{w{n}^{1/\bar{p}_{2}-1/p} }{\Omega_{n}^{\lambda}}\sup_{t>0}\sup_{0<R\leq（t/A）^{\frac{1}{n\lambda{}}tR^{-n\lambda}\\&\quad=w_{n{^{1/\bar{p}_{2}-1/\巴{p}_{1} }\垂直f\垂直{\dot{M}^{\lambda}_{p，\bar{p}_{1} }}，\end{aligned}\end{aligned}$$

自从\（\lambda<0）.

（ii）如果\（R>（t/A）^{\压裂{1}{n\lambda}}\），那么我们有

$$在B（0，R）中开始{aligned}&\sup_{t>0}\sup_{R>（t/A）^{\frac{1}{n\lambda}}^{p}_{\vert x\vert}L_{\theta}^{bar{p}_{2} }}}\\&\quad\leq\frac{w{n}^{1/\bar{p}_{2}-1/p} }{\Omega_{n}^{\lambda}}\sup_{t>0}\sup_{R>（t/A）{p}_{2}-1/\巴{p}_{1} }\垂直f\垂直{\dot{M}^{\lambda}_{p，\bar{p}_{1} }}，\结束{对齐}$$

自从\（\lambda+1/p\geq 0\）.

结合（i）和（ii）的估计，我们得出

$$\bigl\Vert\mathcal｛H｝（f）\bigr\Vert_｛w\dot｛M｝^｛\lambda｝_｛p，\bar{p}_{2} }}\leq w{n}^{1/\bar{p}_{2}-1/\巴{p}_{1} }\垂直f\垂直{\dot{M}^{\lambda}_{p，\bar{p}_{1}}}. $$

另一方面，我们需要证明常数\（w_{n}^{1/\bar{p}_{2}-1/\巴{p}_{1}}\)是最好的。请注意，我们只需要考虑案例\（-1/p＜\λ＜0\），自案件以来\（λ=-1/p）已在中进行了研究[43，定理4.1]。拿\（f_{0}（x）=\chi_{[0,1]}（|x|）\）,\（x\in\mathbb{R}^{n}\），用于\（-1/p＜\λ＜0\），我们有\（f_{0}\in\dot{M}^{lambda}_{p，\bar{p}_{1} }（\mathbb{R}^{n}）\）事实上，当\（0<R \leq 1）,

$$\垂直f_{0}\chi_{B（0，R）}\Vert_{L^{p}_{\vert x\vert}L_{\theta}^{bar{p}_{1} }}}=\压裂{w{n}^{1/\bar{p}_{1} }}{n^{1/p}}R^{n/p}$$

什么时候？\（R>1）,

$$\垂直f_{0}\chi_{B（0，R）}\Vert_{L^{p}_{\vert x\vert}L_{\theta}^{bar{p}_{1} }}}=\压裂{w{n}^{1/\bar{p}_{1} }}{n^{1/p}}$$

表示方式\（E=\|f_{0}\chi_{B（0，R）}\|_{L^{p}_{|x|}L_{\theta}^{bar{p}_{1}}}}\)，我们有

$$\开始{对齐}\Vert f_{0}\Vert_{\dot{M}^{\lambda}_{p，\bar{p}_{1} }&=\max\biggl\{\sup_{0<R\leq 1}\frac{E}{\vert B（0，R）\vert^{1/p+\lambda}}，\sup_{R>1}\frac{E}}{\vert B（0,R）\vert^{1/p+\lambeda}}\biggr\}\\&=\max\Bigl\{\up_{0<R\leq1}w_{n}^1/\bar{p}_{1}-1/p} \bigl（\Omega_{n} R（右）^{n} \biger）^{-\lambda}，\sup_{R>1}w_{n}^{1/\bar{p}_{1}-1/p} \Omega_{n}^{-\lambda}R^{-n（1/p+\lambda）}\Bigr\}\\&=w_{n{^{1/\bar{p}_{1}-1/p} \Omega_{n}^{-\lambda}，\end{aligned}$$

自从\（-1/p\leq\lambda<0）此外，

$$\mathcal{H}（f_{0}）（x）=\textstyle\begin{cases}\vertx\vert^{-n}，&vertx\ vert>1，\\1，&vert x\vert\leq 1。\结束{cases}$$

因此，\（\mathcal{H}（f_{0}）（x）\leq1\）另一方面，当\（0<R \leq 1），我们有

$$\bigl\Vert\mathcal{H}（f_{0}）\chi_{B（0，R）}\bigr\Vert_{wL^{p}_{\vert x\vert}L_{\theta}^{bar{p}_{2} }}=\sup_{0<t\leq 1}t\Vert\chi_{{x\在B（0，R）中：1>t\}}\Vert_{L^{p}_{\vert x\vert}L_{\theta}^{bar{p}_{2} }}=\压裂{w{n}^{1/\bar{p}_{2} }}{n^{1/p}}R^{n/p}$$

（3.1）

什么时候？\（R>1），我们有

$$\bigl\Vert\mathcal{H}（f_{0}）\chi_{B（0，R）}\bigr\Vert_{wL^{p}_{\vert x\vert}L_{\theta}^{bar{p}_{2} }}=\sup_{0<t\leq1}t\Vert\chi_{{x\in B（0,1）：1>t\}\cup\{1\leq\vertx\Vert<R:\Vert x\Vert ^{-n}>t\}}\Vert_{L^{p}_{\vert x\vert}L_{\theta}^{bar{p}_{2}}}. $$

如果\（1<R\leq t^{-1/n}\），然后

$$开始{aligned}&t\Vert\chi{x\in B（0,1）：1>t\}\cup\{1\leq\Vert x\Vert<R:\Vert x \Vert^{-n}>t\}}\Vert_{L^{p}_{\vert x\vert}L_{\theta}^{bar{p}_{2} }}\\&\quad\leq\sup_{0<t\leq\frac{1}{R^{n}}tw{n}{1/\bar{p}_{2} }\biggl（\压裂{R^{n}}{n}\bigr）^{1/p}=\压裂{w{n}^{1/\bar{p}_{2} }}{R^{n/p'}n^{1/p}}。\结束{对齐}$$

如果\（1<t^{-1/n}<R\），然后

$$开始{aligned}&t\Vert\chi{x\in B（0,1）：1>t\}\cup\{1\leq\Vert x\Vert<R:\Vert x \Vert^{-n}>t\}}\Vert_{L^{p}_{\vert x\vert}L_{\theta}^{bar{p}_{2} }}\\&\quad\leq\sup_{frac{1}{R^{n}}<t<1}\frac{w_{n}^{1/\bar{p}_{2} }}{n^{1/p}}t^{1-1/p}=\压裂{w{n}^{1/\bar{p}_{2} ｛n｝｛1/p｝｝。\结束{对齐}$$

因此，对于\（R>1），我们有

$$\bigl\Vert\mathcal{H}（f_{0}）\chi_{B（0，R）}\bigr\Vert_{wL^{p}_{\vert x\vert}L_{\theta}^{bar{p}_{2} }}=\压裂{w{n}^{1/\bar{p}_{2} }}{n^{1/p}}$$

(3.2)

它源自(3.1)和(3.2)那个

$$\开始{aligned}&\bigl\Vert\mathcal{H}（f_{0}）\bigr\Vert_{dot{M}^{lambda}_{p，\bar{p}_{2} ｛｝\\\quad=\max\biggl\｛\sup_｛0＜R\leq 1｝\bigl\vert B（0，R）\bigr\vert ^｛-1/p-\lambda｝\cdot\frac｛w_｛n｝^｛1/\bar{p}_{2} }}{n^{1/p}}R^{n/p}，\sup_{R>1}\bigl\vert B（0，R）\bigr\vert^{-1/p-\lambda}\cdot\frac{w_{n}^{1/\bar{p}_{2} }}{n^{1/p}}\biggr\}\\&\quad=w{n}^{1/\bar{p}_{2}-1/p} \欧米茄{n}^{-\lambda}=w_{n}^{1/\bar{p}_{2}-1/\bar（巴）{p}_{1} }\垂直f_{0}\垂直_{\dot{M}^{\lambda}_{p，\bar{p}_{1} }}，\结束{对齐}$$

自从\（1）和\（-1/p<\lambda<0\）.

因此，

$$\Vert\mathcal{H}\Vert_{dot{M}^{lambda}_{p，\bar{p}_{1} }\右箭头w\dot{M}^{\lambda}_{p，\bar{p}_{2} }}=w{n}^{1/\bar{p}_{2}-1/\巴{p}_{1}}. $$

 □

显然，定理3.1提高结果[12，定理2.1]。

4夏普的目标\（\mathcal{高}_{m} \）从\（\dot{M}^{\lambda_{1}}_{p_{1{，\bar{p}_{1} }（\mathbb{R}^{n}）\times\dot{M}^{\lambda_{2}}_{p{2}，\bar{p}_{2} }（\mathbb{R}^{n}）\times\cdots\times\dot{M}^{lambda{M}}_{p_{M}，\bar{p}_{m} }（\mathbb{R}^{n}）\）到\（\dot{M}^{\lambda}_{p，\bar{p}}（\mathbb{R}^{n}）\）

本节致力于计算\（\mathcal{高}_{m} \）从\（\dot{M}^{\lambda_{1}}_{p_{1{，\bar{p}_{1} }（\mathbb｛R｝^｛n｝）\times\dot｛M｝^｛\lambda _｛2｝｝_｛p_｛2｝，\bar{p}_{2} }（\mathbb{R}^{n}）\times\cdots\times\dot{M}^{lambda{M}}_{p_{M}，\bar{p}_{m} }（\mathbb{R}^{n}）\）到\（\dot{M}^{\lambda}_{p，\bar{p}}（\mathbb{R}^{n}）\）为了说明我们的主要结果，我们需要Beta和Gamma函数。让\（z{1}\）和\（z{2}\）是带正实数部分的复数。然后是Beta函数\（B（z_{1}，z_{2}）\）和Gamma函数\（\伽马射线（z_{1}）\）由定义

$$B（z_｛1｝，z_｛2｝）：=\int _｛0｝^{1} t吨^{z（z）_{1}-1}（1-t）^｛z_{2}-1}\，日期$$

和

$$\Gamma（z_{1}）：=\int_{0}^{\infty}t^{z_{1}-1}e^{-t}\，dt，日期$$

分别。

我们在本节中的主要结果如下。

定理4.1

让 \（m，n \geq 2）,\（1<p_{i}，\bar{p_{i}}<\infty\）,\（-1/p{i}<\lambda{i}<0\）,\（i=1,2，\点，m\） 和 \（1<p，\bar{p}<\infty）,\（-1/p＜\λ＜0\） 这样的话 \（1/p=1/p{1}+1/p{2}+\cdots+1/p{m}\）,\（\lambda=\lambda{1}+\lambda{2}+\cdots+\lampda{m}\）,和 \（p{i}\lambda{i}=p\lambda）,\（i=1,2，\点，m\）.然后 n个-维度的 米-线性Hardy算子 \（\mathcal{高}_{m} \） 定义于(1.2)地图 \（\dot{M}^{\lambda_{1}}_{p_{1{，\bar{p}_{1} }（\mathbb｛R｝^｛n｝）\times\dot｛M｝^｛\lambda _｛2｝｝_｛p_｛2｝，\bar{p}_{2} }（\mathbb{R}^{n}）\times\cdots\times\dot{M}^{lambda{M}}_{p_{M}，\bar{p}_{m} }（\mathbb{R}^{n}）\） 到 \（\dot{M}^{\lambda}_{p，\bar{p}}（\mathbb{R}^{n}）\） 带运算符范数

$$\开始{aligned}&\Vert\mathcal{高}_{m} \Vert_{\dot{m}^{\lambda{1}}_{p_{1}，\bar{p}_{1} }\times\dot{M}^{lambda{2}}{p{2}，\bar{p}_{2} }\times\cdots\times\dot{M}^{\lambda_{M}}_{p_{M{，\bar{p}_{m} }\rightarrow\dot{m}^{lambda}_{p，\bar{p}}\\&\quad=w_{n}^{1/\bar{p}-\和{i=1}^{m} 1个/\巴{p}_{i} }\frac{w{n}^{m}}{w{mn}}\frac{m}{lambda+m}\ frac{1}{2^{m-1}}\frac{\Pi_{i=1}^{m}\Gamma（\frac}n}{2}（\lambda{i}+1））}\Garma（\brac{n}}（m+\lambda））}。\结束{对齐}$$

证明

我们只是证明了这一点\（m=2）自从案件发生以来\（m\geq 3）可以用类似的方法证明。

与定理证明类似的过程2.1得出算子的范数\（\mathcal{高}_{2}\)从\（\dot{M}^{\lambda_{1}}_{p_{1{，\bar{p}_{1} }（\mathbb｛R｝^｛n｝）\times\dot｛M｝^｛\lambda _｛2｝｝_｛p_｛2｝，\bar{p}_{2} ｝（\mathbb｛R｝^｛n｝）\）到\（\dot{M}^{\lambda}_{p，\bar{p}}（\mathbb{R}^{n}）\）等于\（\mathcal{高}_{2}\)作用于径向函数。对于两个径向函数\（f{1}\）广告\（f{2}\），然后我们为\（r=|x|\）,

$$\开始{aligned}\mathcal{高}_{2} （f{1}，f{2}）{2n}}整型{vert（y{1}，y{2}）。\结束{对齐}$$

通过使用Minkowski不等式和Hölder不等式，我们得到

$$\开始{aligned}&\frac{1}{\vert B（0，R）\vert^{1/p+\lambda}}\bigl\vert\mathcal{高}_{2} （f_1}，f_2}）\cdot\chi_{B（0，R）}\bigr\Vert_{L^{p}_{\vert x\vert}L_{\theta}^{\bar{p}}}\\&\quad=\frac{w_{n}^{1/\bar{p2}}{\Omega_{2n}}\frac}{\vertB（0，R）\vert^{1/p+\lambda}}\biggl（\int_{0}^{R}\bigbl\vert\int_{vert（y_1}，y_2}）\垂直<1}（ry{1}）f{2}^{p} 第页^{n-1}\，dr\biggr）^{1/p}\\&\quad\leq\frac{w_{n}^{1/\bar{p}}{\Omega_{2n}}\int_{\vert（y_{1}，y_{2}）\vert<1}\biggl（\frac{1}{\vertB（0，R）\vert ^{1+p\lambda}}}\int _{0}^{R}\bigl\vert f_1}（ry{1}）f2}（ry{2}）^{p} 第页^{n-1}，dr\biggr）^{1/p}，dy_{1}}}\int_{0}^{R}\bigl\vert f_{1}\bigr（R\vert y_{1{\vert\bigr）\bigr\vert^{p_{1｝}R^{n-1}\，dr\biggr）^{1/p_{1}}\\&\quad\quad\quid{}\times\biggl（\frac{1}{\vert B（0，R）\vert^{1+p_{2}\lambda_2}}\int_{0}^{R}\bigl\vert f_2}\bigr（R\verty_2}\vert\bigr）\bigr\vert_2}}R^{n-1}\，dr\biggr）^{1/p_2}}\，dy_1}\，dy _2}\&quad=\frac{w_{n}^{1/\bar{p} -1个/\巴{p}_{1}-1/\巴{p}_{2} }}{\Omega_{2n}}\int_{vert（y_{1}，y_{2}）\vert<1}\frac{1}{\vertB（0，R\verty_1}\vert）\vert ^{1/p_1}+\lambda_{1{}}\biggl（int_{0}^{R\vert y_1}\vert}w_{n}^{p_1}/\bar{p}_{1} }\bigl\vert f_{1}（r）\bigr\vert^{p_1}}r^{n-1}\，dr\biggr）^{1/p_1}\\&\quad\quad{}\ times\frac{1}{\vertB（0，r\verty_2}\ vert）\vert_{1/p_2}+\lambda_{2}}}\biggl（int_{0}^{r\vert y_2}\vert}w_{n}^{p{2}/\bar{p}_{2} }\bigl\vert f_{2}（r）\bigr\vert^{p_2}}r^{n-1}\，dr\biggr）^{1/p_2}\verty_1}\vert ^{n\lambda_{1}}\vert_y_2}\vert^{n\lambda_2}}\，dy_1}\，dy _2}\，quad\leq\frac{w_{n}^1/\bar{p} -1个/\巴{p}_{1}-1/\巴{p}_{2} }}{\Omega_{2n}}\int_{vert（y_{1}，y_{2}）\vert<1}\verty_1}\vert ^{n\lambda_{1{}\vert_y_2}\vert\vert^{n\lambda_2}}\，dy_1}\，dy _{2}\{p}_{1} }}\Vert f_{2}\Vert_{dot{M}^{\lambda{2}}_{p{2}，\bar{p}_{2}}}. \结束{对齐}$$

Fu等人证明了这一点[11，定理证明2]

$$\int_{\vert（y_{1}，y_{2}）\vert<1}\verty_{1\vert^{n\lambda_{1{}\vert_y_2}\vert ^{n\lambda_2}}\，dy_1}\，dy _2}=\frac{w_{n}^{2}}{2n}\frac}{1}{\lambda+2}B\biggl（frac{n}（1+\lambda{1}），\frac{n}{2}（1+\lambda{2}）\biggr）$$

通过使用身份\（w_2n}=2n\欧米茄_2n}\）和

$$B\biggl（\frac{n}{2}（1+\lambda{1}），\frac}n}{2]（1+/lambda_2}）\biggr$$

(4.1)

我们获得

$$\开始{aligned}&\bigl\Vert\mathcal{高}_{2} （f_1}，f_2}）\bigr\Vert_{\dot{M}^{\lambda}_{p，\bar{p}}\\&\quad=\sup_{R>0}\frac{1}{\vertB（0，R）\Vert^{1/p+\lambda}}\bigl\Vert\mathcal{高}_{2} （f_1}，f_2}）\cdot\chi_{B（0，R）}\bigr\Vert_{L^{p}_{\vert x\vert}L_{\theta}^{\bar{p}}}\\&\quad\leq w_{n}^{1/\bar{p} -1个/\巴{p}_{1}-1/\巴{p}_{2} }\frac{w{n}^{2}}{w{2n}}\frac{1}{\lambda+2}\fracc{Gamma（\frac}n}{2}（1+\lambda{1}））\Gamma M}^{\lambda_{1}}_{p_{1{，\bar{p}_{1} }}\Vert f_{2}\Vert_{dot{M}^{\lambda{2}}_{p{2}，\bar{p}_{2} }}，\结束{对齐}$$

这证明了所谓身份的一个方向。

另一方面\（\bar{f}_{i} （x）=|x{i}|^{n\lambda{i}}\）对于\（x_{i}\in\mathbb{R}^{n}\）,\（i=1,2），鉴于(2.5)，我们有\（\bar{f}_{i} 在\dot{M}^{lambda_{i}}_{p_{i{，\bar{p_}}}（\mathbb{R}^{n}）中而且，

$$\Vert\bar{f_{i}}\Vert_{dot{M}^{\lambda{i}{{p_{i{，\bar{p_}i}}=\frac{w_{n}^1/\bar{p2}}}{\Omega_{n{^{1/p_{i}+\lambda{i}[n（1+p_{i}\lambd_{i}]）]^{1/p{i}}}$$

(4.2)

通过简单的计算，我们可以看到

$$\马塔尔{高}_{2} （\bar{f}_{1} ，\bar{f}_{2} ）（x）=\bar{f}_{1} （x）\bar{f}_{2} （x）\frac{1}{\Omega{2n}}\int_{\vert（y_{1}，y_{2}）\vert<1}\verty_{1\vert^{n\lambda{1}}\ verty_2}\ vert ^{n\lambda{2}}\，dy_1}\，dy{2}$$

这个观察结果，结合(4.1), (4.2)和事实\（p{i}\lambda{i}=p\lambda）,\（i=1,2），完成证明。□

通过采取\（\bar{p}=p\）和\（\bar{p}_{i} =p_{i}\）,\（i=1,2，\点，m\），我们恢复了Fu等人的结果[11，定理2]。